Fehler verbessert

12.tex

@@ -205,7 +205,7 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
   \video{14-2}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
+\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]\label{satz:12-2-9}
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
   A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$.  Dann ist $q_1
   = q_2$.
@@ -257,7 +257,7 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
   Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Insbesondere gibt
   es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Überlegen Sie sich, was das
   geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
-  wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
+  wird.  Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{fakt}

13.tex

@@ -10,7 +10,7 @@ eines Polynomrings zurückzuführen.  Die Formulierung des Satzes über die
 Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
 
 \begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.  Weiter
   sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
   ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
@@ -235,7 +235,7 @@ die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
 
 \begin{aufgabe}
   Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
-  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: die
+  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: Die
   verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
   dieselbe Dimension haben.
 \end{aufgabe}
@@ -301,10 +301,29 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
   angenommen wird.  Also ist $\height p = d-α$.
 \end{bsp}
 
-\begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
+\begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter
+  seien $p ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
+  \begin{itemize}
+    \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯
+    ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und
+    erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$
+    von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
+    Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$.
+
+    \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯
+    ⊊ p_m = p$ von Primidealen in $A$.  Wenn $A$ normal ist, dann gibt
+    es nach Satz~\ref{satz:goingDown} (``Going Down'') eine strikte Kette $q_0
+    ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$,
+    wobei die $q_{•}$ über den $p_{•}$ liegen.  Insbesondere ist
+    $\height q ≥ \height p$.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{kor}\label{kor:13-3-10}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
   Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$.  Gegeben ein Primideal $p ⊂
-  A$ ein Primideal, dann ist
+  A$, dann ist
   \[
     \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
   \]
@@ -328,10 +347,12 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
   \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
     $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
     \[
-      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α]
+      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[\overline{y_1}, …, \overline{y_α}]
     \]
-    und dieser Ring hat die Dimension $α$.  Zusätzlich gilt nach
-    Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
+    und dieser Ring hat die Dimension $α$.
+    
+  \item Nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} ist $\height q = d-α$.  Nach
+  Beispiel~\ref{bsp:13-3-9} ist $\height p = \height q$.
   \end{itemize}
   Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
   Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
@@ -343,7 +364,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 \end{proof}
 
 \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
-  In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
+  In Korollar~\ref{kor:13-3-10} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
   K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig.  Für beliebige Ringe ist die Aussage
   des Korollars falsch!  Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
   beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
@@ -355,7 +376,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 
 Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
 Hauptidealsatz.  Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
-(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
+(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.  Dennoch
 möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
 Beweis.
 
@@ -367,7 +388,7 @@ Beweis.
   $i$.  \qed
 \end{satz}
 
-Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
+Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-10} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
 anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom.  Dann hat jede
 irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.
 

15.tex

@@ -111,7 +111,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
   \[
     φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
   \]
-  die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die
+  die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen.  Die
   Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv.  Überlegen Sie sich, dass die
   Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
   \[
@@ -238,7 +238,7 @@ wird.
 \end{defn}
 
 Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
-Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten
+Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.  Manche der Projektivitäten
 werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden.  Gegeben eine solche
 Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
 U_2 ≅ 𝔸²_k$.  Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man

16.tex

@@ -39,7 +39,7 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
 
 Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
 irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
-„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls
+„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen.  Falls
 das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
 sinnvoll.  Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
 Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
@@ -165,7 +165,7 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
 
 Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
 Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
-f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
+f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.  Die Umkehrung gilt,
 sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
 
 \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]

17.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
 jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
 und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
-nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu
+nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.  Dazu
 muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
 Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
 Seite~\ref{def:eak} gesehen.
@@ -20,7 +20,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn
+  Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.  Wenn
   Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
   auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
 \end{bsp}
@@ -39,7 +39,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
 
 Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
 „Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
-unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an
+unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.  Wenn Sie sich an
 den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
 eine zentrale Rolle spielen.  Also müssen wir zunächst auch für projektive
 Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen.  Auf geht's.
@@ -163,7 +163,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
 
 \begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann
+  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven.  Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.  Dann
   definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
   Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
   \[
@@ -222,7 +222,7 @@ projektiven Kurven.
 
 \begin{satz}[Satz von Bézout]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
-  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt
+  k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.  Dann gilt
   die Gleichung
   \[
     \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
@@ -231,7 +231,7 @@ projektiven Kurven.
 \begin{proof}
   Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
   Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen.  Um allzu viele Indizes zu
-  vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil
+  vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.  Weil
   die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
   von $F$ und $G$ ist endlich.  Nach Komposition mit einer geeigneten
   Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der