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-
-\chapter{Die Sätze von Cohen-Seidenberg}
-
-\sideremark{Vorlesung 14}Wir teilen vermutlich alle das Gefühl, dass der affine
-Raum $𝔸¹$ und dass algebraische Kurven eindimensional seien, dass der Raum
-$𝔸²$ zweidimensional und dass $𝔸³$ dreidimensional ist.  Sie stimmen mir
-vermutlich auch zu, dass die Dimension einer affinen Varietät eine intrinsische
-Eigenschaft sein sollte.  In diesem Teil der Vorlesung möchte ich die Frage
-beantworten, wie man die Dimension einer Varietät jetzt genau definiert.
-
-
-\section{Die Krull-Dimension}
-
-Ich spanne Sie nicht lange auf die Folter.  Die Idee ist die: im Raum $𝔸³$
-finde ich eine Kette von irreduziblen Mengen der folgenden Form,
-\[
-  \text{Punkt} ⊊ \text{Gerade} ⊊ \text{Ebene} ⊊ 𝔸³.
-\]
-Diese Kette hat Länge drei\footnote{Länge = Anzahl der Inklusionszeichen}, das
-ist unsere Wunschdimension für $𝔸³$.  Außerdem kann man (=werden wir) beweisen,
-dass diese Kette maximal lang ist.  Anschaulich ist wahrscheinlich klar, dass es
-keine echte Zwischenvarietät zwischen der Gerade und der Ebene geben kann.  In
-unserer Korrespondenz zwischen Algebra und Geometrie gehören irreduzible Mengen
-zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
-
-\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes]
-  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die \emph{Krullsche
-  Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
-  Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
-  Krull} (* 26.  August 1899 in Baden-Baden; † 12.  April 1971 in Bonn) war ein
-  deutscher Mathematiker.  Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.  Krull
-  studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
-  Göttingen.  Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
-  ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen,
-  \[
-    P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
-  \]
-\end{defn}
-
-\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
-  Untervarietät.  Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
-  wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
-\end{defn}
-
-\begin{bemerkung}
-  Die Krullsche Dimension eines Ringes ist unendlich, wenn es eine unendlich
-  lange Kette von Primidealen gibt oder wenn zu jedem $n ∈ ℕ$ eine endliche
-  Kette der Länge $≥ n$ existiert.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{bsp}[Der Punkt]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
-  des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$.  Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
-  und somit die Dimension 0.
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
-  des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
-  Hauptidealring.  Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
-  irreduzibel ist.  Alle Ketten von Primidealen sind demnach von der Form
-  \[
-    (0) ⊊ (f) ⊊ k[x].
-  \]
-  Also ist $\dim 𝔸¹_k = \dim k[x] = 1$.
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[Die ganzen Zahlen]
-  Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring.  Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
-  des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$.  Die Kette
-  \[
-    (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
-    (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
-  \]
-  ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
-  n$.
-\end{bsp}
-
-Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
-unbefriedigend.  Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
-ist nicht völlig trivial zu zeigen.  Bis wir so weit sind, ist noch etwas
-Vorarbeit zu leisten.
-
-
-\section{Going up}
-
-Die folgenden Sätze werden in Algebra-Büchern und Skripten gern ohne jede
-geometrische Anschauung erklärt.  Ich selbst kann mir ohne geometrische
-Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
-geometrisches Beispiel.
-
-\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
-  Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
-  = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist.  Natürlich sollte die Dimension der
-  Knotenkurve gleich eins sein.  Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
-  Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
-  Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
-  $A$ ist der affine Koordinatenring der $x$-Achse, dessen Dimension ich nach
-  Beispiel~\ref{bsp:12-1-5} ja schon kenne.  Die Erweiterung $A ⊂ B$ ist
-  endlich,\footnote{Ein System von Erzeugern ist zum Beispiel $\{1,y\}$} und
-  deshalb nach Korollar~\vref{kor:3-3-3} ganz.  Wir haben in
-  Abschnitt~\ref{sec:7-3}, dass zu dem Inklusionsmorphismus $A → B$ von affinen
-  Koordinatenringen ein Morphismus von Varietäten gehört.  In unserem Beispiel
-  ist dies einfach die orthogonale Projektion von $C$ auf die $x$-Achse,
-  \[
-    π: C → \{x\text{-Achse}\}, \quad (x,y) → x.
-  \]
-\end{bsp}
-
-In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
-ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
-
-\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Dann ist $\dim A
-  = \dim B$.
-\end{satz}
-
-Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
-und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
-zueinander verhalten.
-
-\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
-  Ideale.  Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt
-  über $p$}.
-\end{notation}
-
-Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
-„übereinander liegen“ kommt.
-
-\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
-  In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
-  zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$.  Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
-  ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.  Dies ist das maximale Ideal
-  des Punktes $π(v)$.
-\end{bsp}
-
-Der erste Satz von
-Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
-(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
-Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
-Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
-ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
-B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
-⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
-über den $p_•$ liegen.  Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
-dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
-
-
-\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
-
-Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.  Um den
-Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
-Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
-
-\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung.  Dann gilt Folgendes.
-  \begin{enumerate}
-  \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
-    liegt.  Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
-    \[
-      \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
-    \]
-    Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
-    
-  \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
-    ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
-  \end{enumerate}
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  \video{14-1}
-\end{proof}
-
-\begin{notation}[Schlechte Notation]
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
-  sei $S := A∖p$.  In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
-  S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
-  Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
-\end{notation}
-
-\begin{beobachtung}
-  Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
-  Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt.  Dann gelten
-  folgende Äquivalenzen.
-  \begin{align*}
-    \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
-                                      & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
-                                      & ⇔ \text{Das Ideal $p$ ist maximal.}
-  \end{align*}
-\end{beobachtung}
-
-\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
-  A$ ein Primideal.  Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  \video{14-2}
-\end{proof}
-
-\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
-  A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$.  Dann ist $q_1
-  = q_2$.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$.  Dann gilt Folgendes,
-\begin{itemize}
-\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
-  
-\item $q_1·B_p$ ist Primideal in $B_p$,
-  
-\item $q_2·B_p$ ist Primideal in $B_p$, und
-  
-\item $q_1·B_p ⊂ q_2·B_p$ und $(q_1·B_p) ∩ A_p = (q_2·B_p) ∩ A_p = p·A_p$.
-\end{itemize}
-Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal.  Deshalb sind
-die Ideale gleich.  Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
-  $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
-  $p_1$.  Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  \video{14-3}
-\end{proof}
-
-
-\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
-
-Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
-sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
-ganzen Ringerweiterungen beweisen.
-
-\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:12-2-2}]
-  \video{14-4}
-\end{proof}
-
-\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
-  Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
-  dicht in $Y$ liegt.  In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
-  die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
-  dann injektiv ist.  Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
-  Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist?  Wir
-  können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
-  ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
-  Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Insbesondere gibt
-  es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Überlegen Sie sich, was das
-  geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
-  wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
-\end{beobachtung}
-
-\begin{fakt}
-  Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
-  sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt.  Dann gilt: Die Abbildung $f^*
-  : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
-  ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist.  Erinnern Sie sich, was
-  das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
-  sind wieder kompakt.
-\end{fakt}
-
-
-\section{Going down}
-
-\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
-ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.  Das Zauberwort
-heißt „Normalität“.
-
-\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
-  Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
-  ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt.  Mit anderen Worten: $A$
-  ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
-  \[
-    \left\{ \frac{a}{b} ∈ Q(A) \::\: \frac{a}{b} \text{ ist ganz über } A
-    \right\} = A.
-  \]
-\end{defn}
-
-\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
-  Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
-  liegt.  Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
-  $q_1 ∩ A = p_1$.  \qed
-\end{satz}
-
-Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.  Obwohl der Beweis
-nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
-nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
-
-
-\subsection{Normale Ringe}
-
-Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“.  Zum
-einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
-relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.  Zum
-anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
-ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
-diskutieren kann.
-
-\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
-  Es sei $A$ ein Integritätsring.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
-  \begin{enumerate}
-  \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
-    
-  \item\label{12-3-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ A$ gilt: Der Ring $A_p$ ist
-    normal.
-
-  \item Für maximalen Ideale $m ⊊ A$ gilt: Der Ring $A_m$ ist normal.
-  \end{enumerate}
-\end{satz}
-
-Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
-
-\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
-  Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
-  Abschluss von $A$ in $B$.  Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
-  ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
-\end{lem}
-\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:12-3-4}]
-  Wir wissen aus Satz~\vref{satz:12-2-5}, dass $S^{-1}A ⊂ S^{-1}C$ eine ganze
-  Ringerweiterung ist.  Es bleibt also noch zu zeigen, dass jedes Element in
-  $S^{-1}B$, welches ganz über $S^{-1}A$ ist, schon in $S^{-1}C$ liegt.
-  
-  Sei also ein Element $\frac{b}{s} ∈ S^{-1}B$ gegeben, welches ganz über
-  $S^{-1}A$ ist.  Wir finden also eine Ganzheitsgleichung der Form
-  \begin{equation}\label{eq:12-3-4-0}
-    \Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n +
-    \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
-    \frac{a_0}{s_0} = 0,
-  \end{equation}
-  wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind.  Setze $t := s_0 ⋯
-  s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
-  $s·t ∈ S$ und erhalte
-  \[
-    \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
-    a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
-  \]
-  Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$.  Also ist
-  $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
-  S^{-1}C$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:12-3-3} bezeichne den Quotientenkörper von
-  $A$ mit $B := Q(A)$.  Weiter sei $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$.  Wenn
-  wir die Inklusion mit $ι : A → C$ bezeichnen, dann gilt gemäß
-  Definition~\ref{def:12-3-1} die folgende Äquivalenz.
-  \[
-    A\text{ ist normal} \iff ι : A → C \text{ ist surjektiv.}
-  \]
-  Jetzt sei $p ⊂ A$ ein Primideal.  Dann ist $B_p$ der Quotientenkörper von
-  $A_p$ und nach Lemma~\ref{lem:12-3-4} ist $C_p$ der ganze Abschluss von $A_p$
-  in $B_p$.  Also gilt ganz analog
-  \[
-    A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
-  \]
-  Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
-  folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}.  Der Beweis für
-  maximale Ideal folgt natürlich analog.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}
-  Faktorielle Ringe sind normal.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  Es sei $A$ ein faktorieller Ring und $x ∈ Q(A)$ sei ganz über A.  Wir müssen
-  zeigen, dass $x ∈ A$ ist.  Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
-  Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
-  eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind.  Per Annahme erfüllt $x$
-  eine Ganzheitsgleichung über $A$.  Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
-  die Gleichung
-  \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
-    \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
-    ⋯ + a_0 = 0
-  \end{equation}
-  gilt.  Multipliziere \eqref{eq:12-3-5-1} mit $q^n$ und erhalte die folgende
-  Gleichung von Elementen in $A$,
-  \[
-    p^n + a_{n-1}q·p^{n-1} + ⋯ + a_0·q^n = 0.
-  \]
-  Also gilt $q \mid p^n$.  Weil $A$ per Annahme ein faktorieller Ring ist, gilt
-  $q \mid p$ und deshalb ist $q ∈ A^*$, also $x ∈ A$.
-\end{proof}
-
-
-%%% Local Variables:
-%%% mode: latex
-%%% TeX-master: "21-KA"
-%%% End: