From ff8a3e3e1be22c85c088e646a595b52bf08eff39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 15 May 2023 11:18:19 +0200 Subject: [PATCH] Fixing minor issues --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 47 +++++ .vscode/ltex.dictionary.en-US.txt | 1 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 20 ++ 03.tex | 10 +- 04.tex | 2 +- 06.tex | 6 +- 07.tex | 2 +- 08.tex | 8 +- 10.tex | 4 +- 11.tex | 100 +++++---- 12.tex | 206 +++++++++---------- 13.tex | 133 ++++++------ 14.tex | 74 ++++--- 15.tex | 123 ++++++----- 16.tex | 123 +++++------ 17.tex | 213 ++++++++++---------- 16 files changed, 563 insertions(+), 509 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 0adb6d0..10ab1e6 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -131,3 +131,50 @@ Lokalisierungskonstruktion Inklusionsabbildung Primideals Nakayama +Lokalisierungsabbildung +uniformisierende +uniformisierenden +adische +Tangentialgerade +uniformisierender +Cohen-Seidenberg +Krull-Dimension +Inklusionszeichen +Krull +Krullsche +Inklusionsmorphismus +Isomorphiesatz +Faktorielle +faktorieller +faktoriell +Zariski-dichte +Zariski-Abschluss +Ganzheitsgleichungen +Krullschen +Funktiongraf +Konik +Eindeutigkeitsbeweis +Bahnenraum +Antipodenpunkten +Antipodenpunkte +Normparabel +kompaktifiziert +Asymptotenrichtungen +Normhyperbel +Perge +Apollonius +Pergaeus +Koniken +Apollonios +Projektivitäten +Projektivität +Dehomogenisierung +dehomogenisierten +.te +Bézout +Nemours +Avon +Barth-Sextik +Jaffe +Ruberman +Labs diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt b/.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt index 06854ef..5424da2 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt @@ -1,2 +1,3 @@ Kebekus syzygy +sextic diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 61ee864..b6663b3 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -22,3 +22,23 @@ {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QGegeben eine rationale Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Nullstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Krullsche Dimension von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing up.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert dann sehr schnell, dass die Dimensionen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q übereinstimmen.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBeweis des Satzes „Going up“.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing down.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QVorlesung 15Die Umkehrung von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Going up“) ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAnwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QObwohl der Beweis nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZum einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKurven in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonius von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"} +{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QDann gilt für jeden Vektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie homogene Radikalideale algebraische Mengen homogene Primideale irreduzible Mengen homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums\\E$"} diff --git a/03.tex b/03.tex index 81c576e..7ecbd7e 100644 --- a/03.tex +++ b/03.tex @@ -197,9 +197,9 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1}] - Wähle ein endliches Erzeugendensystem $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als - $A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination - der $m_•$ schreiben. Machen wir das. + Wähle ein endliches Erzeugendensystem $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als + $A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination + der $m_•$ schreiben. Machen wir das. \begin{align*} 1_M & = a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n \\ b·m_1 &= a_{11}·m_1 + ⋯ + a_{1n}·m_n \\ @@ -284,13 +284,13 @@ knapp wiedergegeben. \[ א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n]. \] - von $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul. Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$. + von $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul. Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$. Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem \[ א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c]. \] - von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Dann ist aber + von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Dann ist aber \[ א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c] \] diff --git a/04.tex b/04.tex index c8b2768..c3502c5 100644 --- a/04.tex +++ b/04.tex @@ -219,7 +219,7 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann. \] Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern $ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ transzendent über - $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. Im Gegensatz dazu ist + $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch. \end{itemize} diff --git a/06.tex b/06.tex index 3ec9e04..866c2bf 100644 --- a/06.tex +++ b/06.tex @@ -90,7 +90,7 @@ Menge zu beweisen. \begin{bemerkung} Wenn ich eine Menge zeichnen (oder mir zumindest vorstellen) kann, dann kann ich die Frage nach der Irreduzibilität meist sofort „durch Draufschauen“ - beantworten. Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel + beantworten. Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von hoher Dimension) schaut man dumm. Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht. @@ -201,12 +201,12 @@ einige Vorüberlegungen. \[ M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯ \] - von algebraischen Mengen $M_i \in M$ stationär wird. Mit anderen Worten: + von algebraischen Mengen $M_i ∈ M$ stationär wird. Mit anderen Worten: \[ ∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯ \] gilt. Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(M_1) ⊆ I(M_2) ⊆ ⋯$. - Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit + Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit anderen Worten: \[ ∃ m ∈ ℕ: I(M_m) = I(M_{m+1}) = I(M_{m+2}) = ⋯. diff --git a/07.tex b/07.tex index bca3ec8..b283537 100644 --- a/07.tex +++ b/07.tex @@ -74,7 +74,7 @@ Koordinatenring nullteilerfrei ist. Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal -sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die +sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die Sache ist eigentlich sehr einfach. \begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen] diff --git a/08.tex b/08.tex index 3a65ce8..7fd8525 100644 --- a/08.tex +++ b/08.tex @@ -77,7 +77,7 @@ wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das. \section{Monomiale Ideale} Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir -Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was +Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was das sein soll, erkläre ich jetzt. \begin{definition}[Monome, Terme] @@ -230,7 +230,7 @@ Beispiele diskutieren. \begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}% Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen - gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. Mit + gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form \[ f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h @@ -590,7 +590,7 @@ einzigen Division beantwortet werden. In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien \[ f_{1,1}, …, f_{1,m_1} \quad \text{und} \quad f_{2,1}, …, f_{2, m_2} - \] + \] zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige) Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist @@ -794,7 +794,7 @@ gewünschte liefert. \begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus] Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein - Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf + Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also \[ diff --git a/10.tex b/10.tex index 0c42cf5..42987bb 100644 --- a/10.tex +++ b/10.tex @@ -93,7 +93,7 @@ Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft. In späteren Anwendunge ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und $m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine -Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. Bei +Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. Bei der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also „rationale Funktionen“ der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des multiplikativen Systems $R∖m_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt präzise, was @@ -777,7 +777,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar. \begin{proof} Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal, welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R∖S = R∖(R∖p) = p$ enthalten ist. - Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. Mit + Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. Mit anderen Worten: $m = p · R_p$. \end{proof} diff --git a/11.tex b/11.tex index 8dd51fc..7885941 100644 --- a/11.tex +++ b/11.tex @@ -8,28 +8,27 @@ Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die folgende Situation. -\begin{situation}\label{sit:11-1} +\begin{situation}\label{sit:11-1}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve. \end{situation} \begin{notation} In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der - Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal - $m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die - Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach - Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen - wir mit $m_p$. + Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal $m ⊊ + R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die Lokalisierung + $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach Korollar~\ref{kor:10-6-9} + eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen wir mit $m_p$. \end{notation} \section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität} Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe -``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere, +„Multiplizität“ und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere, dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann. -\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3} +\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}% In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt, \begin{equation}\label{eq:11-0-3-1} @@ -42,25 +41,25 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann. erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt, beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben, \[ - m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯ + m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯. \] - In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und - $m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ - natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient - $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen - und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir - natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante - Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes - Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise - fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. - Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es - sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren. + In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und $m^{n+1}_p + ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ natürlich + Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ + ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen und ist deshalb selbst ein + $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir natürlich als Elemente des + affinen Koordinatenringes sehen („konstante Polynome“) und daher auch als + Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Polynom $λ$, betrachte einfach + den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise fassen wir den Körper $k$ in + trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. Dann ist aber jeder + $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es sinnvoll, die + Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren. \end{erkl} \begin{bemerkung} Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11} - angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine - Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen + angedeutet hatten: Die Multiplizität von Punkten auf einer Kurve ist eine + Eigenschaft, die nur vom affinen Koordinatenring (und dessen maximalen Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum eingebettet ist! @@ -69,7 +68,7 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann. Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma wird dabei helfen. -\begin{lem}\label{lem:11-1-4} +\begin{lem}\label{lem:11-1-4}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das maximale Ideal des $0$-Punktes, @@ -94,30 +93,30 @@ wird dabei helfen. Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} - \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal - $m ⊂ R$ ist ein Hauptideal. + \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal $m + ⊂ R$ ist ein Hauptideal. - \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes - $z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ - besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist. + \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes $z ∈ R + ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ besitzt, wobei + $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist. \end{enumerate} Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten - Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in + Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in \ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende - Parameter}\index{uniformisierender Parameter}. + Parameter}\index{uniformisierender Parameter}. \end{satzdef} \begin{proof} \video{13-3} \end{proof} -Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen -selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht. -Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. +Der Begriff des „uniformisierenden Parameters“ ist vielleicht einigermaßen +selbsterklärend, der Begriff des „Bewertungsringes“ aber wahrscheinlich nicht. +Es gibt in der Algebra den Begriff der „diskreten Bewertung eines Körpers“. \begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers] Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete - Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle - $x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt. + Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle $x,y ∈ k ∖ + \{ 0 \}$ folgendes gilt. \begin{itemize} \item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$. @@ -125,7 +124,7 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. \end{itemize} \end{defn} -\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6} +\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}% Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$, @@ -142,19 +141,19 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. \begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$] Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl - $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die - $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der - Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den - Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element - $q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, - dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist. + $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Mit + anderen Worten: die $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl + $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich + auf den Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element $q = + \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, dass + dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist. \end{bsp} -\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8} +\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}% Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist, dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch \[ - ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) - + ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht) - (Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}. \] Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine @@ -173,9 +172,8 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet. \end{aufgabe} -\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10} - In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen - äquivalent. +\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}% + In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring. @@ -189,10 +187,10 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. \begin{bemerkung} Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch - etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad - 1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} - Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring - $𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter. + etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ eine Gerade\footnote{= Polynom von Grad 1}, die + den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} Tangentialgerade an + $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring $𝒪_p(f)$ ein + uniformisierender Parameter. \end{bemerkung} Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen. diff --git a/12.tex b/12.tex index 6dd7241..764cab5 100644 --- a/12.tex +++ b/12.tex @@ -27,23 +27,22 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe. \begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes] Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche - Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines - Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang - Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war - ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. - Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in - Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem - Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von - Primidealen, + Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines + Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang + Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war ein + deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. Krull + studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und + Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$ + ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \[ P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n. \] \end{defn} \begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei - eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes - $k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet. + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine + Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$ + wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet. \end{defn} \begin{bemerkung} @@ -54,11 +53,11 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe. \begin{bsp}[Der Punkt] Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring - des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal - $(0)$ und somit die Dimension 0. + des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal $(0)$ + und somit die Dimension 0. \end{bsp} -\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5} +\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$ @@ -73,20 +72,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe. Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$. \end{bsp} -\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6} +\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette \[ (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊ - (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]. + (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n] \] - ist eine Kette von Primidealen, also ist - $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$. + ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ + n$. \end{bsp} Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das -nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas +ist nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir so weit sind, ist noch etwas Vorarbeit zu leisten. @@ -97,9 +96,9 @@ geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein geometrisches Beispiel. -\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1} - Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve - $C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der +\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}% + Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C + = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring @@ -118,64 +117,61 @@ geometrisches Beispiel. In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei ganzen Ringerweiterungen nicht ändert. -\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2} - Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist - $\dim A = \dim B$. +\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}% + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist $\dim A + = \dim B$. \end{satz} - -Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen -$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und -die Primideale in $B$ zueinander verhalten. +Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten +und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$ +zueinander verhalten. \begin{notation}[Übereinander liegende Ideale] Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt - über $p$}. + über $p$}. \end{notation} Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff -``übereinander liegen'' kommt. +„übereinander liegen“ kommt. \begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2] In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit - zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal - $p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. - Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$. + zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder + ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. Dies ist das maximale Ideal + des Punktes $π(v)$. \end{bsp} Der erste Satz von Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen} - (* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer - Mathematiker. }-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham - Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand) - war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung -$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von -Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen -$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den -$p_{•}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann -sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen. +(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer +Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham +Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war +ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂ +B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_• +⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils +über den $p_•$ liegen. Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert +dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen. -\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''} +\subsection{Beweis des Satzes „Going up“} -Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam. -Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ -unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. +Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam. Um den +Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger +Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. -\begin{satz}\label{satz:12-2-5} +\begin{satz}\label{satz:12-2-5}% Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} - \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei - $q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische - Einbettung + \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$ + liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung \[ \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}. \] Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung. - \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist - $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung. + \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann + ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} @@ -183,16 +179,16 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. \end{proof} \begin{notation}[Schlechte Notation] - Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein - Primideal und es sei $S := A ∖ p$. In der Literatur wird die - Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ - notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist. + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es + sei $S := A∖p$. In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow + S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im + Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist. \end{notation} \begin{beobachtung} - Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter - seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ - liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen. + Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien + Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt. Dann gelten + folgende Äquivalenzen. \begin{align*} \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\ & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\ @@ -200,22 +196,21 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. \end{align*} \end{beobachtung} -\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8} - Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei - $p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ - über $A$. +\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}% + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂ + A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$. \end{satz} \begin{proof} \video{14-2} \end{proof} \begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten] - Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei - $p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale - über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$. + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂ + A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1 + = q_2$. \end{satz} \begin{proof} -Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes, +Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$. Dann gilt Folgendes, \begin{itemize} \item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$, @@ -229,7 +224,7 @@ Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb s die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist. \end{proof} -\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp} +\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}% Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über $p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält. @@ -241,7 +236,7 @@ die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist. \subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen} -Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt +Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen. @@ -249,39 +244,38 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen. \video{14-4} \end{proof} -\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11} +\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass - die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, - $f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als - Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass - diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig - beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein - maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8} - ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales - Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch - bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird. - Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! + die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$, + dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen. + Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist? Wir + können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben + ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach + Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt + es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das + geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet + wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! \end{beobachtung} \begin{fakt} Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$, - sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung - $f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ - surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie - sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder - kompakter Mengen sind wieder kompakt. + sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: Die Abbildung $f^* + : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv + ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie sich, was + das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen + sind wieder kompakt. \end{fakt} \section{Going down} -\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going -up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das -Zauberwort heißt ``Normalität''. +\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“) +ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das Zauberwort +heißt „Normalität“. -\begin{defn}\label{def:12-3-1} +\begin{defn}\label{def:12-3-1}% Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$ ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$ ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt: @@ -291,28 +285,28 @@ Zauberwort heißt ``Normalität''. \] \end{defn} -\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown} +\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}% Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$ liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit $q_1 ∩ A = p_1$. \qed \end{satz} -Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis -nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung +Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis +nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen. \subsection{Normale Ringe} -Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum -einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in +Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“. Zum +einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich diskutieren kann. -\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3} +\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}% Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal. @@ -326,7 +320,7 @@ diskutieren kann. Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. -\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4} +\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}% Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$. @@ -343,16 +337,16 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{s_0} = 0, \end{equation} - wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze - $t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit - dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte + wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze $t := s_0 ⋯ + s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element + $s·t ∈ S$ und erhalte \[ \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ + a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0. \] Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist - $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage - $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$. + $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ + S^{-1}C$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}] @@ -370,8 +364,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.} \] Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist, - folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis - für maximale Ideal folgt natürlich analog. + folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis für + maximale Ideal folgt natürlich analog. \end{proof} \begin{satz} @@ -382,8 +376,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$ eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$ - eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die - Gleichung + eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ + die Gleichung \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1} \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} + ⋯ + a_0 = 0 diff --git a/13.tex b/13.tex index fd36268..f5ac354 100644 --- a/13.tex +++ b/13.tex @@ -9,10 +9,10 @@ nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch. -\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1} - Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. - Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente - $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt. +\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}% + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter + sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d + ∈ A$, sodass Folgendes gilt. \begin{enumerate} \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch unabhängig über $k$. @@ -40,7 +40,7 @@ viel einfacheren Polynomring. Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Eine endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von - $A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften + $A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften \ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten. \end{defn} @@ -54,9 +54,9 @@ viel einfacheren Polynomring. \section{Geometrische Interpretation} \label{sec:13-1} -Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die -Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass -$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine +Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die +Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, +dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$ eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ @@ -69,7 +69,7 @@ von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert. \begin{itemize} -\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist +\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen @@ -78,11 +78,11 @@ Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert. V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k. \] -\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung - $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} - gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem - wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- - aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist. +\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ + A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die + Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem wissen wir nach + Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider + kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist. \item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist. @@ -98,13 +98,13 @@ Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage. k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n) \] surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung - eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische - Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen. + eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als + algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen. -\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt - $π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine - lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der - Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein. +\item Die Aussage „die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$“ beschreibt $π$ + als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare + Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung + $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein. \end{itemize} \begin{figure} @@ -163,16 +163,15 @@ vorbereitenden Lemma. \begin{lem} Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es - ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form - $y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden - kann, + ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i - + x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann, \[ f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …, y_{n-1}). \] Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann - gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form - $y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$. + gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i - + a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$. \end{lem} \begin{proof} Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im @@ -207,9 +206,8 @@ beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen. \section{Geometrische Konsequenzen} -Als erste echte Anwendung des Satzes über die -Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die -Dimension des affinen Raums ist. +Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir +die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist. \begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a} Es sei $k$ ein Körper. Dann ist @@ -221,12 +219,12 @@ Dimension des affinen Raums ist. \video{17-2} \end{proof} -\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b} +\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang = - kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$ + kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$ die Länge $d$. \end{satz} \begin{proof} @@ -252,17 +250,16 @@ Dimension des affinen Raums ist. Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind - die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass - $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die - Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich - der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$. + die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …, + y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung + $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad + nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$. \end{proof} \begin{kor} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei - $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare - Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ - endlich und surjektiv ist. + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine + algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k → + 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist. \end{kor} \begin{proof} Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns @@ -275,17 +272,16 @@ Dimension des affinen Raums ist. Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind. \end{kor} \begin{proof} - Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen + Lineare Projektionen $𝔸^n_ℂ → 𝔸^d_ℂ$ sind bezüglich der Euklidischen Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der - Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber - $𝔸⁰_{ℂ}$. + Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_ℂ$. \end{proof} Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. -\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height} +\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}% Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die \emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen @@ -295,38 +291,40 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet. \end{defn} -\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8} - Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei - $q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller - Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette +\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}% + Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …, + y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten + von Primidealen von der folgenden Kette \[ (0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p \] angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$. \end{bsp} -\begin{kor}\label{kor:13-3-9} +\begin{kor}\label{kor:13-3-9}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein - Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal - $p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist + Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂ + A$ ein Primideal, dann ist \[ \dim A = \height(p) + \dim(A/p). \] \end{kor} \begin{proof} - Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und + Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten. \begin{itemize} \item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere normal. + \item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach - Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen - Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen - Raumes'') + Satz~\ref{satz:12-2-2} („Dimension ist invariant unter ganzen + Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen + Raumes“) \[ \dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d. \] + \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form $q = (y_α, …, y_d)$, also ist \[ @@ -335,7 +333,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$. \end{itemize} - Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach + Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche Dimension. Zusammen erhalten wir \[ @@ -345,11 +343,11 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. \end{proof} \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe] - In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form - $A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die - Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff - ``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der - Praxis einigermaßen sinnlos. + In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A = + K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage + des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für + beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen + sinnlos. \end{warnung} @@ -357,16 +355,16 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden -(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich. -Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier -nur ohne Beweis. +(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch +möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne +Beweis. \begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz] Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$ - gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, - $(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle - Indizes $i$. \qed + gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) = + p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes + $i$. \qed \end{satz} Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter @@ -380,10 +378,11 @@ Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze. + \begin{itemize} \item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man - Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind - die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des + Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer + sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des Machbaren. \item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper diff --git a/14.tex b/14.tex index 21ea893..d6a03a0 100644 --- a/14.tex +++ b/14.tex @@ -51,9 +51,9 @@ gelernt. \end{aufgabe} Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden -kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im -unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum -$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu +kannte schon mein Physik-Lehrer: „Zwei parallele Geraden schneiden sich im +unendlichen“. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum +$𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $ℙ^n_k$ zu ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und $C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$ @@ -79,10 +79,10 @@ Multiplizität gezählt werden müssen. \section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven} Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht -erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der -richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene +erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll „Schnittpunkte mit der +richtigen Multiplizität zu zählen“. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die -``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses +„Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$“ genau sein soll. Dieses Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen ebenfalls sehr gut erklärt finden. @@ -93,24 +93,24 @@ Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen sollte. -\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1} +\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}% Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine - Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix - $A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für - alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff - ``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen - Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist). + Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix $A ∈ + \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für alle + $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff + „affine Transformation“ auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen Raum + $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist). \end{erinnerung} -\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz} +\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}% Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \[ \Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \} \] - sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte - $p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten. + sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte $p + ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten. \begin{enumerate} \item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und $G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten. @@ -121,19 +121,18 @@ sollte. $G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten. \item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen - Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt - die Gleichung + Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ + gilt die Gleichung \[ \Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T). \] \item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der - Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$. + Kurven. Genauer gesagt: Es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$. - \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets - $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, - wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade - haben. + \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · + \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn die Kurven $F$ und $G$ + im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade haben. \item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer: falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist @@ -157,20 +156,20 @@ sollte. \begin{aufgabe} Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten. - Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo - $F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und - wo $p = (x_0, 0)$ ist. + Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo $F(x,y) = + y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und wo $p = + (x_0, 0)$ ist. \end{aufgabe} \subsection{Träume werden wahr} Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von -``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor +„Schnittzahl“, die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige Tatsachen, die wir später benötigen. -\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5} +\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende @@ -186,13 +185,13 @@ Tatsachen, die wir später benötigen. Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise - ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich - $\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und - $y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein + ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich $\sqrt{I} = + (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und $y^n ∈ I$ + sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum. \end{erinnerung} -\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6} +\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen, @@ -203,17 +202,16 @@ Tatsachen, die wir später benötigen. und $\dim_k R < ∞$. \end{eerinnerung} -\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES} +\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen - Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} - gelten. + Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} gelten. \end{satz} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit] \video{18-1} \end{proof} -\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8} +\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}% Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt @@ -253,9 +251,9 @@ Tatsachen, die wir später benötigen. \begin{itemize} \item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$. - \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass - die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, - die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten. + \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass die + Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, die + den Punkt $p$ tatsächlich enthalten. \end{itemize} Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}. diff --git a/15.tex b/15.tex index ddabe67..bb5dd6a 100644 --- a/15.tex +++ b/15.tex @@ -13,13 +13,13 @@ Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden (wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte). -\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1} +\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren $\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver - Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist - üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors + Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist üblich. + Die Äquivalenzklasse eines Vektors \[ \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n @@ -36,8 +36,8 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad % \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\} \] - beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich - dazu ist der Ausdruck + beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich dazu + ist der Ausdruck \[ \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\} \] @@ -47,19 +47,19 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden \subsection{Andere, äquivalente Definitionen} -Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der -Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht -etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere -(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung +Im Vergleich zur äquivalenten Definition „der projektive Raum ist die Menge der +Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$“ ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht etwas +technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere (und +ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung \[ k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad \bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v} \] betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung -definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre -$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die -Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ -kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden, +definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre $S^{n} ⊂ +ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die Sphäre in +genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ kann also +auch als Quotient der Sphäre definiert werden, \[ ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}}, \] @@ -68,15 +68,15 @@ genau die Antipodenpunkte vertauscht. \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist. - Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene - $ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden - Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt + Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene $ℙ²_ℝ = + \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden Beispielen so + große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt \href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas - Demleitner}? + Demleitner}? \end{aufgabe} \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] - Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit. + Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zwei\-dimension\-ale Mannigfaltigkeit. Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel einfacher als $ℙ²_ℝ$? \end{aufgabe} @@ -89,13 +89,13 @@ Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären, wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die -``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind. +„unendlich fernen Punkte“ eigentlich sind. -\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss} +\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}% Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt - betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, - indem ich mithilfe der Abbildung + betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, indem + ich mithilfe der Abbildung \[ ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1) \] @@ -103,23 +103,21 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier, tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen - Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich - $ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die - Gerade $[x:y:1]$. + Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich $ι(x,y) = + (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die Gerade + $[x:y:1]$. Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung \[ φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1], \] - die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen. - Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass - die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die - Menge + die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die + Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die + Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge \[ - ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}. + ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\} \] - ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die - Abbildung + ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der „unendlich fernen Punkte“. Die Abbildung \[ ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0] \] @@ -137,10 +135,10 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$ parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die - ``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben. + „unendlich fernen“ Punkte etwas mit „Asymptotenrichtungen“ zu tun haben. \end{aufgabe} -\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3} +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}% Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel \[ @@ -152,7 +150,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch? \end{aufgabe} -\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4} +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}% Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel \[ @@ -165,20 +163,20 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die \end{aufgabe} \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] - In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von + In der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios - von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; - † ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer - Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie - trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus - in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im - Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung - vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der + von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; † + ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer Mathematiker, + bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie trug er zur + Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus in sein + Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im + Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung vom + Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht! \end{aufgabe} -\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6} +\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}% Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen \[ @@ -204,9 +202,9 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die Die Vereinigung der Mengen $U_i$ ist offenbar der ganze projektive Raum. Man nennt die $U_i$ daher oft die \emph{Standardüberdeckung des projektiven - Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen + Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen $φ_i$ werden oft als \emph{Standardkarten des projektiven - Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet. + Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet. \end{notation} \begin{bemerkung}[Der projektive Raum als Mannigfaltigkeit] @@ -220,32 +218,33 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die \subsection{Projektivitäten} -Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des +Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion der Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen -Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja nocheinmal erinnert hatte. +Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte. Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive -Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird. +Transformation, die in der Literatur oft auch als „Projektivität“ bezeichnet +wird. \begin{defn}[Projektivitäten] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung - $φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive - Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine - invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle - $\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung $φ : ℙ^n → + ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive Transformation} + oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine invertierbare + Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle $\vec v ∈ k^{n+1}$ die + Gleichung \[ φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right] \] gilt. \end{defn} -Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung -``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. -Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ -abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen -$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass -die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die -affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne -verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also. +Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“). +Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten +werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche +Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} +U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man +auf diese Weise erhält, exakt die affinen Transformationen der affinen Ebene +$𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne verallgemeinern die Projektiven die affinen +Transformationen also. %%% Local Variables: diff --git a/16.tex b/16.tex index bf5970f..adec7da 100644 --- a/16.tex +++ b/16.tex @@ -10,8 +10,8 @@ Ausdruck der Form \[ \bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\} \] -gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist - $1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}. +gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1 + = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}. \begin{beobachtung} Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für @@ -19,10 +19,10 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist \[ f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n). \] - Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und - $\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass - $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ - genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge + Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} = + (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ + ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. + Die Menge \[ V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\} \] @@ -39,11 +39,11 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der -``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen. -Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der -Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind -prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen -des projektiven Raums'' definieren werden. +„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls +das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge +sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische +Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven +Raums“ definieren werden. @@ -54,7 +54,7 @@ betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne Polynom homogen sein soll. -\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1} +\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$ heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende @@ -67,8 +67,8 @@ Polynom homogen sein soll. Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die -Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge -$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel? +Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m) ⊂ +k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel? \begin{defn}[Kegel] Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$ @@ -86,19 +86,20 @@ $V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel? \label{fig:cone} \end{figure} -\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3} +\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}% Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden Formen. \begin{itemize} \item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$. - \item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden. + + \item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden. \end{itemize} \end{bsp} Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln -und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel -$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge +und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂ +k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge \[ \mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}. \] @@ -112,7 +113,7 @@ ein Kegel. \section{Kegel und homogene Ideale} -\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie'' +\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“ war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$ @@ -120,7 +121,7 @@ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. -\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1} +\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -137,13 +138,13 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. \end{satzdef} \begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}] Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter - sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen - $α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit + sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈ + k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit \[ g = \sum_i α_i·f_i \] - gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, - $α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung + gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d + α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung \[ g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i. \] @@ -158,19 +159,19 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. \[ g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}. \] - Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist - $I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$. + Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I = + (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$. \end{proof} Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein -Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist -$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. -Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. +Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …, +f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt, +sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei - $I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist - das Ideal $I$ homogen. + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ + k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist das + Ideal $I$ homogen. \end{satz} \begin{proof} Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein @@ -204,7 +205,7 @@ Abbildungen, die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten \emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes, -wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne +wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt. Ich nenne einige solche Sätze ohne Beweis. \begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen] @@ -213,27 +214,27 @@ einige solche Sätze ohne Beweis. \end{fakt} \begin{fakt}[Homogene Primideale] - Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal - $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder - $b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed + Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, + x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für + homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed \end{fakt} \begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei - $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal. + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, + x_n]$ ein homogenes Ideal. \begin{enumerate} - \item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder - $\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$. + \item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} = + (x_0, …, x_n)$. - \item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist - $\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed + \item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = + I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed \end{enumerate} \end{fakt} \begin{notation}[Das irrelevante Ideal] - Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal - $(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven - Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}. + Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0, + …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes + definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}. \end{notation} \begin{fakt} @@ -280,7 +281,7 @@ Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k \] betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide -den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen. +den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen. \begin{itemize} \item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$ auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie. @@ -291,9 +292,9 @@ den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen. Topologie auf $U_i$. \end{itemize} Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die -Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''. +Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“. -\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3} +\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte \[ φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k @@ -307,7 +308,7 @@ Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen, um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen werden. -\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom} +\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom. Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden, @@ -328,10 +329,10 @@ werden. die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird. \end{konstruktion} -\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei - $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein - Polynom in weniger Variablen konstruieren, +\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, + x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein Polynom in + weniger Variablen konstruieren, \[ f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1). \] @@ -344,7 +345,7 @@ werden. \end{konstruktion} \begin{aufgabe} - In wieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse + Inwieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse Abbildungen? \end{aufgabe} @@ -361,21 +362,21 @@ werden. \item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame - Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome - $(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass - $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie - abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$. \qedhere + Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …, + (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. + Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂ + ℙ^n_k$. \qedhere \end{itemize} \end{proof} -\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik} +\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}% Betrachte die Menge \[ X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}. \] Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine - Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von - $X$ mit dieser affinen Ebene, + Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge + von $X$ mit dieser affinen Ebene, \[ φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}. \] diff --git a/17.tex b/17.tex index a561b81..d566caa 100644 --- a/17.tex +++ b/17.tex @@ -6,31 +6,31 @@ \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$ und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven -nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. -Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau -ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf +nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu +muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist. +Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf Seite~\ref{def:eak} gesehen. -\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk} +\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene - projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine + projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei - Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass - $F = λ·G$ ist. + Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $F + = λ·G$ ist. \end{defn} \begin{bsp} - Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. - Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie - vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten. + Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn + Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht + auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten. \end{bsp} -\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3} +\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}% Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und - eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung - $A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom - und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht - von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt + eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung $A : + k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom und liefert + deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht von der + Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt \[ V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right). \] @@ -38,11 +38,11 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen. \end{bsp} Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von -``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den -Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. -Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, -dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch -für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's. +„Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen +unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an +den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe +eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive +Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's. \section{Rationale Funktionen und lokale Ringe} @@ -50,17 +50,16 @@ für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht' Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum: während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$ aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch -niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist - konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann, -wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir -rationale Funktionen konstruieren. +niemals\footnote{Praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist +konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann, wenn +das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir rationale +Funktionen konstruieren. -\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und - $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, - $d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ - ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ - die Gleichung +\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und $g ∈ + k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, $d = \deg f = \deg g$. + Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, + dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung \[ \frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} = \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}. @@ -70,18 +69,17 @@ rationale Funktionen konstruieren. \end{beobachtung} Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen -Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall -$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion'' -und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst -scheint. +Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall $f = +x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von „rationaler Funktion“ und +„Definitionsbereich“ ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst scheint. \begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien - $f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene - Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die - Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle - Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ - die Gleichheit + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f_1, f_2 ∈ + k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene Polynome mit + $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die Brüche + $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle Punkte $p$ + der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ die + Gleichheit \[ \frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p) \] @@ -89,9 +87,9 @@ scheint. Brüchen. \end{defn} -\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein - Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen +\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} Es + sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein Punkt + und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$ @@ -105,12 +103,11 @@ scheint. $k$-Algebra. \end{bemerkung} -\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei - $φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt - $a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als - Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die - Abbildungen +\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei $φ_n : 𝔸^n_k → + ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt $a ∈ 𝔸^n_k$ mit + zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als Übungsaufgabe in + „Homogenisierung und Dehomogenisierung“ nach, dass die Abbildungen \[ \begin{matrix} A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\ @@ -118,9 +115,9 @@ scheint. \end{matrix} \] wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die - Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander - isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um - einen lokalen Ring. + Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise + zueinander isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei + $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um einen lokalen Ring. \end{konstruktion} \begin{bemerkung} @@ -136,13 +133,13 @@ die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau betrachten möchte. -\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und - $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei - $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so - dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die - rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und - $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal +\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ + k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ + ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, sodass $p_i ≠ 0$ ist. + Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die rationalen Funktionen + $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das + davon erzeugte Ideal \[ I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂ 𝒪_p(ℙ²). @@ -164,21 +161,21 @@ betrachten möchte. Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen. -\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und - $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. - Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven - Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als +\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ + k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann + definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven + Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als \[ \Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}}, \] - wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} - diskutierte Ideal ist. + wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} diskutierte + Ideal ist. \end{defn} -\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3} +\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}% Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret - ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die + ausrechnet. Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild der Standardkarte $φ_3$ und es ist \[ @@ -186,9 +183,9 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen \] wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt - $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten - $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann - mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden. + $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} + \right)$ und die Schnittzahl kann mithilfe des Algorithmus aus + Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden. Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann @@ -202,7 +199,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den (langweiligen) Beweis lasse ich weg. -\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4} +\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}% In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität $φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann die Gleichung @@ -219,14 +216,14 @@ jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den \sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum versprochenen Satz von Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne - Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27. - September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die -Schnittzahlen von projektiven Kurven. +Bézout} (* 31.~März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.~September +1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die Schnittzahlen von +projektiven Kurven. \begin{satz}[Satz von Bézout] - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und - $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. - Dann gilt die Gleichung + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ + k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt + die Gleichung \[ \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G). \] @@ -234,17 +231,17 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven. \begin{proof} Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu - vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. - Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die - Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer - geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne - Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf - der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen + vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil + die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge + von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten + Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der + Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf der unendlich + fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen \begin{align*} \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\ - & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}} + & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}.} \end{align*} - Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch + Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren, schreiben wir noch \begin{align*} n & := \deg G & m & := \deg G \\ R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)} @@ -255,7 +252,7 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven. folgenden Gleichungen zu beweisen, \begin{align} \label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\ - \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m + \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m. \end{align} Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte aufgeteilt. @@ -278,8 +275,8 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven. \bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}. Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im - \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente - $[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden. + \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente $[A_{•,*}] ∈ + Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden. \end{proof} \begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich] @@ -287,10 +284,10 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven. Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed \end{kor} -\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und - $G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann - schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten. +\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ + k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann schneiden + sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten. \qed \end{kor} @@ -305,7 +302,7 @@ können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele singuläre Punkte haben. -\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4} +\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}% Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte. @@ -313,10 +310,10 @@ singuläre Punkte haben. \begin{proof} Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, - dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt - $\deg G ≤ \deg F -1$. + dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt $\deg G ≤ \deg + F -1$. - Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass + Aus Definition~\vref{defn:ep} („Glatte und singuläre Punkte“) ist klar, dass die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus @@ -351,13 +348,13 @@ Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65 singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von Wolf Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf - Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war - ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie - beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, -dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, -veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und -Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A -sextic cannot have 66 nodes''. +Paul Barth} (* 20.~Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.~Dezember 2016) war ein +deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.} +konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, dass maximal 64 +singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, veröffentlichte +Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Ruberman in +\cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: +„\foreignlanguage{english}{A sextic cannot have 66 nodes}“. \begin{bemerkung} Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist @@ -365,12 +362,12 @@ sextic cannot have 66 nodes''. \end{bemerkung} \href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz -zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen +zum Thema „Flächen mit vielen singulären Punkten“ promovierte, hat einen \href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten, - reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} -geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm +reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} geschrieben, +den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm \href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der -``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und +„Weltrekordflächen“ aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot dieses Programms.