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@ -43,3 +43,24 @@ Ganzheitsgleichung
Erzeugendensystem
Gröbnerbasen
Syzygie
Substitutionsmorphismus
Transzendenzbasen
Transzendenzbasis
Transzendenzgrad
körpertheoretische
körpertheoretischen
tautologischerweise
Verschwindungsmenge
Koeffizientenkörper
Zariski-Topologie
Zariski-abgeschlossenen
Zariski-offenen
Zariski-offene
Hausdorffsch
Verschwindungsideal
Radikalideal
Radikalideals
Primideal
Maximalitätsannahme
Radikalideale
Rabinowitsch

7
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@ -3,3 +3,10 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch abhängig über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma, dass wir \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q vergrößern können.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann definiere den Transzendenzgrad von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine endlich Transzendenzbasis mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Elementen besitzt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer folgende Satz unterscheidet sich von der Vorabversion, die wir auf Seite satz:shn formuliert hatten, durch die Diskussion des algebraischen Abschlusses.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"}

140
04.tex
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@ -16,23 +16,22 @@ als einem Element.
\begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$. Nenne
die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige
Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der
Substitutionsmorphismus
Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der Substitutionsmorphismus
\[
K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n)
\]
injektiv ist. Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch!
Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als
Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als
\emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente
$b_1,…, b_n$ bezeichnet.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der
algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen ``die
Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und
richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch
unabhängig''. Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
Genau wie beim Begriff der „linearen Unabhängigkeit“ ist die Definition der
algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen „die
Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig“ wäre es besser und
richtiger, zu sagen: „die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch unabhängig“.
Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
@ -44,12 +43,12 @@ als einem Element.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für
Gelegentlich wird der Begriff „algebraisch unabhängig“ statt für
Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in
Integritätsringen verwendet. Das kann man machen. Wir beobachten, dass der
Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv
ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet.
ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotenentenkörper bezeichnet.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
@ -62,11 +61,11 @@ als einem Element.
\section{Transzendenzbasen}
Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit. Und
genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die
maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die
Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als „linear unabhängige Menge, die
maximal ist bezüglich der Inklusion“, definieren wir jetzt die Transzendenzbasis
einer Körpererweiterung.
\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}
\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Eine
\emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine
algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion
@ -74,22 +73,22 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit
anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist
algebraisch abhängig über $K$.
In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet „maximal bezüglich der Inklusion“ mit
anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist algebraisch abhängig über
$K$.
\end{bemerkung}
\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der
rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente
$X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente $X_1, …, X_n
∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
\end{bsp}
\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei
$M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig
über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$
über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist.
\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$
eine Menge, die algebraisch unabhängig über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau
dann eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$, wenn die Körpererweiterung
$L/K(M)$ algebraisch ist.
\end{lem}
\begin{proof}
Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende
@ -100,8 +99,8 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
& \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K.
\end{align*}
Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann
maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch
über $K(M)$ ist.
maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch über
$K(M)$ ist.
\end{proof}
\begin{bemerkung}
@ -109,22 +108,21 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$. Aber ich bin zu faul.
\end{bemerkung}
In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz. Das
In der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz. Das
geht auch hier.
\begin{satz}[Basisergänzung]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein
Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$
ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$
ergänzen.
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein Erzeugendensystem ist
und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$ ist, dann lässt sich $S$ zu
einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$ ergänzen.
\end{satz}
\begin{proof}
Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa
$Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von
Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen
Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können. Die Annahme ``maximal groß'' impliziert,
dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$
algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa $Γ = \{γ_1,
…, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma,
dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge $B ⊆
Γ$ vergrößern können. Die Annahme „maximal groß“ impliziert, dass jedes $γ_•$
algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$ algebraisch über
$K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist.
\end{proof}
@ -137,8 +135,8 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
\begin{prop}[Basisaustauschlemma]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine
endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei
$\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$.
endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei $\{ c_1, …, c_m \} ⊂
L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$.
\end{prop}
\begin{proof}
\video{4-1}
@ -174,7 +172,7 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
Es sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
Sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen]
@ -202,43 +200,43 @@ Körpererweiterungen.
\section{Rein transzendente Erweiterungen}
In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson
bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''. Das kann man für
transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das folgende
Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt
bekanntermaßen fest: „\foreignlanguage{english}{All men are created equal.}“ Das
kann man für transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das
folgende Beispiel zeigt, gibt es „rein transzendente“ Erweiterungen und es gibt
solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
\begin{itemize}
\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge
$\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist
tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge $\{x\}$
bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist transzendent über
$ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad
1. Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in
$ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Transzendenzgrad 1.
Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in
$ℚ(\sqrt{2}, π)$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung
\[
ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ.
\]
Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern
$ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$
transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern $ℚ(π)$
und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ transzendent über
$ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. Im Gegensatz dazu ist
die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
\end{itemize}
\begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung]
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein
transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über
$K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist.
$K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist.
\end{defn}
\begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen]
Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis
$B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus
$L ≅ K(x_1, …, x_n)$. Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent
über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt.
Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis $B = \{b_1,
…, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $L ≅ K(x_1, …, x_n)$.
Insbesondere ist jedes Element von $L$ transzendent über $K$, wenn es nicht
schon zufällig selbst in $K$ liegt.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}
\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}%
Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir
eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von
Körpererweiterungen betrachten,
@ -250,23 +248,23 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
\begin{warnung}
Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht
kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für
transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
``Algebra'' gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der
Wahl der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung
$K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der
Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben. Diese ist eindeutig.
kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art „Galois-Theorie für
transzendente Erweiterungen“ sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
„Algebra“ gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der Wahl
der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung $K ⊆
K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der Vorlesung
„Algebra“ kennengelernt haben. Diese ist eindeutig.
\end{warnung}
Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung
rein transzendent ist. Der berühmte
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von
Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München)
war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich
ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen
Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den
Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München) war
ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich ohne
Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen Parametrisierbarkeit
gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den Zusammenhang (wenn
überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
\begin{satz}[Satz von Lüroth]
Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen,

121
05.tex
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@ -3,10 +3,9 @@
\chapter{Der Nullstellensatz und die Korrespondenzen $V$ und $I$}
In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner ``starken''
Form bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten
Korrespondenzen zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen
Objekten.
In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner „starken“ Form
bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten Korrespondenzen
zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen Objekten.
\section{Die körpertheoretische Version des Nullstellensatzes}
@ -17,7 +16,7 @@ dass gewisse Körpererweiterungen algebraisch sind. Bleiben Sie dabei und legen
Sie nicht auf! Die geometrische Bedeutung des Satzes wird sofort im nächsten
Abschnitten klar werden.
\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}
\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}%
Es sei $E/K$ eine Körpererweiterung, die als Ringerweiterung von endlichem Typ
ist. Dann ist $E/K$ algebraisch.
\end{satz}
@ -41,7 +40,7 @@ auch noch ein starker Nullstellensatz. Der folgende Satz unterscheidet sich von
der Vorabversion, die wir auf Seite~\vpageref{satz:shn} formuliert hatten, durch
die Diskussion des algebraischen Abschlusses.
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}%
Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$
gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -103,12 +102,11 @@ die Diskussion des algebraischen Abschlusses.
\[
(f_1, …, f_m) ⊆ m ⊊ k[x_1, …, x_n].
\]
Aus der Vorlesung ``Algebra'' wissen wir, dass der Quotient
$E := k[x_1, …, x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra
durch die Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der
körpertheoretischen Version des Hilbertschen Nullstellensatzes,
Satz~\vref{satz:kthn} ist die Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es
gibt eine Einbettung
Aus der Vorlesung „Algebra“ wissen wir, dass der Quotient $E := k[x_1, …,
x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra durch die
Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der körpertheoretischen
Version des Hilbertschen Nullstellensatzes, Satz~\vref{satz:kthn} ist die
Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es gibt eine Einbettung
\[
φ: E ↪ \overline{k}.
\]
@ -143,36 +141,36 @@ zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist!
\item Es gilt genau dann $V(f_1, …, f_m) ≠ ∅$, wenn $1 \notin (f_1, …, f_m)$
ist.
\item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente
$a_1, …, a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt,
\item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente $a_1, …,
a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt,
\[
m = (x_1-a_1, …, x_n-a_n).
\]
\item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von
$k[x_1, …, x_n]$ und den Punkten in $k^n$.
\item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von $k[x_1, …,
x_n]$ und den Punkten in $k^n$.
\end{enumerate}
\end{kor}
\begin{proof}
\video{5-1}
\end{proof}
\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}
\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}%
Weil man polynomiale Gleichungssysteme sowieso immer erst einmal über dem
algebraischen Abschluss eines Körpers zu studiert, verwenden manche Autoren
folgende Konvention, die ein wenig von unserer Notation für algebraische
Mengen, Notation~\vref{not:2-1-3} abweicht. Gegeben ein Körper $k$ mit
algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der
Lösungen des polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem
Abschluss} mit
algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome $f_1, …, f_n ∈
k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der Lösungen des
polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem Abschluss} mit
\[
X := V(f_1, …, f_n) := \left\{ \vec{a} ∈ \overline{k}^m \::\: f_1(\vec{a}) =
⋯ = f_n(\vec{a}) = 0 \right\}
\]
und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, f_m$} oder die
\emph{Lösungsmenge des Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}. Die
Menge der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als
und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …,
f_m$}\index{Verschwindungsmenge} oder die \emph{Lösungsmenge des
Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}\index{Lösungsmenge}. Die Menge
der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als
\emph{Menge der $k$-rationalen Punkte von $X$}\index{rationale Punkte}
bezeichnet. In diesem Zusammenhang nennt man $k$ auch den
\emph{Koeffizientenkörper}\index{Koeffizientenkörper} oder den
@ -187,8 +185,8 @@ formulieren.
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine ungerade Zahl, $n ≥ 3$. Dann hat die Lösungsmenge $X$ des
Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also
$\# X(ℚ) = 2$. \qed
Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also $\#
X(ℚ) = 2$. \qed
\end{satz}
@ -202,7 +200,7 @@ Gleichungssystems
gar nicht so sehr auf die einzelnen Gleichungen ankommt, sondern vielmehr auf
das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$.
\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}
\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊆ k[x_1, …, x_m]$ ein Ideal. Dann heißt
\[
V(I) := \left\{ \vec{a} ∈ k^m \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } f ∈ I
@ -214,9 +212,9 @@ das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$.
Die Mengen $V(I)$ sind nicht beliebig. Ich erinnere dazu an den Hilbert'schen
Basissatz: Der Polynomring $k[x_1, …, x_m]$ aus Definition~\ref{def:5-3-1} ist
Noethersch und jedes Ideal ist daher endlich erzeugt. Das bedeutet: gegeben ein
Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie
sich jetzt \emph{sofort}, dass dann die Gleichheit
Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen $f_1, …, f_m
∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie sich jetzt
\emph{sofort}, dass dann die Gleichheit
\[
V(I) = V(f_1, …, f_m)
\]
@ -232,7 +230,7 @@ Definition~\vref{def:2-1-1}. Wir erhalten also eine Abbildung
die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten
Eigenschaften der Abbildung $V$ zusammen.
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}%
Es sei $k$ ein Körper und $R := k[x_1, …, x_n]$. Dann gelten die folgenden
Aussagen.
\begin{enumerate}
@ -263,10 +261,10 @@ abgeschlossene Mengen eines topologischen Raumes. Egal wie schrecklich der
Körper $k$ ist, erhalten wir also eine Topologie auf $k^m$, deren
abgeschlossenen Menge genau die algebraischen Mengen sind. Diese Topologie wird
Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar
Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn,
Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein
US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der
algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt.
Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn,
Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein
US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der
algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt.
\begin{defn}[Zariski-Topologie]
Es sei $k$ ein Körper. Die Topologie
@ -275,21 +273,21 @@ Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar
\mathcal{P}(k^m)
\]
wird als \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} bezeichnet. Der
topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn
$X ⊂ k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$
induzierte Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie.
topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn $X ⊂
k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$ induzierte
Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie.
\end{defn}
\begin{notation}
Im Fall $k = ℝ$ oder $ℂ$ haben wir also mindestens zwei interessante
Topologien: die klassische Euklidische Topologie, die Sie aus der Vorlesung
``Analysis'' kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu
vermeiden, sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen}
und \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und
„Analysis“ kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu vermeiden,
sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen} und
\emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und
\emph{Euklidisch-offenen} Mengen.
\end{notation}
\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}
\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}%
Die Zariski-Topologie hat einige sehr ungewohnte Eigenschaften.
\begin{itemize}
\item Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann liegt jede
@ -346,8 +344,8 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen.
\begin{enumerate}
\item Aus $A ⊆ B$ folgt $I(A) ⊇ I(B)$.
\item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau dann, wenn
$A$ eine algebraische Menge ist.
\item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau
dann, wenn $A$ eine algebraische Menge ist.
\item Es ist $I(A ∪ B) = I(A) ∩ I(B)$.
\end{enumerate}
@ -364,10 +362,11 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen.
\[
V\bigl(I(A)\bigr) = \overline{A}^Z,
\]
wobei $\overline{•}^Z$ für ``topologischer Abschluss in der
Zariski-Topologie'' steht.
wobei $\overline{•}^Z$ für „topologischer Abschluss in der Zariski-Topologie“
steht.
\end{aufgabe}
\section{Der starke Nullstellensatz}
\sideremark{Vorlesung 6}Gegeben einen Körper $k$ und eine Zahl $n$, dann hatten
@ -380,12 +379,12 @@ die uns beide sehr viel Freude machen. Es schaut ein wenig so aus, als wären
die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen. Das ist aus
mindestens zwei Gründen nicht der Fall.
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1}
Die Bilder der Abbildung $V$ sind algebraische Mengen, während die Abbildung
$I$ beliebige Mengen als Input nimmt.
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1} Die Bilder der Abbildung $V$ sind
algebraische Mengen, während die Abbildung $I$ beliebige Mengen als Input
nimmt.
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}%
Die Abbildung $I$ ist nicht injektiv. Nehme zum Beispiel $k = ℂ$ und
betrachte das Ideal $I = (x) ⊊ ℂ[x]$. Dann ist $I² = (x²) ⊊ (x) = I$, aber
$V(I²) = V(I)$ ist jeweils einfach der Nullpunkt in $ℂ$. Beobachten Sie, dass
@ -399,7 +398,7 @@ aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} ist interessanter. Ist alle Hoffnung auf
Bijektivität verloren? Wahrscheinlich nicht. Schauen Sie sich die Definition
der Abbildung $I$ noch einmal an und beobachten Sie, dass das Ideal $(x²)$
niemals Output von $I$ ist! Offenbar liefert die Abbildung $I$ also Output nur
solche Ideal, die ``nicht Potenz eines größeren Ideals'' sind. Die folgende
solche Ideal, die „nicht Potenz eines größeren Ideals“ sind. Die folgende
Definition macht diese Aussage präzise.
\begin{satzdef}
@ -424,7 +423,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise.
\begin{bemerkung}
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Aus der Definition des
Radikalideals ergibt sich schnell: $\rad \rad J = \rad J$. Mehrfaches
``Wurzelziehen'' bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen
„Wurzelziehen“ bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen
können. Die Idee, Radikale bei der Wurzel zu ziehen, war 1972 Gegenstand des
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Radikalenerlass}{Radikalenerlasses}.
\end{bemerkung}
@ -432,7 +431,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise.
\begin{bsp}[Primideale sind radikal]
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Primideal. Dann ist $J$ ein
Radikalideal. Falls nämlich $f ∈ R$ ein Element wäre, sodass $f² ∈ J$ ist,
dann gilt nach Definition von ``Primideal'', dass auch $f ∈ J$ sein muss.
dann gilt nach Definition von „Primideal“, dass auch $f ∈ J$ sein muss.
Induktiv beweise man nun, dass für jede natürliche Zahl $n$ und jedes Element
$f ∈ R$ aus $f^n ∈ J$ immer sofort $f ∈ J$ folgt.
\end{bsp}
@ -452,9 +451,9 @@ Erhalten wir jetzt also eine Bijektion, wenn wir zusätzlich noch die Abbildung
$V$ aus Radikalideale einschränken? Falls $k$ algebraisch abgeschlossenen, gibt
der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort.
\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
$J ⊆ k[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist
\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $J ⊆ k[x_1, …,
x_n]$ ein Ideal. Dann ist
\[
I\bigl(V(J) \bigr) = \rad J.
\]
@ -464,11 +463,11 @@ der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort.
\begin{proof}
\video{6-2} zeigt den Beweis mithilfe des genialen
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Rabinowitsch_trick}{Tricks von
Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George
Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa;
† 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer
Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit
in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}.
Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George
Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; †
10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer
Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit
in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}.
\end{proof}
Ich fasse das Ergebnis dieses Kapitels noch einmal zusammen: Angenommen, es sei