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\chapter{Algebraische Mengen des projektiven Raums}
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Wie bereits für den affinen Raum ausführlich diskutiert, möchten wir auch im
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projektiven Raum Nullstellenmengen von Polynomen diskutieren. Das ist natürlich
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nicht ohne weiteres möglich, denn wir hatten ja oben schon gesehen, dass ein
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Ausdruck der Form
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\[
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\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
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\]
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gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1
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= 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
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\begin{beobachtung}
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Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
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jeden Vektor $(x_0, …, x_n) ∈ k^n$ und jedes Skalar $λ ∈ k$ die Gleichung
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\[
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f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
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\]
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Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} =
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(y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈
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ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.
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Die Menge
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\[
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V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
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\]
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ist also wohldefiniert.
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\end{beobachtung}
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\begin{warnung}
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Selbst wenn $f$ homogen ist, ist ein Ausdruck der Form
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\[
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\bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 1 \bigr\}
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\]
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im Allgemeinen völlig unsinnig.
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\end{warnung}
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Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
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irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
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„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls
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das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
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sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
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Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
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Raums“ definieren werden.
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\section{Algebraische Teilmengen des projektiven Raums}
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Bislang haben wir Nullstellenmengen eines einzelnen homogenen Polynoms
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betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
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gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
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Polynom homogen sein soll.
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\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
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heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
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homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
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Gleichheit gilt,
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\[
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A = \bigl\{ [x_0: … : x_n] ∈ ℙ^n \::\: f_1(x_0, …, x_n) = ⋯ = f_m(x_0, …,
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x_n) = 0 \bigr\}.
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\]
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\end{defn}
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Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
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die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
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Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m) ⊂
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k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
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\begin{defn}[Kegel]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
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einen \emph{Kegel}\index{Kegel}, wenn $A$ invariant unter skalarer
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Multiplikation ist. Genauer: wenn für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
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$λ·A = A$ gilt, wobei $λ·A := \{ λ·a \::\: a ∈ A \}$ ist.
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\end{defn}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{figures/16-cone.png}
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\caption{Kegel $\{ x²y²-z⁴ \} $}
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\label{fig:cone}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}%
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Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
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Formen.
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\begin{itemize}
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\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
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\item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
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\end{itemize}
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\end{bsp}
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Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
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exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
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und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂
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k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
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\[
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\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
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\]
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Gegeben eine Menge $\mathbb{V} ⊂ ℙ^n_k$, dann ist die zugehörige Menge
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\[
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V = \bigl\{ (x_0, …, x_n) ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \} \::\: [x_0 : … : x_n] ∈
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\mathbb{V} \bigr\} ∪ \{ \vec{0} \}
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\]
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ein Kegel.
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\section{Kegel und homogene Ideale}
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\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“
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war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
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Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
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einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
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(= den algebraischen Mengen im $k^{n+1}$, die Kegelgestalt haben) und den
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Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
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Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
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\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}%
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
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folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:15-4-2-1} Das Ideal $I$ ist von homogenen Polynomen erzeugt.
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Genauer: es gibt homogene Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass
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die Gleichheit $I = (f_1, …, f_m)$ gilt.
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\item\label{il:15-4-2-2} Für alle Polynome $g ∈ I$ gilt Folgendes. Wenn ich
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$g$ als Summe von homogenen Polynomen schreibe, $g = g_0 + g_1 + ⋯ + g_d$,
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dann liegt jeder Summand $g_i$ selbst im Ideal $I$.
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\end{enumerate}
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Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt ist, nennt man $I$ ein
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\emph{homogenes Ideal}\index{homogenes Ideal}.
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\end{satzdef}
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\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
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Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
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sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈
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k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
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\[
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g = \sum_i α_i·f_i
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\]
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gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d
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α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
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\[
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g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
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\]
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Jeder der Summanden ist homogen und liegt in $I$, also liegen alle homogenen
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Komponenten von $g$ in $I$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-2} $⇒$ \ref{il:15-4-2-1}]
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Weil der Ring $k[x_0, …, x_n]$ Noethersch ist, finden wir einen endlichen Satz
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von Erzeugern $I = (g_1, …, g_m)$. Schreibe jedes der $g_i$ als Summe von
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homogenen Polynomen,
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\[
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g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
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\]
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Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I =
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(g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
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\end{proof}
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Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
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Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
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f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
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sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
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\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂
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k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist das
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Ideal $I$ homogen.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
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Element und sei $f = \sum f_i$ die Darstellung von $f$ als Summe von homogenen
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Polynomen. Wir müssen zeigen, dass alle Summanden $f_•$ wieder in $I$ liegen.
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Weil $I$ ein Radikalideal ist, genügt es nach dem starken Hilbertschen
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Nullstellensatz, Satz~\vref{satz:5-6-8}, zu zeigen, dass für jeden Punkt
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$\vec{x} ∈ V(I)$ und jeden homogenen Summanden $f_•$ die Gleichheit
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$f_•(\vec{x}) = 0$ gilt.
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Betrachte dazu die polynomielle Funktion
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\[
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g : k → k, \quad λ ↦ f(λ·\vec{x}).
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\]
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Weil $V(I)$ ein Kegel ist, ist klar, dass die Punkte $λ·\vec{x}$ stets wieder
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in $V(I)$ liegen. Die Abbildung $g$ ist also die Nullfunktion. Auf der
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anderen Seite ist
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\[
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g(λ) = \sum λⁱ·f_i(\vec{x}).
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\]
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Weil der Körper $k$ per Annahme algebraisch abgeschlossen ist, folgt dann
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aber, dass alle Koeffizienten $f_i(\vec{x})$ verschwinden müssen.
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\end{proof}
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Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ erhalten wir also zwei
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Abbildungen,
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\begin{align*}
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V_ℙ &: \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \\
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I_ℙ &: \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace,
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||
\end{align*}
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die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
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Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
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\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
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wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt. Ich nenne
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einige solche Sätze ohne Beweis.
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\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
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Es sei $k$ ein Körper. Durchschnitte, Produkte, Summen und Radikale von
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homogenen Idealen in $k[x_0, …, x_n]$ sind wieder homogene Ideale. \qed
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\end{fakt}
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\begin{fakt}[Homogene Primideale]
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Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …,
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x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für
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homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
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\end{fakt}
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\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …,
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||
x_n]$ ein homogenes Ideal.
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\begin{enumerate}
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\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} =
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(x_0, …, x_n)$.
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\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} =
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I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
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\end{enumerate}
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\end{fakt}
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\begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
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Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0,
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…, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes
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definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
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\end{notation}
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\begin{fakt}
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann existierten die in
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Tabelle~\ref{tab:15-1} gezeigten Korrespondenzen. \qed
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\begin{table}
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\centering
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\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
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\rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
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||
homogene Radikalideale & algebraische Mengen \\
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||
homogene Primideale & irreduzible Mengen \\
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||
homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten
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\end{tabular}
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\caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums}
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\label{tab:15-1}
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\end{table}
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\end{fakt}
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\section{Die Zariski-Topologie}
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Im Abschnitt~\vref{sec:5-4} hatten wir die Zariski-Topologie auf dem Raum $k^n$
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eingeführt. Als direkte Konsequenz der oben genannten Fakten funktioniert die
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Konstruktion der Topologie auch für den projektiven Raum.
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\begin{faktdef}[Zariski-Topologie]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die algebraischen
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Teilmengen des $ℙ^n_k$ erfüllen die Axiome für abgeschlossenen Mengen eines
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topologischen Raums. Die so definierte Topologie auf $ℙ^n_k$ wird
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\emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} genannt. \qed
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\end{faktdef}
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\begin{aufgabe}
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Stellen Sie fest, dass die im Abschnitt~\ref{sec:15-2} diskutierten Mengen
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$U_i$ aus der Standardüberdeckung des $ℙ^n$ bezüglich der Zariski-Topologie
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des $ℙ^n$ offen sind. Durch welche Gleichung ist das Komplement der Menge
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$U_i$ gegeben?
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\end{aufgabe}
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Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte
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\[
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φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
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||
\]
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betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
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||
den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen.
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\begin{itemize}
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\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
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||
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
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||
\item Zum anderen wissen wir, dass die Standardkarte $φ_i$ den Raum $𝔸^n_k$
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||
bijektiv auf die Menge $U_i$ abbildet. Also definiert die Zariski-Topologie
|
||
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ mithilfe der Abbildung $φ_i$ ebenfalls eine
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Topologie auf $U_i$.
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||
\end{itemize}
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||
Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
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Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“.
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\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}%
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||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
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||
\[
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||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
|
||
\]
|
||
ist ein Homöomorphismus zwischen dem topologischen Raum $𝔸^n_k$ (versehen mit
|
||
der Zariski-Topologie) und dem Raum $U_i$ (versehen mit der Teilraumtopologie,
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||
die von der Zariski-Topologie des $ℙ^n_k$ induziert ist).
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||
\end{prop}
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||
Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
|
||
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
|
||
werden.
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||
|
||
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}%
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||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
|
||
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
|
||
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
|
||
\[
|
||
f(x_0, …, x_{n-1}) = \sum_{i=0}^{\deg f} f_i(x_0, …, x_{n-1}),
|
||
\]
|
||
wobei $f_i$ homogen vom Grad $i$ ist. Durch Hinzufügen einer weiteren
|
||
Variable kann ich jetzt wie folgt ein homogenes Polynom konstruieren,
|
||
\[
|
||
f^*(x_0, …, x_n) := \sum_{i=0}^{\deg f} x_n^{(\deg f)-i}·f_i(x_0, …,
|
||
x_{n-1}).
|
||
\]
|
||
Wir erhalten eine Abbildung
|
||
\[
|
||
•^* : k[x_0, …, x_{n-1}] → \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n]
|
||
\},
|
||
\]
|
||
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
|
||
\end{konstruktion}
|
||
|
||
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}%
|
||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …,
|
||
x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein Polynom in
|
||
weniger Variablen konstruieren,
|
||
\[
|
||
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
|
||
\]
|
||
Wir erhalten eine Abbildung
|
||
\[
|
||
•_* : \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n] \} → k[x_0, …,
|
||
x_{n-1}],
|
||
\]
|
||
die oft als \emph{Dehomogenisierung}\index{Dehomogenisierung} bezeichnet wird.
|
||
\end{konstruktion}
|
||
|
||
\begin{aufgabe}
|
||
Inwieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse
|
||
Abbildungen?
|
||
\end{aufgabe}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:16-3-3}]
|
||
Wir führen den Beweis nur im Fall $i = n$. Da wir schon wissen, dass die
|
||
Standardkarte $φ_n$ bijektiv ist, genügt es, folgende Aussagen zu zeigen.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ ℙ^n_k$
|
||
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
||
homogenen Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass
|
||
die Urbildmenge $φ_n^{-1}(X)$ exakt die Nullstellenmenge der
|
||
dehomogenisierten Polynome $f^*_1, …, f^*_m ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ ist.
|
||
|
||
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
|
||
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
||
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
|
||
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …,
|
||
(f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.
|
||
Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂
|
||
ℙ^n_k$. \qedhere
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}%
|
||
Betrachte die Menge
|
||
\[
|
||
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
|
||
\]
|
||
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
|
||
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge
|
||
von $X$ mit dieser affinen Ebene,
|
||
\[
|
||
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
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Das ist offensichtlich die Normhyperbel. Die Sache macht neugierig, wir haben
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ja noch die anderen Standardkarten. Also rechne ich aus:
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\[
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φ_1^{-1}(X) = \bigl\{ (x,z) ∈ 𝔸²_k \::\: x·1-z² = 0 \bigr\}
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und das ist die Normparabel! Die letzte Kartenabbildung,
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\[
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φ_0^{-1}(X) = \bigl\{ (y,z) ∈ 𝔸²_k \::\: 1·y-z² = 0 \bigr\}
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\]
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liefert ebenfalls die Normparabel.
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\end{bsp}
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\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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Vergleichen Sie Beispiel~\ref{bsp:konik} mit ihren Lösungen der
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Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und machen Sie sich ein Bild.
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Was geht hier vor?
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\end{aufgabe}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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