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01.tex

@@ -0,0 +1,294 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal}
+
+\begin{quote}
+  Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den
+  axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
+  Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und
+  Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter
+  vier Augen erlautert werden.
+
+  --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der
+  gewöhnlichen Differenzalgleichungen''
+\end{quote}
+
+\bigskip
+
+\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung
+``Algebra'' zu nähern.  Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
+Begriffe
+\begin{quote}
+  Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
+\end{quote}
+ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
+einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht.
+Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur
+schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert
+waren.  Das ist doch langweilig!
+
+Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem
+Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal
+konstruieren?  Und bei welchen geht das nicht?  Und wenn es nicht geht, woran
+liegt das?  Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach
+Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die
+notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten.  Wir springen also
+gleich ins tiefe Wasser.  Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte,
+die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!
+
+
+\section{Das Konstruktionsproblem}
+
+Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike.  Alexander der Große hat
+ein Weltreich errichtet.  Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in
+den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden
+wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}.  Kennen Sie den
+  \href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
+    von Antikythera}?}.  In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
+Geometrie einen wichtigen Platz ein.  Trigonometrische Rechnung war zwar
+bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen
+  Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem
+  Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
+  näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
+  übertragen.  Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
+  Maulschellen vom Lehrherrn.}.  Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit
+Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich
+nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
+  sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.
+
+\begin{warnung}
+  In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung.  Bei
+  Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder
+  vorgeben.  Albrecht
+  Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht
+      Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21.  Mai 1471 in Nürnberg; † 6.  April
+    1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
+    Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
+  schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb
+  lieber vom ``Richtscheit''.
+\end{warnung}
+
+
+\subsection{Konstruktion des regelmäßigen 5-Eck}
+\index{Konstruktion!des regelmäßigen 5-Eck}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+
+  \input{figures/01-fiveGon}
+  
+  \caption{Das regelmäßige 5-Eck}
+  \label{fig:fiveGon}
+\end{figure}
+
+
+Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
+Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.  Auf der
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
+finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
+\begin{itemize}
+\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
+  Mittelpunkt eines Kreises schneiden.
+
+\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse.
+
+\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
+  Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius.
+    
+\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale
+  Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen
+  5-Eck auf die geviertelte Achse.
+\end{itemize}
+
+Der folgende Satz schafft den Bogen zur Zahlentheorie.  Ich nenne ihn hier, um
+zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!
+
+\begin{satz}
+  Betrachte das regelmäßig 5-Eck aus Abbildung~\ref{fig:fiveGon}.  Dann gilt:
+  Die Kantenlänge $a$ und die Länge der Sekante $d$ im regelmäßigen $5$-Eck sind
+  \emph{inkommensurabel}.  Mit anderen Worten: der Quotient $d/a$ ist keine
+  rationale Zahl.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
+  Vorüberlegung.  Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass
+  das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat.  Der
+  Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der
+  \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}
+  für Sie als Scan hinterlegt habe.
+
+  Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
+  nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei.  Dann gibt es eine Strecke der
+  Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen
+  sind.  Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
+  \begin{equation*}
+    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s
+  \end{equation*}
+  die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$
+  hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.  Weil
+  aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit
+  $a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen
+  können, ist
+  \begin{equation*}
+    s< θ^k·a
+  \end{equation*}
+  für alle $k>0$, ein klarer Widerspruch.
+\end{proof}
+
+\begin{prov}
+  Kennen wir die irrationale Zahl $d/a$ irgendwoher?
+\end{prov}
+
+
+\subsection{Andere klassische Konstruktionsaufgaben}
+\label{sec:1-1-2}
+
+Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben.  Ich nenne
+einige der berühmtesten Beispiele.
+
+\begin{itemize}
+\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
+  $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck}
+
+\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung
+    des Winkels}
+
+\item Die Verdopplung eines Würfels.  Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen
+  soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
+  
+\item Die Quadratur des Kreises.  Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis
+  ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
+  Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises}
+\end{itemize}
+
+
+\section{Enter: Algebra}
+
+Die Frage, welche dieser Konstruktionsaufgaben lösbar sind, war viele
+Jahrhunderte offen.  Fortschritte gab es erst, nachdem die Probleme in Algebra
+übersetzt werden konnten.  Dazu interpretiert die Ebene als die Menge $ℂ$ der
+komplexen Zahlen.  Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche
+Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.
+
+\begin{notation}
+  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch
+  $p$ und $q$.
+\end{notation}
+
+\begin{notation}
+  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit
+  Mittelpunkt $p$.
+\end{notation}
+
+\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte]
+  Gegeben sei eine nicht-leere Menge $M ⊂ ℂ$.  Mit Zirkel und Lineal sind exakt
+  die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu
+  konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt}
+  \begin{itemize}
+  \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und
+    $p_2≠ q_2$.  Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden.  Dann sind die Punkte von
+    $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren
+    Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal
+    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+  
+  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$.  Dann sind die Punkte
+    von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
+    Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal
+    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+  
+  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$.  Dann sind die Punkte
+    von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
+    Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal
+    aus der Menge $M$ konstruierbar.
+  \end{itemize}
+\end{defn}
+
+\begin{beobachtung}
+  In jedem elementaren Konstruktionsschritt werden höchstens zwei Punkte neue
+  Punkte konstruiert.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Durch Zusammensetzen von mehreren elementaren Konstruktionsschritten kann man
+  komplizierte Konstruktionen durchführen.  In der Schule haben wir unter
+  anderem folgende Konstruktionen gelernt.
+  \begin{itemize}
+  \item Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen.
+    
+  \item Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten konstruieren.  Damit lassen sich
+    Strecken halbieren und vierteln.
+    
+  \item Gerade durch einen Punkt konstruieren, die zu einer gegebenen Gerade
+    parallel ist.
+  \end{itemize}
+\end{beobachtung}
+
+\begin{definition}[Konstruierbare Punkte]
+  Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben.  Wir definieren die Menge
+  \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren
+    Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
+  dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen
+  \[
+    M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n
+  \]
+  gibt, sodass folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $z ∈ M_n$.
+    
+  \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$
+    entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von
+    $M_i$.
+  \end{itemize}
+\end{definition}
+  
+\begin{bemerkung}[Menge $M$ sollte mindestens zwei Punkte enthalten]
+  Wenn $M$ leer ist, oder nur einen Punkt enthält, ist $\Kons(M) = M$, das ist
+  sehr langweilig.  Also betrachten wir im Folgenden immer den Fall, dass $M$
+  mindestens die Punkte $0,1 ∈ ℂ$ enthält.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}[Klassische Konstruktionsaufgaben]
+  Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen
+  Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren.
+  \begin{itemize}
+  \item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann
+    auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+  
+  \item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl
+    $\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
+    $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$?
+  
+  \item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+  
+  \item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+Der folgende Satz ist der wesentliche Knackpunkt in der gesamten Vorlesung, der
+die Verbindung zwischen der Frage nach der Konstruierbarkeit und der Algebra
+herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage
+zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
+ineinander enthalten sein können.
+
+\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}
+  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält.
+  Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]
+  Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen
+  \[
+    x+y,\quad x-y,\quad x·y
+  \]
+  und im Falle $x \ne 0$ auch die Zahl $1/x$ mit Zirkel und Lineal aus $M$
+  konstruierbar ist.  Dies lassen wir als Übungsaufgabe für die Leserin oder den
+  Leser.  Das gilt insbesondere, wenn sie oder er auf Lehramt studiert!
+\end{proof}
+
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:
+

02.tex

@@ -0,0 +1,396 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe}
+
+Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich
+sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe
+Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer
+einheitlich).  Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem
+ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole.  Das allermeiste
+dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der
+Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
+
+
+\section{Gruppen}
+\label{sec:gruppen}
+
+\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1}
+  Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer
+  Abbildung
+  \[
+    m : G⨯ G → G,
+  \]
+  sodass folgende Eigenschaften gelten.
+  \begin{description}
+  \item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt:
+    $m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$.
+    
+  \item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für
+    alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$.
+    
+  \item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus
+    $G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist.
+  \end{description}
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Abelsche Gruppe]
+  Es sei $(G,m)$ eine Gruppe.  Die Gruppe heißt
+  \emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder
+  \emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$
+  die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt.
+\end{defn}
+
+\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses]
+  Es sei $(G,m)$ eine Gruppe.  Dann wird die Abbildung $m$ häufig
+  \emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt.  Häufig wird
+  statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz
+  $a·b$.  Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich.  Das
+  inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet.
+\end{notation}
+
+\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
+  Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem
+   (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder
+  der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
+  \begin{equation*}
+    m(a,b) := a+b
+  \end{equation*}
+  die Addition bzw.\ die Vektoraddition.  Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen]
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der
+  invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind.  Weiter sei
+  \begin{equation*}
+    m(a,b) := a·b
+  \end{equation*}
+  die Matrixmultiplikation.  Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen
+  nicht Abelsch.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
+  Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
+  Abbildungen $M → M$.  Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die
+  Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen.  Dann ist
+  $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch.  Wozu brauche ich
+  ``Bijektivität''?  Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch
+  ist?
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Vektorprodukt]
+  Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt.  Dann ist
+  $(G, ⨯)$ keine Gruppe.  Warum?
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation]
+  Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die
+  Multiplikation.  Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe.  Warum?
+\end{bsp}
+
+\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9}
+  Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge.
+  Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls
+  Folgendes gilt.
+  \begin{description}
+  \item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$,
+    $b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$.
+
+  \item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$
+    ist auch $a^{-1}$ in $U$.
+  \end{description}
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann
+  schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
+  \[
+    m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U
+  \]
+  und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe.  Es ist üblich, diese Gruppe
+  einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen.
+\end{bemerkung}
+
+
+\subsection{Normale Untergruppen}
+
+Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''?  Falls Sie diesen Begriff
+in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
+hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen.  Ich empfehle Kapitel 9 von
+Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
+im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
+
+Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
+betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo
+zusammengefasst.  \video{1-1}
+
+
+
+\section{Ringe}
+
+\begin{defn}[Ring]\label{def:ring}
+  Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei
+  Abbildungen,
+  \[
+    + : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R,
+  \]
+  sodass folgende Eigenschaften gelten.
+  \begin{description}
+  \item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe.
+    
+  \item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die
+    Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$.
+
+  \item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$
+    aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$.
+
+  \item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus
+    $R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$.
+  \end{description}
+\end{defn}
+
+\begin{notation}
+  Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als
+  Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet.  Das
+  neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
+  neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
+\end{notation}
+
+\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation]
+  Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich.  Manche Autoren
+  verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
+  Element der Multiplikation existiert.  Ein Ring wie in
+  Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins''
+  genannt.
+\end{warnung}
+
+\begin{defn}[Abelsche Ringe]
+  Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder
+  \emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$
+  aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}[Vektorprodukt]
+  Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die
+  Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet.  Warum?
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
+  der $(n⨯ n)$-Matrizen.  Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
+  und Matrixmuliplikation einen Ring.  Dieser ist im Allgemeinen nicht
+  kommutativ.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
+  Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
+  kommutativen Ring.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}
+  Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen.  Man rechnet sofort
+  mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente
+  $a$ und $b$ die Identitäten
+  \[
+    a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b)
+  \]
+  gelten.  Aber Achtung!
+  \begin{itemize}
+  \item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass
+    $b=0$ ist.
+    
+  \item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass
+    $b=c$ ist.
+  \end{itemize}
+  Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann!
+\end{beobachtung}
+
+\begin{defn}[Nullteiler]
+  Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring.  Ein Element $a$ aus $R$ heißt
+  \emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt,
+  sodass $a·b = 0$ ist.  Der Ring $R$ heißt
+  \emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder
+  \emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige
+  Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht.
+\end{defn}
+
+Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme.  Gute Ringe haben keine Nullteiler.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+      \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+          \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
+          \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
+          \draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0);
+        \end{tikzpicture}
+      \end{center}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+      \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+          \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
+          \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
+          \draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$};
+        \end{tikzpicture}
+      \end{center}
+    \end{minipage}
+  
+  \caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$}
+  \label{fig:nt}
+\end{figure}
+
+\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig}
+  Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$.  Zusammen mit
+  der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen
+  kommutativen Ring.  Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus
+  Abbildung~\vref{fig:nt}.  Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber
+  $f·g$ ist die Nullfunktion.  Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des
+  Ringes $\cC⁰(ℝ)$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Polynome]
+  Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in
+  $n$ Veränderlichen.  Die definiert mit der üblichen Addition und
+  Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$]
+  Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$.  Dies ist kein
+  Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber
+  $[2]·[3] = [6] = [0]$.  Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein
+  Integritätsring, sogar ein Körper.
+\end{bsp}
+
+Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives
+Inverses besitzt.  Solche Elemente heißen Einheiten.
+
+\begin{defn}[Einheiten eines Ringes]
+  Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element.  Nenne $a$
+  \emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes}
+  oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass
+  $a·b = b·a = 1$ ist.  Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
+  Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Stetige Funktionen]
+  In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen
+  ohne Nullstelle.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring.  Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten
+  wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der
+  Multiplikation eine Gruppe.
+\end{beobachtung}
+
+Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur
+Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
+
+\begin{bsp}[Unterringe]
+  Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring
+  der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Körper}
+
+\sideremark{Vorlesung 2}
+\begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
+  Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle
+  Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt.
+  Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch
+  kommutativ ist.
+\end{defn}
+
+Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
+Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
+
+\begin{bsp}[Bekannte Körper]
+  Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper.  Die
+  reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3}
+  In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa
+  \[
+    f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}.
+  \]
+  Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale
+    Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
+  Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird.  Die Menge der konstanten Funktionen
+  ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$.  Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber
+  kein Unterkörper von $ℝ(x)$.
+\end{bsp}
+
+\begin{notation}[Körpererweiterung]
+  Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
+  \emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}.  Man
+  schreibt oft $L/K$.
+\end{notation}
+
+Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht
+ganz einfach.  Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen
+werden, um an neue Beispiele zu kommen.
+  
+\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a}
+  Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner
+  Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die
+  den kleineren Körper $K$ enthalten.  Man rechne direkt mithilfe der Definition
+  nach, dass die Schnittmenge
+  \[
+    S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
+  \]
+  wieder ein Unterköper von $L$ ist.  Per Konstruktion enthält dieser
+  Unterkörper die Menge $K$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}
+  Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}.  Wir beginnen mit einer
+  gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
+  alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten.  Man beobachte, dass es
+  mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$.  Man rechne direkt
+  mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$,
+  \[
+    \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
+        $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L
+  \]
+  wieder ein Unterköper von $L$ ist.  Per Konstruktion enthält dieser
+  Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
+  die Menge $K ∪ A$ enthält.
+\end{bsp}
+
+\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen]
+  Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$
+  bezeichnet.  Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der
+    Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}.
+\end{defn}
+
+\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen]
+  Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält,
+  $A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper
+  entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines
+    Elementes}.  Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so
+  schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
+\end{notation}
+
+\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
+  \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
+    Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
+  In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der
+    Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}.
+\end{defn}
+
+Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich
+besprechen.
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:
+

03.tex

@@ -0,0 +1,426 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
+
+Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
+bereitgestellt.
+
+\section{Körpererweiterungen}
+
+Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für
+Körpererweiterungen, also für Situation, in denen wir einen (großen) Körper $L$
+haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$.  Die
+erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass
+nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
+
+\begin{beobachtung}
+  In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen:
+  \begin{itemize}
+  \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
+    \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
+    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
+    
+  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
+    Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
+  \end{itemize}
+\end{beobachtung}
+
+Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
+einmal ein wenig Sprache fällig.
+
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
+  Es sei $K$ ein Körper.  Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
+  Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
+\end{definition}
+
+\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
+  In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
+  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
+  Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
+  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
+  Abbildungen von $K$ nach $K$!
+\end{warnung}
+
+\begin{bsp}[Polynomring]
+  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom
+  $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Polynomring]
+  Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus
+  Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}.  Dann ist
+  \[
+    \frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z
+  \]
+  ein typisches Polynom aus $K[x]$.
+\end{bsp}
+
+Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
+Folgende.
+
+\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Ein Element $a ∈ L$ heißt
+  \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
+    Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
+  gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
+
+  \item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$.  Genauer: fasse das Polynom
+    $f$ als Element von $L[x]$ auf.  Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$
+    gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet.
+  \end{itemize}
+  Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$
+  \emph{transzendent}\index{transzendent!Element einer Körpererweiterung}.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$.  Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist
+  algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist.  Der
+  Freiburger Mathematiker Ferdinand
+  Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
+      Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.  April
+    1852 in Hannover; † 6.  März 1939 in München) war ein deutscher
+    Mathematiker.  Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
+    Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
+  Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Algebraische und transzendente Zahlen}
+
+Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
+Körpererweiterung $ℂ/ℚ$.  Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
+
+\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
+  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
+  \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente
+  heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
+\end{defn}
+
+Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen.  Der folgende Satz zeigt, dass
+jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
+enthält.
+
+\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
+  Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
+  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur
+  endlich viele Nullstellen.
+\end{proof}
+
+
+\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen}
+
+\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen]
+  Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$
+  \emph{algebraisch}\index{algebraisch!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!algebraisch},
+  wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist.  Wenn $L/K$ nicht
+  algebraisch ist, nennt man die Erweiterung
+  \emph{transzendent}\index{transzendent!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!transzendent}.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch.  Denn wenn irgendeine komplexe
+  Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms
+  \[
+    f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈
+      ℝ}·x-\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}.
+  \]
+  Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann) sagt, dass
+  $ℝ/ℚ$ transzendent ist.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Das Minimalpolynom}
+
+Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
+Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
+hat.  Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
+irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
+ebenfalls $a$ als Nullstelle hat.  Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
+als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
+Zusatzbedingungen stellt.
+
+\begin{description}
+\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad
+  minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle
+  haben.
+  
+\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn
+  \begin{equation*}
+    f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
+  \end{equation*}
+  ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
+    ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
+  \begin{equation*}
+    \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
+  \end{equation*}
+  ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle.
+\end{description}
+
+Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom
+minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat.  Denn wenn $f_1$ und $f_2$
+zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das
+Element $a$ als Nullstelle.  Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der
+Grad von $f_1$!
+
+\begin{defn}[Minimalpolynom]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
+  Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten
+  Grades in $K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat, wird als
+  \emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von $a$ über $K$ bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann definiert man
+  den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes} wie folgt.
+  \begin{itemize}
+  \item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
+    der Grad des Minimalpolynoms.
+    
+  \item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
+    unendlich.
+  \end{itemize}
+  Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist
+  $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
+  $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Der Satz von Lindemann sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
+  Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
+  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter
+  sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
+  Gleichung $a² = b$).  Dann gilt
+  \[
+    [a:K] =
+    \left\{
+      \begin{matrix}
+        1 & \text{falls } a ∈ K \\
+        2 & \text{sonst}
+      \end{matrix}
+    \right.
+  \]
+\end{bsp}
+
+Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen
+werden.
+
+
+\section{Der Grad einer Körpererweiterung}
+
+Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als
+$K$-Vektorraum auffassen.  Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in
+$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit
+Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$.  Das erlaubt folgende
+Definition.
+
+\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Die Dimension von $L$ als Vektorraum
+  über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
+    Körpererweiterung}.  Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{endliche
+    Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!endlich}, wenn $[L:K] < ∞$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
+  endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Dann gilt die
+  Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{3-1} und \video{3-2}.
+\end{proof}
+
+Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich.  Beide folgen direkt aus dem
+Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
+dieser Stelle nicht.
+
+\begin{kor}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$
+  ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{kor}\label{kro:eord}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
+  Grad $n$.  Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
+  \[
+    b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1},
+  \]
+  wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind.  \qed
+\end{kor}
+
+Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
+schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
+$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich
+nützlich!  Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
+beliebige einfache Körpererweiterungen.
+
+
+\section{Ketten von Körpererweiterungen}
+
+Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$
+haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
+hinzuadjungieren.  Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
+Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
+
+\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
+  \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
+  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
+    $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
+  Gleichung
+  \[
+    [M:K] = [M:L]·[L:K].
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{3-3}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn
+  $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
+  $[M:K]$.  Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
+  Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{kor}
+  Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl
+  ist.  Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist.  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.  Dann entsteht $L$ aus $K$
+  durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
+  $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Es gilt die Gleichung $a² = b$.
+    
+  \item Es ist $L=K(a)$.
+  \end{itemize}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
+\end{proof}
+
+Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
+
+\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
+    
+  \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
+    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
+    $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
+    
+  \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
+    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
+    $L = K(a_1, …, a_n)$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
+  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
+  sind alle diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
+  zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
+  Hier ist nichts zu zeigen.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
+  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
+  Kette von Erweiterungen
+  \[
+    K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
+  \]
+  Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
+  insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
+  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.  Wiederholte
+  Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
+  \[
+    [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
+  \]
+  und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist.
+\end{proof}
+
+
+\section{Die Transitivität der Algebraizität}
+
+Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
+Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
+sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen.  Der erste ist der Satz über
+die ``Transitivität der Algebraizität''.
+
+\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
+  Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen.  Dann ist auch
+  $M/K$ algebraisch.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  \video{3-5}
+\end{proof}
+
+\begin{warnung}[Prüfungsfalle]
+  Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern
+  gefragt.  Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist.  In Prüfungen
+  sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$
+  direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen.  Das hat in der Geschichte der
+  Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert.  Lassen Sie das!
+\end{warnung}
+
+\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper]\label{satzdef:aaieO}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann bildet die Menge
+  \[
+    \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \}
+  \]
+  einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im
+    Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper}
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  \video{3-6}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen bildet einen Unterkörper
+  von $ℂ$.  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
+  Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
+  ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
+  Oberkörpers abhängt.  Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
+\end{warnung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

04.tex

@@ -0,0 +1,108 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Auflösungen von Gleichungen durch Radikale}
+\label{sec:4}
+
+\sideremark{Vorlesung 4}Nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal möchte ich
+noch ein klassisches Problem formulieren.  Für eine quadratische Gleichung
+$x²+px+q=0$ gibt es die Lösungsformel
+\begin{equation*}
+  x_{1,2} = -\frac{p}{2}±\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)²-q}.
+\end{equation*}
+Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
+Renaissance komplizierte Formeln gefunden.  In der westlichen Welt wurden diese
+Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
+Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
+    Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
+  lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.  September 1501 in Pavia;
+  † 21.  September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
+  Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
+\cite{Cardano45} veröffentlicht.  Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
+Gleichungen wurden wohl von Nicolo
+Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
+    Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.  Dezember 1557 in
+  Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
+  Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
+Cardano sogar noch früher durch Scipione del
+Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
+    del Ferro} (* 6.  Februar 1465 in Bologna; † 5.  November 1526 ebenda) war ein
+  italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
+  Geometrie an der Universität von Bologna.  }.
+
+\begin{bsp}
+  Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen.  Gesucht sind komplexe Lösungen der
+  Gleichung
+  \begin{equation}\label{eq_loesung_3_Grades}
+    x³+ax²+bx+c=0.
+  \end{equation}
+  Diese Gleichung lässt sich wie folgt lösen.  Man setze
+  \begin{align*}
+    h& := -\frac{1}{2}c+\frac{1}{6}a· b-\frac{1}{27}a³\\
+    w_1& := \sqrt{-3(a²b²-4a³c-4b³+18abc-27c²)}\\
+    w_2& := \sqrt[3]{h+\frac{1}{18}w_1}\\
+    w_3& := \sqrt[3]{h-\frac{1}{18}w_1},
+  \end{align*}
+  wobei die Wurzeln so zu wählen sind, dass
+  \[
+    w_2·w_3 = \frac{1}{8}·a²·\frac{1}{3}·b
+  \]
+  ist.  Dann ist $x = \frac{1}{3}·a+w_2-w_3$ eine Lösung von
+  \eqref{eq_loesung_3_Grades}.
+\end{bsp}
+
+Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden.  Das wirft Fragen
+auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es eine
+solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.  Tatsächlich
+ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
+Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die Fragestellung
+hier nur.
+
+\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
+  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
+  $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
+    
+  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
+    $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
+  \end{itemize}
+\end{defn}
+
+Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
+$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
+Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
+schreiben
+\begin{align*}
+  K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
+  K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
+         &\:\:\: \vdots \\
+  K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
+\end{align*}
+Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
+(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
+
+\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
+  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die
+  Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
+    durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
+  Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
+    und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
+\end{defn}
+
+Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
+anderem ob ein Polynom
+\begin{equation*}
+  f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
+\end{equation*}
+über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
+das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
+rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
+lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
+
+
+%%% Local Variables:
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+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

05.tex

@@ -0,0 +1,705 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Teilbarkeit}
+
+Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
+bereitgestellt.
+
+
+\section{Wohin geht die Reise…?}
+
+In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
+``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
+gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
+
+\begin{problem}
+  Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
+  Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$.  Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
+  Minimalpolynom ist oder nicht.
+\end{problem}
+
+Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
+Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen.  Hier kommt ein erster Hinweis, in
+welche Richtung die Argumentation geht.
+
+\begin{beobachtung}
+  Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
+  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt
+  $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
+  gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende
+  schreibt man
+  \begin{equation*}
+    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
+  \end{equation*}
+  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$ als
+  Nullstelle.  Dann gilt:
+  \begin{equation*}
+    0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
+  \end{equation*}
+  Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle.  Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist,
+  und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten.  Als Konsequenz
+  lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des
+  Minimalpolynoms.  Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das
+  $a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern
+  von $g$.
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
+
+Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
+machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
+Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
+statt Körpern.
+
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
+  Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
+    Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
+  der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
+  $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie
+  \begin{align*}
+    R[x,y] &= R[y,x] \\
+    R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y],
+  \end{align*}
+  die wir nicht formal beweisen werden.
+\end{beobachtung}
+
+Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
+$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$.  In Integritätsringen
+verhält sich der Grad gut.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
+  Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Dann gilt für alle
+  Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$.  Wir
+    verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
+    $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
+  \begin{equation*}
+    \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
+  \end{equation*}
+  Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$.  Sei
+  $n := \deg p$ und $m := \deg q$.  Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
+  $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
+  \begin{align*}
+    p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
+    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
+  \end{align*}
+  Dann ist weiter
+  \begin{equation*}
+    p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}.
+  \end{equation*}
+  Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist
+  $\deg (p·q) =n+m$.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch
+  $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring.  Für die Gruppe der
+  Einheiten gilt
+  \begin{equation*}
+    R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
+  \end{equation*}
+  wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome
+  auffassen.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}.  Die
+  zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass
+  $R[x]^* = R^*$ ist.  Sei also $p ∈ R[x]^*$.  Das bedeutet per Definition: es
+  existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$.  Dann folgt aber
+  \[
+    \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
+  \]
+  Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+  Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Sei $K$ ein Körper.  Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Teilbarkeit in Ringen}
+
+In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt.  In
+allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
+
+\begin{defn}[Teiler]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$.  Man nennt $r$ einen
+  \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
+  ist.  Wir schreiben dann $r|s$.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Es gilt $2|16$ in $ℤ$.  Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$.
+\end{bsp}
+
+\begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$
+  seien Elemente.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{itemize}
+  \item Es gilt $r|r$.
+    
+  \item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$.
+    
+  \item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$.
+    
+  \item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$.
+    
+  \item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$.
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Keine Lust.  Folgt alles direkt aus der Definition.
+\end{proof}
+
+Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
+das Vorzeichnen meist nicht wichtig.  Die folgende Definition formalisiert in
+bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
+
+\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
+  Elemente von $R$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
+    
+  \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
+    $ε·r=s$ ist.
+  \end{enumerate}
+  Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
+    assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  Wir beweisen die Richtung
+  \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.  Wegen
+  $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$
+  liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als nächstes
+  die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
+  Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
+  \begin{equation*}
+    u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
+  \end{equation*}
+  Also ist
+  \begin{equation*}
+    v·(u· r) = v·s \:⇒\: v· u· r= r \:⇒\: (v· u-1)·r = 0,
+  \end{equation*}
+  und weil $R$ ein Integritätsring ist, folgt $v· u =1$, also sind $v$ und
+  $u$ Einheiten in $R$.
+\end{proof}
+
+Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte
+Teiler.
+
+\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
+  Elemente.  Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
+    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
+  \begin{itemize}
+  \item Es gilt $r|s$.
+    
+  \item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$.
+    
+  \item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert.
+  \end{itemize}
+  Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt
+  \emph{irreduzibel}\index{irreduzible Ringelemente}, wenn $r$ nicht Null ist,
+  keine Einheit ist und keine echten Teiler hat.
+\end{definition}
+
+\begin{notation}
+  Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$.
+\end{notation}
+
+\begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ}
+  Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei
+  $p$ eine Primzahl ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{warnung}
+  Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich.  Wir werden später für
+  beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
+\end{warnung}
+
+
+\section{Zerlegbarkeit von Elementen}
+
+In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
+ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
+irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
+\begin{equation*}
+  m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
+\end{equation*}
+wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
+eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
+
+\begin{warning}\label{war:nufd}
+  Zu früh gefreut.  Geht nicht.  Ich behaupte, dass die folgende Menge von
+  komplexen Zahlen,
+  \[
+    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
+  \]
+  einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
+  $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet.  Ich behaupte auch, dass die Elemente
+  \[
+    3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i
+  \]
+  irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind.  Es gilt aber
+  schrecklicherweise
+  \[
+    3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i).
+  \]
+  Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als
+  Produkt von irreduziblen Elementen.
+\end{warning}
+
+\subsection{Existenz von Zerlegungen}
+
+\sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt
+eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt.  Dazu sind folgende Definitionen
+relevant.
+
+\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
+  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
+  $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Man sagt \emph{in $R$ gilt der
+    Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
+  für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
+  $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
+\end{defn}
+
+\begin{rem}
+  Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
+  assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
+  $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
+\end{rem}
+
+\begin{bsp}
+  In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
+  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
+  $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
+  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad von
+  Polynomen anstelle des Betrages.
+\end{bsp}
+
+\begin{warnung}
+  In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der
+  Teilerkettensatz nicht gilt.
+\end{warnung}
+
+Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
+Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
+    Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
+  Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
+hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
+Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
+    Noether} (Emmy war der Rufname; geb.  am 23.  März 1882 in Erlangen; gest.  am
+  14.  April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
+  die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
+  lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
+  revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
+  zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
+  an.}.  Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
+
+\begin{satz}\label{satz:tksgz}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
+  gilt.  Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist.
+  Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen
+  $p_i ∈ R$ schreiben.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{5-1}
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen}
+
+Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
+der Eindeutigkeit.  Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
+auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge.  Zwei
+Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
+wir ``äquivalent''.
+
+\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
+  seien
+  \[
+    r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m
+  \]
+  zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen.  Die
+  Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
+  gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
+  Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte $R = ℤ$.  Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente
+  Darstellungen der Zahl $6$.
+\end{bsp}
+
+Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines
+Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind.  Die folgende Definition ist dabei
+wichtig.
+
+\begin{definition}[Primelemente eines Ringes]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ein Element $p ∈ R$ heißt
+  \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist,
+  $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
+  $p|a$ oder $p|b$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$.  Dann gilt
+  Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel.
+  \item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim.
+  \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
+    $p \sim q$.
+  \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
+    $⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen.  Sei $p$
+  also prim.  Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$
+  oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr}
+  In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist.  Also: die
+  Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen.  Der Beweis ist erstaunlich
+  kompliziert.  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes
+  irreduzible Element in $ℤ$ sei prim.  Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind
+  aber gerade $±$ Primzahl.  Also nehmen wir an, dass es eine kleinste
+  (positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen
+  $a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid
+  b$.  Division mit Rest liefert:
+  \begin{align*}
+    a &= q_1· p+a_1, & 1&<a_1<p,\\
+    b &= q_2· p+b_1, & 1&<b_1<p.
+  \end{align*}
+  Dann gilt $p \nmid a_1$ und $p \nmid b_1$, aber
+  \begin{equation*}
+    a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
+  \end{equation*}
+  also $p|(a_1· b_1)$.  Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
+  Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
+  und $p \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
+  $1 < a· b < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
+  $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
+  weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
+  $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt
+  natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
+  irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.  Da $p^\prime|h$,
+  $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
+  $p^\prime|b$.
+  
+  Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt.  Dann ist
+  $a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
+  \begin{equation*}
+    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
+  \end{equation*}
+  Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
+  von $a· b$.  Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  In dem Ring $R = ℤ[\sqrt{-5}] ⊂ ℂ$ ist nicht jedes irreduzible
+  Element prim.  Das Element $2+\sqrt{-5}$ ist irreduzibel, teilt $3· 3$,
+  aber nicht $3$.  Also ist $2+\sqrt{-5}$ nicht prim.  Wir werden später sehen,
+  dass dies exakt der Grund ist, warum die Zerlegung in irreduzible Elemente
+  nicht eindeutig ist
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Zentraler Satz über die (eindeutige) Existenz von Zerlegungen]\label{Satz_Zerlegung}
+  Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Dann sind die folgenden Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Zerlegungen_1} Jedes Element $r∈ R$ mit $r≠ 0$ und
+    $r\not ∈ R^*$ hat eine Darstellung als Produkt von endlich vielen
+    irreduziblen Elementen von $R$ \emph{und} je zwei Darstellungen von $r$ sind
+    äquivalent.
+    
+  \item\label{Satz_Zerlegungen_2} In $R$ gilt der Teilerkettensatz für Elemente
+    und jedes irreduzible Element von $R$ ist prim.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+
+  ---
+
+  \begin{itemize}
+  \item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_1}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_2}:
+    \video{5-2}
+
+  \item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_2}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_1}:
+    \video{5-3} \qedhere
+  \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Faktorieller Ring]
+  Ein kommutativer Integritätsring heißt \emph{faktoriell}\index{faktoriell},
+  wenn er die Bedingungen von Satz~\ref{Satz_Zerlegung} erfüllt.
+\end{definition}
+
+\begin{rem}
+  In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
+  \emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
+  \textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
+  \textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
+\end{rem}
+
+\begin{bsp}
+  Der Ring $ℤ$ ist faktoriell, denn wir haben gezeigt, dass jedes irreduzible
+  Element prim ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Körper sind trivialerweise faktoriell, denn $K ∖ \{0\} = K^*$.
+\end{bsp}
+
+Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
+ 
+\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.  April 1777 in Braunschweig; † 23.  Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring.  Dann ist auch der Polynomring
+  $R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+  Die Ringe $ℤ[x_1, …, x_n]$ oder $ℚ[x_1, …, x_n]$ sind faktoriell.
+\end{bsp}
+
+Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
+  6}
+
+\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
+  dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  \video{6-1}
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss}]
+  \video{6-2}
+\end{proof}
+
+
+\section{Primfaktorzerlegung}
+
+Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
+Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
+kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
+darstellbar.  Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
+denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine
+derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
+
+Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
+Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
+deshalb in Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
+machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann
+sind wir in der folgenden Situation.
+
+\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
+  Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
+  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
+  $p \sim p_i$ ist).
+\end{situation}
+
+Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
+wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
+einleuchtende Wahlen.
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $R = ℤ$ und $(p_i)_{i ∈ ℕ}$ die Menge der \emph{positiven} Primzahlen.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es seien $(p_i)_{i ∈ I}$ die
+  Menge der \emph{normierten} irreduziblen Polynome.
+\end{bsp}
+
+\begin{satzdef}[Primfaktorzerlegung]\label{Satz_Primfaktorzerlegung}
+  In Situation~\ref{sit:5-5-1} besitzt jedes Element $r∈ R∖ \{0\}$ eine (bis auf
+  Reihenfolge) eindeutige Faktorisierung
+  \begin{equation*}
+    r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
+  \end{equation*}
+  wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
+  Exponenten gleich $0$.  Dies Darstellung heißt \emph{normierte
+    Primfaktorzerlegung}\index{normierte
+    Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
+  Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  Hier ist nicht viel zu beweisen.  Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
+  $ν_i = 0$ für alle $i$.  Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
+  $r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$.  Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
+  assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
+  Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
+  auftauchen, zusammen.  Die Eindeutigkeit ist klar.
+\end{proof}
+
+An einer normierten Primfaktorzerlegung kann man Teilbarkeitseigenschaften
+sofort ablesen.
+
+\begin{beobachtung}
+  In Situation~\ref{sit:5-5-1} seien
+  \[
+    r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad
+    s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}
+  \]
+  zwei Elemente zusammen mit ihren normierten Darstellungen.  Dann gilt
+  Folgendes.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $r|s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung $ν_i ≤ μ_i$
+    gilt.
+    
+  \item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
+    $ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
+    $ν_j < μ_j$ ist.
+    
+  \item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
+    ist.
+  \end{itemize}
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{ggT und kgV}
+
+Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
+Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
+``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt.  Auch diese Begriffe
+übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
+
+\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
+  Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
+      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $g|r$ und $g|s$.
+    
+  \item Für alle $t ∈ R$ gilt: $t|r$ und $t|s$ impliziert $t|g$.
+  \end{itemize}
+  Man schreibt in dieser Situation oft $g = \ggT(r,s)$\index{ggT}.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
+  Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.  Ein
+  Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
+    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
+    
+  \item Für alle $t ∈ R$ gilt:, $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
+  \end{itemize}
+  Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV}.
+\end{defn}
+
+\begin{definition}[Teilerfremde Elemente]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1.  Zwei Elemente $r,s ∈ R$ heißen
+  \emph{teilerfremd}\index{teilerfremd}, wenn der $1 = \ggT(r, s))$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{warnung}
+  Obwohl man oft von ``dem größten gemeinsamen Teiler'' spricht, ist der größte
+  gemeinsame Teiler nicht eindeutig!  Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
+  und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter
+  gemeinsame Teiler!  Mit unserer Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch
+  $-3 = \ggT(6,9)$.  Dito für $\kgV$.
+\end{warnung}
+
+\begin{warnung}
+  In den Übungen werden wir sehen, dass größte gemeinsame Teiler in beliebigen
+  Ringen im Allgemeinen nicht existieren!
+\end{warnung}
+
+In faktoriellen Ringen müssen wir uns über die Existenz von $\ggT$ und $\kgV$
+keine Gedanken machen.
+
+\begin{satz}
+  Ist $R$ ein faktorieller Ring, dann existiert zu jedem Paar
+  $r,s ∈ R ∖ \{0\}$ ein größter gemeinsamer Teiler und ein kleinstes
+  gemeinsames Vielfaches.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wähle ein Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$ von zueinander assoziierten
+  Primelementen wie in Situation~\ref{sit:5-5-1}.  Schreibe
+  \[
+    r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}.
+  \]
+  Dann ist
+  \begin{equation*}
+    \ggT(r,s) = \prod (p_i)^{\min(ν_i,μ_i)} \quad\text{und}\quad
+    \kgV(r,s) = \prod (p_i)^{\max(ν_i,μ_i)}.  \qedhere
+  \end{equation*}
+\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Der Euklidische Algorithmus}
+
+Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
+ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
+ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
+
+\begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}
+  Sei $K$ ein Körper.  Dann kann man im Ring $K[x]$ den \emph{Euklidischen
+    Algorithmus\index{Euklidischer Algorithmus}} verwenden.  Seien also
+  $f,g∈ K[x]$ gegeben.  Dann betrachte die Kette von Gleichungen, die man durch
+  Division mit Rest bekommt
+  \begin{align}
+    f(x)&= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
+    g(x)&= q_2(x)· r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
+        &\qquad\vdots&&\qquad\vdots\nonumber\\
+    r_{n-2}(x)&=q_n(x)· r_{n-1}(x)+r_n(x)&&\text{mit } \deg r_{n} < \deg r_{n-1}\label{eq:Euklid_3}\\
+    \intertext{und zuletzt}
+    r_{n-1}(x)&= q_{n+1}(x)· r_n(x)\label{eq:Euklid_4}
+  \end{align}
+  denn da die Grade immer kleiner werden, muss die Division irgendwann aufgehen.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}
+  In Beispiel~\ref{bsp:5-6-7} ist $r_n = \ggT(f, g)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Sei $t(x)∈ K[x]$ ein Teiler von $f(x)$ und $g(x)$.  Dann folgt aus
+  \eqref{eq:Euklid_1}: $t|r_1$.  Aus \eqref{eq:Euklid_2} folgt $t|r_2$ und so
+  weiter bis schließlich $t|r_n$.  Umgekehrt folgt aus \eqref{eq:Euklid_4}
+  $r_n|r_{n-1}$.  Aus \eqref{eq:Euklid_3} folgt $r_n|r_{n-2}$ und so weiter.
+  Schließlich folgt $r_n|g$ und $r_n|f$.
+\end{proof}
+
+Ein analoges Verfahren kennen Sie aus der Schule für $ℤ$.  Für $R = ℤ[x]$
+lässt sich so ein Verfahren aber beispielsweise nicht anwenden!
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:
+

06.tex

@@ -0,0 +1,184 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der Quotientenkörper eines Integritätsringes}
+
+\section{Worum geht es?}
+
+\sideremark{Vorlesung 7}Das Ziel ist immer noch, Körpererweiterungen zu
+verstehen.  Wir haben gesehen, dass algebraische Elemente und Minimalpolynome
+dabei eine wichtige Rolle spielen, können aber immer noch nicht entscheiden, ob
+ein gegebenes Polynom nun tatsächlich ein Minimalpolynom ist oder nicht!  Wir
+wissen, dass Minimalpolynome irreduzibel sein müssen (sonst wäre einer echten
+Teiler ja ein Polynom von kleinerem Grad mit der gesuchten Nullstelle), aber wir
+wissen auch nicht, wie man entscheiden kann, ob ein Polynom irreduzibel ist.
+Wie wir später noch genauer sehen werden, kann man Irreduzibilität im Ring
+$ℤ[x]$ recht gut entscheiden --- wir sind aber meistens am Ring $ℚ[x]$
+interessiert, nicht an $ℤ[x]$.  Die beiden Ringe hängen aber eng zusammen!  In
+diesem vorbereitenden Kapitel klären wir erst einmal den Zusammenhang zwischen
+$ℤ$ und $ℚ$, oder allgemeiner, zwischen einem Integritätsring und seinem
+Quotientenkörper.
+
+\begin{frage}
+  Es sei $R$ ein Ring.  Können wir einen Körper $K$ konstruieren, der $R$ als
+  Unterring enthält?  Am besten so, dass $K$ möglichst klein ist.
+\end{frage}
+
+\begin{obs}
+  $R$ muss ein Integritätsring sein, sonst habe ich überhaupt keine Chance -- in
+  Körpern gibt es ja keine Nullteiler!  Also fangen wir am besten mit einem
+  Integritätsring an.
+\end{obs}
+
+Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
+kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen.  Wenn Sie bei mir die
+Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
+Definition sehr vertraut vorkommen.  Falls nicht, ist jetzt die perfekte
+Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
+
+\begin{definition}[Quotientenkörper]
+  Sei $R$ ein Integritätsring.  Ein \emph{Quotientenkörper von
+    $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
+  injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
+  Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
+  von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
+  $h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist.  Mit anderen Worten, es existiert genau ein
+  Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ !  h"] \\
+      R \ar[r, hook, "j"'] & L.
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{definition}
+
+Wir merken gleich an, dass die Abbildung $h$ immer injektiv sein wird.
+
+\begin{lem}\label{lem:inj}
+  Ein Homomorphismus $\varphi : K → S$ von einem Körper in einen Ring ist immer
+  Injektiv, oder die Nullabbildung.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Angenommen $\varphi$ ist nicht injektiv, dann existiert ein $x∈ K∖ \{0\}$ mit
+  $\varphi(x) =0$.  Dann ist
+  \begin{equation*}
+    \varphi(1) = \varphi(x· x^{-1}) = \varphi(x)·\varphi(x^{-1}) = 0.
+  \end{equation*}
+  Also gilt für alle $y∈ K$, dass
+  \begin{equation*}
+    \varphi(y)= \varphi(1· y) = \varphi(1)·\varphi(y) = 0
+  \end{equation*}
+  und $\varphi$ ist die Nullabbildung.
+\end{proof}
+
+
+\section{Eindeutigkeit und Existenz}
+
+Aus der universellen Eigenschaft folgt sofort die Eindeutigkeit des
+Quotientenkörpers.  Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
+
+\begin{satz}[Eindeutigkeit von Quotientenkörpern]\label{satz:edvq}
+  Es sei $R$ ein Integritätsring und es seien $ι_1 : R → K_1$, $ι_2 : R → K_2$
+  zwei Quotientenkörper.  Dann gibt es genau einen Isomorphismus $h: K_1 → K_2$,
+  sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      R \ar[r, hook, "ι_1"] \ar[d, equals] & K_1 \ar[d, "∃ !  h\text{, isomorph}"] \\
+      R \ar[r, hook, "ι_2"'] & K_2.
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{7-1}
+\end{proof}
+
+Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
+ist.  Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
+bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
+vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''.  Das ist
+super-wichtig!  Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
+Isomorphie''.
+
+\begin{notation}
+  Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
+  spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper.  Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
+\end{notation}
+
+\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]
+  Es sei $R$ ein Integritätsring $R$.  Dann existiert ein Quotientenkörper.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{7-2}
+\end{proof}
+
+Wir hatten in der Einleitung davon gesprochen, dass der Quotientenkörper eines
+Ringes $R$ der kleinste Körper sein soll, der $R$ enthält.  Die folgende
+Proposition macht diese Bemerkung präzise.
+
+\begin{prop}
+  Sei $R$ ein Integritätsring.  Dann ist $Q(R)$ in folgendem Sinne der kleinste
+  Körper, der $R$ enthält: Sei $L$ ein weiterer Körper, der $R$ enthält.  Dann
+  existiert eine injektive Abbildung $Q(R)$ nach $L$, deren Einschränkung auf
+  $R$ die Identität ist.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Universelle Eigenschaft und Lemma~\ref{lem:inj}.
+\end{proof}
+
+
+\section{Beispiele}
+
+Sie kennen schon viele Beispiele für Quotientenkörper!  Ich nenne hier nur
+einige Beispiele und verzichte auf detaillierte Beweise; alle Behauptungen
+folgen direkt aus der Definition.
+
+\begin{bsp}
+  Ist $R = ℤ$, dann ist $Q(R) = ℚ$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Ist $K$ ein Körper, so ist $Q(K) = K$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte den Ring aus Warnung~\vref{war:nufd},
+  \[
+    R := ℤ[\sqrt{-5}] = \{ a+b· \sqrt{-5} \::\: a,b ∈ ℤ \} ⊂ ℂ.
+  \]
+  Dann ist $Q(R)=ℚ(\sqrt{-5})$.  Denn weil $R ⊂ ℂ$ ist, gibt es aufgrund der
+  universellen Eigenschaft eine Injektion $Q(R) → ℂ$.  Der Körper
+  $ℚ(\sqrt{-5}) ⊆ ℂ$ ist aber der kleinste Unterkörper von $ℂ$, der sowohl $ℤ$
+  als auch $\sqrt{-5}$ enthält.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $R := K[x_1, …, x_n]$ sei
+  der Polynomring in $n$ Variablen.  Dann ist $Q(R)$ der Körper der rationalen
+  Funktionen in $n$ Variablen.  Die Elemente sind Brüche der Form
+  \[
+    \frac{f(x_1, …, x_n)}{g(x_1, …, x_n)}
+  \]
+  wobei $f,g ∈ K[x_1, …, x_n]$ und $g ≠ 0$ ist.  Die Schreibweise
+  \[
+    K(x_1, …, x_n) := Q(R)
+  \]
+  ist üblich.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ ein vollständiges
+  Repräsentantensystem für die Klassen assoziierter Primelemente, wie in
+  Situation~\vref{sit:5-5-1}.  Jedes Element $v∈ Q(R)$ lässt sich dann auf
+  eindeutige Weise schrieben als
+  \[
+    v = ε \prod_{i ∈ I}p_i^{ν_i}
+  \]
+  wobei $ε ∈ R^*$, $ν_i ∈ ℤ$ und fast alle der $ν_i = 0$ sind.
+\end{bsp}
+
+      
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:
+

07.tex

@@ -0,0 +1,266 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Irreduzibilitätskriterien}
+
+\sideremark{Vorlesung 8}Nach allen Vorbereitungen wollen wir jetzt die Frage
+angehen, wie man entscheidet, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ irreduzibel
+ist.
+
+
+\section{Das Irreduzibilitätskriterium von Gauß}
+
+Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
+vollständig beantworten.  Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
+Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
+ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
+
+\begin{beobachtung}
+  Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
+  Koeffizienten entscheidbar.  Das geht zum Beispiel so: seien
+  \begin{equation*}
+    f = r_0 + r_1·x + ⋯ + r_n·x^n
+    \quad\text{und}\quad
+    g = s_0 + s_1·x + ⋯ + s_m·x^m
+  \end{equation*}
+  Polynome aus $ℤ[x]$.  Dann folgt aus $g|f$ zumindest, dass $s_0|r_0$ und
+  $s_m|r_n$ gilt.  Wenn $r_0$ und $r_n$ wenige Teiler haben, grenzt dies die
+  Möglichkeiten für potenzielle Teilerpolynome $g$ schon einmal ein.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}
+  Im Spezialfall, wo $f$ ein kubisches Polynom ist, und $g = s_0 + s_1·x$ ein
+  Linearfaktor sein soll, dann muss $s_0|r_0$ und $s_1|r_3$ gelten.  Sei jetzt
+  noch spezieller $f = x³-2 ∈ ℤ[x]$.  Dann müsste jeder Linearfaktor aussehen
+  wie $±x±1$ oder $±x±2$.  Tatsächlich ist aber keines dieser Polynome ein
+  Teiler von $f$, weil $±1$ oder $±2$ keine Nullstellen von $f$ sind.  Also ist
+  $f = x³-2$ irreduzibel in $ℤ[x]$.
+\end{bsp}
+
+Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
+  von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
+
+\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
+  sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben.  Wenn $f$ in $R[x]$
+  irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
+\end{satz}
+
+Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma.  Das
+Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
+
+\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
+  Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
+  $g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom.  Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
+  $a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
+  $1$ ist.
+\end{lemma}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
+  genau so für mehr als zwei Elemente.  Für Polynome
+  $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
+  notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
+  \video{8-1}
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}]
+  \video{8-2}
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Anwendung des Gauß-Kriteriums}
+
+Das Kriterium von Gauß führt die Frage, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ ℚ[x]$
+irreduzibel ist, auf die Frage zurück, ob $a· f ∈ ℤ[x]$ irreduzibel ist, für
+geeignetes $a ∈ ℚ ∖ \{0\}$.  Die Irreduzibilität von $a· f ∈ ℤ[x]$ kann man aber
+in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur).  Ein Verfahren soll
+jetzt ganz kurz skizziert werden.  Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
+den Anfängervorlesungen.
+
+\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.  Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.  April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
+  Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
+  ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
+  verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
+  eindeutig festgelegt.  Genauer gilt:
+  \begin{equation*}
+    f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
+  \end{equation*}
+\end{erinnerung}
+\begin{proof}
+  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x)$ vom Grad $≤ n$, für das
+  gilt
+  \[
+    R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠
+        i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
+  \]
+  Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
+  Nullpolynom.
+\end{proof}
+
+Sei jetzt also $f ∈ ℤ[x]$ ein Polynom vom Grad $n$.  Wähle paarweise
+verschiedene Zahlen $a_1, …, a_{n+1} ∈ ℤ$ und betrachte die Werte $f(a_i) ∈ ℤ$.
+Falls es Polynom $g(x) ∈ ℤ[x]$ gibt, welches $f$ teilt, dann gilt für jeden
+Index $i$ die Relation $g(a_i) | f(a_i)$.  Weil das Polynom $g$ aber durch die
+Werte $g(a_1), …, g(a_{n+1})$ aber eindeutig bestimmt ist, und jede der Zahlen
+$f(a_i)$ endlich viele Teiler hat, gibt es insgesamt nur endlich viele Polynome,
+die als Teiler infrage kommen.  Es genügt also, zu überprüfen, ob es unter den
+endlich vielen Kombinationen von Teilern $t_i$ von $f(a_i)$ solche gibt, für die
+gilt:
+\begin{enumerate}
+\item Das Polynom
+  \[
+    g(x) = \sum_{i=1}^{n+1} t_i·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}
+  \]
+  hat ganzzahlige Koeffizienten.
+  
+\item Es gilt $g|f ∈ ℚ[x]$.
+  
+\item Das Polynom $g$ ist ein echter Teiler, also $g ≠ ±1$ und $g ≠ ±f$.
+\end{enumerate}
+
+\begin{bemerkung}
+  Es ist zweckmäßig die Zahlen $a_i$ so zu wählen, dass $f(a_i)$ möglichst
+  wenige Teiler hat.  Wenn man nur noch Teilern vom Grad $≤ m<n$ sucht, dann
+  braucht man die Formel lediglich auf $m+1$ Punkte anzuwenden.  Das hilft oft
+  sehr.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Das Eisenstein-Kriterium}
+
+\sideremark{Vorlesung 9}Mit der Langrangeschen Interpolationsformel kann ich die
+Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
+Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!).  Das
+folgende Kriterium von Theodor
+Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
+    Schönemann} (* 4.  April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
+  16.  Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
+das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
+bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
+    Gotthold Max Eisenstein} (* 16.  April 1823 in Berlin; † 11.  Oktober 1852
+  ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
+  und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller.  Es
+ist so wichtig, dass es dazu sogar
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
+  Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
+
+\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
+  \begin{equation*}
+    f = a_0+a_1· x + \dots +a_n· x^n∈ R[x]
+  \end{equation*}
+  ein Polynom vom Grad $n>0$.  Weiter sei $\ggT(a_0, …, a_n)=1$.  Wenn es ein
+  Primelement $p ∈ R$ gibt mit $p|a_0$, $p|a_1$, …, $p|a_{n-1}$ und
+  $p² \nmid a_0$, dann ist $f$ irreduzibel in $R[x]$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{9-1}
+\end{proof}
+
+\begin{notation}
+  Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
+  erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
+\end{notation}
+
+\begin{bsp}
+  Das Polynom $x^n-r ∈ ℤ[x]$ ist irreduzibel, wenn $r$ durch eine Primzahl
+  $p$, aber nicht durch $p²$ teilbar ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Das Polynom $x^n-p ∈ ℤ[x]$ ist für jede Primzahl $p$ irreduzibel, und
+  deshalb Minimalpolynom von $\sqrt[n]{p}$ als Element der Körpererweiterung
+  $ℂ/ℚ$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Ein Polynom in mehreren Variablen der Gestalt
+  \begin{equation*}
+    x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
+  \end{equation*}
+  über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
+  irreduzibel ist.
+\end{bsp}
+
+
+\subsection{Hilfe bei der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums}
+
+Das Eisenstein-Kriterium lässt manchmal auch in solchen Situationen anwenden, in
+denen kein Eisenstein-Polynom vorliegt.  Hin und wieder ist es nämlich möglich,
+einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
+
+\begin{lem}
+  Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $S$ ein Integritätsring und es sei
+  $\varphi : R[x] → S$ ein Ringmorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf
+  eine Einheit in $S$ abbildet.  Weiter sei $f∈ R[x]$ ein Polynom vom Grad $>0$,
+  sodass der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist.  Wenn
+  jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Angenommen, $f$ wäre reduzibel.  Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
+  und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind.  Weil der größte gemeinsame
+  Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
+  Grad haben.  Die Gleichung
+  \begin{equation*}
+    \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
+  \end{equation*}
+  zeigt dann, dass $\varphi(f)$ echte Teiler hat, also nicht irreduzibel ist.
+\end{proof}
+
+Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
+folgenden Weisen.
+\begin{description}
+\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
+  $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
+  \begin{equation*}
+    Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
+  \end{equation*}
+  ein Ringmorphismus.
+  
+\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
+  Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben.  Setze
+  \begin{equation*}
+    Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
+  \end{equation*}
+  
+\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
+  Element $a∈ R$ gegeben.  Dann betrachte die Abbildung
+  \begin{equation*}
+    Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
+  \end{equation*}
+  Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, weil sie durch $x ↦ x+a$
+  umgekehrt wird.
+\end{description}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:7.2.7}
+  Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei
+  \begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68}
+    f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
+  \end{equation}
+  Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Aber es gilt:
+  \begin{equation*}
+    (x-1)· f=x^p-1.
+  \end{equation*}
+  Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir
+  \begin{equation*}
+    \varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1.
+  \end{equation*}
+  Also ist
+  \begin{equation*}
+    \varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
+  \end{equation*}
+  Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit
+  $1 ≤ ν < p$.  Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und
+  $\binom{p}{p}=1$.  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils
+  irreduzibel.
+\end{bsp}
+
+      
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

08.tex

@@ -0,0 +1,131 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Anwendung: Konstruktion mit Zirkel und Lineal}
+
+\section{Erinnerung}
+
+Die Ergebnisse, die wir bislang gewonnen haben, können wir direkt auf
+Konstruierbarkeitsfragen anwenden.  Ich erinnere noch einmal, was der Stand der
+Debatte war.
+
+\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 1, Aufgabe 1.b]
+  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge, die die Elemente $0$ und $1$ enthält.  Dann
+  ist die Menge $\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren Punkte
+  ein Unterkörper von $ℂ$.  \qed
+\end{satz}
+
+Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
+Konstruierbarkeit her.  Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
+``konjugierte Menge''.  Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
+Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
+
+\begin{notation}[Konjungierte Menge]
+  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge.  Dann betrachte die Menge
+  $\overline{M} := \{ \overline{m} \::\: m∈ M\}$.  Man nennt $\overline{M}$
+  die \emph{zu $M$ konjungierte Menge}\index{konjugierte Menge}.
+\end{notation}
+
+\begin{rem}
+  Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
+  Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren.  Damit ist
+  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch
+  klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
+\end{rem}
+
+\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
+  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter
+  $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
+  Gleichheit
+  \begin{equation*}
+    [K(z) : K] = 2^k
+  \end{equation*}
+  gilt.  Insbesondere ist jede aus $\{ 0, 1 \}$ konstruierbare Zahl algebraisch
+  über $ℚ$.  \qed
+\end{satz}
+
+
+\section{Verdopplung des Würfels}
+
+Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
+und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
+$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
+\[
+  [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
+\]
+da wir mit unseren Methoden jetzt wissen, dass $x³-2$ das Minimalpolynom von
+$\sqrt[3]{2}$ ist.
+
+
+\section{Dreiteilung des Winkels}
+
+Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
+beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
+  transzendentes Element.  Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
+  gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
+    Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen.  Mit anderen Worten:
+  \begin{equation*}
+    K(a) ≅ K(x) = Q(K[x])
+  \end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{9-2}
+\end{proof}
+
+Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+  Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$.  Falls $e^{i\varphi}$
+  transzendent ist, dann ist
+  $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$.  Die Dreiteilung des
+  Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{9-3}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Menge $\{ \varphi ∈ (0, 2π) \::\: e^{i\varphi} \text{ ist transzendent}\}$
+  ist dicht in $(0, 2π)$.  Insbesondere gibt es kein allgemeines
+  Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
+  $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
+  $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
+  \begin{equation*}
+    \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
+  \end{equation*}
+  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
+  die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
+\end{proof}
+
+
+\section{Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks}
+
+Auf die Frage, ob das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist, können wir nur eine
+unvollständige Antwort geben.
+
+\begin{satz}
+  Es sei $p$ eine Primzahl.  Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist,
+  dann gibt eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass $p-1=2^k$ ist.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{9-4}
+\end{proof}
+
+Der Satz zeigt insbesondere, dass das regelmäßige $7$-Eck, das $11$-Eck, das
+$13$-Eck und das $19$-Eck jeweils nicht konstruierbar ist.  Um die Frage nach
+der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks vollständig zu beantworten, müssen wir unsere
+Methoden noch deutlich verbessern: Es genügt nicht nur, den Grad der
+Körpererweiterung zu betrachten; wir müssen auch die Symmetrien verstehen.  Dazu
+ist wieder einmal Vorarbeit vonnöten.
+
+      
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

09.tex

@@ -0,0 +1,443 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Ideale}
+\label{chapt:09}
+
+Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
+bereitgestellt.
+
+
+\section{Wohin geht die Reise}
+
+Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
+der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
+können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
+vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
+Körpererweiterung'' gemeint sein soll.  All das wird voraussetzen, dass wir
+Körpererweiterungen besser beschreiben.  Die Idee ist die: gegeben eine
+einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
+dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
+\[
+  k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
+\]
+schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
+sind.  Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
+komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
+lassen.  Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
+Substitutionsmorphismus
+\[
+  φ : K[x] → K(α), \quad f ↦ f(α)
+\]
+ist ein \emph{surjektiver} Ringmorphismus!  Wie bei Vektorräumen, Gruppen, …
+liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
+\begin{equation}\label{eq:xx}
+  K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
+\end{equation}
+Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
+  SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
+  mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet?  Der Grund ist, das runde Klammern in der
+  Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
+  Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
+  ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
+vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
+$K(α)$.  Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
+überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
+``Quotient'' genau bedeuten soll.  Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
+Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
+
+
+\section{Elementare Definitionen}
+
+Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
+
+\begin{defn}[Ideal]\label{def:ideal}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Eine nicht-leere Teilmenge
+  $I ⊆ R$ heißt \emph{Ideal}\index{Ideal}, wenn folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}[ref = Bedingung (\roman*{})]
+  \item Für alle Elemente $a,b ∈ I$ ist $a+b ∈ I$.
+    
+  \item Für alle Elemente $r ∈ R$ und $a∈ I$ ist $r· a∈ I$.
+  \end{enumerate}
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Man kann Ideale auch in nicht-kommutativen Ringen definieren.  Dann muss man
+  aber zwischen Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden: je nachdem, ob
+  man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder
+  Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}.  Ideale, die sowohl Links-
+  als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges
+    Ideal}.  In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen
+  diese Begriffe zusammen.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  Der Name \emph{Ideal} geht auf
+  Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
+      Eduard Kummer} (* 29.  Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.  Mai 1893
+    in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
+    allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
+  Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
+      Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.  Oktober 1831 in Braunschweig; †
+    12.  Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück.  Kummer
+  hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
+  Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt.  Dedekind
+  hat dann den Idealbegriff geprägt.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}[Triviale Ideale]
+  In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
+  Ideale.  Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
+  Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
+  ist auch jedes andere Körperelement in $I$.  Sei nämlich irgendein Element
+  $r ∈ R$ gegeben.  Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
+  \[
+    r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
+  \]
+  Also ist $I=R$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Ideale in $ℤ$]
+  Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal in $ℤ$.  Die Menge der
+  Primzahlen ist so ungefähr das Gegenteil von einem Ideal.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Kern eines Ringmorphismus]
+  Der Kern eines Ringmorphismus ist immer ein Ideal.
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+
+  \includegraphics[width=6cm]{figures/Cubic_with_double_point}
+
+  Nullstelle des Polynoms $y²-x²(x+1) ∈ ℝ[x,y]$.
+
+  \bigskip
+  
+  Auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/ecp-de/}{meiner Homepage} finden
+  Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen.  Sie können das Programm
+  auch
+  \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt
+    im Browser laufen lassen}.  Abbildung Public Domain aus
+  \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}.
+  \caption{Knotenkurve}
+  \label{fig:node}
+\end{figure}
+
+\begin{bemerkung}[Durchschnitte]
+  Es sei $R$ ein Ring und $(I_i)_{i ∈ I}$ seien Ideale von $R$.  Dann ist auch
+  der Durchschnitt
+  \begin{equation*}
+    \bigcap_{i ∈ I} I_i
+  \end{equation*}
+  ein Ideal.  Beachte dazu, dass jedes Ideal das Nullelement enthält; damit ist
+  klar, dass der Durchschnitt nicht leer ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Summen]\label{bsp:9-2-8}
+  Es sei $R$ ein Ring und $I_1, …, I_n$ seien Ideale von $R$.  Dann ist auch die
+  Summe\index{Summe von Idealen}
+  \begin{equation*}
+    I_1 + ⋯ + I_n := \{a_1+ ⋯ + a_n \::\: a_k∈ I_k \}
+  \end{equation*}
+  ein Ideal.
+\end{bemerkung}
+
+
+\begin{bsp}[Algebraische Varietäten]
+  Es sei $K$ ein Körper (zum Beispiel $K = ℂ$) und $V ⊂ K^n$ sei die
+  Lösungsmenge eines Systems von polynomialen Gleichungen,
+  \[
+    V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
+  \]
+  wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind.  Man nennt ein
+  solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
+  Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden Sie
+  \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
+  \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
+  Beispiele.
+
+  Definiere dann das Ideal
+  \[
+    I(V) = \{ g ∈ K[x_1, …, x_n] \:|\: \forall \vec{x} ∈ V:g(\vec{x}) = 0\};
+  \]
+  dies ist also die Menge derjenigen Polynome, deren Nullstellenmenge $V$
+  enthält.  Offenbar ist $(f_1, …, f_n) ⊂ I_V$.
+\end{bsp}
+
+In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
+Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
+algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben.  Tatsächlich lässt sich
+ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
+aufstellen.
+
+
+\section{Noethersche Ringe und Hauptidealringe}
+
+\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
+Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
+Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
+betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
+Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
+$\operatorname{Span}(M)$.  Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
+genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
+der Elemente von $M$ schreiben lässt.  Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
+dabei zu beachten, dass Linearkombinationen immer \emph{endliche} Summen sind.
+Das geht mit Idealen in Ringen ganz genau so.
+
+\begin{bsp}[Erzeugte Ideale]\label{bsp:9-0-5}
+  Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins, sowie eine Familie
+  $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ von Elementen aus $R$.  Weiter sei $I$ die Menge der Elemente
+  $r ∈ R$, die sich als endliche Linearkombination der $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ schreiben
+  lassen,
+  \begin{equation*}
+    I := \{ r ∈ R \:|\: ∃ n ∈ ℕ: ∃ r_1, …, r_n ∈ R:, ∃ λ_1, …, λ_n ∈ Λ: r = r_1·a_{λ_1} + ⋯ + r_n·a_{λ_n} \}.
+  \end{equation*}
+  Dies ist ein Ideal, das als \emph{das von $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ erzeugte Ideal}
+  bezeichnet wird.  Man schreibt dann $I = ((a_{λ})_{λ∈Λ})$.  Im Fall, wo die
+  Familie endlich ist, schreibt man oft auch $I = (a_1, …, a_n)$.
+\end{bsp}
+
+Ein Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich immer dann einfach zu beschreiben, wenn es durch
+eine endliche Menge erzeugt wird, $I = (a_1, …, a_n)$.  Tatsächlich können
+Computer-Algebra-Systeme überhaupt nur mit solchen Idealen arbeiten -- und
+stellen diese Ideale als endliche Liste von Erzeugern dar.  Die allereinfachsten
+Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
+
+\begin{warnung}[Das Ideal-Membership-Problem ist nicht einfach]
+  Gegeben ein endlich erzeugtes Ideal $I = (a_1, …, a_n) ⊂ R$ und ein
+  Element $b ∈ R$, dann ist es im Allgemeinen \emph{nicht} einfach, zu
+  entscheiden ob $b ∈ I$ ist.  In Polynomringen gibt es aber Algorithmen, die
+  auch in allen relevanten Computer-Algebra-Systemen implementiert sind.
+\end{warnung}
+
+\begin{defn}[Endlich erzeugtes Ideal, Hauptideal]
+  Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
+  \emph{endlich erzeugt}\index{Ideal!endlich erzeugt}, wenn es endlich viele
+  Elemente $a_1, …, a_n ∈ R$ gibt, sodass $I= (a_1, …, a_n)$ ist.  Ein Ideal
+  $I ⊂ R$ heißt \emph{Hauptideal}\index{Hauptideal}, wenn es ein Element $a ∈ R$
+  gibt, sodass $I= (a)$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit]
+  Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins.  Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$.
+  Dann gilt offensichtlich
+  \begin{align*}
+    (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
+    (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
+  \end{align*}
+  Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
+  assoziierten Elementen.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{warnung}
+  Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
+  denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
+  dividieren!  Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
+  eines Ideals,
+  \[
+    I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
+  \]
+  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
+  Ideals zu definieren -- nice try!
+\end{warnung}
+
+Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
+endliche Menge von möglichst einfachen Erzeugern finden kann.  Glücklicherweise
+gibt es Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist.  Das sagt zwar noch
+nicht, wie man einen sinnvollen Satz von Erzeugern finden soll, gibt aber
+zumindest schon ein wenig Hoffnung.
+
+\begin{defn}[Noethersche Ringe und Hauptidealringe]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Man nennt $R$ einen
+  \emph{Noethersch}\index{Noetherscher Ring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein
+  endlich erzeugt ist.  Man nennt $R$ einen
+  \emph{Hauptidealring}\index{Hauptidealring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein
+  Hauptideal ist.
+\end{defn}
+
+Die folgenden Sätze geben Beispiele für Hauptidealringe.
+
+\begin{satz}[$ℤ$ ist ein Hauptidealring]\label{satz:9-1-4}
+  Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es sei $I ⊂ ℤ$ ein Ideal und $I ≠ \{0\}$.  Dann gibt es ein $x ∈ I∖\{0\}$.
+  Beachte, dass dann auch $-x= (-1)· x$ in $I$ ist.  Also enthält $I$ positive
+  Elemente.  Sei $a ∈ I$ jetzt dass kleinste positive Element.  Wir werden
+  zeigen, dass $I = (a)$ ist.  Die Inklusion $(a) ⊆ I$ ist klar.  Sei $b ∈ I$
+  irgendein positives Element, dann teilen wir mit Rest
+  \[
+    b=q·a+r,\quad \text{mit } 0≤r<a.
+  \]
+  Die Zahl $r$ ist jetzt aber in $I$, denn $b$ und $q·a$ sind in $I$.  Weiter
+  muss wegen der Minimalität von $a$ also $r=0$ sein und somit $b ∈ (a)$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Polynomring in einer Variable ist ein Hauptidealring]
+  Ist $K$ ein Körper, dann ist $K[x]$ ein Hauptidealring.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:9-1-4}, wobei $a$ ein Polynom von
+  minimalem Grad ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Polynomring in zwei Variablen ist kein Hauptidealring]
+  Es sei $K$ ein Körper.  Der Polynomring $K[x,y]$ ist \emph{kein}
+  Hauptidealring.  Das Ideal $(x,y)$ ist kein Hauptideal, weil $\ggT(x,y)=1$ und
+  $1 \not ∈ (x,y)$ ist.  Immerhin werden wir im folgenden Abschnitt zeigen, dass
+  jedes Ideal endlich erzeugt ist.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Kriterien für die Noether-Eigenschaft}
+
+Ich hatte es oben schon angedeutet: Ideale in nicht-Noetherschen Ringe sind für
+uns kaum beschreibbar und daher ohne großen Nutzen.  Glücklicherweise können wir
+in diesem Kapitel zeigen, dass praktisch alle Ringe, die uns in dieser Vorlesung
+begegnen, nicht so schrecklich sind.  Die folgende Definition und der folgende
+Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
+
+\begin{definition}[Teilerkettensatz für Ideale]\label{Def_Teilerkettensatz_Ideale}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Man sagt \emph{in $R$ gilt der
+    Teilerkettensatz für Ideale}\index{Teilerkettensatz!für Ideale}, wenn es
+  jede aufsteigende Folge von Idealen
+  \[
+    I_0 ⊆ I_1 ⊆ I_2 ⊆ ⋯
+  \]
+  stationär wird.  Mit anderen Worten, wenn es für jede aufsteigende Folge von
+  Idealen ein $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = ⋯$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Kriterien für die Noether-Eigenschaft]\label{satz:9-2-2}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Ideale_aequiv_1} $R$ ist Noethersch.  Mit anderen Worten:
+    jedes Ideal ist endlich erzeugt.
+    
+  \item\label{Satz_Ideale_aequiv_2} In $R$ gilt der Teilerkettensatz für Ideale.
+    
+  \item\label{Satz_Ideale_aequiv_3} In jeder nicht-leeren Menge $M$ von Idealen
+    in $R$ gibt es ein maximales Element bezüglich der Inklusion.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten die einzelnen Implikationen getrennt.
+  \begin{description}
+  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}] Sei eine
+    aufsteigende Kette $I_0⊆ I_1⊆ I_2⊆⋯$ von Idealen gegeben.  Dann ist auch
+    \begin{equation*}
+      I=\bigcup_{k=0}^{∞}I_k⊂ R
+    \end{equation*}
+    ein Ideal.  Nach Annahme ist $I$ endlich erzeugt, also $I= (a_1, …, a_n)$.
+    Jetzt gibt es aber für jedes $i$ ein $k_i$, sodass $a_i∈ I_{k_i}$ ist.
+    Setze
+    \begin{equation*}
+      n_ := \max_i k_i.
+    \end{equation*}
+    Dann gilt für alle $k > n$ und alle $1≤ i≤ n$, dass $a_i ∈ I_k$.  Also ist
+    $I_k = I$.
+
+  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}]
+    Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
+    maximales Element.  Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
+    $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$.  Wir erhalten einen
+    Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
+
+  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
+    $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
+    und in $I$ enthalten sind.  Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$.  Also
+    gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$.  Nach Annahme ist $J$
+    endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
+    $J = I$ ist.  Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
+    $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält.  Ein Widerspruch zur
+    Annahme.  \qedhere
+  \end{description}
+\end{proof}
+
+Der folgende Satz von David
+Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
+    Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
+  Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
+  bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
+  der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
+  Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
+  bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
+  veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
+  des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
+  Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
+  von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
+  gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
+  internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
+  Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
+  mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
+Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
+Historisch war der Satz ein Meilenstein.  Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
+großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe
+eines nicht-konstruktiven Widerspruchsargumentes gezeigt wird.  Der Beweis gibt
+keinen Hinweis, wie man ein Erzeugendensystem je finden könnte.  Heute gibt es
+allerdings auch konstruktive Beweise, die für alle relevanten Ringe auch auf
+Computern implementiert sind.
+
+\begin{satz}[Hilbertscher Basissatz]\label{Satz_Hilbertscher_Basissatz}
+  Es sei $R$ ein Noetherscher Ring.  Dann ist auch $R[x]$ Noethersch.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{10-1}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Sei $K$ ein Körper, dann ist jeder Polynomring $K[x_1, …, x_n]$ Noethersch.
+  Ebenso ist $ℤ[x_1, …, x_n]$ ist Noethersch.  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{bemerkung}[Teilerkettensatz für Ideale und für Elemente]\label{rem:9-2-5}
+  Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz für Ideale gilt, dann gilt auch der
+  Teilerkettensatz für Elemente.  Das sieht man, wenn man (Teiler-)Ketten von
+  Hauptidealen betrachtet.  In jedem Noetherschen Ring ist jede Nicht-Einheit
+  ungleich $0$ also als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen
+  darstellbar.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Hauptidealringe}
+
+Wir bemerken kurz, dass Hauptidealringe fast immer faktoriell sind.  Der Beweis
+des folgenden Satzes ist ähnlich zum Beweis der Faktorialität von $ℤ$ auf
+Seite~\pageref{satz:Zpirr}.  Das ist kein Zufall.
+
+\begin{satz}[Hauptidealringe sind fast immer faktoriell]
+  Es sei $R$ ein Hauptidealring.  Wenn $R$ zusätzlich noch ein Integritätsring
+  ist, dann ist $R$ faktoriell.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Da wir in Satz~\ref{satz:9-2-2} schon gezeigt haben, dass in jeden
+  Noetherschen Ring (also insbesondere auch in jedem Hauptidealring) der
+  Teilerkettensatz für Ideale und somit nach Bemerkung~\ref{rem:9-2-5} auch der
+  Teilerkettensatz für Elemente gilt, müssen wir noch zeigen, dass jedes
+  irreduzible Element $p$ prim ist.  Seien also $a$ und $b$ Elemente von $R$ mit
+  $p \nmid a$ und $p \nmid b$.  Wir müssen zeigen, dass dann $p \nmid (a·b)$
+  gilt.  Das Ideal $(a, p)$ ist per Annahme ein Hauptideal, also existiert ein
+  $c ∈ R$ mit $ (a,p) = (c)$.  Da nun $c|p$ gilt, aber $p$ irreduzibel ist, ist
+  entweder $c$ eine Einheit, oder es gilt $c \sim p$.  Weil aber $c|a$ ist und
+  $p\nmid a$, ist $c \sim p$ nicht möglich.  Also ist wohl $(a,p)= (1)$.  Genau
+  so gilt natürlich $(b,p) = (1)$.  Es gibt also Gleichungen
+  \begin{equation*}
+    1 = r_1·p + r_2·a \quad\text{und}\quad 1 = s_1·p + s_2·b
+  \end{equation*}
+  für die Addition und
+  \begin{equation*}
+    1 = (r_1·s_1·p + r_2·s_1·a + r_1·s_2·b)·p + r_2·s_2·a·b
+  \end{equation*}
+  für die Multiplikation.  Also kann $p|(a·b)$ nicht gelten, weil sonst $p|1$
+  folgt, was aber nicht geht, weil $p$ keine Einheit ist.
+\end{proof}
+
+      
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

10.tex

@@ -0,0 +1,384 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Restklassenringe}
+
+\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf
+unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
+bereitgestellt.
+
+Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
+Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
+Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
+konstruieren.  Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
+``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
+Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
+Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.  In diesem Semester geht das nicht,
+denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren.  Ich verzichte
+deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
+geht, wie in der Linearen Algebra''.
+
+\begin{warnung}
+  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
+  Algebra'' erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
+  Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
+\end{warnung}
+
+
+\section{Definition von Restklassenringen}
+
+Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe
+durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
+
+\begin{defn}[Restklassenring]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Ein
+  \emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder
+  \emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit
+  Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist
+  und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein
+  weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen
+  Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\
+      R \ar[r, "ψ"'] & T.
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{defn}
+
+Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
+Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie.  Man
+spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
+bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
+
+
+\section{Konstruktion von Restklassenringen}
+
+Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind,
+folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der
+universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz.  Wir beweisen die
+Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
+eines Restklassenringes angeben.
+
+\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Zwei
+  Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
+    Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise
+  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
+\end{defn}
+
+\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
+  In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
+  eine Äquivalenzrelation auf $R$.  Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
+  die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
+  \begin{equation*}
+    a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
+  \end{equation*}
+\end{lem}
+
+\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$]
+  In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die
+  \emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}.
+\end{notation}
+
+\begin{bsp}
+  Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei
+  $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist
+  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
+  Division durch $m$ denselben Rest haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
+  $ℤ$ also genau in die Restklassen
+  \begin{equation*}
+    0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
+  \end{equation*}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
+  Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal.  Die
+  Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
+  sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
+    die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
+    Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
+  \[
+    \begin{matrix}
+      + : & S ⨯ S & → & S \\
+      & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\
+      \\
+      · : & S ⨯ S & → & S \\
+      & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I.
+    \end{matrix}
+  \]
+  Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die
+  Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung}
+  \begin{equation*}
+    φ : R → S, \quad a ↦ a+I
+  \end{equation*}
+  ist ein Ringmorphismus.  Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring.  \qed
+\end{satz}
+
+Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines
+Restklassenringes.  Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf
+diese Art und Weise direkt beschreiben.
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom
+  Grad $n$.  Weiter sei $I = (f)$.  Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von
+  der Gestalt $g+(f)$.  In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $<n$ ein
+  vollständiges Repräsentantensystem für die Kongruenz modulo $(f)$.  Mithilfe
+  dieses Repräsentantensystems kann man die Multiplikation in $R/(f)$ wie folgt
+  beschreiben
+  \begin{equation*}
+    \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
+  \end{equation*}
+  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist
+  $\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
+  \begin{equation*}
+    K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
+  \end{equation*}
+  injektiv und insbesondere ist $K[x]/(f)$ ein $K$-Vektorraum.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Noch einmal: Körpererweiterungen und Restklassenringe}
+\label{sec:10-3}
+
+Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
+Eigenschaft.
+
+\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
+  surjektiver Ringmorphismus.  Dann ist die induzierte Abbildung
+  \begin{equation*}
+    h : \factor{R}{\ker ψ} → S
+  \end{equation*}
+  isomorph.  \qed
+\end{prop}
+
+Mithilfe des Homomorphiesatzes kann ich jetzt etwas genauer erklären, was
+Restklassenringe mit unserem Ziel zu tun haben, Körpererweiterungen zu
+verstehen.  Sei dazu $L/K$ eine Körpererweiterung, es sei $a ∈ L$ algebraisch
+und es sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Betrachte nun den
+Substitutionsmorphismus
+\begin{equation*}
+  ψ : K[x] → L, \quad g ↦ g(a).
+\end{equation*}
+\begin{description}
+\item[Wie sieht der Kern von $ψ$ aus?] Ein Polynom $g$ ist offenbar genau dann
+  im von $ψ$ Kern, wenn $g(a)=0$ ist.  Wir haben schon gesehen, dass $g$ dann
+  ein Vielfaches von $f$ ist.  Kurz gesagt ist $\ker ψ = (f)$ das von $f$
+  erzeugte Hauptideal.
+  
+\item[Wie sieht das Bild von $ψ$ aus?] Sei $n = [a:K]$.  Dann wissen wir schon,
+  dass
+  \begin{equation*}
+    K(a) = K + K·a + ⋯ + K· a^{n-1}.
+  \end{equation*}
+  Also ist das Bild von $ψ$ gleich $K(a)$.
+\end{description}
+Zusammenfassend folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass $K(a)$ isomorph
+zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
+
+
+\section{Ideale oben und unten}
+
+Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
+der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
+korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
+``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den
+Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
+beliebige Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
+Ideale.  Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
+surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
+
+\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
+  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
+  Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
+  Ideal in $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
+  \begin{equation*}
+    \begin{matrix}
+      \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
+      I & ↦ & \varphi^{-1} (I)
+    \end{matrix}
+  \end{equation*}
+  eine Bijektion.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{11-1}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Bilder von Idealen]\label{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}
+  Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen.
+  Wenn $I ⊂ R$ ein Ideal ist, dann ist auch die Bildmenge $\varphi(I)$ ein
+  Ideal.  Wenn $J ⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist der Kern der Komposition
+  \begin{equation*}
+    R → S → \factor{S}{J}
+  \end{equation*}
+  exakt $\varphi^{-1}(J)$ und die Abbildung
+  \begin{equation*}
+    \begin{matrix}
+      \factor{R}{\varphi^{-1}(J)} & → & \factor{S}{J} \\[2mm]
+      a+\varphi^{-1}(J) & ↦ & \varphi(a)+J
+      \end{matrix}
+    \end{equation*}
+    ist ein Isomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{11-2}
+\end{proof}
+
+\begin{notation}\label{not:xx}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
+  Ideale.  Wir bezeichnen die Quotientenabbildung mit $φ : R → R/I$.  Dann wird
+  das Ideal $φ(J)$ des Restklassenringes $R/I$ häufig mit $J/I$ bezeichnet.
+\end{notation}
+
+\begin{kor}
+  Es sei $\varphi : R → S$ surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen mit
+  Eins.  Wenn $R$ noethersch ist (bzw.\ Hauptidealring) ist, dann ist auch $S$
+  noethersch (bzw.\ ein Hauptidealring).  \qed
+\end{kor}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist
+  $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
+\end{bsp}
+
+Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft.  Die
+Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
+
+\begin{prop}[Noetherscher Isomorphiesatz]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
+  Ideale.  Dann sind die Restklassenringe
+  \begin{equation*}
+    \factor{R}{J} \quad\text{und}\quad \factor{(\factor{R}{I})}{(\factor{J}{I})}
+  \end{equation*}
+  in kanonischer Weise zueinander isomorph.  \qed
+\end{prop}
+
+
+\section{Primideale und maximale Ideale}
+
+Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
+Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist.  Etwas
+bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei?  Für den Ring
+$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
+Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
+ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
+``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
+
+\begin{defn}[Primideal]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
+  \emph{Primideal}\index{Primideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für alle $a$,
+  $b ∈ R$ gilt:
+  \begin{equation*}
+    a·b ∈ I\quad⇒ \quad a∈ I \text{ oder } b∈ I.
+  \end{equation*}
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Hauptideal $(0) ⊊ (p) ⊂ R$ ist
+  genau dann ein Primideal, wenn $p ∈ R$ ein Primelement ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{defn}[Maximales Ideal]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
+  \emph{maximal}\index{maximales Ideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für jedes
+  Ideal $I ⊆ J ⊆ R$ gilt $J = I$ oder $J = R$.
+\end{defn}
+
+\begin{rem}
+  Maximale Ideale sind Primideale.
+\end{rem}
+
+\begin{beobachtung}
+  Körper werden unter den kommutativen Ringen dadurch charakterisiert, dass
+  $(0)$ und $(1)$ die einzigen Ideale sind.  Mit anderen Worten: ein Ring ist
+  genau dann ein Körper, wenn das Nullideal maximal ist.
+\end{beobachtung}
+
+Der folgende Satz charakterisiert Primideale und maximale Ideale in Termen des
+Restklassenringes.  Das liefert weitere Beispiele.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_1} Ein Ideal $p ⊂ R$ ist genau dann ein
+    Primideal, wenn $R/p$ ein Integritätsring ist.
+    
+  \item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_2} Ein Ideal $m ⊂ R$ ist genau dann
+    maximal, wenn $R/m$ ein Körper ist.  \qed
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K[x_1, …, x_n]$.  Wenn $a_1, …, a_n ∈ K$
+  sind, dann ist das Ideal $(x_1-a_1, …, x_n-a_n)$ maximal.  Um diese Behauptung
+  zu beweisen, betrachte man den Substitutionsmorphismus
+  \begin{equation*}
+    \varphi : K[x_1, …, x_n] → K, \quad g ↦ g(a_1, …, a_n).
+  \end{equation*}
+  Dann ist $\varphi$ surjektiv und es ist
+  $\ker \varphi = (x_1-a_1, …, x_n-a_n)$.  Also ist
+  \begin{equation*}
+    K ≅ \factor{K[x_1, …, x_n]}{(x_1-a_1, …, x_n-a_n)}.
+  \end{equation*}
+  Satz~\ref{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel} liefert dann die gewünschte Aussage.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Der Chinesische Restsatz}
+
+Der Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen
+und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.  Dabei geht es
+um folgende Aufgabe: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es seien
+Ideale $I_1, … I_n ⊂ R$ und Ringelemente $r_1, …, r_n∈ R$ gegeben.  Gesucht ist
+ein $r∈ R$ (wenn es eines gibt), sodass die Gleichungen simultan erfüllt sind,
+\[
+  r \equiv r_1 \: (\operatorname{mod}{I_1}), \quad
+  r \equiv r_2 \: (\operatorname{mod}{I_2}), \quad
+  …, \quad
+  r \equiv r_n \: (\operatorname{mod}{I_n}).
+\]
+Wenn ein solches Element $r$ überhaupt existiert, dann gilt für alle Indizes $k$
+und $l$
+\begin{equation*}
+  r_k - r_l = \underbrace{r_k-r}_{∈ I_k} + \underbrace{r-r_l}_{∈ I_l} ∈ I_k + I_l.
+\end{equation*}
+Wenn $I_k + I_l = R$ sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch
+erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch
+lösbar ist.
+
+\begin{definition}[Teilerfremde Ideale]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I_1$ und $I_2$ zwei
+  Ideale in $R$.  Die Ideale heißen \emph{teilerfremd}\index{teilerfremde
+    Ideale}, wenn $I_1 + I_2=R$ ist; dabei bezeichnet $I_1+I_2$ das Summenideal
+  aus Beispiel~\vref{bsp:9-2-8}.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+  Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun?  Schauen Sie sich den
+  Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an.  In der
+  Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
+  gegeben.  Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$.  Der
+  Euklidische Algorithmus zeigt aber, dass $\ggT(f,g) ∈ (f) + (g)$ ist.  Die
+  Aussage, dass 1 in dem Ideal $(f) + (g)$ ist, ist aber gleichbedeutend damit,
+  dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
+  \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
+  seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale.  Dann ist der
+  kanonische Ringhomomorphismus
+  \begin{equation*}
+    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.  und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
+  \end{equation*}
+  surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{11-3}
+\end{proof}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

11.tex

@@ -0,0 +1,100 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Grundbegriffe}
+
+\sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
+einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
+brauchen.  Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
+den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
+$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
+Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir,
+dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist
+$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für
+beliebige Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper.  Dann ist
+  auch $∩_{i ∈ I} K_i$ ein Unterkörper von $L$.
+\end{beobachtung}
+
+Mithilfe dieser Beobachtung können wir jetzt den kleinsten Unterkörper
+definieren.
+
+\begin{definition}[Primkörper]
+  Sei $K$ ein Körper.  Der Durchschnitt über alle Unterkörper von $K$ heißt
+  \emph{Primkörper}\index{Primkörper} von $K$.
+\end{definition}
+
+\begin{notation}
+  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
+  und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
+\end{notation}
+
+Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
+
+\begin{satz}[Klassifikation der Primkörper]\label{Satz_Primkoerper_Isomorphie}
+  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist der Primkörper von $K$ entweder isomorph zu
+  $ℚ$ oder zu einem $𝔽_p$, wobei $p$ eine Primzahl ist.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{12-1}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Charakteristik]
+  Es sei $K$ ein Körper.  Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $ℚ$ ist, so
+  sagt, man der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
+    $0$}\index{Charakteristik!eines Körpers}.  Falls der Primkörper von $K$
+  isomorph zu $𝔽_p$ ist, so sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
+    $p$}.  Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
+  $p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
+  $K$ genau $p^m$ Elemente hat.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist
+  $p = \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der
+  Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein
+  $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
+\end{proof}
+
+Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln
+diskutierten.
+
+\begin{itemize}
+\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper.
+  
+\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist
+  $K(A)$ ein Körper.
+  
+\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper.
+    
+\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann
+  ist $R/m$ ein Körper.
+    
+\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein
+  Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper.
+\end{itemize}
+
+In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten.
+\begin{itemize}
+\item Zahlenkörper, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/Q$
+  algebraisch ist.
+  
+\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$.
+  
+\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von
+  endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$.
+  
+\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der
+  Kodierungstheorie eine zentrale Rolle.
+\end{itemize}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

12.tex

@@ -0,0 +1,244 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der algebraische Abschluss eines Körpers}
+
+\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
+
+Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
+ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine.  Das einfachste
+Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  In diesem Fall ist die
+relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
+komplexen Ebene an der reellen Gerade.  Die komplexe Konjugation ist ein
+Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
+Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
+sind, die durch die Konjugationsabbildung auf sich selbst abgebildet werden.  Um
+diese Beobachtung zu verallgemeinern, müssen wir zuerst den Zusammenhang von $ℂ$
+und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen.  Warum ist die Erweiterung $ℂ/ℝ$
+so wichtig?  Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
+$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
+
+Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
+Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
+komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
+besitzt eine komplexe Nullstelle.  Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
+als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: ``die
+komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''.  Wir werden später sehen, was
+diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
+
+\begin{frage}
+  Es sei $K$ ein Körper.  Gibt es dann einen algebraisch abgeschlossenen
+  Oberkörper?  Falls ja, gibt es unter allen algebraisch abgeschlossenen
+  Oberkörpern eine besonders gute oder besonders einfache Wahl?
+\end{frage}
+
+Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes
+gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten
+Oberkörper hat.
+
+\begin{satz}\label{satz:12-1-2}
+  Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Dann gibt es
+  einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat.  Genauer: es sei $g$
+  ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$.  Dann hat $g$ im Körper
+  $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle.
+\end{satz}
+
+Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
+Studentinnen und Studenten oft.  Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
+ein kleines Beispiel.  Auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
+Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
+
+\begin{erkl}
+  Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
+  Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
+  $x²+1$ das Minimalpolynom von $i$ ist.  Die Substitutionsabbildung
+  \begin{equation*}
+    φ : ℝ[x] → ℂ, \quad g ↦ g(i)
+  \end{equation*}
+  hat als Kern genau das Ideal $(x²+1)$, und liefert uns daher einen
+  Isomorphismus
+  \[
+    ℂ ≅ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}.
+  \]
+  Das Element $i ∈ ℂ$ entspricht dabei der Restklasse
+  \[
+    a := x+(x²+1) ∈ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}.
+  \]
+  Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} kehrt diese Beobachtung um.  Dort
+  definiert man $L := K[x]/(g)$ und stellt fest, dass die Restklasse
+  \[
+    a := x+(g) ∈ \factor{K[x]}{(g)}
+  \]
+  tautologisch eine Nullstelle des Polynoms $g ∈ K[x] ⊂ L[x]$ ist.
+\end{erkl}
+
+\begin{proof}
+  \video{12-2}
+\end{proof}
+
+
+\section{Definition}
+
+\sideremark{Vorlesung 13}Nach den Vorbemerkungen definieren wir jetzt präzise,
+was ein algebraisch abgeschlossener Körper, und was ein algebraischer Abschluss
+wirklich sein soll.
+
+\begin{satzdef}[Algebraisch abgeschlossener Körper]
+  Es sei $K$ ein Körper.  Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ hat eine Nullstelle in $K$.
+    
+  \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ zerfällt in $K[x]$ in
+    Linearfaktoren.  Mit anderen Worten: $f$ ist als Produkt von linearen
+    Polynomen aus $K[x]$ darstellbar.
+    
+  \item Jedes irreduzible Polynom $f ∈ K[x]$ ist linear.
+    
+  \item Ist $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, dann gilt $L=K$.
+  \end{enumerate}
+  Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, nennt man $K$ \emph{algebraisch
+    abgeschlossen}\index{algebraisch abgeschlossener Körper}.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  \video{13-1}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+  In der Analysis oder Funktionentheorie beweist man, dass der Körper $ℂ$
+  algebraisch abgeschlossen ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein
+  Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO}
+  bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$,
+  \[
+    \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \}
+  \]
+  selbst algebraisch abgeschlossen.  Insbesondere ist $\overline{ℚ}$, die Menge
+  der algebraischen Zahlen, ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Um zu
+  erkennen, dass $\overline{K}$ tatsächlich algebraisch abgeschlossen ist, sei
+  $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Weil $L$ algebraisch
+  abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$.  Das Element $a$ ist
+  logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
+  Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
+  über $K$.  Also ist $a∈\overline{K}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK}
+  Es sei $K$ ein Körper.  Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer
+    Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn
+  Folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+  \item Die Körpererweiterung $L/K$ ist algebraisch.
+    
+  \item Der Körper $L$ ist algebraisch abgeschlossen.
+  \end{enumerate}
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Der Körper $ℂ$ ist ein algebraischer Abschluss von $ℝ$.  Der Körper der
+  algebraischen Zahlen, $\overline{ℚ}$ ist ein algebraischer Abschluss $ℚ$.
+\end{bsp}
+
+\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']
+  Ich wiederhole Warnung~\vref{war:ababio}.  Verwechseln Sie die
+  Definitionen~\ref{satzdef:aaieO} und \ref{def:aAeK} nicht!
+\end{warnung}
+
+
+\section{Existenz}
+
+Wie zeigt man, dass ein algebraischer Abschluss existiert?  Die Idee ist
+natürlich, Satz~\ref{satz:12-1-2} für alle Polynome in $K[x]$ auf einmal
+anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat.  Das
+ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von
+Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben
+müssen.  In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's
+  Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
+tatsächlich trägt.  Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
+an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten.  Der folgende Satz ist als Satz
+von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
+    Steinitz} (* 13.  Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.  September
+  1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
+
+\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
+  Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss.  \qed
+\end{satz}
+
+
+\section{Eindeutigkeit, aber nicht zu sehr}
+
+Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
+eindeutig ist.  Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
+Eigenschaft.  Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
+Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
+
+\begin{definition}[$K$-Morphismus]
+  Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$.  Ein Ringmorphismus
+  $\varphi : R → S$ heißt \emph{$K$-Morphismus}\index{$K$-Morphismus}, wenn
+  $\varphi|_K = \Id_K$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  Die komplexe Konjugation
+  $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$.
+\end{bsp}
+
+Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen
+Abschluss.  Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist
+der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert.  Wieder
+werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
+
+\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss
+  von $K$.  Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen
+  $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus
+  \begin{equation*}
+    \varphi_0 : L_0 → \overline{K}.
+  \end{equation*}
+  Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus
+  $\varphi : L → \overline{K}$.  Mit anderen Worten: es existiert ein
+  $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass
+  $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist.  \qed
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$.  Weiter sei
+  $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität.  Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von
+  $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$
+  einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die
+  Konjugationsabbildung möglich.
+\end{bsp}
+
+Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
+algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Obwohl die
+Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
+korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
+
+\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
+  Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
+  algebraische Abschlüsse.  Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  \video{13-2}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K = ℝ$, es sei $\overline{K}_1 = \overline{K}_2 = ℂ$.  Dann sehe ich
+  sofort zwei $K$-Isomorphismen $K_1 → K_2$, nämlich die Identität und die
+  Konjugationsabbildung.
+\end{bsp}
+
+Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
+Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
+Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
+``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist.  Das ist ganz anders als bei dem
+Quotientenkörper!
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

13.tex

@@ -0,0 +1,273 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Zerfällungskörper}
+
+Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
+dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
+diskutiert.  Das ist ein bisschen dünn.  Wir brauchen mehr Beispiele!
+Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
+Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
+
+\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Ein
+  Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
+    $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
+  \begin{itemize}
+  \item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren.  Mit anderen Worten:
+    es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit
+    $f=a·(x-a_1)⋯(x-a_n)$ gilt.
+
+  \item Mit der Notation von oben gilt $L = K(a_1, …, a_n)$.
+  \end{itemize}
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
+  Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente
+  $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
+\end{bemerkung}
+
+Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern
+zusammen.
+
+\begin{satz}\label{satz:13-0-3}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
+  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper.
+    
+  \item Je zwei Zerfällungskörper von $f$ sind $K$-isomorph.  Genauer: Wenn
+    $K_1/K$ und $K_2/K$ zwei Zerfällungskörper von $f$ sind, dann gibt es einen
+    $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$.
+    
+  \item Ist $L$ ein Zerfällungskörper von $f$, dann ist $[L:K] ≤ (\deg f)!$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{13-3}
+\end{proof}
+
+Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Wie
+schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
+Zerfällungskörper gesprochen.
+
+\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
+  Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
+  zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
+  kommt.  Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
+  $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
+\end{bemerkung}
+
+Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
+Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
+bestimmen.  Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
+Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
+von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll.  Meistens ist in diesen
+Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
+komplexen Zahlen konstruieren wird.
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$.  Dann ist
+  $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper
+  von $f$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Betrachte die komplexe Zahl
+  $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$.  Dann sind die komplexen Zahlen
+  $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$
+  genau die komplexen Nullstellen von $f$.  Also ein Zerfällungskörper gegeben
+  durch
+  \[
+    L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr).
+  \]
+  Wir wissen sofort, dass
+  \[
+    [L : ℚ] ≤ 3!  = 6,
+  \]
+  ist, aber wie groß ist der Grad wirklich?  Wir überlegen, dass
+  $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$.  Also gilt $3| [L:Q]$ und man
+  muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist.  Das ist aber nicht der
+  Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$.  Also ist
+  $[L:ℚ] =6$.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Symmetrien, schon wieder}
+\label{sec:13-1}
+
+\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück.  Jetzt kann
+ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
+sich hat.
+
+\begin{situation}\label{sit:gal}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es
+  sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$.  Weiter seien $a_1, …, a_n$ die
+  Nullstellen von $f$ in $L$.
+\end{situation}
+
+Ich frage: wie viele $K$-Morphismen $\varphi: L → L$ gibt es?  Die folgenden
+beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig.  Die Beobachtungen
+zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt,
+das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
+
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1}
+  In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus.  Schreibe
+  $f(x) = \sum b_i·xⁱ$.  Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann
+  ist
+  \begin{align*}
+    0 & = \varphi(0) = \varphi\Bigl(\sum b_i·a_•ⁱ \Bigr) \\
+      & = \sum \varphi(b_i)·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist Körpermorphismus}\\
+      & = \sum b_i·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $b_i ∈ K$}\\
+      & = f\bigl(\varphi(a_•)\bigr).
+  \end{align*}
+  Wir erkennen: die Abbildung $\varphi$ bildet Nullstellen von $f$ auf
+  Nullstellen von $f$ ab.  Wir erhalten also einen Gruppenmorphismus
+  \begin{equation}\label{eq:jtzrtt}
+    \Bigl\{ K\text{-isomorphismen } L → L \Bigr\} →
+    \Bigl\{ \text{Permutationen der Menge } \{ a_1, …, a_n \} \Bigr\}.
+  \end{equation}
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2}
+  In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
+  Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben,
+  \[
+    ℓ = \sum β_{i_1,…,i_n}·a^{i_1}_1⋯ a^{i_n}_n, \quad \text{wobei }
+    β_{•, …, •} ∈ K.
+  \]
+  Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
+  \begin{align*}
+    \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
+               & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
+  \end{align*}
+  Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
+  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
+  Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
+  ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
+  als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Ringadjunktion}
+
+Ich würde jetzt gern weiter über Symmetrien schreiben, weil ich das Thema so
+gern mag.  Geht aber nicht, denn auf dem Lehrplan steht jetzt erst einmal wieder
+ein wenig Sprache.
+
+\begin{notation}[Polynomring in unendlich vielen Variablen]
+  Es sei $R$ ein Ring und es sei $Λ$ eine Menge.  Dann bezeichne
+  $R\bigl[(x_λ)_{λ ∈ Λ}\bigr]$ den Polynomring in den (eventuell unendlich
+  vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
+\end{notation}
+
+Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
+Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.  Ich
+finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
+einfach mal nicht mache.  Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
+\emph{endliche} Summen sind.  Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom
+immer nur endlich viele Variablen auf.
+
+\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad}
+  Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring.  Weiter sei
+  $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$.  Dann bezeichnet man mit
+  $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter
+  dem Substitutionsmorphismus
+  \[
+    R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦
+    f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m})
+  \]
+  Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus
+  $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$.  Den Vorgang nennt
+  man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}.
+\end{defn}
+
+\begin{beobachtung}
+  In der Situation von Definition~\ref{def:ringad} gilt: Ein Element $s ∈ S$ ist
+  genau dann in $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ enthalten, wenn es endlich viele
+  Elemente $λ_1, …, λ_n ∈ Λ$ und eine Darstellung
+  \[
+    s = \sum β_{1,…, n}·a^{i_1}_{λ_1}⋯ a^{i_n}_{λ_n}, \quad \text{mit }
+    β_{•, …, •} ∈ K
+  \]
+  gibt.  Genau wie bei der Körperadjunktion ist $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ der
+  kleinste Unterring von $S$, der $R$ und alle $a_λ$ enthält.
+\end{beobachtung}
+
+
+\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
+
+Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
+dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
+$K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen.  Offenbar gilt immer
+\[
+  K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)
+  ⊆ L.
+\]
+Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht.  Die Sätze klären auch
+noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
+adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet.  Schauen Sie sich
+vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
+
+\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge
+  von $L$.  Dann ist
+  \begin{equation*}
+    K \bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = Q\Bigl(K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]\Bigr),
+  \end{equation*}
+  wobei $Q(⋯)$ den Quotientenkörper bezeichnet.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des
+  Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält.  Gemäß der universellen
+  Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der
+  $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Ein Element $a ∈ L$ ist genau dann
+  algebraisch, wenn $K(a) = K[a]$ ist.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es gibt zwei Fälle.  Wenn $a$ algebraisch ist, dann wissen wir schon, dass wir
+  $K(a)$ schreiben können als
+  \begin{equation*}
+    K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1}
+  \end{equation*}
+  wobei $n= [a : K]$ ist.  Also ist $K(a) = K[a]$.  Wenn das Elemente $a$
+  transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist
+  $K[a] ≠ K(a)$.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es seien $a_1, …, a_n∈ L$.  Dann sind
+  folgende Aussagen äquivalent.
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $K(a_1, …, a_n) = K[a_1, …, a_n]$.
+    
+  \item Alle Elemente $a_1, …, a_n$ sind algebraisch über $K$.
+  \end{itemize}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der
+  Algebraizität'').
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen
+  $(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz
+  \begin{equation*}
+    K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch}
+  \end{equation*}
+  ganz falsch.  Also sowas von falsch.  \textbf{Falsch!!} Als Beispiel nehme man
+  die ganz-und-gar-nicht-algebraische Körpererweiterung $ℂ/ℚ$ und betrachte die
+  Menge $(λ)_{λ ∈ ℂ}$.
+\end{bemerkung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

14.tex

@@ -0,0 +1,498 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Separable und inseparable Körpererweiterungen}
+
+Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:13-1} über Symmetrien von Zerfällungskörpern
+gesprochen und dabei gesehen, dass die Symmetrien durch Permutationen der
+Nullstellen des betreffenden Polynoms beschrieben werden.  Die relevante
+Situation ist die, wo $L/K$ eine Körpererweiterung ist, ein algebraisches
+Element $a ∈ L$ gegeben ist und $f ∈ K[x]$ das Minimalpolynom ist.  Wenn die
+Symmetrien des Zerfällungskörpers von $f$ jetzt durch die Permutationen der
+Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele
+Nullstellen es eigentlich gibt.  Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine
+mehrfache Nullstelle von $f$ ist?
+
+\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1}
+  Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht.  Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle
+  ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten,
+  \[
+    f' = 2·(x-a)·g + (x-a)²·g'.
+  \]
+  Ein scharfer Blick zeigt, dass $f'(a)$ ebenfalls gleich null ist, was wohl im
+  Widerspruch dazu steht, dass $f$ das Minimalpolynom ist, also minimalen Grad
+  hat unter allen Polynomen, die $a$ als Nullstelle haben.
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Die formale Ableitung}
+
+In diesem Abschnitt geht es darum, das Argument von Beobachtung~\ref{beo:14-0-1}
+auf beliebige Körpererweiterungen übertragen.  Dabei gibt es gleich das Problem,
+dass der Begriff der Ableitung für Polynome über beliebigen Körpern nicht sehr
+viel Sinn ergibt -- zumindest nicht als Limes von Differenzenquotienten.
+Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren:
+
+\begin{notation}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Dann betrachte den Ringmorphismus,
+  den wir schon bei der Definition des Primkörpers betrachtet haben,
+  \[
+    φ : ℤ → R, \quad n ↦
+    \left\{
+      \begin{matrix}
+        \underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{n ⨯} && \text{falls }n > 0 \\
+        0_R && \text{falls } n = 0 \\
+        -(\underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{-n ⨯}) && \text{sonst.}
+      \end{matrix}
+    \right.
+  \]
+  In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach
+  $n ∈ R$.  Aber Achtung!  Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv!  Es gilt
+  zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$.
+\end{notation}
+
+\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Wenn jetzt ein Polynom
+  $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom
+  \begin{equation*}
+    f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x]
+  \end{equation*}
+  die \emph{formale Ableitung}\index{formale Ableitung} von $f$.  Die
+  \emph{$m$-fache formale Ableitung} $f^{(m)}$ ist natürlich als $m$-fache
+  Iteration der Ableitung definiert.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3}
+  Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$.  Wenn nämlich
+  Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$.  Dann
+  ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung
+  \begin{equation*}
+    f' = p·x^{p-1} = 0.
+  \end{equation*}
+  Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$.
+  Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_1} Ist $\deg f > 0$, so ist
+    $\deg f' < \deg f$.
+    
+  \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_2} Ist $\deg f = 0$, so ist
+    $f' = 0$.
+    
+  \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_3} Es gilt $(f+g)' = f'+g'$
+    und $(r·f)' = r·f'$.
+    
+  \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_4} Es gilt
+    $(f· g)' = f'· g + f · g'$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Ist mir zu langweilig.
+\end{proof}
+
+Die Ableitungen können verwendet werden, um die Ordnung einer Nullstelle zu
+bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
+
+\begin{defn}[Ordnung einer Nullstelle]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$,
+  ein Element $a ∈ R$ und eine Zahl $n$ gegeben.  Man sagt, dass $a$ eine
+  $n$-fache Nullstelle von $f$ ist\index{Nullstellenordnung}, wenn die
+  Teilbarkeitsrelationen
+  \[
+    (x-a)^n|f \quad\text{und}\quad (x-a)^{n+1}\nmid f
+  \]
+  in $R[x]$ gelten.
+\end{defn}
+
+\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$
+  der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$.  Dann ist
+  \begin{equation*}
+    f' = (x-a)^{m-1}·(m· g + (x-a)· g')
+  \end{equation*}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Ist mir zu langweilig.
+\end{proof}
+
+\begin{beobachtung}
+  Wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von $f$ ist, zeigt
+  Korollar~\ref{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}, dass
+  \begin{equation*}
+    f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0
+  \end{equation*}
+  ist.  Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere
+  $m!  ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache
+  Nullstelle von $f$ ist.  Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3}
+  gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht
+  bestimmen kann!
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Der Frobenius Morphismus}
+
+Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
+unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
+Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
+    Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.  Oktober 1849 in Berlin; † 3.
+  August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
+  deutscher Mathematiker.  Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
+  und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}.  Der Morphismus ist
+eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$.  Das
+unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
+
+\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die
+  \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
+  kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
+  Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
+  \[
+    \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
+  \]
+  Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat.
+\end{defn}
+
+\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus}
+  Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der
+  Charakteristik $p$.  Dann ist die Abbildung
+  \begin{equation*}
+    F : R → R, \quad a → a^p
+  \end{equation*}
+  ein Ringmorphismus.  Mit anderen Worten: für alle $a,b∈ R$ gilt
+  \begin{equation*}
+    (a+b)^p = a^p+b^p \quad\text{und}\quad (a· b)^p=a^p· b^p
+  \end{equation*}
+  Man nennt die Abbildung den \emph{Frobenius-Endomorphismus von
+    $R$}\index{Frobenius-Endomorphismus}.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  \video{14-1}
+\end{proof}
+
+\begin{notation}
+  In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
+  Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring.  Dieser wird als ``Menge der
+  $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
+\end{notation}
+
+\begin{beobachtung}
+  Wenn $R$ ein Integritätsring ist, dann gilt für jedes Element $a ∈ R$, dass
+  $a^p = 0$ ist genau dann, wenn $a = 0$ ist.  Also ist $\ker F = \{0\}$, und
+  der Frobenius-Morphismus ist demnach injektiv.  Wenn $R$ zusätzlich noch
+  endlich ist, dann ist der Frobenius-Morphismus auch noch surjektiv, also
+  isomorph.
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Separable und inseparable Polynome}
+
+Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
+kann.  Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
+Definition.
+
+\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
+  Es sei $K$ ein Körper und $\overline{K}$ sei der algebraische Abschluss von
+  $K$.  Ein irreduzibles Polynom $f∈ K[x]$ heißt
+  \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen
+  Nullstellen in $\overline{K}$ hat.  Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom
+  heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind.
+  Nicht-separable Polynome heißen
+  \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}.
+\end{defn}
+
+\begin{warnung}
+  Separable Polynome können ohne weiteres mehrfache Nullstellen haben.
+\end{warnung}
+
+Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben
+werden.
+
+\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom.  Dann
+  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} Das Polynom $f$ ist
+    inseparabel.
+    
+  \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} Die formelle Ableitung
+    verschwindet, $f' = 0$.
+    
+  \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von
+    $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables
+    Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass
+    \begin{equation*}
+      f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr)
+    \end{equation*}
+    ist.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2}]
+  Sei $a∈\overline{K}$ eine mehrfache Nullstelle, also
+  \begin{equation*}
+    f(x) = (x-a)^m· g(x) ∈ \overline{K}[x]
+  \end{equation*}
+  mit $m>1$ und $g ∈ \overline{K}[x]$.  Dann hat die formale Ableitung $f'$
+  ebenfalls $a$ als Nullstelle.  Weil $f$ aber irreduzibel ist, ist $f$ das
+  Polynom kleinsten Grades, dass $a$ als Nullstelle hat\footnote{Erinnern Sie
+    sich noch, wie man das beweist?}.  Wegen $\deg f' < \deg f$ folgt dann aber,
+  dass $f^\prime\equiv 0$ sein muss.
+\end{proof}
+  
+\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3}]
+  Setze $n := \deg f$ und schreibe
+  \begin{align*}
+    f&= a_0+a_1· x+\dots+a_nx^n\\
+    f^\prime&= a_1+2· a_2x+\dots+ n· a_nx^{n-1}=0.
+  \end{align*}
+  Also gilt $i·a_i = 0$ für alle $i$ mit $1≤ i≤ n$.  Weil $n·a_n = 0$ ist, und
+  $a_n ≠ 0$, folgt sofort $n = 0$.  Daraus folgt schon einmal die Behauptung,
+  dass der Körper $K$ positive Charakteristik hat.  Aus $i·a_i=0$ folgt
+  allgemein, dass $a_i = 0$ oder $i \equiv 0 (\operatorname{mod} p)$ ist.  Also
+  können wir $f$ schreiben als
+  \begin{equation*}
+    f(x) = \sum_{j=0}^{r}a_{j· p}· x^{j· p}=\sum_{j=0}^{r} a_{j· p}(x^p)^j.
+  \end{equation*}
+  Setze nun
+  \begin{equation*}
+    f_1(x) =\sum_{j=0}^{r}a_{j· p}x^{j}.
+  \end{equation*}
+  Dann ist $f(x) = f_1(x^p)$ und \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3}
+  folgt durch iterierte Anwendung dieses Prozesses, wenn wir zeigen können, dass
+  $f_1$ wieder irreduzibel ist.  Die Irreduzibilität von $f_1$ beweisen wir mit
+  dem Frobenius-Morphismus.  Wir haben zwei Ring-Isomorphismen:
+  \begin{align*}
+    F_1 : K[x] & → \bigl(K[x]\bigr)^p = \bigl(K^p\bigr)[x^p], & f & ↦ f^p \\
+    F_2 : K[x^p] & → \bigl(K^p\bigr)[x^p], & \sum β_j\bigl(x^p\bigr)^j & ↦ \sum β_j^p\bigl(x^p\bigr)^j.
+  \end{align*}
+  Dann gilt: $f_1 = F_1^{-1}\bigl(F_2(f)\bigr)$ und die Implikation ist
+  bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1}]
+  Die Charakteristik von $K$ sei eine Primzahl $p>0$ und $f$ sei ein Polynom der
+  Form
+  \[
+    f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j\Bigl(x^{(p^e)}\Bigr)^j
+  \]
+  Weiter sei $a ∈ \overline{K}$ eine Nullstelle von $f$ im algebraischen
+  Abschluss.  Dann ist
+  \[
+    f(x) = f(x)-f(a) = \sum_{j=0}^{n}a_j·\Bigl(x^{(p^e)· j}-a^{(p^e)· j}\Bigr) =
+    \sum_{j=1}^{n} a_j·\Bigl(x^j-a^j\Bigr)^{p^e}.
+  \]
+  Somit ist $a$ eine mindestens $p^e$-fache Nullstelle von $f$.  Also ist $f$ inseparabel.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+  Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$.  Nach dem
+  Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
+  \begin{equation*}
+    f = x^p-t ∈ K[x]
+  \end{equation*}
+  irreduzibel.  Aber $f$ ist inseparabel, weil $f' =p·x^{p-1} = 0$ ist.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Separable und inseparable Körpererweiterungen}
+
+Die folgenden Definitionen bieten keine Überraschung.  Körpererweiterungen sind
+separabel, wenn alle Elemente separabel sind.
+
+\begin{defn}[Separable und inseparable Elemente in Körpererweiterungen]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$.  Man
+  nennt $a$ \emph{separabel über $K$}\index{separabel!Element einer
+    Körpererweiterung}, wenn das Minimalpolynom $f ∈ K[x]$ separabel ist.
+  Ansonsten heißt $a$ \emph{inseparabel über $K$}\index{inseparabel!Element
+    einer Körpererweiterung}.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Separable und inseparable Körpererweiterungen]
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
+  \emph{separabel}\index{separabel!Körpererweiterung}, wenn $L/K$ algebraisch
+  ist, und alle $a∈ L$ separabel sind.  Ansonsten heißt $L/K$
+  \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Körpererweiterung}.
+\end{defn}
+
+\sideremark{Vorlesung 15}
+
+\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper}
+  Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper,
+  dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist.  Sei jetzt also $a ∈ L$.  Wir müssen
+  zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist.  Dazu beobachten wird, dass das
+  Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt.  Das
+  letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine
+  mehrfachen Nullstellen.
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen}
+
+Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable
+Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen
+$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen.  Als Anwendung erhalten wir eine
+Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in
+ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische
+Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
+
+\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit
+  Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$.  Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$
+  in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen
+  $σ : K(a) → L$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
+  potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
+  an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt.  Jetzt müssen wir
+  lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
+  tatsächlich auftritt.  Sei also $b$ eine Nullstelle von $f$ in $L$.  Wir
+  betrachten wir die Substitutionsmorphismen
+  \begin{equation*}
+    \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b).
+  \end{equation*}
+  Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$.
+  Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit
+  $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten.  Also liefern $\varphi_a$ und
+  $\varphi_b$ $K$-Morphismen
+  \begin{equation*}
+    \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L,
+  \end{equation*}
+  welche die Restklasse von $x$ auf $a$ beziehungsweise $b$ abbilden.  Außerdem
+  ist $ψ_a$ ein Isomorphismus.  Die Abbildung $ψ_b◦ψ^{-1}_a : K(a) → L$ ist also
+  die gesuchte Abbildung.
+\end{proof}
+
+Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
+die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren.  Als Konsequenz erhalten wir
+eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
+Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
+
+\begin{satz}\label{Satz_11_10}
+  Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
+  und es sei $n := [L:K]$.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_11_10_Aussage_1} Es gibt höchstens $n$ verschiedene
+    $K$-Homomorphismen $σ : L → \overline{K}$.
+
+  \item\label{Satz_11_10_Aussage_2} Die Erweiterung $L/K$ ist genau dann
+    separabel, wenn es exakt $n$ solche Fortsetzungen gibt.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{15-1}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Wenn $L/K$ und $M/K$ algebraische Körpererweiterungen sind und $n := [L:K]$
+  ist, dann gibt es höchstens $n$ unterschiedliche $K$-Morphismen $σ : L → M$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über
+  $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist.  Dann ist $L/K$ separabel.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele
+  unterschiedliche Einbettungen $L → \overline{K}$ gibt.  Also ist $L/K$ nach
+  \ref{Satz_11_10} separabel.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Transitivität der Separabilität]
+  Sei $L/K$ und $M/L$ separable Körpererweiterungen.  Dann ist auch $M/K$
+  separabel.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist.  Sei $a∈ M$ ein Element und
+  \begin{equation*}
+    f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]}
+  \end{equation*}
+  das zugehörige Minimalpolynom.  Es gilt, dass $a$ separabel über
+  $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist.  Weil die $a_i$ aber separabel über $K$
+  sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel.  Insbesondere ist
+  $a$ separabel.
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Der separable Abschluss}
+
+Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
+Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch
+dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
+übertragen.
+
+\begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad]
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann ist die Menge
+  \[
+    L_{\sep} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist separabel über }K\}
+  \]
+  ein Unterkörper von $L$.  Man nennt $L_{\sep}$ den \emph{separablen
+    algebraischen Abschluss von $K$ in $L$}\index{separabler algebraischer
+    Abschluss}.  Die Zahl $[L_{\sep} : K]$ wird \emph{Separabilitätsgrad der
+    Körpererweiterung $L/K$}\index{Separabilitätsgrad} genannt.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  Seien $a,b ∈ L$ separabel über $K$.  Wir müssen zeigen, dass $a±b$, $a·b$ und
+  gegebenenfalls $a·b^{-1}$ separabel sind.  Wir wissen aber schon, dass
+  $K(a,b)$ über $K$ separabel ist.  Die fraglichen Elemente liegen aber in
+  $K(a,b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{defn}[Vollkommene Körper]
+  Es sei $K$ ein Körper.  Man nennt den Körper $K$
+  \emph{vollkommen}\index{vollkommener Körper}, wenn jede algebraische
+  Körpererweiterung $L/K$ separabel ist.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Körper der Charakteristik $0$ und algebraisch abgeschlossene Körper sind
+  vollkommen.  An dieser Stelle schließt sich traditionell eine Reihe von
+  unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen}
+  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_1} Der Körper $K$
+    ist vollkommen.
+    
+  \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_2} Es gilt $K=K^p$.
+    Mit anderen Worten: der Frobenius-Morphismus ist surjektiv.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{15-2}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}
+  Jeder endliche Körper ist vollkommen.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Wir haben schon gesehen, dass der Frobenius-Endomorphismus surjektiv ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$.  Das
+  einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$.  Wenn wir eine Nullstelle
+  dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$
+  bezeichnen, dann ist
+  \[
+    \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K}
+  \]
+  das einfachste Beispiel einer inseparablen Körpererweiterung.
+\end{bemerkung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

15.tex

@@ -0,0 +1,343 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Normale und Galoissche Körpererweiterungen}
+\label{chap:15}
+
+\section{Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung}
+
+\sideremark{Vorlesung 16}Nun kommen wir endlich zu der Definition, auf die ich
+seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von
+Körpererweiterungen, auch bekannt als
+Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste
+    Galois} (* 25.  Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.  Mai 1832 in Paris)
+  war ein französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei
+  einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
+  Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
+folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
+
+\begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung]
+  Sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann ist die Gruppe der $K$-Automorphismen
+  $L → L$ wird als \emph{Galoisgruppe der Körpererweiterung
+    $L/K$}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung} bezeichnet, wobei die
+  Gruppenverknüpfung wie üblich die Komposition von Automorphismen ist.  Die
+  Schreibweise $\Gal(L/K)$ ist üblich.  Die Ordnung der Gruppe (=Anzahl der
+  Elemente) wird oft mit $|\Gal(L/K)|$ oder $\#\Gal(L/K)$ notiert.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms]
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.  Weiter sei $L$ der
+  Zerfällungskörper von $f$ über $K$.  Dann wird die Galoisgruppe der
+  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe
+  von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
+\end{defn}
+
+Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen
+Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
+beschreiben.  Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der
+Elemente angeben kann.  Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe
+anzugeben.  Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der
+\href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines
+  schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
+ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist.  Wir
+können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in
+einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
+
+\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}
+  Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt
+  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des
+  algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es 
+  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist
+  $|\Gal(L/K)| ≤ n$.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es
+    gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
+  Körpererweiterung ist, dann zeigt
+  Lemma~\ref{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}, dass
+  $|\Gal(L/K)|$ exakt die Anzahl der Nullstellen ist, die das Minimalpolynom von
+  $a$ im Körper $L$ hat.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K = ℚ$ und es sei $d ∈ ℕ ∖ \{0,1\}$ eine
+  quadratfreie\footnote{quadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf} ganze
+  Zahl.  Weiter sei $a := \sqrt d ∈ ℝ$ und $L := ℚ(a)$.  Dann hat das
+  Minimalpolynom
+  \begin{equation*}
+    x²-d = (x+a)·(x-a).
+  \end{equation*}
+  Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente.  Wir wissen auch schon, welche.  Ein
+  Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab.  Das andere Element
+  heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
+  $a$ auf $-a$ abbildet.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:x-1}
+  Es sei $K = ℚ$, es sei $a := \sqrt[3]{2} ∈ ℝ$ und $L = ℚ(a)$.  Das
+  Minimalpolynom von $a$ ist $x³-2$, die beiden anderen Nullstellen des
+  Minimalpolynoms in $ℂ$ sind $ξ·a$ und $ξ²·a$, wobei $ξ = e^{2π i/3}$ ist.
+  Es gilt aber $ξ·a$ und $ξ²·a \not ∈ ℝ$.  Somit folgt
+  \begin{equation*}
+    \Gal \Bigl(\factor{ℚ(a)}{ℚ}\Bigr) = \{\Id\}.
+  \end{equation*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.  Dann ist $K$ ein
+  Oberkörper des Primkörpers, und dieser ist isomorph zu $𝔽_p$.  Der
+  Frobenius-Morphismus
+  \begin{equation*}
+    F : K → K, \quad a ↦ a^p
+  \end{equation*}
+  ist ein $𝔽_p$-Homomorphismus, denn für alle $a ∈ 𝔽_p$ ist $a^p=a$.  Weil $F$
+  jetzt aber bijektiv ist, ist $F ∈ \Gal(K/𝔽_p)$.  Wenn $K ≠ 𝔽_p$ ist, dann ist
+  $F ≠ \Id$, denn die einzigen Elemente in $K$, die von $F$ festgehalten werden,
+  sind die Nullstellen des Polynoms
+  \begin{equation*}
+    f = x^p-x ∈ K[x]
+  \end{equation*}
+  und dieses Polynom hat genau $p$ Nullstellen, nämlich die Elemente von
+  $𝔽_p ⊂ K$.  Wir werden später in Abschnitt~\ref{sec:klassEK} zeigen, dass die
+  Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ von $F$ erzeugt wird.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Normale Körpererweiterungen}
+
+Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele
+Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen.  Ich muss
+aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des
+``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
+Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind.
+
+\begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal}
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{normal}\index{normale
+    Körpererweiterung}, wenn sie algebraisch ist und wenn jedes irreduzible
+  Polynom $f ∈ K[x]$, das in $L$ eine Nullstelle hat, über $L$ in Linearfaktoren
+  zerfällt.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist die Körpererweiterung $\overline{K}/K$
+  normal.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}\label{Bsp_zusammenhang_Zerfaellungskoerper_normal}
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom und es sei $L$ der
+  Zerfällungskörper von $f$.  Der folgende Satz zeigt, dass $L/K$ normal ist.
+\end{bsp}
+
+Normale Körpererweiterungen lassen sich auf unterschiedliche Arten und Weisen
+charakterisieren.
+
+\begin{satz}[Charakterisierung von normalen Erweiterungen]\label{satz:h4}
+  Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die
+    Körpererweiterung $L/K$ ist normal.
+    
+  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_2} Es existiert eine
+    Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_{λ}∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$
+    durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_{λ}$ im algebraischen
+    Abschluss $\overline{L}$ von $L$ entsteht.
+    
+  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_3} Für jeden
+    $K$-Morphismus $σ: L → \overline{L}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist.  Das heißt:
+    $σ$ induziert einen $K$-Automorphismus von $L$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{16-1}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Normale Zwischenkörper]
+  Es sei $K ⊆ Z ⊆ L$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $L/K$ normal ist,
+  dann ist auch $L/Z$ normal.  \qed
+\end{kor}
+
+Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger
+geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext
+bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten
+Polynoms''.
+
+\begin{satz}\label{satz:x1}
+  Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der
+  Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis ``$⇒$'']
+  Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal.  Dann gibt es per Annahme endlich
+  viele $a_1, …, a_n ∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.  Bezeichne die
+  zugehörigen Minimalpolynome mit $f_1, …, f_n ∈ K[x]$.  Die Nullstellen von
+  $f := \prod_{i=1}^{n}f_i$ liegen alle in $L$, weil $L$ nach Annahme normal
+  ist.  Also ist $L$ der Zerfällungskörper von $f$ über $K$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis ``$\Leftarrow$'']
+  Wenn $L/K$ ein Zerfällungskörper ist, dann haben wir schon in
+  Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist.
+\end{proof}
+
+Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
+Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt.
+Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste
+gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in
+dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
+
+\begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung]
+  Zu jeder algebraischen Körpererweiterung $L/K$ gibt es eine Körpererweiterung
+  $N/L$, sodass Folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die Körpererweiterung $N/K$
+    ist normal.
+    
+  \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} Wenn $N ⊇ Z ⊇ L$ ein
+    Zwischenkörper ist und wenn $Z/K$ normal ist, dann ist $Z=N$.
+  \end{enumerate}
+  Zusätzlich gilt: wenn $\tilde{N}$ eine weitere Körpererweiterung ist, sodass
+  \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} und
+  \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} gelten, dann sind $N$ und
+  $\tilde{N}$ isomorph.  Man nennt $N$ die \emph{normale Hülle von
+    $L/K$}\index{normale Hülle einer Körpererweiterung}.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  \video{16-2}
+\end{proof}
+
+
+\section{Galoissche Körpererweiterungen}
+
+Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele
+Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet ``maximal'' nach
+Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
+Erweiterungsgrad.  Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois
+die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser
+Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie''
+bezeichnet.
+
+\begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen]
+  Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_1} Die Erweiterung
+    $L/K$ ist normal und separabel.
+    
+  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} Der Körper $L$
+    ist der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.
+    
+  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_3} Es ist
+    $|\Gal(L/K)| = [L:K]$.
+  \end{enumerate}
+  Solche Körpererweiterungen heißen \emph{Galoisch}\index{Galoissche
+    Körpererweiterung}.
+\end{satzdef}
+\begin{proof}
+  \video{16-3}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Man kann auch einen sinnvollen und interessanten Begriff von Galoisch für
+  unendliche Körpererweiterungen definieren, das machen wir in dieser Vorlesung
+  aber nicht.  Wir verstehen unter einer Galoiserweiterung immer eine
+  \emph{endliche} Körpererweiterung.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}
+  Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$.  Dann ist jedes Polynom separabel
+  und die Galoiserweiterungen von $K$ sind gerade die Zerfällungskörper von
+  Polynomen aus $K[x]$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:c-r}
+  Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$.  Die Galoisgruppe ist
+  $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}
+  Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann
+  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach
+  Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der
+  Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.  Dann ist $L$ aber
+  auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$.  Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist
+  eine Untergruppe von $\Gal(L/K)$, weil jeder $Z$-Morphismus $L → L$ immer auch
+  schon ein $K$-Morphismus ist.  \textbf{Aber Achtung:} die Erweiterung $Z/K$
+  ist nicht unbedingt Galoisch!  Wir haben im laufenden Kapitel~\ref{chap:15}
+  auch schon ein Beispiel gesehen, wo das nicht der Fall ist.  Geben Sie
+  \textbf{sofort} durch das Kapitel und finden Sie heraus, welches Beispiel ich
+  meine.  Los jetzt!
+\end{bsp}
+
+\sideremark{Vorlesung 17}Mit den bisherigen Ergebnissen können wir über die
+Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
+
+\begin{lem}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen
+  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien
+  $a_1, …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die
+    Nullstellen $a_1, …, a_n$.  Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese
+    Vertauschung eindeutig festgelegt.  Also können wir $\Gal(f)$ als
+    Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$
+    auffassen.  Insbesondere gilt
+    \begin{equation*}
+      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!
+    \end{equation*}
+    
+  \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden
+    unter sich permutiert.
+    
+  \item\label{Bem_Galois_Punkt_3} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann operiert
+    $\Gal(f)$ transitiv auf der Menge der Nullstellen.  Mit anderen Worten: Für
+    jedes Paar $a,b$ von Nullstellen gibt es ein $σ ∈ \Gal(f)$, sodass
+    $σ(a) = b$ ist.
+    
+  \item\label{Bem_Galois_Punkt_4} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann ist $n$ ein
+    Teiler von $|\Gal(f)|$.
+  \end{enumerate}
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Die Aussagen~\ref{il:y1} und \ref{il:y2} haben wir schon lang bewiesen
+  (wo?).  Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}.
+\end{proof}
+
+Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
+allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
+
+\begin{defn}[Konjungierte Elemente]
+  Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und $a ∈ L$ sei ein Element.  Die Menge
+  \[
+    \{ σ(a) \::\: σ ∈ \Gal(L/K) \}
+  \]
+  ist natürlich gerade die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$
+  über $K$.  Die Elemente dieser Menge heißen die
+  \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:x-2}
+  Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort.  Dort haben wir schon gesehen,
+  dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist.  Der Zerfällungskörper des
+  Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne
+    ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?}
+  \[
+    N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr).
+  \]
+  Ich behaupte gleich auch, dass $N = ℚ(\sqrt[3]{2},\sqrt3·i)$ ist, denn das
+  wird später noch wichtig werden.  Die Erweiterung $N/ℚ$ ist Galoisch, denn
+  $[N:ℚ(\sqrt[3]{2})] = 2$, also
+  \begin{equation*}
+    [N:ℚ] = 2· 3=6.
+  \end{equation*}
+  Die Gruppe $\Gal(f) = \Gal(N/ℚ)$ können wir als Untergruppe von $S_3$
+  auffassen.  Wegen $|\Gal(f)| = [N:ℚ] = 6 = |S_3|$ folgt $\Gal(f) = S_3$.  Jede
+  Permutation der Nullstellen $a$, $ξ·a$ und $ξ²·a$ lässt sich also durch ein
+  Element aus $\Gal(f)$ realisieren.
+\end{bsp}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

16.tex

@@ -0,0 +1,292 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
+\label{chap:16}
+
+Erinnern Sie sich daran, wie wir gezeigt haben, dass gewisse
+Konstruktionsaufgaben unlösbar sind?  Wir haben dazu Ketten $K ⊂ L ⊂ M$ von
+Körpern betrachtet und beobachtet, dass $[L:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist.  Das
+zentrale Argument in den Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen war dann, dass die
+relevanten Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme stets Grad $2^n$ über
+$ℚ$ haben, und dass konstruierbare Punkte Unterkörper liefern, deren Grad dann
+wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
+
+Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
+Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
+nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen.  Inzwischen ist klar,
+dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine.  Jetzt ist es an der Zeit zu
+sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
+zu untersuchen.  Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
+Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
+haben, sondern auch eine recht spezielle Galoisgruppe besitzen.  Die
+Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls recht
+speziell sein.
+
+\begin{bemerkung}
+  Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt,
+  weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
+  Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Fixkörper}
+
+Bevor wir den Hauptsatz der Galoistheorie auch nur hinschreiben, möchte ich noch
+ein besonders schönes Beispiel für Galoiserweiterungen diskutieren: die
+Fixkörper einer Menge von Körperautomorphismen.  Der Beweis des folgenden Satzes
+ist eine Hausaufgabe.
+
+\begin{satzdef}[Invariante Elemente, Fixkörper]\label{DefSatz_Fixkoerper}
+  Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Menge von Automorphismen $L → L$.  Dann ist
+  die Menge
+  \begin{equation*}
+    \Fix G = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall\ σ∈ G\}
+  \end{equation*}
+  ein Unterkörper von $L$, genannt \emph{Fixkörper} von $G$\index{Fixkörper}.
+  Die Elemente von $\Fix G$ heißen \emph{$G$-invariante
+    Elemente}\index{invariante Körperelemente} von $L$.  \qed
+\end{satzdef}
+
+Der folgende Satz von Emil
+Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3.
+  März 1898 in Wien; † 20.  Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
+  Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20.
+  Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
+Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
+
+\begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin}
+  Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers
+  $L$ und es sei $K := \Fix G $ der zugehörige Fixkörper.  Dann ist $L/K$ eine
+  Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) = G$.  Insbesondere ist
+  $[L:K] =|G|$.
+\end{satz}
+
+Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial.  Wir geben einen Beweis
+im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
+Unabhängigkeit von Charakteren beweisen.  Wahrscheinlich muss ich auch noch
+erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist.
+
+
+\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
+
+Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
+Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
+Gruppe eines Körpers $L$ sein soll.  Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
+meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren.  Ich finde diese
+Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
+
+\begin{defn}[Charakter einer Gruppe]
+  Es sei $H$ eine Gruppe, es sei $L$ ein Körper und $L^*$ sei die Gruppe der
+  Einheiten aus $L$.  Ein \emph{Charakter von $H$ in $L$}\index{Charakter einer
+    Gruppe} ist ein Gruppenmorphismus $σ : H → L^*$.
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wenn $K$ ein Körper ist, und $σ : K → L$ ein nicht-trivialer Ringmorphismus,
+  dann induziert $σ$ auch einen Gruppenmorphismus
+  \begin{equation*}
+    σ^* : K^* → L^*.
+  \end{equation*}
+  Wir können (und werden!) insbesondere jeden Automorphismus $σ : L → L$ als
+  linearen Charakter $L^* → L^*$ auffassen.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Lineare Unabhängigkeit von Charakteren]\label{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren}
+  Es sei $H$ eine Gruppe und $L$ sei ein Körper.  Weiter seien $σ_1, …, σ_n$
+  paarweise verschiedene Charaktere von $H$ in $L$.  Zusätzlich und seien
+  Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$ gegeben, sodass die Linearkombination
+  \begin{equation*}
+    ψ : H → L, \quad h ↦ \sum a_i·σ_i(h)
+  \end{equation*}
+  die Nullabbildung ist.  Dann ist $a_1= ⋯ = a_n=0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{17-2}
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Beweis des Satzes von Emil Artin}
+\label{ssec:16-3}
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes von Artin, Satz~\ref{Theorem_von_E_Artin}]
+  \video{17-3}
+\end{proof}
+
+
+\section{Die Klassifikation endlicher Körper}
+\label{sec:klassEK}
+
+Bevor wir zum Hauptsatz der Galoistheorie kommen, kann ich es nicht lassen,
+ihnen sofort eine Anwendung des Satzes von Emil Artin zu zeigen: die
+Klassifikation der endlichen Körper.  Wir kennen schon einige endliche Körper:
+gegeben eine Primzahl $p ∈ ℕ$, dann haben wir den Körper $𝔽_p = ℤ/(p)$
+betrachtet.  Es gibt aber noch andere.
+
+\begin{bsp}[Konstruktion endlicher Körper]\label{bsp:kek}
+  Gegeben sei eine Primzahl $p ∈ ℕ$.  Weiter sei $q$ eine Potenz von $p$, also
+  eine Zahl der Form $q = p^m$ für ein geeignetes $m ∈ ℕ$.  Es sei $𝔽_q$ der
+  Zerfällungskörper des Polynoms $f(x) = x^q-x ∈ 𝔽_p[x]$.  Ich behaupte, dass
+  dieser Körper genau $q$ Elemente hat.  Dazu stelle ich erst einmal fest, dass
+  $f'(x) = 1$ ist.  Also hat $f$ keine mehrfachen Nullstellen; es folgt, dass $f$
+  genau $q$ unterschiedliche Nullstellen hat; dies zeigt schon einmal, dass
+  $𝔽_q$ mindestens $q$ Elemente hat.  Wir sind fertig, wenn wir zeigen, dass
+  die Menge dieser Nullstellen ein Körper ist (der dann ja wohl der
+  Zerfällungskörper sein muss).  Dazu verwende Satz~\ref{DefSatz_Fixkoerper} und
+  beachte, dass die Nullstellen von $f$ genau die Fixpunkte des iterierten
+  Frobeniusmorphismus $F^{m}$ sind.
+\end{bsp}
+
+Der folgende Satz zeigt, dass jeder endliche Körper auf diese Weise entsteht.
+
+\begin{satz}[Klassifikation endlicher Körper]\label{Satz_Klassifikation_endlicher_Koerper}
+  Es sei $K$ ein endlicher Körper mit Primkörper $𝔽_p ⊆ K$.  Weiter
+  sei $p$ die Charakteristik von $K$ und $q$ sei die Anzahl der Elemente.  Dann
+  ist $q = p^{[K:𝔽_p]}$ und $K$ ist isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus
+  Beispiel~\ref{bsp:kek}.  Die Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ ist der Form
+  $ℤ/(m)$ und wird durch den Frobeniusmorphismus erzeugt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{17-4}
+\end{proof}
+
+
+\section{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
+
+\sideremark{Vorlesung 18}Jetzt kommen wir also zum Hauptsatz.  Gegeben eine
+Körpererweiterung $L/K$ und eine Untergruppe der Galoisgruppe, dann liefert uns
+die Fixkörperkonstruktion einen Zwischenkörper.  Falls $L/K$ Galois ist, dann
+sagt der Hauptsatz, dass auf diese Weise eine Korrespondenz zwischen
+Untergruppen und Zwischenkörpern entsteht.  Die reduziert die Frage nach
+Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem.
+
+Die Formulierung des Hauptsatzes verwendet folgende Beobachtung, die ich
+eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
+
+\begin{obs}[Index einer Untergruppe]\label{obs:Index}
+  Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H ⊂ G$ eine Untergruppe.  Dann ist
+  die Zahl $|H|$ ein Teiler von $|G|$.  Zum Beweis definierte man eine
+  Äquivalenzrelation: zwei Elemente $a$ und $b$ aus $G$ seien äquivalent, wenn
+  es ein Element $h ∈ H$ gibt, sodass $a = h·b$ ist.  Man rechne nach, dass
+  dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und dass alle Äquivalenzklassen
+  die gleiche Größe haben, nämlich $|H|$.  Also ist die Größe von $G$ gegeben
+  als $|G| = |H|·\#(\text{Äquivalenzklassen})$.  Man schreibt
+  \[
+    [G:H] = \factor{|G|}{|H|}
+  \]
+  und nennt diese Zahl den \emph{Index}\index{Index} der Untergruppe $H ⊂ G$.
+\end{obs}
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Galoistheorie]\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}
+  Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und es sei $G = \Gal(L/K)$ die
+  Galoisgruppe.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1} Für jeden Zwischenkörper
+    $Z$ von $L/K$ ist $\Gal(L/Z)$ eine Untergruppe von $G$.  Für jede
+    Untergruppe $H⊂ G$ ist $\Fix{H} ⊂ L$ ein Zwischenkörper von $L/K$.
+    
+  \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} Die so definierten
+    Abbildungen
+    \[
+      \begin{aligned}
+      \begin{matrix}
+        \Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr) &:& \{\text{Zwischenkörper}\} &→& \{\text{Untergruppen}\}, &\quad& Z &↦ & \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) \\[2mm]
+        \Fix(•) &:& \{\text{Untergruppen}\} &→& \{\text{Zwischenkörper}\}, &\quad& H& ↦& \Fix\bigl(H\bigr)
+      \end{matrix}
+      \end{aligned}
+    \]
+    sind zueinander inverse Bijektionen.
+
+  \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3} Die Abbildungen
+    $\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr)$ und $\Fix(•)$ sind inklusionsumkehrend und
+    indexerhaltend.  Präzise: wenn $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$ und wenn
+    $Z_1$ und $Z_2$ Zwischenkörper sind, dann gilt Folgendes.
+    \begin{itemize}
+    \item Falls $Z_1 ⊆ Z_2$ ist, dann ist
+      \begin{align*}
+        \Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) & ⊇ \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr) && \text{und} \\
+        [Z_2:Z_1] & = \left[\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) : \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr)\right],
+      \end{align*}
+
+    \item Falls $H_1 ⊆ H_2$ ist, dann ist
+      \begin{align*}
+        \Fix{H_1} & ⊇ \Fix{H_2} && \text{und} \\
+        [H_2:H_1] & = [\Fix{H_1} : \Fix{H_2}].
+      \end{align*}
+    \end{itemize}
+    
+  \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
+    jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
+    \begin{equation*}
+      \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}
+    \end{equation*}
+    
+  \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
+    $Z$ ist $Z/K$ genau dann Galoisch, wenn $\Gal(L/Z)$ eine normale Untergruppe
+    von $G = \Gal(L/K)$ ist, das heißt, wenn für alle $σ∈ G$
+    \begin{equation*}
+      σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
+    \end{equation*}
+    ist.  Ist dies der Fall, dann ist
+    \begin{equation*}
+      \Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
+    \end{equation*}
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Ich beweise die
+  Teilaussagen~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}--\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4}
+  im \video{18-1}.  Für die letzte
+  Teilaussage~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} gibt es ein eigenes
+  \video{18-2}.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}[Widerliche Rechthaberei]
+  Sehen Sie, warum ich in der ersten Woche der Vorlesungszeit so viel Aufhebens
+  um den Begriff der normalen Untergruppe gemacht habe?
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Ein Beispiel}
+
+Um den Hauptsatz der Galoistheorie zu illustrieren, setzen wir das
+Beispiel~\vref{bsp:x-2} fort.  Sei also wieder $K = ℚ$ und sei $N$ der
+Zerfällungskörper von $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Wir haben bereits gezeigt, dass
+$[N:K] = 6$ ist.  Mit $ξ = e^{\frac{2π i}{3}}$ und
+\[
+  a_1=\sqrt[3]{2}, \quad a_2 = ξ·\sqrt[3]{2} \quad\text{und}\quad a_3=ξ²·\sqrt[3]{2}
+\]
+gilt
+\begin{equation*}
+  N = ℚ\bigl(a_1, a_2, a_3\bigr) = ℚ\bigl(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}·i\bigr).
+\end{equation*}
+Dann ist $\Gal(N/ℚ) ≅ S_3$ die volle Permutationsgruppe der Nullstellenmenge
+$\{a_1, a_2, a_3\}$.  Wir haben folgende Untergruppen von $S_3$:
+\[
+  \begin{tikzcd}[column sep=tiny]
+    & & S_3 \\
+    \{\Id, (12) \} \ar[urr, hook] & \{\Id, (13) \} \ar[ur, hook] & & \{\Id, (23) \} \ar[ul, hook]&\{\Id, (123), (132)\} \ar[ull, hook]\\
+    & & \{\Id\} \ar[ull, hook] \ar[ul, hook] \ar[ur, hook] \ar[urr, hook]
+  \end{tikzcd}
+\]
+und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$,
+\[
+  \begin{tikzcd}[column sep=tiny]
+    & & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
+    ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
+    & & N
+  \end{tikzcd}
+\]
+Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe
+$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte.  Sie haben
+sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
+$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt.  Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
+$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken.  Schauen Sie sich
+diesen Ausdruck einmal ganz scharf an.  Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen
+Sie uns an!
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

17.tex

@@ -0,0 +1,758 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Grundbegriffe}
+\label{chap:17}
+
+Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
+Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''.  Also befasst
+sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen.  Um die
+vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich
+mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen.  Ich hoffe, Sie sehen
+mir das nach.
+
+\begin{defn}[Ordnung einer Gruppe]
+  Es sei $G$ eine Gruppe.  Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung}
+  von $G$ und wird mit dem Symbol $|G|$ oder $\#G$ bezeichnet.
+\end{defn}
+
+
+\section{Gruppenwirkungen}
+
+Ich beginne mit einem Kapitel über die wesentlichen Grundbegriffe, obwohl Sie
+vieles von dem Stoff vermutlich schon kennen.  Einige der folgenden Sätze haben
+wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
+
+\begin{defn}[Gruppenwirkung]\label{defn:gruppenwirkung}
+  Es sei $(G, ·)$ eine Gruppe und es sei $M$ eine Menge.  Eine
+  \emph{Wirkung}\index{Wirkung}\index{Gruppenwirkung} oder
+  \emph{Operation}\index{Operation} von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung
+  \[
+    α : G ⨯ M → M,
+  \]
+  sodass Folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Def_Operation_Aussage_1} Es sei $e ∈ G$ das neutrale Element.
+    Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung $α(e,m) = m$.
+    
+  \item\label{Def_Operation_Aussage_2} Es seien $g$ und $h$ in $G$ zwei
+    Elemente.  Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung
+    $α \bigl(h, α(g,m)\bigr) = α(h· g,m)$.
+  \end{enumerate}
+  Gegeben ein Element $g ∈ G$, so wird die zugehörige Abbildung
+  \[
+    α_g : M → M, \quad m ↦ α(g,m)
+  \]
+  als \emph{Translationsabbildung}\index{Translationsabbildung!einer
+    Gruppenwirkung} des Elementes $g$ bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{notation}
+  Wenn klar ist, von welcher Gruppe, welcher Menge und welcher Wirkung die Rede
+  ist, schreibt man statt $α(g,m)$ häufig einprägsam $g·m$.
+\end{notation}
+
+\begin{beobachtung}[Gruppenwirkungen und Morphismen in die Permutationsgruppe]\label{beo:mup}
+  In der Situation aus Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} erhalten wir eine
+  Abbildung von $G$ in die Permutationsgruppe von $M$, also die Gruppe der
+  bijektiven Abbildungen $M → M$
+  \[
+    φ_α : G → \text{Permutationen von } M, \quad g ↦ α_g.
+  \]
+  Mit dieser Notation ist Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} äquivalent
+  zu der Aussage, dass $φ_α(e) = \Id_M$ ist.
+  Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} ist äquivalent zu der Aussage, dass
+  für alle $g$ und $h$ aus $G$ die Gleichung $φ_α(h·g) = φ_α(h)◦ φ_α(g)$ ist.
+  Mit anderen Worten, $φ_α$ ist ein Gruppenmorphismus.
+
+  Umgekehrt kann ich zu jeden Gruppenmorphismus
+  \[
+    ψ : G → \text{Permutationen von } M
+  \]
+  mithilfe von
+  \[
+    β_ψ : G ⨯ M → M, \quad (g,m) ↦ \bigl(ψ(g)\bigr)(m)
+  \]
+  eine Gruppenwirkung definieren.  Rechnen Sie sofort nach, das $β_ψ$
+  tatsächlich eine Gruppenwirkung ist und beweisen Sie, dass ich auf diese Weise
+  eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenwirkungen und der Menge der
+  Gruppenmorphismen erhalte.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{defn}[(In)effektivität, Treue]
+  Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in
+  Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus
+  Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.  Die
+  Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
+  \emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus
+  $φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist.
+\end{defn}
+  
+\begin{bsp}[Matrix-Vektor-Multiplikation]
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die Gruppe $\GL_n(K)$
+  operiert mithilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation treu auf dem Vektorraum
+  $K^n$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Wirkung der Galoisgruppe]
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.  Dann operiert die
+  Galoisgruppe $G(f)$ auf dem Zerfällungskörper $L$ von $f$, aber auch auf der
+  Menge der Nullstellen oder der Menge der Zwischenkörper von $L/K$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Dynamische Systeme]
+  Es sei $\vec{v} : ℝ² → ℝ²$ ein $\cC^{∞}$-Vektorfeld.  Wir fassen $\vec{v}$ als
+  Differenzialgleichung auf: gegeben ein Punkt $p ∈ ℝ²$, so suchen wir
+  Abbildungen $γ_p : ℝ → ℝ²$, so folgendes gilt:
+  \begin{itemize}
+  \item Es ist $γ_p(0) = p$ und
+
+  \item für alle $t ∈ ℝ$ ist $γ'_p(t) = \vec{v}(γ_p(t))$.
+  \end{itemize}
+  Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der
+  gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von
+  Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles
+      Émile Picard} (* 24.  Juli 1856 in Paris; † 11.  Dezember 1941 ebenda) war
+    ein französischer
+    Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
+      Leonard Lindelöf} (* 7.  März 1870 in Helsingfors (Helsinki),
+    Großfürstentum Finnland; † 4.  Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer
+    Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig
+  sind.  Dann erhalten wir durch die Vorschrift
+  \[
+    γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t)
+  \]
+  eine Wirkung der Gruppe $(ℝ, +)$ auf $ℝ²$.
+\end{bsp}
+
+
+\subsection{Bahnen und Fixpunkte}
+
+Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik
+prominent auf.  Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und
+Begriffsbildungen rund um dieses Konzept.  Ich beschränke mich hier auf die
+Allerwesentlichsten.
+
+\begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
+  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.
+  Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge
+  $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder
+  \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist,
+  dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Betrachte die Ebene $ℝ²$.  Die Gruppe $G = (ℝ,+)/(2π·ℤ)$ wirkt durch Drehungen
+  um den Nullpunkt auf die Ebene.  Der Nullpunkt ist ein Fixpunkt.  Die Bahnen
+  dieser Wirkung sind der Nullpunkt und die Kreise um den Nullpunkt.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}
+  Eine Gruppe $G$ wirke auf einer Menge $M$.  Beweisen Sie als Hausaufgabe die
+  folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind
+  die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt.  Folgern Sie,
+  dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation
+  ``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.  Die Menge der
+  Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als
+  \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet.  Wenn die Gruppenwirkung klar,
+  wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{defn}[Transitive Wirkung]
+  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Man
+  nennt die Wirkung \emph{transitiv}\index{transitive Wirkung}, falls es nur
+  eine einzige Bahn gibt.
+\end{defn}
+
+\begin{beobachtung}
+  Eine Gruppenwirkung $α : G⨯ M → M$ ist genau dann transitiv, wenn für alle
+  Paare $a$, $b ∈ M$ ein Gruppenelement $g∈ G$ gibt, sodass die Gleichung
+  $a = g·b$ gilt.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}
+  Die natürliche Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ²$ ist nicht transitiv.
+  Die Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ² ∖ \{ \vec{0} \}$ ist transitiv.
+\end{bsp}
+
+\subsection{Isotropie und Stabilisator}
+
+Die Isotropiegruppe eines Punktes, die wir jetzt gleich definieren werden, ist
+ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein.
+Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe
+gleich für Untermengen statt für Punkte.
+
+\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}
+  Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
+  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.
+  \begin{itemize}
+  \item Die Untergruppe
+    \[
+      \Iso(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n = n \} ⊆ G
+    \]
+    als \emph{Isotropie}\index{Isotropie} der Menge $N$ bezeichnet.
+
+  \item Die Untergruppe
+    \[
+      \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G
+    \]
+    wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet.
+  \end{itemize}
+\end{defn}
+
+\begin{notation}\label{not:17.1.5}
+  Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element
+  besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
+\end{notation}
+
+\begin{bemerkung}
+  In der Situation von Definition~\ref{def:ius} gilt für jedes Element
+  $g ∈ \Stab(N)$ per Definition die Inklusion $φ_g(N) ⊆ N$ --- dabei bezeichnet
+  $φ_g$ wieder die zu $g$ gehörende Translationsabbildung.  Überlegen Sie sich,
+  dass tatsächlich die Gleichheit $φ_g(N) = N$ gilt.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft
+  auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$.  Dann wirkt $G$ auf
+  der Menge $L$; die Wirkung ist gegeben durch
+  \[
+    G ⨯ L → L, \quad (σ, z) ↦ σ(z).
+  \]
+  Mit dieser Wirkung gilt für jeden Zwischenkörper $Z$ die Gleichung
+  $\Gal(L/Z) = \Iso(Z)$.
+\end{bsp}
+
+
+\subsection{Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation, Konjugation}
+
+Bei der Untersuchung von (endlichen) Gruppen interessiert man sich ganz
+besonders für Wirkungen, bei denen eine gegebene Gruppe auf sich selbst wirkt.
+Ich nenne drei besonders relevante Beispiele.
+
+\begin{bsp}[Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation]
+  Es sei $G$ eine Gruppe.  Dann werden durch die Vorschriften
+  \[
+    G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h %
+    \quad \text{und} \quad %
+    G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ h· g^{-1}
+  \]
+  zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die
+  \emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und
+  \emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
+\end{bsp}
+
+\begin{frage}
+  Warum schreibe ich bei der Definition der Rechtsmultiplikation statt
+  $h·g^{-1}$ nicht einfach $h·g$?  Ist doch viel einfacher.
+\end{frage}
+
+\begin{bsp}[Konjugation von Elementen]\label{bsp:konju}
+  Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift
+  \[
+    G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h·g^{-1}
+  \]
+  eine Wirkung von $G$ auf sich selbst definiert, die
+  \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} genannt wird.  Die
+  Bahnen dieser Wirkung werden
+  \emph{Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklassen} genannt.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+  Finden Sie sofort ein Beispiel für eine Gruppe, bei der die
+  Konjugationswirkung auf $G$ treu ist!  Finden Sie sofort ein Beispiel für eine
+  Gruppe, bei der diese Wirkung nicht treu ist, sondern trivial!
+\end{bsp}
+
+Die Konjugationswirkung ist natürlich besonders wichtig.  Die relevanten
+Isotropie- und Stabilisatorgruppen haben deshalb besondere Namen.
+
+\begin{defn}[Zentralisator]
+  Es sei $G$ eine Gruppe.  Wir betrachten die Konjugationswirkung von $G$ auf
+  sich selbst.  Gegeben eine Teilmenge $M ⊂ G$, dann wird die Untergruppe
+  $\Iso(M) ⊆ G$ auch als \emph{Zentralisator}\index{Zentralisator} von $M$
+  bezeichnet.  Die Untergruppe $\Iso(G) ⊆ G$ wird als \emph{Zentralisator von
+    $G$} oder \emph{Zentrum von $G$}\index{Zentrum} bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{beobachtung}
+  Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann im Zentralisator von $M$, wenn es mit
+  jedem Element aus $M$ kommutiert.  In anderen Worten, wenn für jedes Element
+  $m ∈ M$ die Gleichung $g·m = m·g$ gilt.  Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann
+  im Zentralisator von $G$, wenn es mit jedem Element kommutiert.
+\end{beobachtung}
+
+Neben der Konjugation von einzelnen Elementen betrachtet man in der
+Gruppentheorie häufig auch noch die induzierte Konjugationswirkung auf der Menge
+der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
+
+\begin{bsp}[Konjugation von Untergruppen]\label{bsp:konUG}
+  Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift
+  \[
+    G⨯ \bigl\{ \text{Untergruppen von }G \bigr\} → \bigl\{ \text{Untergruppen
+      von }G \bigr\}, \quad (g,H) ↦ g· H·g^{-1}
+  \]
+  eine Wirkung von $G$ auf der Menge aller Untergruppen definiert.  Diese wird
+  ebenfalls als \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung}
+  bezeichnet.  Eine Untergruppe $N ⊆ G$ ist genau dann normal, wenn
+  $N ∈ \{ \text{Untergruppen} \}$ ein Fixpunkt dieser Wirkung ist.
+\end{bsp}
+
+\begin{defn}[Normalisator einer Untergruppe]\label{defn:normalisator}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und $U ⊆ G$ sei eine Untergruppe.  Betrachte die
+  Konjugation von Untergruppen aus Beispiel~\ref{bsp:konUG}.  Dann wird die
+  Untergruppe $\Iso(U)$ als \emph{Normalisator von $U$}\index{Normalisator}
+  bezeichnet.  Die Bezeichnung $N(U)$ ist üblich.
+\end{defn}
+
+\begin{achtung}
+  In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge
+  \[
+    M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}
+  \]
+  Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$.  Also ist
+  $\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen!
+\end{achtung}
+
+\begin{bemerkung}
+  In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine
+  Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen
+  $U ⊆ N(U) ⊆ G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale
+  Untergruppe von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe
+  $N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.
+  Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau?
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Die Bahnengleichung}
+
+\sideremark{Vorlesung 19}Wenn eine Gruppe auf eine Menge wirkt, dann gibt es
+natürlich einen Zusammenhang zwischen der Größe der Bahn und der Größe der
+Isotropiegruppe.  Der folgende Satz quantifiziert das.
+
+\begin{satz}[Bahnengleichung]\label{Satz_Seite_156_und_157}
+  Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiert.  Weiter sei
+  $m ∈ M$.  Dann gilt die folgende Gleichung,
+  \begin{equation*}
+    |G| = |\Iso(m)|·|G·m|.
+  \end{equation*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Betrachte die Abbildung
+  \[
+    φ : G → G·m, \quad g ↦ g·m.
+  \]
+  Jedes Element von $G$ liegt genau in einer Faser.  Also ist
+  \[
+    |G| = \sum_{n ∈ G·m} |φ^{-1}(n)|.
+  \]
+  Wir rechnen die Größe der Fasern einfach aus.  Gegeben ein Element $h·m$ der
+  Bahn, dann gilt für jedes Gruppenelement $g ∈ G$:
+  \begin{align*}
+    g ∈ φ^{-1}(h·m) & ⇔ g·m = h· m \\
+                      & ⇔ h^{-1}· g· m = m \\
+                      & ⇔ (h^{-1} · g)∈ \Iso(m) \\
+                      & ⇔ g∈ h· \Iso(m).
+  \end{align*}
+  Also ist $φ^{-1}(h·m) = h· \Iso(m)$.  Diese Gruppe enthält aber genau so viele
+  Elemente wie $\Iso(m)$.
+\end{proof}
+
+Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer
+Untergruppe'' eingeführt.  Ich wiederhole das noch einmal.
+
+\begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen]
+  Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$
+  durch Linksmultiplikation.  Die Bahn eines Elements $g ∈ G$ unter dieser
+  Operation, $U· g = \{u· g \::\: u∈ U\}$ heißt
+  \emph{Rechtsnebenklasse}\index{Rechtsnebenklasse} von $g$ modulo $U$.  Die
+  Menge der Rechtsnebenklassen wird mit $\ifactor{U}{G}$ bezeichnet, die Anzahl
+  der Rechtsnebenklassen heißt \emph{Index}\index{Index der Untergruppe $U ⊆ G$}
+  und wird in der Literatur mit $[G:U]$ bezeichnet.
+\end{bsp}
+
+\begin{bemerkung}
+  In der Literatur wird der Index manchmal auch mit Rechtsmultiplikation und
+  Linksnebenklassen eingeführt.  Diese Definition stimmen überein!
+\end{bemerkung}
+
+Für den Fall der Linksmultiplikation wird die Bahnengleichung auch als Satz von
+Lagrange\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis
+    de Lagrange} (* 25.  Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; †
+  10.  April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}
+bezeichnet.
+
+\begin{satz}[Satz von Lagrange]\label{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz}
+  Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $U ⊂ G$ eine Untergruppe.  Dann ist
+  $|G| = [G:U]·|U|$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Die Gruppe $G$ wirkt wie folgt auf der Menge $U\backslash G$ der
+  Rechtsnebenklassen,
+  \[
+    G ⨯ \Bigl( \ifactor{U}{G} \Bigr) → \ifactor{U}{G}, \quad (g, U·h) ↦
+    U·hg^{-1}.
+  \]
+  Überlegen Sie sich, dass dies tatsächlich eine (wohldefinierte!)
+  Gruppenwirkung ist, dass diese Wirkung transitiv ist und dass $\Iso(U·e)=U$
+  ist.  Der Satz von Lagrange folgt dann sofort aus der Bahnengleichung,
+  Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Interessant ist wieder die Operation der Gruppe $G$ auf sich selbst durch
+  Konjugation.  Wenn $h ∈ G$ ist, dann gilt nach der Bahnengleichung die
+  Gleichheit
+  \begin{equation*}
+    |\{ ghg^{-1} \::\: g∈ G \}| = [G : \Zentralisator(h)].
+  \end{equation*}
+  Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der
+  Gruppenordnung $|G|$.  Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges
+  Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
+  disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die
+  \emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung}
+  \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I}
+    |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)]
+  \end{equation}
+  Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders.  Dazu beobachte man,
+  dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente
+  sind, deren Konjugationsklassen nur aus einem Element bestehen.  Also gilt
+  \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_II}
+    |G| = |\Zentralisator(G)| + \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{h_i \text{ mit}}{[G:\Zentralisator(h_i)]>1}} [G:\Zentralisator(h_i)]
+  \end{equation}
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Restklassengruppen}
+
+``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange.  Der
+lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch
+einmal auf.  Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine
+elegante universelle Eigenschaft formulieren.
+
+\begin{defn}[Restklassengruppen]
+  Es sei $G$ eine Gruppe und $N ⊂ G$ sei eine normale Untergruppe.  Eine
+  \emph{Restklassengruppe}\index{Restklassengruppe} oder
+  \emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit
+  einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass
+  folgende universelle Eigenschaft gilt.  Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$
+  mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus
+  $β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  \[
+    \begin{tikzcd}
+      G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\
+      G \ar[r, "α"'] & H
+    \end{tikzcd}
+  \]
+\end{defn}
+
+Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassengruppen
+eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie, falls sie überhaupt existieren.
+
+\begin{satzdef}[Existenz von Restklassengruppen]
+  Es sei $G$ eine Gruppe und des sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe.  Dann
+  lässt sich auf der Menge der Linksnebenklassen,
+  \[
+    \factor{G}{N} = \{g· N \::\: g∈ G\}
+  \]
+  auf genau eine Weise eine Gruppenstruktur erklären, sodass die
+  Quotientenabbildung
+  \begin{equation*}
+    q : G → \factor{G}{N}, \quad g ↦ g· N
+  \end{equation*}
+  ein Gruppenmorphismus ist.  Dies ist dann automatisch ein Gruppenquotient.
+  \qed
+\end{satzdef}
+
+\begin{satz}[Homomorphiesatz für Gruppen]
+  Es sei $α : G → H$ ein surjektiver Gruppenmorphismus.  Dann ist $\ker(α)$
+  normal und $H ≅ G/\ker α$.  \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Normale Untergruppen unten und oben]\label{Satz_Seite_160}
+  Es sei $α : G → H$ ein Gruppenmorphismus.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_1} Das Bild einer Untergruppe von $G$ ist
+    eine Untergruppe von $H$ und das Urbild einer Untergruppe von $H$ ist eine
+    Untergruppe von $G$.
+    
+  \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_2} Das Urbild eines Normalteilers von $H$
+    ist ein Normalteiler von $G$ und das Bild eines Normalteilers von $G$ ist
+    ein Normalteiler in $H$, wenn $α$ surjektiv ist.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Sehr ähnlich zum analogen Satz für Ideale,
+  Satz~\vref{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}.  \qed
+\end{proof}
+
+\begin{beobachtung}\label{beo:xx}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe.  Weiter
+  sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe.  Dann ist
+  \[
+    U· N =\{u· n \::\: u∈ U, n∈ N\}
+  \]
+  wieder eine Untergruppe.  Zum Beweis müssen wir lediglich zeigen, dass $U·N$
+  abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist.  Mit anderen Worten, wir müssen
+  zeigen, dass für alle $n_1$, $n_2 ∈ N$ für alle $u_1$, $u_2 ∈ U$ die Inklusion
+  \begin{equation*}
+    (u_1· n_1)· (u_2· n_2) ∈ U· N
+  \end{equation*}
+  gilt.  Wir wissen, dass $N$ normal ist. Also ist
+  $\widetilde{n_1} := u_2^{-1} n_1u_2 ∈ N$ und es gilt
+  $n_1u_2=u_2\widetilde{n_1}$.  Demnach ist
+  \begin{equation*}
+    u_1n_1u_2n_2=u_1u_2·\widetilde{n_1}n_2∈ U· N.
+  \end{equation*}
+  Fertig ist der Beweis.  Man beachte: wenn $N$ nicht normal ist, ist diese
+  Beobachtung im Allgemeinen ganz falsch!
+\end{beobachtung}
+
+Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn.
+
+\begin{satz}[Erster Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Erster_Noetherscher_Isomorphiesatz}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe.  Weiter
+  sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe.  Dann induziert der die komponierte
+  Abbildung
+  \begin{equation*}
+    \begin{tikzcd}
+      U \ar[r, hook] & G \ar[r, "q"] & \factor{G}{N}
+    \end{tikzcd}
+  \end{equation*}
+  einen Isomorphismus $U/(U∩N) ≅ (U·N)/N$.  \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Zweiter Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $N_2 ⊂ N_1⊂ G$ zwei Normalteiler.  Dann
+  ist $N_1/N_2$ normal in $G/N_2$ und
+  \begin{equation*}
+    \factor{ \factor{G}{N_2} }{ \factor{N_1}{N_2} } ≅ \factor{G}{N_1}.  \eqno \qed
+  \end{equation*}
+\end{satz}
+
+
+\section{Zyklische Gruppen und die Ordnung von Elementen}
+
+Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des
+Primkörpers eines Körpers.  Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$.  Die
+Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen.  Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine
+Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$
+\begin{equation*}
+  n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U.
+\end{equation*}
+Analog für negative $n$.  Also ist $U$ ein Ideal und deshalb von der Form
+$U= (α)$.
+
+\begin{beobachtung}\label{beob:lx}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g∈ G$ ein Element.  Dann existiert genau
+  ein Gruppenmorphismus $ζ : ℤ → G$ mit $ζ(1) = g$.  Für positive Zahlen $n$ ist
+  \begin{equation*}
+    ζ(n) = \underbrace{g ⋯ g}_{n⨯},
+  \end{equation*}
+  für negative Zahlen analog.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{defn}[Zyklische (Unter)gruppe, primitives Element]
+  Es sei $G$ eine Gruppe.
+  \begin{itemize}
+  \item Gegeben ein Element $g ∈ G$, sei $ζ$ die Abbildung aus
+    Beobachtung~\ref{beob:lx}.  Das Bild von $ζ$ heißt die \emph{von $g$
+      erzeugte zyklische Untergruppe}\index{Zyklische Untergruppe}.  Das Bild
+    von $ζ$ wird oft $(g)$ geschrieben.
+    
+  \item Die Gruppe $G$ heißt \emph{zyklisch}\index{zyklische Gruppe}, wenn ein
+    $g∈ G$ existiert, sodass $G = (g)$ ist.  Man nennt $g$ dann ein
+    \emph{primitives Element von $G$}\index{primitives Element einer zyklischen
+      Gruppe}.
+  \end{itemize}
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Eine zyklische Gruppe ist also entweder isomorph zu $(ℤ,+)$ oder zu einer
+  endlichen Gruppe der Form $ℤ/(n)$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{defn}[Ordnung von Gruppenelementen]\label{def:orge}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und $g∈ G$ sei ein Element.  Die \emph{Ordnung von
+    $g$}\index{Ordnung!eines Gruppenelements} ist die Ordnung der Gruppe $(g)$.
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  In der Situation von Definition~\ref{def:orge} ist die Ordnung von $g$
+  entweder $∞$ oder $n ∈ ℕ$, wobei $n$ die kleinste Zahl mit $g^n=e$ ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}\label{Satz_Seite_163}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_1} Gilt $g^m=e$ für ein $m ∈ ℤ$, dann ist
+    die Ordnung von $g$ ein Teiler von $m$.
+    
+  \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_2} Wenn die Ordnung von $g$ gleich $m$ ist
+    und $n ∈ ℕ$ irgendeine weitere Zahl, dann hat $g^n$ die Ordnung
+    $m/ \ggT(n,m)$.  Insbesondere gilt Folgendes.
+    \begin{itemize}
+    \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m$, falls $\ggT(n,m)=1$ ist.
+      
+    \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m/n$, falls $n$ ein Teiler von $m$
+      ist.  \qed
+    \end{itemize}
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{beobachtung}\label{beo:pe}
+  Es sei $G$ zyklisch der Ordnung $m$ und es sei $g ∈ G$ ein primitives Element.
+  Dann folgt aus Satz~\ref{Satz_Seite_163}, dass die Menge der primitiven
+  Elemente sind exakt die folgende Menge ist,
+  \begin{equation*}
+    \{ g^a \::\: 1 ≤ a ≤ m: \ggT(a,m)=1\}.
+  \end{equation*}
+\end{beobachtung}
+
+Die Größe der Menge aus Beobachtung~\ref{beo:pe} ist eine Zahl, die später bei
+der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
+noch sehr wichtig wird.  Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der
+primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird
+Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard
+    Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.  April 1707 in Basel; † 7.
+  Septemberjul./ 18.  September 1783greg.  in Sankt Petersburg) war ein
+  Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
+$φ$-Funktion genannt.
+
+\begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion]
+  Man nennt die Funktion
+  \begin{equation*}
+    φ : ℕ → ℕ, \quad m ↦ \# \{a∈ ℕ \::\: 1≤ a≤ m: \ggT(a,m) = 1\}
+  \end{equation*}
+  die \emph{Eulersche $φ$-Funktion}\index{Eulersche $φ$-Funktion}.
+\end{defn}
+  
+\begin{bsp}
+  Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch.  Abgesehen von dem
+  neutralen Element sind alle Elemente primitiv.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}
+  Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln,
+  \[
+    \Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ,
+  \]
+  also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation
+  eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.  Die primitiven Erzeuger heißen
+  \emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}.  Die Gruppe
+  der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
+  Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch
+  Spiegelungen.  Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}.
+  Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2· n$ und ist nicht abelsch.
+\end{bsp}
+
+Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
+  Sei $R$ ein Integritätsring und $G ⊂ R^*$ sei eine endliche (multiplikative)
+  Gruppe.  Dann ist $G$ zyklisch.
+\end{satz}
+
+Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
+zuerst zwei kleine Lemmas.  Das erste können Sie selbst beweisen.
+
+\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}
+  Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die
+  kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}.  Weiter sei
+  $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$.  Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$.  \qed
+\end{lemma}
+
+\begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen}
+  Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und es sei
+  $m := \max \{\ord g \::\: g∈ G\}$.  Dann gilt für alle $g∈ G$ die Relation
+  $(\ord g)| m$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Seien $\ord g = \prod_{\{p\}}p^{ν_p}$ und $m = \prod_{\{p\}}p^{μ_p}$ die
+  Primfaktorzerlegungen von $\ord g$ und von und $m$.  Weiter sei $h∈ G$ ein
+  Element mit $\ord h =m$ und $g∈ G$ sei irgendein Element.  Gegeben eine
+  Primzahl $p$, so schreiben wir
+  \begin{equation*}
+    \ord g = p^{ν_p}· n_p\quad\text{und}\quad \ord h = m = p^{μ_p}· m_p;
+  \end{equation*}
+  dabei gilt $p \nmid n_p$ und $p \nmid m_p$ gilt.  Weil $p$ und $n_p$
+  beziehungsweise $m_p$ sogar teilerfremd sind, gilt
+  \begin{equation*}
+    \ord g^{n_p} = p^{ν_p} \quad\text{und}\quad \ord h^{p^{μ_p}} = m_p.
+  \end{equation*}
+  Also folgt aus Lemma~\vref{Lemma_vor_Ordnung_teilen}, dass
+  \begin{equation*}
+    \ord \bigl(g^{n_p}· h^{p^{μ_p}} \bigr) = p^{ν_p}· m_p≤ m = p^{μ_p}· m_p
+  \end{equation*}
+  ist, wobei die Ungleichung gilt, weil $m$ das Maximum war.  Also folgt
+  $ν_p < μ_p$.  Weil das für jede Primzahl gilt, folgt $(\ord g)|m$ gelten.
+\end{proof}
+
+Mit dieser Vorbereitung können wir jetzt den Satz über die Untergruppen von
+$R^*$ beweisen.
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}]
+  Jeder Integritätsring ist in seinen Quotientenkörper eingebettet.  Deshalb
+  können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $R$ ein Körper ist.  Nach
+  Lemma~\vref{Lemma_Ordnung_teilen} gilt dann mit
+  \[
+    m := \max \{ \ord g \::\: g∈ G \}
+  \]
+  für alle $g ∈ G$, dass $g^m=1$ ist.  Die Elemente aus $G$ sind also alles
+  Nullstellen des Polynoms $x^m-1∈ R[x]$.  Nun gibt es einerseits höchstens $m$
+  solche Nullstellen, andererseits ist für ein $h ∈ G$ mit $\ord h =m$ schon
+  \begin{equation*}
+    (h) = \{h^n \::\: n ∈ ℤ\}⊂ G
+  \end{equation*}
+  eine Menge mit $m$ Elementen.  Also ist $G = (h)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wenn $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist, dann ist $\# K^* = q-1$.
+  Wir haben gesehen, dass $K^*$ aus den Nullstellen des Polynoms
+  $x^{q-1}-1 ∈ 𝔽_p[x] ⊂ K[x]$ besteht, wobei $p$ die Charakteristik von $K$ ist.
+  Also hat $x(x^{q-1}-1)=x^q-x$ alle Elemente von $K$ als Nullstelle.  Das gibt
+  einen einfachen Beweis für die Klassifikation endlicher Körper.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Der kleine Satz von Fermat}
+
+Der kleine Satz von
+Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
+    Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
+  heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12.  Januar 1665 in Castres) war ein
+  französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage,
+die sich trivial aus dem Gesagten ergibt.  Wir halten die Aussage für spätere
+Anwendungen noch einmal fest.
+
+\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat}
+  Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ irgendeine Zahl.  Dann ist
+  $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar.  Ansonsten liefert
+  die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element
+  $\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe
+  $𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat.  Nach
+  Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die
+  Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler
+  von $|𝔽^*_p| = p-1$.  Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder
+  äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}
+  Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die
+  äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder
+  $p|(a^{p-1}-1)$.
+\end{bemerkung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

18.tex

@@ -0,0 +1,448 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Die Sätze von Sylow}
+\label{chap:18}
+
+\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur
+Struktur endlicher Gruppen.  Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine
+endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$.  Dann ist wissen wir schon,
+dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$.  Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
+auch tatsächlich eine Untergruppe?  Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
+von
+Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
+    Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.  Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7.
+  September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
+  Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
+
+\begin{notation}
+  Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
+\end{notation}
+
+
+\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy}
+
+Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
+die folgende.
+
+\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
+  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
+  operiert.  Weiter sei
+  \begin{equation*}
+    M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
+  \end{equation*}
+  die Menge der Fixpunkte.  Dann ist
+  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen
+  Bahnen, die mehr als ein Element haben.  Wir bezeichnen diese Bahnen mit
+  $B_1, …, B_n$.  Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
+  \begin{equation*}
+    |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|,
+  \end{equation*}
+  Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
+  die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind.  Also ist $|B_i|$ ein
+  Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung
+  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+\end{proof}
+
+Der Satz von
+Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
+    Cauchy} (* 21.  August 1789 in Paris; † 23.  Mai 1857 in Sceaux) war ein
+  französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
+endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
+Ordnung zu beweisen.
+
+\begin{satz}[Satz von Cauchy]\label{Satz_von_Cauchy}
+  Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert
+  ein Element von Ordnung $p$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Sei $G$ die Gruppe.  Betrachte die Menge
+  \begin{equation*}
+    M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}.
+  \end{equation*}
+  Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass
+  der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt
+  ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$.  Wir erhalten die folgende Gleichung,
+  \begin{equation}\label{eq:x78}
+    |M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}.
+  \end{equation}
+
+  Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
+  zentrale Schlüssellemma anwenden.  Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
+  $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
+    Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch
+    $b· a = e$ gilt.  Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch
+    die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$,
+    $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}.  Die Fixpunktmenge
+  dieser Wirkung ist
+  \[
+    M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
+  \]
+  Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist.  Auf der
+  anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass
+  \[
+    |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M|
+    \overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod}
+    p)
+  \]
+  ist.  Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$.  Nach
+  Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$.
+\end{proof}
+
+
+\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen}
+
+Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
+besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
+folgende Definition beschreibt den Extremfall.
+
+\begin{definition}[$p$-Gruppe]
+  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
+  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]
+  Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$
+  gibt, sodass $|G|=p^n$ ist.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
+  teilt, also eine Potenz von $p$.  Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
+  gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt.  Nach
+  Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein
+  Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+  Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich
+  selbst durch Konjugation.  Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das
+  Zentrum von $G$.  Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl},
+  dass
+  \begin{equation*}
+    |\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p).
+  \end{equation*}
+  Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$.
+\end{proof}
+
+Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm.  In
+dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
+enthalten sind.  Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
+besonders gut.
+
+\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}
+  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
+    $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+  In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal
+  bezüglich Inklusion''.  Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil
+  $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist.  Für \emph{endliche} Gruppen ist die
+  Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{lem}
+  Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine
+  $p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.  Dann ist die Untergruppe
+  $g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe.  Insbesondere gilt: wenn
+  es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein
+  Normalteiler von $G$.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente.  Um zu
+  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur
+  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist.  Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe,
+  die $g·G_p·g^{-1}$ enthält.  Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$.  Also ist
+  $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}
+  Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$.  Wie in
+  Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$.  Dann
+  gilt
+  \begin{equation*}
+    [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p).
+  \end{equation*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der
+  Linksnebenklassen,
+  \[
+    M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}.
+  \]
+  Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung.  Wann ist eine
+  Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung?  Antwort: es ist
+  \begin{align*}
+    g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\
+              & ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\
+              & ⇔ g^{-1}·U·g = U \\
+              & ⇔ g ∈ N(U).
+  \end{align*}
+  Also ist
+  \begin{equation*}
+    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere
+  \end{equation*}
+\end{proof}
+      
+\begin{kor}
+  Mit den gleichen Voraussetzungen wie in
+  Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$
+  teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$.  Wegen der
+  zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$.
+\end{proof}
+
+
+\section{Die Sätze von Sylow}
+
+Die Sätze von Sylow\index{Sylow-Sätze} geben Auskunft über Existenz von
+$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen.  Sie geben auch Auskunft
+darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind.
+
+\begin{satz}[Erster Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Eins}
+  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$
+  sei.  Dann gelten folgende Aussagen.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert
+    eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$.
+    
+  \item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede
+    Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung
+    $p^{i+1}$.
+  \end{enumerate}
+  Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{20-1}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Zwei}
+  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu
+  jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass
+  $g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist.  Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$
+  zueinander konjugiert.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{20-2}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Drei}
+  Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen
+  Gruppe $G$.  Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$.  Weiterhin ist
+  $s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{20-3}
+\end{proof}
+
+
+\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders}
+
+Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal
+ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge
+$\{1, 2, 3, 4 \}$.  Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades
+auszurechnen, interessieren uns die besonders für die Untergruppen von $S_4$.
+
+
+\subsection{Geometrische Interpretation}
+
+Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders interpretieren,
+wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt.  Schauen Sie aber auf jeden
+Fall auch einmal in den
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur
+  Tetraedergruppe}.
+
+\begin{figure}
+  \centering
+
+  \begin{tikzpicture}[scale=.75]
+    \def \hoeheEins {0.25}
+    \def \hoeheZwei {2.0}
+    \def \weiteEins {0.5}
+    \def \weiteZwei {1.5}
+    \def \labelshift {.75}
+    
+    \node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {};
+    \node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {};
+    \node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {};
+    \node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {};
+    \foreach \X in {1,2,3,4}{
+      \fill (\X) circle (0.05);
+    }
+    \path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3);
+    \draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2);
+    \draw[dashed] (1)--(3);
+  \end{tikzpicture}
+  
+  \caption{Tetraeder}
+  \label{fig:tetraeder}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe}
+
+Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation.  Ich
+frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt.  Die Antwort kennen Sie
+wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im
+Zusammenhang mit der Konstruktion von
+Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
+    Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.  Januar 1838 in
+  Lyon; † 21.  Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen
+diskutiert.  Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind,
+wiederhole ich die Sache noch einmal.
+
+\begin{fakt}
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
+  Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche)
+    Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist.
+    Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den
+  Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $S_n$.  \qed
+\end{fakt}
+
+Die Bijektion sieht so aus:
+\begin{itemize}
+\item Wenn eine Permutation $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als
+  Produkt disjunkter Zykel schrieben, zum Beispiel so
+  \[
+    σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8.
+  \]
+  Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3.  Ich erhalte
+  die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$.  In der Sprache dieser Vorlesung betrachten
+  wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$.  Diese Gruppe wirkt
+  auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$.  Die Zykel sind dann die Bahnen
+  der $H$-Wirkung auf $M_8$.
+
+\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind
+  die trivialerweise zueinander konjugiert.  Statt großer Theorie erkläre ich
+  das an einem Beispiel.  Gegeben seien
+  \[
+    σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236).
+  \]
+  Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch
+  \begin{align*}
+    g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\
+    g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8
+  \end{align*}
+  und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist.  Ich vermute, Sie durchschauen das
+  System.  Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet.
+  
+\item Jede Partition tritt auf.  Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition
+  $(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation
+  $σ = (12)(345)(678)$.
+\end{itemize}
+
+Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4}
+zusammengefasst.
+
+\begin{table}
+  \centering
+
+  \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}}
+    \text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\
+    \hline
+    abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em]
+    aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em]
+    aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em]
+    aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em]
+    aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6
+  \end{tabular}
+  
+  \caption{Konjugationsklassen in $S_4$}
+  \label{fig:ks4}
+\end{table}
+
+
+\subsection{Die Untergruppen von $S_4$}
+
+Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$.  Potenzielle Untergruppen
+können also nur die folgenden Ordnungen haben.
+\begin{description}
+\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein.
+  
+\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen, also der Kern der
+  Signums-Abbildung, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe
+  von Ordnung 12.  Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung
+  12 existieren.
+  
+\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.  Die Anzahl $s_2$
+  der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter
+  Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit
+  $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir
+  wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes
+  Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten
+  ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt.
+  Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.  Also ist $s_2 = 3$.
+  
+\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
+  
+\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe
+  der Ordnung 4.  Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen
+  existieren.
+  
+\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein.  Diese
+  Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3
+  haben.  Also sind die 3-Sylowuntergruppe zyklische Gruppen, die von Drehungen
+  um Ecken erzeugt werden.  Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$
+  Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische
+  Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit).
+  
+\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung
+  zwei (=Spiegelung bzw.  Drehung um eine Achse) erzeugt werden
+  
+\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein.
+\end{description}
+
+Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie
+man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt.  Wenn man in
+Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht
+man, dass $D_4$ die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$
+ist.  Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe.  Am Tetraeder lässt
+sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung
+$(13)(24)$ interpretieren.  Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als
+Untergruppen von $D_4$.  Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch
+Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2.  Der Vollständigkeit halber sind
+in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von
+Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet.  In der Summe sehen Sie 30
+Untergruppen.
+
+\begin{fazit}
+  Ein Zerfällungskörper eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30
+  Zwischenkörper.  \qed
+\end{fazit}
+
+\begin{table}
+  \centering
+
+    \begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
+    \text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\
+    \hline
+    S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\
+    A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\
+    D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\
+    S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\
+    ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\
+    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\
+    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\
+    ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\
+    ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\
+    ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\
+    \{e\} & & 1 & 1\\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Untergruppen von $S_4$}
+  \label{fig:ugs4}
+\end{table}
+
+      
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

19.tex

@@ -0,0 +1,176 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Abelsche Gruppen}
+\label{chap:19}
+
+\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch.  Bevor wir
+uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen
+auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall.  Im
+Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt
+dünn.  Zeit zum Luftholen!
+
+\begin{notation}
+  Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen
+  (fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden.  Das neutrale
+  Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet.
+\end{notation}
+
+\begin{notation}
+  Gegeben zwei Abelsche Gruppen $(G_1, +)$ und $(G_2, +)$, dann ist auch das
+  Produkt $G_1 ⨯ G_2$ eine Abelsche Gruppe, wenn ich die Gruppenverknüpfung
+  komponentenweise definiere.  Die so konstruierte Produktgruppe wird auch mit
+  $G_1 ⊕ G_2$ bezeichnet.
+\end{notation}
+
+\begin{konstruktion}
+  Es sei $(G, +)$ eine abelsche Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.  Wir
+  hatten schon in Beobachtung~\ref{beob:lx} gesehen, dass dann genau ein
+  Gruppenmorphismus $ζ_g : ℤ → G$ mit $ζ_g(1) = g$ existiert.  Wir definieren
+  dann eine Abbildung
+  \[
+    α : ℤ⨯G → G, \quad (n,g) ↦ ζ_g(n).
+  \]
+  Das lässt sich natürlich auch ganz elementar so hinschreiben,
+  \[
+    (n,g) ↦
+    \left\{
+      \begin{matrix}
+        0_G & \text{falls $n = 0$} \\
+        \underbrace{g + ⋯ + g}_{n⨯} & \text{falls $n > 0$} \\
+        \underbrace{(-g) + ⋯ + (-g)}_{n⨯} & \text{falls $n < 0$.} \\
+      \end{matrix}
+    \right.
+  \]
+  Statt $α(n,g)$ schreiben wir auch kurz $n·g$.  Die Abbildung $α$ sieht aus wie
+  die skalare Multiplikation, die wir von Vektorräumen kennen.  Natürlich ist
+  $G$ kein Vektorraum, denn $ℤ$ ist kein Körper.  Stattdessen nennt man $G$
+  einen \emph{$ℤ$-Modul}\index{$ℤ$-Modul}.  Ein Modul ist wie ein Vektorraum
+  aber nicht über einem Körper, sondern über einem Ring (genaue Definition auf
+  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Wikipedia}).  Die
+  $ℤ$-Wirkung definiert dabei die skalare Multiplikation.  Die Annahme, dass $G$
+  abelsch ist, benötigen wir für das Distributivgesetz, mit anderen Worten:
+  \begin{equation*}
+    n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G.
+  \end{equation*}
+  Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als
+  Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''.
+\end{konstruktion}
+
+Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches
+Erzeugendensystem gibt.  Das geht genau so bei Gruppen.
+
+\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln]
+  Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte
+    abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt,
+  sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination
+  \begin{equation*}
+    g=\sum n_i·g_i
+  \end{equation*}
+  darstellen lässt.  Man nennt die Menge $M := \{g_1, …, g_r\}$ dann ein
+  \emph{Erzeugendensystem}\index{Erzeugendensystem für Abelsche Gruppe} von $G$.
+  Wenn die Menge $M$ zusätzlich $ℤ$-linear unabhängig ist, dann nennt man $M$
+  eine \emph{Basis}\index{Basis für Abelsche Gruppe}.  Eine endlich erzeugte
+  abelsche Gruppe heißt \emph{frei}\index{freie Abelsche Gruppe}, wenn sie eine
+  Basis hat.
+\end{definition}
+
+Bevor Sie weiter lesen: finden Sie eine nicht-triviale Abelsche Gruppe ohne
+Basis.  Der folgende Satz, dessen Beweis ich mir hier spare, wird Sie vermutlich
+nicht überraschen.  Man muss beim Beweis natürlich aufpassen, weil man im
+Gegensatz zu Fall von Vektorräumen (die ja über Körpern definiert sind) in $ℤ$
+nicht immer dividieren kann.
+
+\begin{satzdef}[Rang einer Abelschen Gruppe]
+  Es sei $G$ eine endlich erzeugte, freie Abelsche Gruppe.  Dann sind alle Basen
+  endlich und je zwei Basen haben gleich viele Elemente.  Die Anzahl der
+  Elemente in einer Basis wird \emph{Rang}\index{Rang einer freien Abelschen
+    Gruppe} genannt.  \qed
+\end{satzdef}
+
+Wenn $K$ ein Körper ist, dann sind die einfachsten Vektorräume die Produkte
+$K^n$ (wobei die Vektorraumaddition komponentenweise definiert ist).  Das geht
+mit Abelschen Gruppen ganz genau so.
+
+\begin{bsp}
+  Die einfachste freie Abelsche Gruppe ist $ℤ^r$, wobei die Gruppenverknüpfung
+  komponentenweise definiert ist.  Die Einheitsvektoren
+  $\vec{e}_1, …, \vec{e}_r$ bilden eine Basis.
+\end{bsp}
+
+Jeder endlich-dimensionale $K$-Vektorraum $V$ ist auf nicht-kanonische Weise
+isomorph zu $K^{\dim V}$.  Auch das geht mit Abelschen Gruppen genau so.
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $G$ eine endlich-erzeugte, freie abelsche Gruppe $G$ mit Basis
+  $\{g_1, …, g_r \}$.  Dann ist die Abbildung
+  \begin{equation*}
+    ℤ^r → G, \quad (n_1, …, n_r) ↦ \sum n_i·g_i
+  \end{equation*}
+  ein Isomorphismus von Gruppen.
+\end{beobachtung}
+
+Aber Achtung!  Nicht alles, was wir aus der linearen Algebra kennen, gilt auch
+für Abelsche Gruppen.  Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss.
+
+\begin{warnung}
+  Im Gegensatz zur Theorie der Vektorräume kann man Basen von Abelschen Gruppen
+  nicht einfach dadurch erhalten, dass man ausreichend viele Elemente eines
+  Erzeugendensystems weg lässt.
+  \begin{enumerate}
+  \item In $ℤ/(n)$ ist das Element $1+(n)$ ein Erzeuger, aber keine Basis.
+    
+  \item In $ℤ$ ist $\{2, 3\}$ ein Erzeugendensystem, aber weder 2 noch 3
+    erzeugen $ℤ$.
+  \end{enumerate}
+\end{warnung}
+
+Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert
+die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt.
+Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen.
+Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln
+über Hauptidealringen.  Die Tatsache, dass $ℤ$ ein Hauptidealring ist, spielt im
+Beweis eine große Rolle.
+
+\begin{satz}[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]\label{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen}
+  Es sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.  Dann gibt es eindeutig
+  bestimmte Zahlen $r$, $t$ aus $ℕ$ sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen
+  $1 < a_1 ≤ … ≤ a_t$, sodass $G$ isomorph zu folgender Gruppe ist,
+  \begin{equation*}
+    ℤ^r⊕ ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_t).  \eqno \qed
+  \end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{notation}
+  In der Situation von
+  Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} wird der Summand
+  $ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_n)$ als \emph{Torsionsanteil von $G$}\index{Torsionsanteil
+    einer Abelschen Gruppe} bezeichnet.  Die Zahlen $a_•$ heißen
+  \emph{Elementarteiler von $G$}\index{Elementarteiler einer Abelschen Gruppe}.
+  Der Summand $ℤ^r$ wird der \emph{freie Anteil von $G$}\index{freier Anteil
+    einer Abelschen Gruppe} genannt.
+\end{notation}
+
+\begin{beobachtung}
+  In der Situation von
+  Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} ist der
+  Torsionsanteil als Untergruppe von $G$ eindeutig bestimmt.  Es ist nämlich
+  \begin{equation*}
+    \text{Torsionsanteil} = \{g ∈ G \::\: \ord g < ∞\}.
+  \end{equation*}
+  Der freie Anteil ist isomorph zur Quotientengruppe
+  $G / \text{Torsionsanteil}$.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{warnung}
+  Im Gegensatz zum Torsionsanteil ist der freie Anteil einer Abelschen Gruppe
+  \emph{nicht} eindeutig bestimmt.  Betrachten Sie die Gruppe $G = ℤ ⊕ ℤ/(7)$
+  und finden Sie sofort zwei unterschiedliche Untergruppen von $G$, die beide
+  isomorph zu $ℤ$ sind!
+\end{warnung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

20.tex

@@ -0,0 +1,229 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Auflösbare und einfache Gruppen}
+\label{chap:20}
+
+\section{Auflösbare Gruppen: teile und herrsche}
+
+Abelsche Gruppen sind leicht zu verstehen, andere Gruppen eher nicht.  Eine
+mögliche Herangehensweise, um eine gegebene Gruppe $G$ zu verstehen, ist es,
+einen Normalteiler $N ⊂ G$ zu finden, und die Sequenz
+\begin{equation*}
+  N → G → \factor{G}{N}
+\end{equation*}
+zu betrachten.  Damit ist das Problem nicht gelöst, aber immerhin in
+Teilaufgaben unterteilt.
+\begin{itemize}
+\item Zuerst muss man die Gruppen $N$ und $G/N$ verstehen.  Diese Gruppen sind
+  kleiner als $G$ und damit hoffentlich leichter zu untersuchen.  Wenn man ganz
+  viel Glück hat, sind $N$ oder $G/N$ vielleicht sogar Abelsch.
+  
+\item Am Ende muss man verstehen, wie sich die Gruppe $G$ aus $N$ und $G/N$
+  zusammensetzt.
+\end{itemize}
+Falls die Gruppen $G$ und $G/N$ immer noch zu kompliziert sind, kann man
+vielleicht denselben Trick anwenden, um auch diese Gruppen weiter zu
+unterteilen.
+
+\begin{bsp}
+  Es sei $G$ ist die Gruppe der affinen Transformationen der Ebene $ℂ²$.  In der
+  linearen Algebra haben wir die Gruppe vermutlich schon untersucht und dabei
+  festgestellt, dass sich jede affine Transformation als Komposition einer
+  Translation und einer linearen Abbildung schreiben lässt.  Eine genauere
+  Untersuchung zeigt: Die Gruppe der Translationen ist eine normale
+  Untergruppe\footnote{Können Sie das beweisen?  Machen Sie mal!  Zeigen Sie
+    mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!}
+  $N ⊂ G$.  Der Quotient ist $G/N ≅ \GL_2(ℂ)$.  Beide Anteile kann man gut
+  verstehen.
+\end{bsp}
+
+Wenn eine gegebene Gruppe $G$ nicht Abelsch ist, dann ist die nächstbeste
+Möglichkeit vermutlich die, dass die Gruppe $G$ wie oben beschrieben aus
+Abelschen Gruppen zusammengesetzt ist.  Die folgende Definition sagt präzise,
+was ich damit meine.
+
+\begin{definition}[Auflösbare Gruppe]\label{def:solv}
+  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{auflösbar}\index{auflösbare Gruppe}, wenn es eine
+  Zahl $ℓ ∈ ℕ$ und eine Kette von Untergruppen
+  \begin{equation*}
+    G=N_{ℓ}⊋ N_{ℓ-1}⊋ ⋯ ⊋ N_1 ⊋ N_0= \{e\}
+  \end{equation*}
+  gibt, sodass Folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+  \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist $N_i$ ein Normalteiler in $N_{i+1}$.
+
+  \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist die Quotientengruppe $N_{i+1}/N_i$
+    Abelsch.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{notation}
+  Eine Kette von Untergruppen wie in Definition~\ref{def:solv} wird
+  \emph{Auflösungskette}\index{Auflösungskette} genannt.
+\end{notation}
+
+Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppen
+zusammengesetzt.  Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
+gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit
+der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt.  Der Name
+``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
+
+\begin{bsp}
+  Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
+  $S_4 ⊃ A_4 ⊃ V_4 ⊃ \{e\}$.  Dabei sind $A_4$ und $V_4$ die folgenden
+  Untergruppen.
+  \begin{itemize}
+  \item Die Gruppe $A_4$ ist der Kern der Signumsabbildung und wird
+    \emph{alternierende Gruppe}\index{alternierende Gruppe} genannt.
+    
+  \item Die Gruppe $V_4$ heißt \emph{Kleinsche Vierergruppe}\index{Kleinsche
+      Vierergruppe} und ist gegeben als
+    \[
+      V_4 = \{\Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}.
+    \]
+  \end{itemize}
+  Weiterhin rechne man nach, was die Quotienten sind:
+  \[
+    \factor{S_4}{A_4} ≅ \factor{ℤ}{(2)}, \quad %
+    \factor{A_4}{V_4} ≅ \factor{ℤ}{(3)}, \quad \text{und} \quad %
+    V_4 = \factor{V_4}{\{e\}} ≅ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}.
+  \]
+  Damit ist klar, dass die Gruppe $S_4$ auflösbar ist.  Interessehalber stellen
+  wir noch fest, dass
+  \begin{equation*}
+    A_4 ≠ \factor{ℤ}{(3)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}
+  \end{equation*}
+  ist, sodass wir wirklich ein nicht-triviales Beispiel für eine auflösbare
+  Gruppe haben.
+\end{bsp}
+
+Die folgenden beiden Sätze liefern weitere Beispiele.
+
+\begin{satz}[$p$-Gruppen sind auflösbar]
+  Es sei $p$ eine Primzahl.  Dann ist jede endliche $p$-Gruppe auflösbar.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{21-1}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Untergruppen und Quotienten]
+  Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe.  Dann ist auch jede Untergruppe und jede
+  Restklassengruppe von $G$ auflösbar.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{21-2}
+\end{proof}
+
+Auflösungsketten sind (wenn sie überhaupt existieren) in keiner Weise eindeutig.
+Man kann sich also Mühe geben und versuchen, besonders gute Ketten zu finden.
+Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
+
+\begin{satz}[Gute Auflösungsketten]\label{Satz_Aufloesungskette}
+  Wenn $G$ eine endliche, auflösbare Gruppe ist und $N ⊂ G$ ein Normalteiler,
+  dann existiert eine Auflösungskette
+  \begin{equation*}
+    G = N_{ℓ} ⊋ N_{ℓ-1} ⊋ ⋯ ⊋ N_1⊋ \{e\},
+  \end{equation*}
+  sodass folgende Eigenschaften gelten.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
+    vor.  Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
+    
+  \item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
+    und von Primzahlordnung.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{21-3}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wenn eine Auflösungskette wie in \vref{Satz_Aufloesungskette} gegeben ist,
+  dann kommt $ℤ/(p)$ als Quotient genau so oft vor, wie $p$ die Gruppenordnung
+  $|G|$ teilt.  Über die Reihenfolge kann man aber nur wenig sagen.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
+
+\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
+Auflösungsstrategie völlig versagt.  Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren
+Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
+auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
+
+\begin{definition}[Einfache Gruppe]
+  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{einfach}\index{einfache Gruppe}, wenn $\{e \}$ und
+  $G$ die einzigen Normalteiler sind.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:abpe}
+  Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
+\end{bsp}
+
+Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet.  Es bedeutet nicht ``leicht zu
+verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu
+zerlegen''.  Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach''
+besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen.  Aber auf mich hört ja niemand.
+
+\begin{rem}
+  Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
+  beschreiben will, muss man zumindest alle einfachen Gruppen gut kennen ---
+  dies sind die Bausteine, aus denen alle anderen Gruppen zusammengesetzt sind.
+  \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups}{Tatsächlich
+    sind die einfachen, nicht-abelschen Gruppen inzwischen klassifiziert}.  Dazu
+  berichtet
+  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_einfache_Gruppe}{Wikipedia}
+  sinngemäß:
+  \begin{itemize}
+  \item Die Herleitung des Klassifikationssatzes war eines der umfangreichsten
+    Projekte der Mathematikgeschichte.  Der Beweis verteilt sich auf über 500
+    Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten.  Es sind aber nicht
+    alle Beweise auch publiziert worden.  Über 100 Mathematiker waren von Ende
+    der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
+
+  \item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden
+    Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
+    worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren.  Dabei
+    sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
+    Komplikationen geschlossen werden konnten.  Eine Lücke erwies sich allerdings
+    als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis
+    erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
+
+  \item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
+    auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
+    American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023
+    abgeschlossen sein wird.
+  \end{itemize}
+\end{rem}
+
+Beispiele von einfachen Gruppen sind gar nicht so leicht zu finden.  Für die
+Anwendungen der Galoistheorie ist der folgende Satz von zentraler Bedeutung.
+
+\begin{satz}[Alternierende Gruppe sind meistens einfach]\label{Satz_alternierende_Gruppe}
+  Die alternierende Gruppe $A_n$ ist einfach, wenn $n ≠ 4$ ist.  Insbesondere
+  ist die Permutationsgruppe $S_n$ für $n ≥ 5$ \emph{nicht} auflösbar.
+\end{satz}
+
+Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma.
+
+\begin{lemma}\label{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}
+  Es sei $n ≥ 5$.  Wenn $N ⊆ A_n$ eine normale Untergruppe ist, die zusätzlich
+  noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}]
+  \video{22-1}, verbessert am 09Feb21.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]
+  Die Gruppe $A_2$ ist trivial, $A_n = \{e \}$.  Die Gruppe $A_3$ ist isomorph
+  zu $ℤ/(3)$; zum Beweis schreibe man sich die Gruppe einfach hin.  Wir hatten
+  schon in Beispiel~\ref{bsp:abpe} gesehen, dass die Gruppe $ℤ/(3)$ einfach ist.
+  Den Fall $n ≥ 5$ behandeln wir im \video{22-2}.
+\end{proof}
+
+
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+%%% End:

21.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
+\label{chap:21}
+
+Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
+bereitgestellt.
+
+\bigskip
+
+Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
+Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element
+$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.  Das sind die Körpererweiterungen, die uns
+am wenigsten Angst machen --- dachten wir!  Als erste Anwendung der
+Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir
+schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind.  Vielleicht haben wir
+uns nicht genug gefürchtet?
+
+\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
+  Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
+  nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
+  Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}.  Die Umkehrrichtung wird im
+  \video{22-4} gezeigt.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Satz vom primitiven Element]\label{Satz_vom_primitiven_Element}
+  Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$
+  die normale Hülle von $L$.  Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die
+  Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe
+  $\Gal(N/K)$.  Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur
+  endlich viele Zwischenkörper.  Die Behauptung folgt dann aus
+  Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1}
+  Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form
+  $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Es sei $L/ℚ$ endlich.  Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die
+  Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und
+  $L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von
+  $a$ ist.
+\end{proof}
+
+Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich
+wichtig und tragen daher einen eigenen Namen.
+
+\begin{defn}[Zahlkörper]
+  Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische
+    Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper}\index{Zahlkörper} bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}
+  Der $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper.  Die Erweiterung
+  $ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element.
+\end{bsp}
+
+
+%%% Local Variables:
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+%%% End:

22.tex

@@ -0,0 +1,376 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Kreisteilungskörper und die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
+\label{chap:22}
+
+Jetzt, ganz am Ende des Semesters, haben wir alle Vorbereitungen zusammen um die
+Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
+beantworten.  Der Beweis verwendet den Stoff des Semesters vollständig!
+
+
+\section{Die Einheitswurzeln und die $φ$-Funktion}
+
+Wir hatten gleich am Anfang die Frage nach der Konstruierbarkeit mit
+Körpertheorie zusammengebracht.  Der relevante Körper für das reguläre $n$-Eck
+ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
+
+\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk}
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Der Zerfällungskörper des Polynoms
+  $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über
+    $ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet.  Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
+  üblich.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+
+  \begin{tikzpicture}[scale=1]
+    \def \n {8}
+    \def \radius {1.5}
+    \def \laenger {0.3}
+    
+    \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0);
+    \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger);
+    
+    \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius);
+    
+    \foreach \s in {0,...,7} {
+      \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius);
+    }
+    \foreach \s in {1,3,5,7} {
+      \fill[red] (\s) circle (.1);
+    }
+    \foreach \s in {0,...,7} {
+      \fill (\s) circle (.05);
+    }
+  \end{tikzpicture}
+  \quad
+  \begin{tikzpicture}[scale=1]
+    \def \n {6}
+    \def \radius {1.5}
+    \def \laenger {0.3}
+    
+    \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0);
+    \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger);
+    
+    \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius);
+    
+    \foreach \s in {0,...,5}{
+      \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius);
+    }
+    \foreach \s in {1,5}{
+      \fill[red] (\s) circle (.1);
+    }
+    \foreach \s in {0,...,5}{
+      \fill (\s) circle (.05);
+    }
+  \end{tikzpicture}
+  
+  Die primitiven Einheitswurzeln sind rot markiert.
+  
+  \caption{Achte und sechste Einheitswurzeln}
+  \label{fig:ehw}
+\end{figure}
+
+\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
+Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
+$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper
+$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$.  Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der
+Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu
+$ℤ/(n)$ ist.  Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die
+Gruppe erzeugt.  Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten
+und $8$.ten Einheitswurzeln.  Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon
+diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten
+Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion
+gegeben.  Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
+vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion
+beweisen.
+
+
+\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}
+  Die Eulersche $φ$-Funktion hat folgende Eigenschaften.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} Für alle
+    $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m) = 1$ gilt $φ(n·m) = φ(n)·φ(m)$.
+    
+  \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} Für alle
+    Primzahlen $p ∈ ℕ$ und alle $α ∈ ℕ$ gilt $φ(p^α)=p^{α-1}·(p-1)$.
+    
+  \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} Für alle
+    Tupel $(p_1, …, p_r) ∈ ℕ^r$ von paarweise verschiedene Primzahlen und alle
+    Tupel $(α_1, …, α_r) ∈ ℕ^r$ gilt
+    \begin{equation*}
+      φ(p_1^{α_1} ⋯ p_r^{α_r}) = p_1^{α_1-1} ⋯ p_r^{α_r-1}·(p_1-1)⋯(p_r-1).
+    \end{equation*}
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir beweisen zuerst \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1}:
+  seien Zahlen $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m)=1$ gegeben.  Dann gilt nach dem
+  Chinesischen Restsatz, Satz~\vref{Satz_Chinesischer_Restsatz},
+  \begin{equation*}
+    \factor{ℤ}{(n·m)} ≅ \factor{ℤ}{(n)}⨯\factor{ℤ}{(m)}.
+  \end{equation*}
+  Ein Paar $(a,b) ∈ ℤ/(n) ⨯ ℤ/(m)$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a ∈ ℤ/(n)$
+  und $b ∈ ℤ/(m)$ jeweils Einheiten sind.  Also gilt
+  \begin{equation*}
+    \left|\left(\factor{ℤ}{(n· m)}\right)^*\right| = \left|\left(\factor{ℤ}{(n)}\right)^*\right|·\left|\left(\factor{ℤ}{(m)}\right)^*\right|.
+  \end{equation*}
+  Die Anzahl der Einheiten in der Gruppe $ℤ/(d)$ ist aber genau der Wert der
+  $φ$-Funktion an der Stelle $d$.  Aussage
+  \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} ist damit bewiesen.
+  
+  Für Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}
+  beobachten wir, dass die Nicht-Einheiten in $ℤ/(p^α)$ exakt durch die
+  Vielfachen von $p$ repräsentiert sind, also durch die Elemente
+  $p, 2·p, 3·p, … , p^{α-1}·p = p^α$.  Dies sind genau $p^{α-1}$ Elemente.  Für
+  die Einheiten bleiben also
+  \begin{equation*}
+    p^α - p^{α-1} = p^{α-1}·(p-1)
+  \end{equation*}
+  Elemente übrig, fertig ist der Beweis von
+  \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}.
+  
+  Die letzte Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3}
+  ist einfach eine Kombination von
+  \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} und
+  \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}.
+\end{proof}
+
+
+\section{Kreisteilungspolynome}
+
+Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms
+$x^n-1 ∈ ℚ[x]$.  Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen,
+dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind.  Um die
+Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen
+Faktoren diskutieren.  Das kommt jetzt.
+
+\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom]
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln
+  mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$.  Das Polynom
+  \begin{equation*}
+    Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
+  \end{equation*}
+  heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}.  Es
+  gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
+\end{definition}
+
+Der folgende Satz fasst die wesentlichen Eigenschaften von
+Kreisteilungspolynomen zusammen.
+
+\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}
+  Es ist $Φ_1(x)= x-1$.  Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
+  \begin{equation}\label{eq:x2}
+    x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x)
+  \end{equation}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Die Aussage über $φ_1$ ist trivial.  Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
+  $n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
+  primitive $d$-te Einheitswurzel.  Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
+  und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$!  Wir erkennen, dass auf
+  der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
+  stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten
+  Einheitswurzeln ist.  Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
+  von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen.  Außerdem sind linke und
+  rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert.  Dann müssen die Seiten der
+  Gleichung wohl übereinstimmen.
+\end{proof}
+
+\begin{beobachtung}
+  Mit Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} kann man
+  alle Kreisteilungspolynome ausrechnen.  Um ein gegebenes Polynom $φ_d$ zu
+  bestimmen, müssen wir nach
+  Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} nämlich nur die
+  $Φ_p$ zu kennen, wo $p$ ein Primteiler von $d$ ist.  Für jede Primzahl $p$
+  gilt aber $x^p-1 = Φ_1(x)·Φ_p(x)$, und somit
+  \begin{equation*}
+    Φ_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + ⋯ + x + 1.
+  \end{equation*}
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:2222}
+  Betrachte den Fall $d = 6$.  Es gilt $x⁶-1 = Φ_1(x)·Φ_2(x)·Φ_3(x)·Φ_6(x)$.
+  Damit erhalten wir
+  \begin{equation*}
+    Φ_6(x) = \frac{x⁶-1}{(x-1)·(x+1)·(x²+x+1)} = x²-x+1
+  \end{equation*}
+\end{bsp}
+
+Das Beispiel~\ref{bsp:2222} zeigt insbesondere, dass das komplexe Polynom $Φ_6$
+in Wirklichkeit ganzzahlige Koeffizienten hat!  Der folgende Satz sagt, dass
+dies kein Zufall ist.  Der (Induktions-)Beweis ist nicht schlimm kompliziert,
+aber ein wenig langwierig.  Ich lasse ihn daher weg.
+
+\begin{fakt}
+  Die Kreisteilungspolynome sind ganzzahlig und normiert.  Mit anderen Worten:
+  für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$.  \qed
+\end{fakt}
+
+Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
+nicht beweisen.
+
+\begin{fakt}
+  Die Kreisteilungspolynome $Φ_n$ sind für alle $n ∈ ℕ$ irreduzibel.  \qed
+\end{fakt}
+
+
+\section{Die Kreisteilungskörper}
+
+Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
+$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
+mit $L_n/ℚ$ bezeichnet.  Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
+natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen.  Wähle dazu
+eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
+ist.  Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
+Kreisteilungspolynom $Φ_n$.  Also ist
+\begin{equation*}
+  [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n).
+\end{equation*}
+Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
+
+\begin{satz}\label{satz:ktk}
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die Galoisgruppe von $L_n/ℚ$ ist isomorph zur
+  (multiplikativen) Gruppe der Einheiten in $ℤ/(n)$, also
+  \[
+    \Gal\left( \factor{L_n}{ℚ} \right) ≅ \left( \factor{ℤ}{(n)} \right)^*.
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{23-1}
+\end{proof}
+
+
+\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
+
+Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
+hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
+Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks.  Im Gegensatz zu allen anderen Sätzen,
+die immer nur zeigten, was man \emph{nicht} konstruieren kann, ist der folgende
+Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
+
+\begin{satz}[Positives Resultat zur Konstruierbarkeit]\label{Satz_von_Seite_197}
+  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl.
+  Betrachte den Körper $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und bezeichne mit $L$ den
+  Zerfällungskörper $L$ des Minimalpolynoms von $z$ über $K$.  Wenn $[L : K]$
+  eine Zweierpotenz ist, dann ist die Zahl $z$ aus $M$ mit Zirkel und Lineal
+  konstruierbar
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{23-2}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}\label{rem:svs197}
+  Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist noch nicht optimal, denn es gilt in
+  Wirklichkeit mehr: wir werden in Bemerkung~\vref{bem:nedkp} sehen, dass die
+  Zahl $z$ \emph{genau dann} aus $M$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist,
+  wenn $[L : K]$ eine Zweierpotenz ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Satz von Gauß]\label{Satz_von_Gauss}
+  Das reguläre $n$-Eck ist aus $\{0,1 \}$ genau dann mit Zirkel und Lineal
+  konstruierbar, wenn $n$ in folgender Form geschrieben werden kann,
+  \[
+    n = 2^α·p_1⋯p_r,
+  \]
+  wobei $α ∈ ℕ$ ist und die $p_{•}$ paarweise verschiedene Primzahlen der Form
+  $p_• = 2^{n_•}+1$ sind.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{23-3}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Damit $2^μ+1$ eine Primzahl ist, muss $μ$ selbst eine Potenz von $2$ sein.
+  Denn hätte $μ=m·l$ einen ungeraden Teiler $l$, so hätte man
+  \begin{equation*}
+    2^μ+1 = (2^m+1)·\left(2^{m·(l-1)}-2^{m·(l-2)} ± ⋯ -2^l+1\right).
+  \end{equation*}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Fermatsche Primzahlen, aus \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl}{Wikipedia}]
+  Primzahlen der Form $F_n := 2^{2^n}+1$ heißen \emph{Fermatsche
+    Primzahlen}\index{Fermatsche Primzahl}Im August 1640 vermutete Fermat, dass
+  alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.
+  Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die
+  sechste Fermatzahl $F_5$ durch 641 teilbar ist.  Man kennt außer den ersten
+  fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine
+  Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere
+  gibt.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Ich hab' noch einen Koffer in … Göttingen}
+
+Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht.  Schauen
+Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
+\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
+\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen.  Der Beweis ist also
+kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
+eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
+erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
+umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
+
+\begin{aufgabe}
+  Warten Sie das Ende der Pandemie ab.  Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich
+  weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen.  Ziehen Sie sich
+  gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße
+  3--5.
+  \begin{enumerate}
+  \item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
+    das 1929 von David Hilbert und Richard
+    Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
+        Courant} (* 8.  Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.  Januar
+      1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet
+    wurde, dessen Planung aber noch auf Felix
+    Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
+        Christian Klein} (* 25.  April 1849 in Düsseldorf; † 22.  Juni 1925 in
+      Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht.  Der Bau wurde
+    damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
+    Rockefeller-Stiftung finanziert.  Er gilt noch heute als Meilenstein der
+    Architektur.
+
+  \item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
+    Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''.  Zeigen Sie ihre weißen
+    Handschuhe.  Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten
+    zu überzeugen.
+  \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+Wenn Sie im Schritt~\ref{il:f45} überzeugend aufgetreten sind, bringt Ihnen die
+Bibliothekarin den Koffer.  Dabei handelt es sich um eine über 100 Jahre alte
+Holzkiste mit einem uralten Foliaten, in dem Johann Gustav Hermes auf über 200
+großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Lineal
+konstruiert.  Mit ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier
+zu beschädigen.
+\href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die
+  Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte
+Konstruktionsprojekt:
+\begin{quotation}
+  Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die
+  Seiten aus, verziert mit Anmerkungen und Erläuterungen in gut lesbarer
+  Kurrentschrift.  Dazu kommt eine Flut von Tabellen, Rechnungen und
+  Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
+  gewaltigen Ausmaßes fügen.
+\end{quotation}
+Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
+recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
+bis 10.000.000 nach''.  Dennoch empfehle ich den Besuch.  Bewundern Sie die
+feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität.  Suhlen Sie sich in
+der Aura der Sinnlosigkeit.  Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
+historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
+
+\begin{aufgabe}
+  Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research
+    Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl
+  das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist.  Fahren Sie hin und
+  schauen Sie sich die Tafel am Eingang an.  Oder lesen Sie
+  \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
+\end{aufgabe}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

23.tex

@@ -0,0 +1,218 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale}
+\label{chap:23}
+
+\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus
+Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ ein Körper und ein
+Polynom $f ∈ K[x]$.  Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der
+Nullstellen von $f$ in der Form
+\begin{equation*}
+  \sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…}
+\end{equation*}
+schreiben?  In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: ist die Gleichung $f(x)=0$
+durch Radikale auflösbar?  Gibt es eine Radikalerweiterung $L/K$, sodass $f$ in
+$L$ eine Nullstelle hat?  Die Antwort hängt natürlich mit der Galoisgruppe von
+$f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung beschrieben werden.
+
+\begin{satz}\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}
+  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.
+  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist
+    über $K$ durch Radikale lösbar.
+    
+  \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe
+    $\Gal{f}$ ist auflösbar.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses
+Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen.  Zuerst möchte ich aber
+noch zwei Korollare vorstellen.
+
+\begin{kor}
+  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad
+  $\deg f ≤ 4$.  Dann ist $f$ durch Radikale lösbar.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Korollar von Galois]
+  Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar.
+  Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel.  Analytische
+  Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und
+  $n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat.  Wir fassen die
+  Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe
+  \[
+    S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \}
+  \]
+  auf.  Folgendes können wir sofort sagen.
+  \begin{itemize}
+  \item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5.  Also existiert nach
+    dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von
+    Ordnung 5, also ein 5-Zykel.
+    
+  \item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert.  Die komplexe
+    Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der
+    die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen
+    vertauscht.  Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine
+    Transposition.
+  \end{itemize}
+  Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte
+  Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist.  Mit anderen
+  Worten: jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den
+  Zykel $σ_5$ dargestellt werden.  Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese
+  Gruppe ist nicht auflösbar.
+\end{proof}
+
+
+\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
+
+Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
+Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe
+von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei
+denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
+
+\begin{defn}[Reines Polynom]
+  Es sei $K$ ein Körper.  Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
+    Polynom}\index{Polynom!reines}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass
+  $f(x) = x^n-a$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen]
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl.  Wenn
+  $\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist,
+  dann sind alle reinen Polynomen der Form $x^n-a$ separabel.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl.  Falls
+  $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
+  Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
+    Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
+    
+  \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine
+    Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein
+    $a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}]
+  \video{24-1}.  (Verbesserte Version vom 03Feb21).
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}]
+  \video{24-2}
+\end{proof}
+
+
+\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
+
+Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
+``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
+dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil
+  Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}.  Der
+folgende Satz behebt diesen Mangel.
+
+\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
+  Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung.
+  Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass
+  \begin{enumerate}
+  \item $L'/K$ Galoisch ist.
+    
+  \item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist,
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{24-3}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale'']
+  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein
+  irreduzibles Polynom.  Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar.  Nach
+  Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung
+  $L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat.  Satz~\ref{satz:23.2.1}
+  sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
+  Linearfaktoren zerfällt.  Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
+  \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält.  Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
+  ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann,
+  dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp}
+  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl,
+  die aus $M$ mit Zirkel uns Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen
+    Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}.  Betrachten Sie den Körper
+  $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe,
+  die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper
+  $L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen,
+  \[
+    L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K.
+  \]
+  Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}
+  noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von
+  quadratischen Erweiterungen ist, denn
+  \begin{equation*}
+    g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr)
+  \end{equation*}
+  ist ein Produkt von quadratischen Polynomen.  Der Erweiterungsgrad $[L':K]$
+  ist also eine Zweierpotenz.  Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des
+  Minimalpolynoms von $z$ über $K$.  Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle
+  der Körpererweiterung $L/K$.  Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat
+  deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine
+  Zweierpotenz als Grad.  Erkennen Sie, dass wir damit
+  Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die
+  Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig
+  \emph{und} hinreichend!
+\end{bemerkung}
+
+\begin{proof}[Beweisidee]
+  Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie})
+  entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper
+  von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$.  Zyklische
+  Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ --
+  zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt.
+\end{proof}
+
+
+\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}}
+\label{sec:almostlast}
+
+Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
+Vorüberlegungen.
+
+\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}
+  Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
+  $n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch.  Denn
+  wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
+  ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$.  Also ist
+  $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
+\end{claim-de}
+
+\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}
+  Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
+  ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel.  Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
+  …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
+\end{claim-de}
+
+\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$]
+  \video{24-4}
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$]
+  \video{24-5}
+\end{proof}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

24.tex

@@ -0,0 +1,343 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Quadratische Reziprozität}
+\label{chap:24}
+
+\sideremark{Vorlesung 25}
+
+In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
+noch sehr wenig Zahlentheorie.  Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
+ändern.  Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
+darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
+ist.
+
+\begin{definition}[Quadratischer Rest]
+  Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$.  Die Zahl
+  $a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer
+    Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
+  \[
+    x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)
+  \]
+  in $ℤ$ lösbar ist.  Andernfalls heißt \emph{quadratischer Nichtrest modulo
+    $p$}.
+\end{definition}
+
+Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
+Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
+den
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
+  Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
+Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''.  Tatsächlich
+handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
+von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen.  Schauen Sie einmal in das
+Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
+  \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
+\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
+Beweise und historische Anmerkungen.
+
+\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
+  Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl.  Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
+  quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
+  $a$ in $𝔽_p$ ab.  Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
+  Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
+  die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist.  Die quadratischen Reste sind also
+  die Elemente von
+  \[
+    (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
+    \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
+  \]
+\end{bemerkung}
+
+Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt?  Die Antwort ist einfach.
+
+\begin{lem}\label{lem:24-0-3}
+  Es sei $p ∈ ℕ$ eine ungerade Primzahl.  Dann gibt es in $𝔽_p$ genauso viele
+  quadratische Reste wie Nichtreste.  Die (multiplikative) Untergruppe
+  $(𝔽^*_p)² ⊂ 𝔽^*_p$ hat den Index 2.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Der surjektive Gruppenhomomorphismus
+  \[
+    𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
+  \]
+  hat den Kern $\{±1\}$.  Weil $p$ ungerade ist, hat der Kern genau 2 Elemente.
+\end{proof}
+
+
+\section{Das Legendre-Symbol}
+
+Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
+wir das
+Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
+    Legendre} (* 18.  September 1752 in Paris; † 9.  Januar 1833 ebenda) war ein
+  französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
+
+\begin{definition}[Legendre-Symbol]
+  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$.  Dann schreibe
+  \[
+    \left(\frac{a}{p}\right) :=
+    \begin{cases}
+      1 & \text{falls $a$ quadratischer Rest modulo $p$ ist} \\
+      -1 & \text{falls $a$ quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist} \\
+      0 & \text{falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist}.
+    \end{cases}
+  \]
+  Der Ausdruck wird als \emph{Legendre-Symbol} bezeichnet.  Analog zur
+  Bemerkung~\ref{bem:qrmp} verwendet man das Symbol nicht nur für Zahlen
+  $a ∈ ℤ$, sondern auch für Elemente $a ∈ 𝔽_p$.
+\end{definition}
+
+\begin{beobachtung}
+  Weil es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} genau so viele quadratische Reste wie
+  Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und
+  deshalb
+  \begin{equation}\label{eq:g4.2}
+    \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F.
+  \end{equation}
+\end{beobachtung}
+
+Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
+
+\begin{lem}[Das Legendre-Symobl ist multiplikativ]\label{lem:lsim}
+  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.  Die Abbildung
+  \[
+    𝔽^*_p → \{±1\}, \quad a ↦ \left(\frac{a}{p}\right)
+  \]
+  ist ein Gruppenhomomorphismus.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Erinnern Sie sich an Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}:
+  die multiplikative Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch!  Die Gruppe $𝔽^*_p$ hat genau
+  $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$.  Wir
+  beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
+  den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
+  $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
+  $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
+  
+  Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
+  Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
+    wollen Sie kurz nachrechnen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist!},
+  \[
+    ℓ : \factor{ℤ}{(2n)} → \factor{n·ℤ}{(2n)}, \quad a ↦ n·a.
+  \]
+  Die Gruppe $\factor{n·ℤ}{(2n)}$ hat genau zwei Elemente und kann deshalb mit
+  der Gruppe $\{\pm1\}$ identifiziert werden.  Mit diesen Identifikationen
+  schickt der Gruppenmorphismus $ℓ$ ein Element $a ∈ 𝔽^*_p ≅ ℤ/(2n)$ genau dann
+  auf das neutrale Element $1 ∈ \{\pm1\}$, wenn $a ∈ ℤ/(2n)$ gerade ist, oder
+  anders gesagt, wenn $a ∈ 𝔽^*_p$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist.  Der
+  Gruppenmorphismus $ℓ$ \emph{ist} das Legendre-Symbol!
+\end{proof}
+
+\begin{lem}[Euler-Kriterium für das Legendre-Symobl]\label{lem:EK}
+  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$.  Dann
+  gilt die Gleichung
+  \[
+    \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \:\:(\operatorname{mod}
+    p).
+  \]
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Noch einmal: die Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch von Ordnung $p-1$.  Also gilt für
+  jede Zahl $b ∈ ℤ$, die teilerfremd zu $p$ ist stets die Gleichung
+  \[
+    b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
+  \]
+  Wenn die Zahl $a$ ein quadratischer Rest Modulo $p$ ist, also von der Form
+  $a \equiv b² \:\:(\operatorname{mod} p)$, dann gilt
+  \[
+    a^{\frac{p-1}{2}} \equiv b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
+  \]
+
+  Als Nächstes sehen wir, dass das Polynom $x^{\frac{p-1}{2}} -1 ∈ 𝔽_p[x]$
+  höchstens $\frac{p-1}{2}$ Nullstellen hat.  Das sind wohl genau die
+  quadratischen Reste, von denen es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} ja genau
+  $\frac{p-1}{2}$ viele gibt.  Wenn $a$ also ein quadratischer Nichtrest modulo
+  $p$ ist, dann ist
+  \[
+    a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p) \quad\text{und}\quad a^{p-1} \equiv (a^{\frac{p-1}{2}})² \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
+  \]
+  Also muss wohl $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ sein.
+  Damit ist das Euler-Kriterium in jedem Fall bewiesen.
+\end{proof}
+
+
+\section{Quadratische Reziprozität}
+
+Mit diesen Vorbereitungen können wir das quadratische Reziprozitätsgesetz
+formulieren.
+
+\begin{satz}[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]\label{satz:qrg}
+  Es seien $p$ und $q$ zwei unterschiedliche, ungerade Primzahlen.  Dann gilt
+  die Gleichung
+ \[
+   \left(\frac{p}{q}\right)·\left(\frac{q}{p}\right) =
+   (-1)^{\frac{p-1}{2}·\frac{q-1}{2}}.
+ \]
+\end{satz}
+
+\begin{rem}
+  Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist höchst erstaunlich, denn es ist
+  überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
+  $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben!  Es gibt in der
+  Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
+  ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
+  tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
+\end{rem}
+
+Für die Zwecke von Übungsaufgaben und Klausuren halten wir fest, dass man mit
+dem quadratischen Reziprozitätsgesetz Legendre-Symbole sehr einfach und
+effizient ausrechnen kann.  Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel.
+
+\begin{bsp}[Effiziente Berechnung von Legendre-Symbolen]
+  Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
+  \begin{align*}
+    \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
+                              & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
+  \end{align*}
+  Also ist die Antwort: ``nein!''
+\end{bsp}
+
+
+\subsection{Beweis des Reziprozitätsgesetzes}
+
+Für das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt es viele Beweise.  Gauß selbst war
+so begeistert, dass er acht unterschiedliche Beweise vorlegte, Eisenstein
+lieferte fünf weitere.  Das Buch \cite[Appendix~B]{MR1761696} nennt 196
+unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der
+Mathematik seit Gauß und Euler.  Das Buch der Beweise
+\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} stellt zwei der Schönsten vor, der hier
+gezeigte Beweis ist im Wesentlichen aus dem Buch \cite{zbMATH06333926}
+abgeschrieben.  Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
+hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
+\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
+\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
+  Beweis}.  Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
+\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
+  mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
+
+\bigskip
+
+Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen.  Der Primkörper von $F$
+is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$.  Nach
+Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
+Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen.  Nach dem kleinen
+Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
+Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
+von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
+Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$.  Wir beobachten schon einmal,
+dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
+$ξ ∈ F^*$ nicht ändert.  Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
+\begin{equation}\label{eq:g4.1}
+  \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
+\end{equation}
+
+Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
+\[
+  G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
+\]
+
+\begin{behauptung}\label{beh:0}
+  Es sei $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$.  Dann gelten im Körper $F$ die
+  Gleichungen
+  \[
+    \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
+    \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
+    \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
+  \]
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
+  Die Annahme, dass $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$ ist, bedeutet, dass die
+  Abbildung
+  \begin{equation}\label{eq:xcvx}
+    𝔽_p → 𝔽_p, \quad x → n·x
+  \end{equation}
+  bijektiv ist.  Weil die Elemente $\left(\frac{in}{p}\right)$ und $ξ^{i·n}$
+  jeweils nur von der Restklasse von $i·n$ modulo $p$ abhängen zeigt
+  Bijektivität von \eqref{eq:xcvx} daher, dass sich die linken und die rechten
+  Seiten der Gleichungen nur um die Summationsreihenfolge unterscheiden.
+  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:0})}
+\end{proof}
+
+\begin{behauptung}\label{beh:1}
+  Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G^q = \left(\frac{q}{p}\right)·G$.
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:1}]
+  Wir rechnen die Behauptung direkt nach.
+  \begin{align*}
+    G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
+        & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
+        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
+        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
+  \end{align*}
+  Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
+\end{proof}
+
+\begin{behauptung}\label{beh:2}
+  Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G² = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p$.  Insbesondere
+  ist $G ≠ 0$ in $F$.
+\end{behauptung}
+\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:2}]
+  Der Beweis der Behauptung~\ref{beh:2} ist eine direkte, aber ziemlich lästige
+  Rechnung, die alle bisherigen Beobachtungen nutzt.
+  \begin{align*}
+    G² & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \\
+       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \right) \\
+       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{ji}{p}\right)·ξ^{ji} \right) \right) && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}\\
+       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i²}{p}\right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} \right) \right) && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
+       & = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} && i²\text{ ist quadratischer Rest} \\
+       & = \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
+       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
+       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
+       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
+       & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
+  \end{align*}
+  Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
+\end{proof}
+
+Alles, was wir nun noch machen müssen, ist, das Körperelement $G^q ∈ F$ mithilfe
+der Behauptungen \ref{beh:1} und \ref{beh:2} auf zwei unterschiedliche Arten
+auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
+\begin{align*}
+  \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
+                               & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
+                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
+                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
+\end{align*}
+Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
+kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung.  \qed
+
+
+\section{Die Ergänzungssätze}
+
+Der Vollständigkeit halber erwähne ich noch zwei Sätze, die das Rechnen mit
+Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität vereinfachen.  Die Beweise
+sind uninspirierend und werden deshalb weggelassen.
+
+\begin{satz}[1.~Ergänzungssatz]
+  Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
+  \[
+    \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =
+    \begin{cases}
+      1 & \text{falls } p \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 4) \\
+      -1 & \text{sonst}
+    \end{cases} \eqno \qed
+  \]
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[2.~Ergänzungssatz]
+  Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
+  \[
+    \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p²-1}{8}} =
+    \begin{cases}
+      1 & \text{falls } p \equiv \pm1 \:\:(\operatorname{mod} 8) \\
+      -1 & \text{sonst}
+    \end{cases} \eqno \qed
+  \]
+\end{satz}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

25.tex

@@ -0,0 +1,256 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Rückblick und Ausblick}
+\label{chap:25}
+
+\section{Was ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?}
+
+Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich.  Sehr gefährlich.  Zwar pendelten um
+1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den ``West Indies'', es
+kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen.
+Unzählige Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte,
+verdurstete oder starb an qualvoll an Skorbut.  Andere Schiffe fuhren auf
+Felsriffe oder gerieten versehentlich in feindliches Territorium.
+
+Das Problem: es ist zwar sehr einfach die geografische Breite eines Schiffes zu
+bestimmen\footnote{Man messe die Höhe des Polarsterns über dem Horizont!}, aber
+es gab keine Methode für die Messung der geografische Länge.  Das
+``Längenproblem'' war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der
+europäischen Wissenschaft.  Die größten Wissenschaftler der Zeit, darunter
+Galilei, Cassini, Huygens, Newton und Halley, versuchten, das Problem mithilfe
+von Astronomie zu lösen.  Dabei fanden sie das Gravitationsgesetz, begründeten
+die Analysis, bestimmten das Gewicht der Erde, berechneten den Abstand der Erde
+zu einigen der näheren Fixsterne, entdeckten die Jupitermonde, erkannten die
+Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und maßen deren Wert.  Das Längenproblem
+lösten Sie nicht.
+
+Es gab noch andere, teilweise recht verzweifelte Ansätze.  Im Krieg hatte man
+die Erfahrung gemacht, dass Wunden schneller heilen, wenn man die Waffe (nicht
+die Wunde!) nach der Tat mit \emph{Waffenbalsam} bestreicht; die Heilung ist
+aber sehr schmerzhaft.  Also verwunde das englische Militär zahlreiche Hunde,
+die dann auf Schiffe verteilt wurden.  Die Waffen blieben in London, wo sie
+genau zur Mittagszeit mit dem Balsam bestrichen wurden.  Die aufjaulenden Hunde,
+so die Hoffnung, zeigten den Schiffen an, wann die Mittagszeit in London war.
+Der Navigator konnte dann aus dem Unterschied zur Lokalzeit die Länge bestimmen.
+Die Idee schien damals weniger abwegig als heute, denn man kannte Magnete und
+wusste deshalb, dass \emph{Fernwirkungen} existieren….  Wikipedia listet auf,
+\href{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_longitude}{was man sonst noch
+  alles versucht hat}.
+
+Also blieb nur Koppelnavigation.  Dava Sobel schreibt in ihrem
+\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_(book)}{absolut lesenswerten
+  Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag?  Vielleicht interessieren Sie
+  auch für die illustrierte Ausagabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich
+meine Weisheit beziehe:
+
+\begin{quote}
+  Launched on a mix of bravery and greed, the sea captains of the fifteenth,
+  sixteenth and seventeenth centuries relied on ``dead reckoning'' to gauge
+  their distance east or west of home port.  […] The captain would throw a log
+  overboard and observe how quickly the ship receded from this temporary
+  guidepost.  […] He routinely missed his mark, of course […] Too often, the
+  technique of dead reckoning marked him for a dead man.
+\end{quote}
+
+Aber warum ist die geografische Länge so viel schwieriger zu messen als die
+Breite?  Dava Sobel:
+
+\begin{quote}
+  Here lies the real, hard-core difference between latitude and longitude ---
+  beyond the superficial difference in line direction that any child can see:
+  The zero-degree parallel of latitude is fixed by the laws of nature, while the
+  zero-degree meridian of longitude shifts like the sands of time.  This
+  difference makes finding latitude a child's play, and turns the determination
+  of longitude, especially at sea, into an adult dilemma --- one that stumped
+  the wisest minds of the world for the better part of human history.
+\end{quote}
+
+In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist ``kanonisch''.
+Die geografische Länge ist nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des
+Nullmeridians ab, der statt durch Greenwich auch durch jeden anderen Ort
+verlaufen könnte.
+
+
+\subsection{Der Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht-kanonisch''}
+
+Ich erzähle die etwas abschweifende Geschichte des Längenproblems, um auf den
+Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht kanonisch'' hinzuweisen.  Ich
+hoffe, dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist
+fundamental für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der
+gesamten Algebra-Ausbildung.
+\begin{itemize}
+\item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion.
+  Die Bijektion ist aber nicht kanonisch.  Das Maß für die Abweichung von
+  ``kanonisch'' ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe.
+  Diese spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle.
+  
+\item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der
+  gleichen, endlichen Dimension zueinander isomorph sind, aber nicht kanonisch
+  isomorph.  Das Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der
+  Symmetrien, also die allgemeine lineare Gruppe.  Ein großer Teil der Vorlesung
+  ``Lineare Algebra II'' befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen,
+  Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, …
+\end{itemize}
+
+In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des
+algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist
+schwach.  Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und
+desselben Polyoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph.  Das
+Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der Symmetrien, die in
+diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird.  Die Erkenntnis, das die
+Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft mißt und das durch ihr
+Studium wichtige Erkentnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in
+dieser Vorlesung.  Alles andere ist Beiwerk.
+
+
+\subsection{… und wie ging die Geschichte aus?}
+
+Die Lösung des Längenproblems war von enormer militärischer und
+volkswirtschaftlicher Bedeutung.  Nach einem
+\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Scilly_naval_disaster_of_1707}{besonders
+  dramatischen Unfall}, bei dem die britische Krone vier Kriegsschiffe und über
+1.500 Seeleute verlor, verabschiedete das englische Parlament 1714 den berühmten
+\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_Act}{Longitude Act}, in dem unter
+anderem ein gigantisches Preisgeld für die Lösung des Längenproblems ausgelobt
+wurde.  Auch andere Staaten
+\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_rewards}{lobten Preise} aus,
+gründeten Nationalakademien, investierten massiv in Militär und Wissenschaft und
+bauten astronomische Observatorien, ….  Genutzt hat es nichts, denn das
+Längenproblem wurde letztlich nicht von Wissenschaftlern, sondern von einem
+Schreiner aus der englischen Provinz gelöst.  John Harrison war ein genialer
+Techniker, dem es nach jahrzehntelanger Arbeit gegen Mitte des 18.~Jahrhunderts
+gelang, \href{https://de.wikipedia.org/wiki/L\%C3\%A4ngenuhr}{Längenuhren} zu
+bauen, also mechanische Uhren präzise genug für die Zwecke der Navigation waren,
+und robust genug für den Einsatz auf hoher See.
+
+Das Buch \cite{Sobel} erzählt die Geschichte von Harrison's Erfindung.  Das Buch
+erzählt auch von den größten Wissenschaftlern aus Harrison's Zeit, die sämtlich
+am Längenproblem arbeiteten und trotz großer persönlicher Differenzen gemeinsam
+sehr viel Zeit und Mühe investierten, um Harrison durch operettenhaftes
+Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu runinieren und um sein
+Preisgeld zu betrügen.
+
+
+\section{Wie geht es weiter?}
+
+Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' in die
+Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf,
+Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, ) und
+viele viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen löst.
+In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der
+  Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung
+\begin{equation}\label{eq:ssa}
+  y'(x) = a(x)·y(x) + b(x).
+\end{equation}
+Dann macht der Professor den ``Ansatz'', dass die Lösung von folgender Gestalt
+sein könnte
+\[
+  y(x) = c(x)e^{A(x)}.
+\]
+Jetzt sind ``nur noch'' die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen.  Wie man an den
+Ansatz kommt, wird nicht erklärt.
+
+Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die Sie in der kennen und kennenlernen
+werden, sind fast alle vom Lie'schen
+Typ\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}{Marius Sophus Lie}
+  (* 17.  Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18.  Februar 1899 in Kristiania,
+  heute Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}.  Genau wie wir einem Polynom
+die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer
+Differenzialgleichung eine Gruppe zugeordnet, die man heute als
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Gruppe}{Lie-Gruppe} bezeichnet; im Falle
+der Differenzialgleichungen der Form \eqref{eq:ssa} ist das die Gruppe der
+invertierbaren $2⨯ 2$ oberen Dreiecksmatrizen,
+\[
+  A := \left\{
+    \begin{pmatrix}
+      a & b \\ 0 & d
+    \end{pmatrix}
+    ∈ \GL(2, ℝ)
+  \right\}.
+\]
+Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197}
+(``Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal'') gibt die Auflösungskette
+\[
+ \left\{
+    \begin{pmatrix}
+      1 & 0 \\ 0 & 1
+    \end{pmatrix}
+  \right\}
+  ⊂
+  \left\{
+    \begin{pmatrix}
+      1 & b \\ 0 & 1
+    \end{pmatrix}
+    \::\: b ∈ ℝ
+  \right\}
+  ⊂
+  A
+\]
+der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als ``Variation der Konstanten''
+kennen.
+
+\begin{geheim}
+  Fast alle Differenzialgleichungen, die Sie in einer typischen Vorlesung
+  ``Gewöhnliche Differenzialgleichungen'' kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ.
+  Fast alle Lösungsmethoden, die Sie dort kennenlernen werden, ergeben sich aus
+  der Auflösbarkeit der zugehörigen Lie-Gruppen --- die
+  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation}{Laplace-Transformation}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}{Pierre-Simon
+      (Marquis de) Laplace} (* 28.  März 1749 in Beaumont-en-Auge in der
+    Normandie; † 5.  März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker,
+    Physiker und Astronom.  Er beschäftigte sich unter anderem mit der
+    Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine
+  bemerkenswerte Ausnahme.
+\end{geheim}
+
+Ich finde Auswendiglernen von Lösungsformeln ausgesprochen langweilig und schaue
+mir deshalb lieber die
+\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}{Riccatischen
+  Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo
+    Francesco Riccati} (* 28.  Mai 1676 in Venedig; † 15.  April 1754 in
+  Treviso) war ein italienischer Mathematiker.  Er ist vor allem für seine
+  Untersuchungen von Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung
+  der Ordnung von Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der
+Form
+\[
+  y'(x)=f(x)y²(x)+g(x)y(x)+h(x)
+\]
+mit gegebenen Funktionen $f$, $g$ und $h$.  Wenn diese Funktionen nicht zufällig
+sehr speziell sind, ist die zugehörende Liesche Gruppe die spezielle lineare
+Gruppe $\operatorname{SL}(2,ℝ)$, und diese Gruppe ist definitiv \emph{nicht}
+auflösbar.  Also \emph{kann} es keine Lösungsformel geben: Der Satz von
+Picard-Lindelöf garantiert zwar die Existenz von Lösungen, diese sind aber nicht
+in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ notierbar!  Am Ende des Tages beweisen
+wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend kleine Nullmenge an
+Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt…
+
+Wenn Sie mehr wissen wollen, dann schauen Sie einmal in das fantastische Buch
+\cite{MR947141}.  Und googlen Sie nach ``Galois theory for differential
+equations''.
+
+
+\subsection{Reklame für weiterführende Veranstaltungen in Algebra}
+
+Besuchen Sie im SS21 die Vorlesung ``Kommutative Algebra und Algebraische
+Geometrie'' und kommen Sie in unser Seminar!
+
+Es wird oft gesagt, Algebra und Geometrie seien zwei Seiten derselben Medaille.
+In der Vorlesung machen wir diese Aussage konkret: es gibt eine \emph{Äquivalenz
+  von Kategorien} zwischen gewissen algebraischen Ringen und gewissen
+geometrischen Räumen -- es gibt in diesem Sinne keinen Unterschied zwischen den
+Gebieten, und jeder Satz der Algebra ist ein Satz der Geometrie und umgekehrt.
+
+Der Witz bei dieser Äquivalenz ist, das Algebra gut zum Rechnen ist und
+Geometrie gut für die Anschauung, durch das Zusammenspiel erhält das Gebiet
+seinen Reiz.  Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass ``einfache''
+Begriffe der Algebra besonders ``anschaulichen'' Begriffen der Geometrie
+entsprechen -- manchmal muss man ganz schön arbeiten um zu sehen, was passiert!
+Auf meiner \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{Web-Seite}
+finden noch ein wenig mehr Propadamaterial.
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
+%%% End:

AlgebraZahlentheorie.tex

@@ -0,0 +1,275 @@
+\documentclass[a4paper, enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
+
+%
+% Local font definitions -- need to come first
+%
+\usepackage{libertine}
+%\usepackage[libertine]{newtxmath}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[mark]{gitinfo2}
+\input{gfx/stdPreamble}
+\input{gfx/paperVersion-working}
+\usepackage{makeidx}
+\usepackage{tikz-cd}
+\makeindex
+
+\author{Stefan Kebekus}
+
+%
+% TikZ
+%
+
+\usetikzlibrary{through}
+\usetikzlibrary{quotes,babel,angles}
+\usetikzlibrary{calc} %	calculate for relative positioning
+
+
+%
+% Extra spacing in list of figures
+%
+
+\usepackage{tocloft}
+\setlength{\cftfignumwidth}{3em}
+\allowdisplaybreaks[1]
+
+%
+% Theorems
+%
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
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+% Math operators
+%
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
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+\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
+
+\newcommand{\ifactor}[2]{\left.  \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}}
+
+
+\title{Algebra und Zahlentheorie}
+\date{\today}
+
+\makeatletter
+\hypersetup{
+  pdfauthor={Stefan Kebekus},
+  pdftitle={\@title},
+  pdfstartview={Fit},
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+  bookmarks,
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+\makeatother
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+
+\bigskip
+
+\bigskip
+
+\bigskip
+
+\section*{Vorbemerkung}
+
+Dieses Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' baut auf sehr
+ausführlichen Vorlesungsmitschriften auf, die Kai Sickinger vor einigen Jahren in
+meiner Vorlesung angefertigt hat.  Das Skript wird im Laufe des Wintersemesters
+2020/2021 ständig weiter geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf
+der
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}.
+Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
+finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
+Datum der letzten Änderung.
+
+Der Stoff ist in 25 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
+Vorlesung auf unserem
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/sffLLQLkTwbaDLeY}{Kalender}.
+Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
+aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
+
+Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
+ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
+Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
+\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
+\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}.  Wir
+korrigieren schnellstmöglich!  Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl
+von guten Quellen, Erklärvideos und Anderem.  Wenn Sie eine gute Quelle finden,
+melden Sie sich bitte.  Wir fügen gerne einen Link in den Text ein!
+
+\bigskip
+
+\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
+
+
+\subsection*{Literatur}
+
+\begin{itemize}
+\item Das Springer-Lehrbuch ``Algebra'' von Siegfried Bosch,
+  \cite{zbMATH07238313}, ist der anerkannte Goldstandard aller
+  Algebra-Lehrbücher.  Sie können das Buch aus dem Netz der Universität kostenlos
+  bei \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-92812-6}{Springer
+    Link} herunterladen.
+  
+\item Das Buch ``Algebra'' von Serge Lang, \cite{MR1878556}, ein
+  englischsprachiger Klassiker mit exzellenter Stoffauswahl, ist ebenfalls bei
+  \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-0041-0}{Springer Link}
+  verfügbar.
+  
+\item Viele Kollegen haben Skripte zur Algebra und Zahlentheorie geschrieben
+  (die sich natürlich alle sehr ähneln).  Das Skript von
+  \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAL.pdf}{Wolfgang
+    Soergel} ist sehr ausführlich, das Skript von
+  \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Annette
+    Huber-Klawitter} ist konziser.
+\end{itemize}
+
+
+\subsection*{Computer-Programme}
+
+Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
+Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
+ausserdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
+Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
+dokumentiert sind.  Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
+vereinfachen von Polynomen hilfreich sein.  Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
+sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
+Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
+
+
+\subsubsection*{GeoGebra}
+
+Mit GeoGebra können Sie geometrische Konstruktionen, die man sonst mit Zirkel
+und Lineal auf Papier durchführt, einfach und exakt auf Ihrem Bildschirm machen.
+Laden Sie sich das Programm von \url{https://www.geogebra.org} herunter und
+spielen Sie damit ein wenig.  Wir werden GeoGebra gelegentlich für Hausaufgaben
+verwenden.
+
+
+\subsubsection*{Sage}
+
+Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
+durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
+herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
+etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
+oder den Service CoCals verwenden.
+
+
+\subsubsection*{CoCalc}
+
+CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite
+auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können.  Leider ist der kostenlose
+Dienst manchmal etwas langsam.
+
+Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor.  Sie
+können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
+Server rechnen.
+
+
+
+\part{Einleitung}
+
+\input{01}
+
+\part{Körpererweiterungen}
+
+\input{02}
+\input{03}
+\input{04}
+
+
+\part{Ringe}
+
+\input{05}
+\input{06}
+\input{07}
+\input{08}
+\input{09}
+\input{10}
+
+
+\part{Körpertheorie}
+
+\input{11}
+\input{12}
+\input{13}
+\input{14}
+\input{15}
+\input{16}
+
+
+\part{Gruppentheorie}
+
+\input{17}
+\input{18}
+\input{19}
+\input{20}
+
+
+\part{Anwendungen}
+
+\input{21}
+\input{22}
+\input{23}
+\input{24}
+
+\part{Schlusswort}
+
+\input{25}
+
+\clearpage
+
+\listoffigures
+\listoftables
+
+\printindex
+
+\bibstyle{alpha}
+\bibliographystyle{alpha}
+\bibliography{bibliography/general}
+
+
+\end{document}

figures/01-fiveGon.tex

@@ -0,0 +1,105 @@
+\begin{tikzpicture}[scale=3.5]
+  \def \geraden {1}
+  \def \laenger {0.2}
+  \def \markierungen {0.05}
+  \def \skala {5}
+  \def \groese{0.02}
+  \def \beschriftungD{1}
+  \def \eins {}%{(1)}
+  \def \zwei {}%{(2)}
+  \def \drei {}%{(3)}
+  \def \vier {}%{(4)}
+  \colorlet{farbe1}{lightgray}
+  \colorlet{farbe2}{farbe1}
+  \colorlet{farbe3}{farbe1}
+  \colorlet{farbe4}{farbe1}
+  \colorlet{farbe5}{black}
+  \colorlet{kleineins}{lightgray}
+  \colorlet{kleinzwei}{gray}
+  % \colorlet{farbe1}{green}
+  % \colorlet{farbe2}{orange}
+  % \colorlet{farbe3}{gray}
+  % \colorlet{farbe4}{red}
+  % \colorlet{farbe5}{blue}
+  
+  \coordinate (X1) at (-\geraden-\laenger,0);
+  \coordinate (X2) at (+\geraden+\laenger,0);
+  \coordinate (Y1) at (0,-\geraden-\laenger);
+  \coordinate (Y2) at (0,+\geraden+\laenger);
+  % \node at(0,\geraden+0.5)[]{Regelmäßiges Fünfeck};
+  
+  %% Geraden
+  \draw[farbe1] (X1)--(X2)node[right]{\eins};
+  \draw[farbe1] (Y1)--(Y2)node[above]{\eins};
+  
+  %% großer Kreis
+  \coordinate (HilfeKreisGross) at (0, \geraden);
+  \node (KreisGross) [draw, circle through = (HilfeKreisGross)] at (intersection of X1--X2 and Y1--Y2){};
+  
+  %% Kleiner Kreis mit Beschriftung des Zentrums
+  \coordinate (A) at (0,0.5*\geraden);
+  \coordinate (B) at (-0.25*\geraden,0);
+  \draw[farbe2] (-0.25*\geraden,-1*\markierungen)node[below]{$\frac{\geraden}{4}$} -- (-0.25*\geraden, \markierungen)node[above]{\zwei};
+  \draw[farbe2] (\markierungen,0.5*\geraden)node[right]{$\frac{\geraden}{2}$} -- (-1*\markierungen,0.5*\geraden)node[left]{\zwei};
+  \coordinate (HilfeKreisKlein) at (0,0.5*\geraden);
+  \node (KreisKlein) at (B) [draw, circle through = (HilfeKreisKlein),color = farbe3] {};
+  \node (BeschriftungKreisKlein) [farbe3, below right] at (intersection of Y2--Y1 and KreisKlein){\drei};
+  
+  %% Hilfspunkte für Eckpunkte
+  \coordinate (1) at (KreisKlein.east);
+  \coordinate (2) at ([yshift = 1*\geraden cm]1);
+  \coordinate (3) at ([yshift = -1*\geraden cm]1);
+  \coordinate (4) at (KreisKlein.west);
+  \coordinate (5) at ([yshift = 1*\geraden cm]4);
+  \coordinate (6) at ([yshift = -1*\geraden cm]4);
+  
+  %% rechte Hilfslinie
+  \draw[farbe4] (2)--(3);
+  %% linke Hilfslinie
+  \draw[farbe4] (5)--(6);
+  
+  
+  \coordinate (Ecke 1) at (KreisGross.east);
+  \coordinate (Ecke 5) at (intersection of 1--2 and KreisGross);
+  \coordinate (Ecke 2) at (intersection of 1--3 and KreisGross);
+  \coordinate (Ecke 4) at (intersection of 4--5 and KreisGross);
+  \coordinate (Ecke 3) at (intersection of 4--6 and KreisGross);
+  
+  %% Beschriftung d
+  \draw[<->] ($(Ecke 5)+(\beschriftungD,0)$)--($(Ecke 2)+(\beschriftungD,0)$)node[midway, right]{$d$};
+  \foreach \Y in {Ecke 2,Ecke 5}{
+    \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (\Y)--($(\Y)+(\beschriftungD,0)$);
+  }
+  %% Beschriftung a
+  \coordinate (HilfeA) at ($(Ecke 2)!2*\laenger!90:(Ecke 3)$);
+  \coordinate (HilfeA2) at ($(Ecke 3)!2*\laenger!270:(Ecke 2)$);
+  \draw[<->] (HilfeA) -- (HilfeA2) node[midway, sloped, below]{$a$};
+  \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (Ecke 2) -- (HilfeA);
+  \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (Ecke 3) -- (HilfeA2);
+  
+  
+  %% Kleines 5-Eck
+  
+  % Endpunkte der Verlängerungen der beiden Kanten 
+  \coordinate (HHED) at ($(Ecke 3)!\geraden!180:(Ecke 2)$);
+  \coordinate (HHEV) at ($(Ecke 4)!\geraden!180:(Ecke 5)$);
+  
+  % Zeichnen des Großen 5-Ecks
+  \foreach \X in {Ecke 1, Ecke 2, Ecke 3, Ecke 4, Ecke 5}{
+    \fill[farbe5] (\X) circle (\groese)node[above right]{\vier};
+  }
+  \draw[farbe5] (Ecke 1)--(Ecke 2)--(Ecke 3)--(Ecke 4)--(Ecke 5)--(Ecke 1);
+  \coordinate (HEF) at (Ecke 4);
+  \coordinate (HEZ) at (Ecke 3);
+  \coordinate (HEDUVO) at (-1.5,1);
+  \coordinate (HEDUVU) at (-1.5,-1);
+  \coordinate (HED) at (intersection of  HEDUVO-- HEDUVU and HHED--Ecke 3);
+  \coordinate (HEV) at (intersection of  HEDUVU-- HEDUVO and HHEV--Ecke 4);
+  \node[circle through = (HEV)] (HHEE) at (HEF){};
+  \coordinate (HEE) at (intersection of X1--X2 and HHEE);
+  \draw[kleinzwei] (HEE)--(HEZ)--(HED)--(HEV)--(HEF)--cycle;
+  \foreach \X in {HEE, HEZ, HED, HEV, HEF}{
+    \fill[kleinzwei] (\X) circle (0.8*\groese);
+  }
+\end{tikzpicture}
+  

figures/Cubic_with_double_point.eps

@@ -0,0 +1,207 @@
+%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
+%%Creator: cairo 1.16.0 (https://cairographics.org)
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+%%BeginProlog
+50 dict begin
+/q { gsave } bind def
+/Q { grestore } bind def
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+  {
+    dup
+    type /stringtype eq
+    { show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse
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+/Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def
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+%%EndProlog
+%%BeginSetup
+%%BeginResource: font f-0-0
+%!FontType1-1.1 f-0-0 1.0
+11 dict begin
+/FontName /f-0-0 def
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+   d="m 306.159,322.905 c -4.516,-5.236 -9.779,-14.246 -15.085,-20.473 -0.543,0 -1.079,0 -1.615,0 -4.357,10.178 -11.38,14.432 -11.855,28.555 2.536,1.416 5.01,2.894 8.618,3.237 5.588,-1.059 1.671,-11.628 7.003,-12.935 1.045,6.323 2.818,11.91 10.776,11.313 1.89,-2.061 2.385,-5.518 2.158,-9.697 z m 20.473,-8.082 c 7.58,-1.017 11.834,-5.023 18.321,-8.082 1.176,-6.501 -0.186,-13.841 0,-20.473 -6.94,-1.621 -19.634,-6.927 -26.939,-3.229 -9.037,4.563 -21.964,5.271 -15.085,17.235 3.738,6.509 13.924,15.87 23.703,14.549 z m -44.183,51.729 c -3.36,-0.31 -3.684,2.412 -6.46,2.694 -6.962,-0.612 -2.096,-10.501 -4.852,-14.549 -1.257,3.023 -0.859,7.704 -4.309,9.696 -4.137,0.941 -6.501,-2.24 -7.545,-5.924 -1.175,-1.711 -2.495,2.763 -4.309,0.536 -2.055,-5.229 -1.079,-9.669 -3.773,-12.934 -2.144,-2.598 -7.374,-5.58 -11.855,-5.388 -2.144,0.096 -4.536,2.79 -7.003,2.693 -3.574,-0.13 -5.986,-4.027 -8.082,-5.388 -1.1,-11.539 2.57,-16.515 -1.079,-25.86 -7.525,-19.284 -18.432,-30.252 -16.7,-58.188 0.791,-12.783 10.659,-36.561 19.937,-42.024 1.512,-0.894 19.222,-21.016 65.734,-21.016 47.639,0 64.414,30.328 67.885,36.1 6.055,10.062 8.584,17.545 9.697,32.864 0.412,5.656 1.306,12.467 0.543,18.857 -1.918,16.068 -16.164,25.105 -13.47,45.262 0.433,3.258 2.309,4.722 2.15,8.618 -0.186,4.714 -3.292,9.312 -5.388,10.775 -6.15,4.316 -18.466,0.269 -24.782,4.316 -2.384,1.519 -2.515,4.467 -4.852,7.003 -8.055,1.395 -10.089,5.519 -10.232,14.549 -4.439,0.976 -4.522,-5.01 -8.082,-6.467 -4.722,0.474 -1.719,6.315 -2.694,9.696 -2.378,0.138 -4.172,0.859 -7.01,0.536 -0.722,-1.43 -0.172,-4.137 -1.615,-4.845 -3.319,-0.447 -2.171,3.573 -3.772,4.845 -6.378,0.415 -5.683,-3.612 -8.082,-6.457 z m -19.057,-83.513 c -7.305,-3.697 -19.999,1.608 -26.939,3.229 0.186,6.632 -1.175,13.972 0,20.473 6.487,3.059 10.741,7.065 18.322,8.082 9.779,1.32 19.964,-8.04 23.703,-14.549 6.878,-11.964 -6.049,-12.671 -15.086,-17.235 z"
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+   inkscape:connector-curvature="0" />
+		<path
+   d="m 236.453,286.269 c 6.941,-1.621 19.634,-6.927 26.939,-3.229 9.037,4.563 21.964,5.271 15.085,17.235 -3.739,6.509 -13.923,15.869 -23.703,14.549 -7.581,-1.017 -11.834,-5.023 -18.322,-8.082 -1.175,-6.502 0.186,-13.842 0.001,-20.473 z"
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+	</g>
+	<g
+   id="g28"
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+	</g>
+</g>
+</svg>

gfx/paperVersion-preprint.tex

@@ -0,0 +1,13 @@
+%
+% Macros to produce different text for different versions of the paper.
+%
+\newcommand{\Preprint}[1]{#1}
+\newcommand{\Publication}[1]{}
+
+
+%
+% No subversion info and no approval boxes anymore
+%
+\newcommand{\subversionInfo}{}
+\newcommand{\svnid}[1]{}
+\newcommand{\approvals}[2][Approval]{}

gfx/paperVersion-publication.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+%
+% Macros to produce different text for different versions of the paper.
+%
+\newcommand{\Preprint}[1]{}
+\newcommand{\Publication}[1]{#1}
+
+
+%
+% No subversion info and no approval boxes anymore
+%
+\newcommand{\subversionInfo}{}
+\newcommand{\svnid}[1]{}
+\newcommand{\approvals}[2][Approval]{}
+
+%
+% Define a dummy command for low-level TeX programming
+%
+\newcommand{\isPublication}{}

gfx/paperVersion-publicationPreview.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+%
+% Dummy macros for the publicationPreview. Macros that are no longer allowed in
+% a publication are temporarily set to empty.
+%
+\newcommand\sideremark[1]{}
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+\newcommand\disaster[1]{}
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+
+%
+% Go on with regular publication macros
+%
+\input{gfx/paperVersion-publication}

gfx/paperVersion-working.tex

@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% DEBUGGING MACROS
+%
+
+% sideremark
+\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}}
+
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+\newcommand\questionSign[1]{\marginpar
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+{
+\hskip -.075in
+\begin{minipage}{1.25in}
+\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}}
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+}}
+
+% disaster
+\newcommand\disaster[1]{\marginpar
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+\hskip .45in
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+{
+\hskip -.075in
+\begin{minipage}{1.25in}
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+\end{minipage}
+}}
+
+% watchOut
+\newcommand\watchOut[1]{\marginpar
+[
+\hskip .45in
+\begin{minipage}{1.25in}
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+\tiny \sf #1
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+]
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+\hskip -.075in
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+
+% construction
+\newcommand\constructionWarning[1]{\marginpar
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+
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+\newcommand{\approvals}[2][Approval]{%
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+}
+
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+\newcommand\todo[1]{{\sf \color{red}#1}}
+
+%
+% Macros to produce different text for different versions of the paper.
+%
+\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
+\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}

gfx/question.eps

@@ -0,0 +1,184 @@
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+      0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def
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+  {
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+%%EndProlog
+%%Page: 1 1
+%%BeginPageSetup
+%%PageBoundingBox: 0 -1 34 35
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+q
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+image
+Gb"0Wq0*M(fa%"rW_!km("1P%p89fCS$YcDUa0RH!]9:9:ReYC1aE2Xd"DC2nHKgD0\Bc;Q?
+ QQ=,YPSN-1>NPA\;DeA)j+DRVQ29h3g@9,L'oA=O28QO,kM7RecHDHfr[VIeIU&Qg`mD?F`
+ -\ZgtU*\@#alhM*'Hn4ic$b5;TB@!G<4GF,C-%?4*^qa/2Y.Ch\?1e4iYgmWTRZ=S9.7dkQ
+ 4Y,fFuI<F-VQ4_egVHn!++4^8eY1(NP\KNWYin&Mb:Z#o0FH?%u-[Q%FD4SS42dDjH?H3TO
+ jdq(l^pr7iHJMSE=U-9uBj4ne\S#eg8c1:;@8=Ark@%3&lLH=-&m$@-VMp+MDj6g]lkt(cp
+ Jpk\[k[sL;.ADF3j5m!>;=Uh]nQHJBqAu1"Xc7+?UN.c,P>eUhh]kPF.HBK9W4+V#qM2'Xc
+ 2TE%i(]b\UEN50F1d_]h'dJMk=]mAq"c4Jb<A5rZmea`QqNP*nbbbp"AGmVX?1i@n<]QG:0
+ Xp/,lfqe2"DoJeRh6$dRH9-36,=_7?nIo:\)2I2u=(9KZGUO]ZeQO>^=I/h.nh0!(`lQ3p&
+ 8q*ps[*m%lK!R$eI;HRZg.E-UEB+dj'WQPtX<g,VDc'CLoV$0d19D-_n.>am1C!@=oQF.ro
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+ $PZR.f>i!Y[?+XU(uUl-j6/l!/sPU4@3\T5W"7n#0s`_KoqNF,4BI-5M]i%b/Y*R\(ZQ,;@
+ 5m#Qs$\46K.!kG[O_1-;'4/DZ_=6A0p2(9j2#/<O$fDU#k-mFPnC-)u&t;Au:N[R6r"?`WY
+ e@bk=r=F)^@*$SpXMYc[3Vk'*n>$Z"Q@9NFafp,a,/kkejLbqH3>PK\/[4-O+@O7C5h%4"f
+ ;#b2rSbf*5g0nq8X/*!rS,K@--'Cip&<TG\G6qWWSg1>T0PM,n<%/r#[*iT']?f-0g6d'd;
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+       style="fill:#3465a4;fill-opacity:1;stroke:#204a87;stroke-width:0.99999982;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1;display:inline"
+       d="M -267.125,0.5 C -267.66545,0.55893 -268.13172,0.905646 -268.34375,1.40625 L -272.1875,10.40625 C -271.97547,9.905646 -271.5092,9.55893 -270.96875,9.5 C -270.9167,9.497286 -270.86455,9.497286 -270.8125,9.5 L -255.6875,9.5 C -255.25497,9.496655 -254.84987,9.676711 -254.5625,10 C -254.27513,10.323289 -254.13347,10.758342 -254.1875,11.1875 L -255.46875,21.25 C -255.49092,21.390663 -255.53301,21.527452 -255.59375,21.65625 L -251.75,12.65625 C -251.68926,12.527452 -251.64717,12.390663 -251.625,12.25 L -250.34375,2.1875 C -250.28972,1.758342 -250.43138,1.323289 -250.71875,1 C -251.00612,0.676711 -251.41122,0.496655 -251.84375,0.5 L -266.96875,0.5 C -267.0208,0.497286 -267.07295,0.497286 -267.125,0.5 z "
+       id="path6900" />
+  </g>
+</svg>

gfx/set-externals.sh

@@ -0,0 +1,2 @@
+STR=$'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography'
+svn propset svn:externals "$STR" .

gfx/setupProject.py

@@ -0,0 +1,20 @@
+#!/usr/bin/python3
+import os
+import subprocess
+
+projectName = os.getcwd().split("/")[-1]
+
+print("Working on project "+projectName)
+
+print("Setup directory structure")
+subprocess.call("svn rm branches tags trunk", shell=True)  
+subprocess.call("svn propset svn:externals 'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography' .", shell=True)
+subprocess.call("svn up", shell=True)
+
+print("Setup templates")
+subprocess.call("cp gfx/templates/*.tex .", shell=True)
+subprocess.call("mv example.tex "+projectName+".tex", shell=True)
+subprocess.call("sed 's/example/"+projectName+"/g' <01.tex >01new.tex", shell=True)
+subprocess.call("mv 01new.tex 01.tex", shell=True)
+subprocess.call("svn add *.tex", shell=True)
+subprocess.call("bash gfx/svn-propset.sh", shell=True)

gfx/stdPreamble.tex

@@ -0,0 +1,377 @@
+%
+% PACKAGES
+%
+
+% Standard Packages
+\usepackage{babel}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{newunicodechar}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{varioref}
+\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy}
+
+% Graphics Packages
+\usepackage{colortbl}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tikz}
+
+% Font packages
+\usepackage{mathrsfs}
+
+
+%
+% GENERAL TYPESETTING
+%
+
+% Colours for hyperlinks
+\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2}
+\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6}
+
+% Limit table of contents to section titles
+\setcounter{tocdepth}{1}
+
+% Numbering of figures (see below for numbering of equations)
+\numberwithin{figure}{section}
+
+% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references
+\usepackage[hyperpageref]{backref}
+\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1}
+
+% Numbering of parts in roman numbers
+\renewcommand\thepart{\rm \Roman{part}}
+
+% Sloppy formatting -- often looks better
+\sloppy
+
+% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in
+% the original amsart style is too much for my taste.
+\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
+\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
+\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii}
+
+%
+% Input characters
+%
+
+\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}}
+\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
+\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}}
+\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}}
+\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}}
+\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}}
+\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}}
+\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}}
+\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}}
+\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}}
+\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}}
+\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}}
+\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}}
+\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}}
+\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}}
+\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}}
+\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}}
+\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{\Omega}}
+\newunicodechar{π}{\ensuremath{\pi}}
+\newunicodechar{Π}{\ensuremath{\Pi}}
+\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\phi}}
+\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{\Phi}}
+\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}}
+\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{\Psi}}
+\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{\rho}}
+\newunicodechar{σ}{\ensuremath{\sigma}}
+\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\Sigma}}
+\newunicodechar{τ}{\ensuremath{\tau}}
+\newunicodechar{θ}{\ensuremath{\theta}}
+\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{\Theta}}
+\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{\xi}}
+\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{\Xi}}
+\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{\zeta}}
+
+\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}}
+\newunicodechar{ï}{\"{\i}}
+
+\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{\bA}}
+\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{\bB}}
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+\newunicodechar{𝔾}{\ensuremath{\bG}}
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+\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{\bR}}
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+\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{\bZ}}
+\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{\sA}}
+\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{\sB}}
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+\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{\sD}}
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+
+\newunicodechar{∂}{\ensuremath{\partial}}
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+
+\newunicodechar{↺}{\ensuremath{\circlearrowleft}}
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+\newunicodechar{↪}{\ensuremath{\into}}
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+\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{\subsetneq}}
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+\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{\subset}}
+\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{\not \subset}}
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+\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
+\newunicodechar{≫}{\ensuremath{\gg}}
+\newunicodechar{≪}{\ensuremath{\ll}}
+
+\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leq}}
+\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
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+\newunicodechar{°}{\ensuremath{^\circ}}
+\newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi}
+\newunicodechar{·}{\ensuremath{\cdot}}
+\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{\cdots}}
+\newunicodechar{∅}{\ensuremath{\emptyset}}
+\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{\Rightarrow}}
+
+\newunicodechar{⁰}{\ensuremath{^0}}
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+
+\newunicodechar{⌈}{\ensuremath{\lceil}}
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+\newunicodechar{⌋}{\ensuremath{\rfloor}}
+
+\newunicodechar{≅}{\ensuremath{\cong}}
+\newunicodechar{⇔}{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
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+\newunicodechar{±}{\ensuremath{\pm}}
+
+
+%
+% FONT DEFINTIONS
+%
+
+% Script Font used for sheaves
+\DeclareFontFamily{OMS}{rsfs}{\skewchar\font'60}
+\DeclareFontShape{OMS}{rsfs}{m}{n}{<-5>rsfs5 <5-7>rsfs7 <7->rsfs10 }{}
+\DeclareSymbolFont{rsfs}{OMS}{rsfs}{m}{n}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
+
+% Code from mathabx.sty and mathabx.dcl, define macro \wcheck
+\DeclareFontFamily{U}{mathx}{\hyphenchar\font45}
+\DeclareFontShape{U}{mathx}{m}{n}{
+      <5> <6> <7> <8> <9> <10>
+      <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88>
+      mathx10
+      }{}
+\DeclareSymbolFont{mathx}{U}{mathx}{m}{n}
+\DeclareFontSubstitution{U}{mathx}{m}{n}
+\DeclareMathAccent{\wcheck}{0}{mathx}{"71}
+
+
+%
+% MATHEMATICS DEFINITIONS
+%
+
+% Operators
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
+\DeclareMathOperator{\const}{const}
+\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
+\DeclareMathOperator{\Image}{Image}
+\DeclareMathOperator{\img}{img}
+\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\Ramification}{Ramification}
+\DeclareMathOperator{\red}{red}
+\DeclareMathOperator{\reg}{reg}
+\DeclareMathOperator{\sat}{sat}
+\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}}
+\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
+\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
+\DeclareMathOperator{\tor}{tor}
+\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
+\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
+
+% Sheaves
+\newcommand{\sA}{\scr{A}}
+\newcommand{\sB}{\scr{B}}
+\newcommand{\sC}{\scr{C}}
+\newcommand{\sD}{\scr{D}}
+\newcommand{\sE}{\scr{E}}
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+\newcommand{\sHom}{\scr{H}\negthinspace om}
+\newcommand{\sI}{\scr{I}}
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+
+% C-infty sheaves
+\newcommand{\cA}{\mathcal A}
+\newcommand{\cC}{\mathcal C}
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+\newcommand{\cE}{\mathcal E}
+\newcommand{\cM}{\mathcal M}
+\newcommand{\cN}{\mathcal N}
+\newcommand{\cV}{\mathcal V}
+
+% Blackboard Bold Symbols
+\newcommand{\bA}{\mathbb{A}}
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+\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
+
+% Sans serif symbols
+\newcommand{\aB}{{\sf B}}
+\newcommand{\aD}{{\sf D}}
+\newcommand{\aE}{{\sf E}}
+\newcommand{\aF}{{\sf F}}
+
+
+% Theorem type environments
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
+\newtheorem{aassumption}[thm]{Additional Assumption}
+\newtheorem{conjecture}[thm]{Conjecture}
+\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
+\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
+\newtheorem{fact}[thm]{Fact}
+\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
+\newtheorem{lemDef}[thm]{Lemma and Definition}
+\newtheorem{lemNot}[thm]{Lemma and Notation}
+\newtheorem{problem}[thm]{Problem}
+\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
+\newtheorem{setup}[thm]{Setup}
+\newtheorem{subthm}[thm]{Sub-Theorem}
+\newtheorem{summary}[thm]{Summary}
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem{assumption}[thm]{Assumption}
+\newtheorem{asswlog}[thm]{Assumption w.l.o.g.}
+\newtheorem{claim}[thm]{Claim}
+\newtheorem{c-n-d}[thm]{Claim and Definition}
+\newtheorem{consequence}[thm]{Consequence}
+\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
+\newtheorem{computation}[thm]{Computation}
+\newtheorem{example}[thm]{Example}
+\newtheorem{explanation}[thm]{Explanation}
+\newtheorem{notation}[thm]{Notation}
+\newtheorem{obs}[thm]{Observation}
+\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
+\newtheorem{question}[thm]{Question}
+\newtheorem*{rem-nonumber}{Remark}
+\newtheorem{setting}[thm]{Setting}
+\newtheorem{warning}[thm]{Warning}
+
+% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
+\numberwithin{equation}{thm}
+
+% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
+% numbered in the same way as equations are.
+\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}}
+
+% Shorthand notations
+\newcommand{\into}{\hookrightarrow}
+\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\wtilde}{\widetilde}
+\newcommand{\what}{\widehat}
+
+%
+% HYPENTATION
+%
+
+\hyphenation{com-po-nents}
+\hyphenation{pos-i-tive}
+\hyphenation{Theo-rem}
+\hyphenation{Vojta}
+
+
+%
+% SPECIALIZED MACROS
+%
+
+% CounterStep - increases equation counter
+\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}}
+
+% factor - quotient groups
+\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}

gfx/svn-propset.sh

@@ -0,0 +1,2 @@
+#!/bin/bash
+svn propset svn:keywords "Id" *.tex

gfx/templates/01.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+%
+% Do not edit the following line.  The text is automatically updated by
+% subversion.
+%
+\svnid{$Id: 01-intro.tex 64 2013-12-04 07:33:02Z kebekus $}
+
+\section{Example section}
+\subversionInfo
+
+Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor
+incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis
+nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo
+consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum
+dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint occaecat cupidatat non proident,
+sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. \cite{Grauert62}
+
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "example"
+%%% End:
+

gfx/templates/example.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+\documentclass[a4paper, british]{amsart}
+
+\input{gfx/stdPreamble}
+\input{gfx/paperVersion-working}
+
+\author{Stefan Kebekus}
+\address{Stefan Kebekus, Mathematisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, Eckerstraße 1, 79104 Freiburg im Breisgau, Germany and University of Strasbourg Institute for Advanced Study (USIAS), Strasbourg, France}
+\email{\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}}
+\urladdr{\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}}
+\thanks{Stefan Kebekus was supported in part by the DFG-Forschergruppe 790
+  ``Classification of Algebraic Surfaces and Compact Complex Manifolds''. He
+  gratefully acknowledges the support through a joint fellowship of the Freiburg
+  Institute of Advanced Studies (FRIAS) and the University of Strasbourg
+  Institute for Advanced Study (USIAS).}
+
+
+\keywords{Example Keywords}
+
+\subjclass[2010]{Example Class}
+
+\title{Example Paper}
+\date{\today}
+
+\makeatletter
+\hypersetup{
+  pdfauthor={\authors},
+  pdftitle={\@title},
+  pdfsubject={\@subjclass},
+  pdfkeywords={\@keywords},
+  pdfstartview={Fit},
+  pdfpagelayout={TwoColumnRight},
+  pdfpagemode={UseOutlines},
+  bookmarks,
+  colorlinks}
+\makeatother
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+\input{01}
+
+
+\bibstyle{alpha}
+\bibliographystyle{alpha}
+\bibliography{bibliography/general}
+
+
+\end{document}

gfx/varphi.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\renewcommand{\phi}{\varphi}

gfx/warning.svg

@@ -0,0 +1,35 @@
+<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
+<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.0//EN" "http://www.w3.org/TR/2001/REC-SVG-20010904/DTD/svg10.dtd">
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+  <linearGradient id="g3" x1="187.873566" y1="224.598923" x2="581.837463" y2="483.100006" gradientUnits="userSpaceOnUse" gradientTransform="matrix(0.960006,0,0,0.960006,11.68071,9.787558)">
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+    cx="295.471252" cy="186.096344" r="179.550003" gradientUnits="userSpaceOnUse" gradientTransform="matrix(1.14292e-8,1.531256,-0.876504,-2.165967e-5,462.7486,-245.0023)">
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