diff --git a/01.tex b/01.tex new file mode 100644 index 0000000..03964cb --- /dev/null +++ b/01.tex @@ -0,0 +1,294 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal} + +\begin{quote} + Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den + axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches + Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und + Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter + vier Augen erlautert werden. + + --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der + gewöhnlichen Differenzalgleichungen'' +\end{quote} + +\bigskip + +\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung +``Algebra'' zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die +Begriffe +\begin{quote} + Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen +\end{quote} +ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit +einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. +Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur +schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert +waren. Das ist doch langweilig! + +Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem +Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal +konstruieren? Und bei welchen geht das nicht? Und wenn es nicht geht, woran +liegt das? Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach +Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die +notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen also +gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte, +die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's! + + +\section{Das Konstruktionsproblem} + +Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike. Alexander der Große hat +ein Weltreich errichtet. Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in +den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden +wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}. Kennen Sie den + \href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus + von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende +Geometrie einen wichtigen Platz ein. Trigonometrische Rechnung war zwar +bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen + Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem + Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$ + näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück + übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn + Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit +Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich +nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut + sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}. + +\begin{warnung} + In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung. Bei + Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder + vorgeben. Albrecht + Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht + Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April + 1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und + Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat, + schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb + lieber vom ``Richtscheit''. +\end{warnung} + + +\subsection{Konstruktion des regelmäßigen 5-Eck} +\index{Konstruktion!des regelmäßigen 5-Eck} + +\begin{figure} + \centering + + \input{figures/01-fiveGon} + + \caption{Das regelmäßige 5-Eck} + \label{fig:fiveGon} +\end{figure} + + +Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten. +Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} +finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt. +\begin{itemize} +\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im + Mittelpunkt eines Kreises schneiden. + +\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse. + +\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke + Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius. + +\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale + Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen + 5-Eck auf die geviertelte Achse. +\end{itemize} + +Der folgende Satz schafft den Bogen zur Zahlentheorie. Ich nenne ihn hier, um +zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist! + +\begin{satz} + Betrachte das regelmäßig 5-Eck aus Abbildung~\ref{fig:fiveGon}. Dann gilt: + Die Kantenlänge $a$ und die Länge der Sekante $d$ im regelmäßigen $5$-Eck sind + \emph{inkommensurabel}. Mit anderen Worten: der Quotient $d/a$ ist keine + rationale Zahl. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer + Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass + das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der + Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der + \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} + für Sie als Scan hinterlegt habe. + + Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und + nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der + Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen + sind. Die Vorüberlegung zeigt aber, dass + \begin{equation*} + d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s + \end{equation*} + die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$ + hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist. Weil + aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit + $a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen + können, ist + \begin{equation*} + s< θ^k·a + \end{equation*} + für alle $k>0$, ein klarer Widerspruch. +\end{proof} + +\begin{prov} + Kennen wir die irrationale Zahl $d/a$ irgendwoher? +\end{prov} + + +\subsection{Andere klassische Konstruktionsaufgaben} +\label{sec:1-1-2} + +Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben. Ich nenne +einige der berühmtesten Beispiele. + +\begin{itemize} +\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen + $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck} + +\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung + des Winkels} + +\item Die Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen + soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels} + +\item Die Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis + ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der + Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises} +\end{itemize} + + +\section{Enter: Algebra} + +Die Frage, welche dieser Konstruktionsaufgaben lösbar sind, war viele +Jahrhunderte offen. Fortschritte gab es erst, nachdem die Probleme in Algebra +übersetzt werden konnten. Dazu interpretiert die Ebene als die Menge $ℂ$ der +komplexen Zahlen. Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche +Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. + +\begin{notation} + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch + $p$ und $q$. +\end{notation} + +\begin{notation} + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit + Mittelpunkt $p$. +\end{notation} + +\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte] + Gegeben sei eine nicht-leere Menge $M ⊂ ℂ$. Mit Zirkel und Lineal sind exakt + die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu + konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt} + \begin{itemize} + \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und + $p_2≠ q_2$. Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden. Dann sind die Punkte von + $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte + von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$. Dann sind die Punkte + von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + In jedem elementaren Konstruktionsschritt werden höchstens zwei Punkte neue + Punkte konstruiert. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Durch Zusammensetzen von mehreren elementaren Konstruktionsschritten kann man + komplizierte Konstruktionen durchführen. In der Schule haben wir unter + anderem folgende Konstruktionen gelernt. + \begin{itemize} + \item Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen. + + \item Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten konstruieren. Damit lassen sich + Strecken halbieren und vierteln. + + \item Gerade durch einen Punkt konstruieren, die zu einer gegebenen Gerade + parallel ist. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +\begin{definition}[Konstruierbare Punkte] + Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben. Wir definieren die Menge + \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren + Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau + dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen + \[ + M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n + \] + gibt, sodass folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $z ∈ M_n$. + + \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ + entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von + $M_i$. + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{bemerkung}[Menge $M$ sollte mindestens zwei Punkte enthalten] + Wenn $M$ leer ist, oder nur einen Punkt enthält, ist $\Kons(M) = M$, das ist + sehr langweilig. Also betrachten wir im Folgenden immer den Fall, dass $M$ + mindestens die Punkte $0,1 ∈ ℂ$ enthält. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Klassische Konstruktionsaufgaben] + Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen + Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren. + \begin{itemize} + \item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann + auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + + \item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl + $\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in + $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$? + + \item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + + \item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + \end{itemize} +\end{bsp} + +Der folgende Satz ist der wesentliche Knackpunkt in der gesamten Vorlesung, der +die Verbindung zwischen der Frage nach der Konstruierbarkeit und der Algebra +herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage +zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper +ineinander enthalten sein können. + +\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9} + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. + Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe] + Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen + \[ + x+y,\quad x-y,\quad x·y + \] + und im Falle $x \ne 0$ auch die Zahl $1/x$ mit Zirkel und Lineal aus $M$ + konstruierbar ist. Dies lassen wir als Übungsaufgabe für die Leserin oder den + Leser. Das gilt insbesondere, wenn sie oder er auf Lehramt studiert! +\end{proof} + + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: + diff --git a/02.tex b/02.tex new file mode 100644 index 0000000..cb67667 --- /dev/null +++ b/02.tex @@ -0,0 +1,396 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe} + +Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich +sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe +Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer +einheitlich). Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem +ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole. Das allermeiste +dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der +Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. + + +\section{Gruppen} +\label{sec:gruppen} + +\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1} + Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer + Abbildung + \[ + m : G⨯ G → G, + \] + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{description} + \item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt: + $m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$. + + \item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für + alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$. + + \item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus + $G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{defn}[Abelsche Gruppe] + Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Die Gruppe heißt + \emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder + \emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$ + die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt. +\end{defn} + +\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses] + Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Dann wird die Abbildung $m$ häufig + \emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt. Häufig wird + statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz + $a·b$. Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich. Das + inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra] + Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem + (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder + der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei + \begin{equation*} + m(a,b) := a+b + \end{equation*} + die Addition bzw.\ die Vektoraddition. Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen] + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der + invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind. Weiter sei + \begin{equation*} + m(a,b) := a·b + \end{equation*} + die Matrixmultiplikation. Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen + nicht Abelsch. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen] + Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven + Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die + Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen. Dann ist + $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich + ``Bijektivität''? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch + ist? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Vektorprodukt] + Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt. Dann ist + $(G, ⨯)$ keine Gruppe. Warum? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation] + Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die + Multiplikation. Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe. Warum? +\end{bsp} + +\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9} + Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge. + Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls + Folgendes gilt. + \begin{description} + \item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$, + $b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$. + + \item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$ + ist auch $a^{-1}$ in $U$. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann + schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung + \[ + m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U + \] + und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe. Es ist üblich, diese Gruppe + einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen. +\end{bemerkung} + + +\subsection{Normale Untergruppen} + +Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''? Falls Sie diesen Begriff +in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, +hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von +Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich +im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. + +Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt +betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo +zusammengefasst. \video{1-1} + + + +\section{Ringe} + +\begin{defn}[Ring]\label{def:ring} + Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei + Abbildungen, + \[ + + : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R, + \] + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{description} + \item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe. + + \item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die + Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$. + + \item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ + aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$. + + \item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus + $R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{notation} + Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als + Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet. Das + neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das + neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$. +\end{notation} + +\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation] + Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren + verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales + Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in + Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins'' + genannt. +\end{warnung} + +\begin{defn}[Abelsche Ringe] + Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder + \emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ + aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Vektorprodukt] + Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die + Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet. Warum? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn] + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge + der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition + und Matrixmuliplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht + kommutativ. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Ganze Zahlen] + Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen + kommutativen Ring. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen. Man rechnet sofort + mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente + $a$ und $b$ die Identitäten + \[ + a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b) + \] + gelten. Aber Achtung! + \begin{itemize} + \item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass + $b=0$ ist. + + \item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass + $b=c$ ist. + \end{itemize} + Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann! +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Nullteiler] + Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a$ aus $R$ heißt + \emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt, + sodass $a·b = 0$ ist. Der Ring $R$ heißt + \emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder + \emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige + Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht. +\end{defn} + +Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme. Gute Ringe haben keine Nullteiler. + +\begin{figure} + \centering + \begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); + \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); + \draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0); + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); + \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); + \draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{minipage} + + \caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$} + \label{fig:nt} +\end{figure} + +\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig} + Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$. Zusammen mit + der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen + kommutativen Ring. Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus + Abbildung~\vref{fig:nt}. Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber + $f·g$ ist die Nullfunktion. Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des + Ringes $\cC⁰(ℝ)$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Polynome] + Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in + $n$ Veränderlichen. Die definiert mit der üblichen Addition und + Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$] + Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$. Dies ist kein + Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber + $[2]·[3] = [6] = [0]$. Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein + Integritätsring, sogar ein Körper. +\end{bsp} + +Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives +Inverses besitzt. Solche Elemente heißen Einheiten. + +\begin{defn}[Einheiten eines Ringes] + Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element. Nenne $a$ + \emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes} + oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass + $a·b = b·a = 1$ ist. Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Ganze Zahlen] + Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Stetige Funktionen] + In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen + ohne Nullstelle. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring. Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten + wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der + Multiplikation eine Gruppe. +\end{beobachtung} + +Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur +Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. + +\begin{bsp}[Unterringe] + Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring + der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$. +\end{bsp} + + +\section{Körper} + +\sideremark{Vorlesung 2} +\begin{defn}[Schiefkörper, Körper] + Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle + Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. + Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch + kommutativ ist. +\end{defn} + +Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur +Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. + +\begin{bsp}[Bekannte Körper] + Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper. Die + reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3} + In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa + \[ + f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}. + \] + Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale + Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen + Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen + ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber + kein Unterkörper von $ℝ(x)$. +\end{bsp} + +\begin{notation}[Körpererweiterung] + Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer + \emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}. Man + schreibt oft $L/K$. +\end{notation} + +Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht +ganz einfach. Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen +werden, um an neue Beispiele zu kommen. + +\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a} + Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner + Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die + den kleineren Körper $K$ enthalten. Man rechne direkt mithilfe der Definition + nach, dass die Schnittmenge + \[ + S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L + \] + wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + Unterkörper die Menge $K$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b} + Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer + gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten + alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es + mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$. Man rechne direkt + mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$, + \[ + \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize + $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L + \] + wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der + die Menge $K ∪ A$ enthält. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen] + Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$ + bezeichnet. Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der + Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}. +\end{defn} + +\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen] + Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält, + $A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper + entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines + Elementes}. Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so + schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$. +\end{notation} + +\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache + Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. + In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der + Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich +besprechen. + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: + diff --git a/03.tex b/03.tex new file mode 100644 index 0000000..117efd5 --- /dev/null +++ b/03.tex @@ -0,0 +1,426 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Algebraische und transzendente Elemente} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +\section{Körpererweiterungen} + +Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für +Körpererweiterungen, also für Situation, in denen wir einen (großen) Körper $L$ +haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$. Die +erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass +nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind. + +\begin{beobachtung} + In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen: + \begin{itemize} + \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie + \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren + Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''. + + \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von + Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst +einmal ein wenig Sprache fällig. + +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2} + Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit + Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring} +\end{definition} + +\begin{warnung}[Polynome und Funktionen] + In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine + Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! + Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele + Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele + Abbildungen von $K$ nach $K$! +\end{warnung} + +\begin{bsp}[Polynomring] + Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom + $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Polynomring] + Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus + Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}. Dann ist + \[ + \frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z + \] + ein typisches Polynom aus $K[x]$. +\end{bsp} + +Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die +Folgende. + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt + \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer + Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes + gilt. + \begin{itemize} + \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom. + + \item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$. Genauer: fasse das Polynom + $f$ als Element von $L[x]$ auf. Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$ + gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet. + \end{itemize} + Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$ + \emph{transzendent}\index{transzendent!Element einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$. Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist + algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der + Freiburger Mathematiker Ferdinand + Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl + Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April + 1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher + Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem + Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten + Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist. +\end{bsp} + + +\section{Algebraische und transzendente Zahlen} + +Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die +Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert. + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen] + Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man + \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente + heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}. +\end{defn} + +Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass +jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen +enthält. + +\begin{satz}\label{satz:3-2-2} + Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. +\end{satz} +\begin{proof} + Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit + Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur + endlich viele Nullstellen. +\end{proof} + + +\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen} + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen] + Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$ + \emph{algebraisch}\index{algebraisch!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!algebraisch}, + wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist. Wenn $L/K$ nicht + algebraisch ist, nennt man die Erweiterung + \emph{transzendent}\index{transzendent!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!transzendent}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch. Denn wenn irgendeine komplexe + Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms + \[ + f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈ + ℝ}·x-\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}. + \] + Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann) sagt, dass + $ℝ/ℚ$ transzendent ist. +\end{bsp} + + +\section{Das Minimalpolynom} + +Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. +Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle +hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit +irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das +ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$ +als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar +Zusatzbedingungen stellt. + +\begin{description} +\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad + minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle + haben. + +\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn + \begin{equation*} + f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x] + \end{equation*} + ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung: + ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.} + \begin{equation*} + \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x] + \end{equation*} + ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle. +\end{description} + +Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom +minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat. Denn wenn $f_1$ und $f_2$ +zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das +Element $a$ als Nullstelle. Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der +Grad von $f_1$! + +\begin{defn}[Minimalpolynom] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. + Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten + Grades in $K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat, wird als + \emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von $a$ über $K$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann definiert man + den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes} wie folgt. + \begin{itemize} + \item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$ + der Grad des Minimalpolynoms. + + \item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$ + unendlich. + \end{itemize} + Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist + $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms + $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom? +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Der Satz von Lindemann sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. + Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel] + Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter + sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die + Gleichung $a² = b$). Dann gilt + \[ + [a:K] = + \left\{ + \begin{matrix} + 1 & \text{falls } a ∈ K \\ + 2 & \text{sonst} + \end{matrix} + \right. + \] +\end{bsp} + +Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen +werden. + + +\section{Der Grad einer Körpererweiterung} + +Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als +$K$-Vektorraum auffassen. Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in +$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit +Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$. Das erlaubt folgende +Definition. + +\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum + über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer + Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung] + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{endliche + Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!endlich}, wenn $[L:K] < ∞$ ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder + endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar. +\end{bsp} + +\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die + Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{3-1} und \video{3-2}. +\end{proof} + +Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich. Beide folgen direkt aus dem +Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an +dieser Stelle nicht. + +\begin{kor} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ + ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed +\end{kor} + +\begin{kor}\label{kro:eord} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom + Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als + \[ + b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1}, + \] + wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind. \qed +\end{kor} + +Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ +schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als +$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich +nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für +beliebige einfache Körpererweiterungen. + + +\section{Ketten von Körpererweiterungen} + +Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$ +haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers +hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden +Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. + +\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1} + \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von + Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention + $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die + Gleichung + \[ + [M:K] = [M:L]·[L:K]. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + \video{3-3} +\end{proof} + +\begin{kor} + Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn + $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von + $[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein + Teiler von $[M:K]$ ist. \qed +\end{kor} + +\begin{kor} + Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl + ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed +\end{kor} + +\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$ + durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und + $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es gilt die Gleichung $a² = b$. + + \item Es ist $L=K(a)$. + \end{itemize} +\end{kor} +\begin{proof} + \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises. +\end{proof} + +Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. + +\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$. + + \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$ + und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass + $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. + + \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$, + die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: + $L = K(a_1, …, a_n)$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}] + Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also + sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man + zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}] + Hier ist nichts zu zeigen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}] + Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die + Kette von Erweiterungen + \[ + K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L. + \] + Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$; + insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und + Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte + Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann + \[ + [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i], + \] + und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist. +\end{proof} + + +\section{Die Transitivität der Algebraizität} + +Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus +Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig +sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über +die ``Transitivität der Algebraizität''. + +\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA} + Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch + $M/K$ algebraisch. +\end{kor} +\begin{proof} + \video{3-5} +\end{proof} + +\begin{warnung}[Prüfungsfalle] + Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern + gefragt. Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist. In Prüfungen + sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$ + direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen. Das hat in der Geschichte der + Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert. Lassen Sie das! +\end{warnung} + +\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper]\label{satzdef:aaieO} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann bildet die Menge + \[ + \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \} + \] + einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im + Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper} +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{3-6} +\end{proof} + +\begin{kor} + Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen bildet einen Unterkörper + von $ℂ$. \qed +\end{kor} + +\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio} + Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von + ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines + Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln! +\end{warnung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/04.tex b/04.tex new file mode 100644 index 0000000..6f866e3 --- /dev/null +++ b/04.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösungen von Gleichungen durch Radikale} +\label{sec:4} + +\sideremark{Vorlesung 4}Nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal möchte ich +noch ein klassisches Problem formulieren. Für eine quadratische Gleichung +$x²+px+q=0$ gibt es die Lösungsformel +\begin{equation*} + x_{1,2} = -\frac{p}{2}±\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)²-q}. +\end{equation*} +Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der +Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese +Formeln erstmals 1545 von Gerolamo +Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo + Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan, + lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia; + † 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und + Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch +\cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen +Gleichungen wurden wohl von Nicolo +Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò + Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in + Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine + Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut +Cardano sogar noch früher durch Scipione del +Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione + del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein + italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und + Geometrie an der Universität von Bologna. }. + +\begin{bsp} + Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der + Gleichung + \begin{equation}\label{eq_loesung_3_Grades} + x³+ax²+bx+c=0. + \end{equation} + Diese Gleichung lässt sich wie folgt lösen. Man setze + \begin{align*} + h& := -\frac{1}{2}c+\frac{1}{6}a· b-\frac{1}{27}a³\\ + w_1& := \sqrt{-3(a²b²-4a³c-4b³+18abc-27c²)}\\ + w_2& := \sqrt[3]{h+\frac{1}{18}w_1}\\ + w_3& := \sqrt[3]{h-\frac{1}{18}w_1}, + \end{align*} + wobei die Wurzeln so zu wählen sind, dass + \[ + w_2·w_3 = \frac{1}{8}·a²·\frac{1}{3}·b + \] + ist. Dann ist $x = \frac{1}{3}·a+w_2-w_3$ eine Lösung von + \eqref{eq_loesung_3_Grades}. +\end{bsp} + +Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen +auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine +solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich +ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die +Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung +hier nur. + +\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente + $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$. + + \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist + $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$. + \end{itemize} +\end{defn} + +Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die +$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines +Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir +schreiben +\begin{align*} + K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\ + K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\ + &\:\:\: \vdots \\ + K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}. +\end{align*} +Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur +(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen. + +\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra} + Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die + Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit + durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine + Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt + und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}. +\end{defn} + +Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter +anderem ob ein Polynom +\begin{equation*} + f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x] +\end{equation*} +über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, +das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von +rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken +lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/05.tex b/05.tex new file mode 100644 index 0000000..88bbfcc --- /dev/null +++ b/05.tex @@ -0,0 +1,705 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Teilbarkeit} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + + +\section{Wohin geht die Reise…?} + +In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff +``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber +gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet. + +\begin{problem} + Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes + Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das + Minimalpolynom ist oder nicht. +\end{problem} + +Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und +Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen. Hier kommt ein erster Hinweis, in +welche Richtung die Argumentation geht. + +\begin{beobachtung} + Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch + über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt + $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule + gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende + schreibt man + \begin{equation*} + g(x) = q(x)·f(x)+ r(x) + \end{equation*} + wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als + Nullstelle. Dann gilt: + \begin{equation*} + 0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a). + \end{equation*} + Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist, + und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten. Als Konsequenz + lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des + Minimalpolynoms. Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das + $a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern + von $g$. +\end{beobachtung} + + +\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen} + +Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik +machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der +Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen +statt Körpern. + +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der + Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit + Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring + der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und + $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie + \begin{align*} + R[x,y] &= R[y,x] \\ + R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y], + \end{align*} + die wir nicht formal beweisen werden. +\end{beobachtung} + +Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom +$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen +verhält sich der Grad gut. + +\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad} + Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle + Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir + verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle + $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: + \begin{equation*} + \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q). + \end{equation*} + Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei + $n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus + $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können: + \begin{align*} + p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\ + q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m + \end{align*} + Dann ist weiter + \begin{equation*} + p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}. + \end{equation*} + Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist + $\deg (p·q) =n+m$. +\end{proof} + +\begin{kor} + Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch + $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe der + Einheiten gilt + \begin{equation*} + R[x_1, …, x_n]^* = R^*, + \end{equation*} + wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome + auffassen. +\end{kor} +\begin{proof} + Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die + zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass + $R[x]^* = R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: es + existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber + \[ + \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0. + \] + Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant. +\end{proof} + +\begin{bsp} + Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Sei $K$ ein Körper. Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$. +\end{bsp} + + +\section{Teilbarkeit in Ringen} + +In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In +allgemeinen Ringen geht das nicht anders. + +\begin{defn}[Teiler] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen + \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$ + ist. Wir schreiben dann $r|s$. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es gilt $2|16$ in $ℤ$. Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$ + seien Elemente. Dann gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Es gilt $r|r$. + + \item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$. + + \item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$. + + \item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$. + + \item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$. + \end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} + Keine Lust. Folgt alles direkt aus der Definition. +\end{proof} + +Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war +das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in +bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''. + +\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei + Elemente von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$. + + \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass + $ε·r=s$ ist. + \end{enumerate} + Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander + assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$. +\end{satzdef} +\begin{proof} + Wir beweisen die Richtung + \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen + $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ + liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes + die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. + Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit + \begin{equation*} + u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r. + \end{equation*} + Also ist + \begin{equation*} + v·(u· r) = v·s \:⇒\: v· u· r= r \:⇒\: (v· u-1)·r = 0, + \end{equation*} + und weil $R$ ein Integritätsring ist, folgt $v· u =1$, also sind $v$ und + $u$ Einheiten in $R$. +\end{proof} + +Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte +Teiler. + +\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei + Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter + Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten + \begin{itemize} + \item Es gilt $r|s$. + + \item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$. + + \item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert. + \end{itemize} + Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt + \emph{irreduzibel}\index{irreduzible Ringelemente}, wenn $r$ nicht Null ist, + keine Einheit ist und keine echten Teiler hat. +\end{definition} + +\begin{notation} + Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$. +\end{notation} + +\begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ} + Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei + $p$ eine Primzahl ist. +\end{bsp} + +\begin{warnung} + Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für + beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren. +\end{warnung} + + +\section{Zerlegbarkeit von Elementen} + +In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich +ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von +irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben, +\begin{equation*} + m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n), +\end{equation*} +wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen +eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! + +\begin{warning}\label{war:nufd} + Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von + komplexen Zahlen, + \[ + R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}. + \] + einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit + $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente + \[ + 3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i + \] + irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind. Es gilt aber + schrecklicherweise + \[ + 3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i). + \] + Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als + Produkt von irreduziblen Elementen. +\end{warning} + +\subsection{Existenz von Zerlegungen} + +\sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt +eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen +relevant. + +\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette} + in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle + $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. +\end{defn} + +\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der + Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn + für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle + $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. +\end{defn} + +\begin{rem} + Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind + assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele + $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. +\end{rem} + +\begin{bsp} + In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann + gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von + $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper + $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von + Polynomen anstelle des Betrages. +\end{bsp} + +\begin{warnung} + In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der + Teilerkettensatz nicht gilt. +\end{warnung} + +Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf +Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von + Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\ + Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir +hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy +Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy + Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am + 14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, + die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik + lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren + revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung + zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen + an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt. + +\begin{satz}\label{satz:tksgz} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente + gilt. Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist. + Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen + $p_i ∈ R$ schreiben. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{5-1} +\end{proof} + + +\subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen} + +Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage +der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis +auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei +Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne +wir ``äquivalent''. + +\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es + seien + \[ + r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m + \] + zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die + Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn + gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle + Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte $R = ℤ$. Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente + Darstellungen der Zahl $6$. +\end{bsp} + +Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines +Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind. Die folgende Definition ist dabei +wichtig. + +\begin{definition}[Primelemente eines Ringes] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ein Element $p ∈ R$ heißt + \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist, + $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass + $p|a$ oder $p|b$ gilt. +\end{definition} + +\begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$. Dann gilt + Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel. + \item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim. + \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$ + $p \sim q$. + \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$ + $⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen. Sei $p$ + also prim. Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$ + oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel. +\end{proof} + +\begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr} + In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Also: die + Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen. Der Beweis ist erstaunlich + kompliziert. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes + irreduzible Element in $ℤ$ sei prim. Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind + aber gerade $±$ Primzahl. Also nehmen wir an, dass es eine kleinste + (positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen + $a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid + b$. Division mit Rest liefert: + \begin{align*} + a &= q_1· p+a_1, & 1&0$. Weiter sei $\ggT(a_0, …, a_n)=1$. Wenn es ein + Primelement $p ∈ R$ gibt mit $p|a_0$, $p|a_1$, …, $p|a_{n-1}$ und + $p² \nmid a_0$, dann ist $f$ irreduzibel in $R[x]$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-1} +\end{proof} + +\begin{notation} + Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium} + erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}. +\end{notation} + +\begin{bsp} + Das Polynom $x^n-r ∈ ℤ[x]$ ist irreduzibel, wenn $r$ durch eine Primzahl + $p$, aber nicht durch $p²$ teilbar ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Das Polynom $x^n-p ∈ ℤ[x]$ ist für jede Primzahl $p$ irreduzibel, und + deshalb Minimalpolynom von $\sqrt[n]{p}$ als Element der Körpererweiterung + $ℂ/ℚ$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Ein Polynom in mehreren Variablen der Gestalt + \begin{equation*} + x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n] + \end{equation*} + über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ + irreduzibel ist. +\end{bsp} + + +\subsection{Hilfe bei der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums} + +Das Eisenstein-Kriterium lässt manchmal auch in solchen Situationen anwenden, in +denen kein Eisenstein-Polynom vorliegt. Hin und wieder ist es nämlich möglich, +einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden. + +\begin{lem} + Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $S$ ein Integritätsring und es sei + $\varphi : R[x] → S$ ein Ringmorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf + eine Einheit in $S$ abbildet. Weiter sei $f∈ R[x]$ ein Polynom vom Grad $>0$, + sodass der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist. Wenn + jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel. +\end{lem} +\begin{proof} + Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$ + und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame + Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven + Grad haben. Die Gleichung + \begin{equation*} + \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h) + \end{equation*} + zeigt dann, dass $\varphi(f)$ echte Teiler hat, also nicht irreduzibel ist. +\end{proof} + +Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die +folgenden Weisen. +\begin{description} +\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist + $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch + \begin{equation*} + Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν + \end{equation*} + ein Ringmorphismus. + +\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine + Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze + \begin{equation*} + Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν + \end{equation*} + +\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein + Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung + \begin{equation*} + Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν. + \end{equation*} + Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, weil sie durch $x ↦ x+a$ + umgekehrt wird. +\end{description} + +\begin{bsp}\label{bsp:7.2.7} + Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei + \begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68} + f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x]. + \end{equation} + Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden. Aber es gilt: + \begin{equation*} + (x-1)· f=x^p-1. + \end{equation*} + Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir + \begin{equation*} + \varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1. + \end{equation*} + Also ist + \begin{equation*} + \varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}. + \end{equation*} + Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit + $1 ≤ ν < p$. Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und + $\binom{p}{p}=1$. Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils + irreduzibel. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/08.tex b/08.tex new file mode 100644 index 0000000..9b50a7c --- /dev/null +++ b/08.tex @@ -0,0 +1,131 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Anwendung: Konstruktion mit Zirkel und Lineal} + +\section{Erinnerung} + +Die Ergebnisse, die wir bislang gewonnen haben, können wir direkt auf +Konstruierbarkeitsfragen anwenden. Ich erinnere noch einmal, was der Stand der +Debatte war. + +\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 1, Aufgabe 1.b] + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge, die die Elemente $0$ und $1$ enthält. Dann + ist die Menge $\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren Punkte + ein Unterkörper von $ℂ$. \qed +\end{satz} + +Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und +Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff +``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische +Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''. + +\begin{notation}[Konjungierte Menge] + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge + $\overline{M} := \{ \overline{m} \::\: m∈ M\}$. Man nennt $\overline{M}$ + die \emph{zu $M$ konjungierte Menge}\index{konjugierte Menge}. +\end{notation} + +\begin{rem} + Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die + Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist + klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch + klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist. +\end{rem} + +\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter + $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die + Gleichheit + \begin{equation*} + [K(z) : K] = 2^k + \end{equation*} + gilt. Insbesondere ist jede aus $\{ 0, 1 \}$ konstruierbare Zahl algebraisch + über $ℚ$. \qed +\end{satz} + + +\section{Verdopplung des Würfels} + +Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel +und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist +$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und +\[ + [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3, +\] +da wir mit unseren Methoden jetzt wissen, dass $x³-2$ das Minimalpolynom von +$\sqrt[3]{2}$ ist. + + +\section{Dreiteilung des Winkels} + +Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten, +beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird. + +\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$ + transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der + gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im + Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen. Mit anderen Worten: + \begin{equation*} + K(a) ≅ K(x) = Q(K[x]) + \end{equation*} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-2} +\end{proof} + +Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten. + +\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} + Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$ + transzendent ist, dann ist + $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des + Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die Menge $\{ \varphi ∈ (0, 2π) \::\: e^{i\varphi} \text{ ist transzendent}\}$ + ist dicht in $(0, 2π)$. Insbesondere gibt es kein allgemeines + Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels. +\end{bemerkung} +\begin{proof} + Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch + $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und + $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil + \begin{equation*} + \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z}) + \end{equation*} + algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für + die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist. +\end{proof} + + +\section{Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks} + +Auf die Frage, ob das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist, können wir nur eine +unvollständige Antwort geben. + +\begin{satz} + Es sei $p$ eine Primzahl. Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist, + dann gibt eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass $p-1=2^k$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-4} +\end{proof} + +Der Satz zeigt insbesondere, dass das regelmäßige $7$-Eck, das $11$-Eck, das +$13$-Eck und das $19$-Eck jeweils nicht konstruierbar ist. Um die Frage nach +der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks vollständig zu beantworten, müssen wir unsere +Methoden noch deutlich verbessern: Es genügt nicht nur, den Grad der +Körpererweiterung zu betrachten; wir müssen auch die Symmetrien verstehen. Dazu +ist wieder einmal Vorarbeit vonnöten. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/09.tex b/09.tex new file mode 100644 index 0000000..c45f841 --- /dev/null +++ b/09.tex @@ -0,0 +1,443 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ideale} +\label{chapt:09} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + + +\section{Wohin geht die Reise} + +Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach +der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu +können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und +vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer +Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir +Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine +einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon, +dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form +\[ + k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1} +\] +schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$ +sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den +komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben +lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der +Substitutionsmorphismus +\[ + φ : K[x] → K(α), \quad f ↦ f(α) +\] +ist ein \emph{surjektiver} Ringmorphismus! Wie bei Vektorräumen, Gruppen, … +liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben, +\begin{equation}\label{eq:xx} + K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}. +\end{equation} +Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum + SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$'' + mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der + Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben. + Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation + ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem +vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper +$K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal +überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was +``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die +Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''. + + +\section{Elementare Definitionen} + +Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende. + +\begin{defn}[Ideal]\label{def:ideal} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine nicht-leere Teilmenge + $I ⊆ R$ heißt \emph{Ideal}\index{Ideal}, wenn folgendes gilt. + \begin{enumerate}[ref = Bedingung (\roman*{})] + \item Für alle Elemente $a,b ∈ I$ ist $a+b ∈ I$. + + \item Für alle Elemente $r ∈ R$ und $a∈ I$ ist $r· a∈ I$. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Man kann Ideale auch in nicht-kommutativen Ringen definieren. Dann muss man + aber zwischen Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden: je nachdem, ob + man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder + Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links- + als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges + Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen + diese Begriffe zusammen. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Der Name \emph{Ideal} geht auf + Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst + Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893 + in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor + allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und + Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius + Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; † + 12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer + hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen + Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind + hat dann den Idealbegriff geprägt. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Triviale Ideale] + In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise + Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale. + Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann + ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element + $r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist + \[ + r = (r·a^{-1})·a ∈ I. + \] + Also ist $I=R$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Ideale in $ℤ$] + Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal in $ℤ$. Die Menge der + Primzahlen ist so ungefähr das Gegenteil von einem Ideal. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Kern eines Ringmorphismus] + Der Kern eines Ringmorphismus ist immer ein Ideal. +\end{bsp} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=6cm]{figures/Cubic_with_double_point} + + Nullstelle des Polynoms $y²-x²(x+1) ∈ ℝ[x,y]$. + + \bigskip + + Auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/ecp-de/}{meiner Homepage} finden + Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm + auch + \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt + im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}. + \caption{Knotenkurve} + \label{fig:node} +\end{figure} + +\begin{bemerkung}[Durchschnitte] + Es sei $R$ ein Ring und $(I_i)_{i ∈ I}$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch + der Durchschnitt + \begin{equation*} + \bigcap_{i ∈ I} I_i + \end{equation*} + ein Ideal. Beachte dazu, dass jedes Ideal das Nullelement enthält; damit ist + klar, dass der Durchschnitt nicht leer ist. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Summen]\label{bsp:9-2-8} + Es sei $R$ ein Ring und $I_1, …, I_n$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch die + Summe\index{Summe von Idealen} + \begin{equation*} + I_1 + ⋯ + I_n := \{a_1+ ⋯ + a_n \::\: a_k∈ I_k \} + \end{equation*} + ein Ideal. +\end{bemerkung} + + +\begin{bsp}[Algebraische Varietäten] + Es sei $K$ ein Körper (zum Beispiel $K = ℂ$) und $V ⊂ K^n$ sei die + Lösungsmenge eines Systems von polynomialen Gleichungen, + \[ + V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \} + \] + wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein + solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}. + Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie + \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und + \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne + Beispiele. + + Definiere dann das Ideal + \[ + I(V) = \{ g ∈ K[x_1, …, x_n] \:|\: \forall \vec{x} ∈ V:g(\vec{x}) = 0\}; + \] + dies ist also die Menge derjenigen Polynome, deren Nullstellenmenge $V$ + enthält. Offenbar ist $(f_1, …, f_n) ⊂ I_V$. +\end{bsp} + +In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine +Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von +algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich +ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' +aufstellen. + + +\section{Noethersche Ringe und Hauptidealringe} + +\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von +Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen. +Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so +betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten +Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder +$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt +genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination +der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was +dabei zu beachten, dass Linearkombinationen immer \emph{endliche} Summen sind. +Das geht mit Idealen in Ringen ganz genau so. + +\begin{bsp}[Erzeugte Ideale]\label{bsp:9-0-5} + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins, sowie eine Familie + $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ von Elementen aus $R$. Weiter sei $I$ die Menge der Elemente + $r ∈ R$, die sich als endliche Linearkombination der $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ schreiben + lassen, + \begin{equation*} + I := \{ r ∈ R \:|\: ∃ n ∈ ℕ: ∃ r_1, …, r_n ∈ R:, ∃ λ_1, …, λ_n ∈ Λ: r = r_1·a_{λ_1} + ⋯ + r_n·a_{λ_n} \}. + \end{equation*} + Dies ist ein Ideal, das als \emph{das von $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ erzeugte Ideal} + bezeichnet wird. Man schreibt dann $I = ((a_{λ})_{λ∈Λ})$. Im Fall, wo die + Familie endlich ist, schreibt man oft auch $I = (a_1, …, a_n)$. +\end{bsp} + +Ein Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich immer dann einfach zu beschreiben, wenn es durch +eine endliche Menge erzeugt wird, $I = (a_1, …, a_n)$. Tatsächlich können +Computer-Algebra-Systeme überhaupt nur mit solchen Idealen arbeiten -- und +stellen diese Ideale als endliche Liste von Erzeugern dar. Die allereinfachsten +Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können. + +\begin{warnung}[Das Ideal-Membership-Problem ist nicht einfach] + Gegeben ein endlich erzeugtes Ideal $I = (a_1, …, a_n) ⊂ R$ und ein + Element $b ∈ R$, dann ist es im Allgemeinen \emph{nicht} einfach, zu + entscheiden ob $b ∈ I$ ist. In Polynomringen gibt es aber Algorithmen, die + auch in allen relevanten Computer-Algebra-Systemen implementiert sind. +\end{warnung} + +\begin{defn}[Endlich erzeugtes Ideal, Hauptideal] + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt + \emph{endlich erzeugt}\index{Ideal!endlich erzeugt}, wenn es endlich viele + Elemente $a_1, …, a_n ∈ R$ gibt, sodass $I= (a_1, …, a_n)$ ist. Ein Ideal + $I ⊂ R$ heißt \emph{Hauptideal}\index{Hauptideal}, wenn es ein Element $a ∈ R$ + gibt, sodass $I= (a)$ ist. +\end{defn} + +\begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit] + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$. + Dann gilt offensichtlich + \begin{align*} + (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\ + (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2 + \end{align*} + Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander + assoziierten Elementen. +\end{beobachtung} + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'', + denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu + dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme + eines Ideals, + \[ + I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m), + \] + immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines + Ideals zu definieren -- nice try! +\end{warnung} + +Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst +endliche Menge von möglichst einfachen Erzeugern finden kann. Glücklicherweise +gibt es Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist. Das sagt zwar noch +nicht, wie man einen sinnvollen Satz von Erzeugern finden soll, gibt aber +zumindest schon ein wenig Hoffnung. + +\begin{defn}[Noethersche Ringe und Hauptidealringe] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Man nennt $R$ einen + \emph{Noethersch}\index{Noetherscher Ring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein + endlich erzeugt ist. Man nennt $R$ einen + \emph{Hauptidealring}\index{Hauptidealring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein + Hauptideal ist. +\end{defn} + +Die folgenden Sätze geben Beispiele für Hauptidealringe. + +\begin{satz}[$ℤ$ ist ein Hauptidealring]\label{satz:9-1-4} + Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring. +\end{satz} +\begin{proof} + Es sei $I ⊂ ℤ$ ein Ideal und $I ≠ \{0\}$. Dann gibt es ein $x ∈ I∖\{0\}$. + Beachte, dass dann auch $-x= (-1)· x$ in $I$ ist. Also enthält $I$ positive + Elemente. Sei $a ∈ I$ jetzt dass kleinste positive Element. Wir werden + zeigen, dass $I = (a)$ ist. Die Inklusion $(a) ⊆ I$ ist klar. Sei $b ∈ I$ + irgendein positives Element, dann teilen wir mit Rest + \[ + b=q·a+r,\quad \text{mit } 0≤r n$ und alle $1≤ i≤ n$, dass $a_i ∈ I_k$. Also ist + $I_k = I$. + + \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}] + Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne + maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit + $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen + Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt. + + \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei + $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt + und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also + gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ + endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass + $J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre + $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur + Annahme. \qedhere + \end{description} +\end{proof} + +Der folgende Satz von David +Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David + Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der + bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet + der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige + Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute + bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und + veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und + des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen + Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die + von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht + gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem + internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine + Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die + mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem +Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig. +Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb +großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe +eines nicht-konstruktiven Widerspruchsargumentes gezeigt wird. Der Beweis gibt +keinen Hinweis, wie man ein Erzeugendensystem je finden könnte. Heute gibt es +allerdings auch konstruktive Beweise, die für alle relevanten Ringe auch auf +Computern implementiert sind. + +\begin{satz}[Hilbertscher Basissatz]\label{Satz_Hilbertscher_Basissatz} + Es sei $R$ ein Noetherscher Ring. Dann ist auch $R[x]$ Noethersch. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{10-1} +\end{proof} + +\begin{kor} + Sei $K$ ein Körper, dann ist jeder Polynomring $K[x_1, …, x_n]$ Noethersch. + Ebenso ist $ℤ[x_1, …, x_n]$ ist Noethersch. \qed +\end{kor} + +\begin{bemerkung}[Teilerkettensatz für Ideale und für Elemente]\label{rem:9-2-5} + Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz für Ideale gilt, dann gilt auch der + Teilerkettensatz für Elemente. Das sieht man, wenn man (Teiler-)Ketten von + Hauptidealen betrachtet. In jedem Noetherschen Ring ist jede Nicht-Einheit + ungleich $0$ also als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen + darstellbar. +\end{bemerkung} + + +\section{Hauptidealringe} + +Wir bemerken kurz, dass Hauptidealringe fast immer faktoriell sind. Der Beweis +des folgenden Satzes ist ähnlich zum Beweis der Faktorialität von $ℤ$ auf +Seite~\pageref{satz:Zpirr}. Das ist kein Zufall. + +\begin{satz}[Hauptidealringe sind fast immer faktoriell] + Es sei $R$ ein Hauptidealring. Wenn $R$ zusätzlich noch ein Integritätsring + ist, dann ist $R$ faktoriell. +\end{satz} +\begin{proof} + Da wir in Satz~\ref{satz:9-2-2} schon gezeigt haben, dass in jeden + Noetherschen Ring (also insbesondere auch in jedem Hauptidealring) der + Teilerkettensatz für Ideale und somit nach Bemerkung~\ref{rem:9-2-5} auch der + Teilerkettensatz für Elemente gilt, müssen wir noch zeigen, dass jedes + irreduzible Element $p$ prim ist. Seien also $a$ und $b$ Elemente von $R$ mit + $p \nmid a$ und $p \nmid b$. Wir müssen zeigen, dass dann $p \nmid (a·b)$ + gilt. Das Ideal $(a, p)$ ist per Annahme ein Hauptideal, also existiert ein + $c ∈ R$ mit $ (a,p) = (c)$. Da nun $c|p$ gilt, aber $p$ irreduzibel ist, ist + entweder $c$ eine Einheit, oder es gilt $c \sim p$. Weil aber $c|a$ ist und + $p\nmid a$, ist $c \sim p$ nicht möglich. Also ist wohl $(a,p)= (1)$. Genau + so gilt natürlich $(b,p) = (1)$. Es gibt also Gleichungen + \begin{equation*} + 1 = r_1·p + r_2·a \quad\text{und}\quad 1 = s_1·p + s_2·b + \end{equation*} + für die Addition und + \begin{equation*} + 1 = (r_1·s_1·p + r_2·s_1·a + r_1·s_2·b)·p + r_2·s_2·a·b + \end{equation*} + für die Multiplikation. Also kann $p|(a·b)$ nicht gelten, weil sonst $p|1$ + folgt, was aber nicht geht, weil $p$ keine Einheit ist. +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/10.tex b/10.tex new file mode 100644 index 0000000..63cac00 --- /dev/null +++ b/10.tex @@ -0,0 +1,384 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Restklassenringe} + +\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf +unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für +Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des +Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen +konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit +``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die +Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und +Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht, +denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte +deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so +geht, wie in der Linearen Algebra''. + +\begin{warnung} + Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare + Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche + Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt. +\end{warnung} + + +\section{Definition von Restklassenringen} + +Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe +durch folgende universelle Eigenschaft definiert. + +\begin{defn}[Restklassenring] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Ein + \emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder + \emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit + Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist + und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein + weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen + Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert, + \[ + \begin{tikzcd} + R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\ + R \ar[r, "ψ"'] & T. + \end{tikzcd} + \] +\end{defn} + +Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn +Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man +spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und +bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$. + + +\section{Konstruktion von Restklassenringen} + +Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind, +folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der +universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die +Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion +eines Restklassenringes angeben. + +\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei + Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo + Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise + $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich. +\end{defn} + +\begin{lem}\label{lem:10-1-2} + In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist + eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die + die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist + \begin{equation*} + a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed + \end{equation*} +\end{lem} + +\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$] + In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die + \emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}. +\end{notation} + +\begin{bsp} + Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei + $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist + $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der + Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt + $ℤ$ also genau in die Restklassen + \begin{equation*} + 0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m). + \end{equation*} +\end{bsp} + +\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr} + Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die + Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann + sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an + die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der + Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert: + \[ + \begin{matrix} + + : & S ⨯ S & → & S \\ + & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\ + \\ + · : & S ⨯ S & → & S \\ + & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I. + \end{matrix} + \] + Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die + Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung} + \begin{equation*} + φ : R → S, \quad a ↦ a+I + \end{equation*} + ist ein Ringmorphismus. Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring. \qed +\end{satz} + +Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines +Restklassenringes. Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf +diese Art und Weise direkt beschreiben. + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom + Grad $n$. Weiter sei $I = (f)$. Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von + der Gestalt $g+(f)$. In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $ 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das + $K$ genau $p^m$ Elemente hat. +\end{satz} +\begin{proof} + Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist + $p = \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der + Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein + $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente. +\end{proof} + +Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln +diskutierten. + +\begin{itemize} +\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper. + +\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist + $K(A)$ ein Körper. + +\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper. + +\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann + ist $R/m$ ein Körper. + +\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein + Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper. +\end{itemize} + +In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten. +\begin{itemize} +\item Zahlenkörper, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/Q$ + algebraisch ist. + +\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$. + +\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von + endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$. + +\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der + Kodierungstheorie eine zentrale Rolle. +\end{itemize} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/12.tex b/12.tex new file mode 100644 index 0000000..d44e04f --- /dev/null +++ b/12.tex @@ -0,0 +1,244 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der algebraische Abschluss eines Körpers} + +\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?} + +Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber +ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste +Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die +relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der +komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein +Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten +Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene +sind, die durch die Konjugationsabbildung auf sich selbst abgebildet werden. Um +diese Beobachtung zu verallgemeinern, müssen wir zuerst den Zusammenhang von $ℂ$ +und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ/ℝ$ +so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel +$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen? + +Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''. +Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine +komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$ +besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$ +als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die +komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was +diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat. + +\begin{frage} + Es sei $K$ ein Körper. Gibt es dann einen algebraisch abgeschlossenen + Oberkörper? Falls ja, gibt es unter allen algebraisch abgeschlossenen + Oberkörpern eine besonders gute oder besonders einfache Wahl? +\end{frage} + +Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes +gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten +Oberkörper hat. + +\begin{satz}\label{satz:12-1-2} + Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es + einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat. Genauer: es sei $g$ + ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper + $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle. +\end{satz} + +Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt +Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch +ein kleines Beispiel. Auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich +Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt. + +\begin{erkl} + Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine + Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass + $x²+1$ das Minimalpolynom von $i$ ist. Die Substitutionsabbildung + \begin{equation*} + φ : ℝ[x] → ℂ, \quad g ↦ g(i) + \end{equation*} + hat als Kern genau das Ideal $(x²+1)$, und liefert uns daher einen + Isomorphismus + \[ + ℂ ≅ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}. + \] + Das Element $i ∈ ℂ$ entspricht dabei der Restklasse + \[ + a := x+(x²+1) ∈ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}. + \] + Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} kehrt diese Beobachtung um. Dort + definiert man $L := K[x]/(g)$ und stellt fest, dass die Restklasse + \[ + a := x+(g) ∈ \factor{K[x]}{(g)} + \] + tautologisch eine Nullstelle des Polynoms $g ∈ K[x] ⊂ L[x]$ ist. +\end{erkl} + +\begin{proof} + \video{12-2} +\end{proof} + + +\section{Definition} + +\sideremark{Vorlesung 13}Nach den Vorbemerkungen definieren wir jetzt präzise, +was ein algebraisch abgeschlossener Körper, und was ein algebraischer Abschluss +wirklich sein soll. + +\begin{satzdef}[Algebraisch abgeschlossener Körper] + Es sei $K$ ein Körper. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ hat eine Nullstelle in $K$. + + \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ zerfällt in $K[x]$ in + Linearfaktoren. Mit anderen Worten: $f$ ist als Produkt von linearen + Polynomen aus $K[x]$ darstellbar. + + \item Jedes irreduzible Polynom $f ∈ K[x]$ ist linear. + + \item Ist $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, dann gilt $L=K$. + \end{enumerate} + Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, nennt man $K$ \emph{algebraisch + abgeschlossen}\index{algebraisch abgeschlossener Körper}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{13-1} +\end{proof} + +\begin{bsp} + In der Analysis oder Funktionentheorie beweist man, dass der Körper $ℂ$ + algebraisch abgeschlossen ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein + Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO} + bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$, + \[ + \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \} + \] + selbst algebraisch abgeschlossen. Insbesondere ist $\overline{ℚ}$, die Menge + der algebraischen Zahlen, ein algebraisch abgeschlossener Körper. Um zu + erkennen, dass $\overline{K}$ tatsächlich algebraisch abgeschlossen ist, sei + $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch + abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist + logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen + Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch + über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK} + Es sei $K$ ein Körper. Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer + Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn + Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item Die Körpererweiterung $L/K$ ist algebraisch. + + \item Der Körper $L$ ist algebraisch abgeschlossen. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{bsp} + Der Körper $ℂ$ ist ein algebraischer Abschluss von $ℝ$. Der Körper der + algebraischen Zahlen, $\overline{ℚ}$ ist ein algebraischer Abschluss $ℚ$. +\end{bsp} + +\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper''] + Ich wiederhole Warnung~\vref{war:ababio}. Verwechseln Sie die + Definitionen~\ref{satzdef:aaieO} und \ref{def:aAeK} nicht! +\end{warnung} + + +\section{Existenz} + +Wie zeigt man, dass ein algebraischer Abschluss existiert? Die Idee ist +natürlich, Satz~\ref{satz:12-1-2} für alle Polynome in $K[x]$ auf einmal +anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Das +ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von +Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben +müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's + Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee +tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss +an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz +von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst + Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September + 1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt. + +\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz} + Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed +\end{satz} + + +\section{Eindeutigkeit, aber nicht zu sehr} + +Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss +eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen +Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem +Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert. + +\begin{definition}[$K$-Morphismus] + Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus + $\varphi : R → S$ heißt \emph{$K$-Morphismus}\index{$K$-Morphismus}, wenn + $\varphi|_K = \Id_K$ ist. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation + $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$. +\end{bsp} + +Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen +Abschluss. Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist +der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert. Wieder +werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen. + +\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss + von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen + $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus + \begin{equation*} + \varphi_0 : L_0 → \overline{K}. + \end{equation*} + Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus + $\varphi : L → \overline{K}$. Mit anderen Worten: es existiert ein + $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass + $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist. \qed +\end{satz} + +\begin{bsp} + Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei + $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von + $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ + einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die + Konjugationsabbildung möglich. +\end{bsp} + +Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des +algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die +Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz +korrekt von ``dem'' Quotientenkörper. + +\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa} + Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei + algebraische Abschlüsse. Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$. +\end{kor} +\begin{proof} + \video{13-2} +\end{proof} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℝ$, es sei $\overline{K}_1 = \overline{K}_2 = ℂ$. Dann sehe ich + sofort zwei $K$-Isomorphismen $K_1 → K_2$, nämlich die Identität und die + Konjugationsabbildung. +\end{bsp} + +Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus +Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus +Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von +``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem +Quotientenkörper! + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/13.tex b/13.tex new file mode 100644 index 0000000..f2bf86d --- /dev/null +++ b/13.tex @@ -0,0 +1,273 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Zerfällungskörper} + +Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und +dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen +diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele! +Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den +Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt. + +\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein + Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von + $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren. Mit anderen Worten: + es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit + $f=a·(x-a_1)⋯(x-a_n)$ gilt. + + \item Mit der Notation von oben gilt $L = K(a_1, …, a_n)$. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die + Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente + $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. +\end{bemerkung} + +Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern +zusammen. + +\begin{satz}\label{satz:13-0-3} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. + Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper. + + \item Je zwei Zerfällungskörper von $f$ sind $K$-isomorph. Genauer: Wenn + $K_1/K$ und $K_2/K$ zwei Zerfällungskörper von $f$ sind, dann gibt es einen + $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$. + + \item Ist $L$ ein Zerfällungskörper von $f$, dann ist $[L:K] ≤ (\deg f)!$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{13-3} +\end{proof} + +Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Wie +schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem'' +Zerfällungskörper gesprochen. + +\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. + Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann + zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper + kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen + $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen. +\end{bemerkung} + +Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen +Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu +bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den +Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz +von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen +Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der +komplexen Zahlen konstruieren wird. + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist + $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper + von $f$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl + $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen + $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ + genau die komplexen Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben + durch + \[ + L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr). + \] + Wir wissen sofort, dass + \[ + [L : ℚ] ≤ 3! = 6, + \] + ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass + $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man + muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der + Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist + $[L:ℚ] =6$. +\end{bsp} + + +\section{Symmetrien, schon wieder} +\label{sec:13-1} + +\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann +ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf +sich hat. + +\begin{situation}\label{sit:gal} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es + sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$. Weiter seien $a_1, …, a_n$ die + Nullstellen von $f$ in $L$. +\end{situation} + +Ich frage: wie viele $K$-Morphismen $\varphi: L → L$ gibt es? Die folgenden +beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig. Die Beobachtungen +zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt, +das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte. + +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1} + In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus. Schreibe + $f(x) = \sum b_i·xⁱ$. Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann + ist + \begin{align*} + 0 & = \varphi(0) = \varphi\Bigl(\sum b_i·a_•ⁱ \Bigr) \\ + & = \sum \varphi(b_i)·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist Körpermorphismus}\\ + & = \sum b_i·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $b_i ∈ K$}\\ + & = f\bigl(\varphi(a_•)\bigr). + \end{align*} + Wir erkennen: die Abbildung $\varphi$ bildet Nullstellen von $f$ auf + Nullstellen von $f$ ab. Wir erhalten also einen Gruppenmorphismus + \begin{equation}\label{eq:jtzrtt} + \Bigl\{ K\text{-isomorphismen } L → L \Bigr\} → + \Bigl\{ \text{Permutationen der Menge } \{ a_1, …, a_n \} \Bigr\}. + \end{equation} +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2} + In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. + Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben, + \[ + ℓ = \sum β_{i_1,…,i_n}·a^{i_1}_1⋯ a^{i_n}_n, \quad \text{wobei } + β_{•, …, •} ∈ K. + \] + Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist + \begin{align*} + \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\ + & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$} + \end{align*} + Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch + festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! + Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die + ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ + als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen. +\end{beobachtung} + + +\section{Ringadjunktion} + +Ich würde jetzt gern weiter über Symmetrien schreiben, weil ich das Thema so +gern mag. Geht aber nicht, denn auf dem Lehrplan steht jetzt erst einmal wieder +ein wenig Sprache. + +\begin{notation}[Polynomring in unendlich vielen Variablen] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $Λ$ eine Menge. Dann bezeichne + $R\bigl[(x_λ)_{λ ∈ Λ}\bigr]$ den Polynomring in den (eventuell unendlich + vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$. +\end{notation} + +Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den +Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich +finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt +einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer +\emph{endliche} Summen sind. Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom +immer nur endlich viele Variablen auf. + +\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad} + Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring. Weiter sei + $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$. Dann bezeichnet man mit + $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter + dem Substitutionsmorphismus + \[ + R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦ + f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m}) + \] + Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus + $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt + man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + In der Situation von Definition~\ref{def:ringad} gilt: Ein Element $s ∈ S$ ist + genau dann in $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ enthalten, wenn es endlich viele + Elemente $λ_1, …, λ_n ∈ Λ$ und eine Darstellung + \[ + s = \sum β_{1,…, n}·a^{i_1}_{λ_1}⋯ a^{i_n}_{λ_n}, \quad \text{mit } + β_{•, …, •} ∈ K + \] + gibt. Genau wie bei der Körperadjunktion ist $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ der + kleinste Unterring von $S$, der $R$ und alle $a_λ$ enthält. +\end{beobachtung} + + +\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion} + +Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$, +dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper +$K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer +\[ + K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) + ⊆ L. +\] +Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch +noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ +adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich +vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. + +\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge + von $L$. Dann ist + \begin{equation*} + K \bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = Q\Bigl(K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]\Bigr), + \end{equation*} + wobei $Q(⋯)$ den Quotientenkörper bezeichnet. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des + Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält. Gemäß der universellen + Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der + $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$. +\end{proof} + +\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ ist genau dann + algebraisch, wenn $K(a) = K[a]$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + Es gibt zwei Fälle. Wenn $a$ algebraisch ist, dann wissen wir schon, dass wir + $K(a)$ schreiben können als + \begin{equation*} + K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1} + \end{equation*} + wobei $n= [a : K]$ ist. Also ist $K(a) = K[a]$. Wenn das Elemente $a$ + transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist + $K[a] ≠ K(a)$. +\end{proof} + +\begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es seien $a_1, …, a_n∈ L$. Dann sind + folgende Aussagen äquivalent. + \begin{itemize} + \item Es ist $K(a_1, …, a_n) = K[a_1, …, a_n]$. + + \item Alle Elemente $a_1, …, a_n$ sind algebraisch über $K$. + \end{itemize} +\end{kor} +\begin{proof} + Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der + Algebraizität''). +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen + $(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz + \begin{equation*} + K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch} + \end{equation*} + ganz falsch. Also sowas von falsch. \textbf{Falsch!!} Als Beispiel nehme man + die ganz-und-gar-nicht-algebraische Körpererweiterung $ℂ/ℚ$ und betrachte die + Menge $(λ)_{λ ∈ ℂ}$. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/14.tex b/14.tex new file mode 100644 index 0000000..ea4381a --- /dev/null +++ b/14.tex @@ -0,0 +1,498 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Separable und inseparable Körpererweiterungen} + +Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:13-1} über Symmetrien von Zerfällungskörpern +gesprochen und dabei gesehen, dass die Symmetrien durch Permutationen der +Nullstellen des betreffenden Polynoms beschrieben werden. Die relevante +Situation ist die, wo $L/K$ eine Körpererweiterung ist, ein algebraisches +Element $a ∈ L$ gegeben ist und $f ∈ K[x]$ das Minimalpolynom ist. Wenn die +Symmetrien des Zerfällungskörpers von $f$ jetzt durch die Permutationen der +Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele +Nullstellen es eigentlich gibt. Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine +mehrfache Nullstelle von $f$ ist? + +\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1} + Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht. Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle + ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten, + \[ + f' = 2·(x-a)·g + (x-a)²·g'. + \] + Ein scharfer Blick zeigt, dass $f'(a)$ ebenfalls gleich null ist, was wohl im + Widerspruch dazu steht, dass $f$ das Minimalpolynom ist, also minimalen Grad + hat unter allen Polynomen, die $a$ als Nullstelle haben. +\end{beobachtung} + + +\section{Die formale Ableitung} + +In diesem Abschnitt geht es darum, das Argument von Beobachtung~\ref{beo:14-0-1} +auf beliebige Körpererweiterungen übertragen. Dabei gibt es gleich das Problem, +dass der Begriff der Ableitung für Polynome über beliebigen Körpern nicht sehr +viel Sinn ergibt -- zumindest nicht als Limes von Differenzenquotienten. +Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren: + +\begin{notation} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Dann betrachte den Ringmorphismus, + den wir schon bei der Definition des Primkörpers betrachtet haben, + \[ + φ : ℤ → R, \quad n ↦ + \left\{ + \begin{matrix} + \underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{n ⨯} && \text{falls }n > 0 \\ + 0_R && \text{falls } n = 0 \\ + -(\underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{-n ⨯}) && \text{sonst.} + \end{matrix} + \right. + \] + In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach + $n ∈ R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt + zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$. +\end{notation} + +\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom + $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom + \begin{equation*} + f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x] + \end{equation*} + die \emph{formale Ableitung}\index{formale Ableitung} von $f$. Die + \emph{$m$-fache formale Ableitung} $f^{(m)}$ ist natürlich als $m$-fache + Iteration der Ableitung definiert. +\end{definition} + +\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3} + Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$. Wenn nämlich + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$. Dann + ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung + \begin{equation*} + f' = p·x^{p-1} = 0. + \end{equation*} + Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$. + Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_1} Ist $\deg f > 0$, so ist + $\deg f' < \deg f$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_2} Ist $\deg f = 0$, so ist + $f' = 0$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_3} Es gilt $(f+g)' = f'+g'$ + und $(r·f)' = r·f'$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_4} Es gilt + $(f· g)' = f'· g + f · g'$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Ist mir zu langweilig. +\end{proof} + +Die Ableitungen können verwendet werden, um die Ordnung einer Nullstelle zu +bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung? + +\begin{defn}[Ordnung einer Nullstelle] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$, + ein Element $a ∈ R$ und eine Zahl $n$ gegeben. Man sagt, dass $a$ eine + $n$-fache Nullstelle von $f$ ist\index{Nullstellenordnung}, wenn die + Teilbarkeitsrelationen + \[ + (x-a)^n|f \quad\text{und}\quad (x-a)^{n+1}\nmid f + \] + in $R[x]$ gelten. +\end{defn} + +\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ + der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$. Dann ist + \begin{equation*} + f' = (x-a)^{m-1}·(m· g + (x-a)· g') + \end{equation*} +\end{kor} +\begin{proof} + Ist mir zu langweilig. +\end{proof} + +\begin{beobachtung} + Wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von $f$ ist, zeigt + Korollar~\ref{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}, dass + \begin{equation*} + f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0 + \end{equation*} + ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere + $m! ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache + Nullstelle von $f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} + gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht + bestimmen kann! +\end{beobachtung} + + +\section{Der Frobenius Morphismus} + +Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz +unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den +Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand + Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3. + August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein + deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin + und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist +eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das +unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!! + +\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die + \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die + kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des + Einselementes gleich dem Nullelement wird, also + \[ + \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0. + \] + Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat. +\end{defn} + +\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} + Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der + Charakteristik $p$. Dann ist die Abbildung + \begin{equation*} + F : R → R, \quad a → a^p + \end{equation*} + ein Ringmorphismus. Mit anderen Worten: für alle $a,b∈ R$ gilt + \begin{equation*} + (a+b)^p = a^p+b^p \quad\text{und}\quad (a· b)^p=a^p· b^p + \end{equation*} + Man nennt die Abbildung den \emph{Frobenius-Endomorphismus von + $R$}\index{Frobenius-Endomorphismus}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{14-1} +\end{proof} + +\begin{notation} + In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die + Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der + $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + Wenn $R$ ein Integritätsring ist, dann gilt für jedes Element $a ∈ R$, dass + $a^p = 0$ ist genau dann, wenn $a = 0$ ist. Also ist $\ker F = \{0\}$, und + der Frobenius-Morphismus ist demnach injektiv. Wenn $R$ zusätzlich noch + endlich ist, dann ist der Frobenius-Morphismus auch noch surjektiv, also + isomorph. +\end{beobachtung} + + +\section{Separable und inseparable Polynome} + +Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben +kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende +Definition. + +\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome] + Es sei $K$ ein Körper und $\overline{K}$ sei der algebraische Abschluss von + $K$. Ein irreduzibles Polynom $f∈ K[x]$ heißt + \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen + Nullstellen in $\overline{K}$ hat. Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom + heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind. + Nicht-separable Polynome heißen + \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}. +\end{defn} + +\begin{warnung} + Separable Polynome können ohne weiteres mehrfache Nullstellen haben. +\end{warnung} + +Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben +werden. + +\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom. Dann + sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} Das Polynom $f$ ist + inseparabel. + + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} Die formelle Ableitung + verschwindet, $f' = 0$. + + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von + $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables + Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass + \begin{equation*} + f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr) + \end{equation*} + ist. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2}] + Sei $a∈\overline{K}$ eine mehrfache Nullstelle, also + \begin{equation*} + f(x) = (x-a)^m· g(x) ∈ \overline{K}[x] + \end{equation*} + mit $m>1$ und $g ∈ \overline{K}[x]$. Dann hat die formale Ableitung $f'$ + ebenfalls $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber irreduzibel ist, ist $f$ das + Polynom kleinsten Grades, dass $a$ als Nullstelle hat\footnote{Erinnern Sie + sich noch, wie man das beweist?}. Wegen $\deg f' < \deg f$ folgt dann aber, + dass $f^\prime\equiv 0$ sein muss. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3}] + Setze $n := \deg f$ und schreibe + \begin{align*} + f&= a_0+a_1· x+\dots+a_nx^n\\ + f^\prime&= a_1+2· a_2x+\dots+ n· a_nx^{n-1}=0. + \end{align*} + Also gilt $i·a_i = 0$ für alle $i$ mit $1≤ i≤ n$. Weil $n·a_n = 0$ ist, und + $a_n ≠ 0$, folgt sofort $n = 0$. Daraus folgt schon einmal die Behauptung, + dass der Körper $K$ positive Charakteristik hat. Aus $i·a_i=0$ folgt + allgemein, dass $a_i = 0$ oder $i \equiv 0 (\operatorname{mod} p)$ ist. Also + können wir $f$ schreiben als + \begin{equation*} + f(x) = \sum_{j=0}^{r}a_{j· p}· x^{j· p}=\sum_{j=0}^{r} a_{j· p}(x^p)^j. + \end{equation*} + Setze nun + \begin{equation*} + f_1(x) =\sum_{j=0}^{r}a_{j· p}x^{j}. + \end{equation*} + Dann ist $f(x) = f_1(x^p)$ und \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} + folgt durch iterierte Anwendung dieses Prozesses, wenn wir zeigen können, dass + $f_1$ wieder irreduzibel ist. Die Irreduzibilität von $f_1$ beweisen wir mit + dem Frobenius-Morphismus. Wir haben zwei Ring-Isomorphismen: + \begin{align*} + F_1 : K[x] & → \bigl(K[x]\bigr)^p = \bigl(K^p\bigr)[x^p], & f & ↦ f^p \\ + F_2 : K[x^p] & → \bigl(K^p\bigr)[x^p], & \sum β_j\bigl(x^p\bigr)^j & ↦ \sum β_j^p\bigl(x^p\bigr)^j. + \end{align*} + Dann gilt: $f_1 = F_1^{-1}\bigl(F_2(f)\bigr)$ und die Implikation ist + bewiesen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1}] + Die Charakteristik von $K$ sei eine Primzahl $p>0$ und $f$ sei ein Polynom der + Form + \[ + f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j\Bigl(x^{(p^e)}\Bigr)^j + \] + Weiter sei $a ∈ \overline{K}$ eine Nullstelle von $f$ im algebraischen + Abschluss. Dann ist + \[ + f(x) = f(x)-f(a) = \sum_{j=0}^{n}a_j·\Bigl(x^{(p^e)· j}-a^{(p^e)· j}\Bigr) = + \sum_{j=1}^{n} a_j·\Bigl(x^j-a^j\Bigr)^{p^e}. + \] + Somit ist $a$ eine mindestens $p^e$-fache Nullstelle von $f$. Also ist $f$ inseparabel. +\end{proof} + +\begin{bsp} + Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem + Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist + \begin{equation*} + f = x^p-t ∈ K[x] + \end{equation*} + irreduzibel. Aber $f$ ist inseparabel, weil $f' =p·x^{p-1} = 0$ ist. +\end{bsp} + + +\section{Separable und inseparable Körpererweiterungen} + +Die folgenden Definitionen bieten keine Überraschung. Körpererweiterungen sind +separabel, wenn alle Elemente separabel sind. + +\begin{defn}[Separable und inseparable Elemente in Körpererweiterungen] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$. Man + nennt $a$ \emph{separabel über $K$}\index{separabel!Element einer + Körpererweiterung}, wenn das Minimalpolynom $f ∈ K[x]$ separabel ist. + Ansonsten heißt $a$ \emph{inseparabel über $K$}\index{inseparabel!Element + einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\begin{defn}[Separable und inseparable Körpererweiterungen] + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + \emph{separabel}\index{separabel!Körpererweiterung}, wenn $L/K$ algebraisch + ist, und alle $a∈ L$ separabel sind. Ansonsten heißt $L/K$ + \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\sideremark{Vorlesung 15} + +\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} + Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper, + dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel. +\end{satz} +\begin{proof} + Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist. Sei jetzt also $a ∈ L$. Wir müssen + zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist. Dazu beobachten wird, dass das + Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt. Das + letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine + mehrfachen Nullstellen. +\end{proof} + + +\subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen} + +Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable +Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen +$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine +Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in +ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische +Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf. + +\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit + Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$. Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$ + in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen + $σ : K(a) → L$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder + potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$ + an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir + lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten + tatsächlich auftritt. Sei also $b$ eine Nullstelle von $f$ in $L$. Wir + betrachten wir die Substitutionsmorphismen + \begin{equation*} + \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b). + \end{equation*} + Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$. + Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit + $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und + $\varphi_b$ $K$-Morphismen + \begin{equation*} + \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L, + \end{equation*} + welche die Restklasse von $x$ auf $a$ beziehungsweise $b$ abbilden. Außerdem + ist $ψ_a$ ein Isomorphismus. Die Abbildung $ψ_b◦ψ^{-1}_a : K(a) → L$ ist also + die gesuchte Abbildung. +\end{proof} + +Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch +die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir +eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen +Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen. + +\begin{satz}\label{Satz_11_10} + Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung + und es sei $n := [L:K]$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_11_10_Aussage_1} Es gibt höchstens $n$ verschiedene + $K$-Homomorphismen $σ : L → \overline{K}$. + + \item\label{Satz_11_10_Aussage_2} Die Erweiterung $L/K$ ist genau dann + separabel, wenn es exakt $n$ solche Fortsetzungen gibt. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{15-1} +\end{proof} + +\begin{kor} + Wenn $L/K$ und $M/K$ algebraische Körpererweiterungen sind und $n := [L:K]$ + ist, dann gibt es höchstens $n$ unterschiedliche $K$-Morphismen $σ : L → M$. +\end{kor} +\begin{proof} + Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein. +\end{proof} + +\begin{kor} + Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über + $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist. Dann ist $L/K$ separabel. +\end{kor} +\begin{proof} + Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele + unterschiedliche Einbettungen $L → \overline{K}$ gibt. Also ist $L/K$ nach + \ref{Satz_11_10} separabel. +\end{proof} + +\begin{kor}[Transitivität der Separabilität] + Sei $L/K$ und $M/L$ separable Körpererweiterungen. Dann ist auch $M/K$ + separabel. +\end{kor} +\begin{proof} + Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei $a∈ M$ ein Element und + \begin{equation*} + f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]} + \end{equation*} + das zugehörige Minimalpolynom. Es gilt, dass $a$ separabel über + $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist. Weil die $a_i$ aber separabel über $K$ + sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel. Insbesondere ist + $a$ separabel. +\end{proof} + + +\subsection{Der separable Abschluss} + +Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem +Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch +dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext +übertragen. + +\begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann ist die Menge + \[ + L_{\sep} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist separabel über }K\} + \] + ein Unterkörper von $L$. Man nennt $L_{\sep}$ den \emph{separablen + algebraischen Abschluss von $K$ in $L$}\index{separabler algebraischer + Abschluss}. Die Zahl $[L_{\sep} : K]$ wird \emph{Separabilitätsgrad der + Körpererweiterung $L/K$}\index{Separabilitätsgrad} genannt. +\end{satzdef} +\begin{proof} + Seien $a,b ∈ L$ separabel über $K$. Wir müssen zeigen, dass $a±b$, $a·b$ und + gegebenenfalls $a·b^{-1}$ separabel sind. Wir wissen aber schon, dass + $K(a,b)$ über $K$ separabel ist. Die fraglichen Elemente liegen aber in + $K(a,b)$. +\end{proof} + +\begin{defn}[Vollkommene Körper] + Es sei $K$ ein Körper. Man nennt den Körper $K$ + \emph{vollkommen}\index{vollkommener Körper}, wenn jede algebraische + Körpererweiterung $L/K$ separabel ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Körper der Charakteristik $0$ und algebraisch abgeschlossene Körper sind + vollkommen. An dieser Stelle schließt sich traditionell eine Reihe von + unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen. +\end{bsp} + +\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_1} Der Körper $K$ + ist vollkommen. + + \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_2} Es gilt $K=K^p$. + Mit anderen Worten: der Frobenius-Morphismus ist surjektiv. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{15-2} +\end{proof} + +\begin{kor} + Jeder endliche Körper ist vollkommen. +\end{kor} +\begin{proof} + Wir haben schon gesehen, dass der Frobenius-Endomorphismus surjektiv ist. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$. Das + einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine Nullstelle + dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$ + bezeichnen, dann ist + \[ + \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K} + \] + das einfachste Beispiel einer inseparablen Körpererweiterung. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/15.tex b/15.tex new file mode 100644 index 0000000..4619401 --- /dev/null +++ b/15.tex @@ -0,0 +1,343 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Normale und Galoissche Körpererweiterungen} +\label{chap:15} + +\section{Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung} + +\sideremark{Vorlesung 16}Nun kommen wir endlich zu der Definition, auf die ich +seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von +Körpererweiterungen, auch bekannt als +Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste + Galois} (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31. Mai 1832 in Paris) + war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei + einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer + Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe. Die +folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert. + +\begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung] + Sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann ist die Gruppe der $K$-Automorphismen + $L → L$ wird als \emph{Galoisgruppe der Körpererweiterung + $L/K$}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung} bezeichnet, wobei die + Gruppenverknüpfung wie üblich die Komposition von Automorphismen ist. Die + Schreibweise $\Gal(L/K)$ ist üblich. Die Ordnung der Gruppe (=Anzahl der + Elemente) wird oft mit $|\Gal(L/K)|$ oder $\#\Gal(L/K)$ notiert. +\end{defn} + +\begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Weiter sei $L$ der + Zerfällungskörper von $f$ über $K$. Dann wird die Galoisgruppe der + Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe + von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms} +\end{defn} + +Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen +Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu +beschreiben. Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der +Elemente angeben kann. Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe +anzugeben. Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der +\href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines + schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren. Die allererste Beobachtung +ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist. Wir +können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in +einigen Fällen sogar exakt bestimmen. + +\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg} + Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt + Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des + algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es + höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt. Also ist + $|\Gal(L/K)| ≤ n$. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es + gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.} + Körpererweiterung ist, dann zeigt + Lemma~\ref{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}, dass + $|\Gal(L/K)|$ exakt die Anzahl der Nullstellen ist, die das Minimalpolynom von + $a$ im Körper $L$ hat. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $d ∈ ℕ ∖ \{0,1\}$ eine + quadratfreie\footnote{quadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf} ganze + Zahl. Weiter sei $a := \sqrt d ∈ ℝ$ und $L := ℚ(a)$. Dann hat das + Minimalpolynom + \begin{equation*} + x²-d = (x+a)·(x-a). + \end{equation*} + Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente. Wir wissen auch schon, welche. Ein + Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab. Das andere Element + heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der + $a$ auf $-a$ abbildet. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:x-1} + Es sei $K = ℚ$, es sei $a := \sqrt[3]{2} ∈ ℝ$ und $L = ℚ(a)$. Das + Minimalpolynom von $a$ ist $x³-2$, die beiden anderen Nullstellen des + Minimalpolynoms in $ℂ$ sind $ξ·a$ und $ξ²·a$, wobei $ξ = e^{2π i/3}$ ist. + Es gilt aber $ξ·a$ und $ξ²·a \not ∈ ℝ$. Somit folgt + \begin{equation*} + \Gal \Bigl(\factor{ℚ(a)}{ℚ}\Bigr) = \{\Id\}. + \end{equation*} +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$. Dann ist $K$ ein + Oberkörper des Primkörpers, und dieser ist isomorph zu $𝔽_p$. Der + Frobenius-Morphismus + \begin{equation*} + F : K → K, \quad a ↦ a^p + \end{equation*} + ist ein $𝔽_p$-Homomorphismus, denn für alle $a ∈ 𝔽_p$ ist $a^p=a$. Weil $F$ + jetzt aber bijektiv ist, ist $F ∈ \Gal(K/𝔽_p)$. Wenn $K ≠ 𝔽_p$ ist, dann ist + $F ≠ \Id$, denn die einzigen Elemente in $K$, die von $F$ festgehalten werden, + sind die Nullstellen des Polynoms + \begin{equation*} + f = x^p-x ∈ K[x] + \end{equation*} + und dieses Polynom hat genau $p$ Nullstellen, nämlich die Elemente von + $𝔽_p ⊂ K$. Wir werden später in Abschnitt~\ref{sec:klassEK} zeigen, dass die + Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ von $F$ erzeugt wird. +\end{bsp} + + +\section{Normale Körpererweiterungen} + +Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele +Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen. Ich muss +aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des +``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig +Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind. + +\begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{normal}\index{normale + Körpererweiterung}, wenn sie algebraisch ist und wenn jedes irreduzible + Polynom $f ∈ K[x]$, das in $L$ eine Nullstelle hat, über $L$ in Linearfaktoren + zerfällt. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein Körper. Dann ist die Körpererweiterung $\overline{K}/K$ + normal. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{Bsp_zusammenhang_Zerfaellungskoerper_normal} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom und es sei $L$ der + Zerfällungskörper von $f$. Der folgende Satz zeigt, dass $L/K$ normal ist. +\end{bsp} + +Normale Körpererweiterungen lassen sich auf unterschiedliche Arten und Weisen +charakterisieren. + +\begin{satz}[Charakterisierung von normalen Erweiterungen]\label{satz:h4} + Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die + Körpererweiterung $L/K$ ist normal. + + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_2} Es existiert eine + Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_{λ}∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$ + durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_{λ}$ im algebraischen + Abschluss $\overline{L}$ von $L$ entsteht. + + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_3} Für jeden + $K$-Morphismus $σ: L → \overline{L}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist. Das heißt: + $σ$ induziert einen $K$-Automorphismus von $L$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{16-1} +\end{proof} + +\begin{kor}[Normale Zwischenkörper] + Es sei $K ⊆ Z ⊆ L$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $L/K$ normal ist, + dann ist auch $L/Z$ normal. \qed +\end{kor} + +Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger +geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext +bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten +Polynoms''. + +\begin{satz}\label{satz:x1} + Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der + Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis ``$⇒$''] + Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal. Dann gibt es per Annahme endlich + viele $a_1, …, a_n ∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. Bezeichne die + zugehörigen Minimalpolynome mit $f_1, …, f_n ∈ K[x]$. Die Nullstellen von + $f := \prod_{i=1}^{n}f_i$ liegen alle in $L$, weil $L$ nach Annahme normal + ist. Also ist $L$ der Zerfällungskörper von $f$ über $K$. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis ``$\Leftarrow$''] + Wenn $L/K$ ein Zerfällungskörper ist, dann haben wir schon in + Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist. +\end{proof} + +Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede +Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt. +Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste +gibt, die sogar eindeutig ist. Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in +dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. + +\begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung] + Zu jeder algebraischen Körpererweiterung $L/K$ gibt es eine Körpererweiterung + $N/L$, sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die Körpererweiterung $N/K$ + ist normal. + + \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} Wenn $N ⊇ Z ⊇ L$ ein + Zwischenkörper ist und wenn $Z/K$ normal ist, dann ist $Z=N$. + \end{enumerate} + Zusätzlich gilt: wenn $\tilde{N}$ eine weitere Körpererweiterung ist, sodass + \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} und + \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} gelten, dann sind $N$ und + $\tilde{N}$ isomorph. Man nennt $N$ die \emph{normale Hülle von + $L/K$}\index{normale Hülle einer Körpererweiterung}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{16-2} +\end{proof} + + +\section{Galoissche Körpererweiterungen} + +Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele +Symmetrien (=Automorphismen) haben. Dabei bedeutet ``maximal'' nach +Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem +Erweiterungsgrad. Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois +die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt. Das Studium dieser +Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie'' +bezeichnet. + +\begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen] + Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_1} Die Erweiterung + $L/K$ ist normal und separabel. + + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} Der Körper $L$ + ist der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$. + + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_3} Es ist + $|\Gal(L/K)| = [L:K]$. + \end{enumerate} + Solche Körpererweiterungen heißen \emph{Galoisch}\index{Galoissche + Körpererweiterung}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{16-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Man kann auch einen sinnvollen und interessanten Begriff von Galoisch für + unendliche Körpererweiterungen definieren, das machen wir in dieser Vorlesung + aber nicht. Wir verstehen unter einer Galoiserweiterung immer eine + \emph{endliche} Körpererweiterung. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Dann ist jedes Polynom separabel + und die Galoiserweiterungen von $K$ sind gerade die Zerfällungskörper von + Polynomen aus $K[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:c-r} + Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$. Die Galoisgruppe ist + $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1} + Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann + ist auch $L/Z$ Galoisch. Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach + Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der + Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$. Dann ist $L$ aber + auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$. Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist + eine Untergruppe von $\Gal(L/K)$, weil jeder $Z$-Morphismus $L → L$ immer auch + schon ein $K$-Morphismus ist. \textbf{Aber Achtung:} die Erweiterung $Z/K$ + ist nicht unbedingt Galoisch! Wir haben im laufenden Kapitel~\ref{chap:15} + auch schon ein Beispiel gesehen, wo das nicht der Fall ist. Geben Sie + \textbf{sofort} durch das Kapitel und finden Sie heraus, welches Beispiel ich + meine. Los jetzt! +\end{bsp} + +\sideremark{Vorlesung 17}Mit den bisherigen Ergebnissen können wir über die +Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen. + +\begin{lem} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen + Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$. Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien + $a_1, …, a_n$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die + Nullstellen $a_1, …, a_n$. Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese + Vertauschung eindeutig festgelegt. Also können wir $\Gal(f)$ als + Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$ + auffassen. Insbesondere gilt + \begin{equation*} + |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n! + \end{equation*} + + \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden + unter sich permutiert. + + \item\label{Bem_Galois_Punkt_3} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann operiert + $\Gal(f)$ transitiv auf der Menge der Nullstellen. Mit anderen Worten: Für + jedes Paar $a,b$ von Nullstellen gibt es ein $σ ∈ \Gal(f)$, sodass + $σ(a) = b$ ist. + + \item\label{Bem_Galois_Punkt_4} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann ist $n$ ein + Teiler von $|\Gal(f)|$. + \end{enumerate} +\end{lem} +\begin{proof} + Die Aussagen~\ref{il:y1} und \ref{il:y2} haben wir schon lang bewiesen + (wo?). Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}. +\end{proof} + +Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch +allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet. + +\begin{defn}[Konjungierte Elemente] + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und $a ∈ L$ sei ein Element. Die Menge + \[ + \{ σ(a) \::\: σ ∈ \Gal(L/K) \} + \] + ist natürlich gerade die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$ + über $K$. Die Elemente dieser Menge heißen die + \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$. +\end{defn} + +\begin{bsp}\label{bsp:x-2} + Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort. Dort haben wir schon gesehen, + dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist. Der Zerfällungskörper des + Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne + ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?} + \[ + N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr). + \] + Ich behaupte gleich auch, dass $N = ℚ(\sqrt[3]{2},\sqrt3·i)$ ist, denn das + wird später noch wichtig werden. Die Erweiterung $N/ℚ$ ist Galoisch, denn + $[N:ℚ(\sqrt[3]{2})] = 2$, also + \begin{equation*} + [N:ℚ] = 2· 3=6. + \end{equation*} + Die Gruppe $\Gal(f) = \Gal(N/ℚ)$ können wir als Untergruppe von $S_3$ + auffassen. Wegen $|\Gal(f)| = [N:ℚ] = 6 = |S_3|$ folgt $\Gal(f) = S_3$. Jede + Permutation der Nullstellen $a$, $ξ·a$ und $ξ²·a$ lässt sich also durch ein + Element aus $\Gal(f)$ realisieren. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/16.tex b/16.tex new file mode 100644 index 0000000..52391f0 --- /dev/null +++ b/16.tex @@ -0,0 +1,292 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Hauptsatz der Galoistheorie} +\label{chap:16} + +Erinnern Sie sich daran, wie wir gezeigt haben, dass gewisse +Konstruktionsaufgaben unlösbar sind? Wir haben dazu Ketten $K ⊂ L ⊂ M$ von +Körpern betrachtet und beobachtet, dass $[L:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. Das +zentrale Argument in den Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen war dann, dass die +relevanten Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme stets Grad $2^n$ über +$ℚ$ haben, und dass konstruierbare Punkte Unterkörper liefern, deren Grad dann +wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss. + +Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere +Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden +nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen. Inzwischen ist klar, +dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu +sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen +zu untersuchen. Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten +Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$ +haben, sondern auch eine recht spezielle Galoisgruppe besitzen. Die +Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls recht +speziell sein. + +\begin{bemerkung} + Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt, + weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt. + Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen. +\end{bemerkung} + + +\section{Fixkörper} + +Bevor wir den Hauptsatz der Galoistheorie auch nur hinschreiben, möchte ich noch +ein besonders schönes Beispiel für Galoiserweiterungen diskutieren: die +Fixkörper einer Menge von Körperautomorphismen. Der Beweis des folgenden Satzes +ist eine Hausaufgabe. + +\begin{satzdef}[Invariante Elemente, Fixkörper]\label{DefSatz_Fixkoerper} + Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Menge von Automorphismen $L → L$. Dann ist + die Menge + \begin{equation*} + \Fix G = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall\ σ∈ G\} + \end{equation*} + ein Unterkörper von $L$, genannt \emph{Fixkörper} von $G$\index{Fixkörper}. + Die Elemente von $\Fix G$ heißen \emph{$G$-invariante + Elemente}\index{invariante Körperelemente} von $L$. \qed +\end{satzdef} + +Der folgende Satz von Emil +Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3. + März 1898 in Wien; † 20. Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer + Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20. + Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass +Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern. + +\begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin} + Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers + $L$ und es sei $K := \Fix G $ der zugehörige Fixkörper. Dann ist $L/K$ eine + Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) = G$. Insbesondere ist + $[L:K] =|G|$. +\end{satz} + +Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial. Wir geben einen Beweis +im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare +Unabhängigkeit von Charakteren beweisen. Wahrscheinlich muss ich auch noch +erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist. + + +\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren} + +Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche +Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative +Gruppe eines Körpers $L$ sein soll. Leute, die viel mit Gruppen arbeiten, +meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren. Ich finde diese +Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner. + +\begin{defn}[Charakter einer Gruppe] + Es sei $H$ eine Gruppe, es sei $L$ ein Körper und $L^*$ sei die Gruppe der + Einheiten aus $L$. Ein \emph{Charakter von $H$ in $L$}\index{Charakter einer + Gruppe} ist ein Gruppenmorphismus $σ : H → L^*$. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Wenn $K$ ein Körper ist, und $σ : K → L$ ein nicht-trivialer Ringmorphismus, + dann induziert $σ$ auch einen Gruppenmorphismus + \begin{equation*} + σ^* : K^* → L^*. + \end{equation*} + Wir können (und werden!) insbesondere jeden Automorphismus $σ : L → L$ als + linearen Charakter $L^* → L^*$ auffassen. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Lineare Unabhängigkeit von Charakteren]\label{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren} + Es sei $H$ eine Gruppe und $L$ sei ein Körper. Weiter seien $σ_1, …, σ_n$ + paarweise verschiedene Charaktere von $H$ in $L$. Zusätzlich und seien + Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$ gegeben, sodass die Linearkombination + \begin{equation*} + ψ : H → L, \quad h ↦ \sum a_i·σ_i(h) + \end{equation*} + die Nullabbildung ist. Dann ist $a_1= ⋯ = a_n=0$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{17-2} +\end{proof} + + +\subsection{Beweis des Satzes von Emil Artin} +\label{ssec:16-3} + +\begin{proof}[Beweis des Satzes von Artin, Satz~\ref{Theorem_von_E_Artin}] + \video{17-3} +\end{proof} + + +\section{Die Klassifikation endlicher Körper} +\label{sec:klassEK} + +Bevor wir zum Hauptsatz der Galoistheorie kommen, kann ich es nicht lassen, +ihnen sofort eine Anwendung des Satzes von Emil Artin zu zeigen: die +Klassifikation der endlichen Körper. Wir kennen schon einige endliche Körper: +gegeben eine Primzahl $p ∈ ℕ$, dann haben wir den Körper $𝔽_p = ℤ/(p)$ +betrachtet. Es gibt aber noch andere. + +\begin{bsp}[Konstruktion endlicher Körper]\label{bsp:kek} + Gegeben sei eine Primzahl $p ∈ ℕ$. Weiter sei $q$ eine Potenz von $p$, also + eine Zahl der Form $q = p^m$ für ein geeignetes $m ∈ ℕ$. Es sei $𝔽_q$ der + Zerfällungskörper des Polynoms $f(x) = x^q-x ∈ 𝔽_p[x]$. Ich behaupte, dass + dieser Körper genau $q$ Elemente hat. Dazu stelle ich erst einmal fest, dass + $f'(x) = 1$ ist. Also hat $f$ keine mehrfachen Nullstellen; es folgt, dass $f$ + genau $q$ unterschiedliche Nullstellen hat; dies zeigt schon einmal, dass + $𝔽_q$ mindestens $q$ Elemente hat. Wir sind fertig, wenn wir zeigen, dass + die Menge dieser Nullstellen ein Körper ist (der dann ja wohl der + Zerfällungskörper sein muss). Dazu verwende Satz~\ref{DefSatz_Fixkoerper} und + beachte, dass die Nullstellen von $f$ genau die Fixpunkte des iterierten + Frobeniusmorphismus $F^{m}$ sind. +\end{bsp} + +Der folgende Satz zeigt, dass jeder endliche Körper auf diese Weise entsteht. + +\begin{satz}[Klassifikation endlicher Körper]\label{Satz_Klassifikation_endlicher_Koerper} + Es sei $K$ ein endlicher Körper mit Primkörper $𝔽_p ⊆ K$. Weiter + sei $p$ die Charakteristik von $K$ und $q$ sei die Anzahl der Elemente. Dann + ist $q = p^{[K:𝔽_p]}$ und $K$ ist isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus + Beispiel~\ref{bsp:kek}. Die Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ ist der Form + $ℤ/(m)$ und wird durch den Frobeniusmorphismus erzeugt. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{17-4} +\end{proof} + + +\section{Der Hauptsatz der Galoistheorie} + +\sideremark{Vorlesung 18}Jetzt kommen wir also zum Hauptsatz. Gegeben eine +Körpererweiterung $L/K$ und eine Untergruppe der Galoisgruppe, dann liefert uns +die Fixkörperkonstruktion einen Zwischenkörper. Falls $L/K$ Galois ist, dann +sagt der Hauptsatz, dass auf diese Weise eine Korrespondenz zwischen +Untergruppen und Zwischenkörpern entsteht. Die reduziert die Frage nach +Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem. + +Die Formulierung des Hauptsatzes verwendet folgende Beobachtung, die ich +eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen. + +\begin{obs}[Index einer Untergruppe]\label{obs:Index} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist + die Zahl $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Zum Beweis definierte man eine + Äquivalenzrelation: zwei Elemente $a$ und $b$ aus $G$ seien äquivalent, wenn + es ein Element $h ∈ H$ gibt, sodass $a = h·b$ ist. Man rechne nach, dass + dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und dass alle Äquivalenzklassen + die gleiche Größe haben, nämlich $|H|$. Also ist die Größe von $G$ gegeben + als $|G| = |H|·\#(\text{Äquivalenzklassen})$. Man schreibt + \[ + [G:H] = \factor{|G|}{|H|} + \] + und nennt diese Zahl den \emph{Index}\index{Index} der Untergruppe $H ⊂ G$. +\end{obs} + +\begin{satz}[Hauptsatz der Galoistheorie]\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie} + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und es sei $G = \Gal(L/K)$ die + Galoisgruppe. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1} Für jeden Zwischenkörper + $Z$ von $L/K$ ist $\Gal(L/Z)$ eine Untergruppe von $G$. Für jede + Untergruppe $H⊂ G$ ist $\Fix{H} ⊂ L$ ein Zwischenkörper von $L/K$. + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} Die so definierten + Abbildungen + \[ + \begin{aligned} + \begin{matrix} + \Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr) &:& \{\text{Zwischenkörper}\} &→& \{\text{Untergruppen}\}, &\quad& Z &↦ & \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) \\[2mm] + \Fix(•) &:& \{\text{Untergruppen}\} &→& \{\text{Zwischenkörper}\}, &\quad& H& ↦& \Fix\bigl(H\bigr) + \end{matrix} + \end{aligned} + \] + sind zueinander inverse Bijektionen. + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3} Die Abbildungen + $\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr)$ und $\Fix(•)$ sind inklusionsumkehrend und + indexerhaltend. Präzise: wenn $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$ und wenn + $Z_1$ und $Z_2$ Zwischenkörper sind, dann gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Falls $Z_1 ⊆ Z_2$ ist, dann ist + \begin{align*} + \Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) & ⊇ \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr) && \text{und} \\ + [Z_2:Z_1] & = \left[\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) : \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr)\right], + \end{align*} + + \item Falls $H_1 ⊆ H_2$ ist, dann ist + \begin{align*} + \Fix{H_1} & ⊇ \Fix{H_2} && \text{und} \\ + [H_2:H_1] & = [\Fix{H_1} : \Fix{H_2}]. + \end{align*} + \end{itemize} + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und + jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist + \begin{equation*} + \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} + \end{equation*} + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper + $Z$ ist $Z/K$ genau dann Galoisch, wenn $\Gal(L/Z)$ eine normale Untergruppe + von $G = \Gal(L/K)$ ist, das heißt, wenn für alle $σ∈ G$ + \begin{equation*} + σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) + \end{equation*} + ist. Ist dies der Fall, dann ist + \begin{equation*} + \Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}. + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Ich beweise die + Teilaussagen~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}--\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} + im \video{18-1}. Für die letzte + Teilaussage~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} gibt es ein eigenes + \video{18-2}. +\end{proof} + +\begin{bemerkung}[Widerliche Rechthaberei] + Sehen Sie, warum ich in der ersten Woche der Vorlesungszeit so viel Aufhebens + um den Begriff der normalen Untergruppe gemacht habe? +\end{bemerkung} + + +\section{Ein Beispiel} + +Um den Hauptsatz der Galoistheorie zu illustrieren, setzen wir das +Beispiel~\vref{bsp:x-2} fort. Sei also wieder $K = ℚ$ und sei $N$ der +Zerfällungskörper von $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Wir haben bereits gezeigt, dass +$[N:K] = 6$ ist. Mit $ξ = e^{\frac{2π i}{3}}$ und +\[ + a_1=\sqrt[3]{2}, \quad a_2 = ξ·\sqrt[3]{2} \quad\text{und}\quad a_3=ξ²·\sqrt[3]{2} +\] +gilt +\begin{equation*} + N = ℚ\bigl(a_1, a_2, a_3\bigr) = ℚ\bigl(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}·i\bigr). +\end{equation*} +Dann ist $\Gal(N/ℚ) ≅ S_3$ die volle Permutationsgruppe der Nullstellenmenge +$\{a_1, a_2, a_3\}$. Wir haben folgende Untergruppen von $S_3$: +\[ + \begin{tikzcd}[column sep=tiny] + & & S_3 \\ + \{\Id, (12) \} \ar[urr, hook] & \{\Id, (13) \} \ar[ur, hook] & & \{\Id, (23) \} \ar[ul, hook]&\{\Id, (123), (132)\} \ar[ull, hook]\\ + & & \{\Id\} \ar[ull, hook] \ar[ul, hook] \ar[ur, hook] \ar[urr, hook] + \end{tikzcd} +\] +und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$, +\[ + \begin{tikzcd}[column sep=tiny] + & & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\ + ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\ + & & N + \end{tikzcd} +\] +Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe +$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben +sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl +$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt. Dann haben Sie nachgerechnet und konnten +$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken. Schauen Sie sich +diesen Ausdruck einmal ganz scharf an. Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen +Sie uns an! + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/17.tex b/17.tex new file mode 100644 index 0000000..6e2699e --- /dev/null +++ b/17.tex @@ -0,0 +1,758 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Grundbegriffe} +\label{chap:17} + +Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die +Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''. Also befasst +sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen. Um die +vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich +mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen. Ich hoffe, Sie sehen +mir das nach. + +\begin{defn}[Ordnung einer Gruppe] + Es sei $G$ eine Gruppe. Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung} + von $G$ und wird mit dem Symbol $|G|$ oder $\#G$ bezeichnet. +\end{defn} + + +\section{Gruppenwirkungen} + +Ich beginne mit einem Kapitel über die wesentlichen Grundbegriffe, obwohl Sie +vieles von dem Stoff vermutlich schon kennen. Einige der folgenden Sätze haben +wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet. + +\begin{defn}[Gruppenwirkung]\label{defn:gruppenwirkung} + Es sei $(G, ·)$ eine Gruppe und es sei $M$ eine Menge. Eine + \emph{Wirkung}\index{Wirkung}\index{Gruppenwirkung} oder + \emph{Operation}\index{Operation} von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung + \[ + α : G ⨯ M → M, + \] + sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{Def_Operation_Aussage_1} Es sei $e ∈ G$ das neutrale Element. + Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung $α(e,m) = m$. + + \item\label{Def_Operation_Aussage_2} Es seien $g$ und $h$ in $G$ zwei + Elemente. Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung + $α \bigl(h, α(g,m)\bigr) = α(h· g,m)$. + \end{enumerate} + Gegeben ein Element $g ∈ G$, so wird die zugehörige Abbildung + \[ + α_g : M → M, \quad m ↦ α(g,m) + \] + als \emph{Translationsabbildung}\index{Translationsabbildung!einer + Gruppenwirkung} des Elementes $g$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{notation} + Wenn klar ist, von welcher Gruppe, welcher Menge und welcher Wirkung die Rede + ist, schreibt man statt $α(g,m)$ häufig einprägsam $g·m$. +\end{notation} + +\begin{beobachtung}[Gruppenwirkungen und Morphismen in die Permutationsgruppe]\label{beo:mup} + In der Situation aus Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} erhalten wir eine + Abbildung von $G$ in die Permutationsgruppe von $M$, also die Gruppe der + bijektiven Abbildungen $M → M$ + \[ + φ_α : G → \text{Permutationen von } M, \quad g ↦ α_g. + \] + Mit dieser Notation ist Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} äquivalent + zu der Aussage, dass $φ_α(e) = \Id_M$ ist. + Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} ist äquivalent zu der Aussage, dass + für alle $g$ und $h$ aus $G$ die Gleichung $φ_α(h·g) = φ_α(h)◦ φ_α(g)$ ist. + Mit anderen Worten, $φ_α$ ist ein Gruppenmorphismus. + + Umgekehrt kann ich zu jeden Gruppenmorphismus + \[ + ψ : G → \text{Permutationen von } M + \] + mithilfe von + \[ + β_ψ : G ⨯ M → M, \quad (g,m) ↦ \bigl(ψ(g)\bigr)(m) + \] + eine Gruppenwirkung definieren. Rechnen Sie sofort nach, das $β_ψ$ + tatsächlich eine Gruppenwirkung ist und beweisen Sie, dass ich auf diese Weise + eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenwirkungen und der Menge der + Gruppenmorphismen erhalte. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[(In)effektivität, Treue] + Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in + Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus + Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung. Die + Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder + \emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus + $φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Matrix-Vektor-Multiplikation] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Gruppe $\GL_n(K)$ + operiert mithilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation treu auf dem Vektorraum + $K^n$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Wirkung der Galoisgruppe] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Dann operiert die + Galoisgruppe $G(f)$ auf dem Zerfällungskörper $L$ von $f$, aber auch auf der + Menge der Nullstellen oder der Menge der Zwischenkörper von $L/K$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Dynamische Systeme] + Es sei $\vec{v} : ℝ² → ℝ²$ ein $\cC^{∞}$-Vektorfeld. Wir fassen $\vec{v}$ als + Differenzialgleichung auf: gegeben ein Punkt $p ∈ ℝ²$, so suchen wir + Abbildungen $γ_p : ℝ → ℝ²$, so folgendes gilt: + \begin{itemize} + \item Es ist $γ_p(0) = p$ und + + \item für alle $t ∈ ℝ$ ist $γ'_p(t) = \vec{v}(γ_p(t))$. + \end{itemize} + Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der + gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von + Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles + Émile Picard} (* 24. Juli 1856 in Paris; † 11. Dezember 1941 ebenda) war + ein französischer + Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst + Leonard Lindelöf} (* 7. März 1870 in Helsingfors (Helsinki), + Großfürstentum Finnland; † 4. Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer + Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig + sind. Dann erhalten wir durch die Vorschrift + \[ + γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t) + \] + eine Wirkung der Gruppe $(ℝ, +)$ auf $ℝ²$. +\end{bsp} + + +\subsection{Bahnen und Fixpunkte} + +Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik +prominent auf. Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und +Begriffsbildungen rund um dieses Konzept. Ich beschränke mich hier auf die +Allerwesentlichsten. + +\begin{defn}[Bahn und Fixpunkt] + Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. + Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Die Menge + $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder + \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt. Falls $G·m = \{m\}$ ist, + dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Ebene $ℝ²$. Die Gruppe $G = (ℝ,+)/(2π·ℤ)$ wirkt durch Drehungen + um den Nullpunkt auf die Ebene. Der Nullpunkt ist ein Fixpunkt. Die Bahnen + dieser Wirkung sind der Nullpunkt und die Kreise um den Nullpunkt. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Eine Gruppe $G$ wirke auf einer Menge $M$. Beweisen Sie als Hausaufgabe die + folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind + die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt. Folgern Sie, + dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation + ``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Die Menge der + Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als + \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet. Wenn die Gruppenwirkung klar, + wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Transitive Wirkung] + Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Man + nennt die Wirkung \emph{transitiv}\index{transitive Wirkung}, falls es nur + eine einzige Bahn gibt. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + Eine Gruppenwirkung $α : G⨯ M → M$ ist genau dann transitiv, wenn für alle + Paare $a$, $b ∈ M$ ein Gruppenelement $g∈ G$ gibt, sodass die Gleichung + $a = g·b$ gilt. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp} + Die natürliche Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ²$ ist nicht transitiv. + Die Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ² ∖ \{ \vec{0} \}$ ist transitiv. +\end{bsp} + +\subsection{Isotropie und Stabilisator} + +Die Isotropiegruppe eines Punktes, die wir jetzt gleich definieren werden, ist +ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein. +Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe +gleich für Untermengen statt für Punkte. + +\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius} + Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter + sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge. + \begin{itemize} + \item Die Untergruppe + \[ + \Iso(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n = n \} ⊆ G + \] + als \emph{Isotropie}\index{Isotropie} der Menge $N$ bezeichnet. + + \item Die Untergruppe + \[ + \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G + \] + wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{notation}\label{not:17.1.5} + Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element + besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$. +\end{notation} + +\begin{bemerkung} + In der Situation von Definition~\ref{def:ius} gilt für jedes Element + $g ∈ \Stab(N)$ per Definition die Inklusion $φ_g(N) ⊆ N$ --- dabei bezeichnet + $φ_g$ wieder die zu $g$ gehörende Translationsabbildung. Überlegen Sie sich, + dass tatsächlich die Gleichheit $φ_g(N) = N$ gilt. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft + auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Dann wirkt $G$ auf + der Menge $L$; die Wirkung ist gegeben durch + \[ + G ⨯ L → L, \quad (σ, z) ↦ σ(z). + \] + Mit dieser Wirkung gilt für jeden Zwischenkörper $Z$ die Gleichung + $\Gal(L/Z) = \Iso(Z)$. +\end{bsp} + + +\subsection{Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation, Konjugation} + +Bei der Untersuchung von (endlichen) Gruppen interessiert man sich ganz +besonders für Wirkungen, bei denen eine gegebene Gruppe auf sich selbst wirkt. +Ich nenne drei besonders relevante Beispiele. + +\begin{bsp}[Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation] + Es sei $G$ eine Gruppe. Dann werden durch die Vorschriften + \[ + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h % + \quad \text{und} \quad % + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ h· g^{-1} + \] + zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die + \emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und + \emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden. +\end{bsp} + +\begin{frage} + Warum schreibe ich bei der Definition der Rechtsmultiplikation statt + $h·g^{-1}$ nicht einfach $h·g$? Ist doch viel einfacher. +\end{frage} + +\begin{bsp}[Konjugation von Elementen]\label{bsp:konju} + Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift + \[ + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h·g^{-1} + \] + eine Wirkung von $G$ auf sich selbst definiert, die + \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} genannt wird. Die + Bahnen dieser Wirkung werden + \emph{Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklassen} genannt. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Finden Sie sofort ein Beispiel für eine Gruppe, bei der die + Konjugationswirkung auf $G$ treu ist! Finden Sie sofort ein Beispiel für eine + Gruppe, bei der diese Wirkung nicht treu ist, sondern trivial! +\end{bsp} + +Die Konjugationswirkung ist natürlich besonders wichtig. Die relevanten +Isotropie- und Stabilisatorgruppen haben deshalb besondere Namen. + +\begin{defn}[Zentralisator] + Es sei $G$ eine Gruppe. Wir betrachten die Konjugationswirkung von $G$ auf + sich selbst. Gegeben eine Teilmenge $M ⊂ G$, dann wird die Untergruppe + $\Iso(M) ⊆ G$ auch als \emph{Zentralisator}\index{Zentralisator} von $M$ + bezeichnet. Die Untergruppe $\Iso(G) ⊆ G$ wird als \emph{Zentralisator von + $G$} oder \emph{Zentrum von $G$}\index{Zentrum} bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann im Zentralisator von $M$, wenn es mit + jedem Element aus $M$ kommutiert. In anderen Worten, wenn für jedes Element + $m ∈ M$ die Gleichung $g·m = m·g$ gilt. Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann + im Zentralisator von $G$, wenn es mit jedem Element kommutiert. +\end{beobachtung} + +Neben der Konjugation von einzelnen Elementen betrachtet man in der +Gruppentheorie häufig auch noch die induzierte Konjugationswirkung auf der Menge +der Untergruppen. Die folgende Definition macht das präzise. + +\begin{bsp}[Konjugation von Untergruppen]\label{bsp:konUG} + Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift + \[ + G⨯ \bigl\{ \text{Untergruppen von }G \bigr\} → \bigl\{ \text{Untergruppen + von }G \bigr\}, \quad (g,H) ↦ g· H·g^{-1} + \] + eine Wirkung von $G$ auf der Menge aller Untergruppen definiert. Diese wird + ebenfalls als \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} + bezeichnet. Eine Untergruppe $N ⊆ G$ ist genau dann normal, wenn + $N ∈ \{ \text{Untergruppen} \}$ ein Fixpunkt dieser Wirkung ist. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Normalisator einer Untergruppe]\label{defn:normalisator} + Es sei $G$ eine Gruppe und $U ⊆ G$ sei eine Untergruppe. Betrachte die + Konjugation von Untergruppen aus Beispiel~\ref{bsp:konUG}. Dann wird die + Untergruppe $\Iso(U)$ als \emph{Normalisator von $U$}\index{Normalisator} + bezeichnet. Die Bezeichnung $N(U)$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{achtung} + In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge + \[ + M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\} + \] + Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$. Also ist + $\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen! +\end{achtung} + +\begin{bemerkung} + In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine + Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen + $U ⊆ N(U) ⊆ G$. Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale + Untergruppe von $N(U)$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe + $N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. + Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau? +\end{bemerkung} + + +\section{Die Bahnengleichung} + +\sideremark{Vorlesung 19}Wenn eine Gruppe auf eine Menge wirkt, dann gibt es +natürlich einen Zusammenhang zwischen der Größe der Bahn und der Größe der +Isotropiegruppe. Der folgende Satz quantifiziert das. + +\begin{satz}[Bahnengleichung]\label{Satz_Seite_156_und_157} + Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiert. Weiter sei + $m ∈ M$. Dann gilt die folgende Gleichung, + \begin{equation*} + |G| = |\Iso(m)|·|G·m|. + \end{equation*} +\end{satz} +\begin{proof} + Betrachte die Abbildung + \[ + φ : G → G·m, \quad g ↦ g·m. + \] + Jedes Element von $G$ liegt genau in einer Faser. Also ist + \[ + |G| = \sum_{n ∈ G·m} |φ^{-1}(n)|. + \] + Wir rechnen die Größe der Fasern einfach aus. Gegeben ein Element $h·m$ der + Bahn, dann gilt für jedes Gruppenelement $g ∈ G$: + \begin{align*} + g ∈ φ^{-1}(h·m) & ⇔ g·m = h· m \\ + & ⇔ h^{-1}· g· m = m \\ + & ⇔ (h^{-1} · g)∈ \Iso(m) \\ + & ⇔ g∈ h· \Iso(m). + \end{align*} + Also ist $φ^{-1}(h·m) = h· \Iso(m)$. Diese Gruppe enthält aber genau so viele + Elemente wie $\Iso(m)$. +\end{proof} + +Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer +Untergruppe'' eingeführt. Ich wiederhole das noch einmal. + +\begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen] + Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$ + durch Linksmultiplikation. Die Bahn eines Elements $g ∈ G$ unter dieser + Operation, $U· g = \{u· g \::\: u∈ U\}$ heißt + \emph{Rechtsnebenklasse}\index{Rechtsnebenklasse} von $g$ modulo $U$. Die + Menge der Rechtsnebenklassen wird mit $\ifactor{U}{G}$ bezeichnet, die Anzahl + der Rechtsnebenklassen heißt \emph{Index}\index{Index der Untergruppe $U ⊆ G$} + und wird in der Literatur mit $[G:U]$ bezeichnet. +\end{bsp} + +\begin{bemerkung} + In der Literatur wird der Index manchmal auch mit Rechtsmultiplikation und + Linksnebenklassen eingeführt. Diese Definition stimmen überein! +\end{bemerkung} + +Für den Fall der Linksmultiplikation wird die Bahnengleichung auch als Satz von +Lagrange\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis + de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † + 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.} +bezeichnet. + +\begin{satz}[Satz von Lagrange]\label{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $U ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist + $|G| = [G:U]·|U|$. +\end{satz} +\begin{proof} + Die Gruppe $G$ wirkt wie folgt auf der Menge $U\backslash G$ der + Rechtsnebenklassen, + \[ + G ⨯ \Bigl( \ifactor{U}{G} \Bigr) → \ifactor{U}{G}, \quad (g, U·h) ↦ + U·hg^{-1}. + \] + Überlegen Sie sich, dass dies tatsächlich eine (wohldefinierte!) + Gruppenwirkung ist, dass diese Wirkung transitiv ist und dass $\Iso(U·e)=U$ + ist. Der Satz von Lagrange folgt dann sofort aus der Bahnengleichung, + Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Interessant ist wieder die Operation der Gruppe $G$ auf sich selbst durch + Konjugation. Wenn $h ∈ G$ ist, dann gilt nach der Bahnengleichung die + Gleichheit + \begin{equation*} + |\{ ghg^{-1} \::\: g∈ G \}| = [G : \Zentralisator(h)]. + \end{equation*} + Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der + Gruppenordnung $|G|$. Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges + Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die + disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die + \emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung} + \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I} + |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)] + \end{equation} + Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders. Dazu beobachte man, + dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente + sind, deren Konjugationsklassen nur aus einem Element bestehen. Also gilt + \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_II} + |G| = |\Zentralisator(G)| + \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{h_i \text{ mit}}{[G:\Zentralisator(h_i)]>1}} [G:\Zentralisator(h_i)] + \end{equation} +\end{bemerkung} + + +\section{Restklassengruppen} + +``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange. Der +lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch +einmal auf. Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine +elegante universelle Eigenschaft formulieren. + +\begin{defn}[Restklassengruppen] + Es sei $G$ eine Gruppe und $N ⊂ G$ sei eine normale Untergruppe. Eine + \emph{Restklassengruppe}\index{Restklassengruppe} oder + \emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit + einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass + folgende universelle Eigenschaft gilt. Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$ + mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus + $β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert, + \[ + \begin{tikzcd} + G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\ + G \ar[r, "α"'] & H + \end{tikzcd} + \] +\end{defn} + +Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassengruppen +eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie, falls sie überhaupt existieren. + +\begin{satzdef}[Existenz von Restklassengruppen] + Es sei $G$ eine Gruppe und des sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Dann + lässt sich auf der Menge der Linksnebenklassen, + \[ + \factor{G}{N} = \{g· N \::\: g∈ G\} + \] + auf genau eine Weise eine Gruppenstruktur erklären, sodass die + Quotientenabbildung + \begin{equation*} + q : G → \factor{G}{N}, \quad g ↦ g· N + \end{equation*} + ein Gruppenmorphismus ist. Dies ist dann automatisch ein Gruppenquotient. + \qed +\end{satzdef} + +\begin{satz}[Homomorphiesatz für Gruppen] + Es sei $α : G → H$ ein surjektiver Gruppenmorphismus. Dann ist $\ker(α)$ + normal und $H ≅ G/\ker α$. \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Normale Untergruppen unten und oben]\label{Satz_Seite_160} + Es sei $α : G → H$ ein Gruppenmorphismus. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_1} Das Bild einer Untergruppe von $G$ ist + eine Untergruppe von $H$ und das Urbild einer Untergruppe von $H$ ist eine + Untergruppe von $G$. + + \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_2} Das Urbild eines Normalteilers von $H$ + ist ein Normalteiler von $G$ und das Bild eines Normalteilers von $G$ ist + ein Normalteiler in $H$, wenn $α$ surjektiv ist. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Sehr ähnlich zum analogen Satz für Ideale, + Satz~\vref{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}. \qed +\end{proof} + +\begin{beobachtung}\label{beo:xx} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter + sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann ist + \[ + U· N =\{u· n \::\: u∈ U, n∈ N\} + \] + wieder eine Untergruppe. Zum Beweis müssen wir lediglich zeigen, dass $U·N$ + abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist. Mit anderen Worten, wir müssen + zeigen, dass für alle $n_1$, $n_2 ∈ N$ für alle $u_1$, $u_2 ∈ U$ die Inklusion + \begin{equation*} + (u_1· n_1)· (u_2· n_2) ∈ U· N + \end{equation*} + gilt. Wir wissen, dass $N$ normal ist. Also ist + $\widetilde{n_1} := u_2^{-1} n_1u_2 ∈ N$ und es gilt + $n_1u_2=u_2\widetilde{n_1}$. Demnach ist + \begin{equation*} + u_1n_1u_2n_2=u_1u_2·\widetilde{n_1}n_2∈ U· N. + \end{equation*} + Fertig ist der Beweis. Man beachte: wenn $N$ nicht normal ist, ist diese + Beobachtung im Allgemeinen ganz falsch! +\end{beobachtung} + +Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn. + +\begin{satz}[Erster Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Erster_Noetherscher_Isomorphiesatz} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter + sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann induziert der die komponierte + Abbildung + \begin{equation*} + \begin{tikzcd} + U \ar[r, hook] & G \ar[r, "q"] & \factor{G}{N} + \end{tikzcd} + \end{equation*} + einen Isomorphismus $U/(U∩N) ≅ (U·N)/N$. \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Zweiter Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz} + Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $N_2 ⊂ N_1⊂ G$ zwei Normalteiler. Dann + ist $N_1/N_2$ normal in $G/N_2$ und + \begin{equation*} + \factor{ \factor{G}{N_2} }{ \factor{N_1}{N_2} } ≅ \factor{G}{N_1}. \eqno \qed + \end{equation*} +\end{satz} + + +\section{Zyklische Gruppen und die Ordnung von Elementen} + +Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des +Primkörpers eines Körpers. Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$. Die +Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen. Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine +Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$ +\begin{equation*} + n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U. +\end{equation*} +Analog für negative $n$. Also ist $U$ ein Ideal und deshalb von der Form +$U= (α)$. + +\begin{beobachtung}\label{beob:lx} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g∈ G$ ein Element. Dann existiert genau + ein Gruppenmorphismus $ζ : ℤ → G$ mit $ζ(1) = g$. Für positive Zahlen $n$ ist + \begin{equation*} + ζ(n) = \underbrace{g ⋯ g}_{n⨯}, + \end{equation*} + für negative Zahlen analog. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Zyklische (Unter)gruppe, primitives Element] + Es sei $G$ eine Gruppe. + \begin{itemize} + \item Gegeben ein Element $g ∈ G$, sei $ζ$ die Abbildung aus + Beobachtung~\ref{beob:lx}. Das Bild von $ζ$ heißt die \emph{von $g$ + erzeugte zyklische Untergruppe}\index{Zyklische Untergruppe}. Das Bild + von $ζ$ wird oft $(g)$ geschrieben. + + \item Die Gruppe $G$ heißt \emph{zyklisch}\index{zyklische Gruppe}, wenn ein + $g∈ G$ existiert, sodass $G = (g)$ ist. Man nennt $g$ dann ein + \emph{primitives Element von $G$}\index{primitives Element einer zyklischen + Gruppe}. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Eine zyklische Gruppe ist also entweder isomorph zu $(ℤ,+)$ oder zu einer + endlichen Gruppe der Form $ℤ/(n)$. +\end{bemerkung} + +\begin{defn}[Ordnung von Gruppenelementen]\label{def:orge} + Es sei $G$ eine Gruppe und $g∈ G$ sei ein Element. Die \emph{Ordnung von + $g$}\index{Ordnung!eines Gruppenelements} ist die Ordnung der Gruppe $(g)$. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + In der Situation von Definition~\ref{def:orge} ist die Ordnung von $g$ + entweder $∞$ oder $n ∈ ℕ$, wobei $n$ die kleinste Zahl mit $g^n=e$ ist. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}\label{Satz_Seite_163} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_1} Gilt $g^m=e$ für ein $m ∈ ℤ$, dann ist + die Ordnung von $g$ ein Teiler von $m$. + + \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_2} Wenn die Ordnung von $g$ gleich $m$ ist + und $n ∈ ℕ$ irgendeine weitere Zahl, dann hat $g^n$ die Ordnung + $m/ \ggT(n,m)$. Insbesondere gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m$, falls $\ggT(n,m)=1$ ist. + + \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m/n$, falls $n$ ein Teiler von $m$ + ist. \qed + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beobachtung}\label{beo:pe} + Es sei $G$ zyklisch der Ordnung $m$ und es sei $g ∈ G$ ein primitives Element. + Dann folgt aus Satz~\ref{Satz_Seite_163}, dass die Menge der primitiven + Elemente sind exakt die folgende Menge ist, + \begin{equation*} + \{ g^a \::\: 1 ≤ a ≤ m: \ggT(a,m)=1\}. + \end{equation*} +\end{beobachtung} + +Die Größe der Menge aus Beobachtung~\ref{beo:pe} ist eine Zahl, die später bei +der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks +noch sehr wichtig wird. Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der +primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird +Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard + Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. + Septemberjul./ 18. September 1783greg. in Sankt Petersburg) war ein + Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.} +$φ$-Funktion genannt. + +\begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion] + Man nennt die Funktion + \begin{equation*} + φ : ℕ → ℕ, \quad m ↦ \# \{a∈ ℕ \::\: 1≤ a≤ m: \ggT(a,m) = 1\} + \end{equation*} + die \emph{Eulersche $φ$-Funktion}\index{Eulersche $φ$-Funktion}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch. Abgesehen von dem + neutralen Element sind alle Elemente primitiv. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw} + Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln, + \[ + \Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ, + \] + also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation + eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Die primitiven Erzeuger heißen + \emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}. Die Gruppe + der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks. + Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch + Spiegelungen. Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}. + Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2· n$ und ist nicht abelsch. +\end{bsp} + +Der folgende Satz liefert weitere Beispiele. + +\begin{satz}\label{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} + Sei $R$ ein Integritätsring und $G ⊂ R^*$ sei eine endliche (multiplikative) + Gruppe. Dann ist $G$ zyklisch. +\end{satz} + +Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} +zuerst zwei kleine Lemmas. Das erste können Sie selbst beweisen. + +\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen} + Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die + kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}. Weiter sei + $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$. Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$. \qed +\end{lemma} + +\begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen} + Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und es sei + $m := \max \{\ord g \::\: g∈ G\}$. Dann gilt für alle $g∈ G$ die Relation + $(\ord g)| m$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Seien $\ord g = \prod_{\{p\}}p^{ν_p}$ und $m = \prod_{\{p\}}p^{μ_p}$ die + Primfaktorzerlegungen von $\ord g$ und von und $m$. Weiter sei $h∈ G$ ein + Element mit $\ord h =m$ und $g∈ G$ sei irgendein Element. Gegeben eine + Primzahl $p$, so schreiben wir + \begin{equation*} + \ord g = p^{ν_p}· n_p\quad\text{und}\quad \ord h = m = p^{μ_p}· m_p; + \end{equation*} + dabei gilt $p \nmid n_p$ und $p \nmid m_p$ gilt. Weil $p$ und $n_p$ + beziehungsweise $m_p$ sogar teilerfremd sind, gilt + \begin{equation*} + \ord g^{n_p} = p^{ν_p} \quad\text{und}\quad \ord h^{p^{μ_p}} = m_p. + \end{equation*} + Also folgt aus Lemma~\vref{Lemma_vor_Ordnung_teilen}, dass + \begin{equation*} + \ord \bigl(g^{n_p}· h^{p^{μ_p}} \bigr) = p^{ν_p}· m_p≤ m = p^{μ_p}· m_p + \end{equation*} + ist, wobei die Ungleichung gilt, weil $m$ das Maximum war. Also folgt + $ν_p < μ_p$. Weil das für jede Primzahl gilt, folgt $(\ord g)|m$ gelten. +\end{proof} + +Mit dieser Vorbereitung können wir jetzt den Satz über die Untergruppen von +$R^*$ beweisen. + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}] + Jeder Integritätsring ist in seinen Quotientenkörper eingebettet. Deshalb + können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $R$ ein Körper ist. Nach + Lemma~\vref{Lemma_Ordnung_teilen} gilt dann mit + \[ + m := \max \{ \ord g \::\: g∈ G \} + \] + für alle $g ∈ G$, dass $g^m=1$ ist. Die Elemente aus $G$ sind also alles + Nullstellen des Polynoms $x^m-1∈ R[x]$. Nun gibt es einerseits höchstens $m$ + solche Nullstellen, andererseits ist für ein $h ∈ G$ mit $\ord h =m$ schon + \begin{equation*} + (h) = \{h^n \::\: n ∈ ℤ\}⊂ G + \end{equation*} + eine Menge mit $m$ Elementen. Also ist $G = (h)$. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Wenn $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist, dann ist $\# K^* = q-1$. + Wir haben gesehen, dass $K^*$ aus den Nullstellen des Polynoms + $x^{q-1}-1 ∈ 𝔽_p[x] ⊂ K[x]$ besteht, wobei $p$ die Charakteristik von $K$ ist. + Also hat $x(x^{q-1}-1)=x^q-x$ alle Elemente von $K$ als Nullstelle. Das gibt + einen einfachen Beweis für die Klassifikation endlicher Körper. +\end{bemerkung} + + +\section{Der kleine Satz von Fermat} + +Der kleine Satz von +Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de + Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, + heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein + französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, +die sich trivial aus dem Gesagten ergibt. Wir halten die Aussage für spätere +Anwendungen noch einmal fest. + +\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ irgendeine Zahl. Dann ist + $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar. Ansonsten liefert + die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element + $\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe + $𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat. Nach + Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die + Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler + von $|𝔽^*_p| = p-1$. Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder + äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{proof} + +\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat} + Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die + äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder + $p|(a^{p-1}-1)$. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/18.tex b/18.tex new file mode 100644 index 0000000..4f91052 --- /dev/null +++ b/18.tex @@ -0,0 +1,448 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Die Sätze von Sylow} +\label{chap:18} + +\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur +Struktur endlicher Gruppen. Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine +endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$. Dann ist wissen wir schon, +dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$ +auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze +von +Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter + Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7. + September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende + Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten. + +\begin{notation} + Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl. +\end{notation} + + +\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy} + +Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist +die folgende. + +\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl} + Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ + operiert. Weiter sei + \begin{equation*} + M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \} + \end{equation*} + die Menge der Fixpunkte. Dann ist + $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen + Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit + $B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt: + \begin{equation*} + |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|, + \end{equation*} + Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass + die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein + Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung + $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{proof} + +Der Satz von +Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis + Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein + französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine +endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter +Ordnung zu beweisen. + +\begin{satz}[Satz von Cauchy]\label{Satz_von_Cauchy} + Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert + ein Element von Ordnung $p$. +\end{satz} +\begin{proof} + Sei $G$ die Gruppe. Betrachte die Menge + \begin{equation*} + M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}. + \end{equation*} + Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass + der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt + ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$. Wir erhalten die folgende Gleichung, + \begin{equation}\label{eq:x78} + |M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}. + \end{equation} + + Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das + zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe + $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische + Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch + $b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch + die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, + $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge + dieser Wirkung ist + \[ + M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}. + \] + Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist. Auf der + anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass + \[ + |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| + \overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod} + p) + \] + ist. Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$. Nach + Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$. +\end{proof} + + +\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen} + +Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen +besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die +folgende Definition beschreibt den Extremfall. + +\begin{definition}[$p$-Gruppe] + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die + Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist. +\end{definition} + +\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen] + Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$ + gibt, sodass $|G|=p^n$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$ + teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann + gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach + Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein + Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein. +\end{proof} + +\begin{satz} + Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum. +\end{satz} +\begin{proof} + Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich + selbst durch Konjugation. Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das + Zentrum von $G$. Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl}, + dass + \begin{equation*} + |\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p). + \end{equation*} + Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$. +\end{proof} + +Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm. In +dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$ +enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich +besonders gut. + +\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von + $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal + bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil + $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die + Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar. +\end{bemerkung} + +\begin{lem} + Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine + $p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. Dann ist die Untergruppe + $g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe. Insbesondere gilt: wenn + es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein + Normalteiler von $G$. +\end{lem} +\begin{proof} + Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente. Um zu + zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur + zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist. Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe, + die $g·G_p·g^{-1}$ enthält. Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$. Also ist + $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$. +\end{proof} + +\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} + Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in + Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann + gilt + \begin{equation*} + [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p). + \end{equation*} +\end{lemma} +\begin{proof} + Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der + Linksnebenklassen, + \[ + M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}. + \] + Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung. Wann ist eine + Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung? Antwort: es ist + \begin{align*} + g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\ + & ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\ + & ⇔ g^{-1}·U·g = U \\ + & ⇔ g ∈ N(U). + \end{align*} + Also ist + \begin{equation*} + [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere + \end{equation*} +\end{proof} + +\begin{kor} + Mit den gleichen Voraussetzungen wie in + Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$ + teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$. +\end{kor} +\begin{proof} + Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$. Wegen der + zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$. +\end{proof} + + +\section{Die Sätze von Sylow} + +Die Sätze von Sylow\index{Sylow-Sätze} geben Auskunft über Existenz von +$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen. Sie geben auch Auskunft +darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind. + +\begin{satz}[Erster Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Eins} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$ + sei. Dann gelten folgende Aussagen. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert + eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$. + + \item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede + Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung + $p^{i+1}$. + \end{enumerate} + Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-1} +\end{proof} + +\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Zwei} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu + jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass + $g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist. Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$ + zueinander konjugiert. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-2} +\end{proof} + +\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Drei} + Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen + Gruppe $G$. Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$. Weiterhin ist + $s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-3} +\end{proof} + + +\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders} + +Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal +ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge +$\{1, 2, 3, 4 \}$. Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades +auszurechnen, interessieren uns die besonders für die Untergruppen von $S_4$. + + +\subsection{Geometrische Interpretation} + +Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders interpretieren, +wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt. Schauen Sie aber auf jeden +Fall auch einmal in den +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur + Tetraedergruppe}. + +\begin{figure} + \centering + + \begin{tikzpicture}[scale=.75] + \def \hoeheEins {0.25} + \def \hoeheZwei {2.0} + \def \weiteEins {0.5} + \def \weiteZwei {1.5} + \def \labelshift {.75} + + \node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {}; + \node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {}; + \node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {}; + \node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {}; + \foreach \X in {1,2,3,4}{ + \fill (\X) circle (0.05); + } + \path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3); + \draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2); + \draw[dashed] (1)--(3); + \end{tikzpicture} + + \caption{Tetraeder} + \label{fig:tetraeder} +\end{figure} + + +\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe} + +Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich +frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie +wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im +Zusammenhang mit der Konstruktion von +Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie + Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in + Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen +diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, +wiederhole ich die Sache noch einmal. + +\begin{fakt} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der + Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche) + Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist. + Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den + Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $S_n$. \qed +\end{fakt} + +Die Bijektion sieht so aus: +\begin{itemize} +\item Wenn eine Permutation $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als + Produkt disjunkter Zykel schrieben, zum Beispiel so + \[ + σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8. + \] + Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3. Ich erhalte + die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$. In der Sprache dieser Vorlesung betrachten + wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$. Diese Gruppe wirkt + auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$. Die Zykel sind dann die Bahnen + der $H$-Wirkung auf $M_8$. + +\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind + die trivialerweise zueinander konjugiert. Statt großer Theorie erkläre ich + das an einem Beispiel. Gegeben seien + \[ + σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236). + \] + Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch + \begin{align*} + g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\ + g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8 + \end{align*} + und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist. Ich vermute, Sie durchschauen das + System. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet. + +\item Jede Partition tritt auf. Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition + $(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation + $σ = (12)(345)(678)$. +\end{itemize} + +Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4} +zusammengefasst. + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}} + \text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\ + \hline + abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em] + aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em] + aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em] + aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em] + aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6 + \end{tabular} + + \caption{Konjugationsklassen in $S_4$} + \label{fig:ks4} +\end{table} + + +\subsection{Die Untergruppen von $S_4$} + +Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$. Potenzielle Untergruppen +können also nur die folgenden Ordnungen haben. +\begin{description} +\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein. + +\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen, also der Kern der + Signums-Abbildung, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe + von Ordnung 12. Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung + 12 existieren. + +\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$ + der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter + Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit + $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir + wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes + Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten + ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt. + Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$. + +\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert. + +\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe + der Ordnung 4. Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen + existieren. + +\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein. Diese + Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3 + haben. Also sind die 3-Sylowuntergruppe zyklische Gruppen, die von Drehungen + um Ecken erzeugt werden. Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$ + Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische + Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit). + +\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung + zwei (=Spiegelung bzw. Drehung um eine Achse) erzeugt werden + +\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein. +\end{description} + +Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie +man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt. Wenn man in +Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht +man, dass $D_4$ die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$ +ist. Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe. Am Tetraeder lässt +sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung +$(13)(24)$ interpretieren. Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als +Untergruppen von $D_4$. Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch +Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2. Der Vollständigkeit halber sind +in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von +Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet. In der Summe sehen Sie 30 +Untergruppen. + +\begin{fazit} + Ein Zerfällungskörper eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30 + Zwischenkörper. \qed +\end{fazit} + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}} + \text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\ + \hline + S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\ + A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\ + D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\ + S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\ + ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\ + ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\ + ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\ + ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\ + ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\ + ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\ + \{e\} & & 1 & 1\\ + \end{tabular} + + \caption{Untergruppen von $S_4$} + \label{fig:ugs4} +\end{table} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/19.tex b/19.tex new file mode 100644 index 0000000..652e130 --- /dev/null +++ b/19.tex @@ -0,0 +1,176 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Abelsche Gruppen} +\label{chap:19} + +\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir +uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen +auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im +Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt +dünn. Zeit zum Luftholen! + +\begin{notation} + Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen + (fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale + Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{notation} + Gegeben zwei Abelsche Gruppen $(G_1, +)$ und $(G_2, +)$, dann ist auch das + Produkt $G_1 ⨯ G_2$ eine Abelsche Gruppe, wenn ich die Gruppenverknüpfung + komponentenweise definiere. Die so konstruierte Produktgruppe wird auch mit + $G_1 ⊕ G_2$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{konstruktion} + Es sei $(G, +)$ eine abelsche Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. Wir + hatten schon in Beobachtung~\ref{beob:lx} gesehen, dass dann genau ein + Gruppenmorphismus $ζ_g : ℤ → G$ mit $ζ_g(1) = g$ existiert. Wir definieren + dann eine Abbildung + \[ + α : ℤ⨯G → G, \quad (n,g) ↦ ζ_g(n). + \] + Das lässt sich natürlich auch ganz elementar so hinschreiben, + \[ + (n,g) ↦ + \left\{ + \begin{matrix} + 0_G & \text{falls $n = 0$} \\ + \underbrace{g + ⋯ + g}_{n⨯} & \text{falls $n > 0$} \\ + \underbrace{(-g) + ⋯ + (-g)}_{n⨯} & \text{falls $n < 0$.} \\ + \end{matrix} + \right. + \] + Statt $α(n,g)$ schreiben wir auch kurz $n·g$. Die Abbildung $α$ sieht aus wie + die skalare Multiplikation, die wir von Vektorräumen kennen. Natürlich ist + $G$ kein Vektorraum, denn $ℤ$ ist kein Körper. Stattdessen nennt man $G$ + einen \emph{$ℤ$-Modul}\index{$ℤ$-Modul}. Ein Modul ist wie ein Vektorraum + aber nicht über einem Körper, sondern über einem Ring (genaue Definition auf + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Wikipedia}). Die + $ℤ$-Wirkung definiert dabei die skalare Multiplikation. Die Annahme, dass $G$ + abelsch ist, benötigen wir für das Distributivgesetz, mit anderen Worten: + \begin{equation*} + n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G. + \end{equation*} + Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als + Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''. +\end{konstruktion} + +Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches +Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen. + +\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln] + Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte + abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt, + sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination + \begin{equation*} + g=\sum n_i·g_i + \end{equation*} + darstellen lässt. Man nennt die Menge $M := \{g_1, …, g_r\}$ dann ein + \emph{Erzeugendensystem}\index{Erzeugendensystem für Abelsche Gruppe} von $G$. + Wenn die Menge $M$ zusätzlich $ℤ$-linear unabhängig ist, dann nennt man $M$ + eine \emph{Basis}\index{Basis für Abelsche Gruppe}. Eine endlich erzeugte + abelsche Gruppe heißt \emph{frei}\index{freie Abelsche Gruppe}, wenn sie eine + Basis hat. +\end{definition} + +Bevor Sie weiter lesen: finden Sie eine nicht-triviale Abelsche Gruppe ohne +Basis. Der folgende Satz, dessen Beweis ich mir hier spare, wird Sie vermutlich +nicht überraschen. Man muss beim Beweis natürlich aufpassen, weil man im +Gegensatz zu Fall von Vektorräumen (die ja über Körpern definiert sind) in $ℤ$ +nicht immer dividieren kann. + +\begin{satzdef}[Rang einer Abelschen Gruppe] + Es sei $G$ eine endlich erzeugte, freie Abelsche Gruppe. Dann sind alle Basen + endlich und je zwei Basen haben gleich viele Elemente. Die Anzahl der + Elemente in einer Basis wird \emph{Rang}\index{Rang einer freien Abelschen + Gruppe} genannt. \qed +\end{satzdef} + +Wenn $K$ ein Körper ist, dann sind die einfachsten Vektorräume die Produkte +$K^n$ (wobei die Vektorraumaddition komponentenweise definiert ist). Das geht +mit Abelschen Gruppen ganz genau so. + +\begin{bsp} + Die einfachste freie Abelsche Gruppe ist $ℤ^r$, wobei die Gruppenverknüpfung + komponentenweise definiert ist. Die Einheitsvektoren + $\vec{e}_1, …, \vec{e}_r$ bilden eine Basis. +\end{bsp} + +Jeder endlich-dimensionale $K$-Vektorraum $V$ ist auf nicht-kanonische Weise +isomorph zu $K^{\dim V}$. Auch das geht mit Abelschen Gruppen genau so. + +\begin{beobachtung} + Es sei $G$ eine endlich-erzeugte, freie abelsche Gruppe $G$ mit Basis + $\{g_1, …, g_r \}$. Dann ist die Abbildung + \begin{equation*} + ℤ^r → G, \quad (n_1, …, n_r) ↦ \sum n_i·g_i + \end{equation*} + ein Isomorphismus von Gruppen. +\end{beobachtung} + +Aber Achtung! Nicht alles, was wir aus der linearen Algebra kennen, gilt auch +für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss. + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zur Theorie der Vektorräume kann man Basen von Abelschen Gruppen + nicht einfach dadurch erhalten, dass man ausreichend viele Elemente eines + Erzeugendensystems weg lässt. + \begin{enumerate} + \item In $ℤ/(n)$ ist das Element $1+(n)$ ein Erzeuger, aber keine Basis. + + \item In $ℤ$ ist $\{2, 3\}$ ein Erzeugendensystem, aber weder 2 noch 3 + erzeugen $ℤ$. + \end{enumerate} +\end{warnung} + +Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert +die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt. +Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen. +Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln +über Hauptidealringen. Die Tatsache, dass $ℤ$ ein Hauptidealring ist, spielt im +Beweis eine große Rolle. + +\begin{satz}[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]\label{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} + Es sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es eindeutig + bestimmte Zahlen $r$, $t$ aus $ℕ$ sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen + $1 < a_1 ≤ … ≤ a_t$, sodass $G$ isomorph zu folgender Gruppe ist, + \begin{equation*} + ℤ^r⊕ ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_t). \eqno \qed + \end{equation*} +\end{satz} + +\begin{notation} + In der Situation von + Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} wird der Summand + $ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_n)$ als \emph{Torsionsanteil von $G$}\index{Torsionsanteil + einer Abelschen Gruppe} bezeichnet. Die Zahlen $a_•$ heißen + \emph{Elementarteiler von $G$}\index{Elementarteiler einer Abelschen Gruppe}. + Der Summand $ℤ^r$ wird der \emph{freie Anteil von $G$}\index{freier Anteil + einer Abelschen Gruppe} genannt. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + In der Situation von + Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} ist der + Torsionsanteil als Untergruppe von $G$ eindeutig bestimmt. Es ist nämlich + \begin{equation*} + \text{Torsionsanteil} = \{g ∈ G \::\: \ord g < ∞\}. + \end{equation*} + Der freie Anteil ist isomorph zur Quotientengruppe + $G / \text{Torsionsanteil}$. +\end{beobachtung} + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zum Torsionsanteil ist der freie Anteil einer Abelschen Gruppe + \emph{nicht} eindeutig bestimmt. Betrachten Sie die Gruppe $G = ℤ ⊕ ℤ/(7)$ + und finden Sie sofort zwei unterschiedliche Untergruppen von $G$, die beide + isomorph zu $ℤ$ sind! +\end{warnung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/20.tex b/20.tex new file mode 100644 index 0000000..ef42518 --- /dev/null +++ b/20.tex @@ -0,0 +1,229 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösbare und einfache Gruppen} +\label{chap:20} + +\section{Auflösbare Gruppen: teile und herrsche} + +Abelsche Gruppen sind leicht zu verstehen, andere Gruppen eher nicht. Eine +mögliche Herangehensweise, um eine gegebene Gruppe $G$ zu verstehen, ist es, +einen Normalteiler $N ⊂ G$ zu finden, und die Sequenz +\begin{equation*} + N → G → \factor{G}{N} +\end{equation*} +zu betrachten. Damit ist das Problem nicht gelöst, aber immerhin in +Teilaufgaben unterteilt. +\begin{itemize} +\item Zuerst muss man die Gruppen $N$ und $G/N$ verstehen. Diese Gruppen sind + kleiner als $G$ und damit hoffentlich leichter zu untersuchen. Wenn man ganz + viel Glück hat, sind $N$ oder $G/N$ vielleicht sogar Abelsch. + +\item Am Ende muss man verstehen, wie sich die Gruppe $G$ aus $N$ und $G/N$ + zusammensetzt. +\end{itemize} +Falls die Gruppen $G$ und $G/N$ immer noch zu kompliziert sind, kann man +vielleicht denselben Trick anwenden, um auch diese Gruppen weiter zu +unterteilen. + +\begin{bsp} + Es sei $G$ ist die Gruppe der affinen Transformationen der Ebene $ℂ²$. In der + linearen Algebra haben wir die Gruppe vermutlich schon untersucht und dabei + festgestellt, dass sich jede affine Transformation als Komposition einer + Translation und einer linearen Abbildung schreiben lässt. Eine genauere + Untersuchung zeigt: Die Gruppe der Translationen ist eine normale + Untergruppe\footnote{Können Sie das beweisen? Machen Sie mal! Zeigen Sie + mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!} + $N ⊂ G$. Der Quotient ist $G/N ≅ \GL_2(ℂ)$. Beide Anteile kann man gut + verstehen. +\end{bsp} + +Wenn eine gegebene Gruppe $G$ nicht Abelsch ist, dann ist die nächstbeste +Möglichkeit vermutlich die, dass die Gruppe $G$ wie oben beschrieben aus +Abelschen Gruppen zusammengesetzt ist. Die folgende Definition sagt präzise, +was ich damit meine. + +\begin{definition}[Auflösbare Gruppe]\label{def:solv} + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{auflösbar}\index{auflösbare Gruppe}, wenn es eine + Zahl $ℓ ∈ ℕ$ und eine Kette von Untergruppen + \begin{equation*} + G=N_{ℓ}⊋ N_{ℓ-1}⊋ ⋯ ⊋ N_1 ⊋ N_0= \{e\} + \end{equation*} + gibt, sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist $N_i$ ein Normalteiler in $N_{i+1}$. + + \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist die Quotientengruppe $N_{i+1}/N_i$ + Abelsch. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{notation} + Eine Kette von Untergruppen wie in Definition~\ref{def:solv} wird + \emph{Auflösungskette}\index{Auflösungskette} genannt. +\end{notation} + +Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppen +zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4} +gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit +der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name +``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden. + +\begin{bsp} + Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist + $S_4 ⊃ A_4 ⊃ V_4 ⊃ \{e\}$. Dabei sind $A_4$ und $V_4$ die folgenden + Untergruppen. + \begin{itemize} + \item Die Gruppe $A_4$ ist der Kern der Signumsabbildung und wird + \emph{alternierende Gruppe}\index{alternierende Gruppe} genannt. + + \item Die Gruppe $V_4$ heißt \emph{Kleinsche Vierergruppe}\index{Kleinsche + Vierergruppe} und ist gegeben als + \[ + V_4 = \{\Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}. + \] + \end{itemize} + Weiterhin rechne man nach, was die Quotienten sind: + \[ + \factor{S_4}{A_4} ≅ \factor{ℤ}{(2)}, \quad % + \factor{A_4}{V_4} ≅ \factor{ℤ}{(3)}, \quad \text{und} \quad % + V_4 = \factor{V_4}{\{e\}} ≅ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}. + \] + Damit ist klar, dass die Gruppe $S_4$ auflösbar ist. Interessehalber stellen + wir noch fest, dass + \begin{equation*} + A_4 ≠ \factor{ℤ}{(3)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} + \end{equation*} + ist, sodass wir wirklich ein nicht-triviales Beispiel für eine auflösbare + Gruppe haben. +\end{bsp} + +Die folgenden beiden Sätze liefern weitere Beispiele. + +\begin{satz}[$p$-Gruppen sind auflösbar] + Es sei $p$ eine Primzahl. Dann ist jede endliche $p$-Gruppe auflösbar. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-1} +\end{proof} + +\begin{satz}[Untergruppen und Quotienten] + Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe. Dann ist auch jede Untergruppe und jede + Restklassengruppe von $G$ auflösbar. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-2} +\end{proof} + +Auflösungsketten sind (wenn sie überhaupt existieren) in keiner Weise eindeutig. +Man kann sich also Mühe geben und versuchen, besonders gute Ketten zu finden. +Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist. + +\begin{satz}[Gute Auflösungsketten]\label{Satz_Aufloesungskette} + Wenn $G$ eine endliche, auflösbare Gruppe ist und $N ⊂ G$ ein Normalteiler, + dann existiert eine Auflösungskette + \begin{equation*} + G = N_{ℓ} ⊋ N_{ℓ-1} ⊋ ⋯ ⊋ N_1⊋ \{e\}, + \end{equation*} + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette + vor. Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$. + + \item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch + und von Primzahlordnung. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Wenn eine Auflösungskette wie in \vref{Satz_Aufloesungskette} gegeben ist, + dann kommt $ℤ/(p)$ als Quotient genau so oft vor, wie $p$ die Gruppenordnung + $|G|$ teilt. Über die Reihenfolge kann man aber nur wenig sagen. +\end{bemerkung} + + +\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand} + +\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die +Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren +Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit +auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe. + +\begin{definition}[Einfache Gruppe] + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{einfach}\index{einfache Gruppe}, wenn $\{e \}$ und + $G$ die einzigen Normalteiler sind. +\end{definition} + +\begin{bsp}\label{bsp:abpe} + Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach. +\end{bsp} + +Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet. Es bedeutet nicht ``leicht zu +verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu +zerlegen''. Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach'' +besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand. + +\begin{rem} + Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung + beschreiben will, muss man zumindest alle einfachen Gruppen gut kennen --- + dies sind die Bausteine, aus denen alle anderen Gruppen zusammengesetzt sind. + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups}{Tatsächlich + sind die einfachen, nicht-abelschen Gruppen inzwischen klassifiziert}. Dazu + berichtet + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_einfache_Gruppe}{Wikipedia} + sinngemäß: + \begin{itemize} + \item Die Herleitung des Klassifikationssatzes war eines der umfangreichsten + Projekte der Mathematikgeschichte. Der Beweis verteilt sich auf über 500 + Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht + alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende + der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt. + + \item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden + Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen + worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei + sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere + Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings + als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis + erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war. + + \item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine + auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der + American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023 + abgeschlossen sein wird. + \end{itemize} +\end{rem} + +Beispiele von einfachen Gruppen sind gar nicht so leicht zu finden. Für die +Anwendungen der Galoistheorie ist der folgende Satz von zentraler Bedeutung. + +\begin{satz}[Alternierende Gruppe sind meistens einfach]\label{Satz_alternierende_Gruppe} + Die alternierende Gruppe $A_n$ ist einfach, wenn $n ≠ 4$ ist. Insbesondere + ist die Permutationsgruppe $S_n$ für $n ≥ 5$ \emph{nicht} auflösbar. +\end{satz} + +Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma. + +\begin{lemma}\label{Hilfssatz_algernierende_Gruppe} + Es sei $n ≥ 5$. Wenn $N ⊆ A_n$ eine normale Untergruppe ist, die zusätzlich + noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$. +\end{lemma} +\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}] + \video{22-1}, verbessert am 09Feb21. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}] + Die Gruppe $A_2$ ist trivial, $A_n = \{e \}$. Die Gruppe $A_3$ ist isomorph + zu $ℤ/(3)$; zum Beweis schreibe man sich die Gruppe einfach hin. Wir hatten + schon in Beispiel~\ref{bsp:abpe} gesehen, dass die Gruppe $ℤ/(3)$ einfach ist. + Den Fall $n ≥ 5$ behandeln wir im \video{22-2}. +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/21.tex b/21.tex new file mode 100644 index 0000000..301c674 --- /dev/null +++ b/21.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Satz vom primitiven Element} +\label{chap:21} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +\bigskip + +Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der +Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element +$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns +am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der +Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir +schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir +uns nicht genug gefürchtet? + +\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK} + Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es + nur endlich viele Zwischenkörper gibt. +\end{satz} +\begin{proof} + Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele + Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im + \video{22-4} gezeigt. +\end{proof} + +\begin{satz}[Satz vom primitiven Element]\label{Satz_vom_primitiven_Element} + Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach. +\end{satz} +\begin{proof} + Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$ + die normale Hülle von $L$. Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die + Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe + $\Gal(N/K)$. Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur + endlich viele Zwischenkörper. Die Behauptung folgt dann aus + Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}. +\end{proof} + +\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1} + Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form + $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist. +\end{kor} +\begin{proof} + Es sei $L/ℚ$ endlich. Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die + Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und + $L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von + $a$ ist. +\end{proof} + +Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich +wichtig und tragen daher einen eigenen Namen. + +\begin{defn}[Zahlkörper] + Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische + Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper}\index{Zahlkörper} bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Der $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper. Die Erweiterung + $ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/22.tex b/22.tex new file mode 100644 index 0000000..7cd9abd --- /dev/null +++ b/22.tex @@ -0,0 +1,376 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Kreisteilungskörper und die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} +\label{chap:22} + +Jetzt, ganz am Ende des Semesters, haben wir alle Vorbereitungen zusammen um die +Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu +beantworten. Der Beweis verwendet den Stoff des Semesters vollständig! + + +\section{Die Einheitswurzeln und die $φ$-Funktion} + +Wir hatten gleich am Anfang die Frage nach der Konstruierbarkeit mit +Körpertheorie zusammengebracht. Der relevante Körper für das reguläre $n$-Eck +ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$. + +\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms + $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über + $ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist + üblich. +\end{definition} + +\begin{figure} + \centering + + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \def \n {8} + \def \radius {1.5} + \def \laenger {0.3} + + \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0); + \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger); + + \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius); + + \foreach \s in {0,...,7} { + \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius); + } + \foreach \s in {1,3,5,7} { + \fill[red] (\s) circle (.1); + } + \foreach \s in {0,...,7} { + \fill (\s) circle (.05); + } + \end{tikzpicture} + \quad + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \def \n {6} + \def \radius {1.5} + \def \laenger {0.3} + + \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0); + \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger); + + \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius); + + \foreach \s in {0,...,5}{ + \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius); + } + \foreach \s in {1,5}{ + \fill[red] (\s) circle (.1); + } + \foreach \s in {0,...,5}{ + \fill (\s) circle (.05); + } + \end{tikzpicture} + + Die primitiven Einheitswurzeln sind rot markiert. + + \caption{Achte und sechste Einheitswurzeln} + \label{fig:ehw} +\end{figure} + +\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an +Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die +$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper +$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der +Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu +$ℤ/(n)$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die +Gruppe erzeugt. Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten +und $8$.ten Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon +diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten +Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion +gegeben. Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks +vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion +beweisen. + + +\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion} + Die Eulersche $φ$-Funktion hat folgende Eigenschaften. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} Für alle + $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m) = 1$ gilt $φ(n·m) = φ(n)·φ(m)$. + + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} Für alle + Primzahlen $p ∈ ℕ$ und alle $α ∈ ℕ$ gilt $φ(p^α)=p^{α-1}·(p-1)$. + + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} Für alle + Tupel $(p_1, …, p_r) ∈ ℕ^r$ von paarweise verschiedene Primzahlen und alle + Tupel $(α_1, …, α_r) ∈ ℕ^r$ gilt + \begin{equation*} + φ(p_1^{α_1} ⋯ p_r^{α_r}) = p_1^{α_1-1} ⋯ p_r^{α_r-1}·(p_1-1)⋯(p_r-1). + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Wir beweisen zuerst \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1}: + seien Zahlen $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m)=1$ gegeben. Dann gilt nach dem + Chinesischen Restsatz, Satz~\vref{Satz_Chinesischer_Restsatz}, + \begin{equation*} + \factor{ℤ}{(n·m)} ≅ \factor{ℤ}{(n)}⨯\factor{ℤ}{(m)}. + \end{equation*} + Ein Paar $(a,b) ∈ ℤ/(n) ⨯ ℤ/(m)$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a ∈ ℤ/(n)$ + und $b ∈ ℤ/(m)$ jeweils Einheiten sind. Also gilt + \begin{equation*} + \left|\left(\factor{ℤ}{(n· m)}\right)^*\right| = \left|\left(\factor{ℤ}{(n)}\right)^*\right|·\left|\left(\factor{ℤ}{(m)}\right)^*\right|. + \end{equation*} + Die Anzahl der Einheiten in der Gruppe $ℤ/(d)$ ist aber genau der Wert der + $φ$-Funktion an der Stelle $d$. Aussage + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} ist damit bewiesen. + + Für Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} + beobachten wir, dass die Nicht-Einheiten in $ℤ/(p^α)$ exakt durch die + Vielfachen von $p$ repräsentiert sind, also durch die Elemente + $p, 2·p, 3·p, … , p^{α-1}·p = p^α$. Dies sind genau $p^{α-1}$ Elemente. Für + die Einheiten bleiben also + \begin{equation*} + p^α - p^{α-1} = p^{α-1}·(p-1) + \end{equation*} + Elemente übrig, fertig ist der Beweis von + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}. + + Die letzte Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} + ist einfach eine Kombination von + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} und + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}. +\end{proof} + + +\section{Kreisteilungspolynome} + +Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms +$x^n-1 ∈ ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, +dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die +Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen +Faktoren diskutieren. Das kommt jetzt. + +\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom] + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln + mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom + \begin{equation*} + Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x] + \end{equation*} + heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es + gilt $\deg Φ_n = φ(n)$. +\end{definition} + +Der folgende Satz fasst die wesentlichen Eigenschaften von +Kreisteilungspolynomen zusammen. + +\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} + Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:x2} + x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x) + \end{equation} +\end{satz} +\begin{proof} + Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige + $n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine + primitive $d$-te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ -- + und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf + der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome + stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten + Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite + von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und + rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der + Gleichung wohl übereinstimmen. +\end{proof} + +\begin{beobachtung} + Mit Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} kann man + alle Kreisteilungspolynome ausrechnen. Um ein gegebenes Polynom $φ_d$ zu + bestimmen, müssen wir nach + Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} nämlich nur die + $Φ_p$ zu kennen, wo $p$ ein Primteiler von $d$ ist. Für jede Primzahl $p$ + gilt aber $x^p-1 = Φ_1(x)·Φ_p(x)$, und somit + \begin{equation*} + Φ_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + ⋯ + x + 1. + \end{equation*} +\end{beobachtung} + +\begin{bsp}\label{bsp:2222} + Betrachte den Fall $d = 6$. Es gilt $x⁶-1 = Φ_1(x)·Φ_2(x)·Φ_3(x)·Φ_6(x)$. + Damit erhalten wir + \begin{equation*} + Φ_6(x) = \frac{x⁶-1}{(x-1)·(x+1)·(x²+x+1)} = x²-x+1 + \end{equation*} +\end{bsp} + +Das Beispiel~\ref{bsp:2222} zeigt insbesondere, dass das komplexe Polynom $Φ_6$ +in Wirklichkeit ganzzahlige Koeffizienten hat! Der folgende Satz sagt, dass +dies kein Zufall ist. Der (Induktions-)Beweis ist nicht schlimm kompliziert, +aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg. + +\begin{fakt} + Die Kreisteilungspolynome sind ganzzahlig und normiert. Mit anderen Worten: + für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed +\end{fakt} + +Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls +nicht beweisen. + +\begin{fakt} + Die Kreisteilungspolynome $Φ_n$ sind für alle $n ∈ ℕ$ irreduzibel. \qed +\end{fakt} + + +\section{Die Kreisteilungskörper} + +Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms +$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und +mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$ +natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu +eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ +ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te +Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist +\begin{equation*} + [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n). +\end{equation*} +Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr. + +\begin{satz}\label{satz:ktk} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Galoisgruppe von $L_n/ℚ$ ist isomorph zur + (multiplikativen) Gruppe der Einheiten in $ℤ/(n)$, also + \[ + \Gal\left( \factor{L_n}{ℚ} \right) ≅ \left( \factor{ℤ}{(n)} \right)^*. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-1} +\end{proof} + + +\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} + +Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über +hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der +Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks. Im Gegensatz zu allen anderen Sätzen, +die immer nur zeigten, was man \emph{nicht} konstruieren kann, ist der folgende +Satz unser erstes \emph{positives} Resultat. + +\begin{satz}[Positives Resultat zur Konstruierbarkeit]\label{Satz_von_Seite_197} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. + Betrachte den Körper $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und bezeichne mit $L$ den + Zerfällungskörper $L$ des Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Wenn $[L : K]$ + eine Zweierpotenz ist, dann ist die Zahl $z$ aus $M$ mit Zirkel und Lineal + konstruierbar +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-2} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}\label{rem:svs197} + Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist noch nicht optimal, denn es gilt in + Wirklichkeit mehr: wir werden in Bemerkung~\vref{bem:nedkp} sehen, dass die + Zahl $z$ \emph{genau dann} aus $M$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, + wenn $[L : K]$ eine Zweierpotenz ist. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Satz von Gauß]\label{Satz_von_Gauss} + Das reguläre $n$-Eck ist aus $\{0,1 \}$ genau dann mit Zirkel und Lineal + konstruierbar, wenn $n$ in folgender Form geschrieben werden kann, + \[ + n = 2^α·p_1⋯p_r, + \] + wobei $α ∈ ℕ$ ist und die $p_{•}$ paarweise verschiedene Primzahlen der Form + $p_• = 2^{n_•}+1$ sind. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Damit $2^μ+1$ eine Primzahl ist, muss $μ$ selbst eine Potenz von $2$ sein. + Denn hätte $μ=m·l$ einen ungeraden Teiler $l$, so hätte man + \begin{equation*} + 2^μ+1 = (2^m+1)·\left(2^{m·(l-1)}-2^{m·(l-2)} ± ⋯ -2^l+1\right). + \end{equation*} +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Fermatsche Primzahlen, aus \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl}{Wikipedia}] + Primzahlen der Form $F_n := 2^{2^n}+1$ heißen \emph{Fermatsche + Primzahlen}\index{Fermatsche Primzahl}Im August 1640 vermutete Fermat, dass + alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien. + Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die + sechste Fermatzahl $F_5$ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten + fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine + Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere + gibt. +\end{bemerkung} + + +\section{Ich hab' noch einen Koffer in … Göttingen} + +Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen +Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer +\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine +\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also +kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit) +eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so +erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut +umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt. + +\begin{aufgabe} + Warten Sie das Ende der Pandemie ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich + weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich + gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße + 3--5. + \begin{enumerate} + \item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude, + das 1929 von David Hilbert und Richard + Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard + Courant} (* 8. Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27. Januar + 1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet + wurde, dessen Planung aber noch auf Felix + Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix + Christian Klein} (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde + damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen + Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der + Architektur. + + \item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die + Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''. Zeigen Sie ihre weißen + Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten + zu überzeugen. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +Wenn Sie im Schritt~\ref{il:f45} überzeugend aufgetreten sind, bringt Ihnen die +Bibliothekarin den Koffer. Dabei handelt es sich um eine über 100 Jahre alte +Holzkiste mit einem uralten Foliaten, in dem Johann Gustav Hermes auf über 200 +großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Lineal +konstruiert. Mit ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier +zu beschädigen. +\href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die + Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte +Konstruktionsprojekt: +\begin{quotation} + Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die + Seiten aus, verziert mit Anmerkungen und Erläuterungen in gut lesbarer + Kurrentschrift. Dazu kommt eine Flut von Tabellen, Rechnungen und + Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix + gewaltigen Ausmaßes fügen. +\end{quotation} +Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals +recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte +bis 10.000.000 nach''. Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die +feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in +der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die +historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen. + +\begin{aufgabe} + Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research + Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl + das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist. Fahren Sie hin und + schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie + \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}. +\end{aufgabe} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/23.tex b/23.tex new file mode 100644 index 0000000..cecf814 --- /dev/null +++ b/23.tex @@ -0,0 +1,218 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale} +\label{chap:23} + +\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus +Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ ein Körper und ein +Polynom $f ∈ K[x]$. Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der +Nullstellen von $f$ in der Form +\begin{equation*} + \sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…} +\end{equation*} +schreiben? In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: ist die Gleichung $f(x)=0$ +durch Radikale auflösbar? Gibt es eine Radikalerweiterung $L/K$, sodass $f$ in +$L$ eine Nullstelle hat? Die Antwort hängt natürlich mit der Galoisgruppe von +$f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung beschrieben werden. + +\begin{satz}\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. + Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist + über $K$ durch Radikale lösbar. + + \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe + $\Gal{f}$ ist auflösbar. + \end{enumerate} +\end{satz} + +Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses +Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen. Zuerst möchte ich aber +noch zwei Korollare vorstellen. + +\begin{kor} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad + $\deg f ≤ 4$. Dann ist $f$ durch Radikale lösbar. +\end{kor} +\begin{proof} + Jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar. +\end{proof} + +\begin{kor}[Korollar von Galois] + Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar. + Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$. +\end{kor} +\begin{proof} + Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel. Analytische + Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und + $n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat. Wir fassen die + Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe + \[ + S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \} + \] + auf. Folgendes können wir sofort sagen. + \begin{itemize} + \item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5. Also existiert nach + dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von + Ordnung 5, also ein 5-Zykel. + + \item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert. Die komplexe + Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der + die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen + vertauscht. Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine + Transposition. + \end{itemize} + Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte + Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist. Mit anderen + Worten: jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den + Zykel $σ_5$ dargestellt werden. Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese + Gruppe ist nicht auflösbar. +\end{proof} + + +\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen} + +Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den +Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe +von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei +denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. + +\begin{defn}[Reines Polynom] + Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines + Polynom}\index{Polynom!reines}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass + $f(x) = x^n-a$ ist. +\end{defn} + +\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Wenn + $\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist, + dann sind alle reinen Polynomen der Form $x^n-a$ separabel. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls + $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist. + Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die + Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch. + + \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine + Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein + $a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}] + \video{24-1}. (Verbesserte Version vom 03Feb21). +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}] + \video{24-2} +\end{proof} + + +\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen} + +Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von +``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht}, +dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil + Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der +folgende Satz behebt diesen Mangel. + +\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1} + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung. + Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass + \begin{enumerate} + \item $L'/K$ Galoisch ist. + + \item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist, + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{24-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale''] + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein + irreduzibles Polynom. Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar. Nach + Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung + $L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat. Satz~\ref{satz:23.2.1} + sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in + Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die + \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible + ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann, + dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl, + die aus $M$ mit Zirkel uns Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen + Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}. Betrachten Sie den Körper + $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe, + die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper + $L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen, + \[ + L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K. + \] + Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei} + noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von + quadratischen Erweiterungen ist, denn + \begin{equation*} + g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr) + \end{equation*} + ist ein Produkt von quadratischen Polynomen. Der Erweiterungsgrad $[L':K]$ + ist also eine Zweierpotenz. Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des + Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle + der Körpererweiterung $L/K$. Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat + deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine + Zweierpotenz als Grad. Erkennen Sie, dass wir damit + Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die + Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig + \emph{und} hinreichend! +\end{bemerkung} + +\begin{proof}[Beweisidee] + Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}) + entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper + von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$. Zyklische + Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ -- + zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt. +\end{proof} + + +\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}} +\label{sec:almostlast} + +Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei +Vorüberlegungen. + +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1} + Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive + $n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn + wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann + ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist + $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls. +\end{claim-de} + +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2} + Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann + ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$, + …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden. +\end{claim-de} + +\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$] + \video{24-4} +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$] + \video{24-5} +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/24.tex b/24.tex new file mode 100644 index 0000000..602f7e9 --- /dev/null +++ b/24.tex @@ -0,0 +1,343 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Quadratische Reziprozität} +\label{chap:24} + +\sideremark{Vorlesung 25} + +In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang +noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch +ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz +darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl +ist. + +\begin{definition}[Quadratischer Rest] + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Die Zahl + $a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer + Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung + \[ + x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p) + \] + in $ℤ$ lösbar ist. Andernfalls heißt \emph{quadratischer Nichtrest modulo + $p$}. +\end{definition} + +Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen +Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in +den +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones + Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die +Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich +handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, +von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das +Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz + \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.} +\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare +Beweise und historische Anmerkungen. + +\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein + quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von + $a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem + Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn + die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also + die Elemente von + \[ + (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² + \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p. + \] +\end{bemerkung} + +Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach. + +\begin{lem}\label{lem:24-0-3} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es in $𝔽_p$ genauso viele + quadratische Reste wie Nichtreste. Die (multiplikative) Untergruppe + $(𝔽^*_p)² ⊂ 𝔽^*_p$ hat den Index 2. +\end{lem} +\begin{proof} + Der surjektive Gruppenhomomorphismus + \[ + 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² + \] + hat den Kern $\{±1\}$. Weil $p$ ungerade ist, hat der Kern genau 2 Elemente. +\end{proof} + + +\section{Das Legendre-Symbol} + +Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen +wir das +Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie + Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein + französischer Mathematiker.}-Symbol ein. + +\begin{definition}[Legendre-Symbol] + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$. Dann schreibe + \[ + \left(\frac{a}{p}\right) := + \begin{cases} + 1 & \text{falls $a$ quadratischer Rest modulo $p$ ist} \\ + -1 & \text{falls $a$ quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist} \\ + 0 & \text{falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist}. + \end{cases} + \] + Der Ausdruck wird als \emph{Legendre-Symbol} bezeichnet. Analog zur + Bemerkung~\ref{bem:qrmp} verwendet man das Symbol nicht nur für Zahlen + $a ∈ ℤ$, sondern auch für Elemente $a ∈ 𝔽_p$. +\end{definition} + +\begin{beobachtung} + Weil es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} genau so viele quadratische Reste wie + Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und + deshalb + \begin{equation}\label{eq:g4.2} + \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F. + \end{equation} +\end{beobachtung} + +Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen. + +\begin{lem}[Das Legendre-Symobl ist multiplikativ]\label{lem:lsim} + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Die Abbildung + \[ + 𝔽^*_p → \{±1\}, \quad a ↦ \left(\frac{a}{p}\right) + \] + ist ein Gruppenhomomorphismus. +\end{lem} +\begin{proof} + Erinnern Sie sich an Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}: + die multiplikative Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch! Die Gruppe $𝔽^*_p$ hat genau + $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir + beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit + den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl + $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von + $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann. + + Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden + Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht + wollen Sie kurz nachrechnen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist!}, + \[ + ℓ : \factor{ℤ}{(2n)} → \factor{n·ℤ}{(2n)}, \quad a ↦ n·a. + \] + Die Gruppe $\factor{n·ℤ}{(2n)}$ hat genau zwei Elemente und kann deshalb mit + der Gruppe $\{\pm1\}$ identifiziert werden. Mit diesen Identifikationen + schickt der Gruppenmorphismus $ℓ$ ein Element $a ∈ 𝔽^*_p ≅ ℤ/(2n)$ genau dann + auf das neutrale Element $1 ∈ \{\pm1\}$, wenn $a ∈ ℤ/(2n)$ gerade ist, oder + anders gesagt, wenn $a ∈ 𝔽^*_p$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist. Der + Gruppenmorphismus $ℓ$ \emph{ist} das Legendre-Symbol! +\end{proof} + +\begin{lem}[Euler-Kriterium für das Legendre-Symobl]\label{lem:EK} + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Dann + gilt die Gleichung + \[ + \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \:\:(\operatorname{mod} + p). + \] +\end{lem} +\begin{proof} + Noch einmal: die Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch von Ordnung $p-1$. Also gilt für + jede Zahl $b ∈ ℤ$, die teilerfremd zu $p$ ist stets die Gleichung + \[ + b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + Wenn die Zahl $a$ ein quadratischer Rest Modulo $p$ ist, also von der Form + $a \equiv b² \:\:(\operatorname{mod} p)$, dann gilt + \[ + a^{\frac{p-1}{2}} \equiv b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + + Als Nächstes sehen wir, dass das Polynom $x^{\frac{p-1}{2}} -1 ∈ 𝔽_p[x]$ + höchstens $\frac{p-1}{2}$ Nullstellen hat. Das sind wohl genau die + quadratischen Reste, von denen es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} ja genau + $\frac{p-1}{2}$ viele gibt. Wenn $a$ also ein quadratischer Nichtrest modulo + $p$ ist, dann ist + \[ + a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p) \quad\text{und}\quad a^{p-1} \equiv (a^{\frac{p-1}{2}})² \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + Also muss wohl $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ sein. + Damit ist das Euler-Kriterium in jedem Fall bewiesen. +\end{proof} + + +\section{Quadratische Reziprozität} + +Mit diesen Vorbereitungen können wir das quadratische Reziprozitätsgesetz +formulieren. + +\begin{satz}[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]\label{satz:qrg} + Es seien $p$ und $q$ zwei unterschiedliche, ungerade Primzahlen. Dann gilt + die Gleichung + \[ + \left(\frac{p}{q}\right)·\left(\frac{q}{p}\right) = + (-1)^{\frac{p-1}{2}·\frac{q-1}{2}}. + \] +\end{satz} + +\begin{rem} + Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist höchst erstaunlich, denn es ist + überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und + $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der + Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer + ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr + tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt. +\end{rem} + +Für die Zwecke von Übungsaufgaben und Klausuren halten wir fest, dass man mit +dem quadratischen Reziprozitätsgesetz Legendre-Symbole sehr einfach und +effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel. + +\begin{bsp}[Effiziente Berechnung von Legendre-Symbolen] + Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17? + \begin{align*} + \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\ + & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3) + \end{align*} + Also ist die Antwort: ``nein!'' +\end{bsp} + + +\subsection{Beweis des Reziprozitätsgesetzes} + +Für das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt es viele Beweise. Gauß selbst war +so begeistert, dass er acht unterschiedliche Beweise vorlegte, Eisenstein +lieferte fünf weitere. Das Buch \cite[Appendix~B]{MR1761696} nennt 196 +unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der +Mathematik seit Gauß und Euler. Das Buch der Beweise +\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} stellt zwei der Schönsten vor, der hier +gezeigte Beweis ist im Wesentlichen aus dem Buch \cite{zbMATH06333926} +abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den +hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen +\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen +\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen + Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen +\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis + mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}. + +\bigskip + +Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$ +is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach +Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative +Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen +Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und +Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches +von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von +Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal, +dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit +$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt, +\begin{equation}\label{eq:g4.1} + \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F. +\end{equation} + +Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: +\[ + G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F. +\] + +\begin{behauptung}\label{beh:0} + Es sei $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$. Dann gelten im Körper $F$ die + Gleichungen + \[ + \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n} + \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = + \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n} + \] +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}] + Die Annahme, dass $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$ ist, bedeutet, dass die + Abbildung + \begin{equation}\label{eq:xcvx} + 𝔽_p → 𝔽_p, \quad x → n·x + \end{equation} + bijektiv ist. Weil die Elemente $\left(\frac{in}{p}\right)$ und $ξ^{i·n}$ + jeweils nur von der Restklasse von $i·n$ modulo $p$ abhängen zeigt + Bijektivität von \eqref{eq:xcvx} daher, dass sich die linken und die rechten + Seiten der Gleichungen nur um die Summationsreihenfolge unterscheiden. + \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:0})} +\end{proof} + +\begin{behauptung}\label{beh:1} + Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G^q = \left(\frac{q}{p}\right)·G$. +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:1}] + Wir rechnen die Behauptung direkt nach. + \begin{align*} + G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\ + & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ + & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}} + \end{align*} + Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})} +\end{proof} + +\begin{behauptung}\label{beh:2} + Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G² = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p$. Insbesondere + ist $G ≠ 0$ in $F$. +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:2}] + Der Beweis der Behauptung~\ref{beh:2} ist eine direkte, aber ziemlich lästige + Rechnung, die alle bisherigen Beobachtungen nutzt. + \begin{align*} + G² & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \right) \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{ji}{p}\right)·ξ^{ji} \right) \right) && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}\\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i²}{p}\right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} \right) \right) && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} && i²\text{ ist quadratischer Rest} \\ + & = \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\ + & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} + \end{align*} + Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})} +\end{proof} + +Alles, was wir nun noch machen müssen, ist, das Körperelement $G^q ∈ F$ mithilfe +der Behauptungen \ref{beh:1} und \ref{beh:2} auf zwei unterschiedliche Arten +auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen. +\begin{align*} + \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\ + & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\ + & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\ + & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} +\end{align*} +Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir +kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed + + +\section{Die Ergänzungssätze} + +Der Vollständigkeit halber erwähne ich noch zwei Sätze, die das Rechnen mit +Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität vereinfachen. Die Beweise +sind uninspirierend und werden deshalb weggelassen. + +\begin{satz}[1.~Ergänzungssatz] + Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt + \[ + \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = + \begin{cases} + 1 & \text{falls } p \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 4) \\ + -1 & \text{sonst} + \end{cases} \eqno \qed + \] +\end{satz} + +\begin{satz}[2.~Ergänzungssatz] + Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt + \[ + \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p²-1}{8}} = + \begin{cases} + 1 & \text{falls } p \equiv \pm1 \:\:(\operatorname{mod} 8) \\ + -1 & \text{sonst} + \end{cases} \eqno \qed + \] +\end{satz} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/25.tex b/25.tex new file mode 100644 index 0000000..5a68db5 --- /dev/null +++ b/25.tex @@ -0,0 +1,256 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Rückblick und Ausblick} +\label{chap:25} + +\section{Was ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?} + +Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich. Sehr gefährlich. Zwar pendelten um +1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den ``West Indies'', es +kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. +Unzählige Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, +verdurstete oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf +Felsriffe oder gerieten versehentlich in feindliches Territorium. + +Das Problem: es ist zwar sehr einfach die geografische Breite eines Schiffes zu +bestimmen\footnote{Man messe die Höhe des Polarsterns über dem Horizont!}, aber +es gab keine Methode für die Messung der geografische Länge. Das +``Längenproblem'' war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der +europäischen Wissenschaft. Die größten Wissenschaftler der Zeit, darunter +Galilei, Cassini, Huygens, Newton und Halley, versuchten, das Problem mithilfe +von Astronomie zu lösen. Dabei fanden sie das Gravitationsgesetz, begründeten +die Analysis, bestimmten das Gewicht der Erde, berechneten den Abstand der Erde +zu einigen der näheren Fixsterne, entdeckten die Jupitermonde, erkannten die +Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und maßen deren Wert. Das Längenproblem +lösten Sie nicht. + +Es gab noch andere, teilweise recht verzweifelte Ansätze. Im Krieg hatte man +die Erfahrung gemacht, dass Wunden schneller heilen, wenn man die Waffe (nicht +die Wunde!) nach der Tat mit \emph{Waffenbalsam} bestreicht; die Heilung ist +aber sehr schmerzhaft. Also verwunde das englische Militär zahlreiche Hunde, +die dann auf Schiffe verteilt wurden. Die Waffen blieben in London, wo sie +genau zur Mittagszeit mit dem Balsam bestrichen wurden. Die aufjaulenden Hunde, +so die Hoffnung, zeigten den Schiffen an, wann die Mittagszeit in London war. +Der Navigator konnte dann aus dem Unterschied zur Lokalzeit die Länge bestimmen. +Die Idee schien damals weniger abwegig als heute, denn man kannte Magnete und +wusste deshalb, dass \emph{Fernwirkungen} existieren…. Wikipedia listet auf, +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_longitude}{was man sonst noch + alles versucht hat}. + +Also blieb nur Koppelnavigation. Dava Sobel schreibt in ihrem +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_(book)}{absolut lesenswerten + Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag? Vielleicht interessieren Sie + auch für die illustrierte Ausagabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich +meine Weisheit beziehe: + +\begin{quote} + Launched on a mix of bravery and greed, the sea captains of the fifteenth, + sixteenth and seventeenth centuries relied on ``dead reckoning'' to gauge + their distance east or west of home port. […] The captain would throw a log + overboard and observe how quickly the ship receded from this temporary + guidepost. […] He routinely missed his mark, of course […] Too often, the + technique of dead reckoning marked him for a dead man. +\end{quote} + +Aber warum ist die geografische Länge so viel schwieriger zu messen als die +Breite? Dava Sobel: + +\begin{quote} + Here lies the real, hard-core difference between latitude and longitude --- + beyond the superficial difference in line direction that any child can see: + The zero-degree parallel of latitude is fixed by the laws of nature, while the + zero-degree meridian of longitude shifts like the sands of time. This + difference makes finding latitude a child's play, and turns the determination + of longitude, especially at sea, into an adult dilemma --- one that stumped + the wisest minds of the world for the better part of human history. +\end{quote} + +In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist ``kanonisch''. +Die geografische Länge ist nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des +Nullmeridians ab, der statt durch Greenwich auch durch jeden anderen Ort +verlaufen könnte. + + +\subsection{Der Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht-kanonisch''} + +Ich erzähle die etwas abschweifende Geschichte des Längenproblems, um auf den +Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht kanonisch'' hinzuweisen. Ich +hoffe, dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist +fundamental für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der +gesamten Algebra-Ausbildung. +\begin{itemize} +\item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion. + Die Bijektion ist aber nicht kanonisch. Das Maß für die Abweichung von + ``kanonisch'' ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. + Diese spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle. + +\item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der + gleichen, endlichen Dimension zueinander isomorph sind, aber nicht kanonisch + isomorph. Das Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der + Symmetrien, also die allgemeine lineare Gruppe. Ein großer Teil der Vorlesung + ``Lineare Algebra II'' befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, + Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, … +\end{itemize} + +In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des +algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist +schwach. Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und +desselben Polyoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das +Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der Symmetrien, die in +diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird. Die Erkenntnis, das die +Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft mißt und das durch ihr +Studium wichtige Erkentnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in +dieser Vorlesung. Alles andere ist Beiwerk. + + +\subsection{… und wie ging die Geschichte aus?} + +Die Lösung des Längenproblems war von enormer militärischer und +volkswirtschaftlicher Bedeutung. Nach einem +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Scilly_naval_disaster_of_1707}{besonders + dramatischen Unfall}, bei dem die britische Krone vier Kriegsschiffe und über +1.500 Seeleute verlor, verabschiedete das englische Parlament 1714 den berühmten +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_Act}{Longitude Act}, in dem unter +anderem ein gigantisches Preisgeld für die Lösung des Längenproblems ausgelobt +wurde. Auch andere Staaten +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_rewards}{lobten Preise} aus, +gründeten Nationalakademien, investierten massiv in Militär und Wissenschaft und +bauten astronomische Observatorien, …. Genutzt hat es nichts, denn das +Längenproblem wurde letztlich nicht von Wissenschaftlern, sondern von einem +Schreiner aus der englischen Provinz gelöst. John Harrison war ein genialer +Techniker, dem es nach jahrzehntelanger Arbeit gegen Mitte des 18.~Jahrhunderts +gelang, \href{https://de.wikipedia.org/wiki/L\%C3\%A4ngenuhr}{Längenuhren} zu +bauen, also mechanische Uhren präzise genug für die Zwecke der Navigation waren, +und robust genug für den Einsatz auf hoher See. + +Das Buch \cite{Sobel} erzählt die Geschichte von Harrison's Erfindung. Das Buch +erzählt auch von den größten Wissenschaftlern aus Harrison's Zeit, die sämtlich +am Längenproblem arbeiteten und trotz großer persönlicher Differenzen gemeinsam +sehr viel Zeit und Mühe investierten, um Harrison durch operettenhaftes +Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu runinieren und um sein +Preisgeld zu betrügen. + + +\section{Wie geht es weiter?} + +Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' in die +Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf, +Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, ) und +viele viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen löst. +In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der + Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung +\begin{equation}\label{eq:ssa} + y'(x) = a(x)·y(x) + b(x). +\end{equation} +Dann macht der Professor den ``Ansatz'', dass die Lösung von folgender Gestalt +sein könnte +\[ + y(x) = c(x)e^{A(x)}. +\] +Jetzt sind ``nur noch'' die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den +Ansatz kommt, wird nicht erklärt. + +Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die Sie in der kennen und kennenlernen +werden, sind fast alle vom Lie'schen +Typ\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}{Marius Sophus Lie} + (* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania, + heute Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom +die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer +Differenzialgleichung eine Gruppe zugeordnet, die man heute als +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Gruppe}{Lie-Gruppe} bezeichnet; im Falle +der Differenzialgleichungen der Form \eqref{eq:ssa} ist das die Gruppe der +invertierbaren $2⨯ 2$ oberen Dreiecksmatrizen, +\[ + A := \left\{ + \begin{pmatrix} + a & b \\ 0 & d + \end{pmatrix} + ∈ \GL(2, ℝ) + \right\}. +\] +Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197} +(``Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal'') gibt die Auflösungskette +\[ + \left\{ + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ 0 & 1 + \end{pmatrix} + \right\} + ⊂ + \left\{ + \begin{pmatrix} + 1 & b \\ 0 & 1 + \end{pmatrix} + \::\: b ∈ ℝ + \right\} + ⊂ + A +\] +der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als ``Variation der Konstanten'' +kennen. + +\begin{geheim} + Fast alle Differenzialgleichungen, die Sie in einer typischen Vorlesung + ``Gewöhnliche Differenzialgleichungen'' kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ. + Fast alle Lösungsmethoden, die Sie dort kennenlernen werden, ergeben sich aus + der Auflösbarkeit der zugehörigen Lie-Gruppen --- die + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation}{Laplace-Transformation}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}{Pierre-Simon + (Marquis de) Laplace} (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der + Normandie; † 5. März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, + Physiker und Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der + Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine + bemerkenswerte Ausnahme. +\end{geheim} + +Ich finde Auswendiglernen von Lösungsformeln ausgesprochen langweilig und schaue +mir deshalb lieber die +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}{Riccatischen + Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo + Francesco Riccati} (* 28. Mai 1676 in Venedig; † 15. April 1754 in + Treviso) war ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine + Untersuchungen von Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung + der Ordnung von Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der +Form +\[ + y'(x)=f(x)y²(x)+g(x)y(x)+h(x) +\] +mit gegebenen Funktionen $f$, $g$ und $h$. Wenn diese Funktionen nicht zufällig +sehr speziell sind, ist die zugehörende Liesche Gruppe die spezielle lineare +Gruppe $\operatorname{SL}(2,ℝ)$, und diese Gruppe ist definitiv \emph{nicht} +auflösbar. Also \emph{kann} es keine Lösungsformel geben: Der Satz von +Picard-Lindelöf garantiert zwar die Existenz von Lösungen, diese sind aber nicht +in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ notierbar! Am Ende des Tages beweisen +wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend kleine Nullmenge an +Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt… + +Wenn Sie mehr wissen wollen, dann schauen Sie einmal in das fantastische Buch +\cite{MR947141}. Und googlen Sie nach ``Galois theory for differential +equations''. + + +\subsection{Reklame für weiterführende Veranstaltungen in Algebra} + +Besuchen Sie im SS21 die Vorlesung ``Kommutative Algebra und Algebraische +Geometrie'' und kommen Sie in unser Seminar! + +Es wird oft gesagt, Algebra und Geometrie seien zwei Seiten derselben Medaille. +In der Vorlesung machen wir diese Aussage konkret: es gibt eine \emph{Äquivalenz + von Kategorien} zwischen gewissen algebraischen Ringen und gewissen +geometrischen Räumen -- es gibt in diesem Sinne keinen Unterschied zwischen den +Gebieten, und jeder Satz der Algebra ist ein Satz der Geometrie und umgekehrt. + +Der Witz bei dieser Äquivalenz ist, das Algebra gut zum Rechnen ist und +Geometrie gut für die Anschauung, durch das Zusammenspiel erhält das Gebiet +seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass ``einfache'' +Begriffe der Algebra besonders ``anschaulichen'' Begriffen der Geometrie +entsprechen -- manchmal muss man ganz schön arbeiten um zu sehen, was passiert! +Auf meiner \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{Web-Seite} +finden noch ein wenig mehr Propadamaterial. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/AlgebraZahlentheorie.tex b/AlgebraZahlentheorie.tex new file mode 100644 index 0000000..adac75a --- /dev/null +++ b/AlgebraZahlentheorie.tex @@ -0,0 +1,275 @@ +\documentclass[a4paper, enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt} + +% +% Local font definitions -- need to come first +% +\usepackage{libertine} +%\usepackage[libertine]{newtxmath} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb} +\usepackage{graphicx} +\usepackage[mark]{gitinfo2} +\input{gfx/stdPreamble} +\input{gfx/paperVersion-working} +\usepackage{makeidx} +\usepackage{tikz-cd} +\makeindex + +\author{Stefan Kebekus} + +% +% TikZ +% + +\usetikzlibrary{through} +\usetikzlibrary{quotes,babel,angles} +\usetikzlibrary{calc} % calculate for relative positioning + + +% +% Extra spacing in list of figures +% + +\usepackage{tocloft} +\setlength{\cftfignumwidth}{3em} +\allowdisplaybreaks[1] + +% +% Theorems +% +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe} +\newtheorem{satz}[thm]{Satz} +\newtheorem{situation}[thm]{Situation} +\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma} +\newtheorem{kor}[thm]{Korollar} +\newtheorem{definition}[thm]{Definition} +\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition} +\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt} +\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit} +\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition} +\newtheorem{prov}[thm]{Provokation} +\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung} +\newtheorem*{achtung}{Achtung} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung} +\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung} +\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} +\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} +\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel} +\newtheorem{frage}[thm]{Frage} +\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung} +\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung} +\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation} + +% +% Math operators +% +\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} +\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} +\DeclareMathOperator{\GL}{GL} +\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} +\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} +\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV} +\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons} +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\DeclareMathOperator{\sep}{sep} +\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} +\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator} +\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}} + +\newcommand{\ifactor}[2]{\left. \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}} + + +\title{Algebra und Zahlentheorie} +\date{\today} + +\makeatletter +\hypersetup{ + pdfauthor={Stefan Kebekus}, + pdftitle={\@title}, + pdfstartview={Fit}, + pdfpagelayout={TwoColumnRight}, + pdfpagemode={UseOutlines}, + bookmarks, + colorlinks, + linkcolor=linkblue, + citecolor=linkred, + urlcolor=linkred} +\makeatother + + +\begin{document} + +\maketitle + +\tableofcontents + +\bigskip + +\bigskip + +\bigskip + +\section*{Vorbemerkung} + +Dieses Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' baut auf sehr +ausführlichen Vorlesungsmitschriften auf, die Kai Sickinger vor einigen Jahren in +meiner Vorlesung angefertigt hat. Das Skript wird im Laufe des Wintersemesters +2020/2021 ständig weiter geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf +der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}. +Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde +finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das +Datum der letzten Änderung. + +Der Stoff ist in 25 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede +Vorlesung auf unserem +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/sffLLQLkTwbaDLeY}{Kalender}. +Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können +aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten. + +Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie +ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen +Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei +\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder +\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir +korrigieren schnellstmöglich! Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl +von guten Quellen, Erklärvideos und Anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, +melden Sie sich bitte. Wir fügen gerne einen Link in den Text ein! + +\bigskip + +\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß} + + +\subsection*{Literatur} + +\begin{itemize} +\item Das Springer-Lehrbuch ``Algebra'' von Siegfried Bosch, + \cite{zbMATH07238313}, ist der anerkannte Goldstandard aller + Algebra-Lehrbücher. Sie können das Buch aus dem Netz der Universität kostenlos + bei \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-92812-6}{Springer + Link} herunterladen. + +\item Das Buch ``Algebra'' von Serge Lang, \cite{MR1878556}, ein + englischsprachiger Klassiker mit exzellenter Stoffauswahl, ist ebenfalls bei + \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-0041-0}{Springer Link} + verfügbar. + +\item Viele Kollegen haben Skripte zur Algebra und Zahlentheorie geschrieben + (die sich natürlich alle sehr ähneln). Das Skript von + \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAL.pdf}{Wolfgang + Soergel} ist sehr ausführlich, das Skript von + \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Annette + Huber-Klawitter} ist konziser. +\end{itemize} + + +\subsection*{Computer-Programme} + +Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen. +Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen, +ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben +Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut +dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und +vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen +sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den +Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren. + + +\subsubsection*{GeoGebra} + +Mit GeoGebra können Sie geometrische Konstruktionen, die man sonst mit Zirkel +und Lineal auf Papier durchführt, einfach und exakt auf Ihrem Bildschirm machen. +Laden Sie sich das Programm von \url{https://www.geogebra.org} herunter und +spielen Sie damit ein wenig. Wir werden GeoGebra gelegentlich für Hausaufgaben +verwenden. + + +\subsubsection*{Sage} + +Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen +durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm +herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc +etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, +oder den Service CoCals verwenden. + + +\subsubsection*{CoCalc} + +CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite +auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der kostenlose +Dienst manchmal etwas langsam. + +Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie +können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem +Server rechnen. + + + +\part{Einleitung} + +\input{01} + +\part{Körpererweiterungen} + +\input{02} +\input{03} +\input{04} + + +\part{Ringe} + +\input{05} +\input{06} +\input{07} +\input{08} +\input{09} +\input{10} + + +\part{Körpertheorie} + +\input{11} +\input{12} +\input{13} +\input{14} +\input{15} +\input{16} + + +\part{Gruppentheorie} + +\input{17} +\input{18} +\input{19} +\input{20} + + +\part{Anwendungen} + +\input{21} +\input{22} +\input{23} +\input{24} + +\part{Schlusswort} + +\input{25} + +\clearpage + +\listoffigures +\listoftables + +\printindex + +\bibstyle{alpha} +\bibliographystyle{alpha} +\bibliography{bibliography/general} + + +\end{document} diff --git a/bibliography/general.bib b/bibliography/general.bib new file mode 100644 index 0000000..fd901fa --- /dev/null +++ b/bibliography/general.bib @@ -0,0 +1,15744 @@ +@MISC {285155, + TITLE = {Volume of {$-K_X$} for a weighted projective variety}, + AUTHOR = {Jason Starr}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/285155}{mathoverflow.net/q/285155 (version: 2017-11-03)}}, + year = {2017} +} + +@MISC {363432, + TITLE = {Complex structures on Hermitian symmetric space}, + AUTHOR = {Bryant, Robert}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/363432}{https://mathoverflow.net/q/363432 (version: 2020-06-18)}}, + year = {2020} +} + +@article{A57, + Author = {A. Andreotti}, + Journal = {Princeton Math. Series}, + Title = {On the complex structure of a class of simply connected manifolds, algebraic geometry and topology}, + Volume = 12, + Year = 1957 +} + +@book{ACGH, + Address = {New York}, + Author = {Arbarello, E. and Cornalba, M. and Griffiths, P. A. and Harris, J.}, + Isbn = {0-387-90997-4}, + Mrclass = {14Hxx (14-02)}, + Mrnumber = {770932 (86h:14019)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {xvi+386}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometry of algebraic curves. {V}ol. {I}}, + Volume = 267, + Year = 1985 +} + +@misc{ACO03, + Author = {Andreatta, Marco and Chierici, Elena and Occhetta, Gianluca}, + Month = {September}, + Note = {Preprint math.AG/0309473}, + Title = {Generalized {M}ukai conjecture for special Fano varieties}, + Year = 2003 +} + +@article{AHR85, + Author = {H. Azad, A. Huckleberry and W. Richthofer}, + Journal = {Journal für die reine und angwandte Mathematik}, + Title = {Homogeneous CR-manifolds}, + Volume = 358, + Year = 1985 +} + +@incollection{AK03, + Author = {Araujo, Carolina and Kollár, János}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001)}, + Address = {Berlin}, + Mrclass = {14H45 (14H10 14J40)}, + Mrnumber = {MR2011743 (2004k:14049)}, + Mrreviewer = {Xian Wu}, + Pages = {13--68}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Rational curves on varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article {AL1, + AUTHOR = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + TITLE = {Smooth quotients of abelian varieties by finite groups}, + JOURNAL = {Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5)}, + FJOURNAL = {Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie V}, + VOLUME = {XXI}, + YEAR = {2020}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {673-694}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2422/2036-2145.201812_008}{DOI:10.2422/2036-2145.201812\_008}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1801.00028}{arXiv:1801.00028}} +} + +@Unpublished{AL2, + author = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + title = {Smooth quotients of complex tori by finite groups (with an appendix by Stephen Griffeth)}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.05327}{arXiv:1912.05327}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2019}, + OPTannote = {} +} + +@article{ARTIN68, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.47}, + Mrnumber = {MR0232018 (38 \#344)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {277--291}, + Title = {On the Solutions of Analytic Equations}, + Volume = 5, + Year = 1968 +} + +@article{AS95, + Author = {Angehrn, Urban and Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J25 (14C20 32L10)}, + Mrnumber = {MR1358978 (97b:32036)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {291--308}, + Title = {Effective freeness and point separation for adjoint bundles}, + Volume = 122, + Year = 1995 +} + +@article {AW01, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On manifolds whose tangent bundle contains an ample subbundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 146, + YEAR = 2001, + NUMBER = 1, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00005808}{DOI:10.1007/PL00005808}}, + PAGES = {209--217}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14J60 (14M20)}, + MRNUMBER = {1859022 (2002h:14070)}, + MRREVIEWER = {Antonio Lanteri}, + DOI = {10.1007/PL00005808}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00005808}, +} + +@inproceedings{AW95, + Author = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Booktitle = {Algebraic geometry. Proceedings of the Summer Research + Institute, Santa Cruz}, + Editor = {J. Kollár}, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {9--29}, + Title = {A view on contractions of higher dimensional varieties}, + Year = 1995 +} + +@incollection {Abramovich, + AUTHOR = {Abramovich, Dan}, + TITLE = {Birational geometry for number theorists}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Clay Math. Proc.}, + VOLUME = {8}, + PAGES = {335--373}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2009}, + MRCLASS = {14E30 (11G35 14E15)}, + MRNUMBER = {2498065}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, +} + +@article{Akizuki-Nakano54, + Author = {Akizuki, Yasuo and Nakano, Shigeo}, + Fjournal = {Proceedings of the Japan Academy}, + Issn = {0021-4280}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066694 (16,619a)}, + Mrreviewer = {W. V. D. Hodge}, + Pages = {266--272}, + Title = {Note on {K}odaira-{S}pencer's proof of {L}efschetz theorems}, + Volume = 30, + Year = 1954 +} + +@article{Aluffi06, + Author = {Aluffi, Paolo}, + Doi = {10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Fjournal = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + Issn = {1631-073X}, + Journal = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {14C17}, + Mrnumber = {2209219 (2007g:14001)}, + Mrreviewer = {Shoji Yokura}, + Number = 6, + Pages = {405--410}, + Title = {Classes de {C}hern des variétés singulières, revisitées}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Volume = 342, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002} +} + +@article{Andreatta-Ballico-Wisniewski-93, + Author = {M.~Andreatta, E.~Ballico and J.~Wiśniewski}, + Journal = {Math.~Ann.}, + Number = 2, + Pages = {191--198}, + Title = {Two theorems on elementary contractions}, + Volume = 297, + Year = 1993 +} + +@article{Arakelov71, + Author = {Arakelov, Sergei J.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14H10 (14G05 14H25)}, + Mrnumber = {MR0321933 (48 \#298)}, + Mrreviewer = {J. W. S. Cassels}, + Pages = {1269--1293}, + Title = {Families of algebraic curves with fixed degeneracies}, + Volume = 35, + Year = 1971 +} + +@article{ArapuraKAN, + Author = {Arapura, Donu}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.2307/2046027}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J20 (14D05 32J25 55P62)}, + Mrnumber = {915712 (92k:32050)}, + Mrreviewer = {Takeo Ohsawa}, + Number = 1, + Pages = {43--48}, + Title = {Vanishing theorems for {$V$}-manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2046027}, + Volume = 102, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2046027} +} + +@incollection{Araujo05, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Araujo, Carolina}, + Booktitle = {snowbird lectures in algebraic geometry}, + Mrclass = {14M20 (14D05)}, + Mrnumber = {MR2182887}, + Pages = {1--16}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 388, + Year = 2005 +} + +@article{Araujo10, + Author = {Araujo, Carolina}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-008-0457-8}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E30 (14C20)}, + Mrnumber = {2564937 (2010k:14018)}, + Mrreviewer = {Carlos Galindo}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}{DOI:10.1007/s00209-008-0457-8}}, + Number = 1, + Pages = {179--193}, + Title = {The cone of pseudo-effective divisors of log varieties after {B}atyrev}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}, + Volume = 264, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8} +} + +@book{Arnold78, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Mathematical Methods of Classical Mechanics}, + Volume = 60, + Year = 1984 +} + +@article{Artin62, + Author = {Artin, Michael}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {MR0146182 (26 \#3704)}, + Mrreviewer = {M. Rosenlicht}, + Pages = {485--496}, + Title = {Some numerical criteria for contractability of curves on + algebraic surfaces}, + Volume = 84, + Year = 1962 +} + +@article{ArtinApprox, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0268188 (42 \#3087)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02684596}{DOI:10.1007/BF02684596}}, + Number = 36, + Pages = {23--58}, + Title = {Algebraic approximation of structures over complete local rings}, + Year = 1969 +} + +@article{ArtinII, + Author = {Artin, M.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {0260747 (41 \#5370)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + Pages = {88--135}, + Title = {Algebraization of formal moduli. {II}. {E}xistence of + modifications}, + Volume = 91, + Year = 1970 +} + +@article{Arz98, + Author = {I. V. Arzhantsev}, + Journal = {Izwestiya RAN}, + Number = 4, + Pages = {685--698}, + Title = {{On $SL_2$-actions of complexity one}}, + Volume = 61, + Year = 1998 +} + +@article {Ati57, + AUTHOR = {Atiyah, Michael F.}, + TITLE = {Complex analytic connections in fibre bundles}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {181--207}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {86359}, +MRREVIEWER = {F. Hirzebruch}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1992969}{DOI:10.2307/1992969}}, + DOI = {10.2307/1992969}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1992969}, +} + +@book{B91, + Author = {Armand Borel}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Linear Algebraic Groups}, + Volume = 126, + Year = 1991 +} + +@incollection{BBD, + Address = {Paris}, + Author = {Be{\u\i}linson, Alexander and Bernstein, Joseph and Deligne, + Pierre}, + Booktitle = {Analysis and topology on singular spaces, {I} ({L}uminy, 1981)}, + Note = {Available online at \url{https://publications.ias.edu/deligne/paper/396}}, + Mrclass = {32C38}, + Mrnumber = {751966 (86g:32015)}, + Mrreviewer = {Zoghman Mebkhout}, + Pages = {5--171}, + Publisher = {Soc. Math. France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Faisceaux pervers}, + Volume = 100, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{BBI00, + Author = {L.~Badescu, M.C.~Beltrametti and P.~Ionescu}, + Booktitle = {Complex Analysis and Algebraic Geometry}, + Editor = {T.~Peternell and F.O.~Schreyer}, + Pages = {1--27}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Almost-lines and quasi-lines on projective manifolds}, + Year = 2000 +} + +@article {BC17, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Cadorel, Benoît}, + TITLE = {Hyperbolicity of varieties supporting a variation of {H}odge structure}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}{DOI:10.1093/imrn/rny054}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1707.01327}{arXiv:1707.01327}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1601--1609}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32G20 (14D07)}, + MRNUMBER = {4089428}, + DOI = {10.1093/imrn/rny054}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}, +} + +@article{BCDD03, + Author = {Bonavero, Laurent and Casagrande, Cinzia and Debarre, Olivier + and Druel, Stéphane}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {601--626}, + Title = {Sur une conjecture de Mukai}, + Volume = 78, + Year = 2003 +} + +@incollection{BCEKPRSW02, + Address = {Berlin}, + Author = {Bauer, Thomas and Campana, Frédéric and Eckl, Thomas and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Rams, Sławomir and Szemberg, Tomasz and Wotzlaw, Lorenz}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Mrclass = {14E05 (14J60)}, + Mrnumber = {2003h:14023}, + Mrreviewer = {Huy Tài Hà}, + Pages = {27--36}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A reduction map for nef line bundles}, + Year = 2002 +} + +@article{BCHM10, + Author = {Birkar, Caucher and Cascini, Paolo and Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Pages = {405-468}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00649-3}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00649-3}}, + Title = {Existence of minimal models for varieties of log general type}, + Volume = 23, + Year = 2010 +} + +@article{BDPP, + Author = {Boucksom, Sébastien and Demailly, Jean-Pierre and Păun, Mihai and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0405285}{arXiv:math/0405285}}, + Number = 2, + Pages = {201--248}, + Title = {The pseudo-effective cone of a compact {K}ähler manifold and varieties of negative {K}odaira dimension}, + Volume = 22, + Year = 2013 +} + +@book {BEG, + TITLE = {An introduction to the {K}ähler-{R}icci flow}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 2086, + EDITOR = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent}, + PUBLISHER = {Springer}, + YEAR = 2013, + PAGES = {viii+333}, + ISBN = {978-3-319-00818-9; 978-3-319-00819-6}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}{DOI:10.1007/978-3-319-00819-6}.}, + MRCLASS = {53-06 (14J45 32-06 32Q15 32Q20 35K55 53C44 53C55)}, + MRNUMBER = 3202578, + DOI = {10.1007/978-3-319-00819-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}, +} + +@misc{BH09, + Author = {Bonavero, Laurent and Höring, Andreas}, + Month = {July}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0907.4848}{arXiv:0907.4848}}, + Title = {Algebraic foliations defined by quasi-lines}, + Year = 2009 +} + +@inbook{BK82, + Author = {G. Barthel and L. Kaup}, + Chapter = {in Topologie des surfaces complexes compactes singulières}, + Number = 80, + Pages = {61-297}, + Publisher = {Les Presses de l'université de Montréal}, + Series = {Semin. Math. Super.}, + Title = {Sur la Topologie des Surfaces complexes compactes}, + Year = 1982 +} + +@Unpublished{BL18, + author = {Bakker, Benjamin and Lehn, Christian}, + title = {The global moduli theory of symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.09748}{arXiv:1812.09748}}, + month = {December}, + year = 2018 +} + +@Unpublished{BLZ, + Author = {Blanc, Jérémy and Lamy, Stéphane and Zimmermann, Susanna}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.04145}{arXiv:1901.04145}}, + Title = {Quotients of higher dimensional Cremona groups}, + Year = {2019} + } + +@article{BM, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} + +@InBook{BM16, + author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + editor = {Cascini, Paolo and McKernan, James and Pereira, Jorge Vitório}, + title = {Foliation Theory in Algebraic Geometry}, + chapter = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + publisher = {Springer}, + year = 2016, + series = {Simons Symposia}, + pages = {21--51}, + note = {ISBN 978-3-319-24460-0. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0\_2}}, + isbn = {978-3-319-24460-0}, + doi = {10.1007/978-3-319-24460-0_2}, + url = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2} +} + +@article {BM96, + AUTHOR = {Bierstone, Edward and Milman, Pierre D.}, + TITLE = {Canonical desingularization in characteristic zero by blowing + up the maximum strata of a local invariant}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 128, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050141}{DOI:10.1007/s002220050141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {207--302}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14E15 (32S45)}, + MRNUMBER = 1440306, + MRREVIEWER = {Joseph Lipman}, + DOI = {10.1007/s002220050141}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050141}, +} + +@misc{BMcQ01, + Author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + Month = {February}, + Note = {IHES Preprint}, + Title = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + Year = 2001 +} + +@article{BN67, + Author = {Borel, Armand and Narasimhan, Raghavan}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.20}, + Mrnumber = {35 \#414}, + Mrreviewer = {W. Stoll}, + Pages = {247--255}, + Title = {Uniqueness conditions for certain holomorphic mappings}, + Volume = 2, + Year = 1967 +} + +@article{BPW, + author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai and Wang, Xu}, + title = {Algebraic fiber spaces and curvature of higher direct images}, + journal= {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu}, + publisher= {Cambridge University Press}, + year= {2020}, + pages= {1–56}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1017/S147474802000050X}{DOI:10.1017/S147474802000050X}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.02279}{arxiv.org/abs/1704.02279}}, + DOI = {10.1017/S147474802000050X} +} + +@book {BS76, + AUTHOR = {Bănică, Constantin and Stănăşilă, Octavian}, + TITLE = {Algebraic methods in the global theory of complex spaces}, + NOTE = {Translated from the Romanian}, + PUBLISHER = {Editura Academiei, Bucharest; John Wiley \& Sons, London-New York-Sydney}, + YEAR = 1976, + PAGES = 296, + MRCLASS = {32-02 (32C35 32D15)}, + MRNUMBER = 0463470, + MRREVIEWER = {J. S. Joel}, +} + +@book {BS95, + AUTHOR = {Beltrametti, Mauro C. and Sommese, Andrew J.}, + TITLE = {The adjunction theory of complex projective varieties}, + SERIES = {De Gruyter Expositions in Mathematics}, + VOLUME = 16, + PUBLISHER = {Walter de Gruyter \& Co., Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xxii+398}, + ISBN = {3-11-014355-0}, + MRCLASS = {14C20 (14-02 14E35 14N05)}, + MRNUMBER = 1318687, + MRREVIEWER = {Jarosł A. Wiśewski}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110871746}{DOI:10.1515/9783110871746}}, + DOI = {10.1515/9783110871746}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9783110871746}, +} + +@article {BT, + AUTHOR = {Bedford, Eric and Taylor, B. Alan}, + TITLE = {A new capacity for plurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 149, + YEAR = 1982, + NUMBER = {1-2}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392348}{DOI:10.1007/BF02392348}}, + PAGES = {1--40}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F05 (31C10 32C30)}, + MRNUMBER = {674165 (84d:32024)}, + MRREVIEWER = {Guy Laville}, + DOI = {10.1007/BF02392348}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392348}, +} + +@article{Bad82, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {155--171}, + Title = {{On Ample Divisors}}, + Volume = 86, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{Bad84, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Booktitle = {Algebraic Geometry Bucharest 1982}, + Editor = {L. B{\v a}descu and D. Popescu}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{Hyperplane Sections and Deformations}}, + Volume = 1056, + Year = 1984 +} + +@article{BalajiKollar08, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167326}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14J60 (32L05)}, + Mrnumber = {2426347 (2010c:14044)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}{DOI:10.2977/prims/1210167326}.}, + Number = 2, + Pages = {183--211}, + Title = {Holonomy groups of stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326} +} + +@phdthesis{Barkowski08, + Author = {Barkowski, Sammy}, + School = {Universität zu Köln}, + Title = {The cone of moving curves on algebraic varieties}, + Year = 2008 +} + +@misc{Barkowski09, + Author = {Barkowski, Sammy}, + Month = {February}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0902.0206}{arXiv:0902.0206}. To appear in Manuscr. Math.}, + Title = {The Cone of Moving Curves of a Smooth Fano three- or fourfold}, + Year = 2009 +} + +@PhdThesis{BarrientosPhD, + author = {Barrientos, Ivan}, + title = {Wild ramification of schemes via curves, the rank 1 case (with applications to higher class field theory)}, + school = {Universiät Regensburg}, + year = {2014}, + OPTkey = {}, + OPTtype = {}, + OPTaddress = {}, + OPTmonth = {}, + note = {\href{https://nbn-resolving.org/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}{urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}. Available on the internet at \url{https://epub.uni-regensburg.de/30739}}, + OPTannote = {} +} + +@inproceedings{Batyrev92, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Batyrev, Victor V.}, + Booktitle = {Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 3 + (Novosibirsk, 1989)}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {94f:14035}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Pages = {337--352}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {The cone of effective divisors of threefolds}, + Volume = 131, + Year = 1992 +} + +@unpublished{Baum, + Author = {Juliane Baum}, + Note = {Staatsexamensarbeit, Universität zu Köln. Available on the internet at \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}.}, + Title = {Aufblasungen und {D}esingularisierungen}, + Year = 2007 +} + +@incollection {Bea82, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Some remarks on {K}ähler manifolds with {$c_{1}=0$}}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = 39, + PAGES = {1--26}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + YEAR = 1983, + MRCLASS = {32J25 (14J40 53C55)}, + MRNUMBER = 728605, + MRREVIEWER = {Yukihiko Namikawa}, +} + +@article{Bea83, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32J25 (14J15 32C10 32G13 53C55)}, + Mrnumber = {730926 (86c:32030)}, + Mrreviewer = {N. J. Hitchin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214438181}{DOI:10.4310/jdg/1214438181}}, + Number = 4, + Pages = {755--782 (1984)}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes dont la première classe de {C}hern est nulle}, + Volume = 18, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214438181} +} + +@incollection{Bea95, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93)}, + Mrclass = {14D20 (14C20 81T40)}, + Mrnumber = {97h:14015}, + Mrreviewer = {Nyshadham Raghavendra}, + Pages = {17--33}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems}, + Volume = 28, + Year = 1995 +} + +@article{Bea98, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {566--583}, + Title = {Fano contact manifolds and nilpotent orbits}, + Volume = 73, + Year = 1998 +} + +@article{Beauville01, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Fjournal = {International Mathematics Research Notices}, + Issn = {1073-7928}, + Journal = {Internat. Math. Res. Notices}, + Mrclass = {14J70}, + Mrnumber = {2002b:14053}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {53--58}, + Title = {Endomorphisms of hypersurfaces and other manifolds}, + Volume = 1, + Year = 2001 +} + +@article {Beauville11, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Antisymplectic involutions of holomorphic symplectic + manifolds}, + JOURNAL = {J. Topol.}, + FJOURNAL = {Journal of Topology}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2011, + NUMBER = 2, + PAGES = {300--304}, + ISSN = {1753-8416}, + MRCLASS = {53C26 (14J50 32J27 57R20)}, + MRNUMBER = 2805992, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + DOI = {10.1112/jtopol/jtr002}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr002}, +} + +@incollection{Beauville80, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet + 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979}, + Mrclass = {14J25 (14N10)}, + Mrnumber = {82k:14037}, + Mrreviewer = {Ragni Piene}, + Pages = {207--215}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Sur le nombre maximum de points doubles d'une surface dans + {${\bf P}\sp{3}$} {$(\mu (5)=31)$}}, + Year = 1980 +} + +@misc{Beauville99, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Note = {preprint math.AG/9902110}, + Title = {Riemanian holonomy and Algebraic Geometry}, + Year = 1999 +} + +@article{Bedulev-Viehweg00, + Author = {Bedulev, Egor and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {MR1738062 (2001f:14065)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 3, + Pages = {603--615}, + Title = {On the {S}hafarevich conjecture for surfaces of general type + over function fields}, + Volume = 139, + Year = 2000 +} + +@article{Berger55, + Author = {M.~Berger}, + Journal = {Bull.~Soc.~Math.~France}, + Pages = {279--330}, + Title = {Sur les groupes d'holonomie homog�e des vari�� � connexion + affine et des vari�� riemanniennes}, + Volume = 83, + Year = 1955 +} + +@article {Berrick, + AUTHOR = {Berrick, A. Jon}, + TITLE = {Groups with no nontrivial linear representations}, + JOURNAL = {Bull. Austral. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Bulletin of the Australian Mathematical Society}, + VOLUME = 50, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}{DOI:10.1017/S0004972700009503}. Correction in \href{https://doi.org/10.1017/S0004972700014787}{52 (1995) 345-346}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {1--11}, + ISSN = {0004-9727}, + MRCLASS = {20F99}, + MRNUMBER = 1285653, + DOI = {10.1017/S0004972700009503}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}, +} + +@Book{BeutelpacherLA, + author = {Beutelspacher, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen.}, + publisher = {Springer Spektrum, Wiesbaden}, + year = {2014}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-658-02413-0}{DOI:10.1007/978-3-658-02413-0}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@Unpublished{Bir16a, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Anti-pluricanonical systems on {F}ano varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.05765}{arXiv:1603.05765}}, + month = {January}, + year = 2016 +} + +@Unpublished{Bir16b, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Singularities of linear systems and boundedness of {F}ano + varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1609.05543}{arXiv:1609.05543}}, + month = {September}, + year = 2016 +} +@Unpublished{Bir18, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Birational geometry of algebraic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1801.00013}{arXiv:1801.00013}. To appear as an ICM report}, + month = {Januay}, + year = 2018 +} +@article{Bla56, + Author = {A. Blanchard}, + Journal = {Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.}, + Pages = {157--202}, + Title = {Sur les variétés analytiques complexes}, + Volume = 73, + Year = 1956 +} + +@article{Bo47, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} +@book{Bo72, + Address = {Paris}, + Author = {N. Bourbaki}, + Publisher = {Herman}, + Title = {Groupes et algèbres de Lie}, + Year = 1972 +} +@article{Bog79, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Journal = {Math. USSR Izv.}, + Pages = {499-555}, + Title = {Holomorphic tensors and vector bundles on projective + varieties}, + Volume = 13, + Year = 1979 +} + +@article{Bogomolov74, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {32J25 (32G13)}, + Mrnumber = {0338459 (49 \#3223)}, + Mrreviewer = {R. O. Wells, Jr.}, + Pages = {11--21}, + Title = {Kähler manifolds with trivial canonical class}, + Volume = 38, + Year = 1974 +} + +@book{Bois95, + Address = {Paris}, + Author = {Jules Bois}, + Publisher = {Chailley}, + Title = {Le satanisme et la magie}, + Year = 1895 +} + +@unpublished{BoissiereNieperSarti, + Author = {Boissiere, Samuel and Nieper-Wisskirchen, Marc and Sarti, + Alessandra}, + Month = {November}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1001.4728}{arXiv:1001.4728}.}, + Title = {Higher dimensional {E}nriques varieties and automorphisms of + generalized {K}ummer varieties}, + Year = 2010 +} + +@article{Bost01, + Author = {Bost, Jean-Benoît}, + Fjournal = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études + Scientifiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Mrclass = {14G40 (11G35 37F75)}, + Mrnumber = {MR1863738 (2002h:14037)}, + Mrreviewer = {Carlo Gasbarri}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-001-8191-3}{DOI:10.1007/s10240-001-8191-3}}, + Volume = 93, + Pages = {161--221}, + Title = {Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields}, + Year = 2001 +} + +@phdthesis{Boucksom02, + Author = {Boucksom, Sebastien}, + School = {Grenoble}, + Title = {Cônes positifs des variétés complexes compactes}, + Year = 2002 +} + +@article{Boucksom04, + Author = {Boucksom, Sébastien}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32J18 (32C30)}, + Mrnumber = {2050205 (2005i:32018)}, + Mrreviewer = {Adam Gregory Harris}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}{DOI:10.1016/j.ansens.2003.04.002}}, + Number = 1, + Pages = {45--76}, + Title = {Divisorial {Z}ariski decompositions on compact complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Volume = 37, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002} +} + +@book{Br72, + Author = {G. Bredon}, + Publisher = {Academic Press}, + Title = {Introduction to Compact Transformation Groups}, + Year = 1972 +} + +@book{Bredon97, + Address = {New York}, + Author = {Bredon, Glen E.}, + Isbn = {0-387-97926-3}, + Mrclass = {55-01 (54-01 57-01)}, + Mrnumber = {MR1700700 (2000b:55001)}, + Note = {Corrected third printing of the 1993 original}, + Pages = {xiv+557}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Topology and geometry}, + Volume = 139, + Year = 1997 +} + +@book{BrieII, + Author = {E. Brieskorn}, + Publisher = {Vieweg}, + Title = {Lineare Algebra and Analytische Geometrie II}, + Year = 1985 +} + +@article{Brieskorn68, + Author = {Brieskorn, Egbert}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14.18}, + Mrnumber = {MR0222084 (36 \#5136)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {336--358}, + Title = {Rationale {S}ingularitäten komplexer {F}lächen}, + Volume = 4, + Year = {1967/1968} +} + +@book{CAS, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Doi = {10.1007/978-3-642-69582-7}, + Isbn = {3-540-13178-7}, + Mrclass = {32-02 (32Bxx 32C30)}, + Mrnumber = {755331 (86a:32001)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + Pages = {xviii+249}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Coherent analytic sheaves}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}{DOI:10.1007/978-3-642-69582-7}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}, + Volume = 265, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7} +} + +@article{CC02, + Author = {Chiantini, Luca and Ciliberto, Ciro}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14N05 (14J10 14N15)}, + Mrnumber = {2003b:14063}, + Mrreviewer = {Fyodor L. Zak}, + Number = 1, + Pages = {151--178 (electronic)}, + Title = {Weakly defective varieties}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + + +@article{CDP, + Author = {F. Campana and J.-P. Demailly and T. Peternell}, + Journal = {Compos. Math.}, + Pages = {77--91}, + Title = {The Algebraic Dimension of Compact Complex Threefolds with vanishing second Betti Number}, + Volume = 112, + Year = 1998 +} + +@article {CDR20, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Darondeau, Lionel and Rousseau, Erwan}, + TITLE = {Orbifold hyperbolicity}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {156}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}{DOI:10.1112/s0010437x20007265}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1803.10716}{arXiv:1803.10716}}, + NUMBER = {8}, + PAGES = {1664--1698}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {Prelim}, + MRNUMBER = {4163858}, + DOI = {10.1112/s0010437x20007265}, + URL = {https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}, +} + +@article {CH75, + AUTHOR = {Chen, Bang-Yen and Ogiue, Koichi}, + TITLE = {Some characterizations of complex space forms in terms of {C}hern classes}, + JOURNAL = {Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)}, + FJOURNAL = {The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series}, + VOLUME = {26}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {104}, + PAGES = {459--464}, + ISSN = {0033-5606}, + MRCLASS = {53C55 (32C10)}, + MRNUMBER = {405303}, +MRREVIEWER = {S. Ramanan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}{DOI:10.1093/qmath/26.1.459}}, + DOI = {10.1093/qmath/26.1.459}, + URL = {https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}, +} + +@book{CK99, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Katz, Sheldon}, + Isbn = {0-8218-1059-6}, + Mrclass = {14J32 (14-02 14M25 14N10 14N35 32G81 32J81 32Q25)}, + Mrnumber = {MR1677117 (2000d:14048)}, + Mrreviewer = {Andreas Gathmann}, + Pages = {xxii+469}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Mirror symmetry and algebraic geometry}, + Volume = 68, + Year = 1999 +} + +@article{CKM88, + Author = {Clemens, Herbert and Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14J30 (32J99)}, + Mrnumber = {MR1004926 (90j:14046)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Number = 166, + Pages = {144 pp. (1989)}, + Title = {Higher-dimensional complex geometry}, + Year = 1988 +} + +@article {CKP12, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Koziarz, Vincent and Păun, Mihai}, + TITLE = {Numerical character of the effectivity of adjoint line bundles}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {62}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {107--119}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2986267}, +MRREVIEWER = {James McKernan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2701}{DOI:10.5802/aif.2701}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1004.0584}{arXiv:1004.0584}}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2012__62_1_107_0}, +} + +@InCollection{CKT21, + author = {Claudon, Benoît and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Generic positivity and applications to hyperbolicity of moduli spaces}, + booktitle = {Hyperbolicity Properties of Algebraic Varieties}, + OPTcrossref = {}, + OPTkey = {}, + publisher = {Société Mathématique de France}, + year = {2021}, + OPTeditor = {}, + volume = {56}, + OPTnumber = {}, + series = {Panoramas \& Synthèses}, + OPTtype = {}, + OPTchapter = {}, + pages = {169--208}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTaddress = {}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1610.09832}{arXiv:1610.09832}}, + OPTannote = {} +} + +@article{CL12, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Doi = {10.1215/00127094-1723755}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Number = 12, + Pages = {2415--2467 (electronic)}, + Title = {New outlook on the Minimal Model Program I.}, + Volume = 161, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-1723755} +} + +@inproceedings{CL12b, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Booktitle = {Contributions to Algebraic Geometry, IMPANGA Lecture Notes}, + Editor = {Pragacz, Piotr}, + Note = {ISBN: 978-3-03719-114-9}, + Pages = {169--188}, + Publisher = {EMS Publishing House}, + Series = {EMS Series of Congress Reports}, + Title = {The Minimal Model Program revisited}, + Year = 2012 +} + +@book{CLN85, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Camacho, César and Lins Neto, Alcides}, + Isbn = {0-8176-3139-9}, + Mrclass = {57R30 (58F18)}, + Mrnumber = {824240 (87a:57029)}, + Note = {Translated from the Portuguese by Sue E. Goodman}, + Pages = {vi+205}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Title = {Geometric theory of foliations}, + Year = 1985 +} + +@incollection{CMSB02, + Address = {Tokyo}, + Author = {Cho, Koji and Miyaoka, Yoichi and Shepherd-Barron, Nicholas I.}, + Booktitle = {Higher dimensional birational geometry (Kyoto, 1997)}, + Mrclass = {14M20 (14E05)}, + Mrnumber = {1 929 792}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {1--88}, + Publisher = {Math. Soc. Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Characterizations of projective space and applications to complex symplectic manifolds}, + Volume = 35, + Year = 2002 +} + +@book {CMSP, + AUTHOR = {Carlson, James and Müller-Stach, Stefan and Peters, Chris}, + TITLE = {Period mappings and period domains}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 85, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2003, + PAGES = {xvi+430}, + ISBN = {0-521-81466-9}, + MRCLASS = {32G20 (14C30)}, + MRNUMBER = {2012297 (2005a:32014)}, + MRREVIEWER = {Gregory J. Pearlstein}, +} + +@misc{COP09, + Author = {Catanese, Fabrizio and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + Note = {misc preprint}, + Title = {On volume preserving complex structures on real tori}, + Year = 2009 +} + +@article{CP11, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14J40 (32Q26, 32J27, 14E30)}, + Number = 1, + Pages = {41--74}, + Title = {Geometric stability of the cotangent bundle and the universal + cover of a projective manifold}, + Volume = 139, + Year = 2011 +} + +@article {CP14, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Positivity properties of the bundle of logarithmic tensors on compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {152}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {11}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}{DOI:10.1112/S0010437X16007442}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1407.3431}{arXiv:1407.3431}.}, + PAGES = {2350--2370}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q05 (32Q10 32Q15 32Q20 32U05 32U15)}, + MRNUMBER = {3577897}, +MRREVIEWER = {Cezar Joi\c{t}a}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007442}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}, +} + +@article {CP15, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Orbifold generic semi-positivity: an application to families of canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 65, + YEAR = 2015, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2945}{DOI:10.5802/aif.2945}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.3169}{arXiv:1303.3169}}, + PAGES = {835--861}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30 (14C20 32J25)}, + MRNUMBER = 3449168, + MRREVIEWER = {Artie Prendergast-Smith}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2015__65_2_835_0}, +} + +@article{CP91, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E20)}, + Mrnumber = {91m:14061}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {169--187}, + Title = {Projective manifolds whose tangent bundles are numerically effective}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{CP93, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J35 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {94e:14052}, + Mrreviewer = {Michal Szurek}, + Number = {3-4}, + Pages = {225--238}, + Title = {{$4$}-folds with numerically effective tangent bundles and second {B}etti numbers greater than one}, + Volume = 79, + Year = 1993 +} + +@article{CP94, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {14J45 (32J17 32L25)}, + Mrnumber = {MR1312685 (96b:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {173--201}, + Title = {Rigidity theorems for primitive {F}ano {$3$}-folds}, + Volume = 2, + Year = 1994 +} + +@article{CP98, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J60 (14J30 14M20)}, + Mrnumber = {MR1642626 (99g:14051)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Number = 1, + Pages = {59--74}, + Title = {Rational curves and ampleness properties of the tangent bundle + of algebraic varieties}, + Volume = 97, + Year = 1998 +} + +@misc{CPP01, + Author = {F.~Campana and T.~Peternell and A.~Pukhlikov}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/0110017}, + Title = {Generalized Tsen theorem and rationally connected Fano fibrations}, + Year = 2001 +} + +@article{CS95, + Author = {Cho, Koji and Sato, Ei-ichi}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J60 (14J45)}, + Mrnumber = {MR1317270 (96g:14033)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {Smooth projective varieties with the ample vector bundle + {$\bigwedge\sp 2T\sb X$} in any characteristic}, + Volume = 35, + Year = 1995 +} + +@incollection{CTCetraro, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis}, + TITLE = {Variétés presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs dégénérescences}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}{DOI:10.1007/978-3-642-15945-9$\_$1}}, + VOLUME = {2009}, + PAGES = {1--44}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {11G25 (11G35 14G05)}, + MRNUMBER = {2757627}, +MRREVIEWER = {Nguy\cftil{e}n Quôc Tháng}, + DOI = {10.1007/978-3-642-15945-9_1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}, +} + +@article {CTPS, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Pál, Ambrus and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Pathologies of the {B}rauer-{M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}{DOI:10.1007/s00209-015-1565-x}}, + VOLUME = {282}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {799--817}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14G05 14G25)}, + MRNUMBER = {3473644}, +MRREVIEWER = {Jörg Jahnel}, + DOI = {10.1007/s00209-015-1565-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}, +} + +@Unpublished{CTSko, + author = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Skorobogatov, Alexei N.}, + title = {The {B}rauer--{G}rothendieck group}, + note = {Book draft. Available on the internet at \href{https://wwwf.imperial.ac.uk/~anskor/brauer.pdf}{\sf https://wwwf.imperial.ac.uk/$\sim$anskor/brauer.pdf}}, + month = {January}, + year = 2021, +} + +@misc{CW03, + Author = {Solá Conde, Luis Edoardo and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Month = {April}, + Note = {Preprint}, + Title = {On manifolds whose tangent bundle is big and 1-ample}, + Year = 2003 +} + +@article{Ca95, + Author = {Campana, Frédéric}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J15)}, + Mrnumber = {1325789 (96f:32054)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 3, + Pages = {487--502}, + Title = {Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@unpublished{CaLa, + Author = {Cascini, Paolo and {La Nave}, Gabriele}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0603064v1}{arXiv:0603064}.}, + Title = {{Kähler-Ricci Flow and the Minimal Model Program for Projective Varieties}}, + Year = 2006 +} + +@article{Cam04, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14E05 (14D06 14J40 32Q57 35Q15)}, + Mrnumber = {MR2097416 (2006c:14013)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Number = 3, + Pages = {499--630}, + Title = {Orbifolds, special varieties and classification theory}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2027}{DOI:10.5802/aif.2027}}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article {Cam05, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Fibres multiples sur les surfaces: aspects geométriques, + hyperboliques et arithmétiques}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 117, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}{DOI:10.1007/s00229-005-0570-5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0410469}{arXiv:0410469}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {429--461}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14D06 (14J40)}, + MRNUMBER = 2163487, + MRREVIEWER = {Lucia Caporaso}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}, +} + +@article{Cam94, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {32J27 (14E20 32E05)}, + Mrnumber = {MR1273904 (95f:32036)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {255--284}, + Title = {Remarques sur le revêtement universel des variétés + kählériennes compactes}, + Volume = 122, + Year = 1994 +} + +@book{CamachoSad, + Author = {Camacho, César and Sad, Paulo}, + Isbn = {85-244-0029-3}, + Mrclass = {58F14 (32C40 32L99 34A20 34C05 58F18 58F21)}, + Mrnumber = {MR953780 (90a:58126)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {iv+132}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {16$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [16th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Title = {Pontos singulares de equa\c c\~oes diferenciais anal{\'\i}ticas}, + Year = 1987 +} + +@article{Campana91, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32L25 (32J20 53C25)}, + Mrnumber = {1094468 (92g:32059)}, + Mrreviewer = {S. M. Salamon}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214446329}{DOI:10.4310/jdg/1214446329}}, + Number = 2, + Pages = {541--549}, + Title = {On twistor spaces of the class {$\scr C$}}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329}, + Volume = 33, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329} +} + +@article{Campana92, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1191735 (93k:14050)}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 5, + Pages = {539--545}, + Title = {Connexité rationnelle des variétés de {F}ano}, + Volume = 25, + Year = 1992 +} + +@article{CampanaFlennerContactSings, + Author = {Campana, Frédéric and Flenner, Hubert}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/s002290200285}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {32S35 (14B05)}, + Mrnumber = {1923538 (2003k:32041)}, + Mrreviewer = {Jan Stevens}, + Number = 4, + Pages = {529--541}, + Title = {Contact singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002290200285}, + Volume = 108, + Year = 2002, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002290200285} +} + +@article{Can01, + Author = {Cantat, Serge}, + Coden = {ACMAA8}, + Fjournal = {Acta Mathematica}, + Issn = {0001-5962}, + Journal = {Acta Math.}, + Mrclass = {32H50 (32C30 32Q15 37A35 37F10)}, + Mrnumber = {MR1864630 (2003h:32026)}, + Mrreviewer = {Eric Bedford}, + Number = 1, + Pages = {1--57}, + Title = {Dynamique des automorphismes des surfaces {$K3$}}, + Volume = 187, + Year = 2001 +} + +@Book{Cardano45, + author = {Cardano, Gerolamo}, + ALTeditor = {}, + title = {Artis magnæ, sive de regulis algebraicis}, + OPTpublisher = {Andreæ Osiandro}, + year = {1545}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Availiable on the internet at \url{https://archive.org/details/hieronymicardan00card/mode/2up}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Carlson85, + Author = {Carlson, James A.}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (14C30 32C45)}, + Mrnumber = {MR808740 (87i:14008)}, + Mrreviewer = {Sheldon H. Katz}, + Number = 2, + Pages = {595--612}, + Title = {Polyhedral resolutions of algebraic varieties}, + Volume = 292, + Year = 1985 +} + +@article{Catanese91, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01245076}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J27 (14J15 32G13 32J25)}, + Mrnumber = {1098610 (92f:32049)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Note = {Appendix by Arnaud Beauville}, + Number = 2, + Pages = {263--289}, + Title = {Moduli and classification of irregular {K}ähler manifolds (and + algebraic varieties) with {A}lbanese general type fibrations.}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01245076}, + Volume = 104, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01245076} +} + +@Unpublished{Chen18, + author = {Chen, Weichung}, + title = {Boundedness of varieties of Fano type with alpha-invariants and volumes bounded below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.04019}{arXiv:1810.04019}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {Cor88, + AUTHOR = {Corlette, Kevin}, + TITLE = {Flat {$G$}-bundles with canonical metrics}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1988, + NOTE = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}{euclid.jdg/1214442469}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {361--382}, + ISSN = {0022-040X}, + CODEN = {JDGEAS}, + MRCLASS = {58E20 (32L99 53C10)}, + MRNUMBER = 965220, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}, +} + +@book{CoxLittleSchenck, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Little, John B. and Schenck, Henry K.}, + Isbn = {978-0-8218-4819-7}, + Mrclass = {14M25}, + Mrnumber = 2810322, + Pages = {xxiv+841}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Toric varieties}, + Volume = 124, + Year = 2011 +} + +@Unpublished{DG17, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri}, + title = {A decomposition theorem for smoothable varieties with trivial canonical class}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01800}{arXiv:1704.01800}}, + month = {April}, + year = 2017 +} + +@Unpublished{DGP20, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + title = {A decomposition theorem for $\mathbb{Q}$-{F}ano {K}ähler-{E}instein varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/2008.05352}{arXiv:2008.05352}}, + OPTkey = {}, + month = {August}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + + +@article{DHP08, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Hwang, Jun-Muk and Peternell, + Thomas}, + Doi = {10.1007/s12220-008-9017-z}, + Fjournal = {Journal of Geometric Analysis}, + Issn = {1050-6926}, + Journal = {J. Geom. Anal.}, + Mrclass = {32Q57 (14K99 32L05 32Q15)}, + Mrnumber = {MR2393263 (2009b:32039)}, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 2, + Pages = {324--340}, + Title = {Compact manifolds covered by a torus}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z}, + Volume = 18, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z} +} + +@article{DL99, + Author = {Denef, Jan and Loeser, Fran{\c{c}}ois}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14A20 (14D10 14G99)}, + Mrnumber = {MR1664700 (99k:14002)}, + Mrreviewer = {José Ignacio Burgos Gil}, + Number = 1, + Pages = {201--232}, + Title = {Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic + integration}, + Volume = 135, + Year = 1999 +} + +@article{DPS01, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, + Michael}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32J27 (32Q15 32Q57)}, + Mrnumber = {2003a:32032}, + Mrreviewer = {Christophe Mourougane}, + Number = 6, + Pages = {689--741}, + Title = {Pseudo-effective line bundles on compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 12, + Year = 2001 +} + +@article{DPS94, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J45 32L07)}, + Mrnumber = {MR1257325 (95f:32037)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {295--345}, + Title = {Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles}, + Volume = 3, + Year = 1994, + Note = {Available from the author's web site \href{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/dps1.pdf}{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\sim$demailly/manuscripts/dps1.pdf}} +} + + +@article{DPS96, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32J27 (53C55)}, + Mrnumber = {MR1389367 (97d:32039)}, + Mrreviewer = {Thierry Bouche}, + Number = 2, + Pages = {217--224}, + Title = {Compact {K}ähler manifolds with {H}ermitian semipositive + anticanonical bundle}, + Volume = 101, + Year = 1996 +} + +@article {DS, + AUTHOR = {Donaldson, Simon and Sun, Song}, + TITLE = {{G}romov-{H}ausdorff limits of {K}ähler manifolds and algebraic geometry}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 213, + YEAR = 2014, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}{DOI:10.1007/s11511-014-0116-3}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1206.2609}{arXiv:1206.2609}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {63--106}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {53C55 (32Q20 53C23)}, + MRNUMBER = 3261011, + MRREVIEWER = {Valentino Tosatti}, + DOI = {10.1007/s11511-014-0116-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}, +} + +@article{DW82, + Author = {Dedekind, R. and Weber, H.}, + Journal = {Crelle J. Reine Angew. Math}, + Pages = {181-290}, + Title = {Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen}, + Volume = 92, + Year = 1882 +} + +@PhdThesis{Daniel15, + author = {Jeremy Daniel}, + title = {Variations de structures de Hodge lacées et fibrés harmoniques}, + school = {Université Paris VII and Université Pierre et Marie Curie}, + year = 2015 +} + +@article{Danilov78, + Author = {Danilov, V. I.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe + Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk}, + Issn = {0042-1316}, + Journal = {Uspekhi Mat. Nauk}, + Mrclass = {14A20 (14L30)}, + Mrnumber = {495499 (80g:14001)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Note = {English translation: Russian Math. Surveys 33 (1978), no. 2, + 97--154}, + Number = {2(200)}, + Pages = {85--134, 247}, + Title = {The geometry of toric varieties}, + Volume = 33, + Year = 1978 +} + +@incollection{Danilov91, + Address = {Berlin}, + Author = {Danilov, V. I.}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {IL}, 1989)}, + Doi = {10.1007/BFb0086261}, + Mrclass = {14M25 (14F25 14F40)}, + Mrnumber = {1181204 (93i:14050)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {26--38}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {de {R}ham complex on toroidal variety}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261}, + Volume = 1479, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261} +} + +@article{Darboux78, + Ages = {60--96; 123--144; 151--200}, + Author = {Darboux, Gaston}, + Journal = {Bulletin Sciences Mathématiques 2ème série}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles algébriques du + premier ordre et du premier degré (Mélanges)}, + Volume = 2, + Year = 1878 +} + +@book {Debarre01, + AUTHOR = {Debarre, Olivier}, + TITLE = {Higher-dimensional algebraic geometry}, + SERIES = {Universitext}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xiv+233}, + ISBN = {0-387-95227-6}, + MRCLASS = {14-02 (14E30 14Jxx)}, + MRNUMBER = {1841091 (2002g:14001)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-5406-3}}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-5406-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}, +} + +@book{Deligne70, + Address = {Berlin}, + Author = {Deligne, Pierre}, + Mrclass = {14D05 (14C30)}, + Mrnumber = {54 \#5232}, + Mrreviewer = {Helmut Hamm}, + Note = {Lecture Notes in Mathematics, + Vol. 163. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0061194}{DOI:10.1007/BFb0061194}}, + Pages = {iii+133}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Équations différentielles à points singuliers réguliers}, + Year = 1970 +} + +@article{DeligneHodgeII, + Author = {Deligne, Pierre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C30 (14F15)}, + Mrnumber = {0498551 (58 \#16653a)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 40, + Pages = {5--57}, + Title = {Théorie de {H}odge. {II}}, + Year = 1971 +} + +@incollection{Dem02, + Address = {Berlin}, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Booktitle = {Complex geometry ({G}öttingen, 2000)}, + Mrclass = {32Q15 (32J27)}, + Mrnumber = {1922099 (2003f:32029)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_6}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0$\_$6}}, + Pages = {93--98}, + Publisher = {Springer}, + Title = {On the {F}robenius integrability of certain holomorphic {$p$}-forms}, + Year = 2002 +} + +@Article{Dem85, + AUTHOR = "Jean-Pierre Demailly", + TITLE = "Mesures de {M}onge-{A}mpère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines", + JOURNAL = "Mém. Soc. Math. France (N.S.)", + FJOURNAL = "Mémoires de la Société Mathématique de France. Nouvelle Série", + VOLUME = 19, + YEAR = 1985, + PAGES = 124, + ISSN = "0037-9484", + MRCLASS = "32H35 (32C10 32F05)", + MRNUMBER = "813252 (87g:32030)", + MRREVIEWER = "G. M. Khenkin" +} + +@article {DemPal, + AUTHOR = {Demailly, Jean-Pierre and Pali, Nefton}, + TITLE = {Degenerate complex {M}onge-{A}mpère equations over compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 21, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {357--405}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32Q20 (32J27 32W20)}, + MRNUMBER = 2647006, + MRREVIEWER = {V. Oproiu}, + DOI = {10.1142/S0129167X10006070}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X10006070}, +} + +@misc{DemaillyBook, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {September}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@misc{DemaillyBook2012, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {June}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@Unpublished{Deng, + Author = {Deng, Ya}, + Title = {Kobayashi hyperbolicity of moduli spaces of minimal projective manifolds of general type (with the appendix by {D}an {A}bramovich)}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1806.01666}{arXiv:1806.01666}}, + Year = 2018 + } + +@phdthesis{Deroin03, + Author = {Deroin, B.}, + School = {ENS Lyon}, + Title = {Laminations par variétés complexes}, + Year = 2003 +} + +@incollection{DethloffGrauert, + Author = {Dethloff, Gerd and Grauert, Hans}, + Booktitle = {Several {C}omplex {V}ariables {VII}}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_5}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_5}}, + Mrclass = {32C15 (32C20)}, + Mrnumber = 1326621, + Pages = {183--220}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Seminormal complex spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@incollection {Dol82, + AUTHOR = {Dolgachev, Igor}, + TITLE = {Weighted projective varieties}, + BOOKTITLE = {Group actions and vector fields ({V}ancouver, {B}.{C}., 1981)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {956}, + PAGES = {34--71}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1982}, + MRCLASS = {14L32 (14A05 14B05)}, + MRNUMBER = {704986}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0101508}{DOI:10.1007/BFb0101508}}, + DOI = {10.1007/BFb0101508}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0101508}, +} + +@article{Donaldson85, + Author = {Donaldson, Simon K.}, + Coden = {PLMTAL}, + Doi = {10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {58E15 (14F99 53C05 57R99)}, + Mrnumber = {765366 (86h:58038)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}{DOI:10.1112/plms/s3-50.1.1}}, + Number = 1, + Pages = {1--26}, + Title = {Anti self-dual {Y}ang-{M}ills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Volume = 50, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1} +} + +@article {Dru16, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {A decomposition theorem for singular spaces with trivial canonical class of dimension at most five}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 211, + YEAR = 2018, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-017-0748-y}{DOI:10.1007/s00222-017-0748-y}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1606.09006}{arXiv:1606.09006}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {245--296}, + ISSN = {0020-9910}, +} + +@article{Dru98, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math.}, + Number = 4, + Pages = {365--368}, + Title = {Structures de contact sur les variétes algébriques de + dimension 5}, + Volume = 327, + Year = 1998 +} + +@article{Dru99, + Author = {S.~Druel}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {429--435}, + Title = {{Structures de contact sur les variétés toriques}}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@article{Druel13a, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {Bull. London Math. Soc.}, + Number = 4, + Pages = {827--835}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for log canonical spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1112/blms/bdu040}{DOI:10.1112/blms/bdu040}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.5910}{arXiv:1301.5910}}, + Volume = 46, + Year = 2014 +} + +@article{DuBois81, + Author = {Philippe {D}u~Bois}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14C30}, + Mrnumber = {613848 (82j:14006)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 1, + Pages = {41--81}, + Title = {Complexe de de {R}ham f{i}ltré d'une variété singulière}, + Volume = 109, + Year = 1981 +} + +@book{Duke, + Address = {Durham, NC}, + Coden = {DUMJAO}, + Issn = {0012-7094}, + Mrclass = {00B30}, + Mrnumber = {MR1381964}, + Note = {Duke Math. J. {\bf 81} (1995), no. 1}, + Pages = {i--vi and 1--250}, + Publisher = {Duke University Press}, + Title = {A celebration of {J}ohn {F}. {N}ash, {J}r}, + Year = 1996 +} + +@Book{Dur25, + author = {Dürer, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Vnderweysung der messung / mit dem zirckel vnd richt scheyt / in {L}inien ebnen vnnd gantzen corporen / durch {A}lbrecht {D}uerer zuosamen getzogen / vnd zuo nutz allen kunstlieb habenden mit zuo gehoerigen figuren}, + publisher = {Hieronymum Formschneider}, + year = {1525}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Available online at \href{http://digital.slub-dresden.de/id27778509X}{Sächsische Landesbibliothek — Staats- und Universitätsbibliothek Dresden}}, + OPTannote = {} +} + +@misc{Duv06, + Author = {Duval, Julien}, + Month = {May}, + Note = {talk at {D}iederichs conference}, + Title = {On {B}rody's lemma}, + Year = 2006 +} + +@misc{E02, + Author = {Eckl, Thomas}, + Note = {Preprint math.AG/0202279. To appear in J. Alg. Geom.}, + Title = {Tsuji's Numerical Trivial Fibrations}, + Year = 2002 +} + +@misc{E03b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {March}, + Note = {Preprint math.AG/0307023}, + Title = {A weak {K}awamata-{V}iehweg Vanishing Theorem}, + Year = 2003 +} + +@book{E95, + Address = {New York}, + Author = {Eisenbud, David}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Isbn = {0-387-94268-8; 0-387-94269-6}, + Mrclass = {13-01 (14A05)}, + Mrnumber = {1322960 (97a:13001)}, + Mrreviewer = {Matthew Miller}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{DOI:10.1007/978-1-4612-5350-1}}, + Pages = {xvi+785}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Commutative algebra with a view toward algebraic geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Volume = 150, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1} +} + +@article{EGA1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1960__4__5_0}{numdam.PMIHES-1960-4-5-0}}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217083 (36 \#177a)}, + Number = 4, + Pages = 228, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {I}. {L}e langage des + schémas}, + Year = 1960 +} + +@book{EGA1-Reedition, + Address = {Berlin-Heidelberg-New York}, + Author = {Dieudonné, Jean A. and Grothendieck, Alexandre}, + Pages = {xx+466}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 166}, + Title = {Éléments de {G}éométrie {A}lgébrique. {I}.}, + Year = 1971 +} + +@article{EGA2, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217084 (36 \#177b)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1961__8_}{numdam.PMIHES_1961__8_}}, + Number = 8, + Pages = 222, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {II}. Étude globale + élémentaire de quelques classes de morphismes}, + Year = 1961 +} + +@article{EGA3-1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0163910 (29 \#1209)}, + Number = 11, + Pages = 167, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {III}. Étude cohomologique + des faisceaux cohérents. {I}}, + Year = 1961 +} + +@article {EGA4-2, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. {II}}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + NUMBER = {24}, + NOTE = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}{numdam.PMIHES-1965-24-231-0}}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {231}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.00}, + MRNUMBER = {0199181}, +MRREVIEWER = {H. Hironaka}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}, +} + +@article{EGA4-3, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {MR0217086 (36 \#178)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__28__5_0}{numdam.PMIHES-1966-28-5-0}}, + Number = 28, + Pages = 255, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {III}}, + Year = 1966 +} + +@article{EGA4-4, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0238860 (39 \#220)}, + Mrreviewer = {J. P. Murre}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1967__32__5_0}{numdam.PMIHES-1967-32-5-0}}, + Number = 32, + Pages = 361, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {IV}}, + Year = 1967 +} + +@inproceedings{ES86, + Author = {J. Erdman-Snow}, + Booktitle = {Journées Complexes Nancy}, + Number = 10, + Series = {Revue de l'Institut Elie Cartan}, + Title = {On the Classification of Solv-Manifolds in Dimension 2 and 3}, + Year = 1986 +} + +@article{EV90, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14H10 (11G35 14F10 14J25)}, + Mrnumber = {MR1078858 (91m:14038)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Note = {Algebraic geometry (Berlin, 1988)}, + Number = {1-2}, + Pages = {69--85}, + Title = {Effective bounds for semipositive sheaves and for the height + of points on curves over complex function fields}, + Volume = 76, + Year = 1990 +} + +@book {EV92, + AUTHOR = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Lectures on vanishing theorems}, + SERIES = {DMV Seminar}, + VOLUME = 20, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = 1992, + PAGES = {vi+164}, + ISBN = {3-7643-2822-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}{DOI:10.1007/978-3-0348-8600-0}}, + MRCLASS = {14F17 (14F40 32L10 32L20)}, + MRNUMBER = 1193913, + MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-8600-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}, +} + +@article{Eck04b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32J25 (32C30)}, + Mrnumber = {MR2111016 (2006d:32027)}, + Mrreviewer = {Gordon Heier}, + Number = 4, + Pages = {887--938}, + Title = {Numerically trivial foliations}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@misc{Eck05b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {August}, + Note = {preprint math.AG/0508561}, + Title = {Seshadri constants via lelong numbers}, + Year = 2005 +} + +@article{Eckl08, + Author = {Eckl, Thomas}, + Doi = {10.1002/mana.200510664}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {32J25 (14C20)}, + Mrnumber = {2427164 (2009g:32036)}, + Mrreviewer = {Julius Ross}, + Number = 8, + Pages = {1119--1128}, + Title = {Lower bounds for {S}eshadri constants}, + Url = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664}, + Volume = 281, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664} +} + +@phdthesis{El01, + Author = {Elsner, Detlev}, + School = {Universität Bayreuth}, + Title = {Projektive Strukturen auf Fano 3-Faltigkeiten mit $b_2=b_3=2$}, + Year = 2001 +} + +@article{Elkik78, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B07}, + Mrnumber = {501926 (80c:14004)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Number = 2, + Pages = {139--147}, + Title = {Singularités rationnelles et déformations}, + Volume = 47, + Year = 1978 +} + +@article{Elkik81, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14J30)}, + Mrnumber = {621766 (83a:14003)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Number = 1, + Pages = {1--6}, + Title = {Rationalité des singularités canoniques}, + Volume = 64, + Year = 1981 +} + +@book{Encyclopaedia-GeometryI, + Editor = {R.V.~Gamkrelidze}, + Number = 28, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Geometry I: basic ideas and concepts of differential geometry}, + Year = 1991 +} + +@incollection{Eno87, + Address = {Berlin}, + Author = {Enoki, Ichiro}, + Booktitle = {Geometry and analysis on manifolds ({K}atata/{K}yoto, 1987)}, + Doi = {10.1007/BFb0083051}, + Mrclass = {32L10 (32J25 32L15)}, + Mrnumber = {961477 (90a:32039)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0083051}{DOI:10.1007/BFb0083051}}, + Pages = {118--126}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Stability and negativity for tangent sheaves of minimal + {K}ähler spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051}, + Volume = 1339, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051} +} + +@article{ExtApplications, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1515/crelle-2012-0097}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = 3281652, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}{DOI:10.1515/crelle-2012-0097}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1202.3243}{arXiv:1202.3243}.}, + Pages = {57--89}, + Title = {Reflexive differential forms on singular spaces. {G}eometry + and cohomology}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}, + Volume = 697, + Year = 2014, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097} +} + +@article{F00, + Author = {Farkas, Gavril}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H10 (14D20 14H51)}, + Mrnumber = {MR1785575 (2001f:14048)}, + Mrreviewer = {Montserrat Teixidor i Bigas}, + Number = 1, + Pages = {43--65}, + Title = {The geometry of the moduli space of curves of genus 23}, + Volume = 318, + Year = 2000 +} + +@article{FF79, + Author = {G. Fischer and O. Forster}, + Journal = {J. reine angew. Mathematik}, + Pages = {88--93}, + Title = {{Ein Endlichkeitssatz für Hyperflächen auf kompakten komplexen + Räumen}}, + Volume = 306, + Year = 1979 +} + +@article{FG69, + Author = {Frisch, Jacques and Guenot, Jacques}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0252683 (40 \#5901)}, + Mrreviewer = {Y.-T. Siu}, + Pages = {321--343}, + Title = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + Volume = 7, + Year = 1969 +} + +@book{FGA, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {MR0146040 (26 \#3566)}, + Mrreviewer = {E. L. Griffin, Jr.}, + Pages = {ii+205}, + Publisher = {Secrétariat mathématique}, + Title = {Fondements de la géométrie algébrique. [{E}xtraits du + {S}éminaire {B}ourbaki, 1957--1962.]}, + Year = 1962 +} + +@book{FGIKN, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fantechi, Barbara and Göttsche, Lothar and Illusie, Luc and + Kleiman, Steven L. and Nitsure, Nitin and Vistoli, Angelo}, + Isbn = {0-8218-3541-6}, + Mrclass = {14-06 (14A15 14D15 14F20)}, + Mrnumber = {MR2222646 (2007f:14001)}, + Mrreviewer = {Liam O'Carroll}, + Note = {Grothendieck's FGA explained}, + Pages = {x+339}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Fundamental algebraic geometry}, + Volume = 123, + Year = 2005 +} + +@Unpublished{FL18, + author = {Floris, Enrica and Lazić, Vladimir}, + title = {On the B-Semiampleness Conjecture}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1808.00717}{arXiv:1808.00717}}, + month = {August}, + year = 2018 +} + +@incollection{FL81, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William and Lazarsfeld, Robert}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {I}ll., 1980)}, + Mrclass = {14-02 (14C99 14E25)}, + Mrnumber = {644817 (83i:14002)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0090889}{DOI:10.1007/BFb0090889}}, + Pages = {26--92}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Connectivity and its applications in algebraic geometry}, + Volume = 862, + Year = 1981 +} + +@article{FMP03, + Author = {Farkas, Gavril and Mustaţă, Mircea and Popa, Mihnea}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14H10 (13D02 14H60)}, + Mrnumber = {MR2013926 (2005b:14051)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = 4, + Pages = {553--581}, + Title = {Divisors on {${\mathcal M}\sb {g,g+1}$} and the minimal + resolution conjecture for points on canonical curves}, + Volume = 36, + Year = 2003 +} + +@article{FP05, + Author = {Farkas, Gavril and Popa, Mihnea}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14H10 (14J28)}, + Mrnumber = {MR2123229}, + Number = 2, + Pages = {241--267}, + Title = {Effective divisors on {$\overline{\mathcal M}\sb g$}, curves + on {$K3$} surfaces, and the slope conjecture}, + Volume = 14, + Year = 2005 +} + +@misc{FP09, + Author = {Frantzen, Kristina and Peternell, Thomas}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.4483}{arXiv:0910.4483}}, + Title = {On the {B}imeromorphic {G}eometry of {C}ompact {C}omplex + {C}ontact {T}hreefolds}, + Year = 2009 +} + +@article{FS01, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Fjournal = {Publicacions Matemàtiques}, + Issn = {0214-1493}, + Journal = {Publ. Mat.}, + Mrclass = {32H50 (32E40 32W05 37Fxx)}, + Mrnumber = {MR1876919 (2002k:32030)}, + Mrreviewer = {Marco Abate}, + Number = 2, + Pages = {529--547}, + Title = {Some open problems in higher dimensional complex analysis and + complex dynamics}, + Volume = 45, + Year = 2001 +} + +@incollection{FS98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {32H50 (37F35 37F50)}, + Mrnumber = {MR1810536 (2001k:32034)}, + Mrreviewer = {Serge Cantat}, + Pages = {47--85}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of {${\bf P}\sp 2$} (examples)}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Fahlaoui89, + Author = {Fahlaoui, Rachid}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01457509}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J26 (14F05 32J15 53C55)}, + Mrnumber = {MR973810 (89k:14063)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 1, + Pages = {171--176}, + Title = {Stabilité du fibré tangent des surfaces de del {P}ezzo}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01457509}, + Volume = 283, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01457509} +} + +@article{Faltings83, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388432}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {718935 (85g:11026a)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 3, + Pages = {349--366}, + Title = {Endlichkeitssätze für abelsche {V}arietäten über {Z}ahlkörpern}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388432}, + Volume = 73, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388432} +} + +@article{Faltings84, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {MR732554 (85g:11026b)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 2, + Pages = 381, + Title = {Erratum: ``{F}initeness theorems for abelian varieties over number fields''}, + Volume = 75, + Year = 1984 +} + +@article{Ferr70, + Author = {Ferrari, Aldo}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.50 (53.00)}, + Mrnumber = {0274810 (43 \#570)}, + Mrreviewer = {M. Herrera}, + Pages = {65--77}, + Title = {Cohomology and holomorphic differential forms on complex analytic spaces}, + Volume = 24, + Year = 1970 +} + +@book{Fi76, + Address = {Berlin}, + Author = {Fischer, Gerd}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {0430286 (55 \#3291)}, + Mrreviewer = {Andrew Markoe}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0080338}{DOI:10.1007/BFb0080338}}, + Pages = {vii+201}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 538}, + Title = {Complex analytic geometry}, + Year = 1976 +} + +@article {Fle81, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Divisorenklassengruppen quasihomogener {S}ingularit\"{a}ten}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {328}, + YEAR = {1981}, + PAGES = {128--160}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {13F15 (13G05 14B05 14C99)}, + MRNUMBER = {636200}, +MRREVIEWER = {Gerd Faltings}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}{DOI:10.1515/crll.1981.328.128}}, + DOI = {10.1515/crll.1981.328.128}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}, +} + +@book{Flenner-OCarrol-Vogel, + Address = {Berlin}, + Author = {Flenner, Hubert and O'Carroll, Liam and Vogel, Wolfgang}, + Isbn = {3-540-66319-3}, + Mrclass = {14C17 (13H15 14-02)}, + Mrnumber = {2001b:14010}, + Mrreviewer = {Lê Tuân Hoa}, + Pages = {vi+307}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Joins and intersections}, + Year = 1999 +} + +@article{Flenner84, + Author = {Flenner, Hubert}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14F05 (32C35)}, + Mrnumber = {780080 (86m:14014)}, + Mrreviewer = {H. Lange}, + Number = 4, + Pages = {635--650}, + Title = {Restrictions of semistable bundles on projective varieties}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02566370}{DOI:10.1007/BF02566370}}, + Volume = 59, + Year = 1984 +} + +@article{Flenner88, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Extendability of differential forms on nonisolated singularities}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 94, + YEAR = 1988, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01394328}{DOI:10.1007/BF01394328}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {317--326}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14B05 (14B15 14C30 32B30 32J25)}, + MRNUMBER = 958835, + MRREVIEWER = {Ulrich Karras}, + DOI = {10.1007/BF01394328}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394328}, +} + +@book{Fogarty, + Author = {Fogarty, John}, + Mrclass = {14.50}, + Mrnumber = {MR0240104 (39 \#1458)}, + Mrreviewer = {M. J. Greenberg}, + Pages = {xvi+216}, + Publisher = {W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam}, + Title = {Invariant theory}, + Year = 1969 +} + +@article{Fr97, + Author = {Freitag, Paul}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s002080050109}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {MR1474189 (98k:14056)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 2, + Pages = {179--198}, + Title = {Rigidity properties of imprimitive {F}ano {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002080050109}, + Volume = 309, + Year = 1997, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002080050109} +} + +@incollection{FriedModularTowers, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fried, Michael D.}, + Booktitle = {Recent developments in the inverse {G}alois problem + ({S}eattle, {WA}, 1993)}, + Doi = {10.1090/conm/186/02179}, + Mrclass = {11F32 (11G18 11R58 20E18)}, + Mrnumber = {1352270 (97a:11070)}, + Mrreviewer = {Yasutaka Ihara}, + Pages = {111--171}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Introduction to modular towers: generalizing dihedral group--modular curve connections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179}, + Volume = 186, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179} +} + +@article{Fuj13, + Author = {Fujino, Osamu}, + Doi = {10.3792/pjaa.89.92}, + Fjournal = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + Issn = {0386-2194}, + Journal = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 3127923, + Mrreviewer = {Jungkai Alfred Chen}, + Number = 8, + Note = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}{DOI:10.3792/pjaa.89.92}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0911.2851}{arXiv:0911.2851}}, + Pages = {92--95}, + Title = {On maximal {A}lbanese dimensional varieties}, + Url = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}, + Volume = 89, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92} +} + +@incollection {Fujino14, + AUTHOR = {Fujino, Osamu}, + TITLE = {Notes on the weak positivity theorems}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and automorphism groups}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {75}, + PAGES = {73--118}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = {2017}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1406.1834v4}{arXiv:1406.1834v4}}, + MRCLASS = {14C20 (14D07 32S35)}, + MRNUMBER = {3793363}, +MRREVIEWER = {Halszka Tutaj-Gasi\'{n}ska}, +} + +@Unpublished{Fujino15, + author = {Fujino, Osamu}, + title = {On quasi-Albanese maps}, + note = {Unpublished preprint. Available from the author's home page at \url{http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~fujino/papersandpreprints.html}}, + OPTkey = {}, + month = {January}, + year = {2015}, + OPTannote = {} +} + +@article{Fujita89, + Author = {T.~Fujita}, + Journal = {Nagoya Math.~J.}, + Pages = {105--123}, + Title = {Remarks on quasi-polarized varieties}, + Volume = 115, + Year = 1989 +} + +@book{Ful93, + Author = {W. Fulton}, + Number = 131, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Introduction to Toric Varieties}, + Year = 1993 +} + +@book{Fulton98, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-62046-X; 0-387-98549-2}, + Mrclass = {14C17 (14-02)}, + Mrnumber = {1644323 (99d:14003)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1700-8}{DOI:10.1007/978-1-4612-1700-8}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Intersection {T}heory}, + Volume = 2, + Year = 1998 +} + +@article{GAGA, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {0082175 (18,511a)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {1--42}, + Title = {Géométrie algébrique et géométrie analytique}, + Volume = 6, + Year = {1955--1956} +} + +@book{GH, + Address = {New York}, + Author = {Griffiths, Phillip and Harris, Joseph}, + Isbn = {0-471-05059-8}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1288523 (95d:14001)}, + Note = {Reprint of the 1978 original}, + Pages = {xiv+813}, + Publisher = {John Wiley \& Sons Inc.}, + Series = {Wiley Classics Library}, + Title = {Principles of algebraic geometry}, + Year = 1994 +} + +@article {GHS03, + AUTHOR = {Graber, Tom and Harris, Joe and Starr, Jason}, + TITLE = {Families of rationally connected varieties}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {16}, + YEAR = {2003}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}{DOI:10.1090/S0894-0347-02-00402-2}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {57--67}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {14M20 (14D05 14D22)}, + MRNUMBER = {1937199}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, +} + +@article{GKK08, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Journal = {Compositio~Math.}, + Month = {January}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X09004321}{DOI:10.1112/S0010437X09004321}. A slightly extended version is available as \href{http://arxiv.org/abs/0808.3647}{arXiv:0808.3647}}, + Pages = {193--219}, + Title = {Extension theorems for differential forms, and {B}ogomolov-{S}ommese vanishing on log canonical varieties}, + Volume = 146, + Year = 2010 +} + +@article{GKKP11, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J. and Peternell, Thomas}, + Journal = {Inst. {H}autes {É}tudes Sci.~{P}ubl.~{M}ath.}, + Month = {November}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-011-0036-0}{DOI:10.1007/s10240-011-0036-0}. An extended version with additional graphics is available as \href{http://arxiv.org/abs/1003.2913}{arXiv:1003.2913}}, + Number = 1, + Pages = {87--169}, + Title = {Differential forms on log canonical spaces}, + Volume = 114, + Year = 2011 +} + +@article {GKP13, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Étale fundamental groups of {K}awamata log terminal spaces, flat sheaves, and quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 165, + YEAR = 2016, + NUMBER = 10, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}{DOI:10.1215/00127094-3450859}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {1965--2004}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + MRNUMBER = 3522654, + DOI = {10.1215/00127094-3450859}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}, +} + +@Article{GKP15, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Movable curves and semistable sheaves}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2016, + VOLUME = 2016, + NUMBER = 2, + PAGES = {536--570}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}{DOI:10.1093/imrn/rnv126}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1408.4308}{arXiv:1408.4308}}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv126}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}, +} + +@incollection{GKP16, + Address = {Tokyo}, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Booktitle = {Minimal Models and Extremal Rays, Kyoto, 2011}, + Pages = {67--113}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Singular spaces with trivial canonical class}, + Volume = 70, + Year = 2016, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1110.5250}{arXiv:1110.5250}} +} + +@article{GKP22, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/785}{DOI:10.1090/jag/785}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2006.08769}{arXiv:2006.08769}}, + Title = {Projective flatness over klt spaces and uniformisation of varieties with nef anti-canonical divisor}, + month = {March}, + Year = 2022, + Volume = 31, + Pages = {467--496} +} + +@Article{GKPT17, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + title = {Nonabelian {H}odge theory for klt spaces and descent theorems for vector bundles}, + journal = {Compos. Math.}, + year = {2019}, + volume = {155}, + number = {2}, + pages = {289--323}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007923}{DOI:10.1112/S0010437X18007923}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1711.08159}{arXiv:1711.08159}}, +} + +@article {GKPT19, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {Harmonic metrics on {H}iggs sheaves and uniformization of varieties of general type}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {378}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}{DOI:10.1007/s00208-019-01906-4}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.01266}{arXiv:1804.01266}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {1061--1094}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14E20 (14E30 32Q30 53C07)}, + MRNUMBER = {4163522}, + DOI = {10.1007/s00208-019-01906-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}, +} + +@article {GKPT19b, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {The {M}iyaoka-{Y}au inequality and uniformisation of canonical models}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2414}{DOI:10.24033/asens.2414}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.08822}{arXiv:1511.08822}}, + VOLUME = {52}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1487--1535}, + ISSN = {0012-9593}, + DOI = {10.24033/asens.2414}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2414}, +} + +@InProceedings{GKT16, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Uniformisation of higher-dimensional varieties}, + booktitle = {Algebraic Geometry: Salt Lake City 2015}, + year = 2018, + editor = {de Fernex, Tommaso and Hassett, Brendan and Mustaţă, Mircea + and Olsson, Martin and Popa, Mihnea and Thomas, Richard}, + volume = 1, + number = 97, + series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + pages = {277--308}, + organization = {American Mathematical Society}, + publisher = {American Mathematical Society}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1608.06644}{arXiv:1608.06644}} +} + +@book{GNPP88, + Address = {Berlin}, + Author = {Guillén, F. and Navarro{\ }Aznar, V. and Pascual{\ }Gainza, + P. and Puerta, F.}, + Isbn = {3-540-50023-5}, + Mrclass = {14F20 (14F40 32G20 32L20)}, + Mrnumber = {MR972983 (90a:14024)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pf{i}ster}, + Note = {Papers from the Seminar on Hodge-Deligne Theory held in Barcelona, 1982}, + Pages = {xii+192}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {Hyperrésolutions cubiques et descente cohomologique}, + Volume = 1335, + Year = 1988 +} + +@article {GR70, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Riemenschneider, Oswald}, + TITLE = {Verschwindungssätze für analytische {K}ohomologiegruppen auf komplexen {R}äumen}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 11, + YEAR = 1970, + PAGES = {263--292}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01403182}{DOI:10.1007/BF01403182}.}, + MRCLASS = {32C35 (32L10)}, + MRNUMBER = 0302938, + MRREVIEWER = {H. B. Laufer}, + DOI = {10.1007/BF01403182}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01403182}, +} + +@book{GR71, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Mrclass = {32B05 (13H05 13H10 13J05 13J15 32-02 32A05)}, + Mrnumber = {MR0316742 (47 \#5290)}, + Mrreviewer = {K. Wolffhardt}, + Note = {Unter Mitarbeit von O.~Riemenschneider, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 176}, + Pages = {ix+240}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Analytische {S}tellenalgebren}, + Year = 1971 +} + +@unpublished{GRT, + Author = {Daniel Greb and Julius Ross and Matei Toma}, + Month = {September}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1409.7564}{arXiv:1409.7564}}, + Title = {Variation of {G}ieseker {M}oduli {S}paces via {Q}uiver {GIT}, + {I}}, + Year = 2014 +} + +@Article{GT13, + author = {Greb, Daniel and Toma, Matei}, + title = {Compact moduli spaces for slope-semistable sheaves}, + journal = {Algebr. Geom.}, + year = 2017, + volume = 4, + number = 1, + pages = {40--78}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2017-003}{DOI:10.14231/AG-2017-003}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.2480}{arXiv:1303.2480}}, + doi = {10.14231/AG-2017-003}, +} + +@Unpublished{GT16, + author = {Guenancia, Henri and Taji, Behrouz}, + title = {Orbifold stability and {M}iyaoka-{Y}au inequality for minimal pairs}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1611.05981}{arXiv:1611.05981}}, + month = {November}, + year = 2016 +} + +@article {GZ07, + AUTHOR = {Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {The weighted {M}onge-{A}mpère energy of quasiplurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {J. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Journal of Functional Analysis}, + VOLUME = 250, + YEAR = 2007, + NUMBER = 2, + PAGES = {442--482}, + ISSN = {0022-1236}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 32U05)}, + MRNUMBER = 2352488, + MRREVIEWER = {Norman Levenberg}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}{DOI:10.1016/j.jfa.2007.04.018}.}, + DOI = {10.1016/j.jfa.2007.04.018}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}, +} + +@article{GZ94, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {MR1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi\sb 1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Gabber93, + AUTHOR = {Gabber, Ofer}, + TITLE = {An injectivity property for étale cohomology}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1993__86_1_1_0}{numdam.CM-1993-86-1-1-0}}, + VOLUME = {86}, + YEAR = {1993}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {1--14}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14F20}, + MRNUMBER = {1214652}, +MRREVIEWER = {R. T. Hoobler}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__86_1_1_0}, +} + +@article{Geiges03, + Author = {Geiges, Hansjörg}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {57R17 (53C99 53D99 57R42)}, + Mrnumber = {MR1982875 (2004e:57031)}, + Mrreviewer = {John B. Etnyre}, + Number = 779, + Pages = {viii+58}, + Title = {{$h$}-principles and flexibility in geometry}, + Volume = 164, + Year = 2003 +} + +@article {Ghys00, + AUTHOR = {Ghys, Étienne}, + TITLE = {À propos d'un théorème de {J}.-{P}. {J}ouanolou concernant les + feuilles fermées des feuilletages holomorphes}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2)}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02904228}{DOI:10.1007/BF02904228}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {175--180}, + ISSN = {0009-725X}, + MRCLASS = {32S65 (37F75)}, + MRNUMBER = 1753461, + MRREVIEWER = {M. G. Soares}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02904228}, +} + +@article{GiesekerVectorBundlesModuli, + Author = {Gieseker, D.}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971157}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20)}, + Mrnumber = {MR466475 (81h:14014)}, + Number = 1, + Pages = {45--60}, + Title = {On the moduli of vector bundles on an algebraic surface}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971157}, + Volume = 106, + Year = 1977, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971157} +} + +@book{Godement73, + Address = {Paris}, + Author = {Godement, Roger}, + Mrclass = {55BXX (18GXX)}, + Mrnumber = {MR0345092 (49 \#9831)}, + Note = {Troisième édition revue et corrigée, Publications de + l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg, + XIII, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252}, + Pages = {viii+283}, + Publisher = {Hermann}, + Title = {Topologie algébrique et théorie des faisceaux}, + Year = 1973 +} + +@book{GoreskyMacPherson, + Address = {Berlin}, + Author = {Goresky, Mark and MacPherson, Robert D.}, + Isbn = {3-540-17300-5}, + Mrclass = {57R70 (14F45 32C10 32C42 57N80 58A35 58C27)}, + Mrnumber = {932724 (90d:57039)}, + Mrreviewer = {K. Lamotke}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7}{DOI:10.1007/978-3-642-71714-7}}, + Pages = {xiv+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Stratified {M}orse theory}, + Volume = 14, + Year = 1988 +} + +@InCollection{GrCa60, + author = {Grothendieck, Alexandre}, + title = {Techniques de construction en géométrie analytique. {V}. {F}ibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux}, + booktitle = {Séminaire Henri Cartan}, + publisher = {Secrétariat mathématique}, + year = {1960--1961}, + volume = 13, + number = 1, + chapter = {Exp.\ n° 12}, + pages = {1--15}, + address = {Paris}, + Note = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/SHC_1960-1961__13_1_A8_0}{numdam.SHC-1960-1961-13-1-A8-0}}, +} + +@article{Gra13, + Author = {Graf, Patrick}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {1435-5345}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + volume = 702, + year = 2015, + pages = {109--142}, + Title = {{B}ogomolov--{S}ommese vanishing on log canonical pairs}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + note = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}{DOI:10.1515/crelle-2013-0031}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1210.0421}{arXiv:1210.0421}}, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Grauert62, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.60 (32.22)}, + Mrnumber = {MR0137127 (25 \#583)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {331--368}, + Title = {{Ü}ber {M}odifikationen und exzeptionelle analytische {M}engen}, + Volume = 146, + Year = 1962 +} + +@article{Grauert72, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {MR0293127 (45 \#2206)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {171--198}, + Title = {{Ü}ber die {D}eformation isolierter {S}ingularitäten analytischer {M}engen}, + Volume = 15, + Year = 1972 +} + +@article{Gri68, + Author = {Griffiths, Phillip A.}, + Fjournal = {The American Journal of Mathematics}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrnumber = {0233825 (38 #2146)}, + Mrreviewer = {A. H. Wallace}, + Note = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477}{euclid.bams/1183531477}}, + Pages = {805--865}, + Title = {Periods of integrals on algebraic manifolds. {II}. Local study of the period mapping}, + Volume = 90, + Year = 1968 +} + +@proceedings {Gri84, + TITLE = {Topics in transcendental algebraic geometry}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 106, + BOOKTITLE = {Proceedings of a seminar held at the {I}nstitute for {A}dvanced {S}tudy, {P}rinceton, {N}.{J}., during the academic year 1981/1982}, + EDITOR = {Griffiths, Phillip}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1984, + PAGES = {viii+316}, + ISBN = {0-691-08335-5; 0-691-08339-8}, + MRCLASS = {14C30 (14-02 14D05 32J25)}, + MRNUMBER = {756842 (86b:14004)}, + MRREVIEWER = {David Ortland}, +} + +@incollection{Gro5658, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Booktitle = {Classification des groupes de Lie algébriques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1956-1958__1__A5_0}{numdam.SCC_1956-1958__1__A5_0}}, + Number = 1, + Series = {Séminaire Claude Chevalley}, + Title = {Compléments de géométrie algébrique. {E}spaces de + transformations (Exposé No.~5.)}, + Year = {1956--58} +} + +@book{Gromov86, + Address = {Berlin}, + Author = {Gromov, Mikhael}, + Isbn = {3-540-12177-3}, + Mrclass = {58G99 (35A99 35B99 53C42 58-02)}, + Mrnumber = {MR864505 (90a:58201)}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Pages = {x+363}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Partial differential relations}, + Volume = 9, + Year = 1986 +} + +@Article{Guenancia, + author = {Guenancia, Henri}, + title = {Semistability of the tangent sheaf of singular varieties}, + journal = {Algebraic Geometry}, + year = 2016, + volume = 3, + number = 5, + pages = {508--542}, + month = {November}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2016-024}{DOI:10.14231/AG-2016-024}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1502.03711}{arXiv:1502.03711}} +} + +@book{GunningRossi, + Address = {Englewood Cliffs, N.J.}, + Author = {Gunning, Robert C. and Rossi, Hugo}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {MR0180696 (31 \#4927)}, + Mrreviewer = {R. P. Gilbert}, + Pages = {xiv+317}, + Publisher = {Prentice-Hall Inc.}, + Title = {Analytic functions of several complex variables}, + Year = 1965 +} + +@book {HBPV, + AUTHOR = {Barth, Wolf P. and Hulek, Klaus and Peters, Chris A. M. and Van de Ven, Antonius}, + TITLE = {Compact complex surfaces}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = {4}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {3-540-00832-2}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}{DOI:10.1007/978-3-642-57739-0}}, + MRCLASS = {14Jxx (14-02 32-02 32J15 57R57)}, + MRNUMBER = {2030225}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/978-3-642-57739-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}, +} + +@article{HK05, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14Hxx (14J45)}, + Mrnumber = {MR2155089}, + Pages = {173--194}, + Title = {Geometry of chains of minimal rational curves}, + Volume = 584, + Year = 2005 +} + +@book{HK10, + Annote = {ISBN 978-3-0346-0289-1}, + Author = {Hacon, Christopher D. and Kovács, Sándor J.}, + Month = {May}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Oberwolfach Seminars}, + Title = {Classification of Higher Dimensional Algebraic Varieties}, + Volume = 41, + Year = 2010 +} + +@article{HKP00, + Author = {A.T.~Huckleberry and S.~Kebekus and T.~Peternell}, + Journal = {Duke Mathematical Journal}, + Number = 1, + Pages = {101-124}, + Title = {Group Actions on $S^6$ and complex structures on $P_3(C)$}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{HKP06, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E05 (14J50 32H02)}, + Mrnumber = {2219848 (2007c:14008)}, + Mrreviewer = {Gianluca Occhetta}, + Number = 3, + Pages = {551--561}, + Title = {Holomorphic maps onto varieties of non-negative {K}odaira + dimension}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Volume = 15, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X} +} + +@article{HM01, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {JMPAAM}, + Fjournal = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série}, + Issn = {0021-7824}, + Journal = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + Mrclass = {32Q15 (14J45 32J27)}, + Mrnumber = {MR1842290 (2002j:32023)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 6, + Pages = {563--575}, + Title = {Cartan-{F}ubini type extension of holomorphic maps for {F}ano + manifolds of {P}icard number 1}, + Volume = 80, + Year = 2001 +} + +@article{HM03, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1993759 (2005f:14086)}, + Number = 4, + Pages = {627--651}, + Title = {Finite morphisms onto {F}ano manifolds of {P}icard number 1 + which have rational curves with trivial normal bundles}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{HM04, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14J99 (14E05 14J45 14M17)}, + Mrnumber = 2128297, + Number = 1, + Pages = {51--63}, + Title = {Birationality of the tangent map for minimal rational curves}, + Volume = 8, + Year = 2004 +} + +@article{HM98, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32J27 32M15)}, + Mrnumber = {1608587 (99b:32027)}, + Mrreviewer = {Kimio Miyajima}, + Number = 2, + Pages = {393--418}, + Title = {Rigidity of irreducible {H}ermitian symmetric spaces of the + compact type under {K}ähler deformation}, + Volume = 131, + Year = 1998 +} + +@article{HM99, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E99 (14D15 14J45 14M17)}, + Mrnumber = {1681093 (2000j:14026)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 1, + Pages = {209--231}, + Title = {Holomorphic maps from rational homogeneous spaces of {P}icard + number {$1$} onto projective manifolds}, + Volume = 136, + Year = 1999 +} + +@article{HMcK06, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E05 (14J40)}, + Mrnumber = {2242631 (2007e:14022)}, + Mrreviewer = {Meng Chen}, + Number = 1, + Pages = {1--25}, + Title = {Boundedness of pluricanonical maps of varieties of general type}, + Volume = 166, + Year = 2006 +} + +@article{HMcK07, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J45)}, + Mrnumber = {2309156 (2008f:14030)}, + Mrreviewer = {Mihnea Popa}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-07-13813-4}{DOI:10.1215/S0012-7094-07-13813-4}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/math/0504330}{arXiv:math/0504330}}, + Number = 1, + Pages = {119--136}, + Title = {On {S}hokurov's rational connectedness conjecture}, + Volume = 138, + Year = 2007 +} + +@incollection{HMcK07b, + Address = {Oxford}, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Booktitle = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Doi = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 2359343, + Pages = {76--110}, + Publisher = {Oxford Univ. Press}, + Series = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + Title = {Extension theorems and the existence of flips}, + Url = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Volume = 35, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005} +} + +@incollection{HO81, + Author = {A. Huckleberry and E. Oeljeklaus}, + Booktitle = {Manifolds and Liegroups}, + Editor = {J. Hano et al.}, + Pages = {159--181}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Title = {Homogeneous Spaces from a Complex Analytic Viewpoint}, + Volume = 14, + Year = 1981 +} + +@article {HS, + AUTHOR = {Harpaz, Yonatan and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Singular curves and the étale {B}rauer-{M}anin obstruction for surfaces}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2226}{DOI:10.24033/asens.2226}}, + VOLUME = {47}, + YEAR = {2014}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {765--778}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G25 (11G35 14F22)}, + MRNUMBER = {3250063}, +MRREVIEWER = {Yongqi Liang}, + DOI = {10.24033/asens.2226}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2226}, +} + +@book{HTT, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Hotta, Ryoshi and Takeuchi, Kiyoshi and Tanisaki, Toshiyuki}, + Doi = {10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Isbn = {978-0-8176-4363-8}, + Mrclass = {32C38 (14F05 14F10 17B10)}, + Mrnumber = {2357361 (2008k:32022)}, + Mrreviewer = {Corrado Marastoni}, + Note = {Translated from the 1995 Japanese edition by Takeuchi. \href{https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}{DOI:10.1007/978-0-8176-4523-6}}, + Pages = {xii+407}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {{$D$}-modules, perverse sheaves, and representation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Volume = 236, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6} +} + +@article{HW00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {1733732 (2000j:14051)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@incollection{HW01, + Address = {River Edge, NJ}, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {Algebraic geometry in East Asia (Kyoto, 2001)}, + Mrclass = {14H60 (14D20)}, + Mrnumber = {2030452 (2005a:14042)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Pages = {155--164}, + Publisher = {World Sci. Publishing}, + Title = {Hecke curves on the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Year = 2002 +} + +@article{Ha66, + Author = {R. Hartshorne}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Pages = {63--94}, + Title = {Ample Vector Bundles}, + Volume = 29, + Year = 1966 +} + +@article{Ha68, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0232780 (38 \#1103)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {403--450}, + Title = {Cohomological dimension of algebraic varieties}, + Volume = 88, + Year = 1968 +} + +@book{Ha77, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Isbn = {0-387-90244-9}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {0463157 (57 \#3116)}, + Mrreviewer = {Robert Speiser}, + Note = {Graduate Texts in Mathematics, No. 52. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{DOI:10.1007/978-1-4757-3849-0}}, + Pages = {xvi+496}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Algebraic geometry}, + Year = 1977 +} + +@incollection{Hamm85, + Address = {Warsaw}, + Author = {Hamm, Helmut A.}, + Booktitle = {Singularities ({W}arsaw, 1985)}, + Mrclass = {32S60 (14F32 14F35 32C15 57R70)}, + Mrnumber = {1101841 (92b:32044)}, + Mrreviewer = {Yih-Nan David Gau}, + Pages = {223--237}, + Publisher = {PWN}, + Series = {Banach Center Publ.}, + Title = {Morse theory on singular spaces and {L}efschetz theorems}, + Volume = 20, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura87, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14E05 (14E30)}, + Mrnumber = {88h:14018}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 1, + Pages = {123--142}, + Title = {On the birational automorphism groups of algebraic varieties}, + Volume = 63, + Year = 1987 +} + +@article{Hanamura88, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14L15 (14E05 14L30)}, + Mrnumber = {89f:14051}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {383--403}, + Title = {Structure of birational automorphism + groups. {I}. {N}onuniruled varieties}, + Volume = 93, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura90, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E07 (14J10 14J40 14L15)}, + Mrnumber = {92i:14011}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {124--136}, + Title = {The birational automorphism groups and the {A}lbanese maps of + varieties with {K}odaira dimension zero}, + Volume = 411, + Year = 1990 +} + +@article{Hanamura91, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E07 (14D20 14L27)}, + Mrnumber = {92h:14010}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {551--573}, + Title = {Relative birational automorphisms of algebraic fiber spaces}, + Volume = 62, + Year = 1991 +} + +@book{Harris95, + Address = {New York}, + Author = {Harris, Joe}, + Isbn = {0-387-97716-3}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {97e:14001}, + Note = {A first course, Corrected reprint of the 1992 original. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-2189-8}}, + Pages = {xx+328}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 133, + Year = 1995 +} + +@book{Hartshorne1967, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.55 (18.00)}, + Mrnumber = {0224620 (37 \#219)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Pages = {vi+106}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall}, + Title = {Local cohomology}, + Volume = 1961, + Year = 1967 +} + +@book{Hartshorne1970, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0282977 (44 \#211)}, + Mrreviewer = {M. Miyanishi}, + Pages = {xiv+256}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Notes written in collaboration with C. Musili. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 156}, + Title = {Ample subvarieties of algebraic varieties}, + Year = 1970 +} + +@article{Hartshorne71, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Nagoya Mathematical Journal}, + Issn = {0027-7630}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0292847 (45 \#1929)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {73--89}, + Title = {Ample vector bundles on curves}, + Volume = 43, + Year = 1971 +} + +@misc{Has99, + Author = {B. Hassett}, + Note = {Preprint}, + Title = {Stable limits of log surfaces and Cohen-Macaulay singularities}, + Year = 1999 +} + +@article{Hassett-Kovacs04, + Author = {Hassett, Brendan and Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22}, + Mrnumber = {2047697 (2005b:14028)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Number = 2, + Pages = {233--247}, + Title = {Reflexive pull-backs and base extension}, + Volume = 13, + Year = 2004 +} + +@book{Hatcher, + Address = {Cambridge}, + Author = {Hatcher, Allen}, + Isbn = {0-521-79160-X; 0-521-79540-0}, + Mrclass = {55-01 (55-00)}, + Mrnumber = {1867354 (2002k:55001)}, + Mrreviewer = {Donald W. Kahn}, + Note = {{A}vailable from the author's home page at \url{http://www.math.cornell.edu/~hatcher}.}, + Pages = {xii+544}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 2002 +} + +@article{HauserMueller, + Author = {Hauser, H. and Müller, G.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32S30 (32S05)}, + Mrnumber = {1036334 (91m:32035)}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/AIF_1989__39_4_831_0}{numdam.AIF_1989__39_4_831_0}}, + Number = 4, + Pages = {831--844}, + Title = {The trivial locus of an analytic map germ}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0}, + Volume = 39, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0} +} + +@article{Hei91, + Author = {P. Heinzner}, + Journal = {Math. Ann.}, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on Stein spaces}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{HeinznerGIT, + Author = {Heinzner, Peter}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446594}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32M05 (32E10 32M10)}, + Mrnumber = {1103041 (92j:32116)}, + Mrreviewer = {B. Gilligan}, + Number = 4, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on {S}tein spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446594}, + Volume = 289, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446594} +} + +@article{Helmke97, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C20}, + Mrnumber = {1455517 (99e:14003)}, + Number = 2, + Pages = {201--216}, + Title = {On {F}ujita's conjecture}, + Volume = 88, + Year = 1997 +} + +@article{Helmke99, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {1686947 (2000f:14008)}, + Mrreviewer = {Sandra Di Rocco}, + Number = 4, + Pages = {635--652}, + Title = {On global generation of adjoint linear systems}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@inproceedings{Hir62, + Author = {H. Hironaka}, + Booktitle = {Proc. Int. Cong. Math.}, + Pages = {507--521}, + Title = {On resolution of singularities (characteristic zero)}, + Year = 1962 +} + +@article{Hit87, + Author = {Hitchin, Nigel. J}, + Fjournal = {Proc. London Math. Soc}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Proc. LMS.}, + Mrnumber = {0887284 (89a:32021)}, + Mrreviewer = {Mitsuhiro Itoh}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-55.1.59}{DOI:10.1112/plms/s3-55.1.59}}, + Number = 1, + Pages = {59--126}, + Title = {The self-duality equations on a {R}iemann surface}, + Volume = 55, + Year = 1987 +} + +@article{Hoe07, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-006-0072-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32J27 (32Q30)}, + Mrnumber = {2299565 (2008f:32024)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}{DOI:10.1007/s00209-006-0072-5}}, + Number = 3, + Pages = {465--479}, + Title = {Uniruled varieties with split tangent bundle}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}, + Volume = 256, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5} +} + +@article{Hofer98, + Author = {H.~Hofer}, + Journal = {Doc.~Math., J.~DMV}, + Pages = {255-280}, + Title = {Dynamics, topology and holomorphic curves}, + Volume = {Extra Vol.~ICM Berlin 1998, vol.~1}, + Year = 1998 +} + +@article{Holmann, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {57.00}, + Mrnumber = {0120665 (22 \#11414)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {407--440}, + Title = {Quotienten komplexer {R}äume}, + Volume = 142, + Year = {1960/1961} +} + +@article{Hon00, + Author = {J.~Hong}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Month = {December}, + Number = 9, + Pages = {1203--1230}, + Title = {Fano Manifolds with geometric structures modelled after + homogeneous contact Manifolds}, + Volume = 11, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{Hu18, + author = {Hu, Fei}, + title = {Jordan property for algebraic groups and automorphism groups of projective varieties in arbitrary characteristic}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.10946}{arXiv:1804.10946}. To appear in Indiana Univ. Math. J.}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article{Hu86, + Author = {A. Huckleberry}, + Journal = {Expo. Math.}, + Title = {The classification of homogeneous surfaces}, + Volume = 4, + Year = 1986 +} + +@article{HuKeel, + Author = {Hu, Yi and Keel, Sean}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {14L24 (14E30)}, + Mrnumber = {1786494 (2001i:14059)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Dedicated to William Fulton on the occasion of his 60th + birthday}, + Pages = {331--348}, + Title = {Mori dream spaces and {GIT}}, + Volume = 48, + Year = 2000 +} + + +@incollection{Huc90, + Author = {A. Huckleberry}, + Booktitle = {Several complex variables VI. Complex manifolds}, + Editor = {Barth and Narasimhan and Gamkrelidze}, + Number = 69, + Pages = {143--196}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encycl. Math. Sci.}, + Title = {Actions of groups of holomorphic transformations}, + Year = 1990 +} + +@article{Hurwitz93, + Author = {Hurwitz, Adolf}, + Doi = {10.1007/BF01443420}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Journal = {Math. Ann.}, + Month = {403-442}, + Number = 3, + Title = {{U}eber algebraische {G}ebilde mit eindeutigen {T}ransformationen in sich}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01443420}, + Volume = 41, + Year = 1893, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01443420} +} + +@book{Huy05, + Address = {Berlin}, + Author = {Huybrechts, Daniel}, + Isbn = {3-540-21290-6}, + Mrclass = {32Qxx (14-01 32-01 32G05 32J25 53C55 53C56)}, + Mrnumber = {2093043 (2005h:32052)}, + Mrreviewer = {Richard P. Thomas}, + Pages = {xii+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Complex geometry}, + Year = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/b137952}{DOI:10.1007/b137952}.}, +} + +@article{HuybrechtsNieper2011, + Author = {Huybrechts, Daniel and Nieper-Wisskirchen, Marc}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-009-0655-z}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32Qxx (53Cxx)}, + Mrnumber = 2776067, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}{DOI:10.1007/s00209-009-0655-z}}, + Number = {3-4}, + Pages = {939--963}, + Title = {Remarks on derived equivalences of {R}icci-flat manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}, + Volume = 267, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z} +} + + +@incollection{Hwa00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1 919 462}, + Note = {Available on the ICTP web site at {\tt + http://www.ictp.trieste.it/$\sim$pub\_off/services}}, + Pages = {335--393}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Geometry of minimal rational curves on {F}ano manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + +@article{Hwa00b, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {2000j:14051}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@misc{Hwa03, + Author = {Jun-Muk Hwang}, + Note = {Misc preprint}, + Title = {Rigidity of surjective holomorphic maps to {C}alabi-{Y}au + manifolds}, + Year = 2003 +} + +@article{Hwa95, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 120, + Pages = {317--338}, + Title = {Nondeformability of the complex hyperquadric}, + Volume = 2, + Year = 95 +} + +@article{Hwa96, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Math. Z.}, + Number = 221, + Title = {Characterization of the complex projective space by + holomorphic vector fields}, + Volume = 3, + Year = 1996 +} + +@article{Hwa97, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G07 (32G05)}, + Mrnumber = {1450754 (98h:32031)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Pages = {153--163}, + Title = {Rigidity of homogeneous contact manifolds under {F}ano + deformation}, + Volume = 486, + Year = 1997 +} + +@article{Hwa98, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L30)}, + Mrnumber = {99i:14045}, + Mrreviewer = {Bernd Kreussler}, + Number = 4, + Pages = {599--606}, + Title = {Stability of tangent bundles of low-dimensional {F}ano manifolds with {P}icard number {$1$}}, + Volume = 312, + Year = 1998 +} + +@inproceedings{Hwang-Mok00, + Author = {J.-M.~Hwang and N.~Mok}, + Booktitle = {Several complex variables}, + Editor = {M.~Schneider and Y.-T.~Siu}, + Number = 37, + Pages = {351--389}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {MSRI Publications}, + Title = {Varieties of minimal rational tangents on uniruled manifolds}, + Year = 2000 +} + +@book{Iitaka82, + Address = {New York}, + Author = {Iitaka, Shigeru}, + Isbn = {0-387-90546-4}, + Mrclass = {14-01 (14-02 14E05)}, + Mrnumber = {637060 (84j:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {An introduction to birational geometry of algebraic varieties, + North-Holland Mathematical Library, 24}, + Pages = {x+357}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 76, + Year = 1982 +} + +@incollection{IshiiIsolatedGorensteinSingularities, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Ishii, Shihoko}, + Booktitle = {Complex analytic singularities}, + Mrclass = {32B30 (14E15 32C45)}, + Mrnumber = {894292 (89d:32016)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Pages = {165--198}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Isolated {$Q$}-{G}orenstein singularities of dimension three}, + Volume = 8, + Year = 1987 +} + +@article {JR07, + AUTHOR = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + TITLE = {Fano threefolds with sections in {$\Omega^1_V(1)$}}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = {280}, + YEAR = {2007}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {127--139}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14J45 (14J30)}, + MRNUMBER = {2290387}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/mana.200410469}{DOI:10.1002/mana.200410469}}, + DOI = {10.1002/mana.200410469}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.200410469}, +} + +@article{JZ97, + Author = {Jost, Jürgen and Zuo, Kang}, + Journal = {Journal of Differential Geometry}, + Pages = {469--503}, + Title = {Harmonic maps of infinite energy and rigidity results for representations of fundamental groups of quasiprojective varieties}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214460547}{euclid.jdg/1214460547}}, + Volume = 47, + Year = 1997 +} + +@book{Jac62, + Author = {N. Jacobson}, + Publisher = {Interscience Publishers}, + Title = {Lie Algebras}, + Year = 1962 +} + +@misc{JamesPrivateCommunication, + Author = {James McKernan}, + Month = {May}, + Title = {Private communication}, + Year = 2013 +} + +@Unpublished{Jiang17, + author = {Jiang, Chen}, + title = {Boundedness of $\mathbb Q$-Fano varieties with degrees and alpha-invariants bounded from below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.02740}{arXiv:1705.02740}}, + OPTkey = {}, + month = {May}, + year = {2017}, + OPTannote = {} +} + +@mastersthesis{Joerder10, + Author = {Jörder, Clemens}, + Note = {URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-78978. Available on the internet + at + \href{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}}, + School = {University of Freiburg}, + Title = {Deformation of morphisms}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2010 +} + +@article{Jordan1877, + Author = {Jordan, Camille}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Note = {Available at + \url{http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0084}.}, + Pages = {89--216}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles linéaires à + intégrale algèbriques}, + Volume = 84, + Year = 1877 +} + +@article {Jouanolou, + AUTHOR = {Jouanolou, Jean-Pierre}, + TITLE = {Hypersurfaces solutions d'une équation de {P}faff analytique}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 232, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351428}{DOI:10.1007/BF01351428}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {239--245}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 0481129, + MRREVIEWER = {H. Cartan}, + DOI = {10.1007/BF01351428}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351428}, +} + +@article{K66, + Author = {Kleiman, Steven L.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55 (14.10)}, + Mrnumber = {0206009 (34 \#5834)}, + Mrreviewer = {J. W. Gray}, + Pages = {293--344}, + Title = {Toward a numerical theory of ampleness}, + Volume = 84, + Year = 1966 +} + +@book{K85, + Author = {H. Kraft}, + Edition = {2., durchges. Aufl.}, + Publisher = {Vieweg}, + Series = {Aspekte der Mathematik}, + Title = {Geometrische Methoden in der Invariantentheorie}, + Volume = {D1}, + Year = 1985 +} + +@book {K96, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Rational curves on algebraic varieties}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 32, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1996, + PAGES = {viii+320}, + ISBN = {3-540-60168-6}, + MRCLASS = {14-02 (14C05 14E05 14F17 14J45)}, + MRNUMBER = 1440180, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}{DOI:10.1007/978-3-662-03276-3}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-03276-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}, +} + +@article{K98a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Doc. Math. J. DMV}, + Note = {Available on the internet at {\tt + http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta}}, + Pages = {15--26}, + Title = {Simple Models of Quasihomogeneous Projective 3-folds}, + Volume = 3, + Year = 1998 +} + +@article{KK04, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14H10 (14H45 14J45)}, + Mrnumber = {2069121 (2005d:14039)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 1, + Pages = {53--79}, + Title = {Are rational curves determined by tangent vectors?}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article{KK08, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = 2393082, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0128-8}{DOI:10.1007/s00222-008-0128-8}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 3, + Pages = {657--682}, + Title = {Families of canonically polarized varieties over surfaces}, + Volume = 172, + Year = 2008 +} + +@article{KK08b, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {ADMTA4}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E30)}, + Mrnumber = {2414316 (2009d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.01.005}{DOI:10.1016/j.aim.2008.01.005}}, + Number = 3, + Pages = {649--652}, + Title = {Families of varieties of general type over compact bases}, + Volume = 218, + Year = 2008 +} + +@article{KK10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2010-049}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D22)}, + Mrnumber = {2730371 (2011i:14060)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}{DOI:10.1215/00127094-2010-049}, + Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {The structure of surfaces and threefolds mapping to the moduli + stack of canonically polarized varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}, + Volume = 155, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049} +} + +@article{KKL10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kousidis, Stavor and Lohmann, Daniel}, + Journal = {L'Enseignement Mathématique (2)}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0905.2749}{arXiv:0905.2749}}, + Number = {3--4}, + Pages = {287--313}, + Title = {Deformations along subsheaves}, + Volume = 56, + Year = 2010 +} + +@book {KM98, + AUTHOR = {Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + TITLE = {Birational geometry of algebraic varieties}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 134, + NOTE = {With the collaboration of C.\ H.\ Clemens and A.\ Corti, + Translated from the 1998 Japanese + original. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}{DOI:10.1017/CBO9780511662560}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 1998, + PAGES = {viii+254}, + ISBN = {0-521-63277-3}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1658959 (2000b:14018)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662560}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}, +} + +@incollection{KMM87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kawamata, Yujiro and Matsuda, Katsumi and Matsuki, Kenji}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J40)}, + Mrnumber = {946243 (89e:14015)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Note = {\href{https://doi.org/doi:10.2969/aspm/01010283}{DOI:doi:10.2969/aspm/01010283}}, + Pages = {283--360}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Introduction to the minimal model problem}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{KMM92, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1189503 (94g:14021)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}{euclid.jdg/1214453188}.}, + Pages = {765--779}, + Title = {Rational connectedness and boundedness of {F}ano manifolds}, + Volume = 36, + Year = 1992, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}, +} + +@article{KMM92b, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1158625 (93i:14014)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + Pages = {429--448}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@article{KMcK, + Author = {{\hbox{K}}eel, Seán and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J26 (14B10 14E20 14E30)}, + Mrnumber = {99m:14068}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 669, + Pages = {viii+153}, + Title = {Rational curves on quasi-projective surfaces}, + Volume = 140, + Year = 1999 +} + +@article {KO73, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Ochiai, Takushiro}, + TITLE = {Characterizations of complex projective spaces and hyperquadrics}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {31--47}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {32C10}, + MRNUMBER = {316745}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}{DOI:10.1215/kjm/1250523432}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523432}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}, +} + +@article{KP08, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14D15 (14M22)}, + Mrnumber = {2453561 (2010c:14006)}, + Mrreviewer = {Miguel González}, + Number = 3, + Pages = {365--389}, + Title = {A refinement of {S}tein factorization and deformations of + surjective morphisms}, + Volume = 12, + Year = 2008 +} + +@Unpublished{KP14, + author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + title = {Aspects of the geometry of varieties with canonical singularities. }, + note = {To appear in: Simons Symposia: Foliation Theory in Algebraic Geometry, Editors: Paolo Cascini, James McKernan and Jorge Vitório Pereira. Springer, New York, 2016. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0}. Available from \url{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/publications/14-simons.pdf}.}, + year = 2014 +} + +@article {KPS22, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan and Pereira, Jorge V. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Failure of the {B}rauer--{M}anin principle for a simply connected fourfold over a global function field, via orbifold {M}ordell}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 171, + YEAR = 2022, + NUMBER = 17, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}{DOI:10.1215/00127094-2022-0045}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {3515--3591}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + DOI = {10.1215/00127094-2022-0045}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}, +} + +@article{KPSW00, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J. and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J40 (14E30 14J45 32J18 32Q57)}, + Mrnumber = {2002a:14047}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {1--15}, + Title = {Projective contact manifolds}, + Volume = 142, + Year = 2000 +} + +@incollection{KS06, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan and {Solá Conde}, Luis}, + Booktitle = {Global aspects of complex geometry}, + Mrclass = {14Jxx (14Hxx)}, + Mrnumber = 2264116, + Pages = {359--416}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Existence of rational curves on algebraic varieties, minimal + rational tangents, and applications}, + Year = 2006 +} + +@Article{KS18, + author = {Kebekus, Stefan and Schnell, Christian}, + title = {Extending holomorphic forms from the regular locus of a complex space to a resolution of singularities}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + year = {2021}, + OPTkey = {}, + volume = {34}, + number = {2}, + pages = {315-–368}, + month = {April}, + note = {\href{https://doi.org/10.1090/jams/962}{DOI:10.1090/jams/962}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1811.03644}{arXiv:1811.03644}}, + OPTannote = {} +} + +@book{KS72, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Kumpera, Antonio and Spencer, Donald}, + Mrclass = {58H05}, + Mrnumber = {52 \#1805}, + Mrreviewer = {H. Goldschmidt}, + Note = {Annals of Mathematics Studies, No. 73}, + Pages = {xv+293}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lie equations. {V}ol. {I}: {G}eneral theory}, + Year = 1972 +} + +@article{KSS10, + Author = {Kovács, Sándor J. and Schwede, Karl and Smith, Karen E.}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14Exx}, + Mrnumber = 2646306, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}{DOI:10.1016/j.aim.2010.01.020}}, + Number = 4, + Pages = {1618--1640}, + Title = {The canonical sheaf of {D}u {B}ois singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Volume = 224, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020} +} + +@article{KST07, + Author = {Kebekus, Stefan and Luis {Solá Conde} and Matei Toma}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Number = 1, + Pages = {65--81}, + Title = {Rationally connected foliations after {Bogomolov} and {McQuillan}}, + Volume = 16, + Year = 2007 +} + +@article{KSW81, + Author = {Kalka, Morris and Shiffman, Bernard and Wong, Bun}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {32H99 (32F10)}, + Mrnumber = {83j:32029}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 3, + Pages = {289--295}, + Title = {Finiteness and rigidity theorems for holomorphic mappings}, + Volume = 28, + Year = 1981 +} + +@article{KW88, + Author = {E. Kunz and R. Waldi}, + Journal = {Journ. reine und angew. Math.}, + Pages = {106--115}, + Title = {{Der Führer einer Gorensteinvarietät}}, + Volume = 388, + Year = 1988 +} + +@article{Kachi-Sato99, + Author = {Y. Kachi and E. Sato}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Number = 2, + Pages = {350-390}, + Title = {Polarized varieties whose points are joined by rational curves of small degrees}, + Volume = 43, + Year = 1999 +} + +@Article{Kanemitsu20, + author = {Kanemitsu, Akihiro}, + title = {}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + year = {2020}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTpages = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Ahead of print. \href{https://doi.org/10.1515/crelle-2020-0043}{DOI:10.1515/crelle-2020-0043}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.12617}{arXiv:1912.12617}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Karras86, + Author = {Karras, Ulrich}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C37 (32B30 32C36)}, + Mrnumber = {859337 (87k:32017)}, + Mrreviewer = {Alicia Dickenstein}, + Number = 4, + Pages = {673--682}, + Title = {Local cohomology along exceptional sets}, + Volume = 275, + Year = 1986 +} + +@article{Kaup65, + Author = {Kaup, Wilhelm}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.32 (22.40)}, + Mrnumber = {0181761 (31 \#5988)}, + Mrreviewer = {Deane Montgomery}, + Pages = {72--92}, + Title = {Infinitesimale {T}ransformationsgruppen komplexer {R}äume}, + Volume = 160, + Year = 1965 +} + +@book{KaupKaup, + Address = {Berlin}, + Author = {Kaup, Ludger and Kaup, Burchard}, + Isbn = {3-11-004150-2}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {716497 (85k:32001)}, + Mrreviewer = {R. Michael Range}, + Note = {An introduction to the fundamental theory, With the assistance + of Gottfried Barthel, Translated from the German by Michael + Bridgland}, + Pages = {xv+349}, + Publisher = {Walter de Gruyter \& Co.}, + Series = {de Gruyter Studies in Mathematics}, + Title = {Holomorphic functions of several variables}, + Volume = 3, + Year = 1983 +} + +@article{Kaw82, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Math. Annalen}, + Pages = {43--46}, + Title = {{A Generalization of Kodaira-Ramanujam's Vanishing Theorem}}, + Volume = 261, + Year = 1982 +} + +@article{Kaw92, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF02100604}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1161091 (93f:14012)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {229--246}, + Title = {Abundance theorem for minimal threefolds}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02100604}{DOI:10.1007/BF02100604}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02100604}, + Volume = 108, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02100604} +} + +@article {Kawa80, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On {B}loch's conjecture}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {57}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389820}{DOI:10.1007/BF01389820}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {97--100}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32H99}, + MRNUMBER = {564186}, +MRREVIEWER = {Toshiyuki Maebashi}, + DOI = {10.1007/BF01389820}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01389820}, +} + +@article{Kawa88, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Ann.~ of Math. (2)}, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degeneration of surfaces}, + Volume = 127, + Year = 1988 +} + +@article{Kawamata08, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167332}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30 (14E05)}, + Mrnumber = {2426353 (2009d:14011)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}{DOI:10.2977/prims/1210167332}}, + Number = 2, + Pages = {419--423}, + Title = {Flops connect minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332} +} + +@article{Kawamata85, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J10 14J15)}, + Mrnumber = {814013 (87a:14013)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}{DOI:10.1515/crll.1985.363.1}}, + Pages = {1--46}, + Title = {Minimal models and the {K}odaira dimension of algebraic fiber + spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}, + Volume = 363, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Kawamata88, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971417}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E35 14J10 14J30)}, + Mrnumber = {924674 (89d:14023)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of {$3$}-dimensional canonical + singularities and its application to degenerations of + surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971417}, + Volume = 127, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971417} +} + +@article{Kawamata99, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B07 (14F17)}, + Mrnumber = {99g:14003}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 1, + Pages = {85--92}, + Title = {Deformations of canonical singularities}, + Volume = 12, + Year = 1999 +} + +@misc{Keb04, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Note = {Partially based on notes of Ravi Vakil. In preparation.}, + Title = {Jets in Algebraic Geometry}, + Year = 2004 +} + +@incollection{Keb13a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Handbook of Moduli, in honour of David Mumford, Vol. II}, + Editor = {Farkas, Gavril and Morrison, Ian}, + Month = {March}, + Note = {ISBN 9781571462589. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.4239}{arXiv:1107.4239}.}, + Pages = {71--114}, + Publisher = {International Press}, + Series = {Advanced Lectures in Mathematics}, + Title = {Differential forms on singular spaces, the minimal model + program, and hyperbolicity of moduli stacks}, + Volume = 25, + Year = 2013 +} + +@article{Kebekus00a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {149--176}, + Title = {Relatively Minimal Quasihomogeneous Projective 3-Folds}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus00b, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {129--147}, + Title = {On the Classification of 3-dimensional $SL_2(\mathbb + C)$-varieties}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@inproceedings{Kebekus00c, + Address = {Saitama University, Urawa}, + Author = {S.~Kebekus}, + Booktitle = {Proceedings of the Saitama Mini-Conference for Algebraic + Geometry}, + Editor = {F.~Sakai}, + Title = {Bounds for Families of Singular Rational Curves}, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus01, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C15 14E30 14J60 32J18)}, + Mrnumber = {2002h:14069}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Pages = {167--177}, + Title = {Lines on contact manifolds}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@article{Kebekus02a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14H10 14J99)}, + Mrnumber = {2003e:14011}, + Mrreviewer = {Yasuyuki Kachi}, + Number = 2, + Pages = {245--256}, + Title = {Families of singular rational curves}, + Volume = 11, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus02b, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_10}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_10}}, + Mrclass = {14M20 (14J45)}, + Mrnumber = {2003j:14065}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {147--155}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Characterizing the projective space after {C}ho, {M}iyaoka and + {S}hepherd-{B}arron}, + Year = 2002 +} + +@article{Kebekus02c, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {14D06 (14D20)}, + Mrnumber = {1916853 (2003f:14009)}, + Mrreviewer = {Miguel A. Barja}, + Pages = {119--131}, + Title = {Projective bundles of singular plane cubics}, + Volume = 242, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus04, + Author = {Stefan Kebekus}, + Booktitle = {Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen + Seminars 2003/2004}, + Editor = {Y. Tschinkel}, + Pages = {157--166}, + Publisher = {Universitätsverlag der Georg-August-Universität Göttingen}, + Title = {Holomorphe {A}bbildungen auf {M}annigfaltigkeiten mit + nicht-negativer {K}odaira-{D}imension}, + Year = 2004 +} + +@article{Kebekus05, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compos. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C05 53D10)}, + Mrnumber = {2099777 (2005i:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 1, + Pages = {227--252}, + Title = {Lines on complex contact manifolds. {II}}, + Volume = 141, + Year = 2005 +} + +@incollection {Kebekus20, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Boundedness results for singular {F}ano varieties and applications to {C}remona groups (following {B}irkar and {P}rokhorov-{S}hramov)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2018/2019}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {422}, + YEAR = {2020}, + PAGES = {Exp. No. 1157, 253--290 (2020)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/ast.1129}{DOI:10.24033/ast.1129}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.04506}{arXiv:1812.04506}}, +} + +@article{Knighten, + Author = {Knighten, Carol M.}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = {0323788 (48 \#2144)}, + Mrreviewer = {J. J. Etayo}, + Pages = {65--89}, + Title = {Differentials on quotients of algebraic varieties}, + Volume = 177, + Year = 1973 +} + +@incollection{Ko91, + Address = {Bethlehem, PA}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry ({C}ambridge, {MA}, 1990)}, + Mrclass = {14J10 (14E30 14J40)}, + Mrnumber = {1144527 (93b:14059)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Pages = {113--199}, + Publisher = {Lehigh Univ.}, + Title = {Flips, flops, minimal models, etc}, + Year = 1991 +} + +@article{KoMo92, + Author = {J. Kollár and S. Mori}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Title = {Classification of three-dimensional flips}, + Volume = 5, + Year = 1992 +} + +@book{Kob87, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Isbn = {0-691-08467-X}, + Mrclass = {53C55 (32-02 32L05 32L10 32L20)}, + Mrnumber = {909698 (89e:53100)}, + Mrreviewer = {Daniel M. Burns, Jr.}, + Note = {Kanô Memorial Lectures, 5}, + Pages = {xii+305}, + Publisher = {Iwanami Shoten and Princeton University Press}, + Series = {Publications of the Mathematical Society of Japan}, + Title = {Differential geometry of complex vector bundles}, + Volume = 15, + Year = 1987 +} + +@book{KobayashiGrundlehren, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Doi = {10.1007/978-3-662-03582-5}, + Isbn = {3-540-63534-3}, + Mrclass = {32H20 (32H15 32H25 32H30)}, + Mrnumber = {1635983 (99m:32026)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}{DOI:10.1007/978-3-662-03582-5}}, + Pages = {xiv+471}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Hyperbolic {C}omplex {S}paces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}, + Volume = 318, + Year = 1998, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5} +} + +@article{Kod66, + Author = {K. Kodaira}, + Journal = {Amer. Journ. Math.}, + Number = 88, + Pages = {694--699}, + Title = {On the Structure of Compact Analytic Surfaces III}, + Year = 1966 +} + +@book{Kodaira86, + Address = {New York}, + Author = {Kodaira, Kunihiko}, + Isbn = {0-387-96188-7}, + Mrclass = {32G05 (32-02)}, + Mrnumber = {815922 (87d:32040)}, + Mrreviewer = {James A. Carlson}, + Note = {Translated from the Japanese by Kazuo Akao, With an appendix + by Daisuke Fujiwara}, + Pages = {x+465}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Complex manifolds and deformation of complex structures}, + Volume = 283, + Year = 1986 +} + +@unpublished{Kol11, + Author = {Kollár, János}, + Month = {July}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.2864}{arXiv:1107.2864}}, + Title = {New examples of terminal and log canonical singularities}, + Year = 2011 +} + +@unpublished{Kol12, + Author = {Kollár, János}, + Month = {June}, + Title = {Deformations of elliptic {C}alabi--{Y}au manifolds}, + Year = 2012 +} + +@article{Kol86, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971351}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J10 (14F10 14J30 14J40)}, + Mrnumber = {825838 (87c:14038)}, + Mrreviewer = {Takao Fujita}, + Number = 1, + Pages = {11--42}, + Title = {Higher direct images of dualizing sheaves. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971351}, + Volume = 123, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971351} +} + +@article{Kol91, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J30 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1100994 (92f:14034)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 3, + Pages = {339--361}, + Title = {Extremal rays on smooth threefolds}, + Volume = 24, + Year = 1991 +} + +@book{Kollar07, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kollár, János}, + Isbn = {978-0-691-12923-5; 0-691-12923-1}, + Mrclass = {14E15}, + Mrnumber = 2289519, + Pages = {vi+208}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Lectures on resolution of singularities}, + Volume = 166, + Year = 2007 +} + +@incollection{Kollar87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14J10 (14C30 14D20)}, + Mrnumber = {946244 (89i:14029)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {361--398}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Subadditivity of the {K}odaira dimension: f{i}bers of general + type}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{Kollar90, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14H10 14J10)}, + Mrnumber = {1064874 (92e:14008)}, + Mrreviewer = {Autorreferat}, + Number = 1, + Pages = {235--268}, + Title = {Projectivity of complete moduli}, + Volume = 32, + Year = 1990 +} + +@article{Kollar93, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01244307}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E20 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1223229 (94m:14018)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01244307}{DOI:10.1007/BF01244307}}, + Number = 1, + Pages = {177--215}, + Title = {Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01244307}, + Volume = 113, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01244307} +} + +@misc{KollarGroupsActingOnSchemes, + Author = {Kollár, J.}, + Note = {Undated, unfinished manuscript. Available on the author's website at \href{http://www.math.princeton.edu/~kollar/}{www.math.princeton.edu/$\sim$kollar}}, + Title = {Algebraic groups acting on schemes} +} + +@incollection{KollarSingsOfPairs, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}anta {C}ruz 1995}, + Mrclass = {14E30 (14E15 32S40)}, + Mrnumber = {1492525 (99m:14033)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Pages = {221--287}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Singularities of pairs}, + Volume = 62, + Year = 1997 +} + +@misc{Kovacs-Schwede09, + Author = {Sándor J Kovács and Karl Schwede}, + Mrnumber = {\href{http://arxiv.org/abs/0909.0993v1}{arXiv:0909.0993v1}}, + Note = {preprint}, + Title = {Hodge theory meets the minimal model program: a survey of log canonical and {{D}u~{B}ois} singularities}, + Year = 2009 +} + +@article{Kovacs00a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14J10)}, + Mrnumber = {1713524 (2000i:14017)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 1, + Pages = {165--174}, + Title = {Algebraic hyperbolicity of f{i}ne moduli spaces}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14B05 (14E15 14E30)}, + Mrnumber = {1749436 (2002b:14005)}, + Mrreviewer = {Tohsuke Urabe}, + Number = 2, + Pages = {187--191}, + Title = {A characterization of rational singularities}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05)}, + Mrnumber = {1761628 (2001m:14028)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 3, + Pages = {297--304}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois + singularities. {II}. {K}odaira vanishing and small + deformations}, + Volume = 121, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs02, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14J10)}, + Mrnumber = {2003a:14025}, + Mrreviewer = {Scott R. Nollet}, + Number = 3, + Pages = {291--317}, + Title = {Logarithmic vanishing theorems and {A}rakelov-{P}arshin boundedness for singular varieties}, + Volume = 131, + Year = 2002 +} + +@article{Kovacs03a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {PAMYAR}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J10 (14F17)}, + Mrnumber = {1990623 (2004f:14047)}, + Mrreviewer = {Hiroyuki Terakawa}, + Number = 11, + Pages = {3353--3364 (electronic)}, + Title = {Vanishing theorems, boundedness and hyperbolicity over + higher-dimensional bases}, + Volume = 131, + Year = 2003 +} + +@article{Kovacs03b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J10 (14D20)}, + Mrnumber = {2007392 (2004h:14038)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Special issue in honor of Steven L. Kleiman}, + Number = 8, + Pages = {3983--3991}, + Title = {Viehweg's conjecture for families over {$\Bbb P\sp n$}}, + Volume = 31, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs03c, + Address = {Berlin}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, + 2001)}, + Mrclass = {14J10 (14H10)}, + Mrnumber = {2011746 (2004j:14041)}, + Mrreviewer = {Valmecir A. Bayer}, + Pages = {133--167}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Families of varieties of general type: the {S}hafarevich + conjecture and related problems}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs06a, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Proceedings of the AMS Summer Research Institute held at the + University of Washington, Seattle, WA, July 25--August 12, + 2005}, + Mrclass = {14-06}, + Note = {to appear}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Subvarieties of moduli stacks of canonically polarized + varieties}, + Year = 2006 +} + +@article{Kovacs96, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs96e, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Note = {Erratum: {J}.\ {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 6} (1997), no.\ 2, + 391}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs97a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {1454264 (98h:14038)}, + Mrreviewer = {Caryn Werner}, + Pages = {171--177}, + Title = {On the minimal number of singular f{i}bres in a family of + surfaces of general type}, + Volume = 487, + Year = 1997 +} + +@incollection{Kovacs97b, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Birational algebraic geometry (Baltimore, MD, 1996)}, + Mrclass = {14F40 (14D07 14F05)}, + Mrnumber = {1462927 (98f:14014)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {89--100}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Relative de {R}ham complex for non-smooth morphisms}, + Volume = 207, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs97c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14D99)}, + Mrnumber = {1464907 (98h:14039)}, + Mrreviewer = {Yoshiaki Fukuma}, + Number = 2, + Pages = {347--359}, + Title = {Families over a base with a birationally nef tangent bundle}, + Volume = 308, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs99, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Doi = {10.1023/A:1001120909269}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05 14C30)}, + Mrnumber = {1713307 (2001g:14022)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 2, + Pages = {123--133}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois singularities: on the + conjectures of {K}ollár and {S}teenbrink}, + Url = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269}, + Volume = 118, + Year = 1999, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269} +} + +@book{Kr84, + Address = {Braunschweig}, + Author = {Kraft, Hanspeter}, + Isbn = {3-528-08525-8}, + Mrclass = {14D25 (14L30)}, + Mrnumber = {768181 (86j:14006)}, + Mrreviewer = {J. C. Fogarty}, + Pages = {x+308}, + Publisher = {Friedr. Vieweg \& Sohn}, + Series = {Aspects of Mathematics, D1}, + Title = {Geometrische {M}ethoden in der {I}nvariantentheorie}, + Year = 1984 +} + +@article{Kras75, + Author = {V.A. Krasnov}, + Journal = {Math. Notes}, + Note = {translation from Mat. Zametki, 17, 119-122 (1975). [ISSN + 0001-4346]}, + Pages = {69--71}, + Title = {Compact complex manifolds without meromorphic functions}, + Volume = 17, + Year = 1975 +} + +@incollection{L00, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Booktitle = {School on Algebraic Geometry (Trieste, 1999)}, + Mrclass = {14H10 (14C17 14H15 14H81)}, + Mrnumber = {1795865 (2001k:14053)}, + Mrreviewer = {Marco Boggi}, + Pages = {267--291}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {A minicourse on moduli of curves}, + Volume = 1, + Year = 2000 +} + +@article{L02, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14D10 (11S40 14A20 14G99)}, + Mrnumber = {1886763 (2003k:14010)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol.\ 1999/2000}, + Number = 276, + Pages = {267--297}, + Title = {Motivic measures}, + Year = 2002 +} + +@article{LBS94, + Author = {LeBrun, Claude and Salomon, Simon}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 1, + Pages = {109-132}, + Title = {Strong rigidity of positive quaternion-Kaler manifolds}, + Volume = 118, + Year = 1994 +} + +@misc{LR96, + Author = {N. Lauritzen and A. Rao}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/9604012}, + Title = {Elementary counterexamples to Kodaira vanishing in prime characteristic} +} + +@article {LT18, + AUTHOR = {Lu, Steven and Taji, Behrouz}, + TITLE = {A characterization of finite quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}{DOI:10.1093/imrn/rnw251}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1410.0063}{arXiv:1410.0063}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {292--319}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14K20 (14B05 14F05 14J17)}, + MRNUMBER = {3801432}, +MRREVIEWER = {Fumio Hazama}, + DOI = {10.1093/imrn/rnw251}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}, +} + +@article{LV, + Author = {D. Luna and T. Vust}, + Journal = {Comment Math. Helv.}, + Pages = {186--245}, + Title = {Plongements d'espaces {homogènes}}, + Volume = 58, + Year = 1983 +} + +@Unpublished{LWY20, + author = {Liu, Jie and Ou, Wenhao and Yang, Xiaokui}, + title = {Projective manifolds whose tangent bundle contains a strictly nef subsheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.08507}{arXiv:2004.08507}}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + +@article{Lai11, + Author = {Lai, Ching-Jui}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-010-0574-7}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2805635 (2012e:14032)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = 3, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}{DOI:10.1007/s00208-010-0574-7}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0912.3012}{arXiv:0912.3012}}, + Pages = {533--547}, + Title = {Varieties fibered by good minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}, + Volume = 350, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7} +} + +@book{Lang95, + Address = {New York}, + Author = {Lang, Serge}, + Edition = {Third}, + Isbn = {0-387-94338-2}, + Mrclass = {53-01 (58-01)}, + Mrnumber = {1335233 (96d:53001)}, + Mrreviewer = {Sorin Dragomir}, + Pages = {xiv+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential and {R}iemannian manifolds}, + Volume = 160, + Year = 1995 +} + +@article{Langer04a, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = {2051393 (2005c:14021)}, + Mrreviewer = {Vikram B. Mehta}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2004.159.251}{DOI:10.4007/annals.2004.159.251}}, + Number = 1, + Pages = {251--276}, + Title = {Semistable sheaves in positive characteristic}, + Volume = 159, + Year = 2004 +} + +@article{Langer04b, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = 2144978, + Number = 3, + Pages = {1211--1213}, + Title = {Addendum to: ``{S}emistable sheaves in positive + characteristic'' [{A}nn. of {M}ath. (2) {\bf 159} (2004), + no. 1, 251--276; MR 2051393]}, + Volume = 160, + Year = 2004 +} + +@article{Langer2003, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@article{Laufer73, + Author = {Laufer, Henry B.}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {0333238 (48 \#11563)}, + Mrreviewer = {J. Stutz}, + Pages = {131--164}, + Title = {Taut two-dimensional singularities}, + Volume = 205, + Year = 1973 +} + +@book {Laz04-I, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {I}. Classical setting: line + bundles and linear series}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.}, + VOLUME = 48, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+387}, + ISBN = {3-540-22533-1}, + MRCLASS = {14-02 (14C20)}, + MRNUMBER = 2095471, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@book {Laz04-II, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {II}}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 49, + NOTE = {Positivity for vector bundles, and multiplier + ideals. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+385}, + ISBN = {3-540-22534-X}, + MRCLASS = {14-02 (14C20 14F05 14F17)}, + MRNUMBER = 2095472, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@article{Laz80, + Author = {Lazarsfeld, Robert}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E22 (14F25)}, + Mrnumber = {578722 (81g:14007)}, + Mrreviewer = {Norman Goldstein}, + Number = 2, + Pages = {153--162}, + Title = {A {B}arth-type theorem for branched coverings of projective + space}, + Volume = 249, + Year = 1980 +} + +@incollection{Laz84, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {{Complete Intersections}}, + Editor = {S. Greco and R. Strano}, + Pages = {29--61}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {{Some applications to the theory of positive vector bundles, + Proceedings Acireale}}, + Volume = 1092, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Laz93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry. Lectures of a summer program}, + Editor = {J. Kollar}, + Number = 3, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {163--219}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {{Lectures on linear series. With the assistance of Guillermo + Fernandez del Busto.}}, + Year = 1997 +} + +@article{Leb95, + Author = {LeBrun, Claude}, + Journal = {Int. Journ. of Maths.}, + Number = 3, + Pages = {419--437}, + Title = {Fano Manifolds, Contact Structures and Quaternionic Geometry}, + Volume = 6, + Year = 1995 +} + +@inproceedings{Leb97, + Address = {Santa Cruz}, + Author = {LeBrun, Claude}, + Booktitle = {Algebraic Geometry}, + Editor = {J.~Kollár et al}, + Pages = {361--385}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Twistors for tourists: A pocket guide for algebraic geometers}, + Volume = {62(2)}, + Year = 1995 +} + +@book{Lesc, + Address = {Boston}, + Author = {F. Lescure}, + Publisher = {Gaulthier-Villars}, + Series = {Bulletin del la societe mathematique de france}, + Title = {Compactifications Équivariantes par des Courbes}, + Volume = 26, + Year = 1987 +} + +@incollection{Lib78, + Author = {David Lieberman}, + Booktitle = {Fonctions de Plusieurs Variables Complexes III}, + Editor = {Francois Norguet}, + Number = 670, + Pages = {140--186}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Note in Mathematics}, + Title = {Compactness of the {C}how scheme: Applications to + Automorphisms and Deformations of Kähler Manifolds}, + Year = 1978 +} + +@article{LiedtkeFundamentalGroups, + Author = {Liedtke, Christian}, + Coden = {TAMTAM}, + Doi = {10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E20 (14J29)}, + Mrnumber = {2574891 (2011e:14029)}, + Number = 4, + Pages = {2167--2188}, + Title = {Fundamental groups of {G}alois closures of generic + projections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Volume = 362, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1} +} + +@mastersthesis{Lohmann08, + Author = {Lohmann, Daniel}, + Note = {URN: urn:nbn:de:hbz:38-27137, URL: + \href{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}}, + School = {University of Cologne}, + Title = {Deformationen entlang integrabler {U}ntergarben des + {T}angentialbündels}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2008 +} + +@article{Lojasiewicz64, + Author = {Lojasiewicz, S.}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.25}, + Mrnumber = {0173265 (30 \#3478)}, + Mrreviewer = {S. S. Cairns}, + Pages = {449--474}, + Title = {Triangulation of semi-analytic sets}, + Volume = 18, + Year = 1964 +} + +@misc{Lu02, + Author = {Lu, Steven S.Y.}, + Month = {November}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0211029v3}{arXiv:0211029v3}}, + Title = {A refined {K}odaira dimension and its canonical fibration}, + Year = 2002 +} + +@article{Luetkebohmert, + Author = {Lütkebohmert, W.}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/BF03026540}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14A15 (14N05)}, + Mrnumber = {1226600 (94h:14004)}, + Number = 1, + Pages = {95--111}, + Title = {On compactification of schemes}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF03026540}, + Volume = 80, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF03026540} +} + +@article{M01, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14M10 17B99)}, + Mrnumber = {1856396 (2002f:14005)}, + Mrreviewer = {Eugenii Shustin}, + Note = {With an appendix by David Eisenbud and Edward Frenkel}, + Number = 3, + Pages = {397--424}, + Title = {Jet schemes of locally complete intersection canonical + singularities}, + Volume = 145, + Year = 2001 +} + +@article{M02, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B05 (14B10 14E30)}, + Mrnumber = {1896234 (2003b:14005)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {599--615 (electronic)}, + Title = {Singularities of pairs via jet schemes}, + Volume = 15, + Year = 2002 +} + +@article{M03, + Author = {Ein, Lawrence and Mustaţă, Mircea and Yasuda, Takehiko}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E15 14N30)}, + Mrnumber = {2000468 (2004f:14028)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {519--535}, + Title = {Jet schemes, log discrepancies and inversion of adjunction}, + Volume = 153, + Year = 2003 +} + +@book{M86, + Author = {H. Matsumura}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Title = {Commutative ring theory}, + Year = 1986 +} + +@phdthesis{MJ87, + Annote = {Kebekus: This paper contains a combinatiorial classification + of the (equivariant) compactifications of $SL_2/\Gamma$, where + $\Gamma$ is a discrete subgroup. It is said to be similar to + the combinatorics of torus embeddings --just more + complicated. I never read it.}, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Note = {Thèse No. 2259}, + School = {Université de Genève}, + Title = {Normal Embeddings of $SL_2/\Gamma$}, + Year = 1987 +} + +@article{MJ90, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Journal = {J. Algebra}, + Number = 132, + Pages = {384-405}, + Title = {{Smooth Embeddings of $SL(2)$ and $PGL(2)$}}, + Volume = 2, + Year = 1990 +} + +@article{MM86, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J40}, + Mrnumber = {847952 (87k:14046)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Number = 1, + Pages = {65--69}, + Title = {A numerical criterion for uniruledness}, + Volume = 124, + Year = 1986 +} + +@article{MN63, + Author = {Y. Morimoto and T. Nagano}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Pages = {289--300}, + Title = {On pseudo-conformal tZisformation of hypersurfaces}, + Volume = 15, + Year = 1963 +} + +@book{MP97, + Address = {Basel}, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Peternell, Thomas}, + Isbn = {3-7643-5490-9}, + Mrclass = {14-02 (14Hxx 14Jxx)}, + Mrnumber = {1468476 (98g:14001)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {vi+217}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag}, + Series = {DMV Seminar}, + Title = {Geometry of higher-dimensional algebraic varieties}, + Volume = 26, + Year = 1997 +} + +@article{MR0033093, + Author = {Chow, Wei-Liang}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0033093 (11,389f)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {893--914}, + Title = {On compact complex analytic varieties}, + Volume = 71, + Year = 1949 +} + +@book{MR0039258, + Address = {Princeton, N. J.}, + Author = {Steenrod, Norman}, + Mrclass = {56.0X}, + Mrnumber = {0039258 (12,522b)}, + Mrreviewer = {S. Chern}, + Pages = {viii+224}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series, vol. 14}, + Title = {The {T}opology of {F}ibre {B}undles}, + Year = 1951 +} + +@article {MR0057539, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Eckmann, Beno}, + TITLE = {A class of compact, complex manifolds which are not algebraic}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 58, + YEAR = 1953, + PAGES = {494--500}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {56.0X}, + MRNUMBER = 0057539, + MRREVIEWER = {S. Chern}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1969750}{DOI:10.2307/1969750}}, +} + +@article{MR0063120, + Author = {Kodaira, K.}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0063120 (16,74b)}, + Mrreviewer = {P. Dolbeault}, + Pages = {865--868}, + Title = {On cohomology groups of compact analytic varieties with + coefficients in some analytic faisceaux}, + Volume = 39, + Year = 1953 +} + +@article{MR0066010, + Author = {Cartan, Henri and Serre, Jean-Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0066010 (16,517e)}, + Mrreviewer = {P. E. Conner}, + Pages = {128--130}, + Title = {Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques + compactes}, + Volume = 237, + Year = 1953 +} + +@article {MR0068872, + AUTHOR = {Baily, Walter L.}, + TITLE = {On the quotient of an analytic manifold by a group of analytic + homeomorphisms}, + JOURNAL = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + VOLUME = 40, + YEAR = 1954, + PAGES = {804--808}, + ISSN = {0027-8424}, + MRCLASS = {14.0X}, + MRNUMBER = {0068872 (16,953a)}, + MRREVIEWER = {P. Dolbeault}, +} + +@article{MR0068874, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0068874 (16,953c)}, + Mrreviewer = {C. Chevalley}, + Pages = {197--278}, + Title = {Faisceaux algébriques cohérents}, + Volume = 61, + Year = 1955 +} + +@article{MR0083045, + Author = {Stein, Karl}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {30.0X}, + Mrnumber = {0083045 (18,649c)}, + Mrreviewer = {H. Behnke}, + Pages = {63--93}, + Title = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}äume}, + Volume = 132, + Year = 1956 +} + +@incollection{MR0084174, + Author = {Cartan, Henri}, + Title = {Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes}, + Booktitle = {Algebraic geometry and topology}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0084174 (18,823b)}, + Mrreviewer = {W. L. Baily}, + Note = {A symposium in honor of S. Lefschetz, \href{https://doi.org/10.1515/9781400879915-007}{DOI:10.1515/9781400879915-007},}, + Pages = {90--102}, + Publisher = {Princeton University Press, Princeton, N. J.}, + Year = {1957} +} + +@article{MR0095846, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {14.00 (13.00)}, + Mrnumber = {0095846 (20 \#2344)}, + Mrreviewer = {P. Abellanas}, + Pages = {791--796}, + Title = {On the purity of the branch locus of algebraic functions}, + Volume = 44, + Year = 1958 +} + +@article{MR0099450, + Author = {Cartan, Henri}, + Fjournal = {Journal d'Analyse Mathématique}, + Issn = {0021-7670}, + Journal = {J. Analyse Math.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0099450 (20 \#5889)}, + Mrreviewer = {M. J. O. Strutt}, + Pages = {169--175}, + Title = {Fonctions automorphes et séries de {P}oincaré}, + Volume = 6, + Year = 1958 +} + +@article {MR0102537, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Sur quelques points d'algèbre homologique}, + JOURNAL = {Tôhoku Math. J. (2)}, + FJOURNAL = {The Tohoku Mathematical Journal. Second Series}, + VOLUME = 9, + YEAR = 1957, + PAGES = {119--221}, + ISSN = {0040-8735}, + MRCLASS = {18.00}, + MRNUMBER = 0102537, +MRREVIEWER = {D. Buchsbaum}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}{DOI:10.2748/tmj/1178244839}}, + DOI = {10.2748/tmj/1178244839}, + URL = {https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}, +} + +@article{MR0103285, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0103285 (21 \#2063)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {245--318}, + Title = {Komplexe {R}äume}, + Volume = 136, + Year = 1958 +} + +@article{MR0106930, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {16.00 (14.00)}, + Mrnumber = {0106930 (21 \#5660)}, + Mrreviewer = {M. Auslander}, + Pages = {328--333}, + Title = {On the purity of branch loci in regular local rings}, + Volume = 3, + Year = 1959 +} + +@article {MR0111058, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Vesentini, Edoardo}, + TITLE = {On compact, locally symmetric {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 71, + YEAR = 1960, + PAGES = {472--507}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {57.00}, + MRNUMBER = 0111058, + MRREVIEWER = {L. Auslander}, +} + +@article{MR0148941, + Author = {Scheja, Günter}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.27}, + Mrnumber = {0148941 (26 \#6437)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {345--360}, + Title = {Riemannsche {H}ebbarkeitssätze für {C}ohomologieklassen}, + Volume = 144, + Year = 1961 +} + +@article{MR0150789, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.47 (22.70)}, + Mrnumber = {0150789 (27 \#776)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01470762}{DOI:10.1007/BF01470762}}, + Pages = {327--360}, + Title = {Komplexe {R}äume mit komplexen {T}ransformationsgruppen}, + Volume = 150, + Year = 1963 +} + +@article{MR0153682, + Author = {Mumford, David}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.55)}, + Mrnumber = {0153682 (27 \#3643)}, + Mrreviewer = {T. Matsusaka}, + Number = 9, + Pages = {5--22}, + Title = {The topology of normal singularities of an algebraic surface + and a criterion for simplicity}, + Year = 1961 +} + +@article {MR0154929, + AUTHOR = {Solomon, Louis}, + TITLE = {Invariants of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + VOLUME = 22, + YEAR = 1963, + PAGES = {57--64}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {20.75 (14.08)}, + MRNUMBER = {0154929 (27 \#4872)}, + MRREVIEWER = {R. Steinberg}, +} + +@article {MR0157971, + AUTHOR = {Manin, Juri I.}, + TITLE = {Rational points on algebraic curves over function fields}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 27, + YEAR = 1963, + PAGES = {1395--1440}, + ISSN = {0373-2436}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1142/9789812830517_0002}{DOI:10.1142/9789812830517\_0002}}, + MRCLASS = {14.40 (10.10)}, + MRNUMBER = 0157971, + MRREVIEWER = {S. Lang}, +} + +@article {MR0158415, + AUTHOR = {Vinberg, Ernest B. and Gindikin, Simon G. and + Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Classification and canonical realization of complex + homogeneous bounded domains}, + JOURNAL = {Trudy Moskov. Mat. Ob\v s\v c.}, + FJOURNAL = {Trudy Moskovskogo Matemati\v ceskogo Ob\v s\v cestva}, + VOLUME = 12, + YEAR = 1963, + PAGES = {359--388}, + ISSN = {0134-8663}, + MRCLASS = {22.70 (32.32)}, + MRNUMBER = 0158415, + MRREVIEWER = {A. Korányi}, +} + +@article{MR0186672, + Author = {Lipman, Joseph}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.52}, + Mrnumber = {0186672 (32 \#4130)}, + Mrreviewer = {M. Nagata}, + Pages = {874--898}, + Title = {Free derivation modules on algebraic varieties}, + Volume = 87, + Year = 1965 +} + +@article{MR0190143, + Author = {{\v{S}}afarevi{\v{c}}, I. R. and Averbuh, B. G. and + Va{\u\i}nberg, Ju. R. and {\v{Z}}i{\v{z}}{\v{c}}enko, + A. B. and Manin, Ju. I. and Mo{\u\i}{\v{s}}ezon, B. G. and + Tjurina, G. N. and Tjurin, A. N.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni + V. A. Steklova}, + Issn = {0371-9685}, + Journal = {Trudy Mat. Inst. Steklov.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0190143 (32 \#7557)}, + Mrreviewer = {E. C. Dade}, + Pages = {1--215}, + Title = {Algebraic surfaces}, + Volume = 75, + Year = 1965 +} + +@article{MR0199191, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {0199191 (33 \#7340)}, + Mrreviewer = {P. Du Val}, + Pages = {129--136}, + Title = {On isolated rational singularities of surfaces}, + Volume = 88, + Year = 1966 +} + +@book{MR0202713, + Author = {Hirzebruch, Friedrich}, + Mrclass = {14.00 (32.00)}, + Mrnumber = {0202713 (34 \#2573)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {x+232}, + Publisher = {Springer-Verlag New York, Inc., New York}, + Series = {Third enlarged edition. New appendix and translation from the + second German edition by R. L. E. Schwarzenberger, with an + additional section by A. Borel. Die Grundlehren der + Mathematischen Wissenschaften, Band 131}, + Title = {Topological methods in algebraic geometry}, + Year = 1966 +} + +@article {MR0204430, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Compléments à un article de {H}ans {G}rauert sur la conjecture + de {M}ordell}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}{numdam.PMIHES-1966-29-55-0}}, + NUMBER = 29, + YEAR = 1966, + PAGES = {55--62}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.49 (14.40)}, + MRNUMBER = 0204430, + MRREVIEWER = {J. V. Armitage}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}, +} + +@article{MR0210944, + Author = {Prill, David}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32.65 (10.23)}, + Mrnumber = {0210944 (35 \#1829)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {375--386}, + Title = {Local classification of quotients of complex manifolds by + discontinuous groups}, + Volume = 34, + Year = 1967 +} + +@article {MR0212214, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 16, + YEAR = 1966, + NUMBER = {fasc. 1}, + PAGES = {363--374}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32.50 (32.27)}, + MRNUMBER = 0212214, + MRREVIEWER = {B. Shiffman}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1966__16_1_363_0}, +} + +@article {MR0222087, + AUTHOR = {Grauert, Hans}, + TITLE = {Mordells {V}ermutung über rationale {P}unkte auf algebraischen + {K}urven und {F}unktionenkörper}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}{numdam.PMIHES-1965-25-131-0}}, + NUMBER = 25, + YEAR = 1965, + PAGES = {131--149}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222087, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}, +} + +@book {MR0222088, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Lectures on old and new results on algebraic curves}, + SERIES = {Notes by S. Anantharaman. Tata Institute of Fundamental + Research Lectures on Mathematics, No. 36}, + PUBLISHER = {Tata Institute of Fundamental Research, Bombay}, + NOTE = {Available on the internet at + \href{http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/index.html}{www.math.tifr.res.in/$\sim$publ/ln/index.html}}, + YEAR = 1966, + PAGES = {ii+127+iii}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222088, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, +} + +@article {MR0223368, + AUTHOR = {Shimura, Goro}, + TITLE = {Algebraic varieties without deformation and the {C}how + variety}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 20, + YEAR = 1968, + PAGES = {336--341}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14.20}, + MRNUMBER = 0223368, + MRREVIEWER = {S. Lubkin}, +} + +@book{MR0242802, + Author = {Atiyah, Michael F. and Macdonald, Ian G.}, + Mrclass = {13.00}, + Mrnumber = {0242802 (39 \#4129)}, + Mrreviewer = {J. A. Johnson}, + Pages = {ix+128}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don + Mills, Ont.}, + Title = {Introduction to commutative algebra}, + Year = 1969 +} + +@article{MR0245837, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0245837 (39 \#7143)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {108--143}, + Title = {Extending coherent analytic sheaves}, + Volume = 90, + Year = 1969 +} + +@book {MR0252690, + AUTHOR = {Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Automorphic functions and the geometry of classical domains}, + SERIES = {Translated from the Russian. Mathematics and Its Applications, + Vol. 8 }, + PUBLISHER = {Gordon and Breach Science Publishers, New York-London-Paris}, + YEAR = 1969, + PAGES = {viii+264}, + MRCLASS = {32.65}, + MRNUMBER = 0252690, +} + +@article{MR0257070, + Author = {Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13.95 (32.00)}, + Mrnumber = {0257070 (41 \#1724)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {93--104}, + Title = {{ü}ber die {D}ivisorenklassengruppen normaler + komplexanalytischer {A}lgebren}, + Volume = 183, + Year = 1969 +} + +@book {MR0260758, + AUTHOR = {Raynaud, Michel}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les schémas en groupes et les espaces homogènes}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 119}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1970}, + PAGES = {ii+218}, + MRCLASS = {14.55}, + MRNUMBER = {0260758}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0059504}{DOI:10.1007/BFb0059504}}, +MRREVIEWER = {D. Gieseker}, +} + +@incollection {MR0261635, + AUTHOR = {Baum, Paul F. and Bott, Raoul}, + TITLE = {On the zeros of meromorphic vector-fields}, + BOOKTITLE = {Essays on {T}opology and {R}elated {T}opics ({M}émoires dédiés à {G}eorges de {R}ham)}, + PAGES = {29--47}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + YEAR = {1970}, + MRCLASS = {57.60 (32.00)}, + MRNUMBER = {0261635}, +MRREVIEWER = {H. Suzuki}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-49197-9_4}{DOI:10.1007/978-3-642-49197-9\_4}}, +} + +@article{MR0262386, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {20.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0262386 (41 \#6994)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01719593}{DOI:10.1007/BF01719593}}, + Pages = {375--396}, + Title = {Représentations linéaires et compactification profinie des + groupes discrets}, + Volume = 2, + Year = 1970 +} + +@book{MR0278248, + Address = {Berlin}, + Author = {Lascoux, Alain and Berger, Marcel}, + Mrclass = {53.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0278248 (43 \#3979)}, + Mrreviewer = {T. Ochiai}, + Pages = {vii+83}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 154}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes compactes}, + Year = 1970 +} + +@article {MR0279338, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel}, + TITLE = {Complexe dualisant et théorèmes de dualité en géométrie + analytique complexe}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NUMBER = 38, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}{numdam.PMIHES-1970-38-77-0}}, + YEAR = 1970, + PAGES = {77--91}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {32.50}, + MRNUMBER = 0279338, + MRREVIEWER = {Y.-T. Siu}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}, +} + +@book{MR0287033, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong and Trautmann, Günther}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0287033 (44 \#4240)}, + Mrreviewer = {W. Thimm}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0060577}{DOI:10.1007/BFb0060577}}, + Pages = {v+172}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 172}, + Title = {Gap-sheaves and extension of coherent analytic subsheaves}, + Year = 1971 +} + +@article{MR0306172, + Author = {Scheja, Günter and Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13B10}, + Mrnumber = {0306172 (46 \#5299)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {137--170}, + Title = {Differentielle {E}igenschaften der {L}okalisierungen + analytischer {A}lgebren}, + Volume = 197, + Year = 1972 +} + +@article {MR0308439, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel and Verdier, Jean-Louis}, + TITLE = {Dualité relative en géométrie analytique complexe}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 13, + YEAR = 1971, + PAGES = {261--283}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32C35 (14B10)}, + MRNUMBER = 0308439, + MRREVIEWER = {W. Thimm}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01406078}{DOI:10.1007/BF01406078}}, + DOI = {10.1007/BF01406078}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01406078}, +} + +@article{MR0322209, + Author = {Horikawa, Eiji}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Mrclass = {32G99 (32C10 32H99)}, + Mrnumber = {0322209 (48 \#571)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {372--396}, + Title = {On deformations of holomorphic maps. {I}}, + Volume = 25, + Year = 1973 +} + +@book{MR0335656, + Address = {New York}, + Author = {Wehrfritz, Bertram A. F.}, + Mrclass = {20HXX}, + Mrnumber = {0335656 (49 \#436)}, + Mrreviewer = {I. Stewart}, + Note = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 76. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-87081-1}{DOI:10.1007/978-3-642-87081-1}}, + Pages = {xiv+229}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Infinite linear groups. {A}n account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices}, + Year = 1973 +} + +@article {MR0337963, + AUTHOR = {Sumihiro, Hideyasu}, + TITLE = {Equivariant completion}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = 14, + YEAR = 1974, + PAGES = {1--28}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14E25 (20G99)}, + MRNUMBER = 0337963, + MRREVIEWER = {V. L. Popov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}{DOI:10.1215/kjm/1250523277}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523277}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}, +} + +@article{MR0344519, + Author = {Schlessinger, Michael}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32C40 (14B10)}, + Mrnumber = {0344519 (49 \#9258)}, + Mrreviewer = {Bernard Teissier}, + Note = {Complex analysis, 1972 (Proc. Conf., Rice Univ., Houston, + Tex., 1972), Vol. I: Geometry of singularities}, + Number = 1, + Pages = {147--162}, + Title = {On rigid singularities}, + Volume = 59, + Year = 1973 +} + +@book {MR0354798, + AUTHOR = {MacLane, Saunders}, + TITLE = {Categories for the working mathematician}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, Vol.~5. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4721-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-4721-8}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = {1971}, + PAGES = {ix+262}, + MRCLASS = {18-02}, + MRNUMBER = {0354798}, +MRREVIEWER = {H.-B. Brinkmann}, +} + +@article{MR0360585, + Author = {Hochster, Melvin}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (13F99 14M10)}, + Mrnumber = {0360585 (50 \#13033)}, + Mrreviewer = {Tadayuki Matsuoka}, + Pages = {261--262}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for homogeneous complete + intersections}, + Volume = 49, + Year = 1975 +} + +@article {MR0360616, + AUTHOR = {Kleiman, Steven L.}, + TITLE = {The transversality of a general translate}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1974, + PAGES = {287--297}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14M15 (14N10)}, + MRNUMBER = 0360616, + MRREVIEWER = {Joel Roberts}, + NOTE = + {\href{http://http://www.numdam.org/item?id=CM_1974__28_3_287_0}{numdam.CM-1974-28-3-287-0}}, +} + +@article {MR0370665, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {On the maximally overdetermined system of linear differential + equations. {I}}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + VOLUME = 10, + YEAR = {1974/75}, + PAGES = {563--579}, + ISSN = {0034-5318}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}{DOI:10.2977/prims/1195192011}}, + MRCLASS = {58G15 (32C35 35N05)}, + MRNUMBER = 0370665, + MRREVIEWER = {P. Schapira}, + DOI = {10.2977/prims/1195192011}, + URL = {https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}, +} + +@article{MR0376678, + Author = {{D}u~{B}ois, Philippe and Jarraud, Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0376678 (51 \#12853)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {745--747}, + Title = {Une propriété de commutation au changement de base des images + directes supérieures du faisceau structural}, + Volume = 279, + Year = 1974 +} + +@book {MR0385004, + AUTHOR = {Mostow, G. D.}, + TITLE = {Strong rigidity of locally symmetric spaces}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies, No. 78}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {v+195}, + MRCLASS = {22E40 (53C35)}, + MRNUMBER = {0385004}, +MRREVIEWER = {M. S. Raghunathan}, +} + +@book {MR0396773, + AUTHOR = {Humphreys, James E.}, + TITLE = {Linear algebraic groups}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, No. 21. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9443-3}{DOI:10.1007/978-1-4684-9443-3}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Heidelberg}, + YEAR = {1975}, + PAGES = {xiv+247}, + MRCLASS = {20GXX (14LXX)}, + MRNUMBER = {0396773}, +MRREVIEWER = {T. Ono}, +} + +@article {MR0397729, + AUTHOR = {Deligne, Pierre and Sullivan, Dennis}, + TITLE = {Fibrés vectoriels complexes à groupe structural discret}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B}, + VOLUME = 281, + YEAR = 1975, + NUMBER = 24, + PAGES = {Ai, A1081--A1083}, + MRCLASS = {55F10 (32L05)}, + MRNUMBER = 0397729, + MRREVIEWER = {P. E. Newstead}, +} + +@article{MR0404257, + Author = {Fulton, William}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14C15)}, + Mrnumber = {0404257 (53 \#8060)}, + Mrreviewer = {J.-P. Jouanolou}, + Number = 45, + Pages = {147--167}, + Title = {Rational equivalence on singular varieties}, + Year = 1975 +} + +@book{MR0447557, + Address = {Berlin}, + Author = {Forster, Otto}, + Mrclass = {30A46 (32-01)}, + Mrnumber = {0447557 (56 \#5867)}, + Mrreviewer = {H. H. Martens}, + Note = {Heidelberger Taschenbücher, Band 184}, + Pages = {x+223}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Riemannsche {F}lächen}, + Year = 1977 +} + +@article{MR0451180, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {53C55 (14M20 32C10)}, + Mrnumber = {0451180 (56 \#9467)}, + Mrreviewer = {Bang-yen Chen}, + Number = 5, + Pages = {1798--1799}, + Title = {Calabi's conjecture and some new results in algebraic + geometry}, + Volume = 74, + Year = 1977 +} + +@article {MR0460317, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Die {S}ätze von {B}ertini für lokale {R}inge}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351596}{DOI:10.1007/BF01351596}}, + VOLUME = {229}, + YEAR = {1977}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {97--111}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {13H99 (14B10)}, + MRNUMBER = {0460317}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + DOI = {10.1007/BF01351596}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351596}, +} + +@article {MR0491722, + AUTHOR = {Lipman, Joseph}, + TITLE = {Desingularization of two-dimensional schemes}, + JOURNAL = {Ann. Math. (2)}, + VOLUME = 107, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1971141}{DOI:10.2307/1971141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {151--207}, + MRCLASS = {14J10}, + MRNUMBER = {0491722 (58 \#10924)}, + MRREVIEWER = {A. H. Wallace}, +} + +@article{MR0499299, + Author = {Hironaka, Heisuke}, + Fjournal = {Acta Mathematica Vietnamica}, + Issn = {0251-4184}, + Journal = {Acta Math. Vietnam.}, + Mrclass = {32C45}, + Mrnumber = {0499299 (58 \#17198)}, + Mrreviewer = {Tomas Sanchez Giralda}, + Number = 2, + Pages = {103--168}, + Title = {Bimeromorphic smoothing of a complex-analytic space}, + Volume = 2, + Year = 1977 +} + +@article{MR0799669, + Author = {Kobayashi, Ryoichi}, + Date-Added = {2015-06-19 15:12:21 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:15:09 +0000}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {385--398}, + Title = {Einstein-{K}ähler {V}-metrics on open {S}atake {V}-surfaces + with isolated quotient singularities}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01455566}{DOI:10.1007/BF01455566}}, + Volume = 272, + Year = 1985 +} + +@article{MR0833802, + Author = {Cheng, Shiu-Yuen and Yau, Shing-Tung}, + Date-Added = {2015-06-19 12:18:15 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 14:36:56 +0000}, + Journal = {Complex differential geometry and nonlinear differential + equations (Brunswick, Maine, 1984), Contemp. Math., + Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + Pages = {31-44}, + Title = {Inequality between {C}hern numbers of singular {K}ähler + surfaces and characterization of orbit space of discrete group + of $SU(2,1)$}, + Volume = 49, + Year = 1986 +} + +@article{MR0944606, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Date-Added = {2015-06-11 19:10:07 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:11:40 +0000}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 1, + Pages = {123-133}, + Title = {Existence and degeneration of Kähler-Einstein metrics on + minimal algebraic varieties of general type}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01449219}{DOI:10.1007/BF01449219}}, + Volume = 281, + Year = 1988 +} + +@article{MR0976585, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Date-Added = {2015-06-11 19:06:19 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:08:01 +0000}, + Journal = {Topology}, + Number = 4, + Pages = {429-442}, + Title = {Stability of tangent bundles of minimal algebraic varieties.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/0040-9383(88)90022-5}{DOI:10.1016/0040-9383(88)90022-5}}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@book {MR1002324, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Lectures on the {M}ordell-{W}eil theorem}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E15}, + NOTE = {Translated from the French and edited by Martin Brown from + notes by Michel + Waldschmidt. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}{DOI:10.1007/978-3-663-14060-3}}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = 1989, + PAGES = {x+218}, + ISBN = {3-528-08968-7}, + MRCLASS = {11G10 (11D41 11G30 14Gxx)}, + MRNUMBER = 1002324, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}, +} + +@article {MR1030189, + AUTHOR = {Kobayashi, Ryoichi and Nakamura, Shu and Sakai, Fumio}, + TITLE = {A numerical characterization of ball quotients for normal + surfaces with branch loci}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = 65, + YEAR = 1989, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}{euclid.pja/1195512773}.}, + NUMBER = 7, + PAGES = {238--241}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {32C10 (32J99 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1030189, + MRREVIEWER = {Alan Michael Nadel}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}, +} + +@article {MR1040197, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Harmonic bundles on noncompact curves}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 3, + YEAR = 1990, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1990935}{DOI:10.2307/1990935}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {713--770}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {58E20 (14C30 14H60 32G20)}, + MRNUMBER = 1040197, + MRREVIEWER = {N. J. Hitchin}, + DOI = {10.2307/1990935}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990935}, +} + +@book{MR1042981, + Address = {Redwood City, CA}, + Author = {Fulton, William}, + Isbn = {0-201-51010-3}, + Mrclass = {14Hxx (14-01)}, + Mrnumber = {1042981 (90k:14023)}, + Note = {An introduction to algebraic geometry, Notes written with the + collaboration of Richard Weiss, Reprint of 1969 + original. Freely available from the author's web site at + \url{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton}.}, + Pages = {xxii+226}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program}, + Series = {Advanced Book Classics}, + Title = {Algebraic curves}, + Year = 1989 +} + +@incollection {MR1044586, + AUTHOR = {Knop, Friedrich and Kraft, Hanspeter and Vust, Thierry}, + TITLE = {The {P}icard group of a {$G$}-variety}, + BOOKTITLE = {Algebraische {T}ransformationsgruppen und + {I}nvariantentheorie}, + SERIES = {DMV Sem.}, + VOLUME = 13, + PAGES = {77--87}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = 1989, + MRCLASS = {14C22 (14D25 14L30)}, + MRNUMBER = 1044586, +} + +@book {MR1059457, + AUTHOR = {Gunning, Robert C.}, + TITLE = {Introduction to holomorphic functions of several variables. + {V}ol. {III}. Homological theory}, + SERIES = {The Wadsworth \& Brooks/Cole Mathematics Series}, + PUBLISHER = {Wadsworth \& Brooks/Cole Advanced Books \& Software, Monterey, + CA}, + YEAR = 1990, + PAGES = {xx+194}, + ISBN = {0-534-13310-X}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1059457, + MRREVIEWER = {Eric Bedford}, +} + +@article {MR1096125, + AUTHOR = {Vojta, Paul}, + TITLE = {On algebraic points on curves}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1991, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1991__78_1_29_0}{numdam.CM-1991-78-1-29-0}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {29--36}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {11G30 (14H05)}, + MRNUMBER = 1096125, + MRREVIEWER = {I. V. Dolgachev}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1991__78_1_29_0}, +} + +@article {MR1096426, + AUTHOR = {Coleman, Robert F.}, + TITLE = {Manin's proof of the {M}ordell conjecture over function + fields}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1990}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {393--427}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {11G30}, + MRNUMBER = {1096426}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-57915}{DOI:10.5169/seals-57915}} +} + +@article {MR1106753, + AUTHOR = {Voloch, José F.}, + TITLE = {On the conjectures of {M}ordell and {L}ang in positive + characteristics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 104, + YEAR = 1991, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01245094}{DOI:10.1007/BF01245094}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--646}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {11G30 (14H25)}, + MRNUMBER = 1106753, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01245094}, +} + +@article {MR1109353, + AUTHOR = {Faltings, Gerd}, + TITLE = {Diophantine approximation on abelian varieties}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {133}, + YEAR = {1991}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {549--576}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {11G10 (11J99)}, + MRNUMBER = {1109353}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + DOI = {10.2307/2944319}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2944319}, +} + +@article {MR1144433, + AUTHOR = {Schneider, Michael}, + TITLE = {Symmetric differential forms as embedding obstructions and + vanishing theorems}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {175--181}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14F17}, + MRNUMBER = {1144433}, +MRREVIEWER = {Mei Chu Chang}, +} + +@article{MR1144434, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1144434 (93e:14016)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 2, + Pages = {183--190}, + Title = {Unobstructed deformations. {A} remark on a paper of + {Z}. {R}an: ``{D}eformations of manifolds with torsion or + negative canonical bundle'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 1} + (1992), no.\ 2, 279--291; {MR}1144440 (93e:14015)]}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@incollection {MR1145250, + AUTHOR = {Enoki, Ichiro}, + TITLE = {Compact {R}icci-flat {K}ähler manifolds}, + BOOKTITLE = {Kähler metric and moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 18, + PAGES = {229--256}, + PUBLISHER = {Academic Press, Boston, MA}, + YEAR = 1990, + MRCLASS = {53C25 (32J27 32L07 53C55)}, + MRNUMBER = 1145250, + MRREVIEWER = {Yang Lian Pan}, +} + +@article{MR1145268, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Date-Added = {2015-06-19 14:43:30 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-20 11:59:48 +0000}, + Journal = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Pages = {417--433}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = {18-I}, + Year = 1990 +} + +@book {MR1153249, + AUTHOR = {Fulton, William and Harris, Joe}, + TITLE = {Representation theory. A first course}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 129, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1991, + PAGES = {xvi+551}, + ISBN = {0-387-97527-6; 0-387-97495-4}, + MRCLASS = {20G05 (17B10 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 1153249, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}{DOI:10.1007/978-1-4612-0979-9}.}, + DOI = {10.1007/978-1-4612-0979-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}, +} + +@article{MR1157844, + Author = {Le Potier, Joseph}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14C30 (14D07 14D20 32J25 53C07)}, + Mrnumber = {1157844 (93e:14012)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol. 1990/91}, + Number = {201-203}, + Pages = {Exp.\ No.\ 737, 221--268 (1992)}, + Title = {Fibrés de {H}iggs et systèmes locaux}, + Year = 1991 +} + +@inproceedings {MR1159261, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Nonabelian {H}odge theory}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of + {M}athematicians, {V}ol.\ {I}, {II} ({K}yoto, 1990)}, + PAGES = {747--756}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = 1991, + MRCLASS = {14C30 (14J60 22E40 32J27 58D27)}, + MRNUMBER = {1159261 (93c:14010)}, + MRREVIEWER = {Richard M. Hain}, +} + +@book {MR1162108, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {Classification theories of polarized varieties}, + SERIES = {London Mathematical Society Lecture Note Series}, + VOLUME = {155}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1990}, + PAGES = {xiv+205}, + ISBN = {0-521-39202-0}, + MRCLASS = {14C20 (14J40 14J60)}, + MRNUMBER = {1162108}, +MRREVIEWER = {Elvira Laura Livorni}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}{DOI:10.1017/CBO9780511662638}}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662638}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}, +} + +@article {MR1163733, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {On stability of the tangent bundles of {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = {3}, + YEAR = {1992}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}{DOI:10.1142/S0129167X92000175}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {401--413}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32L07 (14J45 53C25)}, + MRNUMBER = {1163733}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1142/S0129167X92000175}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}, +} + +@article {MR1165352, + AUTHOR = {Semmes, Stephen}, + TITLE = {Complex {M}onge-{A}mpère and symplectic manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {114}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {495--550}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32F07 (35J60 58F05)}, + MRNUMBER = {1165352}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/2374768}{DOI:10.2307/2374768}}, + DOI = {10.2307/2374768}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2374768}, +} + +@article {MR1166957, + AUTHOR = {Borisov, Alexander A. and Borisov, Lev A.}, + TITLE = {Singular toric {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{i} Sbornik}, + VOLUME = 183, + YEAR = 1992, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}{DOI:10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {134--141}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14M25)}, + MRNUMBER = 1166957, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + DOI = {10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, +} + +@book{MR1177168, + Author = {Katok, Svetlana}, + Isbn = {0-226-42582-7; 0-226-42583-5}, + Mrclass = {20H10 (30F35)}, + Mrnumber = {1177168 (93d:20088)}, + Mrreviewer = {I. Kra}, + Pages = {x+175}, + Publisher = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + Series = {Chicago Lectures in Mathematics}, + Title = {Fuchsian groups}, + Year = 1992 +} + +@article{MR1179076, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {32G13 (14D07 53C07 58D27 58E15)}, + Mrnumber = {1179076 (94d:32027)}, + Mrreviewer = {William Goldman}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02699491}{DOI:10.1007/BF02699491}, + \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}{numdam.PMIHES-1992-75-5-0}}, + Pages = {5--95}, + Title = {Higgs bundles and local systems}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}, + Volume = 75, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0} +} + +@book{MR1194180, + Address = {New York}, + Author = {Dimca, Alexandru}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Isbn = {0-387-97709-0}, + Mrclass = {32Sxx (14J70 32S25 32S50 57M25 57R45 58C27)}, + Mrnumber = {1194180 (94b:32058)}, + Mrreviewer = {Aleksandr G. Aleksandrov}, + Pages = {xvi+263}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Singularities and topology of hypersurfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2} +} + +@article{MR1240585, + Author = {García-Prada, Oscar}, + Coden = {CMPHAY}, + Fjournal = {Communications in Mathematical Physics}, + Issn = {0010-3616}, + Journal = {Comm. Math. Phys.}, + Mrclass = {53C07 (32L07 58E15)}, + Mrnumber = {1240585 (95d:53024)}, + Mrreviewer = {Steven B. Bradlow}, + Number = 3, + Pages = {527--546}, + Title = {Invariant connections and vortices}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}{euclid.cmp/1104253716}}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}, + Volume = 156, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716} +} + +@article {MR1253623, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {A note on nonvanishing and applications}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 72, + YEAR = 1993, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}{DOI:10.1215/S0012-7094-93-07228-6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/alg-geom/9302001}{arXiv:alg-geom/9302001}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {739--755}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14C20 (14D99)}, + MRNUMBER = {1253623 (95c:14007)}, + MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, +} + +@inproceedings {MR1291023, + AUTHOR = {Hartshorne, Robin}, + TITLE = {Generalized divisors on {G}orenstein schemes}, + BOOKTITLE = {Proceedings of {C}onference on {A}lgebraic {G}eometry and {R}ing {T}heory in honor of {M}ichael {A}rtin, {P}art {III} ({A}ntwerp, 1992)}, + JOURNAL = {$K$-Theory}, + FJOURNAL = {$K$-Theory. An Interdisciplinary Journal for the Development, Application, and Influence of $K$-Theory in the Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {1994}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF00960866}{DOI:10.1007/BF00960866}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {287--339}, + ISSN = {0920-3036}, + MRCLASS = {14C20 (14A15 14M06)}, + MRNUMBER = {1291023}, +MRREVIEWER = {G. Horrocks}, + DOI = {10.1007/BF00960866}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF00960866}, +} + +@article {MR1295591, + AUTHOR = {Gray, Jeremy}, + TITLE = {On the history of the {R}iemann mapping theorem}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl.}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. + Supplemento}, + NUMBER = 34, + YEAR = 1994, + PAGES = {47--94}, + MRCLASS = {30C35 (01A55)}, + MRNUMBER = 1295591, + MRREVIEWER = {D. H. Hamilton}, +} + +@article{MR1298542, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi_1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is + finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {MR1298994, + AUTHOR = {Alexeev, Valery}, + TITLE = {Boundedness and {$K^2$} for log surfaces}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}{DOI:10.1142/S0129167X94000395}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {779--810}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {14J10 (14J25)}, + MRNUMBER = 1298994, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1142/S0129167X94000395}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}, +} + +@book{MR1304906, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David and Fogarty, John and Kirwan, Frances}, + Doi = {10.1007/978-3-642-57916-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {3-540-56963-4}, + Mrclass = {14D25 (58E05 58F05)}, + Mrnumber = {1304906 (95m:14012)}, + Mrreviewer = {Yi Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}{DOI:10.1007/978-3-642-57916-5}}, + Pages = {xiv+292}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results + in Mathematics and Related Areas (2)]}, + Title = {Geometric invariant theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}, + Volume = 34, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5} +} + +@article{MR1307297, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__79__47_0}{numdam.PMIHES_1994__79__47_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14D25 14F05)}, + Mrnumber = {1307297 (96e:14012)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {47--129}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {I}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0}, + Volume = 79, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0} +} + +@article{MR1320603, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__80__5_0}{numdam.PMIHES_1994__80__5_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14F05 14F10)}, + Mrnumber = {1320603 (96e:14013)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {5--79 (1995)}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {II}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0}, + Volume = 80, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0} +} + +@book {MR1324108, + AUTHOR = {Narasimhan, Raghavan}, + TITLE = {Several complex variables}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + NOTE = {Reprint of the 1971 original}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+174}, + ISBN = {0-226-56817-2}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1324108, +} + +@incollection {MR1326618, + AUTHOR = {Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Local theory of complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {7--96}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C15 (32B05 32C20)}, + MRNUMBER = {1326618}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_2}} +} + +@incollection {MR1326619, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Differential calculus, holomorphic maps and linear structures on complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {97--144}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C35 (32C37 32L05)}, + MRNUMBER = {1326619}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_3}, +} + +@incollection {MR1326624, + AUTHOR = {Peternell, Thomas}, + TITLE = {Modifications}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = 74, + PAGES = {285--317}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1994, + MRCLASS = {32S45 (32J20)}, + MRNUMBER = 1326624, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8_8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}, +} + +@incollection{MR1326625, + Address = {Berlin}, + Author = {Campana, F. and Peternell, Th.}, + Booktitle = {Several complex variables, {VII}}, + Mrclass = {32G10 (32F10)}, + Mrnumber = 1326625, + Pages = {319--349}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Cycle spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@book {MR1328834, + AUTHOR = {Shafarevich, Igor R.}, + TITLE = {Basic algebraic geometry. 2}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {Schemes and complex manifolds, Translated from the 1988 Russian edition by Miles Reid. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57956-1}{DOI:10.1007/978-3-642-57956-1}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1994, + PAGES = {xiv+269}, + ISBN = {3-540-57554-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = 1328834, +} + +@book {MR1334091, + AUTHOR = {Akhiezer, Dmitri N.}, + TITLE = {Lie group actions in complex analysis}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E27}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = {1995}, + PAGES = {viii+201}, + ISBN = {3-528-06420-X}, + MRCLASS = {32M05 (22-02 22E10 32M10)}, + MRNUMBER = {1334091}, +MRREVIEWER = {B. Gilligan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}{DOI:10.1007/978-3-322-80267-5}}, + DOI = {10.1007/978-3-322-80267-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}, +} + +@book {MR1335917, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich}, + TITLE = {Topological methods in algebraic geometry}, + SERIES = {Classics in Mathematics}, + NOTE = {Translated from the German and Appendix One by R. L. E. + Schwarzenberger, With a preface to the third English edition + by the author and Schwarzenberger, Appendix Two by A. Borel, + Reprint of the 1978 edition}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xii+234}, + ISBN = {3-540-58663-6}, + MRCLASS = {57-02 (01A75 14-02)}, + MRNUMBER = 1335917, +} + +@article {MR1340353, + AUTHOR = {Andreatta, Marco}, + TITLE = {Some remarks on the study of good contractions}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 87, + YEAR = 1995, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02570480}{DOI:10.1007/BF02570480}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {359--367}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1340353 (96i:14017)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/BF02570480}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02570480}, +} + +@book {MR1341589, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Shafarevich maps and automorphic forms}, + SERIES = {M. B. Porter Lectures}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+201}, + ISBN = {0-691-04381-7}, + MRCLASS = {14E20 (14J10 14J15 32J18 32N10)}, + MRNUMBER = {1341589 (96i:14016)}, + MRREVIEWER = {Kang Zuo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400864195}{DOI:10.1515/9781400864195}}, + DOI = {10.1515/9781400864195}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9781400864195}, +} + +@article {MR1358040, + AUTHOR = {Barth, Wolf}, + TITLE = {Two projective surfaces with many nodes, admitting the symmetries of the icosahedron}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {5}, + YEAR = {1996}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {173--186}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14J25 14N05)}, + MRNUMBER = {1358040}, +MRREVIEWER = {Luciana Picco Botta}, +} + +@article {MR1384908, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Kodaira dimension and {C}hern hyperbolicity of the {S}hafarevich maps for representations of {$\pi_1$} of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {472}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {139--156}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32J27 (14D07 32J25 58E20)}, + MRNUMBER = {1384908}, +MRREVIEWER = {Kimio Miyajima}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}{DOI:10.1515/crll.1996.472.139}}, + DOI = {10.1515/crll.1996.472.139}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}, +} + +@book {MR1393940, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {I}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1963 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xii+329}, + ISBN = {0-471-15733-3}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393940, +} + +@book {MR1393941, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {II}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1969 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xvi+468}, + ISBN = {0-471-15732-5}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393941, +} + +@book{MR1406314, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Doi = {10.1017/CBO9780511623936}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-521-49510-5; 0-521-49842-2}, + Mrclass = {14Jxx (14-02)}, + Mrnumber = {1406314 (97e:14045)}, + Note = {Translated from the 1978 French original by R. Barlow, with assistance from N. I. Shepherd-Barron and M. Reid}, + Pages = {x+132}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {London Mathematical Society Student Texts}, + Title = {Complex algebraic surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936}, + Volume = 34, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936} +} + +@article {MR1420223, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {{$3$}-fold log models}, + NOTE = {Algebraic geometry, 4. \href{https://doi.org/10.1007/BF02362335}{DOI:10.1007/BF02362335}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences}, + VOLUME = 81, + YEAR = 1996, + NUMBER = 3, + PAGES = {2667--2699}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14E15 14E35)}, + MRNUMBER = 1420223, + MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + DOI = {10.1007/BF02362335}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02362335}, +} + +@article {MR1421952, + AUTHOR = {Esnault, Hélène}, + TITLE = {Recent developments on characteristic classes of flat bundles + on complex algebraic manifolds}, + JOURNAL = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + FJOURNAL = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + VOLUME = 98, + YEAR = 1996, + NUMBER = 4, + PAGES = {182--191}, + ISSN = {0012-0456}, + CODEN = {JDMVA7}, + MRCLASS = {14C25 (14F40 32J25 57R20)}, + MRNUMBER = 1421952, + MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, +} + +@article {MR1422313, + AUTHOR = {Biquard, Olivier}, + TITLE = {Fibrés de {H}iggs et connexions intégrables: le cas logarithmique (diviseur lisse)}, + JOURNAL = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + VOLUME = 30, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}{DOI:10.1016/S0012-9593(97)89915-6}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {41--96}, + ISSN = {0012-9593}, + CODEN = {ASENAH}, + MRCLASS = {32L07 (14J60)}, + MRNUMBER = 1422313, + MRREVIEWER = {Nitin Nitsure}, + DOI = {10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, + URL = {https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, +} + +@article {MR1436743, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Geometric height inequalities and the {K}odaira-{S}pencer map}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 105, + YEAR = 1997, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}{DOI:A:1017995416618}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--54}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = {1436743 (98j:14029)}, + MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1023/A:1017995416618}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}, +} + +@book {MR1441541, + AUTHOR = {Eberlein, Patrick B.}, + TITLE = {Geometry of nonpositively curved manifolds}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {vii+449}, + ISBN = {0-226-18197-9; 0-226-18198-7}, + MRCLASS = {53-02 (53C20 53C21 53C35)}, + MRNUMBER = {1441541}, +MRREVIEWER = {Mar\'{\i}a J. Druetta}, +} + +@incollection{MR1442522, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry ({P}ark {C}ity, {UT}, 1993)}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {1442522 (98d:14049)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {3--159}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {Chapters on algebraic surfaces}, + Volume = 3, + Year = 1997 +} + +@article {MR1451789, + AUTHOR = {Brion, Michel}, + TITLE = {Differential forms on quotients by reductive group actions}, + JOURNAL = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 126, + YEAR = 1998, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}{DOI:10.1090/S0002-9939-98-04320-2}}, + NUMBER = 9, + PAGES = {2535--2539}, + ISSN = {0002-9939}, + CODEN = {PAMYAR}, + MRCLASS = {14L30 (16S32)}, + MRNUMBER = {1451789 (98k:14067)}, + MRREVIEWER = {Vladimir L. Popov}, + DOI = {10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, +} + +@incollection {MR1463187, + AUTHOR = {Peternell, Th. and Wilson, P. M. H.}, + TITLE = {Threefolds with extremal {C}hern classes}, + BOOKTITLE = {Higher-dimensional complex varieties ({T}rento, 1994)}, + PAGES = {357--378}, + PUBLISHER = {de Gruyter, Berlin}, + YEAR = {1996}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {1463187}, +MRREVIEWER = {Ulf Persson}, +} + +@incollection{MR1463962, + Author = {Bando, Shigetoshi and Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {Geometry and analysis on complex manifolds}, + Mrclass = {32L07 (53C07)}, + Mrnumber = {1463962 (98e:32053)}, + Mrreviewer = {Daniel Huybrechts}, + Pages = {39--50}, + Publisher = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + Title = {Stable sheaves and {E}instein-{H}ermitian metrics}, + Year = 1994 +} + +@article {MR1486992, + AUTHOR = {Jaffe, David B. and Ruberman, Daniel}, + TITLE = {A sextic surface cannot have {$66$} nodes}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {151--168}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14N10 94B05)}, + MRNUMBER = {1486992}, +MRREVIEWER = {Susan J. Colley}, +} + +@article{MR1487238, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1487238 (98k:14009)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 4, + Pages = {803--804}, + Title = {Erratum on: ``{U}nobstructed deformations. {A} remark on a + paper of {Z}. {R}an: `{D}eformations of manifolds with torsion + or negative canonical bundle'\,'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ + {\bf 1} (1992), no.\ 2, 183--190; {MR}1144434 (93e:14016)]}, + Volume = 6, + Year = 1997 +} + +@article {MR1489117, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Smoothing {F}ano {$3$}-folds}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {307--324}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14B07 14B12 14D15)}, + MRNUMBER = {1489117}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article {MR1510165, + AUTHOR = {Lindemann, Ferdinand}, + TITLE = {Ueber die {Z}ahl $\pi$}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {20}, + YEAR = {1882}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {213--225}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01446522}{DOI:10.1007/BF01446522}}, + MRNUMBER = {1510165}, + DOI = {10.1007/BF01446522}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01446522}, +} + +@article {MR1512302, + AUTHOR = {Hermann, Grete}, + TITLE = {Die {F}rage der endlich vielen {S}chritte in der {T}heorie der {P}olynomideale}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {95}, + YEAR = {1926}, + NUMBER = {1}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01206635}{DOI:10.1007/BF01206635}}, + PAGES = {736--788}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1512302}, + DOI = {10.1007/BF01206635}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01206635}, +} + +@article {MR1581526, + AUTHOR = {Witt, Ernst}, + TITLE = {Zyklische {K}örper und {A}lgebren der {C}harakteristik {$p$} + vom {G}rad {$p^n$}. {S}truktur diskret bewerteter perfekter + {K}örper mit vollkommenem {R}estklassenkörper der + {C}harakteristik {$p$}}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = {176}, + YEAR = {1937}, + PAGES = {126--140}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1581526}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}{DOI:10.1515/crll.1937.176.126}}, + DOI = {10.1515/crll.1937.176.126}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}, +} + +@incollection {MR1603624, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on algebraic manifolds}, + BOOKTITLE = {Transcendental methods in algebraic geometry ({C}etraro, + 1994)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = 1646, + PAGES = {143--185}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1996, + MRCLASS = {32L07 (53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1603624, + MRREVIEWER = {Thalia D. Jeffres}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0094304}{DOI:10.1007/BFb0094304}.}, + DOI = {10.1007/BFb0094304}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0094304}, +} + +@article {MR1618325, + AUTHOR = {Ko{\l}odziej, Sławomir}, + TITLE = {The complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 180, + YEAR = 1998, + NUMBER = 1, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392879}{DOI:10.1007/BF02392879}}, + PAGES = {69--117}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F07 (32C17 35J60)}, + MRNUMBER = 1618325, + MRREVIEWER = {M. Klimek}, + DOI = {10.1007/BF02392879}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392879}, +} + +@article {MR1646046, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Subadjunction of log canonical divisors. {II}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {120}, + YEAR = {1998}, + NOTE = {URL \url{http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E30 (14J10)}, + MRNUMBER = {1646046}, +MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + URL = {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}, +} + +@incollection {MR1668579, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A. and Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {Fano varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {V}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {47}, + PAGES = {1--247}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1999}, + MRCLASS = {14J45 (14E07 14F22 14K30)}, + MRNUMBER = {1668579}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, +} + +@article {MR1691481, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Projective algebraic varieties whose universal covering spaces are biholomorphic to {${\bf C}^n$}}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 51, + YEAR = 1999, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--654}, + ISSN = {0025-5645}, + CODEN = {NISUBC}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 14J10)}, + MRNUMBER = 1691481, + MRREVIEWER = {Azniv Kasparian}, + DOI = {10.2969/jmsj/05130643}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/05130643}, +} + +@incollection {MR1715587, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + NOTE = {Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics (Japanese) (Kyoto, 1998), available on the internet at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1078.html}}, + JOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + FJOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + NUMBER = {1078}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {167--173}, + MRCLASS = {14J60 (14C20)}, + MRNUMBER = {1715587}, +MRREVIEWER = {Atsushi Noma}, +} + +@book {MR1738433, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Representations of fundamental groups of algebraic varieties}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {1708}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {viii+135}, + ISBN = {3-540-66312-6}, + MRCLASS = {14F35 (14E20 32J27 58E20)}, + MRNUMBER = {1738433}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0092569}{DOI:10.1007/BFb0092569}}, + DOI = {10.1007/BFb0092569}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0092569}, +} + +@book {MR1747010, + AUTHOR = {Morosawa, Shunsuke and Nishimura, Yasuichiro and Taniguchi, + Masahiko and Ueda, Tetsuo}, + TITLE = {Holomorphic dynamics}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 66, + NOTE = {Translated from the 1995 Japanese original and revised by the + authors}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+338}, + ISBN = {0-521-66258-3}, + MRCLASS = {37Fxx (30D05 32H50 32U35)}, + MRNUMBER = 1747010, + MRREVIEWER = {Estela A. Gavosto}, +} + +@incollection{MR1756407, + Author = {Vinberg, Ernest B. and Gorbatsevich, Vladimir V. and + Shvartsman, Ossip V.}, + Booktitle = {Lie groups and {L}ie algebras, {II}}, + Mrclass = {22E40}, + Mrnumber = 1756407, + Pages = {1--123, 217--223}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Discrete subgroups of {L}ie groups}, + Volume = 21, + Year = 2000 +} + +@article {MR1757883, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Erratum for: ``{G}eometric height inequalities and the + {K}odaira-{S}pencer map'' [{C}ompositio {M}ath. {\bf 105} + (1997), no. 1, 43--54; {MR}1436743 (98j:14029)]}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 121, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}{DOI:A:1001882724260}}, + NUMBER = 2, + PAGES = 219, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = 1757883, + DOI = {10.1023/A:1001882724260}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}, +} + +@article {MR1758581, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {Variétés algébriques dont le fibré tangent est totalement décomposé}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {522}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {161--171}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14J40}, + MRNUMBER = {1758581}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}{DOI:10.1515/crll.2000.036}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/9901138}{arXiv:math/9901138}}, + DOI = {10.1515/crll.2000.036}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}, +} + +@incollection{MR1760872, + Address = {Berlin}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Complex analysis and algebraic geometry}, + Mrclass = {32J27 (32J15 32J18 32Q20)}, + Mrnumber = {1760872 (2001f:32030)}, + Mrreviewer = {Matthew B. Stenzel}, + Pages = {61--70}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Complex manifolds with split tangent bundle}, + Year = 2000, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110806090}{DOI:10.1515/9783110806090}. \href{https://arxiv.org/abs/math/9809033}{arXiv:math/9809033}} +} + +@book {MR1761696, + AUTHOR = {Lemmermeyer, Franz}, + TITLE = {Reciprocity laws}, + SERIES = {Springer Monographs in Mathematics}, + NOTE = {From Euler to Eisenstein. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12893-0}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {xx+487}, + ISBN = {3-540-66957-4}, + MRCLASS = {11A15 (11L05 11R04 11R18)}, + MRNUMBER = {1761696}, +MRREVIEWER = {Charles Helou}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12893-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}, +} + +@article {MR1771144, + AUTHOR = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi and Takagi, Hiromichi}, + TITLE = {Boundedness of canonical {$\bold Q$}-{F}ano 3-folds}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {76}, + YEAR = {2000}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pja/1148393517}{euclid.pja/1148393517}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {73--77}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14J45 (14E30)}, + MRNUMBER = {1771144}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1148393517}, +} + +@book {MR1777835, + AUTHOR = {Zheng, Fangyang}, + TITLE = {Complex differential geometry}, + SERIES = {AMS/IP Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 18, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI; International + Press, Boston, MA}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+264}, + ISBN = {0-8218-2163-6}, + MRCLASS = {32Qxx (32-02 32J25 53C55 53C56)}, + MRNUMBER = 1777835, + MRREVIEWER = {Peng Lu}, +} + +@book{MR1787650, + Author = {Tian, Gang}, + Doi = {10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Isbn = {3-7643-6194-8}, + Mrclass = {32Q20 (53C25 58E11)}, + Mrnumber = {1787650 (2001j:32024)}, + Mrreviewer = {Azniv Kasparian}, + Note = {Notes taken by Meike Akveld}, + Pages = {vi+101}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + Series = {Lectures in Mathematics ETH Zürich}, + Title = {Canonical metrics in {K}ähler geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Year = 2000, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4} +} + +@book {MR1787733, + AUTHOR = {Joyce, Dominic D.}, + TITLE = {Compact manifolds with special holonomy}, + SERIES = {Oxford Mathematical Monographs}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {0-19-850601-5}, + MRCLASS = {53C29 (14J32 53-01 53-02 53C26 58J60 81T30)}, + MRNUMBER = 1787733, + MRREVIEWER = {Andrew Swann}, +} + +@article {MR1794169, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Complements on surfaces}, + NOTE = {Algebraic geometry, 10. \href{https://doi.org/10.1007/BF02984106}{DOI:10.1007/BF02984106}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci. (New York)}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences (New York)}, + VOLUME = {102}, + YEAR = {2000}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {3876--3932}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14J26 14J30)}, + MRNUMBER = {1794169}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/BF02984106}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02984106}, +} + +@article {MR1815399, + AUTHOR = {Kim, Minhyong and Thakur, Dinesh S. and Voloch, José F.}, + TITLE = {Diophantine approximation and deformation}, + JOURNAL = {Bull. Soc. Math. France}, + FJOURNAL = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + VOLUME = 128, + YEAR = 2000, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/bsmf.2383}{DOI:10.24033/bsmf.2383}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {585--598}, + ISSN = {0037-9484}, + MRCLASS = {11J61 (11G50 11J68 14D10)}, + MRNUMBER = 1815399, + MRREVIEWER = {Alain Lasjaunias}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2000__128_4_585_0}, +} + +@article {MR1819886, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Deformation theory of singular symplectic {$n$}-folds}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 319, + YEAR = 2001, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00004451}{DOI:10.1007/PL00004451}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {597--623}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32G05 (14J32 32J18)}, + MRNUMBER = 1819886, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/PL00004451}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00004451}, +} + +@book {MR1834454, + AUTHOR = {Helgason, Sigurdur}, + TITLE = {Differential geometry, {L}ie groups, and symmetric spaces}, + SERIES = {Graduate Studies in Mathematics}, + VOLUME = 34, + NOTE = {Corrected reprint of the 1978 + original. \href{https://doi.org/10.1090/gsm/034}{DOI:10.1090/gsm/034}}, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xxvi+641}, + ISBN = {0-8218-2848-7}, + MRCLASS = {53C35 (22E10 22E46 22E60)}, + MRNUMBER = {1834454 (2002b:53081)}, + DOI = {10.1090/gsm/034}, + URL = {https://doi.org/10.1090/gsm/034}, +} + +@article{MR1853454, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {JLMSAK}, + Fjournal = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + Issn = {0024-6107}, + Journal = {J. London Math. Soc. (2)}, + Mrclass = {14C17 (14C20 14J17)}, + Mrnumber = {1853454 (2002i:14009)}, + Mrreviewer = {Eriko Hironaka}, + Number = 2, + Pages = {327--343}, + Title = {The {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality for log canonical + surfaces}, + Volume = 64, + Year = 2001 +} + +@article {MR1868164, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Sakurai, Jun}, + TITLE = {Calabi-{Y}au threefolds of quotient type}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 2001, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}{DOI:10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--77}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14J32 (14J30 32Q25)}, + MRNUMBER = 1868164, + MRREVIEWER = {Bal\~A!`zs Szendr\AA ‘i}, + DOI = {10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, +} + +@article {MR187244, + AUTHOR = {Armstrong, Mark A.}, + TITLE = {On the fundamental group of an orbit space}, + JOURNAL = {Proc. Cambridge Philos. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Cambridge Philosophical Society}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {639--646}, + ISSN = {0008-1981}, + MRCLASS = {55.40}, + MRNUMBER = {187244}, +MRREVIEWER = {R. F. Williams}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}{DOI:10.1017/s0305004100038974}}, + DOI = {10.1017/s0305004100038974}, + URL = {https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}, +} + +@book {MR1878556, + AUTHOR = {Lang, Serge}, + TITLE = {Algebra}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = {211}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}{DOI:10.1007/978-1-4613-0041-0}}, + EDITION = {third}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = {2002}, + PAGES = {xvi+914}, + ISBN = {0-387-95385-X}, + MRCLASS = {00A05 (15-02)}, + MRNUMBER = {1878556}, + DOI = {10.1007/978-1-4613-0041-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}, +} + +@article {MR1892905, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {The first fundamental theorem on complements: from global to + local}, + JOURNAL = {Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Rossi\u{\i}skaya Akademiya Nauk. Izvestiya. Seriya + Matematicheskaya}, + VOLUME = {65}, + YEAR = {2001}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {99--128}, + ISSN = {1607-0046}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}{DOI:10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}}, + MRCLASS = {14E30 (14J40)}, + MRNUMBER = {1892905}, +MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, + URL = {https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, +} + +@book {MR1917232, + AUTHOR = {Liu, Qing}, + TITLE = {Algebraic geometry and arithmetic curves}, + SERIES = {Oxford Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 6, + NOTE = {Translated from the French by Reinie Erné, Oxford Science + Publications}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2002, + PAGES = {xvi+576}, + ISBN = {0-19-850284-2}, + MRCLASS = {14-01 (11G30 14A05 14A15 14Gxx 14Hxx)}, + MRNUMBER = 1917232, + MRREVIEWER = {C\'\i cero Carvalho}, +} + +@incollection {MR1945361, + AUTHOR = {Catanese, Fabrizio}, + TITLE = {Deformation types of real and complex manifolds}, + BOOKTITLE = {Contemporary trends in algebraic geometry and algebraic topology ({T}ianjin, 2000)}, + SERIES = {Nankai Tracts Math.}, + VOLUME = {5}, + PAGES = {195--238}, + PUBLISHER = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + YEAR = {2002}, + MRCLASS = {32G05 (14P05)}, + MRNUMBER = {1945361}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}{DOI:10.1142/9789812777416\_0009}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0111245}{arXiv:math/0111245}}, + DOI = {10.1142/9789812777416_0009}, + URL = {https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}, +} + +@incollection{MR1954067, + Address = {Berlin}, + Author = {Langer, Adrian}, + Booktitle = {Algebraic geometry}, + Mrclass = {14J60 (14C20)}, + Mrnumber = {1954067 (2004b:14077)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Pages = {237--256}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {A note on {B}ogomolov's instability and {H}iggs sheaves}, + Year = 2002 +} + +@inproceedings {MR1957061, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Update on 3-folds}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians, {V}ol. {II} ({B}eijing, 2002)}, + PAGES = {513--524}, + PUBLISHER = {Higher Ed. Press, Beijing}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {14J30 (14E30 14J32)}, + MRNUMBER = 1957061, + MRREVIEWER = {A. S. Tikhomirov}, +} + +@article {MR1959581, + AUTHOR = {Donaldson, Simon K.}, + TITLE = {Holomorphic discs and the complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {J. Symplectic Geom.}, + FJOURNAL = {The Journal of Symplectic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2002}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {171--196}, + ISSN = {1527-5256}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 58J32)}, + MRNUMBER = {1959581}, +MRREVIEWER = {David F. Mart\'{\i}nez-Torres}, + NOTE = {\href{https://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}{euclid.jsg/1092316649}.}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}, +} + +@article {MR1969009, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Erratum: ``{C}lassification of {F}ano 3-folds with {$B_2\geq 2$}'' [{M}anuscripta {M}ath. {\bf 36} (1981/82), no. 2, 147--162; {MR}0641971 (83f:14032)]}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 110, + YEAR = 2003, + NUMBER = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}{DOI:10.1007/s00229-002-0336-2}}, + PAGES = 407, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J45 (14E30 14J30)}, + MRNUMBER = 1969009, + DOI = {10.1007/s00229-002-0336-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}, +} + +@article{MR1971155, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@incollection {MR1978714, + AUTHOR = {Arapura, Donu}, + TITLE = {Higgs bundles, integrability, and holomorphic forms}, + BOOKTITLE = {Motives, polylogarithms and {H}odge theory, {P}art {II} + ({I}rvine, {CA}, 1998)}, + SERIES = {Int. Press Lect. Ser.}, + VOLUME = 3, + PAGES = {605--624}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {32G13 (14D20 14F35 32J27)}, + MRNUMBER = 1978714, + MRREVIEWER = {Indranil Biswas}, +} + +@article {MR1993750, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Prelimiting flips}, + JOURNAL = {Tr. Mat. Inst. Steklova}, + FJOURNAL = {Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova. + Rossi\u{i}skaya Akademiya Nauk}, + VOLUME = 240, + YEAR = 2003, + NUMBER = {Biratsion. Geom. Line\u{i}n. Sist. Konechno Porozhdennye + Algebry}, + PAGES = {82--219}, + ISSN = {0371-9685}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = 1993750, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, +} + +@article {MR2036231, + AUTHOR = {Chen, Jungkai A. and Hacon, Christopher D.}, + TITLE = {On the irregularity of the image of the {I}itaka fibration}, + JOURNAL = {Comm. Algebra}, + FJOURNAL = {Communications in Algebra}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {2004}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {203--215}, + ISSN = {0092-7872}, + MRCLASS = {14C20 (14D06)}, + MRNUMBER = {2036231}, +MRREVIEWER = {Miguel A. Barja}, + DOI = {10.1081/AGB-120027861}, + URL = {https://doi.org/10.1081/AGB-120027861}, +} + +@article {MR2041755, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Algebro-geometric version of {N}evanlinna's lemma on logarithmic derivative and applications}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}{DOI:10.1017/S0027763000008710}}, + VOLUME = {173}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {23--63}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {2041755}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1017/S0027763000008710}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}, +} + +@article{MR2057020, + Author = {Keel, Sean and Matsuki, Kenji and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14J30 14J35)}, + Mrnumber = {2057020 (2005a:14018)}, + Number = 3, + Pages = {625--630}, + Title = {Corrections to: ``{L}og abundance theorem for threefolds'' + [{D}uke {M}ath. {J}. {\bf 75} (1994), no. 1, 99--119; + MR1284817]}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12236-5}{DOI:10.1215/S0012-7094-04-12236-5}}, + Volume = 122, + Year = 2004 +} + +@book {MR2062813, + AUTHOR = {Bump, Daniel}, + TITLE = {Lie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 225, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xii+451}, + ISBN = {0-387-21154-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-4094-3}.}, + MRCLASS = {22-01 (22C05 22E15 22E46)}, + MRNUMBER = 2062813, + MRREVIEWER = {Karl-Hermann Neeb}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-4094-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}, +} + +@article {MR2096455, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {The second main theorem for small functions and related problems}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2004, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392741}{DOI:10.1007/BF02392741}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {225--294}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {30D35 (14G05 14G25)}, + MRNUMBER = 2096455, + MRREVIEWER = {D. Drasin}, + DOI = {10.1007/BF02392741}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392741}, +} + +@article {MR210944, + AUTHOR = {Prill, David}, + TITLE = {Local classification of quotients of complex manifolds by discontinuous groups}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {34}, + YEAR = {1967}, + PAGES = {375--386}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32.65 (10.23)}, + MRNUMBER = {210944}, +MRREVIEWER = {E. Brieskorn}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077377006}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-67-03441-2}{DOI:10.1215/S0012-7094-67-03441-2}}, +} + +@article {MR2124169, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {{$t$}-structures on the derived categories of holonomic {$\scr + D$}-modules and coherent {$\scr O$}-modules}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2004, + NOTE = {Available at + \url{https://www.ams.org/distribution/mmj/vol4-4-2004/cont4-4-2004.html}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {847--868, 981}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {32C38 (18E30)}, + MRNUMBER = 2124169, + MRREVIEWER = {Luisa Fiorot}, +} + +@article {MR2134273, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {The moduli {$b$}-divisor of an lc-trivial fibration}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {141}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}{DOI:10.1112/S0010437X04001071}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0308143}{arXiv:math/0308143}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {385--403}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2134273}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1112/S0010437X04001071}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}, +} + +@article {MR2141325, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {The degree of {F}ano threefolds with canonical {G}orenstein singularities}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{\i} Sbornik}, + VOLUME = {196}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}{DOI:10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {81--122}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14E15)}, + MRNUMBER = {2141325}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, +} + +@article {MR2153078, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Shokurov's boundary property}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {67}, + YEAR = {2004}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1102536201}{euclid.jdg/1102536201}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {229--255}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {14J10 (14E05 14N30)}, + MRNUMBER = {2153078}, +MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1102536201}, +} + +@book {MR2194466, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {An introduction}, + PUBLISHER = {World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ}, + YEAR = 2005, + PAGES = {xii+148}, + ISBN = {981-256-496-9}, + MRCLASS = {32F45 (32H02 32H04 32Q45)}, + MRNUMBER = 2194466, + MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1142/5936}, + URL = {https://doi.org/10.1142/5936}, +} + +@article {MR2196000, + AUTHOR = {Flenner, Hubert and Zaidenberg, Mikhail}, + TITLE = {Locally nilpotent derivations on affine surfaces with a {$\Bbb C^*$}-action}, + JOURNAL = {Osaka J. Math.}, + FJOURNAL = {Osaka Journal of Mathematics}, + VOLUME = 42, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}{euclid.ojm/1153494558}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {931--974}, + ISSN = {0030-6126}, + MRCLASS = {14R20 (14R05)}, + MRNUMBER = 2196000, + MRREVIEWER = {Adrien Dubouloz}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}, +} + +@incollection{MR2210794, + Author = {Drézet, Jean-Marc}, + Booktitle = {Algebraic group actions and quotients}, + Mrclass = {14L30 (14L24)}, + Mrnumber = {2210794 (2006k:14082)}, + Mrreviewer = {Lucy Moser-Jauslin}, + Pages = {39--89}, + Publisher = {Hindawi Publ. Corp., Cairo}, + Title = {Luna's slice theorem and applications}, + Year = 2004 +} + +@article {MR2221132, + AUTHOR = {Kaledin, Dmitry and Lehn, Manfred and Sorger, Christoph}, + TITLE = {Singular symplectic moduli spaces}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 164, + YEAR = 2006, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}{DOI:10.1007/s00222-005-0484-6}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {591--614}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14D20 (14J28 14J60)}, + MRNUMBER = 2221132, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.1007/s00222-005-0484-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}, +} + +@article{MR2229475, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1142/S0129167X0600362X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J40)}, + Mrnumber = {2229475 (2007b:14034)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 5, + Pages = {619--631}, + Title = {Kodaira dimension of subvarieties. {II}}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X}, + Volume = 17, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X} +} + +@article {MR2231055, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Hernández Ruipérez, Daniel}, + TITLE = {Semistability vs.\ nefness for ({H}iggs) vector bundles}, + JOURNAL = {Differential Geom. Appl.}, + FJOURNAL = {Differential Geometry and its Applications}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2006, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}{DOI:10.1016/j.difgeo.2005.12.007}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {403--416}, + ISSN = {0926-2245}, + CODEN = {DGAPEO}, + MRCLASS = {14H60 (14J60)}, + MRNUMBER = 2231055, + MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, +} + +@article{MR2239523, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Coden = {TPLGAF}, + Doi = {10.1016/j.top.2006.06.006}, + Fjournal = {Topology. An International Journal of Mathematics}, + Issn = {0040-9383}, + Journal = {Topology}, + Mrclass = {14J29 (14J27)}, + Mrnumber = {2239523 (2008b:14065)}, + Number = 5, + Pages = {919--927}, + Title = {A fake projective plane with an order 7 automorphism}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}{DOI:10.1016/j.top.2006.06.006}}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}, + Volume = 45, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006} +} + +@book {MR2243012, + AUTHOR = {Ballmann, Werner}, + TITLE = {Lectures on {K}ähler manifolds}, + SERIES = {ESI Lectures in Mathematics and Physics}, + PUBLISHER = {European Mathematical Society (EMS), Zürich}, + YEAR = 2006, + PAGES = {x+172}, + ISBN = {978-3-03719-025-8; 3-03719-025-6}, + MRCLASS = {32Q15 (53C55)}, + MRNUMBER = {2243012 (2007e:32026)}, + MRREVIEWER = {Joel Fine}, + DOI = {10.4171/025}, + URL = {https://doi.org/10.4171/025}, +} + +@book{MR2247485, + Address = {Berlin}, + Author = {Jost, Jürgen}, + Doi = {10.1007/978-3-540-33067-7}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-3-540-33065-3; 3-540-33065-8}, + Mrclass = {32G15 (58E20)}, + Mrnumber = {2247485 (2007b:32024)}, + Note = {An introduction to contemporary mathematics}, + Pages = {xviii+277}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Compact {R}iemann surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7}, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7} +} + +@article {MR2281877, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {I}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + NUMBER = 869, + PAGES = {xii+324}, + ISSN = {0065-9266}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2281877, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0869}, +} + +@article {MR2283665, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {II}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0870}{DOI:10.1090/memo/0870}}, + NUMBER = 870, + PAGES = {xii+565}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2283665, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = {10.1090/memo/0870}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0870}, +} + +@book{MR2290112, + Address = {Berlin}, + Author = {Greuel, G.-M. and Lossen, C. and Shustin, E.}, + Isbn = {978-3-540-28380-5; 3-540-28380-3}, + Mrclass = {32Sxx (14B05)}, + Mrnumber = {2290112 (2008b:32013)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xii+471}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Introduction to singularities and deformations}, + Year = 2007 +} + +@article {MR2310103, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Kobayashi-{H}itchin correspondence for tame harmonic bundles + and an application}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 309, + YEAR = 2006, + PAGES = {viii+117}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-226-6}, + MRCLASS = {32Q20 (14D07 14J60 32G20 53C07)}, + MRNUMBER = 2310103, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, +} + +@article{MR2332355, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32G99 (14D15 32J27)}, + Mrnumber = {2332355 (2008m:32028)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {179--189}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto the blow-up of the + projective plane}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Volume = 40, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001} +} + +@article{MR2336831, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14J45 (32H02)}, + Mrnumber = {2336831 (2008g:14064)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Number = 3, + Pages = {815--823}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto {F}ano manifolds of + second and fourth {B}etti numbers 1}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0}, + Volume = 57, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0} +} + +@article {MR2343296, + AUTHOR = {Bradlow, Steven B. and García-Prada, Oscar and Gothen, + Peter B.}, + TITLE = {What is{$\dots$} a {H}iggs bundle?}, + JOURNAL = {Notices Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Notices of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 54, + YEAR = 2007, + NUMBER = 8, + PAGES = {980--981}, + ISSN = {0002-9920}, + MRCLASS = {53C07 (14D21)}, + MRNUMBER = {2343296 (2008e:53035)}, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, +} + +@article{MR2344354, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14E99 (32G05 32J15)}, + Mrnumber = {2344354 (2008k:14038)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Note = {With an appendix by Sönke + Rollenske. \href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}{euclid.jdg/1185550815}}, + Number = 1, + Pages = {43--75}, + Title = {Q.{E}.{D}. for algebraic varieties}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}, + Volume = 77, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815} +} + +@book{MR2352762, + Address = {Oxford}, + Author = {{Corti et al.}, Alessio}, + Isbn = {978-0-19-857061-5}, + Mrclass = {14E30 (14-06)}, + Mrnumber = {2352762 (2008j:14031)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Pages = {x+189}, + Publisher = {Oxford University Press}, + Series = {Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications}, + Title = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Volume = 35, + Year = 2007 +} + +@incollection {MR2359346, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Kodaira's canonical bundle formula and adjunction}, + BOOKTITLE = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + SERIES = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + VOLUME = {35}, + PAGES = {134--162}, + PUBLISHER = {Oxford Univ. Press, Oxford}, + YEAR = {2007}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}{DOI:10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2359346}, + DOI = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, + URL = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, +} + +@book{MR2359489, + Author = {Wells, Jr., Raymond O.}, + Doi = {10.1007/978-0-387-73892-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-0-387-73891-8}, + Mrclass = {32-01 (58-01)}, + Mrnumber = {2359489 (2008g:32001)}, + Note = {With a new appendix by Oscar Garcia-Prada}, + Pages = {xiv+299}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential analysis on complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5}, + Volume = 65, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5} +} + +@article {MR2364074, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Gra{\~n}a Otero, Beatriz}, + TITLE = {Metrics on semistable and numerically effective {H}iggs + bundles}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 612, + YEAR = 2007, + PAGES = {59--79}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {32L05 (32Q20)}, + MRNUMBER = 2364074, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2007.084}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.084}, +} + +@article {MR2369185, + AUTHOR = {Biswas, Indranil and Gómez, Tomás L.}, + TITLE = {Connections and {H}iggs fields on a principal bundle}, + JOURNAL = {Ann. Global Anal. Geom.}, + FJOURNAL = {Annals of Global Analysis and Geometry}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}{DOI:10.1007/s10455-007-9072-x}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {19--46}, + ISSN = {0232-704X}, + MRCLASS = {32L05 (14L10 53C07)}, + MRNUMBER = {2369185}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1007/s10455-007-9072-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}, +} + +@article {MR2372739, + AUTHOR = {Wittenberg, Olivier}, + TITLE = {On {A}lbanese torsors and the elementary obstruction}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {340}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}{DOI:10.1007/s00208-007-0170-7}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/0611284}{arXiv:math/0611284}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {805--838}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14C25 (14K05)}, + MRNUMBER = {2372739}, +MRREVIEWER = {Francisco J. Plaza Mart\'{\i}n}, + DOI = {10.1007/s00208-007-0170-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}, +} + +@book {MR2377148, + AUTHOR = {Bryant, John and Sangwin, Chris}, + TITLE = {How round is your circle? Where engineering and mathematics meet.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400837953.303}{DOI:10.1515/9781400837953.303}}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = {2008}, + PAGES = {xxii+306}, + ISBN = {978-0-691-13118-4}, + MRCLASS = {00A06 (00A05 51M15 51M99 70-01 70Bxx)}, + MRNUMBER = {2377148}, +MRREVIEWER = {Andrew Edward Whelan}, +} + +@article{MR2383493, + Author = {Abe, Takuro and Yoshinaga, Masahiko}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F05 (14J60)}, + Mrnumber = {2383493 (2009f:14029)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 6, + Pages = {1887--1891}, + Title = {Splitting criterion for reflexive sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Volume = 136, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2} +} + +@article{MR2399162, + Author = {Rollenske, Sönke}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-007-0206-z}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C56 (55T99 58A14)}, + Mrnumber = {2399162 (2009c:53099)}, + Mrreviewer = {Sergio Console}, + Number = 3, + Pages = {623--628}, + Title = {The {F}rölicher spectral sequence can be arbitrarily non-degenerate}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z}, + Volume = 341, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z} +} + +@article{MR2400877, + Author = {Kollár, János}, + Fjournal = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + Issn = {1558-8599}, + Journal = {Pure Appl. Math. Q.}, + Mrclass = {14J80 (14J17 57N13)}, + Mrnumber = {2400877 (2009b:14086)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = {2, part 1}, + Pages = {203--236}, + Title = {Is there a topological {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality?}, + Volume = 4, + Year = 2008 +} + +@article{MR2429621, + Author = {Aprodu, Marian and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-007-0282-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E20 (14J45)}, + Mrnumber = {2429621 (2009m:14017)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {431--449}, + Title = {Galois coverings and endomorphisms of projective varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5}, + Volume = 260, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5} +} + +@article {MR2439607, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {Cohomological characterizations of projective spaces and + hyperquadrics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 174, + YEAR = 2008, + NUMBER = 2, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}{DOI:10.1007/s00222-008-0130-1}}, + PAGES = {233--253}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14E30 (14F10 14M20)}, + MRNUMBER = 2439607, + MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-008-0130-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}, +} + +@article{MR2443971, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Doi = {10.2140/gt.2008.12.2497}, + Fjournal = {Geometry \& Topology}, + Issn = {1465-3060}, + Journal = {Geom. Topol.}, + Mrclass = {14J29 (14E15)}, + Mrnumber = {2443971 (2009g:14042)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 4, + Pages = {2497--2515}, + Title = {Quotients of fake projective planes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}{DOI: + 10.2140/gt.2008.12.2497}}, + Url = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}, + Volume = 12, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497} +} + +@article {MR2448282, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Towards the second main theorem on complements}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}{DOI:10.1090/S1056-3911-08-00498-0}}, + PAGES = {151--199}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14C20 (14J45)}, + MRNUMBER = 2448282, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, +} + +@article{MR2449950, + Author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2008-054}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32L15 (14J40)}, + Mrnumber = {2449950 (2009k:32020)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 2, + Pages = {341--378}, + Title = {Bergman kernels and the pseudoeffectivity of relative + canonical bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}{DOI: + 10.1215/00127094-2008-054}}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}, + Volume = 145, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054} +} + +@incollection{MR2483953, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}eattle 2005. {P}art 2}, + Mrclass = {14J10 (14-02 14D20 14E30)}, + Mrnumber = {2483953 (2009m:14051)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Pages = {711--743}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to moduli of higher dimensional + varieties}, + Volume = 80, + Year = 2009 +} + +@article{MR2497488, + Author = {Zhang, Yuguang}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32Q20 (32L05 53C25 53C44)}, + Mrnumber = {2497488 (2010b:32036)}, + Mrreviewer = {Julien Keller}, + Number = 8, + Pages = {2749--2754}, + Title = {Miyaoka-{Y}au inequality for minimal projective manifolds of + general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}{DOI: + 10.1090/S0002-9939-09-09838-4}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Volume = 137, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4} +} + +@inproceedings{MR2500573, + Author = {Włodarczyk, Jarosław}, + Booktitle = {Proceedings of {G}ökova {G}eometry-{T}opology {C}onference + 2008}, + Mrclass = {32S45 (32C25)}, + Mrnumber = {2500573 (2011e:32039)}, + Pages = {31--63}, + Publisher = {Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova}, + Title = {Resolution of singularities of analytic spaces}, + Year = 2009 +} + +@article {MR2505296, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {Singular {K}ähler-{E}instein metrics}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {607--639}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {32Q20 (31C10 32J27 32Q25 32W20)}, + MRNUMBER = {2505296 (2010k:32031)}, + MRREVIEWER = {Zhou Zhang}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00629-8}}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, +} + +@book{MR2514037, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {978-81-85931-86-9; 81-85931-86-0}, + Mrclass = {14Kxx}, + Mrnumber = {2514037 (2010e:14040)}, + Note = {With appendices by C. P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected + reprint of the second (1974) edition}, + Pages = {xii+263}, + Publisher = {Published for the Tata Institute of Fundamental Research, + Bombay}, + Series = {Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics}, + Title = {Abelian varieties}, + Volume = 5, + Year = 2008 +} + +@book {MR2522486, + AUTHOR = {Goodman, Roe and Wallach, Nolan R.}, + TITLE = {Symmetry, representations, and invariants}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 255, + PUBLISHER = {Springer, Dordrecht}, + YEAR = 2009, + PAGES = {xx+716}, + ISBN = {978-0-387-79851-6}, + MRCLASS = {20G05 (14L35 17B10 20C30 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 2522486, + MRREVIEWER = {Vladimir V. Shchigolev}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}{DOI:10.1007/978-0-387-79852-3}.}, + DOI = {10.1007/978-0-387-79852-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}, +} + +@article {MR2538503, + AUTHOR = {Tosatti, Valentino}, + TITLE = {Limits of {C}alabi-{Y}au metrics when the {K}ähler class + degenerates}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 4, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/165}{DOI:b10.4171/JEMS/165}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0710.4579}{arXiv:0710.4579}}, + PAGES = {755--776}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {32Q25 (32Q20 32W20)}, + MRNUMBER = {2538503 (2010j:32039)}, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, + DOI = {10.4171/JEMS/165}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/165}, +} + +@book {MR2542964, + AUTHOR = {Lehrer, Gustav I. and Taylor, Donald E.}, + TITLE = {Unitary reflection groups}, + SERIES = {Australian Mathematical Society Lecture Series}, + VOLUME = {20}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {viii+294}, + ISBN = {978-0-521-74989-3}, + MRCLASS = {20F55}, + MRNUMBER = {2542964}, +MRREVIEWER = {O. V. Shvartsman}, +} + +@article {MR2545454, + AUTHOR = {Biswas, Indranil}, + TITLE = {Semistability and restrictions of tangent bundle to curves}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + VOLUME = {142}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {37--46}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14F05 (32L10)}, + MRNUMBER = {2545454}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}{DOI:10.1007/s10711-009-9356-3}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0901.4161}{arXiv:0901.4161}}, + DOI = {10.1007/s10711-009-9356-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}, +} + +@article {MR2567402, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {A {M}inkowski-style bound for the orders of the finite + subgroups of the {C}remona group of rank 2 over an arbitrary + field}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 9, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + PAGES = {193--208, back matter}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {14E07 (14J26)}, + MRNUMBER = 2567402, + MRREVIEWER = {Alberto Calabri}, +} + +@book{MR2583634, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Isbn = {978-1-4419-1595-5}, + Mrclass = {14D15 (13D10 14B07 14B12)}, + Mrnumber = {2583634 (2011c:14023)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Pages = {viii+234}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Deformation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Volume = 257, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2} +} + +@article {MR2586735, + AUTHOR = {Cartwright, Donald I. and Steger, Tim}, + TITLE = {Enumeration of the 50 fake projective planes}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 348, + YEAR = 2010, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}{DOI:10.1016/j.crma.2009.11.016}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {11--13}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {20G20 (14J99)}, + MRNUMBER = 2586735, + DOI = {10.1016/j.crma.2009.11.016}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}, +} + +@article{MR2587100, + Author = {Nakayama, Noboru and Zhang, De-Qi}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-009-0420-y}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14H20 32H50)}, + Mrnumber = {2587100 (2011c:14103)}, + Mrreviewer = {Karl Schwede}, + Number = 4, + Pages = {991--1018}, + Title = {Polarized endomorphisms of complex normal varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y}, + Volume = 346, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y} +} + +@article{MR2587409, + Author = {Birkar, Caucher}, + Doi = {10.2140/ant.2009.3.951}, + Fjournal = {Algebra \& Number Theory}, + Issn = {1937-0652}, + Journal = {Algebra Number Theory}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2587409 (2011b:14034)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Number = 8, + Pages = {951--958}, + Title = {Log minimal models according to {S}hokurov}, + Url = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951}, + Volume = 3, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951} +} + +@article {MR2592955, + AUTHOR = {Greb, Daniel}, + TITLE = {Projectivity of analytic {H}ilbert and {K}ähler quotients}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2010, + NUMBER = 6, + PAGES = {3243--3271}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {14L30 (14L24 32M05 53D20)}, + MRNUMBER = 2592955, + MRREVIEWER = {Dmitry A. Timash{\"e}v}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, +} + +@article {MR2605324, + AUTHOR = {Gasbarri, Carlo}, + TITLE = {The strong {$abc$} conjecture over function fields (after {M}c{Q}uillan and {Y}amanoi)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0811.3153}{arXiv:0811.3153}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 326, + YEAR = 2009, + PAGES = {Exp. No. 989, viii, 219--256 (2010)}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-285629-269-3}, + MRCLASS = {11D75 (11-02 11J97)}, + MRNUMBER = 2605324, + MRREVIEWER = {Robert Juricevic}, +} + +@article{MR2629988, + Author = {Kollár, János and Kovács, Sándor J.}, + Doi = {10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J17 (14B07 14E30)}, + Mrnumber = {2629988 (2011m:14061)}, + Mrreviewer = {Ali Sinan Sertöz}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}{DOI:10.1090/S0894-0347-10-00663-6}}, + Number = 3, + Pages = {791--813}, + Title = {Log canonical singularities are {D}u {B}ois}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Volume = 23, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6} +} + +@article {MR2629989, + AUTHOR = {Kleiner, Bruce}, + TITLE = {A new proof of {G}romov's theorem on groups of polynomial + growth}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2010, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00658-4}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {815--829}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {20F65 (20F67 20F69)}, + MRNUMBER = 2629989, + MRREVIEWER = {Fran{\c{c}}ois Dahmani}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, +} + +@article {MR2648675, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Le groupe de {C}remona et ses sous-groupes finis}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997--1011}, + JOURNAL = {Astéisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {332}, + YEAR = {2010}, + PAGES = {Exp. No. 1000, vii, 75--100}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-291-4}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = {2648675}, +} + +@book{MR2665168, + Address = {Cambridge}, + Author = {Huybrechts, Daniel and Lehn, Manfred}, + Doi = {10.1017/CBO9780511711985}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-0-521-13420-0}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {2665168 (2011e:14017)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}{DOI:10.1017/CBO9780511711985}}, + Pages = {xviii+325}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Mathematical Library}, + Title = {The geometry of moduli spaces of sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985} +} + +@article {MR2667786, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {On fundamental groups of algebraic varieties and value distribution theory}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2532}{DOI:10.5802/aif.2532}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {551--563}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32H30 (14F35)}, + MRNUMBER = {2667786}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_2_551_0}, +} + +@article{MR2674856, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {ENMAAR}, + Doi = {10.4171/LEM/56-1-4}, + Fjournal = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + Issn = {0013-8584}, + Journal = {Enseign. Math. (2)}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {2674856 (2011g:14022)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = {1-2}, + Pages = {87--142}, + Title = {Positivity of direct image sheaves---a geometric point of + view}, + Url = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4}, + Volume = 56, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4} +} + +@book {MR2675155, + AUTHOR = {Görtz, Ulrich and Wedhorn, Torsten}, + TITLE = {Algebraic geometry {I}, Schemes, With Examples and Exercises}, + SERIES = {Advanced Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {Vieweg + Teubner, Wiesbaden}, + YEAR = 2010, + PAGES = {viii+615}, + ISBN = {978-3-8348-0676-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = {2675155 (2011f:14001)}, + MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}{DOI:10.1007/978-3-8348-9722-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-8348-9722-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}, +} + +@article {MR2739808, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Non-algebraic hyperkähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1292940689}{DOI:10.4310/jdg/1292940689}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0804.1682}{arXiv:0804.1682}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {397--424}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {53C26 (14D06 32J27 32Q15)}, + MRNUMBER = {2739808}, +MRREVIEWER = {Justin Sawon}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1292940689}, +} + +@article{MR2746347, + Author = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + Date-Added = {2015-06-19 15:15:17 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:17:58 +0000}, + Journal = {Acta Math.}, + Number = 2, + Pages = {199--262}, + Title = {Monge-Ampère equations in big cohomology classes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-010-0054-7}{DOI:10.1007/s11511-010-0054-7}}, + Volume = 205, + Year = 2010 +} + +@book{MR2766102, + Author = {Lee, John M.}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-1-4419-7939-1}, + Mrclass = {57-01 (54-01 55-01)}, + Mrnumber = {2766102 (2011i:57001)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}{DOI:10.1007/978-1-4419-7940-7}}, + Pages = {xviii+433}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Introduction to topological manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Volume = 202, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7} +} + +@article{MR2773396, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14J60 (14D20)}, + Mrnumber = {2773396 (2012b:14085)}, + Mrreviewer = {Zhenbo Qin}, + Number = 2, + Pages = {178--186}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}{DOI: + 10.1016/j.bulsci.2010.10.001}}, + Title = {Bogomolov restriction theorem for {H}iggs bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001} +} + +@incollection {MR2779470, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Special orbifolds and birational classification: a survey}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic varieties}, + SERIES = {EMS Ser. Congr. Rep.}, + PAGES = {123--170}, + PUBLISHER = {Eur. Math. Soc., Zürich}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {14E05 (14-02 14E30)}, + MRNUMBER = {2779470}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/007-1/6}{DOI:10.4171/007-1/6}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1001.3763v1}{arXiv:1001.3763v1}}, + DOI = {10.4171/007-1/6}, + URL = {https://doi.org/10.4171/007-1/6}, +} + +@article {MR2784026, + AUTHOR = {Choi, Sung Rak and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Geography of log models: theory and applications}, + JOURNAL = {Cent. Eur. J. Math.}, + FJOURNAL = {Central European Journal of Mathematics}, + VOLUME = {9}, + YEAR = {2011}, + NUMBER = {3}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}{DOI:10.2478/s11533-011-0013-3}}, + PAGES = {489--534}, + ISSN = {1895-1074}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2784026}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazi\'{c}}, + DOI = {10.2478/s11533-011-0013-3}, + URL = {https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}, +} + +@article{MR2793040, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60 14L15)}, + Mrnumber = {2793040 (2012h:14035)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}{DOI:10.1016/j.bulsci.2010.04.003}}, + Mrreviewer = {Johan A. Martens}, + Number = 3, + Pages = {251--261}, + Title = {Restriction theorems for {H}iggs principal bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003} +} + +@article{MR2796069, + Author = {Källström, Rolf}, + Coden = {JALGA4}, + Doi = {10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {14A10 (14F05 14M10)}, + Mrnumber = {2796069 (2012d:14001)}, + Mrreviewer = {Ana Rita Martins}, + Pages = {169--180}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for complete intersections}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Volume = 337, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003} +} + +@inproceedings {MR2827803, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + TITLE = {Boundedness results in birational geometry}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians. {V}olume {II}}, + PAGES = {427--449}, + PUBLISHER = {Hindustan Book Agency, New Delhi}, + YEAR = {2010}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = {2827803}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazić}, +} + +@article {MR2831280, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + VOLUME = 10, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}{DOI:10.1017/S1474748010000101}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0705.0737v5}{arXiv:0705.0737v5}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {809--934}, + ISSN = {1474-7480}, + MRCLASS = {32J27 (11G05 32J25 32Q45)}, + MRNUMBER = 2831280, + DOI = {10.1017/S1474748010000101}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}, +} + +@article {MR2838215, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Simultaneous normalization and algebra husks}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2011, + NUMBER = 3, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}{DOI:10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.1076}{arXiv:0910.1076}.}, + PAGES = {437--449}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14B25 (14D06 14D15 14D22)}, + MRNUMBER = 2838215, + MRREVIEWER = {Liam O'Carroll}, + DOI = {10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, +} + +@article{MR2860268, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-010-0758-6}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D20)}, + Mrnumber = {2860268 (2012k:14046)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = {3-4}, + Pages = {847--878}, + Title = {Families over special base manifolds and a conjecture of + {C}ampana}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6}{DOI:10.1007/s00209-010-0758-6}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0905.1746}{arXiv:0905.1746}}, + Volume = 269, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6} +} + +@article{MR2871152, + Author = {Patakfalvi, Zsolt}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E05)}, + Mrnumber = {2871152 (2012m:14072)}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {1640--1642}, + Title = {Viehweg's hyperbolicity conjecture is true over compact bases}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Volume = 229, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013} +} + +@article{MR2881306, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.4171/JEMS/312}, + Fjournal = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Issn = {1435-9855}, + Journal = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + Mrclass = {14J10 (14C20 14E30 14J60)}, + Mrnumber = 2881306, + Mrreviewer = {Maria Chiara Brambilla}, + Number = 2, + Pages = {571--603}, + Title = {Varieties with generically nef tangent bundles}, + Url = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312}, + Volume = 14, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312} +} + +@book {MR2883440, + AUTHOR = {Nicolaescu, Liviu}, + TITLE = {An invitation to {M}orse theory}, + SERIES = {Universitext}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}{DOI:10.1007/978-1-4614-1105-5}}, + YEAR = {2011}, + PAGES = {xvi+353}, + ISBN = {978-1-4614-1104-8}, + MRCLASS = {58E05 (37D15 37J15 57R45 57R70 58K05)}, + MRNUMBER = {2883440}, + DOI = {10.1007/978-1-4614-1105-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}, +} + +@incollection{MR2894633, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Booktitle = {Compact moduli spaces and vector bundles}, + Doi = {10.1090/conm/564/11154}, + Mrclass = {14J60 (14C05 14F05 32L05 32Q26)}, + Mrnumber = 2894633, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Pages = {177--184}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Restrictions of stable bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}{DOI:10.1090/conm/564/11154}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}, + Volume = 564, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154} +} + +@article {MR2912485, + AUTHOR = {Yu, JianMing and Jiang, GuangFeng}, + TITLE = {Reducibility of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = {55}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {947--948}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {20F55 (52C35)}, + MRNUMBER = {2912485}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}{DOI:10.1007/s11425-011-4341-3}}, + DOI = {10.1007/s11425-011-4341-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}, +} + +@article {MR2915479, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Rollenske, Sönke}, + TITLE = {Torsion and cotorsion in the sheaf of {K}ähler differentials on some mild singularities}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2011, + NUMBER = 6, + PAGES = {1259--1269}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14F10 (13N05 14B05)}, + MRNUMBER = 2915479, + MRREVIEWER = {Wenliang Zhang}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}{DOI:10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1012.5940}{arXiv:1012.5940}}, + DOI = {10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, +} + +@article {MR2918165, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Voisin, Claire}, + TITLE = {Anticanonical divisors and curve classes on {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}{DOI:10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}.}, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1371--1393}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14J45 (14C30 14D07 14J17)}, + MRNUMBER = 2918165, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, +} + +@article {MR2918179, + AUTHOR = {Simpson, Carlos}, + TITLE = {Local systems on proper algebraic {$V$}-manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1675--1759}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14D23 (14A20 14C30 32C18)}, + MRNUMBER = 2918179, + MRREVIEWER = {Jack Hall}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a27}, +} + +@incollection{MR2931877, + Address = {Cambridge}, + Author = {Totaro, Burt}, + Booktitle = {Current developments in algebraic geometry}, + Mrclass = {14Jxx (30F35 30F45)}, + Mrnumber = 2931877, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1008.3825}{arXiv:1008.3825}}, + Pages = {405--426}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Algebraic surfaces and hyperbolic geometry}, + Volume = 59, + Year = 2012 +} + +@article {MR2944479, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On canonical bundle formulas and subadjunctions}, + JOURNAL = {Michigan Math. J.}, + FJOURNAL = {Michigan Mathematical Journal}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {255--264}, + ISSN = {0026-2285}, + MRCLASS = {14C20 (14B05)}, + MRNUMBER = {2944479}, +MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}{DOI:10.1307/mmj/1339011526}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1009.3996}{arXiv:1009.3996}}, + DOI = {10.1307/mmj/1339011526}, + URL = {https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}, +} + +@article{MR2976311, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {AIFUA7}, + Doi = {10.5802/aif.2673}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14D22 (14D07)}, + Mrnumber = 2976311, + Number = 6, + Pages = {2277--2290 (2012)}, + Title = {Positive sheaves of differentials coming from coarse moduli + spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2673}{DOI:10.5802/aif.2673}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0904.2445}{arXiv:0904.2445}.}, + Url = {https://doi.org/10.5802/aif.2673}, + Volume = 61, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.5802/aif.2673} +} + +@article {MR3010808, + AUTHOR = {Odaka, Yuji}, + TITLE = {The {GIT} stability of polarized varieties via discrepancy}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {177}, + YEAR = {2013}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {645--661}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14C20 (14J17 14L24 32Q26)}, + MRNUMBER = {3010808}, +MRREVIEWER = {Daniel Greb}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.2.6}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0807.1716}{arXiv:0807.1716}}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.2.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}, +} + +@article {MR3030002, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Novelli, Carla}, + TITLE = {Mori contractions of maximal length}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Publications of the Research Institute for Mathematical + Sciences}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}{DOI:10.4171/PRIMS/103}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1201.4009}{arXiv:1201.4009}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {215--228}, + ISSN = {0034-5318}, + MRCLASS = {14E30 (14D06 14J45)}, + MRNUMBER = 3030002, + MRREVIEWER = {Zhi Jiang}, + DOI = {10.4171/PRIMS/103}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}, +} + +@article{MR3030068, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Doi = {10.1142/S0129167X12501224}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32Q26 (14E20 14E30 32J27 32L10)}, + Mrnumber = 3030068, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}{DOI:10.1142/S0129167X12501224}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1106.1300}{arXiv:1106.1300}.}, + Pages = {1250122, 15}, + Title = {Semistability of restricted tangent bundles and a question of {I}. {B}iswas}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}, + Volume = 24, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224} +} + +@article {MR3033631, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On {F}ano foliations}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {238}, + YEAR = {2013}, + PAGES = {70--118}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}{DOI:10.1016/j.aim.2013.02.003}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1112.4512}{arXiv:1112.4512}}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {37F25 (14M22)}, + MRNUMBER = {3033631}, + DOI = {10.1016/j.aim.2013.02.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}, +} + +@article {MR3034294, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {On the birational automorphisms of varieties of general type}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 177, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.3.6}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {1077--1111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3034294, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.3.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}, +} + +@article {MR3044124, + AUTHOR = {Klingler, Bruno}, + TITLE = {Symmetric differentials, {K}ähler groups and ball quotients}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}{DOI:10.1007/s00222-012-0411-6}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {257--286}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {22E10 (22E45 32M05 32P05 32Q55)}, + MRNUMBER = 3044124, + MRREVIEWER = {Takashi Umeno}, + DOI = {10.1007/s00222-012-0411-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}, +} + +@book {MR3057950, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Singularities of the minimal model program}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 200, + NOTE = {With a collaboration of Sándor + Kovács. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}{DOI:10.1017/CBO9781139547895}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2013, + PAGES = {x+370}, + ISBN = {978-1-107-03534-8}, + MRCLASS = {14E30 (14B05)}, + MRNUMBER = 3057950, + MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + DOI = {10.1017/CBO9781139547895}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}, +} + +@article {MR3077660, + AUTHOR = {Lohmann, Daniel}, + TITLE = {Families of canonically polarized manifolds over log {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {2013}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}{DOI:10.1112/S0010437X1200053X}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1019--1040}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (14E30)}, + MRNUMBER = {3077660}, +MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1112/S0010437X1200053X}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}, +} + +@article{MR3084424, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Doi = {10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J17 (14B05 14F10)}, + Mrnumber = 3084424, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}{DOI:10.1016/j.aim.2013.06.013}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.3255}{arXiv:1210.3255}.}, + Pages = {78--112}, + Title = {Pull-back morphisms for reflexive differential forms}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Volume = 245, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013} +} + +@article {MR3087348, + AUTHOR = {Sabbah, Claude}, + TITLE = {Théorie de {H}odge et correspondance de {H}itchin-{K}obayashi + sauvages (d'après {T}. {M}ochizuki)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2011/2012. Exposés 1043--1058}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 352, + YEAR = 2013, + PAGES = {Exp. No. 1050, viii, 205--241}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-371-3}, + MRCLASS = {14C30 (14J60 32C38 53C07)}, + MRNUMBER = 3087348, + MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3088903, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Lectures on the {S}hafarevich conjecture on uniformization}, + BOOKTITLE = {Complex manifolds, foliations and uniformization}, + SERIES = {Panor. Synthèses}, + VOLUME = {34/35}, + PAGES = {101--148}, + PUBLISHER = {Soc. Math. France, Paris}, + YEAR = 2011, + MRCLASS = {32J25 (14F35 32E05 32Q30)}, + MRNUMBER = 3088903, + MRREVIEWER = {André Oliveira}, +} + +@article {MR3095099, + AUTHOR = {McQuillan, Michael}, + TITLE = {Dérivation relative}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 351, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}{DOI:10.1016/j.crma.2013.05.003}}, + NUMBER = {13-14}, + PAGES = {523--526}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {14G40 (32P05 32U40)}, + MRNUMBER = 3095099, + DOI = {10.1016/j.crma.2013.05.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}, +} + +@article {MR3127814, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Klingler, Bruno and Totaro, Burt}, + TITLE = {Symmetric differentials and the fundamental group}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 162, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}{DOI:10.1215/00127094-2381442}.}, + NUMBER = 14, + PAGES = {2797--2813}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14F35 (14D07 14F10)}, + MRNUMBER = 3127814, + MRREVIEWER = {Alex Degtyarev}, + DOI = {10.1215/00127094-2381442}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}, +} + +@article {MR3134683, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + TITLE = {Metrics with cone singularities along normal crossing divisors + and holomorphic tensor fields}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + VOLUME = 46, + YEAR = 2013, + NUMBER = 6, + PAGES = {879--916}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {32Q25 (14E05 53C55)}, + MRNUMBER = 3134683, + MRREVIEWER = {Hans-Joachim Hein}, +} + +@book {MR3156076, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro and Winkelmann, Jörg}, + TITLE = {Nevanlinna theory in several complex variables and {D}iophantine approximation}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {350}, + PUBLISHER = {Springer, Tokyo}, + YEAR = {2014}, + PAGES = {xiv+416}, + ISBN = {978-4-431-54570-5; 978-4-431-54571-2}, + MRCLASS = {32-02 (11J25 11J97 32H30 32Q45)}, + MRNUMBER = {3156076}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}{DOI:10.1007/978-4-431-54571-2}}, + DOI = {10.1007/978-4-431-54571-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}, +} + +@article{MR3170714, + Author = {Nemirovski, Stefan}, + Doi = {10.1080/17476933.2011.592579}, + Fjournal = {Complex Variables and Elliptic Equations. An International + Journal}, + Issn = {1747-6933}, + Journal = {Complex Var. Elliptic Equ.}, + Mrclass = {32E40 (32C55 32M05)}, + Mrnumber = 3170714, + Mrreviewer = {Viorel Vâjâitu}, + Number = 11, + Pages = {1517--1525}, + Title = {Levi problem and semistable quotients}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}{DOI:10.1080/17476933.2011.592579}}, + Url = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}, + Volume = 58, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579} +} + +@article {MR3224718, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {A{CC} for log canonical thresholds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 180, + YEAR = 2014, + NUMBER = 2, + PAGES = {523--571}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05 (14C20 14E30)}, + MRNUMBER = 3224718, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}{DOI:10.4007/annals.2014.180.2.3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1208.4150}{arXiv:1208.4150}}, + DOI = {10.4007/annals.2014.180.2.3}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}, +} + +@incollection {MR3229352, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties}, + BOOKTITLE = {Automorphisms in birational and affine geometry}, + SERIES = {Springer Proc. Math. Stat.}, + VOLUME = {79}, + PAGES = {185--213}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2014}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}{DOI:10.1007/978-3-319-05681-4$\_$11}}, + MRCLASS = {14E07 (14J50 20E07)}, + MRNUMBER = {3229352}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1007/978-3-319-05681-4_11}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}, +} + +@article {MR3247804, + AUTHOR = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {An optimal extension theorem for 1-forms and the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Doc. Math.}, + FJOURNAL = {Documenta Mathematica}, + VOLUME = 19, + YEAR = 2014, + PAGES = {815--830}, + ISSN = {1431-0635}, + MRCLASS = {14B05 (32S05)}, + MRNUMBER = 3247804, + MRREVIEWER = {Carles Bivià-Ausina}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.7315}{arXiv:1301.7315}}, +} + +@article {MR3272910, + AUTHOR = {Huber, Annette and Jörder, Clemens}, + TITLE = {Differential forms in the h-topology}, + JOURNAL = {Algebr. Geom.}, + FJOURNAL = {Algebraic Geometry}, + VOLUME = 1, + YEAR = 2014, + NUMBER = 4, + PAGES = {449--478}, + ISSN = {2214-2584}, + MRCLASS = {14F10 (14F05 14F40 14J17)}, + MRNUMBER = 3272910, + MRREVIEWER = {Patrick Graf}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}{DOI:10.14231/AG-2014-020}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1305.7361}{arXiv:1305.7361}.}, + DOI = {10.14231/AG-2014-020}, + URL = {https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}, +} + +@article {MR3273645, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On codimension 1 del {P}ezzo foliations on varieties with mild + singularities}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 360, + YEAR = 2014, + NUMBER = {3-4}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}{DOI:10.1007/s00208-014-1053-3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.4013}{arXiv:1210.4013}}, + PAGES = {769--798}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14J45 (14C20 14E05 32S65)}, + MRNUMBER = 3273645, + MRREVIEWER = {Angel Granja}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1053-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}, +} + +@article {MR3278896, + AUTHOR = {Jörder, Clemens}, + TITLE = {A weak version of the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + VOLUME = 278, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}{DOI:10.1007/s00209-014-1337-z}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1311.5141}{arXiv:1311.5141}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {32C15 (14F10 32C20 32S05)}, + MRNUMBER = 3278896, + MRREVIEWER = {Christian Lehn}, + DOI = {10.1007/s00209-014-1337-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}, +} + +@article {MR3283927, + AUTHOR = {Berman, Robert J. and Guenancia, Henri}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on stable varieties and log canonical pairs}, + JOURNAL = {Geom. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Geometric and Functional Analysis}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2014, + NUMBER = 6, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}{DOI:10.1007/s00039-014-0301-8}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1304.2087}{arXiv:1304.2087}}, + PAGES = {1683--1730}, + ISSN = {1016-443X}, + MRCLASS = {53C25 (14C20 32Q20 53C55)}, + MRNUMBER = 3283927, +MRREVIEWER = {V. V. Chueshev}, + DOI = {10.1007/s00039-014-0301-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}, +} + +@article {MR3286535, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Chen, Jungkai Alfred}, + TITLE = {Varieties fibred over abelian varieties with fibres of log general type}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {270}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {206--222}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14E30 (11J95)}, + MRNUMBER = {3286535}, +MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}{DOI:10.1016/j.aim.2014.10.023}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1311.7396}{arXiv:1311.7396}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2014.10.023}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}, +} + +@article {MR3292293, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for groups of birational selfmaps}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 150, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}{DOI:10.1112/S0010437X14007581}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/1307.1784}{arXiv:math/1307.1784}}, + NUMBER = 12, + PAGES = {2054--2072}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3292293, + MRREVIEWER = {Anne-Sophie Kaloghiros}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007581}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}, +} + +@book {MR3307241, + AUTHOR = {Barlet, Daniel and Magnússon, Jón}, + TITLE = {Cycles analytiques complexes. {I}. {T}héorèmes de préparation + des cycles}, + SERIES = {Cours Spécialisés [Specialized Courses]}, + VOLUME = 22, + PUBLISHER = {Société Mathématique de France, Paris}, + YEAR = 2014, + PAGES = 525, + ISBN = {978-2-85629-792-6}, + MRCLASS = {32-02 (32C15 32C18 32C25 32C30)}, + MRNUMBER = 3307241, + MRREVIEWER = {Chia-Chi Tung}, +} + +@article{MR3314517, + Author = {Langer, Adrian}, + Doi = {10.1007/s00222-014-0534-z}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14G17 (14F05 14J60)}, + Mrnumber = 3314517, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}{DOI:10.1007/s00222-014-0534-z}}, + Number = 3, + Pages = {889--920}, + Title = {Bogomolov's inequality for {H}iggs sheaves in positive + characteristic}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}, + Volume = 199, + Year = 2015, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z} +} + +@article {MR3314830, + AUTHOR = {Campana, Fréderic and Claudon, Benoît and Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Représentations linéaires des groupes kählériens: factorisations et conjecture de {S}hafarevich linéaire}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 151, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}{DOI:10.1112/S0010437X14007751}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.5016}{arXiv:1302.5016}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {351--376}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q15 (14D07 14E20 14F35 32Q30)}, + MRNUMBER = 3314830, +MRREVIEWER = {André Oliveira}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007751}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}, +} + +@article {MR3319924, + AUTHOR = {Matsushita, Daisuke}, + TITLE = {On base manifolds of {L}agrangian fibrations}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = 58, + YEAR = 2015, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}{DOI:10.1007/s11425-014-4927-7}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {531--542}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {14D06 (14E30)}, + MRNUMBER = 3319924, + MRREVIEWER = {Alan Matthew Thompson}, + DOI = {10.1007/s11425-014-4927-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}, +} + +@book {MR3328860, + AUTHOR = {Brunella, Marco}, + TITLE = {Birational geometry of foliations}, + SERIES = {IMPA Monographs}, + VOLUME = 1, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = 2015, + PAGES = {xiv+130}, + ISBN = {978-3-319-14309-5; 978-3-319-14310-1}, + MRCLASS = {14E05 (32C35 32J25 32S65 37F75)}, + MRNUMBER = 3328860, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}{DOI:10.1007/978-3-319-14310-1}.}, + DOI = {10.1007/978-3-319-14310-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}, +} + +@article {MR3329677, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On the moduli b-divisors of lc-trivial fibrations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 64, + YEAR = 2014, + NOTE = {URL \url{http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {1721--1735}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14J10 (14E30 14N30)}, + MRNUMBER = 3329677, +MRREVIEWER = {Enrica Floris}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}, +} + +@book {MR3330490, + AUTHOR = {Cox, David A. and Little, John and O'Shea, Donal}, + TITLE = {Ideals, varieties, and algorithms}, + SERIES = {Undergraduate Texts in Mathematics}, + EDITION = {Fourth}, + NOTE = {An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{DOI:10.1007/978-3-319-16721-3}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {xvi+646}, + ISBN = {978-3-319-16720-6; 978-3-319-16721-3}, + MRCLASS = {13P10 (13-01 14-01 14Qxx 68W30)}, + MRNUMBER = {3330490}, + DOI = {10.1007/978-3-319-16721-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}, +} + +@incollection {MR3331401, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Kobayashi hyperbolicity and higher-dimensional {N}evanlinna theory}, + BOOKTITLE = {Geometry and analysis on manifolds}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {308}, + PAGES = {209--273}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + MRCLASS = {32Q45 (32H30)}, + MRNUMBER = {3331401}, +MRREVIEWER = {Pei-Chu Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}{DOI:10.1007/978-3-319-11523-8\_9}}, + DOI = {10.1007/978-3-319-11523-8_9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}, +} + +@article {MR3343876, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {The generalized {L}ipman-{Z}ariski problem}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2015, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}{DOI:10.1007/s00208-014-1112-9}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.1244}{arXiv:1405.1244}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {241--264}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14B05 (14F10 32S05 32S25)}, + MRNUMBER = 3343876, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1112-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}, +} + +@incollection {MR3380453, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Deformations of elliptic {C}alabi-{Y}au manifolds}, + BOOKTITLE = {Recent advances in algebraic geometry}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781107416000.015}{DOI:10.1017/CBO9781107416000.015}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1206.5721}{arXiv:1206.5721}}, + SERIES = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + VOLUME = 417, + PAGES = {254--290}, + PUBLISHER = {Cambridge Univ. Press, Cambridge}, + YEAR = 2015, + MRCLASS = {14J32}, + MRNUMBER = 3380453, +} + +@article {MR3483470, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for {C}remona groups}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 138, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}{DOI:10.1353/ajm.2016.0017}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1211.3563}{arXiv:math/1211.3563}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@article {MR3502099, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Effectivity of {I}itaka fibrations and pluricanonical systems of polarized pairs}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + VOLUME = 123, + YEAR = 2016, + PAGES = {283--331}, + ISSN = {0073-8301}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}{DOI:10.1007/s10240-016-0080-x}}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = 3502099, + MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1007/s10240-016-0080-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}, +} + +@article {MR3507257, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of log {C}alabi-{Y}au pairs of {F}ano type}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}{DOI:10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1699--1716}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3507257, + MRREVIEWER = {Lei Zhang}, + DOI = {10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, +} + +@article {MR3520712, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {A {M}ehta-{R}amanathan theorem for linear systems with + basepoints}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = 289, + YEAR = 2016, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1002/mana.201500180}{DOI:10.1002/mana.201500180}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1501.04210}{arXiv:1501.04210}}, + NUMBER = 10, + PAGES = {1208--1218}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14C20 (14H60 14J60)}, + MRNUMBER = 3520712, + DOI = {10.1002/mana.201500180}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.201500180}, +} + +@article {MR3556423, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Variation of log canonical thresholds in linear systems}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2016}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}{DOI:10.1093/imrn/rnv284}}, + NUMBER = {14}, + PAGES = {4418--4448}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14E30 (14J45 14M25)}, + MRNUMBER = {3556423}, +MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv284}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}, +} + +@article {MR3580792, + AUTHOR = {Huber, Annette}, + TITLE = {Differential forms in algebraic geometry---a new perspective in the singular case}, + JOURNAL = {Port. Math.}, + FJOURNAL = {Portugaliae Mathematica. A Journal of the Portuguese + Mathematical Society}, + VOLUME = 73, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PM/1990}{DOI:10.4171/PM/1990}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {337--367}, + ISSN = {0032-5155}, + MRCLASS = {14F10 (14F20 14J17 58A10)}, + MRNUMBER = 3580792, + DOI = {10.4171/PM/1990}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PM/1990}, +} + +@article {MR3604863, + AUTHOR = {Tian, Zhiyu and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Finiteness of fundamental groups}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}{DOI:10.1112/S0010437X16007867}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1508.04536}{arXiv:1508.04536}.}, + VOLUME = {153}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {257--273}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14B05 (14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {3604863}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007867}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}, +} + +@incollection {MR3666021, + AUTHOR = {Claudon, Benoît}, + TITLE = {Positivité du cotangent logarithmique et conjecture de {S}hafarevich-{V}iehweg}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016. Exposés 1104--1119. Available on the internet at \href{https://smf.emath.fr/publications/expose-1105-positivite-du-cotangent-logarithmique-et-conjecture-de-shafarevich-viehweg}{this url}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.09568}{arXiv:1603.09568}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {390}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Exp. No. 1105, 27--63}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-855-8}, + MRCLASS = {14D22 (32J25 32S65)}, + MRNUMBER = {3666021}, +MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3675465, + AUTHOR = {Wentworth, Richard A.}, + TITLE = {Higgs bundles and local systems on {R}iemann surfaces}, + BOOKTITLE = {Geometry and quantization of moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Courses Math. CRM Barcelona}, + PAGES = {165--219}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = 2016, + MRCLASS = {14H60 (32L10)}, + MRNUMBER = 3675465, +} + +@article {MR3715691, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Examples of {K}-unstable {F}ano manifolds with the {P}icard number 1}, + JOURNAL = {Proc. Edinb. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Series II}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {881--891}, + ISSN = {0013-0915}, + MRCLASS = {14J45 (14L24)}, + MRNUMBER = {3715691}, +MRREVIEWER = {Jesus Martinez-Garcia}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}{DOI:10.1017/S0013091516000432}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.04290}{arXiv:1508.04290}}, + DOI = {10.1017/S0013091516000432}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}, +} + +@article {MR3731324, + AUTHOR = {Li, Chi}, + TITLE = {Yau-{T}ian-{D}onaldson correspondence for {K}-semistable {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {733}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {55--85}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32Q25 (53C55)}, + MRNUMBER = {3731324}, +MRREVIEWER = {Ruadha\'{\i} Dervan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}{DOI:10.1515/crelle-2014-0156}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.6681}{arXiv:math/1302.6681}}, + DOI = {10.1515/crelle-2014-0156}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}, +} + +@article {MR3782691, + AUTHOR = {Favale, Filippo F.}, + TITLE = {Calabi-{Y}au quotients with terminal singularities}, + JOURNAL = {Boll. Unione Mat. Ital.}, + FJOURNAL = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana}, + VOLUME = {11}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}{DOI:10.1007/s40574-017-0128-y}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1306.3555}{arXiv:1306.3555}.}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {55--67}, + ISSN = {1972-6724}, + MRCLASS = {14J32 (14J17 14J50)}, + MRNUMBER = {3782691}, +MRREVIEWER = {Nam-Hoon Lee}, + DOI = {10.1007/s40574-017-0128-y}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}, +} + +@article {MR3783213, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Optimal bounds for the volumes of {K}ähler-{E}instein {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {140}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}{DOI:10.1353/ajm.2018.0009}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {391--414}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32Q25 (14J45 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = {3783213}, +MRREVIEWER = {Cristiano Spotti}, + DOI = {10.1353/ajm.2018.0009}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}, +} + +@article {MR3797604, + AUTHOR = {Liu, Yuchen}, + TITLE = {The volume of singular {K}ähler-{E}instein {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {154}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}{DOI:10.1112/S0010437X18007042}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1131--1158}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J45 (14B05 14L24 32Q15)}, + MRNUMBER = {3797604}, +MRREVIEWER = {Giulio Codogni}, + DOI = {10.1112/S0010437X18007042}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}, +} + +@incollection {MR3821147, + AUTHOR = {Cantat, Serge}, + TITLE = {The {C}remona group}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {101--142}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E07 (20E32 32M05 37F99)}, + MRNUMBER = {3821147}, +} + +@incollection {MR3821154, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of varieties of log general type}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {309--348}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {3821154}, +} + +@incollection {MR3821162, + AUTHOR = {Popa, Mihnea}, + TITLE = {Positivity for {H}odge modules and geometric applications}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {555--584}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14F10 (14C30 14F17 14F18 32S35)}, + MRNUMBER = {3821162}, +MRREVIEWER = {Alberto Casta\~{n}o Dom\'{\i}nguez}, + NOTE = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1605.08093}{arXiv:1605.08093}}, +} + +@article {MR3830471, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {The {J}ordan property for {L}ie groups and automorphism groups of complex spaces}, + JOURNAL = {Math. Notes}, + FJOURNAL = {Mathematical Notes}, + VOLUME = {103}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}{DOI:10.1134/S0001434618050139}}, + NUMBER = {5-6}, + PAGES = {811--819}, + ISSN = {0001-4346}, + MRCLASS = {20G15}, + MRNUMBER = {3830471}, + DOI = {10.1134/S0001434618050139}, + URL = {https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}, +} + +@article {MR3845765, + AUTHOR = {Sieder, Philip}, + TITLE = {Varieties with ample tangent sheaves}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = {157}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {257--261}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14M20 (14E05 14E08)}, + MRNUMBER = {3845765}, +MRREVIEWER = {Tatiana M. Bandman}, + DOI = {10.1007/s00229-017-0979-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-017-0979-7}, +} + +@book {MR3887555, + AUTHOR = {Bosch, Siegfried}, + TITLE = {Algebra---from the viewpoint of {G}alois theory}, + SERIES = {Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]}, + EDITION = {German}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}{DOI:10.1007/978-3-319-95177-5}}, + PAGES = {viii+367}, + ISBN = {978-3-319-95176-8; 978-3-319-95177-5}, + MRCLASS = {12-01 (12Fxx 13-01 16-01 20-01)}, + MRNUMBER = {3887555}, + DOI = {10.1007/978-3-319-95177-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}, +} + +@article {MR3899534, + AUTHOR = {Barlet, Daniel}, + TITLE = {The sheaf $α^•_X$}, + JOURNAL = {J. Singul.}, + FJOURNAL = {Journal of Singularities}, + VOLUME = {18}, + YEAR = {2018}, + PAGES = {50--83}, + MRCLASS = {32C35}, + MRNUMBER = {3899534}, +MRREVIEWER = {Andrea D'Agnolo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5427/jsing.2018.18e}{DOI:10.5427/jsing.2018.18e}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1707.07962}{arXiv:1707.07962}} +} + +@article {MR3902334, + AUTHOR = {Langer, Adrian}, + TITLE = {Birational geometry of compactifications of {D}rinfeld half-spaces over a finite field}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {345}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {861--908}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14G15 (14E05 14J26)}, + MRNUMBER = {3902334}, +MRREVIEWER = {Christian Liedtke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}{DOI:10.1016/j.aim.2019.01.031}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2019.01.031}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}, +} + +@article {MR393054, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi}, + TITLE = {On a generalization of complete intersections}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {15}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {619--646}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14M10}, + MRNUMBER = {393054}, +MRREVIEWER = {Manfred Herrmann}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}{DOI:10.1215/kjm/1250523007}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523007}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}, +} + +@article {MR3949026, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Foliations with positive slopes and birational stability of orbifold cotangent bundles}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}{DOI:10.1007/s10240-019-00105-w}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.02456}{arXiv:1508.02456}.}, + VOLUME = {129}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {1--49}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14E30 (32S65)}, + MRNUMBER = {3949026}, + DOI = {10.1007/s10240-019-00105-w}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}, +} + +@article {MR3953506, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Algebraic integrability of foliations with numerically trivial + canonical bundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {216}, + YEAR = {2019}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}{DOI:10.1007/s00222-018-00853-2}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1710.06183}{arXiv:1710.06183}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {395--419}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14J32 (14E30 37F75)}, + MRNUMBER = {3953506}, + DOI = {10.1007/s00222-018-00853-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}, +} + +@article {MR3959097, + AUTHOR = {Kollár, János and Laza, Radu and Saccà, Giulia and Voisin, Claire}, + TITLE = {Remarks on degenerations of hyper-{K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {7}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3228}{DOI:10.5802/aif.3228}}, + PAGES = {2837--2882}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D05 (14C34 14E30)}, + MRNUMBER = {3959097}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2837_0}, +} + +@article {MR3959100, + AUTHOR = {Amerik, Ekaterina and Campana, Frédéric}, + TITLE = {Specialness and isotriviality for regular algebraic foliations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3231}{DOI:10.5802/aif.3231}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1709.07420}{arXiv:1709.07420}}, + NUMBER = {7}, + PAGES = {2923--2950}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D06 (14C05 14E22 14E30 14J32)}, + MRNUMBER = {3959100}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2923_0}, +} + +@article {MR3988092, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Guenancia, Henri and Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Klt varieties with trivial canonical class: holonomy, differential forms, and fundamental groups}, + JOURNAL = {Geom. Topol.}, + FJOURNAL = {Geometry \& Topology}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}{DOI:10.2140/gt.2019.23.2051}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01408}{arXiv:1704.01408}}, + PAGES = {2051--2124}, + ISSN = {1465-3060}, + MRCLASS = {14E30 (14J32 32J27)}, + MRNUMBER = {3988092}, + DOI = {10.2140/gt.2019.23.2051}, + URL = {https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}, +} + +@incollection {MR3996488, + AUTHOR = {Li, Chi and Tian, Gang}, + TITLE = {Orbifold regularity of weak {K}ähler-{E}instein metrics}, + BOOKTITLE = {Advances in complex geometry}, + SERIES = {Contemp. Math.}, + VOLUME = {735}, + PAGES = {169--178}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2019}, + MRCLASS = {53C55 (14E15 32W20 53C25)}, + MRNUMBER = {3996488}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}{DOI:10.1090/conm/735/14825}}, + DOI = {10.1090/conm/735/14825}, + URL = {https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}, +} + +@article {MR4093975, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Wong, Michael Lennox}, + TITLE = {Canonical complex extensions of {K}\"{a}hler manifolds}, + JOURNAL = {J. Lond. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + VOLUME = {101}, + YEAR = {2020}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/jlms.12287}{DOI: 10.1112/jlms.12287}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/}{arXiv:1807.01223}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {786--827}, + ISSN = {0024-6107}, + MRCLASS = {32Q15 (32E10 32J27 32M10 32Q10 32V40 53C55)}, + MRNUMBER = {4093975}, +MRREVIEWER = {Shan Tai Chan}, + DOI = {10.1112/jlms.12287}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jlms.12287}, +} + +@article {MR4157111, + AUTHOR = {Loughran, Daniel and Skorobogatov, Alexei N. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Pseudo-split fibers and arithmetic surjectivity}, + JOURNAL = {Ann. Sci. éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatri\`eme Série}, + VOLUME = {53}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.243}{DOI:10.24033/asens.243}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.10740}{arXiv:1705.10740}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {1037--1070}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G05 (11G35)}, + MRNUMBER = {4157111}, + DOI = {10.24033/asens.243}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.243}, +} + +@book {MR4167468, + AUTHOR = {Cossart, Vincent and Jannsen, Uwe and Saito, Shuji}, + TITLE = {Desingularization: invariants and strategy---application to + dimension 2}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {2270}, + NOTE = {With contributions by Bernd Schober. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}{DOI:10.1007/978-3-030-52640-5}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {[2020] \copyright 2020}, + PAGES = {viii+256}, + ISBN = {978-3-030-52640-5; 978-3-030-52639-9}, + MRCLASS = {14E15 (14-02)}, + MRNUMBER = {4167468}, + DOI = {10.1007/978-3-030-52640-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}, +} + +@article {MR4216591, + AUTHOR = {Gvirtz, Damián}, + TITLE = {Arithmetic surjectivity for zero-cycles}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}{DOI:10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.07117}{arXiv:1901.07117}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {1367--1392}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C25 (14A21 14G05)}, + MRNUMBER = {4216591}, +} + +@article {MR4263792, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Projectively flat klt varieties}, + JOURNAL = {J. \'{E}c. polytech. Math.}, + FJOURNAL = {Journal de l'\'{E}cole polytechnique. Math\'{e}matiques}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + PAGES = {1005--1036}, + ISSN = {2429-7100}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 32Q26 32Q30 53B10)}, + MRNUMBER = {4263792}, + note = {\href{https://doi.org/10.5802/jep.164}{DOI:10.5802/jep.164}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2010.06878}{arXiv:2010.06878}}, + DOI = {10.5802/jep.164}, + URL = {https://doi.org/10.5802/jep.164}, +} + +@article {MR429884, + AUTHOR = {Iitaka, Shigeru}, + TITLE = {Logarithmic forms of algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.}, + FJOURNAL = {Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {1976}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {525--544}, + ISSN = {0040-8980}, + MRCLASS = {14C30 (14E05 32J25)}, + MRNUMBER = {429884}, +MRREVIEWER = {Miles Reid}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.15083/00039725}{DOI:10.15083/00039725}} +} + +@article {MR4307210, + AUTHOR = {Xu, Chenyang}, + TITLE = {K-stability of {F}ano varieties: an algebro-geometric approach}, + JOURNAL = {EMS Surv. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {EMS Surveys in Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.4171/emss/51}{DOI:10.4171/emss/51}. Preprint \href{https://arxiv.org/pdf/2011.10477.pdf}{arXiv:2011.10477}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {265--354}, + ISSN = {2308-2151}, + MRCLASS = {14D20 (14E30 14J10 14J45)}, + MRNUMBER = {4307210}, + DOI = {10.4171/emss/51}, + URL = {https://doi.org/10.4171/emss/51}, +} + +@article {MR4337973, + AUTHOR = {Braun, Lukas}, + TITLE = {The local fundamental group of a {K}awamata log terminal singularity is finite}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {226}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}{DOI:10.1007/s00222-021-01062-0}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.00522}{arXiv:2004.00522}.}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {845--896}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F35 (14B05 14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {4337973}, + DOI = {10.1007/s00222-021-01062-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}, +} + +@article {MR463151, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {I}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 41, + YEAR = 1977, + NUMBER = 3, + PAGES = {516--562, 717}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 463151, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article{MR480350, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMAT}, + Doi = {10.1002/cpa.3160310304}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 35J60)}, + Mrnumber = {480350 (81d:53045)}, + Mrreviewer = {Robert E. Greene}, + Number = 3, + Pages = {339--411}, + Title = {On the {R}icci curvature of a compact {K}ähler manifold and the complex {M}onge-{A}mpère equation. {I}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}{DOI:10.1002/cpa.3160310304}.}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}, + Volume = 31, + Year = 1978, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304} +} + +@article {MR503430, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {II}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 42, + YEAR = 1978, + NUMBER = 3, + PAGES = {506--549}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14J30 14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 503430, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article {MR527834, + AUTHOR = {Mumford, David}, + TITLE = {An algebraic surface with {$K$}\ ample, {$(K^{2})=9$}, {$p_{g}=q=0$}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 101, + YEAR = 1979, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/2373947}{DOI:10.2307/2373947}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {233--244}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J25}, + MRNUMBER = 527834, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, + DOI = {10.2307/2373947}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2373947}, +} + +@article {MR534602, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Smoothness of a general anticanonical divisor on a {F}ano + variety}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 43, + YEAR = 1979, + NUMBER = 2, + PAGES = {430--441}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = 534602, + MRREVIEWER = {Werner Kleinert}, +} + +@article {MR554521, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {On the hyperplane section principle of {L}efschetz}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {153--169}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14D20 (32J25)}, + MRNUMBER = {554521}, +MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}{DOI:10.2969/jmsj/03210153}}, + DOI = {10.2969/jmsj/03210153}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}, +} + +@article {MR562866, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On the cohomology of {${\bf Q}$}-divisors}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {56}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.56.34}{DOI:10.3792/pjaa.56.34}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {34--35}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14C20}, + MRNUMBER = {562866}, +MRREVIEWER = {M. Kh. Gizatullin}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195517033}, +} + +@article {MR567422, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {The first {C}hern class and holomorphic symmetric tensor + fields}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 32, + YEAR = 1980, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}{DOI:10.2969/jmsj/03220325}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {325--329}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {53C55 (32L20)}, + MRNUMBER = 567422, + MRREVIEWER = {A. L. Vitter, III}, + DOI = {10.2969/jmsj/03220325}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}, +} + + +@article {MR577360, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Compact {K}ähler manifolds of positive bisectional curvature}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 59, + YEAR = 1980, + NUMBER = 2, + PAGES = {189--204}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {58E20 (53C55)}, + MRNUMBER = 577360, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + DOI = {10.1007/BF01390043}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390043}, +} + +@book {MR580152, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Theory of {S}tein spaces}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {236}, + NOTE = {Translated from the German by Alan Huckleberry. \href{https://10.1007/978-1-4757-4357-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-4357-9}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1979}, + PAGES = {xxi+249}, + ISBN = {3-540-90388-7}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = {580152}, +} + +@article{MR582515, + Author = {Greuel, Gert-Martin}, + Coden = {MAANA3}, + Doi = {10.1007/BF01364456}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32B30 (14B07)}, + Mrnumber = {582515 (82e:32009)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Number = 2, + Pages = {157--173}, + Title = {Dualität in der lokalen {K}ohomologie isolierter + {S}ingularitäten}, + Url = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Volume = 250, + Year = 1980, + Bdsk-Url-1 = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1007/BF01364456} +} + + +@article {MR584075, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {112}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {73--111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53C55 (32H99 58E20)}, + MRNUMBER = {584075}, +MRREVIEWER = {M. Kalka}, + DOI = {10.2307/1971321}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1971321}, +} + +@article{MR597077, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05 (14D22)}, + Mrnumber = {597077 (82b:14011)}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 2, + Pages = {121--176}, + Title = {Stable reflexive sheaves}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01467074}{DOI:10.1007/BF01467074}}, + Volume = 254, + Year = 1980 +} + +@article {MR622451, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Characterization of abelian varieties}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {43}, + YEAR = {1981}, + NUMBER = {2}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}{numdam.CM-1981-43-2-253-0}}, + PAGES = {253--276}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (32J15)}, + MRNUMBER = {622451}, +MRREVIEWER = {Daniel Comenetz}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}, +} + +@article{MR635391, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Coden = {JDMVA7}, + Fjournal = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + Issn = {0012-0456}, + Journal = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + Mrclass = {32C10 (53C55)}, + Mrnumber = {635391 (82m:32008)}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 4, + Pages = {147--158}, + Title = {Recent results in complex differential geometry}, + Volume = 83, + Year = 1981 +} + +@article {MR641815, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Die {A}dditivität der {K}odaira {D}imension für projektive {F}aserräume über {V}arietäten des allgemeinen {T}yps}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {330}, + YEAR = {1982}, + PAGES = {132--142}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14D05 (14F05 14J10)}, + MRNUMBER = {641815}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}{DOI:10.1515/crll.1982.330.132}}, + DOI = {10.1515/crll.1982.330.132}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}, +} + +@article {MR641971, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Classification of {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 36, + YEAR = {1981/82}, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01170131}{DOI:10.1007/BF01170131}}, + PAGES = {147--162}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J30 (14J10)}, + MRNUMBER = 641971, + MRREVIEWER = {Mary Schaps}, + DOI = {10.1007/BF01170131}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01170131}, +} + +@article {MR670921, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les espaces analytiques}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 274, + YEAR = 1982, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1999498}{DOI:10.2307/1999498}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {89--100}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {32L10 (32C35 32J20)}, + MRNUMBER = 670921, + MRREVIEWER = {M. Schneider}, + DOI = {10.2307/1999498}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1999498}, +} + +@book {MR673560, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Tomassini, Giuseppe}, + TITLE = {Modifications analytiques}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 943, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = 1982, + PAGES = {iv+120}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0095882}{DOI:10.1007/BFb0095882}}, + ISBN = {3-540-11570-6}, + MRCLASS = {32C45 (14E15)}, + MRNUMBER = {673560 (84g:32022)}, + MRREVIEWER = {H. Kerner}, +} + +@book {MR676809, + AUTHOR = {Friedlander, Eric M.}, + TITLE = {Étale homotopy of simplicial schemes}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 104, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = 1982, + PAGES = {vii+190}, + ISBN = {0-691-08288-X; 0-691-08317-7}, + MRCLASS = {55P99 (14F35 55-02)}, + MRNUMBER = 676809, + MRREVIEWER = {V. P. Snaith}, +} + +@article{MR707162, + Author = {Friedman, Robert}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/2006955}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32G11 (14D20 14J28 32G13)}, + Mrnumber = {707162 (85g:32029)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {75--114}, + Title = {Global smoothings of varieties with normal crossings}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2006955}, + Volume = 118, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2006955} +} + +@incollection {MR715648, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {On {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and analytic varieties ({T}okyo, 1981)}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {1}, + PAGES = {101--129}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {715648}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}{DOI:10.2969/aspm/00110101}}, + DOI = {10.2969/aspm/00110101}, + URL = {https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}, +} + +@incollection{MR717614, + Author = {Mumford, David}, + Booktitle = {Arithmetic and geometry, {V}ol. {II}}, + Mrclass = {14H10 (14C15)}, + Mrnumber = {717614 (85j:14046)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-9286-7_12}{DOI: + 10.1007/987-1-4757-9286-7\-12}}, + Pages = {271--328}, + Publisher = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves}, + Volume = 36, + Year = 1983 +} + +@article {MR723219, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 74, + YEAR = 1983, + NUMBER = 2, + PAGES = {293--303}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32J25 (14J15)}, + MRNUMBER = 723219, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1007/BF01394318}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394318}, +} + +@incollection {MR728609, + AUTHOR = {Fujiki, Akira}, + TITLE = {On primitively symplectic compact {K}\"{a}hler {$V$}-manifolds of + dimension four}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, + 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {39}, + PAGES = {71--250}, + PUBLISHER = {Birkh\"{a}user Boston, Boston, MA}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {32G05 (32J99)}, + MRNUMBER = {728609}, +MRREVIEWER = {Daniel Barlet}, +} + +@article {MR765916, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Silva, Alessandro}, + TITLE = {On weakly rational singularities in complex analytic geometry}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = 136, + YEAR = 1984, + PAGES = {65--76}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32C40 (14B05 32B30)}, + MRNUMBER = 765916, + MRREVIEWER = {Bernd Herzog}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773377}{DOI:10.1007/BF01773377}.}, + DOI = {10.1007/BF01773377}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773377}, +} + +@inproceedings{MR772058, + Author = {Gillet, Henri}, + Booktitle = {Proceedings of the {L}uminy conference on algebraic + {$K$}-theory ({L}uminy, 1983)}, + Coden = {JPAAA2}, + Doi = {10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {14C35 (14C17 18F25 19E20)}, + Mrnumber = {772058 (86b:14006)}, + Mrreviewer = {Daniel R. Grayson}, + Number = {2-3}, + Pages = {193--240}, + Title = {Intersection theory on algebraic stacks and {$Q$}-varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Volume = 34, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7} +} + +@article {MR780664, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro}, + TITLE = {On the value distribution of meromorphic mappings of covering spaces over {${\bf C}^m$} into algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {37}, + YEAR = {1985}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}{DOI:10.2969/jmsj/03720295}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {295--313}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {780664}, +MRREVIEWER = {Alexander A. Pankov}, + DOI = {10.2969/jmsj/03720295}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}, +} + +@book {MR781344, + AUTHOR = {Bröcker, Theodor and tom Dieck, Tammo}, + TITLE = {Representations of compact {L}ie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 98, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1985, + PAGES = {x+313}, + ISBN = {0-387-13678-9}, + MRCLASS = {22E45 (57-01)}, + MRNUMBER = 781344, + MRREVIEWER = {R. Schultz}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12918-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12918-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}, +} + +@article{MR782236, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388524}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14C20 (14J10)}, + Mrnumber = {782236 (87h:14005)}, + Mrreviewer = {Rick Miranda}, + Number = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01388524}{DOI:10.1007/BF01388524}}, + Pages = {567--588}, + Title = {Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388524}, + Volume = 79, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388524} +} + +@book{MR782881, + Address = {Nancy}, + Author = {Huckleberry, Alan and Oeljeklaus, Eberhard}, + Isbn = {2-903594-07-4}, + Mrclass = {32M10}, + Mrnumber = {782881 (86g:32050)}, + Mrreviewer = {D. N. Akhiezer}, + Pages = {iv+178+xiv}, + Publisher = {Université de Nancy Institut Élie Cartan}, + Series = {Institut Élie Cartan}, + Title = {Classification theorems for almost homogeneous spaces}, + Volume = 9, + Year = 1984 +} + +@article {MR791292, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds. {II}}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 52, + YEAR = 1985, + NUMBER = 1, + PAGES = {61--65}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 791292, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, +} + +@article{MR818915, + Author = {Lubotzky, Alexander and Magid, Andy R.}, + Coden = {MAMCAU}, + Doi = {10.1090/memo/0336}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {20C15 (14D20)}, + Mrnumber = {818915 (87c:20021)}, + Mrreviewer = {Avner Ash}, + Number = 336, + Pages = {xi+117}, + Title = {Varieties of representations of finitely generated groups}, + Url = {https://doi.org/10.1090/memo/0336}, + Volume = 58, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/memo/0336} +} + +@article{MR82, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {83f:14013}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 3, + Pages = {213--224}, + Title = {Semistable sheaves on projective varieties and their + restriction to curves}, + Volume = 258, + Year = {1981/82} +} + +@incollection {MR825744, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Silva, Alessandro}, + TITLE = {Numerically effective bundles on {M}oi\v{s}ezon and strongly pseudoconvex manifolds}, + BOOKTITLE = {Seminar on deformations (\Lódź/{W}arsaw, 1982/84)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {1165}, + PAGES = {1--13}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1985}, + MRCLASS = {32L20}, + MRNUMBER = {825744}, +MRREVIEWER = {Thomas Peternell}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0076142}{DOI:10.1007/BFb0076142}}, + DOI = {10.1007/BFb0076142}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0076142}, +} + +@article {MR83045, + AUTHOR = {Stein, Karl}, + TITLE = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}\"{a}ume}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {132}, + YEAR = {1956}, + PAGES = {63--93}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {30.0X}, + MRNUMBER = {83045}, +MRREVIEWER = {Heinrich Behnke}, + DOI = {10.1007/BF01343331}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01343331}, +} + +@article{MR84, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01389140}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {751136 (85m:14026)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 1, + Pages = {163--172}, + Title = {Restriction of stable sheaves and representations of the + fundamental group}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389140}{DOI: + 10.1007/BF01389140}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01389140}, + Volume = 77, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01389140} +} + +@article{MR853449, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L20 (14F40)}, + Mrnumber = {853449 (87j:32088)}, + Mrreviewer = {Siegmund Kosarew}, + Number = 1, + Pages = {161--194}, + Title = {Logarithmic de {R}ham complexes and vanishing theorems}, + Volume = 86, + Year = 1986 +} + +@book {MR867684, + AUTHOR = {Besse, Arthur L.}, + TITLE = {Einstein manifolds}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + VOLUME = 10, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1987, + PAGES = {xii+510}, + ISBN = {3-540-15279-2}, + MRCLASS = {53C25 (53-02 53C21 53C30 53C55 58D17 58E11)}, + MRNUMBER = {867684 (88f:53087)}, + MRREVIEWER = {S. M. Salamon}, + DOI = {10.1007/978-3-540-74311-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}{DOI:10.1007/978-3-540-74311-8}} +} + +@article {MR888704, + AUTHOR = {Seitz, Gary M.}, + TITLE = {The maximal subgroups of classical algebraic groups}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 67, + YEAR = 1987, + NUMBER = 365, + PAGES = {iv+286}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {20G15 (20E28 20G05)}, + MRNUMBER = 888704, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + DOI = {10.1090/memo/0365}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0365}, +} + +@book {MR921027, + AUTHOR = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + TITLE = {Geometrische {M}ethoden in der {T}heorie der gewöhnlichen {D}ifferentialgleichungen}, + NOTE = {Translated from the Russian by Ernst Günter Giessmann, Bernd Graw and Horst Theel. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}{DOI:10.1007/978-3-0348-7125-9}}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {320}, + ISBN = {3-7643-1879-1}, + MRCLASS = {58Fxx (34-02 34Cxx)}, + MRNUMBER = {921027}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-7125-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}, +} + +@article {MR92195, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich and Kodaira, Kunihiko}, + TITLE = {On the complex projective spaces}, + JOURNAL = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + FJOURNAL = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvi\`eme Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {201--216}, + ISSN = {0021-7824}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {92195}, +MRREVIEWER = {E. Vesentini}, +} + +@article {MR925989, + AUTHOR = {Alperin, Roger C.}, + TITLE = {An elementary account of {S}elberg's lemma}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {1987}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-87896}{DOI:10.5169/seals-87896}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {269--273}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {20H20}, + MRNUMBER = {925989}, +MRREVIEWER = {A. E. Zalesski\u{\i}}, +} + +@article {MR932782, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Vanishing and nonvanishing theorems for numerically effective line bundles on complex spaces}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {153--164}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32L20 (14E30 14J10)}, + MRNUMBER = {932782}, +MRREVIEWER = {Yujiro Kawamata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773931}{DOI:10.1007/BF01773931}}, + DOI = {10.1007/BF01773931}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773931}, +} + +@book{MR941969, + Address = {Stuttgart}, + Author = {Stöcker, Ralph and Zieschang, Heiner}, + Isbn = {3-519-02226-5}, + Mrclass = {55-01}, + Mrnumber = {941969 (89e:55001)}, + Mrreviewer = {Hans-Werner Henn}, + Note = {Eine Einführung. [An introduction]}, + Pages = {x+414}, + Publisher = {B. G. Teubner}, + Series = {Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]}, + Title = {Algebraische {T}opologie}, + Year = 1988 +} + +@article {MR944576, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Sharp effective {N}ullstellensatz}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1988}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1990996}{DOI:10.2307/1990996}}, + PAGES = {963--975}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {12E99 (11C08 11J99 13B25)}, + MRNUMBER = {944576}, +MRREVIEWER = {D. W. Masser}, + DOI = {10.2307/1990996}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990996}, +} + +@article{MR944577, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Doi = {10.2307/1990994}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C25 53C55)}, + Mrnumber = {944577 (90e:58026)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}{DOI:10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}}, + Number = 4, + Pages = {867--918}, + Title = {Constructing variations of {H}odge structure using {Y}ang-{M}ills theory and applications to uniformization}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990994}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990994} +} + +@incollection{MR946238, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Fujita, Takao}, + Booktitle = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {946238 (89d:14006)}, + Mrreviewer = {Antonio Lanteri}, + Pages = {167--178}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On polarized manifolds whose adjoint bundles are not semipositive}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010167}{DOI:10.2969/aspm/01010167}} +} + +@incollection {MR946250, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {The lower semicontinuity of the plurigenera of complex varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 10, + PAGES = {551--590}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = 1987, + MRCLASS = {14J15 (14E30 32J15)}, + MRNUMBER = {946250 (89h:14028)}, + MRREVIEWER = {David R. Morrison}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010551}{DOI:10.2969/aspm/01010551}}, +} + +@book{MR947141, + Address = {New York}, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-96649-8}, + Mrclass = {58Fxx (34Cxx 70H05 70K30 70K99)}, + Mrnumber = {947141 (89h:58049)}, + Note = {Translated from the Russian by Joseph Szücs [J{{\'o}}zsef M. Sz{\H{u}}cs]}, + Pages = {xiv+351}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations}, + Volume = 250, + Year = 1988 +} + +@article {MR973802, + AUTHOR = {Varouchas, Jean}, + TITLE = {Kähler spaces and proper open morphisms}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 283, + YEAR = 1989, + NUMBER = 1, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01457500}{DOI:10.1007/BF01457500}}, + PAGES = {13--52}, + ISSN = {0025-5831}, + CODEN = {MAANA}, + MRCLASS = {32C15 (32F05 32G10 32H35)}, + MRNUMBER = 973802, + MRREVIEWER = {Siegmund Kosarew}, + DOI = {10.1007/BF01457500}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01457500}, +} + +@book {MR982494, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Undergraduate algebraic geometry}, + SERIES = {London Mathematical Society Student Texts}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}{DOI:10.1017/CBO9781139163699}}, + VOLUME = {12}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1988}, + PAGES = {viii+129}, + ISBN = {0-521-35559-1; 0-521-35662-8}, + MRCLASS = {14-01 (00A05)}, + MRNUMBER = {982494}, +MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1017/CBO9781139163699}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}, +} + +@inproceedings{MU83, + Author = {S. Mukai and H. Umemura}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Proc. Jap.-Fr. Conf., Tokyo and Kyoto + 1982}, + Editor = {M. Raynaud and T. Shioda}, + Pages = {490-518}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lect. Notes Math}, + Title = {{Minimal Rational Threefolds}}, + Volume = 1016, + Year = 1983 +} + +@article {MZ18, + AUTHOR = {Meng, Sheng and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Jordan property for non-linear algebraic groups and projective varieties}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 140, + YEAR = 2018, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0026}{DOI:10.1353/ajm.2018.0026}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1507.02230}{arXiv:math/1507.02230}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@book{Ma91, + Author = {W.S. Massey}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A Basic Course in Algebraic Topology}, + Year = 1991 +} + +@article{MacPherson74, + Author = {MacPherson, Robert D.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32C10 (14F25 57D20)}, + Mrnumber = {0361141 (50 \#13587)}, + Mrreviewer = {Iosif N. Iomdin}, + Pages = {423--432}, + Title = {Chern classes for singular algebraic varieties}, + Volume = 100, + Year = 1974 +} + +@inproceedings{Maru73, + Address = {Tokyo}, + Annote = {Kebekus: Der Autor beweist, das elementare Transformationen + von Vektorbuendeln existieren, und sich aus dem triv. Buendel + durch element. Trafo. eine offene Menge des Hilbert-Schemas + gewinnen laesst. In spaeteren Papers wird die Konstruktion auf + kohaer. Garben verallgemeinert.}, + Author = {M. Maruyama}, + Booktitle = {Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, in + honor of Y. Akizuki}, + Pages = {95--146}, + Publisher = {Kinokuniya}, + Title = {On a family of algebraic vector bundles}, + Year = 1973 +} + +@article{Maschke, + Author = {{{Mas}}chke, Heinrich}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01476165}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Longyear = 18, + Mrclass = {Contributed Item}, + Mrnumber = 1511061, + Number = {2-3}, + Pages = {363--368}, + Title = {Beweis des {S}atzes, dass diejenigen endlichen linearen + {S}ubstitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends + verschwindende {C}oefficienten auftreten, intransitiv sind}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01476165}, + Volume = 52, + Year = 1899, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01476165} +} + +@article{Mat-Mum64, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.20 (14.10)}, + Mrnumber = {30 \#2005}, + Mrreviewer = {R. C. Hartshorne}, + Note = {Correction: {\it Amer.\ J.\ Math.\/}, 91:851, 1969}, + Pages = {668--684}, + Title = {Two fundamental theorems on deformations of polarized + varieties}, + Volume = 86, + Year = 1964 +} + +@article{Mat-Mum64corr, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.51}, + Mrnumber = {40 \#1398}, + Pages = 851, + Title = {Correction to: ``{T}wo fundamental theorems on deformations of + polarized varieties''}, + Volume = 91, + Year = 1969 +} + +@book{Mat89, + Author = {H.~Matsumura}, + Number = 8, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge studies in advanced mathematics}, + Title = {Commutitative ring theory}, + Year = 1989 +} + +@book{Matsuki02, + Address = {New York}, + Author = {Matsuki, Kenji}, + Isbn = {0-387-98465-8}, + Mrclass = {14E30 (14-02 14E05 14J17 14J30)}, + Mrnumber = {2002m:14011}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Pages = {xxiv+478}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Introduction to the {M}ori program}, + Year = 2002 +} + +@book{McDS95, + Address = {New York}, + Author = {McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar}, + Isbn = {0-19-851177-9}, + Mrclass = {58F05 (53C15 57R57 58E05)}, + Mrnumber = {1373431 (97b:58062)}, + Mrreviewer = {Hansjörg Geiges}, + Note = {Oxford Science Publications}, + Pages = {viii+425}, + Publisher = {The Clarendon Press Oxford University Press}, + Series = {Oxford Mathematical Monographs}, + Title = {Introduction to symplectic topology}, + Year = 1995 +} + +@book{McL75, + Address = {Berlin}, + Author = {Mac Lane, Saunders}, + Isbn = {3-540-58662-8}, + Mrclass = {18-02 (18Axx 18Cxx 18Gxx)}, + Mrnumber = {1344215 (96d:18001)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-62029-4}{DOI:10.1007/978-3-642-62029-4}. Reprint of the 1975 edition}, + Pages = {x+422}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Classics in Mathematics}, + Title = {Homology}, + Year = 1995 +} + +@article {Meg97, + AUTHOR = {Megyesi, Gabor}, + TITLE = {Generalisation of the {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality + to singular surfaces}, + JOURNAL = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1999, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}{DOI:10.1112/S0024611599001719}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {241--282}, + ISSN = {0024-6115}, + MRCLASS = {14J17 (14C17 14J60)}, + MRNUMBER = 1665244, + MRREVIEWER = {Gerhard Pfister}, + DOI = {10.1112/S0024611599001719}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}, +} + +@article{Migliorini95, + Author = {Migliorini, Luca}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J29 (14J10)}, + Mrnumber = {1311355 (95m:14023)}, + Mrreviewer = {Xiao Tao Sun}, + Number = 2, + Pages = {353--361}, + Title = {A smooth family of minimal surfaces of general type over a curve of genus at most one is trivial}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@book{Milne80, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Milne, James S.}, + Isbn = {0-691-08238-3}, + Mrclass = {14-02 (14F20 18F99)}, + Mrnumber = {559531 (81j:14002)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Pages = {xiii+323}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series}, + Title = {{É}tale cohomology}, + Volume = 33, + Year = 1980 +} + +@article{Miy77, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Date-Added = {2015-06-11 19:29:12 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:30:16 +0000}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {225-237}, + Title = {On the Chern numbers of surfaces of general type}, + Volume = 42, + Year = 1977 +} + +@incollection{Miy85, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E05 (14D99 14F10 14J40)}, + Mrnumber = {927960 (89e:14011)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Pages = {245--268}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Deformations of a morphism along a foliation and applications}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@misc{Miy92, + Author = {Y.~Miyaoka}, + Note = {misc}, + Title = {Lecture at the university of Utah}, + Year = 1992 +} + +@incollection{Miyanishi-Tsunoda82, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Booktitle = {Classification of algebraic and analytic manifolds (Katata, + 1982)}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = {728617 (86c:14030)}, + Mrreviewer = {Daniel Comenetz}, + Pages = {499--544}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {The structure of open algebraic surfaces. {II}}, + Volume = 39, + Year = 1983 +} + +@article{Miyanishi-Tsunoda84, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Coden = {JJMAAK}, + Fjournal = {Japanese Journal of Mathematics. New Series}, + Issn = {0289-2316}, + Journal = {Japan. J. Math. (N.S.)}, + Mrclass = {14J10 (14J25)}, + Mrnumber = {884420 (88b:14029)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {195--242}, + Title = {Noncomplete algebraic surfaces with logarithmic {K}odaira + dimension {$-\infty$} and with nonconnected boundaries at + infinity}, + Volume = 10, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Miyanishi82, + Address = {Amsterdam, New York, Oxford}, + Author = {M. Miyanishi}, + Booktitle = {Advanced Studies in Pure Mathematics 1}, + Editor = {S. Iitaka}, + Publisher = {North-Holland publishing company}, + Title = {Algebraic Methods in the Theory of Algebraic Threefolds}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Miyaoka87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14F05 14J40)}, + Mrnumber = {89k:14022}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {449--476}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {The {C}hern classes and {K}odaira dimension of a minimal variety}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010449}{DOI:10.2969/aspm/01010449}}, +} + +@article{Mo1, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. Math. Soc.}, + Pages = {31--51}, + Title = {Some new decomposition theorems for semi-simple groups}, + Volume = 14, + Year = 1955 +} + +@article{Mo2, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. J. Math.}, + Pages = {247--278}, + Title = {On covariant fiberings of Klein spaces}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article{MoSu78, + Author = {Mori, Shigefumi and Sumihiro, Hideyasu}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J30 (14F10 14J40)}, + Mrnumber = {509496 (80j:14033)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 3, + Pages = {523--533}, + Title = {On {H}artshorne's conjecture}, + Volume = 18, + Year = 1978 +} + +@article{Mok02, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J27 (14J60 53C07)}, + Mrnumber = {2003i:32036}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 7, + Pages = {2639--2658 (electronic)}, + Title = {On {F}ano manifolds with nef tangent bundles admitting + 1-dimensional varieties of minimal rational tangents}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + +@article{Mok88, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 53C35 58G11)}, + Mrnumber = {89d:53115}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Number = 2, + Pages = {179--214}, + Title = {The uniformization theorem for compact {K}ähler manifolds of + nonnegative holomorphic bisectional curvature}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@incollection{Mok94, + Address = {Berlin}, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Booktitle = {Geometry from the {P}acific {R}im ({S}ingapore, 1994)}, + Mrclass = {32J27 (32C17)}, + Mrnumber = {1468254 (99a:32038)}, + Mrreviewer = {Philippe P. Eyssidieux}, + Pages = {261--284}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {The generalized theorem of {C}astelnuovo-de {F}ranchis for + unitary representations}, + Year = 1997 +} + +@Book{Moon07, + author = {Moon, Francis C. }, + ALTeditor = {}, + title = {The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux -- Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century}, + publisher = {Springer Netherlands}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + volume = {2}, + OPTnumber = {}, + series = {History of Mechanism and Machine Science}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4020-5599-7}{DOI:10.1007/978-1-4020-5599-7}}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{Mordell, + Author = {Mordell, Louis J.}, + Journal = {Proc Cam. Phil. Soc.}, + Pages = {179--192}, + Title = {On the rational solutions of the indeterminate equations of + the third and fourth degrees}, + Volume = 21, + Year = 1922 +} + +@article{Mori79, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E05 (14M20)}, + Mrnumber = {81j:14010}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 3, + Pages = {593--606}, + Title = {Projective manifolds with ample tangent bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1971241}{DOI:10.2307/1971241}}, + Volume = 110, + Year = 1979 +} + +@article{Mori82, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {84e:14032}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Number = 1, + Pages = {133--176}, + Title = {Threefolds whose canonical bundles are not numerically + effective}, + Volume = 116, + Year = 1982 +} + +@article{Mori85, + Author = {S. Mori}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {43--66}, + Title = {{On 3-Dimensional Terminal Singularities}}, + Volume = 98, + Year = 1985 +} + +@incollection{Mori87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14J10 (14E05 14E30 14J40 14M20)}, + Mrnumber = {927961 (89a:14040)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {269--331}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Classif{i}\-cation of higher-dimensional varieties}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Mori88, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Doi = {10.2307/1990969}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {924704 (89a:14048)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {117--253}, + Title = {Flip theorem and the existence of minimal models for + {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990969}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990969} +} + +@book{Mum66, + Author = {D. Mumford}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lectures on curves on an algebraic surface}, + Year = 1966 +} + +@article {Mustata+Olano+Popa:LocalVanishing, + AUTHOR = {Mustaţă, Mircea and Olano, Sebastián and Popa, Mihnea}, + TITLE = {Local vanishing and {H}odge filtration for rational singularities}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + NOTE = {Published online. \href{https://doi.org/10.1017/S1474748018000208}{DOI:S1474748018000208}. Preprint \href{httpss://arxiv.org/abs/1703.06704}{arXiv:1703.06704}.}, + Year = 2018 +} + +@article{NR75, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Journal = {Ann. Math. (2)}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {0384797 (52 \#5669)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Pages = {391--417}, + Title = {Deformations of the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 1975 +} + +@incollection{NR78, + Address = {Berlin}, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Booktitle = {C. P. Ramanujam---a tribute}, + Mrclass = {14D22 (10D99 14F05)}, + Mrnumber = {541029 (81b:14003)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Pages = {291--345}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math.}, + Title = {Geometry of {H}ecke cycles. {I}}, + Volume = 8, + Year = 1978 +} + +@book{NSW08, + Address = {Berlin}, + Author = {Neukirch, Jürgen and Schmidt, Alexander and Wingberg, Kay}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-540-37888-4}, + Mrclass = {11R34 (11-02 11G45 11R23 11S20 11S25 11S31 12G05)}, + Mrnumber = {2392026 (2008m:11223)}, + Pages = {xvi+825}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Cohomology of number fields}, + Volume = 323, + Year = 2008 +} + +@article{Nadel91, + Author = {Nadel, Alan M.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {93g:14048}, + Mrreviewer = {Harry D'Souza}, + Number = 4, + Pages = {681--692}, + Title = {The boundedness of degree of {F}ano varieties with {P}icard + number one}, + Volume = 4, + Year = 1991 +} + +@article{Nagata70, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0258829 (41 \#3475)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {191--196}, + Title = {On self-intersection number of a section on a ruled surface}, + Volume = 37, + Year = 1970 +} + +@book{Nakayama04, + Address = {Tokyo}, + Author = {Nakayama, Noboru}, + Isbn = {4-931469-31-0}, + Mrclass = {14C20 (14E15 14E30 14J10)}, + Mrnumber = {2104208 (2005h:14015)}, + Mrreviewer = {Tommaso De Fernex}, + Pages = {xiv+277}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {MSJ Memoirs}, + Title = {Zariski-decomposition and abundance}, + Volume = 14, + Year = 2004, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/msjmemoirs/014010000}{DOI:10.2969/msjmemoirs/014010000}}, +} + +@Unpublished{NakayamaNormalizedPreprint, + author = {Nakayama, Noboru}, + title = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + note = {RIMS preprint 1214, available at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/preprint/preprint_y1998.html}}, + year ={1998} +} + +@article{Namikawa01, + Author = {Namikawa, Yoshinori}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32G20 32J18 32S20)}, + Mrnumber = {1863856 (2002i:32011)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {123--147}, + Title = {Extension of 2-forms and symplectic varieties}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{NamikawaTerminalCodimensionSymplectic, + author = {Namikawa, Yoshinori}, + title = {A note on symplectic singularities}, + note = {preprint, arXiv:math/0101028}, + year = 2001, +} + +@article{Neumann09, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Fjournal = {Documenta Mathematica}, + Issn = {1431-0635}, + Journal = {Doc. Math.}, + Mrclass = {14M22 (14J26)}, + Mrnumber = {2520915 (2011a:14103)}, + Mrreviewer = {Francesco Russo}, + Pages = {157--165}, + Title = {Rationally connected foliations on surfaces}, + Volume = 14, + Year = 2009 +} + +@phdthesis{NeumannThesis, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Month = {March}, + Note = {\url{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7287}, urn:nbn:de:bsz:25-opus-72876}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {A decomposition of the Moving cone of a projective manifold according to the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundle}, + Year = 2010 +} + +@article{Nor78, + Author = {Y. Noramitsu}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Pages = {107--108}, + Title = {Kodaira vanishing theorem an Chern classes for $\partial$-manifolds}, + Volume = {54A}, + Year = 1978 +} + +@article {Nov65, + AUTHOR = {Novikov, Sergeĭ P.}, + TITLE = {Topological invariance of rational classes of {P}ontrjagin}, + JOURNAL = {Dokl. Akad. Nauk SSSR}, + FJOURNAL = {Doklady Akademii Nauk SSSR}, + VOLUME = {163}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {298--300}, + ISSN = {0002-3264}, + MRCLASS = {57.32}, + MRNUMBER = {0193644}, +MRREVIEWER = {B. L. Reinhart}, + NOTE = {Available on the internet at \url{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=31327}} +} + +@Unpublished{Nun22, + author = {Núñez, Pedro}, + title = {Adapted differentials as a qfh-sheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2210.07968}{arXiv:2210.07968}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2022}, + OPTannote = {} +} + + +@book{OSS, + Address = {Mass.}, + Author = {Okonek, Christian and Schneider, Michael and Spindler, Heinz}, + Isbn = {3-7643-3000-7}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14F05 32G13 81C30)}, + Mrnumber = {561910 (81b:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {vii+389}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {Vector bundles on complex projective spaces}, + Volume = 3, + Year = 1980 +} + +@article{ObusPries, + AUTHOR = {Obus, Andrew and Pries, Rachel}, + TITLE = {Wild tame-by-cyclic extensions}, + JOURNAL = {J. Pure Appl. Algebra}, + FJOURNAL = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}{DOI:10.1016/j.jpaa.2009.06.017}}, + VOLUME = 214, + YEAR = 2010, + NUMBER = 5, + PAGES = {565--573}, + ISSN = {0022-4049}, + MRCLASS = {12F10 (11S15 11S20 14H30)}, + MRNUMBER = 2577662, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, +} + +@article{Oguiso-Viehweg01, + Author = {Oguiso, Keiji and Viehweg, Eckart}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J27)}, + Mrnumber = {1832333 (2002d:14054)}, + Mrreviewer = {Yoshio Fujimoto}, + Number = 3, + Pages = {569--598}, + Title = {On the isotriviality of families of elliptic surfaces}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@article {Oguiso-Zhang, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {On the most algebraic {$K3$} surfaces and the most extremal log {E}nriques surfaces}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 118, + YEAR = 1996, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.1996.0052}{DOI:10.1353/ajm.1996.0052}.}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1277--1297}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J17 (14J28)}, + MRNUMBER = 1420924, + MRREVIEWER = {Shigeyuki Kondo}, + URL = + {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v118/118.6oguiso.pdf}, +} + +@article {OguisoSchroeer, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Schröer, Stefan}, + TITLE = {Enriques manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 661, + YEAR = 2011, + PAGES = {215--235}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {53C26 (32Q25)}, + MRNUMBER = 2863907, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}{DOI:10.1515/CRELLE.2011.077}.}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2011.077}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}, +} + +@article{P01, + Author = {Popa, Mihnea}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C05 (14D20 14H60)}, + Mrnumber = {1828298 (2002d:14007)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 3, + Pages = {469--495}, + Title = {Dimension estimates for {H}ilbert schemes and effective base + point freeness on moduli spaces of vector bundles on curves}, + Volume = 107, + Year = 2001 +} + +@article{P1, + Author = {Pereira, Jorge Vit{ó}rio}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Universit{é} de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32M25 (34M45 37F75)}, + Mrnumber = {1860669 (2003e:32041)}, + Mrreviewer = {Frank Loray}, + Number = 5, + Pages = {1385--1405}, + Title = {Vector fields, invariant varieties and linear systems}, + Volume = 51, + Year = 2001 +} + +@article{P3, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {JPAAA2}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {13N15}, + Mrnumber = {1904485 (2003f:13028)}, + Mrreviewer = {R. V. Gurjar}, + Number = {2-3}, + Pages = {295--301}, + Title = {Invariant hypersurfaces for positive characteristic vector + fields}, + Volume = 171, + Year = 2002 +} + +@article{P4, + Author = {Pereira, J. V.}, + Fjournal = {Qualitative Theory of Dynamical Systems}, + Issn = {1575-5460}, + Journal = {Qual. Theory Dyn. Syst.}, + Mrclass = {32S65 (32Q15 37F75)}, + Mrnumber = {1913291 (2003e:32055)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {381--384}, + Title = {Global stability for holomorphic foliations on {K}ähler + manifolds}, + Volume = 2, + Year = 2001 +} + +@book{P5, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Isbn = {85-244-0208-3}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {2029287 (2005b:32065)}, + Mrreviewer = {Nuria Corral}, + Note = {24$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [24th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Pages = {ii+82}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {Publica\c c\~oes Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]}, + Title = {Integrabilidade de folhea\c c\~oes holomorfas}, + Year = 2003 +} + +@article{P6, + Author = {Pereira, Jorge Vitório and Sánchez, Percy Fernández}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {32S65 (37F75 57R30)}, + Mrnumber = {1957664 (2003m:32031)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Number = 5, + Pages = {1115--1123}, + Title = {Transformation groups of holomorphic foliations}, + Volume = 10, + Year = 2002 +} + +@misc{P7, + Author = {Coutinho, S.C and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {On the density of algebraic foliations without algebraic invariant sets} +} + +@misc{P8, + Author = {Mendes, L.G and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {Hilbert Modular foliations on the projective plane} +} + +@article{PR04, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-004-0406-8}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E30)}, + Mrnumber = {2127983 (2005m:14068)}, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Number = 3, + Pages = {379--400}, + Title = {Threefolds with holomorphic normal projective connections}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8}, + Volume = 329, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8} +} + +@article{PR05, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Number = 6, + Pages = {595--607}, + Title = {Projective Threefolds with holomorphic conformal structure}, + Volume = 16, + Year = 2005 +} + +@misc{PR09, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0903.4571}{arXiv:0903.4571}}, + Title = {Holomorphic normal projective connections on projective + manifolds}, + Year = 2009 +} + +@Unpublished{PS, + author = {Păun, Mihai and Sibony, Nessim}, + title = {Value {D}istribution {T}heory for {P}arabolic {R}iemann {S}urfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/arXiv:1403.6596}{arXiv:1403.6596}}, + OPTkey = {}, + month = {March}, + year = {2014}, + OPTannote = {} +} + +@article{PS00, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J60}, + Mrnumber = {2001k:14079}, + Mrreviewer = {Xiao Jiang Tan}, + Note = {With an appendix by Robert Lazarsfeld, Special issue in honor of Robin Hartshorne}, + Number = 12, + Pages = {5573--5599}, + Title = {Ample vector bundles and branched coverings}, + Volume = 28, + Year = 2000 +} + +@misc{PS03, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Note = {Preprint, to appear in volume of the Fano conference, Torino + 2002}, + Title = {Ample Vector Bundles and Branched Coverings, {II}}, + Year = 2003 +} + +@article {PS15, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Schnell, Christian}, + TITLE = {Viehweg's hyperbolicity conjecture for families with maximal variation}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {208}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {677--713}, + ISSN = {0020-9910}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}{DOI:10.1007/s00222-016-0698-9}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.00294}{arXiv:1511.00294}}, + MRCLASS = {14D06 (14D07 14E30 14F10)}, + MRNUMBER = {3648973}, +MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-016-0698-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}, +} + +@article{PS91, + Author = {T. Peternell and M. Schneider}, + Journal = {Proc. Symp. Pure Math.}, + Pages = {455--466}, + Title = {Compactifications of $\mathbb{C}^n$: A Survey}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{PS98, + Author = {Peternell, Thomas and Serrano, Fernando}, + Coden = {COLMBA}, + Fjournal = {Universitat de Barcelona. Collectanea Mathematica}, + Issn = {0010-0757}, + Journal = {Collect. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J30)}, + Mrnumber = {1677100 (2000b:14020)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Note = {Dedicated to the memory of Fernando Serrano}, + Number = {2-3}, + Pages = {465--517}, + Title = {Threefolds with nef anticanonical bundles}, + Volume = 49, + Year = 1998 +} + + + +@article {PT14, + AUTHOR = {Păun, Mihai and Takayama, Shigeharu}, + TITLE = {Positivity of twisted relative pluricanonical bundles and their direct images}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/702}{DOI:10.1090/jag/702}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.5504}{arXiv:1409.5504}}, + PAGES = {211--272}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {32L05 (32A25)}, + MRNUMBER = {3764276}, + DOI = {10.1090/jag/702}, + URL = {https://doi.org/10.1090/jag/702}, +} + +@article {PTW18, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Taji, Behrouz and Wu, Lei}, + TITLE = {Brody hyperbolicity of base spaces of certain families of varieties}, + JOURNAL = {Algebra Number Theory}, + FJOURNAL = {Algebra \& Number Theory}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {9}, + PAGES = {2205--2242}, + ISSN = {1937-0652}, + MRCLASS = {14D07 (14D23 14E30 14J10 14J15 14J29)}, + MRNUMBER = {4039502}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}{DOI:10.2140/ant.2019.13.2205}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1801.05898}{arXiv:1801.05898}}, + DOI = {10.2140/ant.2019.13.2205}, + URL = {https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}, +} + +@article {PW93, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b_2=1$}}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {363--384}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14F17 14J60)}, + MRNUMBER = {1311356}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article{PW95, + Author = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F17 14J60)}, + Mrnumber = {1311356 (96a:14048)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 2, + Pages = {363--384}, + Title = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b\sb 2=1$}}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@article{Parshin68, + Author = {Parshin, Aleksey N.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0257086 (41 \#1740)}, + Mrreviewer = {J.-E. Bertin}, + Pages = {1191--1219}, + Title = {Algebraic curves over function fields. {I}}, + Volume = 32, + Year = 1968 +} + +@Article{Paun, + author = "Păun, Mihai", + title = {{Regularity properties of the degenerate Monge-Ampère + equations on compact Kähler manifolds.}}, + journal = "Chin. Ann. Math., Ser. B", + year = 2008, + volume = 29, + number = 6, + pages = "623--630" +} + +@incollection{Pe01, + Address = {Basel}, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {European {C}ongress of {M}athematics, {V}ol. {I} ({B}arcelona, + 2000)}, + Mrclass = {14E30 (32J18)}, + Mrnumber = {1905339 (2003g:14022)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Pages = {509--518}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Contact structures, rational curves and {M}ori theory}, + Volume = 201, + Year = 2001 +} + +@article{Pe94, + Author = {Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/BF02571950}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14J32 14J40 32J27)}, + Mrnumber = {1306667 (96f:14041)}, + Mrreviewer = {Dimitrios I. Dais}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02571950}{DOI:10.1007/BF02571950}}, + Number = 3, + Pages = {377--405}, + Title = {Minimal varieties with trivial canonical classes. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02571950}, + Volume = 217, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02571950} +} + +@Unpublished{PeregoRapagnetta, + author = {Arvid Perego and Antonio Rapagnetta}, + title = {The moduli spaces of sheaves on {K3} surfaces are irreducible symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1802.01182}{arXiv:1802.01182}.}, + OPTkey = {}, + month = {February}, + year = {2018}, + OPTannote = {}, + OPTurl = {}, + OPTurldate = {}, + OPTlastchecked = {}, + OPTdoi = {}, + OPTisbn = {}, + OPTissn = {}, + OPTlocalfile = {}, + OPTabstract = {}, + OPTkeywords = {}, +} + +@article{Pereira02a, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {1913040 (2003e:32056)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {217--226}, + Title = {On the {P}oincar{é} problem for foliations of general type}, + Volume = 323, + Year = 2002 +} + +@incollection{PeternellTangentBundleSurvey, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {School on {V}anishing {T}heorems and {E}ffective {R}esults in {A}lgebraic {G}eometry ({T}rieste, 2000)}, + Mrclass = {14J60 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {1919461 (2003f:14048)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Pages = {285--334}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Subsheaves in the tangent bundle: integrability, stability and positivity}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + + + + +@book{PetersSteenbrinkBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Peters, Chris A. M. and Steenbrink, Joseph H. M.}, + Isbn = {978-3-540-77015-2}, + Mrclass = {14C30 (14D07 32G20 32J25 32S35)}, + Mrnumber = 2393625, + Mrreviewer = {Matt Kerr}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-77017-6}{DOI:10.1007/978-3-540-77017-6}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + Title = {Mixed {H}odge structures}, + Volume = 52, + Year = 2008 +} + + + + + +@article{Poincare91, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {161--191}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré I}, + Volume = 5, + Year = 1891 +} + +@article{Poincare97, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {193--239}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré II}, + Volume = 11, + Year = 1897 +} + +@article{Poonen, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Existence of rational points on smooth projective varieties}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/159}{DOI:10.4171/JEMS/159}}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {529--543}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 11U05)}, + MRNUMBER = 2505440, + MRREVIEWER = {Timothy D. Browning}, + DOI = {10.4171/JEMS/159}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/159}, +} + +@article {Poonen0, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Insufficiency of the {B}rauer-{M}anin obstruction applied to étale covers}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}{DOI:10.4007/annals.2010.171.2157}}, + VOLUME = {171}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {2157--2169}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14G25 (14F22)}, + MRNUMBER = {2680407}, +MRREVIEWER = {Marco A. Garuti}, + DOI = {10.4007/annals.2010.171.2157}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}, +} + +@article {Poonen3, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Multivariable polynomial injections on rational numbers}, + JOURNAL = {Acta Arith.}, + FJOURNAL = {Acta Arithmetica}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}{DOI:10.4064/aa145-2-2}}, + VOLUME = {145}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {123--127}, + ISSN = {0065-1036}, + MRCLASS = {11C08 (11G30 11G35)}, + MRNUMBER = {2733078}, +MRREVIEWER = {Matilde N. Lal\'{i}n}, + DOI = {10.4064/aa145-2-2}, + URL = {https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}, +} + +@incollection {Poonenbis, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {The {H}asse principle for complete intersections in projective + space}, + BOOKTITLE = {Rational points on algebraic varieties}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {199}, + PAGES = {307--311}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = {2001}, + MRCLASS = {14G25 (11G35)}, + MRNUMBER = {1875178}, +MRREVIEWER = {Antoine Ducros}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8368-9_11}{DOI:10.1007/978-3-0348-8368-9$\_$11}}, +} + +@Unpublished{Popov18, + author = {Popov, Vladimir L.}, + title = {Three plots about the Cremona groups}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.00824}{arXiv:1810.00824}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@incollection{PopovVinberg, + Address = {Berlin}, + Author = {Popov, Vladimir and Vinberg, Ernest B.}, + Booktitle = {Algebraic {G}eometry IV}, + Pages = {123--284}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Invariant {T}heory}, + Volume = 55, + Year = 1994 +} + +@article{Pot69, + Author = {J. Potters}, + Journal = {Invent. Math. 8}, + Title = {On almost homogeneous compact complex surfaces}, + Year = 1969 +} + +@article{RAN92MR1487238MR1487238MR1487238, + Author = {Ran, Ziv}, + Coden = {BAMOAD}, + Doi = {10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Fjournal = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series}, + Issn = {0273-0979}, + Journal = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {32G05 (14D15 32G13)}, + Mrnumber = {1102754 (92h:32035)}, + Mrreviewer = {Claire Voisin}, + Number = 1, + Pages = {113--117}, + Title = {Lifting of cohomology and unobstructedness of certain + holomorphic maps}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Volume = 26, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6} +} + +@book{RB10, + Address = {Berlin}, + Author = {Ribes, Luis and Zalesskii, Pavel}, + Doi = {10.1007/978-3-642-01642-4}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-642-01641-7}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}{DOI:10.1007/978-3-642-01642-4}}, + Mrclass = {20E18}, + Mrnumber = {2599132 (2011a:20058)}, + Pages = {xvi+464}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Profinite groups}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}, + Volume = 40, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4} +} + +@Article{ RZ, + title = "Continuity of extremal transitions and flops for + {C}alabi-{Y}au manifolds", + author = "Xiaochun Rong and Yuguang Zhang", + journal = "J. Differential Geom.", + pages = "233--269", + volume = 89, + number = 2, + year = 2011, + issn = "0022-040X", + note = "Appendix B by Mark + Gross. \href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411}{euclid.jdg/1324477411}.", + url = "http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411", + CODEN = "JDGEAS", + FJOURNAL = "Journal of Differential Geometry", + MRCLASS = "32Q25 (14J32 53C23)", + MRNUMBER = 2863918, + MRREVIEWER = "Michele Rossi" +} + +@article {RZ2, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun and Zhang, Yuguang}, + TITLE = {Degenerations of {R}icci-flat {C}alabi-{Y}au manifolds}, + JOURNAL = {Commun. Contemp. Math.}, + FJOURNAL = {Communications in Contemporary Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2013, + NUMBER = 4, + PAGES = {1250057, 8}, + ISSN = {0219-1997}, + MRCLASS = {32Q25 (53C23)}, + MRNUMBER = 3073445, + DOI = {10.1142/S0219199712500575}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0219199712500575}, +} + +@article{Ramanujam72, + Author = {Ramanujam, C. P.}, + Journal = {J. Indian Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {14F05 (32J25)}, + Mrnumber = {0330164 (48 \#8502)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {41--51}, + Title = {Remarks on the {K}odaira vanishing theorem}, + Volume = 36, + Year = 1972 +} + +@book{RedBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {3-540-50497-4}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {971985 (89k:14001)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Pages = {vi+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The {R}ed {B}ook of {V}arieties and {S}chemes}, + Volume = 1358, + Year = 1988 +} + +@inproceedings{Reid78, + Address = {Tokyo}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Proceedings of the {I}nternational {S}ymposium on {A}lgebraic + {G}eometry ({K}yoto {U}niv., {K}yoto, 1977)}, + Mrclass = {14F05 (32J15)}, + Mrnumber = {578877 (82b:14014)}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Pages = {623--642}, + Publisher = {Kinokuniya Book Store}, + Title = {Bogomolov's theorem {$c_{1}^{2}łeq 4c_{2}$}}, + Year = 1978 +} + +@incollection{Reid79, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Journées de {G}éometrie {A}lgébrique d'{A}ngers, {J}uillet + 1979/{A}lgebraic {G}eometry, {A}ngers, 1979}, + Mrclass = {14J30 (14B07 14J17)}, + Mrnumber = {605348 (82i:14025)}, + Mrreviewer = {Jayant M. Shah}, + Pages = {273--310}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Canonical {$3$}-folds}, + Year = 1980 +} + +@inproceedings{Reid83, + Author = {M. Reid}, + Booktitle = {Advanced studies in pure math.}, + Editor = {S. Iitaka and H. Morikawa}, + Pages = {131--180}, + Publisher = {Kinokuniya and North Holland}, + Title = {Minimal models of canonical 3-folds}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@unpublished{Reid83a, + Author = {Reid, Miles}, + Note = {Preprint, University of Warwick. Available from the author's home page at \url{http://www.maths.warwick.ac.uk/~miles/3folds/Ka.pdf}}, + Title = {Projective morphisms according to {K}awamata}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Reid87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E05 14J10)}, + Mrnumber = {927963 (89b:14016)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {345--414}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to canonical singularities}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Reid94, + Author = {M. Reid}, + Journal = {LANL-Preprint math.AG/9404002}, + Note = {Available on the world wide web at {\tt + http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9404002}}, + Title = {Nonnormal del Pezzo surfaces}, + Year = 1994 +} + +@incollection {Rong, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun}, + TITLE = {Convergence and collapsing theorems in {R}iemannian geometry}, + BOOKTITLE = {Handbook of geometric analysis, {N}o. 2}, + SERIES = {Adv. Lect. Math. (ALM)}, + VOLUME = 13, + PAGES = {193--299}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2010, + MRCLASS = {53C23 (53C20 53C21)}, + MRNUMBER = 2743443, + MRREVIEWER = {Yu Ding}, +} + +@article{Ros56, + Author = {Rosenlicht, Maxwell}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {18,514a}, + Mrreviewer = {E. R. Kolchin}, + Pages = {401--443}, + Title = {Some basic theorems on algebraic groups}, + Volume = 78, + Year = 1956 +} + +@article{Rossi68, + Author = {Rossi, Hugo}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0244517 (39 \#5831)}, + Mrreviewer = {H. Hironaka}, + Number = 4, + Note = {Available on the internet at \url{https://scholarship.rice.edu/handle/1911/62964}}, + Pages = {63--73}, + Title = {Picard variety of an isolated singular point}, + Volume = 54, + Year = 1968 +} + +@Book{Russo05, + author = {Russo, Lucio}, + ALTeditor = {}, + title = {Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens}, + publisher = {Springer, Berlin, Heidelberg}, + year = {2005}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/3-540-27707-2}{DOI:10.1007/3-540-27707-2}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{SBW94, + Author = {Shepherd-Barron, Nicholas I. and Wilson, Pelham M.H.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {1257323 (95h:14033)}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Number = 2, + Pages = {265--281}, + Title = {Singular threefolds with numerically trivial first and second + {C}hern classes}, + Volume = 3, + Year = 1994 +} + +@article{SCC_1958-1959__4__A10_0, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Morphismes universels et variété d'{A}lbanese}, + JOURNAL = {Séminaire Claude Chevalley}, + PUBLISHER = {Secrétariat mathématique}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1958-1959__4__A10_0}{numdam.SCC-1958-1959-4-A10-0}}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1958-1959} +} + +@article{SCT09, + Author = {Solá Conde, Luis E. and Toma, Matei}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14M22 (14H10)}, + Mrnumber = {2640923 (2011c:14139)}, + Mrreviewer = {Takuzo Okada}, + Number = 6, + Pages = {2359--2369}, + Title = {Maximal rationally connected fibrations and movable curves}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0}, + Volume = 59, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0} +} + +@book{SGA1, + Address = {Berlin}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14-06 (14E20)}, + Mrnumber = {0354651 (50 \#7129)}, + Note = {Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960--1961, + Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de + Michèle Raynaud, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. + \href{https://doi.org/10.1007/BFb0058656}{DOI:10.1007/BFb0058656}, + Also available as + \href{http://arxiv.org/abs/math/0206203}{arXiv:math/0206203}}, + Pages = {xxii+447}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)}, + Year = 1971 +} + +@book{SGA2, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Mrclass = {14B15 (14C20 14F20)}, + Mrnumber = {0476737 (57 \#16294)}, + Note = {Augmenté d'un exposé par Michèle Raynaud, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, 1962, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol. 2. Also available as \href{http://arxiv.org/abs/math/0511279}{arXiv:math/0511279}.}, + Pages = {vii+287}, + Publisher = {North-Holland Publishing Co.}, + Title = {Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de {L}efschetz locaux et globaux (SGA 2)}, + Year = 1968 +} + +@article {SS85, + AUTHOR = {van Straten, Duko and Steenbrink, Joseph}, + TITLE = {Extendability of holomorphic differential forms near isolated hypersurface singularities}, + JOURNAL = {Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg}, + FJOURNAL = {Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg}, + VOLUME = 55, + YEAR = 1985, + PAGES = {97--110}, + ISSN = {0025-5858}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02941491}{DOI:10.1007/BF02941491}}, + MRCLASS = {32B30 (32C30 32C40)}, + MRNUMBER = 831521, + MRREVIEWER = {M. Sebastiani}, + DOI = {10.1007/BF02941491}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02941491}, +} + +@misc{SSY, + Author = {Spotti, Cristiano and Sun, Song and Yao, Chengjian}, + Title = {{Existence and deformations of Kähler–Einstein metrics on smoothable $\mathbb Q$-Fano varieties}}, + Note = {preprint \href{http://arxiv.org/abs/1411.1725}{arXiv:1411.1725} To appear in Duke Math. J.}, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{SV18, + author = {Shramov, Constantin and Vologodsky, Vadim}, + title = {Automorphisms of pointless surfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1807.06477}{arXiv:1807.06477}}, + OPTkey = {}, + month = {July}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {SW, + AUTHOR = {Sarnak, Peter and Wang, Lan}, + TITLE = {Some hypersurfaces in {${\bf P}^4$} and the {H}asse-principle}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. + Mathématique}, + VOLUME = {321}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {319--322}, + ISSN = {0764-4442}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 14G20)}, + MRNUMBER = {1346134}, +MRREVIEWER = {Junjiro Noguchi}, +} + +@book {SY, + AUTHOR = {Schoen, Richard M. and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Lectures on differential geometry}, + SERIES = {Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and + Topology, I}, + PUBLISHER = {International Press, Cambridge, MA}, + YEAR = 1994, + PAGES = {v+235}, + ISBN = {1-57146-012-8}, + MRCLASS = {53-01 (53-02 53C21 58G30)}, + MRNUMBER = {1333601 (97d:53001)}, + MRREVIEWER = {Man Chun Leung}, +} + +@article{Saito:HodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195173930}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}{DOI:10.2977/prims/1195173930}}, + Mrclass = {32C35 (14C30 32C38 32C42 32G99)}, + Mrnumber = {1000123 (90k:32038)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 6, + Pages = {849--995 (1989)}, + Title = {Modules de {H}odge polarisables}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}, + Volume = 24, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930} +} + +@article{Saito:Introduction, + Author = {Saito, Morihiko}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {32S35 (14C05 14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1042805 (91j:32041)}, + Note = {Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987)}, + Number = {179-180}, + Pages = {145--162}, + Title = {Introduction to mixed {H}odge modules}, + Year = 1989 +} + +@incollection{Saito:Kollar, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Several complex variables and complex geometry, {P}art 2 ({S}anta {C}ruz, {CA}, 1989)}, + Mrclass = {14D07 (14C30 14F17 32L20)}, + Mrnumber = {1128566 (92i:14007)}, + Mrreviewer = {Hélène Esnault}, + Pages = {509--517}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {On {K}ollár's conjecture}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{Saito:MixedHodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195171082}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}{DOI:10.2977/prims/1195171082}}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1047415 (91m:14014)}, + Mrreviewer = {Min Ho Lee}, + Number = 2, + Pages = {221--333}, + Title = {Mixed {H}odge modules}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}, + Volume = 26, + Year = 1990, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082} +} + +@incollection{Saito:Theory, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Selected papers on number theory, algebraic geometry, and differential geometry}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32C38 32S35)}, + Mrnumber = 1308540, + Pages = {47--61}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2}, + Title = {On the theory of mixed {H}odge modules}, + Volume = 160, + Year = 1994, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/trans2/160/04}{DOI:10.1090/trans2/160/04}} +} + +@article{Salamon82, + Author = {S.~Salamon}, + Journal = {Invent.~Math.}, + Pages = {143--171}, + Title = {Quaternionic Kähler Manifolds}, + Volume = 67, + Year = 1982 +} + +@article{Sar81, + Author = {V. Sarkisov}, + Journal = {Math. USSR Izvestija}, + Title = {Birational Automorphisms of Conic Bundles}, + Volume = 17, + Year = 1981 +} + +@article {Sch17, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On a theorem of {C}ampana and {P}ăun}, + JOURNAL = {Épijournal Geom. Algébrique}, + FJOURNAL = {Épijournal de Géométrie Algébrique. EPIGA}, + Note = {Available online at \url{https://epiga.episciences.org/3871}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.03034}{arXiv:1704.03034}}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Art. 8, 9}, + ISSN = {2491-6765}, + MRCLASS = {14C20 (14F10)}, + MRNUMBER = {3743111}, +MRREVIEWER = {Hao Sun}, +} + +@Unpublished{Schnell14a, + author = {Schnell, Christian}, + title = {An overview of {M}orihiko {S}aito's theory of mixed {H}odge modules}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.3096}{arXiv:1405.3096}}, + month = {May}, + year = 2014 +} + +@Unpublished{Schwald16, + author = {Schwald, Martin}, + title = {Low degree {H}odge theory for klt varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1612.01919}{arXiv:1612.01919}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2016}, + OPTannote = {} +} + +@book{SecondAsterisque, + Address = {Paris}, + Author = {Kollár, János}, + Issn = {0303-1179}, + Mrclass = {14E30 (14E35 14M10)}, + Mrnumber = {1225842 (94f:14013)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Note = {Papers from the Second Summer Seminar on Algebraic Geometry held at the University of Utah, Salt Lake City, Utah, August 1991, Astérisque No. 211 (1992)}, + Pages = {1--258}, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Title = {Flips and abundance for algebraic threefolds}, + Year = 1992 +} + +@article{Seidenberg50, + Author = {Seidenberg, Abraham}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0037548 (12,279a)}, + Mrreviewer = {P. Samuel}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}{DOI:10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}}, + Pages = {357--386}, + Title = {The hyperplane sections of normal varieties}, + Volume = 69, + Year = 1950 +} + +@book{SerreLocalFields, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Local fields}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5673-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-5673-9}}, + VOLUME = 67, + NOTE = {Translated from the French by Marvin Jay Greenberg}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = 1979, + PAGES = {viii+241}, + ISBN = {0-387-90424-7}, + MRCLASS = {12Bxx}, + MRNUMBER = 554237, +} + +@book{Seshadri82, + Address = {Paris}, + Author = {Seshadri, C. S.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {699278 (85b:14023)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Notes written by J.-M. Drezet from a course at the École + Normale Supérieure, June 1980}, + Pages = 209, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques}, + Volume = 96, + Year = 1982 +} + +@article{Sh86, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14E30 (14C20 14C40)}, + Mrnumber = {794958 (87j:14016)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 3, + Pages = {635--651}, + Title = {A nonvanishing theorem}, + Volume = 49, + Year = 1985 +} + +@incollection{Shaf63, + Address = {Djursholm}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Booktitle = {Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962)}, + Mrclass = {10.65 (12.50)}, + Mrnumber = {0202709 (34 \#2569)}, + Mrreviewer = {P. Roquette}, + Note = {English translation: Amer.\ Math.\ Soc.\ Transl.\ (2) {\bf 31} + (1963), 25--39}, + Pages = {163--176}, + Publisher = {Inst. Mittag-Leffler}, + Title = {Algebraic number fields}, + Year = 1963 +} + +@book{Shaf94, + Address = {Berlin}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-54812-2}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1328833 (95m:14001)}, + Note = {Varieties in projective space, Translated from the 1988 + Russian edition and with notes by Miles Reid}, + Pages = {xx+303}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Basic algebraic geometry. 1}, + Year = 1994 +} + +@article{Shimura55, + Author = {Shimura, Goro}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066687 (16,616d)}, + Pages = {134--176}, + Title = {Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete + valuation of the basic field}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article {Simons, + AUTHOR = {Simons, James}, + TITLE = {On the transitivity of holonomy systems}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 76, + YEAR = 1962, + PAGES = {213--234}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53.50 (53.72)}, + MRNUMBER = 0148010, + MRREVIEWER = {H. Ozeki}, +} + +@incollection{Siu04, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {The legacy of Niels Henrik Abel}, + Mrclass = {32Q45 (14J29 14K05 32H30)}, + Mrnumber = {2077584 (2005h:32061)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + Pages = {543--566}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Hyperbolicity in complex geometry}, + Year = 2004 +} + +@misc{Siu06, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Month = {October}, + Note = {preprint math.AG/0610740}, + Title = {A General Non-Vanishing Theorem and an Analytic Proof of the + Finite Generation of the Canonical Ring}, + Year = 2006 +} + +@article{Siu68, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0232966 (38 \#1289)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {1262--1263}, + Title = {Extension of coherent analytic subsheaves}, + Volume = 19, + Year = 1968 +} + +@article{Siu75, + ISSN = {0003486X}, + URL = {http://www.jstor.org/stable/1971038}, + author = {Yum-Tong Siu}, + journal = {Annals of Mathematics}, + number = 3, + pages = {421-462}, + publisher = {Annals of Mathematics}, + title = {{Extension of Meromorphic Maps Into Kähler Manifolds}}, + volume = 102, + year = 1975 +} + +@article {Siu81, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {Strong rigidity of compact quotients of exceptional bounded symmetric domains}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {48}, + YEAR = {1981}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}{DOI:10.1215/S0012-7094-81-04847-X}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {857--871}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32M15 (53C55 58E20)}, + MRNUMBER = {782581}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, +} + +@article{Siu89, + Author = {Y.-T. Siu}, + Journal = {J. reine angw. Math.}, + Note = {Errata 431 (1992)}, + Pages = {208--219}, + Title = {Nondeformability of the complex projective space}, + Volume = 399, + Year = 1989 +} + +@article{Siu98, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L10 (32G13 32J18)}, + Mrnumber = {1660941 (99i:32035)}, + Mrreviewer = {János Kollár}, + Number = 3, + Pages = {661--673}, + Title = {Invariance of plurigenera}, + Volume = 134, + Year = 1998 +} + +@article {Skorobogatov, + AUTHOR = {Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Beyond the {M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050291}{DOI:10.1007/s002220050291}}, + VOLUME = {135}, + YEAR = {1999}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {399--424}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14F42 14G25)}, + MRNUMBER = {1666779}, +MRREVIEWER = {Tamás Szamuely}, + DOI = {10.1007/s002220050291}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050291}, +} + +@article{Smeets, + AUTHOR = {Smeets, Arne}, + TITLE = {Insufficiency of the étale {B}rauer-{M}anin obstruction: towards a simply connected example}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}{DOI:10.1353/ajm.2017.0010}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.6706}{arXiv:1409.6706}}, + VOLUME = 139, + YEAR = 2017, + NUMBER = 2, + PAGES = {417--431}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14F22 (11G35)}, + MRNUMBER = 3636635, + MRREVIEWER = {Giancarlo Lucchini Arteche}, + DOI = {10.1353/ajm.2017.0010}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}, +} + +@article {Snow86, + AUTHOR = {Snow, Dennis M.}, + TITLE = {Cohomology of twisted holomorphic forms on {G}rassmann + manifolds and quadric hypersurfaces}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {276}, + YEAR = {1986}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {159--176}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32L10 (14M15 22E46 32F10)}, + MRNUMBER = {863714}, +MRREVIEWER = {Floyd L. Williams}, + DOI = {10.1007/BF01450932}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01450932}, +} + + +@article{So75, + Author = {Sommese, Andrew John}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C15 (32L05 32C10)}, + Mrnumber = {0425827 (54 \#13778)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Pages = {191--214}, + Title = {Quaternionic manifolds}, + Volume = 212, + Year = {1974/75} +} + + +@Book{Sobel, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Bloomsbury USA}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN-10: 0007790163, ISBN-13: 978-0007790166}, + OPTannote = {} +} + +@Book{SobelIll, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {The illustrated Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Walker}, + year = {1998}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {New York}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN: 0-8027-1344-0}, + OPTannote = {} +} + +@article {Sormani, + AUTHOR = {Sormani, Christina and Wei, Guofang}, + TITLE = {Hausdorff convergence and universal covers}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 353, + YEAR = 2001, + NUMBER = 9, + PAGES = {3585--3602 (electronic)}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {53C23 (53C20)}, + MRNUMBER = 1837249, + MRREVIEWER = {Wilderich Tuschmann}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, +} + +@book{Spanier66, + Address = {New York}, + Author = {Spanier, Edwin H.}, + Mrclass = {55.00}, + Mrnumber = {0210112 (35 \#1007)}, + Mrreviewer = {S.-T. Hu}, + Pages = {xiv+528}, + Publisher = {McGraw-Hill Book Co.}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 1966 +} + +@book{Spivak79, + Author = {M.~Spivak}, + Edition = {2nd}, + Publisher = {Publish or Perish, Inc.}, + Title = {A comprehensive introduction to differential geometry}, + Year = 1979 +} + +@article{St96, + Author = {Steffens, A.}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446311}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L07)}, + Mrnumber = {1380447 (97c:14040)}, + Mrreviewer = {Lin Weng}, + Number = 4, + Pages = {635--643}, + Title = {On the stability of the tangent bundle of {F}ano manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446311}, + Volume = 304, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446311} +} + +@article{Steenbrink85, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14F10 (14F40 32L20)}, + Mrnumber = {804061 (87j:14026)}, + Mrreviewer = {Fabio Bardelli}, + Note = {Differential systems and singularities (Luminy, 1983)}, + Number = 130, + Pages = {330--341}, + Title = {Vanishing theorems on singular spaces}, + Year = 1985 +} + +@incollection{SteenbrinkMixedHodgeStructuresSingularities, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Booktitle = {Singularities, {P}art 2 ({A}rcata, {C}alif., 1981)}, + Mrclass = {32G11 (14B05 14B07 14C30 14D05)}, + Mrnumber = {713277 (85d:32044)}, + Mrreviewer = {Jerome William Hoffman}, + Pages = {513--536}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Mixed {H}odge structures associated with isolated + singularities}, + Volume = 40, + Year = 1983 +} + +@article {Stoppino, + AUTHOR = {Stoppino, Lidia}, + TITLE = {Fibrations of {C}ampana general type on surfaces}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}{DOI:10.1007/s10711-011-9578-z}}, + VOLUME = 155, + YEAR = 2011, + PAGES = {69--80}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14D06 (14J29)}, + MRNUMBER = 2863894, + MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + DOI = {10.1007/s10711-011-9578-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}, +} + +@incollection{Su90a, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Recent topics in differential and analytic geometry}, + Mrclass = {32L07 (14J40 32C17 53C25)}, + Mrnumber = {1145268 (93b:32047)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Pages = {417--433}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@incollection{Su90b, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Kähler metric and moduli spaces}, + Mrclass = {32L07 (14F05 53C25)}, + Mrnumber = {1145247 (93f:32031)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Pages = {85--103}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On tangent sheaves of minimal varieties}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@article{Sun05, + Author = {Sun, Xiaotao}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H60}, + Mrnumber = 2148802, + Number = 4, + Pages = {925--937}, + Title = {Minimal rational curves on moduli spaces of stable bundles}, + Volume = 331, + Year = 2005 +} + +@article{Szabo95, + Author = {Szabó, Endre}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14E15 (14E30)}, + Mrnumber = {1322695 (96f:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 3, + Pages = {631--639}, + Title = {Divisorial log terminal singularities}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Szpiro81, + AUTHOR = {Szpiro, Lucien}, + TITLE = {Propriétés numériques du faisceau dualisant relatif}, + NOTE = {Seminar on Pencils of Curves of Genus at Least Two}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 86, + YEAR = 1981, + PAGES = {44--78}, + ISSN = {0303-1179}, + MRCLASS = {14G40 (11G05 11G30)}, + MRNUMBER = 3618571, +} + +@article{TY15, + Author = {To, Wing-Keung and Yeung, Sai-Kee}, + Date-Modified = {2017-10-12 14:04:39 +0000}, + Journal = {Ann. Math.}, + Note = {\href{http://annals.math.princeton.edu/2015/181-2/p03}{DOI:10.4007/annals.2015.181.2.3}}, + Number = 2, + Pages = {547--586}, + Title = {Finsler metrics and {K}obayashi hyperbolicity of the moduli spaces of canonically polarized manifolds}, + Volume = 181, + Year = 2015} + +@Unpublished{Taj18, + Author = {Taji, Behrouz}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1809.05616}{arXiv:1809.05616}}, + Title = {Remarks on the {K}odaira dimension of base spaces of families of manifolds}, + Year = {2018} + } + +@article{Taji16, + Author = {Taji,Behrouz}, + Title = {The isotriviality of smooth families of canonically polarized + manifolds over a special quasi-projective base}, + FJournal = {Compositio Mathematica}, + Journal = {Compositio. Math.}, + Volume = 152, + Issue = 07, + Month = 7, + Year = 2016, + Issn = {1570-5846}, + Pages = {1421--1434}, + doi = {10.1112/S0010437X1600734X}, + Note = {\href{http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}{DOI:10.1112/S0010437X1600734X}}, + URL = {http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}, +} + +@article{Takayama03, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14D06 (14C20 14E05)}, + Mrnumber = {2003f:14011}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {37--47 (electronic)}, + Title = {Iitaka's fibrations via multiplier ideals}, + Volume = 355, + Year = 2003 +} + +@article{Takayama2003, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Doi = {10.1142/S0129167X0300196X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E20 32J25)}, + Mrnumber = {2013147 (2004m:14023)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}{DOI:10.1142/S0129167X0300196X}}, + Number = 8, + Pages = {825--836}, + Title = {Local simple connectedness of resolutions of log-terminal singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}, + Volume = 14, + Year = 2003, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X} +} + +@article{TakayamaSimpleConnectedness, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F45 32Q55)}, + Mrnumber = {1735807 (2001d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {403--407}, + Title = {Simple connectedness of weak {F}ano varieties}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@book{Taylor, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Taylor, Joseph L.}, + Isbn = {0-8218-3178-X}, + Mrclass = {32-01 (14-01 20-01 22-01)}, + Mrnumber = {1900941 (2004b:32001)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xvi+507}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Several complex variables with connections to algebraic + geometry and {L}ie groups}, + Volume = 46, + Year = 2002 +} + +@incollection{Teissier, + Author = {Teissier, Bernard}, + Booktitle = {Real and complex singularities ({P}roc. {N}inth {N}ordic + {S}ummer {S}chool/{NAVF} {S}ympos. {M}ath., {O}slo, 1976)}, + Mrclass = {14B05}, + Mrnumber = {0568901 (58 \#27964)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Pages = {565--678}, + Publisher = {Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn}, + Title = {The hunting of invariants in the geometry of discriminants}, + Year = 1977 +} + +@article{Tian-Zhang, + Author = {Tian, Gang and Zhang, Zhou}, + Date-Added = {2015-06-11 18:38:59 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 18:42:14 +0000}, + Journal = {Chinese Ann. Math. Ser. B}, + Volume = 27, + Number = 2, + Pages = {179-192}, + Title = {On the {K}ähler-{R}icci flow on projective manifolds of general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11401-005-0533-x}{DOI:10.1007/s11401-005-0533-x}}, + Year = 2006 +} + +@article{Tits72, + Author = {Tits, J.}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {20.75}, + Mrnumber = {0286898 (44 \#4105)}, + Mrreviewer = {B. A. F. Wehrfritz}, + Pages = {250--270}, + Title = {Free subgroups in linear groups}, + Volume = 20, + Year = 1972 +} + +@misc{Tsu00, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Note = {Preprint}, + Title = {Numerically trivial fibrations}, + Year = 2000 +} + +@book{Ueno75, + Address = {Berlin}, + Author = {Ueno, Kenji}, + Mrclass = {14D20 (32J25)}, + Mrnumber = {0506253 (58 \#22062)}, + Mrreviewer = {D. Lieberman}, + Note = {Notes written in collaboration with P.\ Cherenack. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0070574}{DOI:10.1007/BFb0070574}}, + Pages = {xix+278}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 439}, + Title = {Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces}, + Year = 1975 +} + +@article{UhlenbeckYau86, + Author = {Uhlenbeck, Karen and Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160390714}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58G05 (32L15 53C05 58E15)}, + Mrnumber = {861491 (88i:58154)}, + Mrreviewer = {Daniel S. Freed}, + Note = {Frontiers of the mathematical sciences: 1985 (New York, 1985) \href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}{DOI:10.1002/cpa.3160390714}}, + Number = {S, suppl.}, + Pages = {S257--S293}, + Title = {On the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}, + Volume = 39, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714} +} + +@article{UhlenbeckYau89, + Author = {Uhlenbeck, K. and Yau, S.-T.}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160420505}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C05 58G05)}, + Mrnumber = {997570 (90i:58029)}, + Number = 5, + Pages = {703--707}, + Title = {A note on our previous paper: ``{O}n the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles'' [{C}omm.\ {P}ure {A}ppl.\ {M}ath.\ {\bf 39} (1986), + {S}257--{S}293; {MR}0861491 (88i:58154)]}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505}, + Volume = 42, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505} +} + +@incollection{VZ02, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_16}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_16}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0103122}{arXiv:math/0103122}}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {1922109 (2003h:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {279--328}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Base spaces of non-isotrivial families of smooth minimal + models}, + Year = 2002 +} + +@article {VZ03, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + TITLE = {On the {B}rody hyperbolicity of moduli spaces for canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 118, + YEAR = 2003, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}{DOI:10.1215/S0012-7094-03-11815-3}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {103--150}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14J15 (14J10 32G05 32Q45)}, + MRNUMBER = 1978884, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, +} + +@article{Verdier76, + Author = {Verdier, Jean-Louis}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40 (32B20)}, + Mrnumber = {0481096 (58 \#1242)}, + Mrreviewer = {Andre Galligo}, + Pages = {295--312}, + Title = {Stratifications de {W}hitney et théorème de {B}ertini-{S}ard}, + Volume = 36, + Year = 1976 +} + +@article{Vie-Zuo01, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D06 (14J10)}, + Mrnumber = {1838979 (2002g:14012)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 4, + Pages = {781--799}, + Title = {On the isotriviality of families of projective manifolds over curves}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@incollection{Vie-Zuo03b, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry, Vol.\ VIII (Boston, MA, 2002)}, + Mrclass = {14E30 (14D20)}, + Mrnumber = 2039995, + Pages = {337--356}, + Publisher = {Int. Press, Somerville, MA}, + Series = {Surv. Differ. Geom., VIII}, + Title = {Discreteness of minimal models of {K}odaira dimension zero and subvarieties of moduli stacks}, + Year = 2003 +} + +@incollection{Viehweg01, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14H10 (14J10)}, + Mrnumber = {1919460 (2003f:14024)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Available on the \href{http://www.ictp.trieste.it/~pub_off/services}{ICTP web site}}, + Pages = {249--284}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Positivity of direct image sheaves and applications to families of higher dimensional manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + +@unpublished{Viehweg06, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Month = {May}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0605093}{arXiv:math/0605093}. To appear in Annals of Maths.}, + Title = {Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds}, + Year = 2006 +} + +@incollection{Viehweg83, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981)}, + Mrclass = {14J10 (14D20 14F05)}, + Mrnumber = {715656 (85b:14041)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {329--353}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Weak positivity and the additivity of the {K}odaira dimension + for certain fibre spaces}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@book{Viehweg95, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Isbn = {3-540-59255-5}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {1368632 (97j:14001)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-79745-3}{DOI:10.1007/978-3-642-79745-3}}, + Pages = {viii+320}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Quasi-projective moduli for polarized manifolds}, + Volume = 30, + Year = 1995 +} + +@article{Viray, + AUTHOR = {Viray, Bianca}, + TITLE = {A family of varieties with exactly one pointless rational fiber}, + JOURNAL = {J. Théor. Nombres Bordeaux}, + FJOURNAL = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux}, + NOTE = {Available on the internet at \href{http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0}{jtnb.cedram.org/item?id=JTNB$\_$2010$\_\_$22$\_$3$\_$741$\_$0}}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {741--745}, + ISSN = {1246-7405}, + MRCLASS = {14G25 (14G05)}, + MRNUMBER = 2769342, + URL = {http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0} +} + +@book{Voisin-Hodge1, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Edition = {English}, + Isbn = {978-0-521-71801-1}, + Mrclass = {32J25 (14C30 14D07 32G20)}, + Mrnumber = {2451566 (2009j:32014)}, + Pages = {x+322}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {Hodge theory and complex algebraic geometry. {I}}, + Volume = 76, + Year = 2007 +} + +@article{Wah83, + Author = {Jonathan Wahl}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 4, + Pages = {315--322}, + Title = {{A cohomological characterization of $\mathbb P_n$}}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389326}{DOI:10.1007/BF01389326}}, + Volume = 72, + Year = 1983 +} + +@article{Wahl85, + Author = {Wahl, Jonathan M.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32B30 (14B07 14J17 32G11)}, + Mrnumber = {799816 (87e:32013)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Number = 3, + Pages = {269--288}, + Title = {A characterization of quasihomogeneous {G}orenstein surface + singularities}, + Volume = 55, + Year = 1985 +} + +@book{Warner83, + Address = {New York}, + Author = {Warner, Frank W.}, + Isbn = {0-387-90894-3}, + Mrclass = {58-01 (22-01 53-01 57R99)}, + Mrnumber = {722297 (84k:58001)}, + Note = {Corrected reprint of the 1971 edition}, + Pages = {ix+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Foundations of differentiable manifolds and {L}ie groups}, + Volume = 94, + Year = 1983 +} + +@book{Weibel94, + Address = {Cambridge}, + Author = {Weibel, Charles A.}, + Isbn = {0-521-43500-5; 0-521-55987-1}, + Mrclass = {18-01 (16-01 17-01 20-01 55Uxx)}, + Mrnumber = {1269324 (95f:18001)}, + Mrreviewer = {Kenneth A. Brown}, + Pages = {xiv+450}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {An introduction to homological algebra}, + Volume = 38, + Year = 1994 +} + +@article{Wie03, + Author = {Wierzba, Jan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E15 (14B05 32J18)}, + Mrnumber = {1966025 (2003m:14023)}, + Mrreviewer = {Baohua Fu}, + Number = 3, + Pages = {507--534}, + Title = {Contractions of symplectic varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{Wil81, + Author = {Wilson, P. M. H.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J30)}, + Mrnumber = {632435 (83g:14014)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1981__43_3_365_0}{numdam.CM_1981__43_3_365_0}}, + Number = 3, + Pages = {365--385}, + Title = {On the canonical ring of algebraic varieties}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0}, + Volume = 43, + Year = 1981, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0} +} + +@article{Wilson77, + Annote = {Kebekus: Wilson compares the normalisation of a variety with + what you obtain by blowing-up the conductor ideal and gives + conditions on when both are the same. Nice to read, gives a + good example}, + Author = {P.M.H. Wilson}, + Journal = {Math. Proc. Camb. Phil. Soc.}, + Pages = {445--450}, + Title = {On blowing up conductor ideals}, + Volume = 83, + Year = 1978 +} + +@book{Winkelmann, + Author = {J. Winkelmann}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The Classification of Three-dimensional Homogeneous Complex Manifolds}, + Volume = 1602, + Year = 1995 +} + +@article{Wolf65, + Author = {J.A.~Wolf}, + Journal = {J.~Math.~Mech.}, + Pages = {1033--1047}, + Title = {Complex homogeneous contact structures and quaternionic symmetric spaces}, + Volume = 14, + Year = 1965 +} + +@article{Xu12, + Author = {Xu, Chenyang}, + Journal = {Compositio Math.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X13007562}{DOI:10.1112/S0010437X13007562}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.5564}{arXiv:1210.5564}}, + Number = 3, + Pages = {409--414}, + Title = {Finiteness of algebraic fundamental groups}, + Volume = 150, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{YXu18, + author = {Xu, Yanning}, + title = {Summary on {P}roof of {BAB}}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1804.07681}{arXiv:1804.07681}}, + month = {April}, + year = 2018 +} + +@article{Ye94, + Author = {Y.-G. Ye}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {311--314}, + Title = {A note on complex projective threefolds admitting holomorphic contact structures}, + Volume = 115, + Year = 1994 +} + +@incollection{ZY89, + Author = {Za{\u\i}denberg, Mikhail G. and Lin, Vladimir Y.}, + Booktitle = {Several complex variables. {III}}, + Mrclass = {32-06 (32Axx)}, + Mrnumber = {995071 (89m:32002)}, + Pages = {112--172}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Finiteness theorems for holomorphic mappings}, + ISBN = {3-540-17005-7}, + Volume = 9, + Year = 1989, + Note = {Translated from the Russian by J. Peetre. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1}{DOI:10.1007/978-3-642-61308-1}}, + DOI = {10.1007/978-3-642-61308-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1} +} + +@book{Zak93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zak, Fyodor L.}, + Isbn = {0-8218-4585-3}, + Mrclass = {14M07 (14L30 14M17 14N05)}, + Mrnumber = {94i:14053}, + Mrreviewer = {Andrew J. Sommese}, + Note = {Translated from the Russian manuscript by the author}, + Pages = {viii+164}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Translations of Mathematical Monographs}, + Title = {Tangents and secants of algebraic varieties}, + Volume = 127, + Year = 1993 +} + +@incollection{Zak98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zakeri, Saeed}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {37F75 (32S65 34M45)}, + Mrnumber = {1810540 (2001m:37094)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Pages = {179--233}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of singular holomorphic foliations on the complex + projective plane}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Zar62, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.20 (14.15)}, + Mrnumber = {0141668 (25 \#5065)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {560--615}, + Title = {The theorem of {R}iemann-{R}och for high multiples of an + effective divisor on an algebraic surface}, + Volume = 76, + Year = 1962 +} + +@article{Zh06, + Author = {Zhang, Qi}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/CRELLE.2006.006}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J45)}, + Mrnumber = {2208131 (2006m:14021)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Pages = {131--142}, + Title = {Rational connectedness of log {${\bf Q}$}-{F}ano varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006}, + Volume = 590, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006} +} + +@article {Zhang06, + AUTHOR = {Zhang, Zhou}, + TITLE = {On degenerate {M}onge-{A}mpère equations over closed {K}ähler + manifolds}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2006, + PAGES = {1--18}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15)}, + MRNUMBER = {2233716 (2007b:32058)}, + MRREVIEWER = {S{\l}awomir Ko{\l}odziej}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}{DOI:10.1155/IMRN/2006/63640}}, + DOI = {10.1155/IMRN/2006/63640}, + URL = {https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}, +} + +@article{Zhang88, + Author = {Zhang, De-Qi}, + Coden = {OJMAA7}, + Fjournal = {Osaka Journal of Mathematics}, + Issn = {0030-6126}, + Journal = {Osaka J. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {957874 (89k:14059)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {461--497}, + Title = {Logarithmic del {P}ezzo surfaces of rank one with contractible boundaries}, + Volume = 25, + Year = 1988 +} + +@article{Zuo00, + Author = {Zuo, Kang}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {32G20 (14D07 32J25)}, + Mrnumber = {1803724 (2002a:32011)}, + Mrreviewer = {Jan Nagel}, + Note = {Kodaira's issue}, + Number = 1, + Pages = {279--301}, + Title = {On the negativity of kernels of {K}odaira-{S}pencer maps on {H}odge bundles and applications}, + Volume = 4, + Year = 2000 +} + +@unpublished{arXiv:1210.2092, + Author = {Campana, Frédéric and Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas}, + Month = {October}, + Note = {To appear in the proceedings of the conference 'Recent Advances in Algebraic Geometry', in honour of Robert Lazarsfeld 60th birthday. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.2092}{arXiv:1210.2092}.}, + Title = {Rationally connected manifolds and semipositivity of the {R}icci curvature}, + Year = 2012 +} + +@unpublished{arXiv:1301.0915, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1301.0915}{arXiv:1301.0915}}, + Title = {Singular rationally connected surfaces with non-zero pluri-forms}, + Year = 2013 +} + +@unpublished{arXiv:1401.2014, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1401.2014}{arXiv:1401.2014}}, + Title = {Singular rationally connected threefolds with non-zero pluri-forms}, + Year = 2014 +} + +@unpublished{arXiv:1401.4976, + Author = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.4976}{arXiv:1401.4976}}, + Title = {Potentially {D}u {B}ois spaces}, + Year = 2014 +} + +@phdthesis{arXiv:1401.7495, + Author = {Jörder, Clemens}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.7495}{arXiv:1401.7495}}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {On the {P}oincaré {L}emma for reflexive differential forms}, + Year = 2014 +} + +@article{cerveaux-lins_neto-annals, + Author = {Cerveau, D. and Lins Neto, A.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Number = 3, + Pages = {577--612}, + Title = {Irreducible components of the space of holomorphic foliations + of degree two in {$\bold C{\rm P}(n)$}, {$n\geq 3$}}, + Volume = 143, + Year = 1996 +} + +@article{deJongStarr, + Author = {de Jong, A. J. and Starr, Jason}, + Coden = {IJMTAW}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14E08)}, + Mrnumber = {2085418 (2006e:14007)}, + Mrreviewer = {A. Prabhakar Rao}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1258138390}{euclid.ijm/1258138390}}, + Number = 2, + Pages = {415--450}, + Title = {Cubic fourfolds and spaces of rational curves}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390}, + Volume = 48, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390} +} + +@article{deRham52, + Author = {G.~de~Rham}, + Journal = {Comment.~Math.~Helv.}, + Pages = {328--344}, + Title = {Sur la réductibilité d'un espace de Riemann}, + Volume = 26, + Year = 1952 +} + +@article{griffiths-abel, + AUTHOR = {Griffiths, Phillip A.}, + TITLE = {Variations on a theorem of {A}bel}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 35, + YEAR = 1976, + PAGES = {321--390}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01390145}{DOI:10.1007/BF01390145}}, + MRCLASS = {14C25 (32J25 14C30)}, + MRNUMBER = 0435074, + MRREVIEWER = {C. A. M. Peters}, + DOI = {10.1007/BF01390145}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390145}, +} + +@book{jouanolou_LNM, + Address = {Berlin}, + Author = {Jouanolou, J. P.}, + Pages = {v+255}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{É}quations de {P}faff algébriques}, + Volume = 708, + Year = 1979 +} + + +@incollection{revI, + Address = {Berlin}, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic threefolds ({V}arenna, 1981)}, + Mrclass = {14E20 (14F10 14H20 14H30)}, + Mrnumber = {672621 (84m:14015)}, + Mrreviewer = {Anatoly Libgober}, + Pages = {241--250}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Revêtements cycliques}, + Volume = 947, + Year = 1982 +} + +@article {saito-vanishing, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On {S}aito's vanishing theorem}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}{DOI:10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {499--527}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C30 (32L20 32S35)}, + MRNUMBER = 3512896, + MRREVIEWER = {Tsz On Mario Chan}, + DOI = {10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, +} + +@misc{stacks-project, + shorthand = {Stacks}, + author = {The {Stacks Project Authors}}, + title = {Stacks Project}, + howpublished = {Available on the internet at \href{https://stacks.math.columbia.edu}{stacks.math.columbia.edu}}, + year = 2021, +} + +@incollection{voisin-lagrangian, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Booktitle = {Complex projective geometry ({T}rieste, 1989/{B}ergen, 1989)}, + Doi = {10.1017/CBO9780511662652.022}, + Mrclass = {32G10 (32G13 32J27 58F05)}, + Mrnumber = {1201391 (94b:32029)}, + Mrreviewer = {Olivier Debarre}, + Pages = {294--303}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + Title = {Sur la stabilité des sous-variétés lagrangiennes des variétés + symplectiques holomorphes}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022}, + Volume = 179, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022} +} + +@book{yellowMonster, + Address = {New York}, + Author = {Hilton, Peter J. and Stammbach, Urs}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-94823-6}, + Mrclass = {18-02 (17B56 18Gxx 20J05)}, + Mrnumber = {1438546 (97k:18001)}, + Pages = {xii+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {A course in homological algebra}, + Volume = 4, + Year = 1997 +} + +@Article{zbMATH00146455, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Title = {{3-fold log flips. Appendix by Yujiro Kawamata: The minimal + discrepancy coefficients of terminal singularities in + dimension three.}}, + FJournal = {{Russian Academy of Sciences. Izvestiya. Mathematics}}, + Journal = {{Russ. Acad. Sci., Izv., Math.}}, + ISSN = {1064-5632}, + Volume = 40, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}{DOI:10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}}, + Pages = {95--202}, + Year = 1992, + Publisher = {Turpion, London}, + Language = {English}, + DOI = {10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}, + MSC2010 = {14J30 14E05 14E30}, + Zbl = {0785.14023} +} + +@Book{zbMATH06333926, + Author = {Aigner, Martin and Ziegler, Günter M.}, + Title = {Das BUCH der Beweise}, + Edition = {4th revised and expanded ed.}, + ISBN = {978-3-662-44456-6/hbk; 978-3-662-44457-3/ebook}, + Pages = {viii + 344}, + Year = {2015}, + Publisher = {Heidelberg: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + Note = {Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{DOI:10.1007/978-3-662-57767-7}} +} + +@Book{zbMATH07238313, + Author = {Siegfried {Bosch}}, + Title = {{Algebra}}, + Edition = {9th revised edition}, + ISBN = {978-3-662-61648-2/pbk; 978-3-662-61649-9/ebook}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-92812-6}{DOI:10.1007/978-3-540-92812-6}}, + Pages = {x + 491}, + Year = {2020}, + Publisher = {Berlin: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + MSC2010 = {12-01 12Exx 12Fxx 20-01}, + Zbl = {1440.12001} +} + diff --git a/bibliography/skalpha.bst b/bibliography/skalpha.bst new file mode 100644 index 0000000..d23e09d --- /dev/null +++ b/bibliography/skalpha.bst @@ -0,0 +1,1452 @@ +%%% ==================================================================== +%%% @BibTeX-style-file{ +%%% filename = "amsalpha.bst", +%%% version = "2.0", +%%% date = "2000/03/27", +%%% time = "13:49:36 EST", +%%% checksum = "00166 1404 4124 29978", +%%% author = "American Mathematical Society", +%%% address = "American Mathematical Society, +%%% Technical Support, +%%% Electronic Products and Services, +%%% P. O. Box 6248, +%%% Providence, RI 02940, +%%% USA", +%%% telephone = "401-455-4080 or (in the USA and Canada) +%%% 800-321-4AMS (321-4267)", +%%% FAX = "401-331-3842", +%%% email = "tech-support@ams.org (Internet)", +%%% copyright = "Copyright 1995 American Mathematical Society, +%%% all rights reserved. Copying of this file is +%%% authorized only if either: +%%% (1) you make absolutely no changes to your copy, +%%% including name; OR +%%% (2) if you do make changes, you first rename it +%%% to some other name.", +%%% codetable = "ISO/ASCII", +%%% keywords = "bibtex, bibliography, amslatex, ams-latex", +%%% supported = "yes", +%%% abstract = "BibTeX bibliography style `amsalpha' for BibTeX +%%% versions 0.99a or later and LaTeX version 2e. +%%% Produces alphabetic-label bibliography items in +%%% a form typical for American Mathematical Society +%%% publications.", +%%% docstring = "The checksum field above contains a CRC-16 +%%% checksum as the first value, followed by the +%%% equivalent of the standard UNIX wc (word +%%% count) utility output of lines, words, and +%%% characters. This is produced by Robert +%%% Solovay's checksum utility.", +%%% } +%%% ==================================================================== + +% See the file btxbst.doc for extra documentation other than +% what is included here. And see btxhak.tex for a description +% of the BibTeX language and how to use it. + +% This defines the types of fields that can occur in a database entry +% for this particular bibliography style. Except for `language', +% this is the standard list from alpha.bst. + +%% Types of entries currently allowed in a BibTeX file: +%% +%% ARTICLE -- An article from a journal or magazine. +%% +%% BOOK -- A book with an explicit publisher. +%% +%% BOOKLET -- A work that is printed and bound, +%% but without a named publisher or sponsoring institution. +%% +%% CONFERENCE -- The same as INPROCEEDINGS, +%% included for Scribe compatibility. +%% +%% INBOOK -- A part of a book, +%% which may be a chapter (or section or whatever) and/or a range of pages. +%% +%% INCOLLECTION -- A part of a book having its own title. +%% +%% INPROCEEDINGS -- An article in a conference proceedings. +%% +%% MANUAL -- Technical documentation. +%% +%% MASTERSTHESIS -- A Master's thesis. +%% +%% MISC -- Use this type when nothing else fits. +%% +%% PHDTHESIS -- A PhD thesis. +%% +%% PROCEEDINGS -- The proceedings of a conference. +%% +%% TECHREPORT -- A report published by a school or other institution, +%% usually numbered within a series. +%% +%% UNPUBLISHED -- A document having an author and title, but not formally +%% published. + +ENTRY + { address + author + booktitle + chapter + edition + editor + eprint + howpublished + institution + journal + key + citekey + language + month + mrnumber + note + number + organization + pages + publisher + school + series + title + type + volume + year + longyear + } + {} + { label extra.label sort.label bysame } + +% Removed after.sentence, after.block---not needed. + +INTEGERS { output.state before.all mid.sentence } + +FUNCTION {init.state.consts} +{ #0 'before.all := + #1 'mid.sentence := +} + +% Scratch variables: + +STRINGS { s t } + +% Utility functions + +FUNCTION {shows} +{ duplicate$ ":::: `" swap$ * "'" * top$ +} + +FUNCTION {showstack} +{"STACK=====================================================================" +top$ +stack$ +"ENDSTACK==================================================================" +top$ +} + +FUNCTION {not} +{ { #0 } + { #1 } + if$ +} + +FUNCTION {and} +{ 'skip$ + { pop$ #0 } + if$ +} + +FUNCTION {or} +{ { pop$ #1 } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {field.or.null} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {emphasize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "\emph{" swap$ * "}" * } + if$ +} + +FUNCTION {scize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "{\sc " swap$ * "}" * } + if$ +} + +% n.dashify is used to make sure page ranges get the TeX code +% (two hyphens) for en-dashes. + +FUNCTION {n.dashify} +{ 't := + "" + { t empty$ not } + { t #1 #1 substring$ "-" = + { t #1 #2 substring$ "--" = not + { "--" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + { { t #1 #1 substring$ "-" = } + { "-" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + while$ + } + if$ + } + { t #1 #1 substring$ * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + if$ + } + while$ +} + +% tie.or.space.connect connects two items with a ~ if the +% second item is less than 3 letters long, otherwise it just puts an +% ordinary space. + +FUNCTION {tie.or.space.connect} +{ duplicate$ text.length$ #3 < + { "~" } + { " " } + if$ + swap$ * * +} + +FUNCTION {add.space.if.necessary} +{ duplicate$ "" = + 'skip$ + { " " * } + if$ +} + +% either.or.check gives a warning if two mutually exclusive fields +% were used in the database. + +FUNCTION {either.or.check} +{ empty$ + 'pop$ + { "can't use both " swap$ * " fields in " * cite$ * warning$ } + if$ +} + +% output.nonnull is called by output. + +FUNCTION {output.nonnull} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ", " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +FUNCTION {output.nonnull.c} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ": " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +% Output checks to see if the stack top is empty; if not, it +% calls output.nonnull to write it out. + +FUNCTION {output} +{ duplicate$ empty$ + 'pop$ + 'output.nonnull + if$ +} + +% Standard warning message for a missing or empty field. For the user +% we call any such field `missing' without respect to the distinction +% made by BibTeX between missing and empty. + +FUNCTION {missing.warning} +{ "missing " swap$ * " in " * cite$ * warning$ } + +% Output.check is like output except that it gives a warning on-screen +% if the given field in the database entry is empty. t is the field +% name. + +FUNCTION {output.check} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull + if$ +} + +FUNCTION {output.c} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull.c + if$ +} + +FUNCTION {output.bibitem} +{ newline$ + "\bibitem[" write$ + label write$ + "]{" write$ + cite$ write$ + "}" write$ + newline$ +% This empty string is the first thing that will be written +% the next time write$ is called. Done this way because each +% item is saved on the stack until we find out what punctuation +% should be added after it. Therefore we need an empty first item. + "" + before.all 'output.state := +} + +FUNCTION {output.nonempty.mrnumber} +{ duplicate$ missing$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ + duplicate$ empty$ + 'pop$ + { " {\sf\scriptsize " swap$ * "}" * write$ } + if$ +} + +FUNCTION {fin.entry} +{ add.period$ + write$ + mrnumber output.nonempty.mrnumber + newline$ +} + +% Removed new.block, new.block.checka, new.block.checkb, new.sentence, +% new.sentence.checka, and new.sentence.checkb functions here, since they +% don't seem to be needed in the AMS style. Also moved some real +% basic functions like `and' and 'or' earlier in the file. + +INTEGERS { nameptr namesleft numnames } + +% The extra section to write out a language field was added +% for AMSPLAIN.BST. Not present in plain.bst. + +FUNCTION {format.language} +{ language empty$ + { "" } + { " (" language * ")" * } + if$ +} + +% This version of format.names puts names in the format +% +% First von Last, Jr. +% +% (i.e., first name first, no abbreviating to initials). + +FUNCTION {format.names} +{ 's := + #1 'nameptr := + s num.names$ 'numnames := + numnames 'namesleft := + { namesleft #0 > } + { s nameptr "{f.~}{vv~}{ll}{, jj}" format.name$ 't := + nameptr #1 > + { namesleft #1 > + { ", " * t * } + { numnames #2 > + { "," * } + 'skip$ + if$ + t "others" = + { " et~al." * } + { " and " * t * } + if$ + } + if$ + } + 't + if$ + nameptr #1 + 'nameptr := + namesleft #1 - 'namesleft := + } + while$ +} + + +FUNCTION {format.authors} +{ author empty$ + { "" } + { author format.names scize } + if$ +} + +FUNCTION {format.authors.bysame} +{ author empty$ + { "" } + { bysame "\bysame" = + { bysame } + { author format.names "a" change.case$ scize } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names "a" change.case$ scize + editor num.names$ #1 > + { " (eds.)" * } + { " (ed.)" * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.nonauthor.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names + editor num.names$ #1 > + { ", eds." * } + { ", ed." * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.title} +{ title empty$ + { "" } + { title "t" change.case$ emphasize } + if$ +} + +FUNCTION {format.journal.vol.year} +{ journal empty$ + { "" "journal name" missing.warning } + { journal + volume empty$ + 'skip$ + { " \textbf{" * volume * "}" * } + if$ + year empty$ + { "year" missing.warning } + { " (" * year * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +% For formatting the issue number for a journal article. + +FUNCTION {format.number} +{ number empty$ + { "" } + { "no.~" number * } + if$ +} + +% For formatting miscellaneous dates + +FUNCTION {format.date} +{ year empty$ + { month empty$ + { "" } + { "there's a month but no year in " cite$ * warning$ + month + } + if$ + } + { month empty$ + 'year + { month " " * year * } + if$ + } + if$ +} + +%% The volume, series and number information is sort of tricky. +%% This code handles it as follows: +%% If the series is present, and the volume, but not the number, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, vol. 000" +%% If the series is present, and the number, but not the volume, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, no. 000" +%% If the series is present, and both number and volume, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX, Series Name, no. 000" +%% Finally, if the series is absent, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX" +%% or "\emph{Book title}, no. 000" +%% and if both volume and number are present, give a warning message. + +FUNCTION {format.bookvolume.series.number} +{ volume empty$ + { "" % Push the empty string as a placeholder in case everything else + % is empty too. + series empty$ + 'skip$ + { pop$ series } % if series is not empty put in stack + if$ + number empty$ + 'skip$ + { duplicate$ empty$ % if no preceding material, + 'skip$ % do nothing, otherwise + { ", " * } % add a comma and space to separate. + if$ + "no." number tie.or.space.connect * % add the number information + } + if$ + } +%% If the volume is NOT EMPTY: + { "vol." volume tie.or.space.connect % vol. XX + number empty$ + { series empty$ + 'skip$ + { series ", " * swap$ *} % Series Name, vol. XX + if$ + } + { series empty$ + { "can't use both volume and number if series info is missing" + warning$ + "in BibTeX entry type `" type$ * "'" * top$ + } + { ", " * series * ", no." * number tie.or.space.connect } + if$ + } + if$ + } + if$ + +} % end of format.bookvolume.series.number + +%% format.inproc.title.where.editors is used by inproceedings entry types + +%% No case changing or emphasizing for the title. We want initial +%% caps, roman. +%% We add parentheses around the address (place where conference +%% was held). +%% Likewise we add parentheses around the editors' names. + +FUNCTION {format.inproc.title.address.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { booktitle + address empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * address * ")" * } + if$ + editor empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +%% format.incoll.title.editors is similar to format.inproc... but +%% omits the address. For collections that are not proceedings volumes. + +FUNCTION {format.incoll.title.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { editor empty$ + { booktitle } + { booktitle + add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * + } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.edition} +{ edition empty$ + { "" } + { output.state mid.sentence = + { edition "l" change.case$ " ed." * } + { edition "t" change.case$ " ed." * } + if$ + } + if$ +} + +INTEGERS { multiresult } + +FUNCTION {multi.page.check} +{ 't := + #0 'multiresult := + { multiresult not + t empty$ not + and + } + { t #1 #1 substring$ + duplicate$ "-" = + swap$ duplicate$ "," = + swap$ "+" = + or or + { #1 'multiresult := } + { t #2 global.max$ substring$ 't := } + if$ + } + while$ + multiresult +} + +FUNCTION {format.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages n.dashify } + if$ +} + +FUNCTION {format.book.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages multi.page.check + { "pp.~" pages n.dashify * } + { "p.~" pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.chapter.pages} +{ chapter empty$ + 'format.book.pages + { type empty$ + { "ch.~" } + { type "l" change.case$ " " * } + if$ + chapter * + pages empty$ + 'skip$ + { ", " * format.book.pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {empty.misc.check} +{ author empty$ title empty$ howpublished empty$ + month empty$ year empty$ note empty$ + and and and and and + key empty$ not and + { "all relevant fields are empty in " cite$ * warning$ } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {format.thesis.type} +{ type empty$ + 'skip$ + { pop$ + type "t" change.case$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.tr.number} +{ type empty$ + { "Tech. Report" } + 'type + if$ + number empty$ + { "t" change.case$ } + { number tie.or.space.connect } + if$ +} + +% The format.crossref functions haven't been paid much attention +% at the present time (June 1990) and could probably use some +% work. MJD + +FUNCTION {format.article.crossref} +{ key empty$ + { journal empty$ + { "need key or journal for " cite$ * " to crossref " * crossref * + warning$ + "" + } + { "in " journal * } + if$ + } + { "in " key * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +FUNCTION {format.crossref.editor} +{ editor #1 "{vv~}{ll}" format.name$ + editor num.names$ duplicate$ + #2 > + { pop$ " et~al." * } + { #2 < + 'skip$ + { editor #2 "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" = + { " et~al." * } + { " and " * editor #2 "{vv~}{ll}" format.name$ * } + if$ + } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.book.crossref} +{ volume empty$ + { "empty volume in " cite$ * "'s crossref of " * crossref * warning$ + "in " + } + { "vol." volume tie.or.space.connect + " of " * + } + if$ + editor empty$ + editor field.or.null author field.or.null = + or + { key empty$ + { series empty$ + { "need editor, key, or series for " cite$ * " to crossref " * + crossref * warning$ + "" * + } + { series * } + if$ + } + { key * } + if$ + } + { format.crossref.editor * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +FUNCTION {format.incoll.inproc.crossref} +{ editor empty$ + editor field.or.null author field.or.null = + or + { key empty$ + { booktitle empty$ + { "need editor, key, or booktitle for " cite$ * " to crossref " * + crossref * warning$ + "" + } + { "in \emph{" booktitle * "}" * } + if$ + } + { "in " key * } + if$ + } + { "in " format.crossref.editor * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% The main functions for each entry type. + +% journal, vol and year are formatted together because they are +% not separated by commas. + +FUNCTION {article} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.journal.vol.year "journal, volume, and year" output.check + format.number output + format.pages "pages" output.check + } + { format.article.crossref output.nonnull + format.pages "pages" output.check + } + if$ + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {book} +{ output.bibitem + author empty$ + { format.editors "author and editor" output.check } + { format.authors output.nonnull + crossref missing$ + { "author and editor" editor either.or.check } + 'skip$ + if$ + } + if$ + format.title "title" output.c + format.edition output + crossref missing$ + { format.bookvolume.series.number output + publisher "publisher" output.check + address output + } + { format.book.crossref output.nonnull + } + if$ + format.date "year" output.check + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {booklet} +{ output.bibitem + format.authors output + format.title "title" output.c + howpublished output + address output + format.date output + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {inbook} +{ output.bibitem + author empty$ + { format.editors "author and editor" output.check } + { format.authors output.nonnull + crossref missing$ + { "author and editor" editor either.or.check } + 'skip$ + if$ + } + if$ + format.title "title" output.c + format.edition output + crossref missing$ + { format.bookvolume.series.number output + format.chapter.pages "chapter and pages" output.check + publisher "publisher" output.check + address output + } + { format.chapter.pages "chapter and pages" output.check + format.book.crossref output.nonnull + } + if$ + format.date "year" output.check + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {incollection} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.incoll.title.editors "booktitle" output.check + format.bookvolume.series.number output + publisher "publisher" output.check + address output + format.edition output + format.date "year" output.check + } + { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull + } + if$ + note output + format.book.pages output + format.language * + fin.entry +} + +FUNCTION {inproceedings} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.inproc.title.address.editors "booktitle" output.check + format.bookvolume.series.number output + organization output + publisher output + format.date "year" output.check + } + { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull + } + if$ + note output + format.book.pages output + format.language * + fin.entry +} + +FUNCTION {conference} { inproceedings } + +FUNCTION {manual} +{ output.bibitem + author empty$ + { organization empty$ + 'skip$ + { organization output.nonnull + address output + } + if$ + } + { format.authors output.nonnull } + if$ + format.title "title" output.c + author empty$ + { organization empty$ + { address output } + 'skip$ + if$ + } + { organization output + address output + } + if$ + format.edition output + format.date output + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {mastersthesis} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + "Master's thesis" format.thesis.type output.nonnull + school "school" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + format.book.pages output + fin.entry +} + +FUNCTION {misc} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + note "note" output.check + format.date output + fin.entry +} + + +FUNCTION {phdthesis} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + "Ph.D. thesis" format.thesis.type output.nonnull + school "school" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + format.book.pages output + fin.entry +} + +FUNCTION {proceedings} +{ output.bibitem + editor empty$ + { organization output } + { format.editors output.nonnull } + if$ + format.title "title" output.c + format.bookvolume.series.number output + address empty$ + { editor empty$ + 'skip$ + { organization output } + if$ + publisher output + format.date "year" output.check + } + { address output.nonnull + editor empty$ + 'skip$ + { organization output } + if$ + publisher output + format.date "year" output.check + } + if$ + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {techreport} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + format.tr.number output.nonnull + institution "institution" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {unpublished} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + note "note" output.check + format.date output + fin.entry +} + +FUNCTION {default.type} { misc } + +MACRO {jan} {"January"} + +MACRO {feb} {"February"} + +MACRO {mar} {"March"} + +MACRO {apr} {"April"} + +MACRO {may} {"May"} + +MACRO {jun} {"June"} + +MACRO {jul} {"July"} + +MACRO {aug} {"August"} + +MACRO {sep} {"September"} + +MACRO {oct} {"October"} + +MACRO {nov} {"November"} + +MACRO {dec} {"December"} + +READ + +FUNCTION {sortify} +{ purify$ + "l" change.case$ +} + +INTEGERS { len } + +FUNCTION {chop.word} +{ 's := + 'len := + s #1 len substring$ = + { s len #1 + global.max$ substring$ } + 's + if$ +} + +INTEGERS { et.al.char.used } + +FUNCTION {initialize.et.al.char.used} +{ #0 'et.al.char.used := +} + +EXECUTE {initialize.et.al.char.used} + +FUNCTION {format.lab.names} +{ 's := + s num.names$ 'numnames := + numnames #1 > + { numnames #4 > + { #3 'namesleft := } + { numnames 'namesleft := } + if$ + #1 'nameptr := + "" + { namesleft #0 > } + { nameptr numnames = + { s nameptr "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" = + { "{\etalchar{+}}" * + #1 'et.al.char.used := + } + { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * } + if$ + } + { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * } + if$ + nameptr #1 + 'nameptr := + namesleft #1 - 'namesleft := + } + while$ + numnames #4 > + { "{\etalchar{+}}" * + #1 'et.al.char.used := + } + 'skip$ + if$ + } + { s #1 "{v{}}{l{}}" format.name$ 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different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{#1} +\newcommand{\Publication}[1]{} + + +% +% No subversion info and no approval boxes anymore +% +\newcommand{\subversionInfo}{} +\newcommand{\svnid}[1]{} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{} diff --git a/gfx/paperVersion-publication.tex b/gfx/paperVersion-publication.tex new file mode 100644 index 0000000..2678332 --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-publication.tex @@ -0,0 +1,18 @@ +% +% Macros to produce different text for different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{} +\newcommand{\Publication}[1]{#1} + + +% +% No subversion info and no approval boxes anymore +% +\newcommand{\subversionInfo}{} +\newcommand{\svnid}[1]{} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{} + +% +% Define a dummy command for low-level TeX programming +% +\newcommand{\isPublication}{} diff --git a/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex b/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex new file mode 100644 index 0000000..ab3331f --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% Dummy macros for the publicationPreview. Macros that are no longer allowed in +% a publication are temporarily set to empty. +% +\newcommand\sideremark[1]{} +\newcommand\questionSign[1]{} +\newcommand\disaster[1]{} +\newcommand\watchOut[1]{} +\newcommand\constructionWarning[1]{} + +% +% Go on with regular publication macros +% +\input{gfx/paperVersion-publication} diff --git a/gfx/paperVersion-working.tex b/gfx/paperVersion-working.tex new file mode 100644 index 0000000..8109545 --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-working.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% DEBUGGING MACROS +% + +% sideremark +\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}} + +% questionSign +\newcommand\questionSign[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% disaster +\newcommand\disaster[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% watchOut +\newcommand\watchOut[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% construction +\newcommand\constructionWarning[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% approval +\definecolor{approvalBlue}{rgb}{0.95,0.95,1.0} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{% + \marginpar{\tiny \sf + \colorbox{approvalBlue}{\begin{tabular}{ll} + \multicolumn{2}{l}{\vphantom{\large S}#1}\\ + #2 + \end{tabular}} + } +} + +% todo +\newcommand\todo[1]{{\sf \color{red}#1}} + +% +% Macros to produce different text for different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}} +\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}} diff --git a/gfx/question.eps b/gfx/question.eps new file mode 100644 index 0000000..693d38c --- /dev/null +++ b/gfx/question.eps @@ -0,0 +1,184 @@ +%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 +%%Creator: cairo 1.12.2 (http://cairographics.org) +%%CreationDate: Thu Mar 14 14:43:13 2013 +%%Pages: 1 +%%DocumentData: Clean7Bit +%%LanguageLevel: 3 +%%BoundingBox: 0 -1 34 35 +%%EndComments +%%BeginProlog +save +50 dict begin +/q { gsave } bind def +/Q { grestore } bind def +/cm { 6 array astore concat } bind def +/w 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b/gfx/setupProject.py new file mode 100755 index 0000000..f7c049c --- /dev/null +++ b/gfx/setupProject.py @@ -0,0 +1,20 @@ +#!/usr/bin/python3 +import os +import subprocess + +projectName = os.getcwd().split("/")[-1] + +print("Working on project "+projectName) + +print("Setup directory structure") +subprocess.call("svn rm branches tags trunk", shell=True) +subprocess.call("svn propset svn:externals 'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography' .", shell=True) +subprocess.call("svn up", shell=True) + +print("Setup templates") +subprocess.call("cp gfx/templates/*.tex .", shell=True) +subprocess.call("mv example.tex "+projectName+".tex", shell=True) +subprocess.call("sed 's/example/"+projectName+"/g' <01.tex >01new.tex", shell=True) +subprocess.call("mv 01new.tex 01.tex", shell=True) +subprocess.call("svn add *.tex", shell=True) +subprocess.call("bash gfx/svn-propset.sh", shell=True) diff --git a/gfx/stdPreamble.tex b/gfx/stdPreamble.tex new file mode 100644 index 0000000..24ce0f1 --- /dev/null +++ b/gfx/stdPreamble.tex @@ -0,0 +1,377 @@ +% +% PACKAGES +% + +% Standard Packages +\usepackage{babel} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{hyperref} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{newunicodechar} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{varioref} +\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy} + +% Graphics Packages +\usepackage{colortbl} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{tikz} + +% Font packages +\usepackage{mathrsfs} + + +% +% GENERAL TYPESETTING +% + +% Colours for hyperlinks +\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2} +\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6} + +% Limit table of contents to section titles +\setcounter{tocdepth}{1} + +% Numbering of figures (see below for numbering of equations) +\numberwithin{figure}{section} + +% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references +\usepackage[hyperpageref]{backref} +\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1} + +% Numbering of parts in roman numbers +\renewcommand\thepart{\rm \Roman{part}} + +% Sloppy formatting -- often looks better +\sloppy + +% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in +% the original amsart style is too much for my taste. +\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii} + +% +% Input characters +% + +\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}} +\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}} +\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}} +\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}} +\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}} +\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}} +\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}} +\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}} +\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}} +\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}} +\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}} +\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}} +\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}} +\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}} +\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}} +\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}} +\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}} 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+\newunicodechar{≅}{\ensuremath{\cong}} +\newunicodechar{⇔}{\ensuremath{\Leftrightarrow}} +\newunicodechar{∃}{\ensuremath{\exists}} +\newunicodechar{±}{\ensuremath{\pm}} + + +% +% FONT DEFINTIONS +% + +% Script Font used for sheaves +\DeclareFontFamily{OMS}{rsfs}{\skewchar\font'60} +\DeclareFontShape{OMS}{rsfs}{m}{n}{<-5>rsfs5 <5-7>rsfs7 <7->rsfs10 }{} +\DeclareSymbolFont{rsfs}{OMS}{rsfs}{m}{n} +\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs} +\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs} + +% Code from mathabx.sty and mathabx.dcl, define macro \wcheck +\DeclareFontFamily{U}{mathx}{\hyphenchar\font45} +\DeclareFontShape{U}{mathx}{m}{n}{ + <5> <6> <7> <8> <9> <10> + <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88> + mathx10 + }{} +\DeclareSymbolFont{mathx}{U}{mathx}{m}{n} +\DeclareFontSubstitution{U}{mathx}{m}{n} +\DeclareMathAccent{\wcheck}{0}{mathx}{"71} + + +% +% MATHEMATICS DEFINITIONS +% + +% Operators +\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} +\DeclareMathOperator{\codim}{codim} +\DeclareMathOperator{\coker}{coker} +\DeclareMathOperator{\const}{const} +\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} +\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} +\DeclareMathOperator{\Id}{Id} +\DeclareMathOperator{\Image}{Image} +\DeclareMathOperator{\img}{img} +\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} +\DeclareMathOperator{\rank}{rank} +\DeclareMathOperator{\Ramification}{Ramification} +\DeclareMathOperator{\red}{red} +\DeclareMathOperator{\reg}{reg} +\DeclareMathOperator{\sat}{sat} +\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}} +\DeclareMathOperator{\sing}{sing} +\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} +\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\tor}{tor} +\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} +\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} + +% Sheaves +\newcommand{\sA}{\scr{A}} +\newcommand{\sB}{\scr{B}} +\newcommand{\sC}{\scr{C}} +\newcommand{\sD}{\scr{D}} +\newcommand{\sE}{\scr{E}} +\newcommand{\sF}{\scr{F}} +\newcommand{\sG}{\scr{G}} +\newcommand{\sH}{\scr{H}} +\newcommand{\sHom}{\scr{H}\negthinspace om} +\newcommand{\sI}{\scr{I}} +\newcommand{\sJ}{\scr{J}} +\newcommand{\sK}{\scr{K}} +\newcommand{\sL}{\scr{L}} +\newcommand{\sM}{\scr{M}} +\newcommand{\sN}{\scr{N}} +\newcommand{\sO}{\scr{O}} +\newcommand{\sP}{\scr{P}} +\newcommand{\sQ}{\scr{Q}} +\newcommand{\sR}{\scr{R}} +\newcommand{\sS}{\scr{S}} +\newcommand{\sT}{\scr{T}} +\newcommand{\sU}{\scr{U}} +\newcommand{\sV}{\scr{V}} +\newcommand{\sW}{\scr{W}} +\newcommand{\sX}{\scr{X}} +\newcommand{\sY}{\scr{Y}} +\newcommand{\sZ}{\scr{Z}} + +% C-infty sheaves +\newcommand{\cA}{\mathcal A} +\newcommand{\cC}{\mathcal C} +\newcommand{\cD}{\mathcal D} +\newcommand{\cE}{\mathcal E} +\newcommand{\cM}{\mathcal M} +\newcommand{\cN}{\mathcal N} +\newcommand{\cV}{\mathcal V} + +% Blackboard Bold Symbols +\newcommand{\bA}{\mathbb{A}} +\newcommand{\bB}{\mathbb{B}} +\newcommand{\bC}{\mathbb{C}} +\newcommand{\bD}{\mathbb{D}} +\newcommand{\bE}{\mathbb{E}} +\newcommand{\bF}{\mathbb{F}} +\newcommand{\bG}{\mathbb{G}} 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+\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} +\newtheorem{lemDef}[thm]{Lemma and Definition} +\newtheorem{lemNot}[thm]{Lemma and Notation} +\newtheorem{problem}[thm]{Problem} +\newtheorem{prop}[thm]{Proposition} +\newtheorem{setup}[thm]{Setup} +\newtheorem{subthm}[thm]{Sub-Theorem} +\newtheorem{summary}[thm]{Summary} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{assumption}[thm]{Assumption} +\newtheorem{asswlog}[thm]{Assumption w.l.o.g.} +\newtheorem{claim}[thm]{Claim} +\newtheorem{c-n-d}[thm]{Claim and Definition} +\newtheorem{consequence}[thm]{Consequence} +\newtheorem{construction}[thm]{Construction} +\newtheorem{computation}[thm]{Computation} +\newtheorem{example}[thm]{Example} +\newtheorem{explanation}[thm]{Explanation} +\newtheorem{notation}[thm]{Notation} +\newtheorem{obs}[thm]{Observation} +\newtheorem{rem}[thm]{Remark} +\newtheorem{question}[thm]{Question} +\newtheorem*{rem-nonumber}{Remark} +\newtheorem{setting}[thm]{Setting} +\newtheorem{warning}[thm]{Warning} + +% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems. +\numberwithin{equation}{thm} + +% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are +% numbered in the same way as equations are. +\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}} + +% Shorthand notations +\newcommand{\into}{\hookrightarrow} +\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow} +\newcommand{\wtilde}{\widetilde} +\newcommand{\what}{\widehat} + +% +% HYPENTATION +% + +\hyphenation{com-po-nents} +\hyphenation{pos-i-tive} +\hyphenation{Theo-rem} +\hyphenation{Vojta} + + +% +% SPECIALIZED MACROS +% + +% CounterStep - increases equation counter +\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}} + +% factor - quotient groups +\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}} diff --git a/gfx/svn-propset.sh b/gfx/svn-propset.sh new file mode 100644 index 0000000..a89972b --- /dev/null +++ b/gfx/svn-propset.sh @@ -0,0 +1,2 @@ +#!/bin/bash +svn propset svn:keywords "Id" *.tex diff --git a/gfx/templates/01.tex b/gfx/templates/01.tex new file mode 100644 index 0000000..3623a16 --- /dev/null +++ b/gfx/templates/01.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +% +% Do not edit the following line. The text is automatically updated by +% subversion. +% +\svnid{$Id: 01-intro.tex 64 2013-12-04 07:33:02Z kebekus $} + +\section{Example section} +\subversionInfo + +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor +incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis +nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo +consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum +dolore eu fugiat nulla pariatur. 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