Cleanup

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -19,3 +19,92 @@ Quotientenvektorraums
 Erzeugendensystem
 Quotientenvektorräume
 Repräsentantenniveau
+Jordanscher
+Matrixexponential
+Matrixexponentials
+Einsetzungsabbildung
+Cayley-Hamilton
+TFAE
+Jordanblocks
+Einsetzungsmorphismus
+Abstandserhaltende
+abstandserhaltend
+metrikerhaltend
+abstandserhaltenden
+abstandserhaltender
+abstandserhaltende
+Definitheit
+ONB
+Kronecker-Delta
+semidefinit
+Bytestrings
+Bilinearität
+Semilinearität
+Sesquilinearlinearform
+Cayley
+Sequilinearform
+Dualräumen
+Hom-Räumen
+Maximumsnorm
+Cauchy-Schwarzschen
+Cauchy-Schwarzsche
+Cauchy
+Sceaux
+Amandus
+Orthonormalität
+Identifikationen
+semi-linear
+Quotientenräume
+Rückzugsabbildung
+Determinanten-Multiplikationssatz
+Komplexifizierung
+komplexifizierten
+komplexifizierte
+Quadriken
+Quadrik
+Grund-Quadriken
+Vereinfachungsschritten
+Koniken
+Perge
+Hyperbelbahnen
+Konik
+Auxerre
+Loviscach
+psycho-akustisches
+SciKit
+Funktionalgleichung
+Schönhage-Strassen-Algorithmus
+Schönhage
+Strassen
+Thurstone
+Allport
+Odbert
+kulturstabile
+Stryker
+Gallup-Test
+OCEAN-Modell
+PCA
+massebehafteter
+Sylvester
+Hurwitz-Kriteriums
+Hurwitz-Kriterium
+Determinantenabbildung
+Eindeutigkeitsbeweis
+Tensorproduktraum
+Trivialbeispiel
+Erzeugendensysteme
+Kronecker-Produkt
+Kronecker
+Tensorprodukträume
+Tensorproduktkonstruktion
+Tensorproduktabbildung
+Multiplikationsabbildung
+Permutationsgruppe
+Erzeugendensystemen
+auszumultiplizieren
+inner-mathematischen
+zerlegungsgleich
+Zerlegungsgleichheit
+Invarianteneigenschaft
+Quotientenvektorraum
+Kebekus

.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt

@@ -0,0 +1 @@
+observables

.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt

@@ -1 +1,3 @@
 KARDINALZAHLEN
+DE_COMPOUND_COHERENCY
+KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -7,3 +7,73 @@
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"}
+{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im ersten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Satz des Pythagoras] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Velociraptoren” sind etwas ganz anderes als “romantische Gefühle”, auch wenn beide Menschen verzehren.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, so dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDidaktisch ist das eine Katastrophe – wir haben in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QLesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere: Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie wesentliche Eigenschaft von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q war zusammengefasst in der Kommutativität des folgenden Diagramms, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q In einer Zeile: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSesqui = Eineinhalb\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Semilinearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QArthur Cayley (* 16. August 1821 in Richmond upon Thames, Surrey; † 26. Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Absolute Homogenität] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen Begriff von „orthogonalen Unterraum“.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir werden in Abschnitt sec:dual sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des “Dualraum”.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des „Dualraum“.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem “orthogonalen Komplement” aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines Untervektorraumes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in kanonischer Weise mit dem Raum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q identifiziert, der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QZu jeder linearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QBetrachte das folgende Diagramm: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, Rückzugsabbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Beim Betrachten des Diagramms \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q fällt auf, dass die Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von der Wahl der Skalarprodukte abhängen.\\E$"}
+{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QIch hatte oben schon geschrieben, dass die orthogonaler Endomorphismen schwieriger zu beschreiben sind als unitäre; dieser Abschnitt ist dementsprechend auch länger als der Vorhergehende.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qder von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stabilisiert wird“.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QRechnen Sie nach, dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QProd.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QStandardskalarprodukt Folgern Sie mithilfe von Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q messerscharf, dass die Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann selbstadjungiert ist, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine symmetrische oder Hermitesche Matrix ist.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
+{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin Tensorprodukt von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Vektorraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einer multilinearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle multilinearen Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, linear \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDeshalb liefert uns die universelle Eigenschaft aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und ein kommutatives Diagramm wie folgt, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, multilin.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVielleicht sollte ich noch eine Vorlesung „Lineare Algebra III“ anbieten?\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.tes äußeres Produkt oder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.tes Dachprodukt von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Vektorraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einer alternierenden multilinearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, so dass für alle multilinearen Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, alternierend multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.tes äußeres Produkt oder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.tes Dachprodukt von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Vektorraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einer alternierenden multilinearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle multilinearen Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, alternierend multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, linear \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, alternierend multilin.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert ein \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.tes äußeres Produkt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qbinomi \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnern Sie sich an die letzten Vorlesungen von „Lineare Algebra I“?\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q…und was kann ich jetzt damit machen?.\\E$"}

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt

@@ -0,0 +1,2 @@
+{"rule":"ADMIT_ENJOY_VB","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}
+{"rule":"MORFOLOGIK_RULE_EN_US","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}

01-Wiederholung.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ Diagonalgestalt hat.
 \begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
   In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
   \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
-  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B$ eine Diagonalmatrix ist.
+  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
 \end{defn}
 
 Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.

02-Jordan.tex

@@ -190,9 +190,9 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   $$
   \Hau_f(λ) := \bigcup_{n ∈ ℕ} \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )^n \Bigr)
   $$
-  Man nennt dies den \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Endomorphismus} oder
+  Man nennt dies den \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!eines Endomorphismus} oder
   \emph{verallgemeinerten Eigenraum zum Eigenwert $λ$}%
-  \index{verallgemeinerter Eigenraum!Endomorphismus}.
+  \index{verallgemeinerter Eigenraum!eines Endomorphismus}.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}%
@@ -203,8 +203,8 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   \Bigr),
   $$
   wobei $\Id_{n⨯ n}$ die Einheitsmatrix bezeichnet.  Man nennt dies den
-  \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Matrix} oder \emph{verallgemeinerten
+  \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!einer Matrix} oder \emph{verallgemeinerten
-  Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
+  Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!einer Matrix}.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -626,8 +626,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
   eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden.  Schreibe jetzt
   die Vektoren
   \[
-    \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
+    f(\vec w_1), …, f(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}
-    v^p_{m_p-a}
   \]
   in die $p$.te Spalte des Diagramms.  Nach Punkt~\ref{il:2-3-4-2} von
   Proposition~\ref{prop:2-3-4} kommen alle diese Vektoren aus $V^p$.
@@ -756,8 +755,8 @@ folgt vor.
   \]
   Um die Länge der Notation im Rahmen zu halten, schreibe $W_i := \Hau_f(λ_i)$.
 
-\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir wissen
+\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ_i·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir
-  schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
+  wissen schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
   
 \item Für jeden Index $i$ bestimme die zu $g_i$ gehörende Partition $P_i$ und
   die duale Partition

03-Anwendungen.tex

@@ -117,9 +117,9 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
 
 \begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von komplexen Matrizen]
   Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen
-  Zahlen.  Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs effizient
+  Zahlen.  Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs
-  eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, so dass $B := S·A·S^{-1}$
+  effizient eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, sodass $B :=
-  Jordansche Normalform hat.  Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
+  S·A·S^{-1}$ Jordansche Normalform hat.  Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
   \[
     A^p = S^{-1}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·S ⋯ S^{-1}·B·S = S^{-1}·B^p·S.
   \]
@@ -133,7 +133,7 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
 
 In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennengelernt,
 \[
-  \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}
+  \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}.
 \]
 Wahrscheinlich kennen Sie auch schon die komplexe Exponentialfunktion und
 wissen, dass für jede reelle Zahl $t$ gilt
@@ -152,12 +152,12 @@ $(n⨯ n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
 \[
   \exp(A) := \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n.
 \]
-Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯ n)$-Einheitsmatrix.  Diese Reihe konvergiert
+Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix.  Diese Reihe konvergiert in
-in dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
+dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
 natürlich lässt sich noch viel mehr sagen: absolute Konvergenz, Konvergenz in
 Operatornorm, ….  Ich erhalte so eine Abbildung
 \[
-  \exp : \Mat_{n⨯ n}(ℂ) → \Mat_{n⨯ n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n
+  \exp : \Mat_{n⨯n}(ℂ) → \Mat_{n⨯n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n,
 \]
 die in der Literatur oft Matrixexponential\index{Matrixexponential} genannt
 wird.  Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
@@ -171,7 +171,7 @@ wird.  Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
       & λ_2 & \\
       & & \ddots \\
       0 & & & λ_n
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
   Dann ist
   \[
@@ -192,15 +192,14 @@ wird.  Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
     \]
 \end{bsp}
 
-Etwas
+Etwas weitergehende Beispiele finden Sie als
-weitergehende Beispiele finden Sie als
 \href{http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/Mathphys/15SS_ODEs/06-matrixexponential.pdf}{Beispiel
 1.4.  in diesem Seminarvortrag}.  Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
 Matrixexponentials.
 
 \begin{fakt}[Elementare Fakten zum Matrixpotential]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe $(n⨯
-  $(n⨯ n)$-Matrizen.
+  n)$-Matrizen.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:3-2-3-1} Falls $A$ und $B$ kommutieren (falls also $AB=BA$
     ist), dann gilt
@@ -208,8 +207,8 @@ Matrixexponentials.
       \exp(A+B)=\exp(A)·\exp(B).
     \]
 
-  \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯ n)$-Matrix
+  \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯n)$-Matrix $S$
-    $S$ ist
+    ist
     \[
       \exp(S·A·S^{-1}) = S·\exp(A)·S^{-1} \eqno \qed
     \]
@@ -217,40 +216,40 @@ Matrixexponentials.
 \end{fakt}
 
 \begin{beobachtung}
-  Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix ist, dann kommutieren die
+  Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯n)$-Matrix ist, dann kommutieren die Matrizen
-  Matrizen $A$ und $-A$ offenbar.  Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
+  $A$ und $-A$ offenbar.  Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
   \[
     \Id_{n⨯n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
   \]
   Es folgt, dass das Matrixexponential $\exp(A)$ für jede komplexe
-  $(n⨯ n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass
+  $(n⨯n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
-  $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$ gilt.
+  gilt.
 \end{beobachtung}
 
 Insgesamt sollten Sie mit den Beobachtungen aus Abschnitt~\ref{sec:hohePot}
 jetzt ganz gut in der Lage sein, beliebige Matrixexponentials auszurechnen.
 
 
-\section{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\section{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
 
 \subsection{Erinnerung}
 
-Sie haben lineare, homogene Differentialgleichungen wahrscheinlich schon in der
+Sie haben lineare, homogene Differenzialgleichungen wahrscheinlich schon in der
 Schule kennengelernt.  Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$.  Gesucht ist
-eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$
+eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: $y'(t)
-gilt: $y'(t) = a·y(t)$.  Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein.  Aus der Vorlesung
+= a·y(t)$.  Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein.  Aus der Vorlesung Analysis wissen
-Analysis wissen Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
+Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
 $$
 y(t) = \exp(t·a)·y_0.
 $$
 Dasselbe funktioniert genau so mit komplexen Zahlen.
 
 
-\subsection{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\subsection{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
 
-Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix $A$
+Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯n)$-Matrix $A$ und ein
-und ein Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$.  Gesucht sind $n$ differenzierbare
+Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$.  Gesucht sind $n$ differenzierbare Funktionen $y_1$,
-Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
+…, $y_n : ℂ → ℂ$, sodass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
 \[
   \begin{pmatrix}
     y'_1(t) \\
@@ -265,7 +264,7 @@ Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
     y_2(t) \\
     \vdots \\
     y_n(t)
-  \end{pmatrix}
+  \end{pmatrix}.
 \]
 Außerdem soll
 \[
@@ -279,8 +278,8 @@ Außerdem soll
 \]
 sein.
 
-\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}
+\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}%
-  Diese Problem hat genau eine Lösung.  Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
+  Dieses Problem hat genau eine Lösung.  Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
   gegeben als
   \[
     \begin{pmatrix}
@@ -299,12 +298,12 @@ sein.
 \end{bsp}
 
 
-\subsection{Differentialgleichungen höherer Ordnung}
+\subsection{Differenzialgleichungen höherer Ordnung}
 
 Ich erkläre an einem Beispiel, wie man mit unseren Methoden eine
-Differentialgleichung höherer Ordnung löst.  Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
+Differenzialgleichung höherer Ordnung löst.  Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
-$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$.  Gesucht ist eine Funktion
+$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$.  Gesucht ist eine Funktion $y : ℝ → ℝ$,
-$y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
+sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
 \begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
   y'''(t) = a·y(t)+b·y'(t)+c·y''(t).
 \end{equation}
@@ -344,9 +343,9 @@ dieser Formulierung stellt sich \eqref{eq:3-3-2-1} wie folgt dar.
     y_0 \\
     y'_0 \\
     y''_0
-  \end{pmatrix}
+  \end{pmatrix}.
 \]
-Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme,
+Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme,
 Fakt~\ref{fakt:3-3-1}, können wir diese DGL jetzt aber lösen.
 
 \begin{bsp}

04-Cayley-Hamilton.tex

@@ -18,9 +18,8 @@ In der Situation~\ref{sit:4-0-1} gibt es noch mehr Endomorphismen, zum Beispiel
   f⁰ = \Id_V, \quad f², \quad f³, \quad\text{oder}\quad f⁵-7·f²+12·f-5·f⁰.
 \]
 Das funktioniert natürlich nicht nur mit den Polynomen $x⁰$, $x²$, $x³$ und
-$x⁵-7·x²+12·x-5$ sondern ganz allgemein.  Die passende Definition kommt
+$x⁵-7·x²+12·x-5$, sondern ganz allgemein.  Die passende Definition kommt sofort,
-sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
+aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definitionen zum Thema „Polynome“.
-``Polynome''.
 
 \begin{defn}[Polynome]
   Gegeben einen Körper $k$, dann bezeichne mit $k[t]$ die Menge der Polynome mit
@@ -45,15 +44,15 @@ sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
   Es ist $t²+π·t- \sqrt{2} ∈ ℝ[t]$, aber nicht in $ℚ[t]$.
 \end{bsp}
 
-Ich wiederhole die Warnung aus ``Lineare Algebra I''.  Wie wir in der Schule
+Ich wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.  Wie wir in der Schule
-gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$,
+gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, $λ ↦
-$λ ↦ p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$
+p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ bezeichnet.  Beachten
-bezeichnet.  Beachten Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber
+Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber keine Abbildungen sind!
-keine Abbildungen sind!  Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist,
+Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, dann sind die Polynome
-dann sind die Polynome $t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben
+$t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben ja unterschiedlichen
-ja unterschiedlichen Grad).  Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich.
+Grad).  Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. Insgesamt gibt es
-Insgesamt gibt es unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele
+unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele Selbstabbildungen
-Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
+des endlichen Körpers $𝔽_2$.
 
 \begin{defn}[Einsetzungsabbildung für Endomorphismen]
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei ein Polynom $p(t) = \sum_{i=0}^n a_i·tⁱ$ aus
@@ -68,22 +67,33 @@ Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
   \]
   genannt
   \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Endomorphismen}.
-  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
+  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
-  $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine
+  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine Matrix $p(A)$ und
-  Matrix $p(A)$ und eine
+  eine \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} $s: k[t]
-  \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen}
+  → \Mat(n⨯n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
-  $s: k[t] → \Mat(n⨯ n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}
+\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}%
-  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
+  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
-  $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$.  Wenn wir noch eine invertierbare
+  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$.  Wenn wir noch eine invertierbare Matrix $S ∈
-  Matrix $S ∈ GL_n(k)$ haben, dann ist
+  GL_n(k)$ haben, dann ist
   \[
     p(S·A·S^{-1}) = S·p(A)·S^{-1}.
   \]
 \end{beobachtung}
 
+Der Satz von Cayley\footnote{Arthur Cayley (* 16.~August 1821 in Richmond upon
+Thames, Surrey; † 26.~Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.
+Er befasste sich mit sehr vielen Gebieten der Mathematik von der Analysis,
+Algebra, Geometrie bis zur Astronomie und Mechanik, ist aber vor allem für seine
+Rolle bei der Einführung des abstrakten Gruppenkonzepts
+bekannt.}-Hamilton\footnote{Sir William Rowan Hamilton (* 4.~August 1805 in
+Dublin; † 2.~September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker
+und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine
+Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.} sagt, dass jeder
+Endomorphismus Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie
+cool ist das?
+
 \begin{satz}[Satz von Cayley-Hamilton]\label{satz:CayleyHamilton}
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $χ_f(t) ∈ k[t]$ das charakteristische
   Polynom des Endomorphismus $f$.  Dann ist
@@ -96,10 +106,11 @@ Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
   Der Satz von Cayley-Hamilton funktioniert genau so für Matrizen.
 \end{bemerkung}
 
-Kurz formuliert: Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass jeder Endomorphismus
-Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie cool ist das?
-
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:CayleyHamilton}]
+  Der Satz von Cayley-Hamilton gilt für beliebige Körper $k$.  Der vollständige
+  Beweis verwendet aber Begriffe der Algebra (den „algebraischen Abschluss eines
+  Körpers“), die uns derzeit noch nicht zur Verfügung stehen. Deshalb beweisen
+  wir den Satz im folgenden Video nur im Spezialfall $k = \bC$.
   \video{6-1}
 \end{proof}
 
@@ -111,19 +122,19 @@ Nullstelle von $χ_f$ ist.  Wir fragen uns, ob es nicht noch ein einfacheres
 Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, sodass $p(f) = 0$ ist.  Und nein, wir wollen nicht
 das Nullpolynom betrachten.
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}%
   In Situation~\ref{sit:4-0-1}, wenn ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gegeben ist mit
-  $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder
+  $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder ein
-  ein Polynom und $q(f) = 0$.  Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
+  Polynom und $q(f) = 0$.  Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
   einfachen Polynomen können wir immer annehmen, dass der Leitkoeffizient gleich
   1 ist.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}%
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} seien $p_1(t)$ und $p_2(t) ∈ k[t]$ zwei
-  unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$.  Angenommen, die Grade von
+  unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$.  Angenommen, die Grade
-  $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert.  Setzt
+  von $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert.  Setzt $q
-  $q := p_1-p_2$.  Dann gilt Folgendes.
+  := p_1-p_2$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{itemize}
   \item Das Polynome $q$ ist nicht das Nullpolynom.
   \item Es ist $q(f) = p_1(f) - p_2(f) = 0 - 0 = 0 ∈ \End(V)$.
@@ -151,7 +162,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
   Beobachtung~\ref{beob:4-0-7} und der Satz~\ref{satz:CayleyHamilton} von
   Cayley-Hamilton sagen, dass Minimalpolynome für jeden Endomorphismus und für
   jede quadratische Matrix existieren.  Beobachtung~\ref{beob:4-0-8} sagt, dass
-  dies Minimalpolynome eindeutig bestimmt ist.
+  das Minimalpolynom eindeutig bestimmt ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
@@ -162,7 +173,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
       5 & 1 & 0 \\
       0 & 5 & 0 \\
       0 & 0 & 5
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
   Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯3}$, ist das
   Minimalpolynom von $A$ ganz sicher nicht linear.  Auf der anderen Seite ist
@@ -172,7 +183,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
       25 & 10 & 0 \\
       0 & 25 & 0 \\
       0 & 0 & 25
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
   Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯3} = 0$.  Also ist
   $p(t) = t²-10·t+25 = (t-5)²$ ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle
@@ -186,17 +197,17 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
 \end{bsp}
 
 \begin{beobachtung}
-  Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: ähnliche Matrizen haben dasselbe
+  Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe
   Minimalpolynom.
 \end{beobachtung}
 
-Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
+Der folgende Satz liefert eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
 
 \begin{satz}[Andere Polynome mit $f$ als Nullstelle]
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $p(t)$ das Minimalpolynom von $f$, und $q(t)$
-  sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle
+  sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle hat.
-  hat.  Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$.  Das bedeutet: es
+  Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$.  Das bedeutet: Es gibt
-  gibt ein Polynom $r(t)$, so dass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
+  ein Polynom $r(t)$, sodass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Ich führe einen Widerspruchsbeweis und nehme an, die Aussage sei falsch.  Dann
@@ -207,9 +218,9 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
   \item Der Grad von $q$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$
     als Nullstelle haben und die kein Vielfaches von $p$ sind.
   \end{enumerate}
-  Dann ist ganz klar per Definition von ``Minimalpolynom'' $\deg q ≥ \deg
+  Dann ist ganz klar per Definition von „Minimalpolynom“ $\deg q ≥ \deg p$.  Es
-  p$.  Es sei $d := \deg q - \deg p$.  Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls
+  sei $d := \deg q - \deg p$.  Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls normiert ist
-  normiert ist und $f$ als Nullstelle hat.  Also hat
+  und $f$ als Nullstelle hat.  Also hat
   \[
     r(t) = q(t) - t^d·p(t)
   \]
@@ -220,8 +231,8 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Nullstellen des Minimalpolynoms]
-  Es sei $k$ eine Körper, $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$ und
+  Es sei $k$ ein Körper, $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix mit Werten in $k$ und $λ ∈ k$.
-  $λ ∈ k$.  TFAE:
+  TFAE:
   \begin{enumerate}
   \item Das Skalar $λ$ ist ein Eigenwert von $A$.
     

05-Skalarprodukt-im-Rn.tex

@@ -7,12 +7,12 @@
 \section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand}
 \label{sec:end}
   
-\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung ``nur'' Vektorräume
+\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung „nur“ Vektorräume
 und lineare Abbildungen betrachtet.  Viele Vektorräume, die einem in der freien
 Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff
-von ``Länge'' oder ``Norm'' eines Vektors.  Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
+von „Länge“ oder „Norm“ eines Vektors.  Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
-anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$.  Später diskutieren wir
+anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$.  Später diskutieren wir dann
-dann beliebige Vektorräume.
+beliebige Vektorräume.
 
 \begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$]
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die Abbildung
@@ -49,17 +49,16 @@ Konkret rechnet man also $\|x-y\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)²}$.
 
 \section{Abstandserhaltende Abbildungen}
 
-Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (die die Struktur des Vektorraumes
+Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (welche die Struktur des Vektorraumes
 respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm
 beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren.
 
 \begin{defn}
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt
   \emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen
-    Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}}
+  Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} oder
-  oder \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen
+  \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen Norm}\index{metrikerhaltende
-    Norm}\index{metrikerhaltende Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm},
+  Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, falls gilt:
-  falls gilt:
   \[
     d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x},
     \vec{y} ∈ ℝ^n.
@@ -87,8 +86,8 @@ Wir nennen gleich einige einfache Eigenschaften von abstandserhaltenden
 Abbildungen.
 
 \begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend bezüglich
-  bezüglich der Euklidischen Norm.  Dann gilt Folgendes.
+  der Euklidischen Norm.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv.
     
@@ -102,20 +101,20 @@ Abbildungen.
   \end{enumerate}
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Wir beweisen die Teilaussage ``$φ$ ist injektiv'' von \ref{il:5-2-4-1}:
+  Wir beweisen die Teilaussage „$φ$ ist injektiv“ von \ref{il:5-2-4-1}:
-  angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit
+  angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit $φ(\vec{v}_1) =
-  $φ(\vec{v}_1) = φ(\vec{v}_2)$.  Dann ist
+  φ(\vec{v}_2)$.  Dann ist
   \[
     d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0.
   \]
-  Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war.  Die Teilaussage `` $φ$
+  Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war.  Die Teilaussage „$φ$
-  ist surjektiv'' beweise ich nicht.  Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
+  ist surjektiv“ beweise ich nicht.  Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
   \ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5}
-  Die abstandserhaltenden Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine
+  Abstandserhaltende Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe der
-  Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$.  \qed
+  Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$.  \qed
 \end{kor}
 
 
@@ -131,20 +130,20 @@ enorm.
   abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$.  Dann ist die
   Abbildung
   \[
-    ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c} .
+    ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c}
   \]
   wieder abstandserhaltend.  Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
 \end{beobachtung}
 
 Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen
 abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den
-Nullvektor abbilden.  Solche Abbildungen heißen ``orthogonale Transformation''.
+Nullvektor abbilden.  Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation“.
 
-\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}
+\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}%
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$
-    bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des
+  bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des $ℝ^n$!orthogonal
-    $ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine
+  bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine abstandserhaltende Abbildung $ψ:
-  abstandserhaltende Abbildung $ψ: ℝ^n ˝→ ℝ^n$ mit $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
+  ℝ^n → ℝ^n$ mit $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
 \end{defn}
 
 
@@ -153,19 +152,19 @@ Nullvektor abbilden.  Solche Abbildungen heißen ``orthogonale Transformation''.
 Genau wie in Korollar~\ref{kor:5-2-5} stellen wir fest, dass die orthogonale
 Transformation eine Gruppe bilden.
 
-\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]\label{def:5-3-3}
+\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]\label{def:5-3-3}%
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die orthogonalen Transformationen bilden mit der
   Verknüpfung eine Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen
   $\Bij(ℝ^n)$.  Man nennt diese Gruppe die \emph{orthogonale Gruppe des $ℝ^n$
-    bezüglich der Euklidischen Norm}\index{orthogonale Gruppe!des $ℝ^n$
+  bezüglich der Euklidischen Norm}\index{orthogonale Gruppe!des $ℝ^n$ bezüglich
-    bezüglich der Euklidischen Norm}.
+  der Euklidischen Norm}.
 \end{defn}
 
 
-\section{Das Standard-Skalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
+\section{Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
 
 Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben.  Das wesentliche
-Hilfsmittel dabei ist das ``Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$.
+Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“.
 
 \begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$]
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die Abbildung
@@ -192,35 +191,35 @@ Hilfsmittel dabei ist das ``Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$.
 \end{defn}
 
 Das Standardskalarprodukt ist natürlich schrecklich wichtig.  Die folgenden
-einfachen Eigenschaften rechnet man sofort nach.  Ich verzichte deshalb auf einen
+einfachen Eigenschaften rechnet man sofort nach.  Ich verzichte deshalb auf
-Beweis.  Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
+einen Beweis.  Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
 Eigenschaft einmal selbst?
 
 \begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gilt folgendes:
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{description}
   \item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
     $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
     \[
       \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z}
-      \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle
+      \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle.
     \]
 
   \item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
     $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
     \[
       \langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y}
-      \rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle
+      \rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle.
     \]
 
-  \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt
+  \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x},
-    $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle ≥ 0$.  Außerdem gilt
+    \vec{x} \rangle ≥ 0$.  Außerdem gilt $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔
-    $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
+    \vec{x} = \vec{0}$.
     
   \item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
     $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$.
     
-  \item[Satz von Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
+  \item[Satz des Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
     und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
     \[
       \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y}
@@ -233,18 +232,16 @@ Die folgenden Begriffe sind sehr viel wichtiger, als es im Moment vielleicht
 scheint.
 
 \begin{defn}[Orthogonale Vektoren]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Man nennt zwei Vektoren $\vec{x}$ und
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Man nennt zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈
-  $\vec{y} ∈ ℝ^n$ \emph{zueinander orthogonal}, falls
+  ℝ^n$ \emph{zueinander orthogonal}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle =
-  $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ ist\index{orthogonal!Paar von
+  0$ ist\index{orthogonal!Paar von Vektoren}.
-    Vektoren}.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Orthonormalbasis]
   Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis
-    bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter
+  bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter Freunden:
-  Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass
+  ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle =
-  $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das
+  δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta bezeichnet.
-  Kronecker-Delta bezeichnet.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
@@ -252,12 +249,12 @@ scheint.
   Standardskalarprodukts.
 \end{bsp}
 
-Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
+Die folgende einfache Beobachtung ist für viele der folgenden Beweise zentral.
 
-\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}
+\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}%
   Es sei eine Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ von Vektoren des $ℝ^n$
-  gegeben, wobei $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$ sei.  Weiter sei
+  gegeben, wobei $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$ sei.  Weiter
-  $\vec{x} ∈ ℝ^n$ ein Vektor, den ich als Linearkombination darstellen kann:
+  sei $\vec{x} ∈ ℝ^n$ ein Vektor, den ich als Linearkombination darstellen kann:
   \[
     \vec{x} = \sum_{i=1}^n λ_i·\vec{v}_i .
   \]
@@ -280,7 +277,7 @@ Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
 Was haben orthogonale Transformationen mit dem Standardskalarprodukt zu tun?
 Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
 
-\begin{lem}[Abbildung $φ$ erhält das Standardskalarprodukt]\label{lem:5-4-7}
+\begin{lem}[Abbildung $φ$ erhält das Standardskalarprodukt]\label{lem:5-4-7}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
   Euklidischen Abstands.  Dann gilt für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ die
   Gleichung
@@ -296,12 +293,12 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
                                      &= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\
                                      &= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\
                                      &= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\
-                                     &= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle.  && \text{Pythagoras}
+                                     &= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle.  && \text{Pythagoras.}
   \end{align*}
   Damit ist das Lemma bewiesen.
 \end{proof}
 
-\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}
+\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
   Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine
   Orthonormalbasis des $ℝ^n$.  Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder
@@ -315,11 +312,11 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
 \section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen}
 \label{sec:5-5}
 
-Mit Hilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
+Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
-Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden
+Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen)
-Abbildungen) vollständig beschreiben.
+vollständig beschreiben.
 
-\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}
+\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
   Euklidischen Abstands.  Dann ist die Abbildung $φ$ linear.
 \end{satz}
@@ -337,7 +334,7 @@ Abbildungen) vollständig beschreiben.
     η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
                            &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\
                            &= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
-                           &= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.  Kpte.}\\
+                           &= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.~Kpte.}\\
                            &= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
                            &= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
                            &= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}).
@@ -345,7 +342,7 @@ Abbildungen) vollständig beschreiben.
   Damit ist die Linearität gezeigt.  \qed
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-2}
+\begin{satz}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-2}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis
   des $ℝ^n$ durch die Matrix $Q$ dargestellt wird.  TFAE:
   \begin{enumerate}
@@ -374,8 +371,8 @@ keine Gleichungssysteme und keinen langwierigen Gauß-Algorithmus.
   \emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}.
 \end{defn}
 
-Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit ``orthogonale
+Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit „orthogonale
-Gruppe'' zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
+Gruppe“ zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
-überschneidet.  Um Verwirrung zu vermeiden bevorzuge ich die ausführliche Form.
+überschneidet.  Um Verwirrung zu vermeiden, bevorzuge ich die ausführliche Form.
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

06-Produkte.tex

@@ -8,26 +8,26 @@
 \section{Bilinearformen und Skalarprodukte}
 \label{sec:skalar}
 
-\sideremark{Vorlesung 8}Der Name ``Standardskalarprodukt'' sagt es schon: es
+\sideremark{Vorlesung 8}Der Name „Standardskalarprodukt“ sagt es schon: Es gibt
-gibt noch andere Skalarprodukte.  Das Ziel dieses Abschnittes ist es,
+noch andere Skalarprodukte.  Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Skalarprodukte
-Skalarprodukte (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen
+(und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen und zu
-und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
+diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
 
-\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}
+\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}%
-  Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum.  Eine Abbildung
+  Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum.  Eine Abbildung $b: V⨯V → k$
-  $b: V ⨯ V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
+  heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
   \emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt.
 
   \begin{description}
-  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
+  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}
-    $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt
+    ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt
     \[
       b(\vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{z}) +
       λ·b(\vec{y}, \vec{z}).
     \]
     
-  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
+  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y},
-    $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
+    \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
     \[
       b(\vec{x}, \vec{y} + λ \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{y}) +
       λ·b(\vec{x}, \vec{z}) .
@@ -35,47 +35,45 @@ und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
   \end{description}
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}
+\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}%
   Wenn ich eine Bilinearform mit einem Skalar multipliziere, erhalte ich eine
   neue Bilinearform.  Ebenso kann ich zwei Bilinearformen zu einer neuen
   Bilinearform addieren.  Die Menge der bilinearen Abbildungen bildet mit diesen
   Verknüpfungen einen $k$-Vektorraum.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}
+\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}%
-  Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige
+  Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
-  $n ⨯ n$-Matrix $B$.  Dann ist die Abbildung
+  Dann ist die Abbildung
   \[
     b : k^n ⨯ k^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
     \vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}
   \]
-  bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich
+  bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich bin nicht
-    bin nicht mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder
+  mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder $^t•$ geschrieben habe.
-    $^t•$ geschrieben habe.  Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser
+  Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser aus.}.  Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und
-    aus.}.  Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind,
+  $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist.
-  und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist.  Das Produkt von einem Zeilenvektor
+  Das Produkt von einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯
-  mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯ 1$-Matrix; die Definition von $b$
+  1$-Matrix; die Definition von $b$ ist so zu verstehen, dass wir $1⨯
-  ist so zu verstehen, dass wir $1⨯ 1$-Matrizen mit den Skalaren
+  1$-Matrizen mit den Skalaren identifizieren.
-  identifizieren.
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}[Symmetrische Bilinearform]
-  Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}.  Eine Bilinearform
+  Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}.  Eine Bilinearform $b : V⨯V → k$
-  $b : V ⨯ V → k$ heißt
+  heißt \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle
-  \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle $\vec{x}$,
+  $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y},
-  $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y}, \vec{x})$
+  \vec{x})$ gilt.
-  gilt.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}
+\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}%
-  Ganz wie in Bemerkung~\ref{bem:6-1-4} bildet die Menge der symmetrischen
+  Ganz wie in Beobachtung~\ref{bem:6-1-2} bildet die Menge der symmetrischen
   Bilinearformen einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Bilinearformen.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}
+\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}%
-  Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für ``transponieren'' und
+  Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für „transponieren“ und „Matrixprodukt“.
-  ``Matrixprodukt''.  Wenn eine $n⨯ n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$
+  Wenn eine $n⨯n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ erfüllt, dann gilt für alle
-  erfüllt, dann gilt für alle Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass
+  Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass
   \[
     \Bigl(\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}\Bigr)^t = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}^{\:tt} =
     \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}.
@@ -86,21 +84,22 @@ und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
   \emph{symmetrisch}\index{Matrix!symmetrisch}\index{symmetrische Matrix}.
 \end{bsp}
 
-\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}
+\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}%
   Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum.  Weiter sei $b$ eine
   symmetrische Bilinearform auf $V$.  Nenne $b$ \emph{positiv
   semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv
-    semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung
+  semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x},
-  $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt.  Nenne $b$ \emph{positiv
+  \vec{x}) ≥ 0$ gilt.  Nenne $b$ \emph{positiv
-    definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
+  definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls
-  zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
+  zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
-  $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
+  \vec{0}$.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$]
-  Die Begriffe ``positiv semidefinit'' und ``positiv definit'' sind nur für
+  Die Begriffe „positiv semidefinit“ und „positiv definit“ sind nur für $k = ℝ$
-  $k = ℝ$ und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)!  Bei anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist
+  und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)!  Bei
-  gar nicht klar, was die Aussage ``$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$'' bedeuten soll.
+  anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist gar nicht klar, was die Aussage
+  „$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$“ bedeuten soll.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearform bilden keinen Vektorraum]
@@ -124,10 +123,10 @@ und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
     \end{pmatrix}, \quad
     \begin{pmatrix}
       π & -e \\ \frac{-256}{257} & 2
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
-  Die entsprechenden Bilinearformen sind ``nicht positiv semidefinit'',
+  Die entsprechenden Bilinearformen sind „nicht positiv semidefinit“, „positiv
-  ``positiv semidefinit'', ``positiv definit'' und … ?
+  semidefinit“, „positiv definit“ und … ?
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}[Skalarprodukt auf reellem Vektorraum]
@@ -138,17 +137,17 @@ und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
 
 \begin{bsp}[Standardskalarprodukt, Einschränkung]
   Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ ist ein Skalarprodukt.  Es sei $V$ ein
-  reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein
+  reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein Skalarprodukt.  Wenn $W
-  Skalarprodukt.  Wenn $W ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist
+  ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder
-  $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder ein Skalarprodukt.
+  ein Skalarprodukt.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}
+\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}%
   Es sei $k = ℝ$ und es sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der Vektorraum der
   reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$, wie
-  in der Vorlesung ``Analysis 1'' diskutiert.  Die Abbildung
+  in der Vorlesung „Analysis 1“ diskutiert.  Die Abbildung
   \[
-    \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt.
+    \langle •, • \rangle : V⨯V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt
   \]
   ist ein Skalarprodukt.
 \end{bsp}
@@ -156,44 +155,44 @@ und zu diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
 
 \subsection{Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen}
 
-Die Überschrift sagt schon, worum es geht: wir wollen in diesem Abschnitt
+Die Überschrift sagt schon, worum es geht: Wir wollen in diesem Abschnitt
 Bilinearformen beschreiben, indem wir jeder Form eine Matrix zuordnen.
-Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung ``Lineare
+Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung „Lineare
-Algebra I'' jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.  Und jetzt machen
+Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.  Und jetzt machen
-wir das mit Bilinearformen?  Kurz gesagt: ``Ja!''
+wir das mit Bilinearformen?  Kurz gesagt: „Ja!“
 
 Lassen Sie sich nicht verwirren.  Wir haben zwei völlig unterschiedliche Arten
-von Objekten (``Lineare Abbildung'', ``Bilinearformen''), die gar nichts
+von Objekten („Lineare Abbildung“, „Bilinearformen“), die gar nichts miteinander
-miteinander zu tun haben.  Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen
+zu tun haben.  Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen beschreiben.
-beschreiben.  Das gibt es im Leben öfter.
+Das gibt es im Leben öfter.
 
 \begin{quote}
-  ``Velociraptoren'' sind etwas ganz anderes als ``romantische Gefühle'', auch
+  „Velociraptoren“ sind etwas ganz anderes als „romantische Gefühle“, auch wenn
-  wenn beide Menschen verzehren.  Dennoch lassen sich sowohl ``Velociraptoren''
+  beide Menschen verzehren.  Dennoch lassen sich sowohl „Velociraptoren“ als
-  als auch ``romantische Gefühle'' recht gut durch Bytestrings beschreiben
+  auch „romantische Gefühle“ recht gut durch Bytestrings beschreiben (vergleiche
-  (vergleiche etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und
+  etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und
   \href{https://www.youtube.com/watch?v=7h3q9-FcoOM}{hier}).
 \end{quote}
 
 Wir betrachten die folgende Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:6-3-1}
+\begin{situation}\label{sit:6-3-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum,
   mit angeordneter Basis $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Die zugehörende
   Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
 \end{situation}
 
-\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}
+\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}%
-  In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$
+  In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ gegeben.
-  gegeben.  Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix
+  Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix
   \[
     \Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)_{1 ≤ i,j ≤ n}
   \]
 \end{konstruktion}
 
-\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}
+\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}%
-  In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben.  Dann betrachte
+  In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben.  Dann
-  die Bilinearform
+  betrachte die Bilinearform
   \[
     s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
     φ_B(\vec{v})^t·A·φ_B(\vec{w})
@@ -209,10 +208,10 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
       \text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Bilinearformen} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"]
     \end{tikzcd}
   \]
-  Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt
+  Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt
-  es genau eine Bilinearform $b$, so dass für alle $i,j$ gilt, dass
+  es genau eine Bilinearform $b$, sodass für alle $i,j$ gilt, dass $b(\vec{v}_i,
-  $b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist.  So eine Rechnung hatten wir schon,
+  \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist.  So eine Rechnung hatten wir schon, als es darum
-  als es darum ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen.
+  ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen.
 \end{aufgabe}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -231,7 +230,7 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
   angeordneten Basis $B := \{ 1, x, x²\}$.  Wieder betrachten wir die
   Bilinearform
   \[
-    b : V ⨯ V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt
+    b : V⨯V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt.
   \]
   Dann ist
   \[
@@ -248,8 +247,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
 \subsection{Basiswechsel}
 
 Wir kennen das Problem: gegeben ist ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum $V$,
-eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
+eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $B_2$.
-$B_2$.  Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
+Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
 
 \begin{erinnerung}
   Die Koordinatenwechselmatrix wird mit Sicherheit eine Rolle spielen.  Wir
@@ -268,8 +267,8 @@ $B_2$.  Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
 \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Bilinearformen]
   Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum
   $V$, eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
-  $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$.  Weiter sei
+  $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$.  Weiter sei $M_•
-  $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$.  Dann ist
+  := \Mat_{B_{•}}(b)$.  Dann ist
   \[
   M_1 = S^t·M_2·S.
   \]
@@ -282,25 +281,25 @@ Lesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere:
 Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben.  Diese beiden
 Funktionen haben nichts gemein.  Deshalb soll es jetzt auch nicht verwundern,
 dass sich die Basiswechsel-Formeln in beiden Fällen unterscheiden.  Ein Trost
-für alle, die immer noch verwirrt sind: die Basiswechsel-Formel für
+für alle, die immer noch verwirrt sind: Die Basiswechsel-Formel für
 Bilinearformen ist viel einfacher, weil man statt der inversen Matrix $S^{-1}$
 nur die Transponierte $S^t$ ausrechnen muss.
 
 
 \section{Sesquilinearformen und Hermitesche Produkte}
 
-\sideremark{Vorlesung 9}So etwas schönes wie ein Skalarprodukt möchte man
+\sideremark{Vorlesung 9}So etwas Schönes wie ein Skalarprodukt möchte man
 natürlich auch für komplexe Vektorräume haben, leider funktionieren die
 Definition aus Abschnitt~\ref{sec:skalar} aber im Komplexen nicht.  Die Lösung:
-man muss die Definition von ``Bilinearität'' abändern, um sicherzustellen, dass
+man muss die Definition von „Bilinearität“ abändern, um sicherzustellen, dass
 die Zahlen $b(\vec{x}, \vec{x})$ stets reell sind (denn dann kann ich sinnvoll
 sagen, ob die Zahl positiv ist oder nicht).  Vielleicht finden Sie es
-überraschend, dass man an der Definition von ``bilinear'' dreht, und nicht an
+überraschend, dass man an der Definition von „bilinear“ dreht, und nicht an der
-der Definition von ``positiv definit''.  Der praktische Erfolg der folgenden
+Definition von „positiv definit“.  Der praktische Erfolg der folgenden
 Definitionen gibt der Sache aber recht.
 
-\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1}
+\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} Es sei $V$ ein Vektorraum über
-  Es sei $V$ ein Vektorraum über den komplexen Zahlen.  Eine
+  den komplexen Zahlen.  Eine
   \emph{Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform}\footnote{Sesqui = Eineinhalb}
   ist eine Abbildung $b: V⨯V → ℂ$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{description}
@@ -324,18 +323,18 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
   $x+i·y ↦ x - i·y$.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}
+\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}%
   Wenn ich eine Sesquilinearform mit einer komplexen Zahl multipliziere, erhalte
   ich eine neue Sesquilinearform.  Ebenso kann ich zwei Sesquilinearformen zu
-  einer neuen Sesquilinearform addieren.  Die Menge der Sesquilinearformen
+  einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen bildet
-  bildet mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum.  Beachten Sie,
+  mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum.  Beachten Sie, dass jeder
-  dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also
+  komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die
-  bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.
+  Menge der Sesquilinearformen einen reellen Vektorraum.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}
+\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}%
-  Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige
+  Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
-  $n ⨯ n$-Matrix $B$.  Dann ist die Abbildung
+  Dann ist die Abbildung
   \[
     b : ℂ^n ⨯ ℂ^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
     \vec{v}^{\:t}·B·\overline{\vec{w}}
@@ -360,24 +359,24 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}[Hermitesche Sesquilinearform]
-  Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}.  Eine Sesquilinearform
+  Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}.  Eine Sesquilinearform $b : V⨯V →
-  $b : V ⨯ V → ℂ$ heißt
+  ℂ$ heißt
   \emph{Hermitesch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite}{Charles
   Hermite} (* 24.  Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14.  Januar 1901 in
   Paris) war ein französischer
   Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$,
-  $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung
+  $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x},\vec{y}) =
-  $b(\vec{x},\vec{y}) = \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt.
+  \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}
+\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}%
   Es sei $b : V⨯V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform.  Dann gilt
   für jeden Vektor $x ∈ V$ die Gleichung $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$.  Es
   folgt, dass $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$ eine reelle Zahl ist, da der
   imaginäre Anteil verschwinden muss.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}
+\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}%
   Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform mit einer reellen Zahl
   multipliziere, erhalte ich eine neue Hermitesche Sesquilinearform.  Ebenso
   kann ich zwei Hermitesche Sesquilinearformen zu einer neuen Hermitesche
@@ -386,12 +385,12 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
   Vektorraumes der Sesquilinearformen bildet.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}
+\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}%
   Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform (die nicht die Nullform ist) mit
   einer komplexen Zahl multipliziere, die nicht reell ist, dann ist die
-  entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe:
+  entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: Wieso?}.
-    Wieso?!}.  Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb
+  Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb \emph{kein}
-  \emph{kein} komplexer Vektorraum.
+  komplexer Vektorraum.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}[Hermitesche Matrizen geben bilineare Abbildungen]
@@ -405,18 +404,18 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
   tun?
 \end{bsp}
 
-\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}
+\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}%
   Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum.  Weiter sei $b$ eine Hermitesche
   Sesquilinearform auf $V$.  Nenne $b$ \emph{positiv
   semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv
-    semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
+  semidefinit}\index{positiv semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
   Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt.  Nenne $b$ \emph{positiv
-    definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
+  definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls
-  zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
+  zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
-  $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
+  \vec{0}$.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}
+\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}%
   Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum.  Ein
   Skalarprodukt\index{Skalarprodukt!für komplexe Vektorräume} auf $V$ ist eine
   positiv definite, Hermitesche Sesquilinearform.
@@ -455,7 +454,7 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
   Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$.  Die Abbildung
   \[
     \langle •, • \rangle : V⨯V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0
-    f(t)·\overline{g(t)} dt.
+    f(t)·\overline{g(t)} dt
   \]
   ist ein Skalarprodukt.
 \end{bsp}
@@ -488,8 +487,8 @@ Sesquilinearformen durch Matrizen beschreiben.  Weil alle Argument ganz analog
 gehen, geben wir nur die Ergebnisse an.
 
 \begin{konstruktion}[Sesquilinearformen zu Matrizen]
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis
+  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis $B
-  $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Die zugehörende Koordinatenabbildung
+  := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Die zugehörende Koordinatenabbildung
   bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
   \begin{itemize}
   \item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$, dann betrachte die
@@ -514,7 +513,7 @@ $ℂ$-Vektorräumen erhalten,
     \text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Sesquilinearformen,} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"]
   \end{tikzcd}
 \]
-die die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren.
+welche die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren.
 Außerdem gilt folgender Satz.
 
 \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Sesquilinearformen]

07-Euclidian-Unitary.tex

@@ -5,40 +5,39 @@
 \label{sec:7}
 
 \sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das
-Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt.  Im
+Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennengelernt.  Im Kapitel~\ref{sec:bskalar}
-Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige
+haben wir diesen Begriff auf beliebige (endlich-dimensionale) reelle und
-(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert.  In
+komplexe Vektorräume verallgemeinert.  In diesem Kapitel möchte ich Vektorräume
-diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren,
+mit Skalarprodukt systematisch diskutieren, und Begriffe wie „Norm“, „Abstand“,
-und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die
+„Metrik“ und „Orthogonalität“, die wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$
-wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer
+kennengelernt haben, jetzt in größerer Allgemeinheit systematisch einführen.
-Allgemeinheit systematisch einführen.  Zuerst einmal kommen jede Menge
+Zuerst einmal kommen jede Menge Definitionen und eine langweilige Rechnung,
-Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein
+deshalb auch im Moment kein Erklärvideo.
-Erklärvideo.
 
 \begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume]
   Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter
   symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer
-    Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}.  Ein komplexer Vektorraum
+  Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}.  Ein komplexer Vektorraum zusammen
-  zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher
+  mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher Sequilinearform)
-  Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
+  heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
 \end{defn}
 
 
 \section{Normen auf Vektorräumen}
 
 In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische
-Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert.  Jetzt machen wir das allgemein, für
+Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert.  Jetzt machen wir das allgemein, für beliebige
-beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
+reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
 
 \begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl]
   Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl
   $\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer
-    komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen
+  komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen Zahl}
-    Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen
+  oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen Zahl}.
-    Zahl}.  Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
+  Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
 \end{erinnerung}
 
-\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}
+\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}%
   Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.
   Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, sodass
   folgende Eigenschaften gelten.
@@ -55,15 +54,15 @@ beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
 \end{defn}
 
 \begin{notation}[Normierte Vektorräume]
-  \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.
+  \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Ein
-  Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein
+  normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein $k$-Vektorraum $V$
-  $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
+  zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
 \end{notation}
 
 \begin{notation}[Normierte Vektorräume]
-  \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.  und es
+  \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.  und es sei
-  sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum.  Ein Vektor
+  $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum.  Ein Vektor $\vec{v} ∈
-  $\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
+  V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
 \end{notation}
 
 Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die
@@ -79,27 +78,17 @@ unmittelbar aus der Definition folgen.
   Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
-  \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
-  Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren
-  $\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
-  \[
-    \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
-    \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
-  \]
-\end{bemerkung}
-
 
 \subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
 
-Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
+Als Erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
 Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert.  Also liefern die
 Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben,
 sofort Beispiele für Normen.
 
-\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}
+\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}%
-  Wenn $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder
+  Wenn $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder unitärer
-  unitärer Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung
+  Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung
   \[
     \|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}
   \]
@@ -107,29 +96,33 @@ sofort Beispiele für Normen.
 \end{satz}
 
 Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
-ziemliche Rechnerei.  Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung,
+ziemliche Rechnerei.  Der Beweis verwendet die folgende wichtige
-die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
+„Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Baron
+Augustin-Louis Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux)
+war ein französischer
+Mathematiker.}-Schwarzsche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz}{Karl
+Hermann Amandus Schwarz} (* 25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; †
+30.~November 1921 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker. } Ungleichung“, die
+sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
 
 \begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
-  Sei V unitär oder euklidisch.  Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y}
+  Sei V unitär oder euklidisch.  Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
-  ∈ V$
   \[
     |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x},
       \vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} .
   \]
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei]
-  Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar.  Für
+  Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar.  Für $\vec{y}
-  $\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar.  Sei also $\vec{y} ≠ 0$.  Dann ist
+  = \vec{0}$ ist die Aussage klar.  Sei also $\vec{y} ≠ 0$.  Dann ist wegen
-  wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form
+  positiver Definitheit der Hermiteschen Form
   \begin{align*}
     0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\
                                                                  &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
                                                                  &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle.
   \end{align*}
-  Jetzt betrachte den Spezialfall wo
+  Jetzt betrachte den Spezialfall wo $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y},
-  $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y},
+  \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}$ ist.  Dann ergibt sich
-    \vec{y} \rangle}$ ist.  Dann ergibt sich
   \begin{align*}
     && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
     ⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\
@@ -140,10 +133,10 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}]
-  Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus
+  Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus Satz~\ref{satz:sin}
-  Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei
+  tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei Eigenschaften „absolute
-  Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive
+  Homogenität“, „Dreiecksungleichung“ und „positive Definitheit“ zeigen.  Auf
-  Definitheit'' zeigen.  Auf geht's.
+  geht's.
 
   \bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
   Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar.  Dann ist
@@ -156,7 +149,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
   Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.
 
   \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
-  beliebige Vektoren.  Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
+  beliebige Vektoren.  Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
   folgendes.
   \begin{align*}
     \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\
@@ -173,6 +166,16 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
   Satz~\ref{satz:sin} bewiesen.
 \end{proof}
 
+\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
+  \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
+  Satz~\ref{satz:sin} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren $\vec{x}$
+  und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
+  \[
+    \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
+    \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
+  \]
+\end{bemerkung}
+
 
 \subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen}
 
@@ -181,9 +184,9 @@ die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind.
 Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die
 ein wenig Analysis voraussetzen).
 
-\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}
+\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}%
-  Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$
+  Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$ zwei
-  zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume.  Dann definiert die
+  endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume.  Dann definiert die
   Abbildung
   \[
     \|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad %
@@ -219,7 +222,7 @@ Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von
 Skalarprodukten kommen.  Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten
 Beispiele.
 
-\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}
+\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}%
   Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als
   \[
     \| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad
@@ -240,29 +243,29 @@ Beispiele.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
-  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$
+  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ sei ein
-  sei ein Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma
+  Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma auf $W$.
-  auf $W$.
 \end{bsp}
 
 
 \section{Metriken}
 
-\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit
+\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir
-Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren.  Der
+mithilfe einer Norm einen Begriff von „Abstand“ oder „Metrik“ definieren. Der
-Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
+Begriff „Metrik“ ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
 tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen.
 
 \begin{defn}[Metrik]
-  Sei $M$ eine Menge.  Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung
+  Sei $M$ eine Menge.  Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung $d:
-  $d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt.
+  M ⨯ M → ℝ$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{description}
   \item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$.
     
-  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$
+  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) +
+  d(y,z)$
 
-  \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.  Zusätzlich
+  \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.
-    gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
+    Zusätzlich gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
   \end{description}
 \end{defn}
 

08-Orthogonal.tex

@@ -3,20 +3,18 @@
 
 \chapter{Orthogonale Projektion}
 
-In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ stets ein
+In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer
-euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht,
+oder unitärer Vektorraum.  Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir
-werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$
+die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen.
-bezeichnen.
 
 
 \section{Orthogonalität und Orthonormalität}
 
-Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also
+Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist „orthogonal“, also „steht senkrecht
-``steht senkrecht aufeinander''.  Wir definieren ``orthogonal'' mit Hilfe des
+aufeinander“.  Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
-Skalarproduktes.
 
-\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}
+\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}%
-  Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
+  Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
   Vektorraum.
   \begin{enumerate}
   \item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren.  Man sagt,
@@ -27,12 +25,12 @@ Skalarproduktes.
     
   \item Es seien $U$, $W ⊂ V$ Untervektorräume.  Dann heißen $U$ und $W$
     \emph{orthogonal zueinander}\index{orthogonal!Untervektorräume}, falls für
-    alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung
+    alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung $\langle \vec{u},
-    $\langle \vec{u}, \vec{w} \rangle = 0$ gilt.
+    \vec{w} \rangle = 0$ gilt.
     
-  \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann
+  \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann definieren
-    definieren wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales
+    wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales Komplement}
-      Komplement} als
+    als
     \[
       U^\perp := \{ \vec{v} ∈ V : \vec{v} \perp \vec{u} \text{ für alle }
       \vec{u} ∈ U \}.
@@ -45,10 +43,10 @@ Skalarproduktes.
       \langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0.
     \]
     Eine orthogonale Familie heißt \emph{orthonormal}\index{orthonormale Familie
-      von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung
+    von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung $\|
-    $\| \vec{v}_i \| = 1$ gilt.  Eine orthonormale Familie heißt
+    \vec{v}_i \| = 1$ gilt.  Falls eine orthonormale Familie zusätzlich eine
-    \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} (kurz: ``ONB''), falls sie
+    Basis ist, dann nenne die Familie
-    zusätzlich eine Basis ist.
+    \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} und schreibe kurz: „ONB“.
   \end{enumerate}
 \end{defn}
 
@@ -60,15 +58,15 @@ Skalarproduktes.
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} gilt
   folgendes: Wenn $(u_i)_{i ∈ I}$ eine Basis von $U$ ist und $\vec{v} ∈ V$
-  irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn
+  irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn $\vec{v} \perp
-  $\vec{v} \perp \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
+  \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}
+\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}%
-  Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' bereits einen
+  Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen
-  Begriff von ``orthogonalen Unterraum''.  Die Situation war die, dass es einen
+  Begriff von „orthogonalen Unterraum“.  Die Situation war die, dass es einen
-  $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$.  In dieser
+  $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$.  In dieser Situation
-  Situation war der ``orthogonale Unterraum'' der Raum
+  war der „orthogonale Unterraum“ der Raum
   \[
     W⁰ := \{ f ∈ V^* \::\: W ⊆ \ker (f) \}.
   \]
@@ -78,11 +76,10 @@ Skalarproduktes.
 
 \begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$]
   Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt.  Dann ist die
-  Die Standardbasis eine Orthonormalbasis.  Die Untervektorräume
+  Standardbasis eine Orthonormalbasis.  Die Untervektorräume $\langle \vec{e}_1,
-  $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ und
+  \vec{e}_2 \rangle$ und $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.
-  $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.  Das orthogonale
+  Das orthogonale Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2
-  Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ ist
+  \rangle$ ist $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
-  $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
 \end{bsp}
 
 
@@ -92,7 +89,7 @@ Das folgende Beispiel zeigt, wie man zwei beliebige Vektoren orthogonal machen
 kann.  Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
 
 \begin{bsp}[Rezept, um Vektoren orthogonal machen]
-  Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer
+  Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer
   Vektorraum und es seien $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ zwei Vektoren mit
   $\vec{v}_1 \ne \vec{0}$.  Setze
   \[
@@ -100,19 +97,18 @@ kann.  Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
       \rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}·\vec{v}_1.
   \]
   Dann gilt $\vec{v}_1 \perp \vec{v}\,'_2$.  Zusätzlich gilt: wenn die Menge
-  $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch
+  $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch $\{\vec{v}_1,
-  $\{\vec{v}_1, \vec{v}\,'_2\}$.
+  \vec{v}\,'_2\}$.
 \end{bsp}
 
-Wir bauen das ``Rezept, um Vektoren orthogonal machen'' ein wenig aus und
+Wir bauen das „Rezept, um Vektoren orthogonal machen“ ein wenig aus und erhalten
-erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
+einen „Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen“.
 
-\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}
+\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}%
-  Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei
+  Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und
-  $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
+  sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
   $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m\}$ von $U$ zu einer Orthonormalbasis
-  $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$
+  $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ ergänzen.
-  ergänzen.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{11-1}
@@ -126,38 +122,35 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
 \begin{beobachtung}[Gram-Schmidt Verfahren]
   Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Der
   Beweis des Basisergänzungssatzes~\ref{satz:8-2-2} für Orthonormalbasen liefert
-  ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis
+  ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis $\{
-  $\{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB
+  \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$
-  $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$ zu konstruieren.  Man startet so:
+  zu konstruieren.  Man startet so:
   \begin{itemize}
   \item Normiere.  $\vec{u}_1 := \frac{1}{\| \vec{v}_1 \|}·\vec{v}_1$.
     
-  \item Definiere.
+  \item Definiere. $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1
-    $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 \rangle·
+    \rangle· \vec{u}_1$.
-    \vec{u}_1$.
     
   \item Normiere.  $\vec{u}_2 := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_2 \|}·\vec{u}\,'_2$.
   \end{itemize}
   Falls uns $\vec{u}_1, …, \vec{u}_k$ schon gegeben sind, gehe induktiv wie
   folgt vor:
   \begin{itemize}
-  \item Definiere.
+  \item Definiere. $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle
-    $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle \vec{v}_{k+1},
+    \vec{v}_{k+1}, \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
-      \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
   
     \item Normiere.
       $\vec{u}_{k+1} := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_{k+1} \|}·\vec{u}\,'_{k+1}$.
   \end{itemize}
-  Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB.  Zusätzlich gilt für
+  Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB.  Zusätzlich gilt für alle
-  alle Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen
+  Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen $\langle \vec{u}_1,
-  $\langle \vec{u}_1, …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …,
+  …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, \vec{v}_i \rangle$.
-  \vec{v}_i \rangle$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}
+\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionale euklidischer oder unitärer Vektorraum.
-  Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jeder Vektor
+  Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jeder Vektor $\vec{v}
-  $\vec{v} ∈ V$ eindeutig schreiben als
+  ∈ V$ eindeutig schreiben als
   \[
     \vec{v} = p(\vec{v}) + r(\vec{v}),
   \]
@@ -169,24 +162,24 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:8-2-5} liefert noch eine ganze Reihe von
 Zusatzinformationen, die wir hier festhalten.  Das allerwichtigste ist die
-Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als ``orthogonale
+Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als „orthogonale
-Projektion'' bezeichnen.
+Projektion“ bezeichnen.
 
 \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion]
   In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} können wir die $p(\vec{v})$ wie
   folgt ausrechnen.  Wenn eine ONB $(\vec{u}_i)_i$ von $U$ gegeben ist, dann ist
   \[
-    p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i
+    p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i.
   \]
-  Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist
+  Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist $\ker p =
-  $\ker p = U^\perp$.  Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den
+  U^\perp$.  Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den Unterraum
-    Unterraum $U$}\index{orthogonale Projektion}.
+  $U$}\index{orthogonale Projektion}.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion minimiert Abstand zu Untervektorraum]
   In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} ist $p(\vec{v})$ genau derjenige
-  Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat.  Denn: Für
+  Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat.  Denn: Für $\vec{w}
-  $\vec{w} ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
+  ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
   \begin{align*}
     \| (p(\vec{v}) + \vec{w}) - \vec{v} \|² & = \| p(\vec{v})-\vec{v} \|² + \| \vec{w} \|² + \underbrace{\langle p(\vec{v})-\vec{v}, \vec{w} \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{w}, p(\vec{v})-\vec{v} \rangle}_{=0} \\
     & ≥ \| p(\vec{v})-\vec{v} \|².
@@ -199,13 +192,13 @@ Projektion'' bezeichnen.
 \subsection{Der Dualraum}
 \label{sec:dual}
 
-\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung ``Lineare
+\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare
-Algebra I'' ist der des ``Dualraum''.  Alle Studenten lieben das.  Ich erinnere:
+Algebra I“ ist der des „Dualraum“.  Alle Studenten lieben das.  Ich erinnere:
 wenn $k$ ein Körper ist und $V$ ein $k$-Vektorraum, dann ist der Dualraum $V^*$
 genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $k$.  In Symbolen:
 $V^* := \Hom(V,k)$.  Falls $V$ endlich-dimensional ist, haben wir bewiesen, dass
 $V$ und $V^*$ isomorph zueinander sind.  Um einen konkreten Isomorphismus zu
-finden wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
+finden, wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
 betrachtet dann die duale Basis $B^* = \{\vec{v}^{\:*}_1, …, \vec{v}^{\:*}_n\}$
 von $V^*$.  Dabei waren die $\vec{v}^{\:*}_i : V → k$ diejenigen linearen
 Abbildungen, die die Gleichungen
@@ -228,9 +221,9 @@ war.  Die zentrale Einsicht in dieser Vorlesung folgende: wenn ich auf $V$ ein
 Skalarprodukt festlege, dann gibt es eine kanonische Identifikation von $V$ und
 $V^*$.
 
-\begin{satz}\label{satz:8-3-1}
+\begin{satz}\label{satz:8-3-1}%
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum.  Dann ist die Abbildung
+  euklidischer Vektorraum.  Dann ist die Abbildung
   \[
     s: V → V^*, \quad \vec{v} ↦ \langle • ,\vec{v} \rangle
   \]
@@ -244,20 +237,20 @@ $V^*$.
 \end{proof}
 
 In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
-zwischen den ``orthogonalen Unterräumen'' aus der Vorlesung ``Lineare Algebra
+zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“
-I'' und dem ``orthogonalen Komplement'' aus Definition~\ref{def:orth} zu klären.
+und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der
-Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
+folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
 
-\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale Unterräume]\label{satz:8-3-3}
+\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Unterräume]\label{satz:8-3-3} Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
+  ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
   Untervektorraum.  Weiter sei $s : V → V^*$ der kanonische Isomorphismus aus
-  Satz~\ref{satz:8-3-1}.  Dann gilt folgendes.
+  Satz~\ref{satz:8-3-1}.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:8-3-1-1} Es ist $s(U^\perp) = U⁰$.  Insbesondere liefert die
-    Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen
+    Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen den
-    den Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist
+    Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist $\dim U^\perp = \dim
-    $\dim U^\perp = \dim U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
+    U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
     
   \item\label{il:8-3-1-2} Es existiert eine Zerlegung von $V$ in eine direkte
     Summe $V = U ⊕ U^\perp$.
@@ -267,19 +260,19 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
   \video{12-3}
 \end{proof}
 
-\begin{kor}\label{kro:8-3-3}
+\begin{kor}\label{kro:8-3-3}%
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit $\bigl( U^\perp
-  $\bigl( U^\perp \bigr)^\perp = U$.
+  \bigr)^\perp = U$.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Es genügt, die Inklusion $U ⊂ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ zu zeigen; die
-  Gleichheit folgt mit Hilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
+  Gleichheit folgt mithilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
   Gleichheit der Dimensionen.  Dazu verwende ich wieder meinen Textbaustein: Sei
-  ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben.  Die Aussage
+  ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben.  Die Aussage „$\vec{u} ∈ \bigl(
-  ``$\vec{u} ∈ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ ist dann per Definition äquivalent
+  U^\perp \bigr)^\perp$“ ist dann per Definition äquivalent dazu, ist zu zeigen,
-  dazu, ist zu zeigen, dass gilt:
+  dass gilt:
   \[
-    s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp
+    s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp.
   \]
   Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$.
 \end{proof}
@@ -293,15 +286,14 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
 \subsubsection{Unitäre Vektorräume}
 
 Die Aussage von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt in leicht abgewandelter Form auch für
-den Fall von unitären Vektorräumen.  Falls
+den Fall von unitären Vektorräumen.  Falls $\bigl(V, \langle •, • \rangle
-$\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+\bigr)$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum ist, dann ist die
-unitärer Vektorraum ist, dann ist die Abbildung $s$ bijektiv und
+Abbildung $s$ bijektiv und \emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.
-\emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.  Dabei bedeutet
+Dabei bedeutet „semi-linear“, dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$
-``semi-linear'', dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$ und alle
+und alle Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
-Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
 \[
   f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \quad\text{und}\quad
-  f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x}).
+  f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x})
 \]
 gelten.
 
@@ -326,17 +318,16 @@ gelten.
 \subsection{Quotientenräume}
 
 Wir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines
-Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$
+Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ identifiziert,
-identifiziert, der uns aus der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' vertraut war.  Es
+der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.  Es gibt noch eine
-gibt noch eine andere kanonische Identifikation des orthogonale Komplements mit
+andere kanonische Identifikation des orthogonalen Komplements mit einem
-einem bekannten Vektorraum.
+bekannten Vektorraum.
 
-\begin{satz}\label{satz:8-3-6}
+\begin{satz}\label{satz:8-3-6}%
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
+  euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann gibt es
-  Untervektorraum.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem
+  einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem Vektorraumquotienten
-  Vektorraumquotienten $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement
+  $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement $U^\perp$.
-  $U^\perp$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{12-4}
@@ -355,34 +346,33 @@ einem bekannten Vektorraum.
 Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen von euklidischen Vektorräumen und
 schauen, wie sich die kanonischen Identifikationen aus dem letzten Abschnitt
 unter Abbildungen verhalten --- das wird später noch sehr wichtig werden, wenn
-wir ``selbstadjungierte Abbildungen'' diskutieren.  Zuallererst legen wir die
+wir „selbstadjungierte Abbildungen“ diskutieren.  Zuallererst legen wir die
 Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
 
-\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}
+\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}%
-  Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und
+  Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und $\bigl(W, \langle •, •
-  $\bigl(W, \langle •, • \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional
+  \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional euklidische Vektorräume.  Die
-  euklidische Vektorräume.  Die kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren
+  kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren Dualräumen bezeichnen wir mit
-  Dualräumen bezeichnen wir mit
   \[
     s_V: V → V^* \quad\text{und}\quad s_W: W → W^*.
   \]
 \end{situation}
 
 \begin{erinnerung}
-  Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung ``Lineare
+  Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung „Lineare
-  Algebra I'' eine ``Rückzugsabbildung'' zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
+  Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
   \[
     f^* : W^* → V^*, \quad φ ↦ φ◦f.
   \]
 \end{erinnerung}
 
-\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}
+\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}%
   In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
   Betrachte das folgende Diagramm:
   \begin{equation}\label{eq:8-5-3-1}
     \begin{tikzcd}[column sep=3cm]
       V \arrow[r, "f"] \arrow[d, "s_V\text{, isomorph}"'] & W \arrow[d, "s_W\text{, isomorph}"]\\
-      V^* & W^* \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
+      V^* & W^*. \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
     \end{tikzcd}
   \end{equation}
   Beim Betrachten des Diagramms~\eqref{eq:8-5-3-1} fällt auf, dass die
@@ -390,26 +380,26 @@ Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
   Abbildungen $f$ und $f^*$ hängen nicht von der Wahl der Skalarprodukte ab.
   Daher können wir im Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass das
   Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert.  Mit anderen Worten, wir können im
-  Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und
+  Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ besteht.  Wir interessieren uns aber für Bedingungen,
+  f$ besteht.  Wir interessieren uns aber für Bedingungen, die Gleichheit der
-  die Gleichheit der Abbildungen sicherstellen!  Dazu beobachten wir, dass die
+  Abbildungen sicherstellen!  Dazu beobachten wir, dass die Abbildungen $s_V$
-  Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle
+  und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende
-  $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
+  Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
   \begin{equation}\label{eq:8-5-3-2}
-    s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v})
+    s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}).
   \end{equation}
-  Das lässt sich expliziter hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
+  Das lässt sich explizit hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
-  $s_W$ und $f^*$ einsetze.  Dann erhalte ich: die Abbildungen $s_V$ und
+  $s_W$ und $f^*$ einsetze.  Dann erhalte ich: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die
+  s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von
-  folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
+  Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
   \begin{align*}
     \langle •, \vec{v} \rangle_V %
     = f^* ◦ \bigl\langle •, f(\vec{v}) \bigr\rangle_W %
     = \bigl\langle f(•), f(\vec{v}) \bigr\rangle_W.
   \end{align*}
-  Das lässt sich noch einfacher formulieren: die Abbildungen $s_V$ und
+  Das lässt sich noch einfacher formulieren: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle
+  ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende
-  $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende Gleichheit von Skalaren gilt,
+  Gleichheit von Skalaren gilt,
   \begin{align*}
     \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle_V %
     = \bigl\langle f(\vec{v}_1), f(\vec{v}_2) \bigr\rangle_W.
@@ -431,9 +421,9 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
   wird mit dem Symbol $f^{\ad}$ bezeichnet.
 \end{defn}
 
-\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}
+\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}%
   In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
-  Dann gilt folgendes.
+  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Die Abbildung $f^{\ad} : W → V$ ist linear.
     
@@ -449,7 +439,7 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
   \sideremark{Vorlesung 13}\video{13-1}
 \end{proof}
 
-\begin{prop}\label{prop:8-4-6}
+\begin{prop}\label{prop:8-4-6}%
   In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$
   gegeben.  Dann ist $f^{\ad} : W → V$ die einzige lineare Abbildung $W → V$,
   die Eigenschaft~\ref{il:8-5-4-2} erfüllt.
@@ -473,7 +463,7 @@ Die Aussagen dieses Abschnittes gelten in leicht abgewandelter Form auch für
 unitäre Vektorräume.
 
 \begin{aufgabe}[Adjungierte Abbildung für unitäre Vektorräume]
-  Finden sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
+  Finden Sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
   schulbuchmäßige Beweise dieser Aussagen auf.
 \end{aufgabe}
 

09-Orthogonal-Unitary.tex

@@ -5,44 +5,44 @@
 
 \section{Orthogonale und unitäre Abbildungen}
 
-Wir hatten in Abschnitt~\vref{sec:orthTrafo} bereits ``orthogonale
+Wir hatten in Abschnitt~\vref{sec:orthTrafo} bereits „orthogonale
-Transformationen des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands'' kennen
+Transformationen des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands“ kennengelernt.
-gelernt.  Nachdem wir in Kapitel~\ref{sec:7} Euklidische und unitäre Vektorräume
+Nachdem wir in Kapitel~\ref{sec:7} Euklidische und unitäre Vektorräume in viel
-in viel größerer Allgemeinheit eingeführt haben, werden wir jetzt auch den
+größerer Allgemeinheit eingeführt haben, werden wir jetzt auch den Begriff
-Begriff ``orthogonale Transformation'' verallgemeinern.  Wir betrachten durchweg
+„orthogonale Transformation“ verallgemeinern.  Wir betrachten durchweg die
-die folgende Situation.
+folgende Situation.
 
-\begin{situation}[Euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Endomorphismus]\label{sit:9-1-1}
+\begin{situation}[Euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Endomorphismus]\label{sit:9-1-1}%
-  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+  Sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   Endomorphismus.
 \end{situation}
 
-\begin{defn}[Orthogonale und unitäre Endomorphismen]\label{def:9-1-2}
+\begin{defn}[Orthogonale und unitäre Endomorphismen]\label{def:9-1-2}%
   In Situation~\ref{sit:9-1-1} nenne die Abbildung $f$
   \emph{orthogonal}\index{Transformation!orthogonal}\index{orthogonal!Transformation}
   beziehungsweise
-  \emph{unitär}\index{Transformation!unitär}\index{unitär!Transformation},
+  \emph{unitär}\index{Transformation!unitär}\index{unitär!Transformation}, falls
-  falls für alle Vektoren $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die folgende Gleichung gilt:
+  für alle Vektoren $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die folgende Gleichung gilt:
   \[
     \bigl\langle f(\vec{v}), f(\vec{w}) \bigr\rangle = \langle \vec{v}, \vec{w}
     \rangle.
   \]
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Vergleich mit Definition aus Kapitel~\ref{sec:orthTrafo}]\label{beob:9-1-3}
+\begin{beobachtung}[Vergleich mit Definition aus Kapitel~\ref{sec:orthTrafo}]\label{beob:9-1-3}%
   Wir haben in Lemma~\vref{lem:5-4-7} bewiesen, dass jede orthogonale
   Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands das
   Standardskalarprodukt erhält.  Damit ist klar, dass
-  Definition~\vref{defn-orthoTraf} (``orthogonale Transformation des $ℝ^n$
+  Definition~\vref{defn-orthoTraf} („orthogonale Transformation des $ℝ^n$
-  bezüglich des Euklidischen Abstands'') ein Spezialfall von
+  bezüglich des Euklidischen Abstands“) ein Spezialfall von
   Definition~\ref{def:9-1-2} ist.  Wenigstens an dieser Stelle ist das
   vorliegende Skript einigermaßen konsistent!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}
   Nach Beobachtung~\ref{beob:9-1-3} ist klar, dass alle Beispiele für
-  ``orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands''
+  „orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands“
   Beispiele für orthogonale Transformationen liefern.  Konkret: $V = ℝ²$ und $f$
   eine Matrix die an Achsen dreht oder spiegelt.
 \end{bsp}
@@ -52,13 +52,13 @@ die folgende Situation.
   andere Definition: dort heißt die Abbildung $f$ orthogonal beziehungsweise
   unitär, falls für alle Vektoren $\vec{v} ∈ V$ die Gleichung
   \[
-    \bigl\| f(\vec{v}) \bigr\| = \| \vec{v} \|.
+    \bigl\| f(\vec{v}) \bigr\| = \| \vec{v} \|
   \]
   gilt.  Beweisen Sie eine entsprechende Variante von Lemma~\ref{lem:5-4-7} um
   zu zeigen, dass diese Definition mit Definition~\ref{def:9-1-2} übereinstimmt.
 \end{aufgabe}
 
-\begin{proposition}[Einfache Eigenschaften orthogonoaler und unitärer Abbildungen]\label{prop:9-1-6}
+\begin{proposition}[Einfache Eigenschaften orthogonoaler und unitärer Abbildungen]\label{prop:9-1-6}%
   In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei die Abbildung $f$ orthogonal beziehungsweise
   unitär.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
@@ -80,18 +80,18 @@ die folgende Situation.
   \video{13-3}
 \end{proof}
 
-\begin{rem}[Die Determinante]\label{rem:9-1-7}
+\begin{rem}[Die Determinante]\label{rem:9-1-7}%
   Erinnern Sie sich daran, dass die Determinante eines Endomorphismus das
   Produkt der Eigenwerte ist (mit algebraischer Vielfachheit!).  In der
   Situation von Proposition~\ref{prop:9-1-6} folgt deshalb aus Punkt
   \ref{il:9-1-7-2}, dass $|\det f|=1$ ist.  Im Fall einer orthogonalen Abbildung
-  ist die Determinante reell, also kommen für $\det f$ nur die Zahlen $± 1$ in
+  ist die Determinante reell, also kommen für $\det f$ nur die Zahlen $± 1$
-  Frage.
+  infrage.
 \end{rem}
 
 \begin{aufgabe}[Es reicht nicht, Orthogonalität zu erhalten]
   Situation wie in \ref{sit:9-1-1}.  Ein Blick auf Punkt~\ref{il:9-1-7-3} könnte
-  folgende Definition nahe legen: wir nennen $f$ ``orthogonal'' oder ``unitär''
+  folgende Definition nahe legen: Wir nennen $f$ „orthogonal“ oder „unitär“
   falls für alle Vektoren $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die gilt:
   \[
     \vec{v} \perp \vec{w} ⇔ f(\vec{v}) \perp f(\vec{w}).
@@ -107,7 +107,7 @@ Genau wie in Korollar~\ref{kor:5-2-5} folgt direkt aus
 Proposition~\ref{prop:9-1-6}, dass die orthogonalen beziehungsweise unitären
 Transformation eine Gruppe bilden.
 
-\begin{defn}[Orthogonale beziehungsweise unitäre Gruppe]\label{def:9-1-9}
+\begin{defn}[Orthogonale beziehungsweise unitäre Gruppe]\label{def:9-1-9}%
   Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Dann bilden die orthogonalen
   beziehungsweise unitären Abbildungen eine Untergruppe von $\Aut(V)$.  Wir
@@ -125,21 +125,24 @@ Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:5-5} die orthogonalen Transformationen des
 $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands durch orthogonale Matrizen
 beschrieben.  Das geht in unserem verallgemeinerten Fall ganz genau so.
 
-\begin{aufgabe}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:9-2-1}
+\begin{aufgabe}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:9-2-1}%
-  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei $B := \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ eine
+  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei 
-  angeordnete Orthonormalbasis von $V$.  Beweisen Sie in völliger Analogie zu
+  \[
-  Satz~\ref{satz:5-5-2}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
+  B := \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}
+  \]
+  eine angeordnete Orthonormalbasis von $V$.  Beweisen Sie in völliger Analogie
+  zu Satz~\ref{satz:5-5-2}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
   \begin{enumerate}
   \item Die Abbildung $f$ ist orthogonal beziehungsweise unitär.
 
-  \item Die Matrix $Q := \Mat^B_B(f)$ erfüllt die Gleichung
+  \item Die Matrix $Q := \Mat^B_B(f)$ erfüllt die Gleichung $Q^t·Q = \Id_{n ⨯
-    $Q^t·Q = \Id_{n ⨯ n}$ beziehungsweise $\overline{Q^t}·Q = \Id_{n ⨯ n}$.
+    n}$ beziehungsweise $\overline{Q^t}·Q = \Id_{n ⨯ n}$.
   \end{enumerate}
   Dabei bezeichnet $Q^t$ die zu $Q$ transponierte Matrix.  Der Querstrich steht
   wie immer für die komplex-konjugierte Matrix.
 \end{aufgabe}
 
-Nach dieser Aufgabe ist es sinnvoll, die Definition von ``orthogonaler Matrix'',
+Nach dieser Aufgabe ist es sinnvoll, die Definition von „orthogonaler Matrix“,
 die wir auf Seite~\pageref{def:5-5-3} gegeben hatten, zu wiederholen und zu
 erweitern.
 
@@ -148,12 +151,12 @@ erweitern.
   
   \begin{enumerate}
   \item Eine Matrix $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ heißt
-    \emph{orthogonal}\index{orthogonal!Matrix}, falls die Gleichung
+    \emph{orthogonal}\index{orthogonal!Matrix}, falls die Gleichung $A^{-1} =
-    $A^{-1} = A^t$ gilt.
+    A^t$ gilt.
     
   \item Eine Matrix $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$ heißt
-    \emph{unitär}\index{unitär!Matrix}, falls die Gleichung
+    \emph{unitär}\index{unitär!Matrix}, falls die Gleichung $A^{-1} =
-    $A^{-1} = \overline{A^t}$ gilt.
+    \overline{A^t}$ gilt.
   \end{enumerate}
 \end{defn}
 
@@ -165,17 +168,16 @@ erweitern.
     \mathcal{O}_n & := \{ A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ) \::\: A \text{ ist orthogonal}\} && \text{… orthogonale Gruppe} \\
     \mathcal{SO}_n & := \{ A ∈ \mathcal{O}_n \::\: \det A =1 \} && \text{… spezielle orthogonale Gruppe} \\
     \mathcal{U}_n & := \{ A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ) \::\: A \text{ ist unitär}\} && \text{… unitäre Gruppe} \\
-    \mathcal{SU}_n & := \{ A ∈ \mathcal{U}_n \::\: \det A =1 \} && \text{… spezielle unitäre Gruppe}
+    \mathcal{SU}_n & := \{ A ∈ \mathcal{U}_n \::\: \det A =1 \} && \text{… spezielle unitäre Gruppe.}
   \end{align*}
-  Der
+  Der Determinanten-Multiplikationssatz\footnote{$\det (A·B) = (\det A) · (\det
-  Determinanten-Multiplikationssatz\footnote{$\det (A·B) = (\det A) · (\det B)$}
+  B)$} stellt sicher, dass es sich bei den „speziellen Gruppen“ tatsächlich um
-  stellt sicher, dass es sich bei den ``speziellen Gruppen'' tatsächlich um
   Gruppen handelt.
 \end{notation}
 
 \begin{proposition}[Einfache Eigenschaften]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ beziehungsweise
+  Es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ beziehungsweise $A ∈ \Mat(n ⨯
-  $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
+  n, ℂ)$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:9-2-4-1} Die Matrix $A$ ist orthogonal beziehungsweise unitär.
     
@@ -196,9 +198,9 @@ erweitern.
     A^t · A = \bigl( \langle \vec{s}_i, \vec{s}_j\rangle \bigr)_{ij}
   \]
   Beachte, dass $A$ per Definition genau dann orthogonal ist, wenn die
-  Gleichheit $A^t · A = \Id_{n⨯ n}$ gilt.  Das gilt in unserem Fall aber
+  Gleichheit $A^t · A = \Id_{n⨯ n}$ gilt.  Das gilt in unserem Fall aber genau
-  genau dann, wenn $\langle s_i, s_j \rangle = δ_{ij}$ ist, und das ist aber
+  dann, wenn $\langle s_i, s_j \rangle = δ_{ij}$ ist, und das ist aber gerade
-  gerade Bedingung \ref{il:9-2-4-2}.  Die Äquivalenz von \ref{il:9-2-4-1} und
+  Bedingung \ref{il:9-2-4-2}.  Die Äquivalenz von \ref{il:9-2-4-1} und
   \ref{il:9-2-4-3} beweist man analog, nur schreibe $A$ als Zeilenvektoren und
   betrachte dann $A · A^t$.
 \end{proof}
@@ -247,7 +249,7 @@ die orthogonalen $2⨯ 2$-Matrizen beschreibe.  Um die Fallunterscheidung zu
 verstehen, erinnern sie sich bitte an Bemerkung~\vref{rem:9-1-7}, die
 sicherstellt, dass die Determinante einer orthogonalen Matrix stets $± 1$ ist.
 
-\begin{satz}[Normalform von Matrizen aus $\mathcal{O}_2$]\label{satz:9-2-7}
+\begin{satz}[Normalform von Matrizen aus $\mathcal{O}_2$]\label{satz:9-2-7}%
   Sei $A ∈ \mathcal{O}_2$.  Dann gibt es eine Zahl $α ∈ ℝ$, sodass folgende
   Gleichung gilt.
   \[
@@ -274,15 +276,15 @@ sicherstellt, dass die Determinante einer orthogonalen Matrix stets $± 1$ ist.
 \end{erkl}
 
 Nachdem die Matrizen aus $\mathcal{O}_2$ ganz gut verstanden sind, möchte ich
-als nächstes erklären, wie man sich die Matrizen aus $\mathcal{O}_n$ vorstellen
+als Nächstes erklären, wie man sich die Matrizen aus $\mathcal{O}_n$ vorstellen
 soll, für beliebigen Index $n$.  Der folgende Satz zeigt, wie die orthogonalen
 Matrizen beliebiger Dimension aus Drehungen und Spiegelungen zusammengesetzt
 sind.
 
-\begin{satz}[Normalform für Matrizen aus $\mathcal{O}_n$]\label{satz:9-2-9}
+\begin{satz}[Normalform für Matrizen aus $\mathcal{O}_n$]\label{satz:9-2-9}%
-  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei $f: V → V$ orthonogonal.  Dann gibt es eine
+  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei $f: V → V$ orthogonal.  Dann gibt es eine
-  angeordnete Orthonormalbasis $B$, so dass die Matrix $\Mat^B_B(f)$ die
+  angeordnete Orthonormalbasis $B$, sodass die Matrix $\Mat^B_B(f)$ die folgende
-  folgende Blockgestalt hat
+  Blockgestalt hat
   \[
     \begin{pmatrix}
       \Id_{a ⨯ a} & \\
@@ -292,9 +294,8 @@ sind.
       & & & & A_k \\
     \end{pmatrix}
   \]
-  wobei die $A_1, …, A_k ∈ \mathcal{SO}_2$ sind und
+  wobei die $A_1, …, A_k ∈ \mathcal{SO}_2$ sind und $\Id_{• ⨯ •}$ jeweils
-  $\Id_{• ⨯ •}$ jeweils jeweils Einheitsmatrizen der
+  Einheitsmatrizen der entsprechenden Größe sind.
-  entsprechenden Größe sind.
 \end{satz}
 
 
@@ -306,11 +307,10 @@ kompliziert sind und alles viel einfacher wäre, wenn wir über komplexe
 Vektorräume reden dürften.  Deshalb diskutiere ich ein Verfahren, wie man aus
 einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
 
-\begin{konstruktion}[Komplexifizierung eines reellen Vektorraumes]\label{kons:9-4-4}
+\begin{konstruktion}[Komplexifizierung eines reellen Vektorraumes]\label{kons:9-4-4}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum.  Wir konstruieren
-  einen komplexen Vektorraum $V^{ℂ}$ wie folgt: wir betrachten die Menge
+  einen komplexen Vektorraum $V^ℂ$ wie folgt: Wir betrachten die Menge $V^ℂ :=
-  $V^{ℂ} := V ⨯ V$ und definieren eine Addition durch komponentenweise
+  V ⨯ V$ und definieren eine Addition durch komponentenweise Addition
-  Addition
   \[
     + : (V ⨯ V)⨯ (V ⨯ V) → V ⨯ V, \quad \bigl((\vec{a}_1, \vec{b}_1), (\vec{a}_2, \vec{b}_2)\bigr) ↦ (\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{b}_1+\vec{b}_2)
   \]
@@ -318,7 +318,7 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
   \[
     · : ℂ ⨯ (V ⨯ V) → V ⨯ V, \quad \bigl((a+i·b), (\vec{v}, \vec{w})\bigr) ↦ (a·\vec{v}-b·\vec{w},b·\vec{v}+a·\vec{w}).
   \]
-  Rechnen Sie nach, dass dies tatsächlich eine $ℂ$-Vektorraum ist, wen wir als
+  Rechnen Sie nach, dass dies tatsächlich ein $ℂ$-Vektorraum ist, wen wir als
   \emph{Komplexifizierung des Vektorraumes $V$}\index{Komplexifizierung!eines
   Vektorraumes} bezeichnen.
 \end{konstruktion}
@@ -326,8 +326,8 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
 \begin{notation}[Konjugation und komplexifizierung von Vektoren]
   In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:9-4-4} schreiben wir die Elemente
   statt $(\vec{v}, \vec{w})$ suggestiv in der Form $\vec{v}+i·\vec{w}$, dann
-  wird die Formel für die skalare Multiplikation gleich viel verständlicher.
+  wird die Formel für die skalare Multiplikation gleich viel verständlicher. Wir
-  Wir betrachten noch die \emph{komplexe Konjugation}\index{Konjugation!in
+  betrachten noch die \emph{komplexe Konjugation}\index{Konjugation!in
   komplexifiziertem Vektorraum}
   \[
     \overline{•} : V ⨯ V → V ⨯ V, \quad \bigl(\vec{v}, \vec{w}\bigr) ↦ \bigl(\vec{v}, -\vec{w}\bigr)
@@ -335,47 +335,45 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
   und die \emph{kanonische Inklusion}\index{kanonische Inklusion eines
     Vektorraum in seine Komplexifizierung}
   \[
-    ι : V → V^{ℂ}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
+    ι : V → V^ℂ, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
   \]
-  Mit Hilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als
+  Mithilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als
-  Teilmenge von $V^{ℂ}$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$
+  Teilmenge von $V^ℂ$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$ den
-  den \emph{komplexifizierten Vektor}\index{Komplexifizierung!eines Vektors} und
+  \emph{komplexifizierten Vektor}\index{Komplexifizierung!eines Vektors} und
   schreiben $\vec{v}^{\:ℂ}$.
 \end{notation}
 
-\begin{konstruktion}[Komplexifizierung einer linearen Abbildung]\label{kons:9-4-6}
+\begin{konstruktion}[Komplexifizierung einer linearen Abbildung]\label{kons:9-4-6}%
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:9-4-4} sei
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:9-4-4} sei $B := \{ \vec{v}_1, …,
-  $B := \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \} ⊂ V$ eine Basis des reellen
+  \vec{v}_n \} ⊂ V$ eine Basis des reellen Vektorraumes $V$ ist.  Rechnen Sie
-  Vektorraumes $V$ ist.  Rechnen Sie nach, dass die komplexifizierte Basis
+  nach, dass die komplexifizierte Basis $B^ℂ := \{ \vec{v}^{\:ℂ}_1, …,
-  $B^{ℂ} := \{ \vec{v}^{\:ℂ}_1, …, \vec{v}^{\:ℂ}_n \} ⊂ V^{ℂ}$
+  \vec{v}^{\:ℂ}_n \} ⊂ V^ℂ$ dann eine Basis von $V^ℂ$.  Noch besser: wenn $f : V
-  dann eine Basis von $V^{ℂ}$.  Noch besser: wenn $f : V → V$ linear ist,
+  → V$ linear ist, dann gibt es nach dem Satz vom Wünsch-Dir-Was genau eine
-  dann gibt es nach dem Satz vom Wünsch-Dir-Was genau eine Abbildung
+  Abbildung $f^ℂ : V^ℂ → V^ℂ$, sodass für alle Indizes $i$ gilt:
-  $f^{ℂ} : V^{ℂ} → V^{ℂ}$, so dass für alle Indizes $i$ gilt:
+  $f^ℂ(\vec{v}^{\:ℂ}_i) = f(\vec{v}_i)^{\:ℂ}$.  Rechnen Sie nach, dass $f^ℂ$
-  $f^{ℂ}(\vec{v}^{\:ℂ}_i) = f(\vec{v}_i)^{\:ℂ}$.  Rechnen Sie nach, dass
+  nicht von der Wahl der Basis $B$ abhängt!  Wir nennen $f^ℂ$ die
-  $f^{ℂ}$ nicht von der Wahl der Basis $B$ abhängt!  Wir nennen $f^{ℂ}$ die
   \emph{Komplexifizierung der Abbildung $f$}\index{Komplexifizierung!einer
   Abbildung}.
 \end{konstruktion}
 
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:9-4-6} ist klar, dass für jeden
-  Vektor $\vec{v} ∈ V$ die Gleichheit
+  Vektor $\vec{v} ∈ V$ die Gleichheit $f(\vec{v})^ℂ = f^ℂ(\vec{v}^{\:ℂ})$ gilt.
-  $f(\vec{v})^{ℂ} = f^{ℂ}(\vec{v}^{\:ℂ})$ gilt.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:9-4-6} ist klar, dass die
   Gleichheiten
   \[
-    \Mat^B_B(f) = \Mat^{B^{ℂ}}_{B^{\:ℂ}}(f^{ℂ}) \quad\text{und}\quad
+    \Mat^B_B(f) = \Mat^{B^ℂ}_{B^{\:ℂ}}(f^ℂ) \quad\text{und}\quad
-    χ_f(t) = χ_{f^{ℂ}}(t)
+    χ_f(t) = χ_{f^ℂ}(t)
   \]
-  gelten.  Insbesondere ist $\Mat^{B^{ℂ}}_{B^{\:ℂ}}(f^{ℂ})$ eine reelle
+  gelten.  Insbesondere ist $\Mat^{B^ℂ}_{B^{\:ℂ}}(f^ℂ)$ eine reelle Matrix und
-  Matrix und $χ_{f^{ℂ}}$ ist ein reelles Polynom.  Außerdem ist $f^{ℂ}$ mit
+  $χ_{f^ℂ}$ ist ein reelles Polynom.  Außerdem ist $f^ℂ$ mit der Konjugation
-  der Konjugation verträglich.  Genauer gesagt gilt für jeden Vektor
+  verträglich.  Genauer gesagt gilt für jeden Vektor $\vec{v} ∈ V^ℂ$ die
-  $\vec{v} ∈ V^{ℂ}$ die Gleichung
+  Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:9-4-7-1}
-    f^{ℂ}\bigl( \overline{\vec{v}}\: \bigr) = \overline{ f^{ℂ}\bigl( \vec{v} \bigr)}.
+    f^ℂ\bigl( \overline{\vec{v}}\: \bigr) = \overline{ f^ℂ\bigl( \vec{v} \bigr)}.
   \end{equation}
 \end{beobachtung}
 
@@ -384,40 +382,37 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
 
 Wir beginnen den Beweis von Satz~\ref{satz:9-2-9} mit der Feststellung, dass es
 in der Situation des Satzes stets einen ein- oder zwei-dimensionalen
-Untervektorraum $U ⊆ V$ gibt, der von $f$ auf sich selbst abgebildet
+Untervektorraum $U ⊆ V$ gibt, der von $f$ auf sich selbst abgebildet wird.  Die
-wird.  Die Queen würde vornehmer formulieren und sagen: ``… der von $f$
+Queen würde vornehmer formulieren und sagen: „… der von $f$ stabilisiert
-stabilisiert wird''\index{stabiler Untervektorraum}.  Ich erinnere bei der
+wird“\index{stabiler Untervektorraum}.  Ich erinnere bei der Gelegenheit gleich
-Gelegenheit gleich daran, dass $f$ isomorph ist.  Also folgt aus
+daran, dass $f$ isomorph ist.  Also folgt aus $f(U) ⊂ U$, dass die Einschränkung
-$f(U) ⊂ U$, dass die Einschränkung $f|_U : U → U$ einen Isomorphismus
+$f|_U : U → U$ einen Isomorphismus von $U$ liefert.
-von $U$ liefert.
 
-\begin{lemma}[Stabile Unterräume kleiner Dimension]\label{lem:9-2-10}
+\begin{lemma}[Stabile Unterräume kleiner Dimension]\label{lem:9-2-10}%
   In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei $f: V → V$ orthogonal.  Dann gibt es einen
-  Untervektorraum $U ⊆ V$ mit $\dim U ∈ \{ 1, 2\}$, so dass
+  Untervektorraum $U ⊆ V$ mit $\dim U ∈ \{ 1, 2\}$, sodass $f(U) ⊆ U$ ist.
-  $f(U) ⊆ U$ ist.
 \end{lemma}
 \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:9-2-10}]
-  Falls $f$ einen reellen Eigenwert $λ ∈ ℝ$ hat, ist die Sache sehr
+  Falls $f$ einen reellen Eigenwert $λ ∈ ℝ$ hat, ist die Sache sehr einfach.
-  einfach.  Wähle einen zugehörenden Eigenvektor $\vec{v} ∈ V$ und setze
+  Wähle einen zugehörenden Eigenvektor $\vec{v} ∈ V$ und setze $U := \langle
-  $U := \langle \vec{v}\, \rangle$, fertig.  Also betrachten wir nur noch den
+  \vec{v}\, \rangle$, fertig.  Also betrachten wir nur noch den Fall, dass $f$
-  Fall, dass $f$ keinen reellen Eigenwert hat.
+  keinen reellen Eigenwert hat.
 
-  Sei $λ = a+i·b ∈ ℂ ∖ ℝ$ eine komplexe Nullstelle des
+  Sei $λ = a+i·b ∈ ℂ ∖ ℝ$ eine komplexe Nullstelle des charakteristischen
-  charakteristischen Polynoms.  Das charakteristische Polynom von $f$ ist reell,
+  Polynoms.  Das charakteristische Polynom von $f$ ist reell, also von der Form
-  also von der Form $χ_f(t) = \sum a_i·tⁱ$, mit $a_i ∈ ℝ$.  Die folgende
+  $χ_f(t) = \sum a_i·tⁱ$, mit $a_i ∈ ℝ$.  Die folgende Rechnung zeigt, dass das
-  Rechnung zeigt, dass das komplex-konjugierte $\overline{λ}$ dann auch eine
+  komplex-konjugierte $\overline{λ}$ dann auch eine Nullstelle ist,
-  Nullstelle ist,
   \[
     χ_f(\overline{λ}) = \sum a_i·\overline{λ}ⁱ = \sum a_i·\overline{λⁱ}
     \overset{a_i ∈ ℝ}{=} \sum \overline{a_i}·\overline{λⁱ} = \overline{\sum
       a_i·λⁱ} = \overline{χ_f(λ)} = 0.
   \]
-  Ich betrachte jetzt für den Endomorphismus $f^{ℂ}$ einen Eigenvektor
+  Ich betrachte jetzt für den Endomorphismus $f^ℂ$ einen Eigenvektor $\vec{v} =
-  $\vec{v} = (\vec{v}_1, \vec{v}_2) ∈ V^{ℂ}$ zum Eigenwert $λ$.
+  (\vec{v}_1, \vec{v}_2) ∈ V^ℂ$ zum Eigenwert $λ$. Gleichung~\eqref{eq:9-4-7-1}
-  Gleichung~\eqref{eq:9-4-7-1} zeigt mir dann, dass der konjugierte Vektor
+  zeigt mir dann, dass der konjugierte Vektor $\overline{\vec{v}} = (\vec{v}_1,
-  $\overline{\vec{v}} = (\vec{v}_1, -\vec{v}_2) ∈ V^{ℂ}$ ein Eigenvektor zum
+  -\vec{v}_2) ∈ V^ℂ$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\overline{λ}$ ist.  Die
-  Eigenwert $\overline{λ}$ ist.  Die Menge $\{ \vec{v}, \overline{\vec{v}}\}$
+  Menge $\{ \vec{v}, \overline{\vec{v}}\}$ ist dann $ℂ$-linear unabhängig,
-  ist dann $ℂ$-linear unabhängig, ebenso die Menge
+  ebenso die Menge
   \[
     \left\{ \frac{1}{2}·(\vec{v}+\overline{\vec{v}}\,), \frac{i}{2}·(\vec{v}-\overline{\vec{v}}\,)\right\} %
     = \left\{ (\vec{v}_1, \vec{0}), (\vec{v}_2, \vec{0})\right\}.
@@ -425,8 +420,8 @@ von $U$ liefert.
   Es folgt, dass $U := \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle ⊆ V$ ein
   zwei-dimensionaler reeller Unterraum ist.  Außerdem ist
   \begin{align*}
-    f(\vec{v}_1) & = f^{ℂ}(\vec{v_1}) = f^{ℂ} \left( \frac{1}{2}·(\vec{v}+\overline{\vec{v}}\,) \right) \\
+    f(\vec{v}_1) & = f^ℂ(\vec{v_1}) = f^ℂ \left( \frac{1}{2}·(\vec{v}+\overline{\vec{v}}\,) \right) \\
-                 & = \frac{1}{2}·\left( f^{ℂ}(\vec{v}) + f^{ℂ}(\overline{\vec{v}}\,) \right) = \frac{1}{2}·\left( λ·\vec{v} + \overline{λ}·\overline{\vec{v}}\, \right) \\
+                 & = \frac{1}{2}·\left( f^ℂ(\vec{v}) + f^ℂ(\overline{\vec{v}}\,) \right) = \frac{1}{2}·\left( λ·\vec{v} + \overline{λ}·\overline{\vec{v}}\, \right) \\
                  & = a·\vec{v}_1 - b·\vec{v}_2.
   \end{align*}
   Analog rechnet man nach, dass $f(\vec{v}_2)$ eine reelle Linearkombination von

10-selfAdjoint.tex

@@ -5,36 +5,36 @@
 
 \sideremark{Vorlesung 15}Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:adAbb} gesehen, dass
 es zu jeder linearen Abbildung $f : V → W$ von Euklidischen Vektorräumen stets
-eine adjungierte Abbildung $f^{\ad} : W → V$ gibt.  In diesem Kapitel
+eine adjungierte Abbildung $f^{\ad} : W → V$ gibt.  In diesem Kapitel betrachten
-betrachten wir den Spezialfall wo $V = W$ ist.  Dann sind sowohl $f$ als auch
+wir den Spezialfall wo $V = W$ ist.  Dann sind sowohl $f$ als auch $f^{\ad}$
-$f^{\ad}$ Endomorphismen von $V$ und wir und fragen, ob und unter welchen
+Endomorphismen von $V$ und wir und fragen, ob und unter welchen Umständen
-Umständen vielleicht $f = f^{\ad}$ ist.  Solche ``selbstadjungierten''
+vielleicht $f = f^{\ad}$ ist.  Solche „selbstadjungierten“ Endomorphismen treten
-Endomorphismen treten in der Analysis und in der Quantenmechanik auf, dort
+in der Analysis und in der Quantenmechanik auf, dort allerdings meistens im
-allerdings meistens im Zusammenhang mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen.
+Zusammenhang mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen.
 
 \begin{quote}
-  Self-adjoint operators are used in functional analysis and quantum
+  \foreignlanguage{english}{Self-adjoint operators are used in functional
-  mechanics.  In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann
+  analysis and quantum mechanics.  In quantum mechanics their importance lies in
-  formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as
+  the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical
-  position, momentum, angular momentum and spin are represented by self-adjoint
+  observables such as position, momentum, angular momentum and spin are
-  operators on a Hilbert space.  Of particular significance is the Hamiltonian
+  represented by self-adjoint operators on a Hilbert space.  Of particular
-  operator $\what{H}$ defined by
+  significance is the Hamiltonian operator $\what{H}$ defined by
   \[
     \what{H} ψ = -\frac{\hbar²}{2m} ∇² ψ + V ψ
   \]
   which as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass
-  $m$ in a real potential field $V$.
+  $m$ in a real potential field $V$.}
 
   -- \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator}{Wikipedia
     (Self-adjoint operator)}
 \end{quote}
 
 Vielleicht finden Sie es ein wenig verwirrend, dass die oben diskutierte
-Bedingung ``$f = f^{\ad}$'' in der folgenden Definition gar nicht auftaucht.
+Bedingung „$f = f^{\ad}$“ in der folgenden Definition gar nicht auftaucht.
 Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
 
-\begin{defn}[Selbstadjungierte Endomorphismen]\label{def:10-0-1}
+\begin{defn}[Selbstadjungierte Endomorphismen]\label{def:10-0-1}%
-  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimen\-sionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   Endomorphismus.  Nenne den Endomorphismus $f$
   \emph{selbstadjungiert}\index{selbstadjungiert}\index{Endomorphismus!selbstadjungiert},
@@ -45,7 +45,7 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
   \]
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}[Selbstadjungiertheit bezüglich des Standardskalarprodukts]\label{bsp:10-0-2}
+\begin{bsp}[Selbstadjungiertheit bezüglich des Standardskalarprodukts]\label{bsp:10-0-2}%
   Es sei $V = ℝ^n$ oder $V = ℂ^n$ ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt und
   es sei $f ∈ \End(V)$ durch eine Matrix $A$ gegeben.  Dann ist $f$ genau dann
   selbstadjungiert, falls für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ gilt
@@ -54,8 +54,8 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
     = \langle \vec{v}, A · \vec{w} \rangle = \vec{v}^t · \overline{A} ·
     \overline{\vec{w}}.
   \]
-  Es folgt: der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, falls die
+  Es folgt: Der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, falls die
-  Gleichung $A^t = \overline{A}$ gilt.  Anders formuliert: der Endomorphismus
+  Gleichung $A^t = \overline{A}$ gilt.  Anders formuliert: Der Endomorphismus
   ist genau dann selbstadjungiert, falls die Matrix $A$ eine symmetrische oder
   Hermitesche Matrix ist.
 \end{bsp}
@@ -63,20 +63,20 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
 \begin{aufgabe}
   In der Situation von Definition~\ref{def:10-0-1} sei $\mathcal{B}$ eine
   angeordnete Orthonormalbasis von $V$, mit zugehörender Koordinatenabbildung
-  $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℝ^n$ oder $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℂ^n$.
+  $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℝ^n$ oder $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℂ^n$. Rechnen Sie
-  Rechnen Sie nach, dass für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die Gleichung
+  nach, dass für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die Gleichung
   \[
     \underbrace{\langle \vec{v}, \vec{w} \rangle}_{\text{Prod.~in }V} = %
     \underbrace{\bigl\langle Φ_{\mathcal{B}}(\vec{v}), Φ_{\mathcal{B}}(\vec{w}) \bigr\rangle}_{\text{Standardskalarprodukt}}
   \]
-  Folgern Sie mit Hilfe von Beispiel~\ref{bsp:10-0-2} messerscharf, dass die
+  Folgern Sie mithilfe von Beispiel~\ref{bsp:10-0-2} messerscharf, dass die
   Abbildung $f ∈ \End(V)$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn
   $\Mat_\mathcal{B}^\mathcal{B}(f)$ eine symmetrische oder Hermitesche Matrix
   ist.
 \end{aufgabe}
 
 Wir werden in dieser einführenden Vorlesung die Theorie selbstadjungierte
-Endomorphismen nicht weit verfolgen, obwohl sich hier sehr viel interessantes
+Endomorphismen nicht weit verfolgen, obwohl sich hier sehr viel Interessantes
 sagen ließe.  Ich stelle mit den folgenden beiden Sätzen lediglich fest, dass
 selbstadjungierte Endomorphismen stets diagonalisierbar sind, und das sogar in
 besonders einfacher Weise.
@@ -107,7 +107,7 @@ besonders einfacher Weise.
 Der folgende Satz ist in der Literatur auch als
 \emph{Spektralsatz}\index{Spektralsatz} bekannt.
 
-\begin{satz}[Selbstadjungierte Endomorphismen haben ONB aus Eigenvektoren]\label{satz:10-0-5}
+\begin{satz}[Selbstadjungierte Endomorphismen haben ONB aus Eigenvektoren]\label{satz:10-0-5}%
   Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   selbstadjungierter Endomorphismus.  Dann gibt es eine Orthonormalbasis von
@@ -120,14 +120,14 @@ Der folgende Satz ist in der Literatur auch als
 Satz~\ref{satz:10-0-5} sagt sofort, dass selbstadjungierte Endomorphismen (und
 damit auch alle symmetrischen und Hermiteschen Matrizen) diagonalisierbar sind.
 Der dazu nötige Basiswechsel ist sogar besonders einfach, weil die
-Basiswechselmatrizen $S$ orthogonal oder unitär gewählt werden können.  Das macht
+Basiswechselmatrizen $S$ orthogonal oder unitär gewählt werden können.  Das
-die Berechnung von $S^{-1}$ extrem einfach.
+macht die Berechnung von $S^{-1}$ extrem einfach.
 
-\begin{kor}[Diagonalisierbarkeit symmetrischer und Hermitescher Matrizen]
+\begin{kor}[Diagonalisierbarkeit symmetrischer und Hermitescher Matrizen]%
-  Sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ oder $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$ eine symmetrische
+  Sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ oder $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$ eine symmetrische oder
-  oder Hermitesche Matrix.  Dann ist $A$ diagonalisierbar.  Besser noch: es gibt
+  Hermitesche Matrix.  Dann ist $A$ diagonalisierbar.  Besser noch: es gibt eine
-  eine orthogonale oder unitäre Matrix $S$, so dass $S·A·S^{-1}$ eine
+  orthogonale oder unitäre Matrix $S$, sodass $S·A·S^{-1}$ eine Diagonalmatrix
-  Diagonalmatrix ist.
+  ist.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Nehmen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und rechnen Sie nach, was

11-Hauptachsen.tex

@@ -4,21 +4,21 @@
 \chapter{Hauptachsentransformation}
 
 \sideremark{Vorlesung 16}Dieser Abschnitt passt eigentlich gar nicht in das
-Kapitel ``Euklidische und Hermitesche Vektorräume'', denn hier geht es nicht um
+Kapitel „Euklidische und Hermitesche Vektorräume“, denn hier geht es nicht um
 reelle oder komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt, sondern um reelle oder
 komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt mit einer beliebigen symmetrischen oder
 Hermiteschen Form, die nicht notwendigerweise ein Skalarprodukt ist.
 Funktioniert die Methode von Gram-Schmidt dann immer noch?  Die Antwort ist:
-``fast''.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den
+„fast“.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den folgenden
-folgenden Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich
+Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich immer in
-immer in besonders einfache Gestalt bringen!
+besonders einfache Gestalt bringen!
 
-\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}
+\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
   es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter sei
   $\mathcal{A}$ eine angeordnete Basis von $V$ und $A = \Mat_{\mathcal{A}}(s)$
-  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, so
+  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, sodass
-  dass Folgendes gilt.
+  Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Die Matrix $B := \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ ist diagonal,
     \[
@@ -27,7 +27,7 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
         λ_1 && 0\\
         &\ddots\\
         0 && λ_n
-      \end{pmatrix}
+      \end{pmatrix}.
     \]
     
   \item Die Koordinatenwechselmatrix
@@ -42,20 +42,20 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Hauptachsen und Hauptachsentransformation]
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} schreibe
+  In der Situation von Satz \ref{satz:11-0-1} schreibe $\mathcal B = \{
-  $\mathcal B = \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den
+  \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den Vektoren $\vec{v}_•$
-  Vektoren $\vec{v}_{•}$ aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume
+  aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume von $V$ die
-  von $V$ die \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von
+  \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von der Basis
-  der Basis $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
+  $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
   \emph{Hauptachsentransformation}\index{Hauptachsentransformation}.
 \end{notation}
 
 Der Satz über die Hauptachsentransformation und sein (konstruktiver!) Beweis
-haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass das Satz ein
+haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass der Satz ein
 sehr bequemes Kriterium dafür liefert, dass eine gegebene Form positiv definit
 ist.
 
-\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}
+\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}%
   In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Form $s$ ist positiv definit.
@@ -63,40 +63,44 @@ ist.
   \end{enumerate}
 \end{kor}
 
-Die Aussage ``Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' ist sinnvoll, weil
+Die Aussage „Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ ist sinnvoll, weil
 wir nach Satz~\ref{satz:11-0-1} ja schon wissen, dass alle Eigenwerte reell
 sind.
 
 \begin{proof}[Beweis von Korollar~\ref{cor:11-0-3}]
-  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass
+  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass $B =
-  $B = \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie
+  \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie $A$
-  $A$ hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$
+  hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$ bzw.
-  bzw.  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$
+  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$ größer
-  größer als Null sind.
+  als Null sind.
 \end{proof}
 
-Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft ``alle
+Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft „alle
-Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' nicht von der Wahl der Basis
+Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ nicht von der Wahl der Basis $\mathcal
-$\mathcal A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig
+A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig verwirrt,
-  verwirrt, weil Sie meinen ``Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso
+weil Sie meinen „Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso nie von der
-  nie von der Wahl der Basis ab.'' Überlegen Sie sich aber, was Sie mit ``einer
+Wahl der Basis ab.“ Überlegen Sie sich aber, was Sie mit „einer Matrix“ meinen.
-  Matrix'' meinen.  Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen
+Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen Endomorphismus eines
-  Endomorphismus eines Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix
+Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix des Endomorphismus
-  des Endomorphismus betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht
+betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht von der Wahl der Basis
-  von der Wahl der Basis ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir
+ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir betrachten nicht die Matrix
-  betrachten nicht die Matrix eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer
+eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer Form.}.  Der folgende Satz
-  Form.}.  Der folgende Satz verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$
+verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$ nicht unbedingt positiv definit
-nicht unbedingt positiv definit ist, hängt die Wahl der positiven/negativen
+ist, hängt die Wahl der positiven/negativen Eigenwerte nicht von der Wahl der
-Eigenwerte nicht von der Wahl der Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt
+Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt „Trägheitssatz“, weil er in der
-``Trägheitssatz'', weil er in der klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung
+klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung massebehafteter (=träger) starrer
-massebehafteter (=träger) starrer Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich
+Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich komme im folgenden Kapitel noch
-komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
+einmal auf diesen Punkt zurück.
 
-\begin{satz}[Trägheitssatz von Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James Joseph Sylvester} (* 3.  September 1814 in London; † 15.  März 1897 in Londen) war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum Studium in Cambridge zugelassen wurde.  }]\label{satz:11-0-5}
+\begin{satz}[Trägheitssatz von
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
+  Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien
+  Joseph Sylvester} (* 3.~September 1814 in London; † 15.~März 1897 in London)
-  $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden
+  war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum
-  Matrizen $A_{•} = \Mat_{\mathcal{A}_{•}}(s)$.  Dann gilt folgendes.
+  Studium in Cambridge zugelassen wurde.}]\label{satz:11-0-5} Es sei $V$ ein
+  endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und es sei $s: V ⨯
+  V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien $\mathcal{A}_1,
+  \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden Matrizen $A_• =
+  \Mat_{\mathcal{A}_•}(s)$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Die Anzahlen der positiven Eigenwerte von $A_1$ und $A_2$ sind gleich.
 
@@ -113,16 +117,16 @@ komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
 
 Der Trägheitssatz von Sylvester stellt sicher, dass folgende Definition sinnvoll ist.
 
-\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}
+\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Dann nennt man
+  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Die Anzahl der
-  wird die Anzahl der positiver Eigenwerte als \emph{Index von $s$}\index{Index
+  positiven Eigenwerte wird als \emph{Index von $s$}\index{Index einer Form}
-    einer Form} bezeichnet.  Die Differenz
+  bezeichnet.  Die Differenz
   \[
     \text{Anzahl positiver Eigenwerte - Anzahl negativer Eigenwerte}
   \]
-  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer
+  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer Form} genannt.  Der
-    Form} genannt.  Der Untervektorraum
+  Untervektorraum
   \[
     V⁰_s := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: s(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \text{ für alle }
     \vec{w} ∈ V \} ⊆ V
@@ -164,7 +168,7 @@ Matrix positive definit ist.
     \end{pmatrix}
     ∈ \Mat(m⨯ m, k).
   \]
-  Dann gilt: die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
+  Dann gilt: Die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
   gilt, dass $\det A_m > 0$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -182,11 +186,11 @@ Hurwitz-Kriteriums.  Zum Beispiel
   In Klausuren und mündlichen Prüfungen sehe ich immer wieder Studenten, die das
   Hurwitz-Kriterium falsch anwenden, wenn gezeigt werden soll, dass eine Matrix
   \emph{negativ} definit ist.  Setzten Sie sich \emph{sofort} hin und zeigen Sie
-  mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage ``die Matrix $A$ ist genau
+  mithilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage „die Matrix $A$ ist genau dann
-  dann negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist''
+  negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist“ einfach
-  einfach nicht stimmt.  Bonusfrage: natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium
+  nicht stimmt.  Bonusfrage: Natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium verwenden,
-  verwenden, um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich
+  um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich das richtig
-  das richtig machen?
+  machen?
 \end{bemerkung}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

12-Anwendungen.tex

@@ -4,20 +4,20 @@
 \chapter{Anwendungen}
 
 \sideremark{Vorlesung 17}Haben Sie schon einmal nachts wach im Bett gelegen,
-weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mit Hilfe eines orthogonalen
+weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mithilfe eines orthogonalen
 Basiswechsels diagonalisieren wollten?  Drängt es Sie, die Koeffizienten von
-Linearkombinationen mit Hilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
+Linearkombinationen mithilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
 
-Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über ``Euklidische und
+Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über „Euklidische und
-Hermitesche Vektorräume'' haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
+Hermitesche Vektorräume“ haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
-sich bei vielen der heißen Themen zu ``Machine Learning'', ``Collective
+sich bei vielen der heißen Themen zu „Machine Learning“, „Collective
-Intelligence'' oder ``Artificial Intelligence'' um relativ einfache Methoden der
+Intelligence“ oder „Artificial Intelligence“ um relativ einfache Methoden der
-linearen Algebra, die bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen können --
+linearen Algebra, die wir bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen
-schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es eine
+können -- schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es
-unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos, Projektvorschlägen
+eine unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos,
-und kleinen Wettbewerben gibt.  Es gilt der alte Satz, dass Mathematik nicht
+Projektvorschlägen und kleinen Wettbewerben gibt.  Es gilt der alte Satz, dass
-notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein.  Ich reiße in diesem
+Mathematik nicht notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein.  Ich
-Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
+reiße in diesem Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
 
 Der Abschnitt über die Klassifikation der reellen Quadriken ist klassischer
 Lehrstoff und prüfungsrelevant.  Die anderen Kapitel sollen Sie neugierig
@@ -26,9 +26,9 @@ machen, können aber nicht sinnvoll geprüft werden.
 
 \section{Reelle Quadriken}
 
-Die erste ``Anwendung'' ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt
+Die erste „Anwendung“ ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt mindestens
-mindestens aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des
+aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des Großen.
-Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
+Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
 \href{https://www.ams.org/notices/200809/tx080901076p.pdf}{wo Mathematik eine
 große Rolle spielte}.  Es geht um folgende Situation.
 
@@ -50,14 +50,14 @@ Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt
 
 Wir stellen in diesem Kapitel die Frage, was wir über die Geometrie von reellen
 Quadriken sagen können.  Es ist klar, dass das Bild einer Quadrik unter einer
-lineare Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
+linearen Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
 genauer: Wie sieht $Q$ aus nach geeigneter Wahl von Koordinaten und nach
 Translationen?  Wir formulieren die Frage präziser und führen die folgende
 Notation ein.
 
-\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}
+\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung
+  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung $Φ : V
-  $Φ : V → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
+  → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
   Abbildung $φ : V → W$ und einen Vektor $\vec{w} ∈ W$ gibt, sodass für alle
   $\vec{v} ∈ V$ die Gleichung $Φ(\vec{v}) = φ(\vec{v}) + \vec{w}$ gilt.
 \end{defn}
@@ -73,23 +73,23 @@ Damit können wir unsere Frage präzise formulieren.
 
 \begin{frage}
   Gegeben sei Situation~\ref{sit:12-1-1}.  Gibt es dann eine bijektive, affine
-  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$ unter der
+  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ unter der Abbildung $Φ$
-  Abbildung $Φ$ eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es
+  eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es eine (kleine)
-  eine (kleine) Mengen von ``Grund-Quadriken'' aus denen alle anderen durch
+  Mengen von „Grund-Quadriken“ aus denen alle anderen durch affine
-  affine Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
+  Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
   Verschiebung, …) entstehen?
 \end{frage}
 
 
-Die Antwort ist natürlich ``ja'', aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
+Die Antwort ist natürlich „ja“, aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
 nach vorn geblättert.  Sie kennen ähnliche Fragen aus der Schule.  Bei der
 Diskussion der Kongruenz von Dreiecken betrachtet man Dreiecke statt Quadriken
 und abstandserhaltende Abbildungen statt affiner Abbildungen.
 
 
-\subsection{Vereinfachung von Quadratischen Gleichungen}
+\subsection{Vereinfachung von quadratischen Gleichungen}
 
-Wir bleibe in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
+Wir bleiben in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
 bijektiven, affinen Abbildungen finden, sodass die Gleichung (der Bilder von)
 $Q$ immer einfacher wird.  Wie immer gibt es viel Material im Internet; ein
 Student wies mich auf
@@ -127,13 +127,13 @@ Witz ist aber, dass wir die symmetrische Matrix $A$ diagonalisieren können!
 
 Wir wissen: es existiert eine orthogonale $n⨯n$-Matrix $W$, sodass die
 Produktmatrix $W^t·A·W$ diagonal ist.  Es sei $Q^{(1)}$ das Bild von $Q$ unter
-der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt
+der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt für
-für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
+alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
 \begin{align*}
   \vec{x} ∈ Q^{(1)} & ⇔ W·\vec{x} ∈ Q \\
                       & ⇔ f(W·\vec{x}) = 0 \\
                       & ⇔ (W·\vec{x})^t·A·(W·\vec{x}) + 2 \vec{b} · (W·\vec{x}) + f_0 = 0 \\
-                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0
+                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0.
 \end{align*}
 Wir erkennen zum einen, dass die Bildmenge $Q^{(1)}$ wieder eine Quadrik ist.
 Die Gleichung $f^{(1)}$ der Quadrik $Q^{(1)}$ ist besonders einfach, weil es
@@ -169,8 +169,9 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(2)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(1)} \\
                   & ⇔ \sum_{i=1}^r
                     a^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i}
-                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right) + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
+                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right)\\
-                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0
+                  & \qquad + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
+                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0.
 \end{align*}
 Die Bildmenge $Q^{(2)}$ ist also wieder eine Quadrik, gegeben durch ein Polynom
 \[
@@ -193,7 +194,7 @@ Diese Konstruktion ist nur relevant, falls mindestens eines der $b^{(2)}_i$
 ungleich Null ist.  Falls alle $b^{(2)}_i$ verschwinden, machen wir in diesem
 Schritt nichts und setzen
 \[
-  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}
+  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}.
 \]
 Ansonsten können wir nach umnummerieren der Variable annehmen, dass
 $b^{(2)}_{r+1} \ne 0$ ist.  Betrachte dann die affine Bijektion
@@ -213,15 +214,15 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(3)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(2)} \\
                       & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i + 2·b^{(2)}_{r+1}·X + 2·\sum_{i=r+2}^n b^{(2)}_i·x_i + c^{(2)} = 0 \\
                       & \qquad\qquad\qquad \text{wobei } X = \left(\frac{-c^{(2)}}{2·b^{(2)}_{r+1}} - \frac{1}{b^{(2)}_{r+1}}·x_{r+1} - \sum_{j=r+2}^n \frac{b^{(2)}_j}{b^{(2)}_{r+1}}·x_j \right) \\
-                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0
+                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0.
 \end{align*}
-In jedem Fall gilt: die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
+In jedem Fall gilt: Die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
 gegeben durch ein Polynom
 \[
-  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)}
+  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)},
 \]
-wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin
+wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin gilt:
-gilt: $b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
+$b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
 
 
 \subsubsection{Schritt 5: Skalierung}
@@ -259,10 +260,10 @@ $b^{(4)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(4)} = 0$.
 Insgesamt haben wir mit den oben genannten Vereinfachungsschritten jetzt
 folgenden Satz bewiesen.
 
-\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}
+\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}%
   In Situation~\ref{sit:12-1-1} gibt es Zahlen $r$, $k$ gibt es eine bijektive,
-  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
+  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ Nullstellenmenge
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
+  einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x_1² + x_2² + … + x_r² - x_{r+1}² - … - x_k²$
     
@@ -286,12 +287,11 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{kor}[Klassifikation der Koniken des Appollonius von
   Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Appollonius
-      von Perge} (* ca.  265 v.  Chr.  in Perge; † ca.  190 v.  Chr.  in Alexandria)
+  von Perge} (* ca.~265 v.~Chr.~in Perge; † ca.~190 v.~Chr.~in Alexandria) war
-    war ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
+  ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
-    Kegelschnitte.}]
+  Kegelschnitte.}] Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann
-  Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann gibt es eine
+  gibt es eine bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von
-  bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
+  $Q$ Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x² = 0:$ Doppelgerade \label{Q.1}
 
@@ -444,10 +444,9 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{itemize}
 \item In der Schule haben wir gelernt, das Koniken auftreten, wenn sich Körper
-  im Schwerefeld bewegen.  Wir kenne die Wurfparabel, die elliptischen
+  im Schwerefeld bewegen.  Wir kennen die Wurfparabel, die elliptischen
-  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von die
+  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und Hyperbelbahnen von Raumsonden beim
-  Satelliten beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier
+  Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier eigentlich Koniken auf?
-  eigentlich Koniken auf?
 
 \item Wir diskutieren in diesem Abschnitt reelle Quadriken.  Ich behaupte, dass
   ähnliche Konstruktionen über den komplexen Zahlen die Gleichungen noch weiter
@@ -460,7 +459,7 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 Schreiben Sie ein Computerprogramm, das für eine gegebene Konik sofort eine
 vereinfachende affine Transformation liefert.  Stellen Sie die Transformation
-graphisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
+grafisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
 zu den Vereinfachungen kommt.
 
 
@@ -468,21 +467,21 @@ zu den Vereinfachungen kommt.
 
 \sideremark{Vorlesung 18}Ich erkläre in diesem Abschnitt die
 Fourier-Transformation\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}{Jean
-    Baptiste Joseph Fourier} (* 21.  März 1768 bei Auxerre; † 16.  Mai 1830 in
+Baptiste Joseph Fourier} (* 21.~März 1768 bei Auxerre; † 16.~Mai 1830 in Paris)
-  Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige
+war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige Anwendungen.
-Anwendungen.  Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das
+Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das wichtigste Stück
-wichtigste Stück Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche
+Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche Transformationen
-  Transformationen ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon
+ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon benutzt?  Oder sind
-  benutzt?  Oder sind Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen
+Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen Klang gehört?}.
-  Klang gehört?}.  Manche Kollegen sprechen sogar von der ``fünften
+Manche Kollegen sprechen sogar von der „fünften Grundrechenart“.  Ich komme im
-Grundrechenart''.  Ich komme im Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
+Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
 
 In Internet finden Sie sehr viel Material zum Thema.  Ich empfehle dieses
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=vA9dfINW4Rg}{Video vom MIT}.  Die
 Fachhochschule Hamburg hat ebenfalls ein nettes
-\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} (``Warum die
+\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} („Warum die
 Fourier-Analysis in den Anwendungen so wichtig ist und welche grundlegende Idee
-dahinter steht'').  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
+dahinter steht“).  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
 ein \href{https://av.tib.eu/media/10335}{Video}, ebenso auch Daniel Jung
 (\href{https://www.youtube.com/watch?v=mMsa1uBHd9k}{$→$Link}).  Wenn Sie ein
 wenig im Internet suchen, finden Sie noch sehr viel mehr Material.
@@ -495,9 +494,9 @@ betrachte den der Vektorraum $V = \cC⁰([-π,π], ℝ)$ der reellwertigen steti
 Funktionen auf dem Intervall $[-π,π] ⊂ ℝ$.  Wir haben schon gesehen, dass die
 Abbildung
 \[
-  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt.
+  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt
 \]
-ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mit Hilfe der bekannten
+ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mithilfe der bekannten
 Additionstheoreme für Sinus und Kosinus nach, dass für alle positiven Zahlen $n$
 und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
 \[
@@ -505,37 +504,37 @@ und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
   \bigl\langle \cos(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = δ_{nm}, \quad
   \bigl\langle \sin(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = 0.
 \]
-Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2}}$ noch Folgendes:
+Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ noch Folgendes:
 \[
-  \left\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 1, \quad
+  \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 1, \quad
-  \left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0, \quad
+  \left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0, \quad
-  \left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0.
+  \left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0.
 \]
 Insgesamt sehen wir, dass die Menge
 \[
-  \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
+  \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
 \]
-eine orthonormale Teilmengen des Euklidischen Vektorraumes
+eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •,•
-$\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ist.
+\rangle\bigr)$ ist.
 
 
 \subsubsection{Rekonstruktion von Funktionen}
 
-Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von
+Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von $\mathcal{F}$
-$\mathcal{F}$ erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion
+erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion $f ∈ F$ habe, dann
-$f ∈ F$ habe, dann kann ich die Zahlen
+kann ich die Zahlen
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-1}
   a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad
   b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad
-  c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
+  c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle
 \end{equation}
-ausrechnen und erhalte die Gleichung:
+ausrechnen und erhalte die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-2}
-  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
+  f = \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
 \end{equation}
 Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null
-verschieden sind, so dass auf der rechten Seite der
+verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2}
-Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2} tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
+tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
 
 
 \subsection{Fourier-Reihen}
@@ -549,7 +548,7 @@ alle.  Es gilt der folgende Satz der Analysis.
   Definiere Zahlen $a_n$, $b_n$ und $c$ wie in \eqref{eq:12-2-0-1}.  Dann
   konvergiert die Funktionenreihe
   \begin{equation}\label{eq:12}
-    \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
+    \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
   \end{equation}
   gleichmäßig (und damit punktweise) gegen $f$.
 \end{satz}
@@ -576,7 +575,7 @@ zeigt wie man eine Sprungfunktion annähert.
 
 Weitere Beispiele gibt es bei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Beispiele}{Wikipedia} und in
-diesem phantastischem
+diesem fantastischem
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=lL0oUZGMhXc}{Erklärvideo vom MIT}.
 Vielleicht schauen sie auch einmal in
 \href{https://av.tib.eu/media/10336}{dieses Video} oder in
@@ -602,12 +601,12 @@ Funktionen mit Periode $2π$.  Man kann ähnliche Konstruktionen auch für nahez
 beliebige Funktionen machen.  Allerdings erhält man statt der
 Fourier-Koeffizienten
 \[
-  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt.
+  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt
 \]
 dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen
 schreibt
 \[
-  F(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-itx}dx.
+  F(t) = \int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-2\pi i·tx}dx.
 \]
 Aus der Reihendarstellung
 \[
@@ -615,40 +614,40 @@ Aus der Reihendarstellung
 \]
 wird dann die Formel
 \[
-  f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
+  f(x) = \int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{2\pi i·tx}dt.
 \]
-Die Funktion $F$ nennt man ``Fourier-Transformierte'' oder
+Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“.  Spektren
-``Spektrum''.  Spektren gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in
+spielen in der reellen Welt überall eine Rolle.  Das Ohr ist ein
-unserem Ohr.  Das Ohr ist ein ``Spektralapparat'', der auf mechanische Weise die
+„Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
-Fourier-Transformation der eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn
+eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn weiterleitet.  Wenn man Akustik
-weiterleitet.  Wenn man Akustik verstehen will, muss man Fourier-Transformation
+verstehen will, muss man Fourier-Transformation verstehen.  Dann kann man
-verstehen.  Dann kann man super-interessante Sachen machen.
+super-interessante Sachen machen.
 \begin{itemize}
 \item Um Klangdaten zu analysieren (etwa um mit dem Computer Sprache zu
   analysieren), schaue man sich die Fourier-Transformation an.  Es ist mit
-  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleine Computerprogramm zu bauen, dass
+  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleines Computerprogramm zu bauen, dass
-  ein gesprochenes ``e'' von einem ``a'' unterscheidet.  Suchen Sie im Internet
+  ein gesprochenes „e“ von einem „a“ unterscheidet.  Suchen Sie im Internet nach
-  nach ``Python'' und ``SciKit'', dann finden Sie alles, was sie brauchen.
+  „Python“ und „SciKit“, dann finden Sie alles, was sie brauchen.
 
 \item Wenn ich das Spektrum eines Klanges berechnen kann, ist es super-einfach,
   interessante Sound-Effekte zu programmieren.  Zum Beispiel kann ich ein
-  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt ohne die Tonhöhe zu
+  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt, ohne die Tonhöhe zu
   verändern.
 
 \item Da sich das Gehirn nur für das Spektrum interessiert, muss ich mir das
   Spektrum anschauen, wenn ich erkennen will, welche Teile eines Klanges für das
   Gehirn interessant sind.  Das bekannte Dateiformat MP3 funktioniert so: schaue
   das Spektrum an, verwende ein mathematisch beschriebenes Modell der
-  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen (``psycho-akustisches Modell'') und
+  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen („psycho-akustisches Modell“) und
-  erkenne die Teile des Spektrums die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
+  erkenne die Teile des Spektrums, die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
-  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern ohne den Klang
+  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern, ohne den
-  wesentlich zu verschlechtern.
+  Klang wesentlich zu verschlechtern.
 \end{itemize}
 
 Die Fourier-Transformation tritt aber noch an vielen anderen Stellen auf:
 Signaltechnik, Analyse von Schwingungen in den Ingenieurswissenschaften, und in
 der Elektronik.  Sie ist aber auch die Grundlage der Quantenmechanik.  Die
-``Heisenbergsche Unschärferelation'', über die Philosophen viel schreiben, ist
+„Heisenbergsche Unschärferelation“, über die Philosophen viel schreiben, ist
 eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 
 
@@ -656,31 +655,31 @@ eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 \label{ssec:Rechen}
 
 Ich habe von Kollegen aus der Physik gehört, die Fourier-Transformation sei
-wegen ihrer Wichtigkeit die ``fünfte Grundrechenart''.  Das ist natürlich
+wegen ihrer Wichtigkeit die „fünfte Grundrechenart“.  Das ist natürlich falsch.
-falsch.  Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
+Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
-``\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
+„\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
-  Fouriertransformation}'' extrem effizient ausführen können.  Sehr viele
+Fouriertransformation}“ extrem effizient ausführen können.  Viele elektronische
-elektronischen Geräten enthalten zusätzlich Spezialchips zur
+Geräte enthalten zusätzlich Spezialchips zur Fouriertransformation.  Damit lässt
-Fouriertransformation.  Damit lässt sie die Fourier-Transformation so effizient
+sie die Fourier-Transformation so effizient implementieren, dass Computer die
-implementieren, dass Computer die Multiplikation ganzer Zahlen mit Hilfe von
+Multiplikation ganzer Zahlen mithilfe von Fourier-Transformation durchführen;
-Fourier-Transformation durchführen; Multiplikation ist also nur noch eine
+Multiplikation ist also nur noch eine Anwendung der schnellen
-Anwendung der schnellen Fouriertransformation.
+Fouriertransformation.
 
 \begin{quote}
   Der Schönhage-Strassen-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation
   zweier großer ganzer Zahlen.  Er wurde 1971 von Arnold Schönhage und Volker
-  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen Variante
+  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen
-  der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem geschickten Wechsel
+  Variante der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem
-  zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in endlichen
+  geschickten Wechsel zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in
-  Zahlenringen.
+  endlichen Zahlenringen.
 
   -- \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nhage%E2%80%93Strassen_algorithm}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
 Schauen Sie sich auch einmal
 \href{https://aimath.org/news/congruentnumbers/howtomultiply.html}{diesen
-  Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21 Jahrhundert sind also nicht ``plus,
+Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21.~Jahrhundert sind also nicht „plus,
-minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
+minus, mal, geteilt“, sondern „plus, minus, Fourier-Transformation“.
 
 
 \subsection{Warum Sinus und Kosinus}
@@ -688,7 +687,7 @@ minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
 Sie fragen sich vielleicht, was das besondere an Sinus und Kosinus ist?  Warum
 sind diese beiden Funktionen so wichtig?  Eine Antwort ist: weil viele
 natürliche Prozesse (wie etwa unser Gehör) aus Sinus und Kosinus basieren.  Es
-gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas ähnliches machen kann, zum
+gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas Ähnliches machen kann, zum
 Beispiel die
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunktionen}{Kugelflächenfunktionen},
   die die quantenmechanischen Gleichungen zur Beschreibung von
@@ -708,10 +707,9 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   Bei den Big Five (auch Fünf-Faktoren-Modell, FFM) handelt es sich um ein
   Modell der Persönlichkeitspsychologie.  Im Englischen wird es auch als
   OCEAN-Modell bezeichnet (nach den entsprechenden Anfangsbuchstaben Openness,
-  Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness, Neuroticism).
+  \foreignlanguage{english}{Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness,
-  
+  Neuroticism}). Dem Modell zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der
-  Ihm zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der Persönlichkeit und jeder
+  Persönlichkeit und jeder Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
-  Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
 
   \begin{itemize}
   \item Offenheit für Erfahrungen (Aufgeschlossenheit),
@@ -739,43 +737,43 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Big_Five_(Psychologie)}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
-Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bischen theoretisch vorkommen, ist
+Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bisschen theoretisch vorkommen, ist
 aber für Sie von großem praktischen Belang; Datenanalyse-Firmen verdienen viel
 Geld damit, die fünf Koordinaten Ihrer Persönlichkeit für zahlende Kundschaft zu
-ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten ``Stryker'',
+ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten „Stryker“,
-``Bewerbungsgespräch'' und ``Gallup-Test'' um zu sehen, was ich meine.
+„Bewerbungsgespräch“ und „Gallup-Test“ um zu sehen, was ich meine.
 
 
-\subsection{Wie kommt man auf die Zahl ``fünf''?}
+\subsection{Wie kommt man auf die Zahl „fünf“?}
 
 Bis über die Schmerzgrenze hinaus übermäßig vereinfacht gesagt, so.
 
 \begin{itemize}
-\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der Englischen Sprache, die sich
+\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der englischen Sprache, die sich
-  auf ``Persönlichkeit'' beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
+  auf „Persönlichkeit“ beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
   Rede.
   
 \item Nimm eine möglichst große Gruppe von $P$ Probanden und messe für jeden
   Probanden, wie stark die einzelnen Adjektive ausgeprägt sind.  Wir erhalten
   für jeden Probanden $p ∈ P$ einen Vektor im $\vec{v}_p ∈ ℝ^{18000}$.
   
-\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum
+\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum $V ⊂ ℝ^{18000}$
-  $V ⊂ ℝ^{18000}$ gibt, so dass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im
+  gibt, sodass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im Wesentlichen alle in $V$
-  Wesentlichen alle in $V$ liegen.
+  liegen.
   
 \item Stelle auch fest, dass es keinen vier-dimensionalen Untervektorraum mit
   diesen Eigenschaften gibt.
 \end{itemize}
 
 Die Frage ist, wie man den Vektorraum $V$ jetzt praktisch findet; das ist die
-Aufgabe der ``Hauptkomponentenanalyse''.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
+Aufgabe der „Hauptkomponentenanalyse“.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
 Adjektive $a_i$ und $a_j$ die Kovarianz $a_{ij}$.
 
 \begin{quote}
   Kovarianz: Der Wert dieser Kenngröße macht tendenzielle Aussagen darüber, ob
   hohe Werte der einen Zufallsvariablen eher mit hohen oder eher mit niedrigen
-  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß für
+  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß
-  die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
+  für die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
 
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)}{Wikipedia}
 \end{quote}
@@ -800,16 +798,16 @@ Zahlen stehen; alle anderen Zahlen sind vom Betrag recht klein.
 \subsection{… und weiter?}
 
 Hauptkomponentenanalyse wird in fast jedem Bereich der empirischen
-Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach ``Hauptkomponentenanalyse
+Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach „Hauptkomponentenanalyse
-und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
+und Sportwissenschaft“.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
 \begin{itemize}
 \item Wendet man die Hauptkomponentenanalyse auf das Kaufverhalten von
   Konsumenten an, gibt es möglicherweise latente Faktoren wie sozialer Status,
   Alter oder Familienstand, die bestimmte Käufe motivieren.  Hier könnte man
   durch gezielte Werbung die Kauflust entsprechend kanalisieren.
   
-\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, könnte mit
+\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, kann man
-  Hilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
+  mithilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
   Modell reduziert werden, was meistens die Modellqualität steigert.
   
 \item Anwendung findet die Hauptkomponentenanalyse auch in der Bildverarbeitung
@@ -817,17 +815,18 @@ und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
   analysieren und Rückschlüsse daraus ziehen.
   
 \item Ein weiteres Gebiet ist die Künstliche Intelligenz, zusammen mit den
-  Neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmalstrennung im Rahmen der
+  neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmals-Trennung im Rahmen der
   automatischen Klassifizierung bzw.  in der Mustererkennung.
 
-\item In quantitative finance, principal component analysis can be directly
+\item \foreignlanguage{english}{In quantitative finance, principal component
-  applied to the risk management of interest rate derivative portfolios.  Trading
+  analysis can be directly applied to the risk management of interest rate
-  multiple swap instruments which are usually a function of 30-500 other market
+  derivative portfolios.  Trading multiple swap instruments which are usually a
-  quotable swap instruments is sought to be reduced to usually 3 or 4 principal
+  function of 30-500 other market quotable swap instruments is sought to be
-  components, representing the path of interest rates on a macro
+  reduced to usually 3 or 4 principal components, representing the path of
-  basis.  Converting risks to be represented as those to factor loadings (or
+  interest rates on a macro basis.  Converting risks to be represented as those
-  multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to
+  to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding
-  simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.
+  beyond that available to simply collectively viewing risks to individual
+  30-500 buckets.}
 \end{itemize}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

13-multiLinear.tex

@@ -4,9 +4,9 @@
 \chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}
 
 \sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
-``multilineare Algebra''.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
+„multilineare Algebra“.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
 und multilineare Algebra systematisch einführen.  Der zentrale Begriff ist das
-``Tensorprodukt''.  Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch
+„Tensorprodukt“.  Bevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch
 einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.  Einige Beispiele für Bilinearität
 kennen Sie schon.
 
@@ -18,18 +18,18 @@ kennen Sie schon.
 Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.
 
 \begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
-  Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.  Eine
+  Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.
-  \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
+  Eine \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
   $s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{description}
-  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
+  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U,
-    $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
+    \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
     \[
       s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
       λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
     \]
-  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
+  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1,
-    $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
+    \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
     \[
       s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
       s(\vec{u}, \vec{v}_2).
@@ -67,8 +67,8 @@ Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.
 \subsection*{Multilineare Abbildungen}
 
 Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
-Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, so dass ….  Ich habe vom Tippen
+Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass ….  Ich habe vom Tippen schon wunde
-schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
+Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
 zusammenbekommen.  Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
 
 \begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
@@ -77,12 +77,12 @@ zusammenbekommen.  Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
     \det : \Mat(n ⨯ n, k) → k.
   \]
   Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
-  Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum
+  Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum $k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n$
-  $V ⨯ ⋯ ⨯ V$ identifizieren.  Wir erhalten also eine Abbildung
+  identifizieren.  Wir erhalten also eine Abbildung
   \[
-    \det : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → k.
+    \det : \underbrace{k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n}_{n ⨯} → k.
   \]
-  Aus dem ersten Semester wissen wir: diese Abbildung ist in jeder Komponente
+  Aus dem ersten Semester wissen wir: Diese Abbildung ist in jeder Komponente
   linear.
 \end{bsp}
 

14-direkteSumme.tex

@@ -5,12 +5,12 @@
 
 \section{Definitionen}
 
-Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift ``Beispiele für
+Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift „Beispiele für
-Vektorräume'' eine Methode kennen gelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
+Vektorräume“ eine Methode kennengelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
-neue $k$-Vektorräume macht: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der
+neue $k$-Vektorräume macht: Der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der geordneten
-geordneten Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation
+Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation erfolgt
-erfolgt komponentenweise.  Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so
+komponentenweise.  Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so definieren: Der
-definieren: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
+Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
 \[
   \{1, 2 \} → V
 \]
@@ -21,19 +21,19 @@ $V ⨯ \{\vec{0}\}$ und $\{\vec{0}\} ⨯ V$, die beide ganz offensichtlich
 isomorph zu $V$ sind.  Zusätzlich gibt es eine Zerlegung von $V ⨯ V$ als
 direkte Summe,
 \[
-  V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr),
+  V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr).
 \]
 Dieselbe Konstruktion funktioniert natürlich genau so für Paare aus drei oder
 mehr Komponenten.  Ich erhalte so Vektorräume
 \[
-  V ⨯ V ⨯ V \quad\text{oder}\quad \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯}
+  V ⨯ V ⨯ V \quad\text{oder}\quad \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯}.
 \]
 Das Ziel in diesem Abschnitt ist, diese Konstruktion in zwei Richtungen zu
 verallgemeinern.
 \begin{itemize}
 \item Zum einen geht es darum, Paaren von unterschiedlichen Vektorräumen
-  zuzulassen, also etwas wie ``$V_1 ⨯ V_2$'' zu definieren
+  zuzulassen, also etwas wie „$V_1 ⨯ V_2$“ zu definieren.
-\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion statt auch für unendlich viele
+\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion auch für unendlich viele
   Komponenten durchzuführen.
 \end{itemize}
 Der Witz ist, dass es im unendlichen Fall zwei unterschiedliche Konstruktionen
@@ -52,45 +52,45 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern.
   \emph{direkte Summe}\index{direkte Summe} der Vektorräume $(V_i)_{i ∈ I}$.
 \end{defn}
 
-\begin{bemerkung}
-  Wir können die Elemente von $\prod V_i$ auch als Familie
-  $(φ_i: I → V_i)_{i ∈ I}$ von Abbildungen auffassen.
-\end{bemerkung}
-
 \begin{bemerkung}
   Die direkte Summe ist ein Untervektorraum des direkten Produkts.  Falls die
   Menge $I$ endlich ist, sind direkte Summe und direktes Produkt identisch.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{notation}
+\begin{notation}\label{not:14-1-3}
   Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$-Vektorräume
-  $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, so dass für
+  $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, sodass für alle
-  alle $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
+  $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
   \[
     V^I := \prod_{i ∈ I} V \quad\text{und}\quad V^{(I)} := \bigoplus_{i ∈ I} V.
   \]
-  Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft
+  Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft $V^∅
-  $V^∅ = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
+  = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
 \end{notation}
 
-\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}
+\begin{bemerkung}
+  In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-3} können wir die Elemente von
+  $V^I$ auch als Abbildungen $I → V$ auffassen.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge.  Im Spezialfall, wo $V = k$
-  ist, nennt man $k^I$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten
+  ist, nennt man $k^{(I)}$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten
   Vektorraum}\index{frei erzeugter Vektorraum}.  Gegeben ein Element $j ∈ I$,
   betrachte den Vektor
   \[
-    \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I
+    \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I.
   \]
   Die so definierten Vektoren $\vec{e}_i$ heißen
   \emph{Einheitsvektoren}\index{Einheitsvektoren}.
 \end{notation}
 
-\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}
+\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-5}: beweisen Sie im Detail, dass
   die Menge der Einheitsvektoren eine Basis des Vektorraums $k^{(I)}$ ist.
   Finden Sie ein Beispiel, für das die die Menge der Einheitsvektoren keine
   Basis des Vektorraums $k^I$ ist.  Bemerken Sie, dass der Raum $k^I$
-  phantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
+  fantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
 \end{aufgabe}
 
 
@@ -129,7 +129,7 @@ eindeutig festgelegt.
   Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=3cm]
-      V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.  Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃!  \varphi"]\\
+      V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.~Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃!  \varphi"]\\
       V_i \ar[r, "\varphi_i"'] & W .
     \end{tikzcd}
   \]
@@ -139,11 +139,11 @@ eindeutig festgelegt.
   $\varphi$ beweisen.  Wie immer beweisen wir die Eindeutigkeit zuerst.  Seien
   also zwei lineare Abbildungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ mit den
   Eigenschaften des Satzes gegeben.  Gegeben einen Index $i$ und einen Vektor
-  $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_{•}$ mit den
+  $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_•$ mit den
   Bildvektoren $ι_i(\vec{v})$ machen müssen, denn aus der Kommutativität des
-  Diagramm folgt:
+  Diagramms folgt:
   \[
-    \varphi_{•} \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
+    \varphi_• \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
   \]
   Also ist schon einmal
   $\varphi_1 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_2 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr)$.
@@ -154,14 +154,14 @@ eindeutig festgelegt.
   alle Vektoren $\vec{η} ∈ ⊕ V_j$ gilt.  Also ist
   $\varphi_1 = \varphi_2$ und Eindeutigkeit ist gezeigt.
 
-  Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
+  Wie immer sagt uns der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
-  existiert: wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
+  existiert: Wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
   \[
     \varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W, \quad (\vec{v}_i)_{i ∈ I} ↦
     \sum_{i ∈ I} φ_i(\vec{v}_i)
   \]
   und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine wohldefinierte Abbildung
-  ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die die Diagramm kommutativ
+  ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die das Diagramm kommutativ
   macht.
 \end{proof}
 
@@ -175,11 +175,10 @@ eindeutig festgelegt.
 \end{defn}
   
 \begin{satz}[Universelle Eigenschaften des direkten Produkts]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein
+  In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein $k$-Vektorraum.
-  $k$-Vektorraum.  Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung
+  Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung $\varphi_i: W → V_i$
-  $\varphi_i: W → V_i$ gegeben.  Dann existiert genau eine Abbildung
+  gegeben.  Dann existiert genau eine Abbildung $\varphi: W → \prod_{j ∈ I}
-  $\varphi: W → \prod_{j ∈ I} V_j$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende
+  V_j$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende Diagramm kommutiert:
-  Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}
       W \ar[d, equals] \ar[r, "∃!  \varphi"] & \prod_j V_j \ar[d, "p_i\text{, kanon.\ Projektion}"]\\
@@ -194,26 +193,25 @@ eindeutig festgelegt.
   nämlich $\varphi(\vec{w}) = \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}$ sein.
   Damit ist die Eindeutigkeit schon gezeigt.
 
-  Wie immer sagt und der
+  Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
-  Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ existiert: wir können es
+  existiert: Wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
-  angeben!  Setzen Sie dazu
   \[
     \varphi : W → \prod_j V_j, \quad \vec{w} ↦ \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}
   \]
   und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine lineare Abbildung ist, die
-  die Diagramm kommutativ macht.
+  das Diagramm kommutativ macht.
 \end{proof}
 
 
 \section{Dualität}
 
 In der Vorlesung LA1 hatten wir schon gesehen, dass jeder endlich-dimensionale
-Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist.  Diese Fakt hatte den
+Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist.  Dieser Fakt hatte den
-Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls
+Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls so
-solange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war).  Ich hatte schon in LA1
+lange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war).  Ich hatte schon in LA1 darauf
-darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
+hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
 
-\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}
+\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $I$ eine Menge und es sei $(V_i)_{i ∈ I}$ eine
   Familie von $k$-Vektorräumen.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
   \[
@@ -224,7 +222,7 @@ darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
 \begin{bemerkung}
   Schauen Sie sich noch einmal Aufgabe~\ref{auf:14-1-6} an.  Erkennen Sie, dass
   Satz~\ref{satz:14-3-1} ihnen ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ liefert,
-  dessen Dualraum phantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
+  dessen Dualraum fantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-1}]

15-tensor.tex

@@ -9,18 +9,18 @@
 
 Wie immer sei $k$ ein Körper.  Das Tensorprodukt von zwei $k$-Vektorräumen $U$
 und $V$ ist ein neuer Vektorraum, genannt $U⊗V$, dessen wichtigste Eigenschaft
-es ist, dass all bilinearen Abbildungen von $U⨯V → W$ ``von $U⊗V$ kommen'', und
+es ist, dass all bilinearen Abbildungen von $U ⨯ V → W$ „von $U⊗V$ kommen“, und
 zwar für jeden Vektorraum $W$.  Die folgende Definition, die das Tensorprodukt
 mal wieder durch eine universelle Eigenschaft definiert, macht diese Bemerkung
 präzise.
 
 \begin{defn}[Tensorprodukt]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Ein
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Ein
   \emph{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Vektorräumen} von $U$ und $V$ ist
-  ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U⨯V → T$, so
+  ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U ⨯ V → T$,
-  dass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U⨯V → W$
+  sodass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U ⨯ V →
-  gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende Diagramm
+  W$ gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, sodass das folgende
-  kommutiert:
+  Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       U ⨯ V \ar[r, "τ\text{, bilinear}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!η\text{, linear}"]\\
@@ -32,10 +32,10 @@ präzise.
 Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
 überhaupt existieren, eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie.
 
-\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-2}
+\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-2}%
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Weiter
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Weiter seien $τ_1
-  seien $τ_1 : U⨯ V → T_1$ und $τ_1 : U⨯ V → T_2$ zwei Tensorprodukte.  Dann
+  : U ⨯ V → T_1$ und $τ_1 : U ⨯ V → T_2$ zwei Tensorprodukte.  Dann gibt es
-  gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.
+  einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{21-1}
@@ -43,34 +43,34 @@ Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
 
 Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
 
-\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-3}
+\begin{satz}[Existenz des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann existiert
-  existiert ein Tensorprodukt.
+  ein Tensorprodukt.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{21-2}
 \end{proof}
 
-\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}
+\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Wegen
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Wegen
   Satz~\ref{satz:15-1-2} und Satz~\ref{satz:15-1-3} werde ich (unter leichtem
   Missbrauch der Sprache) von \emph{dem Tensorprodukt} sprechen und jede
   Tensorproduktraum mit $U⊗V$ bezeichnen.  Die Elemente von $U⊗V$ heißen in der
   Literatur oft \emph{Tensoren}\index{Tensor}.
 \end{notation}
 
-\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}
+\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} seien Vektoren $\vec{u} ∈ U$
-  und $\vec{v} ∈ V$ gegeben.  Dann wird der Tensor
+  und $\vec{v} ∈ V$ gegeben.  Dann wird der Tensor $τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v})
-  $τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v}) \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der
+  \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der Vektoren $\vec{u}$ und
-    Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt
+  $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$
-  und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$ bezeichnet.
+  bezeichnet.
 \end{notation}
 
-\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
+\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]%
-  Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis
+  Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis $\{ \vec{e}_1,
-  $\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mit Hilfe der Definition,
+  \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mithilfe der Definition, dass die
-  dass die Tensoren
+  Tensoren
   \[
     \vec{e}_1⊗\vec{e}_1,\quad \vec{e}_1⊗\vec{e}_2,\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_1,
     \quad\text{und}\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_2
@@ -83,22 +83,22 @@ Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
 
 Im Moment haben wir wahrscheinlich noch keine Vorstellung vom Tensorproduktraum
 $T$; wir wissen noch nicht einmal, wie viele Elemente der Tensorproduktraum
-überhaupt hat.  Die einzigen Element, die wir direkt sehen, sind die Elemente
+überhaupt hat.  Die einzigen Elemente, die wir direkt sehen, sind Elemente der
-der Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
+Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
 wissen, ob sie Null sind oder nicht.
 
-\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}
+\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} sei ein Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗V$
   gegeben.  Man nennt $\vec{τ}$ einen \emph{reinen
-    Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren
+  Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren $\vec{u} ∈
-  $\vec{u} ∈ U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, so dass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
+  U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, sodass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
 \end{notation}
 
 \begin{bemerkung}[Darstellung von reinen Tensoren ist nicht eindeutig]
   Selbst wenn ein gegebener $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v} ∈ U⊗V$ ein reiner Tensor
   ist, ist die Darstellung als Tensorprodukt von Vektoren nicht eindeutig.
-  Trivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung
+  Trivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung $τ : U
-  $τ : U⨯V → U⊗V$, dass für jedes Skalar $λ ∈ k∖ \{0\}$ die Gleichheit
+  ⨯ V → U⊗V$, dass für jedes Skalar $λ ∈ k∖ \{0\}$ die Gleichheit
   \[
     \vec{u}⊗\vec{v} = (λ·\vec{u})⊗ (λ^{-1}·\vec{v})
   \]
@@ -110,18 +110,16 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
   für relativ einfache Vektorräume $U$ und $V$ ist die Frage, ob ein gegebener
   Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗ V$ rein ist, im Allgemeinen nicht leicht zu beantworten.
   Im Spezialfall, wo $U = V$ ist, kann die Frage, ob für gegebene Vektoren
-  $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit
+  $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 =
-  $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ in $V⊗V$ gilt, ebenfalls
+  \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ in $V⊗V$ gilt, ebenfalls überraschend schwer sein.
-  überraschend schwer sein.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
-  Beweisen Sie, dass der Tensor
+  Beweisen Sie, dass der Tensor $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ²
-  $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
+  ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner Tensor ist!  Finden Sie unterschiedliche Vektoren
-  Tensor ist!  Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
+  $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, sodass die Gleichheit $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 =
-  $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
+  \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt!  Finden Sie Vektoren, sodass die Gleichheit nicht
-  $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt!  Finden Sie Vektoren, so
+  gilt!
-  dass die Gleichheit nicht gilt!
 \end{aufgabe}
 
 In Tensorprodukten sind im Allgemeinen nicht alle Tensoren rein.  Es gilt aber
@@ -130,7 +128,7 @@ Das ist beruhigend, denn das bedeutet zumindest, dass wir alle Tensoren
 hinschreiben können.
 
 \begin{satz}[Reine Tensoren erzeugen des Tensorprodukt]\label{satz:15-2-5}
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
+  Es sei $k$ ein Körper $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
   ist die Menge der reinen Tensoren,
   \[
     R := \{ \vec{u}⊗ \vec{v} ∈ U⊗ V \:|\: \vec{u} ∈ U \text{ und } \vec{v} ∈
@@ -151,11 +149,10 @@ hinschreiben können.
     \vec{τ} = \sum_i a_i·(\vec{u_i}⊗\vec{v_i}).
   \]
   Wegen der Bilinearität der Tensorproduktabbildung $τ$ gilt aber für jeden
-  Index $i$ die Gleichung
+  Index $i$ die Gleichung $a_i·(\vec{u_i}⊗\vec{v_i}) =
-  $a_i·(\vec{u_i}⊗\vec{v_i}) = (a_i·\vec{u_i})⊗\vec{v_i}$.  Es ist also nicht
+  (a_i·\vec{u_i})⊗\vec{v_i}$.  Es ist also nicht nur richtig, dass ich jeden
-  nur richtig, dass ich jeden Tensor als Linearkombination von reinen Tensoren
+  Tensor als Linearkombination von reinen Tensoren schreiben kann, es gilt
-  schreiben kann, es gilt sogar, dass ich jeden Tensor als Summe von reinen
+  sogar, dass ich jeden Tensor als Summe von reinen Tensoren schreiben kann.
-  Tensoren schreiben kann.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{notation}[Lineare Abbildungen von Tensorprodukten]\label{15-2-7}
@@ -167,9 +164,9 @@ hinschreiben können.
     Ψ: U⊗V → X, \quad \vec{u}⊗\vec{v} ↦ (\text{Formel mit } \vec{u} \text{ und } \vec{v}).
   \]
   Es wird also nur gesagt, was die Bilder der reinen Tensoren sein sollen!
-  Gemeint ist mit dieser ``Definition'' folgendes: gegeben einen Tensor
+  Gemeint ist mit dieser „Definition“ folgendes: gegeben einen Tensor $\vec{τ} ∈
-  $\vec{τ} ∈ U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination
+  U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination von reinen
-  von reinen Tensoren,
+  Tensoren,
   \[
     \vec{τ} = \sum a_i·\vec{v}_i⊗\vec{w}_i
   \]
@@ -178,11 +175,11 @@ hinschreiben können.
     Ψ(\vec{τ}) := \sum a_i· Ψ(\vec{v}_i⊗\vec{w}_i).
   \]
   Das kann man das als Definition einer linearen Abbildung $Ψ$ akzeptieren, wenn
-  man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: der so
+  man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: Der so
-  ``definierte'' Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
+  „definierte“ Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
   Linearkombination abhängen!  Wie sie sich vorstellen können, wird dieser Punkt
   in der Literatur eigentlich immer übergangen.  Schreckliche Fehler sind die
-  folge.
+  Folge.
 \end{notation}
 
 
@@ -193,7 +190,7 @@ Tensoren zu schreiben.  Das ist aber nicht das letzte Wort.  Die nächsten beide
 Korollar zeigen, wie man Erzeugendensysteme und sogar Basen für den
 Tensorproduktraum erhält.
 
-\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}
+\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}%
   In der Situation von Satz~\ref{satz:15-2-5} seien $(\vec{u}_i)_{i ∈ I} ⊂ U$
   und $(\vec{v}_j)_{j ∈ J} ⊂ V$ jeweils Erzeugendensysteme.  Dann ist die
   folgende Menge von reinen Tensoren,
@@ -217,7 +214,7 @@ Tensorproduktraum erhält.
     \vec{u}⊗\vec{v} &= \left(\sum_{i ∈ I} a_i·\vec{u}_i \right)⊗\vec{v} && \text{Einsetzen}\\
                     &= \sum_{i ∈ I} a_i·\big( \vec{u}_i⊗\vec{v} \big) && \text{Linearität von $τ$ in 1.~Komponente}\\
                     &= \sum_{i ∈ I} a_i·\Big( \vec{u}_i⊗\Big( \sum_{j ∈ J} b_j·\vec{v}_j \Big) \Big) && \text{Einsetzen}\\
-                    &= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big).  && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}
+                    &= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big)  && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}.
   \end{align*}
   Das beweist die Behauptung.
 \end{proof}
@@ -254,13 +251,13 @@ Tensorproduktraum erhält.
     0_k &= η_{ij}\bigl(\vec{0}_{U⊗V}\bigr) \\
         &= η_{ij} \left( \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}· \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \right) && \text{Relation \eqref{eq:fgh} eingesetzt}\\
         &= \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}·η_{ij}\big( \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \big) && \text{Linearität von }η_{ij}\\
-        &= a_{ij}
+        &= a_{ij}.
   \end{align*}
   Damit ist die Relation \eqref{eq:fgh} offenbar trivial.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Dimensionsformel für Tensorprodukte]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
   $k$-Vektorräume.  Dann ist $\dim (U⊗V) = (\dim U)·(\dim V)$.  \qed
 \end{kor}
 
@@ -269,7 +266,7 @@ eine Basis für den Tensorproduktraum macht.  Das geht auch mit angeordneten
 Basen.
 
 \begin{konstruktion}[Lexikografisch angeordnete Basen für Tensorprodukte]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
   $k$-Vektorräume, mit Basen $\vec{u}_1, …, \vec{u}_n$ von $U$ und
   $\vec{v}_1, …, \vec{v}_m$ von $V$.  Dann können wir die zugehörende Basis für
   das Tensorprodukt $U⊗ V$ wie folgt anordnen:
@@ -279,7 +276,7 @@ Basen.
     …,
     \underbrace{\vec{u}_n⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_n⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_n}.
   \]
-  Diese Anordnung heiße \emph{lexikographische Anordnung}\index{lexikographische
+  Diese Anordnung heiße \emph{lexikografische Anordnung}\index{lexikografische
     Anordnung}, weil das Verfahren daran erinnert, wie die Einträge in einem
     Lexikon oder einem Telefonbuch\footnote{Eine historische Erläuterung des
     Wortes finden Sie \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Telefonbuch}{hier}.
@@ -294,7 +291,7 @@ Abbildungen zwischen Vektorräumen auch Abbildungen zwischen den Tensorprodukten
 induzieren.  Der folgende Satz macht diese Aussage präzise.
 
 \begin{satz}[Tensorprodukte von Abbildungen]\label{satz:15-4-1}
-  Es sei $k$ ein Körper, und es seien $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
+  Es sei $k$ ein Körper und $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
   lineare Abbildungen von $k$-Vektorräumen.  Dann gibt es genau eine lineare
   Abbildung
   \[
@@ -329,7 +326,7 @@ Das Tensorprodukt von Abbildungen lässt sich natürlich auch auf dem Niveau von
 Matrizen diskutieren.
 
 \begin{konstruktion}
-  Es sei $k$ ein Körper, und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
+  Es sei $k$ ein Körper und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
   Matrizen
   \[
     A_1 ∈ \Mat(a_1⨯ b_1, k) \quad\text{und}\quad A_2 ∈ \Mat(a_2⨯ b_2, k)
@@ -338,10 +335,10 @@ Matrizen diskutieren.
   \[
     \varphi_{A_1} : k^{b_1} → k^{a_1},\quad %
     \varphi_{A_2} : k^{b_2} → k^{a_2} \quad\text{und}\quad %
-    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}
+    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}.
   \]
   Wir statten die Räume $k^{a_1}$, $k^{a_2}$, $k^{b_1}$ und $k^{b_2}$ jeweils
-  mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikographisch angeordneten
+  mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikografisch angeordneten
   Produktbasen auf $k^{a_1}⊗ k^{a_2}$ und $k^{b_1}⊗ k^{b_2}$ und betrachten die
   zugehörende darstellende Matrix von $\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1}$ bezüglich
   dieser Produktbasen.  Diese Matrix wird häufig als
@@ -357,7 +354,7 @@ Matrizen diskutieren.
   Das Kronecker-Produkt ist also eine unangenehme Abbildung
   \[
     •⊗• : \Mat(a_1⨯ b_1, k)⨯\Mat(a_2⨯ b_2,
-    k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr)
+    k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr).
   \]
   Auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt}{Wikipedia} ist
   erklärt, wie man das Kronecker Produkt ausrechnet; dort sind auch einige
@@ -368,7 +365,7 @@ Matrizen diskutieren.
   In der Situation von Satz~\ref{satz:15-4-1} seien angeordnete Basen
   $\mathcal{B}_{U, •}$ von $U_{•}$ und $\mathcal{B}_{V, •}$ von $V_{•}$ gegeben.
   Weiter seien $\mathcal{B}_{U, 1⨯ 2}$ und $\mathcal{B}_{V, 1⨯ 2}$ die
-  lexikographisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$.  Dann
+  lexikografisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$.  Dann
   gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung
   \[
     \Mat^{\mathcal{B}_{U,1⨯ 2}}_{\mathcal{B}_{V,1⨯ 2}}(f_1⊗ f_2) =
@@ -386,7 +383,7 @@ Ich nenne noch einige Eigenschaften der Tensorproduktkonstruktion.  Den Beweis
 des nächsten Satzes lasse ich weg; natürlich ist der Satz wieder einmal eine
 Folge der universellen Eigenschaften.
 
-\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}
+\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und $(U_i)_{i ∈ I}$ sei eine Familie von
   $k$-Vektorräumen, zusätzlich sei $V$ ein weiterer $k$-Vektorraum.  Dann gibt
   es eine kanonische Isomorphie zwischen den direkten Summen

16-tensoralgebra.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 \chapter{Tensorprodukte mit mehreren Faktoren}
 \label{sec:tAlg}
 
-\sideremark{Vorlesung 22}Das laufende Kapitel heißt ``Multilineare Algebra'',
+\sideremark{Vorlesung 22}Das laufende Kapitel heißt „Multilineare Algebra“,
 bislang haben wir bei der Diskussion des Tensorprodukts aber nur Bilinearformen
 betrachtet.  Das werden wie jetzt ändern.  Die Sätze und Beweise in diesem
 Abschnitt laufen alle ganz analog zu denen, die wir im vorhergehenden Abschnitt
@@ -17,12 +17,12 @@ nennen.
 \section{Definition, Existenz und Eindeutigkeit}
 
 Die Definition des Tensorprodukts von zwei Vektorräumen hängt sehr an unserem
-Begriff ``bilineare Abbildung''.  Um das Tensorprodukt auch für eine größere
+Begriff „bilineare Abbildung“.  Um das Tensorprodukt auch für eine größere Zahl
-Zahl von Faktoren zu definieren, betrachten wir ganz analog ``multilineare
+von Faktoren zu definieren, betrachten wir ganz analog „multilineare
-Abbildungen''.
+Abbildungen“.
 
 \begin{defn}[Multilineare Abbildungen]
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien seien $W$ und $V_1, …, V_n$
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $W$ und $V_1, …, V_n$
   jeweils $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung
   \[
     s: V_1⨯ V_2 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W
@@ -36,17 +36,16 @@ Abbildungen''.
   \end{multline*}
 \end{defn}
 
-Mit diesem Begriff von ``Multilinearform'' können wir jetzt ganz allgemein
+Mit diesem Begriff von „Multilinearform“ können wir jetzt ganz allgemein
 Tensorprodukte von mehr als zwei Vektorräumen definieren.
 
-\begin{defn}[Tensorprodukt]\label{def:16-1-2}
+\begin{defn}[Tensorprodukt]\label{def:16-1-2}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume $V_1, …,
-  $V_1, …, V_n$ gegeben.  Ein \emph{Tensorprodukt von
+  V_n$ gegeben.  Ein \emph{Tensorprodukt von $V_1, …,
-    $V_1, …, V_n$}\index{Tensorprodukt!von mehreren Vektorräumen} ist ein
+  V_n$}\index{Tensorprodukt!von mehreren Vektorräumen} ist ein Vektorraum $T$
-  Vektorraum $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung
+  zusammen mit einer multilinearen Abbildung $τ: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T$, sodass für
-  $τ: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T$, so dass für alle multilinearen Abbildungen
+  alle multilinearen Abbildungen $s: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$ genau eine lineare
-  $s: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$ genau eine lineare Abbildung $η: T → W$ existiert, so
+  Abbildung $η: T → W$ existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert
-  dass das folgende Diagramm kommutiert
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "τ\text{, multilin.}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!  η\text{, linear}"]\\
@@ -58,57 +57,55 @@ Tensorprodukte von mehr als zwei Vektorräumen definieren.
 Genau wie in den Sätzen \ref{satz:15-1-2} und \ref{satz:15-1-3} beweist man
 Existenz und Eindeutigkeit des Tensorprodukts.
 
-\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-3}
+\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume $V_1, …,
-  $V_1, …, V_n$ gegeben.  Weiter seien $τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T_1$ und
+  V_n$ gegeben.  Weiter seien $τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T_1$ und $τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯
-  $τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T_2$ zwei Tensorprodukte.  Dann gibt es einen
+  V_n → T_2$ zwei Tensorprodukte.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
-  kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.  \qed
+  $T_1 ≅ T_2$.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{satz}[Existenz des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-4}
+\begin{satz}[Existenz des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-4}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume $V_1, …,
-  $V_1, …, V_n$ gegeben.  Dann existiert ein Tensorprodukt.  \qed
+  V_n$ gegeben.  Dann existiert ein Tensorprodukt.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{notation}[Notation rund um Tensorprodukte mit mehreren Faktoren]
+\begin{notation}[Notation rund um Tensorprodukte mit mehreren Faktoren]%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume $V_1, …,
-  $V_1, …, V_n$ gegeben.  Wie bei Tensorprodukten mit zwei Faktoren missbrauchen
+  V_n$ gegeben.  Wie bei Tensorprodukten mit zwei Faktoren missbrauchen wir die
-  wir die Sprache, sprechen von ``dem Tensorprodukt'' und schreiben
+  Sprache, sprechen von „dem Tensorprodukt“ und schreiben
   \[
     τ : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n.
   \]
-  Wie zuvor schreiben wir die Bilder $τ(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ als
+  Wie zuvor schreiben wir die Bilder $τ(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ als $\vec{v}_1
-  $\vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_n$ und bezeichnen diese Tensoren als
+  ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_n$ und bezeichnen diese Tensoren als \emph{rein}\index{Reine
-  \emph{rein}\index{Reine Tensoren}.
+  Tensoren}.
 \end{notation}
 
 \begin{notation}[Mehrfache Produkte]
-  Gegeben einen $k$-Vektorraum $V$ und eine Zahl $n$, schreiben wir kurz
+  Gegeben einen $k$-Vektorraum $V$ und eine Zahl $n$, schreiben wir kurz $V^{⊗
-  $V^{⊗ n}$ für das $n$-fache Produkt $V ⊗ ⋯ ⊗ V$.  Für den Fall $n=0$
+  n}$ für das $n$-fache Produkt $V ⊗ ⋯ ⊗ V$.  Für den Fall $n=0$ definieren wir
-  definieren wir zusätzlich: $V⁰ := k$.  Entsprechend schreiben wir für einen
+  zusätzlich: $V⁰ := k$.  Entsprechend schreiben wir für einen Vektoren $\vec{v}
-  Vektoren $\vec{v} ∈ V$ auch $\vec{v}^{⊗ n}$ für das $n$-fache Produkt
+  ∈ V$ auch $\vec{v}^{⊗ n}$ für das $n$-fache Produkt $\vec{v} ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}$.
-  $\vec{v} ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}$.
 \end{notation}
 
 
 \section{Assoziativität}
 
-Zusätzlich zu ``Existenz'' und ``Eindeutigkeit'' gibt es beim Tensorprodukt mit
+Zusätzlich zu „Existenz“ und „Eindeutigkeit“ gibt es beim Tensorprodukt mit
 mehreren Faktoren noch eine Frage, die im Fall von zwei Faktoren irrelevant ist:
 die Assoziativität.  Der folgende Satz klärt alles.
 
 \begin{satz}[Assoziativität des Tensorproduktes]
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume $V_1, …,
-  $V_1, …, V_n$ gegeben.  Gegeben einen Index $1 ≤ i < n$, dann sind die
+  V_n$ gegeben.  Gegeben einen Index $1 ≤ i < n$, dann sind die Vektorräume
-  Vektorräume
   \[
     V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n \quad \text{und} \quad V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_{i-1} ⊗ (V_i ⊗ V_{i+1}) ⊗ V_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ V_n
   \]
   kanonisch isomorph.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Ich gebe keinen vollen Beweis sondern diskutiere nur die Idee.  Sie sollten an
+  Ich gebe keinen vollen Beweis, sondern diskutiere nur die Idee.  Sie sollten
-  dieser Stelle nicht mehr überrascht sein, dass der kanonische Isomorphismus
+  an dieser Stelle nicht mehr überrascht sein, dass der kanonische Isomorphismus
   aus der universellen Eigenschaft kommt!  Sei also ein Index $i$ gegeben.
   Betrachten Sie die Abbildung
   \[
@@ -144,10 +141,10 @@ jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf.
   Erzeugendensysteme oder Basen von $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n$.
 
 \item Gegeben angeordnete Basen von $V_1$, …, $V_n$ dann finden wir eine
-  lexikographisch angeordnete Basis von $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n$.
+  lexikografisch angeordnete Basis von $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n$.
     
-\item Falls alle $V_{•}$ endlich-dimensional sind, dann ist
+\item Falls alle $V_{•}$ endlich-dimensional sind, dann ist $\dim V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n
-  $\dim V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n = \prod_i \dim V_i$
+  = \prod_i \dim V_i$.
     
 \item Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen induzieren lineare Abbildungen
   zwischen den Tensorprodukten.
@@ -193,13 +190,12 @@ und
     & (λ,ν) & ↦ & λ·ν.
   \end{matrix}
 \]
-Diese ``Definitionen'' verwenden die schreckliche Notation~\ref{15-2-7}.
+Diese „Definitionen“ verwenden die schreckliche Notation~\ref{15-2-7}. Schauen
-Schauen Sie sich die Notation noch einmal an und rechnen Sie als Hausaufgabe
+Sie sich die Notation noch einmal an und rechnen Sie als Hausaufgabe nach, dass
-nach, dass die Abbildung wohldefiniert ist!  Was war dazu noch einmal genau zu
+die Abbildung wohldefiniert ist!  Was war dazu noch einmal genau zu zeigen?  Die
-zeigen?  Die Abbildung $m_{ab}$ sieht ein bisschen aus wie eine
+Abbildung $m_{ab}$ sieht ein bisschen aus wie eine Multiplikationsabbildung. Der
-Multiplikationsabbildung.  Der relevante Begriff ist der einer $k$-Algebra: dies
+relevante Begriff ist der einer $k$-Algebra: Dies ist ein Vektorraum, der um
-ist ein Vektorraum, der um eine mit der Vektorraumstruktur verträgliche
+eine mit der Vektorraumstruktur verträgliche Multiplikation erweitert wurde.
-Multiplikation erweitert wurde.
 
 \begin{defn}[Algebra über einem Körper]
   Es sei $k$ ein Körper.  Eine \emph{$k$-Algebra}\index{Algebra} oder
@@ -212,19 +208,17 @@ Multiplikation erweitert wurde.
   \begin{itemize}
   \item Die Algebra heißt \emph{kommutativ}\index{kommutative
   Algebra}\index{Algebra!kommutativ}, wenn für alle Vektoren $\vec{v}_1$,
-    $\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit
+  $\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit $m(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = m(\vec{v}_2,
-    $m(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = m(\vec{v}_2, \vec{v}_1)$ gilt.
+  \vec{v}_1)$ gilt.
   
   \item Die Algebra heißt \emph{assoziativ}\index{assoziative
   Algebra}\index{Algebra!assoziativ}, wenn für alle Vektoren $\vec{v}_1$,
-    $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3 ∈ V$ die Gleichheit
+  $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3 ∈ V$ die Gleichheit $m\bigl(\vec{v}_1, m(\vec{v}_2,
-    $m\bigl(\vec{v}_1, m(\vec{v}_2, \vec{v}_3)\bigr) = m\bigl(m(\vec{v}_1,
+  \vec{v}_3)\bigr) = m\bigl(m(\vec{v}_1, \vec{v}_2), \vec{v}_3 \bigr)$ gilt.
-    \vec{v}_2), \vec{v}_3 \bigr)$ gilt.
   
   \item Man sagt, die Algebra \emph{besitzt eine Eins}\index{Algebra!mit Eins},
-    falls es ein Element $\vec{e} ∈ V$ gibt, so dass für alle Vektoren
+  falls es ein Element $\vec{e} ∈ V$ gibt, sodass für alle Vektoren $\vec{v} ∈
-    $\vec{v} ∈ V$ die Gleichheit
+  V$ die Gleichheit $m(\vec{e}, \vec{v}) = m(\vec{v}, \vec{e}) = \vec{v}$ gilt.
-    $m(\vec{e}, \vec{v}) = m(\vec{v}, \vec{e}) = \vec{v}$ gilt.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 

17-wedge.tex

@@ -5,24 +5,24 @@
 \label{sec:wedge}
 
 Es gibt noch eine Variante der Tensoralgebra, die unter anderem für Berechnungen
-in der Differentialgeometrie schrecklich wichtig ist: die äußere Algebra.  Auf
+in der Differenzialgeometrie schrecklich wichtig ist: Die äußere Algebra.  Auf
-den ersten Blick sieht der laufende Abschnitt~\ref{sec:wedge} vielleicht genau
+den ersten Blick sieht der laufende Abschnitt~\ref{sec:wedge} vielleicht genauso
-so langweilig aus wie der vorhergehende Abschnitt~\ref{sec:tAlg}, aber der
+langweilig aus wie der vorhergehende Abschnitt~\ref{sec:tAlg}, aber der Schein
-Schein trügt.  Tatsächlich verbirgt die äußere Algebra sehr viel interessante
+trügt.  Tatsächlich verbirgt die äußere Algebra sehr viel interessante
 Mathematik, die ich aber hier nur ganz am Rande streifen kann.  Vielleicht
-sollte ich noch eine Vorlesung ``Lineare Algebra III'' anbieten?
+sollte ich noch eine Vorlesung „Lineare Algebra III“ anbieten?
 
 
 \section{Definition, Existenz und Eindeutigkeit}
 
-Die äußere Algebra und das äußere Produkt (auch ``Dachprodukt'') ist fast genau
+Die äußere Algebra und das äußere Produkt (auch „Dachprodukt“) ist fast genau so
-so definiert, wie die Tensoralgebra und das Tensorprodukt.  Der einzige
+definiert, wie die Tensoralgebra und das Tensorprodukt.  Der einzige Unterschied
-Unterschied ist, dass wir uns bei den multilinearen Abbildungen auf solche
+ist, dass wir uns bei den multilinearen Abbildungen auf solche Abbildungen
-Abbildungen beschränken, die alternierend sind.
+beschränken, die alternierend sind.
 
-\begin{defn}[Alternierende multilineare Abbildung]\label{def:17-1-1}
+\begin{defn}[Alternierende multilineare Abbildung]\label{def:17-1-1}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V$ und $W$ zwei $k$-Vektorräume und es sei
+  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V$ und $W$ zwei $k$-Vektorräume und es sei $n
-  $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine multilineare Abbildung
+  ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine multilineare Abbildung
   \[
     s : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → W
   \]
@@ -32,10 +32,10 @@ Abbildungen beschränken, die alternierend sind.
     s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n) = \vec{0}_W
   \end{equation}
   für jedes Tupel $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, in dem ein
-  Vektor zwei mal auftritt.  Formell: die multilineare Abbildung $s$ heißt
+  Vektor mal auftritt.  Formell: die multilineare Abbildung $s$ heißt
-  alternierend falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für für jedes Tupel
+  alternierend falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für jedes Tupel $(\vec{v}_1,
-  $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, für das es zwei
+  …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, für das es zwei unterschiedliche Indizes $i
-  unterschiedliche Indizes $i \ne j$ gibt mit $\vec{v}_i = \vec{v}_j$.
+  \ne j$ gibt mit $\vec{v}_i = \vec{v}_j$.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -56,7 +56,7 @@ Abbildungen beschränken, die alternierend sind.
 
 \begin{prov}
   Könnte ich Gleichung~\eqref{eq:17-1-2-1} nicht als Definition von
-  ``alternierende Multilineare Abbildung'' nehmen?
+  „alternierende Multilineare Abbildung“ nehmen?
 \end{prov}
 
 \begin{notation}[Produkte]
@@ -68,9 +68,9 @@ Abbildungen beschränken, die alternierend sind.
 
 \begin{bsp}[Determinante]
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Betrachte Matrizen als
-  Tupel von Spaltenvektoren und identifiziere so den Vektorraum
+  Tupel von Spaltenvektoren und identifiziere so den Vektorraum $\Mat(n⨯ n, k)$
-  $\Mat(n⨯ n, k)$ der $(n⨯ n)$-Matrizen mit dem Vektorraum
+  der $(n⨯ n)$-Matrizen mit dem Vektorraum $k^n⨯ ⋯ ⨯ k^n$.  Dann ist die
-  $k^n⨯ ⋯ ⨯ k^n$.  Dann ist die Determinantenabbildung
+  Determinantenabbildung
   \[
     \det : k^n⨯ ⋯ ⨯ k^n → k
   \]
@@ -79,20 +79,20 @@ Abbildungen beschränken, die alternierend sind.
 
 \begin{bsp}[Kreuzprodukt]
   Das von Physiker geliebte
-  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt}{Kreuzprodukt auf dem
+  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt}{Kreuzprodukt auf dem $ℝ³$}
-    $ℝ³$} ist eine alternierende multilineare Abbildung.
+  ist eine alternierende multilineare Abbildung.
 \end{bsp}
 
 Mit diesem Begriff können wir jetzt ganz allgemein äußere Produkte von
 Vektorräumen definieren.
 
-\begin{defn}[Äußeres Produkt]\label{def:17-1-4}
+\begin{defn}[Äußeres Produkt]\label{def:17-1-4} Es sei $k$ ein Körper, es sei $n
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei ein $k$-Vektorraum $V$
+  ∈ ℕ$ und es sei ein $k$-Vektorraum $V$ gegeben.  Ein \emph{$n$.tes äußeres
-  gegeben.  Ein \emph{$n$.tes äußeres Produkt}\index{äußeres Produkt} oder
+  Produkt}\index{äußeres Produkt} oder \emph{$n$.tes
-  \emph{$n$.tes Dachprodukt}\index{Dachprodukt} von $V$ ist ein Vektorraum $T$
+  Dachprodukt}\index{Dachprodukt} von $V$ ist ein Vektorraum $T$ zusammen mit
-  zusammen mit einer alternierenden multilinearen Abbildung $τ: V^{⨯n} → T$, so
+  einer alternierenden multilinearen Abbildung $τ: V^{⨯n} → T$, sodass für alle
-  dass für alle multilinearen Abbildungen $s: V^{⨯n} → W$ genau eine lineare
+  multilinearen Abbildungen $s: V^{⨯n} → W$ genau eine lineare Abbildung $η: T →
-  Abbildung $η: T → W$ existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert
+  W$ existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=4cm]
       V^{⨯ n} \ar[r, "τ\text{, alternierend multilin.}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!  η\text{, linear}"]\\
@@ -104,45 +104,42 @@ Vektorräumen definieren.
 Genau wie in den Sätzen \ref{satz:15-1-2} und \ref{satz:15-1-3} beweist man
 Existenz und Eindeutigkeit des äußeren Produktes.
 
-\begin{satz}[Eindeutigkeit des äußeren Produkts]\label{satz:17-1-6}
+\begin{satz}[Eindeutigkeit des äußeren Produkts]\label{satz:17-1-6}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei ein $k$-Vektorraum $V$
   gegeben.  Weiter seien $τ_1 : V^{⨯n} → T_1$ und $τ_1 : V^{⨯n} → T_2$ zwei
-  $n$.te äußere Produkte.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
+  $n$.te äußere Produkte.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅
-  $T_1 ≅ T_2$.  \qed
+  T_2$.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{satz}[Eindeutigkeit des äußeren Produkts]\label{satz:17-1-9}
+\begin{satz}[Existenz des äußeren Produkts]\label{satz:17-1-9}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei ein $k$-Vektorraum $V$
   gegeben.  Dann existiert ein $n$.tes äußeres Produkt.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{notation}[Notation rund um äußere Produkte]
+\begin{notation}[Notation rund um äußere Produkte]%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei ein $k$-Vektorraum $V$
   gegeben.  Wie bei Tensorprodukten mit zwei Faktoren missbrauchen wir die
-  Sprache, sprechen von ``dem $n$.ten äußeren Produkt'' und schreiben
+  Sprache, sprechen von „dem $n$.ten äußeren Produkt“ und schreiben
   \[
     τ : V^{⨯n} → \bigwedge^n V.
   \]
-  Für den Fall $n=0$ definieren wir zusätzlich: $Λ⁰ V := k$.  Wir schreiben
+  Für den Fall $n=0$ definieren wir zusätzlich: $Λ⁰ V := k$.  Wir schreiben die
-  die Bilder $τ(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ als
+  Bilder $τ(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ als $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$ und
-  $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$ und bezeichnen diese Elemente von
+  bezeichnen diese Elemente von $Λ^n V$ als \emph{rein}.  Etwas
-  $Λ^n V$ als \emph{rein}.  Etwas umgangssprachlich spricht man von
+  umgangssprachlich spricht man von \emph{reinen Dächern}\index{reine Dächer}.
-  \emph{reinen Dächern}\index{reine Dächer}.
 \end{notation}
 
-\begin{beobachtung}[Reine Dächer und Rechenregeln für reine Dächer]\label{beo:17-1-11}
+\begin{beobachtung}[Reine Dächer und Rechenregeln für reine Dächer]\label{beo:17-1-11}%
-  Wieder gilt: nicht jedes Element von $Λ^n V$ ist ein reines Dach, aber
+  Wieder gilt: nicht jedes Element von $Λ^n V$ ist ein reines Dach, aber jedes
-  jedes Element ist eine Summe von reinen Dächern.  Für das Rechnen mit reinen
+  Element ist eine Summe von reinen Dächern.  Für das Rechnen mit reinen Dächern
-  Dächern $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$ gelten gemäß
+  $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$ gelten gemäß Definition~\ref{def:17-1-1} die
-  Definition~\ref{def:17-1-1} die folgenden Regeln.
+  folgenden Regeln.
   \begin{itemize}
-  \item Falls es zwei unterschiedliche Indizes $i$ und $j$ gibt mit
+  \item Falls es zwei unterschiedliche Indizes $i$ und $j$ gibt mit $\vec{v}_i =
-    $\vec{v}_i = \vec{v}_j$, dann ist $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$
+  \vec{v}_j$, dann ist $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n$ gleich $\vec{0}_{Λ^n V}$.
-    gleich $\vec{0}_{Λ^n V}$.
     
-  \item Für jede Permutation $ρ ∈ S_n$ ist
+  \item Für jede Permutation $ρ ∈ S_n$ ist $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n =
-    $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_n = \sgn(ρ)·\vec{v}_{ρ(1)} Λ ⋯
+  \sgn(ρ)·\vec{v}_{ρ(1)} Λ ⋯ Λ \vec{v}_{ρ(n)}$.
-    Λ \vec{v}_{ρ(n)}$.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
@@ -163,9 +160,8 @@ Lage, aus Erzeugendensystemen von $V$ Erzeugendensysteme von $Λ^n V$ zu machen.
 \end{beobachtung}
 
 Im Fall von Tensorprodukten konnten wir aus einer Basis von $V$ auch ganz
-schnell eine Basis von $V^{⊗ n}$ machen: wenn etwa
+schnell eine Basis von $V^{⊗ n}$ machen: wenn etwa $\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2\} ⊂
-$\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2\} ⊂ ℝ²$ die Einheitsbasis ist, dann ist eine
+ℝ²$ die Einheitsbasis ist, dann ist eine Basis von $(ℝ²)^{⊗ 2}$ durch die Menge
-Basis von $(ℝ²)^{⊗ 2}$ durch die Menge
 \[
   \{ \vec{e}_1 ⊗ \vec{e}_1, \quad \vec{e}_1 ⊗ \vec{e}_2, \quad \vec{e}_2
   ⊗ \vec{e}_1, \quad \vec{e}_2 ⊗ \vec{e}_2 \} ⊂ (ℝ²)^{⊗ 2}
@@ -184,14 +180,12 @@ Rechenregeln aus Beobachtung~\ref{beo:17-1-11} ist
 zwar ein Erzeugendensystem, aber kein bisschen linear unabhängig.  Eine Basis
 sieht aber anders aus!  Immerhin: der folgende Satz besagt, dass das
 verbleibende eine Element $\vec{e}_1 Λ \vec{e}_2$ tatsächlich eine Basis bildet.
-In ``normalen'' Jahren würde ich an dieser Stelle einen sehr ausführlichen
+Normalerweise würde ich an dieser Stelle einen sehr ausführlichen Beweis geben.
-Beweis geben.  In unserer speziellen Situation (Corona, Ende des Semesters, …)
+In unserer speziellen Situation (Ende des Semesters, …) verzichte ich darauf.
-verzichte ich darauf.
 
-\begin{satz}[Basen von $Λ^n V$]\label{satz:17-2-2}
+\begin{satz}[Basen von $Λ^n V$]\label{satz:17-2-2}%
-  In der Situation von Definition~\ref{def:17-1-4} sei
+  In der Situation von Definition~\ref{def:17-1-4} sei $E = \{ \vec{v}_1, …,
-  $E = \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \} ⊂ V$ eine angeordnete Basis von $V$.  Dann
+  \vec{v}_n \} ⊂ V$ eine angeordnete Basis von $V$.  Dann ist die Menge
-  ist die Menge
   \[
     \{ \vec{v}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{v}_{i_n} \:|\: i_1 < i_2 < ⋯ < i_n \}
   \]
@@ -199,7 +193,7 @@ verzichte ich darauf.
 \end{satz}
 
 \begin{bemerkung}
-  In Satz~\ref{satz:17-2-2} ist klar, dass man die Basis lexikographisch anordnen
+  In Satz~\ref{satz:17-2-2} ist klar, dass man die Basis lexikografisch anordnen
   sollte!
 \end{bemerkung}
 
@@ -223,8 +217,8 @@ verzichte ich darauf.
 
 Ganz analog zur Konstruktion der Tensoralgebra in Abschnitt~\ref{sec:tAlg2}
 definieren wir die äußere Algebra.  Konkret: Gegeben einen Körper $k$, einen
-$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir
+$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie
-wie folgt eine Abbildung
+folgt eine Abbildung
 \[
   \begin{matrix}
     m_{ab} : & Λ^a V ⨯ Λ^b V & → & Λ^{a+b} V \\
@@ -252,7 +246,7 @@ und
     & (λ,ν) & ↦ & λ·ν.
   \end{matrix}
 \]
-Diese ``Definitionen'' verwenden die analog die schreckliche
+Diese „Definitionen“ verwenden die analog die schreckliche
 Notation~\ref{15-2-7}.  Rechnen Sie als Hausaufgabe nach, dass die Abbildung
 wohldefiniert ist!  Jetzt definieren wir die äußere Algebra.
 
@@ -275,8 +269,8 @@ wohldefiniert ist!  Jetzt definieren wir die äußere Algebra.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Tensoralgebra ist praktisch immer unendlich-dimensional.  Im Gegensatz
-  dazu ist bei der Konstruktion der äußeren Algebra $Λ^n V = \{\vec{0}\}$
+  dazu ist bei der Konstruktion der äußeren Algebra $Λ^n V = \{\vec{0}\}$ sobald
-  sobald $n>\dim V$ ist.  Also ist
+  $n>\dim V$ ist.  Also ist
   \[
     \dim T = \sum_{n=0}^{\dim V} {\dim V \choose n} \overset{\text{binomi}}{=}
     2^{\dim V}.
@@ -290,11 +284,10 @@ wohldefiniert ist!  Jetzt definieren wir die äußere Algebra.
 Genau wie bei Tensorprodukten gilt, dass jede lineare Abbildung von Vektorräumen
 eine Abbildung zwischen den Dachprodukten induziert.
 
-\begin{satz}[Dachprodukte von Abbildungen]\label{satz:dpva}
+\begin{satz}[Dachprodukte von Abbildungen]\label{satz:dpva}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.  Weiter sei eine Zahl
-  $n ∈ ℕ$ gegeben.  Dann gibt es zu jedem Endomorphismus $f : V → V$ genau
+  $n ∈ ℕ$ gegeben.  Dann gibt es zu jedem Endomorphismus $f : V → V$ genau einen
-  einen Endomorphismus $η : Λ^n V → Λ^n V$, so dass das folgende
+  Endomorphismus $η : Λ^n V → Λ^n V$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
-  Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       V^{⨯ n} \ar[d, "τ"'] \ar[r, "f ⨯ ⋯ ⨯ f"] & V^{⨯ n} \ar[d, "τ"] \\
@@ -304,9 +297,9 @@ eine Abbildung zwischen den Dachprodukten induziert.
   Die Abbildung $η$ wird auch mit $Λ^n f$ bezeichnet.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Hier ist fast nichts zu zeigen.  Die Abbildung
+  Hier ist fast nichts zu zeigen.  Die Abbildung $τ◦(f ⨯ ⋯ ⨯ f)$ ist
-  $τ◦(f ⨯ ⋯ ⨯ f)$ ist alternierend und multilinear.  Also
+  alternierend und multilinear.  Also existiert die Abbildung $η$ entsprechend
-  existiert die Abbildung $η$ entsprechend der universellen Eigenschaft.
+  der universellen Eigenschaft.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -321,18 +314,18 @@ Wir müssen wir mit Dachprodukten rechnen lernen.  Die folgende Rechnung zeigt,
 warum Dachprodukte und Determinanten so eng miteinander verbunden sind.  Auf
 geht's.
 
-\begin{satz}[Rechnen mit Dachprodukten in Koordinaten]\label{satz:17-4-3}
+\begin{satz}[Rechnen mit Dachprodukten in Koordinaten]\label{satz:17-4-3}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum,
-  mit Basis $\{ \vec{e}_1, …, \vec{e}_n\}$.  Wenn jetzt Vektoren
+  mit Basis $\{ \vec{e}_1, …, \vec{e}_n\}$.  Wenn jetzt Vektoren $\vec{v}_1, …,
-  $\vec{v}_1, …, \vec{v}_k$ aus $V$ gegeben sind, dann berechnet man das
+  \vec{v}_k$ aus $V$ gegeben sind, dann berechnet man das Dachprodukt $\vec{v}_1
-  Dachprodukt $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_k$ wie folgt.
+  Λ ⋯ Λ \vec{v}_k$ wie folgt.
   \begin{itemize}
   \item Für jeden Index $i$ schreibe den Vektor $\vec{v}_i$ in Koordinaten,
-    $\vec{v}_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}·\vec{e}_j$, und betrachte die Matrix
+  $\vec{v}_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}·\vec{e}_j$, und betrachte die Matrix $A :=
-    $A := (a_{ij}) ∈ \Mat(n⨯ k, k)$.
+  (a_{ij}) ∈ \Mat(n⨯ k, k)$.
-  \item Gegeben Indizes $i_1 < ⋯ < i_k$, sei
+  
-    $A_{i_1, …,i_k} ∈ \Mat(k⨯ k, k)$ die Matrix, die aus den Spalten
+  \item Gegeben Indizes $i_1 < ⋯ < i_k$, sei $A_{i_1, …,i_k} ∈ \Mat(k⨯ k, k)$
-    $i_1, …,i_k$ der Matrix $A$ besteht.
+  die Matrix, die aus den Spalten $i_1, …,i_k$ der Matrix $A$ besteht.
   \end{itemize}
   Dann ist
   \[
@@ -342,11 +335,9 @@ geht's.
   \]
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Seien Indizes $1 ≤ i_1 < ⋯ < i_k ≤ n$ gegeben.  Ich muss jetzt
+  Seien Indizes $1 ≤ i_1 < ⋯ < i_k ≤ n$ gegeben.  Ich muss jetzt ausrechnen, was
-  ausrechnen, was der Koeffizient von
+  der Koeffizient von $\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}$ in $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ
-  $\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}$ in
+  \vec{v}_k$.  Dazu fällt mir (leider!) nichts Besseres ein, als das Produkt
-  $\vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_k$.  Dazu fällt mir (leider!) nichts
-  besseres ein, als das Produkt
   \[
     \vec{v}_1 Λ ⋯ Λ \vec{v}_k %
     = \left( \sum_{j=1}^n a_{1j}·\vec{e}_j \right) Λ \left( \sum_{j=1}^n
@@ -361,7 +352,7 @@ geht's.
                                              & = \sum_{σ ∈ S_k} a_{1σ(i_1)}a_{2σ(i_2)}⋯ a_{kσ(i_k)}·\left( \vec{e}_{σ(i_1)} Λ \vec{e}_{σ(i_2)} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{σ(i_k)}\right) + (\text{Rest}) \\
                                              & = \sum_{σ ∈ S_k} a_{1σ(i_1)}a_{2σ(i_2)}⋯ a_{kσ(i_k)}·\left( \sgn(σ)·\vec{e}_{i_1} Λ \vec{e}_{i_2} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}\right) + (\text{Rest}) \\
                                              & = \left( \sum_{σ ∈ S_k} \sgn(σ)·a_{1σ(i_1)}a_{2σ(i_2)}⋯ a_{kσ(i_k)}\right)·\vec{e}_{i_1} Λ \vec{e}_{i_2} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k} + (\text{Rest}) \\
-                                             & = (\det A_{i_1, …,i_k})·\vec{e}_{i_1} Λ \vec{e}_{i_2} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k} + (\text{Rest})
+                                             & = (\det A_{i_1, …,i_k})·\vec{e}_{i_1} Λ \vec{e}_{i_2} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k} + (\text{Rest}).
   \end{align*}
   Damit ist der Satz dann wohl bewiesen.
 \end{proof}
@@ -382,12 +373,11 @@ geht's.
 
 Ich möchte das Kapitel mit einer inner-mathematischen Anwendung beenden, die ich
 für wunderschön halte.  Dazu betrachte ich zuerst noch einmal die Situation von
-Satz~\ref{satz:dpva} und nehme an, dass $V$ endlich-dimensional ist,
+Satz~\ref{satz:dpva} und nehme an, dass $V$ endlich-dimensional ist, $n := \dim
-$n := \dim V$.  Dann ist $Λ^n V$ ein-dimensional, und die Abbildung $Λ^n f$ ist
+V$.  Dann ist $Λ^n V$ ein-dimensional, und die Abbildung $Λ^n f$ ist eine
-eine lineare Abbildung von eindimensionalen Vektorräumen.  Jede solche Abbildung
+lineare Abbildung von eindimensionalen Vektorräumen.  Jede solche Abbildung ist
-ist aber gleich der skalaren Multiplikation mit einer Zahl $λ$.  Ich frage:
+aber gleich der skalaren Multiplikation mit einer Zahl $λ$.  Ich frage: „Was ist
-``Was ist $λ$?'' Satz~\ref{satz:17-4-3} gibt unmittelbar eine Antwort auf diese
+$λ$?“ Satz~\ref{satz:17-4-3} gibt unmittelbar eine Antwort auf diese Frage.
-Frage.
 
 \begin{kor}[Konzeptionelle Interpretation der Determinante]\label{cor:17-5-1}
   In der Situation von Satz~\ref{satz:dpva} sei $V$ endlich-dimensional.  Dann
@@ -398,16 +388,16 @@ Frage.
 \end{kor}
 
 Ich sehe Korollar~\ref{cor:17-5-1} als eine konzeptionelle Interpretation der
-Determinante.  Da Determinanten extrem eng mit dem Begriff ``Volumen'' aus der
+Determinante.  Da Determinanten extrem eng mit dem Begriff „Volumen“ aus der
-Differentialgeometrie verwandt sind, verstehe ich Korollar~\ref{cor:17-5-1} als
+Differenzialgeometrie verwandt sind, verstehe ich Korollar~\ref{cor:17-5-1} als
 geometrische Aussage.
 
 
 \subsection{Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms}
 
 Es gilt aber noch viel mehr.  Erinnern Sie sich an die letzten Vorlesungen von
-``Lineare Algebra I''?  Dort hatten wir das charakteristische Polynom einer
+„Lineare Algebra I“?  Dort hatten wir das charakteristische Polynom einer Matrix
-Matrix $A ∈ \Mat(n⨯ n,k)$ diskutiert,
+$A ∈ \Mat(n ⨯ n,k)$ diskutiert,
 \[
   χ_A(t) = \det\left(A-t·\Id \right) = (-1)^n·\left(t^n+a_1(A)·t^{n-1}+ ⋯ +
     a_{n-1}(A)·t + a_n(A) \right).
@@ -419,13 +409,13 @@ Wir hatten staunend festgestellt, dass die Funktionen
 auf den Konjugationsklassen konstant sind\footnote{Also: für alle $i$, für alle
 $A ∈ \Mat(n⨯ n,k)$ und alle $S ∈ GL_n(k)$ ist $a_i(A) = a_i(S·A·S^{-1})$} und
 haben uns gefragt, was diese Funktionen wohl sind und was sie bedeuten.  Damals
-konnten wir nur zwei dieser Zahlen ausrechnen: wir hatten gesehen, dass
+konnten wir nur zwei dieser Zahlen ausrechnen: Wir hatten gesehen, dass
 \[
   a_n(A) = \det(A) \quad\text{und}\quad a_1(A) = \spur(A)
 \]
-ist.  Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
+ist.  Mithilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
 
-\begin{satz}[Konzeptionelle Bedeutung der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms]
+\begin{satz}[Konzeptionelle Bedeutung der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms]%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$, es sei $V$ ein $n$-dimensionaler
   $k$-Vektorraum und es sei $f ∈ \End(V)$.  Schreibe das charakteristische
   Polynom von $f$ als
@@ -455,7 +445,7 @@ ist.  Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
       \vdots & \ddots \\
       & & & & a_{(n-1)n}\\
       a_{n1} & ⋯ & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
   Das charakteristische Polynom ist dann die Determinante von $B$, also
   \begin{equation}\label{eq:xcydfg}
@@ -492,10 +482,10 @@ ist.  Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
   
   \noindent \textbf{Schritt 2:} jetzt berechnen wir die andere Seite der
   Gleichung, also die Spur der Abbildung $Λ^k f ∈ \End(Λ^kV)$.  Dazu erinnern
-  wir noch einmal daran, dass die Dachprodukte
+  wir noch einmal daran, dass die Dachprodukte $(\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ
-  $(\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k})_{1≤ i_1 < ⋯ < i_k ≤ n}$ eine Basis von
+  \vec{e}_{i_k})_{1≤ i_1 < ⋯ < i_k ≤ n}$ eine Basis von $Λ^k V$ bilden.  Gegeben
-  $Λ^k V$ bilden.  Gegeben also ein solches Basiselement
+  also ein solches Basiselement $\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}$, dann ist
-  $\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}$, dann ist nach Satz~\ref{satz:17-4-3}
+  nach Satz~\ref{satz:17-4-3}
   \begin{align*}
     (Λ^k f)(\vec{e}_{i_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{i_k}) & = f(\vec{e}_{i_1}) Λ ⋯ Λ f(\vec{e}_{i_k}) \\
                                                & = \sum_{1≤ j_1 < ⋯ < j_k ≤ n} \det(A_{j_1, …, j_k})·\vec{e}_{j_1} Λ ⋯ Λ \vec{e}_{j_k} \\
@@ -513,8 +503,8 @@ ist.  Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
 
   \noindent \textbf{Schritt 3:} Um den Beweis zu beenden, vergleiche
   \eqref{eq:A} mit \eqref{eq:B} und beachte, dass die Matrix $A_{i_1, …, i_k}$
-  aus Satz~\ref{satz:17-4-3} genau gleich der Matrix
+  aus Satz~\ref{satz:17-4-3} genau gleich der Matrix $\widetilde{A}^{i_1, …,
-  $\widetilde{A}^{i_1, …, i_k}$ ist.
+  i_k}$ ist.
 \end{proof}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

18-dehn.tex

@@ -7,12 +7,11 @@
 August 1900 in Paris hielt David
 Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
 Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in Göttingen)
-  war ein deutscher Mathematiker.} einen Vortrag, in dem er eine thematisch
+war ein deutscher Mathematiker.} einen Vortrag, in dem er eine thematisch breit
-breit gefächerte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme}{Liste
+gefächerte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme}{Liste von
-  von 23 ungelösten mathematischen Problemen} präsentierte.  Obwohl sein Vortrag
+23 ungelösten mathematischen Problemen} präsentierte.  Obwohl sein Vortrag beim
-beim Publikum wohl nicht gut ankam, erwies sich die Liste der Hilbert'schen
+Publikum wohl nicht gut ankam, erwies sich die Liste der Hilbert'schen Probleme
-Probleme als äußerst einflussreich für die Entwicklung der Mathematik im
+als äußerst einflussreich für die Entwicklung der Mathematik im 20.~Jahrhundert.
-20.~Jahrhundert.
 
 
 \section{Hilbert's drittes Problem}
@@ -21,18 +20,17 @@ In
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_drittes_Problem}{Hilbert's
 drittem Problem} geht es um folgende Frage: gegeben sind zwei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder}{Polyeder} $P_1$ und $P_2$ im Raum
-$ℝ³$.  Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
+$ℝ³$.  Ich möchte das erste Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein Puzzle
-Puzzle zerlegen, aus dem sich der zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt.
+zerlegen, aus dem sich das zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt. Kann ich
-Kann ich entscheiden, ob das möglich ist?  In Schlausprech frage ich, ob die
+entscheiden, ob das möglich ist?  In Schlausprech frage ich, ob die Polyeder
-Polyeder $P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit}
+$P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit} sind.
-sind.
 
 Um es vorweg zu nehmen: Hilbert's Frage ist heute vollständig beantwortbar.  Wir
 werden hier nur eine Teilantwort diskutieren.  Eines ist von vornherein klar.
 
 \begin{beobachtung}
   Falls das Volumen der Polyeder $P_1$ und $P_2$ nicht übereinstimmt, dann ist
-  die Antwort ``Nein!''
+  die Antwort „Nein!“
 \end{beobachtung}
 
 \begin{notation}
@@ -48,22 +46,22 @@ werden hier nur eine Teilantwort diskutieren.  Eines ist von vornherein klar.
 
 Schauen Sie zum Thema Invarianten einmal in
 \href{https://www.quantamagazine.org/math-invariants-helped-lisa-piccirillo-solve-conway-knot-problem-20200602/}{diesen
-  lesenswerten Artikel}.  Wenn also zwei Polyeder unterschiedliches Volumen
+lesenswerten Artikel}.  Wenn also zwei Polyeder unterschiedliches Volumen haben,
-haben, können sie nicht zerlegungsgleich sein.  Invarianten können uns also
+können sie nicht zerlegungsgleich sein.  Invarianten können uns also helfen, für
-helfen, für gegebene Polyeder $P_1$ und $P_2$ eine negative Antwort auf
+gegebene Polyeder $P_1$ und $P_2$ eine negative Antwort auf Hilbert's Frage zu
-Hilbert's Frage zu geben.
+geben.
 
 
 \section{Die Dehn-Invariante}
 
 Es wird Sie vielleicht nicht sehr überraschen, dass es Polyeder $P_1$ und $P_2$
 mit gleichem Volumen gibt, die aber nicht zerlegungsgleich sind.  Die Invariante
-``Volumen'' ist also nicht fein genug um Hilbert's Frage vollständig zu
+„Volumen“ ist also nicht fein genug um Hilbert's Frage vollständig zu
 beantworten.  Aus diesem Grund konstruierte Max
 Dehn\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Dehn}{Max Wilhelm Dehn} (*
 13.  November 1878 in Hamburg; † 27.  Juni 1952 in Black Mountain, North
 Carolina) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.  Er studierte unter
-  Anderem an der \href{http://www.uni-freiburg.de}{Albert-Ludwigs-Universität
+anderem an der \href{http://www.uni-freiburg.de}{Albert-Ludwigs-Universität
 Freiburg}.} eine weitere, sehr interessante Invariante, die nicht so
 offensichtlich ist, wie das Volumen.  Die
 \emph{Dehn-Invariante}\index{Dehn-Invariante} ist eine Abbildung
@@ -87,10 +85,10 @@ $ℚ$.  Elemente sind zum Beispiel die Zahlen $1$, $\sqrt{2}$ oder die Kreiszahl
 $π$.  Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
 
 \begin{bemerkung}
-  Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
+  Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warmzuwerden, fragen wir: ist die Menge $\{ 1,
-  $\{ 1, \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig?  Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
+  \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig?  Die Antwort ist „Nein!“, denn falls es
-  falls es zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale
+  zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale $ℚ$-lineare
-  $ℚ$-lineare Relation gäbe,
+  Relation gäbe,
   \[
     p · 1 + q · \sqrt{2} = 0,
   \]
@@ -98,10 +96,10 @@ $π$.  Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
   aber schon, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.
 \end{bemerkung}
 
-Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
+Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl $π$
-$π$ erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$.  Weiter
+erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$.  Weiter betrachten wir
-betrachten wir den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$.  Der
+den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$.  Der Vektorraum $V$
-Vektorraum $V$ von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt,
+von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt,
 \[
   V = ℝ ⊗ \left(\factor{ℝ}{\langle π \rangle}\right).
 \]
@@ -110,20 +108,20 @@ Dies ist ein Tensorprodukt von $ℚ$-Vektorräumen, also selbst ein $ℚ$-Vektor
 
 \subsection{Konstruktion der Invariante}
 
-Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$
+Als Nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$
 konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P ⊂ ℝ³$ ein Element des
 Vektorraumes $V$ zuordnen.  Sei also ein Polyeder $P$ gegeben.  Wir bezeichnen
 die Kanten des Polyeders $P$ mit $E_1, …, E_n$ und die Längen der Kanten mit
-$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen.  An jeder Kante
+$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen.  An jeder Kante kommen
-kommen zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit
+zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit
 $α(E_1)$, …, $α(E_n)$; dabei verwenden wir wie in der Mathematik üblich das
-Bogenmaß.  Nach diesen Vorbereitung definieren wir das die Dehn-Invariante von
+Bogenmaß.  Nach diesen Vorbereitungen definieren wir das die Dehn-Invariante von
 $P$ schließlich als
 \[
   \operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} ℓ(E_k) ⊗ α (E_k).
 \]
-Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante
+Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante definiert.
-definiert.  Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
+Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
 
 \begin{beobachtung}
   Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante.  \qed
@@ -237,9 +235,9 @@ definiert.  Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
   \begin{itemize}
   \item Die grünen Kanten $E_1$, …, $E_b$.  Nach Umnummerierung können wir ohne
   Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_a$
-    Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$
+  Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$ Kanten
-    Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind.  Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$
+  des Teilpolyeders $P_1$ sind.  Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$ und
-    und $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
+  $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
   bezeichnen, dann gelten die Gleichungen
   \begin{equation}
     \begin{matrix}
@@ -249,12 +247,12 @@ definiert.  Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
   \end{equation}
     
   \item Teilstücke von schwarzen Kanten.  Wenn wir die Teilstücke der schwarzen
-    Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann
+  Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann gilt für die Längen
-    gilt für die Längen und für die Winkel
+  und für die Winkel
   \begin{equation}
     \begin{aligned}
       ℓ(E_{•}) & = ℓ¹(E¹_{•}) + ℓ²(E²_{•}) \\
-        α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•})
+      α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•}).
     \end{aligned}
   \end{equation}
     
@@ -263,7 +261,7 @@ definiert.  Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
     $P_1$ und einmal in $P_2$.  Wir bezeichnen diese Kanten mit $E¹_{n+1}$,
     $E²_{n+1}$, …, $E¹_m$, $E²_m$.  Es gilt für jeden Index $i > n$
     \begin{equation}
-      ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π
+      ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π.
     \end{equation}
   \end{itemize}
   Mit diesen Bezeichnungen ist

19-ausblick.tex

@@ -3,15 +3,14 @@
 
 \chapter{Ausblick.}
 
-Wir sind am Ende der Vorlesung ``Lineare Algebra II''.  Wir hoffen, dass Sie
+Wir sind am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra II“.  Wir hoffen, dass Sie etwas
-trotz des ungewöhnlichen Formats der Vorlesung etwas gelernt und für sich
+gelernt und für sich mitgenommen haben.
-mitgenommen haben.
 
 \bigskip
 
 \bigskip
 
-Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium.  Bleiben Sie gesund.
+Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium!
 
 \bigskip
 
@@ -24,14 +23,14 @@ Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium.  Bleiben Sie gesund.
 \subsection*{Ein sehr persönliches Wort zum Ende}
 
 \begin{quote}
-  Any interested participant with basic knowledge of vector and matrix
+  \foreignlanguage{english}{Any interested participant with basic knowledge of
-  multiplication as linear algebra is at the core of quantum computing
+  vector and matrix multiplication as linear algebra is at the core of quantum
-  algorithms.
+  computing algorithms.}
 
   -- \href{https://learn-xpro.mit.edu/quantum-computing}{MIT xPro}
 \end{quote}
 
-Für mich ist die Vorlesung ``Lineare Algebra II'' so etwas wie ein Schlüssel zur
+Für mich ist die Vorlesung „Lineare Algebra II“ so etwas wie ein Schlüssel zur
 Welt.  Wir leben in einer Zeit, in der neue Techniken der
 Informationsverarbeitung unsere Gesellschaft in nie gesehener Art und Weise
 umwälzen, zum Guten wie zum
@@ -42,18 +41,18 @@ langfristigen Auswirkungen am ehesten mit denen der
 industriellen Revolution} vergleichbar sein.
 
 In dieser Situation erscheint mir unsere Gesellschaft als überfordert.  Sie
-wirkt unfähig oder unwillig, die unausweichlichen Änderungen aktiv zu
+wirkt unfähig oder unwillig, die unausweichlichen Änderungen aktiv zu gestalten.
-gestalten.  Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei;
+Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei; es scheint
-es scheint in weiten Teilen bemüht, die Änderungen der Welt so lang als möglich
+in weiten Teilen bemüht, die Änderungen der Welt so lang als möglich zu
-zu ignorieren.  Es gilt aber der alte Satz: Was ich nicht verstehe, kann ich
+ignorieren.  Es gilt aber der alte Satz: Was ich nicht verstehe, kann ich nicht
-nicht gestalten!  Was ich nicht verstehe, macht mir Angst!
+gestalten!  Was ich nicht verstehe, macht mir Angst!
 
 Tatsächlich sind viele der Techniken, die sich heute unter Stichworten wie
 \emph{Artificial Intelligence}, \emph{Machine Learning} oder \emph{Collective
-  Intelligence} verbergen, konzeptuell einfache Anwendungen von Linearer
+Intelligence} verbergen, konzeptuell einfache Anwendungen von Linearer Algebra.
-Algebra.  Wenn Sie diese Vorlesung durchgearbeitet haben, sind Sie in der
+Wenn Sie diese Vorlesung durchgearbeitet haben, sind Sie in der \emph{Pole
-\emph{Pole Position}, um diese Sachen zu verstehen.  Sie können sich noch heute
+Position}, um diese Sachen zu verstehen.  Sie können sich noch heute eine ein
-eine ein Framework wie \href{https://www.tensorflow.org/}{TensorFlow} auf ihren
+Framework wie \href{https://www.tensorflow.org/}{TensorFlow} auf ihren
 Linux-Laptop laden, die hervorragenden
 \href{https://www.tensorflow.org/tutorials}{Tutorials} hernehmen und ihr erstes
 \emph{Machine Learning} Projekt starten!  Oder schauen Sie sich bei

LineareAlgebra2.tex

@@ -28,7 +28,7 @@
 %\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table}
 
 \title{Lineare Algebra 2}
-\author{Prof.  Dr.  Stefan Kebekus}
+\author{Prof.~Dr.~Stefan Kebekus}
 
 \DeclareMathOperator{\ad}{ad}
 \DeclareMathOperator{\Bij}{Bij}
@@ -93,7 +93,6 @@
 
 
 
-
 \begin{document}
 % spell checker language
 \selectlanguage{german}

stdPreamble.tex

@@ -7,6 +7,7 @@
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 \usepackage{hyperref}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{newunicodechar}
 \usepackage{mathtools}
 \usepackage{varioref}
@@ -362,10 +363,7 @@
 % HYPENTATION
 %
 
-\hyphenation{com-po-nents}
+\hyphenation{uni-tärer}
-\hyphenation{pos-i-tive}
-\hyphenation{Theo-rem}
-\hyphenation{Vojta}
 
 
 %