Update 14-direkteSumme.tex

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Stefan Kebekus 2025-06-30 12:40:27 +02:00
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@ -52,17 +52,12 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern.
\emph{direkte Summe}\index{direkte Summe} der Vektorräume $(V_i)_{i ∈ I}$.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
Wir können die Elemente von $\prod V_i$ auch als Familie
$(φ_i: I → V_i)_{i ∈ I}$ von Abbildungen auffassen.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
Die direkte Summe ist ein Untervektorraum des direkten Produkts. Falls die
Menge $I$ endlich ist, sind direkte Summe und direktes Produkt identisch.
\end{bemerkung}
\begin{notation}
\begin{notation}\label{not:14-1-3}
Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$-Vektorräume
$V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, sodass für alle
$i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
@ -73,6 +68,11 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern.
= V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
\end{notation}
\begin{bemerkung}
In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-3} können wir die Elemente von
$V^i$ auch als Abbildungen $I → V$ auffassen.
\end{bemerkung}
\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge. Im Spezialfall, wo $V = k$
ist, nennt man $k^I$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten