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\selectlanguage{german}
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\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
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Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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\section{Körpererweiterungen}
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Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für
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Körpererweiterungen, also für Situation, in denen wir einen (großen) Körper $L$
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haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$. Die
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erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass
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nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
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\begin{beobachtung}
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In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen:
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\begin{itemize}
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\item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
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\emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
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Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
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\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
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Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
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\end{itemize}
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\end{beobachtung}
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Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
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einmal ein wenig Sprache fällig.
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\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
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Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
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Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
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\end{definition}
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\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
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Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
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Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
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Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
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Abbildungen von $K$ nach $K$!
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\end{warnung}
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\begin{bsp}[Polynomring]
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Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom
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$π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Polynomring]
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Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus
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Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}. Dann ist
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\[
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\frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z
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\]
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ein typisches Polynom aus $K[x]$.
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\end{bsp}
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Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
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Folgende.
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt
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\emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
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Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
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gilt.
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\begin{itemize}
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\item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
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\item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$. Genauer: fasse das Polynom
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$f$ als Element von $L[x]$ auf. Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$
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gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet.
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\end{itemize}
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Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$
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\emph{transzendent}\index{transzendent!Element einer Körpererweiterung}.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$. Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist
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algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der
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Freiburger Mathematiker Ferdinand
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Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
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Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April
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1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher
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Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
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Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
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Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
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\end{bsp}
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\section{Algebraische und transzendente Zahlen}
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Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
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Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
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Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
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\emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente
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heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
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\end{defn}
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Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass
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jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
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enthält.
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\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
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Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
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Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur
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endlich viele Nullstellen.
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\end{proof}
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\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen}
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen]
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Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$
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\emph{algebraisch}\index{algebraisch!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!algebraisch},
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wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist. Wenn $L/K$ nicht
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algebraisch ist, nennt man die Erweiterung
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\emph{transzendent}\index{transzendent!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!transzendent}.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch. Denn wenn irgendeine komplexe
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Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms
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\[
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f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈
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ℝ}·x-\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}.
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\]
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Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann) sagt, dass
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$ℝ/ℚ$ transzendent ist.
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\end{bsp}
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\section{Das Minimalpolynom}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
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Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
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hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
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irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
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ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
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als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
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Zusatzbedingungen stellt.
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\begin{description}
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\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad
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minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle
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haben.
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\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn
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\begin{equation*}
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f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
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\end{equation*}
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ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
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``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
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\begin{equation*}
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\frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
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\end{equation*}
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ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle.
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\end{description}
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Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom
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minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat. Denn wenn $f_1$ und $f_2$
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zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das
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Element $a$ als Nullstelle. Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der
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Grad von $f_1$!
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\begin{defn}[Minimalpolynom]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
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Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten
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Grades in $K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat, wird als
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\emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von $a$ über $K$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann definiert man
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den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes} wie folgt.
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\begin{itemize}
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\item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
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der Grad des Minimalpolynoms.
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\item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
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unendlich.
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\end{itemize}
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||
Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist
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$[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
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$f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Der Satz von Lindemann sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
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Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt.
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
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Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter
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sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
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Gleichung $a² = b$). Dann gilt
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\[
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[a:K] =
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\left\{
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\begin{matrix}
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1 & \text{falls } a ∈ K \\
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||
2 & \text{sonst}
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||
\end{matrix}
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||
\right.
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\]
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\end{bsp}
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Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen
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werden.
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\section{Der Grad einer Körpererweiterung}
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Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als
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$K$-Vektorraum auffassen. Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in
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$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit
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Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$. Das erlaubt folgende
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Definition.
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\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum
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über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
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Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
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Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{endliche
|
||
Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!endlich}, wenn $[L:K] < ∞$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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||
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
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endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die
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Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{3-1} und \video{3-2}.
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\end{proof}
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Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich. Beide folgen direkt aus dem
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Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
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dieser Stelle nicht.
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\begin{kor}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$
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ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
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||
\end{kor}
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\begin{kor}\label{kro:eord}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
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Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
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\[
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b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1},
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\]
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wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind. \qed
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\end{kor}
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Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
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schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
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$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich
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nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
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beliebige einfache Körpererweiterungen.
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\section{Ketten von Körpererweiterungen}
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Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$
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haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
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hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
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Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
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\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
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\index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
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Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
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$∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
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Gleichung
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\[
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||
[M:K] = [M:L]·[L:K].
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||
\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{3-3}
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\end{proof}
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\begin{kor}
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||
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn
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$[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
|
||
$[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
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Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
|
||
\end{kor}
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||
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\begin{kor}
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||
Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl
|
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ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed
|
||
\end{kor}
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||
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||
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
|
||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$
|
||
durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
|
||
$b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
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||
\begin{itemize}
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||
\item Es gilt die Gleichung $a² = b$.
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\item Es ist $L=K(a)$.
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\end{itemize}
|
||
\end{kor}
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||
\begin{proof}
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\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
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||
\end{proof}
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||
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Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
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\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
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||
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\item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
|
||
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
|
||
$L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
|
||
|
||
\item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
|
||
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
|
||
$L = K(a_1, …, a_n)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
|
||
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
|
||
sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
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||
zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
|
||
Hier ist nichts zu zeigen.
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||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
|
||
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
|
||
Kette von Erweiterungen
|
||
\[
|
||
K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
|
||
\]
|
||
Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
|
||
insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
|
||
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte
|
||
Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
|
||
\[
|
||
[L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
|
||
\]
|
||
und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
\section{Die Transitivität der Algebraizität}
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||
|
||
Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
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||
Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
|
||
sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über
|
||
die ``Transitivität der Algebraizität''.
|
||
|
||
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
|
||
Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch
|
||
$M/K$ algebraisch.
|
||
\end{kor}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{3-5}
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||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{warnung}[Prüfungsfalle]
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||
Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern
|
||
gefragt. Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist. In Prüfungen
|
||
sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$
|
||
direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen. Das hat in der Geschichte der
|
||
Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert. Lassen Sie das!
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper]\label{satzdef:aaieO}
|
||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann bildet die Menge
|
||
\[
|
||
\overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \}
|
||
\]
|
||
einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im
|
||
Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper}
|
||
\end{satzdef}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{3-6}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{kor}
|
||
Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen bildet einen Unterkörper
|
||
von $ℂ$. \qed
|
||
\end{kor}
|
||
|
||
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
|
||
Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
|
||
``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
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Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
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\end{warnung}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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