From 0dd5b65ed12de545a786667021754915bc35191b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Fri, 9 May 2025 12:25:00 +0200 Subject: [PATCH] Cleanup --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 5 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 16 ++ 06-Produkte.tex | 248 ++++++++++---------- 3 files changed, 144 insertions(+), 125 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 531f116..60c1d94 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -36,3 +36,8 @@ abstandserhaltende Definitheit ONB Kronecker-Delta +semidefinit +Bytestrings +Bilinearität +Semilinearität +Sesquilinearlinearform diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 56314b5..fa788fd 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -17,3 +17,19 @@ {"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Velociraptoren” sind etwas ganz anderes als “romantische Gefühle”, auch wenn beide Menschen verzehren.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, so dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDidaktisch ist das eine Katastrophe – wir haben in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QLesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere: Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie wesentliche Eigenschaft von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q war zusammengefasst in der Kommutativität des folgenden Diagramms, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q In einer Zeile: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSesqui = Eineinhalb\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Semilinearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"} diff --git a/06-Produkte.tex b/06-Produkte.tex index a2f65ac..036a2ec 100644 --- a/06-Produkte.tex +++ b/06-Produkte.tex @@ -8,26 +8,26 @@ \section{Bilinearformen und Skalarprodukte} \label{sec:skalar} -\sideremark{Vorlesung 8}Der Name ``Standardskalarprodukt'' sagt es schon: es -gibt noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, -Skalarprodukte (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen -und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. +\sideremark{Vorlesung 8}Der Name „Standardskalarprodukt“ sagt es schon: Es gibt +noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Skalarprodukte +(und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen und zu +diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1} Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Eine Abbildung - $b: V ⨯ V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder + $b: V⨯V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder \emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt. \begin{description} - \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle - $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt + \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} + ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt \[ b(\vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{z}) + λ·b(\vec{y}, \vec{z}). \] - \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle - $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt + \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, + \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt \[ b(\vec{x}, \vec{y} + λ \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{y}) + λ·b(\vec{x}, \vec{z}) . @@ -35,47 +35,45 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \end{description} \end{defn} -\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2} +\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}% Wenn ich eine Bilinearform mit einem Skalar multipliziere, erhalte ich eine neue Bilinearform. Ebenso kann ich zwei Bilinearformen zu einer neuen Bilinearform addieren. Die Menge der bilinearen Abbildungen bildet mit diesen Verknüpfungen einen $k$-Vektorraum. \end{beobachtung} -\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba} - Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige - $n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung +\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}% + Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$. + Dann ist die Abbildung \[ b : k^n ⨯ k^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦ \vec{v}^{\:t}·B·\vec{w} \] - bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich - bin nicht mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder - $^t•$ geschrieben habe. Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser - aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, - und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist. Das Produkt von einem Zeilenvektor - mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯ 1$-Matrix; die Definition von $b$ - ist so zu verstehen, dass wir $1⨯ 1$-Matrizen mit den Skalaren - identifizieren. + bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich bin nicht + mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder $^t•$ geschrieben habe. + Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und + $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist. + Das Produkt von einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯ + 1$-Matrix; die Definition von $b$ ist so zu verstehen, dass wir $1⨯ + 1$-Matrizen mit den Skalaren identifizieren. \end{bsp} \begin{defn}[Symmetrische Bilinearform] - Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform - $b : V ⨯ V → k$ heißt - \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle $\vec{x}$, - $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y}, \vec{x})$ - gilt. + Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ + heißt \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle + $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y}, + \vec{x})$ gilt. \end{defn} -\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4} +\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}% Ganz wie in Bemerkung~\ref{bem:6-1-4} bildet die Menge der symmetrischen Bilinearformen einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Bilinearformen. \end{beobachtung} -\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA} - Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für ``transponieren'' und - ``Matrixprodukt''. Wenn eine $n⨯ n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ - erfüllt, dann gilt für alle Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass +\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}% + Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für „transponieren“ und „Matrixprodukt“. + Wenn eine $n⨯n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ erfüllt, dann gilt für alle + Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass \[ \Bigl(\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}\Bigr)^t = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}^{\:tt} = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}. @@ -86,21 +84,21 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \emph{symmetrisch}\index{Matrix!symmetrisch}\index{symmetrische Matrix}. \end{bsp} -\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5} +\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}% Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv - semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv - semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung - $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv - definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls - zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: + semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv + semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) + ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv definit}\index{Bilinearform!positiv + definit}\index{positiv definit} falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. \end{defn} \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$] - Die Begriffe ``positiv semidefinit'' und ``positiv definit'' sind nur für - $k = ℝ$ und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist - gar nicht klar, was die Aussage ``$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$'' bedeuten soll. + Die Begriffe „positiv semidefinit“ und „positiv definit“ sind nur für $k = ℝ$ + und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei + anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist gar nicht klar, was die Aussage + „$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$“ bedeuten soll. \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearform bilden keinen Vektorraum] @@ -124,10 +122,10 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} π & -e \\ \frac{-256}{257} & 2 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] - Die entsprechenden Bilinearformen sind ``nicht positiv semidefinit'', - ``positiv semidefinit'', ``positiv definit'' und … ? + Die entsprechenden Bilinearformen sind „nicht positiv semidefinit“, „positiv + semidefinit“, „positiv definit“ und … ? \end{bsp} \begin{defn}[Skalarprodukt auf reellem Vektorraum] @@ -138,17 +136,17 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \begin{bsp}[Standardskalarprodukt, Einschränkung] Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ ist ein Skalarprodukt. Es sei $V$ ein - reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein - Skalarprodukt. Wenn $W ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist - $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder ein Skalarprodukt. + reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein Skalarprodukt. Wenn $W + ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder + ein Skalarprodukt. \end{bsp} -\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration} +\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}% Es sei $k = ℝ$ und es sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$, wie - in der Vorlesung ``Analysis 1'' diskutiert. Die Abbildung + in der Vorlesung „Analysis 1“ diskutiert. Die Abbildung \[ - \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt. + \langle •, • \rangle : V⨯V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt \] ist ein Skalarprodukt. \end{bsp} @@ -156,46 +154,46 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. \subsection{Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen} -Die Überschrift sagt schon, worum es geht: wir wollen in diesem Abschnitt +Die Überschrift sagt schon, worum es geht: Wir wollen in diesem Abschnitt Bilinearformen beschreiben, indem wir jeder Form eine Matrix zuordnen. -Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung ``Lineare -Algebra I'' jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen -wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: ``Ja!'' +Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung „Lineare +Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen +wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: „Ja!“ Lassen Sie sich nicht verwirren. Wir haben zwei völlig unterschiedliche Arten -von Objekten (``Lineare Abbildung'', ``Bilinearformen''), die gar nichts -miteinander zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen -beschreiben. Das gibt es im Leben öfter. +von Objekten („Lineare Abbildung“, „Bilinearformen“), die gar nichts miteinander +zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen beschreiben. +Das gibt es im Leben öfter. \begin{quote} - ``Velociraptoren'' sind etwas ganz anderes als ``romantische Gefühle'', auch - wenn beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl ``Velociraptoren'' - als auch ``romantische Gefühle'' recht gut durch Bytestrings beschreiben - (vergleiche etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und + „Velociraptoren“ sind etwas ganz anderes als „romantische Gefühle“, auch wenn + beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl „Velociraptoren“ als + auch „romantische Gefühle“ recht gut durch Bytestrings beschreiben (vergleiche + etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und \href{https://www.youtube.com/watch?v=7h3q9-FcoOM}{hier}). \end{quote} Wir betrachten die folgende Situation. -\begin{situation}\label{sit:6-3-1} +\begin{situation}\label{sit:6-3-1}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum, mit angeordneter Basis $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$. \end{situation} -\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2} - In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ - gegeben. Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix +\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}% + In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ gegeben. + Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix \[ \Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)_{1 ≤ i,j ≤ n} \] \end{konstruktion} -\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3} - In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte - die Bilinearform +\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}% + In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann + betrachte die Bilinearform \[ - s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ + s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ φ_B(\vec{v})^t·A·φ_B(\vec{w}) \] \end{konstruktion} @@ -210,9 +208,9 @@ Wir betrachten die folgende Situation. \end{tikzcd} \] Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt - es genau eine Bilinearform $b$, so dass für alle $i,j$ gilt, dass - $b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon, - als es darum ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen. + es genau eine Bilinearform $b$, sodass für alle $i,j$ gilt, dass $b(\vec{v}_i, + \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon, als es darum + ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen. \end{aufgabe} \begin{beobachtung} @@ -221,8 +219,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation. symmetrischen Bilinearformen. Wir erkennen insbesondere, dass die Räume der Bilinearformen endlich-dimensional sind. Genauer: \begin{align*} - \dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯ n$-Matrizen}) = n² \\ - \dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯ n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2} + \dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯n$-Matrizen}) = n² \\ + \dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2} \end{align*} \end{beobachtung} @@ -231,7 +229,7 @@ Wir betrachten die folgende Situation. angeordneten Basis $B := \{ 1, x, x²\}$. Wieder betrachten wir die Bilinearform \[ - b : V ⨯ V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt + b : V⨯V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt. \] Dann ist \[ @@ -248,8 +246,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation. \subsection{Basiswechsel} Wir kennen das Problem: gegeben ist ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum $V$, -eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und -$B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$? +eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $B_2$. +Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$? \begin{erinnerung} Die Koordinatenwechselmatrix wird mit Sicherheit eine Rolle spielen. Wir @@ -267,9 +265,9 @@ $B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$? \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Bilinearformen] Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum - $V$, eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und - $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei - $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist + $V$, eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und + $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_• + := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist \[ M_1 = S^t·M_2·S. \] @@ -282,27 +280,27 @@ Lesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere: Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben. Diese beiden Funktionen haben nichts gemein. Deshalb soll es jetzt auch nicht verwundern, dass sich die Basiswechsel-Formeln in beiden Fällen unterscheiden. Ein Trost -für alle, die immer noch verwirrt sind: die Basiswechsel-Formel für +für alle, die immer noch verwirrt sind: Die Basiswechsel-Formel für Bilinearformen ist viel einfacher, weil man statt der inversen Matrix $S^{-1}$ nur die Transponierte $S^t$ ausrechnen muss. \section{Sesquilinearformen und Hermitesche Produkte} -\sideremark{Vorlesung 9}So etwas schönes wie ein Skalarprodukt möchte man +\sideremark{Vorlesung 9}So etwas Schönes wie ein Skalarprodukt möchte man natürlich auch für komplexe Vektorräume haben, leider funktionieren die Definition aus Abschnitt~\ref{sec:skalar} aber im Komplexen nicht. Die Lösung: -man muss die Definition von ``Bilinearität'' abändern, um sicherzustellen, dass +man muss die Definition von „Bilinearität“ abändern, um sicherzustellen, dass die Zahlen $b(\vec{x}, \vec{x})$ stets reell sind (denn dann kann ich sinnvoll sagen, ob die Zahl positiv ist oder nicht). Vielleicht finden Sie es -überraschend, dass man an der Definition von ``bilinear'' dreht, und nicht an -der Definition von ``positiv definit''. Der praktische Erfolg der folgenden +überraschend, dass man an der Definition von „bilinear“ dreht, und nicht an der +Definition von „positiv definit“. Der praktische Erfolg der folgenden Definitionen gibt der Sache aber recht. -\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} - Es sei $V$ ein Vektorraum über den komplexen Zahlen. Eine +\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} Es sei $V$ ein Vektorraum über + den komplexen Zahlen. Eine \emph{Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform}\footnote{Sesqui = Eineinhalb} - ist eine Abbildung $b: V ⨯ V → ℂ$, so dass Folgendes gilt. + ist eine Abbildung $b: V⨯V → ℂ$, sodass Folgendes gilt. \begin{description} \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ ℂ$ gilt @@ -324,18 +322,18 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. $x+i·y ↦ x - i·y$. \end{defn} -\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2} +\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}% Wenn ich eine Sesquilinearform mit einer komplexen Zahl multipliziere, erhalte ich eine neue Sesquilinearform. Ebenso kann ich zwei Sesquilinearformen zu - einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen - bildet mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie, - dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also - bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum. + einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen bildet + mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie, dass jeder + komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die + Menge der Sesquilinearformen einen reellen Vektorraum. \end{beobachtung} -\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC} - Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige - $n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung +\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}% + Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$. + Dann ist die Abbildung \[ b : ℂ^n ⨯ ℂ^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦ \vec{v}^{\:t}·B·\overline{\vec{w}} @@ -360,24 +358,24 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. \end{bsp} \begin{defn}[Hermitesche Sesquilinearform] - Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform - $b : V ⨯ V → ℂ$ heißt + Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform $b : V⨯V → + ℂ$ heißt \emph{Hermitesch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite}{Charles - Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in - Paris) war ein französischer - Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$, - $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung - $b(\vec{x},\vec{y}) = \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt. + Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in + Paris) war ein französischer + Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$, + $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x},\vec{y}) = + \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt. \end{defn} -\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs} - Es sei $b : V ⨯ V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt +\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}% + Es sei $b : V⨯V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt für jeden Vektor $x ∈ V$ die Gleichung $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$. Es folgt, dass $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$ eine reelle Zahl ist, da der imaginäre Anteil verschwinden muss. \end{beobachtung} -\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4} +\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}% Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform mit einer reellen Zahl multipliziere, erhalte ich eine neue Hermitesche Sesquilinearform. Ebenso kann ich zwei Hermitesche Sesquilinearformen zu einer neuen Hermitesche @@ -386,12 +384,12 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. Vektorraumes der Sesquilinearformen bildet. \end{beobachtung} -\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5} +\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}% Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform (die nicht die Nullform ist) mit einer komplexen Zahl multipliziere, die nicht reell ist, dann ist die - entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: - Wieso?!}. Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb - \emph{kein} komplexer Vektorraum. + entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: Wieso?}. + Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb \emph{kein} + komplexer Vektorraum. \end{beobachtung} \begin{bsp}[Hermitesche Matrizen geben bilineare Abbildungen] @@ -400,23 +398,23 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. ist, wenn die Gleichung $B^t = \overline{B}$ gilt, wobei der Querstrich wieder die komponentenweise Konjugation bezeichnet. Matrizen mit dieser Eigenschaft nennt man \emph{Hermitesch}\index{Matrix!Hermitesch}\index{Hermitesche - Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der + Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der Diagonalen notwendigerweise reell. Hat das mit Beobachtung~\ref{beo:rwvhs} zu tun? \end{bsp} -\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5} +\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}% Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv - semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv - semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die + semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv + semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv - definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls - zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: - $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. + definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls + zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = + \vec{0}$. \end{defn} -\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8} +\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}% Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt\index{Skalarprodukt!für komplexe Vektorräume} auf $V$ ist eine positiv definite, Hermitesche Sesquilinearform. @@ -454,8 +452,8 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. Sei $V = \cC⁰([0,1];ℂ)$ der komplexe Vektorraum der komplexwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$. Die Abbildung \[ - \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 - f(t)·\overline{g(t)} dt. + \langle •, • \rangle : V⨯V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 + f(t)·\overline{g(t)} dt \] ist ein Skalarprodukt. \end{bsp} @@ -488,11 +486,11 @@ Sesquilinearformen durch Matrizen beschreiben. Weil alle Argument ganz analog gehen, geben wir nur die Ergebnisse an. \begin{konstruktion}[Sesquilinearformen zu Matrizen] - Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis - $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung + Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis $B + := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$. \begin{itemize} - \item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$, dann betrachte die + \item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$, dann betrachte die $n⨯n$-Matrix \[ \Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr) @@ -501,7 +499,7 @@ gehen, geben wir nur die Ergebnisse an. \item Gegeben eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte die Sesquilinearlinearform \[ - s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ + s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ φ_B(\vec{v})^t·A·\overline{φ_B(\vec{w})} \] \end{itemize} @@ -514,12 +512,12 @@ $ℂ$-Vektorräumen erhalten, \text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Sesquilinearformen,} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"] \end{tikzcd} \] -die die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren. +welche die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren. Außerdem gilt folgender Satz. \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Sesquilinearformen] Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum - $V$, eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, + $V$, eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist \[