Working

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -84,3 +84,7 @@ Stryker
 Gallup-Test
 OCEAN-Modell
 PCA
+massebehafteter
+Sylvester
+Hurwitz-Kriteriums
+Hurwitz-Kriterium

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -56,3 +56,4 @@
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QStandardskalarprodukt Folgern Sie mithilfe von Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q messerscharf, dass die Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann selbstadjungiert ist, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine symmetrische oder Hermitesche Matrix ist.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"}

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt

@@ -0,0 +1,2 @@
+{"rule":"ADMIT_ENJOY_VB","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}
+{"rule":"MORFOLOGIK_RULE_EN_US","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}

11-Hauptachsen.tex

@@ -4,21 +4,21 @@
 \chapter{Hauptachsentransformation}
 
 \sideremark{Vorlesung 16}Dieser Abschnitt passt eigentlich gar nicht in das
-Kapitel ``Euklidische und Hermitesche Vektorräume'', denn hier geht es nicht um
+Kapitel „Euklidische und Hermitesche Vektorräume“, denn hier geht es nicht um
 reelle oder komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt, sondern um reelle oder
 komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt mit einer beliebigen symmetrischen oder
 Hermiteschen Form, die nicht notwendigerweise ein Skalarprodukt ist.
 Funktioniert die Methode von Gram-Schmidt dann immer noch?  Die Antwort ist:
-``fast''.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den
-folgenden Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich
-immer in besonders einfache Gestalt bringen!
+„fast“.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den folgenden
+Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich immer in
+besonders einfache Gestalt bringen!
 
-\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}
+\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
   es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter sei
   $\mathcal{A}$ eine angeordnete Basis von $V$ und $A = \Mat_{\mathcal{A}}(s)$
-  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, so
-  dass Folgendes gilt.
+  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, sodass
+  Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Die Matrix $B := \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ ist diagonal,
     \[
@@ -27,7 +27,7 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
         λ_1 && 0\\
         &\ddots\\
         0 && λ_n
-      \end{pmatrix}
+      \end{pmatrix}.
     \]
     
   \item Die Koordinatenwechselmatrix
@@ -42,20 +42,20 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Hauptachsen und Hauptachsentransformation]
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} schreibe
-  $\mathcal B = \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den
-  Vektoren $\vec{v}_{•}$ aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume
-  von $V$ die \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von
-  der Basis $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
+  In der Situation von Satz \ref{satz:11-0-1} schreibe $\mathcal B = \{
+  \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den Vektoren $\vec{v}_•$
+  aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume von $V$ die
+  \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von der Basis
+  $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
   \emph{Hauptachsentransformation}\index{Hauptachsentransformation}.
 \end{notation}
 
 Der Satz über die Hauptachsentransformation und sein (konstruktiver!) Beweis
-haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass das Satz ein
+haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass der Satz ein
 sehr bequemes Kriterium dafür liefert, dass eine gegebene Form positiv definit
 ist.
 
-\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}
+\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}%
   In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Form $s$ ist positiv definit.
@@ -63,40 +63,44 @@ ist.
   \end{enumerate}
 \end{kor}
 
-Die Aussage ``Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' ist sinnvoll, weil
+Die Aussage „Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ ist sinnvoll, weil
 wir nach Satz~\ref{satz:11-0-1} ja schon wissen, dass alle Eigenwerte reell
 sind.
 
 \begin{proof}[Beweis von Korollar~\ref{cor:11-0-3}]
-  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass
-  $B = \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie
-  $A$ hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$
-  bzw.  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$
-  größer als Null sind.
+  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass $B =
+  \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie $A$
+  hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$ bzw.
+  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$ größer
+  als Null sind.
 \end{proof}
 
-Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft ``alle
-Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' nicht von der Wahl der Basis
-$\mathcal A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig
-  verwirrt, weil Sie meinen ``Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso
-  nie von der Wahl der Basis ab.'' Überlegen Sie sich aber, was Sie mit ``einer
-  Matrix'' meinen.  Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen
-  Endomorphismus eines Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix
-  des Endomorphismus betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht
-  von der Wahl der Basis ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir
-  betrachten nicht die Matrix eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer
-  Form.}.  Der folgende Satz verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$
-nicht unbedingt positiv definit ist, hängt die Wahl der positiven/negativen
-Eigenwerte nicht von der Wahl der Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt
-``Trägheitssatz'', weil er in der klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung
-massebehafteter (=träger) starrer Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich
-komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
+Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft „alle
+Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ nicht von der Wahl der Basis $\mathcal
+A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig verwirrt,
+weil Sie meinen „Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso nie von der
+Wahl der Basis ab.“ Überlegen Sie sich aber, was Sie mit „einer Matrix“ meinen.
+Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen Endomorphismus eines
+Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix des Endomorphismus
+betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht von der Wahl der Basis
+ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir betrachten nicht die Matrix
+eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer Form.}.  Der folgende Satz
+verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$ nicht unbedingt positiv definit
+ist, hängt die Wahl der positiven/negativen Eigenwerte nicht von der Wahl der
+Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt „Trägheitssatz“, weil er in der
+klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung massebehafteter (=träger) starrer
+Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich komme im folgenden Kapitel noch
+einmal auf diesen Punkt zurück.
 
-\begin{satz}[Trägheitssatz von Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James Joseph Sylvester} (* 3.  September 1814 in London; † 15.  März 1897 in Londen) war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum Studium in Cambridge zugelassen wurde.  }]\label{satz:11-0-5}
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien
-  $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden
-  Matrizen $A_{•} = \Mat_{\mathcal{A}_{•}}(s)$.  Dann gilt folgendes.
+\begin{satz}[Trägheitssatz von
+  Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James
+  Joseph Sylvester} (* 3.~September 1814 in London; † 15.~März 1897 in London)
+  war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum
+  Studium in Cambridge zugelassen wurde.}]\label{satz:11-0-5} Es sei $V$ ein
+  endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und es sei $s: V ⨯
+  V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien $\mathcal{A}_1,
+  \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden Matrizen $A_• =
+  \Mat_{\mathcal{A}_•}(s)$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Die Anzahlen der positiven Eigenwerte von $A_1$ und $A_2$ sind gleich.
 
@@ -113,16 +117,16 @@ komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
 
 Der Trägheitssatz von Sylvester stellt sicher, dass folgende Definition sinnvoll ist.
 
-\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}
+\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Dann nennt man
-  wird die Anzahl der positiver Eigenwerte als \emph{Index von $s$}\index{Index
-    einer Form} bezeichnet.  Die Differenz
+  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Die Anzahl der
+  positiven Eigenwerte wird als \emph{Index von $s$}\index{Index einer Form}
+  bezeichnet.  Die Differenz
   \[
     \text{Anzahl positiver Eigenwerte - Anzahl negativer Eigenwerte}
   \]
-  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer
-    Form} genannt.  Der Untervektorraum
+  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer Form} genannt.  Der
+  Untervektorraum
   \[
     V⁰_s := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: s(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \text{ für alle }
     \vec{w} ∈ V \} ⊆ V
@@ -164,14 +168,14 @@ Matrix positive definit ist.
     \end{pmatrix}
     ∈ \Mat(m⨯ m, k).
   \]
-  Dann gilt: die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
+  Dann gilt: Die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
   gilt, dass $\det A_m > 0$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Der Beweis involviert ein wenig unangenehme Rechnerei.  Sie finden einen
   Beweis, den ich selbst auch nicht besser bringen könnte, auf Seite 9 des
   \href{http://www.blu7.com/Skripte/Lineare_Algebra_II_SS02_Skript.pdf}{Skriptes
-    von Kollegen Klaus Hulek aus Hannover}.
+  von Kollegen Klaus Hulek aus Hannover}.
 \end{proof}
 
 Sie finden im Internet viele gute Erklärvideos zur Anwendung des
@@ -182,11 +186,11 @@ Hurwitz-Kriteriums.  Zum Beispiel
   In Klausuren und mündlichen Prüfungen sehe ich immer wieder Studenten, die das
   Hurwitz-Kriterium falsch anwenden, wenn gezeigt werden soll, dass eine Matrix
   \emph{negativ} definit ist.  Setzten Sie sich \emph{sofort} hin und zeigen Sie
-  mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage ``die Matrix $A$ ist genau
-  dann negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist''
-  einfach nicht stimmt.  Bonusfrage: natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium
-  verwenden, um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich
-  das richtig machen?
+  mithilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage „die Matrix $A$ ist genau dann
+  negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist“ einfach
+  nicht stimmt.  Bonusfrage: Natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium verwenden,
+  um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich das richtig
+  machen?
 \end{bemerkung}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2