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0dd5b65ed1
5
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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5
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@ -36,3 +36,8 @@ abstandserhaltende
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Definitheit
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ONB
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Kronecker-Delta
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semidefinit
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Bytestrings
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Bilinearität
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Semilinearität
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Sesquilinearlinearform
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16
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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16
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -17,3 +17,19 @@
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Velociraptoren” sind etwas ganz anderes als “romantische Gefühle”, auch wenn beide Menschen verzehren.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, so dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDidaktisch ist das eine Katastrophe – wir haben in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QLesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere: Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie wesentliche Eigenschaft von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q war zusammengefasst in der Kommutativität des folgenden Diagramms, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q In einer Zeile: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSesqui = Eineinhalb\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Semilinearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"}
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||||
248
06-Produkte.tex
248
06-Produkte.tex
@ -8,26 +8,26 @@
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||||
\section{Bilinearformen und Skalarprodukte}
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||||
\label{sec:skalar}
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||||
\sideremark{Vorlesung 8}Der Name ``Standardskalarprodukt'' sagt es schon: es
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gibt noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es,
|
||||
Skalarprodukte (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen
|
||||
und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
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\sideremark{Vorlesung 8}Der Name „Standardskalarprodukt“ sagt es schon: Es gibt
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||||
noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Skalarprodukte
|
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(und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen und zu
|
||||
diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
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||||
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\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Eine Abbildung
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||||
$b: V ⨯ V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
|
||||
$b: V⨯V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
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||||
\emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt.
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\begin{description}
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||||
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
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||||
$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||||
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}
|
||||
∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||||
\[
|
||||
b(\vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{z}) +
|
||||
λ·b(\vec{y}, \vec{z}).
|
||||
\]
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||||
|
||||
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
|
||||
$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||||
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y},
|
||||
\vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||||
\[
|
||||
b(\vec{x}, \vec{y} + λ \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{y}) +
|
||||
λ·b(\vec{x}, \vec{z}) .
|
||||
@ -35,47 +35,45 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
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||||
\end{description}
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}
|
||||
\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}%
|
||||
Wenn ich eine Bilinearform mit einem Skalar multipliziere, erhalte ich eine
|
||||
neue Bilinearform. Ebenso kann ich zwei Bilinearformen zu einer neuen
|
||||
Bilinearform addieren. Die Menge der bilinearen Abbildungen bildet mit diesen
|
||||
Verknüpfungen einen $k$-Vektorraum.
|
||||
\end{beobachtung}
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||||
|
||||
\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}
|
||||
Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige
|
||||
$n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung
|
||||
\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}%
|
||||
Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
|
||||
Dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
b : k^n ⨯ k^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
|
||||
\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}
|
||||
\]
|
||||
bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich
|
||||
bin nicht mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder
|
||||
$^t•$ geschrieben habe. Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser
|
||||
aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind,
|
||||
und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist. Das Produkt von einem Zeilenvektor
|
||||
mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯ 1$-Matrix; die Definition von $b$
|
||||
ist so zu verstehen, dass wir $1⨯ 1$-Matrizen mit den Skalaren
|
||||
identifizieren.
|
||||
bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich bin nicht
|
||||
mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder $^t•$ geschrieben habe.
|
||||
Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und
|
||||
$B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist.
|
||||
Das Produkt von einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯
|
||||
1$-Matrix; die Definition von $b$ ist so zu verstehen, dass wir $1⨯
|
||||
1$-Matrizen mit den Skalaren identifizieren.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Symmetrische Bilinearform]
|
||||
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform
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||||
$b : V ⨯ V → k$ heißt
|
||||
\emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle $\vec{x}$,
|
||||
$\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y}, \vec{x})$
|
||||
gilt.
|
||||
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform $b : V⨯V → k$
|
||||
heißt \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle
|
||||
$\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y},
|
||||
\vec{x})$ gilt.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}
|
||||
\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}%
|
||||
Ganz wie in Bemerkung~\ref{bem:6-1-4} bildet die Menge der symmetrischen
|
||||
Bilinearformen einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Bilinearformen.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}
|
||||
Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für ``transponieren'' und
|
||||
``Matrixprodukt''. Wenn eine $n⨯ n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$
|
||||
erfüllt, dann gilt für alle Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass
|
||||
\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}%
|
||||
Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für „transponieren“ und „Matrixprodukt“.
|
||||
Wenn eine $n⨯n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ erfüllt, dann gilt für alle
|
||||
Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass
|
||||
\[
|
||||
\Bigl(\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}\Bigr)^t = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}^{\:tt} =
|
||||
\vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}.
|
||||
@ -86,21 +84,21 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
|
||||
\emph{symmetrisch}\index{Matrix!symmetrisch}\index{symmetrische Matrix}.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}
|
||||
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}%
|
||||
Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine
|
||||
symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
|
||||
semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv
|
||||
semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung
|
||||
$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv
|
||||
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
|
||||
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
|
||||
semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv
|
||||
semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x})
|
||||
≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv definit}\index{Bilinearform!positiv
|
||||
definit}\index{positiv definit} falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
|
||||
$b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$]
|
||||
Die Begriffe ``positiv semidefinit'' und ``positiv definit'' sind nur für
|
||||
$k = ℝ$ und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist
|
||||
gar nicht klar, was die Aussage ``$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$'' bedeuten soll.
|
||||
Die Begriffe „positiv semidefinit“ und „positiv definit“ sind nur für $k = ℝ$
|
||||
und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei
|
||||
anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist gar nicht klar, was die Aussage
|
||||
„$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$“ bedeuten soll.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearform bilden keinen Vektorraum]
|
||||
@ -124,10 +122,10 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
|
||||
\end{pmatrix}, \quad
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
π & -e \\ \frac{-256}{257} & 2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Die entsprechenden Bilinearformen sind ``nicht positiv semidefinit'',
|
||||
``positiv semidefinit'', ``positiv definit'' und … ?
|
||||
Die entsprechenden Bilinearformen sind „nicht positiv semidefinit“, „positiv
|
||||
semidefinit“, „positiv definit“ und … ?
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Skalarprodukt auf reellem Vektorraum]
|
||||
@ -138,17 +136,17 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Standardskalarprodukt, Einschränkung]
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||||
Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ ist ein Skalarprodukt. Es sei $V$ ein
|
||||
reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein
|
||||
Skalarprodukt. Wenn $W ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist
|
||||
$\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder ein Skalarprodukt.
|
||||
reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein Skalarprodukt. Wenn $W
|
||||
⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder
|
||||
ein Skalarprodukt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}
|
||||
\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}%
|
||||
Es sei $k = ℝ$ und es sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der Vektorraum der
|
||||
reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$, wie
|
||||
in der Vorlesung ``Analysis 1'' diskutiert. Die Abbildung
|
||||
in der Vorlesung „Analysis 1“ diskutiert. Die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt.
|
||||
\langle •, • \rangle : V⨯V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt
|
||||
\]
|
||||
ist ein Skalarprodukt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
@ -156,46 +154,46 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
|
||||
|
||||
\subsection{Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen}
|
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||||
Die Überschrift sagt schon, worum es geht: wir wollen in diesem Abschnitt
|
||||
Die Überschrift sagt schon, worum es geht: Wir wollen in diesem Abschnitt
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||||
Bilinearformen beschreiben, indem wir jeder Form eine Matrix zuordnen.
|
||||
Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung ``Lineare
|
||||
Algebra I'' jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen
|
||||
wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: ``Ja!''
|
||||
Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung „Lineare
|
||||
Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen
|
||||
wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: „Ja!“
|
||||
|
||||
Lassen Sie sich nicht verwirren. Wir haben zwei völlig unterschiedliche Arten
|
||||
von Objekten (``Lineare Abbildung'', ``Bilinearformen''), die gar nichts
|
||||
miteinander zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen
|
||||
beschreiben. Das gibt es im Leben öfter.
|
||||
von Objekten („Lineare Abbildung“, „Bilinearformen“), die gar nichts miteinander
|
||||
zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen beschreiben.
|
||||
Das gibt es im Leben öfter.
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
``Velociraptoren'' sind etwas ganz anderes als ``romantische Gefühle'', auch
|
||||
wenn beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl ``Velociraptoren''
|
||||
als auch ``romantische Gefühle'' recht gut durch Bytestrings beschreiben
|
||||
(vergleiche etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und
|
||||
„Velociraptoren“ sind etwas ganz anderes als „romantische Gefühle“, auch wenn
|
||||
beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl „Velociraptoren“ als
|
||||
auch „romantische Gefühle“ recht gut durch Bytestrings beschreiben (vergleiche
|
||||
etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und
|
||||
\href{https://www.youtube.com/watch?v=7h3q9-FcoOM}{hier}).
|
||||
\end{quote}
|
||||
|
||||
Wir betrachten die folgende Situation.
|
||||
|
||||
\begin{situation}\label{sit:6-3-1}
|
||||
\begin{situation}\label{sit:6-3-1}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum,
|
||||
mit angeordneter Basis $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende
|
||||
Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}
|
||||
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$
|
||||
gegeben. Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix
|
||||
\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ gegeben.
|
||||
Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix
|
||||
\[
|
||||
\Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)_{1 ≤ i,j ≤ n}
|
||||
\]
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}
|
||||
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte
|
||||
die Bilinearform
|
||||
\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann
|
||||
betrachte die Bilinearform
|
||||
\[
|
||||
s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
|
||||
s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
|
||||
φ_B(\vec{v})^t·A·φ_B(\vec{w})
|
||||
\]
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
@ -210,9 +208,9 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt
|
||||
es genau eine Bilinearform $b$, so dass für alle $i,j$ gilt, dass
|
||||
$b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon,
|
||||
als es darum ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen.
|
||||
es genau eine Bilinearform $b$, sodass für alle $i,j$ gilt, dass $b(\vec{v}_i,
|
||||
\vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon, als es darum
|
||||
ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen.
|
||||
\end{aufgabe}
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\begin{beobachtung}
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@ -221,8 +219,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
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symmetrischen Bilinearformen. Wir erkennen insbesondere, dass die Räume der
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Bilinearformen endlich-dimensional sind. Genauer:
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\begin{align*}
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\dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯ n$-Matrizen}) = n² \\
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\dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯ n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2}
|
||||
\dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯n$-Matrizen}) = n² \\
|
||||
\dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beobachtung}
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||||
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@ -231,7 +229,7 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
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angeordneten Basis $B := \{ 1, x, x²\}$. Wieder betrachten wir die
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Bilinearform
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\[
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||||
b : V ⨯ V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt
|
||||
b : V⨯V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt.
|
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\]
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||||
Dann ist
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\[
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@ -248,8 +246,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
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\subsection{Basiswechsel}
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Wir kennen das Problem: gegeben ist ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum $V$,
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eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
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$B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
|
||||
eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $B_2$.
|
||||
Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
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\begin{erinnerung}
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Die Koordinatenwechselmatrix wird mit Sicherheit eine Rolle spielen. Wir
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@ -267,9 +265,9 @@ $B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
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\begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Bilinearformen]
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Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum
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$V$, eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
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||||
$B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei
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||||
$M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist
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||||
$V$, eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
|
||||
$B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_•
|
||||
:= \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist
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\[
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M_1 = S^t·M_2·S.
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\]
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@ -282,27 +280,27 @@ Lesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere:
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Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben. Diese beiden
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Funktionen haben nichts gemein. Deshalb soll es jetzt auch nicht verwundern,
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dass sich die Basiswechsel-Formeln in beiden Fällen unterscheiden. Ein Trost
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für alle, die immer noch verwirrt sind: die Basiswechsel-Formel für
|
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für alle, die immer noch verwirrt sind: Die Basiswechsel-Formel für
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Bilinearformen ist viel einfacher, weil man statt der inversen Matrix $S^{-1}$
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nur die Transponierte $S^t$ ausrechnen muss.
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\section{Sesquilinearformen und Hermitesche Produkte}
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\sideremark{Vorlesung 9}So etwas schönes wie ein Skalarprodukt möchte man
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||||
\sideremark{Vorlesung 9}So etwas Schönes wie ein Skalarprodukt möchte man
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natürlich auch für komplexe Vektorräume haben, leider funktionieren die
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Definition aus Abschnitt~\ref{sec:skalar} aber im Komplexen nicht. Die Lösung:
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man muss die Definition von ``Bilinearität'' abändern, um sicherzustellen, dass
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||||
man muss die Definition von „Bilinearität“ abändern, um sicherzustellen, dass
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die Zahlen $b(\vec{x}, \vec{x})$ stets reell sind (denn dann kann ich sinnvoll
|
||||
sagen, ob die Zahl positiv ist oder nicht). Vielleicht finden Sie es
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||||
überraschend, dass man an der Definition von ``bilinear'' dreht, und nicht an
|
||||
der Definition von ``positiv definit''. Der praktische Erfolg der folgenden
|
||||
überraschend, dass man an der Definition von „bilinear“ dreht, und nicht an der
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||||
Definition von „positiv definit“. Der praktische Erfolg der folgenden
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Definitionen gibt der Sache aber recht.
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\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1}
|
||||
Es sei $V$ ein Vektorraum über den komplexen Zahlen. Eine
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||||
\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} Es sei $V$ ein Vektorraum über
|
||||
den komplexen Zahlen. Eine
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||||
\emph{Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform}\footnote{Sesqui = Eineinhalb}
|
||||
ist eine Abbildung $b: V ⨯ V → ℂ$, so dass Folgendes gilt.
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||||
ist eine Abbildung $b: V⨯V → ℂ$, sodass Folgendes gilt.
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\begin{description}
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||||
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
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$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ ℂ$ gilt
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@ -324,18 +322,18 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
|
||||
$x+i·y ↦ x - i·y$.
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||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}
|
||||
\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}%
|
||||
Wenn ich eine Sesquilinearform mit einer komplexen Zahl multipliziere, erhalte
|
||||
ich eine neue Sesquilinearform. Ebenso kann ich zwei Sesquilinearformen zu
|
||||
einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen
|
||||
bildet mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie,
|
||||
dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also
|
||||
bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.
|
||||
einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen bildet
|
||||
mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie, dass jeder
|
||||
komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die
|
||||
Menge der Sesquilinearformen einen reellen Vektorraum.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}
|
||||
Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige
|
||||
$n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung
|
||||
\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}%
|
||||
Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
|
||||
Dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
b : ℂ^n ⨯ ℂ^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
|
||||
\vec{v}^{\:t}·B·\overline{\vec{w}}
|
||||
@ -360,24 +358,24 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Hermitesche Sesquilinearform]
|
||||
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform
|
||||
$b : V ⨯ V → ℂ$ heißt
|
||||
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform $b : V⨯V →
|
||||
ℂ$ heißt
|
||||
\emph{Hermitesch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite}{Charles
|
||||
Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in
|
||||
Paris) war ein französischer
|
||||
Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$,
|
||||
$\vec{y} ∈ V$ die Gleichung
|
||||
$b(\vec{x},\vec{y}) = \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt.
|
||||
Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in
|
||||
Paris) war ein französischer
|
||||
Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$,
|
||||
$\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x},\vec{y}) =
|
||||
\overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}
|
||||
Es sei $b : V ⨯ V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt
|
||||
\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}%
|
||||
Es sei $b : V⨯V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt
|
||||
für jeden Vektor $x ∈ V$ die Gleichung $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$. Es
|
||||
folgt, dass $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$ eine reelle Zahl ist, da der
|
||||
imaginäre Anteil verschwinden muss.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}
|
||||
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}%
|
||||
Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform mit einer reellen Zahl
|
||||
multipliziere, erhalte ich eine neue Hermitesche Sesquilinearform. Ebenso
|
||||
kann ich zwei Hermitesche Sesquilinearformen zu einer neuen Hermitesche
|
||||
@ -386,12 +384,12 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
|
||||
Vektorraumes der Sesquilinearformen bildet.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}
|
||||
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}%
|
||||
Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform (die nicht die Nullform ist) mit
|
||||
einer komplexen Zahl multipliziere, die nicht reell ist, dann ist die
|
||||
entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe:
|
||||
Wieso?!}. Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb
|
||||
\emph{kein} komplexer Vektorraum.
|
||||
entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: Wieso?}.
|
||||
Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb \emph{kein}
|
||||
komplexer Vektorraum.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Hermitesche Matrizen geben bilineare Abbildungen]
|
||||
@ -400,23 +398,23 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
|
||||
ist, wenn die Gleichung $B^t = \overline{B}$ gilt, wobei der Querstrich wieder
|
||||
die komponentenweise Konjugation bezeichnet. Matrizen mit dieser Eigenschaft
|
||||
nennt man \emph{Hermitesch}\index{Matrix!Hermitesch}\index{Hermitesche
|
||||
Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der
|
||||
Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der
|
||||
Diagonalen notwendigerweise reell. Hat das mit Beobachtung~\ref{beo:rwvhs} zu
|
||||
tun?
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}
|
||||
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}%
|
||||
Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche
|
||||
Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
|
||||
semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv
|
||||
semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
|
||||
semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv
|
||||
semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
|
||||
Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv
|
||||
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
|
||||
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
|
||||
$b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
|
||||
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
|
||||
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
|
||||
\vec{0}$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}
|
||||
\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}%
|
||||
Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein
|
||||
Skalarprodukt\index{Skalarprodukt!für komplexe Vektorräume} auf $V$ ist eine
|
||||
positiv definite, Hermitesche Sesquilinearform.
|
||||
@ -454,8 +452,8 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
|
||||
Sei $V = \cC⁰([0,1];ℂ)$ der komplexe Vektorraum der komplexwertigen stetigen
|
||||
Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$. Die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0
|
||||
f(t)·\overline{g(t)} dt.
|
||||
\langle •, • \rangle : V⨯V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0
|
||||
f(t)·\overline{g(t)} dt
|
||||
\]
|
||||
ist ein Skalarprodukt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
@ -488,11 +486,11 @@ Sesquilinearformen durch Matrizen beschreiben. Weil alle Argument ganz analog
|
||||
gehen, geben wir nur die Ergebnisse an.
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Sesquilinearformen zu Matrizen]
|
||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis
|
||||
$B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung
|
||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis $B
|
||||
:= \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung
|
||||
bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$, dann betrachte die
|
||||
\item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$, dann betrachte die
|
||||
$n⨯n$-Matrix
|
||||
\[
|
||||
\Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)
|
||||
@ -501,7 +499,7 @@ gehen, geben wir nur die Ergebnisse an.
|
||||
\item Gegeben eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte die
|
||||
Sesquilinearlinearform
|
||||
\[
|
||||
s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
|
||||
s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
|
||||
φ_B(\vec{v})^t·A·\overline{φ_B(\vec{w})}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
@ -514,12 +512,12 @@ $ℂ$-Vektorräumen erhalten,
|
||||
\text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Sesquilinearformen,} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"]
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
die die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren.
|
||||
welche die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren.
|
||||
Außerdem gilt folgender Satz.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Sesquilinearformen]
|
||||
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum
|
||||
$V$, eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen,
|
||||
$V$, eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen,
|
||||
$B_1$ und $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann
|
||||
ist
|
||||
\[
|
||||
|
||||
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