From df37bd8d465383f7a4c98bd4120f550ef1aef710 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 26 Apr 2023 10:49:00 +0200 Subject: [PATCH] Minor updates --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 21 +++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 7 + 04.tex | 140 ++++++++++---------- 05.tex | 121 +++++++++-------- 4 files changed, 157 insertions(+), 132 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index aef0a1d..feb832f 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -43,3 +43,24 @@ Ganzheitsgleichung Erzeugendensystem Gröbnerbasen Syzygie +Substitutionsmorphismus +Transzendenzbasen +Transzendenzbasis +Transzendenzgrad +körpertheoretische +körpertheoretischen +tautologischerweise +Verschwindungsmenge +Koeffizientenkörper +Zariski-Topologie +Zariski-abgeschlossenen +Zariski-offenen +Zariski-offene +Hausdorffsch +Verschwindungsideal +Radikalideal +Radikalideals +Primideal +Maximalitätsannahme +Radikalideale +Rabinowitsch diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 68ccfd7..122cb7b 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -3,3 +3,10 @@ {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch abhängig über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma, dass wir \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q vergrößern können.\\E$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann definiere den Transzendenzgrad von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine endlich Transzendenzbasis mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Elementen besitzt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer folgende Satz unterscheidet sich von der Vorabversion, die wir auf Seite satz:shn formuliert hatten, durch die Diskussion des algebraischen Abschlusses.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"} diff --git a/04.tex b/04.tex index 2106ac4..edcf636 100644 --- a/04.tex +++ b/04.tex @@ -16,23 +16,22 @@ als einem Element. \begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit] Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$. Nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige - Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der - Substitutionsmorphismus + Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der Substitutionsmorphismus \[ K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n) \] injektiv ist. Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch! - Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als + Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als \emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente $b_1,…, b_n$ bezeichnet. \end{defn} \begin{bemerkung} - Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der - algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen ``die - Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und - richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch - unabhängig''. Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~… + Genau wie beim Begriff der „linearen Unabhängigkeit“ ist die Definition der + algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen „die + Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig“ wäre es besser und + richtiger, zu sagen: „die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch unabhängig“. + Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~… \end{bemerkung} \begin{bemerkung} @@ -44,12 +43,12 @@ als einem Element. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} - Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für + Gelegentlich wird der Begriff „algebraisch unabhängig“ statt für Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in Integritätsringen verwendet. Das kann man machen. Wir beobachten, dass der Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist, wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv - ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet. + ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotenentenkörper bezeichnet. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} @@ -62,11 +61,11 @@ als einem Element. \section{Transzendenzbasen} Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit. Und -genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die -maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die -Transzendenzbasis einer Körpererweiterung. +genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als „linear unabhängige Menge, die +maximal ist bezüglich der Inklusion“, definieren wir jetzt die Transzendenzbasis +einer Körpererweiterung. -\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1} +\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}% Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Eine \emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion @@ -74,22 +73,22 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung. \end{defn} \begin{bemerkung} - In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit - anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist - algebraisch abhängig über $K$. + In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet „maximal bezüglich der Inklusion“ mit + anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist algebraisch abhängig über + $K$. \end{bemerkung} \begin{bsp}[Rationale Funktionen] Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der - rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente - $X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$. + rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente $X_1, …, X_n + ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$. \end{bsp} -\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4} - Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei - $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig - über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$ - über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist. +\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}% + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ + eine Menge, die algebraisch unabhängig über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau + dann eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$, wenn die Körpererweiterung + $L/K(M)$ algebraisch ist. \end{lem} \begin{proof} Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende @@ -100,8 +99,8 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung. & \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K. \end{align*} Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann - maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch - über $K(M)$ ist. + maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch über + $K(M)$ ist. \end{proof} \begin{bemerkung} @@ -109,22 +108,21 @@ Transzendenzbasis einer Körpererweiterung. funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$. Aber ich bin zu faul. \end{bemerkung} -In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz. Das +In der Vorlesung „Lineare Algebra I“ beweist man den Basisergänzungssatz. Das geht auch hier. \begin{satz}[Basisergänzung] - Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein - Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$ - ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$ - ergänzen. + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein Erzeugendensystem ist + und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$ ist, dann lässt sich $S$ zu + einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$ ergänzen. \end{satz} \begin{proof} - Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa - $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von - Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen - Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können. Die Annahme ``maximal groß'' impliziert, - dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$ - algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus + Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa $Γ = \{γ_1, + …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von Zorn's Lemma, + dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen Teilmenge $B ⊆ + Γ$ vergrößern können. Die Annahme „maximal groß“ impliziert, dass jedes $γ_•$ + algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$ algebraisch über + $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist. \end{proof} @@ -137,8 +135,8 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall. \begin{prop}[Basisaustauschlemma] Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine - endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei - $\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$. + endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei $\{ c_1, …, c_m \} ⊂ + L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$. \end{prop} \begin{proof} \video{4-1} @@ -174,7 +172,7 @@ Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall. \end{bsp} \begin{bsp}[Rationale Funktionen] - Es sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$. + Sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$. \end{bsp} \begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen] @@ -202,43 +200,43 @@ Körpererweiterungen. \section{Rein transzendente Erweiterungen} In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson -bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''. Das kann man für -transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das folgende -Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt +bekanntermaßen fest: „\foreignlanguage{english}{All men are created equal.}“ Das +kann man für transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das +folgende Beispiel zeigt, gibt es „rein transzendente“ Erweiterungen und es gibt solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann. \begin{itemize} -\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge - $\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist - tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. +\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge $\{x\}$ + bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist transzendent über + $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. -\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad - 1. Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in - $ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$. +\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Transzendenzgrad 1. + Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in + $ℚ(\sqrt{2}, π)$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$. Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung \[ ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ. \] - Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern - $ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ - transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. - Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch. + Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern $ℚ(π)$ + und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ transzendent über + $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. Im Gegensatz dazu ist + die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch. \end{itemize} \begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung] Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über - $K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist. + $K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist. \end{defn} \begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen] - Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis - $B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus - $L ≅ K(x_1, …, x_n)$. Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent - über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt. + Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis $B = \{b_1, + …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $L ≅ K(x_1, …, x_n)$. + Insbesondere ist jedes Element von $L$ transzendent über $K$, wenn es nicht + schon zufällig selbst in $K$ liegt. \end{bemerkung} -\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3} +\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}% Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von Körpererweiterungen betrachten, @@ -250,23 +248,23 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann. \begin{warnung} Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht - kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für - transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung - ``Algebra'' gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der - Wahl der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung - $K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der - Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben. Diese ist eindeutig. + kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art „Galois-Theorie für + transzendente Erweiterungen“ sehen, dann haben Sie in der Vorlesung + „Algebra“ gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der Wahl + der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung $K ⊆ + K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der Vorlesung + „Algebra“ kennengelernt haben. Diese ist eindeutig. \end{warnung} Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung rein transzendent ist. Der berühmte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von - Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob - Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München) - war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich -ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen -Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den -Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen. +Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob +Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München) war +ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich ohne +Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen Parametrisierbarkeit +gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den Zusammenhang (wenn +überhaupt) erst sehr viel später verstehen. \begin{satz}[Satz von Lüroth] Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen, diff --git a/05.tex b/05.tex index 619c04d..83b1570 100644 --- a/05.tex +++ b/05.tex @@ -3,10 +3,9 @@ \chapter{Der Nullstellensatz und die Korrespondenzen $V$ und $I$} -In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner ``starken'' -Form bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten -Korrespondenzen zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen -Objekten. +In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner „starken“ Form +bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten Korrespondenzen +zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen Objekten. \section{Die körpertheoretische Version des Nullstellensatzes} @@ -17,7 +16,7 @@ dass gewisse Körpererweiterungen algebraisch sind. Bleiben Sie dabei und legen Sie nicht auf! Die geometrische Bedeutung des Satzes wird sofort im nächsten Abschnitten klar werden. -\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn} +\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}% Es sei $E/K$ eine Körpererweiterung, die als Ringerweiterung von endlichem Typ ist. Dann ist $E/K$ algebraisch. \end{satz} @@ -41,7 +40,7 @@ auch noch ein starker Nullstellensatz. Der folgende Satz unterscheidet sich von der Vorabversion, die wir auf Seite~\vpageref{satz:shn} formuliert hatten, durch die Diskussion des algebraischen Abschlusses. -\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle} +\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}% Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -103,12 +102,11 @@ die Diskussion des algebraischen Abschlusses. \[ (f_1, …, f_m) ⊆ m ⊊ k[x_1, …, x_n]. \] - Aus der Vorlesung ``Algebra'' wissen wir, dass der Quotient - $E := k[x_1, …, x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra - durch die Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der - körpertheoretischen Version des Hilbertschen Nullstellensatzes, - Satz~\vref{satz:kthn} ist die Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es - gibt eine Einbettung + Aus der Vorlesung „Algebra“ wissen wir, dass der Quotient $E := k[x_1, …, + x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra durch die + Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der körpertheoretischen + Version des Hilbertschen Nullstellensatzes, Satz~\vref{satz:kthn} ist die + Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es gibt eine Einbettung \[ φ: E ↪ \overline{k}. \] @@ -143,36 +141,36 @@ zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist! \item Es gilt genau dann $V(f_1, …, f_m) ≠ ∅$, wenn $1 \notin (f_1, …, f_m)$ ist. - \item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente - $a_1, …, a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt, + \item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente $a_1, …, + a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt, \[ m = (x_1-a_1, …, x_n-a_n). \] - \item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von - $k[x_1, …, x_n]$ und den Punkten in $k^n$. + \item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von $k[x_1, …, + x_n]$ und den Punkten in $k^n$. \end{enumerate} \end{kor} \begin{proof} \video{5-1} \end{proof} -\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and} +\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}% Weil man polynomiale Gleichungssysteme sowieso immer erst einmal über dem algebraischen Abschluss eines Körpers zu studiert, verwenden manche Autoren folgende Konvention, die ein wenig von unserer Notation für algebraische Mengen, Notation~\vref{not:2-1-3} abweicht. Gegeben ein Körper $k$ mit - algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome - $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der - Lösungen des polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem - Abschluss} mit + algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome $f_1, …, f_n ∈ + k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der Lösungen des + polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem Abschluss} mit \[ X := V(f_1, …, f_n) := \left\{ \vec{a} ∈ \overline{k}^m \::\: f_1(\vec{a}) = ⋯ = f_n(\vec{a}) = 0 \right\} \] - und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, f_m$} oder die - \emph{Lösungsmenge des Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}. Die - Menge der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als + und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, + f_m$}\index{Verschwindungsmenge} oder die \emph{Lösungsmenge des + Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}\index{Lösungsmenge}. Die Menge + der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als \emph{Menge der $k$-rationalen Punkte von $X$}\index{rationale Punkte} bezeichnet. In diesem Zusammenhang nennt man $k$ auch den \emph{Koeffizientenkörper}\index{Koeffizientenkörper} oder den @@ -187,8 +185,8 @@ formulieren. \begin{satz}[Fermat's großer Satz] Es sei $n ∈ ℕ$ eine ungerade Zahl, $n ≥ 3$. Dann hat die Lösungsmenge $X$ des - Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also - $\# X(ℚ) = 2$. \qed + Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also $\# + X(ℚ) = 2$. \qed \end{satz} @@ -202,7 +200,7 @@ Gleichungssystems gar nicht so sehr auf die einzelnen Gleichungen ankommt, sondern vielmehr auf das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$. -\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1} +\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊆ k[x_1, …, x_m]$ ein Ideal. Dann heißt \[ V(I) := \left\{ \vec{a} ∈ k^m \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } f ∈ I @@ -214,9 +212,9 @@ das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$. Die Mengen $V(I)$ sind nicht beliebig. Ich erinnere dazu an den Hilbert'schen Basissatz: Der Polynomring $k[x_1, …, x_m]$ aus Definition~\ref{def:5-3-1} ist Noethersch und jedes Ideal ist daher endlich erzeugt. Das bedeutet: gegeben ein -Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen -$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie -sich jetzt \emph{sofort}, dass dann die Gleichheit +Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen $f_1, …, f_m +∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie sich jetzt +\emph{sofort}, dass dann die Gleichheit \[ V(I) = V(f_1, …, f_m) \] @@ -232,7 +230,7 @@ Definition~\vref{def:2-1-1}. Wir erhalten also eine Abbildung die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften der Abbildung $V$ zusammen. -\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2} +\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}% Es sei $k$ ein Körper und $R := k[x_1, …, x_n]$. Dann gelten die folgenden Aussagen. \begin{enumerate} @@ -263,10 +261,10 @@ abgeschlossene Mengen eines topologischen Raumes. Egal wie schrecklich der Körper $k$ ist, erhalten wir also eine Topologie auf $k^m$, deren abgeschlossenen Menge genau die algebraischen Mengen sind. Diese Topologie wird Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar - Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, - Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein - US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der - algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt. +Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, +Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein +US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der +algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt. \begin{defn}[Zariski-Topologie] Es sei $k$ ein Körper. Die Topologie @@ -275,21 +273,21 @@ Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar \mathcal{P}(k^m) \] wird als \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} bezeichnet. Der - topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn - $X ⊂ k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$ - induzierte Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie. + topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn $X ⊂ + k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$ induzierte + Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie. \end{defn} \begin{notation} Im Fall $k = ℝ$ oder $ℂ$ haben wir also mindestens zwei interessante Topologien: die klassische Euklidische Topologie, die Sie aus der Vorlesung - ``Analysis'' kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu - vermeiden, sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen} - und \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und + „Analysis“ kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu vermeiden, + sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen} und + \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und \emph{Euklidisch-offenen} Mengen. \end{notation} -\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5} +\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}% Die Zariski-Topologie hat einige sehr ungewohnte Eigenschaften. \begin{itemize} \item Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann liegt jede @@ -346,8 +344,8 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen. \begin{enumerate} \item Aus $A ⊆ B$ folgt $I(A) ⊇ I(B)$. - \item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau dann, wenn - $A$ eine algebraische Menge ist. + \item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau + dann, wenn $A$ eine algebraische Menge ist. \item Es ist $I(A ∪ B) = I(A) ∩ I(B)$. \end{enumerate} @@ -364,10 +362,11 @@ Eigenschaften dieser Abbildung zusammen. \[ V\bigl(I(A)\bigr) = \overline{A}^Z, \] - wobei $\overline{•}^Z$ für ``topologischer Abschluss in der - Zariski-Topologie'' steht. + wobei $\overline{•}^Z$ für „topologischer Abschluss in der Zariski-Topologie“ + steht. \end{aufgabe} + \section{Der starke Nullstellensatz} \sideremark{Vorlesung 6}Gegeben einen Körper $k$ und eine Zahl $n$, dann hatten @@ -380,12 +379,12 @@ die uns beide sehr viel Freude machen. Es schaut ein wenig so aus, als wären die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen. Das ist aus mindestens zwei Gründen nicht der Fall. -\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1} - Die Bilder der Abbildung $V$ sind algebraische Mengen, während die Abbildung - $I$ beliebige Mengen als Input nimmt. +\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1} Die Bilder der Abbildung $V$ sind + algebraische Mengen, während die Abbildung $I$ beliebige Mengen als Input + nimmt. \end{beobachtung} -\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2} +\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}% Die Abbildung $I$ ist nicht injektiv. Nehme zum Beispiel $k = ℂ$ und betrachte das Ideal $I = (x) ⊊ ℂ[x]$. Dann ist $I² = (x²) ⊊ (x) = I$, aber $V(I²) = V(I)$ ist jeweils einfach der Nullpunkt in $ℂ$. Beobachten Sie, dass @@ -399,7 +398,7 @@ aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} ist interessanter. Ist alle Hoffnung auf Bijektivität verloren? Wahrscheinlich nicht. Schauen Sie sich die Definition der Abbildung $I$ noch einmal an und beobachten Sie, dass das Ideal $(x²)$ niemals Output von $I$ ist! Offenbar liefert die Abbildung $I$ also Output nur -solche Ideal, die ``nicht Potenz eines größeren Ideals'' sind. Die folgende +solche Ideal, die „nicht Potenz eines größeren Ideals“ sind. Die folgende Definition macht diese Aussage präzise. \begin{satzdef} @@ -424,7 +423,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise. \begin{bemerkung} Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Aus der Definition des Radikalideals ergibt sich schnell: $\rad \rad J = \rad J$. Mehrfaches - ``Wurzelziehen'' bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen + „Wurzelziehen“ bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen können. Die Idee, Radikale bei der Wurzel zu ziehen, war 1972 Gegenstand des \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Radikalenerlass}{Radikalenerlasses}. \end{bemerkung} @@ -432,7 +431,7 @@ Definition macht diese Aussage präzise. \begin{bsp}[Primideale sind radikal] Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Primideal. Dann ist $J$ ein Radikalideal. Falls nämlich $f ∈ R$ ein Element wäre, sodass $f² ∈ J$ ist, - dann gilt nach Definition von ``Primideal'', dass auch $f ∈ J$ sein muss. + dann gilt nach Definition von „Primideal“, dass auch $f ∈ J$ sein muss. Induktiv beweise man nun, dass für jede natürliche Zahl $n$ und jedes Element $f ∈ R$ aus $f^n ∈ J$ immer sofort $f ∈ J$ folgt. \end{bsp} @@ -452,9 +451,9 @@ Erhalten wir jetzt also eine Bijektion, wenn wir zusätzlich noch die Abbildung $V$ aus Radikalideale einschränken? Falls $k$ algebraisch abgeschlossenen, gibt der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort. -\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei - $J ⊆ k[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist +\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $J ⊆ k[x_1, …, + x_n]$ ein Ideal. Dann ist \[ I\bigl(V(J) \bigr) = \rad J. \] @@ -464,11 +463,11 @@ der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort. \begin{proof} \video{6-2} zeigt den Beweis mithilfe des genialen \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Rabinowitsch_trick}{Tricks von - Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George - Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; - † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer - Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit - in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}. + Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George + Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † + 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer + Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit + in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}. \end{proof} Ich fasse das Ergebnis dieses Kapitels noch einmal zusammen: Angenommen, es sei