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This commit is contained in:
Stefan Kebekus
@@ -5,62 +5,63 @@
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\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
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In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
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kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
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Vektorraum.
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In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
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Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.
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\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
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Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
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\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
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Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
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\[
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\int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
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\int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
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\]
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durch komponentenweise Integration.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
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Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
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$V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
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mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
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nicht von der Wahl der Basis abhängt.
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Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
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$V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von
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Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der
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Wahl der Basis abhängt.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Es ist
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\[
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\int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
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\int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
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\]
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\end{bsp}
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Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
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\begin{prop}
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Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.
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||||
\item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
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\int_c^b f(t) \, dt$.
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\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
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\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
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dann ist
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\[
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\int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
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\int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
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\]
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\item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
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(b-a) \cdot \vec{v}$
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(b-a) · \vec{v}$
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||||
\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
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\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
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\int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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\begin{definition}[Stammfunktionen]
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Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
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Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
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die Gleichung $F' = f$ gilt.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
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Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann ist
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\[
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F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
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F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
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\]
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eine Stammfunktion \qed
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\end{satz}
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@@ -70,11 +71,233 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
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\end{satz}
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\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
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Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
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\[
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\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
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\]
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||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
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\[
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||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
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\[
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||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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\sideremark{Vorlesung 4}
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\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
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Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
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gegeben. Also ist
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\[
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||||
\int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
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\]
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\end{bsp}
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\subsection{Rechenregeln zur Integration}
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\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
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Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei
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differenzierbar. Dann ist
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\[
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||||
\int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds. \qed
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\]
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\end{satz}
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\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
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holomorphen Funktionen. Falls die Abbildung
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\[
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f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
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\]
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und
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\[
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||||
\frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
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||||
\]
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beide stetig sind, dann ist die Abbildung
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\[
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||||
F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
|
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\]
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||||
holomorph und
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\[
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||||
\frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt. \eqno\qed
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\]
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||||
\end{satz}
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\begin{satz}[Hausaufgabe]
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||||
Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
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\end{satz}
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\begin{satz}[Hausaufgabe]
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||||
Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
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\[
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||||
\frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
|
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\]
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\end{satz}
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\section{Wegintegrale}
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\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
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stetig differenzierbarer Weg. Dann definiert man das
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\emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als
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\[
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\int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
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\]
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\end{definition}
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\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
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Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$. Weiter betrachten wir den Weg
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\[
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||||
γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
|
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\]
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der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt. Dann ist
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\begin{align*}
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||||
\int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
|
||||
&= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
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||||
&= \begin{cases}
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||||
0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
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||||
2πi & \text{falls } n = -1.
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||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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\end{bsp}
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\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs]
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Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
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zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
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stückweise stetig differenzierbar. Dann definiert man
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\[
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\int_γ f(z) \, dz
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\]
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als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
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Teilwege.
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\end{erg}
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\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
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\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
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derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
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Dann ist
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\[
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||||
\int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed
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||||
\]
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||||
\end{prop}
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||||
\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
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stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$. Dann ist
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\[
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||||
\int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
|
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Um die Notation zu entwickeln, schreibe
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\[
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φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
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\]
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||||
Dann
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\begin{align*}
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||||
\int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
|
||||
&= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
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||||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
|
||||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
|
||||
&= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz. && \qedhere
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
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Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
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daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
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\[
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||||
L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
|
||||
\]
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gegeben ist. Damit erhalten wir die Abschätzung
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||||
\[
|
||||
\left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
|
||||
\]
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||||
\end{beobachtung}
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\subsection{Wegintegrale und Stammfunktionen}
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\begin{definition}[Stammfunktion]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
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heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
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\end{definition}
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Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
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Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
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von $ℂ$. Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
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\begin{beobachtung}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
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||||
Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar. Dann ist
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||||
\begin{align*}
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||||
(F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
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||||
& = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
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||||
\end{align*}
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||||
Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
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||||
\[
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||||
\int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
|
||||
\]
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||||
\end{beobachtung}
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||||
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||||
\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
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||||
Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
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||||
$f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
|
||||
und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst. Insbesondere gilt: Wenn
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||||
$γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
|
||||
f(z) \, dz = 0$.
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||||
\end{kons}
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||||
|
||||
\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
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||||
Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}. Für $n ≠ -1$ ist
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||||
$\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$. Also ist für $n ≠ -1$
|
||||
das Integral
|
||||
\[
|
||||
\int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
|
||||
\]
|
||||
Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
|
||||
wäre der Logarithmus.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$. Dann ist
|
||||
$f$ lokal konstant.
|
||||
\end{kons}
|
||||
|
||||
Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
|
||||
Fakten der Analysis und Topologie.
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
|
||||
\[
|
||||
U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
|
||||
\]
|
||||
wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
|
||||
\qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
|
||||
Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
|
||||
gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
|
||||
$γ(1) = z_2$. \qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
|
||||
Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
|
||||
annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist. Seien nun zwei
|
||||
Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben. Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
|
||||
stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
|
||||
z_2$. Dann ist aber
|
||||
\[
|
||||
f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0. \qed
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% !TEX root = Funktionentheorie
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
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