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@ -131,3 +131,50 @@ Lokalisierungskonstruktion
Inklusionsabbildung
Primideals
Nakayama
Lokalisierungsabbildung
uniformisierende
uniformisierenden
adische
Tangentialgerade
uniformisierender
Cohen-Seidenberg
Krull-Dimension
Inklusionszeichen
Krull
Krullsche
Inklusionsmorphismus
Isomorphiesatz
Faktorielle
faktorieller
faktoriell
Zariski-dichte
Zariski-Abschluss
Ganzheitsgleichungen
Krullschen
Funktiongraf
Konik
Eindeutigkeitsbeweis
Bahnenraum
Antipodenpunkten
Antipodenpunkte
Normparabel
kompaktifiziert
Asymptotenrichtungen
Normhyperbel
Perge
Apollonius
Pergaeus
Koniken
Apollonios
Projektivitäten
Projektivität
Dehomogenisierung
dehomogenisierten
.te
Bézout
Nemours
Avon
Barth-Sextik
Jaffe
Ruberman
Labs

1
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@ -1,2 +1,3 @@
Kebekus
syzygy
sextic

20
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@ -22,3 +22,23 @@
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QGegeben eine rationale Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Nullstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Krullsche Dimension von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing up.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert dann sehr schnell, dass die Dimensionen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q übereinstimmen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBeweis des Satzes „Going up“.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing down.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QVorlesung 15Die Umkehrung von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Going up“) ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAnwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QObwohl der Beweis nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZum einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKurven in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonius von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QDann gilt für jeden Vektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie homogene Radikalideale algebraische Mengen homogene Primideale irreduzible Mengen homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums\\E$"}

2
06.tex
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@ -201,7 +201,7 @@ einige Vorüberlegungen.
\[
M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
\]
von algebraischen Mengen $M_i \in M$ stationär wird. Mit anderen Worten:
von algebraischen Mengen $M_i ∈ M$ stationär wird. Mit anderen Worten:
\[
∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
\]

96
11.tex
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@ -8,28 +8,27 @@ Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
folgende Situation.
\begin{situation}\label{sit:11-1}
\begin{situation}\label{sit:11-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
\end{situation}
\begin{notation}
In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal
$m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die
Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach
Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen
wir mit $m_p$.
Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal $m ⊊
R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die Lokalisierung
$R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach Korollar~\ref{kor:10-6-9}
eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen wir mit $m_p$.
\end{notation}
\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
„Multiplizität“ und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}
\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}%
In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle
natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
@ -42,25 +41,25 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
\[
m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯
m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯.
\]
In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und
$m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$
natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient
$\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen
und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir
natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante
Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes
Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise
fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.
Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es
sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und $m^{n+1}_p
⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ natürlich
Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$
ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen und ist deshalb selbst ein
$𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir natürlich als Elemente des
affinen Koordinatenringes sehen („konstante Polynome“) und daher auch als
Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Polynom $λ$, betrachte einfach
den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise fassen wir den Körper $k$ in
trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. Dann ist aber jeder
$𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es sinnvoll, die
Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
\end{erkl}
\begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine
Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen
angedeutet hatten: Die Multiplizität von Punkten auf einer Kurve ist eine
Eigenschaft, die nur vom affinen Koordinatenring (und dessen maximalen
Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
eingebettet ist!
@ -69,7 +68,7 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
wird dabei helfen.
\begin{lem}\label{lem:11-1-4}
\begin{lem}\label{lem:11-1-4}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
maximale Ideal des $0$-Punktes,
@ -94,12 +93,12 @@ wird dabei helfen.
Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal
$m ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal $m
⊂ R$ ist ein Hauptideal.
\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes
$z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$
besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes $z ∈ R
∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ besitzt, wobei
$u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
\end{enumerate}
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
@ -110,14 +109,14 @@ wird dabei helfen.
\video{13-3}
\end{proof}
Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen
selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht.
Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
Der Begriff des „uniformisierenden Parameters“ ist vielleicht einigermaßen
selbsterklärend, der Begriff des „Bewertungsringes“ aber wahrscheinlich nicht.
Es gibt in der Algebra den Begriff der „diskreten Bewertung eines Körpers“.
\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle
$x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt.
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle $x,y ∈ k ∖
\{ 0 \}$ folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
@ -125,7 +124,7 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\end{itemize}
\end{defn}
\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}
\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}%
Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$,
@ -142,19 +141,19 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$]
Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die
$p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der
Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den
Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element
$q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach,
dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Mit
anderen Worten: die $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl
$p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich
auf den Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element $q =
\frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, dass
dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}
\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}%
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
\[
ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) -
ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht) -
(Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}.
\]
Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine
@ -173,9 +172,8 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
\end{aufgabe}
\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}
In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}%
In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
@ -189,10 +187,10 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\begin{bemerkung}
Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad
1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine}
Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring
$𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter.
etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ eine Gerade\footnote{= Polynom von Grad 1}, die
den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} Tangentialgerade an
$V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring $𝒪_p(f)$ ein
uniformisierender Parameter.
\end{bemerkung}
Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.

200
12.tex
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@ -29,21 +29,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war
ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.
Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in
Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem
Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von
Primidealen,
Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war ein
deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. Krull
studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen,
\[
P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
\]
\end{defn}
\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei
eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes
$k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
@ -54,11 +53,11 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
\begin{bsp}[Der Punkt]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal
$(0)$ und somit die Dimension 0.
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
und somit die Dimension 0.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}
\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
@ -73,20 +72,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
\[
(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n].
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
\]
ist eine Kette von Primidealen, also ist
$\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$.
ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
n$.
\end{bsp}
Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas
ist nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir so weit sind, ist noch etwas
Vorarbeit zu leisten.
@ -97,9 +96,9 @@ geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische
Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
geometrisches Beispiel.
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve
$C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
= \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
@ -118,15 +117,14 @@ geometrisches Beispiel.
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist
$\dim A = \dim B$.
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist $\dim A
= \dim B$.
\end{satz}
Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen
$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und
die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
zueinander verhalten.
\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
@ -135,47 +133,45 @@ die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
\end{notation}
Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
``übereinander liegen'' kommt.
„übereinander liegen“ kommt.
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal
$p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.
Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$.
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. Dies ist das maximale Ideal
des Punktes $π(v)$.
\end{bsp}
Der erste Satz von
Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
(* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer
Mathematiker. }-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand)
war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung
$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von
Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen
$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den
$p_{•}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann
sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
über den $p_•$ liegen. Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''}
\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.
Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ
unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam. Um den
Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\begin{satz}\label{satz:12-2-5}
\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei
$q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische
Einbettung
\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
\[
\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
\]
Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist
$S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
@ -183,16 +179,16 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\end{proof}
\begin{notation}[Schlechte Notation]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein
Primideal und es sei $S := A ∖ p$. In der Literatur wird die
Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$
notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
sei $S := A∖p$. In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
\end{notation}
\begin{beobachtung}
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter
seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$
liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen.
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt. Dann gelten
folgende Äquivalenzen.
\begin{align*}
\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
@ -200,22 +196,21 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\end{align*}
\end{beobachtung}
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
$p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$
über $A$.
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
\end{satz}
\begin{proof}
\video{14-2}
\end{proof}
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
$p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale
über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$.
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1
= q_2$.
\end{satz}
\begin{proof}
Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes,
Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$. Dann gilt Folgendes,
\begin{itemize}
\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
@ -229,7 +224,7 @@ Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb s
die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
\end{proof}
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
@ -241,7 +236,7 @@ die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
ganzen Ringerweiterungen beweisen.
@ -249,39 +244,38 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
\video{14-4}
\end{proof}
\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}
\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen,
$f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als
Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass
diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig
beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein
maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8}
ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales
Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch
bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird.
Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist? Wir
können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt
es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das
geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
\end{beobachtung}
\begin{fakt}
Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung
$f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$
surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie
sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder
kompakter Mengen sind wieder kompakt.
sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: Die Abbildung $f^*
: k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie sich, was
das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
sind wieder kompakt.
\end{fakt}
\section{Going down}
\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going
up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das
Zauberwort heißt ``Normalität''.
\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das Zauberwort
heißt „Normalität“.
\begin{defn}\label{def:12-3-1}
\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
@ -291,28 +285,28 @@ Zauberwort heißt ``Normalität''.
\]
\end{defn}
\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}
\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
$q_1 ∩ A = p_1$. \qed
\end{satz}
Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung
Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
\subsection{Normale Ringe}
Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum
einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in
Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“. Zum
einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
diskutieren kann.
\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}
\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
@ -326,7 +320,7 @@ diskutieren kann.
Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
@ -343,16 +337,16 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
\frac{a_0}{s_0} = 0,
\end{equation}
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze
$t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit
dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze $t := s_0 ⋯
s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
$s·t ∈ S$ und erhalte
\[
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
\]
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage
$\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$.
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
S^{-1}C$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
@ -370,8 +364,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
\]
Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis
für maximale Ideal folgt natürlich analog.
folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis für
maximale Ideal folgt natürlich analog.
\end{proof}
\begin{satz}
@ -382,8 +376,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die
Gleichung
eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
⋯ + a_0 = 0

129
13.tex
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@ -9,10 +9,10 @@ nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente
$y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
∈ A$, sodass Folgendes gilt.
\begin{enumerate}
\item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
unabhängig über $k$.
@ -54,9 +54,9 @@ viel einfacheren Polynomring.
\section{Geometrische Interpretation}
\label{sec:13-1}
Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die
Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass
$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall,
dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$
eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert
Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
@ -69,7 +69,7 @@ von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die
Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
\begin{itemize}
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$
algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
@ -78,11 +78,11 @@ Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
\]
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung
$k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11}
gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem
wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist ---
aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂
A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die
Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem wissen wir nach
Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider
kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
@ -98,13 +98,13 @@ Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.
k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
\]
surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische
Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als
algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt
$π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine
lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der
Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
\item Die Aussage „die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$“ beschreibt $π$
als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare
Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung
$p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
\end{itemize}
\begin{figure}
@ -163,16 +163,15 @@ vorbereitenden Lemma.
\begin{lem}
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form
$y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden
kann,
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i -
x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann,
\[
f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
y_{n-1}).
\]
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form
$y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i -
a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
\end{lem}
\begin{proof}
Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im
@ -207,9 +206,8 @@ beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.
\section{Geometrische Konsequenzen}
Als erste echte Anwendung des Satzes über die
Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die
Dimension des affinen Raums ist.
Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir
die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
Es sei $k$ ein Körper. Dann ist
@ -221,7 +219,7 @@ Dimension des affinen Raums ist.
\video{17-2}
\end{proof}
\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}
\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
@ -252,17 +250,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach
Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass
$\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die
Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich
der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …,
y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung
$k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad
nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
\end{proof}
\begin{kor}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
$X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare
Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$
endlich und surjektiv ist.
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k →
𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist.
\end{kor}
\begin{proof}
Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
@ -275,17 +272,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
\end{kor}
\begin{proof}
Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen
Lineare Projektionen $𝔸^n_ℂ → 𝔸^d_ℂ$ sind bezüglich der Euklidischen
Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber
$𝔸⁰_{ℂ}$.
Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_ℂ$.
\end{proof}
Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}%
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die
\emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
von Ketten von Primidealen
@ -295,38 +291,40 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei
$q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller
Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}%
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …,
y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten
von Primidealen von der folgenden Kette
\[
(0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
\]
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
\end{bsp}
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal
$p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂
A$ ein Primideal, dann ist
\[
\dim A = \height(p) + \dim(A/p).
\]
\end{kor}
\begin{proof}
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und
erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
\begin{itemize}
\item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
$k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
normal.
\item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach
Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen
Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen
Raumes'')
Satz~\ref{satz:12-2-2} („Dimension ist invariant unter ganzen
Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen
Raumes“)
\[
\dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
\]
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist
\[
@ -335,7 +333,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
\end{itemize}
Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
Dimension. Zusammen erhalten wir
\[
@ -345,11 +343,11 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\end{proof}
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form
$A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die
Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff
``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der
Praxis einigermaßen sinnlos.
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage
des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
sinnlos.
\end{warnung}
@ -357,16 +355,16 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich.
Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier
nur ohne Beweis.
(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
Beweis.
\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen,
$(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle
Indizes $i$. \qed
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) =
p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes
$i$. \qed
\end{satz}
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
@ -380,10 +378,11 @@ Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze.
\begin{itemize}
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind
die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer
sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
Machbaren.
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper

74
14.tex
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@ -51,9 +51,9 @@ gelernt.
\end{aufgabe}
Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im
unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu
kannte schon mein Physik-Lehrer: „Zwei parallele Geraden schneiden sich im
unendlichen“. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
$𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $ℙ^n_k$ zu
ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
@ -79,10 +79,10 @@ Multiplizität gezählt werden müssen.
\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der
richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll „Schnittpunkte mit der
richtigen Multiplizität zu zählen“. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses
„Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$“ genau sein soll. Dieses
Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
ebenfalls sehr gut erklärt finden.
@ -93,24 +93,24 @@ Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine
sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
sollte.
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}%
Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix
$A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für
alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen
Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix $A ∈
\operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für alle
$v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
„affine Transformation“ auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen Raum
$𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
\end{erinnerung}
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}%
Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die
Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
\[
\Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven
in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \}
\]
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte
$p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte $p
∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
\begin{enumerate}
\item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und
$G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
@ -121,19 +121,18 @@ sollte.
$G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
\item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt
die Gleichung
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$
gilt die Gleichung
\[
\Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
\]
\item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
Kurven. Genauer gesagt: Es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets
$\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt,
wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade
haben.
\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) ·
\mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn die Kurven $F$ und $G$
im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade haben.
\item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer:
falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
@ -157,20 +156,20 @@ sollte.
\begin{aufgabe}
Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo
$F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und
wo $p = (x_0, 0)$ ist.
Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo $F(x,y) =
y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und wo $p =
(x_0, 0)$ ist.
\end{aufgabe}
\subsection{Träume werden wahr}
Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von
``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
„Schnittzahl“, die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
Tatsachen, die wir später benötigen.
\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}
\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das
maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
@ -186,13 +185,13 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte
noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise
ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich
$\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und
$y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich $\sqrt{I} =
(x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und $y^n ∈ I$
sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
\end{erinnerung}
\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}
\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
@ -203,17 +202,16 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
und $\dim_k R < ∞$.
\end{eerinnerung}
\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}
\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine
Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7}
gelten.
Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} gelten.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
\video{18-1}
\end{proof}
\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}
\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}%
Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
@ -253,9 +251,9 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
\begin{itemize}
\item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass
die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt,
die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass die
Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, die
den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
\end{itemize}
Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.

117
15.tex
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@ -13,13 +13,13 @@ Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe
Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren
$\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist
offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist
üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist üblich.
Die Äquivalenzklasse eines Vektors
\[
\vec{v} = \begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
@ -36,8 +36,8 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
\]
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich
dazu ist der Ausdruck
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich dazu
ist der Ausdruck
\[
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
\]
@ -47,19 +47,19 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
\subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht
etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere
(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
Im Vergleich zur äquivalenten Definition „der projektive Raum ist die Menge der
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$“ ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht etwas
technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere (und
ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
\[
k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
\bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
\]
betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre
$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die
Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$
kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre $S^{n} ⊂
ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die Sphäre in
genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ kann also
auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
\[
ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
\]
@ -68,15 +68,15 @@ genau die Antipodenpunkte vertauscht.
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene
$ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden
Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene $ℙ²_ℝ =
\factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden Beispielen so
große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
\href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
Demleitner}?
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zwei\-dimension\-ale Mannigfaltigkeit.
Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel
einfacher als $ℙ²_ℝ$?
\end{aufgabe}
@ -89,13 +89,13 @@ Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine
Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser
Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären,
wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind.
„unendlich fernen Punkte“ eigentlich sind.
\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}
\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}%
Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer
Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies,
indem ich mithilfe der Abbildung
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, indem
ich mithilfe der Abbildung
\[
ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
\]
@ -103,23 +103,21 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich
$ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die
Gerade $[x:y:1]$.
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich $ι(x,y) =
(x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die Gerade
$[x:y:1]$.
Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
\[
φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
\]
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen.
Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass
die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die
Menge
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die
Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die
Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
\[
ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}.
ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}
\]
ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die
Abbildung
ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der „unendlich fernen Punkte“. Die Abbildung
\[
ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
\]
@ -137,10 +135,10 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher
Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die
``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben.
„unendlich fernen“ Punkte etwas mit „Asymptotenrichtungen“ zu tun haben.
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}%
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
\[
@ -152,7 +150,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}%
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
\[
@ -165,20 +163,20 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von
In der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von
Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge;
† ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer
Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie
trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus
in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung
vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; †
ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer Mathematiker,
bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie trug er zur
Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus in sein
Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung vom
Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
\end{aufgabe}
\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}
\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}%
Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
\[
@ -220,32 +218,33 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
\subsection{Projektivitäten}
Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des
Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion der
Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja nocheinmal erinnert hatte.
Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte.
Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird.
Transformation, die in der Literatur oft auch als „Projektivität“ bezeichnet
wird.
\begin{defn}[Projektivitäten]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung
$φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive
Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine
invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle
$\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung $φ : ℙ^n →
ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive Transformation}
oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine invertierbare
Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle $\vec v ∈ k^{n+1}$ die
Gleichung
\[
φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
\]
gilt.
\end{defn}
Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung
``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.
Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$
abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen
$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass
die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die
affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne
verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also.
Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten
werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche
Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man
auf diese Weise erhält, exakt die affinen Transformationen der affinen Ebene
$𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne verallgemeinern die Projektiven die affinen
Transformationen also.
%%% Local Variables:

123
16.tex
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@ -10,8 +10,8 @@ Ausdruck der Form
\[
\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
\]
gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
$1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1
= 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
\begin{beobachtung}
Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
@ -19,10 +19,10 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
\[
f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
\]
Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und
$\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass
$[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$
genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge
Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} =
(y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈
ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.
Die Menge
\[
V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
\]
@ -39,11 +39,11 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen.
Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der
Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind
prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen
des projektiven Raums'' definieren werden.
„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls
das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
Raums“ definieren werden.
@ -54,7 +54,7 @@ betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
Polynom homogen sein soll.
\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}
\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
@ -67,8 +67,8 @@ Polynom homogen sein soll.
Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge
$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m) ⊂
k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
\begin{defn}[Kegel]
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
@ -86,19 +86,20 @@ $V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
\label{fig:cone}
\end{figure}
\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}
\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}%
Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
Formen.
\begin{itemize}
\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
\item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
\item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
\end{itemize}
\end{bsp}
Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel
$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂
k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
\[
\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
\]
@ -112,7 +113,7 @@ ein Kegel.
\section{Kegel und homogene Ideale}
\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie''
\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“
war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
@ -120,7 +121,7 @@ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k
Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}
\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -137,13 +138,13 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\end{satzdef}
\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen
$α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈
k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
\[
g = \sum_i α_i·f_i
\]
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen,
$α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d
α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
\[
g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
\]
@ -158,19 +159,19 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\[
g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
\]
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist
$I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I =
(g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
\end{proof}
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist
$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.
Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
$I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist
das Ideal $I$ homogen.
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂
k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist das
Ideal $I$ homogen.
\end{satz}
\begin{proof}
Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
@ -204,7 +205,7 @@ Abbildungen,
die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt. Ich nenne
einige solche Sätze ohne Beweis.
\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
@ -213,27 +214,27 @@ einige solche Sätze ohne Beweis.
\end{fakt}
\begin{fakt}[Homogene Primideale]
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder
$b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …,
x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für
homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
\end{fakt}
\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal.
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …,
x_n]$ ein homogenes Ideal.
\begin{enumerate}
\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder
$\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$.
\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} =
(x_0, …, x_n)$.
\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist
$\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} =
I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
\end{enumerate}
\end{fakt}
\begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal
$(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven
Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0,
…, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes
definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
\end{notation}
\begin{fakt}
@ -280,7 +281,7 @@ Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
\]
betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen.
\begin{itemize}
\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
@ -291,9 +292,9 @@ den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
Topologie auf $U_i$.
\end{itemize}
Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''.
Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“.
\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}
\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
\[
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
@ -307,7 +308,7 @@ Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
werden.
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
@ -328,10 +329,10 @@ werden.
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
\end{konstruktion}
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
$f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein
Polynom in weniger Variablen konstruieren,
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …,
x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein Polynom in
weniger Variablen konstruieren,
\[
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
\]
@ -344,7 +345,7 @@ werden.
\end{konstruktion}
\begin{aufgabe}
In wieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse
Inwieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse
Abbildungen?
\end{aufgabe}
@ -361,21 +362,21 @@ werden.
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome
$(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass
$φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie
abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$. \qedhere
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …,
(f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.
Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂
ℙ^n_k$. \qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}%
Betrachte die Menge
\[
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
\]
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von
$X$ mit dieser affinen Ebene,
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge
von $X$ mit dieser affinen Ebene,
\[
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
\]

209
17.tex
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@ -6,31 +6,31 @@
\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.
Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau
ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu
muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
Seite~\ref{def:eak} gesehen.
\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}
\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei
Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass
$F = λ·G$ ist.
Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $F
= λ·G$ ist.
\end{defn}
\begin{bsp}
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.
Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie
vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn
Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
\end{bsp}
\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}
\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}%
Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung
$A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom
und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht
von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung $A :
k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom und liefert
deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht von der
Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
\[
V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right).
\]
@ -38,11 +38,11 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
\end{bsp}
Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den
Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.
Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie,
dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch
für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's.
„Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an
den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive
Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's.
\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
@ -50,17 +50,16 @@ für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht'
Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann,
wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir
rationale Funktionen konstruieren.
niemals\footnote{Praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann, wenn
das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir rationale
Funktionen konstruieren.
\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und
$g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad,
$d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$
ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$
die Gleichung
\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und $g ∈
k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, $d = \deg f = \deg g$.
Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$,
dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
\[
\frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
@ -70,18 +69,17 @@ rationale Funktionen konstruieren.
\end{beobachtung}
Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall
$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion''
und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst
scheint.
Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall $f =
x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von „rationaler Funktion“ und
„Definitionsbereich“ ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst scheint.
\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien
$f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene
Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die
Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle
Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$
die Gleichheit
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f_1, f_2 ∈
k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene Polynome mit
$\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die Brüche
$\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle Punkte $p$
der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ die
Gleichheit
\[
\frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
\]
@ -89,9 +87,9 @@ scheint.
Brüchen.
\end{defn}
\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein
Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen
\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} Es
sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein Punkt
und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen
Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt
man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$
@ -105,12 +103,11 @@ scheint.
$k$-Algebra.
\end{bemerkung}
\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei
$φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt
$a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als
Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die
Abbildungen
\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei $φ_n : 𝔸^n_k →
ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt $a ∈ 𝔸^n_k$ mit
zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als Übungsaufgabe in
„Homogenisierung und Dehomogenisierung“ nach, dass die Abbildungen
\[
\begin{matrix}
A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\
@ -118,9 +115,9 @@ scheint.
\end{matrix}
\]
wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die
Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander
isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um
einen lokalen Ring.
Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise
zueinander isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei
$𝒪_p(ℙ^n_k)$ um einen lokalen Ring.
\end{konstruktion}
\begin{bemerkung}
@ -136,13 +133,13 @@ die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss
ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
betrachten möchte.
\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei
$p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so
dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die
rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und
$\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal
\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$
ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, sodass $p_i ≠ 0$ ist.
Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die rationalen Funktionen
$\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das
davon erzeugte Ideal
\[
I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
𝒪_p(ℙ²).
@ -164,21 +161,21 @@ betrachten möchte.
Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.
Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann
definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
\[
\Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
\]
wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1}
diskutierte Ideal ist.
wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} diskutierte
Ideal ist.
\end{defn}
\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}
\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}%
Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
ausrechnet. Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
der Standardkarte $φ_3$ und es ist
\[
@ -186,9 +183,9 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
\]
wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten
$\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann
mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2}
\right)$ und die Schnittzahl kann mithilfe des Algorithmus aus
Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
@ -202,7 +199,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies
jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
(langweiligen) Beweis lasse ich weg.
\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}
\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}%
In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
$φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
die Gleichung
@ -219,14 +216,14 @@ jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
versprochenen Satz von
Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.
September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die
Schnittzahlen von projektiven Kurven.
Bézout} (* 31.~März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.~September
1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die Schnittzahlen von
projektiven Kurven.
\begin{satz}[Satz von Bézout]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.
Dann gilt die Gleichung
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt
die Gleichung
\[
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
\]
@ -234,17 +231,17 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
\begin{proof}
Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.
Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die
Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer
geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne
Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf
der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil
die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten
Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der
Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf der unendlich
fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
\begin{align*}
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}}
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}.}
\end{align*}
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren, schreiben wir noch
\begin{align*}
n & := \deg G & m & := \deg G \\
R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
@ -255,7 +252,7 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
folgenden Gleichungen zu beweisen,
\begin{align}
\label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m.
\end{align}
Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
aufgeteilt.
@ -278,8 +275,8 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die
Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im
\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente
$[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente $[A_{•,*}] ∈
Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
\end{proof}
\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
@ -287,10 +284,10 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed
\end{kor}
\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
$G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann
schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann schneiden
sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
\qed
\end{kor}
@ -305,7 +302,7 @@ können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch
den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele
singuläre Punkte haben.
\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}
\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat
höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
@ -313,10 +310,10 @@ singuläre Punkte haben.
\begin{proof}
Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt
$\deg G ≤ \deg F -1$.
dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt $\deg G ≤ \deg
F -1$.
Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass
Aus Definition~\vref{defn:ep} („Glatte und singuläre Punkte“) ist klar, dass
die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die
Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
@ -351,13 +348,13 @@ Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65
singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
Wolf
Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war
ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie
beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten,
dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte,
veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und
Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A
sextic cannot have 66 nodes''.
Paul Barth} (* 20.~Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.~Dezember 2016) war ein
deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.}
konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, dass maximal 64
singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, veröffentlichte
Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Ruberman in
\cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist:
„\foreignlanguage{english}{A sextic cannot have 66 nodes}“.
\begin{bemerkung}
Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist
@ -365,12 +362,12 @@ sextic cannot have 66 nodes''.
\end{bemerkung}
\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen
zum Thema „Flächen mit vielen singulären Punkten“ promovierte, hat einen
\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum}
geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm
reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} geschrieben,
den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm
\href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der
``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
„Weltrekordflächen“ aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
dieses Programms.