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\chapter{Differenzierbarkeit}
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\section{Holomorphe Funktionen}
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Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen
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$ℂ → ℂ$. Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den
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Analysis-Vorlesungen.
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\begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1}
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Es sei $U ⊂ ℝ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℝ$ ist
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bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ ℝ$, wenn
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
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\]
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ist.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Reell differenzierbare Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel,
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Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …
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\end{bemerkung}
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\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ ist
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bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung
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$δ ∈ ℂ$, wenn
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
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\]
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ist.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare
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Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel, Produktregel,
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Quotientenregel, Kettenregel, …
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\end{bemerkung}
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\begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt
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„holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$
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gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist. Die
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Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph
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auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist. In
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diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → ℂ$ bezeichnet. Die
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Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$
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bezeichnet.
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\end{definition}
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\section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen}
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Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das
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wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
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Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
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Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?
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\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1}
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Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
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differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
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\]
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Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist
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\[
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\lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0.
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\]
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Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die
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Ableitungsmatrix $A$ aussieht. Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in
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Komponenten,
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\[
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f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}.
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\]
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Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
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\[
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A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}.
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\]
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\end{erinnerung}
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\begin{notation}
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Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (=
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„Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$)
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mit $J_f(p)$.
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\end{notation}
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\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I]
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Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
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machen wir eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
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und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
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Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
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\]
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Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
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\lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
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\end{equation}
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Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
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Komponenten,
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\[
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p = p_1 + i·p_2
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\quad\text{und}\quad
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f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
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\]
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir
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also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist
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\begin{align*}
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d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
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& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
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||
& = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2).
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\end{align*}
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Wir sehen:
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
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\frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2.
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\end{equation}
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir
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also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen
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Zahlen ist. Dann ist
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\begin{align*}
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d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
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||
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
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||
& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
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||
& = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\
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||
& = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2).
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\end{align*}
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Wir sehen:
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
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\frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2.
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\end{equation}
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Wir beenden die Proberechnung hier.
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\end{proberechnung}
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Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
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\begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
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differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1,
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f_2 : U → ℝ$. Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist
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\begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
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\frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p)
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p).
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\end{equation}
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
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\end{proof}
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\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
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partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
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\end{notation}
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\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.
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\begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
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Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
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sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex
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differenzierbar.
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\item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$
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differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen
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\eqref{eq:2-2-2-1}.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage
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von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}. Die Umkehrrichtung lasse ich als
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Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung
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„Analysis~II“ erinnern.
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\end{proof}
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Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
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eigene Notation entwickelt hat.
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\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
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\index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine
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komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$,
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mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar
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sind, dann schreibt man
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\begin{align*}
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\frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
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& = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
|
||
& = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
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||
\intertext{und}
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||
\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
|
||
& = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
|
||
& = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
|
||
\end{align*}
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\end{notation}
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\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
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Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
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sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
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\item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂
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\bar{z}}(p) = 0$.
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\end{enumerate}
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Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂
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f}{∂ z}(p)$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den
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Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
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\end{proof}
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\section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
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Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe
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Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“. Diesmal geht es darum, die Rolle
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der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
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\begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung]
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Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. Dann ist die Multiplikationsabbildung
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\[
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m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z
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\]
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eine Drehstreckung. Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann
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ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit
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einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben.
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\end{erinnerung}
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\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}%
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Betrachte die Matrix
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\[
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A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ).
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\]
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Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist
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eine Drehstreckung.
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\item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$.
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\end{enumerate}
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\end{erinnerung}
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\begin{frage}
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Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher?
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\end{frage}
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\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Weiter sei
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$δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur
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Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix. Dann gilt Folgendes:
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\begin{align*}
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\
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||
& ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\
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||
& ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
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||
\end{align*}
|
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Also sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung
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$f'(p) = δ$
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\item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix
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$J_f(p) = A$.
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\end{enumerate}
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\end{proberechnung}
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Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
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zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
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\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5}
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||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind
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||
die folgenden Aussagen äquivalent.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
|
||
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||
\item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
|
||
gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
|
||
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||
\item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
|
||
ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$.
|
||
|
||
\item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die
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||
Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.
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||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
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\begin{proof}
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Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$
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\ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
|
||
in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
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||
\eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.
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\end{proof}
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\section{Fingerübungen beim Ableiten}
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\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
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||
differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
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$\gamma$ in Komponenten,
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||
\[
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||
γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
|
||
\]
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||
wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
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||
Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix
|
||
\[
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||
J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
|
||
\]
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||
eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
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||
aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
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||
$γ'(t)$.
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\end{notation}
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Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
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Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
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\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||
differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
|
||
\[
|
||
(f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
|
||
\]
|
||
\end{prop}
|
||
\begin{proof}
|
||
Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
|
||
Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
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||
mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für
|
||
differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
|
||
\[
|
||
(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
|
||
= \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
|
||
\]
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren
|
||
Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
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||
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||
\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen]
|
||
---
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
|
||
differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
|
||
Summen-, Produkt- und Kettenregel.
|
||
|
||
\item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
|
||
differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Nachrechnen!
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\end{proof}
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\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
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Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
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\item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
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\end{enumerate}
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Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
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wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
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Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
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ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
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f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
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Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
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Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\[
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J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
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\]
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Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
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ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
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nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
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\end{proof}
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\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen}
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Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
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\begin{itemize}
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\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
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\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
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holomorph.
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\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
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$\exp' = \exp$.
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\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
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es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
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\end{itemize}
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\subsection{Wurzelfunktionen}
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Es sei
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\begin{align*}
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\bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
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S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
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\end{align*}
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\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
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\[
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s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
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\]
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bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
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Wurzelfunktion
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\[
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\sqrt{\bullet} : S \to \bH
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\]
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mit Ableitung
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\[
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\sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
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\]
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\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
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Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}?
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\end{frage}
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\subsection{Logarithmus}
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Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
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\[
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\log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
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\]
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holomorph mit Ableitung
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\[
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\log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
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\]
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\begin{frage}[Logarithmus ?!]
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Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
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\end{frage}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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