diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 109afbf..9fac54c 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -5,3 +5,6 @@ Drehstreckungsmatrix Cauchy-Riemann Cauchy-Riemannschen Cosinusfunktion +Funktionalgleichung +Exponentialabbildung +Quotientengruppe diff --git a/01-komplexeZahlen.tex b/01-komplexeZahlen.tex index b2d3b33..2cc8c61 100644 --- a/01-komplexeZahlen.tex +++ b/01-komplexeZahlen.tex @@ -260,14 +260,20 @@ auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann. \section{Die Exponentialfunktion} -\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung ``Analysis'' wurden Folgen und -Grenzwerte in $ℂ = ℝ²$ ausführlich betrachtet. +\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung „Analysis“ wurden Folgen und Grenzwerte +in $ℂ = ℝ²$ ausführlich betrachtet. -\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen und Reihen] +\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen] Eine Folge von komplexen Zahlen, $(z_n)_{n ∈ ℕ}$, mit $z_n = x_n + i · y_n$ - konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die - Folge $y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln (absolut) konvergieren. Analoges - gilt für Reihen $\sum_{n=0}^{∞} z_n$. + konvergiert genau dann, wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die Folge $y_n$ + der Imaginärteile jeweils einzeln konvergieren. +\end{erinnerung} + +\begin{erinnerung}[Konvergenz von Reihen] + Eine Reihe von komplexen Zahlen, $\sum_{n=0}^∞ z_n$, mit $z_n = x_n + i · y_n$ + konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $\sum_{n=0}^∞ x_n$ der + Realteile und die Folge $\sum_{n=0}^∞ y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln + (absolut) konvergieren. \end{erinnerung} \begin{erinnerung}[Stetigkeit] @@ -280,7 +286,7 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion. \begin{proposition}[Exponentialreihe] Für jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ$ konvergiert die Reihe \[ - \sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!} + \sum_{k=0}^∞ \frac{z^k}{k!} \] absolut. \end{proposition} @@ -293,13 +299,13 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion. \] Verwende jetzt dieselbe Argumentation wie bei der Diskussion der Exponentialreihe in Analysis I/II. Alternativ: verwende das - Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$.. + Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$. \end{proof} \begin{notation}[Exponentialfunktion] Die Abbildung \[ - \exp : ℂ → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!} + \exp : ℂ → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=0}^∞ \frac{z^k}{k!} \] wird als komplexe Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} bezeichnet. \end{notation} @@ -309,7 +315,7 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion. \begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an reellen Stellen] Für reelle Zahlen $z$ stimmt die komplexe Exponentialfunktion mit der reellen - Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung ``Analysis'' kennen. + Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung „Analysis“ kennen. \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an rein imaginären Stellen] @@ -320,8 +326,8 @@ Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion. \end{align*} \end{beobachtung} \begin{proof} - Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{∞} \frac{(i·α)^k}{k!} = - \sum_{k=0}^{∞} \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und + Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^∞ \frac{(i·α)^k}{k!} = + \sum_{k=0}^∞ \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und Cosinus. Beachte, dass \[ i^k = @@ -395,9 +401,9 @@ Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion nach. \subsection{Die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion} -Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dan ist +Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dann ist \[ - \exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y) + \exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y). \] Damit ist die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion klar: $\exp(x + iy)$ ist die eindeutig bestimmte Zahl mit Betrag $|\exp z| = \exp x > 0$ und @@ -440,9 +446,9 @@ Argument $\arg (\exp z) = y$. \subsection{Komplexe Logarithmen} -Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$ -einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie -bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion +Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$ einen +Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie bei der +Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion \begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]\label{lem:1-2-15}% Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp @@ -458,7 +464,7 @@ bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion \[ \log: ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \begin{pmatrix} \ln |z| \\ \arg z \end{pmatrix} \] - wird in der Literatur also ``Hauptzweig des Logarithmus''\index{Hauptzweig des + wird in der Literatur also „Hauptzweig des Logarithmus“\index{Hauptzweig des Logarithmus} bezeichnet. \end{notation} @@ -480,6 +486,5 @@ Konsequenz~\ref{kons:1-2-14} sagt, was der Kern des Gruppenmorphismus ist, \ker \exp = (2π i) · ℤ ⊂ ℂ. \] - -% !TEX root = LineareAlgebra2 +% !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/02-diffbarkeit.tex b/02-diffbarkeit.tex index 7e430d7..5e1d969 100644 --- a/02-diffbarkeit.tex +++ b/02-diffbarkeit.tex @@ -411,8 +411,8 @@ es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung. Es sei \begin{align*} - \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\ - S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.} + \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die „obere Halbebene“} \\ + S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.} \end{align*} \index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung \[ @@ -448,5 +448,5 @@ holomorph mit Ableitung Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}? \end{frage} -% !TEX root = LineareAlgebra2 +% !TEX root = Funktionentheorie