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Stefan Kebekus 2023-05-15 11:18:19 +02:00
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@ -131,3 +131,50 @@ Lokalisierungskonstruktion
Inklusionsabbildung Inklusionsabbildung
Primideals Primideals
Nakayama Nakayama
Lokalisierungsabbildung
uniformisierende
uniformisierenden
adische
Tangentialgerade
uniformisierender
Cohen-Seidenberg
Krull-Dimension
Inklusionszeichen
Krull
Krullsche
Inklusionsmorphismus
Isomorphiesatz
Faktorielle
faktorieller
faktoriell
Zariski-dichte
Zariski-Abschluss
Ganzheitsgleichungen
Krullschen
Funktiongraf
Konik
Eindeutigkeitsbeweis
Bahnenraum
Antipodenpunkten
Antipodenpunkte
Normparabel
kompaktifiziert
Asymptotenrichtungen
Normhyperbel
Perge
Apollonius
Pergaeus
Koniken
Apollonios
Projektivitäten
Projektivität
Dehomogenisierung
dehomogenisierten
.te
Bézout
Nemours
Avon
Barth-Sextik
Jaffe
Ruberman
Labs

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@ -1,2 +1,3 @@
Kebekus Kebekus
syzygy syzygy
sextic

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@ -22,3 +22,23 @@
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QGegeben eine rationale Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Nullstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Krullsche Dimension von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing up.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert dann sehr schnell, dass die Dimensionen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q übereinstimmen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBeweis des Satzes „Going up“.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing down.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QVorlesung 15Die Umkehrung von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Going up“) ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAnwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QObwohl der Beweis nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZum einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKurven in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonius von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QDann gilt für jeden Vektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie homogene Radikalideale algebraische Mengen homogene Primideale irreduzible Mengen homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums\\E$"}

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03.tex
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@ -197,9 +197,9 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-3} $$ \ref{il:3-2-9-1}] \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-3} $$ \ref{il:3-2-9-1}]
Wähle ein endliches Erzeugendensystem $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als Wähle ein endliches Erzeugendensystem $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als
$A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination $A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination
der $m_$ schreiben. Machen wir das. der $m_$ schreiben. Machen wir das.
\begin{align*} \begin{align*}
1_M & = a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n \\ 1_M & = a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n \\
b·m_1 &= a_{11}·m_1 + ⋯ + a_{1n}·m_n \\ b·m_1 &= a_{11}·m_1 + ⋯ + a_{1n}·m_n \\
@ -284,13 +284,13 @@ knapp wiedergegeben.
\[ \[
א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n]. א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n].
\] \]
von $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul. Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$. von $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul. Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$.
Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich
erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem
\[ \[
א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c]. א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c].
\] \]
von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Dann ist aber von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Dann ist aber
\[ \[
א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c] א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c]
\] \]

2
04.tex
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@ -219,7 +219,7 @@ solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
\] \]
Wir wissen schon, dass es einen $$-Isomorphismus zwischen den Körpern $(π)$ Wir wissen schon, dass es einen $$-Isomorphismus zwischen den Körpern $(π)$
und $(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $(x)$ transzendent über und $(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $(x)$ transzendent über
$$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $$ liegt. Im Gegensatz dazu ist $$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $$ liegt. Im Gegensatz dazu ist
die Erweiterung $(\sqrt{2}, π)/(π)$ algebraisch. die Erweiterung $(\sqrt{2}, π)/(π)$ algebraisch.
\end{itemize} \end{itemize}

6
06.tex
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@ -90,7 +90,7 @@ Menge zu beweisen.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Wenn ich eine Menge zeichnen (oder mir zumindest vorstellen) kann, dann kann Wenn ich eine Menge zeichnen (oder mir zumindest vorstellen) kann, dann kann
ich die Frage nach der Irreduzibilität meist sofort „durch Draufschauen“ ich die Frage nach der Irreduzibilität meist sofort „durch Draufschauen“
beantworten. Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel beantworten. Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel
Mengen von hoher Dimension) schaut man dumm. Tatsächlich ist es auch für den Mengen von hoher Dimension) schaut man dumm. Tatsächlich ist es auch für den
Algebraiker sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist Algebraiker sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist
oder nicht. oder nicht.
@ -201,12 +201,12 @@ einige Vorüberlegungen.
\[ \[
M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯ M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
\] \]
von algebraischen Mengen $M_i \in M$ stationär wird. Mit anderen Worten: von algebraischen Mengen $M_i M$ stationär wird. Mit anderen Worten:
\[ \[
∃ m ∈ : M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯ ∃ m ∈ : M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
\] \]
gilt. Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(M_1) ⊆ I(M_2) ⊆ ⋯$. gilt. Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(M_1) ⊆ I(M_2) ⊆ ⋯$.
Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit
anderen Worten: anderen Worten:
\[ \[
∃ m ∈ : I(M_m) = I(M_{m+1}) = I(M_{m+2}) = ⋯. ∃ m ∈ : I(M_m) = I(M_{m+1}) = I(M_{m+2}) = ⋯.

2
07.tex
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@ -74,7 +74,7 @@ Koordinatenring nullteilerfrei ist.
Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die
man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische
Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal
sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die
Sache ist eigentlich sehr einfach. Sache ist eigentlich sehr einfach.
\begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen] \begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen]

6
08.tex
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@ -77,7 +77,7 @@ wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das.
\section{Monomiale Ideale} \section{Monomiale Ideale}
Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir
Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was
das sein soll, erkläre ich jetzt. das sein soll, erkläre ich jetzt.
\begin{definition}[Monome, Terme] \begin{definition}[Monome, Terme]
@ -230,7 +230,7 @@ Beispiele diskutieren.
\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}% \begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}%
Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der
Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen
gleichzeitig alle Terme mit $$ und alle Termine mit $$ zu eliminieren. Mit gleichzeitig alle Terme mit $$ und alle Termine mit $$ zu eliminieren. Mit
anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form
\[ \[
f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h
@ -794,7 +794,7 @@ gewünschte liefert.
\begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus] \begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus]
Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein
Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf
der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der
Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_$ ist. Es gilt also Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_$ ist. Es gilt also
\[ \[

4
10.tex
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@ -93,7 +93,7 @@ Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft. In späteren Anwendunge
ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und
$m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann $m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann
die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine
Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. Bei Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. Bei
der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also „rationale Funktionen“ der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also „rationale Funktionen“
der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des multiplikativen der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des multiplikativen
Systems $Rm_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt präzise, was Systems $Rm_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt präzise, was
@ -777,7 +777,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\begin{proof} \begin{proof}
Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal, Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal,
welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $RS = R(Rp) = p$ enthalten ist. welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $RS = R(Rp) = p$ enthalten ist.
Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. Mit Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. Mit
anderen Worten: $m = p · R_p$. anderen Worten: $m = p · R_p$.
\end{proof} \end{proof}

100
11.tex
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@ -8,28 +8,27 @@ Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
folgende Situation. folgende Situation.
\begin{situation}\label{sit:11-1} \begin{situation}\label{sit:11-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve. ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
\end{situation} \end{situation}
\begin{notation} \begin{notation}
In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal $m ⊊
$m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die Lokalisierung
Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach Korollar~\ref{kor:10-6-9}
Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen wir mit $m_p$.
wir mit $m_p$.
\end{notation} \end{notation}
\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität} \section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere, „Multiplizität“ und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann. dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3} \begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}%
In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ $, sodass für alle In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ $, sodass für alle
natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt, natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1} \begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
@ -42,25 +41,25 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt, erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben, beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
\[ \[
m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯ m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯.
\] \]
In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und $m^{n+1}_p
$m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ natürlich
natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$
$\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen und ist deshalb selbst ein
und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir natürlich als Elemente des
natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante affinen Koordinatenringes sehen („konstante Polynome“) und daher auch als
Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Polynom $λ$, betrachte einfach
Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise fassen wir den Körper $k$ in
fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. Dann ist aber jeder
Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es sinnvoll, die
sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren. Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
\end{erkl} \end{erkl}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11} Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine angedeutet hatten: Die Multiplizität von Punkten auf einer Kurve ist eine
Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen Eigenschaft, die nur vom affinen Koordinatenring (und dessen maximalen
Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
eingebettet ist! eingebettet ist!
@ -69,7 +68,7 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
wird dabei helfen. wird dabei helfen.
\begin{lem}\label{lem:11-1-4} \begin{lem}\label{lem:11-1-4}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
maximale Ideal des $0$-Punktes, maximale Ideal des $0$-Punktes,
@ -94,30 +93,30 @@ wird dabei helfen.
Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal $m
$m ⊂ R$ ist ein Hauptideal. ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes $z ∈ R
$z ∈ R \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ besitzt, wobei
besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ $ ist. $u ∈ R^*$ und $n ∈ $ ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
\ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende \ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende
Parameter}\index{uniformisierender Parameter}. Parameter}\index{uniformisierender Parameter}.
\end{satzdef} \end{satzdef}
\begin{proof} \begin{proof}
\video{13-3} \video{13-3}
\end{proof} \end{proof}
Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen Der Begriff des „uniformisierenden Parameters“ ist vielleicht einigermaßen
selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht. selbsterklärend, der Begriff des „Bewertungsringes“ aber wahrscheinlich nicht.
Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. Es gibt in der Algebra den Begriff der „diskreten Bewertung eines Körpers“.
\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers] \begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K \{ 0 \}$, dass für alle Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K \{ 0 \}$, dass für alle $x,y ∈ k
$x,y ∈ k \{ 0 \}$ folgendes gilt. \{ 0 \}$ folgendes gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$. \item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
@ -125,7 +124,7 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6} \begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}%
Wir betrachten den Körper $(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable Wir betrachten den Körper $(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
und wählen einen Punkt $p ∈ $. Dann definiere eine diskrete Bewertung des und wählen einen Punkt $p ∈ $. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
Körpers $(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x)(x)$, Körpers $(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x)(x)$,
@ -142,19 +141,19 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $$] \begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $$]
Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Mit
$p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der anderen Worten: die $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl
Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich
Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element auf den Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element $q =
$q = \frac{a}{b}$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, \frac{a}{b}$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, dass
dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $$ ist. dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $$ ist.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8} \begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}%
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist, Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
\[ \[
ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) - ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht) -
(Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}. (Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}.
\] \]
Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine
@ -173,9 +172,8 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet. für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10} \begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}%
In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring. \item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
@ -189,10 +187,10 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
etwas mehr: Sei $ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad etwas mehr: Sei $ ∈ k[x,y]$ eine Gerade\footnote{= Polynom von Grad 1}, die
1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $$ in $p$ \emph{keine} den Punkt $p$ enthält. Wenn $$ in $p$ \emph{keine} Tangentialgerade an
Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $$ im lokalen Ring $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $$ im lokalen Ring $𝒪_p(f)$ ein
$𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter. uniformisierender Parameter.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen. Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.

206
12.tex
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@ -27,23 +27,22 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes] \begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war ein
ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. Krull
Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen,
Primidealen,
\[ \[
P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n. P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
\] \]
\end{defn} \end{defn}
\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät] \begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
$k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet. wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
@ -54,11 +53,11 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
\begin{bsp}[Der Punkt] \begin{bsp}[Der Punkt]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
$(0)$ und somit die Dimension 0. und somit die Dimension 0.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5} \begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$ Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
@ -73,20 +72,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
Der Ring $$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim = 1$. Der Ring $$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim = 1$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6} \begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
\[ \[
(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊ (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]. (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
\] \]
ist eine Kette von Primidealen, also ist ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n]
$\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$. n$.
\end{bsp} \end{bsp}
Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas ist nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir so weit sind, ist noch etwas
Vorarbeit zu leisten. Vorarbeit zu leisten.
@ -97,9 +96,9 @@ geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische
Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
geometrisches Beispiel. geometrisches Beispiel.
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1} \begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
$C = \{+-\}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
@ -118,64 +117,61 @@ geometrisches Beispiel.
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
ganzen Ringerweiterungen nicht ändert. ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2} \begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist $\dim A
$\dim A = \dim B$. = \dim B$.
\end{satz} \end{satz}
Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und zueinander verhalten.
die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale] \begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt
über $p$}. über $p$}.
\end{notation} \end{notation}
Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
``übereinander liegen'' kommt. „übereinander liegen“ kommt.
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2] \begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
$p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. Dies ist das maximale Ideal
Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$. des Punktes $π(v)$.
\end{bsp} \end{bsp}
Der erste Satz von Der erste Satz von
Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen} Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
(* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer (* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
Mathematiker. }-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand) Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_
Primidealen $p_{} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen ⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_$ jeweils
$q_{} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{}$ jeweils über den über den $p_$ liegen. Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
$p_{}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''} \subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam. Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam. Um den
Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\begin{satz}\label{satz:12-2-5} \begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes. Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
$q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
Einbettung
\[ \[
\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}. \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
\] \]
Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung. Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
$S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung. ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -183,16 +179,16 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\end{proof} \end{proof}
\begin{notation}[Schlechte Notation] \begin{notation}[Schlechte Notation]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
Primideal und es sei $S := A p$. In der Literatur wird die sei $S := Ap$. In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist. Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
\end{notation} \end{notation}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt. Dann gelten
liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen. folgende Äquivalenzen.
\begin{align*} \begin{align*}
\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\ \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\ & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
@ -200,22 +196,21 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\end{align*} \end{align*}
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8} \begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
$p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
über $A$.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
\video{14-2} \video{14-2}
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten] \begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
$p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1
über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$. = q_2$.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes, Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$. Dann gilt Folgendes,
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$, \item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
@ -229,7 +224,7 @@ Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb s
die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist. die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp} \begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält. $p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
@ -241,7 +236,7 @@ die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen} \subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
ganzen Ringerweiterungen beweisen. ganzen Ringerweiterungen beweisen.
@ -249,39 +244,38 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
\video{14-4} \video{14-4}
\end{proof} \end{proof}
\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11} \begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$ Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
$f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist? Wir
diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8} Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt
ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das
Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird. wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{fakt} \begin{fakt}
Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $$, Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $$,
sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: Die Abbildung $f^*
$f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie sich, was
sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
kompakter Mengen sind wieder kompakt. sind wieder kompakt.
\end{fakt} \end{fakt}
\section{Going down} \section{Going down}
\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going \sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das Zauberwort
Zauberwort heißt ``Normalität''. heißt „Normalität“.
\begin{defn}\label{def:12-3-1} \begin{defn}\label{def:12-3-1}%
Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$ Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$ ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt: ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
@ -291,28 +285,28 @@ Zauberwort heißt ``Normalität''.
\] \]
\end{defn} \end{defn}
\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown} \begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$ Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
$q_1 ∩ A = p_1$. \qed $q_1 ∩ A = p_1$. \qed
\end{satz} \end{satz}
Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
nicht vertiefen und auch nicht beweisen. nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
\subsection{Normale Ringe} \subsection{Normale Ringe}
Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“. Zum
einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
diskutieren kann. diskutieren kann.
\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3} \begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal. \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
@ -326,7 +320,7 @@ diskutieren kann.
Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4} \begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$. ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
@ -343,16 +337,16 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ + \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
\frac{a_0}{s_0} = 0, \frac{a_0}{s_0} = 0,
\end{equation} \end{equation}
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze $t := s_0
$t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte $s·t ∈ S$ und erhalte
\[ \[
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ + \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0. a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
\] \]
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st}
$\frac{b}{s} = \frac{bt}{st}S^{-1}C$. S^{-1}C$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}] \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
@ -370,8 +364,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.} A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
\] \]
Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist, Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis für
für maximale Ideal folgt natürlich analog. maximale Ideal folgt natürlich analog.
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz} \begin{satz}
@ -382,8 +376,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$ Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$ eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
Gleichung die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1} \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} + \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
⋯ + a_0 = 0 ⋯ + a_0 = 0

133
13.tex
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@ -9,10 +9,10 @@ nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch. Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1} \begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
$y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt. ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
unabhängig über $k$. unabhängig über $k$.
@ -40,7 +40,7 @@ viel einfacheren Polynomring.
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es
sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Eine sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Eine
endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von
$A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften $A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften
\ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten. \ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten.
\end{defn} \end{defn}
@ -54,9 +54,9 @@ viel einfacheren Polynomring.
\section{Geometrische Interpretation} \section{Geometrische Interpretation}
\label{sec:13-1} \label{sec:13-1}
Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall,
$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$ Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$
eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert
Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
@ -69,7 +69,7 @@ von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die
Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert. Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist \item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$
algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
@ -78,11 +78,11 @@ Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \}𝔸^d_k. V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \}𝔸^d_k.
\] \]
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung \item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d]
$k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die
gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem wissen wir nach
wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider
aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist. kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der \item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist. Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
@ -98,13 +98,13 @@ Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.
k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n) k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
\] \]
surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als
Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen. algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
\item Die Aussage ``die $y_$ sind Linearkombinationen der $e_$'' beschreibt \item Die Aussage die $y_$ sind Linearkombinationen der $e_$“ beschreibt $π$
$π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare
lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung
Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein. $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
\end{itemize} \end{itemize}
\begin{figure} \begin{figure}
@ -163,16 +163,15 @@ vorbereitenden Lemma.
\begin{lem} \begin{lem}
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] \{0\}$. Dann gibt es Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] \{0\}$. Dann gibt es
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i -
$y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann,
kann,
\[ \[
f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …, f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
y_{n-1}). y_{n-1}).
\] \]
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i -
$y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$. a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im
@ -207,9 +206,8 @@ beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.
\section{Geometrische Konsequenzen} \section{Geometrische Konsequenzen}
Als erste echte Anwendung des Satzes über die Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir
Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
Dimension des affinen Raums ist.
\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a} \begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
Es sei $k$ ein Körper. Dann ist Es sei $k$ ein Körper. Dann ist
@ -221,12 +219,12 @@ Dimension des affinen Raums ist.
\video{17-2} \video{17-2}
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b} \begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang = ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang =
kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$ kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$
die Länge $d$. die Länge $d$.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -252,17 +250,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach
Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …,
$\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung
Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad
der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$. nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor} \begin{kor}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
$X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k →
Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist.
endlich und surjektiv ist.
\end{kor} \end{kor}
\begin{proof} \begin{proof}
Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
@ -275,17 +272,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind. Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
\end{kor} \end{kor}
\begin{proof} \begin{proof}
Lineare Projektionen $𝔸^n_{}𝔸^d_{}$ sind bezüglich der Euklidischen Lineare Projektionen $𝔸^n_𝔸^d_$ sind bezüglich der Euklidischen
Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_$.
$𝔸⁰_{}$.
\end{proof} \end{proof}
Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height} \begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}%
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die
\emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen \emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
von Ketten von Primidealen von Ketten von Primidealen
@ -295,38 +291,40 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet. In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8} \begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}%
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …,
$q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten
Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette von Primidealen von der folgenden Kette
\[ \[
(0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p (0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
\] \]
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$. angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{kor}\label{kor:13-3-9} \begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂
$p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist A$ ein Primideal, dann ist
\[ \[
\dim A = \height(p) + \dim(A/p). \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
\] \]
\end{kor} \end{kor}
\begin{proof} \begin{proof}
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und
erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten. erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und \item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
$k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
normal. normal.
\item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach \item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach
Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen Satz~\ref{satz:12-2-2} (Dimension ist invariant unter ganzen
Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen
Raumes'') Raumes)
\[ \[
\dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d. \dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
\] \]
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
\[ \[
@ -335,7 +333,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$. Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
\end{itemize} \end{itemize}
Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
Dimension. Zusammen erhalten wir Dimension. Zusammen erhalten wir
\[ \[
@ -345,11 +343,11 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\end{proof} \end{proof}
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe] \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
$A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage
Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
Praxis einigermaßen sinnlos. sinnlos.
\end{warnung} \end{warnung}
@ -357,16 +355,16 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich. („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
nur ohne Beweis. Beweis.
\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz] \begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0(f) ⊊ R$ ein Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0(f) ⊊ R$ ein
Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$ Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) =
$(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes
Indizes $i$. \qed $i$. \qed
\end{satz} \end{satz}
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
@ -380,10 +378,11 @@ Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze. eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man \item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer
die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
Machbaren. Machbaren.
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper \item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper

74
14.tex
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@ -51,9 +51,9 @@ gelernt.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im kannte schon mein Physik-Lehrer: Zwei parallele Geraden schneiden sich im
unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum unendlichen. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $^n_k$ zu $𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $^n_k$ zu
ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$ $C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
@ -79,10 +79,10 @@ Multiplizität gezählt werden müssen.
\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven} \section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll Schnittpunkte mit der
richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene richtigen Multiplizität zu zählen. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$ genau sein soll. Dieses
Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
ebenfalls sehr gut erklärt finden. ebenfalls sehr gut erklärt finden.
@ -93,24 +93,24 @@ Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine
sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
sollte. sollte.
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1} \begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}%
Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix $A ∈
$A ∈ \operatorname{Mat}(nn, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für \operatorname{Mat}(nn, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für alle
alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen „affine Transformation“ auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen Raum
Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist). $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
\end{erinnerung} \end{erinnerung}
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz} \begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}%
Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die
Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
\[ \[
\Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} \{ \text{ebene alg.~Kurven \Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} \{ \text{ebene alg.~Kurven
in } 𝔸²_k \} 𝔸²_k → \{\} in } 𝔸²_k \} 𝔸²_k → \{\}
\] \]
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte $p
$p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten. ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) =$, wenn $F$ und \item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) =$, wenn $F$ und
$G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten. $G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
@ -121,19 +121,18 @@ sollte.
$G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten. $G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
\item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen \item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$
die Gleichung gilt die Gleichung
\[ \[
\Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T). \Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
\] \]
\item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der \item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$. Kurven. Genauer gesagt: Es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets $\Int_p(F,G)\mult_p(F) ·
$\Int_p(F,G)\mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn die Kurven $F$ und $G$
wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade haben.
haben.
\item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer: \item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer:
falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
@ -157,20 +156,20 @@ sollte.
\begin{aufgabe} \begin{aufgabe}
Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten. Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo $F(x,y) =
$F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und wo $p =
wo $p = (x_0, 0)$ ist. (x_0, 0)$ ist.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\subsection{Träume werden wahr} \subsection{Träume werden wahr}
Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von
``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor „Schnittzahl“, die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
Tatsachen, die wir später benötigen. Tatsachen, die wir später benötigen.
\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5} \begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das
maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
@ -186,13 +185,13 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte
noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise
ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich $\sqrt{I} =
$\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und $y^n ∈ I$
$y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum. Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
\end{erinnerung} \end{erinnerung}
\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6} \begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen, ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
@ -203,17 +202,16 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
und $\dim_k R < ∞$. und $\dim_k R < ∞$.
\end{eerinnerung} \end{eerinnerung}
\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES} \begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine
Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} gelten.
gelten.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit] \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
\video{18-1} \video{18-1}
\end{proof} \end{proof}
\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8} \begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}%
Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
@ -253,9 +251,9 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$. \item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass die
die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, die
die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten. den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
\end{itemize} \end{itemize}
Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}. Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.

123
15.tex
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@ -13,13 +13,13 @@ Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe
Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte). (wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1} \begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ $ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ $ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren
$\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein $\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist
offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $^n$ ist Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $^n$ ist üblich.
üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors Die Äquivalenzklasse eines Vektors
\[ \[
\vec{v} = \begin{pmatrix} \vec{v} = \begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n x_1 \\ \vdots \\ x_n
@ -36,8 +36,8 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad % \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\} \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
\] \]
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich dazu
dazu ist der Ausdruck ist der Ausdruck
\[ \[
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\} \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
\] \]
@ -47,19 +47,19 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
\subsection{Andere, äquivalente Definitionen} \subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der Im Vergleich zur äquivalenten Definition der projektive Raum ist die Menge der
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$ ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht etwas
etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere (und
(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
\[ \[
k^* \left( k^{n+1} \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad k^* \left( k^{n+1} \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
\bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v} \bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
\] \]
betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
definieren. Im Fall $k = $ könnte man auch die Einheitssphäre definieren. Im Fall $k = $ könnte man auch die Einheitssphäre $S^{n}
$S^{n}^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die Sphäre in
Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $^n_$ genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $^n_$ kann also
kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden, auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
\[ \[
^n_ = \factor{S^n}{\{± 1\}}, ^n_ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
\] \]
@ -68,15 +68,15 @@ genau die Antipodenpunkte vertauscht.
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist. Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene $ℙ²_ =
$ℙ²_ = \factor{}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden \factor{}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden Beispielen so
Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
\href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas \href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
Demleitner}? Demleitner}?
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
Der projektive Raum $ℙ¹_$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Der projektive Raum $ℙ¹_$ ist eine reell-zwei\-dimension\-ale Mannigfaltigkeit.
Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_$ so viel Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_$ so viel
einfacher als $ℙ²_$? einfacher als $ℙ²_$?
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
@ -89,13 +89,13 @@ Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine
Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser
Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären, Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären,
wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind. „unendlich fernen Punkte“ eigentlich sind.
\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss} \begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}%
Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer
Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, indem
indem ich mithilfe der Abbildung ich mithilfe der Abbildung
\[ \[
ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1) ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
\] \]
@ -103,23 +103,21 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier, identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich $ι(x,y) =
$ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die Gerade
Gerade $[x:y:1]$. $[x:y:1]$.
Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
\[ \[
φ_2 : ℝ² → ℙ²_, \quad (x,y) ↦ [x:y:1], φ_2 : ℝ² → ℙ²_, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
\] \]
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{}$ aufzufassen. die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_$ aufzufassen. Die
Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die
die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
Menge
\[ \[
:= \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ \::\: z = 0 \bigr\}. := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ \::\: z = 0 \bigr\}
\] \]
ist. Man nennt $$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die ist. Man nennt $$ die Menge der „unendlich fernen Punkte“. Die Abbildung
Abbildung
\[ \[
ℙ¹_ → ℙ²_, \quad [x:y] ↦ [x:y:0] ℙ¹_ → ℙ²_, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
\] \]
@ -137,10 +135,10 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_$). Welche Ursprungsgerade (= welcher Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_$). Welche Ursprungsgerade (= welcher
Punkt des $ℙ²_$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$ Punkt des $ℙ²_$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die
``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben. „unendlich fernen“ Punkte etwas mit „Asymptotenrichtungen“ zu tun haben.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3} \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}%
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
\[ \[
@ -152,7 +150,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch? kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4} \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}%
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
\[ \[
@ -165,20 +163,20 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] \begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von In der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von
Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge;
ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer Mathematiker,
Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie trug er zur
trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus in sein
in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung vom
vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht! projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6} \begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}%
Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
\[ \[
@ -204,9 +202,9 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
Die Vereinigung der Mengen $U_i$ ist offenbar der ganze projektive Raum. Man Die Vereinigung der Mengen $U_i$ ist offenbar der ganze projektive Raum. Man
nennt die $U_i$ daher oft die \emph{Standardüberdeckung des projektiven nennt die $U_i$ daher oft die \emph{Standardüberdeckung des projektiven
Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen
$φ_i$ werden oft als \emph{Standardkarten des projektiven $φ_i$ werden oft als \emph{Standardkarten des projektiven
Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet. Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet.
\end{notation} \end{notation}
\begin{bemerkung}[Der projektive Raum als Mannigfaltigkeit] \begin{bemerkung}[Der projektive Raum als Mannigfaltigkeit]
@ -220,32 +218,33 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
\subsection{Projektivitäten} \subsection{Projektivitäten}
Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion der
Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja nocheinmal erinnert hatte. Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte.
Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird. Transformation, die in der Literatur oft auch als „Projektivität“ bezeichnet
wird.
\begin{defn}[Projektivitäten] \begin{defn}[Projektivitäten]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung $φ : ^n →
$φ : ^n → ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive Transformation}
Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine invertierbare
invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle $\vec v ∈ k^{n+1}$ die
$\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung Gleichung
\[ \[
φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right] φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
\] \]
gilt. gilt.
\end{defn} \end{defn}
Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($$ Vorlesung Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten
Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche
abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man
die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die auf diese Weise erhält, exakt die affinen Transformationen der affinen Ebene
affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne verallgemeinern die Projektiven die affinen
verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also. Transformationen also.
%%% Local Variables: %%% Local Variables:

123
16.tex
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@ -10,8 +10,8 @@ Ausdruck der Form
\[ \[
\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\} \bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
\] \]
gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1
$1²-1 = 0$, während $2²-20$ ist.}. = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
@ -19,10 +19,10 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ¹_k$, aber es ist
\[ \[
f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n). f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
\] \]
Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} =
$\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈
$[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n]^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.
genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge Die Menge
\[ \[
V_{}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\} V_{}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
\] \]
@ -39,11 +39,11 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ¹_k$, aber es ist
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $^n_k$'' sprechen. Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $^n_k$“ sprechen. Falls
Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
des projektiven Raums'' definieren werden. Raums“ definieren werden.
@ -54,7 +54,7 @@ betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
Polynom homogen sein soll. Polynom homogen sein soll.
\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $^n_k$]\label{defn:15-4-1} \begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $^n_k$]\label{defn:15-4-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ^n_k$ Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ^n_k$
heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $^n_k$}, wenn es heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $^n_k$}, wenn es
homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
@ -67,8 +67,8 @@ Polynom homogen sein soll.
Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m)
$V(f_1, …, f_m)k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel? k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
\begin{defn}[Kegel] \begin{defn}[Kegel]
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$ Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
@ -86,19 +86,20 @@ $V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
\label{fig:cone} \label{fig:cone}
\end{figure} \end{figure}
\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3} \begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}%
Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
Formen. Formen.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $$ und $\{ \vec{0} \}$. \item Die leere Menge und der Nullpunkt, $$ und $\{ \vec{0} \}$.
\item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
\item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{bsp} \end{bsp}
Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
exakt die Punkte des projektiven Raumes $^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln exakt die Punkte des projektiven Raumes $^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂
$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
\[ \[
\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}. \mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
\] \]
@ -112,7 +113,7 @@ ein Kegel.
\section{Kegel und homogene Ideale} \section{Kegel und homogene Ideale}
\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie'' \sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“
war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $^n_k$ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $^n_k$
@ -120,7 +121,7 @@ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $^n_k
Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1} \begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
folgende Aussagen äquivalent. folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -137,13 +138,13 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\end{satzdef} \end{satzdef}
\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $$ \ref{il:15-4-2-2}] \begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $$ \ref{il:15-4-2-2}]
Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈
$α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
\[ \[
g = \sum_i α_i·f_i g = \sum_i α_i·f_i
\] \]
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d
$α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
\[ \[
g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i. g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
\] \]
@ -158,19 +159,19 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
\[ \[
g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}. g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
\] \]
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I =
$I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$. (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
\end{proof} \end{proof}
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{}(I)^n_n$. f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{}(I) ⊂ ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale] \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂
$I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist das
das Ideal $I$ homogen. Ideal $I$ homogen.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
@ -204,7 +205,7 @@ Abbildungen,
die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes, \emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt. Ich nenne
einige solche Sätze ohne Beweis. einige solche Sätze ohne Beweis.
\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen] \begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
@ -213,27 +214,27 @@ einige solche Sätze ohne Beweis.
\end{fakt} \end{fakt}
\begin{fakt}[Homogene Primideale] \begin{fakt}[Homogene Primideale]
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …,
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für
$b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
\end{fakt} \end{fakt}
\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz] \begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …,
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal. x_n]$ ein homogenes Ideal.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Wenn $V_{}(I) =$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder \item Wenn $V_{}(I) =$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} =
$\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$. (x_0, …, x_n)$.
\item Wenn $V_{}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist \item Wenn $V_{}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} =
$\sqrt{I} = I_{}\bigl(V_{}(I)\bigr)$. \qed I_{}\bigl(V_{}(I)\bigr)$. \qed
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{fakt} \end{fakt}
\begin{notation}[Das irrelevante Ideal] \begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0,
$(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes
Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}. definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
\end{notation} \end{notation}
\begin{fakt} \begin{fakt}
@ -280,7 +281,7 @@ Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ^n_k φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ^n_k
\] \]
betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen. den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $^n_k$ \item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $^n_k$
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ^n_k$ die Teilraumtopologie. auf der offenen Menge $U_i ⊂ ^n_k$ die Teilraumtopologie.
@ -291,9 +292,9 @@ den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
Topologie auf $U_i$. Topologie auf $U_i$.
\end{itemize} \end{itemize}
Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''. Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“.
\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3} \begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
\[ \[
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ^n_k φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ^n_k
@ -307,7 +308,7 @@ Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
werden. werden.
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom} \begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom. Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden, jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
@ -328,10 +329,10 @@ werden.
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird. die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom} \begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …,
$f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein Polynom in
Polynom in weniger Variablen konstruieren, weniger Variablen konstruieren,
\[ \[
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1). f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
\] \]
@ -344,7 +345,7 @@ werden.
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
\begin{aufgabe} \begin{aufgabe}
In wieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse Inwieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse
Abbildungen? Abbildungen?
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
@ -361,21 +362,21 @@ werden.
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ \item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
Nullstellenmenge $Y ⊂ ^n_k$ der homogenisierten Polynome Nullstellenmenge $Y ⊂ ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …,
$(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.
$φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂
abgeschlossen in $U_n ⊂ ^n_k$. \qedhere ^n_k$. \qedhere
\end{itemize} \end{itemize}
\end{proof} \end{proof}
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik} \begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}%
Betrachte die Menge Betrachte die Menge
\[ \[
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}. X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
\] \]
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge
$X$ mit dieser affinen Ebene, von $X$ mit dieser affinen Ebene,
\[ \[
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}. φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
\] \]

213
17.tex
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@ -6,31 +6,31 @@
\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$ jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu
Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
Seite~\ref{def:eak} gesehen. Seite~\ref{def:eak} gesehen.
\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk} \begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] \{ 0 \}$, wobei zwei Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] \{ 0 \}$, wobei zwei
Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $F
$F = λ·G$ ist. = λ·G$ ist.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn
Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z -+ 6·xz² - 6·z³$ betrachten. auch die elliptische Kurve $y²z -+ 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3} \begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}%
Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung $A :
$A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom und liefert
und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht von der
von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
\[ \[
V_(F) = φ^{-1}\left( V_(F◦ A) \right). V_(F) = φ^{-1}\left( V_(F◦ A) \right).
\] \]
@ -38,11 +38,11 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
\end{bsp} \end{bsp}
Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den „Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an
Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive
für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's. Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's.
\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe} \section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
@ -50,17 +50,16 @@ für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht'
Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum: Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$ während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist niemals\footnote{Praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $^n_k$. Dies gilt auch dann, konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $^n_k$. Dies gilt auch dann, wenn
wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir rationale
rationale Funktionen konstruieren. Funktionen konstruieren.
\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1} \begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und $g ∈
$g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, $d = \deg f = \deg g$.
$d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} \{ \vec{0} \}$ Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} \{ \vec{0} \}$ ein Punkt ist mit $g(\vec{x})0$,
ein Punkt ist mit $g(\vec{x})0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
die Gleichung
\[ \[
\frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} = \frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}. \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
@ -70,18 +69,17 @@ rationale Funktionen konstruieren.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
Punkten von $V_(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall Punkten von $V_(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall $f =
$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion'' x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von „rationaler Funktion“ und
und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst „Definitionsbereich“ ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst scheint.
scheint.
\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum] \begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f_1, f_2
$f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] \{0\}$ homogene k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] \{0\}$ homogene Polynome mit
Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die Brüche
Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle Punkte $p$
Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $^n_k \bigl(V_(g_1) V_(g_2)\bigr)$ der Zariski-offenen Menge $^n_k \bigl(V_(g_1) V_(g_2)\bigr)$ die
die Gleichheit Gleichheit
\[ \[
\frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p) \frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
\] \]
@ -89,9 +87,9 @@ scheint.
Brüchen. Brüchen.
\end{defn} \end{defn}
\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} \begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} Es
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ^n_k$ ein sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ^n_k$ ein Punkt
Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $^n_k$. Falls es einen und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $^n_k$. Falls es einen
Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_(g)$ liegt, so sagt Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_(g)$ liegt, so sagt
man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(^n_k)$ rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(^n_k)$
@ -105,12 +103,11 @@ scheint.
$k$-Algebra. $k$-Algebra.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5} \begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei $φ_n : 𝔸^n_k →
$φ_n : 𝔸^n_k → ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt $a ∈ 𝔸^n_k$ mit
$a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als Übungsaufgabe in
Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die „Homogenisierung und Dehomogenisierung“ nach, dass die Abbildungen
Abbildungen
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
A: 𝒪_p(^n_k) && 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] && \frac{f_*}{g_*} \\ A: 𝒪_p(^n_k) && 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] && \frac{f_*}{g_*} \\
@ -118,9 +115,9 @@ scheint.
\end{matrix} \end{matrix}
\] \]
wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die
Ringe $𝒪_p(^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander Ringe $𝒪_p(^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise
isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(^n_k)$ um zueinander isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei
einen lokalen Ring. $𝒪_p(^n_k)$ um einen lokalen Ring.
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
@ -136,13 +133,13 @@ die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss
ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
betrachten möchte. betrachten möchte.
\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1} \begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$
$p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, sodass $p_i ≠ 0$ ist.
dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die rationalen Funktionen
rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{G}{x_i^{\deg G}}𝒪_p(ℙ²)$, sowie das
$\frac{G}{x_i^{\deg G}}𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal davon erzeugte Ideal
\[ \[
I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂ I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
𝒪_p(ℙ²). 𝒪_p(ℙ²).
@ -164,21 +161,21 @@ betrachten möchte.
Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen. Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp} \begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann
Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
\[ \[
\Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}}, \Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
\] \]
wobei $I_{F,G,p}𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} wobei $I_{F,G,p}𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} diskutierte
diskutierte Ideal ist. Ideal ist.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3} \begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}%
Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die ausrechnet. Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
der Standardkarte $φ_3$ und es ist der Standardkarte $φ_3$ und es ist
\[ \[
@ -186,9 +183,9 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
\] \]
wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2}
$\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann \right)$ und die Schnittzahl kann mithilfe des Algorithmus aus
mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden. Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$ Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
@ -202,7 +199,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies
jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
(langweiligen) Beweis lasse ich weg. (langweiligen) Beweis lasse ich weg.
\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4} \begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}%
In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
$φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann $φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
die Gleichung die Gleichung
@ -219,14 +216,14 @@ jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum \sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
versprochenen Satz von versprochenen Satz von
Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27. Bézout} (* 31.~März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.~September
September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die Schnittzahlen von
Schnittzahlen von projektiven Kurven. projektiven Kurven.
\begin{satz}[Satz von Bézout] \begin{satz}[Satz von Bézout]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt
Dann gilt die Gleichung die Gleichung
\[ \[
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G). \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
\] \]
@ -234,17 +231,17 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
\begin{proof} \begin{proof}
Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil
Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten
geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der
Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf der unendlich
der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
\begin{align*} \begin{align*}
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\ \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}} & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}.}
\end{align*} \end{align*}
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren, schreiben wir noch
\begin{align*} \begin{align*}
n & := \deg G & m & := \deg G \\ n & := \deg G & m & := \deg G \\
R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)} R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
@ -255,7 +252,7 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
folgenden Gleichungen zu beweisen, folgenden Gleichungen zu beweisen,
\begin{align} \begin{align}
\label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\ \label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m.
\end{align} \end{align}
Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
aufgeteilt. aufgeteilt.
@ -278,8 +275,8 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}. \bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ ∈ R_d$, sodass die Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ ∈ R_d$, sodass die
Restklassen $[A_] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im Restklassen $[A_] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im
\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente $[A_{•,*}]
$[A_{•,*}]Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden. Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich] \begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
@ -287,10 +284,10 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs} \begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
$G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann schneiden
schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten. sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
\qed \qed
\end{kor} \end{kor}
@ -305,7 +302,7 @@ können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch
den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele
singuläre Punkte haben. singuläre Punkte haben.
\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4} \begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat
höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte. höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
@ -313,10 +310,10 @@ singuläre Punkte haben.
\begin{proof} \begin{proof}
Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt $\deg G ≤ \deg
$\deg G ≤ \deg F -1$. F -1$.
Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass Aus Definition~\vref{defn:ep} („Glatte und singuläre Punkte“) ist klar, dass
die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die
Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
@ -351,13 +348,13 @@ Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65
singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
Wolf Wolf
Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war Paul Barth} (* 20.~Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.~Dezember 2016) war ein
ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.}
beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, dass maximal 64
dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, veröffentlichte
veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Ruberman in
Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist:
sextic cannot have 66 nodes''. \foreignlanguage{english}{A sextic cannot have 66 nodes}.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist
@ -365,12 +362,12 @@ sextic cannot have 66 nodes''.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz \href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen zum Thema „Flächen mit vielen singulären Punkten“ promovierte, hat einen
\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten, \href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} geschrieben,
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``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und „Weltrekordflächen“ aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
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