Make bib a submodule

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@@ -1 +1,19 @@
 public
+KommutativeAlgebra.aux
+KommutativeAlgebra.bbl
+KommutativeAlgebra.blg
+KommutativeAlgebra.brf
+KommutativeAlgebra.fdb_latexmk
+KommutativeAlgebra.fls
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.gitmodules

@@ -0,0 +1,3 @@
+[submodule "bibliography"]
+	path = bibliography
+	url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/bibliography.git

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -43,3 +43,138 @@ Ganzheitsgleichung
 Erzeugendensystem
 Gröbnerbasen
 Syzygie
+Substitutionsmorphismus
+Transzendenzbasen
+Transzendenzbasis
+Transzendenzgrad
+körpertheoretische
+körpertheoretischen
+tautologischerweise
+Verschwindungsmenge
+Koeffizientenkörper
+Zariski-Topologie
+Zariski-abgeschlossenen
+Zariski-offenen
+Zariski-offene
+Hausdorffsch
+Verschwindungsideal
+Radikalideal
+Radikalideals
+Primideal
+Maximalitätsannahme
+Radikalideale
+Rabinowitsch
+Primidealen
+Reduzible
+Primideale
+prim
+Quotientenring
+Quotientenkörper
+nullteilerfrei
+Bloomington
+Homomorphiesatz
+repräsentierbaren
+reduzible
+Rückzugsabbildung
+Algebramorphismus
+Algebrahomomorphismen
+Varietätenmorphismus
+funktoriell
+Substitutionsabbildung
+Grothendieck
+Saint-Lizier
+Saint-Girons
+Ariège
+Gradabschätzungen
+Monomiale
+monomialen
+Monom
+Monome
+Monomen
+monomial
+monomiale
+Quotientenringes
+Monomordnungen
+vier-elementiges
+Monomordnung
+Initialterm
+graduiert-rückwärtslexikografischen
+rückwärtslexikografische
+Rückwärtslexika
+Eindeutigkeitsaussage
+Gröbnerbasis
+Gröbner
+Gossensaß
+Gröbner-Dualität
+Heisuke
+Hironaka
+Yuu
+Kuga-gun
+Iwakuni
+Yamaguchi
+Teleskopsumme
+graduiert-rückwärtslexikografische
+Tangentialkegel
+Tangentialkegels
+Vielfachheit
+Vielfachheiten
+Glattheit
+repräsentierbar
+Quotientenkörpers
+def
+Repräsentantenniveau
+Moduln
+Surjektivität
+Quotientenmodul
+Lokalisierungsfunktors
+Lokalisierungskonstruktion
+Inklusionsabbildung
+Primideals
+Nakayama
+Lokalisierungsabbildung
+uniformisierende
+uniformisierenden
+adische
+Tangentialgerade
+uniformisierender
+Cohen-Seidenberg
+Krull-Dimension
+Inklusionszeichen
+Krull
+Krullsche
+Inklusionsmorphismus
+Isomorphiesatz
+Faktorielle
+faktorieller
+faktoriell
+Zariski-dichte
+Zariski-Abschluss
+Ganzheitsgleichungen
+Krullschen
+Funktiongraf
+Konik
+Eindeutigkeitsbeweis
+Bahnenraum
+Antipodenpunkten
+Antipodenpunkte
+Normparabel
+kompaktifiziert
+Asymptotenrichtungen
+Normhyperbel
+Perge
+Apollonius
+Pergaeus
+Koniken
+Apollonios
+Projektivitäten
+Projektivität
+Dehomogenisierung
+dehomogenisierten
+.te
+Bézout
+Nemours
+Avon
+Barth-Sextik
+Jaffe
+Ruberman
+Labs

.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt

@@ -1,2 +1,3 @@
 Kebekus
 syzygy
+sextic

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -3,3 +3,42 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch abhängig über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma, dass wir \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q vergrößern können.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann definiere den Transzendenzgrad von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine endlich Transzendenzbasis mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Elementen besitzt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer folgende Satz unterscheidet sich von der Vorabversion, die wir auf Seite satz:shn formuliert hatten, durch die Diskussion des algebraischen Abschlusses.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"}
+{"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QLiegt mein Element im Ideal?.\\E$"}
+{"rule":"WHITESPACE_RULE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q  Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q  Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation “\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q” ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qeigentlich notwendig ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QGegeben eine rationale Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Nullstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Krullsche Dimension von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing up.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert dann sehr schnell, dass die Dimensionen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q übereinstimmen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBeweis des Satzes „Going up“.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing down.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QVorlesung 15Die Umkehrung von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Going up“) ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAnwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QObwohl der Beweis nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZum einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKurven in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonius von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
+{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QDann gilt für jeden Vektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie homogene Radikalideale algebraische Mengen homogene Primideale irreduzible Mengen homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums\\E$"}

03.tex

@@ -192,7 +192,7 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
   b^{n-1}$ erzeugen daher $A[b]$ als $A$-Modul.
 \end{proof}
 
-\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-2} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1}]
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-2} $⇒$ \ref{il:3-2-9-3}]
   Setze $M := A[b]$, fertig.
 \end{proof}
 
@@ -284,13 +284,13 @@ knapp wiedergegeben.
   \[
     א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n].
   \]
-  Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$.  Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach
+  von $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul.  Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$.
-  Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul.  Wir
+  Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich
-  wählen ein endliches Erzeugendensystem
+  erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul.  Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem
   \[
     א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c].
   \]
-  Dann ist aber
+  von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A[b_1, …, b_n]$-Modul.  Dann ist aber
   \[
     א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c]
   \]

04.tex

@@ -16,8 +16,7 @@ als einem Element.
 \begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$.  Nenne
   die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige
-    Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der
+  Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der Substitutionsmorphismus
-  Substitutionsmorphismus
   \[
     K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n)
   \]
@@ -28,11 +27,11 @@ als einem Element.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
-  Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der
+  Genau wie beim Begriff der „linearen Unabhängigkeit“ ist die Definition der
-  algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich.  Statt zu sagen ``die
+  algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich.  Statt zu sagen „die
-  Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und
+  Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig“ wäre es besser und
-  richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch
+  richtiger, zu sagen: „die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch unabhängig“.
-  unabhängig''.  Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
+  Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -44,7 +43,7 @@ als einem Element.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-  Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für
+  Gelegentlich wird der Begriff „algebraisch unabhängig“ statt für
   Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in
   Integritätsringen verwendet.  Das kann man machen.  Wir beobachten, dass der
   Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
@@ -62,11 +61,11 @@ als einem Element.
 \section{Transzendenzbasen}
 
 Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit.  Und
-genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die
+genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als „linear unabhängige Menge, die
-maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die
+maximal ist bezüglich der Inklusion“, definieren wir jetzt die Transzendenzbasis
-Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
+einer Körpererweiterung.
 
-\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}
+\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Eine
   \emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine
   algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion
@@ -74,22 +73,22 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
-  In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit
+  In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet „maximal bezüglich der Inklusion“ mit
-  anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist
+  anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist algebraisch abhängig über
-  algebraisch abhängig über $K$.
+  $K$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}[Rationale Funktionen]
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der
-  rationalen Funktionen in $n$ Variablen.  Dann bilden die Elemente
+  rationalen Funktionen in $n$ Variablen.  Dann bilden die Elemente $X_1, …, X_n
-  $X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
+  ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
 \end{bsp}
 
-\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}
+\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}%
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$
-  $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig
+  eine Menge, die algebraisch unabhängig über $K$ ist.  Die Menge $M$ ist genau
-  über $K$ ist.  Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$
+  dann eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$, wenn die Körpererweiterung
-  über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist.
+  $L/K(M)$ algebraisch ist.
 \end{lem}
 \begin{proof}
   Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende
@@ -100,8 +99,8 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
                                          & \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K.
   \end{align*}
   Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann
-  maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch
+  maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch über
-  über $K(M)$ ist.
+  $K(M)$ ist.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -109,22 +108,21 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
   funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$.  Aber ich bin zu faul.
 \end{bemerkung}
 
-In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz.  Das
+In der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz.  Das
 geht auch hier.
 
 \begin{satz}[Basisergänzung]
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Wenn $Γ ⊆ L$ ein
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Wenn $Γ ⊆ L$ ein Erzeugendensystem ist
-  Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$
+  und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$ ist, dann lässt sich $S$ zu
-  ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$
+  einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$ ergänzen.
-  ergänzen.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa
+  Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa $Γ = \{γ_1,
-  $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$.  In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von
+  …, γ_n\}$.  In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma,
-  Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen
+  dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge $B ⊆
-  Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können.  Die Annahme ``maximal groß'' impliziert,
+  Γ$ vergrößern können.  Die Annahme „maximal groß“ impliziert, dass jedes $γ_•$
-  dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist.  Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$
+  algebraisch über $K(B)$ ist.  Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$ algebraisch über
-  algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
+  $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
   Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist.
 \end{proof}
 
@@ -137,8 +135,8 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
 
 \begin{prop}[Basisaustauschlemma]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine
-  endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$.  Weiter sei
+  endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$.  Weiter sei $\{ c_1, …, c_m \} ⊂
-  $\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$.  Dann ist $m ≤ n$.
+  L$ algebraisch unabhängig über $K$.  Dann ist $m ≤ n$.
 \end{prop}
 \begin{proof}
   \video{4-1}
@@ -174,7 +172,7 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Rationale Funktionen]
-  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
+  Sei $K$ ein Körper.  Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen]
@@ -202,27 +200,27 @@ Körpererweiterungen.
 \section{Rein transzendente Erweiterungen}
 
 In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson
-bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''.  Das kann man für
+bekanntermaßen fest: „\foreignlanguage{english}{All men are created equal.}“ Das
-transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen.  Wie das folgende
+kann man für transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen.  Wie das
-Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt
+folgende Beispiel zeigt, gibt es „rein transzendente“ Erweiterungen und es gibt
 solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
 
 \begin{itemize}
-\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1.  Die Menge
+\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1.  Die Menge $\{x\}$
-  $\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis.  Jedes Element von $ℚ(x)$ ist
+  bildet eine Transzendenzbasis.  Jedes Element von $ℚ(x)$ ist transzendent über
-  tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
+  $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
   
-\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad
+\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Transzendenzgrad 1.
-  1.  Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis.  Dennoch gibt es in
+  Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis.  Dennoch gibt es in
-  $ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
+  $ℚ(\sqrt{2}, π)$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
   Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung
   \[
     ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ.
   \]
-  Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern
+  Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern $ℚ(π)$
-  $ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$
+  und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ transzendent über
-  transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
+  $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.  Im Gegensatz dazu ist
-  Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
+  die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
 \end{itemize}
 
 \begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung]
@@ -232,13 +230,13 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen]
-  Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis
+  Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis $B = \{b_1,
-  $B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus
+  …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $L ≅ K(x_1, …, x_n)$.
-  $L ≅ K(x_1, …, x_n)$.  Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent
+  Insbesondere ist jedes Element von $L$ transzendent über $K$, wenn es nicht
-  über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt.
+  schon zufällig selbst in $K$ liegt.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}
+\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}%
   Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir
   eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von
   Körpererweiterungen betrachten,
@@ -250,23 +248,23 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
 
 \begin{warnung}
   Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht
-    kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für
+    kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art „Galois-Theorie für
-    transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
+    transzendente Erweiterungen“ sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
-    ``Algebra'' gut aufgepasst.  Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der
+    „Algebra“ gut aufgepasst.  Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der Wahl
-  Wahl der Transzendenzbasis ab!  Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung
+    der Transzendenzbasis ab!  Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung $K ⊆
-  $K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der
+    K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der Vorlesung
-  Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben.  Diese ist eindeutig.
+    „Algebra“ kennengelernt haben.  Diese ist eindeutig.
 \end{warnung}
 
 Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung
 rein transzendent ist.  Der berühmte
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von
 Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
-    Lüroth} (* 18.  Februar 1844 in Mannheim; † 14.  September 1910 in München)
+Lüroth} (* 18.  Februar 1844 in Mannheim; † 14.  September 1910 in München) war
-  war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich
+ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich ohne
-ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen
+Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen Parametrisierbarkeit
-Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den
+gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den Zusammenhang (wenn
-Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
+überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
 
 \begin{satz}[Satz von Lüroth]
   Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen,

05.tex

@@ -3,10 +3,9 @@
 
 \chapter{Der Nullstellensatz und die Korrespondenzen $V$ und $I$}
 
-In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner ``starken''
+In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner „starken“ Form
-Form bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten
+bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten Korrespondenzen
-Korrespondenzen zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen
+zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen Objekten.
-Objekten.
 
 
 \section{Die körpertheoretische Version des Nullstellensatzes}
@@ -17,7 +16,7 @@ dass gewisse Körpererweiterungen algebraisch sind.  Bleiben Sie dabei und legen
 Sie nicht auf!  Die geometrische Bedeutung des Satzes wird sofort im nächsten
 Abschnitten klar werden.
 
-\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}
+\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}%
   Es sei $E/K$ eine Körpererweiterung, die als Ringerweiterung von endlichem Typ
   ist.  Dann ist $E/K$ algebraisch.
 \end{satz}
@@ -41,7 +40,7 @@ auch noch ein starker Nullstellensatz.  Der folgende Satz unterscheidet sich von
 der Vorabversion, die wir auf Seite~\vpageref{satz:shn} formuliert hatten, durch
 die Diskussion des algebraischen Abschlusses.
 
-\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}
+\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}%
   Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$
   gegeben.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -103,12 +102,11 @@ die Diskussion des algebraischen Abschlusses.
   \[
     (f_1, …, f_m) ⊆ m ⊊ k[x_1, …, x_n].
   \]
-  Aus der Vorlesung ``Algebra'' wissen wir, dass der Quotient
+  Aus der Vorlesung „Algebra“ wissen wir, dass der Quotient $E := k[x_1, …,
-  $E := k[x_1, …, x_n]/m$ ein Körper ist.  Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra
+  x_n]/m$ ein Körper ist.  Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra durch die
-  durch die Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt.  Nach der
+  Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt.  Nach der körpertheoretischen
-  körpertheoretischen Version des Hilbertschen Nullstellensatzes,
+  Version des Hilbertschen Nullstellensatzes, Satz~\vref{satz:kthn} ist die
-  Satz~\vref{satz:kthn} ist die Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es
+  Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es gibt eine Einbettung
-  gibt eine Einbettung
   \[
     φ: E ↪ \overline{k}.
   \]
@@ -143,36 +141,36 @@ zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist!
   \item Es gilt genau dann $V(f_1, …, f_m) ≠ ∅$, wenn $1 \notin (f_1, …, f_m)$
     ist.
     
-  \item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente
+  \item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente $a_1, …,
-    $a_1, …, a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt,
+    a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt,
     \[
       m = (x_1-a_1, …, x_n-a_n).
     \]
     
-  \item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von
+  \item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von $k[x_1, …,
-    $k[x_1, …, x_n]$ und den Punkten in $k^n$.
+    x_n]$ und den Punkten in $k^n$.
   \end{enumerate}
 \end{kor}
 \begin{proof}
   \video{5-1}
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}
+\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}%
   Weil man polynomiale Gleichungssysteme sowieso immer erst einmal über dem
   algebraischen Abschluss eines Körpers zu studiert, verwenden manche Autoren
   folgende Konvention, die ein wenig von unserer Notation für algebraische
   Mengen, Notation~\vref{not:2-1-3} abweicht.  Gegeben ein Körper $k$ mit
-  algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome
+  algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome $f_1, …, f_n ∈
-  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der
+  k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der Lösungen des
-  Lösungen des polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem
+  polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem Abschluss} mit
-    Abschluss} mit
   \[
     X := V(f_1, …, f_n) := \left\{ \vec{a} ∈ \overline{k}^m \::\: f_1(\vec{a}) =
       ⋯ = f_n(\vec{a}) = 0 \right\}
   \]
-  und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, f_m$} oder die
+  und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …,
-  \emph{Lösungsmenge des Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}.  Die
+  f_m$}\index{Verschwindungsmenge} oder die \emph{Lösungsmenge des
-  Menge der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als
+  Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}\index{Lösungsmenge}.  Die Menge
+  der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als
   \emph{Menge der $k$-rationalen Punkte von $X$}\index{rationale Punkte}
   bezeichnet.  In diesem Zusammenhang nennt man $k$ auch den
   \emph{Koeffizientenkörper}\index{Koeffizientenkörper} oder den
@@ -187,8 +185,8 @@ formulieren.
 
 \begin{satz}[Fermat's großer Satz]
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine ungerade Zahl, $n ≥ 3$.  Dann hat die Lösungsmenge $X$ des
-  Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also
+  Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also $\#
-  $\# X(ℚ) = 2$.  \qed
+  X(ℚ) = 2$.  \qed
 \end{satz}
 
 
@@ -202,7 +200,7 @@ Gleichungssystems
 gar nicht so sehr auf die einzelnen Gleichungen ankommt, sondern vielmehr auf
 das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$.
 
-\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}
+\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊆ k[x_1, …, x_m]$ ein Ideal.  Dann heißt
   \[
     V(I) := \left\{ \vec{a} ∈ k^m \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } f ∈ I
@@ -214,9 +212,9 @@ das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$.
 Die Mengen $V(I)$ sind nicht beliebig.  Ich erinnere dazu an den Hilbert'schen
 Basissatz: Der Polynomring $k[x_1, …, x_m]$ aus Definition~\ref{def:5-3-1} ist
 Noethersch und jedes Ideal ist daher endlich erzeugt.  Das bedeutet: gegeben ein
-Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen
+Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen $f_1, …, f_m
-$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist.  Überlegen Sie
+∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist.  Überlegen Sie sich jetzt
-sich jetzt \emph{sofort}, dass dann die Gleichheit
+\emph{sofort}, dass dann die Gleichheit
 \[
   V(I) = V(f_1, …, f_m)
 \]
@@ -232,7 +230,7 @@ Definition~\vref{def:2-1-1}.  Wir erhalten also eine Abbildung
 die uns noch viel Freude bereiten wird.  Der folgende Satz fasst die ersten
 Eigenschaften der Abbildung $V$ zusammen.
 
-\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}
+\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}%
   Es sei $k$ ein Körper und $R := k[x_1, …, x_n]$.  Dann gelten die folgenden
   Aussagen.
   \begin{enumerate}
@@ -275,21 +273,21 @@ Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar
     \mathcal{P}(k^m)
   \]
   wird als \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} bezeichnet.  Der
-  topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert.  Wenn
+  topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert.  Wenn $X ⊂
-  $X ⊂ k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$
+  k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$ induzierte
-  induzierte Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie.
+  Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie.
 \end{defn}
 
 \begin{notation}
   Im Fall $k = ℝ$ oder $ℂ$ haben wir also mindestens zwei interessante
   Topologien: die klassische Euklidische Topologie, die Sie aus der Vorlesung
-  ``Analysis'' kennen und die Zariski-Topologie.  Um Verwechselungen zu
+  „Analysis“ kennen und die Zariski-Topologie.  Um Verwechselungen zu vermeiden,
-  vermeiden, sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen}
+  sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen} und
-  und \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und
+  \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und
   \emph{Euklidisch-offenen} Mengen.
 \end{notation}
 
-\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}
+\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}%
   Die Zariski-Topologie hat einige sehr ungewohnte Eigenschaften.
   \begin{itemize}
   \item Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann liegt jede
@@ -346,8 +344,8 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen.
   \begin{enumerate}
   \item Aus $A ⊆ B$ folgt $I(A) ⊇ I(B)$.
     
-  \item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$.  Gleichheit gilt genau dann, wenn
+  \item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$.  Gleichheit gilt genau
-    $A$ eine algebraische Menge ist.
+    dann, wenn $A$ eine algebraische Menge ist.
     
   \item Es ist $I(A ∪ B) = I(A) ∩ I(B)$.
   \end{enumerate}
@@ -364,10 +362,11 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen.
   \[
     V\bigl(I(A)\bigr) = \overline{A}^Z,
   \]
-  wobei $\overline{•}^Z$ für ``topologischer Abschluss in der
+  wobei $\overline{•}^Z$ für „topologischer Abschluss in der Zariski-Topologie“
-  Zariski-Topologie'' steht.
+  steht.
 \end{aufgabe}
 
+
 \section{Der starke Nullstellensatz}
 
 \sideremark{Vorlesung 6}Gegeben einen Körper $k$ und eine Zahl $n$, dann hatten
@@ -380,12 +379,12 @@ die uns beide sehr viel Freude machen.  Es schaut ein wenig so aus, als wären
 die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen.  Das ist aus
 mindestens zwei Gründen nicht der Fall.
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1}
+\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1} Die Bilder der Abbildung $V$ sind
-  Die Bilder der Abbildung $V$ sind algebraische Mengen, während die Abbildung
+  algebraische Mengen, während die Abbildung $I$ beliebige Mengen als Input
-  $I$ beliebige Mengen als Input nimmt.
+  nimmt.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}
+\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}%
   Die Abbildung $I$ ist nicht injektiv.  Nehme zum Beispiel $k = ℂ$ und
   betrachte das Ideal $I = (x) ⊊ ℂ[x]$.  Dann ist $I² = (x²) ⊊ (x) = I$, aber
   $V(I²) = V(I)$ ist jeweils einfach der Nullpunkt in $ℂ$.  Beobachten Sie, dass
@@ -399,7 +398,7 @@ aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} ist interessanter.  Ist alle Hoffnung auf
 Bijektivität verloren?  Wahrscheinlich nicht.  Schauen Sie sich die Definition
 der Abbildung $I$ noch einmal an und beobachten Sie, dass das Ideal $(x²)$
 niemals Output von $I$ ist!  Offenbar liefert die Abbildung $I$ also Output nur
-solche Ideal, die ``nicht Potenz eines größeren Ideals'' sind.  Die folgende
+solche Ideal, die „nicht Potenz eines größeren Ideals“ sind.  Die folgende
 Definition macht diese Aussage präzise.
 
 \begin{satzdef}
@@ -424,7 +423,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise.
 \begin{bemerkung}
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal.  Aus der Definition des
   Radikalideals ergibt sich schnell: $\rad \rad J = \rad J$.  Mehrfaches
-  ``Wurzelziehen'' bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen
+  „Wurzelziehen“ bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen
   können.  Die Idee, Radikale bei der Wurzel zu ziehen, war 1972 Gegenstand des
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Radikalenerlass}{Radikalenerlasses}.
 \end{bemerkung}
@@ -432,7 +431,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise.
 \begin{bsp}[Primideale sind radikal]
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Primideal.  Dann ist $J$ ein
   Radikalideal.  Falls nämlich $f ∈ R$ ein Element wäre, sodass $f² ∈ J$ ist,
-  dann gilt nach Definition von ``Primideal'', dass auch $f ∈ J$ sein muss.
+  dann gilt nach Definition von „Primideal“, dass auch $f ∈ J$ sein muss.
   Induktiv beweise man nun, dass für jede natürliche Zahl $n$ und jedes Element
   $f ∈ R$ aus $f^n ∈ J$ immer sofort $f ∈ J$ folgt.
 \end{bsp}
@@ -452,9 +451,9 @@ Erhalten wir jetzt also eine Bijektion, wenn wir zusätzlich noch die Abbildung
 $V$ aus Radikalideale einschränken?  Falls $k$ algebraisch abgeschlossenen, gibt
 der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort.
 
-\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}
+\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $J ⊆ k[x_1, …,
-  $J ⊆ k[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist
+  x_n]$ ein Ideal.  Dann ist
   \[
     I\bigl(V(J) \bigr) = \rad J.
   \]
@@ -465,8 +464,8 @@ der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort.
   \video{6-2} zeigt den Beweis mithilfe des genialen
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Rabinowitsch_trick}{Tricks von
   Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George
-      Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25.  März 1886 in Odessa;
+  Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25.  März 1886 in Odessa; †
-    † 10.  Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer
+  10.  Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer
   Mathematiker und theoretischer Physiker.  Er veröffentlichte vor seiner Zeit
   in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}.
 \end{proof}

06.tex

@@ -15,8 +15,8 @@ vollständige Entsprechung zwischen den Objekten der geometrisch-anschaulichen
 und den Objekten der algebraisch-abstrakten Seite dieser Äquivalenz.  Ebenso hat
 jeder Satz der kommutativen Algebra eine entsprechende Formulierung als Satz der
 Geometrie.  Ich möchte in dieser Vorlesung aber nicht die theoretische Seite
-dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug umd Zug ein ganz konkretes ``Wörterbuch
+dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug um Zug ein ganz konkretes „Wörterbuch
-Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.
+Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“ entwickeln.
 
 \begin{bsp}
   Korollar~\ref{cor:5-2-6} liefert den ersten Eintrag.  Das Korollar zeigt
@@ -32,40 +32,39 @@ Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.
 \section{Reduzible und irreduzible Mengen}
 
 Den zweiten Eintrag in unserem Wörterbuch hatte ich in Beispiel~\ref{bsp:2-1-8}
-vorbereitet.  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer
+vorbereitet.  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer „Komponente“
-``Komponente'' (nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende
+(nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende Ideal $(x·y) ⊊
-Ideal $(x·y) ⊊ k[x,y]$ kein Primideal ist.  Das mathematisch korrekte Wort für
+k[x,y]$ kein Primideal ist.  Das mathematisch korrekte Wort für „besteht aus
-``besteht aus mehr als einer Komponente'' heißt ``reduzibel''.
+mehr als einer Komponente“ heißt „reduzibel“.
 
 \begin{defn}[Reduzible und irreduzible Mengen]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
-  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Wenn es eine Darstellung
+  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Wenn es eine Darstellung $A
-  $A = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung:
+  = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung: Eine
-    Eine Teilmenge $B ⊆ A$ heißt ``echt'', wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.}
+  Teilmenge $B ⊆ A$ heißt „echt“, wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.} algebraischen
-  algebraischen Teilmengen gibt, dann nenne $A$
+  Teilmengen gibt, dann nenne $A$ \emph{reduzibel}\index{reduzibel}.  Ansonsten
-  \emph{reduzibel}\index{reduzibel}.  Ansonsten nenne $A$
+  nenne $A$ \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
-  \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
   Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ ist reduzibel, weil es die echte Vereinigung der
-  algebraischen Teilmengen ``$x$-Achse'' und ``$y$-Achse'' ist.
+  algebraischen Teilmengen „$x$-Achse“ und „$y$-Achse“ ist.
 \end{bsp}
 
-Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff ``reduzibel'' sehr anschaulich
+Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff „reduzibel“ sehr anschaulich
 ist.  Ich hatte oben schon angedeutet: Die algebraische Entsprechung von
-``irreduzibler algebraischer Menge'' ist ``Primideal''.
+„irreduzibler algebraischer Menge“ ist „Primideal“.
 
 \begin{satz}[Irreduzible Mengen und Primideale]\label{satz:6-1-3}
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
   und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Dann gilt: Die algebraische
-  Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(X) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
+  Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(A) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
   Primideal ist.
 \end{satz}
-\begin{proof}[Beweis der Implikation ``irreduzibel $⇒$ Primideal'']
+\begin{proof}[Beweis der Implikation „irreduzibel $⇒$ Primideal“]
   \video{6-3}
 \end{proof}
-\begin{proof}[Beweis der Implikation ``Primideal $⇒$ irreduzibel'']
+\begin{proof}[Beweis der Implikation „Primideal $⇒$ irreduzibel“]
   \video{6-4}.
 \end{proof}
 
@@ -89,11 +88,12 @@ Menge zu beweisen.
 \end{bsp}
 
 \begin{bemerkung}
-  Bei Mengen, die ich zeichnen oder mir zumindest vorstellen kann, ist die Frage
+  Wenn ich eine Menge zeichnen (oder mir zumindest vorstellen) kann, dann kann
-  nach der Irreduzibilität meist sofort ``durch Draufschauen'' zu beantworten.
+  ich die Frage nach der Irreduzibilität meist sofort „durch Draufschauen“
-  Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von
+  beantworten.  Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel
-  hoher Dimension) schaut man dumm.  Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker
+  Mengen von hoher Dimension) schaut man dumm.  Tatsächlich ist es auch für den
-  sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht.
+  Algebraiker sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist
+  oder nicht.
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -111,8 +111,8 @@ Wenn ich kurz einmal glaube, dass jede algebraische Menge auf eindeutige Weise
 als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt, dann muss dem auf
 der algebraischen Seite eine Aussage gegenüberstehen, die sagt, dass jedes
 Radikalideal eindeutig durch Primideale dargestellt werden kann --wobei wir uns
-jetzt erst noch überlegen müssen, was ``darstellen'' in diesem Kontext
+jetzt erst noch überlegen müssen, was „darstellen“ in diesem Kontext eigentlich
-eigentlich bedeuten soll.
+bedeuten soll.
 
 \begin{beobachtung}\label{beo:6-2-1}
   Gegeben eine algebraische Menge $X$, die ich als Vereinigung von endliche
@@ -136,9 +136,9 @@ eigentlich bedeuten soll.
 \end{beobachtung}
 
 Ich fasse den Inhalt von Beobachtung~\ref{beo:6-2-1} noch einmal informell
-zusammen: Die geometrische Aussage ``$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
+zusammen: Die geometrische Aussage „$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
-Mengen geschrieben werden'' ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
+Mengen geschrieben werden“ ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
-Aussage ``$I$ ist Durchschnitt von Primidealen''.  Die folgende Proposition
+Aussage „$I$ ist Durchschnitt von Primidealen“.  Die folgende Proposition
 formuliert den Sachverhalt noch einmal präzise und fügt unserem Wörterbuch eine
 besonders interessante Zeile hinzu.
 
@@ -185,10 +185,9 @@ Der Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3} kommt gleich.  Zuerst benötige ich noch
 einige Vorüberlegungen.
 
 \begin{lem}[Existenz minimaler Mengen]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} sei
-  und es sei
   \[
-    X ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
+    M ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
   \]
   eine nicht-leere Menge von algebraischen Mengen des $𝔸^n_k$.  Dann besitzt $X$
   ein Element, das minimales bezüglich Inklusion minimal ist.
@@ -196,29 +195,30 @@ einige Vorüberlegungen.
 \begin{proof}
   Nach dem \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Lemma von
     Zorn}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max
-      August Zorn} (* 6.  Juni 1906 in Krefeld; † 9.  März 1993 in Bloomington,
+    August Zorn} (* 6.~Juni 1906 in Krefeld; † 9.~März 1993 in Bloomington,
     Indiana, USA) war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher
     Abstammung.} genügt es zu zeigen, dass jede absteigende Kette
   \[
-    X_1 ⊇ X_2 ⊇ ⋯
+    M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
   \]
-  von algebraischen Mengen stationär wird.  Mit anderen Worten:
+  von algebraischen Mengen $M_i ∈ M$ stationär wird.  Mit anderen Worten:
   \[
-    ∃ m ∈ ℕ: X_m = X_{m+1} = X_{m+2} = ⋯
+    ∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
   \]
-  gilt.  Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(X_1) ⊆ I(X_2) ⊆ ⋯$.
+  gilt.  Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(M_1) ⊆ I(M_2) ⊆ ⋯$.
-  Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär.
+  Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär.  Mit
-  Mit anderen Worten:
+  anderen Worten:
   \[
-    ∃ m ∈ ℕ: I(X_m) = I(X_{m+1}) = I(X_{m+2}) = ⋯.
+    ∃ m ∈ ℕ: I(M_m) = I(M_{m+1}) = I(M_{m+2}) = ⋯.
   \]
   Weil die Abbildungen $I$ und $V$ bijektiv sind, folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
 \begin{lem}
-  Sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine Darstellung von $X$ als Vereinigung von
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine
-  endlich vielen irreduziblen algebraischen Mengen.  Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein
+  Darstellung von $X$ als Vereinigung von endlich vielen irreduziblen
-  Primideal.  Dann gibt es einen Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
+  algebraischen Mengen.  Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein Primideal.  Dann gibt es einen
+  Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
 \end{lem}
 \begin{proof}
   Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es für jeden Index $i$

07.tex

@@ -10,21 +10,21 @@ Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen.  Vorher möchte
 ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen
 geometrische Bedeutung klären.  Um zu erklären, worum es überhaupt geht,
 betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender
-algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_{ℂ}$.  Dann kann man den Restklassenring
+algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_ℂ$.  Dann kann man den Restklassenring
 $ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren:
 
 \begin{itemize}
 \item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings
-  $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ})$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen.
+  $\cC⁰(𝔸^n_ℂ)$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen.
   
 \item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen
   komplexwertigen Funktionen.
   
-\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung
+\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung $\cC⁰(𝔸^n_ℂ) →
-  $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) → \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen
+  \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2.2cm]
-      ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X).
+      ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_ℂ) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X).
     \end{tikzcd}
   \]
   Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$.
@@ -36,7 +36,7 @@ Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring
 \]
 also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen
 Funktionen auf $X$.  Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen
-$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinationenfunktionen auf $X$.  Dies motiviert die
+$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinatenfunktionen auf $X$.  Dies motiviert die
 folgende Definition.
 
 \begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1}
@@ -74,14 +74,14 @@ Koordinatenring nullteilerfrei ist.
 Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die
 man am affinen Koordinatenring ablesen kann.  Um Ihnen die geometrische
 Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal
-sagen, was ein ``Morphismus von algebraischen Mengen'' eigentlich sein soll.
+sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll.  Die
-Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
+Sache ist eigentlich sehr einfach.
 
 \begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen]
   Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
-  Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf
+  Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
-  dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$.  Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ heißt
+  auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$.  Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$
-  \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder
+  heißt \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder
   \emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen
   Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für
   jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
@@ -96,13 +96,12 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
   gilt.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2}
+\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} Es sei $k$ ein Körper.  Die polynomiale Abbildung
-  Es sei $k$ ein Körper.  Die polynomiale Abbildung
   \[
     f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³)
   \]
-  liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge
+  liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge $V
-  $V \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$.
+  \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}\label{bsp:7-1-3}
@@ -110,13 +109,14 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
   \[
     f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³)
   \]
-  liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge
+  liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge $V
-  $V \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$.  Die Bildmenge $V \bigl(y²-x³ \bigr)$ heißt
+  \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$.  Traditionell bezeichnet man die Bildmenge $V
-  ``Neilsche Parabel''.  Zeichnen Sie ein reelles Bild dieser Menge.  Finden Sie
+  \bigl(y²-x³ \bigr)$ als „Neilsche Parabel“.  Zeichnen Sie ein reelles Bild
-  heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu einer ganz besonderen Kurve
+  dieser Menge.  Finden Sie heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu
-  macht.  Besorgen Sie sich die ungekürzte Originalausgabe des Romans ``Moby
+  einer ganz besonderen Kurve macht.  Besorgen Sie sich die ungekürzte
-  Dick'' und finden Sie die Stelle, an der die Neilsche Parabel eine Rolle
+  Originalausgabe des Romans „Moby Dick“ und finden Sie die Stelle, an der die
-  spielt.  Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine Rolle.
+  Neilsche Parabel eine Rolle spielt.  Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine
+  Rolle.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}\label{bsp:7-1-4}
@@ -131,8 +131,8 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
 \begin{defn}[Isomorphismen]
   Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben.  Zwei
   algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen
-  \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen
+  \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen $f:V
-  $f:V → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist.  In
+  → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist.  In
   diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$
   \emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}.
 \end{defn}
@@ -157,10 +157,10 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
 Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun?  Um den Zusammenhang präzise
 zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
 
-\begin{situation}\label{sit:7-2-1}
+\begin{situation}\label{sit:7-2-1}%
   Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
-  Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf
+  Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
-  dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit
+  auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit
   $y_1, …, y_m$.  Die affinen Koordinatenringe sind dann
   \[
     k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} %
@@ -174,8 +174,8 @@ zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
 \label{sec:7-2-1}
 
 In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen
-Mengen gegeben.  Nach Definition gibt es also Polynome
+Mengen gegeben.  Nach Definition gibt es also Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …,
-$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
+x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
 \[
   f(\vec{x}) =
   \begin{pmatrix}
@@ -184,7 +184,7 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gle
     f_m(\vec{x})
   \end{pmatrix}
 \]
-gilt.  Wir definieren damit die folgende ``Rückzugsabbildung''
+gilt.  Wir definieren damit die folgende „Rückzugsabbildung“
 \[
   \begin{matrix}
     φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
@@ -223,7 +223,7 @@ exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist,
 \begin{equation}\label{eq:7-2-2-1}
   f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i].
 \end{equation}
-Als Nächstes definieren wir eine ``Rückzugsabbildung'',
+Als Nächstes definieren wir eine „Rückzugsabbildung“,
 \[
   \begin{matrix}
     φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
@@ -258,9 +258,9 @@ polynomiale Abbildung betrachten,
   \end{pmatrix}.
 \]
 Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben.  Ich behaupte, dass
-$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt.  Äquivalent: ich behaupte, dass jedes
+$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt.  Äquivalent: ich behaupte, dass jedes $g\bigl(
-$g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$.  Sei also ein solches
+φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$.  Sei also ein solches $g$
-$g$ gegeben.  Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$
+gegeben.  Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$
 \[
   g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}),
 \]
@@ -278,7 +278,7 @@ Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers.  Ich
 lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis
 fest.
 
-\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}
+\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}%
   In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den
   Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen
   \[
@@ -287,49 +287,47 @@ fest.
   \]
 \end{satz}
 
-Inbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen
+Insbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen
 einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss.  Ich
 diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
 
 \begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4}
   In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die
-  algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel.  Weiter es sei
+  algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel.  Weiter es sei $f : X → Y$
-  $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen.  Dann sind folgende
+  ein Morphismus von algebraischen Mengen.  Dann sind folgende Aussagen
-  Aussagen äquivalent.
+  äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv.
     
-  \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der
+  \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der Zariski-Topologie.  Mit
-    Zariski-Topologie.  Mit anderen Worten: jede algebraische Teilmenge
+    anderen Worten: jede algebraische Teilmenge $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält,
-    $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, ist gleich $Y$.
+    ist gleich $Y$.
   \end{enumerate}
 \end{prop}
 \begin{proof}
   Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv.  Dann gibt
-  es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$
+  es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ ist.  Dann ist
-  ist.  Dann ist aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge
+  aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge $\{g=0\} ⊊ Y$
-  $\{g=0\} ⊊ Y$ enthalten.
+  enthalten.
 
   Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge
-  $Y' ⊊ Y$ enthalten.  Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion,
+  $Y' ⊊ Y$ enthalten.  Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, die auf $Y'$
-  die auf $Y'$ verschwindet.  Dann ist $0 = g◦ f = f^*(g)$, also ist $f^*$
+  verschwindet.  Dann ist $0 = g◦f = f^*(g)$, also ist $f^*$ nicht injektiv.
-  nicht injektiv.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}
+\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}%
   In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen.  Weiter es sei
-  $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen.  Falls die Abbildung
+  $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen.  Falls die Abbildung $f^*
-  $f^* : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv.
+  : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv.
 \end{prop}
 \begin{proof}
   Hausaufgabe!
 \end{proof}
 
-
 \begin{frage}
-  Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme ``$k$
+  Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme „$k$
-  algebraisch abgeschlossen'' verwendet.  Ist der Satz vielleicht auch ohne
+  algebraisch abgeschlossen“ verwendet.  Ist der Satz vielleicht auch ohne diese
-  diese Annahme richtig?
+  Annahme richtig?
 \end{frage}
 
 Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
@@ -341,8 +339,8 @@ gegeben ist,
     X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z,
   \end{tikzcd}
 \]
-dann ist $g^* ◦ f^* = (g◦ f)^*$.  Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen
+dann ist $g^*◦f^* = (g◦f)^*$.  Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen von
-von $k$-Algebren gegeben ist,
+$k$-Algebren gegeben ist,
 \[
   \begin{tikzcd}
     k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X],
@@ -371,8 +369,8 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep
 
 \begin{definition}[Nilpotente Elemente]
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$.  Man nennt $f$
-  \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, so
+  \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, sodass
-  dass $f^n = 0$ ist.
+  $f^n = 0$ ist.
 \end{definition}
 
 \begin{notation}[Reduzierte Ringe]
@@ -380,7 +378,7 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep
   werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet.
 \end{notation}
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}
+\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne
   nilpotente Elemente.  Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer
   Varietät.  Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die
@@ -402,33 +400,33 @@ reduzierten Ringen.
 
 \subsubsection{Diskussion}
 
-In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen ``extrinsischen''
+In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen „extrinsischen“ und
-und ``intrinsischen'' Eigenschaften.  Wenn ich zum Beispiel ``Flächen im Raum''
+„intrinsischen“ Eigenschaften.  Wenn ich zum Beispiel „Flächen im Raum“
 diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie
-die Fläche in den Raum eingebettet ist (``Enthält die Fläche Geraden?'').  Im
+die Fläche in den Raum eingebettet ist („Enthält die Fläche Geraden?“).  Im
 Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl
-einer speziellen Einbettung in den Raum ab (``Was ist die Krümmung?  Wie sieht
+einer speziellen Einbettung in den Raum ab („Was ist die Krümmung?  Wie sieht
-die Symmetriegruppe aus?'').
+die Symmetriegruppe aus?“).
 
-Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung ``Die
+Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung „Die
 Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume
-eingebettet''.  Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das
+eingebettet“.  Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das
 richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten
 beschreibt, der affine Koordinatenring ist.  Dieser Standpunkt wurde von
 insbesondere von Alexander
 Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander
-    Grothendieck} (* 28.  März 1928 in Berlin; † 13.  November 2014 in
+Grothendieck} (* 28.  März 1928 in Berlin; † 13.  November 2014 in Saint-Lizier
-  Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein
+in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein deutsch-stämmiger
-  deutsch-stämmiger französischer Mathematiker.  Er war Begründer einer eigenen
+französischer Mathematiker.  Er war Begründer einer eigenen Schule der
-  Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren
+algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich
-  maßgeblich beeinflusste.  1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der
+beeinflusste.  1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der Mathematik
-  Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen.  Beeinflusst durch politische
+anerkannte Fields-Medaille verliehen.  Beeinflusst durch politische Ideen des
-  Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus
+Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner
-  seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.  1991
+zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.  1991 verschwand er
-  verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in
+völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in den Pyrenäen war
-  den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als
+nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als eine sehr
-eine sehr einflussreich und weit führend herausgestellt.  Hier ließe sich noch
+einflussreich und weit führend herausgestellt.  Hier ließe sich noch sehr viel
-sehr viel sagen und es ließen sich
+sagen und es ließen sich
 \href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele
 Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige
 Zeitpunkt dafür …

08.tex

@@ -47,29 +47,29 @@ verwendet.
 Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es.  Sie wurden meines
 Wissens nach zuerst 1926 von Grete
 Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete
-    Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2.  März 1901 in
+Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2.~März 1901 in Bremen; †
-  Bremen; † 15.  April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin,
+15.~April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, Physikerin,
-  Physikerin, Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg
+Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg und anderen
-  und anderen Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor
+Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor allem der
-  allem der modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte,
+modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte,
 \cite{MR1512302}.  Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert,
 \cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren.
 In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich
-gut für die Implementierung auf Computern eignet.  Dazu ändere ich
+gut für die Implementierung auf Computern eignet.  Dazu ändere ich die
 Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab.
 
-\begin{frage}\label{frage:8-1-3}
+\begin{frage}\label{frage:8-1-3}%
-  In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom
+  In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom $f ∈
-  $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ einen ``kanonischen Repräsentanten'' der Restklasse
+  k[x_1, …, x_n]$ einen „kanonischen Repräsentanten“ der Restklasse
   \[
     [f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I}
   \]
   finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist?
 \end{frage}
 
-Falls ich Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das Ideal
+Falls ich die Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das
-Membership Problem lösen.  Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich einfach
+Ideal Membership Problem lösen.  Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich
-die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und
+einfach die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und
 vergleiche diese.  Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$,
 wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind.  So einfach ist das.
 
@@ -77,8 +77,8 @@ wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind.  So einfach ist das.
 \section{Monomiale Ideale}
 
 Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir
-Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von ``monomialen Idealen''.
+Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“.  Was
-Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
+das sein soll, erkläre ich jetzt.
 
 \begin{definition}[Monome, Terme]
   Es sei $k$ ein Körper.  Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein
@@ -103,17 +103,17 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
 
 \begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise]
   Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt
-  $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$.  Dabei soll
+  $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$.  Dabei soll $A
-  $A =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein.  Manchmal schreibe ich
+  =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein.  Manchmal schreibe ich
   vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$.
 \end{notation}
 
 \begin{beobachtung}
-  Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und
+  Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und $B =(β_1, …, β_m) ∈
-  $B =(β_1, …, β_m) ∈ ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und
+  ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$.  Dann gilt
-  $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$.  Dann gilt Folgendes.
+  Folgendes.
   \begin{enumerate}
-  \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$
+  \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$.
     
   \item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die
     Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt.
@@ -125,15 +125,15 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{definition}[Monimiales Ideal]
-  Es sei $k$ ein Körper.  Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt
+  Wieder sei $k$ ein Körper.  Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt
   \emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt,
   sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt.
 \end{definition}
 
 Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma
-die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
+die Aufgabe „finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten“ vollständig.
 
-\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6}
+\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome.  Dann gibt es zu
   jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
   Folgendes gilt.
@@ -141,8 +141,8 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
   \item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im
     Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich.
 
-  \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome
+  \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome $f_•$
-    $f_•$ geteilt.
+    geteilt.
   \end{enumerate}
 \end{lem}
 \begin{proof}
@@ -166,9 +166,9 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
   Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9}
+\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9}%
   Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben.  Überlegen Sie sich,
-  dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussage äquivalent
+  dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussagen äquivalent
   sind.
   \begin{enumerate}
   \item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$.
@@ -193,13 +193,13 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
 
 Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
 Idealen zu verallgemeinern.  Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$
-wählen wir einen Term aus (dieser wird später ``Leitterm'' genannt werden).
+wählen wir einen Term aus (dieser wird später „Leitterm“ genannt werden).
 Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu
 $f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden.  Ich werde
 dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige
 Beispiele diskutieren.
 
-\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2}
+\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei
   \[
     f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y].
@@ -212,11 +212,11 @@ Beispiele diskutieren.
   \[
     h = f - g_1·f_1
   \]
-  und erklärt seiner Familie stolz, er habe ``aus $f$ alle Terme eliminiert, die
+  und erklärt seiner Familie stolz, er habe „aus $f$ alle Terme eliminiert, die
-  Vielfache von $x²$ sind''.
+  Vielfache von $x²$ sind“.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3}
+\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei
   \[
     f_2 = y² + xy=y(y+x)
@@ -227,20 +227,20 @@ Beispiele diskutieren.
   eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind.
 \end{bsp}
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}
+\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}%
   Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der
   Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen
-  gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren.
+  gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren.  Mit
-  Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form
+  anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form
   \[
     f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h
   \]
   schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme
-  mit $y²$ enthält?  Die Antwort ist ``nein'', denn ansonsten wäre
+  mit $y²$ enthält?  Die Antwort ist „nein“, denn ansonsten wäre
   \[
     \bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}
   \]
-  ein vierelementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als
+  ein vier-elementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als
   $k$-Vektorraum.  Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$.  Also gibt es eine
   Surjektion
   \begin{equation}\label{eq:8-2-4-1}
@@ -257,15 +257,14 @@ Beispiele diskutieren.
 
 \subsection{Monomordnungen}
 
-
 Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme
 eliminieren konnte?  Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt.  Man sollte
 die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer
-``Monomordnung'' wählen.
+„Monomordnung“ wählen.
 
 \begin{defn}[Monomordnung]
   Es sei $k$ ein Körper.  Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf
-  $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung ``$≤$'' auf der Menge der Monome, sodass
+  $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung „$≤$“ auf der Menge der Monome, sodass
   für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden
   Eigenschaften gelten.
   \begin{enumerate}
@@ -285,8 +284,8 @@ die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer
 \begin{erinnerung}
   Eine
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung}
-  ist eine Relation ``$≤$'' auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
+  ist eine Relation „$≤$“ auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und
-  und total ist.
+  total ist.
 \end{erinnerung}
 
 \begin{defn}[Leitterm]
@@ -316,30 +315,30 @@ gewählt waren.
 
 \begin{bsp}[Lexikografische Ordnung]
   Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische
-    Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
+  Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}
-  $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$
+  > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ existiert, sodass $α_i
-  existiert, sodass $α_i > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$
+  > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ die Gleichheit $α_j =
-  die Gleichheit $α_j = β_j$ gilt.  Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem
+  β_j$ gilt.  Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem sich die Exponenten
-  sich die Exponenten $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet.  Rechnen Sie
+  $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet.  Rechnen Sie nach, dass dies
-  nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist!  Die quadratischen Polynome
+  tatsächlich eine Monomordnung ist!  Die quadratischen Polynome in $k[x_1, x_2,
-  in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt
+  x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt sortiert
-  sortiert
   \[
     x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3.
   \]
   Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher
   statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und
-  für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten.  In diesen ``Lexika''
+  für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten.  In diesen „Lexika“ waren
-  waren die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert.
+  die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung]
   Bei der \emph{graduiert-lexikografischen
-    Monomordnung}\index{graduiert.-lexikografische Monomordnung} auf dem
+  Monomordnung}\index{graduiert-lexikografische Monomordnung} auf dem
-  Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
+  Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯
-  $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
+  x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
   \begin{enumerate}
   \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
+
   \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich
     der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$.
   \end{enumerate}
@@ -347,17 +346,16 @@ gewählt waren.
   der Monome, dann die lexikografische Ordnung.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12}
+\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12}%
-  Bei der \emph{graduiert-rückwärtslexikografischen
+  Bei der \emph{graduiert-rückwärts\-lexiko\-grafischen
   Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem
-  Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
+  Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯
-  $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der
+  x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen gilt.
-  beiden folgenden Bedingungen gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
     
-  \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte
+  \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte nicht-verschwindende Eintrag
-    nicht-verschwindende Eintrag von
+    von
     \[
       (α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n
     \]
@@ -379,15 +377,14 @@ gewählt waren.
   Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger
   reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$
   unterschiedlichen Primzahlen sind.  Bei der
-  \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring
+  \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …,
-  $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau
+  x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn
-  dann, wenn
   \[
     \sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i
   \]
-  ist.  Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit
+  ist.  Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit $\sum w_i
-  $\sum w_i α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die
+  α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die Gleichung
-  Gleichung $α_i = β_i$ gilt.
+  $α_i = β_i$ gilt.
 \end{bsp}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -402,12 +399,12 @@ gewählt waren.
 
 Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
 Idealen verallgemeinern werden.  Damit war der folgende Satz gemeint.  Im
-Unterschied zur klassischen ``Polynomdivision mit Rest'' wird in diesem Satz
+Unterschied zur klassischen „Polynomdivision mit Rest“ wird in diesem Satz
 gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt!  Sie finden einen ähnlichen Beweis
 und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem
 Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
 
-\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6}
+\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$
   gewählt.  Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$
   und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
@@ -462,7 +459,7 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
 
 \begin{bemerkung}
   Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen
-  eindeutig.  Falls es Sie interessiert: Es gibt einen ``Starken Divisionssatz''
+  eindeutig.  Falls es Sie interessiert: Es gibt einen „Starken Divisionssatz“
   mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die
   folgende Forderung ersetzt ist.
   \begin{enumerate}
@@ -472,30 +469,26 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
   Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6}
+\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6}%
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element $h ∈
-  $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den
+  k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den Bedingungen
-  Bedingungen \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen,
+  \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, einen
-  einen \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}.
+  \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}.
 \end{defn}
 
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/ba8562a5ddff2655831b5d3bca006fbb06de626f/Divisionsreste.ipynb?viewer=share}{Hier}
-zeige ich Ihnen, wie man Divisionsreste bequem mit dem Programm ``Sage'' am
-Computer ausrechnet.
 
-
+\section{Gröbnerbasen}
-\section{Gröbner-Basen}
 
 \sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den
 Divisionssatz überhaupt betrachtet haben.  In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen
 wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$
 liegt.  Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die
-Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden --- wenn das funktioniert,
+Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden.  Wenn das funktioniert, dann
-dann brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$
+brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ zu
-zu vergleichen.  Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der
+vergleichen.  Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der
 Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen.  Funktioniert diese Idee?  Nein!
 
-\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2}
+\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2}%
   Divisionsreste sind nicht eindeutig.  Es kommt aber noch schlimmer: Wir
   betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$
   und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$.  Dann ist
@@ -510,14 +503,13 @@ Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen.  Funktioniert diese Idee?  Nein!
 \end{bsp}
 
 Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief?  Der Grund für das Versagen der
-Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal
+Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal $\bigl(
-$\bigl( \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen.  Das motiviert die folgende
+\ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen.  Das motiviert die folgende Definition.
-Definition.
 
-\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3}
+\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis
-    oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn
+  oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn für
-  für jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt,
+  jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt,
   \[
     \ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr).
   \]
@@ -549,19 +541,19 @@ Definition.
 
 Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno
 Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno
-    Buchberger} (* 22.  Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer
+Buchberger} (* 22.~Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer
 Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang
 Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang
-    Gröbner} (2.  Februar 1899 in Gossensaß – 20.  August 1980) war ein
+Gröbner} (2.~Februar 1899 in Gossensaß – 20.~August 1980) war ein
 österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der
 kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete.  Sein Name ist
 bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte.  Ähnliche
 Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von
 Heisuke
 Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke
-    Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9.  April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute:
+Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9.~April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: Iwakuni),
-  Iwakuni), Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und
+Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und Träger der
-  Träger der Fields-Medaille.} auf.
+Fields-Medaille.} auf.
 
 
 \subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen}
@@ -570,7 +562,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass Gröbnerbasen unsere Probleme lösen: Haben wir
 eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer
 einzigen Division beantwortet werden.
 
-\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6}
+\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis.  Gegeben ein
   Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$
   gleich $0$.
@@ -584,8 +576,8 @@ einzigen Division beantwortet werden.
   haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten.
   Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$.  Auf
   der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein
-  Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$.  Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$
+  Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$.  Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ eine
-  eine Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist.
+  Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8}
@@ -594,15 +586,18 @@ einzigen Division beantwortet werden.
   Division durch $f_1, …, f_m$.  Dann ist $h_1 = h_2$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9}
+\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9}%
-  In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien $f_{1,1}, …, f_{1,m_1}$ und
+  In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien
-  $f_{2,1}, …, f_{2, m_2}$ zwei Gröbnerbasen von $M$.  Gegeben ein Element
+  \[
+    f_{1,1}, …, f_{1,m_1} \quad \text{und} \quad f_{2,1}, …, f_{2, m_2}
+  \]
+  zwei Gröbnerbasen von $M$.  Gegeben ein Element
   $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige)
   Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$.  Dann ist
   $h_1 = h_2$.
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Nach Definition von ``Divisionsrest'' in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die
+  Nach Definition von „Divisionsrest“ in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die
   Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die
   \emph{nicht} in
   \[
@@ -610,7 +605,7 @@ einzigen Division beantwortet werden.
     f_{2,m_2} \bigr)
   \]
   enthalten sind.  Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in
-  $M$ liegt.  Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von ``Gröbnerbasis'' bedeutet das
+  $M$ liegt.  Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von „Gröbnerbasis“ bedeutet das
   aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist.  Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb
   $h_1 = h_2$.
 \end{proof}
@@ -621,13 +616,11 @@ Reihenfolge der Elemente in der Gröbnerbasis sind.
 
 \subsection{Existenz von Gröbnerbasen}
 
-Es fragt sich, ob Gröbnerbasen immer existieren.  Die Antwort ist natürlich
+Sie fragen sich vielleicht, ob Gröbnerbasen immer existieren.  Die Antwort ist
-``ja'', denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen.
+natürlich „ja“, denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen.
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/51e021b2ea6647e808203996d4a6d70f76d829d1/Gr\%C3\%B6bnerbasen.ipynb?viewer=share}{Hier
+Vielleicht hätten wir aber auch gern ein theoretisches Argument.
-  zeige ich an einem Beispiel}, wie man das macht.  Vielleicht hätten wir aber
-auch gern ein theoretisches Argument.
 
-\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7}
+\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$.
 \end{lem}
 \begin{proof}
@@ -637,9 +630,9 @@ auch gern ein theoretisches Argument.
     fertig.
     
   \item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein
-    Element $f_{m+1} ∈ I$ mit
+    Element $f_{m+1} ∈ I$ mit $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m
-    $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m \bigr)$.  Nehme $f_{m+1}$
+    \bigr)$.  Nehme $f_{m+1}$ als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn
-    als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn an.
+    an.
   \end{itemize}
   Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen
   des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$.  Weil der Polynomring aber Noethersch ist,
@@ -658,7 +651,7 @@ Verfahren, ein neues Element $f_{m+1}$ zu finden.  Das Buchberger-Kriterium lös
 diese Probleme für uns.  Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome
 sprechen.
 
-\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1}
+\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben.
   Schreibe
   \[
@@ -678,16 +671,15 @@ sprechen.
 
 Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
 
-\begin{lem}\label{lem:8-6-2}
+\begin{lem}\label{lem:8-6-2}%
-  In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome
+  In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{
-  $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0 \}$ gegeben.  Wir nehmen an, dass
+  0 \}$ gegeben.  Wir nehmen an, dass es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt,
-  es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, so dass die Leitterme der
+  sodass die Leitterme der $g_•$ alle von der Form
-  $g_{•}$ alle von der Form
   \[
-    \ini g_{•} = b_{•}·x^A
+    \ini g_• = b_•·x^A
   \]
-  sind, mit $b_{•} ∈ k$.  Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$
+  sind, mit $b_• ∈ k$.  Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ gegeben, sodass
-  gegeben, sodass bezüglich der Monomordnung die Ungleichung
+  bezüglich der Monomordnung die Ungleichung
   \begin{equation}\label{eq:8-6-2-1}
     \ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A
   \end{equation}
@@ -712,7 +704,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
   \begin{align*}
     \sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\
                          & = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\
-                         &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}}
+                         &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}.}
   \end{align*}
   Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade
   \[
@@ -723,7 +715,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
 \end{proof}
 
 
-\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1}
+\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1}%
   In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis
@@ -743,14 +735,14 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
   ---
 
   \begin{itemize}
-  \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}'' wurde in
+  \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}“ wurde in
     Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen.
     
-  \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}'' ist leicht,
+  \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}“ ist leicht, denn
-    denn es ist $S_{ij} ∈ M$, so dass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als
+    es ist $S_{ij} ∈ M$, sodass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als
     Linearkombination der $f_•$ gibt.
     
-  \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}'' ist der
+  \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}“ ist der
     wesentliche Punkt des Beweises.  Details gibt es im (sehr langen)
     \video{10-1}.  Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von
     \href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript
@@ -802,24 +794,24 @@ gewünschte liefert.
 
 \begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus]
   Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}.  Wenn es nämlich ein
-  Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$.
+  Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$.  Auf
-  Auf der anderen Seite wissen nach Definition von ``Divisionsrest'', dass der
+  der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der
   Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist.  Es gilt also
   \[
     (\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h).
   \]
   Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von
-  Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal
+  Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal $(\ini g \:: g ∈
-  $(\ini g \:: g ∈ G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird.  Wegen
+  G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird.  Wegen der
-  der Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich
+  Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich oft
-  oft passieren.
+  passieren.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus]
   Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge
   $S$ gleich leer ist.  Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen
   Divisionsrest hat, der gleich 0 ist.  Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies
-  gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbner-Basis ist.
+  gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbnerbasis ist.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -833,9 +825,9 @@ gewünschte liefert.
   schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der
   Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat.  Es scheint, dass
   die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet.
-  Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung.  Es gibt meines
+  Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung.  Soweit mir
-  Wissens kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, welche Anordnung
+  bekannt ist, gibt es kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte,
-  und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist.
+  welche Anordnung und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist.
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -850,7 +842,7 @@ Monomordnung.  Es sei
 \[
   f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x.
 \]
-Wir wollen eine Gröbner-Basis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu
+Wir wollen eine Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu
 diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an.
 
 \paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe
@@ -861,7 +853,7 @@ und berechne
 \[
   S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x².
 \]
-Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den
+Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den
 Divisionsrest,
 \[
   S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²).
@@ -881,7 +873,7 @@ und berechne
     S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x.
   \end{matrix}
 \]
-Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
+Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
 Divisionsreste,
 \[
   \begin{matrix}
@@ -909,10 +901,10 @@ und berechne
     S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\
     S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\
     S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\
-    S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x²
+    S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x².
   \end{matrix}
 \]
-Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
+Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
 Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
 \[
   \begin{matrix}
@@ -925,7 +917,7 @@ Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
     S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\
     S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
     S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
-    S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0
+    S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0.
   \end{matrix}
 \]
 Voilà!  Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine
@@ -936,12 +928,12 @@ Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$.
 \begin{bemerkung}
   Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer
   überlässt.  Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht
-  offensichtlich wird: der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen,
+  offensichtlich wird: Der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen,
   Näherungslösungen funktionieren nicht!  Das wird ein riesiges Problem bei
   Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner
   und Zähler immer größer und komplizierter.  Die Zahlen werden in der Praxis
-  oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht --- und zwar unabhängig
+  oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht, und zwar unabhängig
-  davon, auf welchem Rechner sie arbeiten!  Dieses Problem tritt bei Rechnungen
+  von der Größe des Hauptspeichers!  Dieses Problem tritt bei Rechnungen
   mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf.
 \end{bemerkung}
 

09.tex

@@ -32,13 +32,13 @@ algebraische Kurven als \emph{Äquivalenzklassen} von Polynomen zu definieren.
     Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
     ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.
   \end{quote}
-  Ich hoffe, Sie kommen damit klar.  Wenn nicht --- dumm gelaufen.
+  Ich hoffe, Sie kommen damit klar.  Wenn nicht: Dumm gelaufen.
 \end{notation}
 
-In der Vorlesung ``Analysis'' haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
+In der Vorlesung „Analysis“ haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
 mehreren Veränderlichen ausführlich diskutiert.  Gegeben eine Funktion $f(x,y)$
 auf dem $ℝ²$ und einen Punkt $p$ der Nullstellenmenge, so haben sie im Kapitel
-``Der Satz über die implizit definierten Funktionen'' gelernt, dass es einen
+„Der Satz über die implizit definierten Funktionen“ gelernt, dass es einen
 riesigen Unterschied macht, ob die partiellen Ableitungen
 \[
   \frac{∂f}{∂x}(p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f}{∂y}(p)
@@ -49,13 +49,13 @@ von $p$ eine Untermannigfaltigkeit und kann lokal durch die $x$- oder $y$-Werte
 parametrisiert werden.
 
 Überlegen Sie sich anhand der Einheitsparabel, dass der Satz über die implizit
-definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (… denn
+definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (denn
 sonst müsste die Wurzelfunktion algebraisch sein).  Die Unterscheidung nach
-``gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist''
+„gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist“
-und ``schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind''
+und „schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind“
 funktioniert aber ohne weiteres.
 
-\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}
+\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
   ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.  Man
   nennt $p$ einen \emph{einfachen Punkt}\index{einfacher Punkt} der Kurve $f$,
@@ -84,7 +84,7 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Ableitungen aus Definition~\ref{defn:ep} sind wie in der Vorlesung
-  ``Algebra'' die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
+  „Algebra“ die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
   Rechenregeln für das Ableiten von Polynomen definiert sind und nichts mit den
   Grenzwerten aus der Analysis zu tun haben.  Wir erinnern uns an die
   schlaflosen Nächte des letzten Semesters: falls $k$ ein Körper der positiven
@@ -96,8 +96,8 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 \begin{defn}[Tangentialraum einer Kurve an einfachem Punkt]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
-  ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher Punkt
+  ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher
-  der Kurve $f$.  Dann bezeichne die Gerade
+  Punkt der Kurve $f$.  Dann bezeichne die Gerade
   \[
     V \left( (y-b)·\frac{∂ f}{∂ y}(P) + (x-a)·\frac{∂ f}{∂ x}(P) \right)
   \]
@@ -110,11 +110,11 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 Einfache Punkte sind einfach … aber natürlich auch ein wenig langweilig.  Die
 erste Frage, die man bei nicht-einfachen Punkten stellen kann ist die, ob wir
-ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben.  Die ``Multiplizität''
+ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben.  Die „Multiplizität“ ist
-ist der erste Begriff in dieser Richtung.  Der Bequemlichkeit halber definieren
+der erste Begriff in dieser Richtung.  Der Bequemlichkeit halber definieren wir
-wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
+diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
 
-\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}
+\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
   ebene algebraische Kurve.  Dann schreibe $f$ als Summe von homogenen
   Polynomen,
@@ -139,7 +139,7 @@ wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}
+\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} sei $m > 0$.  Dann nenne die
   Kurve $f_m$ den \emph{Tangentialkegel der Kurve $f$ im
   Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
@@ -159,11 +159,11 @@ beschreiben:
 \end{figure}
 
 \begin{beobachtung}[Beschreibung des Tangentialkegels]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei
+  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei $(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0
-  $(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0 \}$.  Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das
+  \}$.  Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das Polynom $f_m$, und der
-  Polynom $f_m$, und der Quotient ist wieder homogen.  Nach endlich vielen
+  Quotient ist wieder homogen.  Nach endlich vielen Divisionen kann ich $f_m$,
-  Divisionen kann ich $f_m$, die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also
+  die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also auf eindeutige Weise in der
-  auf eindeutige Weise in der Form
+  Form
   \[
     f_m = p_1^{k_1} ⋯ p_l^{k_l}
   \]
@@ -182,8 +182,8 @@ beschreiben:
 
 \begin{bsp}
   Abbildung~\ref{fig:tc} zeigt die Knotenkurve.  Der Nullpunkt ist ein
-  gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel
+  gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel $x²-y² =
-  $x²-y² = (x+y)·(x-y)$.  Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
+  (x+y)·(x-y)$.  Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
   singulärer Punkt der Neil'sche Parabel aus Abbildung~\ref{fig:gsp}, denn der
   affine Tangentialkegel ist gegeben durch die Gleichung $y²$, die eine Gerade
   hat also Multiplizität zwei.
@@ -202,11 +202,11 @@ verschobene Kurve hat die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:9-2-6-1}
   g(x,y) := f(x-a, y-b).
 \end{equation}
-Dann definiere die ``Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$'' einfach
+Dann definiere die „Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$“ einfach als
-als die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja
+die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja schon.
-schon.  Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$
+Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$ ist.
-ist.  Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im
+Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im Nullpunkt
-Nullpunkt ist, dann verschieben wir zurück und definieren
+ist, dann verschieben wir zurück und definieren
 \[
   f_m(x,y) := g_m(x+a, y+b)
 \]
@@ -214,8 +214,8 @@ als den affinen Tangentialkegel der Kurve $f$ im Punkt $p$.
 
 \begin{frage}
   Habe ich bei den Verschiebungen wirklich die richtigen Vorzeichen gewählt?
-  Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich ``$x-a$'' stehen und nicht
+  Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich „$x-a$“ stehen und nicht
-  etwa ``$x+a$''?  Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
+  etwa „$x+a$“?  Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
 \end{frage}
 
 

10.tex

@@ -8,21 +8,21 @@
 \label{sec:11}
 
 Im letzten Kapitel haben wir einige Eigenschaften von Punkten auf ebenen
-algebraischen Kurven kennen gelernt.  Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein
+algebraischen Kurven kennengelernt.  Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein Punkt
-Punkt der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes Nahe.
+der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes nahe.
 
 \begin{itemize}
 \item Die Eigenschaft des Punktes, glatt oder singulär zu sein, hat vermutlich
   nichts mit der Frage zu tun, wie die Kurven (mit ihrem Punkt) in die Ebene
-  eingebettet ist.  Schlau gesprochen: die geometrische Anschauung legt nahe,
+  eingebettet ist.  Schlau gesprochen: Die geometrische Anschauung legt nahe,
   dass Glattheit und Singularität von Punkten intrinsische Eigenschaften der
   Kurve und ihres Punktes sind.
 
 \item Anschaulich ist klar, dass ich die Frage nach der Glattheit oder
   Singularität eines Punktes beantworten kann, wenn ich lediglich eine kleine
-  offene Umgebung des Punktes kenne (``mir egal, wie die Kurve in 10km
+  offene Umgebung des Punktes kenne („mir egal, wie die Kurve in 10~km
-  Entfernung aussieht'').  Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind
+  Entfernung aussieht“).  Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind
-  ``lokale'' Eigenschaften.
+  „lokale“ Eigenschaften.
 \end{itemize}
 
 
@@ -39,19 +39,19 @@ sollte also eine Eigenschaft des Ideals $m_p ⊂ A$ sein.
   
 Lokale Eigenschaften haben wir noch nicht diskutiert, das holen wir jetzt nach.
 Dazu ist es nützlich, sich an Abschnitt~\ref{sec:7-1} zu erinnern, wo der affine
-Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen (``stetige Funktionen, die
+Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen („stetige Funktionen, die
-durch Polynome repräsentierbar sind'') eingeführt wurde.  Wenn nun der affine
+durch Polynome repräsentierbar sind“) eingeführt wurde.  Wenn nun der affine
-Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen'') die gesamte
+Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen) die gesamte
 intrinsische Geometrie festlegt, dann könnte die lokale Geometrie in der Nähe
 des Punktes $p$ durch den Ring der algebraischen Funktionen gegeben sein, die
 nur in der Nähe von $p$ definiert sind.  Die Frage ist, was dies im Kontext der
 algebraischen Geometrie genau bedeuten soll.  Antwort: algebraische Funktion,
-die ``nur in der Nähe von $p$ definiert sind'', sind rationale Funktionen die
+die „nur in der Nähe von $p$ definiert sind“, sind rationale Funktionen die bei
-bei $p$ keine Polstelle haben.  Was ist eine rationale Funktion?  Antwort:
+$p$ keine Polstelle haben.  Was ist eine rationale Funktion?  Antwort: rationale
-rationale Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von
+Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von Elementen
-Elementen des affinen Koordinatenringes.  Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo
+des affinen Koordinatenringes.  Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo $a$ und $b$
-$a$ und $b$ Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$
+Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$ am Punkte
-am Punkte $p$ keine Nullstelle hat.
+$p$ keine Nullstelle hat.
 
 
 \section{Multiplikative Systeme}
@@ -69,7 +69,7 @@ Null verboten ist, müssen wir hier etwas vorsichtiger sein.
   wenn für alle $f$ und $g ∈ S$ die Inklusion $f·g ∈ S$ gilt.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2}
+\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2}%
   Es sei $R$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins.  Die folgenden Mengen
   sind multiplikative Systeme.
   \begin{itemize}
@@ -81,8 +81,8 @@ Null verboten ist, müssen wir hier etwas vorsichtiger sein.
   \item Es sei $m_p ⊂ R$ ein maximales Ideal.  Dann ist $m_p$ ein Primideal und
     $R∖ m_p$ ist ein multiplikatives System.
 
-  \item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element.  Dann ist die Menge
+  \item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element.  Dann ist die Menge $\{ 1, f, f²,
-    $\{ 1, f, f², … \}$ ein multiplikatives System.
+    … \}$ ein multiplikatives System.
   \end{itemize}
 \end{bsp}
 
@@ -93,15 +93,15 @@ Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft.  In späteren Anwendunge
 ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und
 $m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört.  Ich kann
 die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine
-Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist.
+Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist.  Bei
-Bei der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also ``rationale
+der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also „rationale Funktionen“
-Funktionen'' der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des
+der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des multiplikativen
-multiplikativen Systems $R ∖ m_p$ zulassen.  Die folgende Konstruktion sagt
+Systems $R∖m_p$ zulassen.  Die folgende Konstruktion sagt präzise, was
-präzise, was passiert.
+passiert.
 
 \begin{konstruktion}[Lokalisierung von Ringen]\label{kons:loc}
-  \index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
+  \index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und
-  und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System.  Dann betrachte die folgende
+  es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System.  Dann betrachte die folgende
   Relation auf $R ⨯ S$,
   \begin{equation}\label{eq:10-3-1-1}
     (a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
@@ -145,13 +145,13 @@ präzise, was passiert.
 
 Genau wie der Quotientenkörper ist die Lokalisierung eines Ringes eindeutig
 durch eine universelle Eigenschaft gegeben.  Weil wir die universellen
-Eigenschaften in der Vorlesung ``Algebra'' zu genüge diskutiert haben, spare ich
+Eigenschaften in der Vorlesung „Algebra“ zu genüge diskutiert haben, spare ich
 mir die Details und den Beweis und gebe die Eigenschaft einfach an.
 
-\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3}
+\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus $γ : R
-  $γ : R → T$ gegeben, so dass $γ(S) ⊂ T^*$ ist.  Dann existiert genau ein
+  → T$ gegeben, sodass $γ(S) ⊂ T^*$ ist.  Dann existiert genau ein Morphismus $ν
-  Morphismus $ν :S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  :S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}
       R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & {S^{-1}R} \ar[d, "ν"] \\
@@ -201,7 +201,7 @@ kann helfen.
 \begin{lem}
   In Konstruktion~\ref{kons:loc} sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
-  \item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$
+  \item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$.
     
   \item\label{il:10-3-6-2} Es ist $0 ∈ S$.
     
@@ -214,8 +214,8 @@ kann helfen.
   
   \begin{description}
   \item[\ref{il:10-3-6-1} $⇒$ \ref{il:10-3-6-2}] Sei $S^{-1}R = 0$.  Dann ist
-    $\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit
+    $\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit $s · 1 =
-    $s · 1 = 0$.  Also ist $0 ∈ S$.
+    0$.  Also ist $0 ∈ S$.
 
   \item[\ref{il:10-3-6-2} $⇒$ \ref{il:10-3-6-3}] Klar, denn 0 ist ein
     nilpotentes Element.
@@ -234,18 +234,18 @@ kann helfen.
 
 Unser nächstes Ziel ist es, Ideale im Ring $R$ und im lokalisierten Ring
 $S^{-1}R$ zu vergleichen.  Es lohnt sich aber, gleich ein wenig allgemeiner zu
-arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln.
+arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Sie erinnern sich doch
-  daran, was ein Modul ist?} Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein
+daran, was ein Modul ist?}.  Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein
-Vektorraum, aber nicht über einem Körper sondern über einem Ring.  Die
+Vektorraum, aber nicht über einem Körper, sondern über einem Ring.  Die
 Lokalisierung eines Moduls geht genauso wie die Lokalisierung eines Ringes: wir
 betrachten Brüche, wo oben Modulelemente stehen und unten Elemente des
 multiplikativen Systems.
 
-\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM}
+\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM}%
-  \index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
+  \index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und
-  und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System.  Weiter sei $A$ ein $R$-Modul
+  es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System.  Weiter sei $A$ ein $R$-Modul (zum
-  (zum Beispiel ein Ideal).  Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$,
+  Beispiel ein Ideal).  Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$,
   \begin{equation}\label{eq:10-3-1-1M}
     (a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
     ∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0
@@ -268,10 +268,10 @@ multiplikativen Systems.
   Modulstruktur auf $S^{-1}A$ liefert.
 \end{konstruktion}
 
-\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2}
+\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2}%
-  Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potential für Verwirrung.
+  Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potenzial für Verwirrung.
-  Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul.  Wenn ich jetzt
+  Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul.  Wenn ich jetzt $S^{-1}
-  $S^{-1} R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus
+  R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus
   Konstruktion~\ref{kons:loc} oder die Lokalisierung des $R$-Moduls aus
   Konstruktion~\ref{kons:locM}?  Gute Nachricht: es macht keinen Unterschied.
   Rechnen Sie nach, dass die beiden Konstruktion in diesem Fall schlicht
@@ -293,16 +293,16 @@ ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen.
   \[
     S^{-1}α : S^{-1} A → S^{-1} B, \quad \frac{a}{s} ↦ \frac{α(a)}{s}.
   \]
-  Rechnen Sie nach, dass diese ``Definition auf Repräsentantenniveau''
+  Rechnen Sie nach, dass diese „Definition auf Repräsentantenniveau“ tatsächlich
-  tatsächlich wohldefiniert ist.  Gegeben einen weiteren Modulmorphismus
+  wohldefiniert ist.  Gegeben einen weiteren Modulmorphismus $β : B → C$, so
-  $β : B → C$, so rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung
+  rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung
   \[
     S^{-1}(β◦α) = \left(S^{-1}β\right) ◦ \left(S^{-1} α\right)
   \]
-  gilt.  Der Mathematiker fasst die Aussage ``Morphismen von Moduln induzieren
+  gilt.  Der Mathematiker fasst die Aussage „Morphismen von Moduln induzieren in
-  in kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und
+  kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und Weise,
-  Weise, die mit der Komposition verträglich ist'' kurz zusammen und sagt:
+  die mit der Komposition verträglich ist“ kurz zusammen und sagt:
-  ``Lokalisierung ist funktoriell''.
+  „Lokalisierung ist funktoriell“.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal]
@@ -318,7 +318,7 @@ ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen.
 
 \subsubsection{Exakte Sequenzen -- Teile und Herrsche}
 
-In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' haben Sie exakte Sequenzen kennen gelernt,
+In der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt,
 aber vielleicht nicht gemocht.  Jetzt ist es an der Zeit, die exakt Sequenz
 lieben zu lernen.  Ich wiederhole kurz, worum es geht: Gegeben einen Ring $R$,
 dann nenne eine (endliche oder unendliche) Folge von Modulmorphismen
@@ -330,16 +330,16 @@ exakt, wenn für jeden Index $i$ die Gleichung $\img α_i = \ker α_{i+1}$ gilt.
 
 \begin{beobachtung}
   Es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.  Dann kann man Injektivität
-  und Surjektivität von $α$ mit Hilfe von exakten Sequenzen ausdrücken.
+  und Surjektivität von $α$ mithilfe von exakten Sequenzen ausdrücken.
   \begin{itemize}
   \item Der Morphismus $α$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker α = \{0\}$ ist.
     Dies ist genau dann der Fall, wenn die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$
     exakt ist.  Dabei ist der erste Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
     sonst.
     
-  \item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz
+  \item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz $A
-    $A \xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist.  Dabei ist der letzte Pfeil
+    \xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist.  Dabei ist der letzte Pfeil logischerweise
-    logischerweise die Nullabbildung, was sonst.
+    die Nullabbildung, was sonst.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
@@ -351,9 +351,9 @@ exakte Sequenzen der folgenden Form,
 Dabei ist der erste und der letzte Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
 sonst.
 
-\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6}
+\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6}%
-  Die Aussage ``Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt'' besagt genau die
+  Die Aussage „Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt.“ besagt genau die folgenden
-  folgenden drei Dinge.
+  drei Dinge.
   \begin{itemize}
   \item Der Morphismus $α$ ist injektiv.
     
@@ -366,7 +366,7 @@ sonst.
   \item Der Modul $A$ ist isomorph zu $\ker β$.
     
   \item Der Modul $C$ ist isomorph zu $\coker α$.  Wenn ich $A$ mithilfe der
-    injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse dann ist $C$ also
+    injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse, dann ist $C$
     isomorph zum Quotientenmodul $B/A$.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
@@ -375,8 +375,8 @@ Wenn Sie normal sind, haben Sie sich sicher schon länger gefragt, warum ältere
 Professoren auf exakte Sequenzen abfahren.  Der Grund: viele Moduln sind echt
 schwer zu verstehen.  Wenn mir das Leben einen Modul $B$ gibt, dann suche ich
 eine exakte Sequenz wie in \eqref{eq:kes}, in der Hoffnung, dass die Moduln $A$
-und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind.  Das Zerlegt mein
+und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind.  Das zerlegt mein
-Problem ``verstehe den Modul $B$'' in drei Teilaufgaben.
+Problem „verstehe den Modul $B$“ in drei Teilaufgaben.
 \begin{itemize}
 \item Verstehe den kleineren Modul $A$.
 
@@ -392,8 +392,8 @@ vermutlich noch kein Beispiel gesehen, wo man mit dieser Strategie wirklich
 etwas bewiesen hätte.  Dafür gibt es einen guten Grund: Sie haben sich bislang
 vermutlich weniger für Moduln, sondern meistens nur für Vektorräume
 interessiert.  Wenn aber \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von
-Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage ``Wie setzt sich der Modul
+Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage „Wie setzt sich der Modul
-$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant.
+$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?“ ist irrelevant.
 
 \begin{warnung}
   Wenn \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von Moduln ist, dann ist es im
@@ -408,10 +408,10 @@ $B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant.
 \sideremark{Vorlesung 12}Ich verspreche Ihnen, dass wir später in dieser
 Vorlesung interessante exakte Sequenzen sehen werden.  Im Moment geht es aber um
 die Lokalisierung von Moduln.  Der wesentliche Punkt: Lokalisierung bildet
-exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab.  Der Mathematiker sagt ``Lokalisierung
+exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab.  Der Mathematiker sagt „Lokalisierung
-ist ein exakter Funktor''.
+ist ein exakter Funktor“.
 
-\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7}
+\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7}%
   Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
   \[
     A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C
@@ -427,15 +427,15 @@ ist ein exakter Funktor''.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
-  Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge
+  Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge drei.
-  drei.  Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage
+  Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage
   ziemlich schnell auch für exakte Sequenzen beliebiger Länge --- unendlich
   lange Sequenzen sind ebenfalls erlaubt.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7}
+\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7}%
-  Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
+  Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei $α :
-  $α : A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.
+  A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.
   \begin{itemize}
   \item Wenn $α$ injektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ injektiv.
 
@@ -459,7 +459,7 @@ $S^{-1}B$ aufzufassen.  Damit ist das folgende Korollar sinnvoll.
 
 \begin{kor}
   Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei $M$
-  ein $R$-Modul mit Untermoduln $N$ und $P ⊂ M$.  Dann gilt folgendes.
+  ein $R$-Modul mit Untermodul $N$ und $P ⊂ M$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Es ist $S^{-1}(N+P) = (S^{-1}N) + (S^{-1}P)$.
     
@@ -492,7 +492,7 @@ Gegeben sei ein Ring $R$ und es sei $A$ ein $R$-Modul.  Wenn $A$ der Nullmodul
 ist, dann ist natürlich auch jede Lokalisierung nach jedem Primideal der
 Nullmodul.  Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
 
-\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10}
+\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10}%
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $M$ ein $R$-Modul.  Dann sind die folgenden
   Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -500,25 +500,24 @@ Nullmodul.  Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
     
   \item\label{il:10-4-10-2} Für jedes Primideal $p ⊂ R$ ist $M_p = 0$.
     
-  \item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist
+  \item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist $M_m = 0$.
-    $M_m = 0$.
   \end{enumerate}
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu
+  Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu zeigen.
-  zeigen.  Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$
+  Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$ ist, dass aber
-  ist, dass aber alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind.  Wähle dann
+  alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind.  Wähle dann ein Element $x ∈
-  ein Element $x ∈ M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge
+  M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge
   \[
     \operatorname{Ass}(x) = \{ r ∈ R \::\: r·x = 0 \} ⊂ R.
   \]
-  Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das ``zu $x$ assoziierte Ideal''
+  Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das „zu $x$ assoziierte Ideal“
   bezeichnet wird.  Blutrünstige Kollegen sprechen gern vom
   \href{https://www.youtube.com/watch?v=qTUL-mpov78}{Assassinator-Ideal}, weil
-  $\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$
+  $\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$ „killen“.
-  ``killen''.  Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort
+  Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort $1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$.  Also
-  $1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$.  Also können wir ein maximales Ideal wählen
+  können wir ein maximales Ideal wählen $m$, das $\operatorname{Ass}(x)$
-  $m$, das $\operatorname{Ass}(x)$ enthält,
+  enthält,
   \[
     \operatorname{Ass}(x) ⊂ m ⊊ R.
   \]
@@ -526,10 +525,10 @@ Nullmodul.  Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
   \[
     \frac{0}{1} = \frac{x}{1} ∈ M_m.
   \]
-  Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R ∖ m$ existiert,
+  Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R∖m$ existiert, sodass
-  sodass $s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist.  Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und
+  $s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist.  Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und also ist
-  also ist $s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von
+  $s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von $s ∈ R∖m ⊂
-  $s ∈ R ∖ m ⊂ R ∖ \operatorname{Ass}(x)$.
+  R∖\operatorname{Ass}(x)$.
 \end{proof}
 
 In der Fachsprache sagt man, die Eigenschaft eines Moduls, der Nullmodul zu
@@ -542,33 +541,32 @@ sein, ist eine lokale Eigenschaft.
   \begin{itemize}
   \item Der Modul $M$ hat Eigenschaft $E$.
     
-  \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der Modul $M_p$ hat Eigenschaft
+  \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Der Modul $M_p$ hat Eigenschaft $E$.
-    $E$.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
 Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen.
 
-\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3}
+\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3}%
-  Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von
+  Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.  Dann
-  $R$-Moduln.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:10-5-3-1} Die Abbildung $α$ ist injektiv.
     
-  \item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: die Abbildung
+  \item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Die Abbildung $α_p$
-    $α_p$ ist injektiv.
+    ist injektiv.
     
-  \item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: die
+  \item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: Die Abbildung
-    Abbildung $α_m$ ist injektiv.
+    $α_m$ ist injektiv.
   \end{enumerate}
   Analoge Äquivalenzen gelten auch für Surjektivität.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3}
+  Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3} $⇒$
-  $⇒$ \ref{il:10-5-3-1} zu zeigen.  Wir nehmen also an, dass für jedes
+  \ref{il:10-5-3-1} zu zeigen.  Wir nehmen also an, dass für jedes maximale
-  maximale Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist.
+  Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist.
 
-  Als nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln,
+  Als Nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln,
   \begin{equation}\label{eq:10-5-3-4}
     0 → \ker(α) → A \xrightarrow{α} B.
   \end{equation}
@@ -587,7 +585,7 @@ Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen.
 \end{proof}
 
 Korollar~\ref{kor:10-5-3} sagt, das Injektivität und Surjektivität lokale
-Eigenschaften von $R$-Modulmorphismen sind.
+Eigenschaften von $R$-Modul\-mor\-phismen sind.
 
 \begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Modulmorphismen]
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Modulmorphismen.
@@ -597,7 +595,7 @@ Eigenschaften von $R$-Modulmorphismen sind.
   \begin{itemize}
   \item Der $R$-Modulmorphismus $α$ hat Eigenschaft $E$.
     
-  \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat
+  \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat
     Eigenschaft $E$.
   \end{itemize}
 \end{defn}
@@ -615,7 +613,7 @@ zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung.
   prim ist, dann ist auch $γ^{-1}(I)$ ein Primideal.  \qed
 \end{lem}
 
-\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2}
+\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2}%
   Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $J ⊂ R$ ein Ideal.  Dann ist
   im Allgemeinen weder die Bildmenge $γ(J)$ noch die Menge
   \[
@@ -626,9 +624,9 @@ zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung.
 
 Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
 
-\begin{lem}\label{lem:10-6-3}
+\begin{lem}\label{lem:10-6-3}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
-  Ringen'') sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Dann ist
+  sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Dann ist
   \begin{equation}\label{eq:10-6-3-1}
     φ(I)·S^{-1}R = \left\{ \frac{a}{b} ∈ S^{-1}R \::\: a ∈ I, b ∈ S
     \right\}.
@@ -637,7 +635,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   in $S^{-1}R$.
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Die Inklusion ``$⊃$'' ist klar.  Um die Inklusion ``$⊂$'' zu zeigen, sei ein
+  Die Inklusion „$⊃$“ ist klar.  Um die Inklusion „$⊂$“ zu zeigen, sei ein
   Element
   \[
     \frac{α}{β} ∈ φ(I)·S^{-1}R
@@ -651,7 +649,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
-  Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potential für Verwirrung, denn
+  Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potenzial für Verwirrung, denn
   das Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich auch ein $R$-Modul und die rechte Seite von
   Gleichung~\eqref{eq:10-6-3-1} erinnert an $S^{-1}I$, die Lokalisierung von $I$
   als $R$-Modul.  Das ist natürlich kein Zufall, und ich möchte die Details noch
@@ -663,7 +661,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   \]
   die nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} wieder injektiv ist.  Erinnern Sie sich
   dazu an Bemerkung~\ref{bem:10-4-2}: Es macht keinen Unterschied, ob wir $R$
-  als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren.  Rechnen Sie als nächstes nach, dass
+  als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren.  Rechnen Sie als Nächstes nach, dass
   das Bild der injektiven Abbildung $S^{-1}ι$ genau die Menge $φ(I)·S^{-1}R$
   ist.  Die Abbildung $S^{-1}ι$ identifiziert daher die Mengen $S^{-1}I$ und
   $φ(I)·S^{-1}R$.
@@ -674,9 +672,9 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   $φ(I)·S^{-1} R ⊂ S^{-1} R$ von nun an häufig mit $S^{-1}I$ notieren.
 \end{notation}
 
-\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6}
+\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
-  Ringen'') gilt folgendes.
+  gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:10-6-6-1} Alle Ideale in $S^{-1}R$ sind von der Form $S^{-1}I$
     für ein Ideal $I ⊂ R$.  Genauer: für jedes Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ gilt die
@@ -701,9 +699,9 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   \video{12-2}
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8}
+\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
-  Ringen'') liefert die Abbildung
+  liefert die Abbildung
   \[
     η: \left\{\text{ Ideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{\text{ Ideale in $R$ }
     \right\}, \quad J ↦ φ^{-1}(J)
@@ -719,22 +717,22 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   $φ^{-1}(J)$ zu $S$ disjunkt ist.  Das geht mit einem Widerspruchsbeweis.
   Angenommen, es gäbe ein $s ∈ φ^{-1}(J)∩ S$.  Per Definition der Abbildung $φ$
   ist dann $\frac{s}{1} ∈ J$, also $\frac{1}{1} = \frac{s}{1}·\frac{1}{s} ∈ J$
-  und es folgt $J = S^{-1}R$ Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$ prim
+  und es folgt $J = S^{-1}R$.  Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$
-  ist.
+  prim ist.
 
   Die Abbildung $η$ ist offensichtlich injektiv.  Also ist nur noch zu zeigen,
   dass jedes Primideal $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ bereits Urbild eines Primideals
   in $J ⊂ S^{-1}R$ ist.  Sei also ein solches Ideal $I$ gegeben.  Um $J$ zu
-  finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element
+  finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element $r ∈
-  $r ∈ R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$
+  R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$
   logischerweise nicht in $I$.  Auf der anderen Seite ist $I$ per Annahme ein
   Primideal, sodass $r ∈ I$ sein muss.  Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} liefert uns
   also ein Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ mit $I = φ^{-1}(J)$.  Nach \ref{il:10-6-6-1}
   wissen wir sogar ganz genau, was $J$ ist, nämlich $S^{-1}I$.
 
   Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass das gefundene Ideal $J$ tatsächlich ein
-  Primideal ist.  Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und
+  Primideal ist.  Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d} ∈
-  $\frac{c}{d} ∈ S^{-1}R$ gegeben, sodass
+  S^{-1}R$ gegeben, sodass
   \[
     \frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} ∈ J = S^{-1}I
   \]
@@ -742,19 +740,19 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   \[
     ∃ α ∈ I: ∃ β ∈ S: \frac{α}{β} = \frac{ac}{bd}.
   \]
-  Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: es existiert ein Element
+  Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: Es existiert ein Element $u ∈
-  $u ∈ S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$.  Es folgt also
+  S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$.  Es folgt also
   \[
     ac\underbrace{β u}_{∈ S} = α·bdu ∈ I \text{ da } α ∈ I.
   \]
-  Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$.  Also ist
+  Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$.  Also ist $a
-  $a ∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder
+  ∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder $\frac{c}{d} ∈
-  $\frac{c}{d} ∈ I$.  Was zu zeigen war.
+  I$.  Was zu zeigen war.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
-  Ringen'') sei $R$ Noethersch.  Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch.
+  sei $R$ Noethersch.  Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Es sei $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ eine aufsteigende Kette von Idealen in $S^{-1}R$.
@@ -765,22 +763,22 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
   Aussage~\ref{il:10-6-6-1} von Satz~\ref{satz:10-6-6} ist dann aber
   \[
     \underbrace{S^{-1} φ^{-1}(I_n)}_{= I_n} = \underbrace{S^{-1}
-      φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯
+      φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯.
   \]
   Also wird bereits die aufsteigende Kette $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ stationär.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9}
+\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
-  Ringen'') sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein
+  sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein Primideal
-  Primideal $p ⊂ R$.  Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal,
+  $p ⊂ R$.  Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal, nämlich
-  nämlich $p·R_p = S^{-1}p$.
+  $p·R_p = S^{-1}p$.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal,
-  welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R ∖ S = R ∖ (R ∖ p) = p$ enthalten
+  welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R∖S = R∖(R∖p) = p$ enthalten ist.
-  ist.  Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$.
+  Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$.  Mit
-  Mit anderen Worten: $m = p · R_p$.
+  anderen Worten: $m = p · R_p$.
 \end{proof}
 
 
@@ -817,10 +815,9 @@ bekommen.
   ---
 
   \begin{description}
-  \item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und
+  \item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und $f
-    $f ∈ R$ sei keine Einheit.  Dann ist $(f) ≠ R$.  Also ist $(f)$ in einem
+    ∈ R$ sei keine Einheit.  Dann ist $(f) ≠ R$.  Also ist $(f)$ in einem (dem
-    (dem einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$.  Also ist
+    einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$.  Also ist $f ∈ m$.
-    $f ∈ m$.
 
   \item[\ref{il:10-7-2-2} $⇒$ \ref{il:10-7-2-1}] Sei $I ⊊ R$ ein beliebiges
     Ideal.  Dann gilt für jedes Element $x ∈ I$, dass $x \not ∈ R^*$ (denn sonst
@@ -829,11 +826,11 @@ bekommen.
   \end{description}
 \end{proof}
 
-Wir enden mit dem brühmten ``Lemma von Nakayama''.  Dies ist ein Kriterium, mit
+Wir enden mit dem berühmten „Lemma von Nakayama“.  Dies ist ein Kriterium, mit
 dem man später in geometrisch relevanten Situationen zeigen kann, dass ein
 gegebener Modul über einem lokalen Ring verschwindet.  Über das Lemma von
-Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich kurz
+Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich
-fassen denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie.
+kurzfassen, denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie.
 
 \begin{lem}[Lemma von Nakayama]
   Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $m$.  Weiter sei $M$ ein endlich

11.tex

@@ -8,28 +8,27 @@ Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
 Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen.  Wir betrachten in diesem Kapitel die
 folgende Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:11-1}
+\begin{situation}\label{sit:11-1}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
   ebene algebraische Kurve.  Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
 \end{situation}
 
 \begin{notation}
   In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
-  Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal
+  Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal $m ⊊
-  $m ⊊ R$.  Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die
+  R$.  Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die Lokalisierung
-  Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren.  Das (nach
+  $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren.  Das (nach Korollar~\ref{kor:10-6-9}
-  Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen
+  eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen wir mit $m_p$.
-  wir mit $m_p$.
 \end{notation}
 
 
 \section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
 
 Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
-``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her.  Der Satz sagt insbesondere,
+„Multiplizität“ und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her.  Der Satz sagt insbesondere,
 dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
 
-\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}
+\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}%
   In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle
   natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
   \begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
@@ -42,25 +41,25 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
   erklärungsbedürftig.  Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
   beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
   \[
-    m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯
+    m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯.
   \]
-  In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und
+  In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und $m^{n+1}_p
-  $m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal.  Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$
+  ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal.  Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ natürlich
-  natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln.  Der Quotient
+  Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln.  Der Quotient $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$
-  $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen
+  ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen und ist deshalb selbst ein
-  und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul.  Die Elemente von $k$ können wir
+  $𝒪_p(f)$-Modul.  Die Elemente von $k$ können wir natürlich als Elemente des
-  natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante
+  affinen Koordinatenringes sehen („konstante Polynome“) und daher auch als
-  Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes
+  Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Polynom $λ$, betrachte einfach
-  Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$.  Auf diese Weise
+  den Bruch $\frac{λ}{1}$.  Auf diese Weise fassen wir den Körper $k$ in
-  fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.
+  trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.  Dann ist aber jeder
-  Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es
+  $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es sinnvoll, die
-  sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
+  Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
 \end{erkl}
 
 \begin{bemerkung}
   Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
-  angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine
+  angedeutet hatten: Die Multiplizität von Punkten auf einer Kurve ist eine
-  Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen
+  Eigenschaft, die nur vom affinen Koordinatenring (und dessen maximalen
   Idealen) abhängt.  Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
   Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
   eingebettet ist!
@@ -69,7 +68,7 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
 Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze.  Das folgende vorbereitende Lemma
 wird dabei helfen.
 
-\begin{lem}\label{lem:11-1-4}
+\begin{lem}\label{lem:11-1-4}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
   Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist.  Betrachte den Quotientenring und das
   maximale Ideal des $0$-Punktes,
@@ -94,12 +93,12 @@ wird dabei helfen.
   Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
   Körper ist.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
-  \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal
+  \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal $m
-    $m ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
+    ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
     
-  \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes
+  \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes $z ∈ R
-    $z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$
+    ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ besitzt, wobei
-    besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
+    $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
   \end{enumerate}
   Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
   Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}.  Elemente $t ∈ R$ wie in
@@ -110,22 +109,23 @@ wird dabei helfen.
   \video{13-3}
 \end{proof}
 
-Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen
+Der Begriff des „uniformisierenden Parameters“ ist vielleicht einigermaßen
-selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht.
+selbsterklärend, der Begriff des „Bewertungsringes“ aber wahrscheinlich nicht.
-Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
+Es gibt in der Algebra den Begriff der „diskreten Bewertung eines Körpers“.
 
 \begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
   Es sei $k$ ein Körper.  Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
-    Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle
+    Bewertung} ist eine surjektive Abbildung $ν: K → ℤ ∪ \{∞\}$, dass für alle $x,y ∈ k$ folgendes gilt.
-  $x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt.
   \begin{itemize}
+  \item Es ist $ν(x) = ∞$ genau dann, wenn $x = 0$.
   \item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
     
   \item Es ist $ν(x + y) ≥ \min \bigl\{ ν(x), ν(y) \bigr\}$.
   \end{itemize}
+Dabei gelten die üblichen Rechenregeln $∞ + ∞ = ∞$ und $∞ + n = ∞$ sowie $∞ ≥ n$ für alle $n ∈ ℤ$.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}
+\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}%
   Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
   und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$.  Dann definiere eine diskrete Bewertung des
   Körpers $ℂ(x)$ wie folgt.  Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$,
@@ -142,15 +142,15 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
 
 \begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$]
   Es sei $p$ eine Primzahl.  Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
-  $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist.  Die
+  $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist.  Mit
-  $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der
+  anderen Worten: die $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl
-  Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.  Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den
+  $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.  Die Bewertung $ν$ lässt sich
-  Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element
+  auf den Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element $q =
-  $q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$.  Man rechne nach,
+  \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$.  Man rechne nach, dass
-  dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
+  dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}
+\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}%
   Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
   dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
   \[
@@ -173,9 +173,8 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
   für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
 \end{aufgabe}
 
-\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}
+\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}%
-  In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen
+  In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
-  äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
     
@@ -189,10 +188,10 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
 
 \begin{bemerkung}
   Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
-  etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad
+  etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ eine Gerade\footnote{= Polynom von Grad 1}, die
-    1}, die den Punkt $p$ enthält.  Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine}
+  den Punkt $p$ enthält.  Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} Tangentialgerade an
-  Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring
+  $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring $𝒪_p(f)$ ein
-  $𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter.
+  uniformisierender Parameter.
 \end{bemerkung}
 
 Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.

12.tex

@@ -29,21 +29,22 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die \emph{Krullsche
   Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
   Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
-      Krull} (* 26.  August 1899 in Baden-Baden; † 12.  April 1971 in Bonn) war
+  Krull} (* 26.  August 1899 in Baden-Baden; † 12.  April 1971 in Bonn) war ein
-    ein deutscher Mathematiker.  Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.
+  deutscher Mathematiker.  Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.  Krull
-    Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in
+  studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
-    Rostock und Göttingen.  Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem
+  Göttingen.  Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
-    Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von
+  ist das Supremum aller Längen von Ketten von Primidealen,
-  Primidealen,
   \[
     P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
   \]
+  Die Länge einer Primidealkette ist dabei die Anzahl der echten Inklusionen,
+  die in ihr vorkommen.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
-  eine Untervarietät.  Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes
+  Untervarietät.  Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
-  $k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
+  wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -54,11 +55,11 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
 
 \begin{bsp}[Der Punkt]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
-  des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$.  Dieser also nur das echte Ideal
+  des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$.  Dieser hat also nur das echte Ideal
   $(0)$ und somit die Dimension 0.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}
+\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
   des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
   Hauptidealring.  Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
@@ -73,20 +74,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
   Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring.  Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}
+\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
   des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$.  Die Kette
   \[
     (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
-    (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n].
+    (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
   \]
-  ist eine Kette von Primidealen, also ist
+  ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
-  $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$.
+  n$.
 \end{bsp}
 
 Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
 unbefriedigend.  Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
-nicht nicht völlig trivial zu zeigen.  Bis wir soweit sind, ist noch etwas
+ist nicht völlig trivial zu zeigen.  Bis wir so weit sind, ist noch etwas
 Vorarbeit zu leisten.
 
 
@@ -97,9 +98,9 @@ geometrische Anschauung erklärt.  Ich selbst kann mir ohne geometrische
 Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
 geometrisches Beispiel.
 
-\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}
+\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
-  Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve
+  Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
-  $C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist.  Natürlich sollte die Dimension der
+  = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist.  Natürlich sollte die Dimension der
   Knotenkurve gleich eins sein.  Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
   Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
   Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
@@ -118,15 +119,14 @@ geometrisches Beispiel.
 In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
 ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
 
-\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}
+\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Dann ist
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Dann ist $\dim A
-  $\dim A = \dim B$.
+  = \dim B$.
 \end{satz}
 
-
+Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
-Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen
+und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
-$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und
+zueinander verhalten.
-die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
 
 \begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
@@ -135,47 +135,45 @@ die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
 \end{notation}
 
 Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
-``übereinander liegen'' kommt.
+„übereinander liegen“ kommt.
 
 \begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
   In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
-  zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$.  Dann ist das Ideal
+  zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$.  Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
-  $p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.
+  ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.  Dies ist das maximale Ideal
-  Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$.
+  des Punktes $π(v)$.
 \end{bsp}
 
 Der erste Satz von
 Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
-  (* 1917; † 14.  Februar 1955) war ein US-amerikanischer
+(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
 Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
-    Seidenberg} (* 2.  Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.  Mai 1988 in Mailand)
+Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
-  war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung
+ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
-$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von
+B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
-Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen
+⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
-$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den
+über den $p_•$ liegen.  Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
-$p_{•}$ liegen.  Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann
+dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
-sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
 
 
-\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''}
+\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
 
-Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.
+Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.
 Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ
 unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
 
-\begin{satz}\label{satz:12-2-5}
+\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
-  \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei
+  \item\label{il:12-2-4-1} Es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideale, wobei $q$ über
-    $q$ über $p$ liegt.  Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische
+    $p$ liegt.  Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
-    Einbettung
     \[
       \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
     \]
     Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
     
-  \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist
+  \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
-    $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
+    ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -183,16 +181,16 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Schlechte Notation]
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
-  Primideal und es sei $S := A ∖ p$.  In der Literatur wird die
+  sei $S := A∖p$.  In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
-  Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$
+  S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
-  notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
+  Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
 \end{notation}
 
 \begin{beobachtung}
-  Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter
+  Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
-  seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$
+  Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt.  Dann gelten
-  liegt.  Dann gelten folgende Äquivalenzen.
+  folgende Äquivalenzen.
   \begin{align*}
     \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
                                       & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
@@ -200,22 +198,21 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
   \end{align*}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}
+\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
-  $p ⊂ A$ ein Primideal.  Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$
+  A$ ein Primideal.  Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
-  über $A$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{14-2}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
+\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]\label{satz:12-2-9}
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
-  $p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale
+  A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$.  Dann ist $q_1
-  über $p$.  Dann ist $q_1 = q_2$.
+  = q_2$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes,
+Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$.  Dann gilt Folgendes,
 \begin{itemize}
 \item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
   
@@ -229,7 +226,7 @@ Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal.  Deshalb s
 die Ideale gleich.  Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}
+\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
   $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
   $p_1$.  Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
@@ -241,7 +238,7 @@ die Ideale gleich.  Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
 
 \subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
 
-Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt
+Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
 sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
 ganzen Ringerweiterungen beweisen.
 
@@ -249,39 +246,38 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
   \video{14-4}
 \end{proof}
 
-\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}
+\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
   Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
   dicht in $Y$ liegt.  In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
-  die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen,
+  die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
-  $f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist.  Wir können $k[Y]$ also als
+  dann injektiv ist.  Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
-  Unterring von $k[X]$ auffassen.  Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass
+  Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist?  Wir
-  diese Ringerweiterung ganz ist?  Wir können diese Frage nicht vollständig
+  können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
-  beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein
+  ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
-  maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8}
+  Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Insbesondere gibt
-  ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Inbesonders gibt es ein maximales
+  es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Überlegen Sie sich, was das
-  Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Überlegen Sie sich, was das geometrisch
+  geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
-  bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird.
+  wird.  Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
-  Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{fakt}
   Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
-  sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt.  Dann gilt: die Abbildung
+  sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt.  Dann gilt: Die Abbildung $f^*
-  $f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$
+  : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
-  surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist.  Erinnern Sie
+  ist, alle Fasern endlich sind und $f$ bezüglich der Euklidischen Topologie
-  sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder
+  eigentlich ist.  Erinnern Sie sich, was das Wort „eigentlich“ in der Topologie
-  kompakter Mengen sind wieder kompakt.
+  bedeutet: Urbilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.
 \end{fakt}
 
 
 \section{Going down}
 
-\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going
+\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
-up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.  Das
+ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.  Das Zauberwort
-Zauberwort heißt ``Normalität''.
+heißt „Normalität“.
 
-\begin{defn}\label{def:12-3-1}
+\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
   Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
   ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt.  Mit anderen Worten: $A$
   ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
@@ -291,28 +287,28 @@ Zauberwort heißt ``Normalität''.
   \]
 \end{defn}
 
-\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}
+\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
   Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
   liegt.  Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
   $q_1 ∩ A = p_1$.  \qed
 \end{satz}
 
-Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen.  Obwohl der Beweis
+Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.  Obwohl der Beweis
-nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung
+nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
 nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
 
 
 \subsection{Normale Ringe}
 
-Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''.  Zum
+Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“.  Zum
-einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in
+einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
 relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.  Zum
 anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
 ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
 diskutieren kann.
 
-\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}
+\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
   Es sei $A$ ein Integritätsring.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
@@ -326,7 +322,7 @@ diskutieren kann.
 
 Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
 
-\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}
+\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
   Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
   Abschluss von $A$ in $B$.  Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
   ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
@@ -343,16 +339,16 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
     \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
     \frac{a_0}{s_0} = 0,
   \end{equation}
-  wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind.  Setze
+  wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind.  Setze $t := s_0 ⋯
-  $t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit
+  s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
-  dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte
+  $s^n·t^n ∈ S$ und erhalte
   \[
-    \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
+    \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{s·t}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
-    a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
+    a_0 \frac{s^n·t^n}{s_0} = 0.
   \]
   Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$.  Also ist
-  $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage
+  $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
-  $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$.
+  S^{-1}C$.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
@@ -370,8 +366,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
     A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
   \]
   Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
-  folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}.  Der Beweis
+  folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}.  Der Beweis für
-  für maximale Ideal folgt natürlich analog.
+  maximale Ideal folgt natürlich analog.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
@@ -382,8 +378,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
   zeigen, dass $x ∈ A$ ist.  Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
   Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
   eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind.  Per Annahme erfüllt $x$
-  eine Ganzheitsgleichung über $A$.  Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die
+  eine Ganzheitsgleichung über $A$.  Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
-  Gleichung
+  die Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
     \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
     ⋯ + a_0 = 0

13.tex

@@ -9,10 +9,10 @@ nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
 eines Polynomrings zurückzuführen.  Die Formulierung des Satzes über die
 Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
 
-\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}
+\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
-  Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente
+  Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1,
-  $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
+  …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
     unabhängig über $k$.
@@ -45,7 +45,7 @@ viel einfacheren Polynomring.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
-  Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung] funktioniert mit
+  Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung funktioniert mit
   endlich erzeugten Algebren über Körpern.  Die Frage, ob der Satz auch über $ℤ$
   funktioniert, ist Gegenstand von Forschung.
 \end{bemerkung}
@@ -54,22 +54,23 @@ viel einfacheren Polynomring.
 \section{Geometrische Interpretation}
 \label{sec:13-1}
 
-Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die
+Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
-Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet.  Dazu betrachten wir den Fall, dass
+Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet.  Dazu betrachten wir den Fall,
-$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
+dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
-Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist.  Weiter sei $Z ⊂ X$
+Koordinatenring einer irreduziblen algebraischen $k$-Varietät $X$ ist.  Weiter
-eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$.  In dieser Situation liefert
+sei $Z ⊂ X$ eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$.  In dieser
-Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$.  Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
+Situation liefert Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$.  Der Ring
-ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$, gehört also nach
+$k[y_1, …, y_d]$ ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$,
-Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen Varietät $Y$.  Die
+gehört also nach Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen
-Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach Satz~\vref{satz:7-3-3}
+Varietät $Y$.  Die Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach
-zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten.  Die Inklusionsabbildung
+Satz~\vref{satz:7-3-3} zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten.
-ist injektiv, also wissen wir nach Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild
+Die Inklusionsabbildung ist injektiv, also wissen wir nach
-von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist.  Der Satz über die
+Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild von $π$ eine Zariski-dichte
-Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
+Teilmenge von $Y$ ist.  Der Satz über die Noether-Normalisierung beschreibt die
+Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
 
 \begin{itemize}
-\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist
+\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$
   algebraisch unabhängig.  Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
   Polynomring $k[x_1, …, x_d]$.  Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
   Raum $𝔸^d_k$.  Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
@@ -78,11 +79,11 @@ Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
     V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
   \]
   
-\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung
+\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂
-  $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz.  Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11}
+  A$ ganz.  Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die
-  gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist.  Außerdem
+  Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist.  Außerdem wissen wir nach
-  wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist ---
+  Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider
-  aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
+  kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
 
 \item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
   Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
@@ -98,13 +99,13 @@ Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.
     k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
   \]
   surjektiv.  Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
-  eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische
+  eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als
-  Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
+  algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
   
-\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt
+\item Die Aussage „die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$“ beschreibt $π$
-  $π$ als lineare Projektion.  Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine
+  als lineare Projektion.  Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare
-  lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der
+  Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung
-  Einschränkung $p|_X$ ist.  Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
+  $p|_X$ ist.  Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}
@@ -163,16 +164,15 @@ vorbereitenden Lemma.
 
 \begin{lem}
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$.  Dann gibt es
-  ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form
+  ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i -
-  $y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden
+  x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann,
-  kann,
   \[
     f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
     y_{n-1}).
   \]
   Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
-  gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form
+  gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i -
-  $y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
+  a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
 \end{lem}
 \begin{proof}
   Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen.  Die Zusatzaussage ist im
@@ -207,9 +207,8 @@ beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.
 
 \section{Geometrische Konsequenzen}
 
-Als erste echte Anwendung des Satzes über die
+Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir
-Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die
+die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
-Dimension des affinen Raums ist.
 
 \begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
   Es sei $k$ ein Körper.  Dann ist
@@ -221,7 +220,7 @@ Dimension des affinen Raums ist.
   \video{17-2}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}
+\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
   erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
   von $A$.  Dann ist $\dim A = d$.  Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
@@ -237,7 +236,7 @@ Dimension des affinen Raums ist.
 
 \begin{aufgabe}
   Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
-  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: die
+  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: Die
   verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
   dieselbe Dimension haben.
 \end{aufgabe}
@@ -252,17 +251,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
   Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
   Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$.  Dann wissen wir nach
   Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist.  Auf der anderen Seite sind
-  die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass
+  die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …,
-  $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist.  Schließlich wissen wir noch, dass die
+  y_d) = d$ ist.  Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung
-  Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich
+  $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad
-  der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
+  nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
-  $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät.  Dann existiert eine lineare
+  algebraische Varietät.  Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k →
-  Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$
+  𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist.
-  endlich und surjektiv ist.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
@@ -275,17 +273,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
   Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen
+  Lineare Projektionen $𝔸^n_ℂ → 𝔸^d_ℂ$ sind bezüglich der Euklidischen
   Topologie stetig.  Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
   Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
-  Euklidischen Topologie.  Der einzige kompakte affine Raum ist aber
+  Euklidischen Topologie.  Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_ℂ$.
-  $𝔸⁰_{ℂ}$.
 \end{proof}
 
 Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals.  Das
 ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 
-\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}
+\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}%
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal.  Die
   \emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
   von Ketten von Primidealen
@@ -295,47 +292,68 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
   In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}
+\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …,
-  $q = (y_α, …, y_d)$.  Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller
+  y_d)$.  Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten
-  Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette
+  von Primidealen von der folgenden Kette
   \[
     (0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
   \]
   angenommen wird.  Also ist $\height p = d-α$.
 \end{bsp}
 
-\begin{kor}\label{kor:13-3-9}
+\begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien $p
+  ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
+  \begin{itemize}
+    \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen
+    in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊
+    p_m = p$ von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
+    Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$.
+
+    \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$ von
+    Primidealen in $A$.  Wenn $A$ normal ist, dann gibt es nach
+    Satz~\ref{satz:goingDown} („\foreignlanguage{english}{Going Down}“) eine
+    strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, wobei die
+    $q_•$ über den $p_•$ liegen. Insbesondere ist $\height q ≥ \height p$.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{kor}\label{kor:13-3-10}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
-  Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$.  Gegeben ein Primideal
+  Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$.  Gegeben ein Primideal $p ⊂
-  $p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist
+  A$, dann ist
   \[
     \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
   \]
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und
+  Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und
   erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
   \begin{itemize}
   \item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
     $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
     normal.
+
   \item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz.  Also ist nach
-    Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen
+    Satz~\ref{satz:12-2-2} („Dimension ist invariant unter ganzen
-    Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen
+    Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen
-    Raumes'')
+    Raumes“)
     \[
       \dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
     \]
+
   \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
     $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
     \[
-      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α]
+      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[\overline{y_1}, …, \overline{y_α}]
     \]
-    und dieser Ring hat die Dimension $α$.  Zusätzlich gilt nach
+    und dieser Ring hat die Dimension $α$.
-    Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
+    
+  \item Nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} ist $\height q = d-α$.  Nach
+  Beispiel~\ref{bsp:13-3-9} ist $\height p = \height q$.
   \end{itemize}
-  Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
+  Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
   Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
   Dimension.  Zusammen erhalten wir
   \[
@@ -345,11 +363,11 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 \end{proof}
 
 \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
-  In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form
+  In Korollar~\ref{kor:13-3-10} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
-  $A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig.  Für beliebige Ringe ist die
+  K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig.  Für beliebige Ringe ist die Aussage
-  Aussage des Korollars falsch!  Tatsächlich verhält sich der Begriff
+  des Korollars falsch!  Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
-  ``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der
+  beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
-  Praxis einigermaßen sinnlos.
+  sinnlos.
 \end{warnung}
 
 
@@ -357,19 +375,19 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 
 Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
 Hauptidealsatz.  Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
-(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich.
+(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.  Dennoch
-Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier
+möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
-nur ohne Beweis.
+Beweis.
 
 \begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
   Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
   Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist.  Schreibe das Ideal $(f)$
-  gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen,
+  gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) =
-  $(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$.  Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle
+  p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$.  Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes
-  Indizes $i$.  \qed
+  $i$.  \qed
 \end{satz}
 
-Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
+Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-10} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
 anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom.  Dann hat jede
 irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.
 
@@ -380,10 +398,11 @@ Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
 sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring.  Wir haben
 allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
 eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt.  Ich sehe zwei Ansätze.
+
 \begin{itemize}
 \item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
-  Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen.  Wie immer sind
+  Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen.  Wie immer
-  die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
+  sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
   Machbaren.
   
 \item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper

14.tex

@@ -51,9 +51,9 @@ gelernt.
 \end{aufgabe}
 
 Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
-kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im
+kannte schon mein Physik-Lehrer: „Zwei parallele Geraden schneiden sich im
-unendlichen''.  Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
+Unendlichen“.  Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
-$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu
+$𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $ℙ^n_k$ zu
 ergänzen.  Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
 einem Punkt schneiden.  Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
 $C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
@@ -79,10 +79,10 @@ Multiplizität gezählt werden müssen.
 \section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
 
 Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
-erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der
+erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll „Schnittpunkte mit der
-richtigen Multiplizität zu zählen''.  Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
+richtigen Multiplizität zu zählen“.  Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
 algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
-``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll.  Dieses
+„Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$“ genau sein soll.  Dieses
 Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
 ebenfalls sehr gut erklärt finden.
 
@@ -93,24 +93,24 @@ Weihnachten ist weit weg.  Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine
 sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
 sollte.
 
-\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}
+\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}%
   Es sei $k$ ein Körper.  Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
-    Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix
+  Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix $A ∈
-  $A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für
+  \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für alle
-  alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt.  Wir verwenden den Begriff
+  $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt.  Wir verwenden den Begriff
-  ``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen
+  „affine Transformation“ auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen Raum
-  Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
+  $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
 \end{erinnerung}
 
-\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}
+\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}%
   Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$.  Die
   Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
   \[
     \Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven
       in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \}
   \]
-  sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte
+  sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte $p
-  $p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
+  ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und
     $G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
@@ -121,19 +121,18 @@ sollte.
     $G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
   
   \item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
-    Transformationen.  Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt
+    Transformationen.  Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$
-    die Gleichung
+    gilt die Gleichung
     \[
       \Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
     \]
     
   \item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
-    Kurven.  Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
+    Kurven.  Genauer gesagt: Es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
     
-  \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets
+  \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) ·
-    $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt,
+    \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn die Kurven $F$ und $G$
-    wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade
+    im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade haben.
-    haben.
     
   \item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten.  Genauer:
     falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
@@ -157,20 +156,20 @@ sollte.
 
 \begin{aufgabe}
   Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
-  Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo
+  Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo $F(x,y) =
-  $F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und
+  y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und wo $p =
-  wo $p = (x_0, 0)$ ist.
+  (x_0, 0)$ ist.
 \end{aufgabe}
 
 
 \subsection{Träume werden wahr}
 
 Sie werden es sich schon denken.  Es gibt genau eine Definition von
-``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt.  Bevor
+„Schnittzahl“, die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt.  Bevor
 ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
 Tatsachen, die wir später benötigen.
 
-\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}
+\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
   Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist.  Bezeichne das
   maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
@@ -186,13 +185,13 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
   Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
   ist.  Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring.  Ich behaupte
   noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist.  Das beweise
-  ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist.  Dann ist nämlich
+  ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist.  Dann ist nämlich $\sqrt{I} =
-  $\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und
+  (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und $y^n ∈ I$
-  $y^n ∈ I$ sind.  Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
+  sind.  Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
   Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
 \end{erinnerung}
 
-\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}
+\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
   Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
   ist.  Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
@@ -203,17 +202,16 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
   und $\dim_k R < ∞$.
 \end{eerinnerung}
 
-\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}
+\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Dann gibt es genau eine
   Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
-    Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7}
+  Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} gelten.
-  gelten.
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
   \video{18-1}
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}
+\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}%
   Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
   einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
   ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
@@ -253,9 +251,9 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$.  Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
     
-  \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$.  Also sehen wir, dass
+  \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$.  Also sehen wir, dass die
-    die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt,
+    Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, die
-    die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
+    den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
   \end{itemize}
   Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
   Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.

15.tex

@@ -13,13 +13,13 @@ Nullpunkt sein sollte).  Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe
 Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
 (wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
 
-\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}
+\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Nenne zwei Vektoren
   $\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
   Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist.  Dies ist
   offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
-    Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet.  Die Schreibweise $ℙ^n$ ist
+  Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet.  Die Schreibweise $ℙ^n$ ist üblich.
-  üblich.  Die Äquivalenzklasse eines Vektors
+  Die Äquivalenzklasse eines Vektors
   \[
     \vec{v} = \begin{pmatrix}
       x_1 \\ \vdots \\ x_n
@@ -36,8 +36,8 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
     \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
     \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
   \]
-  beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$.  Im Vergleich
+  beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$.  Im Vergleich dazu
-  dazu ist der Ausdruck
+  ist der Ausdruck
   \[
     \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
   \]
@@ -47,19 +47,19 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
 
 \subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
 
-Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der
+Im Vergleich zur äquivalenten Definition „der projektive Raum ist die Menge der
-Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht
+Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$“ ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht etwas
-etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden.  Als weitere
+technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden.  Als weitere (und
-(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
+ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
 \[
   k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
   \bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
 \]
 betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
-definieren.  Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre
+definieren.  Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre $S^{n} ⊂
-$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die
+ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die Sphäre in
-Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet.  Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$
+genau zwei Antipodenpunkten schneidet.  Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ kann also
-kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
+auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
 \[
   ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
 \]
@@ -68,15 +68,15 @@ genau die Antipodenpunkte vertauscht.
 
 \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
   Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
-  Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene
+  Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene $ℙ²_ℝ =
-  $ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor?  Warum gibt es zwischen diesen beiden
+  \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor?  Warum gibt es zwischen diesen beiden Beispielen so
-  Beispielen so große Unterschiede?  Und warum zeige ich Ihnen jetzt
+  große Unterschiede?  Und warum zeige ich Ihnen jetzt
   \href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
   Demleitner}?
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
-  Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
+  Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zwei\-dimension\-ale Mannigfaltigkeit.
   Welche?  Wie stellen Sie sich diesen Raum vor?  Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel
   einfacher als $ℙ²_ℝ$?
 \end{aufgabe}
@@ -89,13 +89,13 @@ Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine
 Vervollständigung des affinen Raums sein sollte.  Bislang ist dieser
 Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar.  Jetzt muss ich also erklären,
 wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
-``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind.
+„unendlich fernen Punkte“ eigentlich sind.
 
-\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}
+\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}%
   Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$.  Zeichnen Sie dazu auf ihrer
   Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben.  Jetzt
-  betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein.  Ich mache dies,
+  betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein.  Ich mache dies, indem
-  indem ich mithilfe der Abbildung
+  ich mithilfe der Abbildung
   \[
     ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
   \]
@@ -103,23 +103,21 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
   identifiziere.  Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
   tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
   handbreit über den Tisch.  Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
-  Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich
+  Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich $ι(x,y) =
-  $ι(x,y) = (x,y,1)$ sind.  Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die
+  (x,y,1)$ sind.  Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die Gerade
-  Gerade $[x:y:1]$.
+  $[x:y:1]$.
 
   Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
   \[
     φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
   \]
-  die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen.
+  die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen.  Die
-  Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv.  Überlegen Sie sich, dass
+  Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv.  Überlegen Sie sich, dass die
-  die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die
+  Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
-  Menge
   \[
-    ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}.
+    ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}
   \]
-  ist.  Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''.  Die
+  ist.  Man nennt $ℓ$ die Menge der „unendlich fernen Punkte“.  Die Abbildung
-  Abbildung
   \[
     ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
   \]
@@ -137,10 +135,10 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
   Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$).  Welche Ursprungsgerade (= welcher
   Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert?  Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
   parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe.  Erkennen Sie, dass die
-  ``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben.
+  „unendlich fernen“ Punkte etwas mit „Asymptotenrichtungen“ zu tun haben.
 \end{aufgabe}
 
-\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}
+\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}%
   Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}.  Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
   (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
   \[
@@ -152,7 +150,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
   kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
 \end{aufgabe}
 
-\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}
+\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}%
   Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}.  Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
   (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
   \[
@@ -165,20 +163,20 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
-  In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von
+  In der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von
   Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
-      von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge;
+  von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; †
-    † ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer
+  ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer Mathematiker,
-    Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte.  In der Astronomie
+  bekannt für sein Buch über Kegelschnitte.  In der Astronomie trug er zur
-    trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus
+  Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus in sein
-    in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
+  Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
-    Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung
+  Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung vom
-    vom Grad zwei} klassifiziert.  Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
+  Grad zwei} klassifiziert.  Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
   Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
   projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
 \end{aufgabe}
 
-\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}
+\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}%
   Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
   Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
   \[
@@ -220,32 +218,33 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
 
 \subsection{Projektivitäten}
 
-Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des
+Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion der
 Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
 Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte.
 Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
-Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird.
+Transformation, die in der Literatur oft auch als „Projektivität“ bezeichnet
+wird.
 
 \begin{defn}[Projektivitäten]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Eine Abbildung
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Eine Abbildung $φ : ℙ^n →
-  $φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive
+  ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive Transformation}
-    Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine
+  oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine invertierbare
-  invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle
+  Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle $\vec v ∈ k^{n+1}$ die
-  $\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung
+  Gleichung
   \[
     φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
   \]
   gilt.
 \end{defn}
 
-Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung
+Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
-``Elementargeometrie'').  Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.
+Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.  Manche der Projektivitäten
-Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$
+werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden.  Gegeben eine solche
-abbilden.  Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen
+Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
-$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$.  Überlegen Sie sich, dass
+U_2 ≅ 𝔸²_k$.  Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man
-die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die
+auf diese Weise erhält, exakt die affinen Transformationen der affinen Ebene
-affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind.  In diesem Sinne
+$𝔸²_k$ sind.  In diesem Sinne verallgemeinern die Projektiven die affinen
-verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also.
+Transformationen also.
 
 
 %%% Local Variables:

16.tex

@@ -10,8 +10,8 @@ Ausdruck der Form
 \[
   \bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
 \]
-gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
+gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1
-  $1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
+  = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
 
 \begin{beobachtung}
   Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$.  Dann gilt für
@@ -19,10 +19,10 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
   \[
     f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
   \]
-  Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und
+  Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} =
-  $\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass
+  (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈
-  $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$
+  ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.
-  genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.  Die Menge
+  Die Menge
   \[
     V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
   \]
@@ -39,11 +39,11 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
 
 Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
 irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
-``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen.
+„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen.  Falls
-Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der
+das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
-Nullstellenmenge sinnvoll.  Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind
+sinnvoll.  Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
-prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen
+Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
-des projektiven Raums'' definieren werden.
+Raums“ definieren werden.
 
 
 
@@ -54,7 +54,7 @@ betrachtet.  Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
 gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
 Polynom homogen sein soll.
 
-\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}
+\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
   heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
   homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
@@ -67,8 +67,8 @@ Polynom homogen sein soll.
 
 Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
 die Menge $A$ wohldefiniert ist.  Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
-Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge
+Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m) ⊂
-$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist.  Was war nochmal ein Kegel?
+k^{n+1}$ ein Kegel ist.  Was war nochmal ein Kegel?
 
 \begin{defn}[Kegel]
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge.  Man nennt $A$
@@ -86,19 +86,20 @@ $V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist.  Was war nochmal ein Kegel?
   \label{fig:cone}
 \end{figure}
 
-\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}
+\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}%
   Es sei $k$ ein Körper.  Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
   Formen.
   \begin{itemize}
   \item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
-  \item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
+
+  \item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
   \end{itemize}
 \end{bsp}
 
 Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
 exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$.  Der Zusammenhang von Kegeln
-und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel
+und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂
-$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
+k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
 \[
   \mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
 \]
@@ -112,7 +113,7 @@ ein Kegel.
 
 \section{Kegel und homogene Ideale}
 
-\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie''
+\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“
 war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
 Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$.  In völliger Analogie möchte ich jetzt
 einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
@@ -120,7 +121,7 @@ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k
 Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören.  Die nächsten beiden
 Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
 
-\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}
+\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann sind
   folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -137,13 +138,13 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
 \end{satzdef}
 \begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
   Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}.  Weiter
-  sei $g ∈ I$ irgendein Element.  Dann gibt es per Annahme Polynomen
+  sei $g ∈ I$ irgendein Element.  Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈
-  $α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
+  k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
   \[
     g = \sum_i α_i·f_i
   \]
-  gilt.  Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen,
+  gilt.  Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d
-  $α_i = \sum_d α_{i,d}$.  Wir erhalten die Gleichung
+  α_{i,d}$.  Wir erhalten die Gleichung
   \[
     g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
   \]
@@ -158,19 +159,19 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
   \[
     g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
   \]
-  Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist
+  Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I =
-  $I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
+  (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
 \end{proof}
 
 Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
-Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist
+Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
-$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.
+f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.  Die Umkehrung gilt,
-Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
+sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
 
 \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂
-  $I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist.  Dann ist
+  k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist.  Dann ist das
-  das Ideal $I$ homogen.
+  Ideal $I$ homogen.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen.  Sei also $f ∈ I$ ein
@@ -204,7 +205,7 @@ Abbildungen,
 die uns noch viel Freude bereiten werden.  Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
 Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
 \emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
-wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt.  Ich nenne
+wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt.  Ich nenne
 einige solche Sätze ohne Beweis.
 
 \begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
@@ -213,27 +214,27 @@ einige solche Sätze ohne Beweis.
 \end{fakt}
 
 \begin{fakt}[Homogene Primideale]
-  Es sei $k$ ein Körper.  Um zu testen, ob ein homogenes Ideal
+  Es sei $k$ ein Körper.  Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …,
-  $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder
+  x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für
-  $b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen.  \qed
+  homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen.  \qed
 \end{fakt}
 
 \begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …,
-  $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal.
+  x_n]$ ein homogenes Ideal.
   \begin{enumerate}
-  \item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder
+  \item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} =
-    $\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$.
+    (x_0, …, x_n)$.
     
-  \item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist
+  \item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} =
-    $\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$.  \qed
+    I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$.  \qed
   \end{enumerate}
 \end{fakt}
 
 \begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
-  Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal
+  Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0,
-  $(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven
+  …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes
-  Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
+  definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
 \end{notation}
 
 \begin{fakt}
@@ -280,7 +281,7 @@ Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein.  Wenn ich die Standardkarte
   φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
 \]
 betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
-den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
+den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen.
 \begin{itemize}
 \item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
   auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
@@ -291,9 +292,9 @@ den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
   Topologie auf $U_i$.
 \end{itemize}
 Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht.  Die
-Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''.
+Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“.
 
-\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}
+\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Die Standardkarte
   \[
     φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
@@ -307,7 +308,7 @@ Der (einfache) Beweis kommt gleich.  Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
 um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
 werden.
 
-\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}
+\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
   Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
   jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
@@ -328,10 +329,10 @@ werden.
   die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
 \end{konstruktion}
 
-\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}
+\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …,
-  $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom.  Dann kann ich wie folgt ein
+  x_n]$ irgendein homogenes Polynom.  Dann kann ich wie folgt ein Polynom in
-  Polynom in weniger Variablen konstruieren,
+  weniger Variablen konstruieren,
   \[
     f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
   \]
@@ -361,21 +362,21 @@ werden.
   \item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.  Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
     eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
     Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$.  Betrachte die gemeinsame
-    Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome
+    Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …,
-    $(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$.  Rechnen Sie nach, dass
+    (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$.  Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.
-    $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.  Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie
+    Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂
-    abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$.  \qedhere
+    ℙ^n_k$.  \qedhere
   \end{itemize}
 \end{proof}
 
-\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}
+\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}%
   Betrachte die Menge
   \[
     X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
   \]
   Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
-  Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von
+  Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge
-  $X$ mit dieser affinen Ebene,
+  von $X$ mit dieser affinen Ebene,
   \[
     φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
   \]

17.tex

@@ -6,31 +6,31 @@
 \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
 jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
 und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
-nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.
+nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.  Dazu
-Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau
+muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
-ist.  Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
+Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
 Seite~\ref{def:eak} gesehen.
 
-\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}
+\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Eine \emph{ebene
   projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
   Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei
-  Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass
+  Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $F
-  $F = λ·G$ ist.
+  = λ·G$ ist.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.
+  Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.  Wenn
-  Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie
+  Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
-  vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
+  auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}
+\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}%
   Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
-  eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung
+  eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung $A :
-  $A : k^{n+1} → k^{n+1}$.  Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom
+  k^{n+1} → k^{n+1}$.  Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom und liefert
-  und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve.  Die Kurve hängt nicht
+  deshalb wieder eine ebene projektive Kurve.  Die Kurve hängt nicht von der
-  von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
+  Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
   \[
     V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right).
   \]
@@ -38,11 +38,11 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
 \end{bsp}
 
 Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
-``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den
+„Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
-Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.
+unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.  Wenn Sie sich an
-Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie,
+den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
-dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen.  Also müssen wir zunächst auch
+eine zentrale Rolle spielen.  Also müssen wir zunächst auch für projektive
-für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen.  Auf geht's.
+Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen.  Auf geht's.
 
 
 \section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
@@ -50,17 +50,16 @@ für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen.  Auf geht'
 Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
 während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
 aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
-niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
+niemals\footnote{Praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
-  konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$.  Dies gilt auch dann,
+konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$.  Dies gilt auch dann, wenn
-wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte.  Immerhin können wir
+das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte.  Immerhin können wir rationale
-rationale Funktionen konstruieren.
+Funktionen konstruieren.
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}
+\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und $g ∈
-  $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad,
+  k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, $d = \deg f = \deg g$.
-  $d = \deg f = \deg g$.  Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$
+  Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$,
-  ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$
+  dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
-  die Gleichung
   \[
     \frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
     \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
@@ -70,18 +69,17 @@ rationale Funktionen konstruieren.
 \end{beobachtung}
 
 Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
-Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall
+Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall $f =
-$f = x·y$ und $g = x·z$.  Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion''
+x·y$ und $g = x·z$.  Die korrekte Definition von „rationaler Funktion“ und
-und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst
+„Definitionsbereich“ ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst scheint.
-scheint.
 
 \begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f_1, f_2 ∈
-  $f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene
+  k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene Polynome mit
-  Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$.  Ich nenne die
+  $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$.  Ich nenne die Brüche
-  Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle
+  $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle Punkte $p$
-  Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$
+  der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ die
-  die Gleichheit
+  Gleichheit
   \[
     \frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
   \]
@@ -89,9 +87,9 @@ scheint.
   Brüchen.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3}
+\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} Es
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein
+  sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein Punkt
-  Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$.  Falls es einen
+  und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$.  Falls es einen
   Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt
   man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert.  Der Menge der
   rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$
@@ -105,12 +103,11 @@ scheint.
   $k$-Algebra.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}
+\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei $φ_n : 𝔸^n_k →
-  $φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte.  Gegeben sei ein Punkt
+  ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte.  Gegeben sei ein Punkt $a ∈ 𝔸^n_k$ mit
-  $a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$.  Rechnen Sie als
+  zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$.  Rechnen Sie als Übungsaufgabe in
-  Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die
+  „Homogenisierung und Dehomogenisierung“ nach, dass die Abbildungen
-  Abbildungen
   \[
     \begin{matrix}
       A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\
@@ -118,9 +115,9 @@ scheint.
     \end{matrix}
   \]
   wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind.  Die
-  Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander
+  Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise
-  isomorphe $k$-Algebren.  Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um
+  zueinander isomorphe $k$-Algebren.  Insbesondere handelt es sich bei
-  einen lokalen Ring.
+  $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um einen lokalen Ring.
 \end{konstruktion}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -136,13 +133,13 @@ die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat.  Dazu muss
 ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
 betrachten möchte.
 
-\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}
+\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei
+  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$
-  $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt.  Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so
+  ein Punkt.  Dann gibt es mindestens einen Index $i$, sodass $p_i ≠ 0$ ist.
-  dass $p_i ≠ 0$ ist.  Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die
+  Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die rationalen Funktionen
-  rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und
+  $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das
-  $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal
+  davon erzeugte Ideal
   \[
     I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
     𝒪_p(ℙ²).
@@ -164,21 +161,21 @@ betrachten möchte.
 
 Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
 
-\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}
+\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.
+  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.  Dann
-  Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
+  definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
   Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
   \[
     \Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
   \]
-  wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1}
+  wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} diskutierte
-  diskutierte Ideal ist.
+  Ideal ist.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}
+\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}%
   Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
-  ausrechnet.  Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
+  ausrechnet.  Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
   dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
   der Standardkarte $φ_3$ und es ist
   \[
@@ -186,9 +183,9 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
   \]
   wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
   im affinen Raum $𝔸²_k$ steht.  Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
-  $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten
+  $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2}
-  $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann
+  \right)$ und die Schnittzahl kann mithilfe des Algorithmus aus
-  mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
+  Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
 
   Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
   ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
@@ -202,7 +199,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her.  Ich möchte dies
 jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin.  Den
 (langweiligen) Beweis lasse ich weg.
 
-\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}
+\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
   $φ$ gegeben.  Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
   die Gleichung
@@ -219,14 +216,14 @@ jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin.  Den
 \sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
 versprochenen Satz von
 Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
-    Bézout} (* 31.  März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.
+Bézout} (* 31.~März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.~September
-  September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die
+1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die Schnittzahlen von
-Schnittzahlen von projektiven Kurven.
+projektiven Kurven.
 
 \begin{satz}[Satz von Bézout]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.
+  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.  Dann gilt
-  Dann gilt die Gleichung
+  die Gleichung
   \[
     \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
   \]
@@ -234,17 +231,17 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
 \begin{proof}
   Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
   Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen.  Um allzu viele Indizes zu
-  vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.
+  vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.  Weil
-  Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die
+  die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
-  Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich.  Nach Komposition mit einer
+  von $F$ und $G$ ist endlich.  Nach Komposition mit einer geeigneten
-  geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne
+  Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der
-  Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf
+  Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf der unendlich
-  der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt.  Es gelten dann die Gleichungen
+  fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt.  Es gelten dann die Gleichungen
   \begin{align*}
     \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
-    & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}}
+    & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}.}
   \end{align*}
-  Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch
+  Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren, schreiben wir noch
   \begin{align*}
     n & := \deg G & m & := \deg G \\
     R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
@@ -255,7 +252,7 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
   folgenden Gleichungen zu beweisen,
   \begin{align}
     \label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
-    \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m
+    \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m.
   \end{align}
   Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
   aufgeteilt.
@@ -278,8 +275,8 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
   \bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
   Sei $d ≥ n+m$.  Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die
   Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden.  Ich zeige im
-  \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente
+  \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente $[A_{•,*}] ∈
-  $[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
+  Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
@@ -287,10 +284,10 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
   Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}
+\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  $G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente.  Dann
+  k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente.  Dann schneiden
-  schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
+  sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
   \qed
 \end{kor}
 
@@ -305,7 +302,7 @@ können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch
 den Grad der Kurve beschränken.  Affine Kurven können also nicht allzu viele
 singuläre Punkte haben.
 
-\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}
+\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
   es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve.  Diese Kurve hat
   höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
@@ -313,10 +310,10 @@ singuläre Punkte haben.
 \begin{proof}
   Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
   Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
-  dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist.  Es gilt
+  dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist.  Es gilt $\deg G ≤ \deg
-  $\deg G ≤ \deg F -1$.
+  F -1$.
 
-  Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass
+  Aus Definition~\vref{defn:ep} („Glatte und singuläre Punkte“) ist klar, dass
   die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind.  Die
   Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
   gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
@@ -351,13 +348,13 @@ Fällen klar.  Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65
 singulären Punkten.  Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
 Wolf
 Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
-    Paul Barth} (* 20.  Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.  Dezember 2016) war
+Paul Barth} (* 20.~Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.~Dezember 2016) war ein
-  ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie
+deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.}
-  beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten,
+konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, dass maximal 64
-dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte,
+singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, veröffentlichte
-veröffentlichte Beweise).  Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und
+Beweise).  Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Ruberman in
-Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A
+\cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist:
-sextic cannot have 66 nodes''.
+„\foreignlanguage{english}{A sextic cannot have 66 nodes}“.
 
 \begin{bemerkung}
   Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat?  Das ist
@@ -365,12 +362,12 @@ sextic cannot have 66 nodes''.
 \end{bemerkung}
 
 \href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
-zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen
+zum Thema „Flächen mit vielen singulären Punkten“ promovierte, hat einen
 \href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
-  reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum}
+reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} geschrieben,
-geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann.  Mit dem Programm
+den ich Ihnen empfehlen kann.  Mit dem Programm
 \href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der
-``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
+„Weltrekordflächen“ aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
 mit den Gleichungen spielen.  Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
 dieses Programms.
 

KommutativeAlgebra.tex

@@ -171,7 +171,7 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
 
 \bibstyle{alpha}
 \bibliographystyle{alpha}
-\bibliography{bibliography/general}
+\bibliography{bibliography/math}
 
 
 \end{document}

TODO.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+Am 15.09.23 um 13:51 schrieb daniel rath:
+
+> Ich melde mich mit einer Frage zum Skript der Kommutativen Algebra. In 13.1 geht es um die Geometrische Interpretation der Noether Normalisierung. Im dritten Absatz wird gefolgert, dass die Ganzheit der Ringerweiterung k[y_1,\dots,k_d] \subset A zusammen mit der Isomorphie Y \cong A_k^d zur Folge hat, dass dim A = dim Y = dim A_k^d gilt. 
+>
+> Hierfür wird 12.2.2 (Dimension unter ganzen Ringerweiterungen von Integritätsringen) benutzt. Meiner Meinung nach ist jedoch der reduzierte Ring A nur dann ein Integritätsbereich wenn die Varietät X irreduzibel ist. Zunächst habe ich gedacht, dass dies nur vergessen wurde. Allerdings wird in Satz 13.3.2 (Noether-Normalisierung und Dimension) explizit erst nach der Folgerung dim A = d gefordert, dass A ein Integritätsbereich ist. 
+>
+> Übersehe ich hier etwas oder ist hier etwas falsch? Meiner Meinung nach ist die Forderung dass der Ring B in Satz 12.2.2 ein Integritätsbereich ist zwingend notwendig für die Aussage über die Dimensionen. 
+
+Kebekus: Das habe ich mir selbst eine Falle gebaut. In der Literatur wird der Begriff "Varietät" nicht immer einheitlich verwendet. Viele Autoren (darunter Hartshorne) verlangen, dass eine Varietät immer schon irreduzibel sein muss. Ich folge Hartshorne normalerweise und habe beim Schreiben mit Sicherheit nur an den Fall "X irreduzibel" gedacht. Ich sehe aber, dass das Wort "Varietät" im Skript eigentlich an keine Stelle so ganz präzise definiert wurde…
+
+Als Stop-Gap-Measure füge ich jetzt in §13.1 das Wort "irreduzibel" ein. Vermutlich sollte ich aber noch einmal durch den gesamten Text gehen und Varietäten richtig definieren…

deploy.sh

@@ -0,0 +1,5 @@
+#!/bin/bash
+set -e
+
+latexmk --pdf KommutativeAlgebra.tex
+cp KommutativeAlgebra.pdf public/KommutativeAlgebra.pdf