Vorlesung 3

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -2,3 +2,6 @@ Multiplikationsabbildung
 Majorantenkriterium
 Summenregel
 Drehstreckungsmatrix
+Cauchy-Riemann
+Cauchy-Riemannschen
+Cosinusfunktion

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -8,3 +8,5 @@
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q also die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QVektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}

01-komplexeZahlen.tex

@@ -444,7 +444,7 @@ Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$
 einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$.  Aber: Genau wie
 bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
 
-\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]
+\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}%
   Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp
   \log z = z$.  Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig.
 \end{lem}

02-diffbarkeit.tex

@@ -285,7 +285,7 @@ der Ableitungsmatrix zu verstehen.  Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
 Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
 zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
 
-\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
+\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5}
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion.  Dann sind
   die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -309,121 +309,144 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
 \end{proof}
 
 
-\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
+\section{Fingerübungen beim Ableiten}
 
-\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
+\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
-
+  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
-Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
+  differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
-Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
+  $\gamma$ in Komponenten, 
-\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden.  Jetzt
-sei $f ∈ 𝒪(U)$.
-
-Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.
-
-Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
-\begin{align}
-  (f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
-  &= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
-  &= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
-  &= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
-  &= \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix}
-\end{align}
-mittels von komplexen Zahlen.
-
-\begin{kons}
-  Real-komplexe Kettenregel
-\end{kons}
-
-\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
-
-\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
-
-\begin{itemize}
-\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
-\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
-\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
-\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
-\end{itemize}
-
-\paragraph{Direktes Nachrechnen}
-
-\begin{itemize}
-\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
-  
-  mit $\exp' = \exp$.
-  
-  Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
-\end{itemize}
-
-\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
-
-\begin{itemize}
-\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
-  
-  $\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
-\end{itemize}
-
-\subsection{Kettenregel}
-
-\begin{prop}
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
-  sodass die folgenden Bedingungen gelten:
-  \begin{enumerate}
-  \item $f$ ist injektiv.
-  \item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
-  \end{enumerate}
-  
-  Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
-  holomorph.
-\end{prop}
-
-\begin{proof}
-  Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
-  $f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar.  Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
-  mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
-  
-  Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
   \[
-    = \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
+    γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
+  \]
+  wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
+  Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix 
+  \[
+    J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} 
+  \]
+  eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
+  aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit   
+  $γ'(t)$.  
+\end{notation}
+
+Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
+Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
+
+\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
+  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
+  differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
+  \[
+    (f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
+  \]
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
+  Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
+  mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht.  Nach der Kettenregel für
+  differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
+  \[
+    (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
+    = \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
   \]
-  
-  Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
-  
-  Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
-  
-  die Cauchy-Riemann Gleichungen.
 \end{proof}
 
-\subsection{Konkrete Beispiele}
+Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren
+Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
 
-\begin{enumerate}
+\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen]
-\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
+  ---
-  
+  \begin{enumerate}
-  $f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
+    \item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
-  
+    differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
-  $z ↦ z²$
+    Summen-, Produkt- und Kettenregel.
-  
-  Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
-  
-  $\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
 
-\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
+    \item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
-  
+    differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
-  Erinnerung:
+  \end{enumerate}
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Nachrechnen!
+\end{proof}
+
+\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
+  Bedingungen gelten:
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
+    \item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
+  \end{enumerate}
+  Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
+  wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
+  Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
+  ist.  Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
+  f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
+  Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
+  Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
   \[
-    \log z = \log|z| + i · \arg(z)
+    J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
-  \]
+  \]  
-  
+  Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
-  ...  sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
+  ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
-  
+  nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
-  $\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
+\end{proof}
-  
+
-  $⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
+
-  
+\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen}
-  $⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
+
-  
+Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
-  $⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
+\begin{itemize}
-\end{enumerate}
+\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
+\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
+holomorph.
+\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
+$\exp' = \exp$.
+\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
+es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
+\end{itemize}
+
+
+\subsection{Wurzelfunktionen}
+
+Es sei
+\begin{align*}
+  \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
+  S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\}  && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
+\end{align*}
+\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
+\[
+  s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
+\]
+bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
+Wurzelfunktion
+\[
+  \sqrt{\bullet} : S \to \bH
+\]
+mit Ableitung
+\[
+  \sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
+\]
+
+\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
+  Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}?
+\end{frage}
+
+
+\subsection{Logarithmus}
+
+Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
+\[
+  \log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
+\]
+holomorph mit Ableitung
+\[
+  \log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
+\]
+
+\begin{frage}[Logarithmus ?!]
+  Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
+\end{frage}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2
 

03-wegintegrale.tex

@@ -0,0 +1,80 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Wegintegrale}
+
+\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
+
+In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
+kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
+Vektorraum.
+
+\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
+  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
+  \[
+    \int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
+  \]
+  durch komponentenweise Integration.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
+  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
+  $V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
+  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
+  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+  Es ist
+  \[
+    \int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
+  \]
+\end{bsp}
+
+Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
+
+\begin{prop}
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.
+
+  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
+  \[
+    \int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
+  \]
+
+  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
+  (b-a) \cdot \vec{v}$
+
+  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
+  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
+  \end{enumerate}
+\end{prop}
+
+\begin{definition}[Stammfunktionen]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
+  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
+  die Gleichung $F' = f$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
+  \[
+    F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
+  \]
+  eine Stammfunktion \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
+  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
+\[
+  \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
+\]
+\end{satz}
+
+% !TEX root = LineareAlgebra2
+

Funktionentheorie.tex

@@ -135,6 +135,7 @@ Link in den Text ein.
 
 \input{01-komplexeZahlen}
 \input{02-diffbarkeit}
+\input{03-wegintegrale}
 
 \addchap{Lizenz}