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@@ -5,3 +5,6 @@ Drehstreckungsmatrix
 Cauchy-Riemann
 Cauchy-Riemannschen
 Cosinusfunktion
+Funktionalgleichung
+Exponentialabbildung
+Quotientengruppe

01-komplexeZahlen.tex

@@ -260,14 +260,20 @@ auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
 
 \section{Die Exponentialfunktion}
 
-\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung ``Analysis'' wurden Folgen und
-Grenzwerte in $ℂ = ℝ²$ ausführlich betrachtet.
+\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung „Analysis“ wurden Folgen und Grenzwerte
+in $ℂ = ℝ²$ ausführlich betrachtet.
 
-\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen und Reihen]
+\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen]
   Eine Folge von komplexen Zahlen, $(z_n)_{n ∈ ℕ}$, mit $z_n = x_n + i · y_n$
-  konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die
-  Folge $y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln (absolut) konvergieren.  Analoges
-  gilt für Reihen $\sum_{n=0}^{∞} z_n$.
+  konvergiert genau dann, wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die Folge $y_n$
+  der Imaginärteile jeweils einzeln konvergieren.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{erinnerung}[Konvergenz von Reihen]
+  Eine Reihe von komplexen Zahlen, $\sum_{n=0}^∞ z_n$, mit $z_n = x_n + i · y_n$
+  konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $\sum_{n=0}^∞ x_n$ der
+  Realteile und die Folge $\sum_{n=0}^∞ y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln
+  (absolut) konvergieren.
 \end{erinnerung}
 
 \begin{erinnerung}[Stetigkeit]
@@ -280,7 +286,7 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
 \begin{proposition}[Exponentialreihe]
   Für jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ$ konvergiert die Reihe
   \[
-    \sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!}
+    \sum_{k=0}^∞ \frac{z^k}{k!}
   \]
   absolut.
 \end{proposition}
@@ -293,13 +299,13 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
   \]
   Verwende jetzt dieselbe Argumentation wie bei der Diskussion der
   Exponentialreihe in Analysis I/II.  Alternativ: verwende das
-  Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$..
+  Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$.
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Exponentialfunktion]
   Die Abbildung
   \[
-    \exp : ℂ → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!}
+    \exp : ℂ → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=0}^∞ \frac{z^k}{k!}
   \]
   wird als komplexe Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} bezeichnet.
 \end{notation}
@@ -309,7 +315,7 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
 
 \begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an reellen Stellen]
   Für reelle Zahlen $z$ stimmt die komplexe Exponentialfunktion mit der reellen
-  Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung ``Analysis'' kennen.
+  Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung „Analysis“ kennen.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an rein imaginären Stellen]
@@ -320,8 +326,8 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
   \end{align*}
 \end{beobachtung}
 \begin{proof}
-  Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{∞} \frac{(i·α)^k}{k!} =
-  \sum_{k=0}^{∞} \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und
+  Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^∞ \frac{(i·α)^k}{k!} =
+  \sum_{k=0}^∞ \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und
   Cosinus.  Beachte, dass
   \[
     i^k =
@@ -395,9 +401,9 @@ Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion nach.
 
 \subsection{Die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion}
 
-Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dan ist
+Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dann ist
 \[
-  \exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y)
+  \exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y).
 \]
 Damit ist die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion klar: $\exp(x +
 iy)$ ist die eindeutig bestimmte Zahl mit Betrag $|\exp z| = \exp x > 0$ und
@@ -440,9 +446,9 @@ Argument $\arg (\exp z) = y$.
 
 \subsection{Komplexe Logarithmen}
 
-Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$
-einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$.  Aber: Genau wie
-bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
+Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$ einen
+Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$.  Aber: Genau wie bei der
+Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
 
 \begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}%
   Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp
@@ -458,7 +464,7 @@ bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
   \[
     \log: ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \begin{pmatrix} \ln |z| \\ \arg z \end{pmatrix}
   \]
-  wird in der Literatur also ``Hauptzweig des Logarithmus''\index{Hauptzweig des
+  wird in der Literatur also „Hauptzweig des Logarithmus“\index{Hauptzweig des
   Logarithmus} bezeichnet.
 \end{notation}
 
@@ -480,6 +486,5 @@ Konsequenz~\ref{kons:1-2-14} sagt, was der Kern des Gruppenmorphismus ist,
   \ker \exp = (2π i) · ℤ ⊂ ℂ.
 \]
 
-
-% !TEX root = LineareAlgebra2
+% !TEX root = Funktionentheorie
 

02-diffbarkeit.tex

@@ -411,8 +411,8 @@ es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
 
 Es sei
 \begin{align*}
-  \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
-  S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\}  && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
+  \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die „obere Halbebene“} \\
+  S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\}  && \text{die „geschlitzte Ebene“.}
 \end{align*}
 \index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
 \[
@@ -448,5 +448,5 @@ holomorph mit Ableitung
   Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
 \end{frage}
 
-% !TEX root = LineareAlgebra2
+% !TEX root = Funktionentheorie