From 764ea9df17f363f4d0d6a5ab5fb08c86e7e09ace Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 14 Sep 2023 13:18:58 +0200 Subject: [PATCH] Add files --- 01.tex | 294 + 02.tex | 396 + 03.tex | 426 + 04.tex | 108 + 05.tex | 705 + 06.tex | 184 + 07.tex | 266 + 08.tex | 131 + 09.tex | 443 + 10.tex | 384 + 11.tex | 100 + 12.tex | 244 + 13.tex | 273 + 14.tex | 498 + 15.tex | 343 + 16.tex | 292 + 17.tex | 758 + 18.tex | 448 + 19.tex | 176 + 20.tex | 229 + 21.tex | 71 + 22.tex | 376 + 23.tex | 218 + 24.tex | 343 + 25.tex | 256 + AlgebraZahlentheorie.tex | 275 + bibliography/general.bib | 15744 +++++++++++++++ bibliography/skalpha.bst | 1452 ++ figures/01-fiveGon.tex | 105 + ...bic_with_double_point-eps-converted-to.pdf | Bin 0 -> 4410 bytes figures/Cubic_with_double_point.eps | 207 + figures/Cubic_with_double_point.svg | 18 + gfx/Strategyforproof.pdf | Bin 0 -> 151135 bytes gfx/construction.eps | 149 + gfx/construction.pdf | Bin 0 -> 2250 bytes gfx/construction.svg | 67 + gfx/danger.eps | 7880 ++++++++ gfx/danger.svg | 117 + gfx/disaster.eps | 168 + gfx/disaster.pdf | Bin 0 -> 3936 bytes gfx/disaster.svg | 124 + gfx/paperVersion-preprint.tex | 13 + gfx/paperVersion-publication.tex | 18 + gfx/paperVersion-publicationPreview.tex | 14 + gfx/paperVersion-working.tex | 94 + gfx/question.eps | 184 + gfx/question.pdf | Bin 0 -> 7872 bytes gfx/question.svg | 325 + gfx/set-externals.sh | 2 + gfx/setupProject.py | 20 + gfx/stdPreamble.tex | 377 + gfx/svn-propset.sh | 2 + gfx/templates/01.tex | 23 + gfx/templates/example.tex | 51 + gfx/varphi.tex | 1 + gfx/warning.eps | 15780 ++++++++++++++++ gfx/warning.pdf | Bin 0 -> 164548 bytes gfx/warning.svg | 35 + 58 files changed, 51207 insertions(+) create mode 100644 01.tex create mode 100644 02.tex create mode 100644 03.tex create mode 100644 04.tex create mode 100644 05.tex create mode 100644 06.tex create mode 100644 07.tex create mode 100644 08.tex create mode 100644 09.tex create mode 100644 10.tex create mode 100644 11.tex create mode 100644 12.tex create mode 100644 13.tex create mode 100644 14.tex create mode 100644 15.tex create mode 100644 16.tex create mode 100644 17.tex create mode 100644 18.tex create mode 100644 19.tex create mode 100644 20.tex create mode 100644 21.tex create mode 100644 22.tex create mode 100644 23.tex create mode 100644 24.tex create mode 100644 25.tex create mode 100644 AlgebraZahlentheorie.tex create mode 100644 bibliography/general.bib create mode 100644 bibliography/skalpha.bst create mode 100644 figures/01-fiveGon.tex create mode 100644 figures/Cubic_with_double_point-eps-converted-to.pdf create mode 100644 figures/Cubic_with_double_point.eps create mode 100644 figures/Cubic_with_double_point.svg create mode 100644 gfx/Strategyforproof.pdf create mode 100644 gfx/construction.eps create mode 100644 gfx/construction.pdf create mode 100644 gfx/construction.svg create mode 100644 gfx/danger.eps create mode 100644 gfx/danger.svg create mode 100644 gfx/disaster.eps create mode 100644 gfx/disaster.pdf create mode 100644 gfx/disaster.svg create mode 100644 gfx/paperVersion-preprint.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-publication.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-publicationPreview.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-working.tex create mode 100644 gfx/question.eps create mode 100644 gfx/question.pdf create mode 100644 gfx/question.svg create mode 100755 gfx/set-externals.sh create mode 100755 gfx/setupProject.py create mode 100644 gfx/stdPreamble.tex create mode 100644 gfx/svn-propset.sh create mode 100644 gfx/templates/01.tex create mode 100644 gfx/templates/example.tex create mode 100644 gfx/varphi.tex create mode 100644 gfx/warning.eps create mode 100644 gfx/warning.pdf create mode 100644 gfx/warning.svg diff --git a/01.tex b/01.tex new file mode 100644 index 0000000..03964cb --- /dev/null +++ b/01.tex @@ -0,0 +1,294 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal} + +\begin{quote} + Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den + axiomatisch-deduktiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches + Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und + Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter + vier Augen erlautert werden. + + --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu ``Geometrische Methoden in der Theorie der + gewöhnlichen Differenzalgleichungen'' +\end{quote} + +\bigskip + +\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung +``Algebra'' zu nähern. Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die +Begriffe +\begin{quote} + Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen +\end{quote} +ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit +einigen unerwarteten Anwendungen. Mögen Sie solche Vorlesungen? Ich nicht. +Ich habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur +schwer motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert +waren. Das ist doch langweilig! + +Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischem +Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal +konstruieren? Und bei welchen geht das nicht? Und wenn es nicht geht, woran +liegt das? Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach +Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die +notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten. Wir springen also +gleich ins tiefe Wasser. Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und Skripte, +die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's! + + +\section{Das Konstruktionsproblem} + +Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike. Alexander der Große hat +ein Weltreich errichtet. Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in +den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden +wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}. Kennen Sie den + \href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus + von Antikythera}?}. In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende +Geometrie einen wichtigen Platz ein. Trigonometrische Rechnung war zwar +bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen + Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem + Sie die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$ + näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück + übertragen. Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn + Maulschellen vom Lehrherrn.}. Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit +Zirkel und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich +nur schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut + sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}. + +\begin{warnung} + In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung. Bei + Konstruktionen mit ``Zirkel und Lineal'' kann man keine Lösungen messen oder + vorgeben. Albrecht + Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht + Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21. Mai 1471 in Nürnberg; † 6. April + 1528 ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und + Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat, + schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb + lieber vom ``Richtscheit''. +\end{warnung} + + +\subsection{Konstruktion des regelmäßigen 5-Eck} +\index{Konstruktion!des regelmäßigen 5-Eck} + +\begin{figure} + \centering + + \input{figures/01-fiveGon} + + \caption{Das regelmäßige 5-Eck} + \label{fig:fiveGon} +\end{figure} + + +Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten. +Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion. Auf der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} +finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt. +\begin{itemize} +\item Man konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im + Mittelpunkt eines Kreises schneiden. + +\item Man halbiere die eine und viertele die andere Achse. + +\item Man schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke + Vierteilungspunkt- Halbierungspunkt als Radius. + +\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale + Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen + 5-Eck auf die geviertelte Achse. +\end{itemize} + +Der folgende Satz schafft den Bogen zur Zahlentheorie. Ich nenne ihn hier, um +zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist! + +\begin{satz} + Betrachte das regelmäßig 5-Eck aus Abbildung~\ref{fig:fiveGon}. Dann gilt: + Die Kantenlänge $a$ und die Länge der Sekante $d$ im regelmäßigen $5$-Eck sind + \emph{inkommensurabel}. Mit anderen Worten: der Quotient $d/a$ ist keine + rationale Zahl. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer + Vorüberlegung. Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc) zeigt, dass + das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat. Der + Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich auf der + \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud} + für Sie als Scan hinterlegt habe. + + Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und + nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei. Dann gibt es eine Strecke der + Länge $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen + sind. Die Vorüberlegung zeigt aber, dass + \begin{equation*} + d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ^+}·s + \end{equation*} + die Kantenlänge eines kleineren $5$-Eck ist, das eine Sekante der Länge $a$ + hat. Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist. Weil + aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit + $a-(d-a) < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen + können, ist + \begin{equation*} + s< θ^k·a + \end{equation*} + für alle $k>0$, ein klarer Widerspruch. +\end{proof} + +\begin{prov} + Kennen wir die irrationale Zahl $d/a$ irgendwoher? +\end{prov} + + +\subsection{Andere klassische Konstruktionsaufgaben} +\label{sec:1-1-2} + +Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben. Ich nenne +einige der berühmtesten Beispiele. + +\begin{itemize} +\item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen + $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck} + +\item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung + des Winkels} + +\item Die Verdopplung eines Würfels. Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen + soll sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels} + +\item Die Quadratur des Kreises. Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis + ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der + Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises} +\end{itemize} + + +\section{Enter: Algebra} + +Die Frage, welche dieser Konstruktionsaufgaben lösbar sind, war viele +Jahrhunderte offen. Fortschritte gab es erst, nachdem die Probleme in Algebra +übersetzt werden konnten. Dazu interpretiert die Ebene als die Menge $ℂ$ der +komplexen Zahlen. Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche +Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind. + +\begin{notation} + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch + $p$ und $q$. +\end{notation} + +\begin{notation} + Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit + Mittelpunkt $p$. +\end{notation} + +\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte] + Gegeben sei eine nicht-leere Menge $M ⊂ ℂ$. Mit Zirkel und Lineal sind exakt + die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu + konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt} + \begin{itemize} + \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1≠ q_1$ und + $p_2≠ q_2$. Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$ verschieden. Dann sind die Punkte von + $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2, q_2}$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Geraden'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$. Dann sind die Punkte + von $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Gerade mit Kreis schneiden'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + + \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1≠ p_2$. Dann sind die Punkte + von $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren + Konstruktionsschritt ``Schneiden von zwei Kreisen'' mit Zirkel und Lineal + aus der Menge $M$ konstruierbar. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + In jedem elementaren Konstruktionsschritt werden höchstens zwei Punkte neue + Punkte konstruiert. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Durch Zusammensetzen von mehreren elementaren Konstruktionsschritten kann man + komplizierte Konstruktionen durchführen. In der Schule haben wir unter + anderem folgende Konstruktionen gelernt. + \begin{itemize} + \item Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen. + + \item Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten konstruieren. Damit lassen sich + Strecken halbieren und vierteln. + + \item Gerade durch einen Punkt konstruieren, die zu einer gegebenen Gerade + parallel ist. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +\begin{definition}[Konstruierbare Punkte] + Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben. Wir definieren die Menge + \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren + Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau + dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen + \[ + M = M_0 ⊂ M_1⊂ ⋯ ⊂ M_n + \] + gibt, sodass folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $z ∈ M_n$. + + \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ + entsteht durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von + $M_i$. + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{bemerkung}[Menge $M$ sollte mindestens zwei Punkte enthalten] + Wenn $M$ leer ist, oder nur einen Punkt enthält, ist $\Kons(M) = M$, das ist + sehr langweilig. Also betrachten wir im Folgenden immer den Fall, dass $M$ + mindestens die Punkte $0,1 ∈ ℂ$ enthält. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Klassische Konstruktionsaufgaben] + Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen + Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren. + \begin{itemize} + \item Die Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann + auch die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + + \item Die Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl + $\varphi ∈ (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in + $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$? + + \item Die Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + + \item Die Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$? + \end{itemize} +\end{bsp} + +Der folgende Satz ist der wesentliche Knackpunkt in der gesamten Vorlesung, der +die Verbindung zwischen der Frage nach der Konstruierbarkeit und der Algebra +herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage +zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper +ineinander enthalten sein können. + +\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9} + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält. + Dann ist $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe] + Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen + \[ + x+y,\quad x-y,\quad x·y + \] + und im Falle $x \ne 0$ auch die Zahl $1/x$ mit Zirkel und Lineal aus $M$ + konstruierbar ist. Dies lassen wir als Übungsaufgabe für die Leserin oder den + Leser. Das gilt insbesondere, wenn sie oder er auf Lehramt studiert! +\end{proof} + + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: + diff --git a/02.tex b/02.tex new file mode 100644 index 0000000..cb67667 --- /dev/null +++ b/02.tex @@ -0,0 +1,396 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe} + +Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich +sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe +Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer +einheitlich). Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem +ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole. Das allermeiste +dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der +Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. + + +\section{Gruppen} +\label{sec:gruppen} + +\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1} + Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer + Abbildung + \[ + m : G⨯ G → G, + \] + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{description} + \item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt: + $m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$. + + \item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für + alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$. + + \item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus + $G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{defn}[Abelsche Gruppe] + Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Die Gruppe heißt + \emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder + \emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$ + die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt. +\end{defn} + +\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses] + Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Dann wird die Abbildung $m$ häufig + \emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt. Häufig wird + statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz + $a·b$. Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich. Das + inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra] + Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem + (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder + der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei + \begin{equation*} + m(a,b) := a+b + \end{equation*} + die Addition bzw.\ die Vektoraddition. Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen] + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der + invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind. Weiter sei + \begin{equation*} + m(a,b) := a·b + \end{equation*} + die Matrixmultiplikation. Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen + nicht Abelsch. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen] + Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven + Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die + Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen. Dann ist + $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich + ``Bijektivität''? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch + ist? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Vektorprodukt] + Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt. Dann ist + $(G, ⨯)$ keine Gruppe. Warum? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation] + Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die + Multiplikation. Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe. Warum? +\end{bsp} + +\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9} + Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge. + Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls + Folgendes gilt. + \begin{description} + \item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$, + $b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$. + + \item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$ + ist auch $a^{-1}$ in $U$. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann + schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung + \[ + m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U + \] + und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe. Es ist üblich, diese Gruppe + einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen. +\end{bemerkung} + + +\subsection{Normale Untergruppen} + +Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''? Falls Sie diesen Begriff +in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, +hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von +Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich +im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. + +Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt +betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo +zusammengefasst. \video{1-1} + + + +\section{Ringe} + +\begin{defn}[Ring]\label{def:ring} + Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei + Abbildungen, + \[ + + : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R, + \] + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{description} + \item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe. + + \item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die + Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$. + + \item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ + aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$. + + \item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus + $R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$. + \end{description} +\end{defn} + +\begin{notation} + Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als + Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet. Das + neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das + neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$. +\end{notation} + +\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation] + Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren + verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales + Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in + Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins'' + genannt. +\end{warnung} + +\begin{defn}[Abelsche Ringe] + Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder + \emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ + aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Vektorprodukt] + Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die + Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet. Warum? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn] + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge + der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition + und Matrixmuliplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht + kommutativ. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Ganze Zahlen] + Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen + kommutativen Ring. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen. Man rechnet sofort + mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente + $a$ und $b$ die Identitäten + \[ + a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b) + \] + gelten. Aber Achtung! + \begin{itemize} + \item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass + $b=0$ ist. + + \item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass + $b=c$ ist. + \end{itemize} + Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann! +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Nullteiler] + Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a$ aus $R$ heißt + \emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt, + sodass $a·b = 0$ ist. Der Ring $R$ heißt + \emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder + \emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige + Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht. +\end{defn} + +Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme. Gute Ringe haben keine Nullteiler. + +\begin{figure} + \centering + \begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); + \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); + \draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0); + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); + \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); + \draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{minipage} + + \caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$} + \label{fig:nt} +\end{figure} + +\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig} + Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$. Zusammen mit + der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen + kommutativen Ring. Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus + Abbildung~\vref{fig:nt}. Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber + $f·g$ ist die Nullfunktion. Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des + Ringes $\cC⁰(ℝ)$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Polynome] + Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in + $n$ Veränderlichen. Die definiert mit der üblichen Addition und + Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$] + Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$. Dies ist kein + Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber + $[2]·[3] = [6] = [0]$. Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein + Integritätsring, sogar ein Körper. +\end{bsp} + +Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives +Inverses besitzt. Solche Elemente heißen Einheiten. + +\begin{defn}[Einheiten eines Ringes] + Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element. Nenne $a$ + \emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes} + oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass + $a·b = b·a = 1$ ist. Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Ganze Zahlen] + Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Stetige Funktionen] + In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen + ohne Nullstelle. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring. Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten + wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der + Multiplikation eine Gruppe. +\end{beobachtung} + +Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur +Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. + +\begin{bsp}[Unterringe] + Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring + der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$. +\end{bsp} + + +\section{Körper} + +\sideremark{Vorlesung 2} +\begin{defn}[Schiefkörper, Körper] + Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle + Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. + Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch + kommutativ ist. +\end{defn} + +Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur +Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. + +\begin{bsp}[Bekannte Körper] + Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper. Die + reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3} + In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa + \[ + f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}. + \] + Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale + Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen + Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen + ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber + kein Unterkörper von $ℝ(x)$. +\end{bsp} + +\begin{notation}[Körpererweiterung] + Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer + \emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}. Man + schreibt oft $L/K$. +\end{notation} + +Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht +ganz einfach. Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen +werden, um an neue Beispiele zu kommen. + +\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a} + Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner + Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die + den kleineren Körper $K$ enthalten. Man rechne direkt mithilfe der Definition + nach, dass die Schnittmenge + \[ + S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L + \] + wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + Unterkörper die Menge $K$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b} + Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer + gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten + alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es + mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$. Man rechne direkt + mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$, + \[ + \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize + $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L + \] + wieder ein Unterköper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser + Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der + die Menge $K ∪ A$ enthält. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen] + Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$ + bezeichnet. Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der + Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}. +\end{defn} + +\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen] + Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält, + $A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper + entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines + Elementes}. Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so + schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$. +\end{notation} + +\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache + Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. + In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der + Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich +besprechen. + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: + diff --git a/03.tex b/03.tex new file mode 100644 index 0000000..117efd5 --- /dev/null +++ b/03.tex @@ -0,0 +1,426 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Algebraische und transzendente Elemente} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +\section{Körpererweiterungen} + +Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für +Körpererweiterungen, also für Situation, in denen wir einen (großen) Körper $L$ +haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$. Die +erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass +nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind. + +\begin{beobachtung} + In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen: + \begin{itemize} + \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie + \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren + Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''. + + \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von + Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst +einmal ein wenig Sprache fällig. + +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2} + Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit + Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring} +\end{definition} + +\begin{warnung}[Polynome und Funktionen] + In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine + Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! + Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele + Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele + Abbildungen von $K$ nach $K$! +\end{warnung} + +\begin{bsp}[Polynomring] + Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom + $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Polynomring] + Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus + Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}. Dann ist + \[ + \frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z + \] + ein typisches Polynom aus $K[x]$. +\end{bsp} + +Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die +Folgende. + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt + \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer + Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes + gilt. + \begin{itemize} + \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom. + + \item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$. Genauer: fasse das Polynom + $f$ als Element von $L[x]$ auf. Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$ + gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet. + \end{itemize} + Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$ + \emph{transzendent}\index{transzendent!Element einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$. Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist + algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der + Freiburger Mathematiker Ferdinand + Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl + Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April + 1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher + Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem + Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten + Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist. +\end{bsp} + + +\section{Algebraische und transzendente Zahlen} + +Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die +Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert. + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen] + Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man + \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente + heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}. +\end{defn} + +Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass +jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen +enthält. + +\begin{satz}\label{satz:3-2-2} + Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. +\end{satz} +\begin{proof} + Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit + Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur + endlich viele Nullstellen. +\end{proof} + + +\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen} + +\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen] + Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$ + \emph{algebraisch}\index{algebraisch!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!algebraisch}, + wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist. Wenn $L/K$ nicht + algebraisch ist, nennt man die Erweiterung + \emph{transzendent}\index{transzendent!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!transzendent}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch. Denn wenn irgendeine komplexe + Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms + \[ + f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈ + ℝ}·x-\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}. + \] + Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann) sagt, dass + $ℝ/ℚ$ transzendent ist. +\end{bsp} + + +\section{Das Minimalpolynom} + +Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. +Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle +hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit +irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das +ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$ +als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar +Zusatzbedingungen stellt. + +\begin{description} +\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad + minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle + haben. + +\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn + \begin{equation*} + f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x] + \end{equation*} + ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung: + ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.} + \begin{equation*} + \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x] + \end{equation*} + ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle. +\end{description} + +Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom +minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat. Denn wenn $f_1$ und $f_2$ +zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das +Element $a$ als Nullstelle. Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der +Grad von $f_1$! + +\begin{defn}[Minimalpolynom] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. + Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten + Grades in $K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat, wird als + \emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von $a$ über $K$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann definiert man + den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes} wie folgt. + \begin{itemize} + \item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$ + der Grad des Minimalpolynoms. + + \item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$ + unendlich. + \end{itemize} + Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist + $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms + $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom? +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Der Satz von Lindemann sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. + Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel] + Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter + sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die + Gleichung $a² = b$). Dann gilt + \[ + [a:K] = + \left\{ + \begin{matrix} + 1 & \text{falls } a ∈ K \\ + 2 & \text{sonst} + \end{matrix} + \right. + \] +\end{bsp} + +Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen +werden. + + +\section{Der Grad einer Körpererweiterung} + +Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als +$K$-Vektorraum auffassen. Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in +$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit +Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$. Das erlaubt folgende +Definition. + +\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum + über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer + Körpererweiterung}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung] + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{endliche + Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!endlich}, wenn $[L:K] < ∞$ ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder + endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar. +\end{bsp} + +\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die + Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{3-1} und \video{3-2}. +\end{proof} + +Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich. Beide folgen direkt aus dem +Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an +dieser Stelle nicht. + +\begin{kor} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ + ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed +\end{kor} + +\begin{kor}\label{kro:eord} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom + Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als + \[ + b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1}, + \] + wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind. \qed +\end{kor} + +Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ +schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als +$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich +nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für +beliebige einfache Körpererweiterungen. + + +\section{Ketten von Körpererweiterungen} + +Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$ +haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers +hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden +Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten. + +\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1} + \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von + Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention + $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die + Gleichung + \[ + [M:K] = [M:L]·[L:K]. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + \video{3-3} +\end{proof} + +\begin{kor} + Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn + $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von + $[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein + Teiler von $[M:K]$ ist. \qed +\end{kor} + +\begin{kor} + Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl + ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed +\end{kor} + +\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$ + durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und + $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es gilt die Gleichung $a² = b$. + + \item Es ist $L=K(a)$. + \end{itemize} +\end{kor} +\begin{proof} + \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises. +\end{proof} + +Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen. + +\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$. + + \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$ + und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass + $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. + + \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$, + die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: + $L = K(a_1, …, a_n)$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}] + Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also + sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man + zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}] + Hier ist nichts zu zeigen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}] + Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die + Kette von Erweiterungen + \[ + K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L. + \] + Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$; + insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und + Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte + Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann + \[ + [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i], + \] + und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist. +\end{proof} + + +\section{Die Transitivität der Algebraizität} + +Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus +Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig +sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über +die ``Transitivität der Algebraizität''. + +\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA} + Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch + $M/K$ algebraisch. +\end{kor} +\begin{proof} + \video{3-5} +\end{proof} + +\begin{warnung}[Prüfungsfalle] + Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern + gefragt. Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist. In Prüfungen + sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$ + direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen. Das hat in der Geschichte der + Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert. Lassen Sie das! +\end{warnung} + +\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper]\label{satzdef:aaieO} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann bildet die Menge + \[ + \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \} + \] + einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im + Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper} +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{3-6} +\end{proof} + +\begin{kor} + Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen bildet einen Unterkörper + von $ℂ$. \qed +\end{kor} + +\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio} + Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von + ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines + Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln! +\end{warnung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/04.tex b/04.tex new file mode 100644 index 0000000..6f866e3 --- /dev/null +++ b/04.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösungen von Gleichungen durch Radikale} +\label{sec:4} + +\sideremark{Vorlesung 4}Nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal möchte ich +noch ein klassisches Problem formulieren. Für eine quadratische Gleichung +$x²+px+q=0$ gibt es die Lösungsformel +\begin{equation*} + x_{1,2} = -\frac{p}{2}±\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)²-q}. +\end{equation*} +Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der +Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese +Formeln erstmals 1545 von Gerolamo +Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo + Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan, + lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia; + † 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und + Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch +\cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen +Gleichungen wurden wohl von Nicolo +Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò + Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in + Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine + Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut +Cardano sogar noch früher durch Scipione del +Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione + del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein + italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und + Geometrie an der Universität von Bologna. }. + +\begin{bsp} + Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der + Gleichung + \begin{equation}\label{eq_loesung_3_Grades} + x³+ax²+bx+c=0. + \end{equation} + Diese Gleichung lässt sich wie folgt lösen. Man setze + \begin{align*} + h& := -\frac{1}{2}c+\frac{1}{6}a· b-\frac{1}{27}a³\\ + w_1& := \sqrt{-3(a²b²-4a³c-4b³+18abc-27c²)}\\ + w_2& := \sqrt[3]{h+\frac{1}{18}w_1}\\ + w_3& := \sqrt[3]{h-\frac{1}{18}w_1}, + \end{align*} + wobei die Wurzeln so zu wählen sind, dass + \[ + w_2·w_3 = \frac{1}{8}·a²·\frac{1}{3}·b + \] + ist. Dann ist $x = \frac{1}{3}·a+w_2-w_3$ eine Lösung von + \eqref{eq_loesung_3_Grades}. +\end{bsp} + +Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen +auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine +solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich +ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die +Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung +hier nur. + +\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente + $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$. + + \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist + $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$. + \end{itemize} +\end{defn} + +Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die +$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines +Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir +schreiben +\begin{align*} + K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\ + K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\ + &\:\:\: \vdots \\ + K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}. +\end{align*} +Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur +(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen. + +\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra} + Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die + Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit + durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine + Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt + und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}. +\end{defn} + +Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter +anderem ob ein Polynom +\begin{equation*} + f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x] +\end{equation*} +über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, +das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von +rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken +lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/05.tex b/05.tex new file mode 100644 index 0000000..88bbfcc --- /dev/null +++ b/05.tex @@ -0,0 +1,705 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Teilbarkeit} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + + +\section{Wohin geht die Reise…?} + +In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff +``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber +gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet. + +\begin{problem} + Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes + Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das + Minimalpolynom ist oder nicht. +\end{problem} + +Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und +Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen. Hier kommt ein erster Hinweis, in +welche Richtung die Argumentation geht. + +\begin{beobachtung} + Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch + über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt + $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule + gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende + schreibt man + \begin{equation*} + g(x) = q(x)·f(x)+ r(x) + \end{equation*} + wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als + Nullstelle. Dann gilt: + \begin{equation*} + 0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a). + \end{equation*} + Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist, + und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten. Als Konsequenz + lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des + Minimalpolynoms. Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das + $a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern + von $g$. +\end{beobachtung} + + +\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen} + +Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik +machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der +Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen +statt Körpern. + +\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der + Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit + Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring + der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und + $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie + \begin{align*} + R[x,y] &= R[y,x] \\ + R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y], + \end{align*} + die wir nicht formal beweisen werden. +\end{beobachtung} + +Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom +$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen +verhält sich der Grad gut. + +\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad} + Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle + Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir + verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle + $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: + \begin{equation*} + \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q). + \end{equation*} + Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei + $n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus + $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können: + \begin{align*} + p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\ + q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m + \end{align*} + Dann ist weiter + \begin{equation*} + p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}. + \end{equation*} + Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist + $\deg (p·q) =n+m$. +\end{proof} + +\begin{kor} + Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch + $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe der + Einheiten gilt + \begin{equation*} + R[x_1, …, x_n]^* = R^*, + \end{equation*} + wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome + auffassen. +\end{kor} +\begin{proof} + Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die + zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass + $R[x]^* = R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: es + existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber + \[ + \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0. + \] + Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant. +\end{proof} + +\begin{bsp} + Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Sei $K$ ein Körper. Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$. +\end{bsp} + + +\section{Teilbarkeit in Ringen} + +In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In +allgemeinen Ringen geht das nicht anders. + +\begin{defn}[Teiler] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen + \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$ + ist. Wir schreiben dann $r|s$. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es gilt $2|16$ in $ℤ$. Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$. +\end{bsp} + +\begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$ + seien Elemente. Dann gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Es gilt $r|r$. + + \item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$. + + \item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$. + + \item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$. + + \item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$. + \end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} + Keine Lust. Folgt alles direkt aus der Definition. +\end{proof} + +Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war +das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in +bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''. + +\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei + Elemente von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$. + + \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass + $ε·r=s$ ist. + \end{enumerate} + Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander + assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$. +\end{satzdef} +\begin{proof} + Wir beweisen die Richtung + \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen + $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ + liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes + die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. + Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit + \begin{equation*} + u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r. + \end{equation*} + Also ist + \begin{equation*} + v·(u· r) = v·s \:⇒\: v· u· r= r \:⇒\: (v· u-1)·r = 0, + \end{equation*} + und weil $R$ ein Integritätsring ist, folgt $v· u =1$, also sind $v$ und + $u$ Einheiten in $R$. +\end{proof} + +Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte +Teiler. + +\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei + Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter + Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten + \begin{itemize} + \item Es gilt $r|s$. + + \item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$. + + \item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert. + \end{itemize} + Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt + \emph{irreduzibel}\index{irreduzible Ringelemente}, wenn $r$ nicht Null ist, + keine Einheit ist und keine echten Teiler hat. +\end{definition} + +\begin{notation} + Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$. +\end{notation} + +\begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ} + Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei + $p$ eine Primzahl ist. +\end{bsp} + +\begin{warnung} + Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für + beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren. +\end{warnung} + + +\section{Zerlegbarkeit von Elementen} + +In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich +ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von +irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben, +\begin{equation*} + m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n), +\end{equation*} +wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen +eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! + +\begin{warning}\label{war:nufd} + Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von + komplexen Zahlen, + \[ + R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}. + \] + einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit + $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente + \[ + 3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i + \] + irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind. Es gilt aber + schrecklicherweise + \[ + 3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i). + \] + Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als + Produkt von irreduziblen Elementen. +\end{warning} + +\subsection{Existenz von Zerlegungen} + +\sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt +eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen +relevant. + +\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette} + in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle + $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. +\end{defn} + +\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der + Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn + für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle + $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. +\end{defn} + +\begin{rem} + Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind + assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele + $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. +\end{rem} + +\begin{bsp} + In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann + gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von + $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper + $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von + Polynomen anstelle des Betrages. +\end{bsp} + +\begin{warnung} + In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der + Teilerkettensatz nicht gilt. +\end{warnung} + +Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf +Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von + Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\ + Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir +hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy +Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy + Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am + 14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, + die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik + lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren + revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung + zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen + an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt. + +\begin{satz}\label{satz:tksgz} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente + gilt. Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist. + Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen + $p_i ∈ R$ schreiben. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{5-1} +\end{proof} + + +\subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen} + +Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage +der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis +auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei +Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne +wir ``äquivalent''. + +\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es + seien + \[ + r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m + \] + zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die + Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn + gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle + Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte $R = ℤ$. Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente + Darstellungen der Zahl $6$. +\end{bsp} + +Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines +Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind. Die folgende Definition ist dabei +wichtig. + +\begin{definition}[Primelemente eines Ringes] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ein Element $p ∈ R$ heißt + \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist, + $p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass + $p|a$ oder $p|b$ gilt. +\end{definition} + +\begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen] + Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$. Dann gilt + Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel. + \item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim. + \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$ + $p \sim q$. + \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$ + $⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen. Sei $p$ + also prim. Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$ + oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel. +\end{proof} + +\begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr} + In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Also: die + Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen. Der Beweis ist erstaunlich + kompliziert. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes + irreduzible Element in $ℤ$ sei prim. Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind + aber gerade $±$ Primzahl. Also nehmen wir an, dass es eine kleinste + (positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen + $a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid + b$. Division mit Rest liefert: + \begin{align*} + a &= q_1· p+a_1, & 1&0$. Weiter sei $\ggT(a_0, …, a_n)=1$. Wenn es ein + Primelement $p ∈ R$ gibt mit $p|a_0$, $p|a_1$, …, $p|a_{n-1}$ und + $p² \nmid a_0$, dann ist $f$ irreduzibel in $R[x]$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-1} +\end{proof} + +\begin{notation} + Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium} + erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}. +\end{notation} + +\begin{bsp} + Das Polynom $x^n-r ∈ ℤ[x]$ ist irreduzibel, wenn $r$ durch eine Primzahl + $p$, aber nicht durch $p²$ teilbar ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Das Polynom $x^n-p ∈ ℤ[x]$ ist für jede Primzahl $p$ irreduzibel, und + deshalb Minimalpolynom von $\sqrt[n]{p}$ als Element der Körpererweiterung + $ℂ/ℚ$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Ein Polynom in mehreren Variablen der Gestalt + \begin{equation*} + x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n] + \end{equation*} + über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ + irreduzibel ist. +\end{bsp} + + +\subsection{Hilfe bei der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums} + +Das Eisenstein-Kriterium lässt manchmal auch in solchen Situationen anwenden, in +denen kein Eisenstein-Polynom vorliegt. Hin und wieder ist es nämlich möglich, +einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden. + +\begin{lem} + Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $S$ ein Integritätsring und es sei + $\varphi : R[x] → S$ ein Ringmorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf + eine Einheit in $S$ abbildet. Weiter sei $f∈ R[x]$ ein Polynom vom Grad $>0$, + sodass der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist. Wenn + jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel. +\end{lem} +\begin{proof} + Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$ + und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame + Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven + Grad haben. Die Gleichung + \begin{equation*} + \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h) + \end{equation*} + zeigt dann, dass $\varphi(f)$ echte Teiler hat, also nicht irreduzibel ist. +\end{proof} + +Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die +folgenden Weisen. +\begin{description} +\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist + $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch + \begin{equation*} + Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν + \end{equation*} + ein Ringmorphismus. + +\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine + Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze + \begin{equation*} + Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν + \end{equation*} + +\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein + Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung + \begin{equation*} + Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν. + \end{equation*} + Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, weil sie durch $x ↦ x+a$ + umgekehrt wird. +\end{description} + +\begin{bsp}\label{bsp:7.2.7} + Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei + \begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68} + f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x]. + \end{equation} + Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden. Aber es gilt: + \begin{equation*} + (x-1)· f=x^p-1. + \end{equation*} + Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir + \begin{equation*} + \varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1. + \end{equation*} + Also ist + \begin{equation*} + \varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}. + \end{equation*} + Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit + $1 ≤ ν < p$. Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und + $\binom{p}{p}=1$. Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils + irreduzibel. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/08.tex b/08.tex new file mode 100644 index 0000000..9b50a7c --- /dev/null +++ b/08.tex @@ -0,0 +1,131 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Anwendung: Konstruktion mit Zirkel und Lineal} + +\section{Erinnerung} + +Die Ergebnisse, die wir bislang gewonnen haben, können wir direkt auf +Konstruierbarkeitsfragen anwenden. Ich erinnere noch einmal, was der Stand der +Debatte war. + +\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 1, Aufgabe 1.b] + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge, die die Elemente $0$ und $1$ enthält. Dann + ist die Menge $\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren Punkte + ein Unterkörper von $ℂ$. \qed +\end{satz} + +Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und +Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff +``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische +Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''. + +\begin{notation}[Konjungierte Menge] + Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge + $\overline{M} := \{ \overline{m} \::\: m∈ M\}$. Man nennt $\overline{M}$ + die \emph{zu $M$ konjungierte Menge}\index{konjugierte Menge}. +\end{notation} + +\begin{rem} + Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die + Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist + klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch + klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist. +\end{rem} + +\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter + $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die + Gleichheit + \begin{equation*} + [K(z) : K] = 2^k + \end{equation*} + gilt. Insbesondere ist jede aus $\{ 0, 1 \}$ konstruierbare Zahl algebraisch + über $ℚ$. \qed +\end{satz} + + +\section{Verdopplung des Würfels} + +Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel +und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist +$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und +\[ + [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3, +\] +da wir mit unseren Methoden jetzt wissen, dass $x³-2$ das Minimalpolynom von +$\sqrt[3]{2}$ ist. + + +\section{Dreiteilung des Winkels} + +Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten, +beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird. + +\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$ + transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der + gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im + Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen. Mit anderen Worten: + \begin{equation*} + K(a) ≅ K(x) = Q(K[x]) + \end{equation*} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-2} +\end{proof} + +Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten. + +\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} + Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$ + transzendent ist, dann ist + $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des + Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die Menge $\{ \varphi ∈ (0, 2π) \::\: e^{i\varphi} \text{ ist transzendent}\}$ + ist dicht in $(0, 2π)$. Insbesondere gibt es kein allgemeines + Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels. +\end{bemerkung} +\begin{proof} + Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch + $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und + $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil + \begin{equation*} + \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z}) + \end{equation*} + algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für + die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist. +\end{proof} + + +\section{Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks} + +Auf die Frage, ob das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist, können wir nur eine +unvollständige Antwort geben. + +\begin{satz} + Es sei $p$ eine Primzahl. Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist, + dann gibt eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass $p-1=2^k$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{9-4} +\end{proof} + +Der Satz zeigt insbesondere, dass das regelmäßige $7$-Eck, das $11$-Eck, das +$13$-Eck und das $19$-Eck jeweils nicht konstruierbar ist. Um die Frage nach +der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks vollständig zu beantworten, müssen wir unsere +Methoden noch deutlich verbessern: Es genügt nicht nur, den Grad der +Körpererweiterung zu betrachten; wir müssen auch die Symmetrien verstehen. Dazu +ist wieder einmal Vorarbeit vonnöten. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/09.tex b/09.tex new file mode 100644 index 0000000..c45f841 --- /dev/null +++ b/09.tex @@ -0,0 +1,443 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ideale} +\label{chapt:09} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + + +\section{Wohin geht die Reise} + +Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach +der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu +können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und +vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer +Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir +Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine +einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon, +dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form +\[ + k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1} +\] +schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$ +sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den +komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben +lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der +Substitutionsmorphismus +\[ + φ : K[x] → K(α), \quad f ↦ f(α) +\] +ist ein \emph{surjektiver} Ringmorphismus! Wie bei Vektorräumen, Gruppen, … +liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben, +\begin{equation}\label{eq:xx} + K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}. +\end{equation} +Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum + SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$'' + mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der + Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben. + Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation + ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem +vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper +$K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal +überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was +``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die +Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''. + + +\section{Elementare Definitionen} + +Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende. + +\begin{defn}[Ideal]\label{def:ideal} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine nicht-leere Teilmenge + $I ⊆ R$ heißt \emph{Ideal}\index{Ideal}, wenn folgendes gilt. + \begin{enumerate}[ref = Bedingung (\roman*{})] + \item Für alle Elemente $a,b ∈ I$ ist $a+b ∈ I$. + + \item Für alle Elemente $r ∈ R$ und $a∈ I$ ist $r· a∈ I$. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Man kann Ideale auch in nicht-kommutativen Ringen definieren. Dann muss man + aber zwischen Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden: je nachdem, ob + man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder + Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links- + als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges + Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen + diese Begriffe zusammen. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Der Name \emph{Ideal} geht auf + Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst + Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893 + in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor + allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und + Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius + Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; † + 12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer + hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen + Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind + hat dann den Idealbegriff geprägt. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Triviale Ideale] + In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise + Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale. + Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann + ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element + $r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist + \[ + r = (r·a^{-1})·a ∈ I. + \] + Also ist $I=R$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Ideale in $ℤ$] + Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal in $ℤ$. Die Menge der + Primzahlen ist so ungefähr das Gegenteil von einem Ideal. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Kern eines Ringmorphismus] + Der Kern eines Ringmorphismus ist immer ein Ideal. +\end{bsp} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=6cm]{figures/Cubic_with_double_point} + + Nullstelle des Polynoms $y²-x²(x+1) ∈ ℝ[x,y]$. + + \bigskip + + Auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/ecp-de/}{meiner Homepage} finden + Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm + auch + \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt + im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}. + \caption{Knotenkurve} + \label{fig:node} +\end{figure} + +\begin{bemerkung}[Durchschnitte] + Es sei $R$ ein Ring und $(I_i)_{i ∈ I}$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch + der Durchschnitt + \begin{equation*} + \bigcap_{i ∈ I} I_i + \end{equation*} + ein Ideal. Beachte dazu, dass jedes Ideal das Nullelement enthält; damit ist + klar, dass der Durchschnitt nicht leer ist. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Summen]\label{bsp:9-2-8} + Es sei $R$ ein Ring und $I_1, …, I_n$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch die + Summe\index{Summe von Idealen} + \begin{equation*} + I_1 + ⋯ + I_n := \{a_1+ ⋯ + a_n \::\: a_k∈ I_k \} + \end{equation*} + ein Ideal. +\end{bemerkung} + + +\begin{bsp}[Algebraische Varietäten] + Es sei $K$ ein Körper (zum Beispiel $K = ℂ$) und $V ⊂ K^n$ sei die + Lösungsmenge eines Systems von polynomialen Gleichungen, + \[ + V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \} + \] + wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein + solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}. + Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie + \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und + \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne + Beispiele. + + Definiere dann das Ideal + \[ + I(V) = \{ g ∈ K[x_1, …, x_n] \:|\: \forall \vec{x} ∈ V:g(\vec{x}) = 0\}; + \] + dies ist also die Menge derjenigen Polynome, deren Nullstellenmenge $V$ + enthält. Offenbar ist $(f_1, …, f_n) ⊂ I_V$. +\end{bsp} + +In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine +Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von +algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich +ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' +aufstellen. + + +\section{Noethersche Ringe und Hauptidealringe} + +\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von +Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen. +Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so +betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten +Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder +$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt +genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination +der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was +dabei zu beachten, dass Linearkombinationen immer \emph{endliche} Summen sind. +Das geht mit Idealen in Ringen ganz genau so. + +\begin{bsp}[Erzeugte Ideale]\label{bsp:9-0-5} + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins, sowie eine Familie + $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ von Elementen aus $R$. Weiter sei $I$ die Menge der Elemente + $r ∈ R$, die sich als endliche Linearkombination der $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ schreiben + lassen, + \begin{equation*} + I := \{ r ∈ R \:|\: ∃ n ∈ ℕ: ∃ r_1, …, r_n ∈ R:, ∃ λ_1, …, λ_n ∈ Λ: r = r_1·a_{λ_1} + ⋯ + r_n·a_{λ_n} \}. + \end{equation*} + Dies ist ein Ideal, das als \emph{das von $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ erzeugte Ideal} + bezeichnet wird. Man schreibt dann $I = ((a_{λ})_{λ∈Λ})$. Im Fall, wo die + Familie endlich ist, schreibt man oft auch $I = (a_1, …, a_n)$. +\end{bsp} + +Ein Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich immer dann einfach zu beschreiben, wenn es durch +eine endliche Menge erzeugt wird, $I = (a_1, …, a_n)$. Tatsächlich können +Computer-Algebra-Systeme überhaupt nur mit solchen Idealen arbeiten -- und +stellen diese Ideale als endliche Liste von Erzeugern dar. Die allereinfachsten +Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können. + +\begin{warnung}[Das Ideal-Membership-Problem ist nicht einfach] + Gegeben ein endlich erzeugtes Ideal $I = (a_1, …, a_n) ⊂ R$ und ein + Element $b ∈ R$, dann ist es im Allgemeinen \emph{nicht} einfach, zu + entscheiden ob $b ∈ I$ ist. In Polynomringen gibt es aber Algorithmen, die + auch in allen relevanten Computer-Algebra-Systemen implementiert sind. +\end{warnung} + +\begin{defn}[Endlich erzeugtes Ideal, Hauptideal] + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt + \emph{endlich erzeugt}\index{Ideal!endlich erzeugt}, wenn es endlich viele + Elemente $a_1, …, a_n ∈ R$ gibt, sodass $I= (a_1, …, a_n)$ ist. Ein Ideal + $I ⊂ R$ heißt \emph{Hauptideal}\index{Hauptideal}, wenn es ein Element $a ∈ R$ + gibt, sodass $I= (a)$ ist. +\end{defn} + +\begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit] + Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$. + Dann gilt offensichtlich + \begin{align*} + (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\ + (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2 + \end{align*} + Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander + assoziierten Elementen. +\end{beobachtung} + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'', + denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu + dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme + eines Ideals, + \[ + I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m), + \] + immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines + Ideals zu definieren -- nice try! +\end{warnung} + +Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst +endliche Menge von möglichst einfachen Erzeugern finden kann. Glücklicherweise +gibt es Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist. Das sagt zwar noch +nicht, wie man einen sinnvollen Satz von Erzeugern finden soll, gibt aber +zumindest schon ein wenig Hoffnung. + +\begin{defn}[Noethersche Ringe und Hauptidealringe] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Man nennt $R$ einen + \emph{Noethersch}\index{Noetherscher Ring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein + endlich erzeugt ist. Man nennt $R$ einen + \emph{Hauptidealring}\index{Hauptidealring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein + Hauptideal ist. +\end{defn} + +Die folgenden Sätze geben Beispiele für Hauptidealringe. + +\begin{satz}[$ℤ$ ist ein Hauptidealring]\label{satz:9-1-4} + Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring. +\end{satz} +\begin{proof} + Es sei $I ⊂ ℤ$ ein Ideal und $I ≠ \{0\}$. Dann gibt es ein $x ∈ I∖\{0\}$. + Beachte, dass dann auch $-x= (-1)· x$ in $I$ ist. Also enthält $I$ positive + Elemente. Sei $a ∈ I$ jetzt dass kleinste positive Element. Wir werden + zeigen, dass $I = (a)$ ist. Die Inklusion $(a) ⊆ I$ ist klar. Sei $b ∈ I$ + irgendein positives Element, dann teilen wir mit Rest + \[ + b=q·a+r,\quad \text{mit } 0≤r n$ und alle $1≤ i≤ n$, dass $a_i ∈ I_k$. Also ist + $I_k = I$. + + \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}] + Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne + maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit + $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen + Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt. + + \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei + $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt + und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also + gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ + endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass + $J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre + $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur + Annahme. \qedhere + \end{description} +\end{proof} + +Der folgende Satz von David +Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David + Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der + bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet + der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige + Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute + bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und + veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und + des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen + Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die + von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht + gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem + internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine + Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die + mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem +Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig. +Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb +großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe +eines nicht-konstruktiven Widerspruchsargumentes gezeigt wird. Der Beweis gibt +keinen Hinweis, wie man ein Erzeugendensystem je finden könnte. Heute gibt es +allerdings auch konstruktive Beweise, die für alle relevanten Ringe auch auf +Computern implementiert sind. + +\begin{satz}[Hilbertscher Basissatz]\label{Satz_Hilbertscher_Basissatz} + Es sei $R$ ein Noetherscher Ring. Dann ist auch $R[x]$ Noethersch. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{10-1} +\end{proof} + +\begin{kor} + Sei $K$ ein Körper, dann ist jeder Polynomring $K[x_1, …, x_n]$ Noethersch. + Ebenso ist $ℤ[x_1, …, x_n]$ ist Noethersch. \qed +\end{kor} + +\begin{bemerkung}[Teilerkettensatz für Ideale und für Elemente]\label{rem:9-2-5} + Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz für Ideale gilt, dann gilt auch der + Teilerkettensatz für Elemente. Das sieht man, wenn man (Teiler-)Ketten von + Hauptidealen betrachtet. In jedem Noetherschen Ring ist jede Nicht-Einheit + ungleich $0$ also als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen + darstellbar. +\end{bemerkung} + + +\section{Hauptidealringe} + +Wir bemerken kurz, dass Hauptidealringe fast immer faktoriell sind. Der Beweis +des folgenden Satzes ist ähnlich zum Beweis der Faktorialität von $ℤ$ auf +Seite~\pageref{satz:Zpirr}. Das ist kein Zufall. + +\begin{satz}[Hauptidealringe sind fast immer faktoriell] + Es sei $R$ ein Hauptidealring. Wenn $R$ zusätzlich noch ein Integritätsring + ist, dann ist $R$ faktoriell. +\end{satz} +\begin{proof} + Da wir in Satz~\ref{satz:9-2-2} schon gezeigt haben, dass in jeden + Noetherschen Ring (also insbesondere auch in jedem Hauptidealring) der + Teilerkettensatz für Ideale und somit nach Bemerkung~\ref{rem:9-2-5} auch der + Teilerkettensatz für Elemente gilt, müssen wir noch zeigen, dass jedes + irreduzible Element $p$ prim ist. Seien also $a$ und $b$ Elemente von $R$ mit + $p \nmid a$ und $p \nmid b$. Wir müssen zeigen, dass dann $p \nmid (a·b)$ + gilt. Das Ideal $(a, p)$ ist per Annahme ein Hauptideal, also existiert ein + $c ∈ R$ mit $ (a,p) = (c)$. Da nun $c|p$ gilt, aber $p$ irreduzibel ist, ist + entweder $c$ eine Einheit, oder es gilt $c \sim p$. Weil aber $c|a$ ist und + $p\nmid a$, ist $c \sim p$ nicht möglich. Also ist wohl $(a,p)= (1)$. Genau + so gilt natürlich $(b,p) = (1)$. Es gibt also Gleichungen + \begin{equation*} + 1 = r_1·p + r_2·a \quad\text{und}\quad 1 = s_1·p + s_2·b + \end{equation*} + für die Addition und + \begin{equation*} + 1 = (r_1·s_1·p + r_2·s_1·a + r_1·s_2·b)·p + r_2·s_2·a·b + \end{equation*} + für die Multiplikation. Also kann $p|(a·b)$ nicht gelten, weil sonst $p|1$ + folgt, was aber nicht geht, weil $p$ keine Einheit ist. +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/10.tex b/10.tex new file mode 100644 index 0000000..63cac00 --- /dev/null +++ b/10.tex @@ -0,0 +1,384 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Restklassenringe} + +\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf +unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für +Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des +Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen +konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit +``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die +Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und +Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht, +denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte +deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so +geht, wie in der Linearen Algebra''. + +\begin{warnung} + Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare + Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche + Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt. +\end{warnung} + + +\section{Definition von Restklassenringen} + +Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe +durch folgende universelle Eigenschaft definiert. + +\begin{defn}[Restklassenring] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Ein + \emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder + \emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit + Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist + und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein + weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen + Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert, + \[ + \begin{tikzcd} + R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\ + R \ar[r, "ψ"'] & T. + \end{tikzcd} + \] +\end{defn} + +Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn +Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man +spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und +bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$. + + +\section{Konstruktion von Restklassenringen} + +Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind, +folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der +universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die +Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion +eines Restklassenringes angeben. + +\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei + Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo + Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise + $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich. +\end{defn} + +\begin{lem}\label{lem:10-1-2} + In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist + eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die + die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist + \begin{equation*} + a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed + \end{equation*} +\end{lem} + +\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$] + In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die + \emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}. +\end{notation} + +\begin{bsp} + Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei + $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist + $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der + Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt + $ℤ$ also genau in die Restklassen + \begin{equation*} + 0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m). + \end{equation*} +\end{bsp} + +\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr} + Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die + Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann + sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an + die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der + Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert: + \[ + \begin{matrix} + + : & S ⨯ S & → & S \\ + & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\ + \\ + · : & S ⨯ S & → & S \\ + & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I. + \end{matrix} + \] + Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die + Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung} + \begin{equation*} + φ : R → S, \quad a ↦ a+I + \end{equation*} + ist ein Ringmorphismus. Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring. \qed +\end{satz} + +Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines +Restklassenringes. Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf +diese Art und Weise direkt beschreiben. + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom + Grad $n$. Weiter sei $I = (f)$. Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von + der Gestalt $g+(f)$. In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $ 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das + $K$ genau $p^m$ Elemente hat. +\end{satz} +\begin{proof} + Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist + $p = \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der + Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein + $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente. +\end{proof} + +Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln +diskutierten. + +\begin{itemize} +\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper. + +\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist + $K(A)$ ein Körper. + +\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper. + +\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann + ist $R/m$ ein Körper. + +\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein + Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper. +\end{itemize} + +In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten. +\begin{itemize} +\item Zahlenkörper, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/Q$ + algebraisch ist. + +\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$. + +\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von + endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$. + +\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der + Kodierungstheorie eine zentrale Rolle. +\end{itemize} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/12.tex b/12.tex new file mode 100644 index 0000000..d44e04f --- /dev/null +++ b/12.tex @@ -0,0 +1,244 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der algebraische Abschluss eines Körpers} + +\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?} + +Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber +ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste +Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die +relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der +komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein +Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten +Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene +sind, die durch die Konjugationsabbildung auf sich selbst abgebildet werden. Um +diese Beobachtung zu verallgemeinern, müssen wir zuerst den Zusammenhang von $ℂ$ +und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ/ℝ$ +so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel +$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen? + +Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''. +Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine +komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$ +besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$ +als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die +komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was +diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat. + +\begin{frage} + Es sei $K$ ein Körper. Gibt es dann einen algebraisch abgeschlossenen + Oberkörper? Falls ja, gibt es unter allen algebraisch abgeschlossenen + Oberkörpern eine besonders gute oder besonders einfache Wahl? +\end{frage} + +Der folgende Satz beantwortet die bescheidenere Frage, ob ein einzelnes +gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ immer eine Nullstelle in einem geeigneten +Oberkörper hat. + +\begin{satz}\label{satz:12-1-2} + Sei $K$ ein Körper und $f∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es + einen Oberkörper $L ⊃ K$, in dem $f$ eine Nullstelle hat. Genauer: es sei $g$ + ein nicht-konstanter irreduzibler Faktor von $f$. Dann hat $g$ im Körper + $L := K[x]/(g)$ eine Nullstelle. +\end{satz} + +Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt +Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch +ein kleines Beispiel. Auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich +Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt. + +\begin{erkl} + Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine + Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass + $x²+1$ das Minimalpolynom von $i$ ist. Die Substitutionsabbildung + \begin{equation*} + φ : ℝ[x] → ℂ, \quad g ↦ g(i) + \end{equation*} + hat als Kern genau das Ideal $(x²+1)$, und liefert uns daher einen + Isomorphismus + \[ + ℂ ≅ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}. + \] + Das Element $i ∈ ℂ$ entspricht dabei der Restklasse + \[ + a := x+(x²+1) ∈ \factor{ℝ[x]}{(x²+1)}. + \] + Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} kehrt diese Beobachtung um. Dort + definiert man $L := K[x]/(g)$ und stellt fest, dass die Restklasse + \[ + a := x+(g) ∈ \factor{K[x]}{(g)} + \] + tautologisch eine Nullstelle des Polynoms $g ∈ K[x] ⊂ L[x]$ ist. +\end{erkl} + +\begin{proof} + \video{12-2} +\end{proof} + + +\section{Definition} + +\sideremark{Vorlesung 13}Nach den Vorbemerkungen definieren wir jetzt präzise, +was ein algebraisch abgeschlossener Körper, und was ein algebraischer Abschluss +wirklich sein soll. + +\begin{satzdef}[Algebraisch abgeschlossener Körper] + Es sei $K$ ein Körper. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ hat eine Nullstelle in $K$. + + \item Jedes nicht-konstante Polynom $f ∈ K[x]$ zerfällt in $K[x]$ in + Linearfaktoren. Mit anderen Worten: $f$ ist als Produkt von linearen + Polynomen aus $K[x]$ darstellbar. + + \item Jedes irreduzible Polynom $f ∈ K[x]$ ist linear. + + \item Ist $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, dann gilt $L=K$. + \end{enumerate} + Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, nennt man $K$ \emph{algebraisch + abgeschlossen}\index{algebraisch abgeschlossener Körper}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{13-1} +\end{proof} + +\begin{bsp} + In der Analysis oder Funktionentheorie beweist man, dass der Körper $ℂ$ + algebraisch abgeschlossen ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Wenn $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und $K⊂ L$ ein + Unterkörper, dann ist der aus Satz und Definition~\vref{satzdef:aaieO} + bekannte algebraische Abschluss von $K$ in $L$, + \[ + \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \} + \] + selbst algebraisch abgeschlossen. Insbesondere ist $\overline{ℚ}$, die Menge + der algebraischen Zahlen, ein algebraisch abgeschlossener Körper. Um zu + erkennen, dass $\overline{K}$ tatsächlich algebraisch abgeschlossen ist, sei + $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch + abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist + logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen + Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch + über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Algebraischer Abschluss eines Körpers]\label{def:aAeK} + Es sei $K$ ein Körper. Ein Oberkörper $L/K$ heißt \emph{algebraischer + Abschluss von $K$}\index{Algebraischer Abschluss!eines Körpers}, wenn + Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item Die Körpererweiterung $L/K$ ist algebraisch. + + \item Der Körper $L$ ist algebraisch abgeschlossen. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{bsp} + Der Körper $ℂ$ ist ein algebraischer Abschluss von $ℝ$. Der Körper der + algebraischen Zahlen, $\overline{ℚ}$ ist ein algebraischer Abschluss $ℚ$. +\end{bsp} + +\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper''] + Ich wiederhole Warnung~\vref{war:ababio}. Verwechseln Sie die + Definitionen~\ref{satzdef:aaieO} und \ref{def:aAeK} nicht! +\end{warnung} + + +\section{Existenz} + +Wie zeigt man, dass ein algebraischer Abschluss existiert? Die Idee ist +natürlich, Satz~\ref{satz:12-1-2} für alle Polynome in $K[x]$ auf einmal +anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Das +ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von +Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben +müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's + Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee +tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss +an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz +von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst + Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September + 1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt. + +\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz} + Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed +\end{satz} + + +\section{Eindeutigkeit, aber nicht zu sehr} + +Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss +eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen +Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem +Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert. + +\begin{definition}[$K$-Morphismus] + Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus + $\varphi : R → S$ heißt \emph{$K$-Morphismus}\index{$K$-Morphismus}, wenn + $\varphi|_K = \Id_K$ ist. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Betrachte die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. Die komplexe Konjugation + $\varphi: ℂ → ℂ$ ist ein $ℝ$-Morphismus von $ℂ$ nach $ℂ$. +\end{bsp} + +Der folgende Satz beschreibt die universelle Eigenschaft des algebraischen +Abschluss. Dieser Satz ist absolut zentral für die kommende Diskussion; er ist +der eigentliche Grund, warum Galois-Theorie überhaupt funktioniert. Wieder +werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen. + +\begin{satz}[Universelle Eigenschaft des algebraischen Abschluss]\label{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss + von $K$. Zusätzlich seien weitere algebraische Körpererweiterungen + $K ⊆ L_0 ⊆ L$ von $K$ gegeben, sowie ein $K$-Morphismus + \begin{equation*} + \varphi_0 : L_0 → \overline{K}. + \end{equation*} + Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi_0$ zu einem $K$-Morphismus + $\varphi : L → \overline{K}$. Mit anderen Worten: es existiert ein + $K$-Morphismus $\varphi : L → \overline{K}$, sodass + $\varphi|_{L_0} = \varphi_0$ ist. \qed +\end{satz} + +\begin{bsp} + Es sei $K = L_0 = ℝ$, es sei $\overline{K} = L = ℂ$. Weiter sei + $\varphi_0 : ℝ → ℝ$ die Identität. Dann gibt es \emph{zwei} Fortsetzungen von + $\varphi_0$ zu einem $ℝ$-Morphismus $\varphi: ℂ → ℂ$; wir können für $\varphi$ + einerseits die Identität nehmen, andererseits ist auch die + Konjugationsabbildung möglich. +\end{bsp} + +Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des +algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die +Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz +korrekt von ``dem'' Quotientenkörper. + +\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa} + Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei + algebraische Abschlüsse. Dann gibt es einen $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$. +\end{kor} +\begin{proof} + \video{13-2} +\end{proof} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℝ$, es sei $\overline{K}_1 = \overline{K}_2 = ℂ$. Dann sehe ich + sofort zwei $K$-Isomorphismen $K_1 → K_2$, nämlich die Identität und die + Konjugationsabbildung. +\end{bsp} + +Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus +Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus +Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von +``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem +Quotientenkörper! + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/13.tex b/13.tex new file mode 100644 index 0000000..f2bf86d --- /dev/null +++ b/13.tex @@ -0,0 +1,273 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Zerfällungskörper} + +Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und +dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen +diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele! +Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den +Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt. + +\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein + Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von + $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Das Polynom $f ∈ L[x]$ zerfällt in Linearfaktoren. Mit anderen Worten: + es gibt Elemente $a, a_1, …, a_n ∈ L$, sodass die Gleichheit + $f=a·(x-a_1)⋯(x-a_n)$ gilt. + + \item Mit der Notation von oben gilt $L = K(a_1, …, a_n)$. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die + Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente + $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. +\end{bemerkung} + +Der folgende Satz fasst die ersten Eigenschaften von Zerfällungskörpern +zusammen. + +\begin{satz}\label{satz:13-0-3} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. + Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Das Polynom $f$ besitzt einen Zerfällungskörper. + + \item Je zwei Zerfällungskörper von $f$ sind $K$-isomorph. Genauer: Wenn + $K_1/K$ und $K_2/K$ zwei Zerfällungskörper von $f$ sind, dann gibt es einen + $K$-Isomorphismus $K_1 → K_2$. + + \item Ist $L$ ein Zerfällungskörper von $f$, dann ist $[L:K] ≤ (\deg f)!$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{13-3} +\end{proof} + +Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Wie +schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem'' +Zerfällungskörper gesprochen. + +\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. + Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann + zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper + kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen + $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen. +\end{bemerkung} + +Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen +Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu +bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den +Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz +von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen +Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der +komplexen Zahlen konstruieren wird. + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x²-2 ∈ ℚ[x]$. Dann ist + $L = ℚ(\sqrt 2,-\sqrt2) = ℚ(\sqrt2) ⊆ ℝ$ ein Zerfällungskörper + von $f$. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Betrachte die komplexe Zahl + $ξ := e^{\frac{2π i}{3}}$. Dann sind die komplexen Zahlen + $a_0 := \sqrt[3]{2}$, $a_1 := ξ·\sqrt[3]{2}$ und $a_2 := ξ_3²·\sqrt[3]{2}$ + genau die komplexen Nullstellen von $f$. Also ein Zerfällungskörper gegeben + durch + \[ + L = ℚ(a_0, a_1, a_2) = ℚ \Bigl(\sqrt[3]{2}, ξ \Bigr). + \] + Wir wissen sofort, dass + \[ + [L : ℚ] ≤ 3! = 6, + \] + ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass + $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man + muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der + Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist + $[L:ℚ] =6$. +\end{bsp} + + +\section{Symmetrien, schon wieder} +\label{sec:13-1} + +\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann +ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf +sich hat. + +\begin{situation}\label{sit:gal} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom und es + sei $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$. Weiter seien $a_1, …, a_n$ die + Nullstellen von $f$ in $L$. +\end{situation} + +Ich frage: wie viele $K$-Morphismen $\varphi: L → L$ gibt es? Die folgenden +beiden Beobachtungen klären die Frage fast vollständig. Die Beobachtungen +zeigen auch, dass es sich bei der Frage um ein kombinatorisches Problem handelt, +das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte. + +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen geben Permutationen]\label{beob:p1} + In Situation~\ref{sit:gal} sei $\varphi: L → L$ ein $K$-Morphismus. Schreibe + $f(x) = \sum b_i·xⁱ$. Wenn $a_• ∈ L$ eine der Nullstellen von $f$ ist, dann + ist + \begin{align*} + 0 & = \varphi(0) = \varphi\Bigl(\sum b_i·a_•ⁱ \Bigr) \\ + & = \sum \varphi(b_i)·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist Körpermorphismus}\\ + & = \sum b_i·\varphi(a_•)ⁱ && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $b_i ∈ K$}\\ + & = f\bigl(\varphi(a_•)\bigr). + \end{align*} + Wir erkennen: die Abbildung $\varphi$ bildet Nullstellen von $f$ auf + Nullstellen von $f$ ab. Wir erhalten also einen Gruppenmorphismus + \begin{equation}\label{eq:jtzrtt} + \Bigl\{ K\text{-isomorphismen } L → L \Bigr\} → + \Bigl\{ \text{Permutationen der Menge } \{ a_1, …, a_n \} \Bigr\}. + \end{equation} +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung}[$K$-Morphismen sind durch Permutationen eindeutig beschrieben]\label{beob:p2} + In Situation~\ref{sit:gal} wissen wir schon, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. + Ich kann also jedes Element $ℓ ∈ L$ als endliche Summe schreiben, + \[ + ℓ = \sum β_{i_1,…,i_n}·a^{i_1}_1⋯ a^{i_n}_n, \quad \text{wobei } + β_{•, …, •} ∈ K. + \] + Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist + \begin{align*} + \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\ + & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$} + \end{align*} + Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch + festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! + Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die + ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ + als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen. +\end{beobachtung} + + +\section{Ringadjunktion} + +Ich würde jetzt gern weiter über Symmetrien schreiben, weil ich das Thema so +gern mag. Geht aber nicht, denn auf dem Lehrplan steht jetzt erst einmal wieder +ein wenig Sprache. + +\begin{notation}[Polynomring in unendlich vielen Variablen] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $Λ$ eine Menge. Dann bezeichne + $R\bigl[(x_λ)_{λ ∈ Λ}\bigr]$ den Polynomring in den (eventuell unendlich + vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$. +\end{notation} + +Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den +Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich +finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt +einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer +\emph{endliche} Summen sind. Insbesondere treten in jedem einzelnen Polynom +immer nur endlich viele Variablen auf. + +\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:ringad} + Es sei $S$ ein Ring und es sei $R ⊂ S$ ein Unterring. Weiter sei + $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Familie von Elementen aus $S$. Dann bezeichnet man mit + $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ das Bild von $R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ unter + dem Substitutionsmorphismus + \[ + R\bigl[(x_λ)_{λ∈Λ}\bigr] → S, \quad f(x_{λ_1}, …, x_{λ_m}) ↦ + f(a_{λ_1}, …, a_{λ_m}) + \] + Man sagt, der Unterring $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊂ S$ entsteht aus + $R$ durch \emph{Adjunktion} der Elemente $(a_λ)_{λ∈Λ}$. Den Vorgang nennt + man \emph{Ringadjunktion}\index{Ringadjunktion}. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + In der Situation von Definition~\ref{def:ringad} gilt: Ein Element $s ∈ S$ ist + genau dann in $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ enthalten, wenn es endlich viele + Elemente $λ_1, …, λ_n ∈ Λ$ und eine Darstellung + \[ + s = \sum β_{1,…, n}·a^{i_1}_{λ_1}⋯ a^{i_n}_{λ_n}, \quad \text{mit } + β_{•, …, •} ∈ K + \] + gibt. Genau wie bei der Körperadjunktion ist $R\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ der + kleinste Unterring von $S$, der $R$ und alle $a_λ$ enthält. +\end{beobachtung} + + +\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion} + +Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$, +dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper +$K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer +\[ + K ⊆ K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr] ⊆ K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) + ⊆ L. +\] +Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch +noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ +adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich +vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. + +\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge + von $L$. Dann ist + \begin{equation*} + K \bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = Q\Bigl(K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]\Bigr), + \end{equation*} + wobei $Q(⋯)$ den Quotientenkörper bezeichnet. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir wissen schon, dass $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ der kleinste Unterring des + Körpers $L$ ist, der $K$ und $(a_λ)_{λ∈Λ}$ enthält. Gemäß der universellen + Eigenschaft ist der Quotientenkörper der kleinste Körper, der + $K\bigl[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr]$ enthält, also gleich $K\bigl((a_λ)_{λ∈Λ}\bigr)$. +\end{proof} + +\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ ist genau dann + algebraisch, wenn $K(a) = K[a]$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + Es gibt zwei Fälle. Wenn $a$ algebraisch ist, dann wissen wir schon, dass wir + $K(a)$ schreiben können als + \begin{equation*} + K(a) = K + K·a + ⋯ + K·a^{n-1} + \end{equation*} + wobei $n= [a : K]$ ist. Also ist $K(a) = K[a]$. Wenn das Elemente $a$ + transzendent ist, dann ist $K[x] ≅ K[a]$ kein Körper und deshalb ist + $K[a] ≠ K(a)$. +\end{proof} + +\begin{kor}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es seien $a_1, …, a_n∈ L$. Dann sind + folgende Aussagen äquivalent. + \begin{itemize} + \item Es ist $K(a_1, …, a_n) = K[a_1, …, a_n]$. + + \item Alle Elemente $a_1, …, a_n$ sind algebraisch über $K$. + \end{itemize} +\end{kor} +\begin{proof} + Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der + Algebraizität''). +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen + $(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz + \begin{equation*} + K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch} + \end{equation*} + ganz falsch. Also sowas von falsch. \textbf{Falsch!!} Als Beispiel nehme man + die ganz-und-gar-nicht-algebraische Körpererweiterung $ℂ/ℚ$ und betrachte die + Menge $(λ)_{λ ∈ ℂ}$. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/14.tex b/14.tex new file mode 100644 index 0000000..ea4381a --- /dev/null +++ b/14.tex @@ -0,0 +1,498 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Separable und inseparable Körpererweiterungen} + +Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:13-1} über Symmetrien von Zerfällungskörpern +gesprochen und dabei gesehen, dass die Symmetrien durch Permutationen der +Nullstellen des betreffenden Polynoms beschrieben werden. Die relevante +Situation ist die, wo $L/K$ eine Körpererweiterung ist, ein algebraisches +Element $a ∈ L$ gegeben ist und $f ∈ K[x]$ das Minimalpolynom ist. Wenn die +Symmetrien des Zerfällungskörpers von $f$ jetzt durch die Permutationen der +Nullstellen beschrieben sind, frage ich mich vermutlich als erstes, wie viele +Nullstellen es eigentlich gibt. Kann es überhaupt vorkommen, dass $a$ eine +mehrfache Nullstelle von $f$ ist? + +\begin{beobachtung}\label{beo:14-0-1} + Wenn $K = ℚ$ ist, geht das nicht. Denn wenn $a$ eine mehrfache Nullstelle + ist, also $f = (x-a)²·g ∈ ℂ[x]$ wäre, dann kann ich die Ableitung betrachten, + \[ + f' = 2·(x-a)·g + (x-a)²·g'. + \] + Ein scharfer Blick zeigt, dass $f'(a)$ ebenfalls gleich null ist, was wohl im + Widerspruch dazu steht, dass $f$ das Minimalpolynom ist, also minimalen Grad + hat unter allen Polynomen, die $a$ als Nullstelle haben. +\end{beobachtung} + + +\section{Die formale Ableitung} + +In diesem Abschnitt geht es darum, das Argument von Beobachtung~\ref{beo:14-0-1} +auf beliebige Körpererweiterungen übertragen. Dabei gibt es gleich das Problem, +dass der Begriff der Ableitung für Polynome über beliebigen Körpern nicht sehr +viel Sinn ergibt -- zumindest nicht als Limes von Differenzenquotienten. +Andererseits kann man die Ableitungsregeln ganz formal kopieren: + +\begin{notation} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Dann betrachte den Ringmorphismus, + den wir schon bei der Definition des Primkörpers betrachtet haben, + \[ + φ : ℤ → R, \quad n ↦ + \left\{ + \begin{matrix} + \underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{n ⨯} && \text{falls }n > 0 \\ + 0_R && \text{falls } n = 0 \\ + -(\underbrace{1_R + ⋯ + 1_R}_{-n ⨯}) && \text{sonst.} + \end{matrix} + \right. + \] + In der Praxis ist man meist zu faul und schreibt statt $φ(n) ∈ R$ einfach + $n ∈ R$. Aber Achtung! Die Abbildung $φ$ ist nicht immer injektiv! Es gilt + zum Beispiel $p = 0 ∈ 𝔽_p$. +\end{notation} + +\begin{definition}[Formale Ableitung]\label{Def_formale_Ableitung} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Wenn jetzt ein Polynom + $f = \sum_{i=0}^{n}a_i·xⁱ ∈ R[x]$ gegeben ist, dann nenne das Polynom + \begin{equation*} + f' = \sum_{i=1}^{n} i· a_i· x^{i-1}∈ R[x] + \end{equation*} + die \emph{formale Ableitung}\index{formale Ableitung} von $f$. Die + \emph{$m$-fache formale Ableitung} $f^{(m)}$ ist natürlich als $m$-fache + Iteration der Ableitung definiert. +\end{definition} + +\begin{bemerkung}[Ableitung kann überraschend verschwinden]\label{bem:14-1-3} + Es kann vorkommen, dass $\deg f >0$ ist, aber trotzdem $f' = 0$. Wenn nämlich + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, beispielsweise $K = 𝔽_p$. Dann + ist $p = 0 ∈ R$ und das Polynom $f(x) = x^p$ hat daher die formale Ableitung + \begin{equation*} + f' = p·x^{p-1} = 0. + \end{equation*} + Trotzdem ist $f$ aber nicht konstant, denn $f(1) = 1$ und $f(0) = 0$. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Rechenregeln für die formale Ableitung]\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $f$, $g ∈ R[x]$. + Weiter sei ein Element $r ∈ R$ gegeben. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_1} Ist $\deg f > 0$, so ist + $\deg f' < \deg f$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_2} Ist $\deg f = 0$, so ist + $f' = 0$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_3} Es gilt $(f+g)' = f'+g'$ + und $(r·f)' = r·f'$. + + \item\label{Satz_Rechenregeln_Ableitung_Aussage_4} Es gilt + $(f· g)' = f'· g + f · g'$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Ist mir zu langweilig. +\end{proof} + +Die Ableitungen können verwendet werden, um die Ordnung einer Nullstelle zu +bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung? + +\begin{defn}[Ordnung einer Nullstelle] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$, + ein Element $a ∈ R$ und eine Zahl $n$ gegeben. Man sagt, dass $a$ eine + $n$-fache Nullstelle von $f$ ist\index{Nullstellenordnung}, wenn die + Teilbarkeitsrelationen + \[ + (x-a)^n|f \quad\text{und}\quad (x-a)^{n+1}\nmid f + \] + in $R[x]$ gelten. +\end{defn} + +\begin{kor}\label{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle} + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ + der Form $f = (x-a)^m· g$ gegeben, mit $a∈ R$ und $g∈ R[x]$. Dann ist + \begin{equation*} + f' = (x-a)^{m-1}·(m· g + (x-a)· g') + \end{equation*} +\end{kor} +\begin{proof} + Ist mir zu langweilig. +\end{proof} + +\begin{beobachtung} + Wenn $a$ eine $m$-fache Nullstelle von $f$ ist, zeigt + Korollar~\ref{Korollar_Ableitung_an_Nullstelle}, dass + \begin{equation*} + f(a) = f'(a) = ⋯ = f^{(m-1)}(a) = 0 + \end{equation*} + ist. Wenn $R$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, also insbesondere + $m! ≠ 0 ∈ R$ ist, dann ist $f^{(m)}(a) ≠ 0$, wenn $a$ eine $m$-fache + Nullstelle von $f$ ist. Wir haben aber schon in Bemerkung~\ref{bem:14-1-3} + gesehen, dass man über beliebigen Körpern die Nullstellenordnung so nicht + bestimmen kann! +\end{beobachtung} + + +\section{Der Frobenius Morphismus} + +Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz +unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den +Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand + Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3. + August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein + deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin + und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist +eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das +unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!! + +\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die + \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die + kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des + Einselementes gleich dem Nullelement wird, also + \[ + \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0. + \] + Gibt es eine solche Zahl nicht, so sagt man, dass $R$ Charakteristik 0 hat. +\end{defn} + +\begin{satzdef}[Frobenius-Endomorphismus]\label{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} + Es sei $p$ eine Primzahl und es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins der + Charakteristik $p$. Dann ist die Abbildung + \begin{equation*} + F : R → R, \quad a → a^p + \end{equation*} + ein Ringmorphismus. Mit anderen Worten: für alle $a,b∈ R$ gilt + \begin{equation*} + (a+b)^p = a^p+b^p \quad\text{und}\quad (a· b)^p=a^p· b^p + \end{equation*} + Man nennt die Abbildung den \emph{Frobenius-Endomorphismus von + $R$}\index{Frobenius-Endomorphismus}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{14-1} +\end{proof} + +\begin{notation} + In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die + Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der + $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + Wenn $R$ ein Integritätsring ist, dann gilt für jedes Element $a ∈ R$, dass + $a^p = 0$ ist genau dann, wenn $a = 0$ ist. Also ist $\ker F = \{0\}$, und + der Frobenius-Morphismus ist demnach injektiv. Wenn $R$ zusätzlich noch + endlich ist, dann ist der Frobenius-Morphismus auch noch surjektiv, also + isomorph. +\end{beobachtung} + + +\section{Separable und inseparable Polynome} + +Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben +kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende +Definition. + +\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome] + Es sei $K$ ein Körper und $\overline{K}$ sei der algebraische Abschluss von + $K$. Ein irreduzibles Polynom $f∈ K[x]$ heißt + \emph{separabel}\index{separabel!Polynom}, wenn $f$ keine mehrfachen + Nullstellen in $\overline{K}$ hat. Ein beliebiges nicht-konstantes Polynom + heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren separabel sind. + Nicht-separable Polynome heißen + \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Polynom}. +\end{defn} + +\begin{warnung} + Separable Polynome können ohne weiteres mehrfache Nullstellen haben. +\end{warnung} + +Separable Polynome können mithilfe des Frobenius-Morphismus genau beschrieben +werden. + +\begin{satz}\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein irreduzibles Polynom. Dann + sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} Das Polynom $f$ ist + inseparabel. + + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} Die formelle Ableitung + verschwindet, $f' = 0$. + + \item\label{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} Die Charakteristik von + $K$ ist eine Primzahl $p>0$, es existiert ein irreduzibles und separables + Polynom $g ∈ K[x]$ und eine Zahl $e ∈ ℕ^+$, sodass + \begin{equation*} + f(x) = g \Bigl( x^{(p^e)} \Bigr) + \end{equation*} + ist. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2}] + Sei $a∈\overline{K}$ eine mehrfache Nullstelle, also + \begin{equation*} + f(x) = (x-a)^m· g(x) ∈ \overline{K}[x] + \end{equation*} + mit $m>1$ und $g ∈ \overline{K}[x]$. Dann hat die formale Ableitung $f'$ + ebenfalls $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber irreduzibel ist, ist $f$ das + Polynom kleinsten Grades, dass $a$ als Nullstelle hat\footnote{Erinnern Sie + sich noch, wie man das beweist?}. Wegen $\deg f' < \deg f$ folgt dann aber, + dass $f^\prime\equiv 0$ sein muss. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_2} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3}] + Setze $n := \deg f$ und schreibe + \begin{align*} + f&= a_0+a_1· x+\dots+a_nx^n\\ + f^\prime&= a_1+2· a_2x+\dots+ n· a_nx^{n-1}=0. + \end{align*} + Also gilt $i·a_i = 0$ für alle $i$ mit $1≤ i≤ n$. Weil $n·a_n = 0$ ist, und + $a_n ≠ 0$, folgt sofort $n = 0$. Daraus folgt schon einmal die Behauptung, + dass der Körper $K$ positive Charakteristik hat. Aus $i·a_i=0$ folgt + allgemein, dass $a_i = 0$ oder $i \equiv 0 (\operatorname{mod} p)$ ist. Also + können wir $f$ schreiben als + \begin{equation*} + f(x) = \sum_{j=0}^{r}a_{j· p}· x^{j· p}=\sum_{j=0}^{r} a_{j· p}(x^p)^j. + \end{equation*} + Setze nun + \begin{equation*} + f_1(x) =\sum_{j=0}^{r}a_{j· p}x^{j}. + \end{equation*} + Dann ist $f(x) = f_1(x^p)$ und \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} + folgt durch iterierte Anwendung dieses Prozesses, wenn wir zeigen können, dass + $f_1$ wieder irreduzibel ist. Die Irreduzibilität von $f_1$ beweisen wir mit + dem Frobenius-Morphismus. Wir haben zwei Ring-Isomorphismen: + \begin{align*} + F_1 : K[x] & → \bigl(K[x]\bigr)^p = \bigl(K^p\bigr)[x^p], & f & ↦ f^p \\ + F_2 : K[x^p] & → \bigl(K^p\bigr)[x^p], & \sum β_j\bigl(x^p\bigr)^j & ↦ \sum β_j^p\bigl(x^p\bigr)^j. + \end{align*} + Dann gilt: $f_1 = F_1^{-1}\bigl(F_2(f)\bigr)$ und die Implikation ist + bewiesen. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_3} $⇒$ \ref{Satz_aequivalent_zu_inseparabel_Aussage_1}] + Die Charakteristik von $K$ sei eine Primzahl $p>0$ und $f$ sei ein Polynom der + Form + \[ + f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j\Bigl(x^{(p^e)}\Bigr)^j + \] + Weiter sei $a ∈ \overline{K}$ eine Nullstelle von $f$ im algebraischen + Abschluss. Dann ist + \[ + f(x) = f(x)-f(a) = \sum_{j=0}^{n}a_j·\Bigl(x^{(p^e)· j}-a^{(p^e)· j}\Bigr) = + \sum_{j=1}^{n} a_j·\Bigl(x^j-a^j\Bigr)^{p^e}. + \] + Somit ist $a$ eine mindestens $p^e$-fache Nullstelle von $f$. Also ist $f$ inseparabel. +\end{proof} + +\begin{bsp} + Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem + Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist + \begin{equation*} + f = x^p-t ∈ K[x] + \end{equation*} + irreduzibel. Aber $f$ ist inseparabel, weil $f' =p·x^{p-1} = 0$ ist. +\end{bsp} + + +\section{Separable und inseparable Körpererweiterungen} + +Die folgenden Definitionen bieten keine Überraschung. Körpererweiterungen sind +separabel, wenn alle Elemente separabel sind. + +\begin{defn}[Separable und inseparable Elemente in Körpererweiterungen] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$. Man + nennt $a$ \emph{separabel über $K$}\index{separabel!Element einer + Körpererweiterung}, wenn das Minimalpolynom $f ∈ K[x]$ separabel ist. + Ansonsten heißt $a$ \emph{inseparabel über $K$}\index{inseparabel!Element + einer Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\begin{defn}[Separable und inseparable Körpererweiterungen] + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt + \emph{separabel}\index{separabel!Körpererweiterung}, wenn $L/K$ algebraisch + ist, und alle $a∈ L$ separabel sind. Ansonsten heißt $L/K$ + \emph{inseparabel}\index{inseparabel!Körpererweiterung}. +\end{defn} + +\sideremark{Vorlesung 15} + +\begin{satz}\label{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} + Wenn $L/K$ eine separable Körpererweiterung ist und $Z$ ein Zwischenkörper, + dann sind auch $L/Z$ und $Z/K$ separabel. +\end{satz} +\begin{proof} + Es ist klar, dass $Z/K$ separabel ist. Sei jetzt also $a ∈ L$. Wir müssen + zeigen, dass $a$ separabel über $Z$ ist. Dazu beobachten wird, dass das + Minimalpolynom von $a$ über $Z$ das Minimalpolynom von $a$ über $K$ teilt. Das + letztere hat aber keine mehrfachen Nullstellen, also hat auch das erste keine + mehrfachen Nullstellen. +\end{proof} + + +\subsection{Separabilität und Anzahl von $K$-Morphismen} + +Im Folgenden ist ein wesentlicher Punkt, dass sich endliche separable +Körpererweiterungen $L/K$ durch die Anzahl der $K$-Homomorphismen +$L → \overline{K}$ charakterisieren lassen. Als Anwendung erhalten wir eine +Reihe von Sätzen und Korollaren über separable Erweiterungen, die wir schon in +ganz ähnlicher Form (und mit ganz ähnlichen Beweisen) für algebraische +Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf. + +\begin{lemma}\label{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $a ∈ L$ sei algebraisch über $K$, mit + Minimalpolynom $f ∈ K[x] ⊆ L[x]$. Wenn $m$ die Anzahl der Nullstellen von $f$ + in $L$ bezeichnet, dann gibt es genau $m$ verschiedene $K$-Morphismen + $σ : K(a) → L$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder + potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$ + an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir + lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten + tatsächlich auftritt. Sei also $b$ eine Nullstelle von $f$ in $L$. Wir + betrachten wir die Substitutionsmorphismen + \begin{equation*} + \varphi_a : K[x] → K(a), \quad g ↦ g(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi_b : K[x] → L, \quad g ↦ g(b). + \end{equation*} + Weil $f(a) = f(b) = 0$ ist, ist $f ∈ \ker \varphi_a$ und $f ∈ \ker \varphi_b$. + Weil $f$ irreduzibel ist, muss aber schon die Gleichheit + $(f) = \ker \varphi_a = \ker \varphi_b$ gelten. Also liefern $\varphi_a$ und + $\varphi_b$ $K$-Morphismen + \begin{equation*} + \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_a} K(a) \qquad\text{und}\qquad \factor{K[x]}{(f)} \xrightarrow{ψ_b} L, + \end{equation*} + welche die Restklasse von $x$ auf $a$ beziehungsweise $b$ abbilden. Außerdem + ist $ψ_a$ ein Isomorphismus. Die Abbildung $ψ_b◦ψ^{-1}_a : K(a) → L$ ist also + die gesuchte Abbildung. +\end{proof} + +Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch +die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir +eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen +Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen. + +\begin{satz}\label{Satz_11_10} + Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung + und es sei $n := [L:K]$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_11_10_Aussage_1} Es gibt höchstens $n$ verschiedene + $K$-Homomorphismen $σ : L → \overline{K}$. + + \item\label{Satz_11_10_Aussage_2} Die Erweiterung $L/K$ ist genau dann + separabel, wenn es exakt $n$ solche Fortsetzungen gibt. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{15-1} +\end{proof} + +\begin{kor} + Wenn $L/K$ und $M/K$ algebraische Körpererweiterungen sind und $n := [L:K]$ + ist, dann gibt es höchstens $n$ unterschiedliche $K$-Morphismen $σ : L → M$. +\end{kor} +\begin{proof} + Man bette $M$ in $\overline{K}$ ein. +\end{proof} + +\begin{kor} + Sei $L = K[a_1, …, a_t]$, wobei $a_i$ stets separabel über + $K[a_1, …, a_{i-1}]$ ist. Dann ist $L/K$ separabel. +\end{kor} +\begin{proof} + Der Beweis von \ref{Satz_11_10} zeigt, dass es $n=\prod n_i$ viele + unterschiedliche Einbettungen $L → \overline{K}$ gibt. Also ist $L/K$ nach + \ref{Satz_11_10} separabel. +\end{proof} + +\begin{kor}[Transitivität der Separabilität] + Sei $L/K$ und $M/L$ separable Körpererweiterungen. Dann ist auch $M/K$ + separabel. +\end{kor} +\begin{proof} + Wir wissen schon, dass $M/K$ algebraisch ist. Sei $a∈ M$ ein Element und + \begin{equation*} + f = \underbrace{a_0+a_1· x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}+x^n}_{∈ L[x]} + \end{equation*} + das zugehörige Minimalpolynom. Es gilt, dass $a$ separabel über + $K[a_0, …, a_{n-1}] =: L^{n-1}$ ist. Weil die $a_i$ aber separabel über $K$ + sind, ist $L^\prime[a] = K[a_0, …, a_{n-1}, a]$ separabel. Insbesondere ist + $a$ separabel. +\end{proof} + + +\subsection{Der separable Abschluss} + +Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem +Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch +dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext +übertragen. + +\begin{satzdef}[Separabler algebraischer Abschluss, Separabilitätsgrad] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann ist die Menge + \[ + L_{\sep} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist separabel über }K\} + \] + ein Unterkörper von $L$. Man nennt $L_{\sep}$ den \emph{separablen + algebraischen Abschluss von $K$ in $L$}\index{separabler algebraischer + Abschluss}. Die Zahl $[L_{\sep} : K]$ wird \emph{Separabilitätsgrad der + Körpererweiterung $L/K$}\index{Separabilitätsgrad} genannt. +\end{satzdef} +\begin{proof} + Seien $a,b ∈ L$ separabel über $K$. Wir müssen zeigen, dass $a±b$, $a·b$ und + gegebenenfalls $a·b^{-1}$ separabel sind. Wir wissen aber schon, dass + $K(a,b)$ über $K$ separabel ist. Die fraglichen Elemente liegen aber in + $K(a,b)$. +\end{proof} + +\begin{defn}[Vollkommene Körper] + Es sei $K$ ein Körper. Man nennt den Körper $K$ + \emph{vollkommen}\index{vollkommener Körper}, wenn jede algebraische + Körpererweiterung $L/K$ separabel ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Körper der Charakteristik $0$ und algebraisch abgeschlossene Körper sind + vollkommen. An dieser Stelle schließt sich traditionell eine Reihe von + unpassenden Witzen an, die sich nicht zum Abdruck eignen. +\end{bsp} + +\begin{satz}\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_1} Der Körper $K$ + ist vollkommen. + + \item\label{Satz_Aequivalente_Aussagen_Vollkommen_Aussage_2} Es gilt $K=K^p$. + Mit anderen Worten: der Frobenius-Morphismus ist surjektiv. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{15-2} +\end{proof} + +\begin{kor} + Jeder endliche Körper ist vollkommen. +\end{kor} +\begin{proof} + Wir haben schon gesehen, dass der Frobenius-Endomorphismus surjektiv ist. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Das einfachste Beispiel für einen unvollkommenen Körper ist $K = 𝔽_p(t)$. Das + einfachste inseparable Polynom ist $x^p-t ∈ K[x]$. Wenn wir eine Nullstelle + dieses Polynoms in $\overline{K}$ wählen und sinnigerweise mit $\sqrt[p]{t}$ + bezeichnen, dann ist + \[ + \factor{K \Bigl( \sqrt[p]{t} \Bigr)}{K} + \] + das einfachste Beispiel einer inseparablen Körpererweiterung. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/15.tex b/15.tex new file mode 100644 index 0000000..4619401 --- /dev/null +++ b/15.tex @@ -0,0 +1,343 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Normale und Galoissche Körpererweiterungen} +\label{chap:15} + +\section{Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung} + +\sideremark{Vorlesung 16}Nun kommen wir endlich zu der Definition, auf die ich +seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von +Körpererweiterungen, auch bekannt als +Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste + Galois} (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31. Mai 1832 in Paris) + war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei + einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer + Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe. Die +folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert. + +\begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung] + Sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann ist die Gruppe der $K$-Automorphismen + $L → L$ wird als \emph{Galoisgruppe der Körpererweiterung + $L/K$}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung} bezeichnet, wobei die + Gruppenverknüpfung wie üblich die Komposition von Automorphismen ist. Die + Schreibweise $\Gal(L/K)$ ist üblich. Die Ordnung der Gruppe (=Anzahl der + Elemente) wird oft mit $|\Gal(L/K)|$ oder $\#\Gal(L/K)$ notiert. +\end{defn} + +\begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Weiter sei $L$ der + Zerfällungskörper von $f$ über $K$. Dann wird die Galoisgruppe der + Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe + von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms} +\end{defn} + +Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen +Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu +beschreiben. Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der +Elemente angeben kann. Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe +anzugeben. Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der +\href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines + schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren. Die allererste Beobachtung +ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist. Wir +können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in +einigen Fällen sogar exakt bestimmen. + +\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg} + Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt + Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des + algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es + höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt. Also ist + $|\Gal(L/K)| ≤ n$. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es + gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.} + Körpererweiterung ist, dann zeigt + Lemma~\ref{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}, dass + $|\Gal(L/K)|$ exakt die Anzahl der Nullstellen ist, die das Minimalpolynom von + $a$ im Körper $L$ hat. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp} + Es sei $K = ℚ$ und es sei $d ∈ ℕ ∖ \{0,1\}$ eine + quadratfreie\footnote{quadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf} ganze + Zahl. Weiter sei $a := \sqrt d ∈ ℝ$ und $L := ℚ(a)$. Dann hat das + Minimalpolynom + \begin{equation*} + x²-d = (x+a)·(x-a). + \end{equation*} + Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente. Wir wissen auch schon, welche. Ein + Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab. Das andere Element + heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der + $a$ auf $-a$ abbildet. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:x-1} + Es sei $K = ℚ$, es sei $a := \sqrt[3]{2} ∈ ℝ$ und $L = ℚ(a)$. Das + Minimalpolynom von $a$ ist $x³-2$, die beiden anderen Nullstellen des + Minimalpolynoms in $ℂ$ sind $ξ·a$ und $ξ²·a$, wobei $ξ = e^{2π i/3}$ ist. + Es gilt aber $ξ·a$ und $ξ²·a \not ∈ ℝ$. Somit folgt + \begin{equation*} + \Gal \Bigl(\factor{ℚ(a)}{ℚ}\Bigr) = \{\Id\}. + \end{equation*} +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$. Dann ist $K$ ein + Oberkörper des Primkörpers, und dieser ist isomorph zu $𝔽_p$. Der + Frobenius-Morphismus + \begin{equation*} + F : K → K, \quad a ↦ a^p + \end{equation*} + ist ein $𝔽_p$-Homomorphismus, denn für alle $a ∈ 𝔽_p$ ist $a^p=a$. Weil $F$ + jetzt aber bijektiv ist, ist $F ∈ \Gal(K/𝔽_p)$. Wenn $K ≠ 𝔽_p$ ist, dann ist + $F ≠ \Id$, denn die einzigen Elemente in $K$, die von $F$ festgehalten werden, + sind die Nullstellen des Polynoms + \begin{equation*} + f = x^p-x ∈ K[x] + \end{equation*} + und dieses Polynom hat genau $p$ Nullstellen, nämlich die Elemente von + $𝔽_p ⊂ K$. Wir werden später in Abschnitt~\ref{sec:klassEK} zeigen, dass die + Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ von $F$ erzeugt wird. +\end{bsp} + + +\section{Normale Körpererweiterungen} + +Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele +Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen. Ich muss +aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des +``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig +Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind. + +\begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal} + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{normal}\index{normale + Körpererweiterung}, wenn sie algebraisch ist und wenn jedes irreduzible + Polynom $f ∈ K[x]$, das in $L$ eine Nullstelle hat, über $L$ in Linearfaktoren + zerfällt. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es sei $K$ ein Körper. Dann ist die Körpererweiterung $\overline{K}/K$ + normal. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{Bsp_zusammenhang_Zerfaellungskoerper_normal} + Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom und es sei $L$ der + Zerfällungskörper von $f$. Der folgende Satz zeigt, dass $L/K$ normal ist. +\end{bsp} + +Normale Körpererweiterungen lassen sich auf unterschiedliche Arten und Weisen +charakterisieren. + +\begin{satz}[Charakterisierung von normalen Erweiterungen]\label{satz:h4} + Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die + Körpererweiterung $L/K$ ist normal. + + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_2} Es existiert eine + Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_{λ}∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$ + durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_{λ}$ im algebraischen + Abschluss $\overline{L}$ von $L$ entsteht. + + \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_3} Für jeden + $K$-Morphismus $σ: L → \overline{L}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist. Das heißt: + $σ$ induziert einen $K$-Automorphismus von $L$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{16-1} +\end{proof} + +\begin{kor}[Normale Zwischenkörper] + Es sei $K ⊆ Z ⊆ L$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $L/K$ normal ist, + dann ist auch $L/Z$ normal. \qed +\end{kor} + +Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger +geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext +bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten +Polynoms''. + +\begin{satz}\label{satz:x1} + Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der + Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis ``$⇒$''] + Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal. Dann gibt es per Annahme endlich + viele $a_1, …, a_n ∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist. Bezeichne die + zugehörigen Minimalpolynome mit $f_1, …, f_n ∈ K[x]$. Die Nullstellen von + $f := \prod_{i=1}^{n}f_i$ liegen alle in $L$, weil $L$ nach Annahme normal + ist. Also ist $L$ der Zerfällungskörper von $f$ über $K$. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis ``$\Leftarrow$''] + Wenn $L/K$ ein Zerfällungskörper ist, dann haben wir schon in + Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist. +\end{proof} + +Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede +Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt. +Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste +gibt, die sogar eindeutig ist. Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in +dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. + +\begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung] + Zu jeder algebraischen Körpererweiterung $L/K$ gibt es eine Körpererweiterung + $N/L$, sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die Körpererweiterung $N/K$ + ist normal. + + \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} Wenn $N ⊇ Z ⊇ L$ ein + Zwischenkörper ist und wenn $Z/K$ normal ist, dann ist $Z=N$. + \end{enumerate} + Zusätzlich gilt: wenn $\tilde{N}$ eine weitere Körpererweiterung ist, sodass + \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} und + \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} gelten, dann sind $N$ und + $\tilde{N}$ isomorph. Man nennt $N$ die \emph{normale Hülle von + $L/K$}\index{normale Hülle einer Körpererweiterung}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{16-2} +\end{proof} + + +\section{Galoissche Körpererweiterungen} + +Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele +Symmetrien (=Automorphismen) haben. Dabei bedeutet ``maximal'' nach +Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem +Erweiterungsgrad. Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois +die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt. Das Studium dieser +Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie'' +bezeichnet. + +\begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen] + Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_1} Die Erweiterung + $L/K$ ist normal und separabel. + + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} Der Körper $L$ + ist der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$. + + \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_3} Es ist + $|\Gal(L/K)| = [L:K]$. + \end{enumerate} + Solche Körpererweiterungen heißen \emph{Galoisch}\index{Galoissche + Körpererweiterung}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{16-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Man kann auch einen sinnvollen und interessanten Begriff von Galoisch für + unendliche Körpererweiterungen definieren, das machen wir in dieser Vorlesung + aber nicht. Wir verstehen unter einer Galoiserweiterung immer eine + \emph{endliche} Körpererweiterung. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Dann ist jedes Polynom separabel + und die Galoiserweiterungen von $K$ sind gerade die Zerfällungskörper von + Polynomen aus $K[x]$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:c-r} + Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$. Die Galoisgruppe ist + $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1} + Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann + ist auch $L/Z$ Galoisch. Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach + Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der + Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$. Dann ist $L$ aber + auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$. Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist + eine Untergruppe von $\Gal(L/K)$, weil jeder $Z$-Morphismus $L → L$ immer auch + schon ein $K$-Morphismus ist. \textbf{Aber Achtung:} die Erweiterung $Z/K$ + ist nicht unbedingt Galoisch! Wir haben im laufenden Kapitel~\ref{chap:15} + auch schon ein Beispiel gesehen, wo das nicht der Fall ist. Geben Sie + \textbf{sofort} durch das Kapitel und finden Sie heraus, welches Beispiel ich + meine. Los jetzt! +\end{bsp} + +\sideremark{Vorlesung 17}Mit den bisherigen Ergebnissen können wir über die +Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen. + +\begin{lem} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen + Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$. Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien + $a_1, …, a_n$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die + Nullstellen $a_1, …, a_n$. Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese + Vertauschung eindeutig festgelegt. Also können wir $\Gal(f)$ als + Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$ + auffassen. Insbesondere gilt + \begin{equation*} + |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n! + \end{equation*} + + \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden + unter sich permutiert. + + \item\label{Bem_Galois_Punkt_3} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann operiert + $\Gal(f)$ transitiv auf der Menge der Nullstellen. Mit anderen Worten: Für + jedes Paar $a,b$ von Nullstellen gibt es ein $σ ∈ \Gal(f)$, sodass + $σ(a) = b$ ist. + + \item\label{Bem_Galois_Punkt_4} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann ist $n$ ein + Teiler von $|\Gal(f)|$. + \end{enumerate} +\end{lem} +\begin{proof} + Die Aussagen~\ref{il:y1} und \ref{il:y2} haben wir schon lang bewiesen + (wo?). Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}. +\end{proof} + +Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch +allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet. + +\begin{defn}[Konjungierte Elemente] + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und $a ∈ L$ sei ein Element. Die Menge + \[ + \{ σ(a) \::\: σ ∈ \Gal(L/K) \} + \] + ist natürlich gerade die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$ + über $K$. Die Elemente dieser Menge heißen die + \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$. +\end{defn} + +\begin{bsp}\label{bsp:x-2} + Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort. Dort haben wir schon gesehen, + dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist. Der Zerfällungskörper des + Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne + ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?} + \[ + N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr). + \] + Ich behaupte gleich auch, dass $N = ℚ(\sqrt[3]{2},\sqrt3·i)$ ist, denn das + wird später noch wichtig werden. Die Erweiterung $N/ℚ$ ist Galoisch, denn + $[N:ℚ(\sqrt[3]{2})] = 2$, also + \begin{equation*} + [N:ℚ] = 2· 3=6. + \end{equation*} + Die Gruppe $\Gal(f) = \Gal(N/ℚ)$ können wir als Untergruppe von $S_3$ + auffassen. Wegen $|\Gal(f)| = [N:ℚ] = 6 = |S_3|$ folgt $\Gal(f) = S_3$. Jede + Permutation der Nullstellen $a$, $ξ·a$ und $ξ²·a$ lässt sich also durch ein + Element aus $\Gal(f)$ realisieren. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/16.tex b/16.tex new file mode 100644 index 0000000..52391f0 --- /dev/null +++ b/16.tex @@ -0,0 +1,292 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Hauptsatz der Galoistheorie} +\label{chap:16} + +Erinnern Sie sich daran, wie wir gezeigt haben, dass gewisse +Konstruktionsaufgaben unlösbar sind? Wir haben dazu Ketten $K ⊂ L ⊂ M$ von +Körpern betrachtet und beobachtet, dass $[L:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. Das +zentrale Argument in den Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen war dann, dass die +relevanten Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme stets Grad $2^n$ über +$ℚ$ haben, und dass konstruierbare Punkte Unterkörper liefern, deren Grad dann +wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss. + +Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere +Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden +nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen. Inzwischen ist klar, +dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu +sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen +zu untersuchen. Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten +Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$ +haben, sondern auch eine recht spezielle Galoisgruppe besitzen. Die +Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls recht +speziell sein. + +\begin{bemerkung} + Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt, + weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt. + Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen. +\end{bemerkung} + + +\section{Fixkörper} + +Bevor wir den Hauptsatz der Galoistheorie auch nur hinschreiben, möchte ich noch +ein besonders schönes Beispiel für Galoiserweiterungen diskutieren: die +Fixkörper einer Menge von Körperautomorphismen. Der Beweis des folgenden Satzes +ist eine Hausaufgabe. + +\begin{satzdef}[Invariante Elemente, Fixkörper]\label{DefSatz_Fixkoerper} + Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Menge von Automorphismen $L → L$. Dann ist + die Menge + \begin{equation*} + \Fix G = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall\ σ∈ G\} + \end{equation*} + ein Unterkörper von $L$, genannt \emph{Fixkörper} von $G$\index{Fixkörper}. + Die Elemente von $\Fix G$ heißen \emph{$G$-invariante + Elemente}\index{invariante Körperelemente} von $L$. \qed +\end{satzdef} + +Der folgende Satz von Emil +Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3. + März 1898 in Wien; † 20. Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer + Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20. + Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass +Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern. + +\begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin} + Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers + $L$ und es sei $K := \Fix G $ der zugehörige Fixkörper. Dann ist $L/K$ eine + Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) = G$. Insbesondere ist + $[L:K] =|G|$. +\end{satz} + +Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial. Wir geben einen Beweis +im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare +Unabhängigkeit von Charakteren beweisen. Wahrscheinlich muss ich auch noch +erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist. + + +\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren} + +Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche +Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative +Gruppe eines Körpers $L$ sein soll. Leute, die viel mit Gruppen arbeiten, +meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren. Ich finde diese +Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner. + +\begin{defn}[Charakter einer Gruppe] + Es sei $H$ eine Gruppe, es sei $L$ ein Körper und $L^*$ sei die Gruppe der + Einheiten aus $L$. Ein \emph{Charakter von $H$ in $L$}\index{Charakter einer + Gruppe} ist ein Gruppenmorphismus $σ : H → L^*$. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Wenn $K$ ein Körper ist, und $σ : K → L$ ein nicht-trivialer Ringmorphismus, + dann induziert $σ$ auch einen Gruppenmorphismus + \begin{equation*} + σ^* : K^* → L^*. + \end{equation*} + Wir können (und werden!) insbesondere jeden Automorphismus $σ : L → L$ als + linearen Charakter $L^* → L^*$ auffassen. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Lineare Unabhängigkeit von Charakteren]\label{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren} + Es sei $H$ eine Gruppe und $L$ sei ein Körper. Weiter seien $σ_1, …, σ_n$ + paarweise verschiedene Charaktere von $H$ in $L$. Zusätzlich und seien + Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$ gegeben, sodass die Linearkombination + \begin{equation*} + ψ : H → L, \quad h ↦ \sum a_i·σ_i(h) + \end{equation*} + die Nullabbildung ist. Dann ist $a_1= ⋯ = a_n=0$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{17-2} +\end{proof} + + +\subsection{Beweis des Satzes von Emil Artin} +\label{ssec:16-3} + +\begin{proof}[Beweis des Satzes von Artin, Satz~\ref{Theorem_von_E_Artin}] + \video{17-3} +\end{proof} + + +\section{Die Klassifikation endlicher Körper} +\label{sec:klassEK} + +Bevor wir zum Hauptsatz der Galoistheorie kommen, kann ich es nicht lassen, +ihnen sofort eine Anwendung des Satzes von Emil Artin zu zeigen: die +Klassifikation der endlichen Körper. Wir kennen schon einige endliche Körper: +gegeben eine Primzahl $p ∈ ℕ$, dann haben wir den Körper $𝔽_p = ℤ/(p)$ +betrachtet. Es gibt aber noch andere. + +\begin{bsp}[Konstruktion endlicher Körper]\label{bsp:kek} + Gegeben sei eine Primzahl $p ∈ ℕ$. Weiter sei $q$ eine Potenz von $p$, also + eine Zahl der Form $q = p^m$ für ein geeignetes $m ∈ ℕ$. Es sei $𝔽_q$ der + Zerfällungskörper des Polynoms $f(x) = x^q-x ∈ 𝔽_p[x]$. Ich behaupte, dass + dieser Körper genau $q$ Elemente hat. Dazu stelle ich erst einmal fest, dass + $f'(x) = 1$ ist. Also hat $f$ keine mehrfachen Nullstellen; es folgt, dass $f$ + genau $q$ unterschiedliche Nullstellen hat; dies zeigt schon einmal, dass + $𝔽_q$ mindestens $q$ Elemente hat. Wir sind fertig, wenn wir zeigen, dass + die Menge dieser Nullstellen ein Körper ist (der dann ja wohl der + Zerfällungskörper sein muss). Dazu verwende Satz~\ref{DefSatz_Fixkoerper} und + beachte, dass die Nullstellen von $f$ genau die Fixpunkte des iterierten + Frobeniusmorphismus $F^{m}$ sind. +\end{bsp} + +Der folgende Satz zeigt, dass jeder endliche Körper auf diese Weise entsteht. + +\begin{satz}[Klassifikation endlicher Körper]\label{Satz_Klassifikation_endlicher_Koerper} + Es sei $K$ ein endlicher Körper mit Primkörper $𝔽_p ⊆ K$. Weiter + sei $p$ die Charakteristik von $K$ und $q$ sei die Anzahl der Elemente. Dann + ist $q = p^{[K:𝔽_p]}$ und $K$ ist isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus + Beispiel~\ref{bsp:kek}. Die Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ ist der Form + $ℤ/(m)$ und wird durch den Frobeniusmorphismus erzeugt. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{17-4} +\end{proof} + + +\section{Der Hauptsatz der Galoistheorie} + +\sideremark{Vorlesung 18}Jetzt kommen wir also zum Hauptsatz. Gegeben eine +Körpererweiterung $L/K$ und eine Untergruppe der Galoisgruppe, dann liefert uns +die Fixkörperkonstruktion einen Zwischenkörper. Falls $L/K$ Galois ist, dann +sagt der Hauptsatz, dass auf diese Weise eine Korrespondenz zwischen +Untergruppen und Zwischenkörpern entsteht. Die reduziert die Frage nach +Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem. + +Die Formulierung des Hauptsatzes verwendet folgende Beobachtung, die ich +eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen. + +\begin{obs}[Index einer Untergruppe]\label{obs:Index} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist + die Zahl $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Zum Beweis definierte man eine + Äquivalenzrelation: zwei Elemente $a$ und $b$ aus $G$ seien äquivalent, wenn + es ein Element $h ∈ H$ gibt, sodass $a = h·b$ ist. Man rechne nach, dass + dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und dass alle Äquivalenzklassen + die gleiche Größe haben, nämlich $|H|$. Also ist die Größe von $G$ gegeben + als $|G| = |H|·\#(\text{Äquivalenzklassen})$. Man schreibt + \[ + [G:H] = \factor{|G|}{|H|} + \] + und nennt diese Zahl den \emph{Index}\index{Index} der Untergruppe $H ⊂ G$. +\end{obs} + +\begin{satz}[Hauptsatz der Galoistheorie]\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie} + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und es sei $G = \Gal(L/K)$ die + Galoisgruppe. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1} Für jeden Zwischenkörper + $Z$ von $L/K$ ist $\Gal(L/Z)$ eine Untergruppe von $G$. Für jede + Untergruppe $H⊂ G$ ist $\Fix{H} ⊂ L$ ein Zwischenkörper von $L/K$. + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} Die so definierten + Abbildungen + \[ + \begin{aligned} + \begin{matrix} + \Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr) &:& \{\text{Zwischenkörper}\} &→& \{\text{Untergruppen}\}, &\quad& Z &↦ & \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) \\[2mm] + \Fix(•) &:& \{\text{Untergruppen}\} &→& \{\text{Zwischenkörper}\}, &\quad& H& ↦& \Fix\bigl(H\bigr) + \end{matrix} + \end{aligned} + \] + sind zueinander inverse Bijektionen. + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3} Die Abbildungen + $\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr)$ und $\Fix(•)$ sind inklusionsumkehrend und + indexerhaltend. Präzise: wenn $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$ und wenn + $Z_1$ und $Z_2$ Zwischenkörper sind, dann gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Falls $Z_1 ⊆ Z_2$ ist, dann ist + \begin{align*} + \Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) & ⊇ \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr) && \text{und} \\ + [Z_2:Z_1] & = \left[\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) : \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr)\right], + \end{align*} + + \item Falls $H_1 ⊆ H_2$ ist, dann ist + \begin{align*} + \Fix{H_1} & ⊇ \Fix{H_2} && \text{und} \\ + [H_2:H_1] & = [\Fix{H_1} : \Fix{H_2}]. + \end{align*} + \end{itemize} + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und + jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist + \begin{equation*} + \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} + \end{equation*} + + \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper + $Z$ ist $Z/K$ genau dann Galoisch, wenn $\Gal(L/Z)$ eine normale Untergruppe + von $G = \Gal(L/K)$ ist, das heißt, wenn für alle $σ∈ G$ + \begin{equation*} + σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) + \end{equation*} + ist. Ist dies der Fall, dann ist + \begin{equation*} + \Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}. + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Ich beweise die + Teilaussagen~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}--\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} + im \video{18-1}. Für die letzte + Teilaussage~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} gibt es ein eigenes + \video{18-2}. +\end{proof} + +\begin{bemerkung}[Widerliche Rechthaberei] + Sehen Sie, warum ich in der ersten Woche der Vorlesungszeit so viel Aufhebens + um den Begriff der normalen Untergruppe gemacht habe? +\end{bemerkung} + + +\section{Ein Beispiel} + +Um den Hauptsatz der Galoistheorie zu illustrieren, setzen wir das +Beispiel~\vref{bsp:x-2} fort. Sei also wieder $K = ℚ$ und sei $N$ der +Zerfällungskörper von $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Wir haben bereits gezeigt, dass +$[N:K] = 6$ ist. Mit $ξ = e^{\frac{2π i}{3}}$ und +\[ + a_1=\sqrt[3]{2}, \quad a_2 = ξ·\sqrt[3]{2} \quad\text{und}\quad a_3=ξ²·\sqrt[3]{2} +\] +gilt +\begin{equation*} + N = ℚ\bigl(a_1, a_2, a_3\bigr) = ℚ\bigl(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}·i\bigr). +\end{equation*} +Dann ist $\Gal(N/ℚ) ≅ S_3$ die volle Permutationsgruppe der Nullstellenmenge +$\{a_1, a_2, a_3\}$. Wir haben folgende Untergruppen von $S_3$: +\[ + \begin{tikzcd}[column sep=tiny] + & & S_3 \\ + \{\Id, (12) \} \ar[urr, hook] & \{\Id, (13) \} \ar[ur, hook] & & \{\Id, (23) \} \ar[ul, hook]&\{\Id, (123), (132)\} \ar[ull, hook]\\ + & & \{\Id\} \ar[ull, hook] \ar[ul, hook] \ar[ur, hook] \ar[urr, hook] + \end{tikzcd} +\] +und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$, +\[ + \begin{tikzcd}[column sep=tiny] + & & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\ + ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\ + & & N + \end{tikzcd} +\] +Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe +$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben +sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl +$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt. Dann haben Sie nachgerechnet und konnten +$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken. Schauen Sie sich +diesen Ausdruck einmal ganz scharf an. Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen +Sie uns an! + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/17.tex b/17.tex new file mode 100644 index 0000000..6e2699e --- /dev/null +++ b/17.tex @@ -0,0 +1,758 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Grundbegriffe} +\label{chap:17} + +Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die +Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''. Also befasst +sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen. Um die +vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich +mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen. Ich hoffe, Sie sehen +mir das nach. + +\begin{defn}[Ordnung einer Gruppe] + Es sei $G$ eine Gruppe. Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung} + von $G$ und wird mit dem Symbol $|G|$ oder $\#G$ bezeichnet. +\end{defn} + + +\section{Gruppenwirkungen} + +Ich beginne mit einem Kapitel über die wesentlichen Grundbegriffe, obwohl Sie +vieles von dem Stoff vermutlich schon kennen. Einige der folgenden Sätze haben +wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet. + +\begin{defn}[Gruppenwirkung]\label{defn:gruppenwirkung} + Es sei $(G, ·)$ eine Gruppe und es sei $M$ eine Menge. Eine + \emph{Wirkung}\index{Wirkung}\index{Gruppenwirkung} oder + \emph{Operation}\index{Operation} von $G$ auf $M$ ist eine Abbildung + \[ + α : G ⨯ M → M, + \] + sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{Def_Operation_Aussage_1} Es sei $e ∈ G$ das neutrale Element. + Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung $α(e,m) = m$. + + \item\label{Def_Operation_Aussage_2} Es seien $g$ und $h$ in $G$ zwei + Elemente. Dann gilt für alle $m ∈ M$ die Gleichung + $α \bigl(h, α(g,m)\bigr) = α(h· g,m)$. + \end{enumerate} + Gegeben ein Element $g ∈ G$, so wird die zugehörige Abbildung + \[ + α_g : M → M, \quad m ↦ α(g,m) + \] + als \emph{Translationsabbildung}\index{Translationsabbildung!einer + Gruppenwirkung} des Elementes $g$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{notation} + Wenn klar ist, von welcher Gruppe, welcher Menge und welcher Wirkung die Rede + ist, schreibt man statt $α(g,m)$ häufig einprägsam $g·m$. +\end{notation} + +\begin{beobachtung}[Gruppenwirkungen und Morphismen in die Permutationsgruppe]\label{beo:mup} + In der Situation aus Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} erhalten wir eine + Abbildung von $G$ in die Permutationsgruppe von $M$, also die Gruppe der + bijektiven Abbildungen $M → M$ + \[ + φ_α : G → \text{Permutationen von } M, \quad g ↦ α_g. + \] + Mit dieser Notation ist Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} äquivalent + zu der Aussage, dass $φ_α(e) = \Id_M$ ist. + Eigenschaft~\ref{Def_Operation_Aussage_1} ist äquivalent zu der Aussage, dass + für alle $g$ und $h$ aus $G$ die Gleichung $φ_α(h·g) = φ_α(h)◦ φ_α(g)$ ist. + Mit anderen Worten, $φ_α$ ist ein Gruppenmorphismus. + + Umgekehrt kann ich zu jeden Gruppenmorphismus + \[ + ψ : G → \text{Permutationen von } M + \] + mithilfe von + \[ + β_ψ : G ⨯ M → M, \quad (g,m) ↦ \bigl(ψ(g)\bigr)(m) + \] + eine Gruppenwirkung definieren. Rechnen Sie sofort nach, das $β_ψ$ + tatsächlich eine Gruppenwirkung ist und beweisen Sie, dass ich auf diese Weise + eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenwirkungen und der Menge der + Gruppenmorphismen erhalte. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[(In)effektivität, Treue] + Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in + Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus + Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung. Die + Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder + \emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus + $φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist. +\end{defn} + +\begin{bsp}[Matrix-Vektor-Multiplikation] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Gruppe $\GL_n(K)$ + operiert mithilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation treu auf dem Vektorraum + $K^n$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Wirkung der Galoisgruppe] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Dann operiert die + Galoisgruppe $G(f)$ auf dem Zerfällungskörper $L$ von $f$, aber auch auf der + Menge der Nullstellen oder der Menge der Zwischenkörper von $L/K$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Dynamische Systeme] + Es sei $\vec{v} : ℝ² → ℝ²$ ein $\cC^{∞}$-Vektorfeld. Wir fassen $\vec{v}$ als + Differenzialgleichung auf: gegeben ein Punkt $p ∈ ℝ²$, so suchen wir + Abbildungen $γ_p : ℝ → ℝ²$, so folgendes gilt: + \begin{itemize} + \item Es ist $γ_p(0) = p$ und + + \item für alle $t ∈ ℝ$ ist $γ'_p(t) = \vec{v}(γ_p(t))$. + \end{itemize} + Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der + gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von + Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles + Émile Picard} (* 24. Juli 1856 in Paris; † 11. Dezember 1941 ebenda) war + ein französischer + Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst + Leonard Lindelöf} (* 7. März 1870 in Helsingfors (Helsinki), + Großfürstentum Finnland; † 4. Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer + Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig + sind. Dann erhalten wir durch die Vorschrift + \[ + γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t) + \] + eine Wirkung der Gruppe $(ℝ, +)$ auf $ℝ²$. +\end{bsp} + + +\subsection{Bahnen und Fixpunkte} + +Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik +prominent auf. Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und +Begriffsbildungen rund um dieses Konzept. Ich beschränke mich hier auf die +Allerwesentlichsten. + +\begin{defn}[Bahn und Fixpunkt] + Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. + Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Die Menge + $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder + \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt. Falls $G·m = \{m\}$ ist, + dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Betrachte die Ebene $ℝ²$. Die Gruppe $G = (ℝ,+)/(2π·ℤ)$ wirkt durch Drehungen + um den Nullpunkt auf die Ebene. Der Nullpunkt ist ein Fixpunkt. Die Bahnen + dieser Wirkung sind der Nullpunkt und die Kreise um den Nullpunkt. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung} + Eine Gruppe $G$ wirke auf einer Menge $M$. Beweisen Sie als Hausaufgabe die + folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind + die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt. Folgern Sie, + dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation + ``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Die Menge der + Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als + \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet. Wenn die Gruppenwirkung klar, + wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Transitive Wirkung] + Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Man + nennt die Wirkung \emph{transitiv}\index{transitive Wirkung}, falls es nur + eine einzige Bahn gibt. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + Eine Gruppenwirkung $α : G⨯ M → M$ ist genau dann transitiv, wenn für alle + Paare $a$, $b ∈ M$ ein Gruppenelement $g∈ G$ gibt, sodass die Gleichung + $a = g·b$ gilt. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp} + Die natürliche Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ²$ ist nicht transitiv. + Die Wirkung der Gruppe $\GL_2(ℝ)$ auf $ℝ² ∖ \{ \vec{0} \}$ ist transitiv. +\end{bsp} + +\subsection{Isotropie und Stabilisator} + +Die Isotropiegruppe eines Punktes, die wir jetzt gleich definieren werden, ist +ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein. +Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe +gleich für Untermengen statt für Punkte. + +\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius} + Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter + sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge. + \begin{itemize} + \item Die Untergruppe + \[ + \Iso(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n = n \} ⊆ G + \] + als \emph{Isotropie}\index{Isotropie} der Menge $N$ bezeichnet. + + \item Die Untergruppe + \[ + \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G + \] + wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{notation}\label{not:17.1.5} + Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element + besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$. +\end{notation} + +\begin{bemerkung} + In der Situation von Definition~\ref{def:ius} gilt für jedes Element + $g ∈ \Stab(N)$ per Definition die Inklusion $φ_g(N) ⊆ N$ --- dabei bezeichnet + $φ_g$ wieder die zu $g$ gehörende Translationsabbildung. Überlegen Sie sich, + dass tatsächlich die Gleichheit $φ_g(N) = N$ gilt. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft + auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Dann wirkt $G$ auf + der Menge $L$; die Wirkung ist gegeben durch + \[ + G ⨯ L → L, \quad (σ, z) ↦ σ(z). + \] + Mit dieser Wirkung gilt für jeden Zwischenkörper $Z$ die Gleichung + $\Gal(L/Z) = \Iso(Z)$. +\end{bsp} + + +\subsection{Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation, Konjugation} + +Bei der Untersuchung von (endlichen) Gruppen interessiert man sich ganz +besonders für Wirkungen, bei denen eine gegebene Gruppe auf sich selbst wirkt. +Ich nenne drei besonders relevante Beispiele. + +\begin{bsp}[Linksmultiplikation, Rechtsmultiplikation] + Es sei $G$ eine Gruppe. Dann werden durch die Vorschriften + \[ + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h % + \quad \text{und} \quad % + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ h· g^{-1} + \] + zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die + \emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und + \emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden. +\end{bsp} + +\begin{frage} + Warum schreibe ich bei der Definition der Rechtsmultiplikation statt + $h·g^{-1}$ nicht einfach $h·g$? Ist doch viel einfacher. +\end{frage} + +\begin{bsp}[Konjugation von Elementen]\label{bsp:konju} + Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift + \[ + G⨯ G → G, \quad (g,h) ↦ g· h·g^{-1} + \] + eine Wirkung von $G$ auf sich selbst definiert, die + \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} genannt wird. Die + Bahnen dieser Wirkung werden + \emph{Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklassen} genannt. +\end{bsp} + +\begin{bsp} + Finden Sie sofort ein Beispiel für eine Gruppe, bei der die + Konjugationswirkung auf $G$ treu ist! Finden Sie sofort ein Beispiel für eine + Gruppe, bei der diese Wirkung nicht treu ist, sondern trivial! +\end{bsp} + +Die Konjugationswirkung ist natürlich besonders wichtig. Die relevanten +Isotropie- und Stabilisatorgruppen haben deshalb besondere Namen. + +\begin{defn}[Zentralisator] + Es sei $G$ eine Gruppe. Wir betrachten die Konjugationswirkung von $G$ auf + sich selbst. Gegeben eine Teilmenge $M ⊂ G$, dann wird die Untergruppe + $\Iso(M) ⊆ G$ auch als \emph{Zentralisator}\index{Zentralisator} von $M$ + bezeichnet. Die Untergruppe $\Iso(G) ⊆ G$ wird als \emph{Zentralisator von + $G$} oder \emph{Zentrum von $G$}\index{Zentrum} bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann im Zentralisator von $M$, wenn es mit + jedem Element aus $M$ kommutiert. In anderen Worten, wenn für jedes Element + $m ∈ M$ die Gleichung $g·m = m·g$ gilt. Ein Element $g ∈ G$ liegt genau dann + im Zentralisator von $G$, wenn es mit jedem Element kommutiert. +\end{beobachtung} + +Neben der Konjugation von einzelnen Elementen betrachtet man in der +Gruppentheorie häufig auch noch die induzierte Konjugationswirkung auf der Menge +der Untergruppen. Die folgende Definition macht das präzise. + +\begin{bsp}[Konjugation von Untergruppen]\label{bsp:konUG} + Es sei $G$ eine Gruppe, dann wird durch die Vorschrift + \[ + G⨯ \bigl\{ \text{Untergruppen von }G \bigr\} → \bigl\{ \text{Untergruppen + von }G \bigr\}, \quad (g,H) ↦ g· H·g^{-1} + \] + eine Wirkung von $G$ auf der Menge aller Untergruppen definiert. Diese wird + ebenfalls als \emph{Konjugationswirkung}\index{Konjugationswirkung} + bezeichnet. Eine Untergruppe $N ⊆ G$ ist genau dann normal, wenn + $N ∈ \{ \text{Untergruppen} \}$ ein Fixpunkt dieser Wirkung ist. +\end{bsp} + +\begin{defn}[Normalisator einer Untergruppe]\label{defn:normalisator} + Es sei $G$ eine Gruppe und $U ⊆ G$ sei eine Untergruppe. Betrachte die + Konjugation von Untergruppen aus Beispiel~\ref{bsp:konUG}. Dann wird die + Untergruppe $\Iso(U)$ als \emph{Normalisator von $U$}\index{Normalisator} + bezeichnet. Die Bezeichnung $N(U)$ ist üblich. +\end{defn} + +\begin{achtung} + In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge + \[ + M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\} + \] + Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$. Also ist + $\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen! +\end{achtung} + +\begin{bemerkung} + In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine + Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen + $U ⊆ N(U) ⊆ G$. Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale + Untergruppe von $N(U)$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe + $N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. + Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau? +\end{bemerkung} + + +\section{Die Bahnengleichung} + +\sideremark{Vorlesung 19}Wenn eine Gruppe auf eine Menge wirkt, dann gibt es +natürlich einen Zusammenhang zwischen der Größe der Bahn und der Größe der +Isotropiegruppe. Der folgende Satz quantifiziert das. + +\begin{satz}[Bahnengleichung]\label{Satz_Seite_156_und_157} + Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiert. Weiter sei + $m ∈ M$. Dann gilt die folgende Gleichung, + \begin{equation*} + |G| = |\Iso(m)|·|G·m|. + \end{equation*} +\end{satz} +\begin{proof} + Betrachte die Abbildung + \[ + φ : G → G·m, \quad g ↦ g·m. + \] + Jedes Element von $G$ liegt genau in einer Faser. Also ist + \[ + |G| = \sum_{n ∈ G·m} |φ^{-1}(n)|. + \] + Wir rechnen die Größe der Fasern einfach aus. Gegeben ein Element $h·m$ der + Bahn, dann gilt für jedes Gruppenelement $g ∈ G$: + \begin{align*} + g ∈ φ^{-1}(h·m) & ⇔ g·m = h· m \\ + & ⇔ h^{-1}· g· m = m \\ + & ⇔ (h^{-1} · g)∈ \Iso(m) \\ + & ⇔ g∈ h· \Iso(m). + \end{align*} + Also ist $φ^{-1}(h·m) = h· \Iso(m)$. Diese Gruppe enthält aber genau so viele + Elemente wie $\Iso(m)$. +\end{proof} + +Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer +Untergruppe'' eingeführt. Ich wiederhole das noch einmal. + +\begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen] + Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$ + durch Linksmultiplikation. Die Bahn eines Elements $g ∈ G$ unter dieser + Operation, $U· g = \{u· g \::\: u∈ U\}$ heißt + \emph{Rechtsnebenklasse}\index{Rechtsnebenklasse} von $g$ modulo $U$. Die + Menge der Rechtsnebenklassen wird mit $\ifactor{U}{G}$ bezeichnet, die Anzahl + der Rechtsnebenklassen heißt \emph{Index}\index{Index der Untergruppe $U ⊆ G$} + und wird in der Literatur mit $[G:U]$ bezeichnet. +\end{bsp} + +\begin{bemerkung} + In der Literatur wird der Index manchmal auch mit Rechtsmultiplikation und + Linksnebenklassen eingeführt. Diese Definition stimmen überein! +\end{bemerkung} + +Für den Fall der Linksmultiplikation wird die Bahnengleichung auch als Satz von +Lagrange\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis + de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † + 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.} +bezeichnet. + +\begin{satz}[Satz von Lagrange]\label{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $U ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist + $|G| = [G:U]·|U|$. +\end{satz} +\begin{proof} + Die Gruppe $G$ wirkt wie folgt auf der Menge $U\backslash G$ der + Rechtsnebenklassen, + \[ + G ⨯ \Bigl( \ifactor{U}{G} \Bigr) → \ifactor{U}{G}, \quad (g, U·h) ↦ + U·hg^{-1}. + \] + Überlegen Sie sich, dass dies tatsächlich eine (wohldefinierte!) + Gruppenwirkung ist, dass diese Wirkung transitiv ist und dass $\Iso(U·e)=U$ + ist. Der Satz von Lagrange folgt dann sofort aus der Bahnengleichung, + Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Interessant ist wieder die Operation der Gruppe $G$ auf sich selbst durch + Konjugation. Wenn $h ∈ G$ ist, dann gilt nach der Bahnengleichung die + Gleichheit + \begin{equation*} + |\{ ghg^{-1} \::\: g∈ G \}| = [G : \Zentralisator(h)]. + \end{equation*} + Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der + Gruppenordnung $|G|$. Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges + Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die + disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die + \emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung} + \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I} + |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)] + \end{equation} + Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders. Dazu beobachte man, + dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente + sind, deren Konjugationsklassen nur aus einem Element bestehen. Also gilt + \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_II} + |G| = |\Zentralisator(G)| + \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{h_i \text{ mit}}{[G:\Zentralisator(h_i)]>1}} [G:\Zentralisator(h_i)] + \end{equation} +\end{bemerkung} + + +\section{Restklassengruppen} + +``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange. Der +lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch +einmal auf. Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine +elegante universelle Eigenschaft formulieren. + +\begin{defn}[Restklassengruppen] + Es sei $G$ eine Gruppe und $N ⊂ G$ sei eine normale Untergruppe. Eine + \emph{Restklassengruppe}\index{Restklassengruppe} oder + \emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit + einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass + folgende universelle Eigenschaft gilt. Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$ + mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus + $β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert, + \[ + \begin{tikzcd} + G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\ + G \ar[r, "α"'] & H + \end{tikzcd} + \] +\end{defn} + +Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassengruppen +eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie, falls sie überhaupt existieren. + +\begin{satzdef}[Existenz von Restklassengruppen] + Es sei $G$ eine Gruppe und des sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Dann + lässt sich auf der Menge der Linksnebenklassen, + \[ + \factor{G}{N} = \{g· N \::\: g∈ G\} + \] + auf genau eine Weise eine Gruppenstruktur erklären, sodass die + Quotientenabbildung + \begin{equation*} + q : G → \factor{G}{N}, \quad g ↦ g· N + \end{equation*} + ein Gruppenmorphismus ist. Dies ist dann automatisch ein Gruppenquotient. + \qed +\end{satzdef} + +\begin{satz}[Homomorphiesatz für Gruppen] + Es sei $α : G → H$ ein surjektiver Gruppenmorphismus. Dann ist $\ker(α)$ + normal und $H ≅ G/\ker α$. \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Normale Untergruppen unten und oben]\label{Satz_Seite_160} + Es sei $α : G → H$ ein Gruppenmorphismus. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_1} Das Bild einer Untergruppe von $G$ ist + eine Untergruppe von $H$ und das Urbild einer Untergruppe von $H$ ist eine + Untergruppe von $G$. + + \item\label{Satz_Seite_160_Aussage_2} Das Urbild eines Normalteilers von $H$ + ist ein Normalteiler von $G$ und das Bild eines Normalteilers von $G$ ist + ein Normalteiler in $H$, wenn $α$ surjektiv ist. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Sehr ähnlich zum analogen Satz für Ideale, + Satz~\vref{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}. \qed +\end{proof} + +\begin{beobachtung}\label{beo:xx} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter + sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann ist + \[ + U· N =\{u· n \::\: u∈ U, n∈ N\} + \] + wieder eine Untergruppe. Zum Beweis müssen wir lediglich zeigen, dass $U·N$ + abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist. Mit anderen Worten, wir müssen + zeigen, dass für alle $n_1$, $n_2 ∈ N$ für alle $u_1$, $u_2 ∈ U$ die Inklusion + \begin{equation*} + (u_1· n_1)· (u_2· n_2) ∈ U· N + \end{equation*} + gilt. Wir wissen, dass $N$ normal ist. Also ist + $\widetilde{n_1} := u_2^{-1} n_1u_2 ∈ N$ und es gilt + $n_1u_2=u_2\widetilde{n_1}$. Demnach ist + \begin{equation*} + u_1n_1u_2n_2=u_1u_2·\widetilde{n_1}n_2∈ U· N. + \end{equation*} + Fertig ist der Beweis. Man beachte: wenn $N$ nicht normal ist, ist diese + Beobachtung im Allgemeinen ganz falsch! +\end{beobachtung} + +Dank Beobachtung~\ref{beo:xx} ergeben die folgenden Sätze Sinn. + +\begin{satz}[Erster Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Erster_Noetherscher_Isomorphiesatz} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $N ⊂ G$ eine normale Untergruppe. Weiter + sei $U ⊂ G$ irgendeine Untergruppe. Dann induziert der die komponierte + Abbildung + \begin{equation*} + \begin{tikzcd} + U \ar[r, hook] & G \ar[r, "q"] & \factor{G}{N} + \end{tikzcd} + \end{equation*} + einen Isomorphismus $U/(U∩N) ≅ (U·N)/N$. \qed +\end{satz} + +\begin{satz}[Zweiter Noetherscher Isomorphiesatz]\label{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz} + Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $N_2 ⊂ N_1⊂ G$ zwei Normalteiler. Dann + ist $N_1/N_2$ normal in $G/N_2$ und + \begin{equation*} + \factor{ \factor{G}{N_2} }{ \factor{N_1}{N_2} } ≅ \factor{G}{N_1}. \eqno \qed + \end{equation*} +\end{satz} + + +\section{Zyklische Gruppen und die Ordnung von Elementen} + +Die Diskussion in diesem Kapitel ist recht ähnlich zur Diskussion des +Primkörpers eines Körpers. Die vielleicht einfachste Gruppe ist $(ℤ,+)$. Die +Untergruppen von $ℤ$ sind leicht zu bestimmen. Wenn nämlich $U ⊂ ℤ$ eine +Untergruppe ist, dann ist für alle $n∈ℤ^+$ und für alle $u ∈ U$ +\begin{equation*} + n·u=\underbrace{u+\dots+u}_{n⨯}∈ U. +\end{equation*} +Analog für negative $n$. Also ist $U$ ein Ideal und deshalb von der Form +$U= (α)$. + +\begin{beobachtung}\label{beob:lx} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g∈ G$ ein Element. Dann existiert genau + ein Gruppenmorphismus $ζ : ℤ → G$ mit $ζ(1) = g$. Für positive Zahlen $n$ ist + \begin{equation*} + ζ(n) = \underbrace{g ⋯ g}_{n⨯}, + \end{equation*} + für negative Zahlen analog. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Zyklische (Unter)gruppe, primitives Element] + Es sei $G$ eine Gruppe. + \begin{itemize} + \item Gegeben ein Element $g ∈ G$, sei $ζ$ die Abbildung aus + Beobachtung~\ref{beob:lx}. Das Bild von $ζ$ heißt die \emph{von $g$ + erzeugte zyklische Untergruppe}\index{Zyklische Untergruppe}. Das Bild + von $ζ$ wird oft $(g)$ geschrieben. + + \item Die Gruppe $G$ heißt \emph{zyklisch}\index{zyklische Gruppe}, wenn ein + $g∈ G$ existiert, sodass $G = (g)$ ist. Man nennt $g$ dann ein + \emph{primitives Element von $G$}\index{primitives Element einer zyklischen + Gruppe}. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Eine zyklische Gruppe ist also entweder isomorph zu $(ℤ,+)$ oder zu einer + endlichen Gruppe der Form $ℤ/(n)$. +\end{bemerkung} + +\begin{defn}[Ordnung von Gruppenelementen]\label{def:orge} + Es sei $G$ eine Gruppe und $g∈ G$ sei ein Element. Die \emph{Ordnung von + $g$}\index{Ordnung!eines Gruppenelements} ist die Ordnung der Gruppe $(g)$. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + In der Situation von Definition~\ref{def:orge} ist die Ordnung von $g$ + entweder $∞$ oder $n ∈ ℕ$, wobei $n$ die kleinste Zahl mit $g^n=e$ ist. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}\label{Satz_Seite_163} + Es sei $G$ eine Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_1} Gilt $g^m=e$ für ein $m ∈ ℤ$, dann ist + die Ordnung von $g$ ein Teiler von $m$. + + \item\label{Satz_Seite_163_Aussage_2} Wenn die Ordnung von $g$ gleich $m$ ist + und $n ∈ ℕ$ irgendeine weitere Zahl, dann hat $g^n$ die Ordnung + $m/ \ggT(n,m)$. Insbesondere gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m$, falls $\ggT(n,m)=1$ ist. + + \item Die Ordnung von $g^n$ ist gleich $m/n$, falls $n$ ein Teiler von $m$ + ist. \qed + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beobachtung}\label{beo:pe} + Es sei $G$ zyklisch der Ordnung $m$ und es sei $g ∈ G$ ein primitives Element. + Dann folgt aus Satz~\ref{Satz_Seite_163}, dass die Menge der primitiven + Elemente sind exakt die folgende Menge ist, + \begin{equation*} + \{ g^a \::\: 1 ≤ a ≤ m: \ggT(a,m)=1\}. + \end{equation*} +\end{beobachtung} + +Die Größe der Menge aus Beobachtung~\ref{beo:pe} ist eine Zahl, die später bei +der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks +noch sehr wichtig wird. Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der +primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird +Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard + Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. + Septemberjul./ 18. September 1783greg. in Sankt Petersburg) war ein + Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.} +$φ$-Funktion genannt. + +\begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion] + Man nennt die Funktion + \begin{equation*} + φ : ℕ → ℕ, \quad m ↦ \# \{a∈ ℕ \::\: 1≤ a≤ m: \ggT(a,m) = 1\} + \end{equation*} + die \emph{Eulersche $φ$-Funktion}\index{Eulersche $φ$-Funktion}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch. Abgesehen von dem + neutralen Element sind alle Elemente primitiv. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw} + Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln, + \[ + \Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ, + \] + also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation + eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Die primitiven Erzeuger heißen + \emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}. Die Gruppe + der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks. + Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch + Spiegelungen. Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}. + Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2· n$ und ist nicht abelsch. +\end{bsp} + +Der folgende Satz liefert weitere Beispiele. + +\begin{satz}\label{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} + Sei $R$ ein Integritätsring und $G ⊂ R^*$ sei eine endliche (multiplikative) + Gruppe. Dann ist $G$ zyklisch. +\end{satz} + +Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} +zuerst zwei kleine Lemmas. Das erste können Sie selbst beweisen. + +\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen} + Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die + kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}. Weiter sei + $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$. Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$. \qed +\end{lemma} + +\begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen} + Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und es sei + $m := \max \{\ord g \::\: g∈ G\}$. Dann gilt für alle $g∈ G$ die Relation + $(\ord g)| m$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Seien $\ord g = \prod_{\{p\}}p^{ν_p}$ und $m = \prod_{\{p\}}p^{μ_p}$ die + Primfaktorzerlegungen von $\ord g$ und von und $m$. Weiter sei $h∈ G$ ein + Element mit $\ord h =m$ und $g∈ G$ sei irgendein Element. Gegeben eine + Primzahl $p$, so schreiben wir + \begin{equation*} + \ord g = p^{ν_p}· n_p\quad\text{und}\quad \ord h = m = p^{μ_p}· m_p; + \end{equation*} + dabei gilt $p \nmid n_p$ und $p \nmid m_p$ gilt. Weil $p$ und $n_p$ + beziehungsweise $m_p$ sogar teilerfremd sind, gilt + \begin{equation*} + \ord g^{n_p} = p^{ν_p} \quad\text{und}\quad \ord h^{p^{μ_p}} = m_p. + \end{equation*} + Also folgt aus Lemma~\vref{Lemma_vor_Ordnung_teilen}, dass + \begin{equation*} + \ord \bigl(g^{n_p}· h^{p^{μ_p}} \bigr) = p^{ν_p}· m_p≤ m = p^{μ_p}· m_p + \end{equation*} + ist, wobei die Ungleichung gilt, weil $m$ das Maximum war. Also folgt + $ν_p < μ_p$. Weil das für jede Primzahl gilt, folgt $(\ord g)|m$ gelten. +\end{proof} + +Mit dieser Vorbereitung können wir jetzt den Satz über die Untergruppen von +$R^*$ beweisen. + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}] + Jeder Integritätsring ist in seinen Quotientenkörper eingebettet. Deshalb + können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $R$ ein Körper ist. Nach + Lemma~\vref{Lemma_Ordnung_teilen} gilt dann mit + \[ + m := \max \{ \ord g \::\: g∈ G \} + \] + für alle $g ∈ G$, dass $g^m=1$ ist. Die Elemente aus $G$ sind also alles + Nullstellen des Polynoms $x^m-1∈ R[x]$. Nun gibt es einerseits höchstens $m$ + solche Nullstellen, andererseits ist für ein $h ∈ G$ mit $\ord h =m$ schon + \begin{equation*} + (h) = \{h^n \::\: n ∈ ℤ\}⊂ G + \end{equation*} + eine Menge mit $m$ Elementen. Also ist $G = (h)$. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Wenn $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist, dann ist $\# K^* = q-1$. + Wir haben gesehen, dass $K^*$ aus den Nullstellen des Polynoms + $x^{q-1}-1 ∈ 𝔽_p[x] ⊂ K[x]$ besteht, wobei $p$ die Charakteristik von $K$ ist. + Also hat $x(x^{q-1}-1)=x^q-x$ alle Elemente von $K$ als Nullstelle. Das gibt + einen einfachen Beweis für die Klassifikation endlicher Körper. +\end{bemerkung} + + +\section{Der kleine Satz von Fermat} + +Der kleine Satz von +Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de + Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, + heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein + französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, +die sich trivial aus dem Gesagten ergibt. Wir halten die Aussage für spätere +Anwendungen noch einmal fest. + +\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ irgendeine Zahl. Dann ist + $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar. Ansonsten liefert + die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element + $\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe + $𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat. Nach + Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die + Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler + von $|𝔽^*_p| = p-1$. Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder + äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{proof} + +\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat} + Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die + äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder + $p|(a^{p-1}-1)$. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/18.tex b/18.tex new file mode 100644 index 0000000..4f91052 --- /dev/null +++ b/18.tex @@ -0,0 +1,448 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Die Sätze von Sylow} +\label{chap:18} + +\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur +Struktur endlicher Gruppen. Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine +endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$. Dann ist wissen wir schon, +dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$ +auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze +von +Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter + Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7. + September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende + Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten. + +\begin{notation} + Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl. +\end{notation} + + +\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy} + +Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist +die folgende. + +\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl} + Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ + operiert. Weiter sei + \begin{equation*} + M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \} + \end{equation*} + die Menge der Fixpunkte. Dann ist + $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen + Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit + $B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt: + \begin{equation*} + |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|, + \end{equation*} + Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass + die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein + Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung + $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. +\end{proof} + +Der Satz von +Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis + Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein + französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine +endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter +Ordnung zu beweisen. + +\begin{satz}[Satz von Cauchy]\label{Satz_von_Cauchy} + Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert + ein Element von Ordnung $p$. +\end{satz} +\begin{proof} + Sei $G$ die Gruppe. Betrachte die Menge + \begin{equation*} + M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}. + \end{equation*} + Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass + der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt + ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$. Wir erhalten die folgende Gleichung, + \begin{equation}\label{eq:x78} + |M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}. + \end{equation} + + Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das + zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe + $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische + Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch + $b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch + die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, + $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge + dieser Wirkung ist + \[ + M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}. + \] + Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist. Auf der + anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass + \[ + |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| + \overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod} + p) + \] + ist. Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$. Nach + Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$. +\end{proof} + + +\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen} + +Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen +besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die +folgende Definition beschreibt den Extremfall. + +\begin{definition}[$p$-Gruppe] + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die + Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist. +\end{definition} + +\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen] + Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$ + gibt, sodass $|G|=p^n$ ist. +\end{satz} +\begin{proof} + Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$ + teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann + gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach + Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein + Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein. +\end{proof} + +\begin{satz} + Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum. +\end{satz} +\begin{proof} + Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich + selbst durch Konjugation. Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das + Zentrum von $G$. Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl}, + dass + \begin{equation*} + |\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p). + \end{equation*} + Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$. +\end{proof} + +Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm. In +dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$ +enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich +besonders gut. + +\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von + $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal + bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil + $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die + Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar. +\end{bemerkung} + +\begin{lem} + Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine + $p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. Dann ist die Untergruppe + $g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe. Insbesondere gilt: wenn + es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein + Normalteiler von $G$. +\end{lem} +\begin{proof} + Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente. Um zu + zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur + zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist. Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe, + die $g·G_p·g^{-1}$ enthält. Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$. Also ist + $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$. +\end{proof} + +\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} + Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in + Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann + gilt + \begin{equation*} + [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p). + \end{equation*} +\end{lemma} +\begin{proof} + Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der + Linksnebenklassen, + \[ + M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}. + \] + Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung. Wann ist eine + Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung? Antwort: es ist + \begin{align*} + g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\ + & ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\ + & ⇔ g^{-1}·U·g = U \\ + & ⇔ g ∈ N(U). + \end{align*} + Also ist + \begin{equation*} + [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere + \end{equation*} +\end{proof} + +\begin{kor} + Mit den gleichen Voraussetzungen wie in + Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$ + teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$. +\end{kor} +\begin{proof} + Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$. Wegen der + zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$. +\end{proof} + + +\section{Die Sätze von Sylow} + +Die Sätze von Sylow\index{Sylow-Sätze} geben Auskunft über Existenz von +$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen. Sie geben auch Auskunft +darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind. + +\begin{satz}[Erster Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Eins} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$ + sei. Dann gelten folgende Aussagen. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert + eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$. + + \item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede + Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung + $p^{i+1}$. + \end{enumerate} + Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-1} +\end{proof} + +\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Zwei} + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu + jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass + $g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist. Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$ + zueinander konjugiert. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-2} +\end{proof} + +\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Drei} + Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen + Gruppe $G$. Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$. Weiterhin ist + $s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{20-3} +\end{proof} + + +\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders} + +Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal +ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge +$\{1, 2, 3, 4 \}$. Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades +auszurechnen, interessieren uns die besonders für die Untergruppen von $S_4$. + + +\subsection{Geometrische Interpretation} + +Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders interpretieren, +wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt. Schauen Sie aber auf jeden +Fall auch einmal in den +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur + Tetraedergruppe}. + +\begin{figure} + \centering + + \begin{tikzpicture}[scale=.75] + \def \hoeheEins {0.25} + \def \hoeheZwei {2.0} + \def \weiteEins {0.5} + \def \weiteZwei {1.5} + \def \labelshift {.75} + + \node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {}; + \node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {}; + \node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {}; + \node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {}; + \foreach \X in {1,2,3,4}{ + \fill (\X) circle (0.05); + } + \path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3); + \draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2); + \draw[dashed] (1)--(3); + \end{tikzpicture} + + \caption{Tetraeder} + \label{fig:tetraeder} +\end{figure} + + +\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe} + +Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich +frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie +wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im +Zusammenhang mit der Konstruktion von +Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie + Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in + Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen +diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, +wiederhole ich die Sache noch einmal. + +\begin{fakt} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der + Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche) + Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist. + Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den + Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $S_n$. \qed +\end{fakt} + +Die Bijektion sieht so aus: +\begin{itemize} +\item Wenn eine Permutation $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als + Produkt disjunkter Zykel schrieben, zum Beispiel so + \[ + σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8. + \] + Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3. Ich erhalte + die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$. In der Sprache dieser Vorlesung betrachten + wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$. Diese Gruppe wirkt + auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$. Die Zykel sind dann die Bahnen + der $H$-Wirkung auf $M_8$. + +\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind + die trivialerweise zueinander konjugiert. Statt großer Theorie erkläre ich + das an einem Beispiel. Gegeben seien + \[ + σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236). + \] + Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch + \begin{align*} + g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\ + g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8 + \end{align*} + und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist. Ich vermute, Sie durchschauen das + System. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet. + +\item Jede Partition tritt auf. Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition + $(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation + $σ = (12)(345)(678)$. +\end{itemize} + +Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4} +zusammengefasst. + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}} + \text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\ + \hline + abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em] + aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em] + aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em] + aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em] + aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6 + \end{tabular} + + \caption{Konjugationsklassen in $S_4$} + \label{fig:ks4} +\end{table} + + +\subsection{Die Untergruppen von $S_4$} + +Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$. Potenzielle Untergruppen +können also nur die folgenden Ordnungen haben. +\begin{description} +\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein. + +\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen, also der Kern der + Signums-Abbildung, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe + von Ordnung 12. Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung + 12 existieren. + +\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$ + der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter + Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit + $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir + wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes + Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten + ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt. + Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$. + +\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert. + +\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe + der Ordnung 4. Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen + existieren. + +\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein. Diese + Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3 + haben. Also sind die 3-Sylowuntergruppe zyklische Gruppen, die von Drehungen + um Ecken erzeugt werden. Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$ + Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische + Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit). + +\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung + zwei (=Spiegelung bzw. Drehung um eine Achse) erzeugt werden + +\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein. +\end{description} + +Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie +man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt. Wenn man in +Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht +man, dass $D_4$ die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$ +ist. Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe. Am Tetraeder lässt +sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung +$(13)(24)$ interpretieren. Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als +Untergruppen von $D_4$. Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch +Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2. Der Vollständigkeit halber sind +in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von +Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet. In der Summe sehen Sie 30 +Untergruppen. + +\begin{fazit} + Ein Zerfällungskörper eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30 + Zwischenkörper. \qed +\end{fazit} + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}} + \text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\ + \hline + S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\ + A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\ + D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\ + S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\ + ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\ + ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\ + ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\ + ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\ + ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\ + ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\ + \{e\} & & 1 & 1\\ + \end{tabular} + + \caption{Untergruppen von $S_4$} + \label{fig:ugs4} +\end{table} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/19.tex b/19.tex new file mode 100644 index 0000000..652e130 --- /dev/null +++ b/19.tex @@ -0,0 +1,176 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Abelsche Gruppen} +\label{chap:19} + +\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir +uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen +auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im +Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt +dünn. Zeit zum Luftholen! + +\begin{notation} + Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen + (fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale + Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{notation} + Gegeben zwei Abelsche Gruppen $(G_1, +)$ und $(G_2, +)$, dann ist auch das + Produkt $G_1 ⨯ G_2$ eine Abelsche Gruppe, wenn ich die Gruppenverknüpfung + komponentenweise definiere. Die so konstruierte Produktgruppe wird auch mit + $G_1 ⊕ G_2$ bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{konstruktion} + Es sei $(G, +)$ eine abelsche Gruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. Wir + hatten schon in Beobachtung~\ref{beob:lx} gesehen, dass dann genau ein + Gruppenmorphismus $ζ_g : ℤ → G$ mit $ζ_g(1) = g$ existiert. Wir definieren + dann eine Abbildung + \[ + α : ℤ⨯G → G, \quad (n,g) ↦ ζ_g(n). + \] + Das lässt sich natürlich auch ganz elementar so hinschreiben, + \[ + (n,g) ↦ + \left\{ + \begin{matrix} + 0_G & \text{falls $n = 0$} \\ + \underbrace{g + ⋯ + g}_{n⨯} & \text{falls $n > 0$} \\ + \underbrace{(-g) + ⋯ + (-g)}_{n⨯} & \text{falls $n < 0$.} \\ + \end{matrix} + \right. + \] + Statt $α(n,g)$ schreiben wir auch kurz $n·g$. Die Abbildung $α$ sieht aus wie + die skalare Multiplikation, die wir von Vektorräumen kennen. Natürlich ist + $G$ kein Vektorraum, denn $ℤ$ ist kein Körper. Stattdessen nennt man $G$ + einen \emph{$ℤ$-Modul}\index{$ℤ$-Modul}. Ein Modul ist wie ein Vektorraum + aber nicht über einem Körper, sondern über einem Ring (genaue Definition auf + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Wikipedia}). Die + $ℤ$-Wirkung definiert dabei die skalare Multiplikation. Die Annahme, dass $G$ + abelsch ist, benötigen wir für das Distributivgesetz, mit anderen Worten: + \begin{equation*} + n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G. + \end{equation*} + Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als + Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''. +\end{konstruktion} + +Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches +Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen. + +\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln] + Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte + abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt, + sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination + \begin{equation*} + g=\sum n_i·g_i + \end{equation*} + darstellen lässt. Man nennt die Menge $M := \{g_1, …, g_r\}$ dann ein + \emph{Erzeugendensystem}\index{Erzeugendensystem für Abelsche Gruppe} von $G$. + Wenn die Menge $M$ zusätzlich $ℤ$-linear unabhängig ist, dann nennt man $M$ + eine \emph{Basis}\index{Basis für Abelsche Gruppe}. Eine endlich erzeugte + abelsche Gruppe heißt \emph{frei}\index{freie Abelsche Gruppe}, wenn sie eine + Basis hat. +\end{definition} + +Bevor Sie weiter lesen: finden Sie eine nicht-triviale Abelsche Gruppe ohne +Basis. Der folgende Satz, dessen Beweis ich mir hier spare, wird Sie vermutlich +nicht überraschen. Man muss beim Beweis natürlich aufpassen, weil man im +Gegensatz zu Fall von Vektorräumen (die ja über Körpern definiert sind) in $ℤ$ +nicht immer dividieren kann. + +\begin{satzdef}[Rang einer Abelschen Gruppe] + Es sei $G$ eine endlich erzeugte, freie Abelsche Gruppe. Dann sind alle Basen + endlich und je zwei Basen haben gleich viele Elemente. Die Anzahl der + Elemente in einer Basis wird \emph{Rang}\index{Rang einer freien Abelschen + Gruppe} genannt. \qed +\end{satzdef} + +Wenn $K$ ein Körper ist, dann sind die einfachsten Vektorräume die Produkte +$K^n$ (wobei die Vektorraumaddition komponentenweise definiert ist). Das geht +mit Abelschen Gruppen ganz genau so. + +\begin{bsp} + Die einfachste freie Abelsche Gruppe ist $ℤ^r$, wobei die Gruppenverknüpfung + komponentenweise definiert ist. Die Einheitsvektoren + $\vec{e}_1, …, \vec{e}_r$ bilden eine Basis. +\end{bsp} + +Jeder endlich-dimensionale $K$-Vektorraum $V$ ist auf nicht-kanonische Weise +isomorph zu $K^{\dim V}$. Auch das geht mit Abelschen Gruppen genau so. + +\begin{beobachtung} + Es sei $G$ eine endlich-erzeugte, freie abelsche Gruppe $G$ mit Basis + $\{g_1, …, g_r \}$. Dann ist die Abbildung + \begin{equation*} + ℤ^r → G, \quad (n_1, …, n_r) ↦ \sum n_i·g_i + \end{equation*} + ein Isomorphismus von Gruppen. +\end{beobachtung} + +Aber Achtung! Nicht alles, was wir aus der linearen Algebra kennen, gilt auch +für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss. + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zur Theorie der Vektorräume kann man Basen von Abelschen Gruppen + nicht einfach dadurch erhalten, dass man ausreichend viele Elemente eines + Erzeugendensystems weg lässt. + \begin{enumerate} + \item In $ℤ/(n)$ ist das Element $1+(n)$ ein Erzeuger, aber keine Basis. + + \item In $ℤ$ ist $\{2, 3\}$ ein Erzeugendensystem, aber weder 2 noch 3 + erzeugen $ℤ$. + \end{enumerate} +\end{warnung} + +Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert +die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt. +Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen. +Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln +über Hauptidealringen. Die Tatsache, dass $ℤ$ ein Hauptidealring ist, spielt im +Beweis eine große Rolle. + +\begin{satz}[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]\label{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} + Es sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es eindeutig + bestimmte Zahlen $r$, $t$ aus $ℕ$ sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen + $1 < a_1 ≤ … ≤ a_t$, sodass $G$ isomorph zu folgender Gruppe ist, + \begin{equation*} + ℤ^r⊕ ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_t). \eqno \qed + \end{equation*} +\end{satz} + +\begin{notation} + In der Situation von + Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} wird der Summand + $ℤ/(a_1) ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/(a_n)$ als \emph{Torsionsanteil von $G$}\index{Torsionsanteil + einer Abelschen Gruppe} bezeichnet. Die Zahlen $a_•$ heißen + \emph{Elementarteiler von $G$}\index{Elementarteiler einer Abelschen Gruppe}. + Der Summand $ℤ^r$ wird der \emph{freie Anteil von $G$}\index{freier Anteil + einer Abelschen Gruppe} genannt. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + In der Situation von + Satz~\ref{Satz_Hauptsatz_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen} ist der + Torsionsanteil als Untergruppe von $G$ eindeutig bestimmt. Es ist nämlich + \begin{equation*} + \text{Torsionsanteil} = \{g ∈ G \::\: \ord g < ∞\}. + \end{equation*} + Der freie Anteil ist isomorph zur Quotientengruppe + $G / \text{Torsionsanteil}$. +\end{beobachtung} + +\begin{warnung} + Im Gegensatz zum Torsionsanteil ist der freie Anteil einer Abelschen Gruppe + \emph{nicht} eindeutig bestimmt. Betrachten Sie die Gruppe $G = ℤ ⊕ ℤ/(7)$ + und finden Sie sofort zwei unterschiedliche Untergruppen von $G$, die beide + isomorph zu $ℤ$ sind! +\end{warnung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/20.tex b/20.tex new file mode 100644 index 0000000..ef42518 --- /dev/null +++ b/20.tex @@ -0,0 +1,229 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösbare und einfache Gruppen} +\label{chap:20} + +\section{Auflösbare Gruppen: teile und herrsche} + +Abelsche Gruppen sind leicht zu verstehen, andere Gruppen eher nicht. Eine +mögliche Herangehensweise, um eine gegebene Gruppe $G$ zu verstehen, ist es, +einen Normalteiler $N ⊂ G$ zu finden, und die Sequenz +\begin{equation*} + N → G → \factor{G}{N} +\end{equation*} +zu betrachten. Damit ist das Problem nicht gelöst, aber immerhin in +Teilaufgaben unterteilt. +\begin{itemize} +\item Zuerst muss man die Gruppen $N$ und $G/N$ verstehen. Diese Gruppen sind + kleiner als $G$ und damit hoffentlich leichter zu untersuchen. Wenn man ganz + viel Glück hat, sind $N$ oder $G/N$ vielleicht sogar Abelsch. + +\item Am Ende muss man verstehen, wie sich die Gruppe $G$ aus $N$ und $G/N$ + zusammensetzt. +\end{itemize} +Falls die Gruppen $G$ und $G/N$ immer noch zu kompliziert sind, kann man +vielleicht denselben Trick anwenden, um auch diese Gruppen weiter zu +unterteilen. + +\begin{bsp} + Es sei $G$ ist die Gruppe der affinen Transformationen der Ebene $ℂ²$. In der + linearen Algebra haben wir die Gruppe vermutlich schon untersucht und dabei + festgestellt, dass sich jede affine Transformation als Komposition einer + Translation und einer linearen Abbildung schreiben lässt. Eine genauere + Untersuchung zeigt: Die Gruppe der Translationen ist eine normale + Untergruppe\footnote{Können Sie das beweisen? Machen Sie mal! Zeigen Sie + mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!} + $N ⊂ G$. Der Quotient ist $G/N ≅ \GL_2(ℂ)$. Beide Anteile kann man gut + verstehen. +\end{bsp} + +Wenn eine gegebene Gruppe $G$ nicht Abelsch ist, dann ist die nächstbeste +Möglichkeit vermutlich die, dass die Gruppe $G$ wie oben beschrieben aus +Abelschen Gruppen zusammengesetzt ist. Die folgende Definition sagt präzise, +was ich damit meine. + +\begin{definition}[Auflösbare Gruppe]\label{def:solv} + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{auflösbar}\index{auflösbare Gruppe}, wenn es eine + Zahl $ℓ ∈ ℕ$ und eine Kette von Untergruppen + \begin{equation*} + G=N_{ℓ}⊋ N_{ℓ-1}⊋ ⋯ ⊋ N_1 ⊋ N_0= \{e\} + \end{equation*} + gibt, sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist $N_i$ ein Normalteiler in $N_{i+1}$. + + \item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist die Quotientengruppe $N_{i+1}/N_i$ + Abelsch. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{notation} + Eine Kette von Untergruppen wie in Definition~\ref{def:solv} wird + \emph{Auflösungskette}\index{Auflösungskette} genannt. +\end{notation} + +Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppen +zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4} +gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale eng mit +der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name +``auflösbare Gruppe'' ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden. + +\begin{bsp} + Die Permutationsgruppe $S_4$ ist auflösbar, denn es ist + $S_4 ⊃ A_4 ⊃ V_4 ⊃ \{e\}$. Dabei sind $A_4$ und $V_4$ die folgenden + Untergruppen. + \begin{itemize} + \item Die Gruppe $A_4$ ist der Kern der Signumsabbildung und wird + \emph{alternierende Gruppe}\index{alternierende Gruppe} genannt. + + \item Die Gruppe $V_4$ heißt \emph{Kleinsche Vierergruppe}\index{Kleinsche + Vierergruppe} und ist gegeben als + \[ + V_4 = \{\Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}. + \] + \end{itemize} + Weiterhin rechne man nach, was die Quotienten sind: + \[ + \factor{S_4}{A_4} ≅ \factor{ℤ}{(2)}, \quad % + \factor{A_4}{V_4} ≅ \factor{ℤ}{(3)}, \quad \text{und} \quad % + V_4 = \factor{V_4}{\{e\}} ≅ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}. + \] + Damit ist klar, dass die Gruppe $S_4$ auflösbar ist. Interessehalber stellen + wir noch fest, dass + \begin{equation*} + A_4 ≠ \factor{ℤ}{(3)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} + \end{equation*} + ist, sodass wir wirklich ein nicht-triviales Beispiel für eine auflösbare + Gruppe haben. +\end{bsp} + +Die folgenden beiden Sätze liefern weitere Beispiele. + +\begin{satz}[$p$-Gruppen sind auflösbar] + Es sei $p$ eine Primzahl. Dann ist jede endliche $p$-Gruppe auflösbar. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-1} +\end{proof} + +\begin{satz}[Untergruppen und Quotienten] + Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe. Dann ist auch jede Untergruppe und jede + Restklassengruppe von $G$ auflösbar. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-2} +\end{proof} + +Auflösungsketten sind (wenn sie überhaupt existieren) in keiner Weise eindeutig. +Man kann sich also Mühe geben und versuchen, besonders gute Ketten zu finden. +Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist. + +\begin{satz}[Gute Auflösungsketten]\label{Satz_Aufloesungskette} + Wenn $G$ eine endliche, auflösbare Gruppe ist und $N ⊂ G$ ein Normalteiler, + dann existiert eine Auflösungskette + \begin{equation*} + G = N_{ℓ} ⊋ N_{ℓ-1} ⊋ ⋯ ⊋ N_1⊋ \{e\}, + \end{equation*} + sodass folgende Eigenschaften gelten. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette + vor. Mit anderen Worten: $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$. + + \item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch + und von Primzahlordnung. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{21-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Wenn eine Auflösungskette wie in \vref{Satz_Aufloesungskette} gegeben ist, + dann kommt $ℤ/(p)$ als Quotient genau so oft vor, wie $p$ die Gruppenordnung + $|G|$ teilt. Über die Reihenfolge kann man aber nur wenig sagen. +\end{bemerkung} + + +\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand} + +\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die +Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer ``auflösbaren +Gruppe'' ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit +auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe. + +\begin{definition}[Einfache Gruppe] + Eine Gruppe $G$ heißt \emph{einfach}\index{einfache Gruppe}, wenn $\{e \}$ und + $G$ die einzigen Normalteiler sind. +\end{definition} + +\begin{bsp}\label{bsp:abpe} + Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach. +\end{bsp} + +Das Wort ``einfach'' ist historisch begründet. Es bedeutet nicht ``leicht zu +verstehen'', sondern ``mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu +zerlegen''. Vielleicht hätte man statt dem missverständlichen Wort ``einfach'' +besser von ``atomaren'' Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand. + +\begin{rem} + Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung + beschreiben will, muss man zumindest alle einfachen Gruppen gut kennen --- + dies sind die Bausteine, aus denen alle anderen Gruppen zusammengesetzt sind. + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups}{Tatsächlich + sind die einfachen, nicht-abelschen Gruppen inzwischen klassifiziert}. Dazu + berichtet + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_einfache_Gruppe}{Wikipedia} + sinngemäß: + \begin{itemize} + \item Die Herleitung des Klassifikationssatzes war eines der umfangreichsten + Projekte der Mathematikgeschichte. Der Beweis verteilt sich auf über 500 + Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht + alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende + der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt. + + \item Nach der ``Fertigstellung'' des Beweises um 1980 ist von führenden + Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen + worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei + sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere + Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings + als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis + erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war. + + \item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine + auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der + American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023 + abgeschlossen sein wird. + \end{itemize} +\end{rem} + +Beispiele von einfachen Gruppen sind gar nicht so leicht zu finden. Für die +Anwendungen der Galoistheorie ist der folgende Satz von zentraler Bedeutung. + +\begin{satz}[Alternierende Gruppe sind meistens einfach]\label{Satz_alternierende_Gruppe} + Die alternierende Gruppe $A_n$ ist einfach, wenn $n ≠ 4$ ist. Insbesondere + ist die Permutationsgruppe $S_n$ für $n ≥ 5$ \emph{nicht} auflösbar. +\end{satz} + +Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma. + +\begin{lemma}\label{Hilfssatz_algernierende_Gruppe} + Es sei $n ≥ 5$. Wenn $N ⊆ A_n$ eine normale Untergruppe ist, die zusätzlich + noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$. +\end{lemma} +\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}] + \video{22-1}, verbessert am 09Feb21. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}] + Die Gruppe $A_2$ ist trivial, $A_n = \{e \}$. Die Gruppe $A_3$ ist isomorph + zu $ℤ/(3)$; zum Beweis schreibe man sich die Gruppe einfach hin. Wir hatten + schon in Beispiel~\ref{bsp:abpe} gesehen, dass die Gruppe $ℤ/(3)$ einfach ist. + Den Fall $n ≥ 5$ behandeln wir im \video{22-2}. +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/21.tex b/21.tex new file mode 100644 index 0000000..301c674 --- /dev/null +++ b/21.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Satz vom primitiven Element} +\label{chap:21} + +Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} +bereitgestellt. + +\bigskip + +Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der +Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element +$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns +am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der +Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir +schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir +uns nicht genug gefürchtet? + +\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK} + Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es + nur endlich viele Zwischenkörper gibt. +\end{satz} +\begin{proof} + Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele + Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im + \video{22-4} gezeigt. +\end{proof} + +\begin{satz}[Satz vom primitiven Element]\label{Satz_vom_primitiven_Element} + Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach. +\end{satz} +\begin{proof} + Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$ + die normale Hülle von $L$. Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die + Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe + $\Gal(N/K)$. Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur + endlich viele Zwischenkörper. Die Behauptung folgt dann aus + Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}. +\end{proof} + +\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1} + Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form + $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist. +\end{kor} +\begin{proof} + Es sei $L/ℚ$ endlich. Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die + Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und + $L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von + $a$ ist. +\end{proof} + +Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich +wichtig und tragen daher einen eigenen Namen. + +\begin{defn}[Zahlkörper] + Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische + Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper}\index{Zahlkörper} bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Der $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper. Die Erweiterung + $ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element. +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/22.tex b/22.tex new file mode 100644 index 0000000..7cd9abd --- /dev/null +++ b/22.tex @@ -0,0 +1,376 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Kreisteilungskörper und die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} +\label{chap:22} + +Jetzt, ganz am Ende des Semesters, haben wir alle Vorbereitungen zusammen um die +Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu +beantworten. Der Beweis verwendet den Stoff des Semesters vollständig! + + +\section{Die Einheitswurzeln und die $φ$-Funktion} + +Wir hatten gleich am Anfang die Frage nach der Konstruierbarkeit mit +Körpertheorie zusammengebracht. Der relevante Körper für das reguläre $n$-Eck +ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$. + +\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln]\label{def:ktk} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms + $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$-ter Kreisteilungskörper über + $ℚ$}\index{Kreisteilungskörper} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist + üblich. +\end{definition} + +\begin{figure} + \centering + + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \def \n {8} + \def \radius {1.5} + \def \laenger {0.3} + + \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0); + \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger); + + \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius); + + \foreach \s in {0,...,7} { + \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius); + } + \foreach \s in {1,3,5,7} { + \fill[red] (\s) circle (.1); + } + \foreach \s in {0,...,7} { + \fill (\s) circle (.05); + } + \end{tikzpicture} + \quad + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \def \n {6} + \def \radius {1.5} + \def \laenger {0.3} + + \draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0); + \draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger); + + \draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius); + + \foreach \s in {0,...,5}{ + \coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius); + } + \foreach \s in {1,5}{ + \fill[red] (\s) circle (.1); + } + \foreach \s in {0,...,5}{ + \fill (\s) circle (.05); + } + \end{tikzpicture} + + Die primitiven Einheitswurzeln sind rot markiert. + + \caption{Achte und sechste Einheitswurzeln} + \label{fig:ehw} +\end{figure} + +\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an +Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die +$n$-ten Einheitswurzeln waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper +$L_n ⊂ \overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$-ten Einheitswurzeln bilden mit der +Multiplikation als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu +$ℤ/(n)$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}, falls sie die +Gruppe erzeugt. Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten +und $8$.ten Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon +diskutiert, wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten +Einheitswurzeln jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion +gegeben. Um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks +vollständig zu beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion +beweisen. + + +\begin{satz}[Mupltiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion} + Die Eulersche $φ$-Funktion hat folgende Eigenschaften. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} Für alle + $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m) = 1$ gilt $φ(n·m) = φ(n)·φ(m)$. + + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} Für alle + Primzahlen $p ∈ ℕ$ und alle $α ∈ ℕ$ gilt $φ(p^α)=p^{α-1}·(p-1)$. + + \item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} Für alle + Tupel $(p_1, …, p_r) ∈ ℕ^r$ von paarweise verschiedene Primzahlen und alle + Tupel $(α_1, …, α_r) ∈ ℕ^r$ gilt + \begin{equation*} + φ(p_1^{α_1} ⋯ p_r^{α_r}) = p_1^{α_1-1} ⋯ p_r^{α_r-1}·(p_1-1)⋯(p_r-1). + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Wir beweisen zuerst \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1}: + seien Zahlen $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m)=1$ gegeben. Dann gilt nach dem + Chinesischen Restsatz, Satz~\vref{Satz_Chinesischer_Restsatz}, + \begin{equation*} + \factor{ℤ}{(n·m)} ≅ \factor{ℤ}{(n)}⨯\factor{ℤ}{(m)}. + \end{equation*} + Ein Paar $(a,b) ∈ ℤ/(n) ⨯ ℤ/(m)$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a ∈ ℤ/(n)$ + und $b ∈ ℤ/(m)$ jeweils Einheiten sind. Also gilt + \begin{equation*} + \left|\left(\factor{ℤ}{(n· m)}\right)^*\right| = \left|\left(\factor{ℤ}{(n)}\right)^*\right|·\left|\left(\factor{ℤ}{(m)}\right)^*\right|. + \end{equation*} + Die Anzahl der Einheiten in der Gruppe $ℤ/(d)$ ist aber genau der Wert der + $φ$-Funktion an der Stelle $d$. Aussage + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} ist damit bewiesen. + + Für Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} + beobachten wir, dass die Nicht-Einheiten in $ℤ/(p^α)$ exakt durch die + Vielfachen von $p$ repräsentiert sind, also durch die Elemente + $p, 2·p, 3·p, … , p^{α-1}·p = p^α$. Dies sind genau $p^{α-1}$ Elemente. Für + die Einheiten bleiben also + \begin{equation*} + p^α - p^{α-1} = p^{α-1}·(p-1) + \end{equation*} + Elemente übrig, fertig ist der Beweis von + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}. + + Die letzte Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} + ist einfach eine Kombination von + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} und + \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}. +\end{proof} + + +\section{Kreisteilungspolynome} + +Die $n$-ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms +$x^n-1 ∈ ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, +dass diese Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die +Kreisteilungskörper besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen +Faktoren diskutieren. Das kommt jetzt. + +\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom] + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln + mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom + \begin{equation*} + Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x] + \end{equation*} + heißt $n$-tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}. Es + gilt $\deg Φ_n = φ(n)$. +\end{definition} + +Der folgende Satz fasst die wesentlichen Eigenschaften von +Kreisteilungspolynomen zusammen. + +\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} + Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:x2} + x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x) + \end{equation} +\end{satz} +\begin{proof} + Die Aussage über $φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige + $n$-te Einheitswurzel $ξ$ ist, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine + primitive $d$-te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ -- + und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf + der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome + stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$-ten + Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite + von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und + rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der + Gleichung wohl übereinstimmen. +\end{proof} + +\begin{beobachtung} + Mit Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} kann man + alle Kreisteilungspolynome ausrechnen. Um ein gegebenes Polynom $φ_d$ zu + bestimmen, müssen wir nach + Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} nämlich nur die + $Φ_p$ zu kennen, wo $p$ ein Primteiler von $d$ ist. Für jede Primzahl $p$ + gilt aber $x^p-1 = Φ_1(x)·Φ_p(x)$, und somit + \begin{equation*} + Φ_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + ⋯ + x + 1. + \end{equation*} +\end{beobachtung} + +\begin{bsp}\label{bsp:2222} + Betrachte den Fall $d = 6$. Es gilt $x⁶-1 = Φ_1(x)·Φ_2(x)·Φ_3(x)·Φ_6(x)$. + Damit erhalten wir + \begin{equation*} + Φ_6(x) = \frac{x⁶-1}{(x-1)·(x+1)·(x²+x+1)} = x²-x+1 + \end{equation*} +\end{bsp} + +Das Beispiel~\ref{bsp:2222} zeigt insbesondere, dass das komplexe Polynom $Φ_6$ +in Wirklichkeit ganzzahlige Koeffizienten hat! Der folgende Satz sagt, dass +dies kein Zufall ist. Der (Induktions-)Beweis ist nicht schlimm kompliziert, +aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg. + +\begin{fakt} + Die Kreisteilungspolynome sind ganzzahlig und normiert. Mit anderen Worten: + für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed +\end{fakt} + +Durch ``Reduktion modulo $p$'' zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls +nicht beweisen. + +\begin{fakt} + Die Kreisteilungspolynome $Φ_n$ sind für alle $n ∈ ℕ$ irreduzibel. \qed +\end{fakt} + + +\section{Die Kreisteilungskörper} + +Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms +$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$-ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und +mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$ +natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu +eine primitive $n$-te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ +ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te +Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist +\begin{equation*} + [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n). +\end{equation*} +Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr. + +\begin{satz}\label{satz:ktk} + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Galoisgruppe von $L_n/ℚ$ ist isomorph zur + (multiplikativen) Gruppe der Einheiten in $ℤ/(n)$, also + \[ + \Gal\left( \factor{L_n}{ℚ} \right) ≅ \left( \factor{ℤ}{(n)} \right)^*. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-1} +\end{proof} + + +\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} + +Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über +hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der +Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks. Im Gegensatz zu allen anderen Sätzen, +die immer nur zeigten, was man \emph{nicht} konstruieren kann, ist der folgende +Satz unser erstes \emph{positives} Resultat. + +\begin{satz}[Positives Resultat zur Konstruierbarkeit]\label{Satz_von_Seite_197} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. + Betrachte den Körper $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und bezeichne mit $L$ den + Zerfällungskörper $L$ des Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Wenn $[L : K]$ + eine Zweierpotenz ist, dann ist die Zahl $z$ aus $M$ mit Zirkel und Lineal + konstruierbar +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-2} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}\label{rem:svs197} + Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist noch nicht optimal, denn es gilt in + Wirklichkeit mehr: wir werden in Bemerkung~\vref{bem:nedkp} sehen, dass die + Zahl $z$ \emph{genau dann} aus $M$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, + wenn $[L : K]$ eine Zweierpotenz ist. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Satz von Gauß]\label{Satz_von_Gauss} + Das reguläre $n$-Eck ist aus $\{0,1 \}$ genau dann mit Zirkel und Lineal + konstruierbar, wenn $n$ in folgender Form geschrieben werden kann, + \[ + n = 2^α·p_1⋯p_r, + \] + wobei $α ∈ ℕ$ ist und die $p_{•}$ paarweise verschiedene Primzahlen der Form + $p_• = 2^{n_•}+1$ sind. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{23-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Damit $2^μ+1$ eine Primzahl ist, muss $μ$ selbst eine Potenz von $2$ sein. + Denn hätte $μ=m·l$ einen ungeraden Teiler $l$, so hätte man + \begin{equation*} + 2^μ+1 = (2^m+1)·\left(2^{m·(l-1)}-2^{m·(l-2)} ± ⋯ -2^l+1\right). + \end{equation*} +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Fermatsche Primzahlen, aus \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl}{Wikipedia}] + Primzahlen der Form $F_n := 2^{2^n}+1$ heißen \emph{Fermatsche + Primzahlen}\index{Fermatsche Primzahl}Im August 1640 vermutete Fermat, dass + alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien. + Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die + sechste Fermatzahl $F_5$ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten + fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine + Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere + gibt. +\end{bemerkung} + + +\section{Ich hab' noch einen Koffer in … Göttingen} + +Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen +Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer +\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine +\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also +kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit) +eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so +erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut +umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt. + +\begin{aufgabe} + Warten Sie das Ende der Pandemie ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich + weiße Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich + gut an (sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße + 3--5. + \begin{enumerate} + \item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude, + das 1929 von David Hilbert und Richard + Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard + Courant} (* 8. Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27. Januar + 1972 in New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet + wurde, dessen Planung aber noch auf Felix + Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix + Christian Klein} (* 25. April 1849 in Düsseldorf; † 22. Juni 1925 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde + damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen + Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der + Architektur. + + \item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die + Bibliothekarin sehr höflich um ``den Koffer''. Zeigen Sie ihre weißen + Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von ihren harmlosen Absichten + zu überzeugen. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +Wenn Sie im Schritt~\ref{il:f45} überzeugend aufgetreten sind, bringt Ihnen die +Bibliothekarin den Koffer. Dabei handelt es sich um eine über 100 Jahre alte +Holzkiste mit einem uralten Foliaten, in dem Johann Gustav Hermes auf über 200 +großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Lineal +konstruiert. Mit ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier +zu beschädigen. +\href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die + Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte +Konstruktionsprojekt: +\begin{quotation} + Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die + Seiten aus, verziert mit Anmerkungen und Erläuterungen in gut lesbarer + Kurrentschrift. Dazu kommt eine Flut von Tabellen, Rechnungen und + Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix + gewaltigen Ausmaßes fügen. +\end{quotation} +Im Gegensatz zur ``Zeit'' sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals +recht kritisch: ``Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte +bis 10.000.000 nach''. Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die +feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in +der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die +historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen. + +\begin{aufgabe} + Finden Sie heraus, warum das weltberühmte \emph{Mathematical Sciences Research + Institute} in Berkeley, Kalifornien die Adresse ``17 Gauss Way'' hat, obwohl + das MSRI der einzige Gebäudekomplex der Straße ist. Fahren Sie hin und + schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie + \href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}. +\end{aufgabe} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/23.tex b/23.tex new file mode 100644 index 0000000..cecf814 --- /dev/null +++ b/23.tex @@ -0,0 +1,218 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale} +\label{chap:23} + +\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus +Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ ein Körper und ein +Polynom $f ∈ K[x]$. Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der +Nullstellen von $f$ in der Form +\begin{equation*} + \sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…} +\end{equation*} +schreiben? In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: ist die Gleichung $f(x)=0$ +durch Radikale auflösbar? Gibt es eine Radikalerweiterung $L/K$, sodass $f$ in +$L$ eine Nullstelle hat? Die Antwort hängt natürlich mit der Galoisgruppe von +$f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung beschrieben werden. + +\begin{satz}\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. + Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist + über $K$ durch Radikale lösbar. + + \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe + $\Gal{f}$ ist auflösbar. + \end{enumerate} +\end{satz} + +Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses +Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen. Zuerst möchte ich aber +noch zwei Korollare vorstellen. + +\begin{kor} + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad + $\deg f ≤ 4$. Dann ist $f$ durch Radikale lösbar. +\end{kor} +\begin{proof} + Jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar. +\end{proof} + +\begin{kor}[Korollar von Galois] + Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar. + Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$. +\end{kor} +\begin{proof} + Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel. Analytische + Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und + $n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat. Wir fassen die + Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe + \[ + S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \} + \] + auf. Folgendes können wir sofort sagen. + \begin{itemize} + \item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5. Also existiert nach + dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von + Ordnung 5, also ein 5-Zykel. + + \item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert. Die komplexe + Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der + die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen + vertauscht. Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine + Transposition. + \end{itemize} + Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte + Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist. Mit anderen + Worten: jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den + Zykel $σ_5$ dargestellt werden. Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese + Gruppe ist nicht auflösbar. +\end{proof} + + +\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen} + +Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den +Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe +von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei +denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. + +\begin{defn}[Reines Polynom] + Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines + Polynom}\index{Polynom!reines}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass + $f(x) = x^n-a$ ist. +\end{defn} + +\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Wenn + $\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist, + dann sind alle reinen Polynomen der Form $x^n-a$ separabel. +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins} + Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls + $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist. + Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die + Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch. + + \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine + Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein + $a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}] + \video{24-1}. (Verbesserte Version vom 03Feb21). +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}] + \video{24-2} +\end{proof} + + +\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen} + +Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von +``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht}, +dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil + Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der +folgende Satz behebt diesen Mangel. + +\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1} + Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung. + Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass + \begin{enumerate} + \item $L'/K$ Galoisch ist. + + \item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist, + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{24-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale''] + Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein + irreduzibles Polynom. Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar. Nach + Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung + $L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat. Satz~\ref{satz:23.2.1} + sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in + Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die + \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible + ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann, + dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp} + Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl, + die aus $M$ mit Zirkel uns Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen + Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}. Betrachten Sie den Körper + $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe, + die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper + $L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen, + \[ + L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K. + \] + Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei} + noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von + quadratischen Erweiterungen ist, denn + \begin{equation*} + g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr) + \end{equation*} + ist ein Produkt von quadratischen Polynomen. Der Erweiterungsgrad $[L':K]$ + ist also eine Zweierpotenz. Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des + Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle + der Körpererweiterung $L/K$. Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat + deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine + Zweierpotenz als Grad. Erkennen Sie, dass wir damit + Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die + Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig + \emph{und} hinreichend! +\end{bemerkung} + +\begin{proof}[Beweisidee] + Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}) + entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper + von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$. Zyklische + Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ -- + zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt. +\end{proof} + + +\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}} +\label{sec:almostlast} + +Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei +Vorüberlegungen. + +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1} + Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive + $n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn + wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann + ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist + $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls. +\end{claim-de} + +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2} + Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann + ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$, + …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden. +\end{claim-de} + +\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$] + \video{24-4} +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$] + \video{24-5} +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/24.tex b/24.tex new file mode 100644 index 0000000..602f7e9 --- /dev/null +++ b/24.tex @@ -0,0 +1,343 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Quadratische Reziprozität} +\label{chap:24} + +\sideremark{Vorlesung 25} + +In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang +noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch +ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz +darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl +ist. + +\begin{definition}[Quadratischer Rest] + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Die Zahl + $a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer + Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung + \[ + x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p) + \] + in $ℤ$ lösbar ist. Andernfalls heißt \emph{quadratischer Nichtrest modulo + $p$}. +\end{definition} + +Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen +Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in +den +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones + Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die +Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich +handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, +von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das +Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz + \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.} +\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare +Beweise und historische Anmerkungen. + +\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein + quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von + $a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem + Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn + die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also + die Elemente von + \[ + (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² + \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p. + \] +\end{bemerkung} + +Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach. + +\begin{lem}\label{lem:24-0-3} + Es sei $p ∈ ℕ$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es in $𝔽_p$ genauso viele + quadratische Reste wie Nichtreste. Die (multiplikative) Untergruppe + $(𝔽^*_p)² ⊂ 𝔽^*_p$ hat den Index 2. +\end{lem} +\begin{proof} + Der surjektive Gruppenhomomorphismus + \[ + 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² + \] + hat den Kern $\{±1\}$. Weil $p$ ungerade ist, hat der Kern genau 2 Elemente. +\end{proof} + + +\section{Das Legendre-Symbol} + +Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen +wir das +Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie + Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein + französischer Mathematiker.}-Symbol ein. + +\begin{definition}[Legendre-Symbol] + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$. Dann schreibe + \[ + \left(\frac{a}{p}\right) := + \begin{cases} + 1 & \text{falls $a$ quadratischer Rest modulo $p$ ist} \\ + -1 & \text{falls $a$ quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist} \\ + 0 & \text{falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist}. + \end{cases} + \] + Der Ausdruck wird als \emph{Legendre-Symbol} bezeichnet. Analog zur + Bemerkung~\ref{bem:qrmp} verwendet man das Symbol nicht nur für Zahlen + $a ∈ ℤ$, sondern auch für Elemente $a ∈ 𝔽_p$. +\end{definition} + +\begin{beobachtung} + Weil es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} genau so viele quadratische Reste wie + Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und + deshalb + \begin{equation}\label{eq:g4.2} + \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F. + \end{equation} +\end{beobachtung} + +Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen. + +\begin{lem}[Das Legendre-Symobl ist multiplikativ]\label{lem:lsim} + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Die Abbildung + \[ + 𝔽^*_p → \{±1\}, \quad a ↦ \left(\frac{a}{p}\right) + \] + ist ein Gruppenhomomorphismus. +\end{lem} +\begin{proof} + Erinnern Sie sich an Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}: + die multiplikative Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch! Die Gruppe $𝔽^*_p$ hat genau + $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir + beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit + den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl + $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von + $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann. + + Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden + Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht + wollen Sie kurz nachrechnen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist!}, + \[ + ℓ : \factor{ℤ}{(2n)} → \factor{n·ℤ}{(2n)}, \quad a ↦ n·a. + \] + Die Gruppe $\factor{n·ℤ}{(2n)}$ hat genau zwei Elemente und kann deshalb mit + der Gruppe $\{\pm1\}$ identifiziert werden. Mit diesen Identifikationen + schickt der Gruppenmorphismus $ℓ$ ein Element $a ∈ 𝔽^*_p ≅ ℤ/(2n)$ genau dann + auf das neutrale Element $1 ∈ \{\pm1\}$, wenn $a ∈ ℤ/(2n)$ gerade ist, oder + anders gesagt, wenn $a ∈ 𝔽^*_p$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist. Der + Gruppenmorphismus $ℓ$ \emph{ist} das Legendre-Symbol! +\end{proof} + +\begin{lem}[Euler-Kriterium für das Legendre-Symobl]\label{lem:EK} + Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Dann + gilt die Gleichung + \[ + \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \:\:(\operatorname{mod} + p). + \] +\end{lem} +\begin{proof} + Noch einmal: die Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch von Ordnung $p-1$. Also gilt für + jede Zahl $b ∈ ℤ$, die teilerfremd zu $p$ ist stets die Gleichung + \[ + b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + Wenn die Zahl $a$ ein quadratischer Rest Modulo $p$ ist, also von der Form + $a \equiv b² \:\:(\operatorname{mod} p)$, dann gilt + \[ + a^{\frac{p-1}{2}} \equiv b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + + Als Nächstes sehen wir, dass das Polynom $x^{\frac{p-1}{2}} -1 ∈ 𝔽_p[x]$ + höchstens $\frac{p-1}{2}$ Nullstellen hat. Das sind wohl genau die + quadratischen Reste, von denen es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} ja genau + $\frac{p-1}{2}$ viele gibt. Wenn $a$ also ein quadratischer Nichtrest modulo + $p$ ist, dann ist + \[ + a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p) \quad\text{und}\quad a^{p-1} \equiv (a^{\frac{p-1}{2}})² \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p). + \] + Also muss wohl $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ sein. + Damit ist das Euler-Kriterium in jedem Fall bewiesen. +\end{proof} + + +\section{Quadratische Reziprozität} + +Mit diesen Vorbereitungen können wir das quadratische Reziprozitätsgesetz +formulieren. + +\begin{satz}[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]\label{satz:qrg} + Es seien $p$ und $q$ zwei unterschiedliche, ungerade Primzahlen. Dann gilt + die Gleichung + \[ + \left(\frac{p}{q}\right)·\left(\frac{q}{p}\right) = + (-1)^{\frac{p-1}{2}·\frac{q-1}{2}}. + \] +\end{satz} + +\begin{rem} + Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist höchst erstaunlich, denn es ist + überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und + $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der + Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer + ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr + tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt. +\end{rem} + +Für die Zwecke von Übungsaufgaben und Klausuren halten wir fest, dass man mit +dem quadratischen Reziprozitätsgesetz Legendre-Symbole sehr einfach und +effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel. + +\begin{bsp}[Effiziente Berechnung von Legendre-Symbolen] + Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17? + \begin{align*} + \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\ + & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3) + \end{align*} + Also ist die Antwort: ``nein!'' +\end{bsp} + + +\subsection{Beweis des Reziprozitätsgesetzes} + +Für das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt es viele Beweise. Gauß selbst war +so begeistert, dass er acht unterschiedliche Beweise vorlegte, Eisenstein +lieferte fünf weitere. Das Buch \cite[Appendix~B]{MR1761696} nennt 196 +unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der +Mathematik seit Gauß und Euler. Das Buch der Beweise +\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} stellt zwei der Schönsten vor, der hier +gezeigte Beweis ist im Wesentlichen aus dem Buch \cite{zbMATH06333926} +abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den +hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen +\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen +\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen + Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen +\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis + mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}. + +\bigskip + +Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$ +is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach +Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative +Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen +Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und +Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches +von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von +Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal, +dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit +$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt, +\begin{equation}\label{eq:g4.1} + \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F. +\end{equation} + +Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: +\[ + G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F. +\] + +\begin{behauptung}\label{beh:0} + Es sei $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$. Dann gelten im Körper $F$ die + Gleichungen + \[ + \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n} + \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = + \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n} + \] +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}] + Die Annahme, dass $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$ ist, bedeutet, dass die + Abbildung + \begin{equation}\label{eq:xcvx} + 𝔽_p → 𝔽_p, \quad x → n·x + \end{equation} + bijektiv ist. Weil die Elemente $\left(\frac{in}{p}\right)$ und $ξ^{i·n}$ + jeweils nur von der Restklasse von $i·n$ modulo $p$ abhängen zeigt + Bijektivität von \eqref{eq:xcvx} daher, dass sich die linken und die rechten + Seiten der Gleichungen nur um die Summationsreihenfolge unterscheiden. + \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:0})} +\end{proof} + +\begin{behauptung}\label{beh:1} + Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G^q = \left(\frac{q}{p}\right)·G$. +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:1}] + Wir rechnen die Behauptung direkt nach. + \begin{align*} + G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\ + & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ + & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}} + \end{align*} + Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})} +\end{proof} + +\begin{behauptung}\label{beh:2} + Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G² = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p$. Insbesondere + ist $G ≠ 0$ in $F$. +\end{behauptung} +\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:2}] + Der Beweis der Behauptung~\ref{beh:2} ist eine direkte, aber ziemlich lästige + Rechnung, die alle bisherigen Beobachtungen nutzt. + \begin{align*} + G² & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \right) \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{ji}{p}\right)·ξ^{ji} \right) \right) && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}\\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i²}{p}\right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} \right) \right) && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ + & = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} && i²\text{ ist quadratischer Rest} \\ + & = \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\ + & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\ + & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} + \end{align*} + Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})} +\end{proof} + +Alles, was wir nun noch machen müssen, ist, das Körperelement $G^q ∈ F$ mithilfe +der Behauptungen \ref{beh:1} und \ref{beh:2} auf zwei unterschiedliche Arten +auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen. +\begin{align*} + \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\ + & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\ + & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\ + & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} +\end{align*} +Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir +kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed + + +\section{Die Ergänzungssätze} + +Der Vollständigkeit halber erwähne ich noch zwei Sätze, die das Rechnen mit +Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität vereinfachen. Die Beweise +sind uninspirierend und werden deshalb weggelassen. + +\begin{satz}[1.~Ergänzungssatz] + Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt + \[ + \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = + \begin{cases} + 1 & \text{falls } p \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 4) \\ + -1 & \text{sonst} + \end{cases} \eqno \qed + \] +\end{satz} + +\begin{satz}[2.~Ergänzungssatz] + Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt + \[ + \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p²-1}{8}} = + \begin{cases} + 1 & \text{falls } p \equiv \pm1 \:\:(\operatorname{mod} 8) \\ + -1 & \text{sonst} + \end{cases} \eqno \qed + \] +\end{satz} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/25.tex b/25.tex new file mode 100644 index 0000000..5a68db5 --- /dev/null +++ b/25.tex @@ -0,0 +1,256 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Rückblick und Ausblick} +\label{chap:25} + +\section{Was ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?} + +Im 18.~Jahrhundert war Seefahrt gefährlich. Sehr gefährlich. Zwar pendelten um +1704 jährlich mehr als 300 Schiffe zwischen England und den ``West Indies'', es +kam aber durch Fehlnavigation regelmäßig zu verheerenden Katastrophen. +Unzählige Schiffe verirrten sich auf dem Meer und die Besatzung verhungerte, +verdurstete oder starb an qualvoll an Skorbut. Andere Schiffe fuhren auf +Felsriffe oder gerieten versehentlich in feindliches Territorium. + +Das Problem: es ist zwar sehr einfach die geografische Breite eines Schiffes zu +bestimmen\footnote{Man messe die Höhe des Polarsterns über dem Horizont!}, aber +es gab keine Methode für die Messung der geografische Länge. Das +``Längenproblem'' war für mindestens vier Jahrhunderte das zentrale Problem der +europäischen Wissenschaft. Die größten Wissenschaftler der Zeit, darunter +Galilei, Cassini, Huygens, Newton und Halley, versuchten, das Problem mithilfe +von Astronomie zu lösen. Dabei fanden sie das Gravitationsgesetz, begründeten +die Analysis, bestimmten das Gewicht der Erde, berechneten den Abstand der Erde +zu einigen der näheren Fixsterne, entdeckten die Jupitermonde, erkannten die +Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und maßen deren Wert. Das Längenproblem +lösten Sie nicht. + +Es gab noch andere, teilweise recht verzweifelte Ansätze. Im Krieg hatte man +die Erfahrung gemacht, dass Wunden schneller heilen, wenn man die Waffe (nicht +die Wunde!) nach der Tat mit \emph{Waffenbalsam} bestreicht; die Heilung ist +aber sehr schmerzhaft. Also verwunde das englische Militär zahlreiche Hunde, +die dann auf Schiffe verteilt wurden. Die Waffen blieben in London, wo sie +genau zur Mittagszeit mit dem Balsam bestrichen wurden. Die aufjaulenden Hunde, +so die Hoffnung, zeigten den Schiffen an, wann die Mittagszeit in London war. +Der Navigator konnte dann aus dem Unterschied zur Lokalzeit die Länge bestimmen. +Die Idee schien damals weniger abwegig als heute, denn man kannte Magnete und +wusste deshalb, dass \emph{Fernwirkungen} existieren…. Wikipedia listet auf, +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_longitude}{was man sonst noch + alles versucht hat}. + +Also blieb nur Koppelnavigation. Dava Sobel schreibt in ihrem +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_(book)}{absolut lesenswerten + Bestseller}\footnote{Haben Sie bald Geburtstag? Vielleicht interessieren Sie + auch für die illustrierte Ausagabe \cite{SobelIll}.} \cite{Sobel}, aus dem ich +meine Weisheit beziehe: + +\begin{quote} + Launched on a mix of bravery and greed, the sea captains of the fifteenth, + sixteenth and seventeenth centuries relied on ``dead reckoning'' to gauge + their distance east or west of home port. […] The captain would throw a log + overboard and observe how quickly the ship receded from this temporary + guidepost. […] He routinely missed his mark, of course […] Too often, the + technique of dead reckoning marked him for a dead man. +\end{quote} + +Aber warum ist die geografische Länge so viel schwieriger zu messen als die +Breite? Dava Sobel: + +\begin{quote} + Here lies the real, hard-core difference between latitude and longitude --- + beyond the superficial difference in line direction that any child can see: + The zero-degree parallel of latitude is fixed by the laws of nature, while the + zero-degree meridian of longitude shifts like the sands of time. This + difference makes finding latitude a child's play, and turns the determination + of longitude, especially at sea, into an adult dilemma --- one that stumped + the wisest minds of the world for the better part of human history. +\end{quote} + +In unserer Sprache würden wir sagen: Die geografische Breite ist ``kanonisch''. +Die geografische Länge ist nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des +Nullmeridians ab, der statt durch Greenwich auch durch jeden anderen Ort +verlaufen könnte. + + +\subsection{Der Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht-kanonisch''} + +Ich erzähle die etwas abschweifende Geschichte des Längenproblems, um auf den +Unterschied zwischen ``kanonisch'' und ``nicht kanonisch'' hinzuweisen. Ich +hoffe, dass Sie sich die Sache dann besser merken, denn dieser Punkt ist +fundamental für die gesamte Mathematik und \emph{der} zentrale Punkt der +gesamten Algebra-Ausbildung. +\begin{itemize} +\item Zwei Mengen der gleichen, endlichen Größe stehen zueinander in Bijektion. + Die Bijektion ist aber nicht kanonisch. Das Maß für die Abweichung von + ``kanonisch'' ist die Menge der Bijektionen, also die Permutationsgruppe. + Diese spielt in fast jeder Vorlesung eine Rolle. + +\item In der linearen Algebra haben wir gelernt, dass zwei Vektorräume der + gleichen, endlichen Dimension zueinander isomorph sind, aber nicht kanonisch + isomorph. Das Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der + Symmetrien, also die allgemeine lineare Gruppe. Ein großer Teil der Vorlesung + ``Lineare Algebra II'' befasst sich mit diesem Thema: Jordan-Formen, + Basiswechsel, Determinanten, Invarianten, Eigenräume, … +\end{itemize} + +In dieser Vorlesung haben wir dasselbe Problem: die universelle Eigenschaft des +algebraischen Abschlusses, Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}, ist +schwach. Zwei algebraische Abschlüsse, genau wie zwei Zerfällungskörper ein und +desselben Polyoms, sind zueinander isomorph, aber nicht kanonisch isomorph. Das +Maß für die Abweichung von ``kanonisch'' ist die Menge der Symmetrien, die in +diesem Fall als Galoisgruppe bezeichnet wird. Die Erkenntnis, das die +Galoisgruppe das Versagen der universelle Eigenschaft mißt und das durch ihr +Studium wichtige Erkentnisse gewonnen werden können, ist der zentrale Punkt in +dieser Vorlesung. Alles andere ist Beiwerk. + + +\subsection{… und wie ging die Geschichte aus?} + +Die Lösung des Längenproblems war von enormer militärischer und +volkswirtschaftlicher Bedeutung. Nach einem +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Scilly_naval_disaster_of_1707}{besonders + dramatischen Unfall}, bei dem die britische Krone vier Kriegsschiffe und über +1.500 Seeleute verlor, verabschiedete das englische Parlament 1714 den berühmten +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_Act}{Longitude Act}, in dem unter +anderem ein gigantisches Preisgeld für die Lösung des Längenproblems ausgelobt +wurde. Auch andere Staaten +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_rewards}{lobten Preise} aus, +gründeten Nationalakademien, investierten massiv in Militär und Wissenschaft und +bauten astronomische Observatorien, …. Genutzt hat es nichts, denn das +Längenproblem wurde letztlich nicht von Wissenschaftlern, sondern von einem +Schreiner aus der englischen Provinz gelöst. John Harrison war ein genialer +Techniker, dem es nach jahrzehntelanger Arbeit gegen Mitte des 18.~Jahrhunderts +gelang, \href{https://de.wikipedia.org/wiki/L\%C3\%A4ngenuhr}{Längenuhren} zu +bauen, also mechanische Uhren präzise genug für die Zwecke der Navigation waren, +und robust genug für den Einsatz auf hoher See. + +Das Buch \cite{Sobel} erzählt die Geschichte von Harrison's Erfindung. Das Buch +erzählt auch von den größten Wissenschaftlern aus Harrison's Zeit, die sämtlich +am Längenproblem arbeiteten und trotz großer persönlicher Differenzen gemeinsam +sehr viel Zeit und Mühe investierten, um Harrison durch operettenhaftes +Intrigenspiel, Lügen und Verleumdungskampagnen zu runinieren und um sein +Preisgeld zu betrügen. + + +\section{Wie geht es weiter?} + +Wenn Sie ein Lehrbuch zum Thema ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' in die +Hand nehmen, finden Sie ein wenig Theorie (Satz von Picard-Lindelöf, +Konsequenzen aus der Eindeutigkeit der Lösung, Lebensdauer von Lösungen, ) und +viele viele Rechenrezepte, mit denen man spezielle Differenzialgleichungen löst. +In der Anfängervorlesung haben Sie das vielleicht schon beim Verfahren +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten}{Variation der + Konstanten} gesehen: gegeben ist die Differenzialgleichung +\begin{equation}\label{eq:ssa} + y'(x) = a(x)·y(x) + b(x). +\end{equation} +Dann macht der Professor den ``Ansatz'', dass die Lösung von folgender Gestalt +sein könnte +\[ + y(x) = c(x)e^{A(x)}. +\] +Jetzt sind ``nur noch'' die Funktionen $c$ und $A$ zu bestimmen. Wie man an den +Ansatz kommt, wird nicht erklärt. + +Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die Sie in der kennen und kennenlernen +werden, sind fast alle vom Lie'schen +Typ\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}{Marius Sophus Lie} + (* 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid; † 18. Februar 1899 in Kristiania, + heute Oslo) war ein norwegischer Mathematiker.}. Genau wie wir einem Polynom +die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers zuordnen, hat Sophus Lie einer +Differenzialgleichung eine Gruppe zugeordnet, die man heute als +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Gruppe}{Lie-Gruppe} bezeichnet; im Falle +der Differenzialgleichungen der Form \eqref{eq:ssa} ist das die Gruppe der +invertierbaren $2⨯ 2$ oberen Dreiecksmatrizen, +\[ + A := \left\{ + \begin{pmatrix} + a & b \\ 0 & d + \end{pmatrix} + ∈ \GL(2, ℝ) + \right\}. +\] +Diese Gruppe ist auflösbar, und genau wie in Satz~\vref{Satz_von_Seite_197} +(``Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal'') gibt die Auflösungskette +\[ + \left\{ + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ 0 & 1 + \end{pmatrix} + \right\} + ⊂ + \left\{ + \begin{pmatrix} + 1 & b \\ 0 & 1 + \end{pmatrix} + \::\: b ∈ ℝ + \right\} + ⊂ + A +\] +der Gruppe $A$ die Lösungsformel, die Sie als ``Variation der Konstanten'' +kennen. + +\begin{geheim} + Fast alle Differenzialgleichungen, die Sie in einer typischen Vorlesung + ``Gewöhnliche Differenzialgleichungen'' kennenlernen, sind vom Lie'schen Typ. + Fast alle Lösungsmethoden, die Sie dort kennenlernen werden, ergeben sich aus + der Auflösbarkeit der zugehörigen Lie-Gruppen --- die + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation}{Laplace-Transformation}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}{Pierre-Simon + (Marquis de) Laplace} (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der + Normandie; † 5. März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, + Physiker und Astronom. Er beschäftigte sich unter anderem mit der + Wahrscheinlichkeitstheorie und mit Differenzialgleichungen.} ist eine + bemerkenswerte Ausnahme. +\end{geheim} + +Ich finde Auswendiglernen von Lösungsformeln ausgesprochen langweilig und schaue +mir deshalb lieber die +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}{Riccatischen + Differenzialgleichungen}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati}{Jacopo + Francesco Riccati} (* 28. Mai 1676 in Venedig; † 15. April 1754 in + Treviso) war ein italienischer Mathematiker. Er ist vor allem für seine + Untersuchungen von Differenzialgleichungen und die Methoden zur Reduzierung + der Ordnung von Gleichungen bekannt.} an; das sind Differenzialgleichungen der +Form +\[ + y'(x)=f(x)y²(x)+g(x)y(x)+h(x) +\] +mit gegebenen Funktionen $f$, $g$ und $h$. Wenn diese Funktionen nicht zufällig +sehr speziell sind, ist die zugehörende Liesche Gruppe die spezielle lineare +Gruppe $\operatorname{SL}(2,ℝ)$, und diese Gruppe ist definitiv \emph{nicht} +auflösbar. Also \emph{kann} es keine Lösungsformel geben: Der Satz von +Picard-Lindelöf garantiert zwar die Existenz von Lösungen, diese sind aber nicht +in Termen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ notierbar! Am Ende des Tages beweisen +wir vielleicht den Satz, dass nur eine verschwindend kleine Nullmenge an +Differenzialgleichungen überhaupt Lösungsformeln erlaubt… + +Wenn Sie mehr wissen wollen, dann schauen Sie einmal in das fantastische Buch +\cite{MR947141}. Und googlen Sie nach ``Galois theory for differential +equations''. + + +\subsection{Reklame für weiterführende Veranstaltungen in Algebra} + +Besuchen Sie im SS21 die Vorlesung ``Kommutative Algebra und Algebraische +Geometrie'' und kommen Sie in unser Seminar! + +Es wird oft gesagt, Algebra und Geometrie seien zwei Seiten derselben Medaille. +In der Vorlesung machen wir diese Aussage konkret: es gibt eine \emph{Äquivalenz + von Kategorien} zwischen gewissen algebraischen Ringen und gewissen +geometrischen Räumen -- es gibt in diesem Sinne keinen Unterschied zwischen den +Gebieten, und jeder Satz der Algebra ist ein Satz der Geometrie und umgekehrt. + +Der Witz bei dieser Äquivalenz ist, das Algebra gut zum Rechnen ist und +Geometrie gut für die Anschauung, durch das Zusammenspiel erhält das Gebiet +seinen Reiz. Dabei ist es natürlich \emph{nicht} immer so, dass ``einfache'' +Begriffe der Algebra besonders ``anschaulichen'' Begriffen der Geometrie +entsprechen -- manchmal muss man ganz schön arbeiten um zu sehen, was passiert! +Auf meiner \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{Web-Seite} +finden noch ein wenig mehr Propadamaterial. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" +%%% End: diff --git a/AlgebraZahlentheorie.tex b/AlgebraZahlentheorie.tex new file mode 100644 index 0000000..adac75a --- /dev/null +++ b/AlgebraZahlentheorie.tex @@ -0,0 +1,275 @@ +\documentclass[a4paper, enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt} + +% +% Local font definitions -- need to come first +% +\usepackage{libertine} +%\usepackage[libertine]{newtxmath} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb} +\usepackage{graphicx} +\usepackage[mark]{gitinfo2} +\input{gfx/stdPreamble} +\input{gfx/paperVersion-working} +\usepackage{makeidx} +\usepackage{tikz-cd} +\makeindex + +\author{Stefan Kebekus} + +% +% TikZ +% + +\usetikzlibrary{through} +\usetikzlibrary{quotes,babel,angles} +\usetikzlibrary{calc} % calculate for relative positioning + + +% +% Extra spacing in list of figures +% + +\usepackage{tocloft} +\setlength{\cftfignumwidth}{3em} +\allowdisplaybreaks[1] + +% +% Theorems +% +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe} +\newtheorem{satz}[thm]{Satz} +\newtheorem{situation}[thm]{Situation} +\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma} +\newtheorem{kor}[thm]{Korollar} +\newtheorem{definition}[thm]{Definition} +\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition} +\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt} +\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit} +\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition} +\newtheorem{prov}[thm]{Provokation} +\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung} +\newtheorem*{achtung}{Achtung} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung} +\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung} +\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} +\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} +\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel} +\newtheorem{frage}[thm]{Frage} +\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung} +\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung} +\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation} + +% +% Math operators +% +\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} +\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} +\DeclareMathOperator{\GL}{GL} +\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} +\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} +\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV} +\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons} +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\DeclareMathOperator{\sep}{sep} +\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} +\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator} +\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}} + +\newcommand{\ifactor}[2]{\left. \raise -2pt\hbox{$#1$} \right\backslash \hskip -2pt\raise +2pt\hbox{$#2$}} + + +\title{Algebra und Zahlentheorie} +\date{\today} + +\makeatletter +\hypersetup{ + pdfauthor={Stefan Kebekus}, + pdftitle={\@title}, + pdfstartview={Fit}, + pdfpagelayout={TwoColumnRight}, + pdfpagemode={UseOutlines}, + bookmarks, + colorlinks, + linkcolor=linkblue, + citecolor=linkred, + urlcolor=linkred} +\makeatother + + +\begin{document} + +\maketitle + +\tableofcontents + +\bigskip + +\bigskip + +\bigskip + +\section*{Vorbemerkung} + +Dieses Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' baut auf sehr +ausführlichen Vorlesungsmitschriften auf, die Kai Sickinger vor einigen Jahren in +meiner Vorlesung angefertigt hat. Das Skript wird im Laufe des Wintersemesters +2020/2021 ständig weiter geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf +der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/a5YSrH8E8LWHzsr}{Nextcloud}. +Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde +finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das +Datum der letzten Änderung. + +Der Stoff ist in 25 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede +Vorlesung auf unserem +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/sffLLQLkTwbaDLeY}{Kalender}. +Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können +aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten. + +Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie +ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen +Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei +\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder +\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir +korrigieren schnellstmöglich! Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl +von guten Quellen, Erklärvideos und Anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, +melden Sie sich bitte. Wir fügen gerne einen Link in den Text ein! + +\bigskip + +\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß} + + +\subsection*{Literatur} + +\begin{itemize} +\item Das Springer-Lehrbuch ``Algebra'' von Siegfried Bosch, + \cite{zbMATH07238313}, ist der anerkannte Goldstandard aller + Algebra-Lehrbücher. Sie können das Buch aus dem Netz der Universität kostenlos + bei \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-92812-6}{Springer + Link} herunterladen. + +\item Das Buch ``Algebra'' von Serge Lang, \cite{MR1878556}, ein + englischsprachiger Klassiker mit exzellenter Stoffauswahl, ist ebenfalls bei + \href{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-0041-0}{Springer Link} + verfügbar. + +\item Viele Kollegen haben Skripte zur Algebra und Zahlentheorie geschrieben + (die sich natürlich alle sehr ähneln). Das Skript von + \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAL.pdf}{Wolfgang + Soergel} ist sehr ausführlich, das Skript von + \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Annette + Huber-Klawitter} ist konziser. +\end{itemize} + + +\subsection*{Computer-Programme} + +Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen. +Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen, +ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben +Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut +dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und +vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen +sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den +Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren. + + +\subsubsection*{GeoGebra} + +Mit GeoGebra können Sie geometrische Konstruktionen, die man sonst mit Zirkel +und Lineal auf Papier durchführt, einfach und exakt auf Ihrem Bildschirm machen. +Laden Sie sich das Programm von \url{https://www.geogebra.org} herunter und +spielen Sie damit ein wenig. Wir werden GeoGebra gelegentlich für Hausaufgaben +verwenden. + + +\subsubsection*{Sage} + +Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen +durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm +herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc +etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, +oder den Service CoCals verwenden. + + +\subsubsection*{CoCalc} + +CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite +auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der kostenlose +Dienst manchmal etwas langsam. + +Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie +können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem +Server rechnen. + + + +\part{Einleitung} + +\input{01} + +\part{Körpererweiterungen} + +\input{02} +\input{03} +\input{04} + + +\part{Ringe} + +\input{05} +\input{06} +\input{07} +\input{08} +\input{09} +\input{10} + + +\part{Körpertheorie} + +\input{11} +\input{12} +\input{13} +\input{14} +\input{15} +\input{16} + + +\part{Gruppentheorie} + +\input{17} +\input{18} +\input{19} +\input{20} + + +\part{Anwendungen} + +\input{21} +\input{22} +\input{23} +\input{24} + +\part{Schlusswort} + +\input{25} + +\clearpage + +\listoffigures +\listoftables + +\printindex + +\bibstyle{alpha} +\bibliographystyle{alpha} +\bibliography{bibliography/general} + + +\end{document} diff --git a/bibliography/general.bib b/bibliography/general.bib new file mode 100644 index 0000000..fd901fa --- /dev/null +++ b/bibliography/general.bib @@ -0,0 +1,15744 @@ +@MISC {285155, + TITLE = {Volume of {$-K_X$} for a weighted projective variety}, + AUTHOR = {Jason Starr}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/285155}{mathoverflow.net/q/285155 (version: 2017-11-03)}}, + year = {2017} +} + +@MISC {363432, + TITLE = {Complex structures on Hermitian symmetric space}, + AUTHOR = {Bryant, Robert}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/363432}{https://mathoverflow.net/q/363432 (version: 2020-06-18)}}, + year = {2020} +} + +@article{A57, + Author = {A. Andreotti}, + Journal = {Princeton Math. Series}, + Title = {On the complex structure of a class of simply connected manifolds, algebraic geometry and topology}, + Volume = 12, + Year = 1957 +} + +@book{ACGH, + Address = {New York}, + Author = {Arbarello, E. and Cornalba, M. and Griffiths, P. A. and Harris, J.}, + Isbn = {0-387-90997-4}, + Mrclass = {14Hxx (14-02)}, + Mrnumber = {770932 (86h:14019)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {xvi+386}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometry of algebraic curves. {V}ol. {I}}, + Volume = 267, + Year = 1985 +} + +@misc{ACO03, + Author = {Andreatta, Marco and Chierici, Elena and Occhetta, Gianluca}, + Month = {September}, + Note = {Preprint math.AG/0309473}, + Title = {Generalized {M}ukai conjecture for special Fano varieties}, + Year = 2003 +} + +@article{AHR85, + Author = {H. Azad, A. Huckleberry and W. Richthofer}, + Journal = {Journal für die reine und angwandte Mathematik}, + Title = {Homogeneous CR-manifolds}, + Volume = 358, + Year = 1985 +} + +@incollection{AK03, + Author = {Araujo, Carolina and Kollár, János}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001)}, + Address = {Berlin}, + Mrclass = {14H45 (14H10 14J40)}, + Mrnumber = {MR2011743 (2004k:14049)}, + Mrreviewer = {Xian Wu}, + Pages = {13--68}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Rational curves on varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article {AL1, + AUTHOR = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + TITLE = {Smooth quotients of abelian varieties by finite groups}, + JOURNAL = {Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5)}, + FJOURNAL = {Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie V}, + VOLUME = {XXI}, + YEAR = {2020}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {673-694}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2422/2036-2145.201812_008}{DOI:10.2422/2036-2145.201812\_008}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1801.00028}{arXiv:1801.00028}} +} + +@Unpublished{AL2, + author = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + title = {Smooth quotients of complex tori by finite groups (with an appendix by Stephen Griffeth)}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.05327}{arXiv:1912.05327}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2019}, + OPTannote = {} +} + +@article{ARTIN68, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.47}, + Mrnumber = {MR0232018 (38 \#344)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {277--291}, + Title = {On the Solutions of Analytic Equations}, + Volume = 5, + Year = 1968 +} + +@article{AS95, + Author = {Angehrn, Urban and Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J25 (14C20 32L10)}, + Mrnumber = {MR1358978 (97b:32036)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {291--308}, + Title = {Effective freeness and point separation for adjoint bundles}, + Volume = 122, + Year = 1995 +} + +@article {AW01, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On manifolds whose tangent bundle contains an ample subbundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 146, + YEAR = 2001, + NUMBER = 1, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00005808}{DOI:10.1007/PL00005808}}, + PAGES = {209--217}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14J60 (14M20)}, + MRNUMBER = {1859022 (2002h:14070)}, + MRREVIEWER = {Antonio Lanteri}, + DOI = {10.1007/PL00005808}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00005808}, +} + +@inproceedings{AW95, + Author = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Booktitle = {Algebraic geometry. Proceedings of the Summer Research + Institute, Santa Cruz}, + Editor = {J. Kollár}, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {9--29}, + Title = {A view on contractions of higher dimensional varieties}, + Year = 1995 +} + +@incollection {Abramovich, + AUTHOR = {Abramovich, Dan}, + TITLE = {Birational geometry for number theorists}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Clay Math. Proc.}, + VOLUME = {8}, + PAGES = {335--373}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2009}, + MRCLASS = {14E30 (11G35 14E15)}, + MRNUMBER = {2498065}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, +} + +@article{Akizuki-Nakano54, + Author = {Akizuki, Yasuo and Nakano, Shigeo}, + Fjournal = {Proceedings of the Japan Academy}, + Issn = {0021-4280}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066694 (16,619a)}, + Mrreviewer = {W. V. D. Hodge}, + Pages = {266--272}, + Title = {Note on {K}odaira-{S}pencer's proof of {L}efschetz theorems}, + Volume = 30, + Year = 1954 +} + +@article{Aluffi06, + Author = {Aluffi, Paolo}, + Doi = {10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Fjournal = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + Issn = {1631-073X}, + Journal = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {14C17}, + Mrnumber = {2209219 (2007g:14001)}, + Mrreviewer = {Shoji Yokura}, + Number = 6, + Pages = {405--410}, + Title = {Classes de {C}hern des variétés singulières, revisitées}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Volume = 342, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002} +} + +@article{Andreatta-Ballico-Wisniewski-93, + Author = {M.~Andreatta, E.~Ballico and J.~Wiśniewski}, + Journal = {Math.~Ann.}, + Number = 2, + Pages = {191--198}, + Title = {Two theorems on elementary contractions}, + Volume = 297, + Year = 1993 +} + +@article{Arakelov71, + Author = {Arakelov, Sergei J.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14H10 (14G05 14H25)}, + Mrnumber = {MR0321933 (48 \#298)}, + Mrreviewer = {J. W. S. Cassels}, + Pages = {1269--1293}, + Title = {Families of algebraic curves with fixed degeneracies}, + Volume = 35, + Year = 1971 +} + +@article{ArapuraKAN, + Author = {Arapura, Donu}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.2307/2046027}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J20 (14D05 32J25 55P62)}, + Mrnumber = {915712 (92k:32050)}, + Mrreviewer = {Takeo Ohsawa}, + Number = 1, + Pages = {43--48}, + Title = {Vanishing theorems for {$V$}-manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2046027}, + Volume = 102, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2046027} +} + +@incollection{Araujo05, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Araujo, Carolina}, + Booktitle = {snowbird lectures in algebraic geometry}, + Mrclass = {14M20 (14D05)}, + Mrnumber = {MR2182887}, + Pages = {1--16}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 388, + Year = 2005 +} + +@article{Araujo10, + Author = {Araujo, Carolina}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-008-0457-8}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E30 (14C20)}, + Mrnumber = {2564937 (2010k:14018)}, + Mrreviewer = {Carlos Galindo}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}{DOI:10.1007/s00209-008-0457-8}}, + Number = 1, + Pages = {179--193}, + Title = {The cone of pseudo-effective divisors of log varieties after {B}atyrev}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}, + Volume = 264, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8} +} + +@book{Arnold78, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Mathematical Methods of Classical Mechanics}, + Volume = 60, + Year = 1984 +} + +@article{Artin62, + Author = {Artin, Michael}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {MR0146182 (26 \#3704)}, + Mrreviewer = {M. Rosenlicht}, + Pages = {485--496}, + Title = {Some numerical criteria for contractability of curves on + algebraic surfaces}, + Volume = 84, + Year = 1962 +} + +@article{ArtinApprox, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0268188 (42 \#3087)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02684596}{DOI:10.1007/BF02684596}}, + Number = 36, + Pages = {23--58}, + Title = {Algebraic approximation of structures over complete local rings}, + Year = 1969 +} + +@article{ArtinII, + Author = {Artin, M.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {0260747 (41 \#5370)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + Pages = {88--135}, + Title = {Algebraization of formal moduli. {II}. {E}xistence of + modifications}, + Volume = 91, + Year = 1970 +} + +@article{Arz98, + Author = {I. V. Arzhantsev}, + Journal = {Izwestiya RAN}, + Number = 4, + Pages = {685--698}, + Title = {{On $SL_2$-actions of complexity one}}, + Volume = 61, + Year = 1998 +} + +@article {Ati57, + AUTHOR = {Atiyah, Michael F.}, + TITLE = {Complex analytic connections in fibre bundles}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {181--207}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {86359}, +MRREVIEWER = {F. Hirzebruch}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1992969}{DOI:10.2307/1992969}}, + DOI = {10.2307/1992969}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1992969}, +} + +@book{B91, + Author = {Armand Borel}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Linear Algebraic Groups}, + Volume = 126, + Year = 1991 +} + +@incollection{BBD, + Address = {Paris}, + Author = {Be{\u\i}linson, Alexander and Bernstein, Joseph and Deligne, + Pierre}, + Booktitle = {Analysis and topology on singular spaces, {I} ({L}uminy, 1981)}, + Note = {Available online at \url{https://publications.ias.edu/deligne/paper/396}}, + Mrclass = {32C38}, + Mrnumber = {751966 (86g:32015)}, + Mrreviewer = {Zoghman Mebkhout}, + Pages = {5--171}, + Publisher = {Soc. Math. France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Faisceaux pervers}, + Volume = 100, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{BBI00, + Author = {L.~Badescu, M.C.~Beltrametti and P.~Ionescu}, + Booktitle = {Complex Analysis and Algebraic Geometry}, + Editor = {T.~Peternell and F.O.~Schreyer}, + Pages = {1--27}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Almost-lines and quasi-lines on projective manifolds}, + Year = 2000 +} + +@article {BC17, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Cadorel, Benoît}, + TITLE = {Hyperbolicity of varieties supporting a variation of {H}odge structure}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}{DOI:10.1093/imrn/rny054}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1707.01327}{arXiv:1707.01327}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1601--1609}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32G20 (14D07)}, + MRNUMBER = {4089428}, + DOI = {10.1093/imrn/rny054}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}, +} + +@article{BCDD03, + Author = {Bonavero, Laurent and Casagrande, Cinzia and Debarre, Olivier + and Druel, Stéphane}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {601--626}, + Title = {Sur une conjecture de Mukai}, + Volume = 78, + Year = 2003 +} + +@incollection{BCEKPRSW02, + Address = {Berlin}, + Author = {Bauer, Thomas and Campana, Frédéric and Eckl, Thomas and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Rams, Sławomir and Szemberg, Tomasz and Wotzlaw, Lorenz}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Mrclass = {14E05 (14J60)}, + Mrnumber = {2003h:14023}, + Mrreviewer = {Huy Tài Hà}, + Pages = {27--36}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A reduction map for nef line bundles}, + Year = 2002 +} + +@article{BCHM10, + Author = {Birkar, Caucher and Cascini, Paolo and Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Pages = {405-468}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00649-3}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00649-3}}, + Title = {Existence of minimal models for varieties of log general type}, + Volume = 23, + Year = 2010 +} + +@article{BDPP, + Author = {Boucksom, Sébastien and Demailly, Jean-Pierre and Păun, Mihai and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0405285}{arXiv:math/0405285}}, + Number = 2, + Pages = {201--248}, + Title = {The pseudo-effective cone of a compact {K}ähler manifold and varieties of negative {K}odaira dimension}, + Volume = 22, + Year = 2013 +} + +@book {BEG, + TITLE = {An introduction to the {K}ähler-{R}icci flow}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 2086, + EDITOR = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent}, + PUBLISHER = {Springer}, + YEAR = 2013, + PAGES = {viii+333}, + ISBN = {978-3-319-00818-9; 978-3-319-00819-6}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}{DOI:10.1007/978-3-319-00819-6}.}, + MRCLASS = {53-06 (14J45 32-06 32Q15 32Q20 35K55 53C44 53C55)}, + MRNUMBER = 3202578, + DOI = {10.1007/978-3-319-00819-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}, +} + +@misc{BH09, + Author = {Bonavero, Laurent and Höring, Andreas}, + Month = {July}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0907.4848}{arXiv:0907.4848}}, + Title = {Algebraic foliations defined by quasi-lines}, + Year = 2009 +} + +@inbook{BK82, + Author = {G. Barthel and L. Kaup}, + Chapter = {in Topologie des surfaces complexes compactes singulières}, + Number = 80, + Pages = {61-297}, + Publisher = {Les Presses de l'université de Montréal}, + Series = {Semin. Math. Super.}, + Title = {Sur la Topologie des Surfaces complexes compactes}, + Year = 1982 +} + +@Unpublished{BL18, + author = {Bakker, Benjamin and Lehn, Christian}, + title = {The global moduli theory of symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.09748}{arXiv:1812.09748}}, + month = {December}, + year = 2018 +} + +@Unpublished{BLZ, + Author = {Blanc, Jérémy and Lamy, Stéphane and Zimmermann, Susanna}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.04145}{arXiv:1901.04145}}, + Title = {Quotients of higher dimensional Cremona groups}, + Year = {2019} + } + +@article{BM, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} + +@InBook{BM16, + author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + editor = {Cascini, Paolo and McKernan, James and Pereira, Jorge Vitório}, + title = {Foliation Theory in Algebraic Geometry}, + chapter = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + publisher = {Springer}, + year = 2016, + series = {Simons Symposia}, + pages = {21--51}, + note = {ISBN 978-3-319-24460-0. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0\_2}}, + isbn = {978-3-319-24460-0}, + doi = {10.1007/978-3-319-24460-0_2}, + url = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2} +} + +@article {BM96, + AUTHOR = {Bierstone, Edward and Milman, Pierre D.}, + TITLE = {Canonical desingularization in characteristic zero by blowing + up the maximum strata of a local invariant}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 128, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050141}{DOI:10.1007/s002220050141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {207--302}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14E15 (32S45)}, + MRNUMBER = 1440306, + MRREVIEWER = {Joseph Lipman}, + DOI = {10.1007/s002220050141}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050141}, +} + +@misc{BMcQ01, + Author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + Month = {February}, + Note = {IHES Preprint}, + Title = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + Year = 2001 +} + +@article{BN67, + Author = {Borel, Armand and Narasimhan, Raghavan}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.20}, + Mrnumber = {35 \#414}, + Mrreviewer = {W. Stoll}, + Pages = {247--255}, + Title = {Uniqueness conditions for certain holomorphic mappings}, + Volume = 2, + Year = 1967 +} + +@article{BPW, + author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai and Wang, Xu}, + title = {Algebraic fiber spaces and curvature of higher direct images}, + journal= {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu}, + publisher= {Cambridge University Press}, + year= {2020}, + pages= {1–56}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1017/S147474802000050X}{DOI:10.1017/S147474802000050X}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.02279}{arxiv.org/abs/1704.02279}}, + DOI = {10.1017/S147474802000050X} +} + +@book {BS76, + AUTHOR = {Bănică, Constantin and Stănăşilă, Octavian}, + TITLE = {Algebraic methods in the global theory of complex spaces}, + NOTE = {Translated from the Romanian}, + PUBLISHER = {Editura Academiei, Bucharest; John Wiley \& Sons, London-New York-Sydney}, + YEAR = 1976, + PAGES = 296, + MRCLASS = {32-02 (32C35 32D15)}, + MRNUMBER = 0463470, + MRREVIEWER = {J. S. Joel}, +} + +@book {BS95, + AUTHOR = {Beltrametti, Mauro C. and Sommese, Andrew J.}, + TITLE = {The adjunction theory of complex projective varieties}, + SERIES = {De Gruyter Expositions in Mathematics}, + VOLUME = 16, + PUBLISHER = {Walter de Gruyter \& Co., Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xxii+398}, + ISBN = {3-11-014355-0}, + MRCLASS = {14C20 (14-02 14E35 14N05)}, + MRNUMBER = 1318687, + MRREVIEWER = {Jarosł A. Wiśewski}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110871746}{DOI:10.1515/9783110871746}}, + DOI = {10.1515/9783110871746}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9783110871746}, +} + +@article {BT, + AUTHOR = {Bedford, Eric and Taylor, B. Alan}, + TITLE = {A new capacity for plurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 149, + YEAR = 1982, + NUMBER = {1-2}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392348}{DOI:10.1007/BF02392348}}, + PAGES = {1--40}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F05 (31C10 32C30)}, + MRNUMBER = {674165 (84d:32024)}, + MRREVIEWER = {Guy Laville}, + DOI = {10.1007/BF02392348}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392348}, +} + +@article{Bad82, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {155--171}, + Title = {{On Ample Divisors}}, + Volume = 86, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{Bad84, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Booktitle = {Algebraic Geometry Bucharest 1982}, + Editor = {L. B{\v a}descu and D. Popescu}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{Hyperplane Sections and Deformations}}, + Volume = 1056, + Year = 1984 +} + +@article{BalajiKollar08, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167326}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14J60 (32L05)}, + Mrnumber = {2426347 (2010c:14044)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}{DOI:10.2977/prims/1210167326}.}, + Number = 2, + Pages = {183--211}, + Title = {Holonomy groups of stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326} +} + +@phdthesis{Barkowski08, + Author = {Barkowski, Sammy}, + School = {Universität zu Köln}, + Title = {The cone of moving curves on algebraic varieties}, + Year = 2008 +} + +@misc{Barkowski09, + Author = {Barkowski, Sammy}, + Month = {February}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0902.0206}{arXiv:0902.0206}. To appear in Manuscr. Math.}, + Title = {The Cone of Moving Curves of a Smooth Fano three- or fourfold}, + Year = 2009 +} + +@PhdThesis{BarrientosPhD, + author = {Barrientos, Ivan}, + title = {Wild ramification of schemes via curves, the rank 1 case (with applications to higher class field theory)}, + school = {Universiät Regensburg}, + year = {2014}, + OPTkey = {}, + OPTtype = {}, + OPTaddress = {}, + OPTmonth = {}, + note = {\href{https://nbn-resolving.org/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}{urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}. Available on the internet at \url{https://epub.uni-regensburg.de/30739}}, + OPTannote = {} +} + +@inproceedings{Batyrev92, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Batyrev, Victor V.}, + Booktitle = {Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 3 + (Novosibirsk, 1989)}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {94f:14035}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Pages = {337--352}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {The cone of effective divisors of threefolds}, + Volume = 131, + Year = 1992 +} + +@unpublished{Baum, + Author = {Juliane Baum}, + Note = {Staatsexamensarbeit, Universität zu Köln. Available on the internet at \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}.}, + Title = {Aufblasungen und {D}esingularisierungen}, + Year = 2007 +} + +@incollection {Bea82, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Some remarks on {K}ähler manifolds with {$c_{1}=0$}}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = 39, + PAGES = {1--26}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + YEAR = 1983, + MRCLASS = {32J25 (14J40 53C55)}, + MRNUMBER = 728605, + MRREVIEWER = {Yukihiko Namikawa}, +} + +@article{Bea83, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32J25 (14J15 32C10 32G13 53C55)}, + Mrnumber = {730926 (86c:32030)}, + Mrreviewer = {N. J. Hitchin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214438181}{DOI:10.4310/jdg/1214438181}}, + Number = 4, + Pages = {755--782 (1984)}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes dont la première classe de {C}hern est nulle}, + Volume = 18, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214438181} +} + +@incollection{Bea95, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93)}, + Mrclass = {14D20 (14C20 81T40)}, + Mrnumber = {97h:14015}, + Mrreviewer = {Nyshadham Raghavendra}, + Pages = {17--33}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems}, + Volume = 28, + Year = 1995 +} + +@article{Bea98, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {566--583}, + Title = {Fano contact manifolds and nilpotent orbits}, + Volume = 73, + Year = 1998 +} + +@article{Beauville01, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Fjournal = {International Mathematics Research Notices}, + Issn = {1073-7928}, + Journal = {Internat. Math. Res. Notices}, + Mrclass = {14J70}, + Mrnumber = {2002b:14053}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {53--58}, + Title = {Endomorphisms of hypersurfaces and other manifolds}, + Volume = 1, + Year = 2001 +} + +@article {Beauville11, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Antisymplectic involutions of holomorphic symplectic + manifolds}, + JOURNAL = {J. Topol.}, + FJOURNAL = {Journal of Topology}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2011, + NUMBER = 2, + PAGES = {300--304}, + ISSN = {1753-8416}, + MRCLASS = {53C26 (14J50 32J27 57R20)}, + MRNUMBER = 2805992, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + DOI = {10.1112/jtopol/jtr002}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr002}, +} + +@incollection{Beauville80, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet + 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979}, + Mrclass = {14J25 (14N10)}, + Mrnumber = {82k:14037}, + Mrreviewer = {Ragni Piene}, + Pages = {207--215}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Sur le nombre maximum de points doubles d'une surface dans + {${\bf P}\sp{3}$} {$(\mu (5)=31)$}}, + Year = 1980 +} + +@misc{Beauville99, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Note = {preprint math.AG/9902110}, + Title = {Riemanian holonomy and Algebraic Geometry}, + Year = 1999 +} + +@article{Bedulev-Viehweg00, + Author = {Bedulev, Egor and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {MR1738062 (2001f:14065)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 3, + Pages = {603--615}, + Title = {On the {S}hafarevich conjecture for surfaces of general type + over function fields}, + Volume = 139, + Year = 2000 +} + +@article{Berger55, + Author = {M.~Berger}, + Journal = {Bull.~Soc.~Math.~France}, + Pages = {279--330}, + Title = {Sur les groupes d'holonomie homog�e des vari�� � connexion + affine et des vari�� riemanniennes}, + Volume = 83, + Year = 1955 +} + +@article {Berrick, + AUTHOR = {Berrick, A. Jon}, + TITLE = {Groups with no nontrivial linear representations}, + JOURNAL = {Bull. Austral. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Bulletin of the Australian Mathematical Society}, + VOLUME = 50, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}{DOI:10.1017/S0004972700009503}. Correction in \href{https://doi.org/10.1017/S0004972700014787}{52 (1995) 345-346}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {1--11}, + ISSN = {0004-9727}, + MRCLASS = {20F99}, + MRNUMBER = 1285653, + DOI = {10.1017/S0004972700009503}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}, +} + +@Book{BeutelpacherLA, + author = {Beutelspacher, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen.}, + publisher = {Springer Spektrum, Wiesbaden}, + year = {2014}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-658-02413-0}{DOI:10.1007/978-3-658-02413-0}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@Unpublished{Bir16a, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Anti-pluricanonical systems on {F}ano varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.05765}{arXiv:1603.05765}}, + month = {January}, + year = 2016 +} + +@Unpublished{Bir16b, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Singularities of linear systems and boundedness of {F}ano + varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1609.05543}{arXiv:1609.05543}}, + month = {September}, + year = 2016 +} +@Unpublished{Bir18, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Birational geometry of algebraic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1801.00013}{arXiv:1801.00013}. To appear as an ICM report}, + month = {Januay}, + year = 2018 +} +@article{Bla56, + Author = {A. Blanchard}, + Journal = {Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.}, + Pages = {157--202}, + Title = {Sur les variétés analytiques complexes}, + Volume = 73, + Year = 1956 +} + +@article{Bo47, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} +@book{Bo72, + Address = {Paris}, + Author = {N. Bourbaki}, + Publisher = {Herman}, + Title = {Groupes et algèbres de Lie}, + Year = 1972 +} +@article{Bog79, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Journal = {Math. USSR Izv.}, + Pages = {499-555}, + Title = {Holomorphic tensors and vector bundles on projective + varieties}, + Volume = 13, + Year = 1979 +} + +@article{Bogomolov74, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {32J25 (32G13)}, + Mrnumber = {0338459 (49 \#3223)}, + Mrreviewer = {R. O. Wells, Jr.}, + Pages = {11--21}, + Title = {Kähler manifolds with trivial canonical class}, + Volume = 38, + Year = 1974 +} + +@book{Bois95, + Address = {Paris}, + Author = {Jules Bois}, + Publisher = {Chailley}, + Title = {Le satanisme et la magie}, + Year = 1895 +} + +@unpublished{BoissiereNieperSarti, + Author = {Boissiere, Samuel and Nieper-Wisskirchen, Marc and Sarti, + Alessandra}, + Month = {November}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1001.4728}{arXiv:1001.4728}.}, + Title = {Higher dimensional {E}nriques varieties and automorphisms of + generalized {K}ummer varieties}, + Year = 2010 +} + +@article{Bost01, + Author = {Bost, Jean-Benoît}, + Fjournal = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études + Scientifiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Mrclass = {14G40 (11G35 37F75)}, + Mrnumber = {MR1863738 (2002h:14037)}, + Mrreviewer = {Carlo Gasbarri}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-001-8191-3}{DOI:10.1007/s10240-001-8191-3}}, + Volume = 93, + Pages = {161--221}, + Title = {Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields}, + Year = 2001 +} + +@phdthesis{Boucksom02, + Author = {Boucksom, Sebastien}, + School = {Grenoble}, + Title = {Cônes positifs des variétés complexes compactes}, + Year = 2002 +} + +@article{Boucksom04, + Author = {Boucksom, Sébastien}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32J18 (32C30)}, + Mrnumber = {2050205 (2005i:32018)}, + Mrreviewer = {Adam Gregory Harris}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}{DOI:10.1016/j.ansens.2003.04.002}}, + Number = 1, + Pages = {45--76}, + Title = {Divisorial {Z}ariski decompositions on compact complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Volume = 37, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002} +} + +@book{Br72, + Author = {G. Bredon}, + Publisher = {Academic Press}, + Title = {Introduction to Compact Transformation Groups}, + Year = 1972 +} + +@book{Bredon97, + Address = {New York}, + Author = {Bredon, Glen E.}, + Isbn = {0-387-97926-3}, + Mrclass = {55-01 (54-01 57-01)}, + Mrnumber = {MR1700700 (2000b:55001)}, + Note = {Corrected third printing of the 1993 original}, + Pages = {xiv+557}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Topology and geometry}, + Volume = 139, + Year = 1997 +} + +@book{BrieII, + Author = {E. Brieskorn}, + Publisher = {Vieweg}, + Title = {Lineare Algebra and Analytische Geometrie II}, + Year = 1985 +} + +@article{Brieskorn68, + Author = {Brieskorn, Egbert}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14.18}, + Mrnumber = {MR0222084 (36 \#5136)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {336--358}, + Title = {Rationale {S}ingularitäten komplexer {F}lächen}, + Volume = 4, + Year = {1967/1968} +} + +@book{CAS, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Doi = {10.1007/978-3-642-69582-7}, + Isbn = {3-540-13178-7}, + Mrclass = {32-02 (32Bxx 32C30)}, + Mrnumber = {755331 (86a:32001)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + Pages = {xviii+249}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Coherent analytic sheaves}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}{DOI:10.1007/978-3-642-69582-7}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}, + Volume = 265, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7} +} + +@article{CC02, + Author = {Chiantini, Luca and Ciliberto, Ciro}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14N05 (14J10 14N15)}, + Mrnumber = {2003b:14063}, + Mrreviewer = {Fyodor L. Zak}, + Number = 1, + Pages = {151--178 (electronic)}, + Title = {Weakly defective varieties}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + + +@article{CDP, + Author = {F. Campana and J.-P. Demailly and T. Peternell}, + Journal = {Compos. Math.}, + Pages = {77--91}, + Title = {The Algebraic Dimension of Compact Complex Threefolds with vanishing second Betti Number}, + Volume = 112, + Year = 1998 +} + +@article {CDR20, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Darondeau, Lionel and Rousseau, Erwan}, + TITLE = {Orbifold hyperbolicity}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {156}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}{DOI:10.1112/s0010437x20007265}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1803.10716}{arXiv:1803.10716}}, + NUMBER = {8}, + PAGES = {1664--1698}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {Prelim}, + MRNUMBER = {4163858}, + DOI = {10.1112/s0010437x20007265}, + URL = {https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}, +} + +@article {CH75, + AUTHOR = {Chen, Bang-Yen and Ogiue, Koichi}, + TITLE = {Some characterizations of complex space forms in terms of {C}hern classes}, + JOURNAL = {Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)}, + FJOURNAL = {The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series}, + VOLUME = {26}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {104}, + PAGES = {459--464}, + ISSN = {0033-5606}, + MRCLASS = {53C55 (32C10)}, + MRNUMBER = {405303}, +MRREVIEWER = {S. Ramanan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}{DOI:10.1093/qmath/26.1.459}}, + DOI = {10.1093/qmath/26.1.459}, + URL = {https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}, +} + +@book{CK99, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Katz, Sheldon}, + Isbn = {0-8218-1059-6}, + Mrclass = {14J32 (14-02 14M25 14N10 14N35 32G81 32J81 32Q25)}, + Mrnumber = {MR1677117 (2000d:14048)}, + Mrreviewer = {Andreas Gathmann}, + Pages = {xxii+469}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Mirror symmetry and algebraic geometry}, + Volume = 68, + Year = 1999 +} + +@article{CKM88, + Author = {Clemens, Herbert and Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14J30 (32J99)}, + Mrnumber = {MR1004926 (90j:14046)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Number = 166, + Pages = {144 pp. (1989)}, + Title = {Higher-dimensional complex geometry}, + Year = 1988 +} + +@article {CKP12, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Koziarz, Vincent and Păun, Mihai}, + TITLE = {Numerical character of the effectivity of adjoint line bundles}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {62}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {107--119}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2986267}, +MRREVIEWER = {James McKernan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2701}{DOI:10.5802/aif.2701}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1004.0584}{arXiv:1004.0584}}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2012__62_1_107_0}, +} + +@InCollection{CKT21, + author = {Claudon, Benoît and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Generic positivity and applications to hyperbolicity of moduli spaces}, + booktitle = {Hyperbolicity Properties of Algebraic Varieties}, + OPTcrossref = {}, + OPTkey = {}, + publisher = {Société Mathématique de France}, + year = {2021}, + OPTeditor = {}, + volume = {56}, + OPTnumber = {}, + series = {Panoramas \& Synthèses}, + OPTtype = {}, + OPTchapter = {}, + pages = {169--208}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTaddress = {}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1610.09832}{arXiv:1610.09832}}, + OPTannote = {} +} + +@article{CL12, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Doi = {10.1215/00127094-1723755}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Number = 12, + Pages = {2415--2467 (electronic)}, + Title = {New outlook on the Minimal Model Program I.}, + Volume = 161, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-1723755} +} + +@inproceedings{CL12b, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Booktitle = {Contributions to Algebraic Geometry, IMPANGA Lecture Notes}, + Editor = {Pragacz, Piotr}, + Note = {ISBN: 978-3-03719-114-9}, + Pages = {169--188}, + Publisher = {EMS Publishing House}, + Series = {EMS Series of Congress Reports}, + Title = {The Minimal Model Program revisited}, + Year = 2012 +} + +@book{CLN85, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Camacho, César and Lins Neto, Alcides}, + Isbn = {0-8176-3139-9}, + Mrclass = {57R30 (58F18)}, + Mrnumber = {824240 (87a:57029)}, + Note = {Translated from the Portuguese by Sue E. Goodman}, + Pages = {vi+205}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Title = {Geometric theory of foliations}, + Year = 1985 +} + +@incollection{CMSB02, + Address = {Tokyo}, + Author = {Cho, Koji and Miyaoka, Yoichi and Shepherd-Barron, Nicholas I.}, + Booktitle = {Higher dimensional birational geometry (Kyoto, 1997)}, + Mrclass = {14M20 (14E05)}, + Mrnumber = {1 929 792}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {1--88}, + Publisher = {Math. Soc. Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Characterizations of projective space and applications to complex symplectic manifolds}, + Volume = 35, + Year = 2002 +} + +@book {CMSP, + AUTHOR = {Carlson, James and Müller-Stach, Stefan and Peters, Chris}, + TITLE = {Period mappings and period domains}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 85, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2003, + PAGES = {xvi+430}, + ISBN = {0-521-81466-9}, + MRCLASS = {32G20 (14C30)}, + MRNUMBER = {2012297 (2005a:32014)}, + MRREVIEWER = {Gregory J. Pearlstein}, +} + +@misc{COP09, + Author = {Catanese, Fabrizio and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + Note = {misc preprint}, + Title = {On volume preserving complex structures on real tori}, + Year = 2009 +} + +@article{CP11, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14J40 (32Q26, 32J27, 14E30)}, + Number = 1, + Pages = {41--74}, + Title = {Geometric stability of the cotangent bundle and the universal + cover of a projective manifold}, + Volume = 139, + Year = 2011 +} + +@article {CP14, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Positivity properties of the bundle of logarithmic tensors on compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {152}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {11}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}{DOI:10.1112/S0010437X16007442}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1407.3431}{arXiv:1407.3431}.}, + PAGES = {2350--2370}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q05 (32Q10 32Q15 32Q20 32U05 32U15)}, + MRNUMBER = {3577897}, +MRREVIEWER = {Cezar Joi\c{t}a}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007442}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}, +} + +@article {CP15, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Orbifold generic semi-positivity: an application to families of canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 65, + YEAR = 2015, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2945}{DOI:10.5802/aif.2945}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.3169}{arXiv:1303.3169}}, + PAGES = {835--861}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30 (14C20 32J25)}, + MRNUMBER = 3449168, + MRREVIEWER = {Artie Prendergast-Smith}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2015__65_2_835_0}, +} + +@article{CP91, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E20)}, + Mrnumber = {91m:14061}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {169--187}, + Title = {Projective manifolds whose tangent bundles are numerically effective}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{CP93, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J35 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {94e:14052}, + Mrreviewer = {Michal Szurek}, + Number = {3-4}, + Pages = {225--238}, + Title = {{$4$}-folds with numerically effective tangent bundles and second {B}etti numbers greater than one}, + Volume = 79, + Year = 1993 +} + +@article{CP94, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {14J45 (32J17 32L25)}, + Mrnumber = {MR1312685 (96b:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {173--201}, + Title = {Rigidity theorems for primitive {F}ano {$3$}-folds}, + Volume = 2, + Year = 1994 +} + +@article{CP98, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J60 (14J30 14M20)}, + Mrnumber = {MR1642626 (99g:14051)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Number = 1, + Pages = {59--74}, + Title = {Rational curves and ampleness properties of the tangent bundle + of algebraic varieties}, + Volume = 97, + Year = 1998 +} + +@misc{CPP01, + Author = {F.~Campana and T.~Peternell and A.~Pukhlikov}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/0110017}, + Title = {Generalized Tsen theorem and rationally connected Fano fibrations}, + Year = 2001 +} + +@article{CS95, + Author = {Cho, Koji and Sato, Ei-ichi}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J60 (14J45)}, + Mrnumber = {MR1317270 (96g:14033)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {Smooth projective varieties with the ample vector bundle + {$\bigwedge\sp 2T\sb X$} in any characteristic}, + Volume = 35, + Year = 1995 +} + +@incollection{CTCetraro, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis}, + TITLE = {Variétés presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs dégénérescences}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}{DOI:10.1007/978-3-642-15945-9$\_$1}}, + VOLUME = {2009}, + PAGES = {1--44}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {11G25 (11G35 14G05)}, + MRNUMBER = {2757627}, +MRREVIEWER = {Nguy\cftil{e}n Quôc Tháng}, + DOI = {10.1007/978-3-642-15945-9_1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}, +} + +@article {CTPS, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Pál, Ambrus and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Pathologies of the {B}rauer-{M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}{DOI:10.1007/s00209-015-1565-x}}, + VOLUME = {282}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {799--817}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14G05 14G25)}, + MRNUMBER = {3473644}, +MRREVIEWER = {Jörg Jahnel}, + DOI = {10.1007/s00209-015-1565-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}, +} + +@Unpublished{CTSko, + author = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Skorobogatov, Alexei N.}, + title = {The {B}rauer--{G}rothendieck group}, + note = {Book draft. Available on the internet at \href{https://wwwf.imperial.ac.uk/~anskor/brauer.pdf}{\sf https://wwwf.imperial.ac.uk/$\sim$anskor/brauer.pdf}}, + month = {January}, + year = 2021, +} + +@misc{CW03, + Author = {Solá Conde, Luis Edoardo and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Month = {April}, + Note = {Preprint}, + Title = {On manifolds whose tangent bundle is big and 1-ample}, + Year = 2003 +} + +@article{Ca95, + Author = {Campana, Frédéric}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J15)}, + Mrnumber = {1325789 (96f:32054)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 3, + Pages = {487--502}, + Title = {Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@unpublished{CaLa, + Author = {Cascini, Paolo and {La Nave}, Gabriele}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0603064v1}{arXiv:0603064}.}, + Title = {{Kähler-Ricci Flow and the Minimal Model Program for Projective Varieties}}, + Year = 2006 +} + +@article{Cam04, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14E05 (14D06 14J40 32Q57 35Q15)}, + Mrnumber = {MR2097416 (2006c:14013)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Number = 3, + Pages = {499--630}, + Title = {Orbifolds, special varieties and classification theory}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2027}{DOI:10.5802/aif.2027}}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article {Cam05, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Fibres multiples sur les surfaces: aspects geométriques, + hyperboliques et arithmétiques}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 117, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}{DOI:10.1007/s00229-005-0570-5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0410469}{arXiv:0410469}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {429--461}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14D06 (14J40)}, + MRNUMBER = 2163487, + MRREVIEWER = {Lucia Caporaso}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}, +} + +@article{Cam94, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {32J27 (14E20 32E05)}, + Mrnumber = {MR1273904 (95f:32036)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {255--284}, + Title = {Remarques sur le revêtement universel des variétés + kählériennes compactes}, + Volume = 122, + Year = 1994 +} + +@book{CamachoSad, + Author = {Camacho, César and Sad, Paulo}, + Isbn = {85-244-0029-3}, + Mrclass = {58F14 (32C40 32L99 34A20 34C05 58F18 58F21)}, + Mrnumber = {MR953780 (90a:58126)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {iv+132}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {16$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [16th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Title = {Pontos singulares de equa\c c\~oes diferenciais anal{\'\i}ticas}, + Year = 1987 +} + +@article{Campana91, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32L25 (32J20 53C25)}, + Mrnumber = {1094468 (92g:32059)}, + Mrreviewer = {S. M. Salamon}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214446329}{DOI:10.4310/jdg/1214446329}}, + Number = 2, + Pages = {541--549}, + Title = {On twistor spaces of the class {$\scr C$}}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329}, + Volume = 33, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329} +} + +@article{Campana92, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1191735 (93k:14050)}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 5, + Pages = {539--545}, + Title = {Connexité rationnelle des variétés de {F}ano}, + Volume = 25, + Year = 1992 +} + +@article{CampanaFlennerContactSings, + Author = {Campana, Frédéric and Flenner, Hubert}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/s002290200285}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {32S35 (14B05)}, + Mrnumber = {1923538 (2003k:32041)}, + Mrreviewer = {Jan Stevens}, + Number = 4, + Pages = {529--541}, + Title = {Contact singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002290200285}, + Volume = 108, + Year = 2002, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002290200285} +} + +@article{Can01, + Author = {Cantat, Serge}, + Coden = {ACMAA8}, + Fjournal = {Acta Mathematica}, + Issn = {0001-5962}, + Journal = {Acta Math.}, + Mrclass = {32H50 (32C30 32Q15 37A35 37F10)}, + Mrnumber = {MR1864630 (2003h:32026)}, + Mrreviewer = {Eric Bedford}, + Number = 1, + Pages = {1--57}, + Title = {Dynamique des automorphismes des surfaces {$K3$}}, + Volume = 187, + Year = 2001 +} + +@Book{Cardano45, + author = {Cardano, Gerolamo}, + ALTeditor = {}, + title = {Artis magnæ, sive de regulis algebraicis}, + OPTpublisher = {Andreæ Osiandro}, + year = {1545}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Availiable on the internet at \url{https://archive.org/details/hieronymicardan00card/mode/2up}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Carlson85, + Author = {Carlson, James A.}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (14C30 32C45)}, + Mrnumber = {MR808740 (87i:14008)}, + Mrreviewer = {Sheldon H. Katz}, + Number = 2, + Pages = {595--612}, + Title = {Polyhedral resolutions of algebraic varieties}, + Volume = 292, + Year = 1985 +} + +@article{Catanese91, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01245076}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J27 (14J15 32G13 32J25)}, + Mrnumber = {1098610 (92f:32049)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Note = {Appendix by Arnaud Beauville}, + Number = 2, + Pages = {263--289}, + Title = {Moduli and classification of irregular {K}ähler manifolds (and + algebraic varieties) with {A}lbanese general type fibrations.}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01245076}, + Volume = 104, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01245076} +} + +@Unpublished{Chen18, + author = {Chen, Weichung}, + title = {Boundedness of varieties of Fano type with alpha-invariants and volumes bounded below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.04019}{arXiv:1810.04019}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {Cor88, + AUTHOR = {Corlette, Kevin}, + TITLE = {Flat {$G$}-bundles with canonical metrics}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1988, + NOTE = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}{euclid.jdg/1214442469}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {361--382}, + ISSN = {0022-040X}, + CODEN = {JDGEAS}, + MRCLASS = {58E20 (32L99 53C10)}, + MRNUMBER = 965220, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}, +} + +@book{CoxLittleSchenck, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Little, John B. and Schenck, Henry K.}, + Isbn = {978-0-8218-4819-7}, + Mrclass = {14M25}, + Mrnumber = 2810322, + Pages = {xxiv+841}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Toric varieties}, + Volume = 124, + Year = 2011 +} + +@Unpublished{DG17, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri}, + title = {A decomposition theorem for smoothable varieties with trivial canonical class}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01800}{arXiv:1704.01800}}, + month = {April}, + year = 2017 +} + +@Unpublished{DGP20, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + title = {A decomposition theorem for $\mathbb{Q}$-{F}ano {K}ähler-{E}instein varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/2008.05352}{arXiv:2008.05352}}, + OPTkey = {}, + month = {August}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + + +@article{DHP08, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Hwang, Jun-Muk and Peternell, + Thomas}, + Doi = {10.1007/s12220-008-9017-z}, + Fjournal = {Journal of Geometric Analysis}, + Issn = {1050-6926}, + Journal = {J. Geom. Anal.}, + Mrclass = {32Q57 (14K99 32L05 32Q15)}, + Mrnumber = {MR2393263 (2009b:32039)}, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 2, + Pages = {324--340}, + Title = {Compact manifolds covered by a torus}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z}, + Volume = 18, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z} +} + +@article{DL99, + Author = {Denef, Jan and Loeser, Fran{\c{c}}ois}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14A20 (14D10 14G99)}, + Mrnumber = {MR1664700 (99k:14002)}, + Mrreviewer = {José Ignacio Burgos Gil}, + Number = 1, + Pages = {201--232}, + Title = {Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic + integration}, + Volume = 135, + Year = 1999 +} + +@article{DPS01, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, + Michael}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32J27 (32Q15 32Q57)}, + Mrnumber = {2003a:32032}, + Mrreviewer = {Christophe Mourougane}, + Number = 6, + Pages = {689--741}, + Title = {Pseudo-effective line bundles on compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 12, + Year = 2001 +} + +@article{DPS94, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J45 32L07)}, + Mrnumber = {MR1257325 (95f:32037)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {295--345}, + Title = {Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles}, + Volume = 3, + Year = 1994, + Note = {Available from the author's web site \href{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/dps1.pdf}{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\sim$demailly/manuscripts/dps1.pdf}} +} + + +@article{DPS96, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32J27 (53C55)}, + Mrnumber = {MR1389367 (97d:32039)}, + Mrreviewer = {Thierry Bouche}, + Number = 2, + Pages = {217--224}, + Title = {Compact {K}ähler manifolds with {H}ermitian semipositive + anticanonical bundle}, + Volume = 101, + Year = 1996 +} + +@article {DS, + AUTHOR = {Donaldson, Simon and Sun, Song}, + TITLE = {{G}romov-{H}ausdorff limits of {K}ähler manifolds and algebraic geometry}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 213, + YEAR = 2014, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}{DOI:10.1007/s11511-014-0116-3}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1206.2609}{arXiv:1206.2609}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {63--106}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {53C55 (32Q20 53C23)}, + MRNUMBER = 3261011, + MRREVIEWER = {Valentino Tosatti}, + DOI = {10.1007/s11511-014-0116-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}, +} + +@article{DW82, + Author = {Dedekind, R. and Weber, H.}, + Journal = {Crelle J. Reine Angew. Math}, + Pages = {181-290}, + Title = {Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen}, + Volume = 92, + Year = 1882 +} + +@PhdThesis{Daniel15, + author = {Jeremy Daniel}, + title = {Variations de structures de Hodge lacées et fibrés harmoniques}, + school = {Université Paris VII and Université Pierre et Marie Curie}, + year = 2015 +} + +@article{Danilov78, + Author = {Danilov, V. I.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe + Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk}, + Issn = {0042-1316}, + Journal = {Uspekhi Mat. Nauk}, + Mrclass = {14A20 (14L30)}, + Mrnumber = {495499 (80g:14001)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Note = {English translation: Russian Math. Surveys 33 (1978), no. 2, + 97--154}, + Number = {2(200)}, + Pages = {85--134, 247}, + Title = {The geometry of toric varieties}, + Volume = 33, + Year = 1978 +} + +@incollection{Danilov91, + Address = {Berlin}, + Author = {Danilov, V. I.}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {IL}, 1989)}, + Doi = {10.1007/BFb0086261}, + Mrclass = {14M25 (14F25 14F40)}, + Mrnumber = {1181204 (93i:14050)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {26--38}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {de {R}ham complex on toroidal variety}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261}, + Volume = 1479, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261} +} + +@article{Darboux78, + Ages = {60--96; 123--144; 151--200}, + Author = {Darboux, Gaston}, + Journal = {Bulletin Sciences Mathématiques 2ème série}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles algébriques du + premier ordre et du premier degré (Mélanges)}, + Volume = 2, + Year = 1878 +} + +@book {Debarre01, + AUTHOR = {Debarre, Olivier}, + TITLE = {Higher-dimensional algebraic geometry}, + SERIES = {Universitext}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xiv+233}, + ISBN = {0-387-95227-6}, + MRCLASS = {14-02 (14E30 14Jxx)}, + MRNUMBER = {1841091 (2002g:14001)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-5406-3}}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-5406-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}, +} + +@book{Deligne70, + Address = {Berlin}, + Author = {Deligne, Pierre}, + Mrclass = {14D05 (14C30)}, + Mrnumber = {54 \#5232}, + Mrreviewer = {Helmut Hamm}, + Note = {Lecture Notes in Mathematics, + Vol. 163. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0061194}{DOI:10.1007/BFb0061194}}, + Pages = {iii+133}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Équations différentielles à points singuliers réguliers}, + Year = 1970 +} + +@article{DeligneHodgeII, + Author = {Deligne, Pierre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C30 (14F15)}, + Mrnumber = {0498551 (58 \#16653a)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 40, + Pages = {5--57}, + Title = {Théorie de {H}odge. {II}}, + Year = 1971 +} + +@incollection{Dem02, + Address = {Berlin}, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Booktitle = {Complex geometry ({G}öttingen, 2000)}, + Mrclass = {32Q15 (32J27)}, + Mrnumber = {1922099 (2003f:32029)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_6}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0$\_$6}}, + Pages = {93--98}, + Publisher = {Springer}, + Title = {On the {F}robenius integrability of certain holomorphic {$p$}-forms}, + Year = 2002 +} + +@Article{Dem85, + AUTHOR = "Jean-Pierre Demailly", + TITLE = "Mesures de {M}onge-{A}mpère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines", + JOURNAL = "Mém. Soc. Math. France (N.S.)", + FJOURNAL = "Mémoires de la Société Mathématique de France. Nouvelle Série", + VOLUME = 19, + YEAR = 1985, + PAGES = 124, + ISSN = "0037-9484", + MRCLASS = "32H35 (32C10 32F05)", + MRNUMBER = "813252 (87g:32030)", + MRREVIEWER = "G. M. Khenkin" +} + +@article {DemPal, + AUTHOR = {Demailly, Jean-Pierre and Pali, Nefton}, + TITLE = {Degenerate complex {M}onge-{A}mpère equations over compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 21, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {357--405}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32Q20 (32J27 32W20)}, + MRNUMBER = 2647006, + MRREVIEWER = {V. Oproiu}, + DOI = {10.1142/S0129167X10006070}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X10006070}, +} + +@misc{DemaillyBook, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {September}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@misc{DemaillyBook2012, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {June}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@Unpublished{Deng, + Author = {Deng, Ya}, + Title = {Kobayashi hyperbolicity of moduli spaces of minimal projective manifolds of general type (with the appendix by {D}an {A}bramovich)}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1806.01666}{arXiv:1806.01666}}, + Year = 2018 + } + +@phdthesis{Deroin03, + Author = {Deroin, B.}, + School = {ENS Lyon}, + Title = {Laminations par variétés complexes}, + Year = 2003 +} + +@incollection{DethloffGrauert, + Author = {Dethloff, Gerd and Grauert, Hans}, + Booktitle = {Several {C}omplex {V}ariables {VII}}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_5}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_5}}, + Mrclass = {32C15 (32C20)}, + Mrnumber = 1326621, + Pages = {183--220}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Seminormal complex spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@incollection {Dol82, + AUTHOR = {Dolgachev, Igor}, + TITLE = {Weighted projective varieties}, + BOOKTITLE = {Group actions and vector fields ({V}ancouver, {B}.{C}., 1981)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {956}, + PAGES = {34--71}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1982}, + MRCLASS = {14L32 (14A05 14B05)}, + MRNUMBER = {704986}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0101508}{DOI:10.1007/BFb0101508}}, + DOI = {10.1007/BFb0101508}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0101508}, +} + +@article{Donaldson85, + Author = {Donaldson, Simon K.}, + Coden = {PLMTAL}, + Doi = {10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {58E15 (14F99 53C05 57R99)}, + Mrnumber = {765366 (86h:58038)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}{DOI:10.1112/plms/s3-50.1.1}}, + Number = 1, + Pages = {1--26}, + Title = {Anti self-dual {Y}ang-{M}ills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Volume = 50, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1} +} + +@article {Dru16, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {A decomposition theorem for singular spaces with trivial canonical class of dimension at most five}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 211, + YEAR = 2018, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-017-0748-y}{DOI:10.1007/s00222-017-0748-y}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1606.09006}{arXiv:1606.09006}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {245--296}, + ISSN = {0020-9910}, +} + +@article{Dru98, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math.}, + Number = 4, + Pages = {365--368}, + Title = {Structures de contact sur les variétes algébriques de + dimension 5}, + Volume = 327, + Year = 1998 +} + +@article{Dru99, + Author = {S.~Druel}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {429--435}, + Title = {{Structures de contact sur les variétés toriques}}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@article{Druel13a, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {Bull. London Math. Soc.}, + Number = 4, + Pages = {827--835}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for log canonical spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1112/blms/bdu040}{DOI:10.1112/blms/bdu040}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.5910}{arXiv:1301.5910}}, + Volume = 46, + Year = 2014 +} + +@article{DuBois81, + Author = {Philippe {D}u~Bois}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14C30}, + Mrnumber = {613848 (82j:14006)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 1, + Pages = {41--81}, + Title = {Complexe de de {R}ham f{i}ltré d'une variété singulière}, + Volume = 109, + Year = 1981 +} + +@book{Duke, + Address = {Durham, NC}, + Coden = {DUMJAO}, + Issn = {0012-7094}, + Mrclass = {00B30}, + Mrnumber = {MR1381964}, + Note = {Duke Math. J. {\bf 81} (1995), no. 1}, + Pages = {i--vi and 1--250}, + Publisher = {Duke University Press}, + Title = {A celebration of {J}ohn {F}. {N}ash, {J}r}, + Year = 1996 +} + +@Book{Dur25, + author = {Dürer, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Vnderweysung der messung / mit dem zirckel vnd richt scheyt / in {L}inien ebnen vnnd gantzen corporen / durch {A}lbrecht {D}uerer zuosamen getzogen / vnd zuo nutz allen kunstlieb habenden mit zuo gehoerigen figuren}, + publisher = {Hieronymum Formschneider}, + year = {1525}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Available online at \href{http://digital.slub-dresden.de/id27778509X}{Sächsische Landesbibliothek — Staats- und Universitätsbibliothek Dresden}}, + OPTannote = {} +} + +@misc{Duv06, + Author = {Duval, Julien}, + Month = {May}, + Note = {talk at {D}iederichs conference}, + Title = {On {B}rody's lemma}, + Year = 2006 +} + +@misc{E02, + Author = {Eckl, Thomas}, + Note = {Preprint math.AG/0202279. To appear in J. Alg. Geom.}, + Title = {Tsuji's Numerical Trivial Fibrations}, + Year = 2002 +} + +@misc{E03b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {March}, + Note = {Preprint math.AG/0307023}, + Title = {A weak {K}awamata-{V}iehweg Vanishing Theorem}, + Year = 2003 +} + +@book{E95, + Address = {New York}, + Author = {Eisenbud, David}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Isbn = {0-387-94268-8; 0-387-94269-6}, + Mrclass = {13-01 (14A05)}, + Mrnumber = {1322960 (97a:13001)}, + Mrreviewer = {Matthew Miller}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{DOI:10.1007/978-1-4612-5350-1}}, + Pages = {xvi+785}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Commutative algebra with a view toward algebraic geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Volume = 150, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1} +} + +@article{EGA1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1960__4__5_0}{numdam.PMIHES-1960-4-5-0}}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217083 (36 \#177a)}, + Number = 4, + Pages = 228, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {I}. {L}e langage des + schémas}, + Year = 1960 +} + +@book{EGA1-Reedition, + Address = {Berlin-Heidelberg-New York}, + Author = {Dieudonné, Jean A. and Grothendieck, Alexandre}, + Pages = {xx+466}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 166}, + Title = {Éléments de {G}éométrie {A}lgébrique. {I}.}, + Year = 1971 +} + +@article{EGA2, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217084 (36 \#177b)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1961__8_}{numdam.PMIHES_1961__8_}}, + Number = 8, + Pages = 222, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {II}. Étude globale + élémentaire de quelques classes de morphismes}, + Year = 1961 +} + +@article{EGA3-1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0163910 (29 \#1209)}, + Number = 11, + Pages = 167, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {III}. Étude cohomologique + des faisceaux cohérents. {I}}, + Year = 1961 +} + +@article {EGA4-2, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. {II}}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + NUMBER = {24}, + NOTE = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}{numdam.PMIHES-1965-24-231-0}}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {231}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.00}, + MRNUMBER = {0199181}, +MRREVIEWER = {H. Hironaka}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}, +} + +@article{EGA4-3, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {MR0217086 (36 \#178)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__28__5_0}{numdam.PMIHES-1966-28-5-0}}, + Number = 28, + Pages = 255, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {III}}, + Year = 1966 +} + +@article{EGA4-4, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0238860 (39 \#220)}, + Mrreviewer = {J. P. Murre}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1967__32__5_0}{numdam.PMIHES-1967-32-5-0}}, + Number = 32, + Pages = 361, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {IV}}, + Year = 1967 +} + +@inproceedings{ES86, + Author = {J. Erdman-Snow}, + Booktitle = {Journées Complexes Nancy}, + Number = 10, + Series = {Revue de l'Institut Elie Cartan}, + Title = {On the Classification of Solv-Manifolds in Dimension 2 and 3}, + Year = 1986 +} + +@article{EV90, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14H10 (11G35 14F10 14J25)}, + Mrnumber = {MR1078858 (91m:14038)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Note = {Algebraic geometry (Berlin, 1988)}, + Number = {1-2}, + Pages = {69--85}, + Title = {Effective bounds for semipositive sheaves and for the height + of points on curves over complex function fields}, + Volume = 76, + Year = 1990 +} + +@book {EV92, + AUTHOR = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Lectures on vanishing theorems}, + SERIES = {DMV Seminar}, + VOLUME = 20, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = 1992, + PAGES = {vi+164}, + ISBN = {3-7643-2822-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}{DOI:10.1007/978-3-0348-8600-0}}, + MRCLASS = {14F17 (14F40 32L10 32L20)}, + MRNUMBER = 1193913, + MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-8600-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}, +} + +@article{Eck04b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32J25 (32C30)}, + Mrnumber = {MR2111016 (2006d:32027)}, + Mrreviewer = {Gordon Heier}, + Number = 4, + Pages = {887--938}, + Title = {Numerically trivial foliations}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@misc{Eck05b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {August}, + Note = {preprint math.AG/0508561}, + Title = {Seshadri constants via lelong numbers}, + Year = 2005 +} + +@article{Eckl08, + Author = {Eckl, Thomas}, + Doi = {10.1002/mana.200510664}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {32J25 (14C20)}, + Mrnumber = {2427164 (2009g:32036)}, + Mrreviewer = {Julius Ross}, + Number = 8, + Pages = {1119--1128}, + Title = {Lower bounds for {S}eshadri constants}, + Url = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664}, + Volume = 281, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664} +} + +@phdthesis{El01, + Author = {Elsner, Detlev}, + School = {Universität Bayreuth}, + Title = {Projektive Strukturen auf Fano 3-Faltigkeiten mit $b_2=b_3=2$}, + Year = 2001 +} + +@article{Elkik78, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B07}, + Mrnumber = {501926 (80c:14004)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Number = 2, + Pages = {139--147}, + Title = {Singularités rationnelles et déformations}, + Volume = 47, + Year = 1978 +} + +@article{Elkik81, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14J30)}, + Mrnumber = {621766 (83a:14003)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Number = 1, + Pages = {1--6}, + Title = {Rationalité des singularités canoniques}, + Volume = 64, + Year = 1981 +} + +@book{Encyclopaedia-GeometryI, + Editor = {R.V.~Gamkrelidze}, + Number = 28, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Geometry I: basic ideas and concepts of differential geometry}, + Year = 1991 +} + +@incollection{Eno87, + Address = {Berlin}, + Author = {Enoki, Ichiro}, + Booktitle = {Geometry and analysis on manifolds ({K}atata/{K}yoto, 1987)}, + Doi = {10.1007/BFb0083051}, + Mrclass = {32L10 (32J25 32L15)}, + Mrnumber = {961477 (90a:32039)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0083051}{DOI:10.1007/BFb0083051}}, + Pages = {118--126}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Stability and negativity for tangent sheaves of minimal + {K}ähler spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051}, + Volume = 1339, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051} +} + +@article{ExtApplications, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1515/crelle-2012-0097}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = 3281652, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}{DOI:10.1515/crelle-2012-0097}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1202.3243}{arXiv:1202.3243}.}, + Pages = {57--89}, + Title = {Reflexive differential forms on singular spaces. {G}eometry + and cohomology}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}, + Volume = 697, + Year = 2014, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097} +} + +@article{F00, + Author = {Farkas, Gavril}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H10 (14D20 14H51)}, + Mrnumber = {MR1785575 (2001f:14048)}, + Mrreviewer = {Montserrat Teixidor i Bigas}, + Number = 1, + Pages = {43--65}, + Title = {The geometry of the moduli space of curves of genus 23}, + Volume = 318, + Year = 2000 +} + +@article{FF79, + Author = {G. Fischer and O. Forster}, + Journal = {J. reine angew. Mathematik}, + Pages = {88--93}, + Title = {{Ein Endlichkeitssatz für Hyperflächen auf kompakten komplexen + Räumen}}, + Volume = 306, + Year = 1979 +} + +@article{FG69, + Author = {Frisch, Jacques and Guenot, Jacques}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0252683 (40 \#5901)}, + Mrreviewer = {Y.-T. Siu}, + Pages = {321--343}, + Title = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + Volume = 7, + Year = 1969 +} + +@book{FGA, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {MR0146040 (26 \#3566)}, + Mrreviewer = {E. L. Griffin, Jr.}, + Pages = {ii+205}, + Publisher = {Secrétariat mathématique}, + Title = {Fondements de la géométrie algébrique. [{E}xtraits du + {S}éminaire {B}ourbaki, 1957--1962.]}, + Year = 1962 +} + +@book{FGIKN, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fantechi, Barbara and Göttsche, Lothar and Illusie, Luc and + Kleiman, Steven L. and Nitsure, Nitin and Vistoli, Angelo}, + Isbn = {0-8218-3541-6}, + Mrclass = {14-06 (14A15 14D15 14F20)}, + Mrnumber = {MR2222646 (2007f:14001)}, + Mrreviewer = {Liam O'Carroll}, + Note = {Grothendieck's FGA explained}, + Pages = {x+339}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Fundamental algebraic geometry}, + Volume = 123, + Year = 2005 +} + +@Unpublished{FL18, + author = {Floris, Enrica and Lazić, Vladimir}, + title = {On the B-Semiampleness Conjecture}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1808.00717}{arXiv:1808.00717}}, + month = {August}, + year = 2018 +} + +@incollection{FL81, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William and Lazarsfeld, Robert}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {I}ll., 1980)}, + Mrclass = {14-02 (14C99 14E25)}, + Mrnumber = {644817 (83i:14002)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0090889}{DOI:10.1007/BFb0090889}}, + Pages = {26--92}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Connectivity and its applications in algebraic geometry}, + Volume = 862, + Year = 1981 +} + +@article{FMP03, + Author = {Farkas, Gavril and Mustaţă, Mircea and Popa, Mihnea}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14H10 (13D02 14H60)}, + Mrnumber = {MR2013926 (2005b:14051)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = 4, + Pages = {553--581}, + Title = {Divisors on {${\mathcal M}\sb {g,g+1}$} and the minimal + resolution conjecture for points on canonical curves}, + Volume = 36, + Year = 2003 +} + +@article{FP05, + Author = {Farkas, Gavril and Popa, Mihnea}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14H10 (14J28)}, + Mrnumber = {MR2123229}, + Number = 2, + Pages = {241--267}, + Title = {Effective divisors on {$\overline{\mathcal M}\sb g$}, curves + on {$K3$} surfaces, and the slope conjecture}, + Volume = 14, + Year = 2005 +} + +@misc{FP09, + Author = {Frantzen, Kristina and Peternell, Thomas}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.4483}{arXiv:0910.4483}}, + Title = {On the {B}imeromorphic {G}eometry of {C}ompact {C}omplex + {C}ontact {T}hreefolds}, + Year = 2009 +} + +@article{FS01, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Fjournal = {Publicacions Matemàtiques}, + Issn = {0214-1493}, + Journal = {Publ. Mat.}, + Mrclass = {32H50 (32E40 32W05 37Fxx)}, + Mrnumber = {MR1876919 (2002k:32030)}, + Mrreviewer = {Marco Abate}, + Number = 2, + Pages = {529--547}, + Title = {Some open problems in higher dimensional complex analysis and + complex dynamics}, + Volume = 45, + Year = 2001 +} + +@incollection{FS98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {32H50 (37F35 37F50)}, + Mrnumber = {MR1810536 (2001k:32034)}, + Mrreviewer = {Serge Cantat}, + Pages = {47--85}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of {${\bf P}\sp 2$} (examples)}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Fahlaoui89, + Author = {Fahlaoui, Rachid}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01457509}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J26 (14F05 32J15 53C55)}, + Mrnumber = {MR973810 (89k:14063)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 1, + Pages = {171--176}, + Title = {Stabilité du fibré tangent des surfaces de del {P}ezzo}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01457509}, + Volume = 283, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01457509} +} + +@article{Faltings83, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388432}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {718935 (85g:11026a)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 3, + Pages = {349--366}, + Title = {Endlichkeitssätze für abelsche {V}arietäten über {Z}ahlkörpern}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388432}, + Volume = 73, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388432} +} + +@article{Faltings84, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {MR732554 (85g:11026b)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 2, + Pages = 381, + Title = {Erratum: ``{F}initeness theorems for abelian varieties over number fields''}, + Volume = 75, + Year = 1984 +} + +@article{Ferr70, + Author = {Ferrari, Aldo}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.50 (53.00)}, + Mrnumber = {0274810 (43 \#570)}, + Mrreviewer = {M. Herrera}, + Pages = {65--77}, + Title = {Cohomology and holomorphic differential forms on complex analytic spaces}, + Volume = 24, + Year = 1970 +} + +@book{Fi76, + Address = {Berlin}, + Author = {Fischer, Gerd}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {0430286 (55 \#3291)}, + Mrreviewer = {Andrew Markoe}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0080338}{DOI:10.1007/BFb0080338}}, + Pages = {vii+201}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 538}, + Title = {Complex analytic geometry}, + Year = 1976 +} + +@article {Fle81, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Divisorenklassengruppen quasihomogener {S}ingularit\"{a}ten}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {328}, + YEAR = {1981}, + PAGES = {128--160}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {13F15 (13G05 14B05 14C99)}, + MRNUMBER = {636200}, +MRREVIEWER = {Gerd Faltings}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}{DOI:10.1515/crll.1981.328.128}}, + DOI = {10.1515/crll.1981.328.128}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}, +} + +@book{Flenner-OCarrol-Vogel, + Address = {Berlin}, + Author = {Flenner, Hubert and O'Carroll, Liam and Vogel, Wolfgang}, + Isbn = {3-540-66319-3}, + Mrclass = {14C17 (13H15 14-02)}, + Mrnumber = {2001b:14010}, + Mrreviewer = {Lê Tuân Hoa}, + Pages = {vi+307}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Joins and intersections}, + Year = 1999 +} + +@article{Flenner84, + Author = {Flenner, Hubert}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14F05 (32C35)}, + Mrnumber = {780080 (86m:14014)}, + Mrreviewer = {H. Lange}, + Number = 4, + Pages = {635--650}, + Title = {Restrictions of semistable bundles on projective varieties}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02566370}{DOI:10.1007/BF02566370}}, + Volume = 59, + Year = 1984 +} + +@article{Flenner88, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Extendability of differential forms on nonisolated singularities}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 94, + YEAR = 1988, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01394328}{DOI:10.1007/BF01394328}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {317--326}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14B05 (14B15 14C30 32B30 32J25)}, + MRNUMBER = 958835, + MRREVIEWER = {Ulrich Karras}, + DOI = {10.1007/BF01394328}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394328}, +} + +@book{Fogarty, + Author = {Fogarty, John}, + Mrclass = {14.50}, + Mrnumber = {MR0240104 (39 \#1458)}, + Mrreviewer = {M. J. Greenberg}, + Pages = {xvi+216}, + Publisher = {W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam}, + Title = {Invariant theory}, + Year = 1969 +} + +@article{Fr97, + Author = {Freitag, Paul}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s002080050109}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {MR1474189 (98k:14056)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 2, + Pages = {179--198}, + Title = {Rigidity properties of imprimitive {F}ano {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002080050109}, + Volume = 309, + Year = 1997, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002080050109} +} + +@incollection{FriedModularTowers, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fried, Michael D.}, + Booktitle = {Recent developments in the inverse {G}alois problem + ({S}eattle, {WA}, 1993)}, + Doi = {10.1090/conm/186/02179}, + Mrclass = {11F32 (11G18 11R58 20E18)}, + Mrnumber = {1352270 (97a:11070)}, + Mrreviewer = {Yasutaka Ihara}, + Pages = {111--171}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Introduction to modular towers: generalizing dihedral group--modular curve connections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179}, + Volume = 186, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179} +} + +@article{Fuj13, + Author = {Fujino, Osamu}, + Doi = {10.3792/pjaa.89.92}, + Fjournal = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + Issn = {0386-2194}, + Journal = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 3127923, + Mrreviewer = {Jungkai Alfred Chen}, + Number = 8, + Note = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}{DOI:10.3792/pjaa.89.92}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0911.2851}{arXiv:0911.2851}}, + Pages = {92--95}, + Title = {On maximal {A}lbanese dimensional varieties}, + Url = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}, + Volume = 89, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92} +} + +@incollection {Fujino14, + AUTHOR = {Fujino, Osamu}, + TITLE = {Notes on the weak positivity theorems}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and automorphism groups}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {75}, + PAGES = {73--118}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = {2017}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1406.1834v4}{arXiv:1406.1834v4}}, + MRCLASS = {14C20 (14D07 32S35)}, + MRNUMBER = {3793363}, +MRREVIEWER = {Halszka Tutaj-Gasi\'{n}ska}, +} + +@Unpublished{Fujino15, + author = {Fujino, Osamu}, + title = {On quasi-Albanese maps}, + note = {Unpublished preprint. Available from the author's home page at \url{http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~fujino/papersandpreprints.html}}, + OPTkey = {}, + month = {January}, + year = {2015}, + OPTannote = {} +} + +@article{Fujita89, + Author = {T.~Fujita}, + Journal = {Nagoya Math.~J.}, + Pages = {105--123}, + Title = {Remarks on quasi-polarized varieties}, + Volume = 115, + Year = 1989 +} + +@book{Ful93, + Author = {W. Fulton}, + Number = 131, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Introduction to Toric Varieties}, + Year = 1993 +} + +@book{Fulton98, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-62046-X; 0-387-98549-2}, + Mrclass = {14C17 (14-02)}, + Mrnumber = {1644323 (99d:14003)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1700-8}{DOI:10.1007/978-1-4612-1700-8}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Intersection {T}heory}, + Volume = 2, + Year = 1998 +} + +@article{GAGA, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {0082175 (18,511a)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {1--42}, + Title = {Géométrie algébrique et géométrie analytique}, + Volume = 6, + Year = {1955--1956} +} + +@book{GH, + Address = {New York}, + Author = {Griffiths, Phillip and Harris, Joseph}, + Isbn = {0-471-05059-8}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1288523 (95d:14001)}, + Note = {Reprint of the 1978 original}, + Pages = {xiv+813}, + Publisher = {John Wiley \& Sons Inc.}, + Series = {Wiley Classics Library}, + Title = {Principles of algebraic geometry}, + Year = 1994 +} + +@article {GHS03, + AUTHOR = {Graber, Tom and Harris, Joe and Starr, Jason}, + TITLE = {Families of rationally connected varieties}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {16}, + YEAR = {2003}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}{DOI:10.1090/S0894-0347-02-00402-2}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {57--67}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {14M20 (14D05 14D22)}, + MRNUMBER = {1937199}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, +} + +@article{GKK08, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Journal = {Compositio~Math.}, + Month = {January}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X09004321}{DOI:10.1112/S0010437X09004321}. A slightly extended version is available as \href{http://arxiv.org/abs/0808.3647}{arXiv:0808.3647}}, + Pages = {193--219}, + Title = {Extension theorems for differential forms, and {B}ogomolov-{S}ommese vanishing on log canonical varieties}, + Volume = 146, + Year = 2010 +} + +@article{GKKP11, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J. and Peternell, Thomas}, + Journal = {Inst. {H}autes {É}tudes Sci.~{P}ubl.~{M}ath.}, + Month = {November}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-011-0036-0}{DOI:10.1007/s10240-011-0036-0}. An extended version with additional graphics is available as \href{http://arxiv.org/abs/1003.2913}{arXiv:1003.2913}}, + Number = 1, + Pages = {87--169}, + Title = {Differential forms on log canonical spaces}, + Volume = 114, + Year = 2011 +} + +@article {GKP13, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Étale fundamental groups of {K}awamata log terminal spaces, flat sheaves, and quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 165, + YEAR = 2016, + NUMBER = 10, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}{DOI:10.1215/00127094-3450859}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {1965--2004}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + MRNUMBER = 3522654, + DOI = {10.1215/00127094-3450859}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}, +} + +@Article{GKP15, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Movable curves and semistable sheaves}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2016, + VOLUME = 2016, + NUMBER = 2, + PAGES = {536--570}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}{DOI:10.1093/imrn/rnv126}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1408.4308}{arXiv:1408.4308}}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv126}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}, +} + +@incollection{GKP16, + Address = {Tokyo}, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Booktitle = {Minimal Models and Extremal Rays, Kyoto, 2011}, + Pages = {67--113}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Singular spaces with trivial canonical class}, + Volume = 70, + Year = 2016, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1110.5250}{arXiv:1110.5250}} +} + +@article{GKP22, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/785}{DOI:10.1090/jag/785}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2006.08769}{arXiv:2006.08769}}, + Title = {Projective flatness over klt spaces and uniformisation of varieties with nef anti-canonical divisor}, + month = {March}, + Year = 2022, + Volume = 31, + Pages = {467--496} +} + +@Article{GKPT17, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + title = {Nonabelian {H}odge theory for klt spaces and descent theorems for vector bundles}, + journal = {Compos. Math.}, + year = {2019}, + volume = {155}, + number = {2}, + pages = {289--323}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007923}{DOI:10.1112/S0010437X18007923}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1711.08159}{arXiv:1711.08159}}, +} + +@article {GKPT19, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {Harmonic metrics on {H}iggs sheaves and uniformization of varieties of general type}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {378}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}{DOI:10.1007/s00208-019-01906-4}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.01266}{arXiv:1804.01266}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {1061--1094}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14E20 (14E30 32Q30 53C07)}, + MRNUMBER = {4163522}, + DOI = {10.1007/s00208-019-01906-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}, +} + +@article {GKPT19b, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {The {M}iyaoka-{Y}au inequality and uniformisation of canonical models}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2414}{DOI:10.24033/asens.2414}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.08822}{arXiv:1511.08822}}, + VOLUME = {52}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1487--1535}, + ISSN = {0012-9593}, + DOI = {10.24033/asens.2414}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2414}, +} + +@InProceedings{GKT16, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Uniformisation of higher-dimensional varieties}, + booktitle = {Algebraic Geometry: Salt Lake City 2015}, + year = 2018, + editor = {de Fernex, Tommaso and Hassett, Brendan and Mustaţă, Mircea + and Olsson, Martin and Popa, Mihnea and Thomas, Richard}, + volume = 1, + number = 97, + series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + pages = {277--308}, + organization = {American Mathematical Society}, + publisher = {American Mathematical Society}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1608.06644}{arXiv:1608.06644}} +} + +@book{GNPP88, + Address = {Berlin}, + Author = {Guillén, F. and Navarro{\ }Aznar, V. and Pascual{\ }Gainza, + P. and Puerta, F.}, + Isbn = {3-540-50023-5}, + Mrclass = {14F20 (14F40 32G20 32L20)}, + Mrnumber = {MR972983 (90a:14024)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pf{i}ster}, + Note = {Papers from the Seminar on Hodge-Deligne Theory held in Barcelona, 1982}, + Pages = {xii+192}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {Hyperrésolutions cubiques et descente cohomologique}, + Volume = 1335, + Year = 1988 +} + +@article {GR70, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Riemenschneider, Oswald}, + TITLE = {Verschwindungssätze für analytische {K}ohomologiegruppen auf komplexen {R}äumen}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 11, + YEAR = 1970, + PAGES = {263--292}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01403182}{DOI:10.1007/BF01403182}.}, + MRCLASS = {32C35 (32L10)}, + MRNUMBER = 0302938, + MRREVIEWER = {H. B. Laufer}, + DOI = {10.1007/BF01403182}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01403182}, +} + +@book{GR71, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Mrclass = {32B05 (13H05 13H10 13J05 13J15 32-02 32A05)}, + Mrnumber = {MR0316742 (47 \#5290)}, + Mrreviewer = {K. Wolffhardt}, + Note = {Unter Mitarbeit von O.~Riemenschneider, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 176}, + Pages = {ix+240}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Analytische {S}tellenalgebren}, + Year = 1971 +} + +@unpublished{GRT, + Author = {Daniel Greb and Julius Ross and Matei Toma}, + Month = {September}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1409.7564}{arXiv:1409.7564}}, + Title = {Variation of {G}ieseker {M}oduli {S}paces via {Q}uiver {GIT}, + {I}}, + Year = 2014 +} + +@Article{GT13, + author = {Greb, Daniel and Toma, Matei}, + title = {Compact moduli spaces for slope-semistable sheaves}, + journal = {Algebr. Geom.}, + year = 2017, + volume = 4, + number = 1, + pages = {40--78}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2017-003}{DOI:10.14231/AG-2017-003}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.2480}{arXiv:1303.2480}}, + doi = {10.14231/AG-2017-003}, +} + +@Unpublished{GT16, + author = {Guenancia, Henri and Taji, Behrouz}, + title = {Orbifold stability and {M}iyaoka-{Y}au inequality for minimal pairs}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1611.05981}{arXiv:1611.05981}}, + month = {November}, + year = 2016 +} + +@article {GZ07, + AUTHOR = {Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {The weighted {M}onge-{A}mpère energy of quasiplurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {J. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Journal of Functional Analysis}, + VOLUME = 250, + YEAR = 2007, + NUMBER = 2, + PAGES = {442--482}, + ISSN = {0022-1236}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 32U05)}, + MRNUMBER = 2352488, + MRREVIEWER = {Norman Levenberg}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}{DOI:10.1016/j.jfa.2007.04.018}.}, + DOI = {10.1016/j.jfa.2007.04.018}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}, +} + +@article{GZ94, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {MR1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi\sb 1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Gabber93, + AUTHOR = {Gabber, Ofer}, + TITLE = {An injectivity property for étale cohomology}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1993__86_1_1_0}{numdam.CM-1993-86-1-1-0}}, + VOLUME = {86}, + YEAR = {1993}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {1--14}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14F20}, + MRNUMBER = {1214652}, +MRREVIEWER = {R. T. Hoobler}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__86_1_1_0}, +} + +@article{Geiges03, + Author = {Geiges, Hansjörg}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {57R17 (53C99 53D99 57R42)}, + Mrnumber = {MR1982875 (2004e:57031)}, + Mrreviewer = {John B. Etnyre}, + Number = 779, + Pages = {viii+58}, + Title = {{$h$}-principles and flexibility in geometry}, + Volume = 164, + Year = 2003 +} + +@article {Ghys00, + AUTHOR = {Ghys, Étienne}, + TITLE = {À propos d'un théorème de {J}.-{P}. {J}ouanolou concernant les + feuilles fermées des feuilletages holomorphes}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2)}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02904228}{DOI:10.1007/BF02904228}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {175--180}, + ISSN = {0009-725X}, + MRCLASS = {32S65 (37F75)}, + MRNUMBER = 1753461, + MRREVIEWER = {M. G. Soares}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02904228}, +} + +@article{GiesekerVectorBundlesModuli, + Author = {Gieseker, D.}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971157}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20)}, + Mrnumber = {MR466475 (81h:14014)}, + Number = 1, + Pages = {45--60}, + Title = {On the moduli of vector bundles on an algebraic surface}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971157}, + Volume = 106, + Year = 1977, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971157} +} + +@book{Godement73, + Address = {Paris}, + Author = {Godement, Roger}, + Mrclass = {55BXX (18GXX)}, + Mrnumber = {MR0345092 (49 \#9831)}, + Note = {Troisième édition revue et corrigée, Publications de + l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg, + XIII, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252}, + Pages = {viii+283}, + Publisher = {Hermann}, + Title = {Topologie algébrique et théorie des faisceaux}, + Year = 1973 +} + +@book{GoreskyMacPherson, + Address = {Berlin}, + Author = {Goresky, Mark and MacPherson, Robert D.}, + Isbn = {3-540-17300-5}, + Mrclass = {57R70 (14F45 32C10 32C42 57N80 58A35 58C27)}, + Mrnumber = {932724 (90d:57039)}, + Mrreviewer = {K. Lamotke}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7}{DOI:10.1007/978-3-642-71714-7}}, + Pages = {xiv+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Stratified {M}orse theory}, + Volume = 14, + Year = 1988 +} + +@InCollection{GrCa60, + author = {Grothendieck, Alexandre}, + title = {Techniques de construction en géométrie analytique. {V}. {F}ibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux}, + booktitle = {Séminaire Henri Cartan}, + publisher = {Secrétariat mathématique}, + year = {1960--1961}, + volume = 13, + number = 1, + chapter = {Exp.\ n° 12}, + pages = {1--15}, + address = {Paris}, + Note = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/SHC_1960-1961__13_1_A8_0}{numdam.SHC-1960-1961-13-1-A8-0}}, +} + +@article{Gra13, + Author = {Graf, Patrick}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {1435-5345}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + volume = 702, + year = 2015, + pages = {109--142}, + Title = {{B}ogomolov--{S}ommese vanishing on log canonical pairs}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + note = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}{DOI:10.1515/crelle-2013-0031}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1210.0421}{arXiv:1210.0421}}, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Grauert62, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.60 (32.22)}, + Mrnumber = {MR0137127 (25 \#583)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {331--368}, + Title = {{Ü}ber {M}odifikationen und exzeptionelle analytische {M}engen}, + Volume = 146, + Year = 1962 +} + +@article{Grauert72, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {MR0293127 (45 \#2206)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {171--198}, + Title = {{Ü}ber die {D}eformation isolierter {S}ingularitäten analytischer {M}engen}, + Volume = 15, + Year = 1972 +} + +@article{Gri68, + Author = {Griffiths, Phillip A.}, + Fjournal = {The American Journal of Mathematics}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrnumber = {0233825 (38 #2146)}, + Mrreviewer = {A. H. Wallace}, + Note = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477}{euclid.bams/1183531477}}, + Pages = {805--865}, + Title = {Periods of integrals on algebraic manifolds. {II}. Local study of the period mapping}, + Volume = 90, + Year = 1968 +} + +@proceedings {Gri84, + TITLE = {Topics in transcendental algebraic geometry}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 106, + BOOKTITLE = {Proceedings of a seminar held at the {I}nstitute for {A}dvanced {S}tudy, {P}rinceton, {N}.{J}., during the academic year 1981/1982}, + EDITOR = {Griffiths, Phillip}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1984, + PAGES = {viii+316}, + ISBN = {0-691-08335-5; 0-691-08339-8}, + MRCLASS = {14C30 (14-02 14D05 32J25)}, + MRNUMBER = {756842 (86b:14004)}, + MRREVIEWER = {David Ortland}, +} + +@incollection{Gro5658, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Booktitle = {Classification des groupes de Lie algébriques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1956-1958__1__A5_0}{numdam.SCC_1956-1958__1__A5_0}}, + Number = 1, + Series = {Séminaire Claude Chevalley}, + Title = {Compléments de géométrie algébrique. {E}spaces de + transformations (Exposé No.~5.)}, + Year = {1956--58} +} + +@book{Gromov86, + Address = {Berlin}, + Author = {Gromov, Mikhael}, + Isbn = {3-540-12177-3}, + Mrclass = {58G99 (35A99 35B99 53C42 58-02)}, + Mrnumber = {MR864505 (90a:58201)}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Pages = {x+363}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Partial differential relations}, + Volume = 9, + Year = 1986 +} + +@Article{Guenancia, + author = {Guenancia, Henri}, + title = {Semistability of the tangent sheaf of singular varieties}, + journal = {Algebraic Geometry}, + year = 2016, + volume = 3, + number = 5, + pages = {508--542}, + month = {November}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2016-024}{DOI:10.14231/AG-2016-024}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1502.03711}{arXiv:1502.03711}} +} + +@book{GunningRossi, + Address = {Englewood Cliffs, N.J.}, + Author = {Gunning, Robert C. and Rossi, Hugo}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {MR0180696 (31 \#4927)}, + Mrreviewer = {R. P. Gilbert}, + Pages = {xiv+317}, + Publisher = {Prentice-Hall Inc.}, + Title = {Analytic functions of several complex variables}, + Year = 1965 +} + +@book {HBPV, + AUTHOR = {Barth, Wolf P. and Hulek, Klaus and Peters, Chris A. M. and Van de Ven, Antonius}, + TITLE = {Compact complex surfaces}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = {4}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {3-540-00832-2}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}{DOI:10.1007/978-3-642-57739-0}}, + MRCLASS = {14Jxx (14-02 32-02 32J15 57R57)}, + MRNUMBER = {2030225}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/978-3-642-57739-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}, +} + +@article{HK05, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14Hxx (14J45)}, + Mrnumber = {MR2155089}, + Pages = {173--194}, + Title = {Geometry of chains of minimal rational curves}, + Volume = 584, + Year = 2005 +} + +@book{HK10, + Annote = {ISBN 978-3-0346-0289-1}, + Author = {Hacon, Christopher D. and Kovács, Sándor J.}, + Month = {May}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Oberwolfach Seminars}, + Title = {Classification of Higher Dimensional Algebraic Varieties}, + Volume = 41, + Year = 2010 +} + +@article{HKP00, + Author = {A.T.~Huckleberry and S.~Kebekus and T.~Peternell}, + Journal = {Duke Mathematical Journal}, + Number = 1, + Pages = {101-124}, + Title = {Group Actions on $S^6$ and complex structures on $P_3(C)$}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{HKP06, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E05 (14J50 32H02)}, + Mrnumber = {2219848 (2007c:14008)}, + Mrreviewer = {Gianluca Occhetta}, + Number = 3, + Pages = {551--561}, + Title = {Holomorphic maps onto varieties of non-negative {K}odaira + dimension}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Volume = 15, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X} +} + +@article{HM01, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {JMPAAM}, + Fjournal = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série}, + Issn = {0021-7824}, + Journal = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + Mrclass = {32Q15 (14J45 32J27)}, + Mrnumber = {MR1842290 (2002j:32023)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 6, + Pages = {563--575}, + Title = {Cartan-{F}ubini type extension of holomorphic maps for {F}ano + manifolds of {P}icard number 1}, + Volume = 80, + Year = 2001 +} + +@article{HM03, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1993759 (2005f:14086)}, + Number = 4, + Pages = {627--651}, + Title = {Finite morphisms onto {F}ano manifolds of {P}icard number 1 + which have rational curves with trivial normal bundles}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{HM04, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14J99 (14E05 14J45 14M17)}, + Mrnumber = 2128297, + Number = 1, + Pages = {51--63}, + Title = {Birationality of the tangent map for minimal rational curves}, + Volume = 8, + Year = 2004 +} + +@article{HM98, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32J27 32M15)}, + Mrnumber = {1608587 (99b:32027)}, + Mrreviewer = {Kimio Miyajima}, + Number = 2, + Pages = {393--418}, + Title = {Rigidity of irreducible {H}ermitian symmetric spaces of the + compact type under {K}ähler deformation}, + Volume = 131, + Year = 1998 +} + +@article{HM99, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E99 (14D15 14J45 14M17)}, + Mrnumber = {1681093 (2000j:14026)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 1, + Pages = {209--231}, + Title = {Holomorphic maps from rational homogeneous spaces of {P}icard + number {$1$} onto projective manifolds}, + Volume = 136, + Year = 1999 +} + +@article{HMcK06, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E05 (14J40)}, + Mrnumber = {2242631 (2007e:14022)}, + Mrreviewer = {Meng Chen}, + Number = 1, + Pages = {1--25}, + Title = {Boundedness of pluricanonical maps of varieties of general type}, + Volume = 166, + Year = 2006 +} + +@article{HMcK07, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J45)}, + Mrnumber = {2309156 (2008f:14030)}, + Mrreviewer = {Mihnea Popa}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-07-13813-4}{DOI:10.1215/S0012-7094-07-13813-4}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/math/0504330}{arXiv:math/0504330}}, + Number = 1, + Pages = {119--136}, + Title = {On {S}hokurov's rational connectedness conjecture}, + Volume = 138, + Year = 2007 +} + +@incollection{HMcK07b, + Address = {Oxford}, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Booktitle = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Doi = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 2359343, + Pages = {76--110}, + Publisher = {Oxford Univ. Press}, + Series = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + Title = {Extension theorems and the existence of flips}, + Url = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Volume = 35, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005} +} + +@incollection{HO81, + Author = {A. Huckleberry and E. Oeljeklaus}, + Booktitle = {Manifolds and Liegroups}, + Editor = {J. Hano et al.}, + Pages = {159--181}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Title = {Homogeneous Spaces from a Complex Analytic Viewpoint}, + Volume = 14, + Year = 1981 +} + +@article {HS, + AUTHOR = {Harpaz, Yonatan and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Singular curves and the étale {B}rauer-{M}anin obstruction for surfaces}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2226}{DOI:10.24033/asens.2226}}, + VOLUME = {47}, + YEAR = {2014}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {765--778}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G25 (11G35 14F22)}, + MRNUMBER = {3250063}, +MRREVIEWER = {Yongqi Liang}, + DOI = {10.24033/asens.2226}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2226}, +} + +@book{HTT, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Hotta, Ryoshi and Takeuchi, Kiyoshi and Tanisaki, Toshiyuki}, + Doi = {10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Isbn = {978-0-8176-4363-8}, + Mrclass = {32C38 (14F05 14F10 17B10)}, + Mrnumber = {2357361 (2008k:32022)}, + Mrreviewer = {Corrado Marastoni}, + Note = {Translated from the 1995 Japanese edition by Takeuchi. \href{https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}{DOI:10.1007/978-0-8176-4523-6}}, + Pages = {xii+407}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {{$D$}-modules, perverse sheaves, and representation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Volume = 236, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6} +} + +@article{HW00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {1733732 (2000j:14051)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@incollection{HW01, + Address = {River Edge, NJ}, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {Algebraic geometry in East Asia (Kyoto, 2001)}, + Mrclass = {14H60 (14D20)}, + Mrnumber = {2030452 (2005a:14042)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Pages = {155--164}, + Publisher = {World Sci. Publishing}, + Title = {Hecke curves on the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Year = 2002 +} + +@article{Ha66, + Author = {R. Hartshorne}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Pages = {63--94}, + Title = {Ample Vector Bundles}, + Volume = 29, + Year = 1966 +} + +@article{Ha68, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0232780 (38 \#1103)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {403--450}, + Title = {Cohomological dimension of algebraic varieties}, + Volume = 88, + Year = 1968 +} + +@book{Ha77, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Isbn = {0-387-90244-9}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {0463157 (57 \#3116)}, + Mrreviewer = {Robert Speiser}, + Note = {Graduate Texts in Mathematics, No. 52. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{DOI:10.1007/978-1-4757-3849-0}}, + Pages = {xvi+496}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Algebraic geometry}, + Year = 1977 +} + +@incollection{Hamm85, + Address = {Warsaw}, + Author = {Hamm, Helmut A.}, + Booktitle = {Singularities ({W}arsaw, 1985)}, + Mrclass = {32S60 (14F32 14F35 32C15 57R70)}, + Mrnumber = {1101841 (92b:32044)}, + Mrreviewer = {Yih-Nan David Gau}, + Pages = {223--237}, + Publisher = {PWN}, + Series = {Banach Center Publ.}, + Title = {Morse theory on singular spaces and {L}efschetz theorems}, + Volume = 20, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura87, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14E05 (14E30)}, + Mrnumber = {88h:14018}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 1, + Pages = {123--142}, + Title = {On the birational automorphism groups of algebraic varieties}, + Volume = 63, + Year = 1987 +} + +@article{Hanamura88, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14L15 (14E05 14L30)}, + Mrnumber = {89f:14051}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {383--403}, + Title = {Structure of birational automorphism + groups. {I}. {N}onuniruled varieties}, + Volume = 93, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura90, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E07 (14J10 14J40 14L15)}, + Mrnumber = {92i:14011}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {124--136}, + Title = {The birational automorphism groups and the {A}lbanese maps of + varieties with {K}odaira dimension zero}, + Volume = 411, + Year = 1990 +} + +@article{Hanamura91, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E07 (14D20 14L27)}, + Mrnumber = {92h:14010}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {551--573}, + Title = {Relative birational automorphisms of algebraic fiber spaces}, + Volume = 62, + Year = 1991 +} + +@book{Harris95, + Address = {New York}, + Author = {Harris, Joe}, + Isbn = {0-387-97716-3}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {97e:14001}, + Note = {A first course, Corrected reprint of the 1992 original. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-2189-8}}, + Pages = {xx+328}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 133, + Year = 1995 +} + +@book{Hartshorne1967, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.55 (18.00)}, + Mrnumber = {0224620 (37 \#219)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Pages = {vi+106}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall}, + Title = {Local cohomology}, + Volume = 1961, + Year = 1967 +} + +@book{Hartshorne1970, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0282977 (44 \#211)}, + Mrreviewer = {M. Miyanishi}, + Pages = {xiv+256}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Notes written in collaboration with C. Musili. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 156}, + Title = {Ample subvarieties of algebraic varieties}, + Year = 1970 +} + +@article{Hartshorne71, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Nagoya Mathematical Journal}, + Issn = {0027-7630}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0292847 (45 \#1929)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {73--89}, + Title = {Ample vector bundles on curves}, + Volume = 43, + Year = 1971 +} + +@misc{Has99, + Author = {B. Hassett}, + Note = {Preprint}, + Title = {Stable limits of log surfaces and Cohen-Macaulay singularities}, + Year = 1999 +} + +@article{Hassett-Kovacs04, + Author = {Hassett, Brendan and Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22}, + Mrnumber = {2047697 (2005b:14028)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Number = 2, + Pages = {233--247}, + Title = {Reflexive pull-backs and base extension}, + Volume = 13, + Year = 2004 +} + +@book{Hatcher, + Address = {Cambridge}, + Author = {Hatcher, Allen}, + Isbn = {0-521-79160-X; 0-521-79540-0}, + Mrclass = {55-01 (55-00)}, + Mrnumber = {1867354 (2002k:55001)}, + Mrreviewer = {Donald W. Kahn}, + Note = {{A}vailable from the author's home page at \url{http://www.math.cornell.edu/~hatcher}.}, + Pages = {xii+544}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 2002 +} + +@article{HauserMueller, + Author = {Hauser, H. and Müller, G.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32S30 (32S05)}, + Mrnumber = {1036334 (91m:32035)}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/AIF_1989__39_4_831_0}{numdam.AIF_1989__39_4_831_0}}, + Number = 4, + Pages = {831--844}, + Title = {The trivial locus of an analytic map germ}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0}, + Volume = 39, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0} +} + +@article{Hei91, + Author = {P. Heinzner}, + Journal = {Math. Ann.}, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on Stein spaces}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{HeinznerGIT, + Author = {Heinzner, Peter}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446594}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32M05 (32E10 32M10)}, + Mrnumber = {1103041 (92j:32116)}, + Mrreviewer = {B. Gilligan}, + Number = 4, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on {S}tein spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446594}, + Volume = 289, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446594} +} + +@article{Helmke97, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C20}, + Mrnumber = {1455517 (99e:14003)}, + Number = 2, + Pages = {201--216}, + Title = {On {F}ujita's conjecture}, + Volume = 88, + Year = 1997 +} + +@article{Helmke99, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {1686947 (2000f:14008)}, + Mrreviewer = {Sandra Di Rocco}, + Number = 4, + Pages = {635--652}, + Title = {On global generation of adjoint linear systems}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@inproceedings{Hir62, + Author = {H. Hironaka}, + Booktitle = {Proc. Int. Cong. Math.}, + Pages = {507--521}, + Title = {On resolution of singularities (characteristic zero)}, + Year = 1962 +} + +@article{Hit87, + Author = {Hitchin, Nigel. J}, + Fjournal = {Proc. London Math. Soc}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Proc. LMS.}, + Mrnumber = {0887284 (89a:32021)}, + Mrreviewer = {Mitsuhiro Itoh}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-55.1.59}{DOI:10.1112/plms/s3-55.1.59}}, + Number = 1, + Pages = {59--126}, + Title = {The self-duality equations on a {R}iemann surface}, + Volume = 55, + Year = 1987 +} + +@article{Hoe07, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-006-0072-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32J27 (32Q30)}, + Mrnumber = {2299565 (2008f:32024)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}{DOI:10.1007/s00209-006-0072-5}}, + Number = 3, + Pages = {465--479}, + Title = {Uniruled varieties with split tangent bundle}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}, + Volume = 256, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5} +} + +@article{Hofer98, + Author = {H.~Hofer}, + Journal = {Doc.~Math., J.~DMV}, + Pages = {255-280}, + Title = {Dynamics, topology and holomorphic curves}, + Volume = {Extra Vol.~ICM Berlin 1998, vol.~1}, + Year = 1998 +} + +@article{Holmann, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {57.00}, + Mrnumber = {0120665 (22 \#11414)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {407--440}, + Title = {Quotienten komplexer {R}äume}, + Volume = 142, + Year = {1960/1961} +} + +@article{Hon00, + Author = {J.~Hong}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Month = {December}, + Number = 9, + Pages = {1203--1230}, + Title = {Fano Manifolds with geometric structures modelled after + homogeneous contact Manifolds}, + Volume = 11, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{Hu18, + author = {Hu, Fei}, + title = {Jordan property for algebraic groups and automorphism groups of projective varieties in arbitrary characteristic}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.10946}{arXiv:1804.10946}. To appear in Indiana Univ. Math. J.}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article{Hu86, + Author = {A. Huckleberry}, + Journal = {Expo. Math.}, + Title = {The classification of homogeneous surfaces}, + Volume = 4, + Year = 1986 +} + +@article{HuKeel, + Author = {Hu, Yi and Keel, Sean}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {14L24 (14E30)}, + Mrnumber = {1786494 (2001i:14059)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Dedicated to William Fulton on the occasion of his 60th + birthday}, + Pages = {331--348}, + Title = {Mori dream spaces and {GIT}}, + Volume = 48, + Year = 2000 +} + + +@incollection{Huc90, + Author = {A. Huckleberry}, + Booktitle = {Several complex variables VI. Complex manifolds}, + Editor = {Barth and Narasimhan and Gamkrelidze}, + Number = 69, + Pages = {143--196}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encycl. Math. Sci.}, + Title = {Actions of groups of holomorphic transformations}, + Year = 1990 +} + +@article{Hurwitz93, + Author = {Hurwitz, Adolf}, + Doi = {10.1007/BF01443420}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Journal = {Math. Ann.}, + Month = {403-442}, + Number = 3, + Title = {{U}eber algebraische {G}ebilde mit eindeutigen {T}ransformationen in sich}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01443420}, + Volume = 41, + Year = 1893, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01443420} +} + +@book{Huy05, + Address = {Berlin}, + Author = {Huybrechts, Daniel}, + Isbn = {3-540-21290-6}, + Mrclass = {32Qxx (14-01 32-01 32G05 32J25 53C55 53C56)}, + Mrnumber = {2093043 (2005h:32052)}, + Mrreviewer = {Richard P. Thomas}, + Pages = {xii+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Complex geometry}, + Year = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/b137952}{DOI:10.1007/b137952}.}, +} + +@article{HuybrechtsNieper2011, + Author = {Huybrechts, Daniel and Nieper-Wisskirchen, Marc}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-009-0655-z}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32Qxx (53Cxx)}, + Mrnumber = 2776067, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}{DOI:10.1007/s00209-009-0655-z}}, + Number = {3-4}, + Pages = {939--963}, + Title = {Remarks on derived equivalences of {R}icci-flat manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}, + Volume = 267, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z} +} + + +@incollection{Hwa00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1 919 462}, + Note = {Available on the ICTP web site at {\tt + http://www.ictp.trieste.it/$\sim$pub\_off/services}}, + Pages = {335--393}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Geometry of minimal rational curves on {F}ano manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + +@article{Hwa00b, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {2000j:14051}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@misc{Hwa03, + Author = {Jun-Muk Hwang}, + Note = {Misc preprint}, + Title = {Rigidity of surjective holomorphic maps to {C}alabi-{Y}au + manifolds}, + Year = 2003 +} + +@article{Hwa95, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 120, + Pages = {317--338}, + Title = {Nondeformability of the complex hyperquadric}, + Volume = 2, + Year = 95 +} + +@article{Hwa96, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Math. Z.}, + Number = 221, + Title = {Characterization of the complex projective space by + holomorphic vector fields}, + Volume = 3, + Year = 1996 +} + +@article{Hwa97, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G07 (32G05)}, + Mrnumber = {1450754 (98h:32031)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Pages = {153--163}, + Title = {Rigidity of homogeneous contact manifolds under {F}ano + deformation}, + Volume = 486, + Year = 1997 +} + +@article{Hwa98, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L30)}, + Mrnumber = {99i:14045}, + Mrreviewer = {Bernd Kreussler}, + Number = 4, + Pages = {599--606}, + Title = {Stability of tangent bundles of low-dimensional {F}ano manifolds with {P}icard number {$1$}}, + Volume = 312, + Year = 1998 +} + +@inproceedings{Hwang-Mok00, + Author = {J.-M.~Hwang and N.~Mok}, + Booktitle = {Several complex variables}, + Editor = {M.~Schneider and Y.-T.~Siu}, + Number = 37, + Pages = {351--389}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {MSRI Publications}, + Title = {Varieties of minimal rational tangents on uniruled manifolds}, + Year = 2000 +} + +@book{Iitaka82, + Address = {New York}, + Author = {Iitaka, Shigeru}, + Isbn = {0-387-90546-4}, + Mrclass = {14-01 (14-02 14E05)}, + Mrnumber = {637060 (84j:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {An introduction to birational geometry of algebraic varieties, + North-Holland Mathematical Library, 24}, + Pages = {x+357}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 76, + Year = 1982 +} + +@incollection{IshiiIsolatedGorensteinSingularities, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Ishii, Shihoko}, + Booktitle = {Complex analytic singularities}, + Mrclass = {32B30 (14E15 32C45)}, + Mrnumber = {894292 (89d:32016)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Pages = {165--198}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Isolated {$Q$}-{G}orenstein singularities of dimension three}, + Volume = 8, + Year = 1987 +} + +@article {JR07, + AUTHOR = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + TITLE = {Fano threefolds with sections in {$\Omega^1_V(1)$}}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = {280}, + YEAR = {2007}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {127--139}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14J45 (14J30)}, + MRNUMBER = {2290387}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/mana.200410469}{DOI:10.1002/mana.200410469}}, + DOI = {10.1002/mana.200410469}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.200410469}, +} + +@article{JZ97, + Author = {Jost, Jürgen and Zuo, Kang}, + Journal = {Journal of Differential Geometry}, + Pages = {469--503}, + Title = {Harmonic maps of infinite energy and rigidity results for representations of fundamental groups of quasiprojective varieties}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214460547}{euclid.jdg/1214460547}}, + Volume = 47, + Year = 1997 +} + +@book{Jac62, + Author = {N. Jacobson}, + Publisher = {Interscience Publishers}, + Title = {Lie Algebras}, + Year = 1962 +} + +@misc{JamesPrivateCommunication, + Author = {James McKernan}, + Month = {May}, + Title = {Private communication}, + Year = 2013 +} + +@Unpublished{Jiang17, + author = {Jiang, Chen}, + title = {Boundedness of $\mathbb Q$-Fano varieties with degrees and alpha-invariants bounded from below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.02740}{arXiv:1705.02740}}, + OPTkey = {}, + month = {May}, + year = {2017}, + OPTannote = {} +} + +@mastersthesis{Joerder10, + Author = {Jörder, Clemens}, + Note = {URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-78978. Available on the internet + at + \href{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}}, + School = {University of Freiburg}, + Title = {Deformation of morphisms}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2010 +} + +@article{Jordan1877, + Author = {Jordan, Camille}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Note = {Available at + \url{http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0084}.}, + Pages = {89--216}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles linéaires à + intégrale algèbriques}, + Volume = 84, + Year = 1877 +} + +@article {Jouanolou, + AUTHOR = {Jouanolou, Jean-Pierre}, + TITLE = {Hypersurfaces solutions d'une équation de {P}faff analytique}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 232, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351428}{DOI:10.1007/BF01351428}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {239--245}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 0481129, + MRREVIEWER = {H. Cartan}, + DOI = {10.1007/BF01351428}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351428}, +} + +@article{K66, + Author = {Kleiman, Steven L.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55 (14.10)}, + Mrnumber = {0206009 (34 \#5834)}, + Mrreviewer = {J. W. Gray}, + Pages = {293--344}, + Title = {Toward a numerical theory of ampleness}, + Volume = 84, + Year = 1966 +} + +@book{K85, + Author = {H. Kraft}, + Edition = {2., durchges. Aufl.}, + Publisher = {Vieweg}, + Series = {Aspekte der Mathematik}, + Title = {Geometrische Methoden in der Invariantentheorie}, + Volume = {D1}, + Year = 1985 +} + +@book {K96, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Rational curves on algebraic varieties}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 32, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1996, + PAGES = {viii+320}, + ISBN = {3-540-60168-6}, + MRCLASS = {14-02 (14C05 14E05 14F17 14J45)}, + MRNUMBER = 1440180, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}{DOI:10.1007/978-3-662-03276-3}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-03276-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}, +} + +@article{K98a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Doc. Math. J. DMV}, + Note = {Available on the internet at {\tt + http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta}}, + Pages = {15--26}, + Title = {Simple Models of Quasihomogeneous Projective 3-folds}, + Volume = 3, + Year = 1998 +} + +@article{KK04, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14H10 (14H45 14J45)}, + Mrnumber = {2069121 (2005d:14039)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 1, + Pages = {53--79}, + Title = {Are rational curves determined by tangent vectors?}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article{KK08, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = 2393082, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0128-8}{DOI:10.1007/s00222-008-0128-8}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 3, + Pages = {657--682}, + Title = {Families of canonically polarized varieties over surfaces}, + Volume = 172, + Year = 2008 +} + +@article{KK08b, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {ADMTA4}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E30)}, + Mrnumber = {2414316 (2009d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.01.005}{DOI:10.1016/j.aim.2008.01.005}}, + Number = 3, + Pages = {649--652}, + Title = {Families of varieties of general type over compact bases}, + Volume = 218, + Year = 2008 +} + +@article{KK10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2010-049}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D22)}, + Mrnumber = {2730371 (2011i:14060)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}{DOI:10.1215/00127094-2010-049}, + Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {The structure of surfaces and threefolds mapping to the moduli + stack of canonically polarized varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}, + Volume = 155, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049} +} + +@article{KKL10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kousidis, Stavor and Lohmann, Daniel}, + Journal = {L'Enseignement Mathématique (2)}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0905.2749}{arXiv:0905.2749}}, + Number = {3--4}, + Pages = {287--313}, + Title = {Deformations along subsheaves}, + Volume = 56, + Year = 2010 +} + +@book {KM98, + AUTHOR = {Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + TITLE = {Birational geometry of algebraic varieties}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 134, + NOTE = {With the collaboration of C.\ H.\ Clemens and A.\ Corti, + Translated from the 1998 Japanese + original. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}{DOI:10.1017/CBO9780511662560}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 1998, + PAGES = {viii+254}, + ISBN = {0-521-63277-3}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1658959 (2000b:14018)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662560}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}, +} + +@incollection{KMM87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kawamata, Yujiro and Matsuda, Katsumi and Matsuki, Kenji}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J40)}, + Mrnumber = {946243 (89e:14015)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Note = {\href{https://doi.org/doi:10.2969/aspm/01010283}{DOI:doi:10.2969/aspm/01010283}}, + Pages = {283--360}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Introduction to the minimal model problem}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{KMM92, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1189503 (94g:14021)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}{euclid.jdg/1214453188}.}, + Pages = {765--779}, + Title = {Rational connectedness and boundedness of {F}ano manifolds}, + Volume = 36, + Year = 1992, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}, +} + +@article{KMM92b, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1158625 (93i:14014)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + Pages = {429--448}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@article{KMcK, + Author = {{\hbox{K}}eel, Seán and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J26 (14B10 14E20 14E30)}, + Mrnumber = {99m:14068}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 669, + Pages = {viii+153}, + Title = {Rational curves on quasi-projective surfaces}, + Volume = 140, + Year = 1999 +} + +@article {KO73, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Ochiai, Takushiro}, + TITLE = {Characterizations of complex projective spaces and hyperquadrics}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {31--47}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {32C10}, + MRNUMBER = {316745}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}{DOI:10.1215/kjm/1250523432}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523432}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}, +} + +@article{KP08, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14D15 (14M22)}, + Mrnumber = {2453561 (2010c:14006)}, + Mrreviewer = {Miguel González}, + Number = 3, + Pages = {365--389}, + Title = {A refinement of {S}tein factorization and deformations of + surjective morphisms}, + Volume = 12, + Year = 2008 +} + +@Unpublished{KP14, + author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + title = {Aspects of the geometry of varieties with canonical singularities. }, + note = {To appear in: Simons Symposia: Foliation Theory in Algebraic Geometry, Editors: Paolo Cascini, James McKernan and Jorge Vitório Pereira. Springer, New York, 2016. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0}. Available from \url{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/publications/14-simons.pdf}.}, + year = 2014 +} + +@article {KPS22, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan and Pereira, Jorge V. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Failure of the {B}rauer--{M}anin principle for a simply connected fourfold over a global function field, via orbifold {M}ordell}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 171, + YEAR = 2022, + NUMBER = 17, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}{DOI:10.1215/00127094-2022-0045}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {3515--3591}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + DOI = {10.1215/00127094-2022-0045}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}, +} + +@article{KPSW00, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J. and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J40 (14E30 14J45 32J18 32Q57)}, + Mrnumber = {2002a:14047}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {1--15}, + Title = {Projective contact manifolds}, + Volume = 142, + Year = 2000 +} + +@incollection{KS06, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan and {Solá Conde}, Luis}, + Booktitle = {Global aspects of complex geometry}, + Mrclass = {14Jxx (14Hxx)}, + Mrnumber = 2264116, + Pages = {359--416}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Existence of rational curves on algebraic varieties, minimal + rational tangents, and applications}, + Year = 2006 +} + +@Article{KS18, + author = {Kebekus, Stefan and Schnell, Christian}, + title = {Extending holomorphic forms from the regular locus of a complex space to a resolution of singularities}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + year = {2021}, + OPTkey = {}, + volume = {34}, + number = {2}, + pages = {315-–368}, + month = {April}, + note = {\href{https://doi.org/10.1090/jams/962}{DOI:10.1090/jams/962}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1811.03644}{arXiv:1811.03644}}, + OPTannote = {} +} + +@book{KS72, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Kumpera, Antonio and Spencer, Donald}, + Mrclass = {58H05}, + Mrnumber = {52 \#1805}, + Mrreviewer = {H. Goldschmidt}, + Note = {Annals of Mathematics Studies, No. 73}, + Pages = {xv+293}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lie equations. {V}ol. {I}: {G}eneral theory}, + Year = 1972 +} + +@article{KSS10, + Author = {Kovács, Sándor J. and Schwede, Karl and Smith, Karen E.}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14Exx}, + Mrnumber = 2646306, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}{DOI:10.1016/j.aim.2010.01.020}}, + Number = 4, + Pages = {1618--1640}, + Title = {The canonical sheaf of {D}u {B}ois singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Volume = 224, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020} +} + +@article{KST07, + Author = {Kebekus, Stefan and Luis {Solá Conde} and Matei Toma}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Number = 1, + Pages = {65--81}, + Title = {Rationally connected foliations after {Bogomolov} and {McQuillan}}, + Volume = 16, + Year = 2007 +} + +@article{KSW81, + Author = {Kalka, Morris and Shiffman, Bernard and Wong, Bun}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {32H99 (32F10)}, + Mrnumber = {83j:32029}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 3, + Pages = {289--295}, + Title = {Finiteness and rigidity theorems for holomorphic mappings}, + Volume = 28, + Year = 1981 +} + +@article{KW88, + Author = {E. Kunz and R. Waldi}, + Journal = {Journ. reine und angew. Math.}, + Pages = {106--115}, + Title = {{Der Führer einer Gorensteinvarietät}}, + Volume = 388, + Year = 1988 +} + +@article{Kachi-Sato99, + Author = {Y. Kachi and E. Sato}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Number = 2, + Pages = {350-390}, + Title = {Polarized varieties whose points are joined by rational curves of small degrees}, + Volume = 43, + Year = 1999 +} + +@Article{Kanemitsu20, + author = {Kanemitsu, Akihiro}, + title = {}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + year = {2020}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTpages = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Ahead of print. \href{https://doi.org/10.1515/crelle-2020-0043}{DOI:10.1515/crelle-2020-0043}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.12617}{arXiv:1912.12617}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Karras86, + Author = {Karras, Ulrich}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C37 (32B30 32C36)}, + Mrnumber = {859337 (87k:32017)}, + Mrreviewer = {Alicia Dickenstein}, + Number = 4, + Pages = {673--682}, + Title = {Local cohomology along exceptional sets}, + Volume = 275, + Year = 1986 +} + +@article{Kaup65, + Author = {Kaup, Wilhelm}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.32 (22.40)}, + Mrnumber = {0181761 (31 \#5988)}, + Mrreviewer = {Deane Montgomery}, + Pages = {72--92}, + Title = {Infinitesimale {T}ransformationsgruppen komplexer {R}äume}, + Volume = 160, + Year = 1965 +} + +@book{KaupKaup, + Address = {Berlin}, + Author = {Kaup, Ludger and Kaup, Burchard}, + Isbn = {3-11-004150-2}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {716497 (85k:32001)}, + Mrreviewer = {R. Michael Range}, + Note = {An introduction to the fundamental theory, With the assistance + of Gottfried Barthel, Translated from the German by Michael + Bridgland}, + Pages = {xv+349}, + Publisher = {Walter de Gruyter \& Co.}, + Series = {de Gruyter Studies in Mathematics}, + Title = {Holomorphic functions of several variables}, + Volume = 3, + Year = 1983 +} + +@article{Kaw82, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Math. Annalen}, + Pages = {43--46}, + Title = {{A Generalization of Kodaira-Ramanujam's Vanishing Theorem}}, + Volume = 261, + Year = 1982 +} + +@article{Kaw92, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF02100604}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1161091 (93f:14012)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {229--246}, + Title = {Abundance theorem for minimal threefolds}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02100604}{DOI:10.1007/BF02100604}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02100604}, + Volume = 108, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02100604} +} + +@article {Kawa80, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On {B}loch's conjecture}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {57}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389820}{DOI:10.1007/BF01389820}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {97--100}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32H99}, + MRNUMBER = {564186}, +MRREVIEWER = {Toshiyuki Maebashi}, + DOI = {10.1007/BF01389820}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01389820}, +} + +@article{Kawa88, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Ann.~ of Math. (2)}, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degeneration of surfaces}, + Volume = 127, + Year = 1988 +} + +@article{Kawamata08, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167332}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30 (14E05)}, + Mrnumber = {2426353 (2009d:14011)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}{DOI:10.2977/prims/1210167332}}, + Number = 2, + Pages = {419--423}, + Title = {Flops connect minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332} +} + +@article{Kawamata85, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J10 14J15)}, + Mrnumber = {814013 (87a:14013)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}{DOI:10.1515/crll.1985.363.1}}, + Pages = {1--46}, + Title = {Minimal models and the {K}odaira dimension of algebraic fiber + spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}, + Volume = 363, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Kawamata88, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971417}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E35 14J10 14J30)}, + Mrnumber = {924674 (89d:14023)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of {$3$}-dimensional canonical + singularities and its application to degenerations of + surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971417}, + Volume = 127, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971417} +} + +@article{Kawamata99, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B07 (14F17)}, + Mrnumber = {99g:14003}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 1, + Pages = {85--92}, + Title = {Deformations of canonical singularities}, + Volume = 12, + Year = 1999 +} + +@misc{Keb04, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Note = {Partially based on notes of Ravi Vakil. In preparation.}, + Title = {Jets in Algebraic Geometry}, + Year = 2004 +} + +@incollection{Keb13a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Handbook of Moduli, in honour of David Mumford, Vol. II}, + Editor = {Farkas, Gavril and Morrison, Ian}, + Month = {March}, + Note = {ISBN 9781571462589. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.4239}{arXiv:1107.4239}.}, + Pages = {71--114}, + Publisher = {International Press}, + Series = {Advanced Lectures in Mathematics}, + Title = {Differential forms on singular spaces, the minimal model + program, and hyperbolicity of moduli stacks}, + Volume = 25, + Year = 2013 +} + +@article{Kebekus00a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {149--176}, + Title = {Relatively Minimal Quasihomogeneous Projective 3-Folds}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus00b, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {129--147}, + Title = {On the Classification of 3-dimensional $SL_2(\mathbb + C)$-varieties}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@inproceedings{Kebekus00c, + Address = {Saitama University, Urawa}, + Author = {S.~Kebekus}, + Booktitle = {Proceedings of the Saitama Mini-Conference for Algebraic + Geometry}, + Editor = {F.~Sakai}, + Title = {Bounds for Families of Singular Rational Curves}, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus01, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C15 14E30 14J60 32J18)}, + Mrnumber = {2002h:14069}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Pages = {167--177}, + Title = {Lines on contact manifolds}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@article{Kebekus02a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14H10 14J99)}, + Mrnumber = {2003e:14011}, + Mrreviewer = {Yasuyuki Kachi}, + Number = 2, + Pages = {245--256}, + Title = {Families of singular rational curves}, + Volume = 11, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus02b, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_10}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_10}}, + Mrclass = {14M20 (14J45)}, + Mrnumber = {2003j:14065}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {147--155}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Characterizing the projective space after {C}ho, {M}iyaoka and + {S}hepherd-{B}arron}, + Year = 2002 +} + +@article{Kebekus02c, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {14D06 (14D20)}, + Mrnumber = {1916853 (2003f:14009)}, + Mrreviewer = {Miguel A. Barja}, + Pages = {119--131}, + Title = {Projective bundles of singular plane cubics}, + Volume = 242, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus04, + Author = {Stefan Kebekus}, + Booktitle = {Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen + Seminars 2003/2004}, + Editor = {Y. Tschinkel}, + Pages = {157--166}, + Publisher = {Universitätsverlag der Georg-August-Universität Göttingen}, + Title = {Holomorphe {A}bbildungen auf {M}annigfaltigkeiten mit + nicht-negativer {K}odaira-{D}imension}, + Year = 2004 +} + +@article{Kebekus05, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compos. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C05 53D10)}, + Mrnumber = {2099777 (2005i:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 1, + Pages = {227--252}, + Title = {Lines on complex contact manifolds. {II}}, + Volume = 141, + Year = 2005 +} + +@incollection {Kebekus20, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Boundedness results for singular {F}ano varieties and applications to {C}remona groups (following {B}irkar and {P}rokhorov-{S}hramov)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2018/2019}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {422}, + YEAR = {2020}, + PAGES = {Exp. No. 1157, 253--290 (2020)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/ast.1129}{DOI:10.24033/ast.1129}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.04506}{arXiv:1812.04506}}, +} + +@article{Knighten, + Author = {Knighten, Carol M.}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = {0323788 (48 \#2144)}, + Mrreviewer = {J. J. Etayo}, + Pages = {65--89}, + Title = {Differentials on quotients of algebraic varieties}, + Volume = 177, + Year = 1973 +} + +@incollection{Ko91, + Address = {Bethlehem, PA}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry ({C}ambridge, {MA}, 1990)}, + Mrclass = {14J10 (14E30 14J40)}, + Mrnumber = {1144527 (93b:14059)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Pages = {113--199}, + Publisher = {Lehigh Univ.}, + Title = {Flips, flops, minimal models, etc}, + Year = 1991 +} + +@article{KoMo92, + Author = {J. Kollár and S. Mori}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Title = {Classification of three-dimensional flips}, + Volume = 5, + Year = 1992 +} + +@book{Kob87, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Isbn = {0-691-08467-X}, + Mrclass = {53C55 (32-02 32L05 32L10 32L20)}, + Mrnumber = {909698 (89e:53100)}, + Mrreviewer = {Daniel M. Burns, Jr.}, + Note = {Kanô Memorial Lectures, 5}, + Pages = {xii+305}, + Publisher = {Iwanami Shoten and Princeton University Press}, + Series = {Publications of the Mathematical Society of Japan}, + Title = {Differential geometry of complex vector bundles}, + Volume = 15, + Year = 1987 +} + +@book{KobayashiGrundlehren, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Doi = {10.1007/978-3-662-03582-5}, + Isbn = {3-540-63534-3}, + Mrclass = {32H20 (32H15 32H25 32H30)}, + Mrnumber = {1635983 (99m:32026)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}{DOI:10.1007/978-3-662-03582-5}}, + Pages = {xiv+471}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Hyperbolic {C}omplex {S}paces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}, + Volume = 318, + Year = 1998, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5} +} + +@article{Kod66, + Author = {K. Kodaira}, + Journal = {Amer. Journ. Math.}, + Number = 88, + Pages = {694--699}, + Title = {On the Structure of Compact Analytic Surfaces III}, + Year = 1966 +} + +@book{Kodaira86, + Address = {New York}, + Author = {Kodaira, Kunihiko}, + Isbn = {0-387-96188-7}, + Mrclass = {32G05 (32-02)}, + Mrnumber = {815922 (87d:32040)}, + Mrreviewer = {James A. Carlson}, + Note = {Translated from the Japanese by Kazuo Akao, With an appendix + by Daisuke Fujiwara}, + Pages = {x+465}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Complex manifolds and deformation of complex structures}, + Volume = 283, + Year = 1986 +} + +@unpublished{Kol11, + Author = {Kollár, János}, + Month = {July}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.2864}{arXiv:1107.2864}}, + Title = {New examples of terminal and log canonical singularities}, + Year = 2011 +} + +@unpublished{Kol12, + Author = {Kollár, János}, + Month = {June}, + Title = {Deformations of elliptic {C}alabi--{Y}au manifolds}, + Year = 2012 +} + +@article{Kol86, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971351}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J10 (14F10 14J30 14J40)}, + Mrnumber = {825838 (87c:14038)}, + Mrreviewer = {Takao Fujita}, + Number = 1, + Pages = {11--42}, + Title = {Higher direct images of dualizing sheaves. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971351}, + Volume = 123, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971351} +} + +@article{Kol91, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J30 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1100994 (92f:14034)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 3, + Pages = {339--361}, + Title = {Extremal rays on smooth threefolds}, + Volume = 24, + Year = 1991 +} + +@book{Kollar07, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kollár, János}, + Isbn = {978-0-691-12923-5; 0-691-12923-1}, + Mrclass = {14E15}, + Mrnumber = 2289519, + Pages = {vi+208}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Lectures on resolution of singularities}, + Volume = 166, + Year = 2007 +} + +@incollection{Kollar87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14J10 (14C30 14D20)}, + Mrnumber = {946244 (89i:14029)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {361--398}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Subadditivity of the {K}odaira dimension: f{i}bers of general + type}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{Kollar90, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14H10 14J10)}, + Mrnumber = {1064874 (92e:14008)}, + Mrreviewer = {Autorreferat}, + Number = 1, + Pages = {235--268}, + Title = {Projectivity of complete moduli}, + Volume = 32, + Year = 1990 +} + +@article{Kollar93, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01244307}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E20 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1223229 (94m:14018)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01244307}{DOI:10.1007/BF01244307}}, + Number = 1, + Pages = {177--215}, + Title = {Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01244307}, + Volume = 113, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01244307} +} + +@misc{KollarGroupsActingOnSchemes, + Author = {Kollár, J.}, + Note = {Undated, unfinished manuscript. Available on the author's website at \href{http://www.math.princeton.edu/~kollar/}{www.math.princeton.edu/$\sim$kollar}}, + Title = {Algebraic groups acting on schemes} +} + +@incollection{KollarSingsOfPairs, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}anta {C}ruz 1995}, + Mrclass = {14E30 (14E15 32S40)}, + Mrnumber = {1492525 (99m:14033)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Pages = {221--287}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Singularities of pairs}, + Volume = 62, + Year = 1997 +} + +@misc{Kovacs-Schwede09, + Author = {Sándor J Kovács and Karl Schwede}, + Mrnumber = {\href{http://arxiv.org/abs/0909.0993v1}{arXiv:0909.0993v1}}, + Note = {preprint}, + Title = {Hodge theory meets the minimal model program: a survey of log canonical and {{D}u~{B}ois} singularities}, + Year = 2009 +} + +@article{Kovacs00a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14J10)}, + Mrnumber = {1713524 (2000i:14017)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 1, + Pages = {165--174}, + Title = {Algebraic hyperbolicity of f{i}ne moduli spaces}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14B05 (14E15 14E30)}, + Mrnumber = {1749436 (2002b:14005)}, + Mrreviewer = {Tohsuke Urabe}, + Number = 2, + Pages = {187--191}, + Title = {A characterization of rational singularities}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05)}, + Mrnumber = {1761628 (2001m:14028)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 3, + Pages = {297--304}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois + singularities. {II}. {K}odaira vanishing and small + deformations}, + Volume = 121, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs02, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14J10)}, + Mrnumber = {2003a:14025}, + Mrreviewer = {Scott R. Nollet}, + Number = 3, + Pages = {291--317}, + Title = {Logarithmic vanishing theorems and {A}rakelov-{P}arshin boundedness for singular varieties}, + Volume = 131, + Year = 2002 +} + +@article{Kovacs03a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {PAMYAR}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J10 (14F17)}, + Mrnumber = {1990623 (2004f:14047)}, + Mrreviewer = {Hiroyuki Terakawa}, + Number = 11, + Pages = {3353--3364 (electronic)}, + Title = {Vanishing theorems, boundedness and hyperbolicity over + higher-dimensional bases}, + Volume = 131, + Year = 2003 +} + +@article{Kovacs03b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J10 (14D20)}, + Mrnumber = {2007392 (2004h:14038)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Special issue in honor of Steven L. Kleiman}, + Number = 8, + Pages = {3983--3991}, + Title = {Viehweg's conjecture for families over {$\Bbb P\sp n$}}, + Volume = 31, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs03c, + Address = {Berlin}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, + 2001)}, + Mrclass = {14J10 (14H10)}, + Mrnumber = {2011746 (2004j:14041)}, + Mrreviewer = {Valmecir A. Bayer}, + Pages = {133--167}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Families of varieties of general type: the {S}hafarevich + conjecture and related problems}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs06a, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Proceedings of the AMS Summer Research Institute held at the + University of Washington, Seattle, WA, July 25--August 12, + 2005}, + Mrclass = {14-06}, + Note = {to appear}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Subvarieties of moduli stacks of canonically polarized + varieties}, + Year = 2006 +} + +@article{Kovacs96, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs96e, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Note = {Erratum: {J}.\ {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 6} (1997), no.\ 2, + 391}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs97a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {1454264 (98h:14038)}, + Mrreviewer = {Caryn Werner}, + Pages = {171--177}, + Title = {On the minimal number of singular f{i}bres in a family of + surfaces of general type}, + Volume = 487, + Year = 1997 +} + +@incollection{Kovacs97b, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Birational algebraic geometry (Baltimore, MD, 1996)}, + Mrclass = {14F40 (14D07 14F05)}, + Mrnumber = {1462927 (98f:14014)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {89--100}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Relative de {R}ham complex for non-smooth morphisms}, + Volume = 207, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs97c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14D99)}, + Mrnumber = {1464907 (98h:14039)}, + Mrreviewer = {Yoshiaki Fukuma}, + Number = 2, + Pages = {347--359}, + Title = {Families over a base with a birationally nef tangent bundle}, + Volume = 308, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs99, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Doi = {10.1023/A:1001120909269}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05 14C30)}, + Mrnumber = {1713307 (2001g:14022)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 2, + Pages = {123--133}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois singularities: on the + conjectures of {K}ollár and {S}teenbrink}, + Url = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269}, + Volume = 118, + Year = 1999, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269} +} + +@book{Kr84, + Address = {Braunschweig}, + Author = {Kraft, Hanspeter}, + Isbn = {3-528-08525-8}, + Mrclass = {14D25 (14L30)}, + Mrnumber = {768181 (86j:14006)}, + Mrreviewer = {J. C. Fogarty}, + Pages = {x+308}, + Publisher = {Friedr. Vieweg \& Sohn}, + Series = {Aspects of Mathematics, D1}, + Title = {Geometrische {M}ethoden in der {I}nvariantentheorie}, + Year = 1984 +} + +@article{Kras75, + Author = {V.A. Krasnov}, + Journal = {Math. Notes}, + Note = {translation from Mat. Zametki, 17, 119-122 (1975). [ISSN + 0001-4346]}, + Pages = {69--71}, + Title = {Compact complex manifolds without meromorphic functions}, + Volume = 17, + Year = 1975 +} + +@incollection{L00, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Booktitle = {School on Algebraic Geometry (Trieste, 1999)}, + Mrclass = {14H10 (14C17 14H15 14H81)}, + Mrnumber = {1795865 (2001k:14053)}, + Mrreviewer = {Marco Boggi}, + Pages = {267--291}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {A minicourse on moduli of curves}, + Volume = 1, + Year = 2000 +} + +@article{L02, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14D10 (11S40 14A20 14G99)}, + Mrnumber = {1886763 (2003k:14010)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol.\ 1999/2000}, + Number = 276, + Pages = {267--297}, + Title = {Motivic measures}, + Year = 2002 +} + +@article{LBS94, + Author = {LeBrun, Claude and Salomon, Simon}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 1, + Pages = {109-132}, + Title = {Strong rigidity of positive quaternion-Kaler manifolds}, + Volume = 118, + Year = 1994 +} + +@misc{LR96, + Author = {N. Lauritzen and A. Rao}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/9604012}, + Title = {Elementary counterexamples to Kodaira vanishing in prime characteristic} +} + +@article {LT18, + AUTHOR = {Lu, Steven and Taji, Behrouz}, + TITLE = {A characterization of finite quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}{DOI:10.1093/imrn/rnw251}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1410.0063}{arXiv:1410.0063}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {292--319}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14K20 (14B05 14F05 14J17)}, + MRNUMBER = {3801432}, +MRREVIEWER = {Fumio Hazama}, + DOI = {10.1093/imrn/rnw251}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}, +} + +@article{LV, + Author = {D. Luna and T. Vust}, + Journal = {Comment Math. Helv.}, + Pages = {186--245}, + Title = {Plongements d'espaces {homogènes}}, + Volume = 58, + Year = 1983 +} + +@Unpublished{LWY20, + author = {Liu, Jie and Ou, Wenhao and Yang, Xiaokui}, + title = {Projective manifolds whose tangent bundle contains a strictly nef subsheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.08507}{arXiv:2004.08507}}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + +@article{Lai11, + Author = {Lai, Ching-Jui}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-010-0574-7}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2805635 (2012e:14032)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = 3, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}{DOI:10.1007/s00208-010-0574-7}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0912.3012}{arXiv:0912.3012}}, + Pages = {533--547}, + Title = {Varieties fibered by good minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}, + Volume = 350, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7} +} + +@book{Lang95, + Address = {New York}, + Author = {Lang, Serge}, + Edition = {Third}, + Isbn = {0-387-94338-2}, + Mrclass = {53-01 (58-01)}, + Mrnumber = {1335233 (96d:53001)}, + Mrreviewer = {Sorin Dragomir}, + Pages = {xiv+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential and {R}iemannian manifolds}, + Volume = 160, + Year = 1995 +} + +@article{Langer04a, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = {2051393 (2005c:14021)}, + Mrreviewer = {Vikram B. Mehta}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2004.159.251}{DOI:10.4007/annals.2004.159.251}}, + Number = 1, + Pages = {251--276}, + Title = {Semistable sheaves in positive characteristic}, + Volume = 159, + Year = 2004 +} + +@article{Langer04b, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = 2144978, + Number = 3, + Pages = {1211--1213}, + Title = {Addendum to: ``{S}emistable sheaves in positive + characteristic'' [{A}nn. of {M}ath. (2) {\bf 159} (2004), + no. 1, 251--276; MR 2051393]}, + Volume = 160, + Year = 2004 +} + +@article{Langer2003, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@article{Laufer73, + Author = {Laufer, Henry B.}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {0333238 (48 \#11563)}, + Mrreviewer = {J. Stutz}, + Pages = {131--164}, + Title = {Taut two-dimensional singularities}, + Volume = 205, + Year = 1973 +} + +@book {Laz04-I, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {I}. Classical setting: line + bundles and linear series}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.}, + VOLUME = 48, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+387}, + ISBN = {3-540-22533-1}, + MRCLASS = {14-02 (14C20)}, + MRNUMBER = 2095471, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@book {Laz04-II, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {II}}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 49, + NOTE = {Positivity for vector bundles, and multiplier + ideals. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+385}, + ISBN = {3-540-22534-X}, + MRCLASS = {14-02 (14C20 14F05 14F17)}, + MRNUMBER = 2095472, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@article{Laz80, + Author = {Lazarsfeld, Robert}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E22 (14F25)}, + Mrnumber = {578722 (81g:14007)}, + Mrreviewer = {Norman Goldstein}, + Number = 2, + Pages = {153--162}, + Title = {A {B}arth-type theorem for branched coverings of projective + space}, + Volume = 249, + Year = 1980 +} + +@incollection{Laz84, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {{Complete Intersections}}, + Editor = {S. Greco and R. Strano}, + Pages = {29--61}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {{Some applications to the theory of positive vector bundles, + Proceedings Acireale}}, + Volume = 1092, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Laz93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry. Lectures of a summer program}, + Editor = {J. Kollar}, + Number = 3, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {163--219}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {{Lectures on linear series. With the assistance of Guillermo + Fernandez del Busto.}}, + Year = 1997 +} + +@article{Leb95, + Author = {LeBrun, Claude}, + Journal = {Int. Journ. of Maths.}, + Number = 3, + Pages = {419--437}, + Title = {Fano Manifolds, Contact Structures and Quaternionic Geometry}, + Volume = 6, + Year = 1995 +} + +@inproceedings{Leb97, + Address = {Santa Cruz}, + Author = {LeBrun, Claude}, + Booktitle = {Algebraic Geometry}, + Editor = {J.~Kollár et al}, + Pages = {361--385}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Twistors for tourists: A pocket guide for algebraic geometers}, + Volume = {62(2)}, + Year = 1995 +} + +@book{Lesc, + Address = {Boston}, + Author = {F. Lescure}, + Publisher = {Gaulthier-Villars}, + Series = {Bulletin del la societe mathematique de france}, + Title = {Compactifications Équivariantes par des Courbes}, + Volume = 26, + Year = 1987 +} + +@incollection{Lib78, + Author = {David Lieberman}, + Booktitle = {Fonctions de Plusieurs Variables Complexes III}, + Editor = {Francois Norguet}, + Number = 670, + Pages = {140--186}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Note in Mathematics}, + Title = {Compactness of the {C}how scheme: Applications to + Automorphisms and Deformations of Kähler Manifolds}, + Year = 1978 +} + +@article{LiedtkeFundamentalGroups, + Author = {Liedtke, Christian}, + Coden = {TAMTAM}, + Doi = {10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E20 (14J29)}, + Mrnumber = {2574891 (2011e:14029)}, + Number = 4, + Pages = {2167--2188}, + Title = {Fundamental groups of {G}alois closures of generic + projections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Volume = 362, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1} +} + +@mastersthesis{Lohmann08, + Author = {Lohmann, Daniel}, + Note = {URN: urn:nbn:de:hbz:38-27137, URL: + \href{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}}, + School = {University of Cologne}, + Title = {Deformationen entlang integrabler {U}ntergarben des + {T}angentialbündels}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2008 +} + +@article{Lojasiewicz64, + Author = {Lojasiewicz, S.}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.25}, + Mrnumber = {0173265 (30 \#3478)}, + Mrreviewer = {S. S. Cairns}, + Pages = {449--474}, + Title = {Triangulation of semi-analytic sets}, + Volume = 18, + Year = 1964 +} + +@misc{Lu02, + Author = {Lu, Steven S.Y.}, + Month = {November}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0211029v3}{arXiv:0211029v3}}, + Title = {A refined {K}odaira dimension and its canonical fibration}, + Year = 2002 +} + +@article{Luetkebohmert, + Author = {Lütkebohmert, W.}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/BF03026540}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14A15 (14N05)}, + Mrnumber = {1226600 (94h:14004)}, + Number = 1, + Pages = {95--111}, + Title = {On compactification of schemes}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF03026540}, + Volume = 80, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF03026540} +} + +@article{M01, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14M10 17B99)}, + Mrnumber = {1856396 (2002f:14005)}, + Mrreviewer = {Eugenii Shustin}, + Note = {With an appendix by David Eisenbud and Edward Frenkel}, + Number = 3, + Pages = {397--424}, + Title = {Jet schemes of locally complete intersection canonical + singularities}, + Volume = 145, + Year = 2001 +} + +@article{M02, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B05 (14B10 14E30)}, + Mrnumber = {1896234 (2003b:14005)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {599--615 (electronic)}, + Title = {Singularities of pairs via jet schemes}, + Volume = 15, + Year = 2002 +} + +@article{M03, + Author = {Ein, Lawrence and Mustaţă, Mircea and Yasuda, Takehiko}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E15 14N30)}, + Mrnumber = {2000468 (2004f:14028)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {519--535}, + Title = {Jet schemes, log discrepancies and inversion of adjunction}, + Volume = 153, + Year = 2003 +} + +@book{M86, + Author = {H. Matsumura}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Title = {Commutative ring theory}, + Year = 1986 +} + +@phdthesis{MJ87, + Annote = {Kebekus: This paper contains a combinatiorial classification + of the (equivariant) compactifications of $SL_2/\Gamma$, where + $\Gamma$ is a discrete subgroup. It is said to be similar to + the combinatorics of torus embeddings --just more + complicated. I never read it.}, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Note = {Thèse No. 2259}, + School = {Université de Genève}, + Title = {Normal Embeddings of $SL_2/\Gamma$}, + Year = 1987 +} + +@article{MJ90, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Journal = {J. Algebra}, + Number = 132, + Pages = {384-405}, + Title = {{Smooth Embeddings of $SL(2)$ and $PGL(2)$}}, + Volume = 2, + Year = 1990 +} + +@article{MM86, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J40}, + Mrnumber = {847952 (87k:14046)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Number = 1, + Pages = {65--69}, + Title = {A numerical criterion for uniruledness}, + Volume = 124, + Year = 1986 +} + +@article{MN63, + Author = {Y. Morimoto and T. Nagano}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Pages = {289--300}, + Title = {On pseudo-conformal tZisformation of hypersurfaces}, + Volume = 15, + Year = 1963 +} + +@book{MP97, + Address = {Basel}, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Peternell, Thomas}, + Isbn = {3-7643-5490-9}, + Mrclass = {14-02 (14Hxx 14Jxx)}, + Mrnumber = {1468476 (98g:14001)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {vi+217}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag}, + Series = {DMV Seminar}, + Title = {Geometry of higher-dimensional algebraic varieties}, + Volume = 26, + Year = 1997 +} + +@article{MR0033093, + Author = {Chow, Wei-Liang}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0033093 (11,389f)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {893--914}, + Title = {On compact complex analytic varieties}, + Volume = 71, + Year = 1949 +} + +@book{MR0039258, + Address = {Princeton, N. J.}, + Author = {Steenrod, Norman}, + Mrclass = {56.0X}, + Mrnumber = {0039258 (12,522b)}, + Mrreviewer = {S. Chern}, + Pages = {viii+224}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series, vol. 14}, + Title = {The {T}opology of {F}ibre {B}undles}, + Year = 1951 +} + +@article {MR0057539, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Eckmann, Beno}, + TITLE = {A class of compact, complex manifolds which are not algebraic}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 58, + YEAR = 1953, + PAGES = {494--500}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {56.0X}, + MRNUMBER = 0057539, + MRREVIEWER = {S. Chern}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1969750}{DOI:10.2307/1969750}}, +} + +@article{MR0063120, + Author = {Kodaira, K.}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0063120 (16,74b)}, + Mrreviewer = {P. Dolbeault}, + Pages = {865--868}, + Title = {On cohomology groups of compact analytic varieties with + coefficients in some analytic faisceaux}, + Volume = 39, + Year = 1953 +} + +@article{MR0066010, + Author = {Cartan, Henri and Serre, Jean-Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0066010 (16,517e)}, + Mrreviewer = {P. E. Conner}, + Pages = {128--130}, + Title = {Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques + compactes}, + Volume = 237, + Year = 1953 +} + +@article {MR0068872, + AUTHOR = {Baily, Walter L.}, + TITLE = {On the quotient of an analytic manifold by a group of analytic + homeomorphisms}, + JOURNAL = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + VOLUME = 40, + YEAR = 1954, + PAGES = {804--808}, + ISSN = {0027-8424}, + MRCLASS = {14.0X}, + MRNUMBER = {0068872 (16,953a)}, + MRREVIEWER = {P. Dolbeault}, +} + +@article{MR0068874, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0068874 (16,953c)}, + Mrreviewer = {C. Chevalley}, + Pages = {197--278}, + Title = {Faisceaux algébriques cohérents}, + Volume = 61, + Year = 1955 +} + +@article{MR0083045, + Author = {Stein, Karl}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {30.0X}, + Mrnumber = {0083045 (18,649c)}, + Mrreviewer = {H. Behnke}, + Pages = {63--93}, + Title = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}äume}, + Volume = 132, + Year = 1956 +} + +@incollection{MR0084174, + Author = {Cartan, Henri}, + Title = {Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes}, + Booktitle = {Algebraic geometry and topology}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0084174 (18,823b)}, + Mrreviewer = {W. L. Baily}, + Note = {A symposium in honor of S. Lefschetz, \href{https://doi.org/10.1515/9781400879915-007}{DOI:10.1515/9781400879915-007},}, + Pages = {90--102}, + Publisher = {Princeton University Press, Princeton, N. J.}, + Year = {1957} +} + +@article{MR0095846, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {14.00 (13.00)}, + Mrnumber = {0095846 (20 \#2344)}, + Mrreviewer = {P. Abellanas}, + Pages = {791--796}, + Title = {On the purity of the branch locus of algebraic functions}, + Volume = 44, + Year = 1958 +} + +@article{MR0099450, + Author = {Cartan, Henri}, + Fjournal = {Journal d'Analyse Mathématique}, + Issn = {0021-7670}, + Journal = {J. Analyse Math.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0099450 (20 \#5889)}, + Mrreviewer = {M. J. O. Strutt}, + Pages = {169--175}, + Title = {Fonctions automorphes et séries de {P}oincaré}, + Volume = 6, + Year = 1958 +} + +@article {MR0102537, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Sur quelques points d'algèbre homologique}, + JOURNAL = {Tôhoku Math. J. (2)}, + FJOURNAL = {The Tohoku Mathematical Journal. Second Series}, + VOLUME = 9, + YEAR = 1957, + PAGES = {119--221}, + ISSN = {0040-8735}, + MRCLASS = {18.00}, + MRNUMBER = 0102537, +MRREVIEWER = {D. Buchsbaum}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}{DOI:10.2748/tmj/1178244839}}, + DOI = {10.2748/tmj/1178244839}, + URL = {https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}, +} + +@article{MR0103285, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0103285 (21 \#2063)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {245--318}, + Title = {Komplexe {R}äume}, + Volume = 136, + Year = 1958 +} + +@article{MR0106930, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {16.00 (14.00)}, + Mrnumber = {0106930 (21 \#5660)}, + Mrreviewer = {M. Auslander}, + Pages = {328--333}, + Title = {On the purity of branch loci in regular local rings}, + Volume = 3, + Year = 1959 +} + +@article {MR0111058, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Vesentini, Edoardo}, + TITLE = {On compact, locally symmetric {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 71, + YEAR = 1960, + PAGES = {472--507}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {57.00}, + MRNUMBER = 0111058, + MRREVIEWER = {L. Auslander}, +} + +@article{MR0148941, + Author = {Scheja, Günter}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.27}, + Mrnumber = {0148941 (26 \#6437)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {345--360}, + Title = {Riemannsche {H}ebbarkeitssätze für {C}ohomologieklassen}, + Volume = 144, + Year = 1961 +} + +@article{MR0150789, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.47 (22.70)}, + Mrnumber = {0150789 (27 \#776)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01470762}{DOI:10.1007/BF01470762}}, + Pages = {327--360}, + Title = {Komplexe {R}äume mit komplexen {T}ransformationsgruppen}, + Volume = 150, + Year = 1963 +} + +@article{MR0153682, + Author = {Mumford, David}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.55)}, + Mrnumber = {0153682 (27 \#3643)}, + Mrreviewer = {T. Matsusaka}, + Number = 9, + Pages = {5--22}, + Title = {The topology of normal singularities of an algebraic surface + and a criterion for simplicity}, + Year = 1961 +} + +@article {MR0154929, + AUTHOR = {Solomon, Louis}, + TITLE = {Invariants of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + VOLUME = 22, + YEAR = 1963, + PAGES = {57--64}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {20.75 (14.08)}, + MRNUMBER = {0154929 (27 \#4872)}, + MRREVIEWER = {R. Steinberg}, +} + +@article {MR0157971, + AUTHOR = {Manin, Juri I.}, + TITLE = {Rational points on algebraic curves over function fields}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 27, + YEAR = 1963, + PAGES = {1395--1440}, + ISSN = {0373-2436}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1142/9789812830517_0002}{DOI:10.1142/9789812830517\_0002}}, + MRCLASS = {14.40 (10.10)}, + MRNUMBER = 0157971, + MRREVIEWER = {S. Lang}, +} + +@article {MR0158415, + AUTHOR = {Vinberg, Ernest B. and Gindikin, Simon G. and + Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Classification and canonical realization of complex + homogeneous bounded domains}, + JOURNAL = {Trudy Moskov. Mat. Ob\v s\v c.}, + FJOURNAL = {Trudy Moskovskogo Matemati\v ceskogo Ob\v s\v cestva}, + VOLUME = 12, + YEAR = 1963, + PAGES = {359--388}, + ISSN = {0134-8663}, + MRCLASS = {22.70 (32.32)}, + MRNUMBER = 0158415, + MRREVIEWER = {A. Korányi}, +} + +@article{MR0186672, + Author = {Lipman, Joseph}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.52}, + Mrnumber = {0186672 (32 \#4130)}, + Mrreviewer = {M. Nagata}, + Pages = {874--898}, + Title = {Free derivation modules on algebraic varieties}, + Volume = 87, + Year = 1965 +} + +@article{MR0190143, + Author = {{\v{S}}afarevi{\v{c}}, I. R. and Averbuh, B. G. and + Va{\u\i}nberg, Ju. R. and {\v{Z}}i{\v{z}}{\v{c}}enko, + A. B. and Manin, Ju. I. and Mo{\u\i}{\v{s}}ezon, B. G. and + Tjurina, G. N. and Tjurin, A. N.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni + V. A. Steklova}, + Issn = {0371-9685}, + Journal = {Trudy Mat. Inst. Steklov.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0190143 (32 \#7557)}, + Mrreviewer = {E. C. Dade}, + Pages = {1--215}, + Title = {Algebraic surfaces}, + Volume = 75, + Year = 1965 +} + +@article{MR0199191, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {0199191 (33 \#7340)}, + Mrreviewer = {P. Du Val}, + Pages = {129--136}, + Title = {On isolated rational singularities of surfaces}, + Volume = 88, + Year = 1966 +} + +@book{MR0202713, + Author = {Hirzebruch, Friedrich}, + Mrclass = {14.00 (32.00)}, + Mrnumber = {0202713 (34 \#2573)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {x+232}, + Publisher = {Springer-Verlag New York, Inc., New York}, + Series = {Third enlarged edition. New appendix and translation from the + second German edition by R. L. E. Schwarzenberger, with an + additional section by A. Borel. Die Grundlehren der + Mathematischen Wissenschaften, Band 131}, + Title = {Topological methods in algebraic geometry}, + Year = 1966 +} + +@article {MR0204430, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Compléments à un article de {H}ans {G}rauert sur la conjecture + de {M}ordell}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}{numdam.PMIHES-1966-29-55-0}}, + NUMBER = 29, + YEAR = 1966, + PAGES = {55--62}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.49 (14.40)}, + MRNUMBER = 0204430, + MRREVIEWER = {J. V. Armitage}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}, +} + +@article{MR0210944, + Author = {Prill, David}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32.65 (10.23)}, + Mrnumber = {0210944 (35 \#1829)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {375--386}, + Title = {Local classification of quotients of complex manifolds by + discontinuous groups}, + Volume = 34, + Year = 1967 +} + +@article {MR0212214, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 16, + YEAR = 1966, + NUMBER = {fasc. 1}, + PAGES = {363--374}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32.50 (32.27)}, + MRNUMBER = 0212214, + MRREVIEWER = {B. Shiffman}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1966__16_1_363_0}, +} + +@article {MR0222087, + AUTHOR = {Grauert, Hans}, + TITLE = {Mordells {V}ermutung über rationale {P}unkte auf algebraischen + {K}urven und {F}unktionenkörper}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}{numdam.PMIHES-1965-25-131-0}}, + NUMBER = 25, + YEAR = 1965, + PAGES = {131--149}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222087, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}, +} + +@book {MR0222088, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Lectures on old and new results on algebraic curves}, + SERIES = {Notes by S. Anantharaman. Tata Institute of Fundamental + Research Lectures on Mathematics, No. 36}, + PUBLISHER = {Tata Institute of Fundamental Research, Bombay}, + NOTE = {Available on the internet at + \href{http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/index.html}{www.math.tifr.res.in/$\sim$publ/ln/index.html}}, + YEAR = 1966, + PAGES = {ii+127+iii}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222088, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, +} + +@article {MR0223368, + AUTHOR = {Shimura, Goro}, + TITLE = {Algebraic varieties without deformation and the {C}how + variety}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 20, + YEAR = 1968, + PAGES = {336--341}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14.20}, + MRNUMBER = 0223368, + MRREVIEWER = {S. Lubkin}, +} + +@book{MR0242802, + Author = {Atiyah, Michael F. and Macdonald, Ian G.}, + Mrclass = {13.00}, + Mrnumber = {0242802 (39 \#4129)}, + Mrreviewer = {J. A. Johnson}, + Pages = {ix+128}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don + Mills, Ont.}, + Title = {Introduction to commutative algebra}, + Year = 1969 +} + +@article{MR0245837, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0245837 (39 \#7143)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {108--143}, + Title = {Extending coherent analytic sheaves}, + Volume = 90, + Year = 1969 +} + +@book {MR0252690, + AUTHOR = {Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Automorphic functions and the geometry of classical domains}, + SERIES = {Translated from the Russian. Mathematics and Its Applications, + Vol. 8 }, + PUBLISHER = {Gordon and Breach Science Publishers, New York-London-Paris}, + YEAR = 1969, + PAGES = {viii+264}, + MRCLASS = {32.65}, + MRNUMBER = 0252690, +} + +@article{MR0257070, + Author = {Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13.95 (32.00)}, + Mrnumber = {0257070 (41 \#1724)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {93--104}, + Title = {{ü}ber die {D}ivisorenklassengruppen normaler + komplexanalytischer {A}lgebren}, + Volume = 183, + Year = 1969 +} + +@book {MR0260758, + AUTHOR = {Raynaud, Michel}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les schémas en groupes et les espaces homogènes}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 119}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1970}, + PAGES = {ii+218}, + MRCLASS = {14.55}, + MRNUMBER = {0260758}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0059504}{DOI:10.1007/BFb0059504}}, +MRREVIEWER = {D. Gieseker}, +} + +@incollection {MR0261635, + AUTHOR = {Baum, Paul F. and Bott, Raoul}, + TITLE = {On the zeros of meromorphic vector-fields}, + BOOKTITLE = {Essays on {T}opology and {R}elated {T}opics ({M}émoires dédiés à {G}eorges de {R}ham)}, + PAGES = {29--47}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + YEAR = {1970}, + MRCLASS = {57.60 (32.00)}, + MRNUMBER = {0261635}, +MRREVIEWER = {H. Suzuki}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-49197-9_4}{DOI:10.1007/978-3-642-49197-9\_4}}, +} + +@article{MR0262386, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {20.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0262386 (41 \#6994)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01719593}{DOI:10.1007/BF01719593}}, + Pages = {375--396}, + Title = {Représentations linéaires et compactification profinie des + groupes discrets}, + Volume = 2, + Year = 1970 +} + +@book{MR0278248, + Address = {Berlin}, + Author = {Lascoux, Alain and Berger, Marcel}, + Mrclass = {53.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0278248 (43 \#3979)}, + Mrreviewer = {T. Ochiai}, + Pages = {vii+83}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 154}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes compactes}, + Year = 1970 +} + +@article {MR0279338, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel}, + TITLE = {Complexe dualisant et théorèmes de dualité en géométrie + analytique complexe}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NUMBER = 38, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}{numdam.PMIHES-1970-38-77-0}}, + YEAR = 1970, + PAGES = {77--91}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {32.50}, + MRNUMBER = 0279338, + MRREVIEWER = {Y.-T. Siu}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}, +} + +@book{MR0287033, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong and Trautmann, Günther}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0287033 (44 \#4240)}, + Mrreviewer = {W. Thimm}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0060577}{DOI:10.1007/BFb0060577}}, + Pages = {v+172}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 172}, + Title = {Gap-sheaves and extension of coherent analytic subsheaves}, + Year = 1971 +} + +@article{MR0306172, + Author = {Scheja, Günter and Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13B10}, + Mrnumber = {0306172 (46 \#5299)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {137--170}, + Title = {Differentielle {E}igenschaften der {L}okalisierungen + analytischer {A}lgebren}, + Volume = 197, + Year = 1972 +} + +@article {MR0308439, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel and Verdier, Jean-Louis}, + TITLE = {Dualité relative en géométrie analytique complexe}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 13, + YEAR = 1971, + PAGES = {261--283}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32C35 (14B10)}, + MRNUMBER = 0308439, + MRREVIEWER = {W. Thimm}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01406078}{DOI:10.1007/BF01406078}}, + DOI = {10.1007/BF01406078}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01406078}, +} + +@article{MR0322209, + Author = {Horikawa, Eiji}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Mrclass = {32G99 (32C10 32H99)}, + Mrnumber = {0322209 (48 \#571)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {372--396}, + Title = {On deformations of holomorphic maps. {I}}, + Volume = 25, + Year = 1973 +} + +@book{MR0335656, + Address = {New York}, + Author = {Wehrfritz, Bertram A. F.}, + Mrclass = {20HXX}, + Mrnumber = {0335656 (49 \#436)}, + Mrreviewer = {I. Stewart}, + Note = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 76. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-87081-1}{DOI:10.1007/978-3-642-87081-1}}, + Pages = {xiv+229}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Infinite linear groups. {A}n account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices}, + Year = 1973 +} + +@article {MR0337963, + AUTHOR = {Sumihiro, Hideyasu}, + TITLE = {Equivariant completion}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = 14, + YEAR = 1974, + PAGES = {1--28}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14E25 (20G99)}, + MRNUMBER = 0337963, + MRREVIEWER = {V. L. Popov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}{DOI:10.1215/kjm/1250523277}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523277}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}, +} + +@article{MR0344519, + Author = {Schlessinger, Michael}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32C40 (14B10)}, + Mrnumber = {0344519 (49 \#9258)}, + Mrreviewer = {Bernard Teissier}, + Note = {Complex analysis, 1972 (Proc. Conf., Rice Univ., Houston, + Tex., 1972), Vol. I: Geometry of singularities}, + Number = 1, + Pages = {147--162}, + Title = {On rigid singularities}, + Volume = 59, + Year = 1973 +} + +@book {MR0354798, + AUTHOR = {MacLane, Saunders}, + TITLE = {Categories for the working mathematician}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, Vol.~5. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4721-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-4721-8}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = {1971}, + PAGES = {ix+262}, + MRCLASS = {18-02}, + MRNUMBER = {0354798}, +MRREVIEWER = {H.-B. Brinkmann}, +} + +@article{MR0360585, + Author = {Hochster, Melvin}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (13F99 14M10)}, + Mrnumber = {0360585 (50 \#13033)}, + Mrreviewer = {Tadayuki Matsuoka}, + Pages = {261--262}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for homogeneous complete + intersections}, + Volume = 49, + Year = 1975 +} + +@article {MR0360616, + AUTHOR = {Kleiman, Steven L.}, + TITLE = {The transversality of a general translate}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1974, + PAGES = {287--297}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14M15 (14N10)}, + MRNUMBER = 0360616, + MRREVIEWER = {Joel Roberts}, + NOTE = + {\href{http://http://www.numdam.org/item?id=CM_1974__28_3_287_0}{numdam.CM-1974-28-3-287-0}}, +} + +@article {MR0370665, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {On the maximally overdetermined system of linear differential + equations. {I}}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + VOLUME = 10, + YEAR = {1974/75}, + PAGES = {563--579}, + ISSN = {0034-5318}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}{DOI:10.2977/prims/1195192011}}, + MRCLASS = {58G15 (32C35 35N05)}, + MRNUMBER = 0370665, + MRREVIEWER = {P. Schapira}, + DOI = {10.2977/prims/1195192011}, + URL = {https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}, +} + +@article{MR0376678, + Author = {{D}u~{B}ois, Philippe and Jarraud, Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0376678 (51 \#12853)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {745--747}, + Title = {Une propriété de commutation au changement de base des images + directes supérieures du faisceau structural}, + Volume = 279, + Year = 1974 +} + +@book {MR0385004, + AUTHOR = {Mostow, G. D.}, + TITLE = {Strong rigidity of locally symmetric spaces}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies, No. 78}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {v+195}, + MRCLASS = {22E40 (53C35)}, + MRNUMBER = {0385004}, +MRREVIEWER = {M. S. Raghunathan}, +} + +@book {MR0396773, + AUTHOR = {Humphreys, James E.}, + TITLE = {Linear algebraic groups}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, No. 21. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9443-3}{DOI:10.1007/978-1-4684-9443-3}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Heidelberg}, + YEAR = {1975}, + PAGES = {xiv+247}, + MRCLASS = {20GXX (14LXX)}, + MRNUMBER = {0396773}, +MRREVIEWER = {T. Ono}, +} + +@article {MR0397729, + AUTHOR = {Deligne, Pierre and Sullivan, Dennis}, + TITLE = {Fibrés vectoriels complexes à groupe structural discret}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B}, + VOLUME = 281, + YEAR = 1975, + NUMBER = 24, + PAGES = {Ai, A1081--A1083}, + MRCLASS = {55F10 (32L05)}, + MRNUMBER = 0397729, + MRREVIEWER = {P. E. Newstead}, +} + +@article{MR0404257, + Author = {Fulton, William}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14C15)}, + Mrnumber = {0404257 (53 \#8060)}, + Mrreviewer = {J.-P. Jouanolou}, + Number = 45, + Pages = {147--167}, + Title = {Rational equivalence on singular varieties}, + Year = 1975 +} + +@book{MR0447557, + Address = {Berlin}, + Author = {Forster, Otto}, + Mrclass = {30A46 (32-01)}, + Mrnumber = {0447557 (56 \#5867)}, + Mrreviewer = {H. H. Martens}, + Note = {Heidelberger Taschenbücher, Band 184}, + Pages = {x+223}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Riemannsche {F}lächen}, + Year = 1977 +} + +@article{MR0451180, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {53C55 (14M20 32C10)}, + Mrnumber = {0451180 (56 \#9467)}, + Mrreviewer = {Bang-yen Chen}, + Number = 5, + Pages = {1798--1799}, + Title = {Calabi's conjecture and some new results in algebraic + geometry}, + Volume = 74, + Year = 1977 +} + +@article {MR0460317, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Die {S}ätze von {B}ertini für lokale {R}inge}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351596}{DOI:10.1007/BF01351596}}, + VOLUME = {229}, + YEAR = {1977}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {97--111}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {13H99 (14B10)}, + MRNUMBER = {0460317}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + DOI = {10.1007/BF01351596}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351596}, +} + +@article {MR0491722, + AUTHOR = {Lipman, Joseph}, + TITLE = {Desingularization of two-dimensional schemes}, + JOURNAL = {Ann. Math. (2)}, + VOLUME = 107, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1971141}{DOI:10.2307/1971141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {151--207}, + MRCLASS = {14J10}, + MRNUMBER = {0491722 (58 \#10924)}, + MRREVIEWER = {A. H. Wallace}, +} + +@article{MR0499299, + Author = {Hironaka, Heisuke}, + Fjournal = {Acta Mathematica Vietnamica}, + Issn = {0251-4184}, + Journal = {Acta Math. Vietnam.}, + Mrclass = {32C45}, + Mrnumber = {0499299 (58 \#17198)}, + Mrreviewer = {Tomas Sanchez Giralda}, + Number = 2, + Pages = {103--168}, + Title = {Bimeromorphic smoothing of a complex-analytic space}, + Volume = 2, + Year = 1977 +} + +@article{MR0799669, + Author = {Kobayashi, Ryoichi}, + Date-Added = {2015-06-19 15:12:21 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:15:09 +0000}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {385--398}, + Title = {Einstein-{K}ähler {V}-metrics on open {S}atake {V}-surfaces + with isolated quotient singularities}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01455566}{DOI:10.1007/BF01455566}}, + Volume = 272, + Year = 1985 +} + +@article{MR0833802, + Author = {Cheng, Shiu-Yuen and Yau, Shing-Tung}, + Date-Added = {2015-06-19 12:18:15 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 14:36:56 +0000}, + Journal = {Complex differential geometry and nonlinear differential + equations (Brunswick, Maine, 1984), Contemp. Math., + Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + Pages = {31-44}, + Title = {Inequality between {C}hern numbers of singular {K}ähler + surfaces and characterization of orbit space of discrete group + of $SU(2,1)$}, + Volume = 49, + Year = 1986 +} + +@article{MR0944606, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Date-Added = {2015-06-11 19:10:07 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:11:40 +0000}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 1, + Pages = {123-133}, + Title = {Existence and degeneration of Kähler-Einstein metrics on + minimal algebraic varieties of general type}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01449219}{DOI:10.1007/BF01449219}}, + Volume = 281, + Year = 1988 +} + +@article{MR0976585, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Date-Added = {2015-06-11 19:06:19 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:08:01 +0000}, + Journal = {Topology}, + Number = 4, + Pages = {429-442}, + Title = {Stability of tangent bundles of minimal algebraic varieties.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/0040-9383(88)90022-5}{DOI:10.1016/0040-9383(88)90022-5}}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@book {MR1002324, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Lectures on the {M}ordell-{W}eil theorem}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E15}, + NOTE = {Translated from the French and edited by Martin Brown from + notes by Michel + Waldschmidt. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}{DOI:10.1007/978-3-663-14060-3}}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = 1989, + PAGES = {x+218}, + ISBN = {3-528-08968-7}, + MRCLASS = {11G10 (11D41 11G30 14Gxx)}, + MRNUMBER = 1002324, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}, +} + +@article {MR1030189, + AUTHOR = {Kobayashi, Ryoichi and Nakamura, Shu and Sakai, Fumio}, + TITLE = {A numerical characterization of ball quotients for normal + surfaces with branch loci}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = 65, + YEAR = 1989, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}{euclid.pja/1195512773}.}, + NUMBER = 7, + PAGES = {238--241}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {32C10 (32J99 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1030189, + MRREVIEWER = {Alan Michael Nadel}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}, +} + +@article {MR1040197, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Harmonic bundles on noncompact curves}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 3, + YEAR = 1990, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1990935}{DOI:10.2307/1990935}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {713--770}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {58E20 (14C30 14H60 32G20)}, + MRNUMBER = 1040197, + MRREVIEWER = {N. J. Hitchin}, + DOI = {10.2307/1990935}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990935}, +} + +@book{MR1042981, + Address = {Redwood City, CA}, + Author = {Fulton, William}, + Isbn = {0-201-51010-3}, + Mrclass = {14Hxx (14-01)}, + Mrnumber = {1042981 (90k:14023)}, + Note = {An introduction to algebraic geometry, Notes written with the + collaboration of Richard Weiss, Reprint of 1969 + original. Freely available from the author's web site at + \url{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton}.}, + Pages = {xxii+226}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program}, + Series = {Advanced Book Classics}, + Title = {Algebraic curves}, + Year = 1989 +} + +@incollection {MR1044586, + AUTHOR = {Knop, Friedrich and Kraft, Hanspeter and Vust, Thierry}, + TITLE = {The {P}icard group of a {$G$}-variety}, + BOOKTITLE = {Algebraische {T}ransformationsgruppen und + {I}nvariantentheorie}, + SERIES = {DMV Sem.}, + VOLUME = 13, + PAGES = {77--87}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = 1989, + MRCLASS = {14C22 (14D25 14L30)}, + MRNUMBER = 1044586, +} + +@book {MR1059457, + AUTHOR = {Gunning, Robert C.}, + TITLE = {Introduction to holomorphic functions of several variables. + {V}ol. {III}. Homological theory}, + SERIES = {The Wadsworth \& Brooks/Cole Mathematics Series}, + PUBLISHER = {Wadsworth \& Brooks/Cole Advanced Books \& Software, Monterey, + CA}, + YEAR = 1990, + PAGES = {xx+194}, + ISBN = {0-534-13310-X}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1059457, + MRREVIEWER = {Eric Bedford}, +} + +@article {MR1096125, + AUTHOR = {Vojta, Paul}, + TITLE = {On algebraic points on curves}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1991, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1991__78_1_29_0}{numdam.CM-1991-78-1-29-0}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {29--36}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {11G30 (14H05)}, + MRNUMBER = 1096125, + MRREVIEWER = {I. V. Dolgachev}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1991__78_1_29_0}, +} + +@article {MR1096426, + AUTHOR = {Coleman, Robert F.}, + TITLE = {Manin's proof of the {M}ordell conjecture over function + fields}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1990}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {393--427}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {11G30}, + MRNUMBER = {1096426}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-57915}{DOI:10.5169/seals-57915}} +} + +@article {MR1106753, + AUTHOR = {Voloch, José F.}, + TITLE = {On the conjectures of {M}ordell and {L}ang in positive + characteristics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 104, + YEAR = 1991, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01245094}{DOI:10.1007/BF01245094}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--646}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {11G30 (14H25)}, + MRNUMBER = 1106753, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01245094}, +} + +@article {MR1109353, + AUTHOR = {Faltings, Gerd}, + TITLE = {Diophantine approximation on abelian varieties}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {133}, + YEAR = {1991}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {549--576}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {11G10 (11J99)}, + MRNUMBER = {1109353}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + DOI = {10.2307/2944319}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2944319}, +} + +@article {MR1144433, + AUTHOR = {Schneider, Michael}, + TITLE = {Symmetric differential forms as embedding obstructions and + vanishing theorems}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {175--181}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14F17}, + MRNUMBER = {1144433}, +MRREVIEWER = {Mei Chu Chang}, +} + +@article{MR1144434, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1144434 (93e:14016)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 2, + Pages = {183--190}, + Title = {Unobstructed deformations. {A} remark on a paper of + {Z}. {R}an: ``{D}eformations of manifolds with torsion or + negative canonical bundle'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 1} + (1992), no.\ 2, 279--291; {MR}1144440 (93e:14015)]}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@incollection {MR1145250, + AUTHOR = {Enoki, Ichiro}, + TITLE = {Compact {R}icci-flat {K}ähler manifolds}, + BOOKTITLE = {Kähler metric and moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 18, + PAGES = {229--256}, + PUBLISHER = {Academic Press, Boston, MA}, + YEAR = 1990, + MRCLASS = {53C25 (32J27 32L07 53C55)}, + MRNUMBER = 1145250, + MRREVIEWER = {Yang Lian Pan}, +} + +@article{MR1145268, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Date-Added = {2015-06-19 14:43:30 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-20 11:59:48 +0000}, + Journal = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Pages = {417--433}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = {18-I}, + Year = 1990 +} + +@book {MR1153249, + AUTHOR = {Fulton, William and Harris, Joe}, + TITLE = {Representation theory. A first course}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 129, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1991, + PAGES = {xvi+551}, + ISBN = {0-387-97527-6; 0-387-97495-4}, + MRCLASS = {20G05 (17B10 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 1153249, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}{DOI:10.1007/978-1-4612-0979-9}.}, + DOI = {10.1007/978-1-4612-0979-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}, +} + +@article{MR1157844, + Author = {Le Potier, Joseph}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14C30 (14D07 14D20 32J25 53C07)}, + Mrnumber = {1157844 (93e:14012)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol. 1990/91}, + Number = {201-203}, + Pages = {Exp.\ No.\ 737, 221--268 (1992)}, + Title = {Fibrés de {H}iggs et systèmes locaux}, + Year = 1991 +} + +@inproceedings {MR1159261, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Nonabelian {H}odge theory}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of + {M}athematicians, {V}ol.\ {I}, {II} ({K}yoto, 1990)}, + PAGES = {747--756}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = 1991, + MRCLASS = {14C30 (14J60 22E40 32J27 58D27)}, + MRNUMBER = {1159261 (93c:14010)}, + MRREVIEWER = {Richard M. Hain}, +} + +@book {MR1162108, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {Classification theories of polarized varieties}, + SERIES = {London Mathematical Society Lecture Note Series}, + VOLUME = {155}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1990}, + PAGES = {xiv+205}, + ISBN = {0-521-39202-0}, + MRCLASS = {14C20 (14J40 14J60)}, + MRNUMBER = {1162108}, +MRREVIEWER = {Elvira Laura Livorni}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}{DOI:10.1017/CBO9780511662638}}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662638}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}, +} + +@article {MR1163733, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {On stability of the tangent bundles of {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = {3}, + YEAR = {1992}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}{DOI:10.1142/S0129167X92000175}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {401--413}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32L07 (14J45 53C25)}, + MRNUMBER = {1163733}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1142/S0129167X92000175}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}, +} + +@article {MR1165352, + AUTHOR = {Semmes, Stephen}, + TITLE = {Complex {M}onge-{A}mpère and symplectic manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {114}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {495--550}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32F07 (35J60 58F05)}, + MRNUMBER = {1165352}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/2374768}{DOI:10.2307/2374768}}, + DOI = {10.2307/2374768}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2374768}, +} + +@article {MR1166957, + AUTHOR = {Borisov, Alexander A. and Borisov, Lev A.}, + TITLE = {Singular toric {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{i} Sbornik}, + VOLUME = 183, + YEAR = 1992, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}{DOI:10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {134--141}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14M25)}, + MRNUMBER = 1166957, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + DOI = {10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, +} + +@book{MR1177168, + Author = {Katok, Svetlana}, + Isbn = {0-226-42582-7; 0-226-42583-5}, + Mrclass = {20H10 (30F35)}, + Mrnumber = {1177168 (93d:20088)}, + Mrreviewer = {I. Kra}, + Pages = {x+175}, + Publisher = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + Series = {Chicago Lectures in Mathematics}, + Title = {Fuchsian groups}, + Year = 1992 +} + +@article{MR1179076, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {32G13 (14D07 53C07 58D27 58E15)}, + Mrnumber = {1179076 (94d:32027)}, + Mrreviewer = {William Goldman}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02699491}{DOI:10.1007/BF02699491}, + \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}{numdam.PMIHES-1992-75-5-0}}, + Pages = {5--95}, + Title = {Higgs bundles and local systems}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}, + Volume = 75, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0} +} + +@book{MR1194180, + Address = {New York}, + Author = {Dimca, Alexandru}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Isbn = {0-387-97709-0}, + Mrclass = {32Sxx (14J70 32S25 32S50 57M25 57R45 58C27)}, + Mrnumber = {1194180 (94b:32058)}, + Mrreviewer = {Aleksandr G. Aleksandrov}, + Pages = {xvi+263}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Singularities and topology of hypersurfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2} +} + +@article{MR1240585, + Author = {García-Prada, Oscar}, + Coden = {CMPHAY}, + Fjournal = {Communications in Mathematical Physics}, + Issn = {0010-3616}, + Journal = {Comm. Math. Phys.}, + Mrclass = {53C07 (32L07 58E15)}, + Mrnumber = {1240585 (95d:53024)}, + Mrreviewer = {Steven B. Bradlow}, + Number = 3, + Pages = {527--546}, + Title = {Invariant connections and vortices}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}{euclid.cmp/1104253716}}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}, + Volume = 156, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716} +} + +@article {MR1253623, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {A note on nonvanishing and applications}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 72, + YEAR = 1993, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}{DOI:10.1215/S0012-7094-93-07228-6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/alg-geom/9302001}{arXiv:alg-geom/9302001}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {739--755}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14C20 (14D99)}, + MRNUMBER = {1253623 (95c:14007)}, + MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, +} + +@inproceedings {MR1291023, + AUTHOR = {Hartshorne, Robin}, + TITLE = {Generalized divisors on {G}orenstein schemes}, + BOOKTITLE = {Proceedings of {C}onference on {A}lgebraic {G}eometry and {R}ing {T}heory in honor of {M}ichael {A}rtin, {P}art {III} ({A}ntwerp, 1992)}, + JOURNAL = {$K$-Theory}, + FJOURNAL = {$K$-Theory. An Interdisciplinary Journal for the Development, Application, and Influence of $K$-Theory in the Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {1994}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF00960866}{DOI:10.1007/BF00960866}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {287--339}, + ISSN = {0920-3036}, + MRCLASS = {14C20 (14A15 14M06)}, + MRNUMBER = {1291023}, +MRREVIEWER = {G. Horrocks}, + DOI = {10.1007/BF00960866}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF00960866}, +} + +@article {MR1295591, + AUTHOR = {Gray, Jeremy}, + TITLE = {On the history of the {R}iemann mapping theorem}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl.}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. + Supplemento}, + NUMBER = 34, + YEAR = 1994, + PAGES = {47--94}, + MRCLASS = {30C35 (01A55)}, + MRNUMBER = 1295591, + MRREVIEWER = {D. H. Hamilton}, +} + +@article{MR1298542, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi_1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is + finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {MR1298994, + AUTHOR = {Alexeev, Valery}, + TITLE = {Boundedness and {$K^2$} for log surfaces}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}{DOI:10.1142/S0129167X94000395}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {779--810}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {14J10 (14J25)}, + MRNUMBER = 1298994, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1142/S0129167X94000395}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}, +} + +@book{MR1304906, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David and Fogarty, John and Kirwan, Frances}, + Doi = {10.1007/978-3-642-57916-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {3-540-56963-4}, + Mrclass = {14D25 (58E05 58F05)}, + Mrnumber = {1304906 (95m:14012)}, + Mrreviewer = {Yi Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}{DOI:10.1007/978-3-642-57916-5}}, + Pages = {xiv+292}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results + in Mathematics and Related Areas (2)]}, + Title = {Geometric invariant theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}, + Volume = 34, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5} +} + +@article{MR1307297, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__79__47_0}{numdam.PMIHES_1994__79__47_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14D25 14F05)}, + Mrnumber = {1307297 (96e:14012)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {47--129}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {I}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0}, + Volume = 79, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0} +} + +@article{MR1320603, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__80__5_0}{numdam.PMIHES_1994__80__5_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14F05 14F10)}, + Mrnumber = {1320603 (96e:14013)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {5--79 (1995)}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {II}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0}, + Volume = 80, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0} +} + +@book {MR1324108, + AUTHOR = {Narasimhan, Raghavan}, + TITLE = {Several complex variables}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + NOTE = {Reprint of the 1971 original}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+174}, + ISBN = {0-226-56817-2}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1324108, +} + +@incollection {MR1326618, + AUTHOR = {Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Local theory of complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {7--96}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C15 (32B05 32C20)}, + MRNUMBER = {1326618}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_2}} +} + +@incollection {MR1326619, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Differential calculus, holomorphic maps and linear structures on complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {97--144}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C35 (32C37 32L05)}, + MRNUMBER = {1326619}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_3}, +} + +@incollection {MR1326624, + AUTHOR = {Peternell, Thomas}, + TITLE = {Modifications}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = 74, + PAGES = {285--317}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1994, + MRCLASS = {32S45 (32J20)}, + MRNUMBER = 1326624, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8_8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}, +} + +@incollection{MR1326625, + Address = {Berlin}, + Author = {Campana, F. and Peternell, Th.}, + Booktitle = {Several complex variables, {VII}}, + Mrclass = {32G10 (32F10)}, + Mrnumber = 1326625, + Pages = {319--349}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Cycle spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@book {MR1328834, + AUTHOR = {Shafarevich, Igor R.}, + TITLE = {Basic algebraic geometry. 2}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {Schemes and complex manifolds, Translated from the 1988 Russian edition by Miles Reid. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57956-1}{DOI:10.1007/978-3-642-57956-1}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1994, + PAGES = {xiv+269}, + ISBN = {3-540-57554-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = 1328834, +} + +@book {MR1334091, + AUTHOR = {Akhiezer, Dmitri N.}, + TITLE = {Lie group actions in complex analysis}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E27}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = {1995}, + PAGES = {viii+201}, + ISBN = {3-528-06420-X}, + MRCLASS = {32M05 (22-02 22E10 32M10)}, + MRNUMBER = {1334091}, +MRREVIEWER = {B. Gilligan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}{DOI:10.1007/978-3-322-80267-5}}, + DOI = {10.1007/978-3-322-80267-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}, +} + +@book {MR1335917, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich}, + TITLE = {Topological methods in algebraic geometry}, + SERIES = {Classics in Mathematics}, + NOTE = {Translated from the German and Appendix One by R. L. E. + Schwarzenberger, With a preface to the third English edition + by the author and Schwarzenberger, Appendix Two by A. Borel, + Reprint of the 1978 edition}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xii+234}, + ISBN = {3-540-58663-6}, + MRCLASS = {57-02 (01A75 14-02)}, + MRNUMBER = 1335917, +} + +@article {MR1340353, + AUTHOR = {Andreatta, Marco}, + TITLE = {Some remarks on the study of good contractions}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 87, + YEAR = 1995, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02570480}{DOI:10.1007/BF02570480}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {359--367}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1340353 (96i:14017)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/BF02570480}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02570480}, +} + +@book {MR1341589, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Shafarevich maps and automorphic forms}, + SERIES = {M. B. Porter Lectures}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+201}, + ISBN = {0-691-04381-7}, + MRCLASS = {14E20 (14J10 14J15 32J18 32N10)}, + MRNUMBER = {1341589 (96i:14016)}, + MRREVIEWER = {Kang Zuo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400864195}{DOI:10.1515/9781400864195}}, + DOI = {10.1515/9781400864195}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9781400864195}, +} + +@article {MR1358040, + AUTHOR = {Barth, Wolf}, + TITLE = {Two projective surfaces with many nodes, admitting the symmetries of the icosahedron}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {5}, + YEAR = {1996}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {173--186}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14J25 14N05)}, + MRNUMBER = {1358040}, +MRREVIEWER = {Luciana Picco Botta}, +} + +@article {MR1384908, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Kodaira dimension and {C}hern hyperbolicity of the {S}hafarevich maps for representations of {$\pi_1$} of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {472}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {139--156}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32J27 (14D07 32J25 58E20)}, + MRNUMBER = {1384908}, +MRREVIEWER = {Kimio Miyajima}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}{DOI:10.1515/crll.1996.472.139}}, + DOI = {10.1515/crll.1996.472.139}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}, +} + +@book {MR1393940, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {I}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1963 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xii+329}, + ISBN = {0-471-15733-3}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393940, +} + +@book {MR1393941, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {II}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1969 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xvi+468}, + ISBN = {0-471-15732-5}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393941, +} + +@book{MR1406314, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Doi = {10.1017/CBO9780511623936}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-521-49510-5; 0-521-49842-2}, + Mrclass = {14Jxx (14-02)}, + Mrnumber = {1406314 (97e:14045)}, + Note = {Translated from the 1978 French original by R. Barlow, with assistance from N. I. Shepherd-Barron and M. Reid}, + Pages = {x+132}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {London Mathematical Society Student Texts}, + Title = {Complex algebraic surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936}, + Volume = 34, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936} +} + +@article {MR1420223, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {{$3$}-fold log models}, + NOTE = {Algebraic geometry, 4. \href{https://doi.org/10.1007/BF02362335}{DOI:10.1007/BF02362335}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences}, + VOLUME = 81, + YEAR = 1996, + NUMBER = 3, + PAGES = {2667--2699}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14E15 14E35)}, + MRNUMBER = 1420223, + MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + DOI = {10.1007/BF02362335}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02362335}, +} + +@article {MR1421952, + AUTHOR = {Esnault, Hélène}, + TITLE = {Recent developments on characteristic classes of flat bundles + on complex algebraic manifolds}, + JOURNAL = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + FJOURNAL = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + VOLUME = 98, + YEAR = 1996, + NUMBER = 4, + PAGES = {182--191}, + ISSN = {0012-0456}, + CODEN = {JDMVA7}, + MRCLASS = {14C25 (14F40 32J25 57R20)}, + MRNUMBER = 1421952, + MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, +} + +@article {MR1422313, + AUTHOR = {Biquard, Olivier}, + TITLE = {Fibrés de {H}iggs et connexions intégrables: le cas logarithmique (diviseur lisse)}, + JOURNAL = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + VOLUME = 30, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}{DOI:10.1016/S0012-9593(97)89915-6}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {41--96}, + ISSN = {0012-9593}, + CODEN = {ASENAH}, + MRCLASS = {32L07 (14J60)}, + MRNUMBER = 1422313, + MRREVIEWER = {Nitin Nitsure}, + DOI = {10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, + URL = {https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, +} + +@article {MR1436743, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Geometric height inequalities and the {K}odaira-{S}pencer map}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 105, + YEAR = 1997, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}{DOI:A:1017995416618}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--54}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = {1436743 (98j:14029)}, + MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1023/A:1017995416618}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}, +} + +@book {MR1441541, + AUTHOR = {Eberlein, Patrick B.}, + TITLE = {Geometry of nonpositively curved manifolds}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {vii+449}, + ISBN = {0-226-18197-9; 0-226-18198-7}, + MRCLASS = {53-02 (53C20 53C21 53C35)}, + MRNUMBER = {1441541}, +MRREVIEWER = {Mar\'{\i}a J. Druetta}, +} + +@incollection{MR1442522, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry ({P}ark {C}ity, {UT}, 1993)}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {1442522 (98d:14049)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {3--159}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {Chapters on algebraic surfaces}, + Volume = 3, + Year = 1997 +} + +@article {MR1451789, + AUTHOR = {Brion, Michel}, + TITLE = {Differential forms on quotients by reductive group actions}, + JOURNAL = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 126, + YEAR = 1998, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}{DOI:10.1090/S0002-9939-98-04320-2}}, + NUMBER = 9, + PAGES = {2535--2539}, + ISSN = {0002-9939}, + CODEN = {PAMYAR}, + MRCLASS = {14L30 (16S32)}, + MRNUMBER = {1451789 (98k:14067)}, + MRREVIEWER = {Vladimir L. Popov}, + DOI = {10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, +} + +@incollection {MR1463187, + AUTHOR = {Peternell, Th. and Wilson, P. M. H.}, + TITLE = {Threefolds with extremal {C}hern classes}, + BOOKTITLE = {Higher-dimensional complex varieties ({T}rento, 1994)}, + PAGES = {357--378}, + PUBLISHER = {de Gruyter, Berlin}, + YEAR = {1996}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {1463187}, +MRREVIEWER = {Ulf Persson}, +} + +@incollection{MR1463962, + Author = {Bando, Shigetoshi and Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {Geometry and analysis on complex manifolds}, + Mrclass = {32L07 (53C07)}, + Mrnumber = {1463962 (98e:32053)}, + Mrreviewer = {Daniel Huybrechts}, + Pages = {39--50}, + Publisher = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + Title = {Stable sheaves and {E}instein-{H}ermitian metrics}, + Year = 1994 +} + +@article {MR1486992, + AUTHOR = {Jaffe, David B. and Ruberman, Daniel}, + TITLE = {A sextic surface cannot have {$66$} nodes}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {151--168}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14N10 94B05)}, + MRNUMBER = {1486992}, +MRREVIEWER = {Susan J. Colley}, +} + +@article{MR1487238, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1487238 (98k:14009)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 4, + Pages = {803--804}, + Title = {Erratum on: ``{U}nobstructed deformations. {A} remark on a + paper of {Z}. {R}an: `{D}eformations of manifolds with torsion + or negative canonical bundle'\,'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ + {\bf 1} (1992), no.\ 2, 183--190; {MR}1144434 (93e:14016)]}, + Volume = 6, + Year = 1997 +} + +@article {MR1489117, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Smoothing {F}ano {$3$}-folds}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {307--324}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14B07 14B12 14D15)}, + MRNUMBER = {1489117}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article {MR1510165, + AUTHOR = {Lindemann, Ferdinand}, + TITLE = {Ueber die {Z}ahl $\pi$}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {20}, + YEAR = {1882}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {213--225}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01446522}{DOI:10.1007/BF01446522}}, + MRNUMBER = {1510165}, + DOI = {10.1007/BF01446522}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01446522}, +} + +@article {MR1512302, + AUTHOR = {Hermann, Grete}, + TITLE = {Die {F}rage der endlich vielen {S}chritte in der {T}heorie der {P}olynomideale}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {95}, + YEAR = {1926}, + NUMBER = {1}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01206635}{DOI:10.1007/BF01206635}}, + PAGES = {736--788}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1512302}, + DOI = {10.1007/BF01206635}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01206635}, +} + +@article {MR1581526, + AUTHOR = {Witt, Ernst}, + TITLE = {Zyklische {K}örper und {A}lgebren der {C}harakteristik {$p$} + vom {G}rad {$p^n$}. {S}truktur diskret bewerteter perfekter + {K}örper mit vollkommenem {R}estklassenkörper der + {C}harakteristik {$p$}}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = {176}, + YEAR = {1937}, + PAGES = {126--140}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1581526}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}{DOI:10.1515/crll.1937.176.126}}, + DOI = {10.1515/crll.1937.176.126}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}, +} + +@incollection {MR1603624, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on algebraic manifolds}, + BOOKTITLE = {Transcendental methods in algebraic geometry ({C}etraro, + 1994)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = 1646, + PAGES = {143--185}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1996, + MRCLASS = {32L07 (53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1603624, + MRREVIEWER = {Thalia D. Jeffres}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0094304}{DOI:10.1007/BFb0094304}.}, + DOI = {10.1007/BFb0094304}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0094304}, +} + +@article {MR1618325, + AUTHOR = {Ko{\l}odziej, Sławomir}, + TITLE = {The complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 180, + YEAR = 1998, + NUMBER = 1, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392879}{DOI:10.1007/BF02392879}}, + PAGES = {69--117}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F07 (32C17 35J60)}, + MRNUMBER = 1618325, + MRREVIEWER = {M. Klimek}, + DOI = {10.1007/BF02392879}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392879}, +} + +@article {MR1646046, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Subadjunction of log canonical divisors. {II}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {120}, + YEAR = {1998}, + NOTE = {URL \url{http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E30 (14J10)}, + MRNUMBER = {1646046}, +MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + URL = {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}, +} + +@incollection {MR1668579, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A. and Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {Fano varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {V}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {47}, + PAGES = {1--247}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1999}, + MRCLASS = {14J45 (14E07 14F22 14K30)}, + MRNUMBER = {1668579}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, +} + +@article {MR1691481, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Projective algebraic varieties whose universal covering spaces are biholomorphic to {${\bf C}^n$}}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 51, + YEAR = 1999, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--654}, + ISSN = {0025-5645}, + CODEN = {NISUBC}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 14J10)}, + MRNUMBER = 1691481, + MRREVIEWER = {Azniv Kasparian}, + DOI = {10.2969/jmsj/05130643}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/05130643}, +} + +@incollection {MR1715587, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + NOTE = {Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics (Japanese) (Kyoto, 1998), available on the internet at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1078.html}}, + JOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + FJOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + NUMBER = {1078}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {167--173}, + MRCLASS = {14J60 (14C20)}, + MRNUMBER = {1715587}, +MRREVIEWER = {Atsushi Noma}, +} + +@book {MR1738433, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Representations of fundamental groups of algebraic varieties}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {1708}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {viii+135}, + ISBN = {3-540-66312-6}, + MRCLASS = {14F35 (14E20 32J27 58E20)}, + MRNUMBER = {1738433}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0092569}{DOI:10.1007/BFb0092569}}, + DOI = {10.1007/BFb0092569}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0092569}, +} + +@book {MR1747010, + AUTHOR = {Morosawa, Shunsuke and Nishimura, Yasuichiro and Taniguchi, + Masahiko and Ueda, Tetsuo}, + TITLE = {Holomorphic dynamics}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 66, + NOTE = {Translated from the 1995 Japanese original and revised by the + authors}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+338}, + ISBN = {0-521-66258-3}, + MRCLASS = {37Fxx (30D05 32H50 32U35)}, + MRNUMBER = 1747010, + MRREVIEWER = {Estela A. Gavosto}, +} + +@incollection{MR1756407, + Author = {Vinberg, Ernest B. and Gorbatsevich, Vladimir V. and + Shvartsman, Ossip V.}, + Booktitle = {Lie groups and {L}ie algebras, {II}}, + Mrclass = {22E40}, + Mrnumber = 1756407, + Pages = {1--123, 217--223}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Discrete subgroups of {L}ie groups}, + Volume = 21, + Year = 2000 +} + +@article {MR1757883, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Erratum for: ``{G}eometric height inequalities and the + {K}odaira-{S}pencer map'' [{C}ompositio {M}ath. {\bf 105} + (1997), no. 1, 43--54; {MR}1436743 (98j:14029)]}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 121, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}{DOI:A:1001882724260}}, + NUMBER = 2, + PAGES = 219, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = 1757883, + DOI = {10.1023/A:1001882724260}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}, +} + +@article {MR1758581, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {Variétés algébriques dont le fibré tangent est totalement décomposé}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {522}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {161--171}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14J40}, + MRNUMBER = {1758581}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}{DOI:10.1515/crll.2000.036}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/9901138}{arXiv:math/9901138}}, + DOI = {10.1515/crll.2000.036}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}, +} + +@incollection{MR1760872, + Address = {Berlin}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Complex analysis and algebraic geometry}, + Mrclass = {32J27 (32J15 32J18 32Q20)}, + Mrnumber = {1760872 (2001f:32030)}, + Mrreviewer = {Matthew B. Stenzel}, + Pages = {61--70}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Complex manifolds with split tangent bundle}, + Year = 2000, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110806090}{DOI:10.1515/9783110806090}. \href{https://arxiv.org/abs/math/9809033}{arXiv:math/9809033}} +} + +@book {MR1761696, + AUTHOR = {Lemmermeyer, Franz}, + TITLE = {Reciprocity laws}, + SERIES = {Springer Monographs in Mathematics}, + NOTE = {From Euler to Eisenstein. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12893-0}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {xx+487}, + ISBN = {3-540-66957-4}, + MRCLASS = {11A15 (11L05 11R04 11R18)}, + MRNUMBER = {1761696}, +MRREVIEWER = {Charles Helou}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12893-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}, +} + +@article {MR1771144, + AUTHOR = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi and Takagi, Hiromichi}, + TITLE = {Boundedness of canonical {$\bold Q$}-{F}ano 3-folds}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {76}, + YEAR = {2000}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pja/1148393517}{euclid.pja/1148393517}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {73--77}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14J45 (14E30)}, + MRNUMBER = {1771144}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1148393517}, +} + +@book {MR1777835, + AUTHOR = {Zheng, Fangyang}, + TITLE = {Complex differential geometry}, + SERIES = {AMS/IP Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 18, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI; International + Press, Boston, MA}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+264}, + ISBN = {0-8218-2163-6}, + MRCLASS = {32Qxx (32-02 32J25 53C55 53C56)}, + MRNUMBER = 1777835, + MRREVIEWER = {Peng Lu}, +} + +@book{MR1787650, + Author = {Tian, Gang}, + Doi = {10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Isbn = {3-7643-6194-8}, + Mrclass = {32Q20 (53C25 58E11)}, + Mrnumber = {1787650 (2001j:32024)}, + Mrreviewer = {Azniv Kasparian}, + Note = {Notes taken by Meike Akveld}, + Pages = {vi+101}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + Series = {Lectures in Mathematics ETH Zürich}, + Title = {Canonical metrics in {K}ähler geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Year = 2000, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4} +} + +@book {MR1787733, + AUTHOR = {Joyce, Dominic D.}, + TITLE = {Compact manifolds with special holonomy}, + SERIES = {Oxford Mathematical Monographs}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {0-19-850601-5}, + MRCLASS = {53C29 (14J32 53-01 53-02 53C26 58J60 81T30)}, + MRNUMBER = 1787733, + MRREVIEWER = {Andrew Swann}, +} + +@article {MR1794169, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Complements on surfaces}, + NOTE = {Algebraic geometry, 10. \href{https://doi.org/10.1007/BF02984106}{DOI:10.1007/BF02984106}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci. (New York)}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences (New York)}, + VOLUME = {102}, + YEAR = {2000}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {3876--3932}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14J26 14J30)}, + MRNUMBER = {1794169}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/BF02984106}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02984106}, +} + +@article {MR1815399, + AUTHOR = {Kim, Minhyong and Thakur, Dinesh S. and Voloch, José F.}, + TITLE = {Diophantine approximation and deformation}, + JOURNAL = {Bull. Soc. Math. France}, + FJOURNAL = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + VOLUME = 128, + YEAR = 2000, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/bsmf.2383}{DOI:10.24033/bsmf.2383}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {585--598}, + ISSN = {0037-9484}, + MRCLASS = {11J61 (11G50 11J68 14D10)}, + MRNUMBER = 1815399, + MRREVIEWER = {Alain Lasjaunias}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2000__128_4_585_0}, +} + +@article {MR1819886, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Deformation theory of singular symplectic {$n$}-folds}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 319, + YEAR = 2001, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00004451}{DOI:10.1007/PL00004451}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {597--623}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32G05 (14J32 32J18)}, + MRNUMBER = 1819886, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/PL00004451}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00004451}, +} + +@book {MR1834454, + AUTHOR = {Helgason, Sigurdur}, + TITLE = {Differential geometry, {L}ie groups, and symmetric spaces}, + SERIES = {Graduate Studies in Mathematics}, + VOLUME = 34, + NOTE = {Corrected reprint of the 1978 + original. \href{https://doi.org/10.1090/gsm/034}{DOI:10.1090/gsm/034}}, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xxvi+641}, + ISBN = {0-8218-2848-7}, + MRCLASS = {53C35 (22E10 22E46 22E60)}, + MRNUMBER = {1834454 (2002b:53081)}, + DOI = {10.1090/gsm/034}, + URL = {https://doi.org/10.1090/gsm/034}, +} + +@article{MR1853454, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {JLMSAK}, + Fjournal = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + Issn = {0024-6107}, + Journal = {J. London Math. Soc. (2)}, + Mrclass = {14C17 (14C20 14J17)}, + Mrnumber = {1853454 (2002i:14009)}, + Mrreviewer = {Eriko Hironaka}, + Number = 2, + Pages = {327--343}, + Title = {The {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality for log canonical + surfaces}, + Volume = 64, + Year = 2001 +} + +@article {MR1868164, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Sakurai, Jun}, + TITLE = {Calabi-{Y}au threefolds of quotient type}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 2001, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}{DOI:10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--77}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14J32 (14J30 32Q25)}, + MRNUMBER = 1868164, + MRREVIEWER = {Bal\~A!`zs Szendr\AA ‘i}, + DOI = {10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, +} + +@article {MR187244, + AUTHOR = {Armstrong, Mark A.}, + TITLE = {On the fundamental group of an orbit space}, + JOURNAL = {Proc. Cambridge Philos. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Cambridge Philosophical Society}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {639--646}, + ISSN = {0008-1981}, + MRCLASS = {55.40}, + MRNUMBER = {187244}, +MRREVIEWER = {R. F. Williams}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}{DOI:10.1017/s0305004100038974}}, + DOI = {10.1017/s0305004100038974}, + URL = {https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}, +} + +@book {MR1878556, + AUTHOR = {Lang, Serge}, + TITLE = {Algebra}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = {211}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}{DOI:10.1007/978-1-4613-0041-0}}, + EDITION = {third}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = {2002}, + PAGES = {xvi+914}, + ISBN = {0-387-95385-X}, + MRCLASS = {00A05 (15-02)}, + MRNUMBER = {1878556}, + DOI = {10.1007/978-1-4613-0041-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}, +} + +@article {MR1892905, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {The first fundamental theorem on complements: from global to + local}, + JOURNAL = {Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Rossi\u{\i}skaya Akademiya Nauk. Izvestiya. Seriya + Matematicheskaya}, + VOLUME = {65}, + YEAR = {2001}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {99--128}, + ISSN = {1607-0046}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}{DOI:10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}}, + MRCLASS = {14E30 (14J40)}, + MRNUMBER = {1892905}, +MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, + URL = {https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, +} + +@book {MR1917232, + AUTHOR = {Liu, Qing}, + TITLE = {Algebraic geometry and arithmetic curves}, + SERIES = {Oxford Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 6, + NOTE = {Translated from the French by Reinie Erné, Oxford Science + Publications}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2002, + PAGES = {xvi+576}, + ISBN = {0-19-850284-2}, + MRCLASS = {14-01 (11G30 14A05 14A15 14Gxx 14Hxx)}, + MRNUMBER = 1917232, + MRREVIEWER = {C\'\i cero Carvalho}, +} + +@incollection {MR1945361, + AUTHOR = {Catanese, Fabrizio}, + TITLE = {Deformation types of real and complex manifolds}, + BOOKTITLE = {Contemporary trends in algebraic geometry and algebraic topology ({T}ianjin, 2000)}, + SERIES = {Nankai Tracts Math.}, + VOLUME = {5}, + PAGES = {195--238}, + PUBLISHER = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + YEAR = {2002}, + MRCLASS = {32G05 (14P05)}, + MRNUMBER = {1945361}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}{DOI:10.1142/9789812777416\_0009}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0111245}{arXiv:math/0111245}}, + DOI = {10.1142/9789812777416_0009}, + URL = {https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}, +} + +@incollection{MR1954067, + Address = {Berlin}, + Author = {Langer, Adrian}, + Booktitle = {Algebraic geometry}, + Mrclass = {14J60 (14C20)}, + Mrnumber = {1954067 (2004b:14077)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Pages = {237--256}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {A note on {B}ogomolov's instability and {H}iggs sheaves}, + Year = 2002 +} + +@inproceedings {MR1957061, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Update on 3-folds}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians, {V}ol. {II} ({B}eijing, 2002)}, + PAGES = {513--524}, + PUBLISHER = {Higher Ed. Press, Beijing}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {14J30 (14E30 14J32)}, + MRNUMBER = 1957061, + MRREVIEWER = {A. S. Tikhomirov}, +} + +@article {MR1959581, + AUTHOR = {Donaldson, Simon K.}, + TITLE = {Holomorphic discs and the complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {J. Symplectic Geom.}, + FJOURNAL = {The Journal of Symplectic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2002}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {171--196}, + ISSN = {1527-5256}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 58J32)}, + MRNUMBER = {1959581}, +MRREVIEWER = {David F. Mart\'{\i}nez-Torres}, + NOTE = {\href{https://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}{euclid.jsg/1092316649}.}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}, +} + +@article {MR1969009, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Erratum: ``{C}lassification of {F}ano 3-folds with {$B_2\geq 2$}'' [{M}anuscripta {M}ath. {\bf 36} (1981/82), no. 2, 147--162; {MR}0641971 (83f:14032)]}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 110, + YEAR = 2003, + NUMBER = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}{DOI:10.1007/s00229-002-0336-2}}, + PAGES = 407, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J45 (14E30 14J30)}, + MRNUMBER = 1969009, + DOI = {10.1007/s00229-002-0336-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}, +} + +@article{MR1971155, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@incollection {MR1978714, + AUTHOR = {Arapura, Donu}, + TITLE = {Higgs bundles, integrability, and holomorphic forms}, + BOOKTITLE = {Motives, polylogarithms and {H}odge theory, {P}art {II} + ({I}rvine, {CA}, 1998)}, + SERIES = {Int. Press Lect. Ser.}, + VOLUME = 3, + PAGES = {605--624}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {32G13 (14D20 14F35 32J27)}, + MRNUMBER = 1978714, + MRREVIEWER = {Indranil Biswas}, +} + +@article {MR1993750, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Prelimiting flips}, + JOURNAL = {Tr. Mat. Inst. Steklova}, + FJOURNAL = {Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova. + Rossi\u{i}skaya Akademiya Nauk}, + VOLUME = 240, + YEAR = 2003, + NUMBER = {Biratsion. Geom. Line\u{i}n. Sist. Konechno Porozhdennye + Algebry}, + PAGES = {82--219}, + ISSN = {0371-9685}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = 1993750, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, +} + +@article {MR2036231, + AUTHOR = {Chen, Jungkai A. and Hacon, Christopher D.}, + TITLE = {On the irregularity of the image of the {I}itaka fibration}, + JOURNAL = {Comm. Algebra}, + FJOURNAL = {Communications in Algebra}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {2004}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {203--215}, + ISSN = {0092-7872}, + MRCLASS = {14C20 (14D06)}, + MRNUMBER = {2036231}, +MRREVIEWER = {Miguel A. Barja}, + DOI = {10.1081/AGB-120027861}, + URL = {https://doi.org/10.1081/AGB-120027861}, +} + +@article {MR2041755, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Algebro-geometric version of {N}evanlinna's lemma on logarithmic derivative and applications}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}{DOI:10.1017/S0027763000008710}}, + VOLUME = {173}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {23--63}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {2041755}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1017/S0027763000008710}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}, +} + +@article{MR2057020, + Author = {Keel, Sean and Matsuki, Kenji and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14J30 14J35)}, + Mrnumber = {2057020 (2005a:14018)}, + Number = 3, + Pages = {625--630}, + Title = {Corrections to: ``{L}og abundance theorem for threefolds'' + [{D}uke {M}ath. {J}. {\bf 75} (1994), no. 1, 99--119; + MR1284817]}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12236-5}{DOI:10.1215/S0012-7094-04-12236-5}}, + Volume = 122, + Year = 2004 +} + +@book {MR2062813, + AUTHOR = {Bump, Daniel}, + TITLE = {Lie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 225, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xii+451}, + ISBN = {0-387-21154-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-4094-3}.}, + MRCLASS = {22-01 (22C05 22E15 22E46)}, + MRNUMBER = 2062813, + MRREVIEWER = {Karl-Hermann Neeb}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-4094-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}, +} + +@article {MR2096455, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {The second main theorem for small functions and related problems}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2004, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392741}{DOI:10.1007/BF02392741}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {225--294}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {30D35 (14G05 14G25)}, + MRNUMBER = 2096455, + MRREVIEWER = {D. Drasin}, + DOI = {10.1007/BF02392741}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392741}, +} + +@article {MR210944, + AUTHOR = {Prill, David}, + TITLE = {Local classification of quotients of complex manifolds by discontinuous groups}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {34}, + YEAR = {1967}, + PAGES = {375--386}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32.65 (10.23)}, + MRNUMBER = {210944}, +MRREVIEWER = {E. Brieskorn}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077377006}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-67-03441-2}{DOI:10.1215/S0012-7094-67-03441-2}}, +} + +@article {MR2124169, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {{$t$}-structures on the derived categories of holonomic {$\scr + D$}-modules and coherent {$\scr O$}-modules}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2004, + NOTE = {Available at + \url{https://www.ams.org/distribution/mmj/vol4-4-2004/cont4-4-2004.html}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {847--868, 981}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {32C38 (18E30)}, + MRNUMBER = 2124169, + MRREVIEWER = {Luisa Fiorot}, +} + +@article {MR2134273, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {The moduli {$b$}-divisor of an lc-trivial fibration}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {141}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}{DOI:10.1112/S0010437X04001071}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0308143}{arXiv:math/0308143}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {385--403}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2134273}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1112/S0010437X04001071}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}, +} + +@article {MR2141325, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {The degree of {F}ano threefolds with canonical {G}orenstein singularities}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{\i} Sbornik}, + VOLUME = {196}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}{DOI:10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {81--122}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14E15)}, + MRNUMBER = {2141325}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, +} + +@article {MR2153078, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Shokurov's boundary property}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {67}, + YEAR = {2004}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1102536201}{euclid.jdg/1102536201}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {229--255}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {14J10 (14E05 14N30)}, + MRNUMBER = {2153078}, +MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1102536201}, +} + +@book {MR2194466, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {An introduction}, + PUBLISHER = {World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ}, + YEAR = 2005, + PAGES = {xii+148}, + ISBN = {981-256-496-9}, + MRCLASS = {32F45 (32H02 32H04 32Q45)}, + MRNUMBER = 2194466, + MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1142/5936}, + URL = {https://doi.org/10.1142/5936}, +} + +@article {MR2196000, + AUTHOR = {Flenner, Hubert and Zaidenberg, Mikhail}, + TITLE = {Locally nilpotent derivations on affine surfaces with a {$\Bbb C^*$}-action}, + JOURNAL = {Osaka J. Math.}, + FJOURNAL = {Osaka Journal of Mathematics}, + VOLUME = 42, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}{euclid.ojm/1153494558}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {931--974}, + ISSN = {0030-6126}, + MRCLASS = {14R20 (14R05)}, + MRNUMBER = 2196000, + MRREVIEWER = {Adrien Dubouloz}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}, +} + +@incollection{MR2210794, + Author = {Drézet, Jean-Marc}, + Booktitle = {Algebraic group actions and quotients}, + Mrclass = {14L30 (14L24)}, + Mrnumber = {2210794 (2006k:14082)}, + Mrreviewer = {Lucy Moser-Jauslin}, + Pages = {39--89}, + Publisher = {Hindawi Publ. Corp., Cairo}, + Title = {Luna's slice theorem and applications}, + Year = 2004 +} + +@article {MR2221132, + AUTHOR = {Kaledin, Dmitry and Lehn, Manfred and Sorger, Christoph}, + TITLE = {Singular symplectic moduli spaces}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 164, + YEAR = 2006, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}{DOI:10.1007/s00222-005-0484-6}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {591--614}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14D20 (14J28 14J60)}, + MRNUMBER = 2221132, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.1007/s00222-005-0484-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}, +} + +@article{MR2229475, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1142/S0129167X0600362X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J40)}, + Mrnumber = {2229475 (2007b:14034)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 5, + Pages = {619--631}, + Title = {Kodaira dimension of subvarieties. {II}}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X}, + Volume = 17, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X} +} + +@article {MR2231055, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Hernández Ruipérez, Daniel}, + TITLE = {Semistability vs.\ nefness for ({H}iggs) vector bundles}, + JOURNAL = {Differential Geom. Appl.}, + FJOURNAL = {Differential Geometry and its Applications}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2006, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}{DOI:10.1016/j.difgeo.2005.12.007}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {403--416}, + ISSN = {0926-2245}, + CODEN = {DGAPEO}, + MRCLASS = {14H60 (14J60)}, + MRNUMBER = 2231055, + MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, +} + +@article{MR2239523, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Coden = {TPLGAF}, + Doi = {10.1016/j.top.2006.06.006}, + Fjournal = {Topology. An International Journal of Mathematics}, + Issn = {0040-9383}, + Journal = {Topology}, + Mrclass = {14J29 (14J27)}, + Mrnumber = {2239523 (2008b:14065)}, + Number = 5, + Pages = {919--927}, + Title = {A fake projective plane with an order 7 automorphism}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}{DOI:10.1016/j.top.2006.06.006}}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}, + Volume = 45, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006} +} + +@book {MR2243012, + AUTHOR = {Ballmann, Werner}, + TITLE = {Lectures on {K}ähler manifolds}, + SERIES = {ESI Lectures in Mathematics and Physics}, + PUBLISHER = {European Mathematical Society (EMS), Zürich}, + YEAR = 2006, + PAGES = {x+172}, + ISBN = {978-3-03719-025-8; 3-03719-025-6}, + MRCLASS = {32Q15 (53C55)}, + MRNUMBER = {2243012 (2007e:32026)}, + MRREVIEWER = {Joel Fine}, + DOI = {10.4171/025}, + URL = {https://doi.org/10.4171/025}, +} + +@book{MR2247485, + Address = {Berlin}, + Author = {Jost, Jürgen}, + Doi = {10.1007/978-3-540-33067-7}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-3-540-33065-3; 3-540-33065-8}, + Mrclass = {32G15 (58E20)}, + Mrnumber = {2247485 (2007b:32024)}, + Note = {An introduction to contemporary mathematics}, + Pages = {xviii+277}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Compact {R}iemann surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7}, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7} +} + +@article {MR2281877, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {I}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + NUMBER = 869, + PAGES = {xii+324}, + ISSN = {0065-9266}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2281877, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0869}, +} + +@article {MR2283665, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {II}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0870}{DOI:10.1090/memo/0870}}, + NUMBER = 870, + PAGES = {xii+565}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2283665, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = {10.1090/memo/0870}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0870}, +} + +@book{MR2290112, + Address = {Berlin}, + Author = {Greuel, G.-M. and Lossen, C. and Shustin, E.}, + Isbn = {978-3-540-28380-5; 3-540-28380-3}, + Mrclass = {32Sxx (14B05)}, + Mrnumber = {2290112 (2008b:32013)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xii+471}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Introduction to singularities and deformations}, + Year = 2007 +} + +@article {MR2310103, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Kobayashi-{H}itchin correspondence for tame harmonic bundles + and an application}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 309, + YEAR = 2006, + PAGES = {viii+117}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-226-6}, + MRCLASS = {32Q20 (14D07 14J60 32G20 53C07)}, + MRNUMBER = 2310103, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, +} + +@article{MR2332355, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32G99 (14D15 32J27)}, + Mrnumber = {2332355 (2008m:32028)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {179--189}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto the blow-up of the + projective plane}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Volume = 40, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001} +} + +@article{MR2336831, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14J45 (32H02)}, + Mrnumber = {2336831 (2008g:14064)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Number = 3, + Pages = {815--823}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto {F}ano manifolds of + second and fourth {B}etti numbers 1}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0}, + Volume = 57, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0} +} + +@article {MR2343296, + AUTHOR = {Bradlow, Steven B. and García-Prada, Oscar and Gothen, + Peter B.}, + TITLE = {What is{$\dots$} a {H}iggs bundle?}, + JOURNAL = {Notices Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Notices of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 54, + YEAR = 2007, + NUMBER = 8, + PAGES = {980--981}, + ISSN = {0002-9920}, + MRCLASS = {53C07 (14D21)}, + MRNUMBER = {2343296 (2008e:53035)}, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, +} + +@article{MR2344354, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14E99 (32G05 32J15)}, + Mrnumber = {2344354 (2008k:14038)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Note = {With an appendix by Sönke + Rollenske. \href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}{euclid.jdg/1185550815}}, + Number = 1, + Pages = {43--75}, + Title = {Q.{E}.{D}. for algebraic varieties}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}, + Volume = 77, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815} +} + +@book{MR2352762, + Address = {Oxford}, + Author = {{Corti et al.}, Alessio}, + Isbn = {978-0-19-857061-5}, + Mrclass = {14E30 (14-06)}, + Mrnumber = {2352762 (2008j:14031)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Pages = {x+189}, + Publisher = {Oxford University Press}, + Series = {Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications}, + Title = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Volume = 35, + Year = 2007 +} + +@incollection {MR2359346, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Kodaira's canonical bundle formula and adjunction}, + BOOKTITLE = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + SERIES = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + VOLUME = {35}, + PAGES = {134--162}, + PUBLISHER = {Oxford Univ. Press, Oxford}, + YEAR = {2007}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}{DOI:10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2359346}, + DOI = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, + URL = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, +} + +@book{MR2359489, + Author = {Wells, Jr., Raymond O.}, + Doi = {10.1007/978-0-387-73892-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-0-387-73891-8}, + Mrclass = {32-01 (58-01)}, + Mrnumber = {2359489 (2008g:32001)}, + Note = {With a new appendix by Oscar Garcia-Prada}, + Pages = {xiv+299}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential analysis on complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5}, + Volume = 65, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5} +} + +@article {MR2364074, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Gra{\~n}a Otero, Beatriz}, + TITLE = {Metrics on semistable and numerically effective {H}iggs + bundles}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 612, + YEAR = 2007, + PAGES = {59--79}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {32L05 (32Q20)}, + MRNUMBER = 2364074, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2007.084}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.084}, +} + +@article {MR2369185, + AUTHOR = {Biswas, Indranil and Gómez, Tomás L.}, + TITLE = {Connections and {H}iggs fields on a principal bundle}, + JOURNAL = {Ann. Global Anal. Geom.}, + FJOURNAL = {Annals of Global Analysis and Geometry}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}{DOI:10.1007/s10455-007-9072-x}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {19--46}, + ISSN = {0232-704X}, + MRCLASS = {32L05 (14L10 53C07)}, + MRNUMBER = {2369185}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1007/s10455-007-9072-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}, +} + +@article {MR2372739, + AUTHOR = {Wittenberg, Olivier}, + TITLE = {On {A}lbanese torsors and the elementary obstruction}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {340}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}{DOI:10.1007/s00208-007-0170-7}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/0611284}{arXiv:math/0611284}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {805--838}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14C25 (14K05)}, + MRNUMBER = {2372739}, +MRREVIEWER = {Francisco J. Plaza Mart\'{\i}n}, + DOI = {10.1007/s00208-007-0170-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}, +} + +@book {MR2377148, + AUTHOR = {Bryant, John and Sangwin, Chris}, + TITLE = {How round is your circle? Where engineering and mathematics meet.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400837953.303}{DOI:10.1515/9781400837953.303}}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = {2008}, + PAGES = {xxii+306}, + ISBN = {978-0-691-13118-4}, + MRCLASS = {00A06 (00A05 51M15 51M99 70-01 70Bxx)}, + MRNUMBER = {2377148}, +MRREVIEWER = {Andrew Edward Whelan}, +} + +@article{MR2383493, + Author = {Abe, Takuro and Yoshinaga, Masahiko}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F05 (14J60)}, + Mrnumber = {2383493 (2009f:14029)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 6, + Pages = {1887--1891}, + Title = {Splitting criterion for reflexive sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Volume = 136, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2} +} + +@article{MR2399162, + Author = {Rollenske, Sönke}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-007-0206-z}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C56 (55T99 58A14)}, + Mrnumber = {2399162 (2009c:53099)}, + Mrreviewer = {Sergio Console}, + Number = 3, + Pages = {623--628}, + Title = {The {F}rölicher spectral sequence can be arbitrarily non-degenerate}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z}, + Volume = 341, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z} +} + +@article{MR2400877, + Author = {Kollár, János}, + Fjournal = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + Issn = {1558-8599}, + Journal = {Pure Appl. Math. Q.}, + Mrclass = {14J80 (14J17 57N13)}, + Mrnumber = {2400877 (2009b:14086)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = {2, part 1}, + Pages = {203--236}, + Title = {Is there a topological {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality?}, + Volume = 4, + Year = 2008 +} + +@article{MR2429621, + Author = {Aprodu, Marian and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-007-0282-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E20 (14J45)}, + Mrnumber = {2429621 (2009m:14017)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {431--449}, + Title = {Galois coverings and endomorphisms of projective varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5}, + Volume = 260, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5} +} + +@article {MR2439607, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {Cohomological characterizations of projective spaces and + hyperquadrics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 174, + YEAR = 2008, + NUMBER = 2, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}{DOI:10.1007/s00222-008-0130-1}}, + PAGES = {233--253}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14E30 (14F10 14M20)}, + MRNUMBER = 2439607, + MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-008-0130-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}, +} + +@article{MR2443971, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Doi = {10.2140/gt.2008.12.2497}, + Fjournal = {Geometry \& Topology}, + Issn = {1465-3060}, + Journal = {Geom. Topol.}, + Mrclass = {14J29 (14E15)}, + Mrnumber = {2443971 (2009g:14042)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 4, + Pages = {2497--2515}, + Title = {Quotients of fake projective planes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}{DOI: + 10.2140/gt.2008.12.2497}}, + Url = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}, + Volume = 12, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497} +} + +@article {MR2448282, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Towards the second main theorem on complements}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}{DOI:10.1090/S1056-3911-08-00498-0}}, + PAGES = {151--199}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14C20 (14J45)}, + MRNUMBER = 2448282, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, +} + +@article{MR2449950, + Author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2008-054}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32L15 (14J40)}, + Mrnumber = {2449950 (2009k:32020)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 2, + Pages = {341--378}, + Title = {Bergman kernels and the pseudoeffectivity of relative + canonical bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}{DOI: + 10.1215/00127094-2008-054}}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}, + Volume = 145, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054} +} + +@incollection{MR2483953, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}eattle 2005. {P}art 2}, + Mrclass = {14J10 (14-02 14D20 14E30)}, + Mrnumber = {2483953 (2009m:14051)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Pages = {711--743}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to moduli of higher dimensional + varieties}, + Volume = 80, + Year = 2009 +} + +@article{MR2497488, + Author = {Zhang, Yuguang}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32Q20 (32L05 53C25 53C44)}, + Mrnumber = {2497488 (2010b:32036)}, + Mrreviewer = {Julien Keller}, + Number = 8, + Pages = {2749--2754}, + Title = {Miyaoka-{Y}au inequality for minimal projective manifolds of + general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}{DOI: + 10.1090/S0002-9939-09-09838-4}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Volume = 137, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4} +} + +@inproceedings{MR2500573, + Author = {Włodarczyk, Jarosław}, + Booktitle = {Proceedings of {G}ökova {G}eometry-{T}opology {C}onference + 2008}, + Mrclass = {32S45 (32C25)}, + Mrnumber = {2500573 (2011e:32039)}, + Pages = {31--63}, + Publisher = {Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova}, + Title = {Resolution of singularities of analytic spaces}, + Year = 2009 +} + +@article {MR2505296, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {Singular {K}ähler-{E}instein metrics}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {607--639}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {32Q20 (31C10 32J27 32Q25 32W20)}, + MRNUMBER = {2505296 (2010k:32031)}, + MRREVIEWER = {Zhou Zhang}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00629-8}}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, +} + +@book{MR2514037, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {978-81-85931-86-9; 81-85931-86-0}, + Mrclass = {14Kxx}, + Mrnumber = {2514037 (2010e:14040)}, + Note = {With appendices by C. P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected + reprint of the second (1974) edition}, + Pages = {xii+263}, + Publisher = {Published for the Tata Institute of Fundamental Research, + Bombay}, + Series = {Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics}, + Title = {Abelian varieties}, + Volume = 5, + Year = 2008 +} + +@book {MR2522486, + AUTHOR = {Goodman, Roe and Wallach, Nolan R.}, + TITLE = {Symmetry, representations, and invariants}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 255, + PUBLISHER = {Springer, Dordrecht}, + YEAR = 2009, + PAGES = {xx+716}, + ISBN = {978-0-387-79851-6}, + MRCLASS = {20G05 (14L35 17B10 20C30 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 2522486, + MRREVIEWER = {Vladimir V. Shchigolev}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}{DOI:10.1007/978-0-387-79852-3}.}, + DOI = {10.1007/978-0-387-79852-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}, +} + +@article {MR2538503, + AUTHOR = {Tosatti, Valentino}, + TITLE = {Limits of {C}alabi-{Y}au metrics when the {K}ähler class + degenerates}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 4, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/165}{DOI:b10.4171/JEMS/165}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0710.4579}{arXiv:0710.4579}}, + PAGES = {755--776}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {32Q25 (32Q20 32W20)}, + MRNUMBER = {2538503 (2010j:32039)}, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, + DOI = {10.4171/JEMS/165}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/165}, +} + +@book {MR2542964, + AUTHOR = {Lehrer, Gustav I. and Taylor, Donald E.}, + TITLE = {Unitary reflection groups}, + SERIES = {Australian Mathematical Society Lecture Series}, + VOLUME = {20}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {viii+294}, + ISBN = {978-0-521-74989-3}, + MRCLASS = {20F55}, + MRNUMBER = {2542964}, +MRREVIEWER = {O. V. Shvartsman}, +} + +@article {MR2545454, + AUTHOR = {Biswas, Indranil}, + TITLE = {Semistability and restrictions of tangent bundle to curves}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + VOLUME = {142}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {37--46}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14F05 (32L10)}, + MRNUMBER = {2545454}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}{DOI:10.1007/s10711-009-9356-3}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0901.4161}{arXiv:0901.4161}}, + DOI = {10.1007/s10711-009-9356-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}, +} + +@article {MR2567402, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {A {M}inkowski-style bound for the orders of the finite + subgroups of the {C}remona group of rank 2 over an arbitrary + field}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 9, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + PAGES = {193--208, back matter}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {14E07 (14J26)}, + MRNUMBER = 2567402, + MRREVIEWER = {Alberto Calabri}, +} + +@book{MR2583634, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Isbn = {978-1-4419-1595-5}, + Mrclass = {14D15 (13D10 14B07 14B12)}, + Mrnumber = {2583634 (2011c:14023)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Pages = {viii+234}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Deformation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Volume = 257, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2} +} + +@article {MR2586735, + AUTHOR = {Cartwright, Donald I. and Steger, Tim}, + TITLE = {Enumeration of the 50 fake projective planes}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 348, + YEAR = 2010, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}{DOI:10.1016/j.crma.2009.11.016}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {11--13}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {20G20 (14J99)}, + MRNUMBER = 2586735, + DOI = {10.1016/j.crma.2009.11.016}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}, +} + +@article{MR2587100, + Author = {Nakayama, Noboru and Zhang, De-Qi}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-009-0420-y}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14H20 32H50)}, + Mrnumber = {2587100 (2011c:14103)}, + Mrreviewer = {Karl Schwede}, + Number = 4, + Pages = {991--1018}, + Title = {Polarized endomorphisms of complex normal varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y}, + Volume = 346, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y} +} + +@article{MR2587409, + Author = {Birkar, Caucher}, + Doi = {10.2140/ant.2009.3.951}, + Fjournal = {Algebra \& Number Theory}, + Issn = {1937-0652}, + Journal = {Algebra Number Theory}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2587409 (2011b:14034)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Number = 8, + Pages = {951--958}, + Title = {Log minimal models according to {S}hokurov}, + Url = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951}, + Volume = 3, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951} +} + +@article {MR2592955, + AUTHOR = {Greb, Daniel}, + TITLE = {Projectivity of analytic {H}ilbert and {K}ähler quotients}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2010, + NUMBER = 6, + PAGES = {3243--3271}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {14L30 (14L24 32M05 53D20)}, + MRNUMBER = 2592955, + MRREVIEWER = {Dmitry A. Timash{\"e}v}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, +} + +@article {MR2605324, + AUTHOR = {Gasbarri, Carlo}, + TITLE = {The strong {$abc$} conjecture over function fields (after {M}c{Q}uillan and {Y}amanoi)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0811.3153}{arXiv:0811.3153}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 326, + YEAR = 2009, + PAGES = {Exp. No. 989, viii, 219--256 (2010)}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-285629-269-3}, + MRCLASS = {11D75 (11-02 11J97)}, + MRNUMBER = 2605324, + MRREVIEWER = {Robert Juricevic}, +} + +@article{MR2629988, + Author = {Kollár, János and Kovács, Sándor J.}, + Doi = {10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J17 (14B07 14E30)}, + Mrnumber = {2629988 (2011m:14061)}, + Mrreviewer = {Ali Sinan Sertöz}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}{DOI:10.1090/S0894-0347-10-00663-6}}, + Number = 3, + Pages = {791--813}, + Title = {Log canonical singularities are {D}u {B}ois}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Volume = 23, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6} +} + +@article {MR2629989, + AUTHOR = {Kleiner, Bruce}, + TITLE = {A new proof of {G}romov's theorem on groups of polynomial + growth}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2010, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00658-4}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {815--829}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {20F65 (20F67 20F69)}, + MRNUMBER = 2629989, + MRREVIEWER = {Fran{\c{c}}ois Dahmani}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, +} + +@article {MR2648675, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Le groupe de {C}remona et ses sous-groupes finis}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997--1011}, + JOURNAL = {Astéisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {332}, + YEAR = {2010}, + PAGES = {Exp. No. 1000, vii, 75--100}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-291-4}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = {2648675}, +} + +@book{MR2665168, + Address = {Cambridge}, + Author = {Huybrechts, Daniel and Lehn, Manfred}, + Doi = {10.1017/CBO9780511711985}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-0-521-13420-0}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {2665168 (2011e:14017)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}{DOI:10.1017/CBO9780511711985}}, + Pages = {xviii+325}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Mathematical Library}, + Title = {The geometry of moduli spaces of sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985} +} + +@article {MR2667786, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {On fundamental groups of algebraic varieties and value distribution theory}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2532}{DOI:10.5802/aif.2532}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {551--563}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32H30 (14F35)}, + MRNUMBER = {2667786}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_2_551_0}, +} + +@article{MR2674856, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {ENMAAR}, + Doi = {10.4171/LEM/56-1-4}, + Fjournal = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + Issn = {0013-8584}, + Journal = {Enseign. Math. (2)}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {2674856 (2011g:14022)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = {1-2}, + Pages = {87--142}, + Title = {Positivity of direct image sheaves---a geometric point of + view}, + Url = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4}, + Volume = 56, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4} +} + +@book {MR2675155, + AUTHOR = {Görtz, Ulrich and Wedhorn, Torsten}, + TITLE = {Algebraic geometry {I}, Schemes, With Examples and Exercises}, + SERIES = {Advanced Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {Vieweg + Teubner, Wiesbaden}, + YEAR = 2010, + PAGES = {viii+615}, + ISBN = {978-3-8348-0676-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = {2675155 (2011f:14001)}, + MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}{DOI:10.1007/978-3-8348-9722-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-8348-9722-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}, +} + +@article {MR2739808, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Non-algebraic hyperkähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1292940689}{DOI:10.4310/jdg/1292940689}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0804.1682}{arXiv:0804.1682}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {397--424}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {53C26 (14D06 32J27 32Q15)}, + MRNUMBER = {2739808}, +MRREVIEWER = {Justin Sawon}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1292940689}, +} + +@article{MR2746347, + Author = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + Date-Added = {2015-06-19 15:15:17 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:17:58 +0000}, + Journal = {Acta Math.}, + Number = 2, + Pages = {199--262}, + Title = {Monge-Ampère equations in big cohomology classes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-010-0054-7}{DOI:10.1007/s11511-010-0054-7}}, + Volume = 205, + Year = 2010 +} + +@book{MR2766102, + Author = {Lee, John M.}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-1-4419-7939-1}, + Mrclass = {57-01 (54-01 55-01)}, + Mrnumber = {2766102 (2011i:57001)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}{DOI:10.1007/978-1-4419-7940-7}}, + Pages = {xviii+433}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Introduction to topological manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Volume = 202, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7} +} + +@article{MR2773396, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14J60 (14D20)}, + Mrnumber = {2773396 (2012b:14085)}, + Mrreviewer = {Zhenbo Qin}, + Number = 2, + Pages = {178--186}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}{DOI: + 10.1016/j.bulsci.2010.10.001}}, + Title = {Bogomolov restriction theorem for {H}iggs bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001} +} + +@incollection {MR2779470, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Special orbifolds and birational classification: a survey}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic varieties}, + SERIES = {EMS Ser. Congr. Rep.}, + PAGES = {123--170}, + PUBLISHER = {Eur. Math. Soc., Zürich}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {14E05 (14-02 14E30)}, + MRNUMBER = {2779470}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/007-1/6}{DOI:10.4171/007-1/6}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1001.3763v1}{arXiv:1001.3763v1}}, + DOI = {10.4171/007-1/6}, + URL = {https://doi.org/10.4171/007-1/6}, +} + +@article {MR2784026, + AUTHOR = {Choi, Sung Rak and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Geography of log models: theory and applications}, + JOURNAL = {Cent. Eur. J. Math.}, + FJOURNAL = {Central European Journal of Mathematics}, + VOLUME = {9}, + YEAR = {2011}, + NUMBER = {3}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}{DOI:10.2478/s11533-011-0013-3}}, + PAGES = {489--534}, + ISSN = {1895-1074}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2784026}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazi\'{c}}, + DOI = {10.2478/s11533-011-0013-3}, + URL = {https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}, +} + +@article{MR2793040, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60 14L15)}, + Mrnumber = {2793040 (2012h:14035)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}{DOI:10.1016/j.bulsci.2010.04.003}}, + Mrreviewer = {Johan A. Martens}, + Number = 3, + Pages = {251--261}, + Title = {Restriction theorems for {H}iggs principal bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003} +} + +@article{MR2796069, + Author = {Källström, Rolf}, + Coden = {JALGA4}, + Doi = {10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {14A10 (14F05 14M10)}, + Mrnumber = {2796069 (2012d:14001)}, + Mrreviewer = {Ana Rita Martins}, + Pages = {169--180}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for complete intersections}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Volume = 337, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003} +} + +@inproceedings {MR2827803, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + TITLE = {Boundedness results in birational geometry}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians. {V}olume {II}}, + PAGES = {427--449}, + PUBLISHER = {Hindustan Book Agency, New Delhi}, + YEAR = {2010}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = {2827803}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazić}, +} + +@article {MR2831280, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + VOLUME = 10, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}{DOI:10.1017/S1474748010000101}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0705.0737v5}{arXiv:0705.0737v5}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {809--934}, + ISSN = {1474-7480}, + MRCLASS = {32J27 (11G05 32J25 32Q45)}, + MRNUMBER = 2831280, + DOI = {10.1017/S1474748010000101}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}, +} + +@article {MR2838215, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Simultaneous normalization and algebra husks}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2011, + NUMBER = 3, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}{DOI:10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.1076}{arXiv:0910.1076}.}, + PAGES = {437--449}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14B25 (14D06 14D15 14D22)}, + MRNUMBER = 2838215, + MRREVIEWER = {Liam O'Carroll}, + DOI = {10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, +} + +@article{MR2860268, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-010-0758-6}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D20)}, + Mrnumber = {2860268 (2012k:14046)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = {3-4}, + Pages = {847--878}, + Title = {Families over special base manifolds and a conjecture of + {C}ampana}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6}{DOI:10.1007/s00209-010-0758-6}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0905.1746}{arXiv:0905.1746}}, + Volume = 269, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6} +} + +@article{MR2871152, + Author = {Patakfalvi, Zsolt}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E05)}, + Mrnumber = {2871152 (2012m:14072)}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {1640--1642}, + Title = {Viehweg's hyperbolicity conjecture is true over compact bases}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Volume = 229, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013} +} + +@article{MR2881306, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.4171/JEMS/312}, + Fjournal = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Issn = {1435-9855}, + Journal = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + Mrclass = {14J10 (14C20 14E30 14J60)}, + Mrnumber = 2881306, + Mrreviewer = {Maria Chiara Brambilla}, + Number = 2, + Pages = {571--603}, + Title = {Varieties with generically nef tangent bundles}, + Url = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312}, + Volume = 14, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312} +} + +@book {MR2883440, + AUTHOR = {Nicolaescu, Liviu}, + TITLE = {An invitation to {M}orse theory}, + SERIES = {Universitext}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}{DOI:10.1007/978-1-4614-1105-5}}, + YEAR = {2011}, + PAGES = {xvi+353}, + ISBN = {978-1-4614-1104-8}, + MRCLASS = {58E05 (37D15 37J15 57R45 57R70 58K05)}, + MRNUMBER = {2883440}, + DOI = {10.1007/978-1-4614-1105-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}, +} + +@incollection{MR2894633, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Booktitle = {Compact moduli spaces and vector bundles}, + Doi = {10.1090/conm/564/11154}, + Mrclass = {14J60 (14C05 14F05 32L05 32Q26)}, + Mrnumber = 2894633, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Pages = {177--184}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Restrictions of stable bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}{DOI:10.1090/conm/564/11154}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}, + Volume = 564, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154} +} + +@article {MR2912485, + AUTHOR = {Yu, JianMing and Jiang, GuangFeng}, + TITLE = {Reducibility of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = {55}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {947--948}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {20F55 (52C35)}, + MRNUMBER = {2912485}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}{DOI:10.1007/s11425-011-4341-3}}, + DOI = {10.1007/s11425-011-4341-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}, +} + +@article {MR2915479, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Rollenske, Sönke}, + TITLE = {Torsion and cotorsion in the sheaf of {K}ähler differentials on some mild singularities}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2011, + NUMBER = 6, + PAGES = {1259--1269}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14F10 (13N05 14B05)}, + MRNUMBER = 2915479, + MRREVIEWER = {Wenliang Zhang}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}{DOI:10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1012.5940}{arXiv:1012.5940}}, + DOI = {10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, +} + +@article {MR2918165, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Voisin, Claire}, + TITLE = {Anticanonical divisors and curve classes on {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}{DOI:10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}.}, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1371--1393}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14J45 (14C30 14D07 14J17)}, + MRNUMBER = 2918165, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, +} + +@article {MR2918179, + AUTHOR = {Simpson, Carlos}, + TITLE = {Local systems on proper algebraic {$V$}-manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1675--1759}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14D23 (14A20 14C30 32C18)}, + MRNUMBER = 2918179, + MRREVIEWER = {Jack Hall}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a27}, +} + +@incollection{MR2931877, + Address = {Cambridge}, + Author = {Totaro, Burt}, + Booktitle = {Current developments in algebraic geometry}, + Mrclass = {14Jxx (30F35 30F45)}, + Mrnumber = 2931877, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1008.3825}{arXiv:1008.3825}}, + Pages = {405--426}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Algebraic surfaces and hyperbolic geometry}, + Volume = 59, + Year = 2012 +} + +@article {MR2944479, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On canonical bundle formulas and subadjunctions}, + JOURNAL = {Michigan Math. J.}, + FJOURNAL = {Michigan Mathematical Journal}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {255--264}, + ISSN = {0026-2285}, + MRCLASS = {14C20 (14B05)}, + MRNUMBER = {2944479}, +MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}{DOI:10.1307/mmj/1339011526}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1009.3996}{arXiv:1009.3996}}, + DOI = {10.1307/mmj/1339011526}, + URL = {https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}, +} + +@article{MR2976311, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {AIFUA7}, + Doi = {10.5802/aif.2673}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14D22 (14D07)}, + Mrnumber = 2976311, + Number = 6, + Pages = {2277--2290 (2012)}, + Title = {Positive sheaves of differentials coming from coarse moduli + spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2673}{DOI:10.5802/aif.2673}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0904.2445}{arXiv:0904.2445}.}, + Url = {https://doi.org/10.5802/aif.2673}, + Volume = 61, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.5802/aif.2673} +} + +@article {MR3010808, + AUTHOR = {Odaka, Yuji}, + TITLE = {The {GIT} stability of polarized varieties via discrepancy}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {177}, + YEAR = {2013}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {645--661}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14C20 (14J17 14L24 32Q26)}, + MRNUMBER = {3010808}, +MRREVIEWER = {Daniel Greb}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.2.6}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0807.1716}{arXiv:0807.1716}}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.2.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}, +} + +@article {MR3030002, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Novelli, Carla}, + TITLE = {Mori contractions of maximal length}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Publications of the Research Institute for Mathematical + Sciences}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}{DOI:10.4171/PRIMS/103}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1201.4009}{arXiv:1201.4009}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {215--228}, + ISSN = {0034-5318}, + MRCLASS = {14E30 (14D06 14J45)}, + MRNUMBER = 3030002, + MRREVIEWER = {Zhi Jiang}, + DOI = {10.4171/PRIMS/103}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}, +} + +@article{MR3030068, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Doi = {10.1142/S0129167X12501224}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32Q26 (14E20 14E30 32J27 32L10)}, + Mrnumber = 3030068, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}{DOI:10.1142/S0129167X12501224}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1106.1300}{arXiv:1106.1300}.}, + Pages = {1250122, 15}, + Title = {Semistability of restricted tangent bundles and a question of {I}. {B}iswas}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}, + Volume = 24, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224} +} + +@article {MR3033631, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On {F}ano foliations}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {238}, + YEAR = {2013}, + PAGES = {70--118}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}{DOI:10.1016/j.aim.2013.02.003}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1112.4512}{arXiv:1112.4512}}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {37F25 (14M22)}, + MRNUMBER = {3033631}, + DOI = {10.1016/j.aim.2013.02.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}, +} + +@article {MR3034294, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {On the birational automorphisms of varieties of general type}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 177, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.3.6}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {1077--1111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3034294, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.3.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}, +} + +@article {MR3044124, + AUTHOR = {Klingler, Bruno}, + TITLE = {Symmetric differentials, {K}ähler groups and ball quotients}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}{DOI:10.1007/s00222-012-0411-6}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {257--286}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {22E10 (22E45 32M05 32P05 32Q55)}, + MRNUMBER = 3044124, + MRREVIEWER = {Takashi Umeno}, + DOI = {10.1007/s00222-012-0411-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}, +} + +@book {MR3057950, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Singularities of the minimal model program}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 200, + NOTE = {With a collaboration of Sándor + Kovács. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}{DOI:10.1017/CBO9781139547895}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2013, + PAGES = {x+370}, + ISBN = {978-1-107-03534-8}, + MRCLASS = {14E30 (14B05)}, + MRNUMBER = 3057950, + MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + DOI = {10.1017/CBO9781139547895}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}, +} + +@article {MR3077660, + AUTHOR = {Lohmann, Daniel}, + TITLE = {Families of canonically polarized manifolds over log {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {2013}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}{DOI:10.1112/S0010437X1200053X}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1019--1040}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (14E30)}, + MRNUMBER = {3077660}, +MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1112/S0010437X1200053X}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}, +} + +@article{MR3084424, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Doi = {10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J17 (14B05 14F10)}, + Mrnumber = 3084424, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}{DOI:10.1016/j.aim.2013.06.013}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.3255}{arXiv:1210.3255}.}, + Pages = {78--112}, + Title = {Pull-back morphisms for reflexive differential forms}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Volume = 245, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013} +} + +@article {MR3087348, + AUTHOR = {Sabbah, Claude}, + TITLE = {Théorie de {H}odge et correspondance de {H}itchin-{K}obayashi + sauvages (d'après {T}. {M}ochizuki)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2011/2012. Exposés 1043--1058}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 352, + YEAR = 2013, + PAGES = {Exp. No. 1050, viii, 205--241}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-371-3}, + MRCLASS = {14C30 (14J60 32C38 53C07)}, + MRNUMBER = 3087348, + MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3088903, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Lectures on the {S}hafarevich conjecture on uniformization}, + BOOKTITLE = {Complex manifolds, foliations and uniformization}, + SERIES = {Panor. Synthèses}, + VOLUME = {34/35}, + PAGES = {101--148}, + PUBLISHER = {Soc. Math. France, Paris}, + YEAR = 2011, + MRCLASS = {32J25 (14F35 32E05 32Q30)}, + MRNUMBER = 3088903, + MRREVIEWER = {André Oliveira}, +} + +@article {MR3095099, + AUTHOR = {McQuillan, Michael}, + TITLE = {Dérivation relative}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 351, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}{DOI:10.1016/j.crma.2013.05.003}}, + NUMBER = {13-14}, + PAGES = {523--526}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {14G40 (32P05 32U40)}, + MRNUMBER = 3095099, + DOI = {10.1016/j.crma.2013.05.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}, +} + +@article {MR3127814, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Klingler, Bruno and Totaro, Burt}, + TITLE = {Symmetric differentials and the fundamental group}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 162, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}{DOI:10.1215/00127094-2381442}.}, + NUMBER = 14, + PAGES = {2797--2813}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14F35 (14D07 14F10)}, + MRNUMBER = 3127814, + MRREVIEWER = {Alex Degtyarev}, + DOI = {10.1215/00127094-2381442}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}, +} + +@article {MR3134683, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + TITLE = {Metrics with cone singularities along normal crossing divisors + and holomorphic tensor fields}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + VOLUME = 46, + YEAR = 2013, + NUMBER = 6, + PAGES = {879--916}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {32Q25 (14E05 53C55)}, + MRNUMBER = 3134683, + MRREVIEWER = {Hans-Joachim Hein}, +} + +@book {MR3156076, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro and Winkelmann, Jörg}, + TITLE = {Nevanlinna theory in several complex variables and {D}iophantine approximation}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {350}, + PUBLISHER = {Springer, Tokyo}, + YEAR = {2014}, + PAGES = {xiv+416}, + ISBN = {978-4-431-54570-5; 978-4-431-54571-2}, + MRCLASS = {32-02 (11J25 11J97 32H30 32Q45)}, + MRNUMBER = {3156076}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}{DOI:10.1007/978-4-431-54571-2}}, + DOI = {10.1007/978-4-431-54571-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}, +} + +@article{MR3170714, + Author = {Nemirovski, Stefan}, + Doi = {10.1080/17476933.2011.592579}, + Fjournal = {Complex Variables and Elliptic Equations. An International + Journal}, + Issn = {1747-6933}, + Journal = {Complex Var. Elliptic Equ.}, + Mrclass = {32E40 (32C55 32M05)}, + Mrnumber = 3170714, + Mrreviewer = {Viorel Vâjâitu}, + Number = 11, + Pages = {1517--1525}, + Title = {Levi problem and semistable quotients}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}{DOI:10.1080/17476933.2011.592579}}, + Url = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}, + Volume = 58, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579} +} + +@article {MR3224718, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {A{CC} for log canonical thresholds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 180, + YEAR = 2014, + NUMBER = 2, + PAGES = {523--571}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05 (14C20 14E30)}, + MRNUMBER = 3224718, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}{DOI:10.4007/annals.2014.180.2.3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1208.4150}{arXiv:1208.4150}}, + DOI = {10.4007/annals.2014.180.2.3}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}, +} + +@incollection {MR3229352, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties}, + BOOKTITLE = {Automorphisms in birational and affine geometry}, + SERIES = {Springer Proc. Math. Stat.}, + VOLUME = {79}, + PAGES = {185--213}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2014}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}{DOI:10.1007/978-3-319-05681-4$\_$11}}, + MRCLASS = {14E07 (14J50 20E07)}, + MRNUMBER = {3229352}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1007/978-3-319-05681-4_11}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}, +} + +@article {MR3247804, + AUTHOR = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {An optimal extension theorem for 1-forms and the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Doc. Math.}, + FJOURNAL = {Documenta Mathematica}, + VOLUME = 19, + YEAR = 2014, + PAGES = {815--830}, + ISSN = {1431-0635}, + MRCLASS = {14B05 (32S05)}, + MRNUMBER = 3247804, + MRREVIEWER = {Carles Bivià-Ausina}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.7315}{arXiv:1301.7315}}, +} + +@article {MR3272910, + AUTHOR = {Huber, Annette and Jörder, Clemens}, + TITLE = {Differential forms in the h-topology}, + JOURNAL = {Algebr. Geom.}, + FJOURNAL = {Algebraic Geometry}, + VOLUME = 1, + YEAR = 2014, + NUMBER = 4, + PAGES = {449--478}, + ISSN = {2214-2584}, + MRCLASS = {14F10 (14F05 14F40 14J17)}, + MRNUMBER = 3272910, + MRREVIEWER = {Patrick Graf}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}{DOI:10.14231/AG-2014-020}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1305.7361}{arXiv:1305.7361}.}, + DOI = {10.14231/AG-2014-020}, + URL = {https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}, +} + +@article {MR3273645, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On codimension 1 del {P}ezzo foliations on varieties with mild + singularities}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 360, + YEAR = 2014, + NUMBER = {3-4}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}{DOI:10.1007/s00208-014-1053-3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.4013}{arXiv:1210.4013}}, + PAGES = {769--798}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14J45 (14C20 14E05 32S65)}, + MRNUMBER = 3273645, + MRREVIEWER = {Angel Granja}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1053-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}, +} + +@article {MR3278896, + AUTHOR = {Jörder, Clemens}, + TITLE = {A weak version of the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + VOLUME = 278, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}{DOI:10.1007/s00209-014-1337-z}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1311.5141}{arXiv:1311.5141}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {32C15 (14F10 32C20 32S05)}, + MRNUMBER = 3278896, + MRREVIEWER = {Christian Lehn}, + DOI = {10.1007/s00209-014-1337-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}, +} + +@article {MR3283927, + AUTHOR = {Berman, Robert J. and Guenancia, Henri}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on stable varieties and log canonical pairs}, + JOURNAL = {Geom. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Geometric and Functional Analysis}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2014, + NUMBER = 6, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}{DOI:10.1007/s00039-014-0301-8}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1304.2087}{arXiv:1304.2087}}, + PAGES = {1683--1730}, + ISSN = {1016-443X}, + MRCLASS = {53C25 (14C20 32Q20 53C55)}, + MRNUMBER = 3283927, +MRREVIEWER = {V. V. Chueshev}, + DOI = {10.1007/s00039-014-0301-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}, +} + +@article {MR3286535, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Chen, Jungkai Alfred}, + TITLE = {Varieties fibred over abelian varieties with fibres of log general type}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {270}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {206--222}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14E30 (11J95)}, + MRNUMBER = {3286535}, +MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}{DOI:10.1016/j.aim.2014.10.023}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1311.7396}{arXiv:1311.7396}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2014.10.023}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}, +} + +@article {MR3292293, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for groups of birational selfmaps}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 150, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}{DOI:10.1112/S0010437X14007581}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/1307.1784}{arXiv:math/1307.1784}}, + NUMBER = 12, + PAGES = {2054--2072}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3292293, + MRREVIEWER = {Anne-Sophie Kaloghiros}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007581}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}, +} + +@book {MR3307241, + AUTHOR = {Barlet, Daniel and Magnússon, Jón}, + TITLE = {Cycles analytiques complexes. {I}. {T}héorèmes de préparation + des cycles}, + SERIES = {Cours Spécialisés [Specialized Courses]}, + VOLUME = 22, + PUBLISHER = {Société Mathématique de France, Paris}, + YEAR = 2014, + PAGES = 525, + ISBN = {978-2-85629-792-6}, + MRCLASS = {32-02 (32C15 32C18 32C25 32C30)}, + MRNUMBER = 3307241, + MRREVIEWER = {Chia-Chi Tung}, +} + +@article{MR3314517, + Author = {Langer, Adrian}, + Doi = {10.1007/s00222-014-0534-z}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14G17 (14F05 14J60)}, + Mrnumber = 3314517, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}{DOI:10.1007/s00222-014-0534-z}}, + Number = 3, + Pages = {889--920}, + Title = {Bogomolov's inequality for {H}iggs sheaves in positive + characteristic}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}, + Volume = 199, + Year = 2015, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z} +} + +@article {MR3314830, + AUTHOR = {Campana, Fréderic and Claudon, Benoît and Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Représentations linéaires des groupes kählériens: factorisations et conjecture de {S}hafarevich linéaire}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 151, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}{DOI:10.1112/S0010437X14007751}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.5016}{arXiv:1302.5016}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {351--376}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q15 (14D07 14E20 14F35 32Q30)}, + MRNUMBER = 3314830, +MRREVIEWER = {André Oliveira}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007751}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}, +} + +@article {MR3319924, + AUTHOR = {Matsushita, Daisuke}, + TITLE = {On base manifolds of {L}agrangian fibrations}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = 58, + YEAR = 2015, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}{DOI:10.1007/s11425-014-4927-7}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {531--542}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {14D06 (14E30)}, + MRNUMBER = 3319924, + MRREVIEWER = {Alan Matthew Thompson}, + DOI = {10.1007/s11425-014-4927-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}, +} + +@book {MR3328860, + AUTHOR = {Brunella, Marco}, + TITLE = {Birational geometry of foliations}, + SERIES = {IMPA Monographs}, + VOLUME = 1, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = 2015, + PAGES = {xiv+130}, + ISBN = {978-3-319-14309-5; 978-3-319-14310-1}, + MRCLASS = {14E05 (32C35 32J25 32S65 37F75)}, + MRNUMBER = 3328860, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}{DOI:10.1007/978-3-319-14310-1}.}, + DOI = {10.1007/978-3-319-14310-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}, +} + +@article {MR3329677, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On the moduli b-divisors of lc-trivial fibrations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 64, + YEAR = 2014, + NOTE = {URL \url{http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {1721--1735}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14J10 (14E30 14N30)}, + MRNUMBER = 3329677, +MRREVIEWER = {Enrica Floris}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}, +} + +@book {MR3330490, + AUTHOR = {Cox, David A. and Little, John and O'Shea, Donal}, + TITLE = {Ideals, varieties, and algorithms}, + SERIES = {Undergraduate Texts in Mathematics}, + EDITION = {Fourth}, + NOTE = {An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{DOI:10.1007/978-3-319-16721-3}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {xvi+646}, + ISBN = {978-3-319-16720-6; 978-3-319-16721-3}, + MRCLASS = {13P10 (13-01 14-01 14Qxx 68W30)}, + MRNUMBER = {3330490}, + DOI = {10.1007/978-3-319-16721-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}, +} + +@incollection {MR3331401, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Kobayashi hyperbolicity and higher-dimensional {N}evanlinna theory}, + BOOKTITLE = {Geometry and analysis on manifolds}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {308}, + PAGES = {209--273}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + MRCLASS = {32Q45 (32H30)}, + MRNUMBER = {3331401}, +MRREVIEWER = {Pei-Chu Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}{DOI:10.1007/978-3-319-11523-8\_9}}, + DOI = {10.1007/978-3-319-11523-8_9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}, +} + +@article {MR3343876, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {The generalized {L}ipman-{Z}ariski problem}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2015, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}{DOI:10.1007/s00208-014-1112-9}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.1244}{arXiv:1405.1244}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {241--264}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14B05 (14F10 32S05 32S25)}, + MRNUMBER = 3343876, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1112-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}, +} + +@incollection {MR3380453, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Deformations of elliptic {C}alabi-{Y}au manifolds}, + BOOKTITLE = {Recent advances in algebraic geometry}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781107416000.015}{DOI:10.1017/CBO9781107416000.015}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1206.5721}{arXiv:1206.5721}}, + SERIES = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + VOLUME = 417, + PAGES = {254--290}, + PUBLISHER = {Cambridge Univ. Press, Cambridge}, + YEAR = 2015, + MRCLASS = {14J32}, + MRNUMBER = 3380453, +} + +@article {MR3483470, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for {C}remona groups}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 138, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}{DOI:10.1353/ajm.2016.0017}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1211.3563}{arXiv:math/1211.3563}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@article {MR3502099, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Effectivity of {I}itaka fibrations and pluricanonical systems of polarized pairs}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + VOLUME = 123, + YEAR = 2016, + PAGES = {283--331}, + ISSN = {0073-8301}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}{DOI:10.1007/s10240-016-0080-x}}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = 3502099, + MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1007/s10240-016-0080-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}, +} + +@article {MR3507257, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of log {C}alabi-{Y}au pairs of {F}ano type}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}{DOI:10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1699--1716}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3507257, + MRREVIEWER = {Lei Zhang}, + DOI = {10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, +} + +@article {MR3520712, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {A {M}ehta-{R}amanathan theorem for linear systems with + basepoints}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = 289, + YEAR = 2016, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1002/mana.201500180}{DOI:10.1002/mana.201500180}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1501.04210}{arXiv:1501.04210}}, + NUMBER = 10, + PAGES = {1208--1218}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14C20 (14H60 14J60)}, + MRNUMBER = 3520712, + DOI = {10.1002/mana.201500180}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.201500180}, +} + +@article {MR3556423, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Variation of log canonical thresholds in linear systems}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2016}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}{DOI:10.1093/imrn/rnv284}}, + NUMBER = {14}, + PAGES = {4418--4448}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14E30 (14J45 14M25)}, + MRNUMBER = {3556423}, +MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv284}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}, +} + +@article {MR3580792, + AUTHOR = {Huber, Annette}, + TITLE = {Differential forms in algebraic geometry---a new perspective in the singular case}, + JOURNAL = {Port. Math.}, + FJOURNAL = {Portugaliae Mathematica. A Journal of the Portuguese + Mathematical Society}, + VOLUME = 73, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PM/1990}{DOI:10.4171/PM/1990}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {337--367}, + ISSN = {0032-5155}, + MRCLASS = {14F10 (14F20 14J17 58A10)}, + MRNUMBER = 3580792, + DOI = {10.4171/PM/1990}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PM/1990}, +} + +@article {MR3604863, + AUTHOR = {Tian, Zhiyu and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Finiteness of fundamental groups}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}{DOI:10.1112/S0010437X16007867}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1508.04536}{arXiv:1508.04536}.}, + VOLUME = {153}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {257--273}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14B05 (14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {3604863}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007867}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}, +} + +@incollection {MR3666021, + AUTHOR = {Claudon, Benoît}, + TITLE = {Positivité du cotangent logarithmique et conjecture de {S}hafarevich-{V}iehweg}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016. Exposés 1104--1119. Available on the internet at \href{https://smf.emath.fr/publications/expose-1105-positivite-du-cotangent-logarithmique-et-conjecture-de-shafarevich-viehweg}{this url}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.09568}{arXiv:1603.09568}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {390}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Exp. No. 1105, 27--63}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-855-8}, + MRCLASS = {14D22 (32J25 32S65)}, + MRNUMBER = {3666021}, +MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3675465, + AUTHOR = {Wentworth, Richard A.}, + TITLE = {Higgs bundles and local systems on {R}iemann surfaces}, + BOOKTITLE = {Geometry and quantization of moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Courses Math. CRM Barcelona}, + PAGES = {165--219}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = 2016, + MRCLASS = {14H60 (32L10)}, + MRNUMBER = 3675465, +} + +@article {MR3715691, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Examples of {K}-unstable {F}ano manifolds with the {P}icard number 1}, + JOURNAL = {Proc. Edinb. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Series II}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {881--891}, + ISSN = {0013-0915}, + MRCLASS = {14J45 (14L24)}, + MRNUMBER = {3715691}, +MRREVIEWER = {Jesus Martinez-Garcia}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}{DOI:10.1017/S0013091516000432}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.04290}{arXiv:1508.04290}}, + DOI = {10.1017/S0013091516000432}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}, +} + +@article {MR3731324, + AUTHOR = {Li, Chi}, + TITLE = {Yau-{T}ian-{D}onaldson correspondence for {K}-semistable {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {733}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {55--85}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32Q25 (53C55)}, + MRNUMBER = {3731324}, +MRREVIEWER = {Ruadha\'{\i} Dervan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}{DOI:10.1515/crelle-2014-0156}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.6681}{arXiv:math/1302.6681}}, + DOI = {10.1515/crelle-2014-0156}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}, +} + +@article {MR3782691, + AUTHOR = {Favale, Filippo F.}, + TITLE = {Calabi-{Y}au quotients with terminal singularities}, + JOURNAL = {Boll. Unione Mat. Ital.}, + FJOURNAL = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana}, + VOLUME = {11}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}{DOI:10.1007/s40574-017-0128-y}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1306.3555}{arXiv:1306.3555}.}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {55--67}, + ISSN = {1972-6724}, + MRCLASS = {14J32 (14J17 14J50)}, + MRNUMBER = {3782691}, +MRREVIEWER = {Nam-Hoon Lee}, + DOI = {10.1007/s40574-017-0128-y}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}, +} + +@article {MR3783213, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Optimal bounds for the volumes of {K}ähler-{E}instein {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {140}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}{DOI:10.1353/ajm.2018.0009}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {391--414}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32Q25 (14J45 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = {3783213}, +MRREVIEWER = {Cristiano Spotti}, + DOI = {10.1353/ajm.2018.0009}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}, +} + +@article {MR3797604, + AUTHOR = {Liu, Yuchen}, + TITLE = {The volume of singular {K}ähler-{E}instein {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {154}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}{DOI:10.1112/S0010437X18007042}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1131--1158}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J45 (14B05 14L24 32Q15)}, + MRNUMBER = {3797604}, +MRREVIEWER = {Giulio Codogni}, + DOI = {10.1112/S0010437X18007042}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}, +} + +@incollection {MR3821147, + AUTHOR = {Cantat, Serge}, + TITLE = {The {C}remona group}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {101--142}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E07 (20E32 32M05 37F99)}, + MRNUMBER = {3821147}, +} + +@incollection {MR3821154, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of varieties of log general type}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {309--348}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {3821154}, +} + +@incollection {MR3821162, + AUTHOR = {Popa, Mihnea}, + TITLE = {Positivity for {H}odge modules and geometric applications}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {555--584}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14F10 (14C30 14F17 14F18 32S35)}, + MRNUMBER = {3821162}, +MRREVIEWER = {Alberto Casta\~{n}o Dom\'{\i}nguez}, + NOTE = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1605.08093}{arXiv:1605.08093}}, +} + +@article {MR3830471, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {The {J}ordan property for {L}ie groups and automorphism groups of complex spaces}, + JOURNAL = {Math. Notes}, + FJOURNAL = {Mathematical Notes}, + VOLUME = {103}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}{DOI:10.1134/S0001434618050139}}, + NUMBER = {5-6}, + PAGES = {811--819}, + ISSN = {0001-4346}, + MRCLASS = {20G15}, + MRNUMBER = {3830471}, + DOI = {10.1134/S0001434618050139}, + URL = {https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}, +} + +@article {MR3845765, + AUTHOR = {Sieder, Philip}, + TITLE = {Varieties with ample tangent sheaves}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = {157}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {257--261}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14M20 (14E05 14E08)}, + MRNUMBER = {3845765}, +MRREVIEWER = {Tatiana M. Bandman}, + DOI = {10.1007/s00229-017-0979-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-017-0979-7}, +} + +@book {MR3887555, + AUTHOR = {Bosch, Siegfried}, + TITLE = {Algebra---from the viewpoint of {G}alois theory}, + SERIES = {Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]}, + EDITION = {German}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}{DOI:10.1007/978-3-319-95177-5}}, + PAGES = {viii+367}, + ISBN = {978-3-319-95176-8; 978-3-319-95177-5}, + MRCLASS = {12-01 (12Fxx 13-01 16-01 20-01)}, + MRNUMBER = {3887555}, + DOI = {10.1007/978-3-319-95177-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}, +} + +@article {MR3899534, + AUTHOR = {Barlet, Daniel}, + TITLE = {The sheaf $α^•_X$}, + JOURNAL = {J. Singul.}, + FJOURNAL = {Journal of Singularities}, + VOLUME = {18}, + YEAR = {2018}, + PAGES = {50--83}, + MRCLASS = {32C35}, + MRNUMBER = {3899534}, +MRREVIEWER = {Andrea D'Agnolo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5427/jsing.2018.18e}{DOI:10.5427/jsing.2018.18e}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1707.07962}{arXiv:1707.07962}} +} + +@article {MR3902334, + AUTHOR = {Langer, Adrian}, + TITLE = {Birational geometry of compactifications of {D}rinfeld half-spaces over a finite field}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {345}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {861--908}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14G15 (14E05 14J26)}, + MRNUMBER = {3902334}, +MRREVIEWER = {Christian Liedtke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}{DOI:10.1016/j.aim.2019.01.031}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2019.01.031}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}, +} + +@article {MR393054, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi}, + TITLE = {On a generalization of complete intersections}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {15}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {619--646}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14M10}, + MRNUMBER = {393054}, +MRREVIEWER = {Manfred Herrmann}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}{DOI:10.1215/kjm/1250523007}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523007}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}, +} + +@article {MR3949026, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Foliations with positive slopes and birational stability of orbifold cotangent bundles}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}{DOI:10.1007/s10240-019-00105-w}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.02456}{arXiv:1508.02456}.}, + VOLUME = {129}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {1--49}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14E30 (32S65)}, + MRNUMBER = {3949026}, + DOI = {10.1007/s10240-019-00105-w}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}, +} + +@article {MR3953506, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Algebraic integrability of foliations with numerically trivial + canonical bundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {216}, + YEAR = {2019}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}{DOI:10.1007/s00222-018-00853-2}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1710.06183}{arXiv:1710.06183}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {395--419}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14J32 (14E30 37F75)}, + MRNUMBER = {3953506}, + DOI = {10.1007/s00222-018-00853-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}, +} + +@article {MR3959097, + AUTHOR = {Kollár, János and Laza, Radu and Saccà, Giulia and Voisin, Claire}, + TITLE = {Remarks on degenerations of hyper-{K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {7}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3228}{DOI:10.5802/aif.3228}}, + PAGES = {2837--2882}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D05 (14C34 14E30)}, + MRNUMBER = {3959097}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2837_0}, +} + +@article {MR3959100, + AUTHOR = {Amerik, Ekaterina and Campana, Frédéric}, + TITLE = {Specialness and isotriviality for regular algebraic foliations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3231}{DOI:10.5802/aif.3231}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1709.07420}{arXiv:1709.07420}}, + NUMBER = {7}, + PAGES = {2923--2950}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D06 (14C05 14E22 14E30 14J32)}, + MRNUMBER = {3959100}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2923_0}, +} + +@article {MR3988092, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Guenancia, Henri and Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Klt varieties with trivial canonical class: holonomy, differential forms, and fundamental groups}, + JOURNAL = {Geom. Topol.}, + FJOURNAL = {Geometry \& Topology}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}{DOI:10.2140/gt.2019.23.2051}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01408}{arXiv:1704.01408}}, + PAGES = {2051--2124}, + ISSN = {1465-3060}, + MRCLASS = {14E30 (14J32 32J27)}, + MRNUMBER = {3988092}, + DOI = {10.2140/gt.2019.23.2051}, + URL = {https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}, +} + +@incollection {MR3996488, + AUTHOR = {Li, Chi and Tian, Gang}, + TITLE = {Orbifold regularity of weak {K}ähler-{E}instein metrics}, + BOOKTITLE = {Advances in complex geometry}, + SERIES = {Contemp. Math.}, + VOLUME = {735}, + PAGES = {169--178}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2019}, + MRCLASS = {53C55 (14E15 32W20 53C25)}, + MRNUMBER = {3996488}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}{DOI:10.1090/conm/735/14825}}, + DOI = {10.1090/conm/735/14825}, + URL = {https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}, +} + +@article {MR4093975, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Wong, Michael Lennox}, + TITLE = {Canonical complex extensions of {K}\"{a}hler manifolds}, + JOURNAL = {J. Lond. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + VOLUME = {101}, + YEAR = {2020}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/jlms.12287}{DOI: 10.1112/jlms.12287}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/}{arXiv:1807.01223}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {786--827}, + ISSN = {0024-6107}, + MRCLASS = {32Q15 (32E10 32J27 32M10 32Q10 32V40 53C55)}, + MRNUMBER = {4093975}, +MRREVIEWER = {Shan Tai Chan}, + DOI = {10.1112/jlms.12287}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jlms.12287}, +} + +@article {MR4157111, + AUTHOR = {Loughran, Daniel and Skorobogatov, Alexei N. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Pseudo-split fibers and arithmetic surjectivity}, + JOURNAL = {Ann. Sci. éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatri\`eme Série}, + VOLUME = {53}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.243}{DOI:10.24033/asens.243}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.10740}{arXiv:1705.10740}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {1037--1070}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G05 (11G35)}, + MRNUMBER = {4157111}, + DOI = {10.24033/asens.243}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.243}, +} + +@book {MR4167468, + AUTHOR = {Cossart, Vincent and Jannsen, Uwe and Saito, Shuji}, + TITLE = {Desingularization: invariants and strategy---application to + dimension 2}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {2270}, + NOTE = {With contributions by Bernd Schober. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}{DOI:10.1007/978-3-030-52640-5}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {[2020] \copyright 2020}, + PAGES = {viii+256}, + ISBN = {978-3-030-52640-5; 978-3-030-52639-9}, + MRCLASS = {14E15 (14-02)}, + MRNUMBER = {4167468}, + DOI = {10.1007/978-3-030-52640-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}, +} + +@article {MR4216591, + AUTHOR = {Gvirtz, Damián}, + TITLE = {Arithmetic surjectivity for zero-cycles}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}{DOI:10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.07117}{arXiv:1901.07117}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {1367--1392}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C25 (14A21 14G05)}, + MRNUMBER = {4216591}, +} + +@article {MR4263792, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Projectively flat klt varieties}, + JOURNAL = {J. \'{E}c. polytech. Math.}, + FJOURNAL = {Journal de l'\'{E}cole polytechnique. Math\'{e}matiques}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + PAGES = {1005--1036}, + ISSN = {2429-7100}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 32Q26 32Q30 53B10)}, + MRNUMBER = {4263792}, + note = {\href{https://doi.org/10.5802/jep.164}{DOI:10.5802/jep.164}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2010.06878}{arXiv:2010.06878}}, + DOI = {10.5802/jep.164}, + URL = {https://doi.org/10.5802/jep.164}, +} + +@article {MR429884, + AUTHOR = {Iitaka, Shigeru}, + TITLE = {Logarithmic forms of algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.}, + FJOURNAL = {Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {1976}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {525--544}, + ISSN = {0040-8980}, + MRCLASS = {14C30 (14E05 32J25)}, + MRNUMBER = {429884}, +MRREVIEWER = {Miles Reid}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.15083/00039725}{DOI:10.15083/00039725}} +} + +@article {MR4307210, + AUTHOR = {Xu, Chenyang}, + TITLE = {K-stability of {F}ano varieties: an algebro-geometric approach}, + JOURNAL = {EMS Surv. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {EMS Surveys in Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.4171/emss/51}{DOI:10.4171/emss/51}. Preprint \href{https://arxiv.org/pdf/2011.10477.pdf}{arXiv:2011.10477}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {265--354}, + ISSN = {2308-2151}, + MRCLASS = {14D20 (14E30 14J10 14J45)}, + MRNUMBER = {4307210}, + DOI = {10.4171/emss/51}, + URL = {https://doi.org/10.4171/emss/51}, +} + +@article {MR4337973, + AUTHOR = {Braun, Lukas}, + TITLE = {The local fundamental group of a {K}awamata log terminal singularity is finite}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {226}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}{DOI:10.1007/s00222-021-01062-0}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.00522}{arXiv:2004.00522}.}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {845--896}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F35 (14B05 14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {4337973}, + DOI = {10.1007/s00222-021-01062-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}, +} + +@article {MR463151, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {I}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 41, + YEAR = 1977, + NUMBER = 3, + PAGES = {516--562, 717}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 463151, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article{MR480350, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMAT}, + Doi = {10.1002/cpa.3160310304}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 35J60)}, + Mrnumber = {480350 (81d:53045)}, + Mrreviewer = {Robert E. Greene}, + Number = 3, + Pages = {339--411}, + Title = {On the {R}icci curvature of a compact {K}ähler manifold and the complex {M}onge-{A}mpère equation. {I}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}{DOI:10.1002/cpa.3160310304}.}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}, + Volume = 31, + Year = 1978, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304} +} + +@article {MR503430, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {II}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 42, + YEAR = 1978, + NUMBER = 3, + PAGES = {506--549}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14J30 14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 503430, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article {MR527834, + AUTHOR = {Mumford, David}, + TITLE = {An algebraic surface with {$K$}\ ample, {$(K^{2})=9$}, {$p_{g}=q=0$}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 101, + YEAR = 1979, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/2373947}{DOI:10.2307/2373947}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {233--244}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J25}, + MRNUMBER = 527834, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, + DOI = {10.2307/2373947}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2373947}, +} + +@article {MR534602, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Smoothness of a general anticanonical divisor on a {F}ano + variety}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 43, + YEAR = 1979, + NUMBER = 2, + PAGES = {430--441}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = 534602, + MRREVIEWER = {Werner Kleinert}, +} + +@article {MR554521, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {On the hyperplane section principle of {L}efschetz}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {153--169}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14D20 (32J25)}, + MRNUMBER = {554521}, +MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}{DOI:10.2969/jmsj/03210153}}, + DOI = {10.2969/jmsj/03210153}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}, +} + +@article {MR562866, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On the cohomology of {${\bf Q}$}-divisors}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {56}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.56.34}{DOI:10.3792/pjaa.56.34}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {34--35}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14C20}, + MRNUMBER = {562866}, +MRREVIEWER = {M. Kh. Gizatullin}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195517033}, +} + +@article {MR567422, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {The first {C}hern class and holomorphic symmetric tensor + fields}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 32, + YEAR = 1980, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}{DOI:10.2969/jmsj/03220325}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {325--329}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {53C55 (32L20)}, + MRNUMBER = 567422, + MRREVIEWER = {A. L. Vitter, III}, + DOI = {10.2969/jmsj/03220325}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}, +} + + +@article {MR577360, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Compact {K}ähler manifolds of positive bisectional curvature}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 59, + YEAR = 1980, + NUMBER = 2, + PAGES = {189--204}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {58E20 (53C55)}, + MRNUMBER = 577360, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + DOI = {10.1007/BF01390043}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390043}, +} + +@book {MR580152, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Theory of {S}tein spaces}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {236}, + NOTE = {Translated from the German by Alan Huckleberry. \href{https://10.1007/978-1-4757-4357-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-4357-9}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1979}, + PAGES = {xxi+249}, + ISBN = {3-540-90388-7}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = {580152}, +} + +@article{MR582515, + Author = {Greuel, Gert-Martin}, + Coden = {MAANA3}, + Doi = {10.1007/BF01364456}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32B30 (14B07)}, + Mrnumber = {582515 (82e:32009)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Number = 2, + Pages = {157--173}, + Title = {Dualität in der lokalen {K}ohomologie isolierter + {S}ingularitäten}, + Url = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Volume = 250, + Year = 1980, + Bdsk-Url-1 = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1007/BF01364456} +} + + +@article {MR584075, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {112}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {73--111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53C55 (32H99 58E20)}, + MRNUMBER = {584075}, +MRREVIEWER = {M. Kalka}, + DOI = {10.2307/1971321}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1971321}, +} + +@article{MR597077, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05 (14D22)}, + Mrnumber = {597077 (82b:14011)}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 2, + Pages = {121--176}, + Title = {Stable reflexive sheaves}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01467074}{DOI:10.1007/BF01467074}}, + Volume = 254, + Year = 1980 +} + +@article {MR622451, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Characterization of abelian varieties}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {43}, + YEAR = {1981}, + NUMBER = {2}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}{numdam.CM-1981-43-2-253-0}}, + PAGES = {253--276}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (32J15)}, + MRNUMBER = {622451}, +MRREVIEWER = {Daniel Comenetz}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}, +} + +@article{MR635391, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Coden = {JDMVA7}, + Fjournal = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + Issn = {0012-0456}, + Journal = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + Mrclass = {32C10 (53C55)}, + Mrnumber = {635391 (82m:32008)}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 4, + Pages = {147--158}, + Title = {Recent results in complex differential geometry}, + Volume = 83, + Year = 1981 +} + +@article {MR641815, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Die {A}dditivität der {K}odaira {D}imension für projektive {F}aserräume über {V}arietäten des allgemeinen {T}yps}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {330}, + YEAR = {1982}, + PAGES = {132--142}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14D05 (14F05 14J10)}, + MRNUMBER = {641815}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}{DOI:10.1515/crll.1982.330.132}}, + DOI = {10.1515/crll.1982.330.132}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}, +} + +@article {MR641971, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Classification of {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 36, + YEAR = {1981/82}, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01170131}{DOI:10.1007/BF01170131}}, + PAGES = {147--162}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J30 (14J10)}, + MRNUMBER = 641971, + MRREVIEWER = {Mary Schaps}, + DOI = {10.1007/BF01170131}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01170131}, +} + +@article {MR670921, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les espaces analytiques}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 274, + YEAR = 1982, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1999498}{DOI:10.2307/1999498}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {89--100}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {32L10 (32C35 32J20)}, + MRNUMBER = 670921, + MRREVIEWER = {M. Schneider}, + DOI = {10.2307/1999498}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1999498}, +} + +@book {MR673560, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Tomassini, Giuseppe}, + TITLE = {Modifications analytiques}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 943, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = 1982, + PAGES = {iv+120}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0095882}{DOI:10.1007/BFb0095882}}, + ISBN = {3-540-11570-6}, + MRCLASS = {32C45 (14E15)}, + MRNUMBER = {673560 (84g:32022)}, + MRREVIEWER = {H. Kerner}, +} + +@book {MR676809, + AUTHOR = {Friedlander, Eric M.}, + TITLE = {Étale homotopy of simplicial schemes}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 104, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = 1982, + PAGES = {vii+190}, + ISBN = {0-691-08288-X; 0-691-08317-7}, + MRCLASS = {55P99 (14F35 55-02)}, + MRNUMBER = 676809, + MRREVIEWER = {V. P. Snaith}, +} + +@article{MR707162, + Author = {Friedman, Robert}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/2006955}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32G11 (14D20 14J28 32G13)}, + Mrnumber = {707162 (85g:32029)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {75--114}, + Title = {Global smoothings of varieties with normal crossings}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2006955}, + Volume = 118, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2006955} +} + +@incollection {MR715648, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {On {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and analytic varieties ({T}okyo, 1981)}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {1}, + PAGES = {101--129}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {715648}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}{DOI:10.2969/aspm/00110101}}, + DOI = {10.2969/aspm/00110101}, + URL = {https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}, +} + +@incollection{MR717614, + Author = {Mumford, David}, + Booktitle = {Arithmetic and geometry, {V}ol. {II}}, + Mrclass = {14H10 (14C15)}, + Mrnumber = {717614 (85j:14046)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-9286-7_12}{DOI: + 10.1007/987-1-4757-9286-7\-12}}, + Pages = {271--328}, + Publisher = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves}, + Volume = 36, + Year = 1983 +} + +@article {MR723219, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 74, + YEAR = 1983, + NUMBER = 2, + PAGES = {293--303}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32J25 (14J15)}, + MRNUMBER = 723219, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1007/BF01394318}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394318}, +} + +@incollection {MR728609, + AUTHOR = {Fujiki, Akira}, + TITLE = {On primitively symplectic compact {K}\"{a}hler {$V$}-manifolds of + dimension four}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, + 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {39}, + PAGES = {71--250}, + PUBLISHER = {Birkh\"{a}user Boston, Boston, MA}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {32G05 (32J99)}, + MRNUMBER = {728609}, +MRREVIEWER = {Daniel Barlet}, +} + +@article {MR765916, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Silva, Alessandro}, + TITLE = {On weakly rational singularities in complex analytic geometry}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = 136, + YEAR = 1984, + PAGES = {65--76}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32C40 (14B05 32B30)}, + MRNUMBER = 765916, + MRREVIEWER = {Bernd Herzog}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773377}{DOI:10.1007/BF01773377}.}, + DOI = {10.1007/BF01773377}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773377}, +} + +@inproceedings{MR772058, + Author = {Gillet, Henri}, + Booktitle = {Proceedings of the {L}uminy conference on algebraic + {$K$}-theory ({L}uminy, 1983)}, + Coden = {JPAAA2}, + Doi = {10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {14C35 (14C17 18F25 19E20)}, + Mrnumber = {772058 (86b:14006)}, + Mrreviewer = {Daniel R. Grayson}, + Number = {2-3}, + Pages = {193--240}, + Title = {Intersection theory on algebraic stacks and {$Q$}-varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Volume = 34, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7} +} + +@article {MR780664, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro}, + TITLE = {On the value distribution of meromorphic mappings of covering spaces over {${\bf C}^m$} into algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {37}, + YEAR = {1985}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}{DOI:10.2969/jmsj/03720295}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {295--313}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {780664}, +MRREVIEWER = {Alexander A. Pankov}, + DOI = {10.2969/jmsj/03720295}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}, +} + +@book {MR781344, + AUTHOR = {Bröcker, Theodor and tom Dieck, Tammo}, + TITLE = {Representations of compact {L}ie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 98, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1985, + PAGES = {x+313}, + ISBN = {0-387-13678-9}, + MRCLASS = {22E45 (57-01)}, + MRNUMBER = 781344, + MRREVIEWER = {R. Schultz}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12918-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12918-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}, +} + +@article{MR782236, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388524}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14C20 (14J10)}, + Mrnumber = {782236 (87h:14005)}, + Mrreviewer = {Rick Miranda}, + Number = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01388524}{DOI:10.1007/BF01388524}}, + Pages = {567--588}, + Title = {Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388524}, + Volume = 79, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388524} +} + +@book{MR782881, + Address = {Nancy}, + Author = {Huckleberry, Alan and Oeljeklaus, Eberhard}, + Isbn = {2-903594-07-4}, + Mrclass = {32M10}, + Mrnumber = {782881 (86g:32050)}, + Mrreviewer = {D. N. Akhiezer}, + Pages = {iv+178+xiv}, + Publisher = {Université de Nancy Institut Élie Cartan}, + Series = {Institut Élie Cartan}, + Title = {Classification theorems for almost homogeneous spaces}, + Volume = 9, + Year = 1984 +} + +@article {MR791292, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds. {II}}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 52, + YEAR = 1985, + NUMBER = 1, + PAGES = {61--65}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 791292, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, +} + +@article{MR818915, + Author = {Lubotzky, Alexander and Magid, Andy R.}, + Coden = {MAMCAU}, + Doi = {10.1090/memo/0336}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {20C15 (14D20)}, + Mrnumber = {818915 (87c:20021)}, + Mrreviewer = {Avner Ash}, + Number = 336, + Pages = {xi+117}, + Title = {Varieties of representations of finitely generated groups}, + Url = {https://doi.org/10.1090/memo/0336}, + Volume = 58, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/memo/0336} +} + +@article{MR82, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {83f:14013}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 3, + Pages = {213--224}, + Title = {Semistable sheaves on projective varieties and their + restriction to curves}, + Volume = 258, + Year = {1981/82} +} + +@incollection {MR825744, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Silva, Alessandro}, + TITLE = {Numerically effective bundles on {M}oi\v{s}ezon and strongly pseudoconvex manifolds}, + BOOKTITLE = {Seminar on deformations (\Lódź/{W}arsaw, 1982/84)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {1165}, + PAGES = {1--13}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1985}, + MRCLASS = {32L20}, + MRNUMBER = {825744}, +MRREVIEWER = {Thomas Peternell}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0076142}{DOI:10.1007/BFb0076142}}, + DOI = {10.1007/BFb0076142}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0076142}, +} + +@article {MR83045, + AUTHOR = {Stein, Karl}, + TITLE = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}\"{a}ume}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {132}, + YEAR = {1956}, + PAGES = {63--93}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {30.0X}, + MRNUMBER = {83045}, +MRREVIEWER = {Heinrich Behnke}, + DOI = {10.1007/BF01343331}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01343331}, +} + +@article{MR84, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01389140}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {751136 (85m:14026)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 1, + Pages = {163--172}, + Title = {Restriction of stable sheaves and representations of the + fundamental group}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389140}{DOI: + 10.1007/BF01389140}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01389140}, + Volume = 77, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01389140} +} + +@article{MR853449, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L20 (14F40)}, + Mrnumber = {853449 (87j:32088)}, + Mrreviewer = {Siegmund Kosarew}, + Number = 1, + Pages = {161--194}, + Title = {Logarithmic de {R}ham complexes and vanishing theorems}, + Volume = 86, + Year = 1986 +} + +@book {MR867684, + AUTHOR = {Besse, Arthur L.}, + TITLE = {Einstein manifolds}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + VOLUME = 10, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1987, + PAGES = {xii+510}, + ISBN = {3-540-15279-2}, + MRCLASS = {53C25 (53-02 53C21 53C30 53C55 58D17 58E11)}, + MRNUMBER = {867684 (88f:53087)}, + MRREVIEWER = {S. M. Salamon}, + DOI = {10.1007/978-3-540-74311-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}{DOI:10.1007/978-3-540-74311-8}} +} + +@article {MR888704, + AUTHOR = {Seitz, Gary M.}, + TITLE = {The maximal subgroups of classical algebraic groups}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 67, + YEAR = 1987, + NUMBER = 365, + PAGES = {iv+286}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {20G15 (20E28 20G05)}, + MRNUMBER = 888704, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + DOI = {10.1090/memo/0365}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0365}, +} + +@book {MR921027, + AUTHOR = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + TITLE = {Geometrische {M}ethoden in der {T}heorie der gewöhnlichen {D}ifferentialgleichungen}, + NOTE = {Translated from the Russian by Ernst Günter Giessmann, Bernd Graw and Horst Theel. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}{DOI:10.1007/978-3-0348-7125-9}}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {320}, + ISBN = {3-7643-1879-1}, + MRCLASS = {58Fxx (34-02 34Cxx)}, + MRNUMBER = {921027}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-7125-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}, +} + +@article {MR92195, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich and Kodaira, Kunihiko}, + TITLE = {On the complex projective spaces}, + JOURNAL = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + FJOURNAL = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvi\`eme Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {201--216}, + ISSN = {0021-7824}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {92195}, +MRREVIEWER = {E. Vesentini}, +} + +@article {MR925989, + AUTHOR = {Alperin, Roger C.}, + TITLE = {An elementary account of {S}elberg's lemma}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {1987}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-87896}{DOI:10.5169/seals-87896}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {269--273}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {20H20}, + MRNUMBER = {925989}, +MRREVIEWER = {A. E. Zalesski\u{\i}}, +} + +@article {MR932782, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Vanishing and nonvanishing theorems for numerically effective line bundles on complex spaces}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {153--164}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32L20 (14E30 14J10)}, + MRNUMBER = {932782}, +MRREVIEWER = {Yujiro Kawamata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773931}{DOI:10.1007/BF01773931}}, + DOI = {10.1007/BF01773931}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773931}, +} + +@book{MR941969, + Address = {Stuttgart}, + Author = {Stöcker, Ralph and Zieschang, Heiner}, + Isbn = {3-519-02226-5}, + Mrclass = {55-01}, + Mrnumber = {941969 (89e:55001)}, + Mrreviewer = {Hans-Werner Henn}, + Note = {Eine Einführung. [An introduction]}, + Pages = {x+414}, + Publisher = {B. G. Teubner}, + Series = {Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]}, + Title = {Algebraische {T}opologie}, + Year = 1988 +} + +@article {MR944576, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Sharp effective {N}ullstellensatz}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1988}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1990996}{DOI:10.2307/1990996}}, + PAGES = {963--975}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {12E99 (11C08 11J99 13B25)}, + MRNUMBER = {944576}, +MRREVIEWER = {D. W. Masser}, + DOI = {10.2307/1990996}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990996}, +} + +@article{MR944577, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Doi = {10.2307/1990994}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C25 53C55)}, + Mrnumber = {944577 (90e:58026)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}{DOI:10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}}, + Number = 4, + Pages = {867--918}, + Title = {Constructing variations of {H}odge structure using {Y}ang-{M}ills theory and applications to uniformization}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990994}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990994} +} + +@incollection{MR946238, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Fujita, Takao}, + Booktitle = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {946238 (89d:14006)}, + Mrreviewer = {Antonio Lanteri}, + Pages = {167--178}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On polarized manifolds whose adjoint bundles are not semipositive}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010167}{DOI:10.2969/aspm/01010167}} +} + +@incollection {MR946250, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {The lower semicontinuity of the plurigenera of complex varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 10, + PAGES = {551--590}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = 1987, + MRCLASS = {14J15 (14E30 32J15)}, + MRNUMBER = {946250 (89h:14028)}, + MRREVIEWER = {David R. Morrison}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010551}{DOI:10.2969/aspm/01010551}}, +} + +@book{MR947141, + Address = {New York}, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-96649-8}, + Mrclass = {58Fxx (34Cxx 70H05 70K30 70K99)}, + Mrnumber = {947141 (89h:58049)}, + Note = {Translated from the Russian by Joseph Szücs [J{{\'o}}zsef M. Sz{\H{u}}cs]}, + Pages = {xiv+351}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations}, + Volume = 250, + Year = 1988 +} + +@article {MR973802, + AUTHOR = {Varouchas, Jean}, + TITLE = {Kähler spaces and proper open morphisms}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 283, + YEAR = 1989, + NUMBER = 1, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01457500}{DOI:10.1007/BF01457500}}, + PAGES = {13--52}, + ISSN = {0025-5831}, + CODEN = {MAANA}, + MRCLASS = {32C15 (32F05 32G10 32H35)}, + MRNUMBER = 973802, + MRREVIEWER = {Siegmund Kosarew}, + DOI = {10.1007/BF01457500}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01457500}, +} + +@book {MR982494, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Undergraduate algebraic geometry}, + SERIES = {London Mathematical Society Student Texts}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}{DOI:10.1017/CBO9781139163699}}, + VOLUME = {12}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1988}, + PAGES = {viii+129}, + ISBN = {0-521-35559-1; 0-521-35662-8}, + MRCLASS = {14-01 (00A05)}, + MRNUMBER = {982494}, +MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1017/CBO9781139163699}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}, +} + +@inproceedings{MU83, + Author = {S. Mukai and H. Umemura}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Proc. Jap.-Fr. Conf., Tokyo and Kyoto + 1982}, + Editor = {M. Raynaud and T. Shioda}, + Pages = {490-518}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lect. Notes Math}, + Title = {{Minimal Rational Threefolds}}, + Volume = 1016, + Year = 1983 +} + +@article {MZ18, + AUTHOR = {Meng, Sheng and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Jordan property for non-linear algebraic groups and projective varieties}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 140, + YEAR = 2018, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0026}{DOI:10.1353/ajm.2018.0026}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1507.02230}{arXiv:math/1507.02230}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@book{Ma91, + Author = {W.S. Massey}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A Basic Course in Algebraic Topology}, + Year = 1991 +} + +@article{MacPherson74, + Author = {MacPherson, Robert D.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32C10 (14F25 57D20)}, + Mrnumber = {0361141 (50 \#13587)}, + Mrreviewer = {Iosif N. Iomdin}, + Pages = {423--432}, + Title = {Chern classes for singular algebraic varieties}, + Volume = 100, + Year = 1974 +} + +@inproceedings{Maru73, + Address = {Tokyo}, + Annote = {Kebekus: Der Autor beweist, das elementare Transformationen + von Vektorbuendeln existieren, und sich aus dem triv. Buendel + durch element. Trafo. eine offene Menge des Hilbert-Schemas + gewinnen laesst. In spaeteren Papers wird die Konstruktion auf + kohaer. Garben verallgemeinert.}, + Author = {M. Maruyama}, + Booktitle = {Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, in + honor of Y. Akizuki}, + Pages = {95--146}, + Publisher = {Kinokuniya}, + Title = {On a family of algebraic vector bundles}, + Year = 1973 +} + +@article{Maschke, + Author = {{{Mas}}chke, Heinrich}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01476165}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Longyear = 18, + Mrclass = {Contributed Item}, + Mrnumber = 1511061, + Number = {2-3}, + Pages = {363--368}, + Title = {Beweis des {S}atzes, dass diejenigen endlichen linearen + {S}ubstitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends + verschwindende {C}oefficienten auftreten, intransitiv sind}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01476165}, + Volume = 52, + Year = 1899, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01476165} +} + +@article{Mat-Mum64, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.20 (14.10)}, + Mrnumber = {30 \#2005}, + Mrreviewer = {R. C. Hartshorne}, + Note = {Correction: {\it Amer.\ J.\ Math.\/}, 91:851, 1969}, + Pages = {668--684}, + Title = {Two fundamental theorems on deformations of polarized + varieties}, + Volume = 86, + Year = 1964 +} + +@article{Mat-Mum64corr, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.51}, + Mrnumber = {40 \#1398}, + Pages = 851, + Title = {Correction to: ``{T}wo fundamental theorems on deformations of + polarized varieties''}, + Volume = 91, + Year = 1969 +} + +@book{Mat89, + Author = {H.~Matsumura}, + Number = 8, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge studies in advanced mathematics}, + Title = {Commutitative ring theory}, + Year = 1989 +} + +@book{Matsuki02, + Address = {New York}, + Author = {Matsuki, Kenji}, + Isbn = {0-387-98465-8}, + Mrclass = {14E30 (14-02 14E05 14J17 14J30)}, + Mrnumber = {2002m:14011}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Pages = {xxiv+478}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Introduction to the {M}ori program}, + Year = 2002 +} + +@book{McDS95, + Address = {New York}, + Author = {McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar}, + Isbn = {0-19-851177-9}, + Mrclass = {58F05 (53C15 57R57 58E05)}, + Mrnumber = {1373431 (97b:58062)}, + Mrreviewer = {Hansjörg Geiges}, + Note = {Oxford Science Publications}, + Pages = {viii+425}, + Publisher = {The Clarendon Press Oxford University Press}, + Series = {Oxford Mathematical Monographs}, + Title = {Introduction to symplectic topology}, + Year = 1995 +} + +@book{McL75, + Address = {Berlin}, + Author = {Mac Lane, Saunders}, + Isbn = {3-540-58662-8}, + Mrclass = {18-02 (18Axx 18Cxx 18Gxx)}, + Mrnumber = {1344215 (96d:18001)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-62029-4}{DOI:10.1007/978-3-642-62029-4}. Reprint of the 1975 edition}, + Pages = {x+422}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Classics in Mathematics}, + Title = {Homology}, + Year = 1995 +} + +@article {Meg97, + AUTHOR = {Megyesi, Gabor}, + TITLE = {Generalisation of the {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality + to singular surfaces}, + JOURNAL = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1999, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}{DOI:10.1112/S0024611599001719}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {241--282}, + ISSN = {0024-6115}, + MRCLASS = {14J17 (14C17 14J60)}, + MRNUMBER = 1665244, + MRREVIEWER = {Gerhard Pfister}, + DOI = {10.1112/S0024611599001719}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}, +} + +@article{Migliorini95, + Author = {Migliorini, Luca}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J29 (14J10)}, + Mrnumber = {1311355 (95m:14023)}, + Mrreviewer = {Xiao Tao Sun}, + Number = 2, + Pages = {353--361}, + Title = {A smooth family of minimal surfaces of general type over a curve of genus at most one is trivial}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@book{Milne80, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Milne, James S.}, + Isbn = {0-691-08238-3}, + Mrclass = {14-02 (14F20 18F99)}, + Mrnumber = {559531 (81j:14002)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Pages = {xiii+323}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series}, + Title = {{É}tale cohomology}, + Volume = 33, + Year = 1980 +} + +@article{Miy77, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Date-Added = {2015-06-11 19:29:12 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:30:16 +0000}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {225-237}, + Title = {On the Chern numbers of surfaces of general type}, + Volume = 42, + Year = 1977 +} + +@incollection{Miy85, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E05 (14D99 14F10 14J40)}, + Mrnumber = {927960 (89e:14011)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Pages = {245--268}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Deformations of a morphism along a foliation and applications}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@misc{Miy92, + Author = {Y.~Miyaoka}, + Note = {misc}, + Title = {Lecture at the university of Utah}, + Year = 1992 +} + +@incollection{Miyanishi-Tsunoda82, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Booktitle = {Classification of algebraic and analytic manifolds (Katata, + 1982)}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = {728617 (86c:14030)}, + Mrreviewer = {Daniel Comenetz}, + Pages = {499--544}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {The structure of open algebraic surfaces. {II}}, + Volume = 39, + Year = 1983 +} + +@article{Miyanishi-Tsunoda84, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Coden = {JJMAAK}, + Fjournal = {Japanese Journal of Mathematics. New Series}, + Issn = {0289-2316}, + Journal = {Japan. J. Math. (N.S.)}, + Mrclass = {14J10 (14J25)}, + Mrnumber = {884420 (88b:14029)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {195--242}, + Title = {Noncomplete algebraic surfaces with logarithmic {K}odaira + dimension {$-\infty$} and with nonconnected boundaries at + infinity}, + Volume = 10, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Miyanishi82, + Address = {Amsterdam, New York, Oxford}, + Author = {M. Miyanishi}, + Booktitle = {Advanced Studies in Pure Mathematics 1}, + Editor = {S. Iitaka}, + Publisher = {North-Holland publishing company}, + Title = {Algebraic Methods in the Theory of Algebraic Threefolds}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Miyaoka87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14F05 14J40)}, + Mrnumber = {89k:14022}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {449--476}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {The {C}hern classes and {K}odaira dimension of a minimal variety}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010449}{DOI:10.2969/aspm/01010449}}, +} + +@article{Mo1, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. Math. Soc.}, + Pages = {31--51}, + Title = {Some new decomposition theorems for semi-simple groups}, + Volume = 14, + Year = 1955 +} + +@article{Mo2, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. J. Math.}, + Pages = {247--278}, + Title = {On covariant fiberings of Klein spaces}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article{MoSu78, + Author = {Mori, Shigefumi and Sumihiro, Hideyasu}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J30 (14F10 14J40)}, + Mrnumber = {509496 (80j:14033)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 3, + Pages = {523--533}, + Title = {On {H}artshorne's conjecture}, + Volume = 18, + Year = 1978 +} + +@article{Mok02, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J27 (14J60 53C07)}, + Mrnumber = {2003i:32036}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 7, + Pages = {2639--2658 (electronic)}, + Title = {On {F}ano manifolds with nef tangent bundles admitting + 1-dimensional varieties of minimal rational tangents}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + +@article{Mok88, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 53C35 58G11)}, + Mrnumber = {89d:53115}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Number = 2, + Pages = {179--214}, + Title = {The uniformization theorem for compact {K}ähler manifolds of + nonnegative holomorphic bisectional curvature}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@incollection{Mok94, + Address = {Berlin}, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Booktitle = {Geometry from the {P}acific {R}im ({S}ingapore, 1994)}, + Mrclass = {32J27 (32C17)}, + Mrnumber = {1468254 (99a:32038)}, + Mrreviewer = {Philippe P. Eyssidieux}, + Pages = {261--284}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {The generalized theorem of {C}astelnuovo-de {F}ranchis for + unitary representations}, + Year = 1997 +} + +@Book{Moon07, + author = {Moon, Francis C. }, + ALTeditor = {}, + title = {The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux -- Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century}, + publisher = {Springer Netherlands}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + volume = {2}, + OPTnumber = {}, + series = {History of Mechanism and Machine Science}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4020-5599-7}{DOI:10.1007/978-1-4020-5599-7}}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{Mordell, + Author = {Mordell, Louis J.}, + Journal = {Proc Cam. Phil. Soc.}, + Pages = {179--192}, + Title = {On the rational solutions of the indeterminate equations of + the third and fourth degrees}, + Volume = 21, + Year = 1922 +} + +@article{Mori79, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E05 (14M20)}, + Mrnumber = {81j:14010}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 3, + Pages = {593--606}, + Title = {Projective manifolds with ample tangent bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1971241}{DOI:10.2307/1971241}}, + Volume = 110, + Year = 1979 +} + +@article{Mori82, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {84e:14032}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Number = 1, + Pages = {133--176}, + Title = {Threefolds whose canonical bundles are not numerically + effective}, + Volume = 116, + Year = 1982 +} + +@article{Mori85, + Author = {S. Mori}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {43--66}, + Title = {{On 3-Dimensional Terminal Singularities}}, + Volume = 98, + Year = 1985 +} + +@incollection{Mori87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14J10 (14E05 14E30 14J40 14M20)}, + Mrnumber = {927961 (89a:14040)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {269--331}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Classif{i}\-cation of higher-dimensional varieties}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Mori88, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Doi = {10.2307/1990969}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {924704 (89a:14048)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {117--253}, + Title = {Flip theorem and the existence of minimal models for + {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990969}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990969} +} + +@book{Mum66, + Author = {D. Mumford}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lectures on curves on an algebraic surface}, + Year = 1966 +} + +@article {Mustata+Olano+Popa:LocalVanishing, + AUTHOR = {Mustaţă, Mircea and Olano, Sebastián and Popa, Mihnea}, + TITLE = {Local vanishing and {H}odge filtration for rational singularities}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + NOTE = {Published online. \href{https://doi.org/10.1017/S1474748018000208}{DOI:S1474748018000208}. Preprint \href{httpss://arxiv.org/abs/1703.06704}{arXiv:1703.06704}.}, + Year = 2018 +} + +@article{NR75, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Journal = {Ann. Math. (2)}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {0384797 (52 \#5669)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Pages = {391--417}, + Title = {Deformations of the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 1975 +} + +@incollection{NR78, + Address = {Berlin}, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Booktitle = {C. P. Ramanujam---a tribute}, + Mrclass = {14D22 (10D99 14F05)}, + Mrnumber = {541029 (81b:14003)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Pages = {291--345}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math.}, + Title = {Geometry of {H}ecke cycles. {I}}, + Volume = 8, + Year = 1978 +} + +@book{NSW08, + Address = {Berlin}, + Author = {Neukirch, Jürgen and Schmidt, Alexander and Wingberg, Kay}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-540-37888-4}, + Mrclass = {11R34 (11-02 11G45 11R23 11S20 11S25 11S31 12G05)}, + Mrnumber = {2392026 (2008m:11223)}, + Pages = {xvi+825}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Cohomology of number fields}, + Volume = 323, + Year = 2008 +} + +@article{Nadel91, + Author = {Nadel, Alan M.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {93g:14048}, + Mrreviewer = {Harry D'Souza}, + Number = 4, + Pages = {681--692}, + Title = {The boundedness of degree of {F}ano varieties with {P}icard + number one}, + Volume = 4, + Year = 1991 +} + +@article{Nagata70, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0258829 (41 \#3475)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {191--196}, + Title = {On self-intersection number of a section on a ruled surface}, + Volume = 37, + Year = 1970 +} + +@book{Nakayama04, + Address = {Tokyo}, + Author = {Nakayama, Noboru}, + Isbn = {4-931469-31-0}, + Mrclass = {14C20 (14E15 14E30 14J10)}, + Mrnumber = {2104208 (2005h:14015)}, + Mrreviewer = {Tommaso De Fernex}, + Pages = {xiv+277}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {MSJ Memoirs}, + Title = {Zariski-decomposition and abundance}, + Volume = 14, + Year = 2004, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/msjmemoirs/014010000}{DOI:10.2969/msjmemoirs/014010000}}, +} + +@Unpublished{NakayamaNormalizedPreprint, + author = {Nakayama, Noboru}, + title = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + note = {RIMS preprint 1214, available at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/preprint/preprint_y1998.html}}, + year ={1998} +} + +@article{Namikawa01, + Author = {Namikawa, Yoshinori}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32G20 32J18 32S20)}, + Mrnumber = {1863856 (2002i:32011)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {123--147}, + Title = {Extension of 2-forms and symplectic varieties}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{NamikawaTerminalCodimensionSymplectic, + author = {Namikawa, Yoshinori}, + title = {A note on symplectic singularities}, + note = {preprint, arXiv:math/0101028}, + year = 2001, +} + +@article{Neumann09, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Fjournal = {Documenta Mathematica}, + Issn = {1431-0635}, + Journal = {Doc. Math.}, + Mrclass = {14M22 (14J26)}, + Mrnumber = {2520915 (2011a:14103)}, + Mrreviewer = {Francesco Russo}, + Pages = {157--165}, + Title = {Rationally connected foliations on surfaces}, + Volume = 14, + Year = 2009 +} + +@phdthesis{NeumannThesis, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Month = {March}, + Note = {\url{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7287}, urn:nbn:de:bsz:25-opus-72876}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {A decomposition of the Moving cone of a projective manifold according to the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundle}, + Year = 2010 +} + +@article{Nor78, + Author = {Y. Noramitsu}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Pages = {107--108}, + Title = {Kodaira vanishing theorem an Chern classes for $\partial$-manifolds}, + Volume = {54A}, + Year = 1978 +} + +@article {Nov65, + AUTHOR = {Novikov, Sergeĭ P.}, + TITLE = {Topological invariance of rational classes of {P}ontrjagin}, + JOURNAL = {Dokl. Akad. Nauk SSSR}, + FJOURNAL = {Doklady Akademii Nauk SSSR}, + VOLUME = {163}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {298--300}, + ISSN = {0002-3264}, + MRCLASS = {57.32}, + MRNUMBER = {0193644}, +MRREVIEWER = {B. L. Reinhart}, + NOTE = {Available on the internet at \url{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=31327}} +} + +@Unpublished{Nun22, + author = {Núñez, Pedro}, + title = {Adapted differentials as a qfh-sheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2210.07968}{arXiv:2210.07968}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2022}, + OPTannote = {} +} + + +@book{OSS, + Address = {Mass.}, + Author = {Okonek, Christian and Schneider, Michael and Spindler, Heinz}, + Isbn = {3-7643-3000-7}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14F05 32G13 81C30)}, + Mrnumber = {561910 (81b:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {vii+389}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {Vector bundles on complex projective spaces}, + Volume = 3, + Year = 1980 +} + +@article{ObusPries, + AUTHOR = {Obus, Andrew and Pries, Rachel}, + TITLE = {Wild tame-by-cyclic extensions}, + JOURNAL = {J. Pure Appl. Algebra}, + FJOURNAL = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}{DOI:10.1016/j.jpaa.2009.06.017}}, + VOLUME = 214, + YEAR = 2010, + NUMBER = 5, + PAGES = {565--573}, + ISSN = {0022-4049}, + MRCLASS = {12F10 (11S15 11S20 14H30)}, + MRNUMBER = 2577662, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, +} + +@article{Oguiso-Viehweg01, + Author = {Oguiso, Keiji and Viehweg, Eckart}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J27)}, + Mrnumber = {1832333 (2002d:14054)}, + Mrreviewer = {Yoshio Fujimoto}, + Number = 3, + Pages = {569--598}, + Title = {On the isotriviality of families of elliptic surfaces}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@article {Oguiso-Zhang, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {On the most algebraic {$K3$} surfaces and the most extremal log {E}nriques surfaces}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 118, + YEAR = 1996, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.1996.0052}{DOI:10.1353/ajm.1996.0052}.}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1277--1297}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J17 (14J28)}, + MRNUMBER = 1420924, + MRREVIEWER = {Shigeyuki Kondo}, + URL = + {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v118/118.6oguiso.pdf}, +} + +@article {OguisoSchroeer, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Schröer, Stefan}, + TITLE = {Enriques manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 661, + YEAR = 2011, + PAGES = {215--235}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {53C26 (32Q25)}, + MRNUMBER = 2863907, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}{DOI:10.1515/CRELLE.2011.077}.}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2011.077}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}, +} + +@article{P01, + Author = {Popa, Mihnea}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C05 (14D20 14H60)}, + Mrnumber = {1828298 (2002d:14007)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 3, + Pages = {469--495}, + Title = {Dimension estimates for {H}ilbert schemes and effective base + point freeness on moduli spaces of vector bundles on curves}, + Volume = 107, + Year = 2001 +} + +@article{P1, + Author = {Pereira, Jorge Vit{ó}rio}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Universit{é} de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32M25 (34M45 37F75)}, + Mrnumber = {1860669 (2003e:32041)}, + Mrreviewer = {Frank Loray}, + Number = 5, + Pages = {1385--1405}, + Title = {Vector fields, invariant varieties and linear systems}, + Volume = 51, + Year = 2001 +} + +@article{P3, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {JPAAA2}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {13N15}, + Mrnumber = {1904485 (2003f:13028)}, + Mrreviewer = {R. V. Gurjar}, + Number = {2-3}, + Pages = {295--301}, + Title = {Invariant hypersurfaces for positive characteristic vector + fields}, + Volume = 171, + Year = 2002 +} + +@article{P4, + Author = {Pereira, J. V.}, + Fjournal = {Qualitative Theory of Dynamical Systems}, + Issn = {1575-5460}, + Journal = {Qual. Theory Dyn. Syst.}, + Mrclass = {32S65 (32Q15 37F75)}, + Mrnumber = {1913291 (2003e:32055)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {381--384}, + Title = {Global stability for holomorphic foliations on {K}ähler + manifolds}, + Volume = 2, + Year = 2001 +} + +@book{P5, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Isbn = {85-244-0208-3}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {2029287 (2005b:32065)}, + Mrreviewer = {Nuria Corral}, + Note = {24$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [24th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Pages = {ii+82}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {Publica\c c\~oes Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]}, + Title = {Integrabilidade de folhea\c c\~oes holomorfas}, + Year = 2003 +} + +@article{P6, + Author = {Pereira, Jorge Vitório and Sánchez, Percy Fernández}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {32S65 (37F75 57R30)}, + Mrnumber = {1957664 (2003m:32031)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Number = 5, + Pages = {1115--1123}, + Title = {Transformation groups of holomorphic foliations}, + Volume = 10, + Year = 2002 +} + +@misc{P7, + Author = {Coutinho, S.C and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {On the density of algebraic foliations without algebraic invariant sets} +} + +@misc{P8, + Author = {Mendes, L.G and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {Hilbert Modular foliations on the projective plane} +} + +@article{PR04, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-004-0406-8}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E30)}, + Mrnumber = {2127983 (2005m:14068)}, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Number = 3, + Pages = {379--400}, + Title = {Threefolds with holomorphic normal projective connections}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8}, + Volume = 329, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8} +} + +@article{PR05, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Number = 6, + Pages = {595--607}, + Title = {Projective Threefolds with holomorphic conformal structure}, + Volume = 16, + Year = 2005 +} + +@misc{PR09, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0903.4571}{arXiv:0903.4571}}, + Title = {Holomorphic normal projective connections on projective + manifolds}, + Year = 2009 +} + +@Unpublished{PS, + author = {Păun, Mihai and Sibony, Nessim}, + title = {Value {D}istribution {T}heory for {P}arabolic {R}iemann {S}urfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/arXiv:1403.6596}{arXiv:1403.6596}}, + OPTkey = {}, + month = {March}, + year = {2014}, + OPTannote = {} +} + +@article{PS00, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J60}, + Mrnumber = {2001k:14079}, + Mrreviewer = {Xiao Jiang Tan}, + Note = {With an appendix by Robert Lazarsfeld, Special issue in honor of Robin Hartshorne}, + Number = 12, + Pages = {5573--5599}, + Title = {Ample vector bundles and branched coverings}, + Volume = 28, + Year = 2000 +} + +@misc{PS03, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Note = {Preprint, to appear in volume of the Fano conference, Torino + 2002}, + Title = {Ample Vector Bundles and Branched Coverings, {II}}, + Year = 2003 +} + +@article {PS15, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Schnell, Christian}, + TITLE = {Viehweg's hyperbolicity conjecture for families with maximal variation}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {208}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {677--713}, + ISSN = {0020-9910}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}{DOI:10.1007/s00222-016-0698-9}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.00294}{arXiv:1511.00294}}, + MRCLASS = {14D06 (14D07 14E30 14F10)}, + MRNUMBER = {3648973}, +MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-016-0698-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}, +} + +@article{PS91, + Author = {T. Peternell and M. Schneider}, + Journal = {Proc. Symp. Pure Math.}, + Pages = {455--466}, + Title = {Compactifications of $\mathbb{C}^n$: A Survey}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{PS98, + Author = {Peternell, Thomas and Serrano, Fernando}, + Coden = {COLMBA}, + Fjournal = {Universitat de Barcelona. Collectanea Mathematica}, + Issn = {0010-0757}, + Journal = {Collect. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J30)}, + Mrnumber = {1677100 (2000b:14020)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Note = {Dedicated to the memory of Fernando Serrano}, + Number = {2-3}, + Pages = {465--517}, + Title = {Threefolds with nef anticanonical bundles}, + Volume = 49, + Year = 1998 +} + + + +@article {PT14, + AUTHOR = {Păun, Mihai and Takayama, Shigeharu}, + TITLE = {Positivity of twisted relative pluricanonical bundles and their direct images}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/702}{DOI:10.1090/jag/702}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.5504}{arXiv:1409.5504}}, + PAGES = {211--272}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {32L05 (32A25)}, + MRNUMBER = {3764276}, + DOI = {10.1090/jag/702}, + URL = {https://doi.org/10.1090/jag/702}, +} + +@article {PTW18, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Taji, Behrouz and Wu, Lei}, + TITLE = {Brody hyperbolicity of base spaces of certain families of varieties}, + JOURNAL = {Algebra Number Theory}, + FJOURNAL = {Algebra \& Number Theory}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {9}, + PAGES = {2205--2242}, + ISSN = {1937-0652}, + MRCLASS = {14D07 (14D23 14E30 14J10 14J15 14J29)}, + MRNUMBER = {4039502}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}{DOI:10.2140/ant.2019.13.2205}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1801.05898}{arXiv:1801.05898}}, + DOI = {10.2140/ant.2019.13.2205}, + URL = {https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}, +} + +@article {PW93, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b_2=1$}}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {363--384}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14F17 14J60)}, + MRNUMBER = {1311356}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article{PW95, + Author = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F17 14J60)}, + Mrnumber = {1311356 (96a:14048)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 2, + Pages = {363--384}, + Title = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b\sb 2=1$}}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@article{Parshin68, + Author = {Parshin, Aleksey N.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0257086 (41 \#1740)}, + Mrreviewer = {J.-E. Bertin}, + Pages = {1191--1219}, + Title = {Algebraic curves over function fields. {I}}, + Volume = 32, + Year = 1968 +} + +@Article{Paun, + author = "Păun, Mihai", + title = {{Regularity properties of the degenerate Monge-Ampère + equations on compact Kähler manifolds.}}, + journal = "Chin. Ann. Math., Ser. B", + year = 2008, + volume = 29, + number = 6, + pages = "623--630" +} + +@incollection{Pe01, + Address = {Basel}, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {European {C}ongress of {M}athematics, {V}ol. {I} ({B}arcelona, + 2000)}, + Mrclass = {14E30 (32J18)}, + Mrnumber = {1905339 (2003g:14022)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Pages = {509--518}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Contact structures, rational curves and {M}ori theory}, + Volume = 201, + Year = 2001 +} + +@article{Pe94, + Author = {Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/BF02571950}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14J32 14J40 32J27)}, + Mrnumber = {1306667 (96f:14041)}, + Mrreviewer = {Dimitrios I. Dais}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02571950}{DOI:10.1007/BF02571950}}, + Number = 3, + Pages = {377--405}, + Title = {Minimal varieties with trivial canonical classes. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02571950}, + Volume = 217, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02571950} +} + +@Unpublished{PeregoRapagnetta, + author = {Arvid Perego and Antonio Rapagnetta}, + title = {The moduli spaces of sheaves on {K3} surfaces are irreducible symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1802.01182}{arXiv:1802.01182}.}, + OPTkey = {}, + month = {February}, + year = {2018}, + OPTannote = {}, + OPTurl = {}, + OPTurldate = {}, + OPTlastchecked = {}, + OPTdoi = {}, + OPTisbn = {}, + OPTissn = {}, + OPTlocalfile = {}, + OPTabstract = {}, + OPTkeywords = {}, +} + +@article{Pereira02a, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {1913040 (2003e:32056)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {217--226}, + Title = {On the {P}oincar{é} problem for foliations of general type}, + Volume = 323, + Year = 2002 +} + +@incollection{PeternellTangentBundleSurvey, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {School on {V}anishing {T}heorems and {E}ffective {R}esults in {A}lgebraic {G}eometry ({T}rieste, 2000)}, + Mrclass = {14J60 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {1919461 (2003f:14048)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Pages = {285--334}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Subsheaves in the tangent bundle: integrability, stability and positivity}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + + + + +@book{PetersSteenbrinkBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Peters, Chris A. M. and Steenbrink, Joseph H. M.}, + Isbn = {978-3-540-77015-2}, + Mrclass = {14C30 (14D07 32G20 32J25 32S35)}, + Mrnumber = 2393625, + Mrreviewer = {Matt Kerr}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-77017-6}{DOI:10.1007/978-3-540-77017-6}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + Title = {Mixed {H}odge structures}, + Volume = 52, + Year = 2008 +} + + + + + +@article{Poincare91, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {161--191}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré I}, + Volume = 5, + Year = 1891 +} + +@article{Poincare97, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {193--239}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré II}, + Volume = 11, + Year = 1897 +} + +@article{Poonen, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Existence of rational points on smooth projective varieties}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/159}{DOI:10.4171/JEMS/159}}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {529--543}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 11U05)}, + MRNUMBER = 2505440, + MRREVIEWER = {Timothy D. Browning}, + DOI = {10.4171/JEMS/159}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/159}, +} + +@article {Poonen0, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Insufficiency of the {B}rauer-{M}anin obstruction applied to étale covers}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}{DOI:10.4007/annals.2010.171.2157}}, + VOLUME = {171}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {2157--2169}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14G25 (14F22)}, + MRNUMBER = {2680407}, +MRREVIEWER = {Marco A. Garuti}, + DOI = {10.4007/annals.2010.171.2157}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}, +} + +@article {Poonen3, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Multivariable polynomial injections on rational numbers}, + JOURNAL = {Acta Arith.}, + FJOURNAL = {Acta Arithmetica}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}{DOI:10.4064/aa145-2-2}}, + VOLUME = {145}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {123--127}, + ISSN = {0065-1036}, + MRCLASS = {11C08 (11G30 11G35)}, + MRNUMBER = {2733078}, +MRREVIEWER = {Matilde N. Lal\'{i}n}, + DOI = {10.4064/aa145-2-2}, + URL = {https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}, +} + +@incollection {Poonenbis, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {The {H}asse principle for complete intersections in projective + space}, + BOOKTITLE = {Rational points on algebraic varieties}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {199}, + PAGES = {307--311}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = {2001}, + MRCLASS = {14G25 (11G35)}, + MRNUMBER = {1875178}, +MRREVIEWER = {Antoine Ducros}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8368-9_11}{DOI:10.1007/978-3-0348-8368-9$\_$11}}, +} + +@Unpublished{Popov18, + author = {Popov, Vladimir L.}, + title = {Three plots about the Cremona groups}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.00824}{arXiv:1810.00824}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@incollection{PopovVinberg, + Address = {Berlin}, + Author = {Popov, Vladimir and Vinberg, Ernest B.}, + Booktitle = {Algebraic {G}eometry IV}, + Pages = {123--284}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Invariant {T}heory}, + Volume = 55, + Year = 1994 +} + +@article{Pot69, + Author = {J. Potters}, + Journal = {Invent. Math. 8}, + Title = {On almost homogeneous compact complex surfaces}, + Year = 1969 +} + +@article{RAN92MR1487238MR1487238MR1487238, + Author = {Ran, Ziv}, + Coden = {BAMOAD}, + Doi = {10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Fjournal = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series}, + Issn = {0273-0979}, + Journal = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {32G05 (14D15 32G13)}, + Mrnumber = {1102754 (92h:32035)}, + Mrreviewer = {Claire Voisin}, + Number = 1, + Pages = {113--117}, + Title = {Lifting of cohomology and unobstructedness of certain + holomorphic maps}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Volume = 26, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6} +} + +@book{RB10, + Address = {Berlin}, + Author = {Ribes, Luis and Zalesskii, Pavel}, + Doi = {10.1007/978-3-642-01642-4}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-642-01641-7}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}{DOI:10.1007/978-3-642-01642-4}}, + Mrclass = {20E18}, + Mrnumber = {2599132 (2011a:20058)}, + Pages = {xvi+464}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Profinite groups}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}, + Volume = 40, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4} +} + +@Article{ RZ, + title = "Continuity of extremal transitions and flops for + {C}alabi-{Y}au manifolds", + author = "Xiaochun Rong and Yuguang Zhang", + journal = "J. Differential Geom.", + pages = "233--269", + volume = 89, + number = 2, + year = 2011, + issn = "0022-040X", + note = "Appendix B by Mark + Gross. \href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411}{euclid.jdg/1324477411}.", + url = "http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411", + CODEN = "JDGEAS", + FJOURNAL = "Journal of Differential Geometry", + MRCLASS = "32Q25 (14J32 53C23)", + MRNUMBER = 2863918, + MRREVIEWER = "Michele Rossi" +} + +@article {RZ2, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun and Zhang, Yuguang}, + TITLE = {Degenerations of {R}icci-flat {C}alabi-{Y}au manifolds}, + JOURNAL = {Commun. Contemp. Math.}, + FJOURNAL = {Communications in Contemporary Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2013, + NUMBER = 4, + PAGES = {1250057, 8}, + ISSN = {0219-1997}, + MRCLASS = {32Q25 (53C23)}, + MRNUMBER = 3073445, + DOI = {10.1142/S0219199712500575}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0219199712500575}, +} + +@article{Ramanujam72, + Author = {Ramanujam, C. P.}, + Journal = {J. Indian Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {14F05 (32J25)}, + Mrnumber = {0330164 (48 \#8502)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {41--51}, + Title = {Remarks on the {K}odaira vanishing theorem}, + Volume = 36, + Year = 1972 +} + +@book{RedBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {3-540-50497-4}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {971985 (89k:14001)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Pages = {vi+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The {R}ed {B}ook of {V}arieties and {S}chemes}, + Volume = 1358, + Year = 1988 +} + +@inproceedings{Reid78, + Address = {Tokyo}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Proceedings of the {I}nternational {S}ymposium on {A}lgebraic + {G}eometry ({K}yoto {U}niv., {K}yoto, 1977)}, + Mrclass = {14F05 (32J15)}, + Mrnumber = {578877 (82b:14014)}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Pages = {623--642}, + Publisher = {Kinokuniya Book Store}, + Title = {Bogomolov's theorem {$c_{1}^{2}łeq 4c_{2}$}}, + Year = 1978 +} + +@incollection{Reid79, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Journées de {G}éometrie {A}lgébrique d'{A}ngers, {J}uillet + 1979/{A}lgebraic {G}eometry, {A}ngers, 1979}, + Mrclass = {14J30 (14B07 14J17)}, + Mrnumber = {605348 (82i:14025)}, + Mrreviewer = {Jayant M. Shah}, + Pages = {273--310}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Canonical {$3$}-folds}, + Year = 1980 +} + +@inproceedings{Reid83, + Author = {M. Reid}, + Booktitle = {Advanced studies in pure math.}, + Editor = {S. Iitaka and H. Morikawa}, + Pages = {131--180}, + Publisher = {Kinokuniya and North Holland}, + Title = {Minimal models of canonical 3-folds}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@unpublished{Reid83a, + Author = {Reid, Miles}, + Note = {Preprint, University of Warwick. Available from the author's home page at \url{http://www.maths.warwick.ac.uk/~miles/3folds/Ka.pdf}}, + Title = {Projective morphisms according to {K}awamata}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Reid87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E05 14J10)}, + Mrnumber = {927963 (89b:14016)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {345--414}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to canonical singularities}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Reid94, + Author = {M. Reid}, + Journal = {LANL-Preprint math.AG/9404002}, + Note = {Available on the world wide web at {\tt + http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9404002}}, + Title = {Nonnormal del Pezzo surfaces}, + Year = 1994 +} + +@incollection {Rong, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun}, + TITLE = {Convergence and collapsing theorems in {R}iemannian geometry}, + BOOKTITLE = {Handbook of geometric analysis, {N}o. 2}, + SERIES = {Adv. Lect. Math. (ALM)}, + VOLUME = 13, + PAGES = {193--299}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2010, + MRCLASS = {53C23 (53C20 53C21)}, + MRNUMBER = 2743443, + MRREVIEWER = {Yu Ding}, +} + +@article{Ros56, + Author = {Rosenlicht, Maxwell}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {18,514a}, + Mrreviewer = {E. R. Kolchin}, + Pages = {401--443}, + Title = {Some basic theorems on algebraic groups}, + Volume = 78, + Year = 1956 +} + +@article{Rossi68, + Author = {Rossi, Hugo}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0244517 (39 \#5831)}, + Mrreviewer = {H. Hironaka}, + Number = 4, + Note = {Available on the internet at \url{https://scholarship.rice.edu/handle/1911/62964}}, + Pages = {63--73}, + Title = {Picard variety of an isolated singular point}, + Volume = 54, + Year = 1968 +} + +@Book{Russo05, + author = {Russo, Lucio}, + ALTeditor = {}, + title = {Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens}, + publisher = {Springer, Berlin, Heidelberg}, + year = {2005}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/3-540-27707-2}{DOI:10.1007/3-540-27707-2}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{SBW94, + Author = {Shepherd-Barron, Nicholas I. and Wilson, Pelham M.H.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {1257323 (95h:14033)}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Number = 2, + Pages = {265--281}, + Title = {Singular threefolds with numerically trivial first and second + {C}hern classes}, + Volume = 3, + Year = 1994 +} + +@article{SCC_1958-1959__4__A10_0, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Morphismes universels et variété d'{A}lbanese}, + JOURNAL = {Séminaire Claude Chevalley}, + PUBLISHER = {Secrétariat mathématique}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1958-1959__4__A10_0}{numdam.SCC-1958-1959-4-A10-0}}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1958-1959} +} + +@article{SCT09, + Author = {Solá Conde, Luis E. and Toma, Matei}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14M22 (14H10)}, + Mrnumber = {2640923 (2011c:14139)}, + Mrreviewer = {Takuzo Okada}, + Number = 6, + Pages = {2359--2369}, + Title = {Maximal rationally connected fibrations and movable curves}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0}, + Volume = 59, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0} +} + +@book{SGA1, + Address = {Berlin}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14-06 (14E20)}, + Mrnumber = {0354651 (50 \#7129)}, + Note = {Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960--1961, + Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de + Michèle Raynaud, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. + \href{https://doi.org/10.1007/BFb0058656}{DOI:10.1007/BFb0058656}, + Also available as + \href{http://arxiv.org/abs/math/0206203}{arXiv:math/0206203}}, + Pages = {xxii+447}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)}, + Year = 1971 +} + +@book{SGA2, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Mrclass = {14B15 (14C20 14F20)}, + Mrnumber = {0476737 (57 \#16294)}, + Note = {Augmenté d'un exposé par Michèle Raynaud, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, 1962, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol. 2. Also available as \href{http://arxiv.org/abs/math/0511279}{arXiv:math/0511279}.}, + Pages = {vii+287}, + Publisher = {North-Holland Publishing Co.}, + Title = {Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de {L}efschetz locaux et globaux (SGA 2)}, + Year = 1968 +} + +@article {SS85, + AUTHOR = {van Straten, Duko and Steenbrink, Joseph}, + TITLE = {Extendability of holomorphic differential forms near isolated hypersurface singularities}, + JOURNAL = {Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg}, + FJOURNAL = {Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg}, + VOLUME = 55, + YEAR = 1985, + PAGES = {97--110}, + ISSN = {0025-5858}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02941491}{DOI:10.1007/BF02941491}}, + MRCLASS = {32B30 (32C30 32C40)}, + MRNUMBER = 831521, + MRREVIEWER = {M. Sebastiani}, + DOI = {10.1007/BF02941491}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02941491}, +} + +@misc{SSY, + Author = {Spotti, Cristiano and Sun, Song and Yao, Chengjian}, + Title = {{Existence and deformations of Kähler–Einstein metrics on smoothable $\mathbb Q$-Fano varieties}}, + Note = {preprint \href{http://arxiv.org/abs/1411.1725}{arXiv:1411.1725} To appear in Duke Math. J.}, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{SV18, + author = {Shramov, Constantin and Vologodsky, Vadim}, + title = {Automorphisms of pointless surfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1807.06477}{arXiv:1807.06477}}, + OPTkey = {}, + month = {July}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {SW, + AUTHOR = {Sarnak, Peter and Wang, Lan}, + TITLE = {Some hypersurfaces in {${\bf P}^4$} and the {H}asse-principle}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. + Mathématique}, + VOLUME = {321}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {319--322}, + ISSN = {0764-4442}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 14G20)}, + MRNUMBER = {1346134}, +MRREVIEWER = {Junjiro Noguchi}, +} + +@book {SY, + AUTHOR = {Schoen, Richard M. and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Lectures on differential geometry}, + SERIES = {Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and + Topology, I}, + PUBLISHER = {International Press, Cambridge, MA}, + YEAR = 1994, + PAGES = {v+235}, + ISBN = {1-57146-012-8}, + MRCLASS = {53-01 (53-02 53C21 58G30)}, + MRNUMBER = {1333601 (97d:53001)}, + MRREVIEWER = {Man Chun Leung}, +} + +@article{Saito:HodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195173930}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}{DOI:10.2977/prims/1195173930}}, + Mrclass = {32C35 (14C30 32C38 32C42 32G99)}, + Mrnumber = {1000123 (90k:32038)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 6, + Pages = {849--995 (1989)}, + Title = {Modules de {H}odge polarisables}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}, + Volume = 24, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930} +} + +@article{Saito:Introduction, + Author = {Saito, Morihiko}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {32S35 (14C05 14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1042805 (91j:32041)}, + Note = {Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987)}, + Number = {179-180}, + Pages = {145--162}, + Title = {Introduction to mixed {H}odge modules}, + Year = 1989 +} + +@incollection{Saito:Kollar, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Several complex variables and complex geometry, {P}art 2 ({S}anta {C}ruz, {CA}, 1989)}, + Mrclass = {14D07 (14C30 14F17 32L20)}, + Mrnumber = {1128566 (92i:14007)}, + Mrreviewer = {Hélène Esnault}, + Pages = {509--517}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {On {K}ollár's conjecture}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{Saito:MixedHodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195171082}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}{DOI:10.2977/prims/1195171082}}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1047415 (91m:14014)}, + Mrreviewer = {Min Ho Lee}, + Number = 2, + Pages = {221--333}, + Title = {Mixed {H}odge modules}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}, + Volume = 26, + Year = 1990, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082} +} + +@incollection{Saito:Theory, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Selected papers on number theory, algebraic geometry, and differential geometry}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32C38 32S35)}, + Mrnumber = 1308540, + Pages = {47--61}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2}, + Title = {On the theory of mixed {H}odge modules}, + Volume = 160, + Year = 1994, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/trans2/160/04}{DOI:10.1090/trans2/160/04}} +} + +@article{Salamon82, + Author = {S.~Salamon}, + Journal = {Invent.~Math.}, + Pages = {143--171}, + Title = {Quaternionic Kähler Manifolds}, + Volume = 67, + Year = 1982 +} + +@article{Sar81, + Author = {V. Sarkisov}, + Journal = {Math. USSR Izvestija}, + Title = {Birational Automorphisms of Conic Bundles}, + Volume = 17, + Year = 1981 +} + +@article {Sch17, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On a theorem of {C}ampana and {P}ăun}, + JOURNAL = {Épijournal Geom. Algébrique}, + FJOURNAL = {Épijournal de Géométrie Algébrique. EPIGA}, + Note = {Available online at \url{https://epiga.episciences.org/3871}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.03034}{arXiv:1704.03034}}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Art. 8, 9}, + ISSN = {2491-6765}, + MRCLASS = {14C20 (14F10)}, + MRNUMBER = {3743111}, +MRREVIEWER = {Hao Sun}, +} + +@Unpublished{Schnell14a, + author = {Schnell, Christian}, + title = {An overview of {M}orihiko {S}aito's theory of mixed {H}odge modules}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.3096}{arXiv:1405.3096}}, + month = {May}, + year = 2014 +} + +@Unpublished{Schwald16, + author = {Schwald, Martin}, + title = {Low degree {H}odge theory for klt varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1612.01919}{arXiv:1612.01919}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2016}, + OPTannote = {} +} + +@book{SecondAsterisque, + Address = {Paris}, + Author = {Kollár, János}, + Issn = {0303-1179}, + Mrclass = {14E30 (14E35 14M10)}, + Mrnumber = {1225842 (94f:14013)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Note = {Papers from the Second Summer Seminar on Algebraic Geometry held at the University of Utah, Salt Lake City, Utah, August 1991, Astérisque No. 211 (1992)}, + Pages = {1--258}, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Title = {Flips and abundance for algebraic threefolds}, + Year = 1992 +} + +@article{Seidenberg50, + Author = {Seidenberg, Abraham}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0037548 (12,279a)}, + Mrreviewer = {P. Samuel}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}{DOI:10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}}, + Pages = {357--386}, + Title = {The hyperplane sections of normal varieties}, + Volume = 69, + Year = 1950 +} + +@book{SerreLocalFields, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Local fields}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5673-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-5673-9}}, + VOLUME = 67, + NOTE = {Translated from the French by Marvin Jay Greenberg}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = 1979, + PAGES = {viii+241}, + ISBN = {0-387-90424-7}, + MRCLASS = {12Bxx}, + MRNUMBER = 554237, +} + +@book{Seshadri82, + Address = {Paris}, + Author = {Seshadri, C. S.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {699278 (85b:14023)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Notes written by J.-M. Drezet from a course at the École + Normale Supérieure, June 1980}, + Pages = 209, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques}, + Volume = 96, + Year = 1982 +} + +@article{Sh86, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14E30 (14C20 14C40)}, + Mrnumber = {794958 (87j:14016)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 3, + Pages = {635--651}, + Title = {A nonvanishing theorem}, + Volume = 49, + Year = 1985 +} + +@incollection{Shaf63, + Address = {Djursholm}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Booktitle = {Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962)}, + Mrclass = {10.65 (12.50)}, + Mrnumber = {0202709 (34 \#2569)}, + Mrreviewer = {P. Roquette}, + Note = {English translation: Amer.\ Math.\ Soc.\ Transl.\ (2) {\bf 31} + (1963), 25--39}, + Pages = {163--176}, + Publisher = {Inst. Mittag-Leffler}, + Title = {Algebraic number fields}, + Year = 1963 +} + +@book{Shaf94, + Address = {Berlin}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-54812-2}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1328833 (95m:14001)}, + Note = {Varieties in projective space, Translated from the 1988 + Russian edition and with notes by Miles Reid}, + Pages = {xx+303}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Basic algebraic geometry. 1}, + Year = 1994 +} + +@article{Shimura55, + Author = {Shimura, Goro}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066687 (16,616d)}, + Pages = {134--176}, + Title = {Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete + valuation of the basic field}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article {Simons, + AUTHOR = {Simons, James}, + TITLE = {On the transitivity of holonomy systems}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 76, + YEAR = 1962, + PAGES = {213--234}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53.50 (53.72)}, + MRNUMBER = 0148010, + MRREVIEWER = {H. Ozeki}, +} + +@incollection{Siu04, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {The legacy of Niels Henrik Abel}, + Mrclass = {32Q45 (14J29 14K05 32H30)}, + Mrnumber = {2077584 (2005h:32061)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + Pages = {543--566}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Hyperbolicity in complex geometry}, + Year = 2004 +} + +@misc{Siu06, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Month = {October}, + Note = {preprint math.AG/0610740}, + Title = {A General Non-Vanishing Theorem and an Analytic Proof of the + Finite Generation of the Canonical Ring}, + Year = 2006 +} + +@article{Siu68, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0232966 (38 \#1289)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {1262--1263}, + Title = {Extension of coherent analytic subsheaves}, + Volume = 19, + Year = 1968 +} + +@article{Siu75, + ISSN = {0003486X}, + URL = {http://www.jstor.org/stable/1971038}, + author = {Yum-Tong Siu}, + journal = {Annals of Mathematics}, + number = 3, + pages = {421-462}, + publisher = {Annals of Mathematics}, + title = {{Extension of Meromorphic Maps Into Kähler Manifolds}}, + volume = 102, + year = 1975 +} + +@article {Siu81, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {Strong rigidity of compact quotients of exceptional bounded symmetric domains}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {48}, + YEAR = {1981}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}{DOI:10.1215/S0012-7094-81-04847-X}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {857--871}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32M15 (53C55 58E20)}, + MRNUMBER = {782581}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, +} + +@article{Siu89, + Author = {Y.-T. Siu}, + Journal = {J. reine angw. Math.}, + Note = {Errata 431 (1992)}, + Pages = {208--219}, + Title = {Nondeformability of the complex projective space}, + Volume = 399, + Year = 1989 +} + +@article{Siu98, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L10 (32G13 32J18)}, + Mrnumber = {1660941 (99i:32035)}, + Mrreviewer = {János Kollár}, + Number = 3, + Pages = {661--673}, + Title = {Invariance of plurigenera}, + Volume = 134, + Year = 1998 +} + +@article {Skorobogatov, + AUTHOR = {Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Beyond the {M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050291}{DOI:10.1007/s002220050291}}, + VOLUME = {135}, + YEAR = {1999}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {399--424}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14F42 14G25)}, + MRNUMBER = {1666779}, +MRREVIEWER = {Tamás Szamuely}, + DOI = {10.1007/s002220050291}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050291}, +} + +@article{Smeets, + AUTHOR = {Smeets, Arne}, + TITLE = {Insufficiency of the étale {B}rauer-{M}anin obstruction: towards a simply connected example}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}{DOI:10.1353/ajm.2017.0010}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.6706}{arXiv:1409.6706}}, + VOLUME = 139, + YEAR = 2017, + NUMBER = 2, + PAGES = {417--431}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14F22 (11G35)}, + MRNUMBER = 3636635, + MRREVIEWER = {Giancarlo Lucchini Arteche}, + DOI = {10.1353/ajm.2017.0010}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}, +} + +@article {Snow86, + AUTHOR = {Snow, Dennis M.}, + TITLE = {Cohomology of twisted holomorphic forms on {G}rassmann + manifolds and quadric hypersurfaces}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {276}, + YEAR = {1986}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {159--176}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32L10 (14M15 22E46 32F10)}, + MRNUMBER = {863714}, +MRREVIEWER = {Floyd L. Williams}, + DOI = {10.1007/BF01450932}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01450932}, +} + + +@article{So75, + Author = {Sommese, Andrew John}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C15 (32L05 32C10)}, + Mrnumber = {0425827 (54 \#13778)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Pages = {191--214}, + Title = {Quaternionic manifolds}, + Volume = 212, + Year = {1974/75} +} + + +@Book{Sobel, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Bloomsbury USA}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN-10: 0007790163, ISBN-13: 978-0007790166}, + OPTannote = {} +} + +@Book{SobelIll, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {The illustrated Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Walker}, + year = {1998}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {New York}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN: 0-8027-1344-0}, + OPTannote = {} +} + +@article {Sormani, + AUTHOR = {Sormani, Christina and Wei, Guofang}, + TITLE = {Hausdorff convergence and universal covers}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 353, + YEAR = 2001, + NUMBER = 9, + PAGES = {3585--3602 (electronic)}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {53C23 (53C20)}, + MRNUMBER = 1837249, + MRREVIEWER = {Wilderich Tuschmann}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, +} + +@book{Spanier66, + Address = {New York}, + Author = {Spanier, Edwin H.}, + Mrclass = {55.00}, + Mrnumber = {0210112 (35 \#1007)}, + Mrreviewer = {S.-T. Hu}, + Pages = {xiv+528}, + Publisher = {McGraw-Hill Book Co.}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 1966 +} + +@book{Spivak79, + Author = {M.~Spivak}, + Edition = {2nd}, + Publisher = {Publish or Perish, Inc.}, + Title = {A comprehensive introduction to differential geometry}, + Year = 1979 +} + +@article{St96, + Author = {Steffens, A.}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446311}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L07)}, + Mrnumber = {1380447 (97c:14040)}, + Mrreviewer = {Lin Weng}, + Number = 4, + Pages = {635--643}, + Title = {On the stability of the tangent bundle of {F}ano manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446311}, + Volume = 304, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446311} +} + +@article{Steenbrink85, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14F10 (14F40 32L20)}, + Mrnumber = {804061 (87j:14026)}, + Mrreviewer = {Fabio Bardelli}, + Note = {Differential systems and singularities (Luminy, 1983)}, + Number = 130, + Pages = {330--341}, + Title = {Vanishing theorems on singular spaces}, + Year = 1985 +} + +@incollection{SteenbrinkMixedHodgeStructuresSingularities, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Booktitle = {Singularities, {P}art 2 ({A}rcata, {C}alif., 1981)}, + Mrclass = {32G11 (14B05 14B07 14C30 14D05)}, + Mrnumber = {713277 (85d:32044)}, + Mrreviewer = {Jerome William Hoffman}, + Pages = {513--536}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Mixed {H}odge structures associated with isolated + singularities}, + Volume = 40, + Year = 1983 +} + +@article {Stoppino, + AUTHOR = {Stoppino, Lidia}, + TITLE = {Fibrations of {C}ampana general type on surfaces}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}{DOI:10.1007/s10711-011-9578-z}}, + VOLUME = 155, + YEAR = 2011, + PAGES = {69--80}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14D06 (14J29)}, + MRNUMBER = 2863894, + MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + DOI = {10.1007/s10711-011-9578-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}, +} + +@incollection{Su90a, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Recent topics in differential and analytic geometry}, + Mrclass = {32L07 (14J40 32C17 53C25)}, + Mrnumber = {1145268 (93b:32047)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Pages = {417--433}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@incollection{Su90b, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Kähler metric and moduli spaces}, + Mrclass = {32L07 (14F05 53C25)}, + Mrnumber = {1145247 (93f:32031)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Pages = {85--103}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On tangent sheaves of minimal varieties}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@article{Sun05, + Author = {Sun, Xiaotao}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H60}, + Mrnumber = 2148802, + Number = 4, + Pages = {925--937}, + Title = {Minimal rational curves on moduli spaces of stable bundles}, + Volume = 331, + Year = 2005 +} + +@article{Szabo95, + Author = {Szabó, Endre}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14E15 (14E30)}, + Mrnumber = {1322695 (96f:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 3, + Pages = {631--639}, + Title = {Divisorial log terminal singularities}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Szpiro81, + AUTHOR = {Szpiro, Lucien}, + TITLE = {Propriétés numériques du faisceau dualisant relatif}, + NOTE = {Seminar on Pencils of Curves of Genus at Least Two}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 86, + YEAR = 1981, + PAGES = {44--78}, + ISSN = {0303-1179}, + MRCLASS = {14G40 (11G05 11G30)}, + MRNUMBER = 3618571, +} + +@article{TY15, + Author = {To, Wing-Keung and Yeung, Sai-Kee}, + Date-Modified = {2017-10-12 14:04:39 +0000}, + Journal = {Ann. Math.}, + Note = {\href{http://annals.math.princeton.edu/2015/181-2/p03}{DOI:10.4007/annals.2015.181.2.3}}, + Number = 2, + Pages = {547--586}, + Title = {Finsler metrics and {K}obayashi hyperbolicity of the moduli spaces of canonically polarized manifolds}, + Volume = 181, + Year = 2015} + +@Unpublished{Taj18, + Author = {Taji, Behrouz}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1809.05616}{arXiv:1809.05616}}, + Title = {Remarks on the {K}odaira dimension of base spaces of families of manifolds}, + Year = {2018} + } + +@article{Taji16, + Author = {Taji,Behrouz}, + Title = {The isotriviality of smooth families of canonically polarized + manifolds over a special quasi-projective base}, + FJournal = {Compositio Mathematica}, + Journal = {Compositio. Math.}, + Volume = 152, + Issue = 07, + Month = 7, + Year = 2016, + Issn = {1570-5846}, + Pages = {1421--1434}, + doi = {10.1112/S0010437X1600734X}, + Note = {\href{http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}{DOI:10.1112/S0010437X1600734X}}, + URL = {http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}, +} + +@article{Takayama03, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14D06 (14C20 14E05)}, + Mrnumber = {2003f:14011}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {37--47 (electronic)}, + Title = {Iitaka's fibrations via multiplier ideals}, + Volume = 355, + Year = 2003 +} + +@article{Takayama2003, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Doi = {10.1142/S0129167X0300196X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E20 32J25)}, + Mrnumber = {2013147 (2004m:14023)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}{DOI:10.1142/S0129167X0300196X}}, + Number = 8, + Pages = {825--836}, + Title = {Local simple connectedness of resolutions of log-terminal singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}, + Volume = 14, + Year = 2003, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X} +} + +@article{TakayamaSimpleConnectedness, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F45 32Q55)}, + Mrnumber = {1735807 (2001d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {403--407}, + Title = {Simple connectedness of weak {F}ano varieties}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@book{Taylor, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Taylor, Joseph L.}, + Isbn = {0-8218-3178-X}, + Mrclass = {32-01 (14-01 20-01 22-01)}, + Mrnumber = {1900941 (2004b:32001)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xvi+507}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Several complex variables with connections to algebraic + geometry and {L}ie groups}, + Volume = 46, + Year = 2002 +} + +@incollection{Teissier, + Author = {Teissier, Bernard}, + Booktitle = {Real and complex singularities ({P}roc. {N}inth {N}ordic + {S}ummer {S}chool/{NAVF} {S}ympos. {M}ath., {O}slo, 1976)}, + Mrclass = {14B05}, + Mrnumber = {0568901 (58 \#27964)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Pages = {565--678}, + Publisher = {Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn}, + Title = {The hunting of invariants in the geometry of discriminants}, + Year = 1977 +} + +@article{Tian-Zhang, + Author = {Tian, Gang and Zhang, Zhou}, + Date-Added = {2015-06-11 18:38:59 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 18:42:14 +0000}, + Journal = {Chinese Ann. Math. Ser. B}, + Volume = 27, + Number = 2, + Pages = {179-192}, + Title = {On the {K}ähler-{R}icci flow on projective manifolds of general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11401-005-0533-x}{DOI:10.1007/s11401-005-0533-x}}, + Year = 2006 +} + +@article{Tits72, + Author = {Tits, J.}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {20.75}, + Mrnumber = {0286898 (44 \#4105)}, + Mrreviewer = {B. A. F. Wehrfritz}, + Pages = {250--270}, + Title = {Free subgroups in linear groups}, + Volume = 20, + Year = 1972 +} + +@misc{Tsu00, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Note = {Preprint}, + Title = {Numerically trivial fibrations}, + Year = 2000 +} + +@book{Ueno75, + Address = {Berlin}, + Author = {Ueno, Kenji}, + Mrclass = {14D20 (32J25)}, + Mrnumber = {0506253 (58 \#22062)}, + Mrreviewer = {D. Lieberman}, + Note = {Notes written in collaboration with P.\ Cherenack. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0070574}{DOI:10.1007/BFb0070574}}, + Pages = {xix+278}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 439}, + Title = {Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces}, + Year = 1975 +} + +@article{UhlenbeckYau86, + Author = {Uhlenbeck, Karen and Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160390714}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58G05 (32L15 53C05 58E15)}, + Mrnumber = {861491 (88i:58154)}, + Mrreviewer = {Daniel S. Freed}, + Note = {Frontiers of the mathematical sciences: 1985 (New York, 1985) \href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}{DOI:10.1002/cpa.3160390714}}, + Number = {S, suppl.}, + Pages = {S257--S293}, + Title = {On the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}, + Volume = 39, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714} +} + +@article{UhlenbeckYau89, + Author = {Uhlenbeck, K. and Yau, S.-T.}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160420505}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C05 58G05)}, + Mrnumber = {997570 (90i:58029)}, + Number = 5, + Pages = {703--707}, + Title = {A note on our previous paper: ``{O}n the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles'' [{C}omm.\ {P}ure {A}ppl.\ {M}ath.\ {\bf 39} (1986), + {S}257--{S}293; {MR}0861491 (88i:58154)]}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505}, + Volume = 42, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505} +} + +@incollection{VZ02, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_16}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_16}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0103122}{arXiv:math/0103122}}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {1922109 (2003h:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {279--328}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Base spaces of non-isotrivial families of smooth minimal + models}, + Year = 2002 +} + +@article {VZ03, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + TITLE = {On the {B}rody hyperbolicity of moduli spaces for canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 118, + YEAR = 2003, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}{DOI:10.1215/S0012-7094-03-11815-3}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {103--150}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14J15 (14J10 32G05 32Q45)}, + MRNUMBER = 1978884, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, +} + +@article{Verdier76, + Author = {Verdier, Jean-Louis}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40 (32B20)}, + Mrnumber = {0481096 (58 \#1242)}, + Mrreviewer = {Andre Galligo}, + Pages = {295--312}, + Title = {Stratifications de {W}hitney et théorème de {B}ertini-{S}ard}, + Volume = 36, + Year = 1976 +} + +@article{Vie-Zuo01, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D06 (14J10)}, + Mrnumber = {1838979 (2002g:14012)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 4, + Pages = {781--799}, + Title = {On the isotriviality of families of projective manifolds over curves}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@incollection{Vie-Zuo03b, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry, Vol.\ VIII (Boston, MA, 2002)}, + Mrclass = {14E30 (14D20)}, + Mrnumber = 2039995, + Pages = {337--356}, + Publisher = {Int. Press, Somerville, MA}, + Series = {Surv. Differ. Geom., VIII}, + Title = {Discreteness of minimal models of {K}odaira dimension zero and subvarieties of moduli stacks}, + Year = 2003 +} + +@incollection{Viehweg01, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14H10 (14J10)}, + Mrnumber = {1919460 (2003f:14024)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Available on the \href{http://www.ictp.trieste.it/~pub_off/services}{ICTP web site}}, + Pages = {249--284}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Positivity of direct image sheaves and applications to families of higher dimensional manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + +@unpublished{Viehweg06, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Month = {May}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0605093}{arXiv:math/0605093}. To appear in Annals of Maths.}, + Title = {Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds}, + Year = 2006 +} + +@incollection{Viehweg83, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981)}, + Mrclass = {14J10 (14D20 14F05)}, + Mrnumber = {715656 (85b:14041)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {329--353}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Weak positivity and the additivity of the {K}odaira dimension + for certain fibre spaces}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@book{Viehweg95, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Isbn = {3-540-59255-5}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {1368632 (97j:14001)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-79745-3}{DOI:10.1007/978-3-642-79745-3}}, + Pages = {viii+320}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Quasi-projective moduli for polarized manifolds}, + Volume = 30, + Year = 1995 +} + +@article{Viray, + AUTHOR = {Viray, Bianca}, + TITLE = {A family of varieties with exactly one pointless rational fiber}, + JOURNAL = {J. Théor. Nombres Bordeaux}, + FJOURNAL = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux}, + NOTE = {Available on the internet at \href{http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0}{jtnb.cedram.org/item?id=JTNB$\_$2010$\_\_$22$\_$3$\_$741$\_$0}}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {741--745}, + ISSN = {1246-7405}, + MRCLASS = {14G25 (14G05)}, + MRNUMBER = 2769342, + URL = {http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0} +} + +@book{Voisin-Hodge1, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Edition = {English}, + Isbn = {978-0-521-71801-1}, + Mrclass = {32J25 (14C30 14D07 32G20)}, + Mrnumber = {2451566 (2009j:32014)}, + Pages = {x+322}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {Hodge theory and complex algebraic geometry. {I}}, + Volume = 76, + Year = 2007 +} + +@article{Wah83, + Author = {Jonathan Wahl}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 4, + Pages = {315--322}, + Title = {{A cohomological characterization of $\mathbb P_n$}}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389326}{DOI:10.1007/BF01389326}}, + Volume = 72, + Year = 1983 +} + +@article{Wahl85, + Author = {Wahl, Jonathan M.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32B30 (14B07 14J17 32G11)}, + Mrnumber = {799816 (87e:32013)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Number = 3, + Pages = {269--288}, + Title = {A characterization of quasihomogeneous {G}orenstein surface + singularities}, + Volume = 55, + Year = 1985 +} + +@book{Warner83, + Address = {New York}, + Author = {Warner, Frank W.}, + Isbn = {0-387-90894-3}, + Mrclass = {58-01 (22-01 53-01 57R99)}, + Mrnumber = {722297 (84k:58001)}, + Note = {Corrected reprint of the 1971 edition}, + Pages = {ix+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Foundations of differentiable manifolds and {L}ie groups}, + Volume = 94, + Year = 1983 +} + +@book{Weibel94, + Address = {Cambridge}, + Author = {Weibel, Charles A.}, + Isbn = {0-521-43500-5; 0-521-55987-1}, + Mrclass = {18-01 (16-01 17-01 20-01 55Uxx)}, + Mrnumber = {1269324 (95f:18001)}, + Mrreviewer = {Kenneth A. Brown}, + Pages = {xiv+450}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {An introduction to homological algebra}, + Volume = 38, + Year = 1994 +} + +@article{Wie03, + Author = {Wierzba, Jan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E15 (14B05 32J18)}, + Mrnumber = {1966025 (2003m:14023)}, + Mrreviewer = {Baohua Fu}, + Number = 3, + Pages = {507--534}, + Title = {Contractions of symplectic varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{Wil81, + Author = {Wilson, P. M. H.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J30)}, + Mrnumber = {632435 (83g:14014)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1981__43_3_365_0}{numdam.CM_1981__43_3_365_0}}, + Number = 3, + Pages = {365--385}, + Title = {On the canonical ring of algebraic varieties}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0}, + Volume = 43, + Year = 1981, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0} +} + +@article{Wilson77, + Annote = {Kebekus: Wilson compares the normalisation of a variety with + what you obtain by blowing-up the conductor ideal and gives + conditions on when both are the same. Nice to read, gives a + good example}, + Author = {P.M.H. Wilson}, + Journal = {Math. Proc. Camb. Phil. Soc.}, + Pages = {445--450}, + Title = {On blowing up conductor ideals}, + Volume = 83, + Year = 1978 +} + +@book{Winkelmann, + Author = {J. Winkelmann}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The Classification of Three-dimensional Homogeneous Complex Manifolds}, + Volume = 1602, + Year = 1995 +} + +@article{Wolf65, + Author = {J.A.~Wolf}, + Journal = {J.~Math.~Mech.}, + Pages = {1033--1047}, + Title = {Complex homogeneous contact structures and quaternionic symmetric spaces}, + Volume = 14, + Year = 1965 +} + +@article{Xu12, + Author = {Xu, Chenyang}, + Journal = {Compositio Math.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X13007562}{DOI:10.1112/S0010437X13007562}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.5564}{arXiv:1210.5564}}, + Number = 3, + Pages = {409--414}, + Title = {Finiteness of algebraic fundamental groups}, + Volume = 150, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{YXu18, + author = {Xu, Yanning}, + title = {Summary on {P}roof of {BAB}}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1804.07681}{arXiv:1804.07681}}, + month = {April}, + year = 2018 +} + +@article{Ye94, + Author = {Y.-G. Ye}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {311--314}, + Title = {A note on complex projective threefolds admitting holomorphic contact structures}, + Volume = 115, + Year = 1994 +} + +@incollection{ZY89, + Author = {Za{\u\i}denberg, Mikhail G. and Lin, Vladimir Y.}, + Booktitle = {Several complex variables. {III}}, + Mrclass = {32-06 (32Axx)}, + Mrnumber = {995071 (89m:32002)}, + Pages = {112--172}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Finiteness theorems for holomorphic mappings}, + ISBN = {3-540-17005-7}, + Volume = 9, + Year = 1989, + Note = {Translated from the Russian by J. Peetre. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1}{DOI:10.1007/978-3-642-61308-1}}, + DOI = {10.1007/978-3-642-61308-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1} +} + +@book{Zak93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zak, Fyodor L.}, + Isbn = {0-8218-4585-3}, + Mrclass = {14M07 (14L30 14M17 14N05)}, + Mrnumber = {94i:14053}, + Mrreviewer = {Andrew J. Sommese}, + Note = {Translated from the Russian manuscript by the author}, + Pages = {viii+164}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Translations of Mathematical Monographs}, + Title = {Tangents and secants of algebraic varieties}, + Volume = 127, + Year = 1993 +} + +@incollection{Zak98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zakeri, Saeed}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {37F75 (32S65 34M45)}, + Mrnumber = {1810540 (2001m:37094)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Pages = {179--233}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of singular holomorphic foliations on the complex + projective plane}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Zar62, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.20 (14.15)}, + Mrnumber = {0141668 (25 \#5065)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {560--615}, + Title = {The theorem of {R}iemann-{R}och for high multiples of an + effective divisor on an algebraic surface}, + Volume = 76, + Year = 1962 +} + +@article{Zh06, + Author = {Zhang, Qi}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/CRELLE.2006.006}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J45)}, + Mrnumber = {2208131 (2006m:14021)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Pages = {131--142}, + Title = {Rational connectedness of log {${\bf Q}$}-{F}ano varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006}, + Volume = 590, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006} +} + +@article {Zhang06, + AUTHOR = {Zhang, Zhou}, + TITLE = {On degenerate {M}onge-{A}mpère equations over closed {K}ähler + manifolds}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2006, + PAGES = {1--18}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15)}, + MRNUMBER = {2233716 (2007b:32058)}, + MRREVIEWER = {S{\l}awomir Ko{\l}odziej}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}{DOI:10.1155/IMRN/2006/63640}}, + DOI = {10.1155/IMRN/2006/63640}, + URL = {https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}, +} + +@article{Zhang88, + Author = {Zhang, De-Qi}, + Coden = {OJMAA7}, + Fjournal = {Osaka Journal of Mathematics}, + Issn = {0030-6126}, + Journal = {Osaka J. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {957874 (89k:14059)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {461--497}, + Title = {Logarithmic del {P}ezzo surfaces of rank one with contractible boundaries}, + Volume = 25, + Year = 1988 +} + +@article{Zuo00, + Author = {Zuo, Kang}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {32G20 (14D07 32J25)}, + Mrnumber = {1803724 (2002a:32011)}, + Mrreviewer = {Jan Nagel}, + Note = {Kodaira's issue}, + Number = 1, + Pages = {279--301}, + Title = {On the negativity of kernels of {K}odaira-{S}pencer maps on {H}odge bundles and applications}, + Volume = 4, + Year = 2000 +} + +@unpublished{arXiv:1210.2092, + Author = {Campana, Frédéric and Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas}, + Month = {October}, + Note = {To appear in the proceedings of the conference 'Recent Advances in Algebraic Geometry', in honour of Robert Lazarsfeld 60th birthday. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.2092}{arXiv:1210.2092}.}, + Title = {Rationally connected manifolds and semipositivity of the {R}icci curvature}, + Year = 2012 +} + +@unpublished{arXiv:1301.0915, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1301.0915}{arXiv:1301.0915}}, + Title = {Singular rationally connected surfaces with non-zero pluri-forms}, + Year = 2013 +} + +@unpublished{arXiv:1401.2014, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1401.2014}{arXiv:1401.2014}}, + Title = {Singular rationally connected threefolds with non-zero pluri-forms}, + Year = 2014 +} + +@unpublished{arXiv:1401.4976, + Author = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.4976}{arXiv:1401.4976}}, + Title = {Potentially {D}u {B}ois spaces}, + Year = 2014 +} + +@phdthesis{arXiv:1401.7495, + Author = {Jörder, Clemens}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.7495}{arXiv:1401.7495}}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {On the {P}oincaré {L}emma for reflexive differential forms}, + Year = 2014 +} + +@article{cerveaux-lins_neto-annals, + Author = {Cerveau, D. and Lins Neto, A.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Number = 3, + Pages = {577--612}, + Title = {Irreducible components of the space of holomorphic foliations + of degree two in {$\bold C{\rm P}(n)$}, {$n\geq 3$}}, + Volume = 143, + Year = 1996 +} + +@article{deJongStarr, + Author = {de Jong, A. J. and Starr, Jason}, + Coden = {IJMTAW}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14E08)}, + Mrnumber = {2085418 (2006e:14007)}, + Mrreviewer = {A. Prabhakar Rao}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1258138390}{euclid.ijm/1258138390}}, + Number = 2, + Pages = {415--450}, + Title = {Cubic fourfolds and spaces of rational curves}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390}, + Volume = 48, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390} +} + +@article{deRham52, + Author = {G.~de~Rham}, + Journal = {Comment.~Math.~Helv.}, + Pages = {328--344}, + Title = {Sur la réductibilité d'un espace de Riemann}, + Volume = 26, + Year = 1952 +} + +@article{griffiths-abel, + AUTHOR = {Griffiths, Phillip A.}, + TITLE = {Variations on a theorem of {A}bel}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 35, + YEAR = 1976, + PAGES = {321--390}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01390145}{DOI:10.1007/BF01390145}}, + MRCLASS = {14C25 (32J25 14C30)}, + MRNUMBER = 0435074, + MRREVIEWER = {C. A. M. Peters}, + DOI = {10.1007/BF01390145}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390145}, +} + +@book{jouanolou_LNM, + Address = {Berlin}, + Author = {Jouanolou, J. P.}, + Pages = {v+255}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{É}quations de {P}faff algébriques}, + Volume = 708, + Year = 1979 +} + + +@incollection{revI, + Address = {Berlin}, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic threefolds ({V}arenna, 1981)}, + Mrclass = {14E20 (14F10 14H20 14H30)}, + Mrnumber = {672621 (84m:14015)}, + Mrreviewer = {Anatoly Libgober}, + Pages = {241--250}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Revêtements cycliques}, + Volume = 947, + Year = 1982 +} + +@article {saito-vanishing, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On {S}aito's vanishing theorem}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}{DOI:10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {499--527}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C30 (32L20 32S35)}, + MRNUMBER = 3512896, + MRREVIEWER = {Tsz On Mario Chan}, + DOI = {10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, +} + +@misc{stacks-project, + shorthand = {Stacks}, + author = {The {Stacks Project Authors}}, + title = {Stacks Project}, + howpublished = {Available on the internet at \href{https://stacks.math.columbia.edu}{stacks.math.columbia.edu}}, + year = 2021, +} + +@incollection{voisin-lagrangian, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Booktitle = {Complex projective geometry ({T}rieste, 1989/{B}ergen, 1989)}, + Doi = {10.1017/CBO9780511662652.022}, + Mrclass = {32G10 (32G13 32J27 58F05)}, + Mrnumber = {1201391 (94b:32029)}, + Mrreviewer = {Olivier Debarre}, + Pages = {294--303}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + Title = {Sur la stabilité des sous-variétés lagrangiennes des variétés + symplectiques holomorphes}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022}, + Volume = 179, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022} +} + +@book{yellowMonster, + Address = {New York}, + Author = {Hilton, Peter J. and Stammbach, Urs}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-94823-6}, + Mrclass = {18-02 (17B56 18Gxx 20J05)}, + Mrnumber = {1438546 (97k:18001)}, + Pages = {xii+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {A course in homological algebra}, + Volume = 4, + Year = 1997 +} + +@Article{zbMATH00146455, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Title = {{3-fold log flips. Appendix by Yujiro Kawamata: The minimal + discrepancy coefficients of terminal singularities in + dimension three.}}, + FJournal = {{Russian Academy of Sciences. Izvestiya. Mathematics}}, + Journal = {{Russ. Acad. Sci., Izv., Math.}}, + ISSN = {1064-5632}, + Volume = 40, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}{DOI:10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}}, + Pages = {95--202}, + Year = 1992, + Publisher = {Turpion, London}, + Language = {English}, + DOI = {10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}, + MSC2010 = {14J30 14E05 14E30}, + Zbl = {0785.14023} +} + +@Book{zbMATH06333926, + Author = {Aigner, Martin and Ziegler, Günter M.}, + Title = {Das BUCH der Beweise}, + Edition = {4th revised and expanded ed.}, + ISBN = {978-3-662-44456-6/hbk; 978-3-662-44457-3/ebook}, + Pages = {viii + 344}, + Year = {2015}, + Publisher = {Heidelberg: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + Note = {Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{DOI:10.1007/978-3-662-57767-7}} +} + +@Book{zbMATH07238313, + Author = {Siegfried {Bosch}}, + Title = {{Algebra}}, + Edition = {9th revised edition}, + ISBN = {978-3-662-61648-2/pbk; 978-3-662-61649-9/ebook}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-92812-6}{DOI:10.1007/978-3-540-92812-6}}, + Pages = {x + 491}, + Year = {2020}, + Publisher = {Berlin: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + MSC2010 = {12-01 12Exx 12Fxx 20-01}, + Zbl = {1440.12001} +} + diff --git a/bibliography/skalpha.bst b/bibliography/skalpha.bst new file mode 100644 index 0000000..d23e09d --- /dev/null +++ b/bibliography/skalpha.bst @@ -0,0 +1,1452 @@ +%%% ==================================================================== +%%% @BibTeX-style-file{ +%%% filename = "amsalpha.bst", +%%% version = "2.0", +%%% date = "2000/03/27", +%%% time = "13:49:36 EST", +%%% checksum = "00166 1404 4124 29978", +%%% author = "American Mathematical Society", +%%% address = "American Mathematical Society, +%%% Technical Support, +%%% Electronic Products and Services, +%%% P. O. Box 6248, +%%% Providence, RI 02940, +%%% USA", +%%% telephone = "401-455-4080 or (in the USA and Canada) +%%% 800-321-4AMS (321-4267)", +%%% FAX = "401-331-3842", +%%% email = "tech-support@ams.org (Internet)", +%%% copyright = "Copyright 1995 American Mathematical Society, +%%% all rights reserved. Copying of this file is +%%% authorized only if either: +%%% (1) you make absolutely no changes to your copy, +%%% including name; OR +%%% (2) if you do make changes, you first rename it +%%% to some other name.", +%%% codetable = "ISO/ASCII", +%%% keywords = "bibtex, bibliography, amslatex, ams-latex", +%%% supported = "yes", +%%% abstract = "BibTeX bibliography style `amsalpha' for BibTeX +%%% versions 0.99a or later and LaTeX version 2e. +%%% Produces alphabetic-label bibliography items in +%%% a form typical for American Mathematical Society +%%% publications.", +%%% docstring = "The checksum field above contains a CRC-16 +%%% checksum as the first value, followed by the +%%% equivalent of the standard UNIX wc (word +%%% count) utility output of lines, words, and +%%% characters. This is produced by Robert +%%% Solovay's checksum utility.", +%%% } +%%% ==================================================================== + +% See the file btxbst.doc for extra documentation other than +% what is included here. And see btxhak.tex for a description +% of the BibTeX language and how to use it. + +% This defines the types of fields that can occur in a database entry +% for this particular bibliography style. Except for `language', +% this is the standard list from alpha.bst. + +%% Types of entries currently allowed in a BibTeX file: +%% +%% ARTICLE -- An article from a journal or magazine. +%% +%% BOOK -- A book with an explicit publisher. +%% +%% BOOKLET -- A work that is printed and bound, +%% but without a named publisher or sponsoring institution. +%% +%% CONFERENCE -- The same as INPROCEEDINGS, +%% included for Scribe compatibility. +%% +%% INBOOK -- A part of a book, +%% which may be a chapter (or section or whatever) and/or a range of pages. +%% +%% INCOLLECTION -- A part of a book having its own title. +%% +%% INPROCEEDINGS -- An article in a conference proceedings. +%% +%% MANUAL -- Technical documentation. +%% +%% MASTERSTHESIS -- A Master's thesis. +%% +%% MISC -- Use this type when nothing else fits. +%% +%% PHDTHESIS -- A PhD thesis. +%% +%% PROCEEDINGS -- The proceedings of a conference. +%% +%% TECHREPORT -- A report published by a school or other institution, +%% usually numbered within a series. +%% +%% UNPUBLISHED -- A document having an author and title, but not formally +%% published. + +ENTRY + { address + author + booktitle + chapter + edition + editor + eprint + howpublished + institution + journal + key + citekey + language + month + mrnumber + note + number + organization + pages + publisher + school + series + title + type + volume + year + longyear + } + {} + { label extra.label sort.label bysame } + +% Removed after.sentence, after.block---not needed. + +INTEGERS { output.state before.all mid.sentence } + +FUNCTION {init.state.consts} +{ #0 'before.all := + #1 'mid.sentence := +} + +% Scratch variables: + +STRINGS { s t } + +% Utility functions + +FUNCTION {shows} +{ duplicate$ ":::: `" swap$ * "'" * top$ +} + +FUNCTION {showstack} +{"STACK=====================================================================" +top$ +stack$ +"ENDSTACK==================================================================" +top$ +} + +FUNCTION {not} +{ { #0 } + { #1 } + if$ +} + +FUNCTION {and} +{ 'skip$ + { pop$ #0 } + if$ +} + +FUNCTION {or} +{ { pop$ #1 } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {field.or.null} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {emphasize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "\emph{" swap$ * "}" * } + if$ +} + +FUNCTION {scize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "{\sc " swap$ * "}" * } + if$ +} + +% n.dashify is used to make sure page ranges get the TeX code +% (two hyphens) for en-dashes. + +FUNCTION {n.dashify} +{ 't := + "" + { t empty$ not } + { t #1 #1 substring$ "-" = + { t #1 #2 substring$ "--" = not + { "--" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + { { t #1 #1 substring$ "-" = } + { "-" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + while$ + } + if$ + } + { t #1 #1 substring$ * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + if$ + } + while$ +} + +% tie.or.space.connect connects two items with a ~ if the +% second item is less than 3 letters long, otherwise it just puts an +% ordinary space. + +FUNCTION {tie.or.space.connect} +{ duplicate$ text.length$ #3 < + { "~" } + { " " } + if$ + swap$ * * +} + +FUNCTION {add.space.if.necessary} +{ duplicate$ "" = + 'skip$ + { " " * } + if$ +} + +% either.or.check gives a warning if two mutually exclusive fields +% were used in the database. + +FUNCTION {either.or.check} +{ empty$ + 'pop$ + { "can't use both " swap$ * " fields in " * cite$ * warning$ } + if$ +} + +% output.nonnull is called by output. + +FUNCTION {output.nonnull} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ", " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +FUNCTION {output.nonnull.c} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ": " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +% Output checks to see if the stack top is empty; if not, it +% calls output.nonnull to write it out. + +FUNCTION {output} +{ duplicate$ empty$ + 'pop$ + 'output.nonnull + if$ +} + +% Standard warning message for a missing or empty field. For the user +% we call any such field `missing' without respect to the distinction +% made by BibTeX between missing and empty. + +FUNCTION {missing.warning} +{ "missing " swap$ * " in " * cite$ * warning$ } + +% Output.check is like output except that it gives a warning on-screen +% if the given field in the database entry is empty. t is the field +% name. + +FUNCTION {output.check} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull + if$ +} + +FUNCTION {output.c} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull.c + if$ +} + +FUNCTION {output.bibitem} +{ newline$ + "\bibitem[" write$ + label write$ + "]{" write$ + cite$ write$ + "}" write$ + newline$ +% This empty string is the first thing that will be written +% the next time write$ is called. Done this way because each +% item is saved on the stack until we find out what punctuation +% should be added after it. Therefore we need an empty first item. + "" + before.all 'output.state := +} + +FUNCTION {output.nonempty.mrnumber} +{ duplicate$ missing$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ + duplicate$ empty$ + 'pop$ + { " {\sf\scriptsize " swap$ * "}" * write$ } + if$ +} + +FUNCTION {fin.entry} +{ add.period$ + write$ + mrnumber output.nonempty.mrnumber + newline$ +} + +% Removed new.block, new.block.checka, new.block.checkb, new.sentence, +% new.sentence.checka, and new.sentence.checkb functions here, since they +% don't seem to be needed in the AMS style. Also moved some real +% basic functions like `and' and 'or' earlier in the file. + +INTEGERS { nameptr namesleft numnames } + +% The extra section to write out a language field was added +% for AMSPLAIN.BST. Not present in plain.bst. + +FUNCTION {format.language} +{ language empty$ + { "" } + { " (" language * ")" * } + if$ +} + +% This version of format.names puts names in the format +% +% First von Last, Jr. +% +% (i.e., first name first, no abbreviating to initials). + +FUNCTION {format.names} +{ 's := + #1 'nameptr := + s num.names$ 'numnames := + numnames 'namesleft := + { namesleft #0 > } + { s nameptr "{f.~}{vv~}{ll}{, jj}" format.name$ 't := + nameptr #1 > + { namesleft #1 > + { ", " * t * } + { numnames #2 > + { "," * } + 'skip$ + if$ + t "others" = + { " et~al." * } + { " and " * t * } + if$ + } + if$ + } + 't + if$ + nameptr #1 + 'nameptr := + namesleft #1 - 'namesleft := + } + while$ +} + + +FUNCTION {format.authors} +{ author empty$ + { "" } + { author format.names scize } + if$ +} + +FUNCTION {format.authors.bysame} +{ author empty$ + { "" } + { bysame "\bysame" = + { bysame } + { author format.names "a" change.case$ scize } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names "a" change.case$ scize + editor num.names$ #1 > + { " (eds.)" * } + { " (ed.)" * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.nonauthor.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names + editor num.names$ #1 > + { ", eds." * } + { ", ed." * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.title} +{ title empty$ + { "" } + { title "t" change.case$ emphasize } + if$ +} + +FUNCTION {format.journal.vol.year} +{ journal empty$ + { "" "journal name" missing.warning } + { journal + volume empty$ + 'skip$ + { " \textbf{" * volume * "}" * } + if$ + year empty$ + { "year" missing.warning } + { " (" * year * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +% For formatting the issue number for a journal article. + +FUNCTION {format.number} +{ number empty$ + { "" } + { "no.~" number * } + if$ +} + +% For formatting miscellaneous dates + +FUNCTION {format.date} +{ year empty$ + { month empty$ + { "" } + { "there's a month but no year in " cite$ * warning$ + month + } + if$ + } + { month empty$ + 'year + { month " " * year * } + if$ + } + if$ +} + +%% The volume, series and number information is sort of tricky. +%% This code handles it as follows: +%% If the series is present, and the volume, but not the number, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, vol. 000" +%% If the series is present, and the number, but not the volume, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, no. 000" +%% If the series is present, and both number and volume, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX, Series Name, no. 000" +%% Finally, if the series is absent, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX" +%% or "\emph{Book title}, no. 000" +%% and if both volume and number are present, give a warning message. + +FUNCTION {format.bookvolume.series.number} +{ volume empty$ + { "" % Push the empty string as a placeholder in case everything else + % is empty too. + series empty$ + 'skip$ + { pop$ series } % if series is not empty put in stack + if$ + number empty$ + 'skip$ + { duplicate$ empty$ % if no preceding material, + 'skip$ % do nothing, otherwise + { ", " * } % add a comma and space to separate. + if$ + "no." number tie.or.space.connect * % add the number information + } + if$ + } +%% If the volume is NOT EMPTY: + { "vol." volume tie.or.space.connect % vol. XX + number empty$ + { series empty$ + 'skip$ + { series ", " * swap$ *} % Series Name, vol. XX + if$ + } + { series empty$ + { "can't use both volume and number if series info is missing" + warning$ + "in BibTeX entry type `" type$ * "'" * top$ + } + { ", " * series * ", no." * number tie.or.space.connect } + if$ + } + if$ + } + if$ + +} % end of format.bookvolume.series.number + +%% format.inproc.title.where.editors is used by inproceedings entry types + +%% No case changing or emphasizing for the title. We want initial +%% caps, roman. +%% We add parentheses around the address (place where conference +%% was held). +%% Likewise we add parentheses around the editors' names. + +FUNCTION {format.inproc.title.address.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { booktitle + address empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * address * ")" * } + if$ + editor empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +%% format.incoll.title.editors is similar to format.inproc... but +%% omits the address. For collections that are not proceedings volumes. + +FUNCTION {format.incoll.title.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { editor empty$ + { booktitle } + { booktitle + add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * + } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.edition} +{ edition empty$ + { "" } + { output.state mid.sentence = + { edition "l" change.case$ " ed." * } + { edition "t" change.case$ " ed." * } + if$ + } + if$ +} + +INTEGERS { multiresult } + +FUNCTION {multi.page.check} +{ 't := + #0 'multiresult := + { multiresult not + t empty$ not + and + } + { t #1 #1 substring$ + duplicate$ "-" = + swap$ duplicate$ "," = + swap$ "+" = + or or + { #1 'multiresult := } + { t #2 global.max$ substring$ 't := } + if$ + } + while$ + multiresult +} + +FUNCTION {format.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages n.dashify } + if$ +} + +FUNCTION {format.book.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages multi.page.check + { "pp.~" pages n.dashify * } + { "p.~" pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.chapter.pages} +{ chapter empty$ + 'format.book.pages + { type empty$ + { "ch.~" } + { type "l" change.case$ " " * } + if$ + chapter * + pages empty$ + 'skip$ + { ", " * format.book.pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {empty.misc.check} +{ author empty$ title empty$ howpublished empty$ + month empty$ year empty$ note empty$ + and and and and and + key empty$ not and + { "all relevant fields are empty in " cite$ * warning$ } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {format.thesis.type} +{ type empty$ + 'skip$ + { pop$ + type "t" change.case$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.tr.number} +{ type empty$ + { "Tech. Report" } + 'type + if$ + number empty$ + { "t" change.case$ } + { number tie.or.space.connect } + if$ +} + +% The format.crossref functions haven't been paid much attention +% at the present time (June 1990) and could probably use some +% work. MJD + +FUNCTION {format.article.crossref} +{ key empty$ + { journal empty$ + { "need key or journal for " cite$ * " to crossref " * crossref * + warning$ + "" + } + { "in " journal * } + if$ + } + { "in " key * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +FUNCTION {format.crossref.editor} +{ editor #1 "{vv~}{ll}" format.name$ + editor num.names$ duplicate$ + #2 > + { pop$ " et~al." * } + { #2 < + 'skip$ + { editor #2 "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" = + { " et~al." * } + { " and " * editor #2 "{vv~}{ll}" format.name$ * } + if$ + } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.book.crossref} +{ volume empty$ + { "empty volume in " cite$ * "'s crossref of " * crossref * warning$ + "in " + } + { "vol." volume tie.or.space.connect + " of " * + } + if$ + editor empty$ + editor field.or.null author field.or.null = + or + { key empty$ + { series empty$ + { "need editor, key, or series for " cite$ * " to crossref " * + crossref * warning$ + "" * + } + { series * } + if$ + } + { key * } + if$ + } + { format.crossref.editor * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +FUNCTION {format.incoll.inproc.crossref} +{ editor empty$ + editor field.or.null author field.or.null = + or + { key empty$ + { booktitle empty$ + { "need editor, key, or booktitle for " cite$ * " to crossref " * + crossref * warning$ + "" + } + { "in \emph{" booktitle * "}" * } + if$ + } + { "in " key * } + if$ + } + { "in " format.crossref.editor * } + if$ + " \cite{" * crossref * "}" * +} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% The main functions for each entry type. + +% journal, vol and year are formatted together because they are +% not separated by commas. + +FUNCTION {article} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.journal.vol.year "journal, volume, and year" output.check + format.number output + format.pages "pages" output.check + } + { format.article.crossref output.nonnull + format.pages "pages" output.check + } + if$ + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {book} +{ output.bibitem + author empty$ + { format.editors "author and editor" output.check } + { format.authors output.nonnull + crossref missing$ + { "author and editor" editor either.or.check } + 'skip$ + if$ + } + if$ + format.title "title" output.c + format.edition output + crossref missing$ + { format.bookvolume.series.number output + publisher "publisher" output.check + address output + } + { format.book.crossref output.nonnull + } + if$ + format.date "year" output.check + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {booklet} +{ output.bibitem + format.authors output + format.title "title" output.c + howpublished output + address output + format.date output + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {inbook} +{ output.bibitem + author empty$ + { format.editors "author and editor" output.check } + { format.authors output.nonnull + crossref missing$ + { "author and editor" editor either.or.check } + 'skip$ + if$ + } + if$ + format.title "title" output.c + format.edition output + crossref missing$ + { format.bookvolume.series.number output + format.chapter.pages "chapter and pages" output.check + publisher "publisher" output.check + address output + } + { format.chapter.pages "chapter and pages" output.check + format.book.crossref output.nonnull + } + if$ + format.date "year" output.check + format.language * + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {incollection} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.incoll.title.editors "booktitle" output.check + format.bookvolume.series.number output + publisher "publisher" output.check + address output + format.edition output + format.date "year" output.check + } + { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull + } + if$ + note output + format.book.pages output + format.language * + fin.entry +} + +FUNCTION {inproceedings} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + crossref missing$ + { format.inproc.title.address.editors "booktitle" output.check + format.bookvolume.series.number output + organization output + publisher output + format.date "year" output.check + } + { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull + } + if$ + note output + format.book.pages output + format.language * + fin.entry +} + +FUNCTION {conference} { inproceedings } + +FUNCTION {manual} +{ output.bibitem + author empty$ + { organization empty$ + 'skip$ + { organization output.nonnull + address output + } + if$ + } + { format.authors output.nonnull } + if$ + format.title "title" output.c + author empty$ + { organization empty$ + { address output } + 'skip$ + if$ + } + { organization output + address output + } + if$ + format.edition output + format.date output + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {mastersthesis} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + "Master's thesis" format.thesis.type output.nonnull + school "school" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + format.book.pages output + fin.entry +} + +FUNCTION {misc} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + note "note" output.check + format.date output + fin.entry +} + + +FUNCTION {phdthesis} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + "Ph.D. thesis" format.thesis.type output.nonnull + school "school" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + format.book.pages output + fin.entry +} + +FUNCTION {proceedings} +{ output.bibitem + editor empty$ + { organization output } + { format.editors output.nonnull } + if$ + format.title "title" output.c + format.bookvolume.series.number output + address empty$ + { editor empty$ + 'skip$ + { organization output } + if$ + publisher output + format.date "year" output.check + } + { address output.nonnull + editor empty$ + 'skip$ + { organization output } + if$ + publisher output + format.date "year" output.check + } + if$ + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {techreport} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + format.tr.number output.nonnull + institution "institution" output.check + address output + format.date "year" output.check + note output + fin.entry +} + +FUNCTION {unpublished} +{ output.bibitem + format.authors "author" output.check + format.title "title" output.c + note "note" output.check + format.date output + fin.entry +} + +FUNCTION {default.type} { misc } + +MACRO {jan} {"January"} + +MACRO {feb} {"February"} + +MACRO {mar} {"March"} + +MACRO {apr} {"April"} + +MACRO {may} {"May"} + +MACRO {jun} {"June"} + +MACRO {jul} {"July"} + +MACRO {aug} {"August"} + +MACRO {sep} {"September"} + +MACRO {oct} {"October"} + +MACRO {nov} {"November"} + +MACRO {dec} {"December"} + +READ + +FUNCTION {sortify} +{ purify$ + "l" change.case$ +} + +INTEGERS { len } + +FUNCTION {chop.word} +{ 's := + 'len := + s #1 len substring$ = + { s len #1 + global.max$ substring$ } + 's + if$ +} + +INTEGERS { et.al.char.used } + +FUNCTION {initialize.et.al.char.used} +{ #0 'et.al.char.used := +} + +EXECUTE {initialize.et.al.char.used} + +FUNCTION {format.lab.names} +{ 's := + s num.names$ 'numnames := + numnames #1 > + { numnames #4 > + { #3 'namesleft := } + { numnames 'namesleft := } + if$ + #1 'nameptr := + "" + { namesleft #0 > } + { nameptr numnames = + { s nameptr "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" = + { "{\etalchar{+}}" * + #1 'et.al.char.used := + } + { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * } + if$ + } + { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * } + if$ + nameptr #1 + 'nameptr := + namesleft #1 - 'namesleft := + } + while$ + numnames #4 > + { "{\etalchar{+}}" * + #1 'et.al.char.used := + } + 'skip$ + if$ + } + { s #1 "{v{}}{l{}}" format.name$ 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Double quote \" Hash (number) \# +%% Dollar \$ Percent \% Ampersand \& +%% Acute accent \' Left paren \( Right paren \) +%% Asterisk \* Plus \+ Comma \, +%% Minus \- Point \. Solidus \/ +%% Colon \: Semicolon \; Less than \< +%% Equals \= Greater than \> Question mark \? +%% Commercial at \@ Left bracket \[ Backslash \\ +%% Right bracket \] Circumflex \^ Underscore \_ +%% Grave accent \` Left brace \{ Vertical bar \| +%% Right brace \} Tilde \~} diff --git a/figures/01-fiveGon.tex b/figures/01-fiveGon.tex new file mode 100644 index 0000000..9b1929f --- /dev/null +++ b/figures/01-fiveGon.tex @@ -0,0 +1,105 @@ +\begin{tikzpicture}[scale=3.5] + \def \geraden {1} + \def \laenger {0.2} + \def \markierungen {0.05} + \def \skala {5} + \def \groese{0.02} + \def \beschriftungD{1} + \def \eins {}%{(1)} + \def \zwei {}%{(2)} + \def \drei {}%{(3)} + \def \vier {}%{(4)} + \colorlet{farbe1}{lightgray} + \colorlet{farbe2}{farbe1} + \colorlet{farbe3}{farbe1} + \colorlet{farbe4}{farbe1} + \colorlet{farbe5}{black} + \colorlet{kleineins}{lightgray} + \colorlet{kleinzwei}{gray} + % \colorlet{farbe1}{green} + % \colorlet{farbe2}{orange} + % \colorlet{farbe3}{gray} + % \colorlet{farbe4}{red} + % \colorlet{farbe5}{blue} + + \coordinate (X1) at (-\geraden-\laenger,0); + \coordinate (X2) at (+\geraden+\laenger,0); + \coordinate (Y1) at (0,-\geraden-\laenger); + \coordinate (Y2) at (0,+\geraden+\laenger); + % \node at(0,\geraden+0.5)[]{Regelmäßiges Fünfeck}; + + %% Geraden + \draw[farbe1] (X1)--(X2)node[right]{\eins}; + \draw[farbe1] (Y1)--(Y2)node[above]{\eins}; + + %% großer Kreis + \coordinate (HilfeKreisGross) at (0, \geraden); + \node (KreisGross) [draw, circle through = (HilfeKreisGross)] at (intersection of X1--X2 and Y1--Y2){}; + + %% Kleiner Kreis mit Beschriftung des Zentrums + \coordinate (A) at (0,0.5*\geraden); + \coordinate (B) at (-0.25*\geraden,0); + \draw[farbe2] (-0.25*\geraden,-1*\markierungen)node[below]{$\frac{\geraden}{4}$} -- (-0.25*\geraden, \markierungen)node[above]{\zwei}; + \draw[farbe2] (\markierungen,0.5*\geraden)node[right]{$\frac{\geraden}{2}$} -- (-1*\markierungen,0.5*\geraden)node[left]{\zwei}; + \coordinate (HilfeKreisKlein) at (0,0.5*\geraden); + \node (KreisKlein) at (B) [draw, circle through = (HilfeKreisKlein),color = farbe3] {}; + \node (BeschriftungKreisKlein) [farbe3, below right] at (intersection of Y2--Y1 and KreisKlein){\drei}; + + %% Hilfspunkte für Eckpunkte + \coordinate (1) at (KreisKlein.east); + \coordinate (2) at ([yshift = 1*\geraden cm]1); + \coordinate (3) at ([yshift = -1*\geraden cm]1); + \coordinate (4) at (KreisKlein.west); + \coordinate (5) at ([yshift = 1*\geraden cm]4); + \coordinate (6) at ([yshift = -1*\geraden cm]4); + + %% rechte Hilfslinie + \draw[farbe4] (2)--(3); + %% linke Hilfslinie + \draw[farbe4] (5)--(6); + + + \coordinate (Ecke 1) at (KreisGross.east); + \coordinate (Ecke 5) at (intersection of 1--2 and KreisGross); + \coordinate (Ecke 2) at (intersection of 1--3 and KreisGross); + \coordinate (Ecke 4) at (intersection of 4--5 and KreisGross); + \coordinate (Ecke 3) at (intersection of 4--6 and KreisGross); + + %% Beschriftung d + \draw[<->] ($(Ecke 5)+(\beschriftungD,0)$)--($(Ecke 2)+(\beschriftungD,0)$)node[midway, right]{$d$}; + \foreach \Y in {Ecke 2,Ecke 5}{ + \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (\Y)--($(\Y)+(\beschriftungD,0)$); + } + %% Beschriftung a + \coordinate (HilfeA) at ($(Ecke 2)!2*\laenger!90:(Ecke 3)$); + \coordinate (HilfeA2) at ($(Ecke 3)!2*\laenger!270:(Ecke 2)$); + \draw[<->] (HilfeA) -- (HilfeA2) node[midway, sloped, below]{$a$}; + \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (Ecke 2) -- (HilfeA); + \draw[dashed, opacity = 0.9, lightgray] (Ecke 3) -- (HilfeA2); + + + %% Kleines 5-Eck + + % Endpunkte der Verlängerungen der beiden Kanten + \coordinate (HHED) at ($(Ecke 3)!\geraden!180:(Ecke 2)$); + \coordinate (HHEV) at ($(Ecke 4)!\geraden!180:(Ecke 5)$); + + % Zeichnen des Großen 5-Ecks + \foreach \X in {Ecke 1, Ecke 2, Ecke 3, Ecke 4, Ecke 5}{ + \fill[farbe5] (\X) circle (\groese)node[above right]{\vier}; + } + \draw[farbe5] (Ecke 1)--(Ecke 2)--(Ecke 3)--(Ecke 4)--(Ecke 5)--(Ecke 1); + \coordinate (HEF) at (Ecke 4); + \coordinate (HEZ) at (Ecke 3); + \coordinate (HEDUVO) at (-1.5,1); + \coordinate (HEDUVU) at (-1.5,-1); + \coordinate (HED) at (intersection of HEDUVO-- HEDUVU and HHED--Ecke 3); + \coordinate (HEV) at (intersection of HEDUVU-- HEDUVO and HHEV--Ecke 4); + \node[circle through = (HEV)] (HHEE) at (HEF){}; + \coordinate (HEE) at (intersection of X1--X2 and HHEE); + \draw[kleinzwei] (HEE)--(HEZ)--(HED)--(HEV)--(HEF)--cycle; + \foreach \X in {HEE, HEZ, HED, HEV, HEF}{ + \fill[kleinzwei] (\X) circle (0.8*\groese); + } +\end{tikzpicture} + \ No newline at end of file diff --git a/figures/Cubic_with_double_point-eps-converted-to.pdf b/figures/Cubic_with_double_point-eps-converted-to.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6efab2fea7f160d4afbd3bf26328b9f433e7ec9b GIT binary patch literal 4410 zcmb_g3v?4@7KW{$Myep-?!g6yVo8fmW+szI6PnaCNg<_aYtquPrP#^LBpI7z!pwvQ z4#M(Sv9Q89$O4L@BA^2Gg)CZ7SRdP?$jjn6a$J<-D(iz5*_DS|Y4`rqv`t%f{k+Y_5FvWy~#F)J35F?=3|bACsW+Xug; 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a/gfx/paperVersion-preprint.tex b/gfx/paperVersion-preprint.tex new file mode 100644 index 0000000..3e6cf81 --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-preprint.tex @@ -0,0 +1,13 @@ +% +% Macros to produce different text for different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{#1} +\newcommand{\Publication}[1]{} + + +% +% No subversion info and no approval boxes anymore +% +\newcommand{\subversionInfo}{} +\newcommand{\svnid}[1]{} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{} diff --git a/gfx/paperVersion-publication.tex b/gfx/paperVersion-publication.tex new file mode 100644 index 0000000..2678332 --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-publication.tex @@ -0,0 +1,18 @@ +% +% Macros to produce different text for different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{} +\newcommand{\Publication}[1]{#1} + + +% +% No subversion info and no approval boxes anymore +% +\newcommand{\subversionInfo}{} +\newcommand{\svnid}[1]{} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{} + +% +% Define a dummy command for low-level TeX programming +% +\newcommand{\isPublication}{} diff --git a/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex b/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex new file mode 100644 index 0000000..ab3331f --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-publicationPreview.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% Dummy macros for the publicationPreview. Macros that are no longer allowed in +% a publication are temporarily set to empty. +% +\newcommand\sideremark[1]{} +\newcommand\questionSign[1]{} +\newcommand\disaster[1]{} +\newcommand\watchOut[1]{} +\newcommand\constructionWarning[1]{} + +% +% Go on with regular publication macros +% +\input{gfx/paperVersion-publication} diff --git a/gfx/paperVersion-working.tex b/gfx/paperVersion-working.tex new file mode 100644 index 0000000..8109545 --- /dev/null +++ b/gfx/paperVersion-working.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% DEBUGGING MACROS +% + +% sideremark +\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}} + +% questionSign +\newcommand\questionSign[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% disaster +\newcommand\disaster[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% watchOut +\newcommand\watchOut[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% construction +\newcommand\constructionWarning[1]{\marginpar +[ +\hskip .45in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +] +{ +\hskip -.075in +\begin{minipage}{1.25in} +\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}} +\tiny \sf #1 +\end{minipage} +}} + +% approval +\definecolor{approvalBlue}{rgb}{0.95,0.95,1.0} +\newcommand{\approvals}[2][Approval]{% + \marginpar{\tiny \sf + \colorbox{approvalBlue}{\begin{tabular}{ll} + \multicolumn{2}{l}{\vphantom{\large S}#1}\\ + #2 + \end{tabular}} + } +} + +% todo +\newcommand\todo[1]{{\sf \color{red}#1}} + +% +% Macros to produce different text for different versions of the paper. +% +\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}} +\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}} diff --git a/gfx/question.eps b/gfx/question.eps new file mode 100644 index 0000000..693d38c --- /dev/null +++ b/gfx/question.eps @@ -0,0 +1,184 @@ +%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 +%%Creator: cairo 1.12.2 (http://cairographics.org) +%%CreationDate: Thu Mar 14 14:43:13 2013 +%%Pages: 1 +%%DocumentData: Clean7Bit +%%LanguageLevel: 3 +%%BoundingBox: 0 -1 34 35 +%%EndComments +%%BeginProlog +save +50 dict begin +/q { gsave } bind def +/Q { grestore } bind def +/cm { 6 array astore concat } bind def +/w 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a/gfx/set-externals.sh b/gfx/set-externals.sh new file mode 100755 index 0000000..57ffe3d --- /dev/null +++ b/gfx/set-externals.sh @@ -0,0 +1,2 @@ +STR=$'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography' +svn propset svn:externals "$STR" . diff --git a/gfx/setupProject.py b/gfx/setupProject.py new file mode 100755 index 0000000..f7c049c --- /dev/null +++ b/gfx/setupProject.py @@ -0,0 +1,20 @@ +#!/usr/bin/python3 +import os +import subprocess + +projectName = os.getcwd().split("/")[-1] + +print("Working on project "+projectName) + +print("Setup directory structure") +subprocess.call("svn rm branches tags trunk", shell=True) +subprocess.call("svn propset svn:externals 'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography' .", shell=True) +subprocess.call("svn up", shell=True) + +print("Setup templates") +subprocess.call("cp gfx/templates/*.tex .", shell=True) +subprocess.call("mv example.tex "+projectName+".tex", shell=True) +subprocess.call("sed 's/example/"+projectName+"/g' <01.tex >01new.tex", shell=True) +subprocess.call("mv 01new.tex 01.tex", shell=True) +subprocess.call("svn add *.tex", shell=True) +subprocess.call("bash gfx/svn-propset.sh", shell=True) diff --git a/gfx/stdPreamble.tex b/gfx/stdPreamble.tex new file mode 100644 index 0000000..24ce0f1 --- /dev/null +++ b/gfx/stdPreamble.tex @@ -0,0 +1,377 @@ +% +% PACKAGES +% + +% Standard Packages +\usepackage{babel} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{hyperref} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{newunicodechar} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{varioref} +\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy} + +% Graphics Packages +\usepackage{colortbl} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{tikz} + +% Font packages +\usepackage{mathrsfs} + + +% +% GENERAL TYPESETTING +% + +% Colours for hyperlinks +\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2} +\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6} + +% Limit table of contents to section titles +\setcounter{tocdepth}{1} + +% Numbering of figures (see below for numbering of equations) +\numberwithin{figure}{section} + +% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references +\usepackage[hyperpageref]{backref} +\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1} + +% Numbering of parts in roman numbers +\renewcommand\thepart{\rm \Roman{part}} + +% Sloppy formatting -- often looks better +\sloppy + +% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in +% the original amsart style is too much for my taste. +\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent} +\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii} + +% +% Input characters +% + +\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}} +\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}} +\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}} +\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}} +\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}} +\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}} +\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}} +\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}} +\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}} +\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}} +\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}} +\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}} +\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}} +\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}} +\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}} +\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}} +\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}} 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+\DeclareMathOperator{\coker}{coker} +\DeclareMathOperator{\const}{const} +\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} +\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} +\DeclareMathOperator{\Id}{Id} +\DeclareMathOperator{\Image}{Image} +\DeclareMathOperator{\img}{img} +\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} +\DeclareMathOperator{\rank}{rank} +\DeclareMathOperator{\Ramification}{Ramification} +\DeclareMathOperator{\red}{red} +\DeclareMathOperator{\reg}{reg} +\DeclareMathOperator{\sat}{sat} +\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}} +\DeclareMathOperator{\sing}{sing} +\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} +\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\tor}{tor} +\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} +\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} + +% Sheaves +\newcommand{\sA}{\scr{A}} +\newcommand{\sB}{\scr{B}} +\newcommand{\sC}{\scr{C}} +\newcommand{\sD}{\scr{D}} +\newcommand{\sE}{\scr{E}} +\newcommand{\sF}{\scr{F}} +\newcommand{\sG}{\scr{G}} +\newcommand{\sH}{\scr{H}} +\newcommand{\sHom}{\scr{H}\negthinspace om} +\newcommand{\sI}{\scr{I}} +\newcommand{\sJ}{\scr{J}} +\newcommand{\sK}{\scr{K}} +\newcommand{\sL}{\scr{L}} +\newcommand{\sM}{\scr{M}} +\newcommand{\sN}{\scr{N}} +\newcommand{\sO}{\scr{O}} +\newcommand{\sP}{\scr{P}} +\newcommand{\sQ}{\scr{Q}} +\newcommand{\sR}{\scr{R}} +\newcommand{\sS}{\scr{S}} +\newcommand{\sT}{\scr{T}} +\newcommand{\sU}{\scr{U}} +\newcommand{\sV}{\scr{V}} +\newcommand{\sW}{\scr{W}} +\newcommand{\sX}{\scr{X}} +\newcommand{\sY}{\scr{Y}} +\newcommand{\sZ}{\scr{Z}} + +% C-infty sheaves +\newcommand{\cA}{\mathcal A} +\newcommand{\cC}{\mathcal C} +\newcommand{\cD}{\mathcal D} +\newcommand{\cE}{\mathcal E} +\newcommand{\cM}{\mathcal M} +\newcommand{\cN}{\mathcal N} +\newcommand{\cV}{\mathcal V} + +% Blackboard Bold Symbols +\newcommand{\bA}{\mathbb{A}} +\newcommand{\bB}{\mathbb{B}} +\newcommand{\bC}{\mathbb{C}} +\newcommand{\bD}{\mathbb{D}} +\newcommand{\bE}{\mathbb{E}} +\newcommand{\bF}{\mathbb{F}} +\newcommand{\bG}{\mathbb{G}} 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+\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} +\newtheorem{lemDef}[thm]{Lemma and Definition} +\newtheorem{lemNot}[thm]{Lemma and Notation} +\newtheorem{problem}[thm]{Problem} +\newtheorem{prop}[thm]{Proposition} +\newtheorem{setup}[thm]{Setup} +\newtheorem{subthm}[thm]{Sub-Theorem} +\newtheorem{summary}[thm]{Summary} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{assumption}[thm]{Assumption} +\newtheorem{asswlog}[thm]{Assumption w.l.o.g.} +\newtheorem{claim}[thm]{Claim} +\newtheorem{c-n-d}[thm]{Claim and Definition} +\newtheorem{consequence}[thm]{Consequence} +\newtheorem{construction}[thm]{Construction} +\newtheorem{computation}[thm]{Computation} +\newtheorem{example}[thm]{Example} +\newtheorem{explanation}[thm]{Explanation} +\newtheorem{notation}[thm]{Notation} +\newtheorem{obs}[thm]{Observation} +\newtheorem{rem}[thm]{Remark} +\newtheorem{question}[thm]{Question} +\newtheorem*{rem-nonumber}{Remark} +\newtheorem{setting}[thm]{Setting} +\newtheorem{warning}[thm]{Warning} + +% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems. +\numberwithin{equation}{thm} + +% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are +% numbered in the same way as equations are. +\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}} + +% Shorthand notations +\newcommand{\into}{\hookrightarrow} +\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow} +\newcommand{\wtilde}{\widetilde} +\newcommand{\what}{\widehat} + +% +% HYPENTATION +% + +\hyphenation{com-po-nents} +\hyphenation{pos-i-tive} +\hyphenation{Theo-rem} +\hyphenation{Vojta} + + +% +% SPECIALIZED MACROS +% + +% CounterStep - increases equation counter +\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}} + +% factor - quotient groups +\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}} diff --git a/gfx/svn-propset.sh b/gfx/svn-propset.sh new file mode 100644 index 0000000..a89972b --- /dev/null +++ b/gfx/svn-propset.sh @@ -0,0 +1,2 @@ +#!/bin/bash +svn propset svn:keywords "Id" *.tex diff --git a/gfx/templates/01.tex b/gfx/templates/01.tex new file mode 100644 index 0000000..3623a16 --- /dev/null +++ b/gfx/templates/01.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +% +% Do not edit the following line. The text is automatically updated by +% subversion. +% +\svnid{$Id: 01-intro.tex 64 2013-12-04 07:33:02Z kebekus $} + +\section{Example section} +\subversionInfo + +Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor +incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis +nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo +consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum +dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint occaecat cupidatat non proident, +sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. \cite{Grauert62} + + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "example" +%%% End: + diff --git a/gfx/templates/example.tex b/gfx/templates/example.tex new file mode 100644 index 0000000..8515b0c --- /dev/null +++ b/gfx/templates/example.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\documentclass[a4paper, british]{amsart} + +\input{gfx/stdPreamble} +\input{gfx/paperVersion-working} + +\author{Stefan Kebekus} +\address{Stefan Kebekus, Mathematisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, Eckerstraße 1, 79104 Freiburg im Breisgau, Germany and University of Strasbourg Institute for Advanced Study (USIAS), Strasbourg, France} +\email{\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}} +\urladdr{\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}} +\thanks{Stefan Kebekus was supported in part by the DFG-Forschergruppe 790 + ``Classification of Algebraic Surfaces and Compact Complex Manifolds''. He + gratefully acknowledges the support through a joint fellowship of the Freiburg + Institute of Advanced Studies (FRIAS) and the University of Strasbourg + Institute for Advanced Study (USIAS).} + + +\keywords{Example Keywords} + +\subjclass[2010]{Example Class} + +\title{Example Paper} +\date{\today} + +\makeatletter +\hypersetup{ + pdfauthor={\authors}, + pdftitle={\@title}, + pdfsubject={\@subjclass}, + pdfkeywords={\@keywords}, + pdfstartview={Fit}, + pdfpagelayout={TwoColumnRight}, + pdfpagemode={UseOutlines}, + bookmarks, + colorlinks} +\makeatother + + +\begin{document} + +\maketitle +\tableofcontents + +\input{01} + + +\bibstyle{alpha} +\bibliographystyle{alpha} +\bibliography{bibliography/general} + + +\end{document} diff --git a/gfx/varphi.tex b/gfx/varphi.tex new file mode 100644 index 0000000..7f3e76e --- /dev/null +++ b/gfx/varphi.tex @@ -0,0 +1 @@ +\renewcommand{\phi}{\varphi} diff --git a/gfx/warning.eps b/gfx/warning.eps new file mode 100644 index 0000000..0e41fe9 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