From 41eb09a44c0b3d91338c83cc6bb23d0941c0a6df Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 15 Oct 2025 15:31:07 +0200 Subject: [PATCH] Working --- 02-diffbarkeit.tex | 66 +++--- 03-wegintegrale.tex | 273 ++++++++++++++++++++++--- Funktionentheorie.tex | 3 +- stdPreamble.tex => gfx/stdPreamble.tex | 0 4 files changed, 283 insertions(+), 59 deletions(-) rename stdPreamble.tex => gfx/stdPreamble.tex (100%) diff --git a/02-diffbarkeit.tex b/02-diffbarkeit.tex index 5e1d969..0d2be99 100644 --- a/02-diffbarkeit.tex +++ b/02-diffbarkeit.tex @@ -212,7 +212,7 @@ eigene Notation entwickelt hat. \begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. - Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann + Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. @@ -312,39 +312,39 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. \section{Fingerübungen beim Ableiten} \begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene] - Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine - differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben - $\gamma$ in Komponenten, + Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine + differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben + $γ$ in Komponenten, \[ γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix}, \] - wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind. - Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix + wobei $γ_1$ und $γ_2 : V → ℝ$ reellwertige Abbildungen sind. + Gegeben ein Element $t ∈ V$, dann ist die Ableitungsmatrix \[ - J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} + J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} \] - eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$ - aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit - $γ'(t)$. + eine Matrix vom Format $2 ⨯ 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$ + aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit + $γ'(t)$. \end{notation} Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$. \begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel] - Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine - differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist + Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine + differenzierbare Abbildung und $f ∈ 𝒪(U)$. Dann ist \[ - (f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'. + (f ◦ γ)' = (f' ◦ γ) · γ'. \] \end{prop} \begin{proof} - Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die + Gegeben ein $z ∈ U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für - differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung + differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t ∈ V$ also die Gleichung \[ - (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}} + (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2⨯ 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}} = \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}. \] \end{proof} @@ -356,11 +356,11 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen. --- \begin{enumerate} \item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex - differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die + differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die Summen-, Produkt- und Kettenregel. \item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex - differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel. + differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel. \end{enumerate} \end{prop} \begin{proof} @@ -368,27 +368,27 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen. \end{proof} \begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4} - Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph, sodass die folgenden Bedingungen gelten: \begin{enumerate} \item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv. \item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$. \end{enumerate} Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist - wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$. + wieder holomorph, $f^{-1} ∈ 𝒪(V)$. \end{prop} \begin{proof} - Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die - Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar + Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p ∈ U$ die + Ableitungsmatrix $J_f(p) ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ invertierbar ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V := f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$ \[ J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}. - \] + \] Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor - ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und + ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar. \end{proof} @@ -397,12 +397,12 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen. Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen. \begin{itemize} -\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$. +\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$. \item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners holomorph. -\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt +\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und es gilt $\exp' = \exp$. -\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und +\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung. \end{itemize} @@ -412,20 +412,20 @@ es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung. Es sei \begin{align*} \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die „obere Halbebene“} \\ - S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.} + S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.} \end{align*} \index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung \[ - s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2 + s : \bH → S, \quad z ↦ z² \] bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe Wurzelfunktion \[ - \sqrt{\bullet} : S \to \bH + \sqrt{•} : S → \bH \] mit Ableitung \[ - \sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}} + \sqrt{•}' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{2·\sqrt{z}} \] \begin{frage}[Wurzelfunktion ?!] @@ -437,11 +437,11 @@ mit Ableitung Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene, \[ - \log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z), + \log : S → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z), \] holomorph mit Ableitung \[ - \log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}. + \log' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{z}. \] \begin{frage}[Logarithmus ?!] diff --git a/03-wegintegrale.tex b/03-wegintegrale.tex index aa559c6..a17d632 100644 --- a/03-wegintegrale.tex +++ b/03-wegintegrale.tex @@ -5,62 +5,63 @@ \section{Integration von vektorwertigen Funktionen} -In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres, -kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler -Vektorraum. +In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall. +Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum. -\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}% - Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man +\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}% + Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man \[ - \int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n + \int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n \] durch komponentenweise Integration. \end{definition} \begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen] - Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von - $V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ - mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis - nicht von der Wahl der Basis abhängt. + Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von + $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von + Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der + Wahl der Basis abhängt. \end{definition} \begin{bsp} Es ist \[ - \int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}. + \int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ. \] \end{bsp} Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein. \begin{prop} - Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann gilt Folgendes. + Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} - \item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$. + \item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + + \int_c^b f(t) \, dt$. - \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist + \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear, + dann ist \[ - \int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right). + \int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right). \] \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt = - (b-a) \cdot \vec{v}$ + (b-a) · \vec{v}$ - \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq + \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤ \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed \end{enumerate} \end{prop} \begin{definition}[Stammfunktionen] - Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt + Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt. \end{definition} \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung] - Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist + Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann ist \[ - F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du + F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du \] eine Stammfunktion \qed \end{satz} @@ -70,11 +71,233 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein. \end{satz} \begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen] - Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist -\[ - \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed -\] + Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist + \[ + \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed + \] \end{satz} -% !TEX root = LineareAlgebra2 +\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen] + Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist + \[ + \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed + \] +\end{satz} + +\sideremark{Vorlesung 4} + +\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen] + Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$ + gegeben. Also ist + \[ + \int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0. + \] +\end{bsp} + + +\subsection{Rechenregeln zur Integration} + +\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}% + Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei + differenzierbar. Dann ist + \[ + \int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds. \qed + \] +\end{satz} + +\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}% + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von + holomorphen Funktionen. Falls die Abbildung + \[ + f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z) + \] + und + \[ + \frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z) + \] + beide stetig sind, dann ist die Abbildung + \[ + F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt + \] + holomorph und + \[ + \frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt. \eqno\qed + \] +\end{satz} + +\begin{satz}[Hausaufgabe] + Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt. +\end{satz} + +\begin{satz}[Hausaufgabe] + Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt: + \[ + \frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}. + \] +\end{satz} + + +\section{Wegintegrale} + +\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}% + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein + stetig differenzierbarer Weg. Dann definiert man das + \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als + \[ + \int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt. + \] +\end{definition} + +\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}% + Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$. Weiter betrachten wir den Weg + \[ + γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it), + \] + der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt. Dann ist + \begin{align*} + \int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\ + &= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\ + &= \begin{cases} + 0 & \text{falls } n ≠ -1 \\ + 2πi & \text{falls } n = -1. + \end{cases} + \end{align*} +\end{bsp} + +\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs] + Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege + zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$ + stückweise stetig differenzierbar. Dann definiert man + \[ + \int_γ f(z) \, dz + \] + als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren + Teilwege. +\end{erg} + + +\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration} + +\begin{prop}[Umkehrung des Weges] + In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$ + derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$. + Dann ist + \[ + \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed + \] +\end{prop} + +\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung] + In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$ + stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$. Dann ist + \[ + \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz. + \] +\end{prop} +\begin{proof} + Um die Notation zu entwickeln, schreibe + \[ + φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t). + \] + Dann + \begin{align*} + \int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\ + &= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\ + &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\ + &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\ + &= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz. && \qedhere + \end{align*} +\end{proof} + +\begin{beobachtung}[Abschätzungen] + Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns + daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel + \[ + L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt + \] + gegeben ist. Damit erhalten wir die Abschätzung + \[ + \left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ). + \] +\end{beobachtung} + + +\subsection{Wegintegrale und Stammfunktionen} + +\begin{definition}[Stammfunktion] + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$ + heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist. +\end{definition} + +Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen +Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen +von $ℂ$. Die Begriffe hängen offenbar zusammen. + +\begin{beobachtung} + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$. + Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar. Dann ist + \begin{align*} + (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\ + & = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'. + \end{align*} + Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung + \[ + \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a). + \] +\end{beobachtung} + +\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen] + Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von + $f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start- + und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst. Insbesondere gilt: Wenn + $γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ + f(z) \, dz = 0$. +\end{kons} + +\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen] + Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}. Für $n ≠ -1$ ist + $\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$. Also ist für $n ≠ -1$ + das Integral + \[ + \int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it). + \] + Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das + wäre der Logarithmus. +\end{bsp} + +\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}% + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$. Dann ist + $f$ lokal konstant. +\end{kons} + +Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare +Fakten der Analysis und Topologie. + +\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}% + Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als + \[ + U = \bigcup_{α ∈ A} U_α, + \] + wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind. + \qed +\end{fakt} + +\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}% + Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann + gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und + $γ(1) = z_2$. \qed +\end{fakt} + +\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}] + Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit + annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist. Seien nun zwei + Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben. Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen + stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) = + z_2$. Dann ist aber + \[ + f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0. \qed + \] +\end{proof} + +% !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index b00cd80..05d696c 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -21,7 +21,7 @@ \usetikzlibrary{quotes,babel,angles,calc} \usepackage{svg} -\input{stdPreamble} +\input{gfx/stdPreamble} \usepackage{makeidx} \makeindex @@ -55,6 +55,7 @@ \newtheorem{proposition}[thm]{Proposition} \newtheorem{prov}[thm]{Provokation} \theoremstyle{remark} +\newtheorem{erg}[thm]{Ergänzung} \newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} \newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} \newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} diff --git a/stdPreamble.tex b/gfx/stdPreamble.tex similarity index 100% rename from stdPreamble.tex rename to gfx/stdPreamble.tex