diff --git a/12.tex b/12.tex index a027595..f3d7ed0 100644 --- a/12.tex +++ b/12.tex @@ -205,7 +205,7 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. \video{14-2} \end{proof} -\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten] +\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]\label{satz:12-2-9} Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$. @@ -257,7 +257,7 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen. Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet - wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! + wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! \end{beobachtung} \begin{fakt} diff --git a/13.tex b/13.tex index 98b88ae..469f756 100644 --- a/13.tex +++ b/13.tex @@ -10,7 +10,7 @@ eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch. \begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}% - Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt. \begin{enumerate} @@ -235,7 +235,7 @@ die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist. \begin{aufgabe} Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei - unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: die + unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: Die verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht dieselbe Dimension haben. \end{aufgabe} @@ -301,10 +301,29 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$. \end{bsp} -\begin{kor}\label{kor:13-3-9}% +\begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}% + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter + seien $p ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt. + \begin{itemize} + \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯ + ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und + erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$ + von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist. + Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$. + + \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ + ⊊ p_m = p$ von Primidealen in $A$. Wenn $A$ normal ist, dann gibt + es nach Satz~\ref{satz:goingDown} (``Going Down'') eine strikte Kette $q_0 + ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, + wobei die $q_{•}$ über den $p_{•}$ liegen. Insbesondere ist + $\height q ≥ \height p$. + \end{itemize} +\end{bsp} + +\begin{kor}\label{kor:13-3-10}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂ - A$ ein Primideal, dann ist + A$, dann ist \[ \dim A = \height(p) + \dim(A/p). \] @@ -328,10 +347,12 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form $q = (y_α, …, y_d)$, also ist \[ - k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α] + k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[\overline{y_1}, …, \overline{y_α}] \] - und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach - Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$. + und dieser Ring hat die Dimension $α$. + + \item Nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} ist $\height q = d-α$. Nach + Beispiel~\ref{bsp:13-3-9} ist $\height p = \height q$. \end{itemize} Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche @@ -343,7 +364,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. \end{proof} \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe] - In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A = + In Korollar~\ref{kor:13-3-10} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen @@ -355,7 +376,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden -(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch +(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne Beweis. @@ -367,7 +388,7 @@ Beweis. $i$. \qed \end{satz} -Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter +Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-10} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom. Dann hat jede irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$. diff --git a/15.tex b/15.tex index bb5dd6a..51d5af9 100644 --- a/15.tex +++ b/15.tex @@ -111,7 +111,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die \[ φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1], \] - die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die + die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge \[ @@ -238,7 +238,7 @@ wird. \end{defn} Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“). -Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten +Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man diff --git a/16.tex b/16.tex index adec7da..38a8c39 100644 --- a/16.tex +++ b/16.tex @@ -39,7 +39,7 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der -„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls +„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven @@ -165,7 +165,7 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …, -f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt, +f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale] diff --git a/17.tex b/17.tex index d566caa..9aba149 100644 --- a/17.tex +++ b/17.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$ und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven -nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu +nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf Seite~\ref{def:eak} gesehen. @@ -20,7 +20,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen. \end{defn} \begin{bsp} - Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn + Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten. \end{bsp} @@ -39,7 +39,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen. Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von „Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen -unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an +unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's. @@ -163,7 +163,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen \begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ - k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann + k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als \[ @@ -222,7 +222,7 @@ projektiven Kurven. \begin{satz}[Satz von Bézout] Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ - k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt + k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt die Gleichung \[ \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G). @@ -231,7 +231,7 @@ projektiven Kurven. \begin{proof} Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu - vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil + vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der