Vorlesung 3
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@@ -2,3 +2,6 @@ Multiplikationsabbildung
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Majorantenkriterium
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Summenregel
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Drehstreckungsmatrix
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Cauchy-Riemann
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Cauchy-Riemannschen
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Cosinusfunktion
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@@ -8,3 +8,5 @@
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q also die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QVektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
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@@ -444,7 +444,7 @@ Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$
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einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie
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bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}%
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Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp
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\log z = z$. Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig.
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\end{lem}
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@@ -285,7 +285,7 @@ der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
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Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
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zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
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\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
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\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind
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die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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@@ -309,121 +309,144 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
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\end{proof}
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\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
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\section{Fingerübungen beim Ableiten}
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\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
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Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
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\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt
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sei $f ∈ 𝒪(U)$.
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Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.
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Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
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\begin{align}
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||||
(f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
|
||||
&= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
|
||||
&= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
|
||||
&= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
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mittels von komplexen Zahlen.
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\begin{kons}
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Real-komplexe Kettenregel
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\end{kons}
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\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
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\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
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\begin{itemize}
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\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
|
||||
\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
|
||||
\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
|
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\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen}
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\begin{itemize}
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\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
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mit $\exp' = \exp$.
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Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
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\begin{itemize}
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||||
\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
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$\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
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\end{itemize}
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\subsection{Kettenregel}
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\begin{prop}
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||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
|
||||
sodass die folgenden Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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||||
\item $f$ ist injektiv.
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||||
\item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
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holomorph.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
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$f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
|
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mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
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||||
Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
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||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
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||||
$\gamma$ in Komponenten,
|
||||
\[
|
||||
= \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
|
||||
γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
|
||||
\]
|
||||
wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
|
||||
Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix
|
||||
\[
|
||||
J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
|
||||
\]
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||||
eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
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aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
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$γ'(t)$.
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||||
\end{notation}
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Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
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Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
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\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
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||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
(f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
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\begin{proof}
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Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
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Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
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||||
mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für
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differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
|
||||
\[
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||||
(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
|
||||
= \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
|
||||
\]
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||||
Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
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Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
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die Cauchy-Riemann Gleichungen.
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\end{proof}
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\subsection{Konkrete Beispiele}
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Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren
|
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Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
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\begin{enumerate}
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||||
\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
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$f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
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$z ↦ z²$
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Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
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$\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
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\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen]
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---
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\begin{enumerate}
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||||
\item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
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||||
differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
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||||
Summen-, Produkt- und Kettenregel.
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||||
\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
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Erinnerung:
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\item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
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differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Nachrechnen!
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\end{proof}
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\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
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||||
Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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||||
\item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
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||||
\item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
|
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wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
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||||
\end{prop}
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\begin{proof}
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||||
Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
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||||
Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
|
||||
ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
|
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f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
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||||
Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
|
||||
Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\[
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||||
\log z = \log|z| + i · \arg(z)
|
||||
\]
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... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
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$\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
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$⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
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$⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
|
||||
|
||||
$⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
|
||||
\]
|
||||
Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
|
||||
ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
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nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
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||||
\end{proof}
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||||
\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen}
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Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
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\begin{itemize}
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||||
\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
|
||||
\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
|
||||
holomorph.
|
||||
\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
|
||||
$\exp' = \exp$.
|
||||
\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
|
||||
es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
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||||
\end{itemize}
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\subsection{Wurzelfunktionen}
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Es sei
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\begin{align*}
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||||
\bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
|
||||
S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
|
||||
\]
|
||||
bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
|
||||
Wurzelfunktion
|
||||
\[
|
||||
\sqrt{\bullet} : S \to \bH
|
||||
\]
|
||||
mit Ableitung
|
||||
\[
|
||||
\sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
|
||||
Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}?
|
||||
\end{frage}
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||||
\subsection{Logarithmus}
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Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
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\[
|
||||
\log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
|
||||
\]
|
||||
holomorph mit Ableitung
|
||||
\[
|
||||
\log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{frage}[Logarithmus ?!]
|
||||
Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
|
||||
\end{frage}
|
||||
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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03-wegintegrale.tex
Normal file
80
03-wegintegrale.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,80 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Wegintegrale}
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||||
\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
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||||
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In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
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||||
kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
|
||||
Vektorraum.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
|
||||
\]
|
||||
durch komponentenweise Integration.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
|
||||
$V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
|
||||
mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
|
||||
nicht von der Wahl der Basis abhängt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Es ist
|
||||
\[
|
||||
\int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.
|
||||
|
||||
\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
|
||||
(b-a) \cdot \vec{v}$
|
||||
|
||||
\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
|
||||
\int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Stammfunktionen]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
|
||||
Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
|
||||
die Gleichung $F' = f$ gilt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
|
||||
\]
|
||||
eine Stammfunktion \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
|
||||
Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
% !TEX root = LineareAlgebra2
|
||||
|
||||
@@ -135,6 +135,7 @@ Link in den Text ein.
|
||||
|
||||
\input{01-komplexeZahlen}
|
||||
\input{02-diffbarkeit}
|
||||
\input{03-wegintegrale}
|
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||||
\addchap{Lizenz}
|
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Reference in New Issue
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