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Funktionentheorie/01-komplexeZahlen.tex
Stefan Kebekus 5d335520ef Vorlesung 3
2025-08-27 16:24:46 +02:00

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\chapter{Komplexe Zahlen}
\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f :
$ diskutiert. In der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir
Funktionen $f : $. Damit alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in
aller Kürze die wesentlichen Begriffe zu den komplexen Zahlen.
\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
„Operationen“):
\begin{align*}
+ : ℝ² ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \\
· : ℝ² ℝ² &→ ℝ², & \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} x_1 x_2 - y_1 y_2 \\ x_1 y_2 + x_2 y_1 \end{pmatrix}
\end{align*}
\end{konstruktion}
\begin{erinnerung}[Komplexe Zahlen]
Das Tripel $ := (ℝ², +, ·)$ ist ein Körper, den wir als „Körper der komplexen
Zahlen\index{komplexe Zahlen}“ bezeichnen. Für das neutrale Element der
Addition/Multiplikation gilt:
\[
0_ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
1_ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
\]
Die Menge der invertierbaren Elemente wird mit $^*$ bezeichnet, $^* =
\{0_ \}$.
\end{erinnerung}
\subsection{Notation}
\begin{erinnerung}[Reelle Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen]
Die Abbildung
\[
ι : , \quad x ↦ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
\]
ist ein Körpermorphismus. Das bedeutet: Für alle $z_1, z_2$ gilt:
\[
ι(z_1 + z_2) = ι(z_1) + ι(z_2)
\quad\text{und}\quad
ι(z_1 · z_2) = ι(z_1) · ι(z_2).
\]
Weiter gilt: $ι(1) = 1$ und $ι(0) = 0$. Weil die Abbildung $ι$ injektiv ist,
identifiziert man die reellen Zahlen häufig mit der Bildmenge von $ι$, nämlich
der $x$-Achse in $ℝ²$, und fasst $$ als Teilmenge von $$ auf.
\end{erinnerung}
\begin{notation}
Man bezeichnet die $x$-Achse als „reelle Achse“\index{reelle Achse}, die
$y$-Achse als „imaginäre Achse“\index{imaginäre Achse}. Das Element
$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ wird mit $i$ bezeichnet. Statt $z =
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ schreibe kurz $z = x + iy$. Dabei nenne
$x$ den „Realteil von $z$\index{Realteil} und $y$ den „Imaginärteil von
$z$\index{Imaginärteil}. Die Schreibweisen $x = \operatorname{Re}(z)$ und $y
= \operatorname{Im}(z)$ sind üblich.
\end{notation}
\subsection{Betrag und Argument}
\begin{notation}[Betrag einer komplexen Zahl]
\index{Betrag}Die euklidische Norm auf $$ wird mit $|·|$ bezeichnet. Für
eine komplexe Zahl $z = x + y·i$ nennt man $|z|$ den „Betrag von $z$“. Es
gilt $|z| = \sqrt{+}$.
\end{notation}
\begin{bemerkung}[Betrag eines Produkts]
Für alle $z_1, z_2$ gilt: $|z_1 · z_2| = |z_1| · |z_2|$.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Dreiecksungleichung]
Für alle $z_1, z_2$ gilt: $|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$.
\end{bemerkung}
\begin{notation}[Argument einer komplexen Zahl]
\index{Argument}Für komplexe Zahlen $z ∈ ^*$ bezeichnet man den Winkel
zwischen der $x$-Achse und der Achse $$ als das „Argument“ von $z$. Die
Schreibweise $\arg z$ ist üblich.
\end{notation}
\begin{beobachtung}[Darstellung von komplexen Zahlen durch Betrag und Argument]
Sei $z ∈ ^*$. Dann ist
\[
z = |z| · \begin{pmatrix} \cos (\arg z) \\ \sin (\arg z) \end{pmatrix}.
\]
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Darstellung Argument des negierten]
Sei $z ∈ ^*$. Dann ist
\[
\arg (-z) = π + \arg z.
\]
\end{beobachtung}
\subsection{Geometrische Bedeutung der Körperoperationen}
Es ist per Definition klar, dass die Addition im Körper $$ einfach die
Vektoraddition der $ℝ²$ ist. Um die Bedeutung der Multiplikation zu verstehen,
sei $z ∈ ^*$ irgendeine Zahl, mit Betrag $λ := |z|$ und Argument $α := \arg z$.
Man rechne man nach, dass die Multiplikationsabbildung
\[
m_z : , \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ z · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
gleich der Abbildung
\[
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ↦ λ·\begin{pmatrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
ist. Dies ist eine Drehstreckung.
\begin{merke}[Multiplikation ist Drehstreckung]
Multiplikation einer komplexen Zahl $w$ mit $z ∈ ^*$ bedeutet: Drehe $w$ um
den Winkel $α = \arg z$ und strecke das Ergebnis um den Faktor $λ = |z|$.
\end{merke}
\begin{kons}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
Gegeben komplexe Zahlen $z_1, z_2$, dann ist $|z_1 · z_2| = |z_1| ·
|z_2|$. Falls $z_1$ und $z_2^*$ sind, gilt $\arg (z_1 · z_2) = \arg (z_1)
+ \arg (z_2)$.
\end{kons}
\begin{merke}[Multiplikation zweier komplexer Zahlen]
Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge multipliziert
und die Argumente addiert.
\end{merke}
\begin{merke}[Division zweier komplexer Zahlen]
Man dividiert zwei komplexe Zahlen, indem man die Beträge dividiert und die
Argumente subtrahiert.
\end{merke}
\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das
Argument negiert.
\end{merke}
\subsection{Konjugation}
\begin{notation}[Konjugation]
Die Spiegelung an der reellen Achse,
\[
τ : , \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
\]
wird als „Konjugation“ bezeichnet\index{Konjugation}. Anstelle von $τ(z)$ ist
die Schreibweise $\overline{z}$ üblich.
\end{notation}
\begin{erinnerung}[Konjugation als Körpermorphismus]
Komplexe Konjugation ist ein Körpermorphismus. Das bedeutet: Für alle $z_1,
z_2$ gilt:
\[
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
\quad\text{und}\quad
\overline{z_1 · z_2} = \overline{z_1} · \overline{z_2}.
\]
Weiter gilt: $\overline{0} = 0$ und $\overline{1} = 1$.
\end{erinnerung}
\begin{erinnerung}[Allererste Eigenschaften der Konjugation]
Sei $z ∈ $. Dann gilt Folgendes.
\begin{itemize}
\item Die Gleichung $\overline{z} = z$ gilt genau dann, wenn $z ∈ $ ist.
\item Es ist $|z| = |\overline{z}|$ und $\arg \overline{z} = - \arg z$.
\item Es ist $\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ und
$\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$.
\item Es ist $\overline{z} = |z|²$.
\item Falls $z ∈ ^*$ ist, so ist $\overline{z^{-1}} =
\overline{z}^{-1}$.
\end{itemize}
\end{erinnerung}
\subsection{Geometrische Bedeutung des multiplikativen Inversen}
Gegeben eine komplexe Zahl $z ∈ ^*$, so kann man das multiplikative Inverse von
$z$ mithilfe der Konjugation leicht ausrechnen. Es ist nämlich
\[
\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\overline{z}·z} = \frac{\overline{z}}{|z|²} = \overline{z/|z|²}.
\]
Aber was bedeutet das anschaulich?
\begin{erinnerung}[Spiegelung am Einheitskreis]
Die Abbildung
\[
ℝ² \{0\} → ℝ² \{0\}, \quad z ↦ \frac{z}{|z|²}
\]
heißt „Spiegelung am Einheitskreis“\index{Spiegelung am Einheitskreis}. Die
Spiegelung am Einheitskreis lässt das Argument unverändert und invertiert den
Betrag.
\end{erinnerung}
\begin{merke}[Multiplikatives Inverses]
Man invertiert eine komplexe Zahl, indem man am Einheitskreis spiegelt und
konjugiert (=an der $x$-Achse spiegelt).
\end{merke}
\subsection{Geometrische Bedeutung des Quadrierens}
Nach der vorhergehenden Diskussion ist klar, was die Abbildung $q : $, $z ↦
$ geometrisch macht:
\begin{itemize}
\item Der Betrag wird quadriert.
\item Argument wird verdoppelt.
\end{itemize}
Aus dieser Beschreibung ergibt sich sehr schnell, dass jede komplexe Zahl eine
Quadratwurzel besitzt.
\begin{kons}[Existenz von Quadratwurzeln]
Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
\end{kons}
\begin{proof}
Gegeben eine Zahl $z ∈ $. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter
sei $w ∈ ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser
Wahl ist $= z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
\end{proof}
Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
von $z$ ist, dann ist $-w$ ebenfalls eine Quadratwurzel.
\begin{kons}[Surjektivität der Quadrat-Abbildung]
Die Abbildung $q : $, $z ↦ z²$ ist surjektiv, aber nicht injektiv. Es
ist $q^{-1}(0) = \{0\}$. Jede andere Faser von $q$ enthält genau zwei Punkte,
die sich exakt um das Vorzeichen unterscheiden. \qed
\end{kons}
Aber Achtung! Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
auf der Teilmenge $^*$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]\label{lem:1-1-23}%
Es sei $w: ^*^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ^*$ gilt: $w(z)² =
z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
\end{lem}
\begin{proof}
Sei eine Funktion $w$ gegeben. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen
an, dass die Funktion $w$ stetig sei. Dann ist aber die Funktion
\[
f : ^*^*, \quad z ↦ w()/z
\]
aber ebenfalls stetig. Per Annahme gilt nun aber für jedes $z ∈ ^*$ die
Gleichung $w()² =$. Das bedeutet: die komplexen Zahlen $w()$ und $z$
unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen. Also nimmt die stetige Funktion $f$
nur die Werte $± 1$ an. Weil $f$ stetig und $^*$ zusammenhängend ist, muss
$f$ also konstant sein. Auf der anderen Seite gilt für jedes $z ∈ ^*$ die
Gleichung
\[
f(-z) = \frac{w((-z)²)}{-z} = \frac{w()}{-z} = - f(z),
\]
also ist $f$ doch nicht konstant!
\end{proof}
\section{Die Exponentialfunktion}
\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung ``Analysis'' wurden Folgen und
Grenzwerte in $ = ℝ²$ ausführlich betrachtet.
\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen und Reihen]
Eine Folge von komplexen Zahlen, $(z_n)_{n ∈ }$, mit $z_n = x_n + i · y_n$
konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die
Folge $y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln (absolut) konvergieren. Analoges
gilt für Reihen $\sum_{n=0}^{} z_n$.
\end{erinnerung}
\begin{erinnerung}[Stetigkeit]
Der Begriff der Stetigkeit für Funktionen $f: $ ist der Begriff der
Stetigkeit für Abbildungen $ℝ² → ℝ²$.
\end{erinnerung}
Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
\begin{proposition}[Exponentialreihe]
Für jede komplexe Zahl $z ∈ $ konvergiert die Reihe
\[
\sum_{k=0}^{} \frac{z^k}{k!}
\]
absolut.
\end{proposition}
\begin{proof}
Gegeben $z ∈ $ und $k ∈ $, so gilt
\[
|\operatorname{Re}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k
\quad\text{und}\quad
|\operatorname{Im}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k.
\]
Verwende jetzt dieselbe Argumentation wie bei der Diskussion der
Exponentialreihe in Analysis I/II. Alternativ: verwende das
Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$..
\end{proof}
\begin{notation}[Exponentialfunktion]
Die Abbildung
\[
\exp : , \quad z ↦ \sum_{k=0}^{} \frac{z^k}{k!}
\]
wird als komplexe Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} bezeichnet.
\end{notation}
\subsection{Die Exponentialfunktion an reellen und rein imaginären Stellen}
\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an reellen Stellen]
Für reelle Zahlen $z$ stimmt die komplexe Exponentialfunktion mit der reellen
Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung ``Analysis'' kennen.
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an rein imaginären Stellen]
Für reelle Zahlen $α$ gilt
\begin{align*}
\exp(i·α) &= \cos α + i·\sin α\\
\exp(-i·α) &= \cos(-α) + i·\sin(-α) = \cos(α) - i·\sin(α) = \overline{\exp(i·α)}
\end{align*}
\end{beobachtung}
\begin{proof}
Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{} \frac{(α)^k}{k!} =
\sum_{k=0}^{} \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und
Cosinus. Beachte, dass
\[
i^k =
\begin{cases}
1 & \text{falls } k \equiv 0 \bmod 4\\
i & \text{falls } k \equiv 1 \bmod 4\\
-1 & \text{falls } k \equiv 2 \bmod 4\\
-i & \text{falls } k \equiv 3 \bmod 4.
\end{cases}
\]
Deshalb ist
\begin{align*}
\exp(i α) &= \begin{pmatrix} \frac{1}{0!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α}{1!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-α²}{2!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-α³}{3!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{α⁴}{4!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α⁵}{5!} \end{pmatrix} + …\\
&= \begin{pmatrix} \cos α \\ \sin α \end{pmatrix} = (\cos α) + i(\sin α)
\end{align*}
ist. Die Aussage für $\exp(-α)$ beweist man analog.
\end{proof}
\begin{kons}[Betrag und Argument von $\exp (α)$]
Für jede reelle Zahl $α$ gilt
\[
|\exp (α)| = 1
\quad\text{und}\quad
\arg \exp (α) = α.
\]
\end{kons}
\begin{kons}[Sinus und Kosinus in Termen der komplexen Exponentialfunktion]
Für jede reelle Zahl $α$ gilt
\begin{align}
\label{eq:1-2-7-1} \cos α &= \frac{1}{2} \left( \exp(iα) + \exp(-iα) \right) \\
\label{eq:1-2-7-2} \sin α &= \frac{1}{2i} \left( \exp(iα) - \exp(-iα) \right)
\end{align}
\end{kons}
Die rechten Seiten von \eqref{eq:1-2-7-1} und \eqref{eq:1-2-7-2} ergeben nicht
nur für reelle Zahlen $α$ Sinn, sondern sind für beliebige $α$ definiert.
\begin{definition}[Komplexe Sinus und Cosinus]
Definiere die komplexe Sinus\index{Sinus} und Cosinus\index{Cosinus}
Funktionen wie folgt,
\begin{align*}
\cos: , &\quad z ↦ \frac{1}{2} \left( \exp(i·z) + \exp(-i·z) \right)\\
\sin: , &\quad z ↦ \frac{1}{2i} \left( \exp(i·z) - \exp(-i·z) \right).
\end{align*}
\end{definition}
Wie bei der komplexen Exponentialfunktion beachte man, dass der komplexe Sinus
und Cosinus für reelle Argumente mit den bekannten Funktionen übereinstimmen.
\subsection{Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}
Genau wie in der Vorlesung Analysis rechnet man die folgenden beiden
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion nach.
\begin{fakt}[Exponentialfunktion als Grenzwert]\label{fakt:1-2-10}
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt
\[
\exp z = \lim_{n → ∞} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n.
\]
\end{fakt}
\begin{fakt}[Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion]\label{fakt:1-2-11}
Für je zwei komplexe Zahlen $z_1$, $z_2$ gilt
\[
\exp (z_1 + z_2) = (\exp z_1) + (\exp z_2).
\]
\end{fakt}
\subsection{Die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion}
Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dan ist
\[
\exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y)
\]
Damit ist die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion klar: $\exp(x +
iy)$ ist die eindeutig bestimmte Zahl mit Betrag $|\exp z| = \exp x > 0$ und
Argument $\arg (\exp z) = y$.
\begin{kons}
Die Exponentialabbildung nimmt nur Werte in $^*$ an, kann also als Abbildung
$\exp : ^*$ aufgefasst werden. \qed
\end{kons}
\begin{kons}[Surjektivität der Exponentialabbildung]\label{kons:1-2-13}%
Die Exponentialabbildung $\exp : ^*$ ist surjektiv.
\end{kons}
\begin{proof}
Sei $z ∈ ^*$ gegeben. Dann ist $\exp((\log |z|) +\arg z)$ eine komplexe
Zahl, deren Betrag und Argument mit $z$ übereinstimmt. Also sind die beiden
Zahlen gleich.
\end{proof}
\begin{kons}\label{kons:1-2-14}%
Die Exponentialabbildung $\exp : ^*$ ist nicht injektiv. Genauer:
Gegeben $z_1, z_2$, dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Es ist $\exp(z_1) = \exp(z_2)$.
\item Es existiert eine ganze Zahl $n ∈ $, sodass $z_1 - z_2 = (2π i) · n$
ist.
\end{enumerate}
\end{kons}
\begin{proof}
Schreibe $z_1 = x_1 + i·y_1$ und $z_2 = x_2 + i·y_2$. Dann ist
\begin{align*}
\exp(z_1) = \exp(z_2) &\exp(x_1) · (\cos y_1 + i \sin y_1) = \exp(x_2) · (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } (\cos y_1 + i \sin y_1) = (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } \cos y_1 = \cos y_2 \text{ und } \sin y_1 = \sin y_2 \\
& ⇔ ∃ n ∈ : z_1 - z_2 = (2π i) · n. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Komplexe Logarithmen}
Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ^*$
einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie
bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}%
Es sei $\log : ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ^*$ gilt: $\exp
\log z = z$. Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig.
\end{lem}
\begin{proof}
Hausaufgabe! Haben Sie den Beweis von Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} wirklich
verstanden?
\end{proof}
\begin{notation}[Hauptzweig des Logarithmus]
Die unstetige Funktion
\[
\log: ^*, \quad z ↦ \begin{pmatrix} \ln |z| \\ \arg z \end{pmatrix}
\]
wird in der Literatur also ``Hauptzweig des Logarithmus''\index{Hauptzweig des
Logarithmus} bezeichnet.
\end{notation}
\subsection{Die Exponentialfunktion als Gruppenmorphismus}
Wenn ich beachte, dass $\exp(0) = 1$ ist, dann kann ich die
Fakten~\ref{fakt:1-2-10} und \ref{fakt:1-2-10} auch anders ausdrücken: Die
Exponentialabbildung $\exp: ^*$ ist ein Gruppenmorphismus zwischen der
additiven Gruppe $(, +)$ und der multiplikativen Gruppe $(^*, ·)$.
Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} sagt, dass dieser Gruppenmorphismus surjektiv ist.
Also ist $(^*, ·)$ isomorph zur Quotientengruppe,
\[
^*\factor{}{\ker \exp}.
\]
Konsequenz~\ref{kons:1-2-14} sagt, was der Kern des Gruppenmorphismus ist,
\[
\ker \exp = (2π i) · .
\]
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