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398
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12.tex
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@ -1,398 +0,0 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Die Sätze von Cohen-Seidenberg}
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\sideremark{Vorlesung 14}Wir teilen vermutlich alle das Gefühl, dass der affine
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Raum $𝔸¹$ und dass algebraische Kurven eindimensional seien, dass der Raum
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$𝔸²$ zweidimensional und dass $𝔸³$ dreidimensional ist. Sie stimmen mir
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vermutlich auch zu, dass die Dimension einer affinen Varietät eine intrinsische
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Eigenschaft sein sollte. In diesem Teil der Vorlesung möchte ich die Frage
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beantworten, wie man die Dimension einer Varietät jetzt genau definiert.
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\section{Die Krull-Dimension}
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Ich spanne Sie nicht lange auf die Folter. Die Idee ist die: im Raum $𝔸³$
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finde ich eine Kette von irreduziblen Mengen der folgenden Form,
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\[
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\text{Punkt} ⊊ \text{Gerade} ⊊ \text{Ebene} ⊊ 𝔸³.
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\]
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Diese Kette hat Länge drei\footnote{Länge = Anzahl der Inklusionszeichen}, das
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ist unsere Wunschdimension für $𝔸³$. Außerdem kann man (=werden wir) beweisen,
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dass diese Kette maximal lang ist. Anschaulich ist wahrscheinlich klar, dass es
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keine echte Zwischenvarietät zwischen der Gerade und der Ebene geben kann. In
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unserer Korrespondenz zwischen Algebra und Geometrie gehören irreduzible Mengen
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zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
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\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
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Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
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Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
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Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war ein
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deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. Krull
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studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
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Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
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ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen,
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\[
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P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
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\]
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\end{defn}
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\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
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Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
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wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Die Krullsche Dimension eines Ringes ist unendlich, wenn es eine unendlich
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lange Kette von Primidealen gibt oder wenn zu jedem $n ∈ ℕ$ eine endliche
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Kette der Länge $≥ n$ existiert.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Der Punkt]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
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des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
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und somit die Dimension 0.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
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des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
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Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
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irreduzibel ist. Alle Ketten von Primidealen sind demnach von der Form
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\[
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(0) ⊊ (f) ⊊ k[x].
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\]
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Also ist $\dim 𝔸¹_k = \dim k[x] = 1$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Die ganzen Zahlen]
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Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
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des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
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\[
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(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
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(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
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\]
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ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
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n$.
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\end{bsp}
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Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
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unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
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ist nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir so weit sind, ist noch etwas
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Vorarbeit zu leisten.
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\section{Going up}
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Die folgenden Sätze werden in Algebra-Büchern und Skripten gern ohne jede
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geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische
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Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
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geometrisches Beispiel.
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\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
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Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
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= \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
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Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
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Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
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Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
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$A$ ist der affine Koordinatenring der $x$-Achse, dessen Dimension ich nach
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Beispiel~\ref{bsp:12-1-5} ja schon kenne. Die Erweiterung $A ⊂ B$ ist
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endlich,\footnote{Ein System von Erzeugern ist zum Beispiel $\{1,y\}$} und
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deshalb nach Korollar~\vref{kor:3-3-3} ganz. Wir haben in
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Abschnitt~\ref{sec:7-3}, dass zu dem Inklusionsmorphismus $A → B$ von affinen
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Koordinatenringen ein Morphismus von Varietäten gehört. In unserem Beispiel
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ist dies einfach die orthogonale Projektion von $C$ auf die $x$-Achse,
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\[
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π: C → \{x\text{-Achse}\}, \quad (x,y) → x.
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\]
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\end{bsp}
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In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
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ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
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\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist $\dim A
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= \dim B$.
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\end{satz}
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Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
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und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
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zueinander verhalten.
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\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
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Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt
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über $p$}.
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\end{notation}
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Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
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„übereinander liegen“ kommt.
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\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
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In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
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zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
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ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. Dies ist das maximale Ideal
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des Punktes $π(v)$.
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\end{bsp}
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Der erste Satz von
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Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
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(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
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Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
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Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
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ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
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B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
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⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
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über den $p_•$ liegen. Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
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dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
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\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
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Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam. Um den
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Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
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Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
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\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
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liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
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\[
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\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
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\]
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Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
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\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
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ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{14-1}
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\end{proof}
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\begin{notation}[Schlechte Notation]
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
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sei $S := A∖p$. In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
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S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
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Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}
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Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
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Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt. Dann gelten
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folgende Äquivalenzen.
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\begin{align*}
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\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
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& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
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||||
& ⇔ \text{Das Ideal $p$ ist maximal.}
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||||
\end{align*}
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\end{beobachtung}
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\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
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A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{14-2}
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\end{proof}
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\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
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A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1
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= q_2$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$. Dann gilt Folgendes,
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\begin{itemize}
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\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
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\item $q_1·B_p$ ist Primideal in $B_p$,
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\item $q_2·B_p$ ist Primideal in $B_p$, und
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\item $q_1·B_p ⊂ q_2·B_p$ und $(q_1·B_p) ∩ A_p = (q_2·B_p) ∩ A_p = p·A_p$.
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\end{itemize}
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Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb sind
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die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
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$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
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$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{14-3}
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\end{proof}
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\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
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Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
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sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
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ganzen Ringerweiterungen beweisen.
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\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:12-2-2}]
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\video{14-4}
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\end{proof}
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\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
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Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
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dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
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die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
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dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
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Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist? Wir
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können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
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ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
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Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt
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es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das
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geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
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wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
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\end{beobachtung}
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\begin{fakt}
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Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
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sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: Die Abbildung $f^*
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: k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
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ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie sich, was
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das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
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sind wieder kompakt.
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\end{fakt}
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\section{Going down}
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\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
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ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das Zauberwort
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heißt „Normalität“.
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\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
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Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
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ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
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ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
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\[
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||||
\left\{ \frac{a}{b} ∈ Q(A) \::\: \frac{a}{b} \text{ ist ganz über } A
|
||||
\right\} = A.
|
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\]
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||||
\end{defn}
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\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
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||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
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Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
|
||||
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
|
||||
$q_1 ∩ A = p_1$. \qed
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\end{satz}
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Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
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nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
|
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nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
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\subsection{Normale Ringe}
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Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“. Zum
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einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
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relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
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anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
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ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
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diskutieren kann.
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||||
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||||
\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
|
||||
Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
|
||||
|
||||
\item\label{12-3-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ A$ gilt: Der Ring $A_p$ ist
|
||||
normal.
|
||||
|
||||
\item Für maximalen Ideale $m ⊊ A$ gilt: Der Ring $A_m$ ist normal.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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||||
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||||
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
|
||||
Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
|
||||
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
|
||||
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:12-3-4}]
|
||||
Wir wissen aus Satz~\vref{satz:12-2-5}, dass $S^{-1}A ⊂ S^{-1}C$ eine ganze
|
||||
Ringerweiterung ist. Es bleibt also noch zu zeigen, dass jedes Element in
|
||||
$S^{-1}B$, welches ganz über $S^{-1}A$ ist, schon in $S^{-1}C$ liegt.
|
||||
|
||||
Sei also ein Element $\frac{b}{s} ∈ S^{-1}B$ gegeben, welches ganz über
|
||||
$S^{-1}A$ ist. Wir finden also eine Ganzheitsgleichung der Form
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||||
\begin{equation}\label{eq:12-3-4-0}
|
||||
\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n +
|
||||
\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
||||
\frac{a_0}{s_0} = 0,
|
||||
\end{equation}
|
||||
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze $t := s_0 ⋯
|
||||
s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
|
||||
$s·t ∈ S$ und erhalte
|
||||
\[
|
||||
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
||||
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
|
||||
\]
|
||||
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
|
||||
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
|
||||
S^{-1}C$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:12-3-3} bezeichne den Quotientenkörper von
|
||||
$A$ mit $B := Q(A)$. Weiter sei $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$. Wenn
|
||||
wir die Inklusion mit $ι : A → C$ bezeichnen, dann gilt gemäß
|
||||
Definition~\ref{def:12-3-1} die folgende Äquivalenz.
|
||||
\[
|
||||
A\text{ ist normal} \iff ι : A → C \text{ ist surjektiv.}
|
||||
\]
|
||||
Jetzt sei $p ⊂ A$ ein Primideal. Dann ist $B_p$ der Quotientenkörper von
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$A_p$ und nach Lemma~\ref{lem:12-3-4} ist $C_p$ der ganze Abschluss von $A_p$
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in $B_p$. Also gilt ganz analog
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\[
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A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
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\]
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Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
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folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis für
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maximale Ideal folgt natürlich analog.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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Faktorielle Ringe sind normal.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es sei $A$ ein faktorieller Ring und $x ∈ Q(A)$ sei ganz über A. Wir müssen
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zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
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Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
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eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
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eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
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die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
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\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
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⋯ + a_0 = 0
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\end{equation}
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gilt. Multipliziere \eqref{eq:12-3-5-1} mit $q^n$ und erhalte die folgende
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Gleichung von Elementen in $A$,
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\[
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p^n + a_{n-1}q·p^{n-1} + ⋯ + a_0·q^n = 0.
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\]
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Also gilt $q \mid p^n$. Weil $A$ per Annahme ein faktorieller Ring ist, gilt
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$q \mid p$ und deshalb ist $q ∈ A^*$, also $x ∈ A$.
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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