diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 3778df8..109afbf 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -2,3 +2,6 @@ Multiplikationsabbildung Majorantenkriterium Summenregel Drehstreckungsmatrix +Cauchy-Riemann +Cauchy-Riemannschen +Cosinusfunktion diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 8e56dde..7c7bd1f 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -8,3 +8,5 @@ {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach der Kettenregel für differenzierbare Funktionen gilt für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q also die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QVektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"} diff --git a/01-komplexeZahlen.tex b/01-komplexeZahlen.tex index 9f3b1fe..b2d3b33 100644 --- a/01-komplexeZahlen.tex +++ b/01-komplexeZahlen.tex @@ -444,7 +444,7 @@ Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$ einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion -\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion] +\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}% Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp \log z = z$. Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig. \end{lem} diff --git a/02-diffbarkeit.tex b/02-diffbarkeit.tex index 8a96269..7e430d7 100644 --- a/02-diffbarkeit.tex +++ b/02-diffbarkeit.tex @@ -285,7 +285,7 @@ der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung. Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. -\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit] +\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5} Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -309,121 +309,144 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. \end{proof} -\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen} +\section{Fingerübungen beim Ableiten} -\subsection{Fingerübung beim Ableiten} - -Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar. -Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) -\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt -sei $f ∈ 𝒪(U)$. - -Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$. - -Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist -\begin{align} - (f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\ - &= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\ - &= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\ - &= f'(γ(t)) · γ'(t)\\ - &= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} -\end{align} -mittels von komplexen Zahlen. - -\begin{kons} - Real-komplexe Kettenregel -\end{kons} - -\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen} - -\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel} - -\begin{itemize} -\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$ -\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel -\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖ -\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$ -\end{itemize} - -\paragraph{Direktes Nachrechnen} - -\begin{itemize} -\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph - - mit $\exp' = \exp$. - - Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph. -\end{itemize} - -\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel} - -\begin{itemize} -\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph: - - $\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$. -\end{itemize} - -\subsection{Kettenregel} - -\begin{prop} - Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph, - sodass die folgenden Bedingungen gelten: - \begin{enumerate} - \item $f$ ist injektiv. - \item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$. - \end{enumerate} - - Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder - holomorph. -\end{prop} - -\begin{proof} - Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und - $f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist - mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist - - Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$ +\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene] + Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine + differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben + $\gamma$ in Komponenten, \[ - = \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1} + γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix}, + \] + wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind. + Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix + \[ + J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} + \] + eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$ + aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit + $γ'(t)$. +\end{notation} + +Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die +Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$. + +\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel] + Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine + differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist + \[ + (f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'. + \] +\end{prop} +\begin{proof} + Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die + Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation + mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für + differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung + \[ + (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}} + = \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}. \] - - Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$. - - Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$ - - die Cauchy-Riemann Gleichungen. \end{proof} -\subsection{Konkrete Beispiele} +Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren +Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen. -\begin{enumerate} -\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene" - - $f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$ - - $z ↦ z²$ - - Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion - - $\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$ +\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen] + --- + \begin{enumerate} + \item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex + differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die + Summen-, Produkt- und Kettenregel. -\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist. - - Erinnerung: + \item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex + differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel. + \end{enumerate} +\end{prop} +\begin{proof} + Nachrechnen! +\end{proof} + +\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4} + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden + Bedingungen gelten: + \begin{enumerate} + \item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv. + \item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$. + \end{enumerate} + Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist + wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$. +\end{prop} +\begin{proof} + Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die + Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar + ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V := + f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar. + Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die + Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$ \[ - \log z = \log|z| + i · \arg(z) - \] - - ... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn - - $\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$ - - $⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel) - - $⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$ - - $⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$ -\end{enumerate} + J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}. + \] + Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor + ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und + nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar. +\end{proof} + + +\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen} + +Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen. +\begin{itemize} +\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$. +\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners +holomorph. +\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt +$\exp' = \exp$. +\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und +es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung. +\end{itemize} + + +\subsection{Wurzelfunktionen} + +Es sei +\begin{align*} + \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\ + S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.} +\end{align*} +\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung +\[ + s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2 +\] +bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe +Wurzelfunktion +\[ + \sqrt{\bullet} : S \to \bH +\] +mit Ableitung +\[ + \sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}} +\] + +\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!] + Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}? +\end{frage} + + +\subsection{Logarithmus} + +Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene, +\[ + \log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z), +\] +holomorph mit Ableitung +\[ + \log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}. +\] + +\begin{frage}[Logarithmus ?!] + Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}? +\end{frage} % !TEX root = LineareAlgebra2 diff --git a/03-wegintegrale.tex b/03-wegintegrale.tex new file mode 100644 index 0000000..aa559c6 --- /dev/null +++ b/03-wegintegrale.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Wegintegrale} + +\section{Integration von vektorwertigen Funktionen} + +In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres, +kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler +Vektorraum. + +\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}% + Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man + \[ + \int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n + \] + durch komponentenweise Integration. +\end{definition} + +\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen] + Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von + $V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ + mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis + nicht von der Wahl der Basis abhängt. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Es ist + \[ + \int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}. + \] +\end{bsp} + +Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein. + +\begin{prop} + Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$. + + \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist + \[ + \int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right). + \] + + \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt = + (b-a) \cdot \vec{v}$ + + \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq + \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed + \end{enumerate} +\end{prop} + +\begin{definition}[Stammfunktionen] + Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt + Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und + die Gleichung $F' = f$ gilt. +\end{definition} + +\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung] + Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist + \[ + F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du + \] + eine Stammfunktion \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen] + Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen] + Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist +\[ + \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed +\] +\end{satz} + +% !TEX root = LineareAlgebra2 + diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index 0df2537..b00cd80 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -135,6 +135,7 @@ Link in den Text ein. \input{01-komplexeZahlen} \input{02-diffbarkeit} +\input{03-wegintegrale} \addchap{Lizenz}