Working
This commit is contained in:
Stefan Kebekus
@@ -212,7 +212,7 @@ eigene Notation entwickelt hat.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
|
||||
Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
|
||||
Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
|
||||
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
|
||||
@@ -312,39 +312,39 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
|
||||
\section{Fingerübungen beim Ableiten}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
|
||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
|
||||
$\gamma$ in Komponenten,
|
||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
|
||||
$γ$ in Komponenten,
|
||||
\[
|
||||
γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
|
||||
\]
|
||||
wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
|
||||
Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix
|
||||
wobei $γ_1$ und $γ_2 : V → ℝ$ reellwertige Abbildungen sind.
|
||||
Gegeben ein Element $t ∈ V$, dann ist die Ableitungsmatrix
|
||||
\[
|
||||
J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
|
||||
J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
|
||||
aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
|
||||
$γ'(t)$.
|
||||
eine Matrix vom Format $2 ⨯ 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
|
||||
aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
|
||||
$γ'(t)$.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
|
||||
Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
|
||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
|
||||
Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
|
||||
differenzierbare Abbildung und $f ∈ 𝒪(U)$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
(f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
|
||||
(f ◦ γ)' = (f' ◦ γ) · γ'.
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
|
||||
Gegeben ein $z ∈ U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
|
||||
Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
|
||||
mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für
|
||||
differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
|
||||
differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t ∈ V$ also die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
|
||||
(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2⨯ 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
|
||||
= \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
@@ -356,11 +356,11 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
|
||||
---
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
|
||||
differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
|
||||
differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
|
||||
Summen-, Produkt- und Kettenregel.
|
||||
|
||||
\item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
|
||||
differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
|
||||
differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@@ -368,27 +368,27 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph, sodass die folgenden
|
||||
Bedingungen gelten:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
|
||||
\item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
|
||||
wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
|
||||
wieder holomorph, $f^{-1} ∈ 𝒪(V)$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
|
||||
Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
|
||||
Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p ∈ U$ die
|
||||
Ableitungsmatrix $J_f(p) ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ invertierbar
|
||||
ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
|
||||
f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
|
||||
Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
|
||||
Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
|
||||
\[
|
||||
J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
|
||||
\]
|
||||
\]
|
||||
Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
|
||||
ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
|
||||
ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
|
||||
nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@@ -397,12 +397,12 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
|
||||
|
||||
Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
|
||||
\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
|
||||
\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
|
||||
holomorph.
|
||||
\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
|
||||
\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und es gilt
|
||||
$\exp' = \exp$.
|
||||
\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
|
||||
\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und
|
||||
es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
@@ -412,20 +412,20 @@ es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
|
||||
Es sei
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die „obere Halbebene“} \\
|
||||
S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.}
|
||||
S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
|
||||
s : \bH → S, \quad z ↦ z²
|
||||
\]
|
||||
bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
|
||||
Wurzelfunktion
|
||||
\[
|
||||
\sqrt{\bullet} : S \to \bH
|
||||
\sqrt{•} : S → \bH
|
||||
\]
|
||||
mit Ableitung
|
||||
\[
|
||||
\sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
|
||||
\sqrt{•}' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{2·\sqrt{z}}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
|
||||
@@ -437,11 +437,11 @@ mit Ableitung
|
||||
|
||||
Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
|
||||
\[
|
||||
\log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
|
||||
\log : S → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z),
|
||||
\]
|
||||
holomorph mit Ableitung
|
||||
\[
|
||||
\log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
|
||||
\log' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{z}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{frage}[Logarithmus ?!]
|
||||
|
||||
@@ -5,62 +5,63 @@
|
||||
|
||||
\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
|
||||
|
||||
In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
|
||||
kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
|
||||
Vektorraum.
|
||||
In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
|
||||
Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
|
||||
\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
|
||||
\]
|
||||
durch komponentenweise Integration.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
|
||||
$V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
|
||||
mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
|
||||
nicht von der Wahl der Basis abhängt.
|
||||
Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
|
||||
$V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von
|
||||
Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der
|
||||
Wahl der Basis abhängt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Es ist
|
||||
\[
|
||||
\int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
|
||||
\int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
|
||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.
|
||||
\item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
|
||||
\int_c^b f(t) \, dt$.
|
||||
|
||||
\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
|
||||
\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
|
||||
dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
|
||||
\int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
|
||||
(b-a) \cdot \vec{v}$
|
||||
(b-a) · \vec{v}$
|
||||
|
||||
\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
|
||||
\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
|
||||
\int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Stammfunktionen]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
|
||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
|
||||
Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
|
||||
die Gleichung $F' = f$ gilt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
|
||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
|
||||
F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
|
||||
\]
|
||||
eine Stammfunktion \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
@@ -70,11 +71,233 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
|
||||
Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
|
||||
\]
|
||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
% !TEX root = LineareAlgebra2
|
||||
\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
|
||||
Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 4}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
|
||||
Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
|
||||
gegeben. Also ist
|
||||
\[
|
||||
\int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Rechenregeln zur Integration}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
|
||||
Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei
|
||||
differenzierbar. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds. \qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
|
||||
holomorphen Funktionen. Falls die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
|
||||
\]
|
||||
und
|
||||
\[
|
||||
\frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
|
||||
\]
|
||||
beide stetig sind, dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
|
||||
\]
|
||||
holomorph und
|
||||
\[
|
||||
\frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt. \eqno\qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Hausaufgabe]
|
||||
Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Hausaufgabe]
|
||||
Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
|
||||
\[
|
||||
\frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Wegintegrale}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
|
||||
stetig differenzierbarer Weg. Dann definiert man das
|
||||
\emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als
|
||||
\[
|
||||
\int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
|
||||
Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$. Weiter betrachten wir den Weg
|
||||
\[
|
||||
γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
|
||||
\]
|
||||
der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
|
||||
&= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
|
||||
2πi & \text{falls } n = -1.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs]
|
||||
Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
|
||||
zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
|
||||
stückweise stetig differenzierbar. Dann definiert man
|
||||
\[
|
||||
\int_γ f(z) \, dz
|
||||
\]
|
||||
als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
|
||||
Teilwege.
|
||||
\end{erg}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
|
||||
derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
|
||||
Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
|
||||
stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Um die Notation zu entwickeln, schreibe
|
||||
\[
|
||||
φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
|
||||
\]
|
||||
Dann
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
|
||||
&= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
|
||||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
|
||||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
|
||||
&= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz. && \qedhere
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
|
||||
Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
|
||||
daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
|
||||
\[
|
||||
L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
|
||||
\]
|
||||
gegeben ist. Damit erhalten wir die Abschätzung
|
||||
\[
|
||||
\left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
|
||||
\]
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Wegintegrale und Stammfunktionen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Stammfunktion]
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
|
||||
heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
|
||||
Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
|
||||
von $ℂ$. Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
|
||||
Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
|
||||
& = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
|
||||
\[
|
||||
\int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
|
||||
\]
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
|
||||
Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
|
||||
$f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
|
||||
und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst. Insbesondere gilt: Wenn
|
||||
$γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
|
||||
f(z) \, dz = 0$.
|
||||
\end{kons}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
|
||||
Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}. Für $n ≠ -1$ ist
|
||||
$\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$. Also ist für $n ≠ -1$
|
||||
das Integral
|
||||
\[
|
||||
\int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
|
||||
\]
|
||||
Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
|
||||
wäre der Logarithmus.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$. Dann ist
|
||||
$f$ lokal konstant.
|
||||
\end{kons}
|
||||
|
||||
Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
|
||||
Fakten der Analysis und Topologie.
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
|
||||
\[
|
||||
U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
|
||||
\]
|
||||
wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
|
||||
\qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
|
||||
Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
|
||||
gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
|
||||
$γ(1) = z_2$. \qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
|
||||
Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
|
||||
annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist. Seien nun zwei
|
||||
Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben. Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
|
||||
stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
|
||||
z_2$. Dann ist aber
|
||||
\[
|
||||
f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0. \qed
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% !TEX root = Funktionentheorie
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -21,7 +21,7 @@
|
||||
\usetikzlibrary{quotes,babel,angles,calc}
|
||||
\usepackage{svg}
|
||||
|
||||
\input{stdPreamble}
|
||||
\input{gfx/stdPreamble}
|
||||
\usepackage{makeidx}
|
||||
\makeindex
|
||||
|
||||
@@ -55,6 +55,7 @@
|
||||
\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition}
|
||||
\newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
|
||||
\theoremstyle{remark}
|
||||
\newtheorem{erg}[thm]{Ergänzung}
|
||||
\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
|
||||
\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
|
||||
\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user