Fixing minor issues
This commit is contained in:
Stefan Kebekus
parent
b3daaa8e54
commit
ff8a3e3e1b
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@ -131,3 +131,50 @@ Lokalisierungskonstruktion
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Inklusionsabbildung
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Inklusionsabbildung
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Primideals
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Primideals
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Nakayama
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Nakayama
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Lokalisierungsabbildung
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uniformisierende
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uniformisierenden
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adische
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Tangentialgerade
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uniformisierender
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Cohen-Seidenberg
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Krull-Dimension
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Inklusionszeichen
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Krull
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Krullsche
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Inklusionsmorphismus
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Isomorphiesatz
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Faktorielle
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faktorieller
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faktoriell
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Zariski-dichte
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Zariski-Abschluss
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Ganzheitsgleichungen
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Krullschen
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Funktiongraf
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Konik
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Eindeutigkeitsbeweis
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Bahnenraum
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Antipodenpunkten
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Antipodenpunkte
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Normparabel
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kompaktifiziert
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Asymptotenrichtungen
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Normhyperbel
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Perge
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Apollonius
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Pergaeus
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Koniken
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Apollonios
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Projektivitäten
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Projektivität
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Dehomogenisierung
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dehomogenisierten
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.te
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Bézout
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Nemours
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Avon
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Barth-Sextik
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Jaffe
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Ruberman
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Labs
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@ -1,2 +1,3 @@
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Kebekus
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Kebekus
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syzygy
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syzygy
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sextic
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@ -22,3 +22,23 @@
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QGegeben eine rationale Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Nullstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle von Ordnung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sonst\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Krullsche Dimension von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing up.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert dann sehr schnell, dass die Dimensionen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q übereinstimmen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBeweis des Satzes „Going up“.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt sehr schnell den Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q über die Invarianz der Dimension unter ganzen Ringerweiterungen beweisen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGoing down.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QVorlesung 15Die Umkehrung von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Going up“) ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAnwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QObwohl der Beweis nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung nicht vertiefen und auch nicht beweisen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZum einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKurven in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qebene alg.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonius von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von Perge kennengelernt, der die Koniken klassifiziert.\\E$"}
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{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QDann gilt für jeden Vektor \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie homogene Radikalideale algebraische Mengen homogene Primideale irreduzible Mengen homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums\\E$"}
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2
06.tex
2
06.tex
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@ -201,7 +201,7 @@ einige Vorüberlegungen.
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\[
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\[
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M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
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M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
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\]
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\]
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von algebraischen Mengen $M_i \in M$ stationär wird. Mit anderen Worten:
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von algebraischen Mengen $M_i ∈ M$ stationär wird. Mit anderen Worten:
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\[
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\[
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∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
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∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
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\]
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\]
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94
11.tex
94
11.tex
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@ -8,28 +8,27 @@ Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
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Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
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Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
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folgende Situation.
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folgende Situation.
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\begin{situation}\label{sit:11-1}
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\begin{situation}\label{sit:11-1}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
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ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
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ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
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\end{situation}
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\end{situation}
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\begin{notation}
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\begin{notation}
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In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
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In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
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Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal
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Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal $m ⊊
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$m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die
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R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die Lokalisierung
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Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach
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$R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach Korollar~\ref{kor:10-6-9}
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Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen
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eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen wir mit $m_p$.
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wir mit $m_p$.
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\end{notation}
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\end{notation}
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\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
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\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
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Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
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Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
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``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
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„Multiplizität“ und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
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dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
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dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
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\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}
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\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}%
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In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle
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In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle
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natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
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natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
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\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
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\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
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@ -42,25 +41,25 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
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erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
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erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
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beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
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beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
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\[
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\[
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m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯
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m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯.
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\]
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\]
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In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und
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In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und $m^{n+1}_p
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$m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$
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⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ natürlich
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natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient
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Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$
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$\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen
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ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen und ist deshalb selbst ein
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und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir
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$𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir natürlich als Elemente des
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natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante
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affinen Koordinatenringes sehen („konstante Polynome“) und daher auch als
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Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes
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Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes Polynom $λ$, betrachte einfach
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Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise
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den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise fassen wir den Körper $k$ in
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fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.
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trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. Dann ist aber jeder
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Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es
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$𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es sinnvoll, die
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sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
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Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
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\end{erkl}
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\end{erkl}
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\begin{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
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Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
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angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine
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angedeutet hatten: Die Multiplizität von Punkten auf einer Kurve ist eine
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Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen
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Eigenschaft, die nur vom affinen Koordinatenring (und dessen maximalen
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Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
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Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
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Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
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Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
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eingebettet ist!
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eingebettet ist!
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@ -69,7 +68,7 @@ dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
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wird dabei helfen.
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wird dabei helfen.
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\begin{lem}\label{lem:11-1-4}
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\begin{lem}\label{lem:11-1-4}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
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||||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
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Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
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maximale Ideal des $0$-Punktes,
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maximale Ideal des $0$-Punktes,
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@ -94,12 +93,12 @@ wird dabei helfen.
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Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
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Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
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Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||||
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal
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\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal $m
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$m ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
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⊂ R$ ist ein Hauptideal.
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\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes
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\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes $z ∈ R
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$z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$
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∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ besitzt, wobei
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||||||
besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
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$u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
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||||||
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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||||||
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
|
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
|
||||||
Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
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Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
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@ -110,14 +109,14 @@ wird dabei helfen.
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\video{13-3}
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\video{13-3}
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\end{proof}
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\end{proof}
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Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen
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Der Begriff des „uniformisierenden Parameters“ ist vielleicht einigermaßen
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selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht.
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selbsterklärend, der Begriff des „Bewertungsringes“ aber wahrscheinlich nicht.
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Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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Es gibt in der Algebra den Begriff der „diskreten Bewertung eines Körpers“.
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\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
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\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
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Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
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Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
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||||||
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle
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Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle $x,y ∈ k ∖
|
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$x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt.
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\{ 0 \}$ folgendes gilt.
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\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
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\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
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@ -125,7 +124,7 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{defn}
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}
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\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}%
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||||||
Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
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Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
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||||||
und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
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und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
|
||||||
Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$,
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Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$,
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@ -142,15 +141,15 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$]
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\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$]
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Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
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Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
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||||||
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die
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$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Mit
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$p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der
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anderen Worten: die $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl
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Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den
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$p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich
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Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element
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auf den Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element $q =
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$q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach,
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\frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, dass
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dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
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dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
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||||||
\end{bsp}
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}
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\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}%
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||||||
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
|
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
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||||||
dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
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dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
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\[
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\[
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@ -173,9 +172,8 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
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für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}
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\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}%
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||||||
In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen
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In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||||
\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
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\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
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||||||
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@ -189,10 +187,10 @@ Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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\begin{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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||||||
Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
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Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
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||||||
etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad
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etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ eine Gerade\footnote{= Polynom von Grad 1}, die
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||||||
1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine}
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den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} Tangentialgerade an
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||||||
Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring
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$V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring $𝒪_p(f)$ ein
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$𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter.
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uniformisierender Parameter.
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||||||
\end{bemerkung}
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\end{bemerkung}
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Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.
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Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.
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198
12.tex
198
12.tex
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|
@ -29,21 +29,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
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||||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
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||||||
Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
|
Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
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Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
|
Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
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Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war
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Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war ein
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||||||
ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.
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deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. Krull
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||||||
Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in
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studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
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||||||
Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem
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Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
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||||||
Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von
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ist das Maximum aller Längen von Ketten von Primidealen,
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Primidealen,
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\[
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\[
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P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
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P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
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\]
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\]
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\end{defn}
|
\end{defn}
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\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
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\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
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||||||
eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes
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Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
|
||||||
$k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
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wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
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||||||
\end{defn}
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\end{defn}
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||||||
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||||||
\begin{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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@ -54,11 +53,11 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
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\begin{bsp}[Der Punkt]
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\begin{bsp}[Der Punkt]
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||||
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal
|
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
|
||||||
$(0)$ und somit die Dimension 0.
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und somit die Dimension 0.
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||||||
\end{bsp}
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\end{bsp}
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||||||
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||||||
\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}
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\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||||
des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
|
des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
|
||||||
Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
|
Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
|
||||||
|
|
@ -73,20 +72,20 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
|
||||||
Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
|
Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
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||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}
|
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||||
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
|
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
|
||||||
\[
|
\[
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||||||
(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
|
(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
|
||||||
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n].
|
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
ist eine Kette von Primidealen, also ist
|
ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
|
||||||
$\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$.
|
n$.
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||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
|
||||||
|
|
||||||
Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
|
Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
|
||||||
unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
|
unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
|
||||||
nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas
|
ist nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir so weit sind, ist noch etwas
|
||||||
Vorarbeit zu leisten.
|
Vorarbeit zu leisten.
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||||||
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@ -97,9 +96,9 @@ geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische
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Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
|
Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
|
||||||
geometrisches Beispiel.
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geometrisches Beispiel.
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||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}
|
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
|
||||||
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve
|
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
|
||||||
$C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
|
= \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
|
||||||
Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
|
Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
|
||||||
Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
|
Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
|
||||||
Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
|
Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
|
||||||
|
|
@ -118,15 +117,14 @@ geometrisches Beispiel.
|
||||||
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
|
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
|
||||||
ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
|
ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}
|
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist $\dim A
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$\dim A = \dim B$.
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= \dim B$.
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||||||
\end{satz}
|
\end{satz}
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||||||
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||||||
|
Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
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||||||
Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen
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und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
|
||||||
$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und
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zueinander verhalten.
|
||||||
die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
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|
||||||
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||||||
\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
|
\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
|
||||||
|
|
@ -135,47 +133,45 @@ die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
|
||||||
\end{notation}
|
\end{notation}
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||||||
|
|
||||||
Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
|
Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
|
||||||
``übereinander liegen'' kommt.
|
„übereinander liegen“ kommt.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
|
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
|
||||||
In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
|
In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
|
||||||
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal
|
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
|
||||||
$p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.
|
ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. Dies ist das maximale Ideal
|
||||||
Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$.
|
des Punktes $π(v)$.
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||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
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||||||
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||||||
Der erste Satz von
|
Der erste Satz von
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Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
|
Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
|
||||||
(* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer
|
(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
|
||||||
Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
|
Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
|
||||||
Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand)
|
Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
|
||||||
war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung
|
ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
|
||||||
$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von
|
B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
|
||||||
Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen
|
⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
|
||||||
$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den
|
über den $p_•$ liegen. Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
|
||||||
$p_{•}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann
|
dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
|
||||||
sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
|
|
||||||
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||||||
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||||||
\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''}
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\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
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||||||
Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.
|
Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam. Um den
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||||||
Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ
|
Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
|
||||||
unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
|
Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}\label{satz:12-2-5}
|
\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
|
||||||
\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei
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\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
|
||||||
$q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische
|
liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
|
||||||
Einbettung
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||||||
\[
|
\[
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||||||
\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
|
\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
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||||||
\]
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\]
|
||||||
Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
|
Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
|
||||||
|
|
||||||
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist
|
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
|
||||||
$S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
|
ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
|
||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
|
||||||
\end{satz}
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\end{satz}
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||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
|
||||||
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@ -183,16 +179,16 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
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||||||
\end{proof}
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\end{proof}
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||||||
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||||||
\begin{notation}[Schlechte Notation]
|
\begin{notation}[Schlechte Notation]
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||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
|
||||||
Primideal und es sei $S := A ∖ p$. In der Literatur wird die
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sei $S := A∖p$. In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
|
||||||
Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$
|
S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
|
||||||
notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
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Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
|
||||||
\end{notation}
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\end{notation}
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||||||
|
|
||||||
\begin{beobachtung}
|
\begin{beobachtung}
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||||||
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter
|
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
||||||
seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$
|
Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt. Dann gelten
|
||||||
liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen.
|
folgende Äquivalenzen.
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||||||
\begin{align*}
|
\begin{align*}
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||||||
\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
|
\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
|
||||||
& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
|
& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
|
||||||
|
|
@ -200,22 +196,21 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
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||||||
\end{align*}
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\end{align*}
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||||||
\end{beobachtung}
|
\end{beobachtung}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}
|
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
|
||||||
$p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$
|
A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
|
||||||
über $A$.
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|
||||||
\end{satz}
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\end{satz}
|
||||||
\begin{proof}
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\begin{proof}
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||||||
\video{14-2}
|
\video{14-2}
|
||||||
\end{proof}
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\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
|
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
|
||||||
$p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale
|
A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1
|
||||||
über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$.
|
= q_2$.
|
||||||
\end{satz}
|
\end{satz}
|
||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
|
||||||
Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes,
|
Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$. Dann gilt Folgendes,
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
|
||||||
\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
|
\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
|
||||||
|
|
||||||
|
|
@ -229,7 +224,7 @@ Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb s
|
||||||
die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
|
die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
|
||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}
|
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
|
||||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
||||||
$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
|
$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
|
||||||
$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
|
$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
|
||||||
|
|
@ -241,7 +236,7 @@ die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
|
||||||
|
|
||||||
\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
|
\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
|
||||||
|
|
||||||
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt
|
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
|
||||||
sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
|
sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
|
||||||
ganzen Ringerweiterungen beweisen.
|
ganzen Ringerweiterungen beweisen.
|
||||||
|
|
||||||
|
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@ -249,39 +244,38 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
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\video{14-4}
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\video{14-4}
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\end{proof}
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\end{proof}
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\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}
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\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
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Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
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Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
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||||||
dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
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dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
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die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen,
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die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
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$f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als
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dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
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Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass
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Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist? Wir
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diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig
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können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
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beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein
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ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
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maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8}
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Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt
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ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales
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es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das
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Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch
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geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
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bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird.
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wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
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Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
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\end{beobachtung}
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\end{beobachtung}
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\begin{fakt}
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\begin{fakt}
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Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
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Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
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sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung
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sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: Die Abbildung $f^*
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$f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$
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: k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
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surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie
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ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie sich, was
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||||||
sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder
|
das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
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kompakter Mengen sind wieder kompakt.
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sind wieder kompakt.
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\end{fakt}
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\end{fakt}
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\section{Going down}
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\section{Going down}
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\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going
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\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
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up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das
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ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das Zauberwort
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Zauberwort heißt ``Normalität''.
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heißt „Normalität“.
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\begin{defn}\label{def:12-3-1}
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\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
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Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
|
Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
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||||||
ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
|
ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
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||||||
ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
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ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
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@ -291,28 +285,28 @@ Zauberwort heißt ``Normalität''.
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\]
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\]
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\end{defn}
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\end{defn}
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\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}
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\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
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Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
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||||||
Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
|
Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
|
||||||
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
|
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
|
||||||
$q_1 ∩ A = p_1$. \qed
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$q_1 ∩ A = p_1$. \qed
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\end{satz}
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\end{satz}
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||||||
Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
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Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
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nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung
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nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
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||||||
nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
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nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
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\subsection{Normale Ringe}
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\subsection{Normale Ringe}
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||||||
Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum
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Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“. Zum
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einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in
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einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
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||||||
relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
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relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
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||||||
anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
|
anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
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ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
|
ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
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||||||
diskutieren kann.
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diskutieren kann.
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||||||
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||||||
\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}
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\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
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||||||
Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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||||||
\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||||
\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
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\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
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||||||
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@ -326,7 +320,7 @@ diskutieren kann.
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||||||
Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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||||||
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}
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\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
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||||||
Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
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Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
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||||||
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
|
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
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||||||
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
|
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
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||||||
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|
@ -343,16 +337,16 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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||||||
\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
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\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
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||||||
\frac{a_0}{s_0} = 0,
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\frac{a_0}{s_0} = 0,
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||||||
\end{equation}
|
\end{equation}
|
||||||
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze
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wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze $t := s_0 ⋯
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||||||
$t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit
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s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
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||||||
dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte
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$s·t ∈ S$ und erhalte
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||||||
\[
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\[
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||||||
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
||||||
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
|
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
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||||||
\]
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\]
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||||||
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
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Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
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||||||
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage
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$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
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$\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$.
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S^{-1}C$.
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\end{proof}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
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@ -370,8 +364,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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||||||
A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
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A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
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\]
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\]
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||||||
Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
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Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
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||||||
folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis
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folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis für
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für maximale Ideal folgt natürlich analog.
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maximale Ideal folgt natürlich analog.
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\end{proof}
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\end{proof}
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\begin{satz}
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\begin{satz}
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@ -382,8 +376,8 @@ Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
|
zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
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||||||
Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
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Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
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||||||
eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
|
eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
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||||||
eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die
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eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
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||||||
Gleichung
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die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
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\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
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||||||
\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
|
\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
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||||||
⋯ + a_0 = 0
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⋯ + a_0 = 0
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||||||
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||||||
129
13.tex
129
13.tex
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@ -9,10 +9,10 @@ nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
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||||||
eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
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eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
|
||||||
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
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Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
|
||||||
|
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||||||
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}
|
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
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||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
|
||||||
Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente
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sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
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||||||
$y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
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∈ A$, sodass Folgendes gilt.
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||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
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||||||
\item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
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\item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
|
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unabhängig über $k$.
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unabhängig über $k$.
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@ -54,9 +54,9 @@ viel einfacheren Polynomring.
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\section{Geometrische Interpretation}
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\section{Geometrische Interpretation}
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\label{sec:13-1}
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\label{sec:13-1}
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Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die
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Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
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||||||
Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass
|
Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall,
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||||||
$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
|
dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
|
||||||
Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$
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Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$
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||||||
eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert
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eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert
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||||||
Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
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Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
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||||||
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@ -69,7 +69,7 @@ von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die
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Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
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Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
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||||||
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||||||
\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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||||||
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist
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\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$
|
||||||
algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
|
algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
|
||||||
Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
|
Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
|
||||||
Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
|
Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
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||||||
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@ -78,11 +78,11 @@ Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
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||||||
V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
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V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
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||||||
\]
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\]
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||||||
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||||||
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung
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\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂
|
||||||
$k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11}
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A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die
|
||||||
gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem
|
Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem wissen wir nach
|
||||||
wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist ---
|
Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider
|
||||||
aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
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kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
|
||||||
|
|
||||||
\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
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\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
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||||||
Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
|
Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
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||||||
|
|
@ -98,13 +98,13 @@ Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.
|
||||||
k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
|
k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
|
surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
|
||||||
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische
|
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als
|
||||||
Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
|
algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
|
||||||
|
|
||||||
\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt
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\item Die Aussage „die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$“ beschreibt $π$
|
||||||
$π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine
|
als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare
|
||||||
lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der
|
Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung
|
||||||
Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
|
$p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
|
||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{figure}
|
\begin{figure}
|
||||||
|
|
@ -163,16 +163,15 @@ vorbereitenden Lemma.
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||||||
|
|
||||||
\begin{lem}
|
\begin{lem}
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||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es
|
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es
|
||||||
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form
|
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i -
|
||||||
$y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden
|
x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann,
|
||||||
kann,
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|
||||||
\[
|
\[
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||||||
f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
|
f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
|
||||||
y_{n-1}).
|
y_{n-1}).
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
|
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
|
||||||
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form
|
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i -
|
||||||
$y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
|
a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
|
||||||
\end{lem}
|
\end{lem}
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||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
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||||||
Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im
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Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im
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||||||
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|
@ -207,9 +206,8 @@ beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.
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||||||
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||||||
\section{Geometrische Konsequenzen}
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\section{Geometrische Konsequenzen}
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||||||
Als erste echte Anwendung des Satzes über die
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Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir
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||||||
Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die
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die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
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||||||
Dimension des affinen Raums ist.
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||||||
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||||||
\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
|
\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
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||||||
Es sei $k$ ein Körper. Dann ist
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Es sei $k$ ein Körper. Dann ist
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||||||
|
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@ -221,7 +219,7 @@ Dimension des affinen Raums ist.
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||||||
\video{17-2}
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\video{17-2}
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||||||
\end{proof}
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\end{proof}
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||||||
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||||||
\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}
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\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
|
||||||
erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
|
erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
|
||||||
von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
|
von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
|
||||||
|
|
@ -252,17 +250,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
|
||||||
Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
|
Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
|
||||||
Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach
|
Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach
|
||||||
Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind
|
Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind
|
||||||
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass
|
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …,
|
||||||
$\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die
|
y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung
|
||||||
Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich
|
$k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad
|
||||||
der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
|
nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
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||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
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||||||
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|
||||||
\begin{kor}
|
\begin{kor}
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
|
||||||
$X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare
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algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k →
|
||||||
Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$
|
𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist.
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||||||
endlich und surjektiv ist.
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|
||||||
\end{kor}
|
\end{kor}
|
||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
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||||||
Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
|
Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
|
||||||
|
|
@ -275,17 +272,16 @@ Dimension des affinen Raums ist.
|
||||||
Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
|
Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
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||||||
\end{kor}
|
\end{kor}
|
||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
|
||||||
Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen
|
Lineare Projektionen $𝔸^n_ℂ → 𝔸^d_ℂ$ sind bezüglich der Euklidischen
|
||||||
Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
|
Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
|
||||||
Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
|
Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
|
||||||
Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber
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Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_ℂ$.
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||||||
$𝔸⁰_{ℂ}$.
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|
||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das
|
Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das
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||||||
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}
|
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}%
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||||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die
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Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die
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||||||
\emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
|
\emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
|
||||||
von Ketten von Primidealen
|
von Ketten von Primidealen
|
||||||
|
|
@ -295,38 +291,40 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||||
In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
|
In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
|
||||||
\end{defn}
|
\end{defn}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}
|
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}%
|
||||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei
|
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …,
|
||||||
$q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller
|
y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten
|
||||||
Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette
|
von Primidealen von der folgenden Kette
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
(0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
|
(0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
|
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
|
||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}
|
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
|
||||||
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal
|
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂
|
||||||
$p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist
|
A$ ein Primideal, dann ist
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\dim A = \height(p) + \dim(A/p).
|
\dim A = \height(p) + \dim(A/p).
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
\end{kor}
|
\end{kor}
|
||||||
\begin{proof}
|
\begin{proof}
|
||||||
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und
|
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und
|
||||||
erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
|
erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
|
||||||
\item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
|
\item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
|
||||||
$k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
|
$k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
|
||||||
normal.
|
normal.
|
||||||
|
|
||||||
\item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach
|
\item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach
|
||||||
Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen
|
Satz~\ref{satz:12-2-2} („Dimension ist invariant unter ganzen
|
||||||
Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen
|
Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen
|
||||||
Raumes'')
|
Raumes“)
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
|
\dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
|
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
|
||||||
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist
|
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
|
|
@ -335,7 +333,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||||
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach
|
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach
|
||||||
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
|
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
|
||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
|
Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
|
||||||
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
|
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
|
||||||
Dimension. Zusammen erhalten wir
|
Dimension. Zusammen erhalten wir
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
|
|
@ -345,11 +343,11 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
|
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
|
||||||
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form
|
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
|
||||||
$A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die
|
K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage
|
||||||
Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff
|
des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
|
||||||
``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der
|
beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
|
||||||
Praxis einigermaßen sinnlos.
|
sinnlos.
|
||||||
\end{warnung}
|
\end{warnung}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
@ -357,16 +355,16 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||||
|
|
||||||
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
|
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
|
||||||
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
|
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
|
||||||
(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich.
|
(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
|
||||||
Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier
|
möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
|
||||||
nur ohne Beweis.
|
Beweis.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
|
\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
|
||||||
Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
|
Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
|
||||||
Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$
|
Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$
|
||||||
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen,
|
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) =
|
||||||
$(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle
|
p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes
|
||||||
Indizes $i$. \qed
|
$i$. \qed
|
||||||
\end{satz}
|
\end{satz}
|
||||||
|
|
||||||
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
|
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
|
||||||
|
|
@ -380,10 +378,11 @@ Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
|
||||||
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben
|
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben
|
||||||
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
|
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
|
||||||
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze.
|
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
|
||||||
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
|
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
|
||||||
Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind
|
Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer
|
||||||
die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
|
sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
|
||||||
Machbaren.
|
Machbaren.
|
||||||
|
|
||||||
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper
|
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper
|
||||||
|
|
|
||||||
74
14.tex
74
14.tex
|
|
@ -51,9 +51,9 @@ gelernt.
|
||||||
\end{aufgabe}
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
|
Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
|
||||||
kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im
|
kannte schon mein Physik-Lehrer: „Zwei parallele Geraden schneiden sich im
|
||||||
unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
|
unendlichen“. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
|
||||||
$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu
|
$𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $ℙ^n_k$ zu
|
||||||
ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
|
ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
|
||||||
einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
|
einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
|
||||||
$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
|
$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
|
||||||
|
|
@ -79,10 +79,10 @@ Multiplizität gezählt werden müssen.
|
||||||
\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
|
\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
|
||||||
|
|
||||||
Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
|
Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
|
||||||
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der
|
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll „Schnittpunkte mit der
|
||||||
richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
|
richtigen Multiplizität zu zählen“. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
|
||||||
algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
|
algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
|
||||||
``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses
|
„Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$“ genau sein soll. Dieses
|
||||||
Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
|
Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
|
||||||
ebenfalls sehr gut erklärt finden.
|
ebenfalls sehr gut erklärt finden.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
@ -93,24 +93,24 @@ Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine
|
||||||
sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
|
sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
|
||||||
sollte.
|
sollte.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}
|
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}%
|
||||||
Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
|
Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
|
||||||
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix
|
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix $A ∈
|
||||||
$A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für
|
\operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für alle
|
||||||
alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
|
$v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
|
||||||
``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen
|
„affine Transformation“ auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen Raum
|
||||||
Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
|
$𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
|
||||||
\end{erinnerung}
|
\end{erinnerung}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}
|
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}%
|
||||||
Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die
|
Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die
|
||||||
Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
|
Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven
|
\Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven
|
||||||
in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \}
|
in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte
|
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte $p
|
||||||
$p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
|
∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
|
||||||
\item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und
|
\item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und
|
||||||
$G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
|
$G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
|
||||||
|
|
@ -121,19 +121,18 @@ sollte.
|
||||||
$G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
|
$G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
|
||||||
|
|
||||||
\item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
|
\item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
|
||||||
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt
|
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$
|
||||||
die Gleichung
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gilt die Gleichung
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\[
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\[
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\Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
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\Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
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\]
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\]
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||||||
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\item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
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\item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
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||||||
Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
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Kurven. Genauer gesagt: Es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
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||||||
\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets
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\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) ·
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$\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt,
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\mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn die Kurven $F$ und $G$
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wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade
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im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade haben.
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haben.
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\item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer:
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\item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer:
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falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
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falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
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@ -157,20 +156,20 @@ sollte.
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\begin{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
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Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
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||||||
Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo
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Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo $F(x,y) =
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$F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und
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y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und wo $p =
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wo $p = (x_0, 0)$ ist.
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(x_0, 0)$ ist.
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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\subsection{Träume werden wahr}
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\subsection{Träume werden wahr}
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Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von
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Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von
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``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
|
„Schnittzahl“, die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
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||||||
ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
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ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
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||||||
Tatsachen, die wir später benötigen.
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Tatsachen, die wir später benötigen.
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||||||
\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}
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\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
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||||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das
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Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das
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||||||
maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
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maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
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||||||
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@ -186,13 +185,13 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
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||||||
Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
|
Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
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||||||
ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte
|
ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte
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||||||
noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise
|
noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise
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||||||
ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich
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ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich $\sqrt{I} =
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||||||
$\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und
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(x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und $y^n ∈ I$
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||||||
$y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
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sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
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||||||
Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
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Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
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||||||
\end{erinnerung}
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\end{erinnerung}
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||||||
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||||||
\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}
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\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
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||||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
|
Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
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||||||
ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
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ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
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|
@ -203,17 +202,16 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
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||||||
und $\dim_k R < ∞$.
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und $\dim_k R < ∞$.
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\end{eerinnerung}
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\end{eerinnerung}
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\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}
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\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine
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||||||
Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
|
Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
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||||||
Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7}
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Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} gelten.
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gelten.
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||||||
\end{satz}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
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\video{18-1}
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\video{18-1}
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\end{proof}
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\end{proof}
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||||||
\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}
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\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}%
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||||||
Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
|
Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
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||||||
einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
|
einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
|
||||||
ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
|
ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
|
||||||
|
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@ -253,9 +251,9 @@ Tatsachen, die wir später benötigen.
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||||||
\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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\item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
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\item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
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||||||
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||||||
\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass
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\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass die
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||||||
die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt,
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Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, die
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||||||
die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
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den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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||||||
Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
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Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
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||||||
Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.
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Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.
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||||||
115
15.tex
115
15.tex
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|
@ -13,13 +13,13 @@ Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe
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||||||
Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
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Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
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||||||
(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
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(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
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||||||
|
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||||||
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}
|
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}%
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||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren
|
Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren
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||||||
$\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
|
$\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
|
||||||
Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist
|
Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist
|
||||||
offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
|
offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
|
||||||
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist
|
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist üblich.
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||||||
üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors
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Die Äquivalenzklasse eines Vektors
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||||||
\[
|
\[
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||||||
\vec{v} = \begin{pmatrix}
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\vec{v} = \begin{pmatrix}
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||||||
x_1 \\ \vdots \\ x_n
|
x_1 \\ \vdots \\ x_n
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||||||
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@ -36,8 +36,8 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
|
||||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
|
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
|
||||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
|
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich
|
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich dazu
|
||||||
dazu ist der Ausdruck
|
ist der Ausdruck
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||||||
\[
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\[
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||||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
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\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
|
||||||
\]
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\]
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||||||
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|
@ -47,19 +47,19 @@ Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
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||||||
\subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
|
\subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
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||||||
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||||||
Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der
|
Im Vergleich zur äquivalenten Definition „der projektive Raum ist die Menge der
|
||||||
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht
|
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$“ ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht etwas
|
||||||
etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere
|
technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere (und
|
||||||
(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
|
ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
|
||||||
\[
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\[
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||||||
k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
|
k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
|
||||||
\bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
|
\bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
|
betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
|
||||||
definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre
|
definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre $S^{n} ⊂
|
||||||
$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die
|
ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die Sphäre in
|
||||||
Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$
|
genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ kann also
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||||||
kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
|
auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
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||||||
\[
|
\[
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||||||
ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
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ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
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\]
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\]
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||||||
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@ -68,15 +68,15 @@ genau die Antipodenpunkte vertauscht.
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||||||
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||||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||||
Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
|
Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
|
||||||
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene
|
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene $ℙ²_ℝ =
|
||||||
$ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden
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\factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden Beispielen so
|
||||||
Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
|
große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
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||||||
\href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
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\href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
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Demleitner}?
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Demleitner}?
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||||||
\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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||||||
|
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||||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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||||||
Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
|
Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zwei\-dimension\-ale Mannigfaltigkeit.
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||||||
Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel
|
Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel
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||||||
einfacher als $ℙ²_ℝ$?
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einfacher als $ℙ²_ℝ$?
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||||||
\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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@ -89,13 +89,13 @@ Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine
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||||||
Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser
|
Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser
|
||||||
Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären,
|
Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären,
|
||||||
wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
|
wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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||||||
``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind.
|
„unendlich fernen Punkte“ eigentlich sind.
|
||||||
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\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}
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\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}%
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||||||
Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer
|
Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer
|
||||||
Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt
|
Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt
|
||||||
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies,
|
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, indem
|
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indem ich mithilfe der Abbildung
|
ich mithilfe der Abbildung
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||||||
\[
|
\[
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||||||
ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
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ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
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\]
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\]
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@ -103,23 +103,21 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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||||||
identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
|
identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
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||||||
tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
|
tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
|
||||||
handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
|
handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
|
||||||
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich
|
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich $ι(x,y) =
|
||||||
$ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die
|
(x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die Gerade
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||||||
Gerade $[x:y:1]$.
|
$[x:y:1]$.
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||||||
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||||||
Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
|
Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
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||||||
\[
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\[
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||||||
φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
|
φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen.
|
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_ℝ$ aufzufassen. Die
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||||||
Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass
|
Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die
|
||||||
die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die
|
Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
|
||||||
Menge
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||||||
\[
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\[
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||||||
ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}.
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ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}
|
||||||
\]
|
\]
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||||||
ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die
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ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der „unendlich fernen Punkte“. Die Abbildung
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||||||
Abbildung
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\[
|
\[
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||||||
ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
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ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
|
||||||
\]
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\]
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||||||
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|
@ -137,10 +135,10 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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||||||
Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher
|
Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher
|
||||||
Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
|
Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
|
||||||
parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die
|
parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die
|
||||||
``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben.
|
„unendlich fernen“ Punkte etwas mit „Asymptotenrichtungen“ zu tun haben.
|
||||||
\end{aufgabe}
|
\end{aufgabe}
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||||||
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||||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}
|
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}%
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||||||
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
||||||
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
|
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
|
||||||
\[
|
\[
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||||||
|
|
@ -152,7 +150,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
|
kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
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||||||
\end{aufgabe}
|
\end{aufgabe}
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||||||
|
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||||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}
|
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}%
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||||||
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
||||||
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
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(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
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\[
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\[
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@ -165,20 +163,20 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
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In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von
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In der Vorlesung „Lineare Algebra“ hatten Sie den Satz des Apollonios von
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Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
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Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
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von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge;
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von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; †
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† ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer
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ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer Mathematiker,
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Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie
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bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie trug er zur
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trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus
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Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus in sein
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in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
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Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
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Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung
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Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung vom
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vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
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Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
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Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
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Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
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projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
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projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
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\end{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}
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\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}%
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Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
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Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
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||||||
Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
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Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
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\[
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\[
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@ -220,32 +218,33 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
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\subsection{Projektivitäten}
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\subsection{Projektivitäten}
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Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des
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Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion der
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Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
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Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
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||||||
Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte.
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Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja noch einmal erinnert hatte.
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||||||
Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
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Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
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Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird.
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Transformation, die in der Literatur oft auch als „Projektivität“ bezeichnet
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wird.
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\begin{defn}[Projektivitäten]
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\begin{defn}[Projektivitäten]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung $φ : ℙ^n →
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$φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive
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ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive Transformation}
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Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine
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oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine invertierbare
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||||||
invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle
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Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle $\vec v ∈ k^{n+1}$ die
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||||||
$\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung
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Gleichung
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\[
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\[
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φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
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φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
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\]
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\]
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gilt.
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gilt.
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\end{defn}
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\end{defn}
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Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung
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Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
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``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.
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Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten
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Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$
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werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche
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abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen
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Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
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$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass
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U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man
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||||||
die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die
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auf diese Weise erhält, exakt die affinen Transformationen der affinen Ebene
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affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne
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$𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne verallgemeinern die Projektiven die affinen
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verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also.
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Transformationen also.
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%%% Local Variables:
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%%% Local Variables:
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121
16.tex
121
16.tex
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@ -10,8 +10,8 @@ Ausdruck der Form
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\[
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\[
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||||||
\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
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\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
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||||||
\]
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\]
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||||||
gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
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gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist $1²-1
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$1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
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= 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
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||||||
\begin{beobachtung}
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\begin{beobachtung}
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||||||
Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
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Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
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||||||
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@ -19,10 +19,10 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
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\[
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\[
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||||||
f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
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f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
|
||||||
\]
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\]
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||||||
Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und
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Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und $\vec{y} =
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||||||
$\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass
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(y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈
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||||||
$[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$
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ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist.
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genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge
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Die Menge
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\[
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\[
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||||||
V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
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V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
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||||||
\]
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\]
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@ -39,11 +39,11 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
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||||||
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||||||
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
|
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
|
||||||
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
|
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
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||||||
``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen.
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„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$“ sprechen. Falls
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||||||
Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der
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das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
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||||||
Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind
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sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
|
||||||
prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen
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Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
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||||||
des projektiven Raums'' definieren werden.
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Raums“ definieren werden.
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@ -54,7 +54,7 @@ betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
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||||||
gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
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gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
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||||||
Polynom homogen sein soll.
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Polynom homogen sein soll.
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||||||
\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}
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\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
|
||||||
heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
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heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
|
||||||
homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
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homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
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||||||
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@ -67,8 +67,8 @@ Polynom homogen sein soll.
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Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
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Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
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||||||
die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
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die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
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||||||
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge
|
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge $V(f_1, …, f_m) ⊂
|
||||||
$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
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k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
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||||||
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||||||
\begin{defn}[Kegel]
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\begin{defn}[Kegel]
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||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
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||||||
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@ -86,19 +86,20 @@ $V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
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||||||
\label{fig:cone}
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\label{fig:cone}
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||||||
\end{figure}
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\end{figure}
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||||||
\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}
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\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}%
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||||||
Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
|
Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
|
||||||
Formen.
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Formen.
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||||||
\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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||||||
\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
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\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
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||||||
\item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
|
|
||||||
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\item Vereinigungen von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
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||||||
\end{itemize}
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\end{itemize}
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||||||
\end{bsp}
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\end{bsp}
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||||||
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|
||||||
Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
|
Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
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||||||
exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
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exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
|
||||||
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel
|
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel $V ⊂
|
||||||
$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
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k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
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||||||
\[
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\[
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||||||
\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
|
\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
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||||||
\]
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\]
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||||||
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@ -112,7 +113,7 @@ ein Kegel.
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||||||
\section{Kegel und homogene Ideale}
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\section{Kegel und homogene Ideale}
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||||||
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||||||
\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie''
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\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs „Algebra und Geometrie“
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||||||
war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
|
war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
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||||||
Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
|
Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
|
||||||
einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
|
einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
|
||||||
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@ -120,7 +121,7 @@ einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k
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||||||
Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
|
Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
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||||||
Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
|
Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
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||||||
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||||||
\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}
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\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}%
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||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
|
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
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||||||
folgende Aussagen äquivalent.
|
folgende Aussagen äquivalent.
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||||||
\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||||
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@ -137,13 +138,13 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
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||||||
\end{satzdef}
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\end{satzdef}
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||||||
\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
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\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
|
||||||
Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
|
Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
|
||||||
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen
|
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen $α_i ∈
|
||||||
$α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
|
k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
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||||||
\[
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\[
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||||||
g = \sum_i α_i·f_i
|
g = \sum_i α_i·f_i
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||||||
\]
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\]
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||||||
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen,
|
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, $α_i = \sum_d
|
||||||
$α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
|
α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
|
||||||
\[
|
\[
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||||||
g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
|
g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
|
||||||
\]
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\]
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||||||
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|
@ -158,19 +159,19 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
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||||||
\[
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\[
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||||||
g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
|
g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist
|
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist $I =
|
||||||
$I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
|
(g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
|
||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
|
||||||
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|
||||||
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
|
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
|
||||||
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist
|
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
|
||||||
$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.
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f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
|
||||||
Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
|
sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
|
||||||
|
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||||||
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
|
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂
|
||||||
$I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist
|
k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist das
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||||||
das Ideal $I$ homogen.
|
Ideal $I$ homogen.
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||||||
\end{satz}
|
\end{satz}
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||||||
\begin{proof}
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\begin{proof}
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||||||
Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
|
Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
|
||||||
|
|
@ -204,7 +205,7 @@ Abbildungen,
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||||||
die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
|
die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
|
||||||
Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
|
Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
|
||||||
\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
|
\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
|
||||||
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne
|
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort „homogen“ einfügt. Ich nenne
|
||||||
einige solche Sätze ohne Beweis.
|
einige solche Sätze ohne Beweis.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
|
\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
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||||||
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@ -213,27 +214,27 @@ einige solche Sätze ohne Beweis.
|
||||||
\end{fakt}
|
\end{fakt}
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||||||
|
|
||||||
\begin{fakt}[Homogene Primideale]
|
\begin{fakt}[Homogene Primideale]
|
||||||
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal
|
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …,
|
||||||
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder
|
x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder $b ∈ I$ für
|
||||||
$b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
|
homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
|
||||||
\end{fakt}
|
\end{fakt}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
|
\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …,
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||||||
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal.
|
x_n]$ ein homogenes Ideal.
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||||||
\begin{enumerate}
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\begin{enumerate}
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||||||
\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder
|
\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder $\sqrt{I} =
|
||||||
$\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$.
|
(x_0, …, x_n)$.
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||||||
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||||||
\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist
|
\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} =
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||||||
$\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
|
I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
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||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
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||||||
\end{fakt}
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\end{fakt}
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||||||
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||||||
\begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
|
\begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
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||||||
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal
|
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal $(x_0,
|
||||||
$(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven
|
…, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven Raumes
|
||||||
Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
|
definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
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||||||
\end{notation}
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\end{notation}
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||||||
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||||||
\begin{fakt}
|
\begin{fakt}
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||||||
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@ -280,7 +281,7 @@ Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte
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||||||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
|
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
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\]
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\]
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||||||
betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
|
betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
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||||||
den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
|
den Namen „Zariski-Topologie“ verdienen.
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||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
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||||||
\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
|
\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
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||||||
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
|
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
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||||||
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@ -291,9 +292,9 @@ den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
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||||||
Topologie auf $U_i$.
|
Topologie auf $U_i$.
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||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
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Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
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||||||
Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''.
|
Antwort lautet zum Glück: „Gar keiner!“.
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||||||
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||||||
\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}
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\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
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\[
|
\[
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||||||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
|
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
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||||||
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@ -307,7 +308,7 @@ Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
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||||||
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
|
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
|
||||||
werden.
|
werden.
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||||||
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||||||
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}
|
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}%
|
||||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
|
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
|
||||||
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
|
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
|
||||||
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
|
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
|
||||||
|
|
@ -328,10 +329,10 @@ werden.
|
||||||
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
|
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
|
||||||
\end{konstruktion}
|
\end{konstruktion}
|
||||||
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|
||||||
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}
|
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}%
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …,
|
||||||
$f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein
|
x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein Polynom in
|
||||||
Polynom in weniger Variablen konstruieren,
|
weniger Variablen konstruieren,
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||||||
\[
|
\[
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||||||
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
|
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
|
||||||
\]
|
\]
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||||||
|
|
@ -361,21 +362,21 @@ werden.
|
||||||
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
|
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
|
||||||
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
||||||
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
|
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
|
||||||
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome
|
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome $(f_1)_*, …,
|
||||||
$(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass
|
(f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist.
|
||||||
$φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie
|
Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie abgeschlossen in $U_n ⊂
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||||||
abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$. \qedhere
|
ℙ^n_k$. \qedhere
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||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
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||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
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||||||
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||||||
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}
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\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}%
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||||||
Betrachte die Menge
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Betrachte die Menge
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||||||
\[
|
\[
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||||||
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
|
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
|
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
|
||||||
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von
|
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge
|
||||||
$X$ mit dieser affinen Ebene,
|
von $X$ mit dieser affinen Ebene,
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
|
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
|
|
|
||||||
209
17.tex
209
17.tex
|
|
@ -6,31 +6,31 @@
|
||||||
\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
|
\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
|
||||||
jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
|
jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
|
||||||
und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
|
und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
|
||||||
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.
|
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu
|
||||||
Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau
|
muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
|
||||||
ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
|
Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
|
||||||
Seite~\ref{def:eak} gesehen.
|
Seite~\ref{def:eak} gesehen.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}
|
\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}%
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
|
||||||
projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
|
projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
|
||||||
Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei
|
Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei
|
||||||
Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass
|
Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $F
|
||||||
$F = λ·G$ ist.
|
= λ·G$ ist.
|
||||||
\end{defn}
|
\end{defn}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}
|
\begin{bsp}
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||||||
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.
|
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn
|
||||||
Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie
|
Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
|
||||||
vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
|
auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
|
||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}
|
\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}%
|
||||||
Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
|
Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
|
||||||
eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung
|
eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung $A :
|
||||||
$A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom
|
k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom und liefert
|
||||||
und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht
|
deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht von der
|
||||||
von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
|
Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right).
|
V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right).
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
|
|
@ -38,11 +38,11 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
|
||||||
\end{bsp}
|
\end{bsp}
|
||||||
|
|
||||||
Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
|
Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
|
||||||
``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den
|
„Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
|
||||||
Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.
|
unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an
|
||||||
Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie,
|
den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
|
||||||
dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch
|
eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive
|
||||||
für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's.
|
Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
|
\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
|
||||||
|
|
@ -50,17 +50,16 @@ für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht'
|
||||||
Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
|
Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
|
||||||
während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
|
während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
|
||||||
aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
|
aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
|
||||||
niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
|
niemals\footnote{Praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
|
||||||
konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann,
|
konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann, wenn
|
||||||
wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir
|
das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir rationale
|
||||||
rationale Funktionen konstruieren.
|
Funktionen konstruieren.
|
||||||
|
|
||||||
\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}
|
\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}%
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und $g ∈
|
||||||
$g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad,
|
k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, $d = \deg f = \deg g$.
|
||||||
$d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$
|
Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$,
|
||||||
ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$
|
dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
|
||||||
die Gleichung
|
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
|
\frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
|
||||||
\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
|
\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
|
||||||
|
|
@ -70,18 +69,17 @@ rationale Funktionen konstruieren.
|
||||||
\end{beobachtung}
|
\end{beobachtung}
|
||||||
|
|
||||||
Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
|
Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
|
||||||
Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall
|
Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall $f =
|
||||||
$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion''
|
x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von „rationaler Funktion“ und
|
||||||
und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst
|
„Definitionsbereich“ ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst scheint.
|
||||||
scheint.
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
|
\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f_1, f_2 ∈
|
||||||
$f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene
|
k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene Polynome mit
|
||||||
Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die
|
$\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die Brüche
|
||||||
Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle
|
$\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle Punkte $p$
|
||||||
Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$
|
der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ die
|
||||||
die Gleichheit
|
Gleichheit
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
|
\frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
|
|
@ -89,9 +87,9 @@ scheint.
|
||||||
Brüchen.
|
Brüchen.
|
||||||
\end{defn}
|
\end{defn}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3}
|
\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} Es
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein
|
sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein Punkt
|
||||||
Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen
|
und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen
|
||||||
Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt
|
Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt
|
||||||
man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der
|
man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der
|
||||||
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$
|
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$
|
||||||
|
|
@ -105,12 +103,11 @@ scheint.
|
||||||
$k$-Algebra.
|
$k$-Algebra.
|
||||||
\end{bemerkung}
|
\end{bemerkung}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}
|
\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}%
|
||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei $φ_n : 𝔸^n_k →
|
||||||
$φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt
|
ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt $a ∈ 𝔸^n_k$ mit
|
||||||
$a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als
|
zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als Übungsaufgabe in
|
||||||
Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die
|
„Homogenisierung und Dehomogenisierung“ nach, dass die Abbildungen
|
||||||
Abbildungen
|
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
\begin{matrix}
|
\begin{matrix}
|
||||||
A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\
|
A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\
|
||||||
|
|
@ -118,9 +115,9 @@ scheint.
|
||||||
\end{matrix}
|
\end{matrix}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die
|
wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die
|
||||||
Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander
|
Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise
|
||||||
isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um
|
zueinander isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei
|
||||||
einen lokalen Ring.
|
$𝒪_p(ℙ^n_k)$ um einen lokalen Ring.
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\end{konstruktion}
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\end{konstruktion}
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\begin{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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@ -136,13 +133,13 @@ die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss
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||||||
ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
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ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
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betrachten möchte.
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betrachten möchte.
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||||||
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||||||
\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}
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\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
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||||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei
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k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$
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||||||
$p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so
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ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, sodass $p_i ≠ 0$ ist.
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||||||
dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die
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Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die rationalen Funktionen
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rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und
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$\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das
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$\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal
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davon erzeugte Ideal
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\[
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\[
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I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
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I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
|
||||||
𝒪_p(ℙ²).
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𝒪_p(ℙ²).
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@ -164,21 +161,21 @@ betrachten möchte.
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Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
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Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
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||||||
\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}
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\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
|
||||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.
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k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann
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||||||
Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
|
definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
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||||||
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
|
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
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||||||
\[
|
\[
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||||||
\Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
|
\Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
|
||||||
\]
|
\]
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||||||
wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1}
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wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} diskutierte
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diskutierte Ideal ist.
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Ideal ist.
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\end{defn}
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}
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\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}%
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||||||
Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
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Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
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||||||
ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
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ausrechnet. Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
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||||||
dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
|
dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
|
||||||
der Standardkarte $φ_3$ und es ist
|
der Standardkarte $φ_3$ und es ist
|
||||||
\[
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\[
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||||||
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@ -186,9 +183,9 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
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\]
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\]
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||||||
wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
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wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
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||||||
im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
|
im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
|
||||||
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten
|
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2}
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$\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann
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\right)$ und die Schnittzahl kann mithilfe des Algorithmus aus
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mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
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Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
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Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
|
Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
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ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
|
ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
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@ -202,7 +199,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies
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jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
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jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
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||||||
(langweiligen) Beweis lasse ich weg.
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(langweiligen) Beweis lasse ich weg.
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||||||
\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}
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\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}%
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||||||
In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
|
In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
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||||||
$φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
|
$φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
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die Gleichung
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die Gleichung
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@ -219,14 +216,14 @@ jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
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\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
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\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
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versprochenen Satz von
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versprochenen Satz von
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Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
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Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
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Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.
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Bézout} (* 31.~März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.~September
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||||||
September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die
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1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die Schnittzahlen von
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Schnittzahlen von projektiven Kurven.
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projektiven Kurven.
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\begin{satz}[Satz von Bézout]
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\begin{satz}[Satz von Bézout]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
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||||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.
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k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt
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Dann gilt die Gleichung
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die Gleichung
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\[
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\[
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||||||
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
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\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
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\]
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\]
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||||||
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@ -234,17 +231,17 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
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||||||
\begin{proof}
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\begin{proof}
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||||||
Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
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Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
|
||||||
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
|
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
|
||||||
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.
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vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil
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||||||
Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die
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die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
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||||||
Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer
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von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten
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||||||
geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne
|
Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der
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||||||
Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf
|
Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf der unendlich
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||||||
der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
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fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
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||||||
\begin{align*}
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\begin{align*}
|
||||||
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
|
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
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||||||
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}}
|
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}.}
|
||||||
\end{align*}
|
\end{align*}
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||||||
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch
|
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren, schreiben wir noch
|
||||||
\begin{align*}
|
\begin{align*}
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||||||
n & := \deg G & m & := \deg G \\
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n & := \deg G & m & := \deg G \\
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||||||
R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
|
R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
|
||||||
|
|
@ -255,7 +252,7 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
|
||||||
folgenden Gleichungen zu beweisen,
|
folgenden Gleichungen zu beweisen,
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||||||
\begin{align}
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\begin{align}
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||||||
\label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
|
\label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
|
||||||
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m
|
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m.
|
||||||
\end{align}
|
\end{align}
|
||||||
Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
|
Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
|
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aufgeteilt.
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aufgeteilt.
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||||||
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|
@ -278,8 +275,8 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
|
||||||
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
|
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
|
||||||
Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die
|
Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die
|
||||||
Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im
|
Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im
|
||||||
\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente
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\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente $[A_{•,*}] ∈
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||||||
$[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
|
Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
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||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
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||||||
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||||||
\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
|
\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
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@ -287,10 +284,10 @@ Schnittzahlen von projektiven Kurven.
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||||||
Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed
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Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed
|
||||||
\end{kor}
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\end{kor}
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||||||
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|
||||||
\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}
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\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
|
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$G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann
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k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann schneiden
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||||||
schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
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sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
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\qed
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\qed
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\end{kor}
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\end{kor}
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||||||
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@ -305,7 +302,7 @@ können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch
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||||||
den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele
|
den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele
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||||||
singuläre Punkte haben.
|
singuläre Punkte haben.
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||||||
|
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\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}
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\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}%
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||||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
|
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
|
||||||
es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat
|
es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat
|
||||||
höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
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höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
|
||||||
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@ -313,10 +310,10 @@ singuläre Punkte haben.
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||||||
\begin{proof}
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\begin{proof}
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||||||
Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
|
Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
|
||||||
Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
|
Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
|
||||||
dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt
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dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt $\deg G ≤ \deg
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$\deg G ≤ \deg F -1$.
|
F -1$.
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||||||
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||||||
Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass
|
Aus Definition~\vref{defn:ep} („Glatte und singuläre Punkte“) ist klar, dass
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die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die
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die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die
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||||||
Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
|
Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
|
||||||
gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
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gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
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@ -351,13 +348,13 @@ Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65
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singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
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singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
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Wolf
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Wolf
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Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
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Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
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Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war
|
Paul Barth} (* 20.~Oktober 1942 in Wernigerode; † 30.~Dezember 2016) war ein
|
||||||
ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie
|
deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.}
|
||||||
beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten,
|
konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, dass maximal 64
|
||||||
dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte,
|
singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, veröffentlichte
|
||||||
veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und
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Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und Ruberman in
|
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Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A
|
\cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist:
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sextic cannot have 66 nodes''.
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„\foreignlanguage{english}{A sextic cannot have 66 nodes}“.
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||||||
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\begin{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist
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Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist
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||||||
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@ -365,12 +362,12 @@ sextic cannot have 66 nodes''.
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\end{bemerkung}
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\end{bemerkung}
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\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
|
\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
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zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen
|
zum Thema „Flächen mit vielen singulären Punkten“ promovierte, hat einen
|
||||||
\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
|
\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
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reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum}
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reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} geschrieben,
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geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm
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den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm
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\href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der
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\href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der
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``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
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„Weltrekordflächen“ aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
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mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
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mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
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dieses Programms.
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dieses Programms.
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