% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Differenzierbarkeit} \section{Holomorphe Funktionen} Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen $ℂ → ℂ$. Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den Analysis-Vorlesungen. \begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1} Es sei $U ⊂ ℝ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℝ$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ ℝ$, wenn \[ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ \] ist. \end{definition} \begin{bemerkung} Reell differenzierbare Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, … \end{bemerkung} \begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3} Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ ist bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung $δ ∈ ℂ$, wenn \[ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ \] ist. \end{definition} \begin{bemerkung} Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, … \end{bemerkung} \begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$ gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist. Die Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet. \end{definition} \begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist. In diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → ℂ$ bezeichnet. Die Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$ bezeichnet. \end{definition} \section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen} Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen? \begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1} Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn \[ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0. \] Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist \[ \lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0. \] Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die Ableitungsmatrix $A$ aussieht. Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in Komponenten, \[ f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}. \] Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen, \[ A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}. \] \end{erinnerung} \begin{notation} Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (= „Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$) mit $J_f(p)$. \end{notation} \begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I] Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen, machen wir eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also \[ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2. \] Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist \begin{equation}\label{eq:2-2-1-1} \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2. \end{equation} Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in Komponenten, \[ p = p_1 + i·p_2 \quad\text{und}\quad f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y). \] \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge} Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist \begin{align*} d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\ & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ & = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2). \end{align*} Wir sehen: \begin{equation}\label{eq:2-2-1-2} \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1 \quad\text{und}\quad \frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2. \end{equation} \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge} Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist \begin{align*} d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\ & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\ & = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ & = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\ & = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2). \end{align*} Wir sehen: \begin{equation}\label{eq:2-2-1-3} \frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1 \quad\text{und}\quad \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2. \end{equation} Wir beenden die Proberechnung hier. \end{proberechnung} Als Konsequenz halten wir Folgendes fest. \begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}% Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1} \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p). \end{equation} \end{kons} \begin{proof} Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}. \end{proof} \begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen] Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}. \end{notation} \sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz. \begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. \item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$ differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}. Die Umkehrrichtung lasse ich als Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung „Analysis~II“ erinnern. \end{proof} Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat. \begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}% \index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar sind, dann schreibt man \begin{align*} \frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\ \intertext{und} \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\ \end{align*} \end{notation} \begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$. \end{enumerate} Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂ f}{∂ z}(p)$. \end{prop} \begin{proof} Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}. \end{proof} \section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit} Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“. Diesmal geht es darum, die Rolle der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung. \begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung] Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. Dann ist die Multiplikationsabbildung \[ m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z \] eine Drehstreckung. Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben. \end{erinnerung} \begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}% Betrachte die Matrix \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ). \] Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist eine Drehstreckung. \item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$. \end{enumerate} \end{erinnerung} \begin{frage} Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher? \end{frage} \begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II] Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Weiter sei $δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix. Dann gilt Folgendes: \begin{align*} \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0. \end{align*} Also sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung $f'(p) = δ$ \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix $J_f(p) = A$. \end{enumerate} \end{proberechnung} Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. \begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5} Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. \item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}. \item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$. \item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$ \ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}. \end{proof} \section{Fingerübungen beim Ableiten} \begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene] Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben $\gamma$ in Komponenten, \[ γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix}, \] wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind. Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix \[ J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} \] eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$ aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit $γ'(t)$. \end{notation} Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$. \begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel] Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist \[ (f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'. \] \end{prop} \begin{proof} Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung \[ (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}} = \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}. \] \end{proof} Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen. \begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen] --- \begin{enumerate} \item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die Summen-, Produkt- und Kettenregel. \item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel. \end{enumerate} \end{prop} \begin{proof} Nachrechnen! \end{proof} \begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4} Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden Bedingungen gelten: \begin{enumerate} \item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv. \item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$. \end{enumerate} Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$. \end{prop} \begin{proof} Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V := f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$ \[ J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}. \] Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar. \end{proof} \section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen} Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen. \begin{itemize} \item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$. \item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners holomorph. \item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt $\exp' = \exp$. \item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung. \end{itemize} \subsection{Wurzelfunktionen} Es sei \begin{align*} \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\ S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.} \end{align*} \index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung \[ s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2 \] bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe Wurzelfunktion \[ \sqrt{\bullet} : S \to \bH \] mit Ableitung \[ \sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}} \] \begin{frage}[Wurzelfunktion ?!] Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}? \end{frage} \subsection{Logarithmus} Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene, \[ \log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z), \] holomorph mit Ableitung \[ \log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}. \] \begin{frage}[Logarithmus ?!] Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}? \end{frage} % !TEX root = LineareAlgebra2