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d444c091e9
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
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\subversionInfo
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\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
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im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
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Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$. Wir interessierten uns zum
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Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
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$\Gal(f)$. In dieser Vorlesung machen wir das direkte Gegenteil: Wir betrachten
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wieder einen Körper $k$, aber dieses Mal nehmen wir ganz viele Polynome in ganz
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vielen Variablen, $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Wir interessieren uns für die
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Lösungsmenge des zugehörigen polynomialen Gleichungssystems
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\[
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A := \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
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\Bigr\}.
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\]
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Wenn $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ ist, dann induziert die übliche Topologie des
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$ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine metrische Topologie auf $A$. Häufig ist $A$ sogar
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eine Untermannigfaltigkeit. In diesen Fällen induziert die Euklidische oder
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Hermitesche Metrik des $ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine Riemannsche oder Hermitesche
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Metrik auf $A$ und es ist sinnvoll, $A$ mit Mittel der Differenzialgeometrie zu
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untersuchen. Mathematiker der unterschiedlichen Fachrichtungen werden Sie sich
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vielleicht die folgenden Fragen stellen.
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\begin{itemize}
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\item Zahlentheorie: Enthält die Menge $A$ Punkte mit ganzzahligen oder
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rationalen Koordinaten?
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\item Topologie: Kennen wir die
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe}{Fundamentalgruppe}
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$π_1(A)$? Verstehen wir die simplizialen
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Homologietheorie}{Homologiegruppen}
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$H_i(A, ℤ)$?
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\item Differenzialgeometrie: Können wir etwas über die Krümmung von $A$ sagen?
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Wie sieht die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Holonomie}{Holonomie} von
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$A$ aus? Ist $A$
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
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vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
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\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die Lösungen
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geeigneter
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
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vielleicht sogar eine Ricci-flache
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
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\end{itemize}
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Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
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geometrischer Anschauung zugänglich sind. Die algebraischen Eigenschaften der
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Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
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Rechnungen. Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
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wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
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und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.
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Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt
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es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''. Konsequenz: jedes Objekt der
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Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
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umgekehrt. Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
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Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
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Geometrie gehören! Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
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Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten. Stattdessen
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verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
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$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.
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\begin{bemerkung}
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Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
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Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
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Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu
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werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
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abgeschlossenen Fall interessieren. Der
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
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Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
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Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
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Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
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bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
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der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
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Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
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bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
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veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
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und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
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Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
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die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
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gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
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internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
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Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
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mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
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\end{bemerkung}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,464 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Algebraische Mengen}
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\section{Beispiele}
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Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
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Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer
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spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''. Klingt
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besser.
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\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge
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$A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische
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Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome
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$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
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\[
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||||
A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
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\Bigr\}.
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\]
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ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
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Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort
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``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie
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versehen wurden. Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von
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``algebraischen Funktionen'' definiert.
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\end{bemerkung}
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\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien
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$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge
|
||||
wird oft mit
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\[
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||||
V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
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f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
|
||||
\]
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||||
bezeichnet.
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||||
\end{notation}
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\begin{bsp}[Der gesamte Raum]
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Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
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(nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als
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algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und
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schreibe $𝔸^m$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Die leere Menge]
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Es sei $k$ ein Körper. Die leere Menge ist eine algebraische Menge (nehme für
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$f_•$ das Einspolynom).
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Graph einer Funktion]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x]$ ein Polynom. Dann ist der Graph
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der zugehörenden Abbildung $f : k → k$,
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\[
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A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y-f(x) = 0 \Bigr\},
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\]
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eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.
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Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde
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||||
Polynome sind. Dann ist der Graph von $f$,
|
||||
\[
|
||||
A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
|
||||
\]
|
||||
eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird.
|
||||
\end{bsp}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{figures/02-graph.png}
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\caption{Graph einer rationalen Funktion}
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\label{fig:gerf}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Achsenkreuz]\label{bsp:2-1-8}
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Es sei $k$ ein Körper. Das Achsenkreuz
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\[
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\Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x·y = 0 \Bigr\}
|
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\]
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ist eine algebraische Menge. Das Achsenkreuz besteht aus zwei Achsen und das
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||||
Polynom $f(x,y) = x·y$ ist reduzibel. Sehen Sie hier einen Zusammenhang?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Einheitskreis]
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Der Einheitskreis in $ℝ²$,
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\[
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E := \Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x²+y²-1 = 0 \Bigr\}
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\]
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||||
ist eine algebraische Menge.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}
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Öffnen Sie die
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
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Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm
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\href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
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Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen
|
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in der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
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täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
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Die algebraische Menge
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\[
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||||
\Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
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\]
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ist eine Kurve in $ℝ³$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Flächen im Raum]
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Schauen Sie sich auf
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
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Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
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Friedrich Alfred Clebsch} (* 19. Januar 1833 in Königsberg; † 7. November
|
||||
1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge
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||||
zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die
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||||
auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
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\end{bsp}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=5cm]{figures/02-clebschCubic.png}
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\[
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||||
S := \bigl\{ (x:y:z) ∈ ℝ³ \::\: (x+y+z+1)³ = x³+y³+z³+1 \bigr\}.
|
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\]
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\caption{Diagonalfläche von Clebsch}
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\label{fig:cds}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Mehr Flächen im Raum]
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Auf der Seite \href{https://imaginary.org}{imaginary.org} finden Sie viel
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Material. Besonders schöne algebraische Mengen finden Sie
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\href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier},
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||||
\href{https://imaginary.org/gallery/herwig-hauser-classic}{hier} und
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||||
\href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier}. Holen Sie sich das
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Programm \href{https://imaginary.org/program/surfer}{surfer} und spielen Sie
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selbst!
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Eine komische Gleichung für den Punkt]
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||||
Die Menge
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\[
|
||||
\Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \mid x²+y² = 0 \Bigr\}
|
||||
\]
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ist ein Punkt. Das ist komisch. Wir betrachten den zwei-dimensionalen $ℝ²$
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und eine einzige Gleichung. Da erwarten wir doch, dass die Lösungsmenge
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ein-dimensional ist, also eine Kurve. Stattdessen bekommen wir einen Punkt!
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Beachte: über den komplexen Zahlen wäre und das nicht passiert!
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||||
\end{bsp}
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\begin{bsp}[Mechanik]
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Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im
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Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
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befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen Zustände
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des Roboters ist dann die algebraische Menge
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||||
\[
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||||
\Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
|
||||
\]
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||||
Um den Roboter von Stellung $A$ in Stellung $B$ zu bringen, muss die
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Steuerungssoftware einen Weg auf dieser Menge finden, der einerseits möglichst
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kurz ist, andererseits noch etliche Nebenbedingungen erfüllen muss
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(mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei
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||||
Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
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||||
Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
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||||
Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''. Sie werden überrascht
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sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik
|
||||
wird.
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||||
\end{bsp}
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||||
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\begin{bsp}[Design]
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||||
Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
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\emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}. Gegeben seien Punkte
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||||
$p_0, …, p_n ∈ ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$
|
||||
zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft,
|
||||
aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
|
||||
Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
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||||
\begin{align*}
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||||
B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
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||||
\intertext{und dann weiter induktiv}
|
||||
B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
|
||||
\[
|
||||
B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
|
||||
\]
|
||||
Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!
|
||||
Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Parametrisierungen}
|
||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 2}In der Schule haben Sie die \emph{Gleichung} und
|
||||
\emph{Parametrisierungen} von Geraden im $ℝ²$ diskutiert, vermutlich bis zum
|
||||
Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wenn eine Gerade als Gleichung beschrieben ist, kann ich durch direktes
|
||||
Einsetzen prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt oder nicht.
|
||||
|
||||
\item Die Parametrisierung ist sinnvoll, um die Gerade zu zeichnen. Das gilt
|
||||
besonders, wenn ich ein Computerprogramm schreiben soll, das die Gerade
|
||||
zeichnet.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
|
||||
man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren
|
||||
``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen
|
||||
Funktionen nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist
|
||||
daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine
|
||||
\emph{rationale Parametrisierung}\index{Parametrisierung} von $A$ ist ein
|
||||
Tupel von rationalen Funktionen $f_1, …, f_n ∈ k(x_1, …, x_m)$, sodass
|
||||
Folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:1.1.16.1} Falls $\vec{x} ∈ k^m$ ein Punkt ist, an dem alle
|
||||
$f_i$ definiert sind, dann ist
|
||||
\[
|
||||
\bigl(f_1(\vec{x}), …, f_n(\vec{x}) \bigr) ∈ A.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Die Menge $A$ ist die kleinste algebraische Menge, für die
|
||||
Eigenschaft~\ref{il:1.1.16.1} gilt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Affiner Raum und leere Menge]
|
||||
Der affine Raum ist rational parametrisierbar. Die leere Menge ist nicht
|
||||
rational parametrisierbar.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Graphen]
|
||||
Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}
|
||||
Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch
|
||||
$α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist
|
||||
nicht sehr algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon,
|
||||
dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$,
|
||||
dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
|
||||
Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den
|
||||
Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
|
||||
Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
|
||||
wir durch $t ↦ p_t$ eine Parametrisierung des Kreises durch rationale
|
||||
Funktionen erhalten, nämlich
|
||||
\[
|
||||
φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
|
||||
\]
|
||||
Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
|
||||
des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale
|
||||
Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?''). Überlegen Sie sich, dass
|
||||
$φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool
|
||||
genau, erinnern Sie sich: ein
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
|
||||
Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so
|
||||
dass $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas
|
||||
länger. Wikipedia schreibt:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/02-kreis.png}
|
||||
|
||||
\caption{Rationale Parametrisierung des Kreises}
|
||||
\label{fig:rpk}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
|
||||
in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
|
||||
Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische
|
||||
Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
|
||||
Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten
|
||||
ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
|
||||
demotischen Papyrus des 3.~Jahrhunderts v.~Chr.\ bekannt […]
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||||
\end{quote}
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||||
Beobachten Sie: ein Tripel $(a,b,c)$ ist genau dann pythagoreisch, wenn
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||||
$(\frac{a}{c}, \frac{b}{c})$ ein rationaler Punkt des Einheitskreises $E$ ist.
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||||
Also haben wir mit der rationalen Parametrisierung des Kreises alle
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||||
pythagoreischen Tripel bestimmt.
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||||
\end{bsp}
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\begin{bsp}[Elliptische Kurven]
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||||
Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
|
||||
algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist
|
||||
gut so. Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der
|
||||
Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
|
||||
Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
|
||||
\end{bsp}
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|
||||
\begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
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||||
Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
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vielleicht nicht sehr offensichtlich. Die Geometrie der 27 Geraden hilft
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unheimlich!
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\end{bsp}
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||||
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\begin{bsp}[Bézier-Kurven]
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||||
Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
|
||||
\end{bsp}
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||||
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||||
\section{Erste Fragen}
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||||
Die Frage nach der Parametrisierbarkeit ist schwer, und schon für sehr einfache
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||||
Gleichungen ist die Antwort oft unbekannt. Wir stellen in dieser Vorlesung
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||||
zunächst eine viel einfachere Frage: gegeben sei ein Körper $k$ und Polynome
|
||||
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Ist $V(f_1, …, f_m)$ dann leer oder nicht?
|
||||
|
||||
\item Falls Lösungen existieren: Wie viele gibt es?
|
||||
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||||
\item Falls nur endlich viele Lösungen existieren: Wie viele gibt es genau?
|
||||
|
||||
\item Bei unendlich vielen: Was ist die Geometrie von $V$?
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu
|
||||
illustrieren, erinnere ich an den berühmten
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
|
||||
von
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||||
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre
|
||||
de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
|
||||
heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein
|
||||
französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
|
||||
Formulierung von
|
||||
Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
|
||||
Wiles} KBE, FRS (* 11. April 1953 in Cambridge) ist ein britischer
|
||||
Mathematiker. Berühmt wurde er durch seinen Beweis der
|
||||
Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich
|
||||
der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
|
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\begin{quote}
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||||
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische
|
||||
Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den
|
||||
Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
|
||||
\end{quote}
|
||||
Kennen Sie das Buch
|
||||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
|
||||
Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei…
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
|
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Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel
|
||||
$(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung
|
||||
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
|
||||
Fermat's großer Satz lässt sich auch so ausdrücken: Gegeben sei eine
|
||||
natürliche Zahl $n > 2$. Dann hat die algebraische Menge
|
||||
\[
|
||||
A := \{ (x,y) ∈ ℚ² \::\: x^n+y^n=1 \}
|
||||
\]
|
||||
nur einige triviale Lösungen. Dazu beachte man, dass eine nicht-triviale
|
||||
ganzzahlige Lösung $(a,b,c)$ der Gleichung $x^n+y^n=z^n$ einen rationalen
|
||||
Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}) ∈ A$ liefert. Umgekehrt liefert ein
|
||||
rationaler Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{d}) ∈ A$ eine nicht-triviale,
|
||||
ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen
|
||||
nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der
|
||||
Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
|
||||
Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
|
||||
Faltings} (* 28. Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker
|
||||
und Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
|
||||
Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
|
||||
Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
|
||||
Joel Mordell} (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in
|
||||
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor
|
||||
allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
|
||||
arbeitete.}.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
|
||||
|
||||
Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
|
||||
algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
|
||||
algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet
|
||||
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge
|
||||
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
|
||||
Ideals.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Ideale]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
|
||||
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Das von den $f_•$ erzeugten Ideal
|
||||
ist die Teilmenge
|
||||
\[
|
||||
(f_1, …, f_n) = \bigl\{ a_1·f_1 + ⋯ a_n·f_n \::\: a_1, …, a_n ∈ k[x_1, …, x_m]
|
||||
\bigr\} ⊆ k[x_1, …, x_m].
|
||||
\]
|
||||
In der Algebraischen Geometrie ist statt $(f_1, …, f_n)$ auch die Notation
|
||||
$I(f_1, …, f_n)$ üblich.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
|
||||
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls
|
||||
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre
|
||||
nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
|
||||
\[
|
||||
1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
|
||||
\]
|
||||
und demnach wäre
|
||||
$1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$,
|
||||
Widerspruch!
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version''
|
||||
des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist,
|
||||
die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome
|
||||
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
|
||||
Lösung in $k^m$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:2-4-3-2} Es ist $1 \notin (f_1, …, f_n)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
|
||||
beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
|
||||
gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal
|
||||
$(f_1, …, f_n)$ liegt.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders
|
||||
formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal
|
||||
$(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
|
||||
Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich
|
||||
falsch ist.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,316 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Ganze Ringerweiterungen}
|
||||
|
||||
Eigentlich möchte ich jetzt sofort mit dem Beweis des Nullstellensatzes
|
||||
anfangen. Das geht aber nicht, weil ich erst ein paar langweilige Definitionen
|
||||
diskutieren muss. Alle Begriffe, die ich in diesem Kapitel einführe, sind
|
||||
Varianten von Dingen, die sie aus der Algebra-Vorlesung schon kennen (sollten).
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Ringe}
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|
||||
In der algebraischen Geometrie interessiert man sich eigentlich nur für
|
||||
Polynomringe und für daraus konstruierte Ringe, zum Beispiel Quotientenringe.
|
||||
All diese Ringe sind kommutativ und haben ein neutrales Element der
|
||||
Multiplikation.
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit
|
||||
1 gemeint. Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
|
||||
die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so
|
||||
nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Elementare Definitionen}
|
||||
|
||||
Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'':
|
||||
gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir
|
||||
$z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als
|
||||
Nullstelle hat. Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und
|
||||
erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''.
|
||||
|
||||
Das wollen wir auch für Ringe machen. Bei Ringerweiterungen muss man aber
|
||||
aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den
|
||||
Leitkoeffizienten teilt; der Leitkoeffizient muss nicht unbedingt eine Einheit
|
||||
sein. Die folgende Definition fordert daher die Existenz eines normierten
|
||||
Polynoms.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ganze Ringerweiterungen]
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element},
|
||||
falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die
|
||||
Gleichung $f(b) = 0$ gilt.
|
||||
|
||||
\item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen},
|
||||
wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
|
||||
gegeben. Definiere dann den Unterring
|
||||
\[
|
||||
A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R,
|
||||
\]
|
||||
wobei $א$ die Menge aller Unterringe von $B$ ist, die sowohl $A$ als auch $M$
|
||||
enthalten. Falls die Menge $M$ endlich ist, also etwa $M = \{b_1, …, b_n\}$,
|
||||
so schreibt man statt $A[M]$ auch $A[b_1, …, b_n]$. Man spricht von $A[M]$
|
||||
als \emph{$A$ adjungiert $M$}.\index{Ringadjunktion}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein
|
||||
Ring ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung ``Algebra''
|
||||
zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$
|
||||
enthält.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist,
|
||||
$M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man
|
||||
betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus
|
||||
\[
|
||||
φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n).
|
||||
\]
|
||||
Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass
|
||||
$A[M] = \Image φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der
|
||||
$b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder
|
||||
\emph{Syzygien}\index{Syzygien}. Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
|
||||
\emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Syzygien]
|
||||
Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine
|
||||
Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen
|
||||
($→$
|
||||
\href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001:
|
||||
A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und
|
||||
Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}. Vielleicht
|
||||
kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in
|
||||
einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in
|
||||
einer Reihe stehen''.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Syzygien]
|
||||
Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil
|
||||
von Ypsilonen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Endlich und endlicher Typ]
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Nenne $B$ \emph{von endlichem Typ über $A$}\index{endlich!Typ}, wenn
|
||||
eine endliche Teilmenge $\{b_1, …, b_n\} ⊆ B$ existiert, sodass
|
||||
\[
|
||||
B=A[b_1, …, b_n]
|
||||
\]
|
||||
ist. Man sagt in diesem Fall auch: $B$ ist eine \emph{endlich erzeugte
|
||||
$A$-Algebra}\index{endlich!erzeugte Algebra}.
|
||||
|
||||
\item Nenne $B$ \emph{endlich über $A$}\index{endlich!Ringerweiterung}, wenn
|
||||
eine endliche Teilmenge $\{b_1, …, b_n\} ⊆ B$ existiert, sodass jedes
|
||||
Element von $B$ als $A$-Linearkombination der $b_•$ geschrieben werden kann,
|
||||
\[
|
||||
B = \left\{ \sum_{i=1}^n a_i b_i \::\: a_1, …, a_n ∈ A \right\}.
|
||||
\]
|
||||
Man sagt in diesem Fall auch: $B$ ist ein \emph{endlich erzeugter
|
||||
$A$-Modul}\index{endlich!erzeugter Modul}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Endliche Erweiterungen sind vom endlichen Typ. Das folgende Beispiel zeigt,
|
||||
dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich]
|
||||
Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]$. Dann ist als $A$-Algebra
|
||||
durch das Element $x$ erzeugt. Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul,
|
||||
denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber
|
||||
$\dim_k B = ∞$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ]
|
||||
Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]/(x³)$. Dann ist $B$ als
|
||||
$A$-Algebra durch das Element $x$ erzeugt. Weiter ist $B$ als $A$-Modul durch
|
||||
die Elemente $1$, $x$ und $x²$ erzeugt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Charakterisierung von Ganzheit}
|
||||
|
||||
In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von
|
||||
Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert. Das geht
|
||||
mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben.
|
||||
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:3-2-9-1} Das Element $b$ ist ganz über $A$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
|
||||
|
||||
\item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
|
||||
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass
|
||||
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche
|
||||
Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
|
||||
Cramer} (* 31. Juli 1704 in Genf; † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
|
||||
Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare
|
||||
Algebra'' kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
|
||||
Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen. Man prüfe, dass der Beweis
|
||||
auch für Matrizen über Ringen gilt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine
|
||||
$(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix
|
||||
$Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
Δ^*·Δ = \det(Δ)· E
|
||||
\]
|
||||
gilt, wobei $E$ die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix ist. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
|
||||
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich
|
||||
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich
|
||||
bitte, diese Panne zu entschuldigen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus
|
||||
Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der
|
||||
Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt
|
||||
ist, dann ist die Erweiterung sie ganz.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es sei ein Element $b ∈ B$ gegeben. Wähle $M := B$ und wende die Implikation
|
||||
\ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die
|
||||
ganz über $A$ sind. Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz.
|
||||
\end{kor}
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||||
\begin{proof}
|
||||
Jedes der Elemente $b_i$ erfüllt eine Ganzheitsgleichung
|
||||
\[
|
||||
b_i^{d_i} +a_{i,d_i-1}·b_i^{d_i - 1} + ⋯ + a_{i,1}·b + a_{i, 0} = 0
|
||||
\]
|
||||
Aber dann ist $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul bereits durch die endliche Menge
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ b_1^{α_1}⋯ b_n^{α_n} \::\: 0 ≤ α_i ≤ d_i \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
erzeugt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra''
|
||||
kennen. Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur
|
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knapp wiedergegeben.
|
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\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}
|
||||
Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen. Dann ist auch die
|
||||
Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz.
|
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\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben. Nach Annahme erfüllt $c$ eine
|
||||
Ganzheitsgleichung über $B$,
|
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\[
|
||||
c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0
|
||||
\]
|
||||
Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$. Also ist
|
||||
$A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter
|
||||
$A$-Modul. Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem
|
||||
\[
|
||||
א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n].
|
||||
\]
|
||||
Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$. Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Wir
|
||||
wählen ein endliches Erzeugendensystem
|
||||
\[
|
||||
א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c].
|
||||
\]
|
||||
Dann ist aber
|
||||
\[
|
||||
א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c]
|
||||
\]
|
||||
ein endliches Erzeugendensystem von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A$-Modul. Nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:3-3-3} bedeutet das: $c$ ist ganz über $A$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der ganze Abschluss}
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||||
|
||||
Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der
|
||||
Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss
|
||||
eines Unterringes''.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}
|
||||
Es sei $A ⊆ B$. Die Menge
|
||||
\[
|
||||
\overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B
|
||||
\]
|
||||
wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss}
|
||||
genannt. Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung
|
||||
$A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
|
||||
Unterring von $B$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir müssen zeigen: gegeben $b_1, b_2 ∈ \overline{A}$, dann sind auch die
|
||||
Elemente $b_1+b_2$, $b_1-b_2$ und $b_1·b_2$ in $\overline{A}$. All diese
|
||||
Elemente liegen aber im Unterring $A[b_1,b_2]$ und dieser ist nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:3-3-4} ganz.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
|
||||
Unterring von $B$. Also können wir den ganzen Abschluss
|
||||
$\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten.
|
||||
Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die
|
||||
Transitivität der Ganzheit garantiert, dass
|
||||
$\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: ``Der ganze Abschluss
|
||||
von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.''
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Wir erinnern uns: ein Zahlkörper\index{Zahlkörper} ist eine algebraische
|
||||
Körpererweiterung $K/ℚ$. Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den
|
||||
\emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines
|
||||
Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des
|
||||
Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$.
|
||||
|
||||
\item Für $K = ℚ\bigl[\sqrt{5}\bigr]$ ist
|
||||
\[
|
||||
𝒪_K = ℤ\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right] ⊋ ℤ\Bigl[\sqrt{5}\Bigr].
|
||||
\]
|
||||
Wir beweisen diese Aussage hier nicht, sondern bemerken nur, dass
|
||||
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ eine Nullstelle von $x² - x - 1 ∈ ℤ[x]$ ist, und
|
||||
deshalb ganz über $ℤ$.
|
||||
|
||||
\item Der ganze Abschluss von $ℤ$ in $ℂ$ heißt \emph{Ring der ganzen
|
||||
algebraischen Zahlen}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
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||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
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%%% End:
|
||||
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|
@ -0,0 +1,285 @@
|
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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||||
\chapter{Transzendente Körpererweiterungen}
|
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||||
\section{Algebraische Unabhängigkeit}
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||||
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||||
Erinnern Sie sich: es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $b ∈ L$ ein
|
||||
Element. Dann heißt $b$ transzendent über $K$, wenn der Substitutionsmorphismus
|
||||
\[
|
||||
K[X] \rightarrow L, \quad f(x) ↦ f(b)
|
||||
\]
|
||||
injektiv ist. Wenn nicht, dann nenne $b$ algebraisch. Das geht auch mit mehr
|
||||
als einem Element.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$. Nenne
|
||||
die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige
|
||||
Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der
|
||||
Substitutionsmorphismus
|
||||
\[
|
||||
K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n)
|
||||
\]
|
||||
injektiv ist. Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch!
|
||||
Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als
|
||||
\emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente
|
||||
$b_1,…, b_n$ bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der
|
||||
algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen ``die
|
||||
Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und
|
||||
richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch
|
||||
unabhängig''. Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In der Literatur nennt man eine (vielleicht unendliche) Familie von Elementen,
|
||||
$(b_i)_{i ∈ I}$ algebraisch unabhängig, wenn der entsprechende
|
||||
Substitutionsmorphismus $K[(X_i)_{i ∈ I}] \rightarrow L$ injektiv ist. Ich
|
||||
habe keine Lust, Polynomringe in unendlich vielen Variablen zu diskutieren und
|
||||
beschränke mich auf den endlichen Fall.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für
|
||||
Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in
|
||||
Integritätsringen verwendet. Das kann man machen. Wir beobachten, dass der
|
||||
Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
|
||||
wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv
|
||||
ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Im Allgemeinen ist es sehr schwer, zu entscheiden, ob gegebene Elemente
|
||||
algebraisch unabhängig sind. So ist zum Beispiel unbekannt, ob $e, π ∈ ℂ$
|
||||
algebraisch unabhängig über $ℚ$ sind.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Transzendenzbasen}
|
||||
|
||||
Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit. Und
|
||||
genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die
|
||||
maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die
|
||||
Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Eine
|
||||
\emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine
|
||||
algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion
|
||||
ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit
|
||||
anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist
|
||||
algebraisch abhängig über $K$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der
|
||||
rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente
|
||||
$X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei
|
||||
$M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig
|
||||
über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$
|
||||
über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende
|
||||
Äquivalenzen fest.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
b \text{ ist algebraisch über } K(M) & \iff ∃ p ∈ K(b_1, …, b_n)[x] : p(b) = 0 \\
|
||||
& \iff ∃ \tilde{p} ∈ K[y_1, …, y_n, x] : \tilde{p}(b_1,…,b_n,b) = 0\\
|
||||
& \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann
|
||||
maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch
|
||||
über $K(M)$ ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus Lemma~\ref{lem:4-2-4}
|
||||
funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$. Aber ich bin zu faul.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz. Das
|
||||
geht auch hier.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Basisergänzung]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein
|
||||
Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$
|
||||
ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$
|
||||
ergänzen.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa
|
||||
$Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von
|
||||
Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen
|
||||
Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können. Die Annahme ``maximal groß'' impliziert,
|
||||
dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$
|
||||
algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
|
||||
Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Transzendenzgrad}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 4}Das Analogon zur Dimension eines Vektorraumes ist der
|
||||
Transzendenzgrad einer Körpererweiterung. Wir beginnen mit dem
|
||||
Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Basisaustauschlemma]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine
|
||||
endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei
|
||||
$\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{4-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Größe von Transzendenzbasen]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ$ eine Transzendenzbasis von
|
||||
$L$ über $K$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wenn $Γ$ unendlich viele Elemente hat, dann hat jede andere
|
||||
Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ebenfalls unendlich viele Elemente.
|
||||
|
||||
\item Wenn $Γ$ endlich ist, dann hat jede andere Transzendenzbasis von $L$
|
||||
über $K$ genau so viele Elemente wie $Γ$. \qed
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Transzendenzgrad]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann definiere den
|
||||
\emph{Transzendenzgrad von $L$ über $K$}\index{Transzendenzgrad} als
|
||||
\[
|
||||
\trdeg(L/K) =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
n &\text{falls $L/K$ eine endlich Transzendenzbasis mit $n$ Elementen besitzt}\\
|
||||
∞ &\text{sonst.}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Algebraische Körpererweiterungen]
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Es ist $\trdeg(L/K) = 0$ genau dann,
|
||||
wenn $L/K$ algebraisch ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
|
||||
Es sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen]
|
||||
Es ist $\trdeg(ℂ/ℚ) = ∞$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Algebraische Unabhängigkeit von $e$ und $π$]
|
||||
Es ist unbekannt, ob die Zahl $\trdeg(ℚ(e,π)/ℚ)$ gleich 1 oder gleich 2
|
||||
ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Hier ist etwas, das wir mit Körpern, aber nicht mit Vektorräumen machen können:
|
||||
Ketten bilden. Der Transzendenzgrad ist additiv in Ketten von
|
||||
Körpererweiterungen.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Transzendenzgrad in Ketten von Körpererweiterungen]
|
||||
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist
|
||||
$\trdeg(M/K) = \trdeg(L/K) + \trdeg(M/L)$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{4-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Rein transzendente Erweiterungen}
|
||||
|
||||
In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson
|
||||
bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''. Das kann man für
|
||||
transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das folgende
|
||||
Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt
|
||||
solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge
|
||||
$\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist
|
||||
tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
|
||||
|
||||
\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad
|
||||
1. Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in
|
||||
$ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
|
||||
Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung
|
||||
\[
|
||||
ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ.
|
||||
\]
|
||||
Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern
|
||||
$ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$
|
||||
transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
|
||||
Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung]
|
||||
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein
|
||||
transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über
|
||||
$K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen]
|
||||
Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis
|
||||
$B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus
|
||||
$L ≅ K(x_1, …, x_n)$. Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent
|
||||
über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}
|
||||
Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir
|
||||
eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von
|
||||
Körpererweiterungen betrachten,
|
||||
\[
|
||||
L ⊋ K(B) ⊊ K.
|
||||
\]
|
||||
Dann ist $K(B)/K$ rein transzendent und $L/K(B)$ ist algebraisch.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht
|
||||
kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für
|
||||
transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
|
||||
``Algebra'' gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der
|
||||
Wahl der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung
|
||||
$K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der
|
||||
Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben. Diese ist eindeutig.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung
|
||||
rein transzendent ist. Der berühmte
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von
|
||||
Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
|
||||
Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München)
|
||||
war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich
|
||||
ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen
|
||||
Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den
|
||||
Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Lüroth]
|
||||
Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen,
|
||||
\[
|
||||
ℂ ⊆ L ⊆ ℂ(X_1,…,X_n).
|
||||
\]
|
||||
Falls $\trdeg(L/ℂ) ∈ \{1,2\}$ ist, dann ist $L/ℂ$ rein transzendent.
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\qed
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||||
\end{satz}
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||||
Für $n ≥ 3$ wissen wir praktisch nichts.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,491 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der Nullstellensatz und die Korrespondenzen $V$ und $I$}
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In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner ``starken''
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Form bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten
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Korrespondenzen zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen
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Objekten.
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\section{Die körpertheoretische Version des Nullstellensatzes}
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Wir beginnen mit einer Version des Nullstellensatzes, die scheinbar noch gar
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nichts über Geometrie sagt, sondern lediglich ein weiteres Kriterium dafür gibt,
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dass gewisse Körpererweiterungen algebraisch sind. Bleiben Sie dabei und legen
|
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Sie nicht auf! Die geometrische Bedeutung des Satzes wird sofort im nächsten
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Abschnitten klar werden.
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\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn}
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Es sei $E/K$ eine Körpererweiterung, die als Ringerweiterung von endlichem Typ
|
||||
ist. Dann ist $E/K$ algebraisch.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{4-3}
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Die körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes zeigt unter
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anderem, dass man $K(X)$ nicht aus $K[X]$ erhalten kann, indem man endlich
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||||
viele Elemente per Ringadjunktion zu $K[X]$ hinzufügt – denn sonst wäre $K(X)$
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von endlichem Typ über $K$.
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\end{bemerkung}
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\section{Die schwache Version des Nullstellensatzes}
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\sideremark{Vorlesung 5}Mithilfe des körpertheoretischen Nullstellensatzes
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können wir jetzt sofort den schwachen Nullstellensatz beweisen. Später kommt
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auch noch ein starker Nullstellensatz. Der folgende Satz unterscheidet sich von
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der Vorabversion, die wir auf Seite~\vpageref{satz:shn} formuliert hatten, durch
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die Diskussion des algebraischen Abschlusses.
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\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$
|
||||
gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:5-2-1-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
|
||||
Lösung in $\overline{k}^m$.
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||||
|
||||
\item\label{il:5-2-1-2} Es ist $1 \notin (f_1, …, f_n) ⊆ k[x_1, …, x_m]$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
Bedingung~\ref{il:5-2-1-1} spricht über Lösungen im algebraischen Abschluss.
|
||||
Im Gegensatz dazu ist in Bedingung~\ref{il:5-2-1-2} mit $(f_1, …, f_n)$ das
|
||||
Ideal in $k[x_1, …, x_m]$ gemeint, und nicht etwa in das Ideal in
|
||||
$\overline{k}[x_1, …, x_m]$. Erstaunliche Erkenntnis: Wir können durch
|
||||
algebraische Überlegungen in $k$ entscheiden, ob es eine Lösung über
|
||||
$\overline{k}$ gibt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Für $k = \overline{k} = ℂ$ kann man den Nullstellensatz als eine weitreichende
|
||||
Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra sehen. Dieser besagt,
|
||||
dass ein nicht-konstantes Polynom $f ∈ ℂ[x]$ stets eine Nullstelle in $ℂ$ hat.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Wenn man $\overline{k}$ durch $k$ ersetzt, ist der Satz falsch. Ein Beispiel
|
||||
dafür ist $k = ℝ$ und $f_1 := x² + 1 ∈ ℝ[x]$. Das Polynom $f_1$ ist im Ring
|
||||
$ℝ[x]$ irreduzibel, sodass es $1 \notin (f_1)$ ist. Dennoch hat das Polynom
|
||||
in $ℝ$ keine Nullstellen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Der Nullstellensatz ist der Grund, warum man polynomiale Gleichungssysteme
|
||||
immer zunächst im Fall algebraisch abgeschlossener Körper studiert: dort ist
|
||||
diese Situation besonders einfach.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis, Richtung \ref{il:5-2-1-1}$⇒$\ref{il:5-2-1-2}]
|
||||
Den Beweis hatten wir eigentlich schon in Bemerkung~\vref{beob:2-4-2} geführt.
|
||||
Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es eine Lösung
|
||||
$\vec{x} ∈ \overline{k}^m$ und dass $1 ∈ (f_1, …, f_n)$ sei. Dann gibt es
|
||||
$a_• ∈ k[x_1, …, x_m]$ und eine Linearkombination
|
||||
\[
|
||||
1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n.
|
||||
\]
|
||||
Demnach müsste im Körper $\overline{k}$ die folgende Gleichung gelten und wir
|
||||
erhalten einen Widerspruch,
|
||||
\[
|
||||
1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0. \qedhere
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis, Richtung \ref{il:5-2-1-2}$⇒$\ref{il:5-2-1-1}]
|
||||
Das ist jetzt die interessante Richtung. Die Annahme~\ref{il:5-2-1-2} zeigt,
|
||||
dass das Ideal $(f_1, …, f_m)$ nicht der ganze Ring $k[x_1, …, x_n]$ ist.
|
||||
Deshalb können wir ein maximales Ideal wählen, das zwischen unserem Ideal und
|
||||
dem gesamten Ring liegt,
|
||||
\[
|
||||
(f_1, …, f_m) ⊆ m ⊊ k[x_1, …, x_n].
|
||||
\]
|
||||
Aus der Vorlesung ``Algebra'' wissen wir, dass der Quotient
|
||||
$E := k[x_1, …, x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra
|
||||
durch die Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der
|
||||
körpertheoretischen Version des Hilbertschen Nullstellensatzes,
|
||||
Satz~\vref{satz:kthn} ist die Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es
|
||||
gibt eine Einbettung
|
||||
\[
|
||||
φ: E ↪ \overline{k}.
|
||||
\]
|
||||
Jetzt betrachte den Vektor
|
||||
\[
|
||||
\vec{a} :=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
φ\bigl( [x_1] \bigr) \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
φ\bigl( [x_n] \bigr)
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ \overline{k}^m.
|
||||
\]
|
||||
Dann ist tautologischerweise: $f_1(\vec{a}) = ⋯ = f_m(\vec{a}) = 0$, denn es
|
||||
gilt für jeden Index $k$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f_k(\vec{a}) = f_k \Bigl(φ \bigl([x_1]\bigr), …, φ\bigl([x_n]\bigr) \Bigr) =
|
||||
φ\Bigl(f_k\bigl([x_1], …, [x_n]\bigr)\Bigr) = φ\bigl([f_k]\bigr),
|
||||
\]
|
||||
aber es ist ja $[f_k] = 0$ im Quotienten $E := \factor{k[x_1, …, x_m]}{m}$,
|
||||
denn nach Wahl des maximalen Ideals ist $f_k ∈ (f_1, …, f_m) ⊆ m$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Als erste Konsequenz des schwachen Nullstellensatzes erhalten eine völlig
|
||||
geometrische Beschreibung der maximalen Ideale eines Polynomrings – falls der
|
||||
zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist!
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Maximale Ideale im Polynomring]\label{cor:5-2-6}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien
|
||||
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es gilt genau dann $V(f_1, …, f_m) ≠ ∅$, wenn $1 \notin (f_1, …, f_m)$
|
||||
ist.
|
||||
|
||||
\item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente
|
||||
$a_1, …, a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt,
|
||||
\[
|
||||
m = (x_1-a_1, …, x_n-a_n).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von
|
||||
$k[x_1, …, x_n]$ und den Punkten in $k^n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{5-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and}
|
||||
Weil man polynomiale Gleichungssysteme sowieso immer erst einmal über dem
|
||||
algebraischen Abschluss eines Körpers zu studiert, verwenden manche Autoren
|
||||
folgende Konvention, die ein wenig von unserer Notation für algebraische
|
||||
Mengen, Notation~\vref{not:2-1-3} abweicht. Gegeben ein Körper $k$ mit
|
||||
algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome
|
||||
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der
|
||||
Lösungen des polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem
|
||||
Abschluss} mit
|
||||
\[
|
||||
X := V(f_1, …, f_n) := \left\{ \vec{a} ∈ \overline{k}^m \::\: f_1(\vec{a}) =
|
||||
⋯ = f_n(\vec{a}) = 0 \right\}
|
||||
\]
|
||||
und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, f_m$} oder die
|
||||
\emph{Lösungsmenge des Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}. Die
|
||||
Menge der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als
|
||||
\emph{Menge der $k$-rationalen Punkte von $X$}\index{rationale Punkte}
|
||||
bezeichnet. In diesem Zusammenhang nennt man $k$ auch den
|
||||
\emph{Koeffizientenkörper}\index{Koeffizientenkörper} oder den
|
||||
\emph{Definitionskörper}\index{Definitionskörper} von $X$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Ich werde die mögliche Verwirrung bezüglich der verschiedenen Definitionen von
|
||||
$V(f_1, …, f_n)$ nach Möglichkeit vermeiden, indem ich im Folgenden meist über
|
||||
algebraisch abgeschlossenen Körpern arbeite. Mit Sprachregelung aus
|
||||
Bemerkung~\ref{bem:and} lässt sich Fermat's großer Satz sehr elegant wie folgt
|
||||
formulieren.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
|
||||
Es sei $n ∈ ℕ$ eine ungerade Zahl, $n ≥ 3$. Dann hat die Lösungsmenge $X$ des
|
||||
Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also
|
||||
$\# X(ℚ) = 2$. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Die Verschwindungsmenge eines Ideals}
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||||
|
||||
Der Hilbertsche Nullstellensatz legt nahe, dass es bei einem algebraischen
|
||||
Gleichungssystems
|
||||
\[
|
||||
f_1( \vec{x} ) = ⋯ = f_n( \vec{x} ) = 0
|
||||
\]
|
||||
gar nicht so sehr auf die einzelnen Gleichungen ankommt, sondern vielmehr auf
|
||||
das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊆ k[x_1, …, x_m]$ ein Ideal. Dann heißt
|
||||
\[
|
||||
V(I) := \left\{ \vec{a} ∈ k^m \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } f ∈ I
|
||||
\right\}
|
||||
\]
|
||||
die \emph{Verschwindungsmenge}\index{Verschwindungsmenge} des Ideals $I$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Die Mengen $V(I)$ sind nicht beliebig. Ich erinnere dazu an den Hilbert'schen
|
||||
Basissatz: Der Polynomring $k[x_1, …, x_m]$ aus Definition~\ref{def:5-3-1} ist
|
||||
Noethersch und jedes Ideal ist daher endlich erzeugt. Das bedeutet: gegeben ein
|
||||
Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen
|
||||
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie
|
||||
sich jetzt \emph{sofort}, dass dann die Gleichheit
|
||||
\[
|
||||
V(I) = V(f_1, …, f_m)
|
||||
\]
|
||||
gilt. Es folgt insbesondere, dass die Menge $V(I)$, die ja a priori erst einmal
|
||||
als gemeinsame Nullstellenmenge der \emph{unendliche vielen} Gleichungen aus $I$
|
||||
definiert wurde, bereits durch \emph{endlich viele} Gleichungen beschrieben
|
||||
werden kann. Insbesondere $V(I)$ eine algebraische Menge im Sinne von
|
||||
Definition~\vref{def:2-1-1}. Wir erhalten also eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
V: \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} \rightarrow \left\{
|
||||
\: \text{algebraische Mengen in } k^m \: \right\}, \quad I ↦ V(I)
|
||||
\]
|
||||
die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten
|
||||
Eigenschaften der Abbildung $V$ zusammen.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $R := k[x_1, …, x_n]$. Dann gelten die folgenden
|
||||
Aussagen.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es ist $V\bigl( (0) \bigr) = k^n$ und $V\bigl( (1) \bigr) = ∅$.
|
||||
|
||||
\item Gegeben Ideale $I ⊆ J$ in $R$, dann ist $V(I) ⊇ V(J)$.
|
||||
|
||||
\item Gegeben Ideale $I_1$ und $I_2$ in $R$, dann ist
|
||||
$V(I_1 ∩ I_2) = V(I_1· I_2) = V(I_1) ∪ V(I_2)$.
|
||||
|
||||
\item Gegeben Ideale $(I_λ)_{λ ∈ Λ}$ in $R$, dann ist
|
||||
\[
|
||||
V \Bigl(\sum_{λ ∈ Λ} I_{λ} \Bigr) = \bigcap_{λ ∈ Λ} V(I_{λ}).
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{5-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Die Zariski-Topologie}
|
||||
\label{sec:5-4}
|
||||
|
||||
Satz~\vref{satz:5-3-2} ist leicht zu beweisen, hat aber eine frappante
|
||||
Konsequenz: die algebraischen Mengen von $k^n$ genügen den Axiomen für
|
||||
abgeschlossene Mengen eines topologischen Raumes. Egal wie schrecklich der
|
||||
Körper $k$ ist, erhalten wir also eine Topologie auf $k^m$, deren
|
||||
abgeschlossenen Menge genau die algebraischen Mengen sind. Diese Topologie wird
|
||||
Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar
|
||||
Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn,
|
||||
Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein
|
||||
US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der
|
||||
algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Zariski-Topologie]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Die Topologie
|
||||
\[
|
||||
τ := \left\{ M ⊆ k^m \::\: k^m ∖ M \text{ ist algebraisch}\: \right\} ⊂
|
||||
\mathcal{P}(k^m)
|
||||
\]
|
||||
wird als \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} bezeichnet. Der
|
||||
topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn
|
||||
$X ⊂ k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$
|
||||
induzierte Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
Im Fall $k = ℝ$ oder $ℂ$ haben wir also mindestens zwei interessante
|
||||
Topologien: die klassische Euklidische Topologie, die Sie aus der Vorlesung
|
||||
``Analysis'' kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu
|
||||
vermeiden, sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen}
|
||||
und \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und
|
||||
\emph{Euklidisch-offenen} Mengen.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5}
|
||||
Die Zariski-Topologie hat einige sehr ungewohnte Eigenschaften.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann liegt jede
|
||||
nicht-leere Zariski-offene Menge dicht in $𝔸^n_K$.
|
||||
|
||||
\item Es gilt im Allgemeinen nicht, dass je zwei Punkte im $𝔸^n_k$ disjunkte
|
||||
offene Mengen besitzen. Die Zariski-Topologie ist also nicht Hausdorffsch.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Der einfachste Raum ist vermutlich die affine Gerade $𝔸¹_ℂ$. Überlegen Sie
|
||||
sich, was die Zariski-abgeschlossenen Mengen von $𝔸¹_ℂ$ sind und stellen Sie
|
||||
fest, dass beide Punkte aus Bemerkung~\ref{bem:5-3-5} bereits für diesen Raum
|
||||
zutreffen!
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Zariski-Topologie und Euklidische Topologie]
|
||||
Im Fall $k = ℂ$ oder $k = ℝ$ sind Zariski-offene Mengen von $ℂ^n$ oder $ℝ^n$
|
||||
auch offen bezüglich der Euklidischen Topologie. Das liegt daran, dass
|
||||
Polynome stetige Funktionen sind. In diesen Fällen sind Zariski-offene Mengen
|
||||
auch bezüglich der Euklidischen Topologie dicht.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Das Ideal einer Menge}
|
||||
|
||||
Im letzten Abschnitt hatten wir einem Ideal eine algebraische Menge zugeordnet.
|
||||
Jetzt betrachten wir die andere Richtung und weisen einer Menge ein Ideal zu.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ideal einer Menge]\label{def:5-4-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊆ 𝔸^m_k$ eine Teilmenge, die nicht
|
||||
unbedingt algebraisch sein muss. Wir beobachten, dass
|
||||
\[
|
||||
I(A) = \bigl\{ f ∈ k[x_1, …, x_n] \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } a ∈
|
||||
A \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
ein Ideal im Ring $k[x_1, …, x_n]$ und nennen $I(A)$ das
|
||||
\emph{Verschwindungsideal der Menge $A$}\index{Verschwindungsideal} oder das
|
||||
\emph{Ideal der auf $A$ verschwindenden Polynome}\index{Ideal einer Menge}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Definition~\ref{def:5-4-1} liefert uns eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
I: \left\{ \: \text{Mengen in } k^m \: \right\} \rightarrow \left\{ \:
|
||||
\text{Ideale in } k[x_1, …, x_m] \: \right\} , \quad A ↦ I(A)
|
||||
\]
|
||||
die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten
|
||||
Eigenschaften dieser Abbildung zusammen.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $I$]\label{satz:5-4-2}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien $A, B ⊆ 𝔸^m_k$ zwei Teilmengen. Dann gilt
|
||||
Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Aus $A ⊆ B$ folgt $I(A) ⊇ I(B)$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau dann, wenn
|
||||
$A$ eine algebraische Menge ist.
|
||||
|
||||
\item Es ist $I(A ∪ B) = I(A) ∩ I(B)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{5-3}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Überlegen Sie sich, dass man Punkt~\ref{il:5-4-2-2} von Satz~\ref{satz:5-4-2}
|
||||
auch sehr elegant auf folgende Weise ausdrücken kann: Die Menge
|
||||
$V\bigl(I(A)\bigr)$ ist der topologische Abschluss von $A$ bezüglich der
|
||||
Zariski-Topologie. Knapp gesagt:
|
||||
\[
|
||||
V\bigl(I(A)\bigr) = \overline{A}^Z,
|
||||
\]
|
||||
wobei $\overline{•}^Z$ für ``topologischer Abschluss in der
|
||||
Zariski-Topologie'' steht.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\section{Der starke Nullstellensatz}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 6}Gegeben einen Körper $k$ und eine Zahl $n$, dann hatten
|
||||
wir in den letzten Abschnitten die folgenden Abbildungen definiert,
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V: \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\}, & I & ↦ V(I) \\
|
||||
I: \left\{ \: \text{Mengen in } k^n \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_m] \: \right\} & A & ↦ I(A),
|
||||
\end{align*}
|
||||
die uns beide sehr viel Freude machen. Es schaut ein wenig so aus, als wären
|
||||
die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen. Das ist aus
|
||||
mindestens zwei Gründen nicht der Fall.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1}
|
||||
Die Bilder der Abbildung $V$ sind algebraische Mengen, während die Abbildung
|
||||
$I$ beliebige Mengen als Input nimmt.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2}
|
||||
Die Abbildung $I$ ist nicht injektiv. Nehme zum Beispiel $k = ℂ$ und
|
||||
betrachte das Ideal $I = (x) ⊊ ℂ[x]$. Dann ist $I² = (x²) ⊊ (x) = I$, aber
|
||||
$V(I²) = V(I)$ ist jeweils einfach der Nullpunkt in $ℂ$. Beobachten Sie, dass
|
||||
derselbe Trick mit so ziemlichen jedem Ideal in so ziemlich jedem Polynomring
|
||||
funktioniert.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Das Problem aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} lässt sich leicht beheben, indem man
|
||||
die Abbildung $I$ einfach auf die algebraischen Mengen einschränkt. Das Problem
|
||||
aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} ist interessanter. Ist alle Hoffnung auf
|
||||
Bijektivität verloren? Wahrscheinlich nicht. Schauen Sie sich die Definition
|
||||
der Abbildung $I$ noch einmal an und beobachten Sie, dass das Ideal $(x²)$
|
||||
niemals Output von $I$ ist! Offenbar liefert die Abbildung $I$ also Output nur
|
||||
solche Ideal, die ``nicht Potenz eines größeren Ideals'' sind. Die folgende
|
||||
Definition macht diese Aussage präzise.
|
||||
|
||||
\begin{satzdef}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Dann ist die Menge
|
||||
\[
|
||||
\rad J := \left\{ f ∈ R \::\: ∃ n ∈ ℕ: f^n ∈ J \right\}
|
||||
\]
|
||||
wieder ein Ideal in $R$, genannt \emph{Radikalideal von
|
||||
$J$}\index{Radikalideal}.
|
||||
\end{satzdef}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{6-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Das Radikalideal von $J$
|
||||
wird in der Literatur statt mit $\rad J$ oft suggestiv mit $\sqrt{J}$
|
||||
bezeichnet. Falls die Gleichheit $J = \rad J$ gilt, so nennt man $J$ ein
|
||||
\emph{Radikalideal des Ringes $R$}\index{Radikalideal}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Aus der Definition des
|
||||
Radikalideals ergibt sich schnell: $\rad \rad J = \rad J$. Mehrfaches
|
||||
``Wurzelziehen'' bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen
|
||||
können. Die Idee, Radikale bei der Wurzel zu ziehen, war 1972 Gegenstand des
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Radikalenerlass}{Radikalenerlasses}.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Primideale sind radikal]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Primideal. Dann ist $J$ ein
|
||||
Radikalideal. Falls nämlich $f ∈ R$ ein Element wäre, sodass $f² ∈ J$ ist,
|
||||
dann gilt nach Definition von ``Primideal'', dass auch $f ∈ J$ sein muss.
|
||||
Induktiv beweise man nun, dass für jede natürliche Zahl $n$ und jedes Element
|
||||
$f ∈ R$ aus $f^n ∈ J$ immer sofort $f ∈ J$ folgt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Maximale Ideale sind radikal]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊊ R$ ein maximales Primideal. Dann ist $J$
|
||||
ein Radikalideal, denn mit $1 \notin J$ folgt auch $1 \notin \rad J$, und wir
|
||||
haben Inklusionen
|
||||
\[
|
||||
J ⊆ \rad J ⊊ R.
|
||||
\]
|
||||
Wegen der Maximalitätsannahme muss die erste Inklusion aber eine Gleichheit
|
||||
sein.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Erhalten wir jetzt also eine Bijektion, wenn wir zusätzlich noch die Abbildung
|
||||
$V$ aus Radikalideale einschränken? Falls $k$ algebraisch abgeschlossenen, gibt
|
||||
der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
||||
$J ⊆ k[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
I\bigl(V(J) \bigr) = \rad J.
|
||||
\]
|
||||
Falls $J$ ein Radikalideal ist, gilt insbesondere die Gleichung
|
||||
$V\bigl(I(J)\bigr) = J$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{6-2} zeigt den Beweis mithilfe des genialen
|
||||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Rabinowitsch_trick}{Tricks von
|
||||
Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George
|
||||
Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa;
|
||||
† 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer
|
||||
Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit
|
||||
in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Ich fasse das Ergebnis dieses Kapitels noch einmal zusammen: Angenommen, es sei
|
||||
$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann
|
||||
liefern die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen zwischen
|
||||
algebraischen und geometrischen Objekten:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V: \left\{ \: \text{Radikalideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\}, & I & ↦ V(I) \\
|
||||
I: \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{Radikalideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & A & ↦ I(A).
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Rechnen Sie dies noch einmal im Detail nach!
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,271 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Irreduzible Mengen und Durchschnitte von Primidealen}
|
||||
|
||||
Für algebraisch abgeschlossene Körper hatten wir im letzten Abschnitt mithilfe
|
||||
der Abbildungen $V$ und $I$ eine Bijektion
|
||||
\[
|
||||
\lbrace \text{algebraische Mengen} \rbrace \leftrightarrow \lbrace
|
||||
\text{Radikalideale} \rbrace
|
||||
\]
|
||||
konstruiert. Ich hatte schon erwähnt, dass es sich hier um mehr als eine
|
||||
Bijektion handelt, sondern um eine Äquivalenz von Kategorien. Es gibt also eine
|
||||
vollständige Entsprechung zwischen den Objekten der geometrisch-anschaulichen
|
||||
und den Objekten der algebraisch-abstrakten Seite dieser Äquivalenz. Ebenso hat
|
||||
jeder Satz der kommutativen Algebra eine entsprechende Formulierung als Satz der
|
||||
Geometrie. Ich möchte in dieser Vorlesung aber nicht die theoretische Seite
|
||||
dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug umd Zug ein ganz konkretes ``Wörterbuch
|
||||
Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Korollar~\ref{cor:5-2-6} liefert den ersten Eintrag. Das Korollar zeigt
|
||||
nämlich, dass die Punkte des affinen Raumes $𝔸^•_k$ unter den Korrespondenzen
|
||||
$V$ und $I$ genau den maximalen Idealen des Polynomringes $k[x_1, …, x_•]$
|
||||
entsprechen. Wir halten fest:
|
||||
\[
|
||||
\{ \text{Punkte} \} \leftrightarrow \{ \text{maximale Ideale} \}
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Reduzible und irreduzible Mengen}
|
||||
|
||||
Den zweiten Eintrag in unserem Wörterbuch hatte ich in Beispiel~\ref{bsp:2-1-8}
|
||||
vorbereitet. Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer
|
||||
``Komponente'' (nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende
|
||||
Ideal $(x·y) ⊊ k[x,y]$ kein Primideal ist. Das mathematisch korrekte Wort für
|
||||
``besteht aus mehr als einer Komponente'' heißt ``reduzibel''.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Reduzible und irreduzible Mengen]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
|
||||
und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge. Wenn es eine Darstellung
|
||||
$A = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung:
|
||||
Eine Teilmenge $B ⊆ A$ heißt ``echt'', wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.}
|
||||
algebraischen Teilmengen gibt, dann nenne $A$
|
||||
\emph{reduzibel}\index{reduzibel}. Ansonsten nenne $A$
|
||||
\emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ ist reduzibel, weil es die echte Vereinigung der
|
||||
algebraischen Teilmengen ``$x$-Achse'' und ``$y$-Achse'' ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff ``reduzibel'' sehr anschaulich
|
||||
ist. Ich hatte oben schon angedeutet: Die algebraische Entsprechung von
|
||||
``irreduzibler algebraischer Menge'' ist ``Primideal''.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Irreduzible Mengen und Primideale]\label{satz:6-1-3}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
|
||||
und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge. Dann gilt: Die algebraische
|
||||
Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(X) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
|
||||
Primideal ist.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}[Beweis der Implikation ``irreduzibel $⇒$ Primideal'']
|
||||
\video{6-3}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{proof}[Beweis der Implikation ``Primideal $⇒$ irreduzibel'']
|
||||
\video{6-4}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Satz~\ref{satz:6-1-3} fügt unserem Wörterbuch einen zweiten Eintrag hinzu:
|
||||
\[
|
||||
\{ \text{irreduzible Mengen}\} \leftrightarrow \{\text{Primideale}\}.
|
||||
\]
|
||||
Der Satz kann uns auch dabei helfen, die Irreduzibilität einer algebraischen
|
||||
Menge zu beweisen.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die Normalparabel ist irreduzibel]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper; wir betrachten das Polynom
|
||||
$y-x² ∈ k[x,y]$. Das Ideal $(y-x²)$ ist prim, weil der Quotientenring
|
||||
$k[X,Y]/(y-x²)$ isomorph zu $k[x]$ ist\footnote{Betrachten Sie die Abbildung
|
||||
$k[x] → k[x,y] → k[x,y]/(y-x²)$} und deshalb insbesondere nullteilerfrei.
|
||||
Aus Satz~\ref{satz:6-1-3} folgt dann, dass die Normalparabel
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x²=y \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
eine irreduzible algebraische Menge ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Bei Mengen, die ich zeichnen oder mir zumindest vorstellen kann, ist die Frage
|
||||
nach der Irreduzibilität meist sofort ``durch Draufschauen'' zu beantworten.
|
||||
Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von
|
||||
hoher Dimension) schaut man dumm. Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker
|
||||
sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Zerlegung in irreduzible Komponenten}
|
||||
|
||||
Anschaulich ist völlig klar, dass sich jede algebraische Menge auf eindeutige
|
||||
Weise als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt: Das
|
||||
Achsenkreuz besteht aus der $x$-Achse und der $y$-Achse. Wir werden dies im
|
||||
Folgenden kurz beweisen.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Algebraische Bedeutung der Zerlegung}
|
||||
|
||||
Wenn ich kurz einmal glaube, dass jede algebraische Menge auf eindeutige Weise
|
||||
als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt, dann muss dem auf
|
||||
der algebraischen Seite eine Aussage gegenüberstehen, die sagt, dass jedes
|
||||
Radikalideal eindeutig durch Primideale dargestellt werden kann --wobei wir uns
|
||||
jetzt erst noch überlegen müssen, was ``darstellen'' in diesem Kontext
|
||||
eigentlich bedeuten soll.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:6-2-1}
|
||||
Gegeben eine algebraische Menge $X$, die ich als Vereinigung von endliche
|
||||
vielen irreduziblen algebraischen Mengen schreiben kann, $X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_a$.
|
||||
Wir betrachten das Radikalideal $I := I(X)$ und die Primideale
|
||||
$I_• := I(X_•)$. Satz~\vref{satz:5-3-2} gibt uns in dieser Situation die
|
||||
Gleichungen
|
||||
\begin{equation}\label{eq:6-2-1-1}
|
||||
V(I) = V( I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a ).
|
||||
\end{equation}
|
||||
Ich beobachte, dass der Durchschnitt $I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a$ selbst ein Radikalideal
|
||||
ist. Das ist cool, denn ich erinnere mich daran, dass die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
V : \{ \text{Radikalideale} \} → \{ \text{algebraische Mengen} \}
|
||||
\]
|
||||
bijektiv, also insbesondere injektiv ist. Wir erhalten also eine Gleichheit
|
||||
von Idealen,
|
||||
\[
|
||||
I = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a.
|
||||
\]
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Ich fasse den Inhalt von Beobachtung~\ref{beo:6-2-1} noch einmal informell
|
||||
zusammen: Die geometrische Aussage ``$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
|
||||
Mengen geschrieben werden'' ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
|
||||
Aussage ``$I$ ist Durchschnitt von Primidealen''. Die folgende Proposition
|
||||
formuliert den Sachverhalt noch einmal präzise und fügt unserem Wörterbuch eine
|
||||
besonders interessante Zeile hinzu.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Algebraische Bedeutung der Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{prop:ziic}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine
|
||||
Zahl. Dann sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Jede algebraische Teilmenge des $𝔸^n_k$ kann auf eindeutige Weise als
|
||||
echte Vereinigung von irreduziblen algebraischen Mengen geschrieben werden.
|
||||
|
||||
\item Jedes Radikalideal im Ring $k[x_1, …, x_n]$ kann auf eindeutige Weise
|
||||
als echter Durchschnitt von Primidealen geschrieben werden. \qed
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
Wenn Sie sich bei Proposition~\ref{prop:ziic} an die Aussage erinnert fühlen,
|
||||
dass jede Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben
|
||||
werden kann, liegen Sie natürlich völlig richtig.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegungen}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 7}Um den Abschnitt abzuschließen, muss ich noch zeigen,
|
||||
dass eine Zerlegung tatsächlich existiert.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{satz:6-2-3}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es $X ⊆ 𝔸_k^n$ eine
|
||||
algebraische Teilmenge. Dann existiert eine Darstellung von $X$ als
|
||||
Vereinigung von irreduziblen algebraischen Teilmengen,
|
||||
\[
|
||||
X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r
|
||||
\]
|
||||
wobei zusätzlich für alle Indizes $i ≠ j$ die Bedingung $X_i ⊄ X_j$ gilt. Die
|
||||
Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Irreduzible Komponenten einer algebraischen Menge]
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} werden die $X_•$ als die
|
||||
\emph{irreduziblen Komponenten von $X$}\index{irreduzible Komponente einer
|
||||
algebraischen Menge} bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3} kommt gleich. Zuerst benötige ich noch
|
||||
einige Vorüberlegungen.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Existenz minimaler Mengen]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
|
||||
und es sei
|
||||
\[
|
||||
X ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
|
||||
\]
|
||||
eine nicht-leere Menge von algebraischen Mengen des $𝔸^n_k$. Dann besitzt $X$
|
||||
ein Element, das minimales bezüglich Inklusion minimal ist.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach dem \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Lemma von
|
||||
Zorn}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max
|
||||
August Zorn} (* 6. Juni 1906 in Krefeld; † 9. März 1993 in Bloomington,
|
||||
Indiana, USA) war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher
|
||||
Abstammung.} genügt es zu zeigen, dass jede absteigende Kette
|
||||
\[
|
||||
X_1 ⊇ X_2 ⊇ ⋯
|
||||
\]
|
||||
von algebraischen Mengen stationär wird. Mit anderen Worten:
|
||||
\[
|
||||
∃ m ∈ ℕ: X_m = X_{m+1} = X_{m+2} = ⋯
|
||||
\]
|
||||
gilt. Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(X_1) ⊆ I(X_2) ⊆ ⋯$.
|
||||
Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär.
|
||||
Mit anderen Worten:
|
||||
\[
|
||||
∃ m ∈ ℕ: I(X_m) = I(X_{m+1}) = I(X_{m+2}) = ⋯.
|
||||
\]
|
||||
Weil die Abbildungen $I$ und $V$ bijektiv sind, folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine Darstellung von $X$ als Vereinigung von
|
||||
endlich vielen irreduziblen algebraischen Mengen. Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein
|
||||
Primideal. Dann gibt es einen Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es für jeden Index $i$
|
||||
ein Element $f_i ∈ I(X_i)∖p$ gibt. Dann gilt für das Produkt dieser Elemente
|
||||
die Inklusion
|
||||
\[
|
||||
f_1 ⋯ f_r ∈ \bigcap_{i = 1}^r I(X_i) = I(X) ⊆ p.
|
||||
\]
|
||||
Kurz: das Produkt der Elemente $f_•$ (die alle nicht in $p$ liegen), liegt in
|
||||
$p$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $p$ ein Primideal ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Existenz von Zerlegungen]
|
||||
\video{7-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Eindeutigkeit von Zerlegungen]
|
||||
\video{7-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wenn Sie sich den Beweis für die Existenz von Zerlegungen anschauen, werden Sie
|
||||
sehen: der tiefere Grund für die Existenz ist der
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Basissatz}{Hilbertsche
|
||||
Basissatz}, nach dem der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist. Diese
|
||||
Interpretation der Noether-Eigenschaft ist vielleicht wieder einen Eintrag in
|
||||
unser Wörterbuch wert. Tabelle~\ref{tab:6-1} fasst die Ergebnisse dieses
|
||||
Kapitels zusammen.
|
||||
|
||||
\begin{table}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
|
||||
\rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
|
||||
Radikalideale & algebraische Mengen \\
|
||||
maximale Ideale & Punkte \\
|
||||
Primideale & irreduzible Mengen \\
|
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Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten \\
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Noether-Eigenschaft des Polynomrings & Existenz von Zerlegungen
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\end{tabular}
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\caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des affinen Raums}
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\label{tab:6-1}
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\end{table}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,440 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der affine Koordinatenring}
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\section{Koordinatenringe}
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\label{sec:7-1}
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Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen. Vorher möchte
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ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen
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geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht,
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betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender
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algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_{ℂ}$. Dann kann man den Restklassenring
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$ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren:
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\begin{itemize}
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\item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings
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$\cC⁰(𝔸^n_{ℂ})$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen.
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\item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen
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komplexwertigen Funktionen.
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\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung
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$\cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) → \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2.2cm]
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||||
ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X).
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\end{tikzcd}
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\]
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Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$.
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\end{itemize}
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Die wesentliche Beobachtung ist, dass die Gleichheit $J = \ker(\varphi)$ gilt.
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Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring
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\[
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\factor{ℂ[x_1, …, x_n]}{J} ≅ \img φ ⊆ \cC⁰(X)
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\]
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also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen
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Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen
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$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinationenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die
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folgende Definition.
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\begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n$ eine Zahl und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
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algebraische Menge. Dann wird der Quotientenring
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\[
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\factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)}
|
||||
\]
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als der \emph{affine Koordinatenring von $X$}\index{affiner Koordinatenring}
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bezeichnet. Für diesen Ring ist die Schreibweise $k[X]$ üblich.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Situation wie in Definition~\ref{def:7-0-1}. Beachten Sie, dass der affine
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Koordinatenring $k[X]$ in natürlicher Weise die Struktur einer $k$-Algebra
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trägt. Das wird noch wichtig werden.
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\end{bemerkung}
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||||
Ich frage in diesem kurzen Kapitel nach der geometrischen Bedeutung des affinen
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Koordinatenringes. Nach Satz~\vref{satz:6-1-3} können wir jetzt schon sagen,
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dass eine algebraische Menge $X$ genau dann irreduzibel ist, wenn der affine
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Koordinatenring nullteilerfrei ist.
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\begin{aufgabe}
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||||
Betrachten Sie noch einmal das Achsenkreuz, unser zentrales Beispiel für eine
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reduzible algebraische Menge. Vollziehen Sie an diesem Beispiel noch einmal
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nach, dass der affine Koordinatenring tatsächlich Nullteiler hat und finden
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Sie Nullteiler, die in direkter Beziehung zur Zerlegung des Achsenkreuzes
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stehen.
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\end{aufgabe}
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\section{Morphismen}
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Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die
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man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische
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Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal
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sagen, was ein ``Morphismus von algebraischen Mengen'' eigentlich sein soll.
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||||
Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
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||||
\begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen]
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||||
Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
|
||||
Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf
|
||||
dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ heißt
|
||||
\emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder
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||||
\emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen
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||||
Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für
|
||||
jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f(\vec{x}) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
f_1(\vec{x}) \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
f_m(\vec{x})
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
gilt.
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||||
\end{defn}
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||||
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\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2}
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||||
Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung
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\[
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||||
f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³)
|
||||
\]
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||||
liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge
|
||||
$V \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$.
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||||
\end{bsp}
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||||
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||||
\begin{bsp}\label{bsp:7-1-3}
|
||||
Die polynomiale Abbildung
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||||
\[
|
||||
f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³)
|
||||
\]
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||||
liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge
|
||||
$V \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Die Bildmenge $V \bigl(y²-x³ \bigr)$ heißt
|
||||
``Neilsche Parabel''. Zeichnen Sie ein reelles Bild dieser Menge. Finden Sie
|
||||
heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu einer ganz besonderen Kurve
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macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte Originalausgabe des Romans ``Moby
|
||||
Dick'' und finden Sie die Stelle, an der die Neilsche Parabel eine Rolle
|
||||
spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine Rolle.
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\end{bsp}
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|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:7-1-4}
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||||
Die polynomiale Abbildung
|
||||
\[
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||||
f : 𝔸²_ℂ → 𝔸³_ℂ, \quad (x,y) ↦ (x², x·y, y²)
|
||||
\]
|
||||
liefert einen Morphismus von $𝔸²_ℂ$ in die algebraische Menge
|
||||
$V \bigl(ac-b² \bigr) ⊆ 𝔸³_ℂ$. Was macht diese Abbildung geometrisch?
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Isomorphismen]
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||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei
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||||
algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen
|
||||
\emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen
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||||
$f:V → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In
|
||||
diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$
|
||||
\emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}.
|
||||
\end{defn}
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||||
\begin{bsp}
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||||
Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-2} ein
|
||||
Isomorphismus ist. Der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-4} ist nicht
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injektiv, also garantiert kein Isomorphismus.
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||||
\end{bsp}
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||||
\begin{aufgabe}
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||||
Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-3} zwar bijektiv,
|
||||
aber dennoch kein Isomorphismus ist! Wir lernen, dass bijektive Morphismen
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von algebraischen Mengen keine Isomorphismen sein müssen. Das war bei
|
||||
Vektorraummorphismen noch ganz anders.
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\end{aufgabe}
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\section{Morphismen von Koordinatenringen und von algebraischen Mengen}
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\label{sec:7-3}
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Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise
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zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
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\begin{situation}\label{sit:7-2-1}
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||||
Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
|
||||
Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf
|
||||
dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit
|
||||
$y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann
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||||
\[
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||||
k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} %
|
||||
\quad\text{und}\quad %
|
||||
k[Y] = \factor{k[y_1, …, y_m]}{I(Y)}.
|
||||
\]
|
||||
\end{situation}
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\subsection{Von Morphismen zwischen Mengen zu Morphismen der Koordinatenringe}
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\label{sec:7-2-1}
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In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen
|
||||
Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome
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||||
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f(\vec{x}) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
f_1(\vec{x}) \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
f_m(\vec{x})
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
gilt. Wir definieren damit die folgende ``Rückzugsabbildung''
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
|
||||
&& g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr).
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Wir beobachten, dass es sich bei $φ^*$ nicht nur um einen Ringmorphismus,
|
||||
sondern sogar um einen Morphismus von $k$-Algebren handelt. Die Abbildung $f$
|
||||
bildet die Menge $X$ in die Menge $Y$ ab. Wenn ein Polynom $g ∈ k[y_1, …, y_m]$
|
||||
auf der Menge $Y$ verschwindet, also $g ∈ I(Y)$, dann verschwindet die Funktion
|
||||
$φ^*(g) ∈ k[x_1, …, x_n]$ dann logischerweise auf der Menge $X$; es gilt also
|
||||
$φ^*(g) ∈ I(X)$. Als Konsequenz sehen wir, dass die Abbildung $φ^*$ einen
|
||||
wohldefinierten $k$-Algebramorphismus zwischen den affinen Koordinatenringen
|
||||
liefert, den man typischerweise mit
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||||
\[
|
||||
f^* : K[Y] → K[X]
|
||||
\]
|
||||
bezeichnet.
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
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||||
In dieser Konstruktion mussten wir Polynome $f_1, …, f_n$ wählen, die durch
|
||||
unsere Annahmen nicht eindeutig festgelegt sind. Zeigen Sie an einem
|
||||
Beispiel, dass die Abbildung $φ^*$ in nicht-trivialer Weise von der Wahl der
|
||||
$f_•$ abhängt. Beweisen Sie im Gegensatz dazu, dass der $k$-Algebramorphismus
|
||||
$f^*$ unabhängig von der Wahl der $f_•$ ist.
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||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
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||||
\subsection{Von Morphismen der Koordinatenringe zu Morphismen zwischen Mengen}
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||||
\label{sec:7-2-2}
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In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein $k$-Algebramorphismus $f^* : k[Y] → k[X]$
|
||||
der affinen Koordinatenringe gegeben. Für jeden Index $1 ≤ i ≤ m$ wählen wir
|
||||
dann ein Polynom $f_i ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass die Restklasse $[f_i] ∈ k[X]$
|
||||
exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:7-2-2-1}
|
||||
f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i].
|
||||
\end{equation}
|
||||
Als Nächstes definieren wir eine ``Rückzugsabbildung'',
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
|
||||
&& g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr),
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
die uns bekannt vorkommt. Offenbar gilt für jeden Index $i$ die Gleichheit
|
||||
$φ^*(y_i) = f_i$, also gilt nach~\eqref{eq:7-2-2-1} die folgende Gleichheit von
|
||||
Restklassen in $k[X]$,
|
||||
\[
|
||||
\bigl[φ^*(y_i) \bigr] = f^*\bigl([y_i]\bigr), \quad \forall i.
|
||||
\]
|
||||
Aus der Linearität folgt dann die allgemeinere Gleichheit von Restklassen in
|
||||
$k[X]$,
|
||||
\[
|
||||
\bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr), \quad \forall g ∈ k[y_1, …, y_m].
|
||||
\]
|
||||
Insbesondere gilt für alle $g ∈ I(Y)$ die Gleichheit $[g] = 0 ∈ k[Y]$ und
|
||||
deshalb
|
||||
\[
|
||||
\bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr) = f^*\bigl(0\bigr) = 0 ∈ k[X].
|
||||
\]
|
||||
Wir erkennen also, dass die Abbildung $φ^*$ das Ideal $I(Y)$ auf $I(X)$
|
||||
abbildet. Diese Erkenntnis wird nützlich werden, wenn wir die folgende
|
||||
polynomiale Abbildung betrachten,
|
||||
\[
|
||||
φ : 𝔸^n_k → 𝔸^m_k, \quad \vec{x} ↦
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
f_1(\vec{x}) \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
f_m(\vec{x})
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass
|
||||
$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes
|
||||
$g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches
|
||||
$g$ gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$
|
||||
\[
|
||||
g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}),
|
||||
\]
|
||||
wir hatten aber gerade erst gesehen, dass $φ^*(g) ∈ I(X)$ liegt, also auf
|
||||
$\vec{x}$ verschwindet.
|
||||
|
||||
Zusammenfassung: durch Einschränkung auf $X$ liefert die Abbildung $φ$ einen
|
||||
Morphismus $f : X → Y$.
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||||
|
||||
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||||
\subsection{Koordinatenringe und Morphismen}
|
||||
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||||
Es wird Sie nicht überraschen: Die Konstruktionen aus den
|
||||
Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers. Ich
|
||||
lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis
|
||||
fest.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}
|
||||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den
|
||||
Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ \text{ Morphismen } X → Y \bigr\} \leftrightarrow \bigl\{ \text{
|
||||
$k$-Algebrahomomorphismen $k[Y] → k[X]$ } \bigr\}. \eqno \qed
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Inbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen
|
||||
einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich
|
||||
diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4}
|
||||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die
|
||||
algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei
|
||||
$f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende
|
||||
Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv.
|
||||
|
||||
\item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der
|
||||
Zariski-Topologie. Mit anderen Worten: jede algebraische Teilmenge
|
||||
$Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, ist gleich $Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt
|
||||
es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$
|
||||
ist. Dann ist aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge
|
||||
$\{g=0\} ⊊ Y$ enthalten.
|
||||
|
||||
Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge
|
||||
$Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion,
|
||||
die auf $Y'$ verschwindet. Dann ist $0 = g◦ f = f^*(g)$, also ist $f^*$
|
||||
nicht injektiv.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}
|
||||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei
|
||||
$f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung
|
||||
$f^* : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Hausaufgabe!
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frage}
|
||||
Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme ``$k$
|
||||
algebraisch abgeschlossen'' verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne
|
||||
diese Annahme richtig?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
|
||||
\ref{sec:7-2-2} sind \emph{funktoriell}\index{Funktorialität}. Damit ist
|
||||
Folgendes gemeint: wenn eine Kette von Morphismen zwischen algebraischen Mengen
|
||||
gegeben ist,
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z,
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
dann ist $g^* ◦ f^* = (g◦ f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen
|
||||
von $k$-Algebren gegeben ist,
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X],
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
mit zugehörenden Abbildungen und $f : X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die
|
||||
zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen
|
||||
Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe
|
||||
$k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt
|
||||
die algebraische Menge also bis auf Isomorphie fest!
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Reduzierte Ringe}
|
||||
|
||||
Die nächste Frage: wann ist eine $k$-Algebra $R$ der affine Koordinatenring
|
||||
einer algebraischen Varietät, also von der Form $k[x_1, …, x_n]/I$, wobei $I$
|
||||
ein Radikalideal ist? Klar ist, dass die affinen Koordinatenringe folgende
|
||||
Eigenschaften haben.\CounterStep
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sie sind als $k$-Algebra endlich erzeugt (klar, denn die Polynome
|
||||
$x_1, …, x_n$ sind Erzeuger).
|
||||
|
||||
\item Wenn $f ≠ 0$, dann ist auch $f^n ≠ 0$ für alle $n ∈ ℕ$ (klar,
|
||||
denn sonst wäre $I$ kein Radikal).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Nilpotente Elemente]
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||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$
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||||
\emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, so
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||||
dass $f^n = 0$ ist.
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\end{definition}
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\begin{notation}[Reduzierte Ringe]
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||||
Es sei $k$ ein Körper. Endlich erzeugte $k$-Algebren ohne nilpotente Elemente
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||||
werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet.
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||||
\end{notation}
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\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}
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||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne
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||||
nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer
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Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die
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||||
Substitutionsabbildung
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\[
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φ : k[x_1, …, x_n] → R, \quad f ↦ f(e_1, …, e_n).
|
||||
\]
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||||
Die Annahme, dass $R$ keine nilpotenten Elemente enthält, stellt sicher, dass
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$I := \ker φ$ ein Radikalideal ist. Nach dem Homomorphiesatz ist $R$ isomorph
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zu $k[x_1, …, x_n]/I$, und weil $I$ ein Radikalideal ist, ist dies isomorph
|
||||
zum affinen Koordinatenring von $V(I)$.
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\end{beobachtung}
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Zusammenfassung: die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
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\ref{sec:7-2-2} liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen den
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||||
Isomorphieklassen von algebraischen Mengen und den Isomorphieklassen von
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reduzierten Ringen.
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\subsubsection{Diskussion}
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In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen ``extrinsischen''
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und ``intrinsischen'' Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel ``Flächen im Raum''
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diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie
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die Fläche in den Raum eingebettet ist (``Enthält die Fläche Geraden?''). Im
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||||
Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl
|
||||
einer speziellen Einbettung in den Raum ab (``Was ist die Krümmung? Wie sieht
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||||
die Symmetriegruppe aus?'').
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||||
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||||
Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung ``Die
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||||
Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume
|
||||
eingebettet''. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das
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||||
richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten
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||||
beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von
|
||||
insbesondere von Alexander
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Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander
|
||||
Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in
|
||||
Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein
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||||
deutsch-stämmiger französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen
|
||||
Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren
|
||||
maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der
|
||||
Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische
|
||||
Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus
|
||||
seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991
|
||||
verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in
|
||||
den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als
|
||||
eine sehr einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch
|
||||
sehr viel sagen und es ließen sich
|
||||
\href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele
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||||
Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige
|
||||
Zeitpunkt dafür …
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||||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
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||||
|
|
@ -0,0 +1,951 @@
|
|||
% spell checker language
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||||
\selectlanguage{german}
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||||
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||||
\chapter{Gröbnerbasen}
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||||
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||||
Der Inhalt dieses Kapitels ist auch in vielen anderen Quellen gut erklärt.
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||||
Werfen Sie einen Blick in das
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||||
\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript
|
||||
des Mannheimer Kollegen Seiler}, das
|
||||
\href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript
|
||||
des Dortmunder Kollegen Plaumann} und schauen Sie sich das Buch
|
||||
\cite{MR3330490} an, das Sie kostenlos im Universitätsnetz herunterladen können.
|
||||
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||||
\section{Liegt mein Element im Ideal?}
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||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 8}Gegeben einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ und
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||||
eine algebraische Menge $V(I) ∈ 𝔸^n_k$, dann ist die einfachste Frage, die ich
|
||||
stellen kann: ist die Menge $V(I)$ leer? Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz
|
||||
äquivalent zu der Frage, ob $1 ∈ I$ ist. In diesem Kapitel möchte ich erklären,
|
||||
wie man diese Frage beantworten kann. Ich beantworte sogar die folgende, etwas
|
||||
allgemeinere Frage~\ref{frage:8-0-1}. Die folgende Notation wird durchweg
|
||||
verwendet.
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||||
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||||
\begin{situation}\label{sit:8-1-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$
|
||||
gegeben. Wir betrachten das Ideal $I := (f_1, …, f_m)$.
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
\begin{frage}[Ideal Membership Problem]\label{frage:8-0-1}
|
||||
Wie kann ich in Situation~\ref{sit:8-1-1} entscheiden kann, ob ein gegebenes
|
||||
Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ im Ideal $I$ liegt? Mit anderen Worten: Wie kann
|
||||
ich entscheiden, ob Polynome $g_1, …, g_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ existieren, sodass
|
||||
die Gleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-0-0-1}
|
||||
f = \sum_{i=1}^m g_i· f_i
|
||||
\end{equation}
|
||||
erfüllt ist?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Wenn man von vornherein sagen könnte, wie groß der Grad der Polynome $g_i$
|
||||
maximal ist, könnte man Gleichung~\eqref{eq:8-0-0-1} als lineares
|
||||
Gleichungssystem an die Koeffizienten der $g_i$ verstehen und lösen.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es. Sie wurden meines
|
||||
Wissens nach zuerst 1926 von Grete
|
||||
Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete
|
||||
Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2. März 1901 in
|
||||
Bremen; † 15. April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin,
|
||||
Physikerin, Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg
|
||||
und anderen Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor
|
||||
allem der modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte,
|
||||
\cite{MR1512302}. Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert,
|
||||
\cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren.
|
||||
In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich
|
||||
gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich
|
||||
Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab.
|
||||
|
||||
\begin{frage}\label{frage:8-1-3}
|
||||
In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom
|
||||
$f ∈ k[x_1, …, x_n]$ einen ``kanonischen Repräsentanten'' der Restklasse
|
||||
\[
|
||||
[f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I}
|
||||
\]
|
||||
finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
Falls ich Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das Ideal
|
||||
Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich einfach
|
||||
die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und
|
||||
vergleiche diese. Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$,
|
||||
wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Monomiale Ideale}
|
||||
|
||||
Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir
|
||||
Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von ``monomialen Idealen''.
|
||||
Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Monome, Terme]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein
|
||||
normiertes Polynom in $k[x_1, …, x_n]$, welches nur aus einem Summanden
|
||||
besteht. Elemente der Menge
|
||||
\[
|
||||
\{ λ·m ∈ k[x_1, …, x_n] \:: λ ∈ k^*, m \text{ ein Monom}\}
|
||||
\]
|
||||
nennt man \emph{Terme}\index{Term!im Polynomring}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die $0$ ist per Definition kein Monom und kein Term.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Die Polynome $x²$, $y³$ und $x·y²$ sind Monome auf $ℂ[x,y]$. Das Polynom
|
||||
$14·x²·y$ ist ein Term. Das Polynom $x²-y³$ ist kein Monom und kein Term.
|
||||
Jedes Polynom kann auf eindeutige Weise als Summe von Termen geschrieben
|
||||
werden.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise]
|
||||
Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt
|
||||
$x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll
|
||||
$A =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich
|
||||
vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und
|
||||
$B =(β_1, …, β_m) ∈ ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und
|
||||
$x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$
|
||||
|
||||
\item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die
|
||||
Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt.
|
||||
|
||||
\item Es ist $\kgV(x^A,x^B) = x_1^{\max(α_1, β_1)} ⋯ x_n^{\max(α_m, β_m)}$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $\ggT(x^A,x^B) = x_1^{\min(α_1,β_1)} ⋯ x_n^{\min(α_m, β_m)}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Monimiales Ideal]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt
|
||||
\emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt,
|
||||
sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma
|
||||
die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome. Dann gibt es zu
|
||||
jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
|
||||
Folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im
|
||||
Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich.
|
||||
|
||||
\item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome
|
||||
$f_•$ geteilt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Das ist eine Übungsaufgabe, die sie selbst machen müssen. Rechnen Sie ein
|
||||
paar Beispiele, um zu sehen, was hier passiert. Lesen Sie erst danach weiter.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In Aussage~\ref{il:8-1-6-1} von Lemma~\ref{lem:8-1-6} bedeutet, dass es
|
||||
Polynome $g_i ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
h = f - \sum_{i=1}^m g_i·f_i
|
||||
\]
|
||||
gilt. Die Polynome $g_i$ sind aber kein bisschen eindeutig, denn selbst für
|
||||
das Nullpolynom gibt es immer die Darstellungen
|
||||
\[
|
||||
0 = 0 · f_1 + 0 · f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2.
|
||||
\]
|
||||
Überlegen Sie sich, dass die $g_i$ eindeutig festgelegt sind, wenn man
|
||||
zusätzlich verlangt, dass für jeden Index $j$ kein Term von $g_j·f_j$ ein
|
||||
Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9}
|
||||
Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben. Überlegen Sie sich,
|
||||
dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussage äquivalent
|
||||
sind.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$.
|
||||
|
||||
\item Der Term $t$ liegt im (monomialen!) Ideal $(f_1, …, f_m)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Lemma~\ref{lem:8-1-6} zeigt unter anderem, dass die endlich vielen Monome
|
||||
\[
|
||||
\{ x^A \::\: x^A \text{ wird von keinem der $f_•$ geteilt } \}
|
||||
\]
|
||||
eine $k$-Vektorraumbasis des Quotientenringes $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$
|
||||
bilden.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Leitterme und Monomordnungen}
|
||||
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||||
\subsection{Elimination von Termen}
|
||||
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||||
Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
|
||||
Idealen zu verallgemeinern. Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$
|
||||
wählen wir einen Term aus (dieser wird später ``Leitterm'' genannt werden).
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||||
Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu
|
||||
$f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden. Ich werde
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||||
dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige
|
||||
Beispiele diskutieren.
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||||
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||||
\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei
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||||
\[
|
||||
f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y].
|
||||
\]
|
||||
Ich wähle den Term $x²$ von $f_1$. Rechnen Sie an Beispielen nach, dass ich
|
||||
dann jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ in der Form $f = g_1·f_1 + h$ schreiben kann,
|
||||
wobei kein Term des Polynoms $h$ ein Vielfaches von $x²$ ist\footnote{Das
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||||
Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der
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||||
Algebraiker schreibt
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||||
\[
|
||||
h = f - g_1·f_1
|
||||
\]
|
||||
und erklärt seiner Familie stolz, er habe ``aus $f$ alle Terme eliminiert, die
|
||||
Vielfache von $x²$ sind''.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei
|
||||
\[
|
||||
f_2 = y² + xy=y(y+x)
|
||||
\]
|
||||
Ich wähle den Term $y²$ von $f_2$. Jetzt kann ich jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$
|
||||
in der Form $f = g_2·f_2 + h$ schreiben kann, wobei kein Term des Polynoms $h$
|
||||
ein Vielfaches von $y²$ ist. Mit anderen Worten: ich kann aus $f$ alle Terme
|
||||
eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}
|
||||
Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der
|
||||
Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen
|
||||
gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren.
|
||||
Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form
|
||||
\[
|
||||
f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h
|
||||
\]
|
||||
schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme
|
||||
mit $y²$ enthält? Die Antwort ist ``nein'', denn ansonsten wäre
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}
|
||||
\]
|
||||
ein vierelementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als
|
||||
$k$-Vektorraum. Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$. Also gibt es eine
|
||||
Surjektion
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-2-4-1}
|
||||
\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)} → \factor{k[x, y]}{(x+y)} ≅ k[x]
|
||||
\end{equation}
|
||||
und der letztere Raum ist als $k$-Vektorraum unendlich-dimensional.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{frage}
|
||||
Können Sie die Abbildung~\eqref{eq:8-2-4-1} geometrisch interpretieren? Was
|
||||
geht hier vor?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Monomordnungen}
|
||||
|
||||
|
||||
Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme
|
||||
eliminieren konnte? Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt. Man sollte
|
||||
die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer
|
||||
``Monomordnung'' wählen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Monomordnung]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf
|
||||
$k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung ``$≤$'' auf der Menge der Monome, sodass
|
||||
für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden
|
||||
Eigenschaften gelten.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es ist $x^A ≤ x^C·x^A$.
|
||||
|
||||
\item Aus $x^A ≤ x^B$ folgt $x^C·x^A ≤ x^C·x^B$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
Eine \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnung}{Wohlordnung} auf einer
|
||||
Menge $M$ ist eine Totalordnung, sodass jede nicht-leere Teilmenge ein
|
||||
kleinstes Element hat. Insbesondere gibt es keine unendliche streng monoton
|
||||
fallende Folge von Elementen aus $M$.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
Eine
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung}
|
||||
ist eine Relation ``$≤$'' auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
|
||||
und total ist.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Leitterm]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei eine Monomordnung $≤$ auf dem Polynomring
|
||||
$k[x_1, …, x_n]$ gewählt. Gegeben $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, dann nenne den Term
|
||||
mit dem größten Monom den \emph{Leitterm von $f$ bezüglich der Monomordnung
|
||||
$≤$}\index{Leitterm}. Der Leitterm des Nullpolynoms ist per Definition
|
||||
gleich $0$. Die Schreibweise $\ini f$ ist üblich, in der Literatur findet
|
||||
sich auch die Bezeichnung \emph{Initialterm}\index{Initialterm}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 9}Wir werden gleich ganz viele konkrete Beispiele sehen.
|
||||
Zuerst aber noch einmal zurück zur Bemerkung, dass die Terme in den
|
||||
Beispielen~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} nicht gemäß einer Monomordnung
|
||||
gewählt waren.
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||||
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||||
\begin{beobachtung}
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||||
Es gibt keine Monomordnung auf $k[x,y]$, sodass
|
||||
\[
|
||||
\ini(x² + xy) = x² \quad\text{und}\quad \ini(y² + xy) = y²
|
||||
\]
|
||||
ist. Falls es eine solche Ordnung gäbe, dann muss nämlich $y < x$ sein, denn
|
||||
sonst wäre $xy > x²$ und der Leitterm von $x² + xy$ wäre nicht $x²$. Dann ist
|
||||
aber $y² < xy$, also ist der Leitterm von $y² + xy$ gleich $xy$ und nicht
|
||||
gleich $y²$.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Lexikografische Ordnung]
|
||||
Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische
|
||||
Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
|
||||
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$
|
||||
existiert, sodass $α_i > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$
|
||||
die Gleichheit $α_j = β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem
|
||||
sich die Exponenten $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie
|
||||
nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome
|
||||
in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt
|
||||
sortiert
|
||||
\[
|
||||
x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3.
|
||||
\]
|
||||
Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher
|
||||
statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und
|
||||
für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen ``Lexika''
|
||||
waren die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung]
|
||||
Bei der \emph{graduiert-lexikografischen
|
||||
Monomordnung}\index{graduiert.-lexikografische Monomordnung} auf dem
|
||||
Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
|
||||
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
|
||||
\item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich
|
||||
der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Bei der graduiert-lexikografischen Ordnung entscheidet also zuerst der Grad
|
||||
der Monome, dann die lexikografische Ordnung.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12}
|
||||
Bei der \emph{graduiert-rückwärtslexikografischen
|
||||
Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem
|
||||
Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt
|
||||
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der
|
||||
beiden folgenden Bedingungen gilt.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte
|
||||
nicht-verschwindende Eintrag von
|
||||
\[
|
||||
(α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n
|
||||
\]
|
||||
ist negativ.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Rechnen Sie nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die
|
||||
quadratischen Polynome in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die
|
||||
rückwärtslexikografische Monomordnung wie folgt sortiert
|
||||
\[
|
||||
x²_1 > x_1x_2 > x²_2 > x_1x_3 > x_2x_3 > x²_3.
|
||||
\]
|
||||
Der Unterschied zur lexikografischen Ordnung besteht also darin, welches der
|
||||
Monome $x_2²$ oder $x_1x_3$ bevorzugt wird. Bei den Antipoden gab es früher
|
||||
graduierte Rückwärtslexika, bei denen die Stichworte auf diese Weise sortiert
|
||||
waren.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Gewichtsordnung]
|
||||
Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger
|
||||
reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$
|
||||
unterschiedlichen Primzahlen sind. Bei der
|
||||
\emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring
|
||||
$k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau
|
||||
dann, wenn
|
||||
\[
|
||||
\sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i
|
||||
\]
|
||||
ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit
|
||||
$\sum w_i α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die
|
||||
Gleichung $α_i = β_i$ gilt.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Weitere Beispiele für coole Monomordnungen gibt es
|
||||
\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{im
|
||||
Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante
|
||||
Beispiele für Monomordnungen zu überlegen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Division mit Rest}
|
||||
|
||||
Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
|
||||
Idealen verallgemeinern werden. Damit war der folgende Satz gemeint. Im
|
||||
Unterschied zur klassischen ``Polynomdivision mit Rest'' wird in diesem Satz
|
||||
gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt! Sie finden einen ähnlichen Beweis
|
||||
und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem
|
||||
Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$
|
||||
gewählt. Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$
|
||||
und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-4-6-1}
|
||||
f = \sum_{i=1}^m g_i·f_i + h
|
||||
\end{equation}
|
||||
ist und sodass folgende Bedingungen erfüllt sind.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:8-4-6-2} Für jeden Index $i$ mit $g_i·f_i ≠ 0$ gilt die
|
||||
Ungleichung $\ini f ≥ \ini (g_i·f_i)$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:8-4-6-3} Kein Term von $h$ ist Vielfaches von einem der Terme
|
||||
$\ini f_•$. \qed
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{algorithm}[t]
|
||||
\KwData{Situation~\ref{sit:8-1-1} und $f ∈ k[x_1, …, x_n]$}
|
||||
\KwResult{Polynome $g_1, …, g_m$ und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass \eqref{eq:8-4-6-1}--\ref{il:8-4-6-3} gelten}
|
||||
|
||||
\BlankLine
|
||||
Setze $g_1 := 0$, …, $g_m := 0$\;
|
||||
Setze $h := 0$\;
|
||||
Setze $p := f$\;
|
||||
|
||||
\BlankLine
|
||||
\While{$p ≠ 0$}{
|
||||
\BlankLine
|
||||
Setze $S := \{ j : \ini f_j \mid \ini p \}$\;
|
||||
\BlankLine
|
||||
\eIf{$S = ∅$}{
|
||||
Setze $h := h + \ini p$ \;
|
||||
Setze $p := p - \ini p$ \;
|
||||
}{
|
||||
Setze $i := \min S$ \;
|
||||
Setze $q := (\ini p)/(\ini f_i)$ \;
|
||||
Setze $g_i := g_i + q$ \;
|
||||
Setze $p := p - q·f_i$ \;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\caption{Schwache Division mit Rest}
|
||||
\label{alg:8-4-6}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in
|
||||
Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der
|
||||
Polynome $g_•$ und $h$. \video{9-1} zeigt, dass der Algorithmus terminiert
|
||||
und das gewünschte Ergebnis liefert.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen
|
||||
eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen ``Starken Divisionssatz''
|
||||
mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die
|
||||
folgende Forderung ersetzt ist.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für jedes Paar $j < i$ von Indizes gilt: Kein Term von $g_i·\ini f_i$
|
||||
ist Vielfaches von $\ini f_j$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6}
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element
|
||||
$h ∈ k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den
|
||||
Bedingungen \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen,
|
||||
einen \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/ba8562a5ddff2655831b5d3bca006fbb06de626f/Divisionsreste.ipynb?viewer=share}{Hier}
|
||||
zeige ich Ihnen, wie man Divisionsreste bequem mit dem Programm ``Sage'' am
|
||||
Computer ausrechnet.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Gröbner-Basen}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den
|
||||
Divisionssatz überhaupt betrachtet haben. In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen
|
||||
wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$
|
||||
liegt. Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die
|
||||
Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden --- wenn das funktioniert,
|
||||
dann brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$
|
||||
zu vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der
|
||||
Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein!
|
||||
|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2}
|
||||
Divisionsreste sind nicht eindeutig. Es kommt aber noch schlimmer: Wir
|
||||
betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$
|
||||
und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\ini f_1 = x²_1x_2 \quad\text{und}\quad \ini f_2 = x³_1.
|
||||
\]
|
||||
Für $f = x³_1x_2$ erhalten wir die Darstellung
|
||||
\[
|
||||
f = x_1·f_1 + 0·f_2 + x_1x²_2.
|
||||
\]
|
||||
Also: das Polynom $f$ liegt in $I$. Der Divisionsrest ist aber nicht Null.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief? Der Grund für das Versagen der
|
||||
Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal
|
||||
$\bigl( \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende
|
||||
Definition.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis
|
||||
oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn
|
||||
für jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt,
|
||||
\[
|
||||
\ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr).
|
||||
\]
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Erinnern Sie sich an Bemerkung~\vref{bem:8-2-9}. Genau wie dort kann man
|
||||
Definition~\ref{def:8-5-3} auch anders formulieren: $f_1, …,f_m$ ist eine
|
||||
Gröbnerbasis, wenn für jedes Element $f ∈ M$ ein Index $i$ existiert, sodass
|
||||
$\ini f_i \mid \ini f$ ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Frage, ob $f_1, …,f_m$ eine Gröbnerbasis ist, hängt massiv von der Wahl
|
||||
der Monomordnung ab, aber nicht von der Reihenfolge der $f_•$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Vektorraumbasis für den Quotienten]
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1, …,f_m$ eine Gröbnerbasis von $M$. Dann
|
||||
bildet die folgende Menge von Monomen,
|
||||
\[
|
||||
\left\{ m ∈ F \text{ein Monom} \::\: m \not∈ (\ini f_1, …, \ini f_m)
|
||||
\right\},
|
||||
\]
|
||||
eine $k$-Vektorraumbasis des Quotienten $F/M$. Mit dieser Beobachtung lässt
|
||||
sich in der Praxis schnell entscheiden, ob der Quotient $F/M$ endlich- oder
|
||||
unendlich-dimensional ist.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno
|
||||
Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno
|
||||
Buchberger} (* 22. Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer
|
||||
Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang
|
||||
Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang
|
||||
Gröbner} (2. Februar 1899 in Gossensaß – 20. August 1980) war ein
|
||||
österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der
|
||||
kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist
|
||||
bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche
|
||||
Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von
|
||||
Heisuke
|
||||
Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke
|
||||
Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9. April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute:
|
||||
Iwakuni), Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und
|
||||
Träger der Fields-Medaille.} auf.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen}
|
||||
|
||||
Das folgende Lemma zeigt, dass Gröbnerbasen unsere Probleme lösen: Haben wir
|
||||
eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer
|
||||
einzigen Division beantwortet werden.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben ein
|
||||
Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$
|
||||
gleich $0$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es sei $h$ ein Divisionsrest. Per Definition bedeutet das, dass wir eine
|
||||
Darstellung
|
||||
\[
|
||||
f = \sum g_i·f_i + h
|
||||
\]
|
||||
haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten.
|
||||
Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$. Auf
|
||||
der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein
|
||||
Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$
|
||||
eine Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben sei
|
||||
ein Element $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ und zwei Reste $h_1$, $h_2$ von $f$ bei
|
||||
Division durch $f_1, …, f_m$. Dann ist $h_1 = h_2$. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien $f_{1,1}, …, f_{1,m_1}$ und
|
||||
$f_{2,1}, …, f_{2, m_2}$ zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element
|
||||
$f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige)
|
||||
Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist
|
||||
$h_1 = h_2$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach Definition von ``Divisionsrest'' in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die
|
||||
Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die
|
||||
\emph{nicht} in
|
||||
\[
|
||||
\bigl( \ini f_{1,1}, …, \ini f_{1,m_1} \bigr) = \bigl( \ini f_{2,1}, …, \ini
|
||||
f_{2,m_2} \bigr)
|
||||
\]
|
||||
enthalten sind. Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in
|
||||
$M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von ``Gröbnerbasis'' bedeutet das
|
||||
aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist. Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb
|
||||
$h_1 = h_2$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Lemma~\ref{lem:8-5-9} zeigt insbesondere, dass Divisionsreste unabhängig von der
|
||||
Reihenfolge der Elemente in der Gröbnerbasis sind.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Existenz von Gröbnerbasen}
|
||||
|
||||
Es fragt sich, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist natürlich
|
||||
``ja'', denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen.
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/51e021b2ea6647e808203996d4a6d70f76d829d1/Gr\%C3\%B6bnerbasen.ipynb?viewer=share}{Hier
|
||||
zeige ich an einem Beispiel}, wie man das macht. Vielleicht hätten wir aber
|
||||
auch gern ein theoretisches Argument.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Der Beweis ist relativ einfach.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Falls $f_1, …, f_m$ bereits eine Gröbnerbasis ist, sind wir schon
|
||||
fertig.
|
||||
|
||||
\item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein
|
||||
Element $f_{m+1} ∈ I$ mit
|
||||
$\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$
|
||||
als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn an.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen
|
||||
des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$. Weil der Polynomring aber Noethersch ist,
|
||||
wird diese Folge nach endlich vielen Schritten stationär. Spätestens an
|
||||
dieser Stelle ist eine Gröbnerbasis erreicht.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Das Buchberger-Kriterium}
|
||||
|
||||
Lemma~\ref{lem:8-5-7} ist theoretisch beruhigend, aber im Moment praktisch
|
||||
wertlos. Wir können nicht entscheiden, ob eine gegebene Menge von Erzeugern
|
||||
eine Gröbnerbasis ist. Schlimmer noch: selbst wenn wissen, dass $f_1, …, f_m$
|
||||
\emph{keine} Gröbnerbasis ist, dann haben wir in der Praxis immer noch kein
|
||||
Verfahren, ein neues Element $f_{m+1}$ zu finden. Das Buchberger-Kriterium löst
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||||
diese Probleme für uns. Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome
|
||||
sprechen.
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||||
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||||
\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben.
|
||||
Schreibe
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||||
\[
|
||||
\ini f = c· x^{A_i} \quad \text{und} \quad \ini g = d·x^{A_j}
|
||||
\]
|
||||
und definiere das \emph{$S$-Polynom von $f$ und $g$}\index{$S$-Polynom} als
|
||||
\[
|
||||
S(f,g) := \frac{\kgV(x^{A_i}, x^{A_j})}{c·x^{A_i}}·f - \frac{\kgV(x^{A_i},
|
||||
x^{A_j})}{d·x^{A_j}}·g
|
||||
\]
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Die $S$-Polynome aus Notation~\ref{not:8-6-1} sind so definiert, dass stets
|
||||
die Ungleichung $\ini S(f,g) < \kgV( \ini f, \ini g)$ gilt.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
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||||
Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
|
||||
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||||
\begin{lem}\label{lem:8-6-2}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome
|
||||
$g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass
|
||||
es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, so dass die Leitterme der
|
||||
$g_{•}$ alle von der Form
|
||||
\[
|
||||
\ini g_{•} = b_{•}·x^A
|
||||
\]
|
||||
sind, mit $b_{•} ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$
|
||||
gegeben, sodass bezüglich der Monomordnung die Ungleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-6-2-1}
|
||||
\ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A
|
||||
\end{equation}
|
||||
gilt. Dann ist $\sum_{i=1}^{r} a_{i} g_{i}$ eine Linearkombination der
|
||||
$S$-Polynome $S(g_1, g_2)$, $S(g_2, g_3)$, …, $S(g_{r-1}, g_r)$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Damit die Notation nicht zu aufwändig wird betrachten wir die Polynome
|
||||
\[
|
||||
p_i :=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\frac{1}{b_i}·g_i & \text{falls } 1 ≤ i ≤ r \\
|
||||
0 & \text{sonst.}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Die Ungleichung~\eqref{eq:8-6-2-1} bedeutet, dass sich die Leitterme der
|
||||
Polynome $a_i·g_i$ in der Summe $\sum a_i·g_i$ gerade wegheben. Es gilt also
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-6-2-2}
|
||||
\sum_{i=1}^r a_{i} b_{i}=0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Damit folgt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\
|
||||
&=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade
|
||||
\[
|
||||
S(g_i,g_j) = \frac{\kgV(x^A, x^A)}{b_i·x^A}·g_i - \frac{\kgV(x^A,
|
||||
x^A)}{b_j·x^A}·g_j = p_i - p_j,
|
||||
\]
|
||||
womit Lemma~\ref{lem:8-6-2} bewiesen ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1}
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis
|
||||
von $M$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:8-5-8-2} Für alle $f ∈ M$ ist jeder Rest von $f$ bei Division
|
||||
durch $f_1, …, f_m$ gleich $0$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:8-5-8-3} Für jedes Paar $(i,j)$ von Indizes ist $0$ ein Rest
|
||||
des $S$-Polynoms $S(f_i, f_j)$ bei Division durch $f_1, …, f_m$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis des Buchberger-Kriteriums]
|
||||
---
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}'' wurde in
|
||||
Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen.
|
||||
|
||||
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}'' ist leicht,
|
||||
denn es ist $S_{ij} ∈ M$, so dass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als
|
||||
Linearkombination der $f_•$ gibt.
|
||||
|
||||
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}'' ist der
|
||||
wesentliche Punkt des Beweises. Details gibt es im (sehr langen)
|
||||
\video{10-1}. Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von
|
||||
\href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript
|
||||
von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Bei der praktischen Implementierung des Buchberger-Kriteriums gibt es viel
|
||||
Spielraum für Optimierungen; so es ist meist nicht unbedingt nötig, wirklich
|
||||
\emph{alle} Elemente $S_{••}$ zu betrachten.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der Buchberger-Algorithmus}
|
||||
|
||||
Mithilfe des Buchberger-Kriteriums können wir sehr schnell das im
|
||||
Algorithmus~\vref{alg:buchberger} angegebene Verfahren zur Bestimmung von
|
||||
Gröbnerbasen formulieren. Wir beweisen, dass der Algorithmus terminiert und das
|
||||
gewünschte liefert.
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[t]
|
||||
\SetAlgoLined
|
||||
\KwData{Situation~\ref{sit:8-1-1}}
|
||||
\KwResult{Gröbnerbasis $G$ von $I$}
|
||||
|
||||
\BlankLine
|
||||
Setze $G := (f_1, …, f_m)$ \;
|
||||
Setze $S := ∅$ \;
|
||||
|
||||
\BlankLine
|
||||
\Repeat{$S = ∅$}{
|
||||
Setze $S := ∅$ \;
|
||||
\ForEach{$1 ≤ i ≤ a$}{
|
||||
\ForEach{$1 ≤ j < i$}{
|
||||
Berechne das Polynom $S_{i,j}$ aus dem Buchberger-Kriterium für die Liste $G$\;
|
||||
Setze $h := $ Rest von $S_{i,j}$ bei Division durch $G$\;
|
||||
\If{$h ≠ 0$}{
|
||||
Setze $S := S ∪ \{ h\}$\;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
Setze $G := G ∪ S$\;\label{lin:buchberger-12}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\caption{Buchberger-Algorithmus}
|
||||
\label{alg:buchberger}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus]
|
||||
Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein
|
||||
Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$.
|
||||
Auf der anderen Seite wissen nach Definition von ``Divisionsrest'', dass der
|
||||
Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also
|
||||
\[
|
||||
(\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h).
|
||||
\]
|
||||
Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von
|
||||
Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal
|
||||
$(\ini g \:: g ∈ G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen
|
||||
der Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich
|
||||
oft passieren.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus]
|
||||
Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge
|
||||
$S$ gleich leer ist. Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen
|
||||
Divisionsrest hat, der gleich 0 ist. Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies
|
||||
gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbner-Basis ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Der Buchberger-Algorithmus kann als weitreichende Verallgemeinerung des
|
||||
Gauß-Algorithmus verstanden werden. Er ist heute der Kern von fast allen
|
||||
Algorithmen der Computeralgebra und spielt auch in wirtschaftlichen
|
||||
bedeutenden Anwendungen wie etwa der Logikverifikation eine wichtige Rolle.
|
||||
|
||||
Trotz der großen praktischen Bedeutung ist die Komplexität des
|
||||
Buchberger-Algorithmus kaum verstanden. So sieht man in der Praxis sehr
|
||||
schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der
|
||||
Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat. Es scheint, dass
|
||||
die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet.
|
||||
Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Es gibt meines
|
||||
Wissens kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, welche Anordnung
|
||||
und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Beispiel}
|
||||
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||||
Das folgende Beispiel habe ich aus dem
|
||||
\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript
|
||||
des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich
|
||||
nicht verrechnet und ich habe richtig abgeschrieben. Wir starten mit dem Körper
|
||||
$ℚ$, dem Polynomring $ℚ[x,y]$ und verwenden die graduiert-lexikografische
|
||||
Monomordnung. Es sei
|
||||
\[
|
||||
f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x.
|
||||
\]
|
||||
Wir wollen eine Gröbner-Basis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu
|
||||
diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an.
|
||||
|
||||
\paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe
|
||||
\[
|
||||
G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2})
|
||||
\]
|
||||
und berechne
|
||||
\[
|
||||
S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x².
|
||||
\]
|
||||
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den
|
||||
Divisionsrest,
|
||||
\[
|
||||
S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²).
|
||||
\]
|
||||
Also ist $S = \{-x²\}$.
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Zweiter Schleifendurchgang:} schreibe
|
||||
\[
|
||||
G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2}, \underbrace{-x²}_{= g_3})
|
||||
\]
|
||||
und berechne
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
S_{1,2} & = & y·g_1 - x·g_2 & = & -x² \\
|
||||
S_{1,3} & = & g_1 + x·g_3 & = & -2·xy \\
|
||||
S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x.
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
|
||||
Divisionsreste,
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
S_{1,2} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 1·g_3 &+& 0 \\
|
||||
S_{1,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& (-2·xy) \\
|
||||
S_{2,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& (-2·y²+x).
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Also ist $S = \{-2·xy, -2·y²+x\}$.
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Dritter Schleifendurchgang:} schreibe
|
||||
\[
|
||||
G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2}, \underbrace{-x²}_{= g_3}, \underbrace{-2·xy}_{= g_4}, \underbrace{-2·y²+x}_{= g_5})
|
||||
\]
|
||||
und berechne
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
S_{1,2} & = & y·g_1 - x·g_2 & = & -x² \\
|
||||
S_{1,3} & = & g_1 + x·g_3 & = & -2·xy \\
|
||||
S_{1,4} & = & y·g_1 + \frac{1}{2}x²·g_4 &=& -2·xy²\\
|
||||
S_{1,5} & = & y²·g_1 + \frac{1}{2}x³·g_5 &=& -2·xy³ + \frac{1}{2}·x⁴ \\
|
||||
S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x \\
|
||||
S_{2,4} & = & g_2 + \frac{1}{2}x·g_4 &=& -2·y²+x\\
|
||||
S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\
|
||||
S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\
|
||||
S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\
|
||||
S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x²
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
|
||||
Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
S_{1,2} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 1·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{1,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 1·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{1,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& y·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{1,5} & = & \frac{1}{2}x·g_1 &+& 1·g_2 &+& 0·g_3 &+& y²·g_4 &+& (-1)·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{2,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 1·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{2,4} & = & 0·g_1 &+& 1·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 1·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
|
||||
S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Voilà! Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine
|
||||
Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$.
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/d179fd0bf0faf1b0c5e1d4cb0d29774d645b2394/Beispielrechnung\%20Buchberger-Algorithmus.ipynb?viewer=share}{Hier
|
||||
habe ich das Ergebnis noch einmal mit dem Computer überprüft}.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer
|
||||
überlässt. Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht
|
||||
offensichtlich wird: der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen,
|
||||
Näherungslösungen funktionieren nicht! Das wird ein riesiges Problem bei
|
||||
Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner
|
||||
und Zähler immer größer und komplizierter. Die Zahlen werden in der Praxis
|
||||
oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht --- und zwar unabhängig
|
||||
davon, auf welchem Rechner sie arbeiten! Dieses Problem tritt bei Rechnungen
|
||||
mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,225 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Ebene Kurven und ihre singulären Punkte}
|
||||
\label{chap:9}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 11}Nach dem etwas rechenaufwändigen Kapitel über
|
||||
Gröbnerbasen möchte ich zurück zur Geometrie. Zu den einfachsten Varietäten
|
||||
gehören die ebene, algebraischen Kurven. Dies sind algebraische Menge im $𝔸²$,
|
||||
die sich als Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms schreiben lassen. Dieses
|
||||
Kapitel orientiert sich an dem Lehrbuch \cite{MR1042981}, wo Sie den Stoff
|
||||
ebenfalls sehr gut erklärt finden.
|
||||
|
||||
\section{Ebene Kurven}
|
||||
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Gegeben ein Polynom
|
||||
$f ∈ k[x,y] ∖ \{0 \}$ und ein Skalar $λ ∈ k^*$, dann haben $f$ und $λ·f$
|
||||
natürlich dieselbe Nullstellenmenge. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, ebene
|
||||
algebraische Kurven als \emph{Äquivalenzklassen} von Polynomen zu definieren.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ebene algebraische Kurve]\label{def:eak}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
|
||||
algebraische Kurve über $k$}\index{ebene algebraische Kurve} ist eine
|
||||
Äquivalenzklasse von Polynomen in $k[x,y] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei Polynome $f$
|
||||
und $g$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $f = λ·g$ ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
Damit die Notation nicht allzu kompliziert wird, sagen wir häufig etwas
|
||||
unkorrekt Sätze von der folgenden Art.
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.
|
||||
\end{quote}
|
||||
Ich hoffe, Sie kommen damit klar. Wenn nicht --- dumm gelaufen.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
In der Vorlesung ``Analysis'' haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
|
||||
mehreren Veränderlichen ausführlich diskutiert. Gegeben eine Funktion $f(x,y)$
|
||||
auf dem $ℝ²$ und einen Punkt $p$ der Nullstellenmenge, so haben sie im Kapitel
|
||||
``Der Satz über die implizit definierten Funktionen'' gelernt, dass es einen
|
||||
riesigen Unterschied macht, ob die partiellen Ableitungen
|
||||
\[
|
||||
\frac{∂f}{∂x}(p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f}{∂y}(p)
|
||||
\]
|
||||
beide verschwinden oder nicht. Falls eine der partiellen Ableitungen
|
||||
\emph{nicht} verschwindet, dann ist die Nullstellenmenge zumindest in der Nähe
|
||||
von $p$ eine Untermannigfaltigkeit und kann lokal durch die $x$- oder $y$-Werte
|
||||
parametrisiert werden.
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||||
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||||
Überlegen Sie sich anhand der Einheitsparabel, dass der Satz über die implizit
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||||
definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (… denn
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||||
sonst müsste die Wurzelfunktion algebraisch sein). Die Unterscheidung nach
|
||||
``gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist''
|
||||
und ``schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind''
|
||||
funktioniert aber ohne weiteres.
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||||
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||||
\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$. Man
|
||||
nennt $p$ einen \emph{einfachen Punkt}\index{einfacher Punkt} der Kurve $f$,
|
||||
wenn
|
||||
\[
|
||||
\frac{∂f}{∂x}(p) ≠ 0 \quad\text{oder}\quad \frac{∂f}{∂y}(p) ≠ 0
|
||||
\]
|
||||
gilt. Nicht-einfache Punkte heißen \emph{singulär}\index{singulärer Punkt}.
|
||||
Im Fall, wo $k = ℂ$ ist, nennt man einfache Punkte auch
|
||||
\emph{glatt}\index{glatte Punkte}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/09-smooth-and-sing.png}
|
||||
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||||
\caption{Glatte und singuläre Punkte der Neil'schen Parabel $\{ x³-y² \} $}
|
||||
\label{fig:gsp}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
In Abbildung~\ref{fig:gsp} sehen Sie einen glatten und den singulären Punkt
|
||||
der Neil'schen Parabel.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Ableitungen aus Definition~\ref{defn:ep} sind wie in der Vorlesung
|
||||
``Algebra'' die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
|
||||
Rechenregeln für das Ableiten von Polynomen definiert sind und nichts mit den
|
||||
Grenzwerten aus der Analysis zu tun haben. Wir erinnern uns an die
|
||||
schlaflosen Nächte des letzten Semesters: falls $k$ ein Körper der positiven
|
||||
Charakteristik $q$ ist, dann ist
|
||||
\[
|
||||
\frac{∂x^q}{∂x} = q·x^{q-1} = 0.
|
||||
\]
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Tangentialraum einer Kurve an einfachem Punkt]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher Punkt
|
||||
der Kurve $f$. Dann bezeichne die Gerade
|
||||
\[
|
||||
V \left( (y-b)·\frac{∂ f}{∂ y}(P) + (x-a)·\frac{∂ f}{∂ x}(P) \right)
|
||||
\]
|
||||
als den \emph{affinen Tangentialraum der Kurve $f$ im Punkt $p$}\index{affiner
|
||||
Tangentialraum}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Singuläre Punkte}
|
||||
|
||||
Einfache Punkte sind einfach … aber natürlich auch ein wenig langweilig. Die
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||||
erste Frage, die man bei nicht-einfachen Punkten stellen kann ist die, ob wir
|
||||
ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben. Die ``Multiplizität''
|
||||
ist der erste Begriff in dieser Richtung. Der Bequemlichkeit halber definieren
|
||||
wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve. Dann schreibe $f$ als Summe von homogenen
|
||||
Polynomen,
|
||||
\[
|
||||
f = f_0 + f_1 + f_2 + … + f_n,
|
||||
\]
|
||||
wobei die $f_i$ entweder gleich null oder homogen von Grad $i$ sind. Die Zahl
|
||||
\[
|
||||
m := \min \{ i ∈ ℕ \::\: f_i ≠ 0 \}
|
||||
\]
|
||||
wird als \emph{Multiplizität der Kurve $f$ im Nullpunkt}\index{Multiplizität
|
||||
einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet. Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist
|
||||
üblich.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} gilt Folgendes.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $m = 0 \iff \vec{0} \text{ ist kein Punkt der Kurve }$
|
||||
\item $m = 1 \iff \vec{0} \text{ ist ein glatter Punkt der Kurve }$
|
||||
\item $m ≥ 2 \iff \vec{0} \text{ ist ein singulärer Punkt der Kurve }$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} sei $m > 0$. Dann nenne die
|
||||
Kurve $f_m$ den \emph{Tangentialkegel der Kurve $f$ im
|
||||
Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Wie stellen wir uns den Tangentialkegel einer Kurve vor? Das ist gar nicht so
|
||||
schwer. Das Polynom $f_m$ ist nämlich homogen und deshalb sehr einfach zu
|
||||
beschreiben:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/09-tang-cone.png}
|
||||
|
||||
\caption{Tangentialkegel der Knotenkurve $\{ x³ + x² - y² \}$}
|
||||
\label{fig:tc}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Beschreibung des Tangentialkegels]
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei
|
||||
$(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0 \}$. Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das
|
||||
Polynom $f_m$, und der Quotient ist wieder homogen. Nach endlich vielen
|
||||
Divisionen kann ich $f_m$, die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also
|
||||
auf eindeutige Weise in der Form
|
||||
\[
|
||||
f_m = p_1^{k_1} ⋯ p_l^{k_l}
|
||||
\]
|
||||
schreiben, wobei $p_i$ paarweise verschiedene lineare Polynome sind. Der
|
||||
affine Tangentialkegel ist also die Vereinigung der Geraden $V(p_•)$.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Vielfachheiten im Tangentialkegel, gewöhnliche Singularitäten]
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} werden die Zahlen $k_•$ auch
|
||||
als \emph{Vielfachheit der Geraden $p_•$ im
|
||||
Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel}
|
||||
bezeichnet. Falls alle Vielfachheiten gleich 1 sind, so sagt man, dass
|
||||
$\vec{0}$ ein \emph{gewöhnlicher Punkt der Kurve $f$}\index{gewöhnliche Punkte
|
||||
einer ebenen algebraischen Kurve} ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Abbildung~\ref{fig:tc} zeigt die Knotenkurve. Der Nullpunkt ist ein
|
||||
gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel
|
||||
$x²-y² = (x+y)·(x-y)$. Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
|
||||
singulärer Punkt der Neil'sche Parabel aus Abbildung~\ref{fig:gsp}, denn der
|
||||
affine Tangentialkegel ist gegeben durch die Gleichung $y²$, die eine Gerade
|
||||
hat also Multiplizität zwei.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Singularitäten, die nicht der Nullpunkt sind}
|
||||
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve und $p = (a,b)$ sei ein Punkt der Kurve, der aber
|
||||
vielleicht nicht der Nullpunkt ist. Wie definieren wir dann die Multiplizität
|
||||
der Kurve $f$ im Punkt $p$ und wie definieren wir den Tangentialkegel? Ganz
|
||||
einfach: wir machen das, was jedes Kind machen würde: wir verschieben die Kurve
|
||||
$f$ so, dass der Punkt $p$ unter der Verschiebung zum Nullpunkt wird. Die
|
||||
verschobene Kurve hat die Gleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:9-2-6-1}
|
||||
g(x,y) := f(x-a, y-b).
|
||||
\end{equation}
|
||||
Dann definiere die ``Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$'' einfach
|
||||
als die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja
|
||||
schon. Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$
|
||||
ist. Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im
|
||||
Nullpunkt ist, dann verschieben wir zurück und definieren
|
||||
\[
|
||||
f_m(x,y) := g_m(x+a, y+b)
|
||||
\]
|
||||
als den affinen Tangentialkegel der Kurve $f$ im Punkt $p$.
|
||||
|
||||
\begin{frage}
|
||||
Habe ich bei den Verschiebungen wirklich die richtigen Vorzeichen gewählt?
|
||||
Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich ``$x-a$'' stehen und nicht
|
||||
etwa ``$x+a$''? Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,854 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Bruchrechnung}
|
||||
\label{chap:10}
|
||||
|
||||
\section{Worum geht es?}
|
||||
\label{sec:11}
|
||||
|
||||
Im letzten Kapitel haben wir einige Eigenschaften von Punkten auf ebenen
|
||||
algebraischen Kurven kennen gelernt. Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein
|
||||
Punkt der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes Nahe.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Eigenschaft des Punktes, glatt oder singulär zu sein, hat vermutlich
|
||||
nichts mit der Frage zu tun, wie die Kurven (mit ihrem Punkt) in die Ebene
|
||||
eingebettet ist. Schlau gesprochen: die geometrische Anschauung legt nahe,
|
||||
dass Glattheit und Singularität von Punkten intrinsische Eigenschaften der
|
||||
Kurve und ihres Punktes sind.
|
||||
|
||||
\item Anschaulich ist klar, dass ich die Frage nach der Glattheit oder
|
||||
Singularität eines Punktes beantworten kann, wenn ich lediglich eine kleine
|
||||
offene Umgebung des Punktes kenne (``mir egal, wie die Kurve in 10km
|
||||
Entfernung aussieht''). Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind
|
||||
``lokale'' Eigenschaften.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Singularität von Punkten als intrinsische Eigenschaft}
|
||||
|
||||
Wir erinnern uns aus Kapitel~\ref{sec:7-3}, dass die intrinsische Geometrie
|
||||
vollständig durch den affinen Koordinatenring $A = k[x,y]/(f)$ beschrieben wird.
|
||||
Im Wörterbuch zwischen Algebra und Geometrie gehört zu dem Punkt $p$ der Kurve
|
||||
ein maximales Ideal $m_p ⊂ A$. Die Eigenschaft, glatt oder singulär zu sein,
|
||||
sollte also eine Eigenschaft des Ideals $m_p ⊂ A$ sein.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Singularität von Punkten als lokale Eigenschaft}
|
||||
|
||||
Lokale Eigenschaften haben wir noch nicht diskutiert, das holen wir jetzt nach.
|
||||
Dazu ist es nützlich, sich an Abschnitt~\ref{sec:7-1} zu erinnern, wo der affine
|
||||
Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen (``stetige Funktionen, die
|
||||
durch Polynome repräsentierbar sind'') eingeführt wurde. Wenn nun der affine
|
||||
Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen'') die gesamte
|
||||
intrinsische Geometrie festlegt, dann könnte die lokale Geometrie in der Nähe
|
||||
des Punktes $p$ durch den Ring der algebraischen Funktionen gegeben sein, die
|
||||
nur in der Nähe von $p$ definiert sind. Die Frage ist, was dies im Kontext der
|
||||
algebraischen Geometrie genau bedeuten soll. Antwort: algebraische Funktion,
|
||||
die ``nur in der Nähe von $p$ definiert sind'', sind rationale Funktionen die
|
||||
bei $p$ keine Polstelle haben. Was ist eine rationale Funktion? Antwort:
|
||||
rationale Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von
|
||||
Elementen des affinen Koordinatenringes. Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo
|
||||
$a$ und $b$ Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$
|
||||
am Punkte $p$ keine Nullstelle hat.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Multiplikative Systeme}
|
||||
|
||||
Das Ziel dieses Abschnittes ist, in grober Analogie zur Konstruktion des
|
||||
Quotientenkörpers eine Art Bruchrechnung für den affinen Koordinatenring (und in
|
||||
Wirklichkeit gleich für alle möglichen Ringe) einzuführen und zu diskutieren.
|
||||
Während der Quotientenkörper aus Brüchen besteht, wo als Nenner lediglich die
|
||||
Null verboten ist, müssen wir hier etwas vorsichtiger sein.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Multiplikatives System]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine Teilmenge $S ⊆ R$ heißt
|
||||
\emph{multiplikatives System}\index{multiplikatives System}, wenn $1 ∈ S$ ist
|
||||
und wenn $S$ abgeschlossen unter der Multiplikation ist. Mit anderen Worten:
|
||||
wenn für alle $f$ und $g ∈ S$ die Inklusion $f·g ∈ S$ gilt.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2}
|
||||
Es sei $R$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins. Die folgenden Mengen
|
||||
sind multiplikative Systeme.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Menge der Einheiten, also $R^*$.
|
||||
|
||||
\item Es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Dann ist $R∖ p$ ein multiplikatives
|
||||
System.
|
||||
|
||||
\item Es sei $m_p ⊂ R$ ein maximales Ideal. Dann ist $m_p$ ein Primideal und
|
||||
$R∖ m_p$ ist ein multiplikatives System.
|
||||
|
||||
\item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element. Dann ist die Menge
|
||||
$\{ 1, f, f², … \}$ ein multiplikatives System.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Lokalisierung von Ringen}
|
||||
|
||||
Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft. In späteren Anwendungen
|
||||
ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und
|
||||
$m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann
|
||||
die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine
|
||||
Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist.
|
||||
Bei der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also ``rationale
|
||||
Funktionen'' der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des
|
||||
multiplikativen Systems $R ∖ m_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt
|
||||
präzise, was passiert.
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Ringen]\label{kons:loc}
|
||||
\index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
|
||||
und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Dann betrachte die folgende
|
||||
Relation auf $R ⨯ S$,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:10-3-1-1}
|
||||
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
|
||||
∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0
|
||||
\end{equation}
|
||||
Rechnen Sie nach, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt!
|
||||
Wie üblich bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von $(a, α)$ mit $\frac{a}{α}$.
|
||||
Der Quotient wird mit $S^{-1}R$ bezeichnet.
|
||||
|
||||
Als nächstes versehen wir $S^{-1}R$ mit der Struktur eines Ringes. Dazu
|
||||
werden Addition und Multiplikation auf $S^{-1}R$ wie üblich auf
|
||||
Repräsentantenniveau definiert. Gegeben Brüche $\frac{a}{α}$ und
|
||||
$\frac{b}{β}$ aus $S^{-1}R$, so definieren wir
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\frac{a}{α} &+& \frac{b}{β} & := & \frac{a β + b α}{α β}\\
|
||||
\frac{a}{α} &·& \frac{b}{β} & := & \frac{ab}{α β}.
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Man rechne nach, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist, dass dies eine
|
||||
Ringstruktur auf $S^{-1}R$ liefert, sodass die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
φ : R → S^{-1}R,\quad a ↦ \frac{a}{1}
|
||||
\]
|
||||
ein Ringmorphismus ist.
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
\begin{frage}
|
||||
Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Relation~\eqref{eq:10-3-1-1}
|
||||
komplizierter ist als die Relation, die Sie bei der Konstruktion des
|
||||
Quotientenkörpers kennen gelernt haben, denn dort war
|
||||
\[
|
||||
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
|
||||
(aβ - b α) = 0.
|
||||
\]
|
||||
Es stellt sich (=ich stelle Ihnen) die Frage, warum die zusätzliche
|
||||
Komplikation mit $∃ s…$ eigentlich notwendig ist. Tipp: Niemand von uns hat
|
||||
die Absicht, jemals durch null zu dividieren. Aber Ringe können leider auch
|
||||
Nullteiler enthalten!
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
Genau wie der Quotientenkörper ist die Lokalisierung eines Ringes eindeutig
|
||||
durch eine universelle Eigenschaft gegeben. Weil wir die universellen
|
||||
Eigenschaften in der Vorlesung ``Algebra'' zu genüge diskutiert haben, spare ich
|
||||
mir die Details und den Beweis und gebe die Eigenschaft einfach an.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3}
|
||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus
|
||||
$γ : R → T$ gegeben, so dass $γ(S) ⊂ T^*$ ist. Dann existiert genau ein
|
||||
Morphismus $ν :S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & {S^{-1}R} \ar[d, "ν"] \\
|
||||
R \ar[r, "γ"'] & T
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\eqno\qed
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Es ist kein Hexenwerk, die Abbildung $ν$ aus Proposition~\ref{prop:10-3-3}
|
||||
anzugeben:
|
||||
\[
|
||||
ν \left(\frac{a}{α}\right) = γ(a)· γ(α)^{-1}.
|
||||
\]
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem
|
||||
multiplikativen System $S := R ∖ p$. Dann wird die Lokalisierung $S^{-1} R$
|
||||
auch häufig mit $R_p$ bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Erste Eigenschaften}
|
||||
|
||||
Beobachten Sie: In Konstruktion~\ref{kons:loc} ist $φ(1)$ ein neutrales Element
|
||||
der Multiplikation im Ring $S^{-1}R$. Also ist $S^{-1}R$ entweder der Nullring
|
||||
oder ein kommutativer Ring mit 1, nämlich $1_{S^{-1}R} = \frac{1}{1}$. Finden
|
||||
Sie ein Beispiel, wo $S^{-1}R$ tatsächlich der Nullring ist! Das folgende Lemma
|
||||
kann helfen.
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
In Konstruktion~\ref{kons:loc} ist
|
||||
\[
|
||||
\ker(φ) = \{ r ∈ R \::\: ∃ s ∈ S: s· r = 0 \}.
|
||||
\]
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Gegeben ein Element $r ∈ R$, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
|
||||
\[
|
||||
r ∈ \ker(φ) \iff \frac{r}{1} = \frac{0}{1} \iff ∃ s ∈ S: s·(r·1-0·1) = 0.
|
||||
\qedhere
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
In Konstruktion~\ref{kons:loc} sind folgende Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-3-6-2} Es ist $0 ∈ S$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-3-6-3} Die Menge $S$ enthält nilpotente Elemente.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
---
|
||||
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[\ref{il:10-3-6-1} $⇒$ \ref{il:10-3-6-2}] Sei $S^{-1}R = 0$. Dann ist
|
||||
$\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit
|
||||
$s · 1 = 0$. Also ist $0 ∈ S$.
|
||||
|
||||
\item[\ref{il:10-3-6-2} $⇒$ \ref{il:10-3-6-3}] Klar, denn 0 ist ein
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nilpotentes Element.
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\item[\ref{il:10-3-6-3} $⇒$ \ref{il:10-3-6-1}] Sei $s ∈ S$ ein nilpotentes
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Element. Es existiert also eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass $s^n = 0$ ist. Es
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||||
folgt: $0 ∈ S$, und je zwei Brüche sind immer äquivalent. Insbesondere ist
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\[
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S^{-1}R = \left\{ \frac{0}{1} \right\}. \qedhere
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||||
\]
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\end{description}
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\end{proof}
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\section{Lokalisierung von Moduln}
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Unser nächstes Ziel ist es, Ideale im Ring $R$ und im lokalisierten Ring
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$S^{-1}R$ zu vergleichen. Es lohnt sich aber, gleich ein wenig allgemeiner zu
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arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln.
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Sie erinnern sich doch
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daran, was ein Modul ist?} Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein
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Vektorraum, aber nicht über einem Körper sondern über einem Ring. Die
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Lokalisierung eines Moduls geht genau so wie die Lokalisierung eines Ringes: wir
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betrachten Brüche, wo oben Modulelemente stehen und unten Elemente des
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multiplikativen Systems.
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\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM}
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\index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
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und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul
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(zum Beispiel ein Ideal). Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$,
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\begin{equation}\label{eq:10-3-1-1M}
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||||
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
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||||
∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0
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\end{equation}
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Rechnen Sie nach, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt!
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Wie üblich bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von $(a, α)$ mit $\frac{a}{α}$.
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Der Quotient wird mit $S^{-1}A$ bezeichnet.
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Als nächstes versehen wir $S^{-1}A$ mit der Struktur eines Moduls über dem
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Ring $S^{-1}R$. Dazu werden Addition und skalare Multiplikation wie üblich
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auf Repräsentantenniveau definiert. Gegeben Brüche $\frac{a}{α}$ und
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||||
$\frac{b}{β}$ aus $S^{-1}A$ und $\frac{r}{s}$ aus $S^{-1}R$, so definieren wir
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||||
\[
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||||
\begin{matrix}
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||||
\frac{a}{α} &+& \frac{b}{β} & := & \frac{a β + b α}{α β}\\
|
||||
\frac{r}{s} &·& \frac{b}{β} & := & \frac{r·b}{α β}.
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Man rechne nach, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist, dass dies eine
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||||
Modulstruktur auf $S^{-1}A$ liefert.
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||||
\end{konstruktion}
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||||
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\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2}
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||||
Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potential für Verwirrung.
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Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul. Wenn ich jetzt
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$S^{-1} R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus
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Konstruktion~\ref{kons:loc} oder die Lokalisierung des $R$-Moduls aus
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Konstruktion~\ref{kons:locM}? Gute Nachricht: es macht keinen Unterschied.
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Rechnen Sie nach, dass die beiden Konstruktion in diesem Fall schlicht
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identisch sind.
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Rechnen Sie auch nach, dass zweimal Lokalisieren nichts ändert. Genauer
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||||
gesagt, es gibt einen kanonischen Isomorphismus $S^{-1}S^{-1}A ≅ S^{-1}A$.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
Natürlich ist auch die Lokalisierung von Moduln durch universelle Eigenschaften
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||||
bestimmt, aber ich verzichte hier auf eine große Diskussion. Stattdessen möchte
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ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen.
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\begin{beobachtung}[Lokalisierung von Moduln ist funktoriell]
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\index{Lokalisierung!von Modulmorphismus}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit
|
||||
Eins und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $α : A → B$
|
||||
ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann erhalte ich eine Abbildung zwischen den
|
||||
lokalisierten Moduln, durch
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}α : S^{-1} A → S^{-1} B, \quad \frac{a}{s} ↦ \frac{α(a)}{s}.
|
||||
\]
|
||||
Rechnen Sie nach, dass diese ``Definition auf Repräsentantenniveau''
|
||||
tatsächlich wohldefiniert ist. Gegeben einen weiteren Modulmorphismus
|
||||
$β : B → C$, so rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}(β◦α) = \left(S^{-1}β\right) ◦ \left(S^{-1} α\right)
|
||||
\]
|
||||
gilt. Der Mathematiker fasst die Aussage ``Morphismen von Moduln induzieren
|
||||
in kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und
|
||||
Weise, die mit der Komposition verträglich ist'' kurz zusammen und sagt:
|
||||
``Lokalisierung ist funktoriell''.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
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||||
\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal]
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||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem
|
||||
multiplikativen System $S := R ∖ p$. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul. Dann wird
|
||||
die Lokalisierung $S^{-1} A$ auch häufig mit $A_p$ bezeichnet. Gegeben einen
|
||||
Morphismus von $R$-Moduln, $α : A → B$, dann wird die Lokalisierung $S^{-1} α$
|
||||
auch häufig mit $α_p$ bezeichnet.
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||||
\end{notation}
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\subsection{Exaktheit}
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\subsubsection{Exakte Sequenzen -- Teile und Herrsche}
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In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' haben Sie exakte Sequenzen kennen gelernt,
|
||||
aber vielleicht nicht gemocht. Jetzt ist es an der Zeit, die exakt Sequenz
|
||||
lieben zu lernen. Ich wiederhole kurz, worum es geht: Gegeben einen Ring $R$,
|
||||
dann nenne eine (endliche oder unendliche) Folge von Modulmorphismen
|
||||
\[
|
||||
⋯ \xrightarrow{α_{n-1}} A_{n-1} \xrightarrow{α_n} A_n \xrightarrow{α_{n+1}}
|
||||
A_{n+1} \xrightarrow{α_{n+2}} ⋯
|
||||
\]
|
||||
exakt, wenn für jeden Index $i$ die Gleichung $\img α_i = \ker α_{i+1}$ gilt.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
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||||
Es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann kann man Injektivität
|
||||
und Surjektivität von $α$ mit Hilfe von exakten Sequenzen ausdrücken.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Morphismus $α$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker α = \{0\}$ ist.
|
||||
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$
|
||||
exakt ist. Dabei ist der erste Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
|
||||
sonst.
|
||||
|
||||
\item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz
|
||||
$A \xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist. Dabei ist der letzte Pfeil
|
||||
logischerweise die Nullabbildung, was sonst.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Wir interessieren uns besonders für \emph{kurze exakte Sequenzen}. Das sind
|
||||
exakte Sequenzen der folgenden Form,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:kes}
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||||
0 → A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C → 0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Dabei ist der erste und der letzte Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
|
||||
sonst.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6}
|
||||
Die Aussage ``Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt'' besagt genau die
|
||||
folgenden drei Dinge.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Morphismus $α$ ist injektiv.
|
||||
|
||||
\item Es gilt $\img α = \ker β$.
|
||||
|
||||
\item Der Morphismus $β$ ist surjektiv.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Insbesondere gilt in diesem Kontext die folgenden Aussagen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Modul $A$ ist isomorph zu $\ker β$.
|
||||
|
||||
\item Der Modul $C$ ist isomorph zu $\coker α$. Wenn ich $A$ mithilfe der
|
||||
injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse dann ist $C$ also
|
||||
isomorph zum Quotientenmodul $B/A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Wenn Sie normal sind, haben Sie sich sicher schon länger gefragt, warum ältere
|
||||
Professoren auf exakte Sequenzen abfahren. Der Grund: viele Moduln sind echt
|
||||
schwer zu verstehen. Wenn mir das Leben einen Modul $B$ gibt, dann suche ich
|
||||
eine exakte Sequenz wie in \eqref{eq:kes}, in der Hoffnung, dass die Moduln $A$
|
||||
und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind. Das Zerlegt mein
|
||||
Problem ``verstehe den Modul $B$'' in drei Teilaufgaben.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Verstehe den kleineren Modul $A$.
|
||||
|
||||
\item Verstehe den kleineren Modul $C$.
|
||||
|
||||
\item Verstehe, wie sich der Modul $B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$
|
||||
zusammensetzt. Mit anderen Worten: verstehe die kurze exakte Sequenz
|
||||
\eqref{eq:kes}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Finden Sie diese Strategie überzeugend? Vielleicht nicht. Sie haben nämlich
|
||||
vermutlich noch kein Beispiel gesehen, wo man mit dieser Strategie wirklich
|
||||
etwas bewiesen hätte. Dafür gibt es einen guten Grund: Sie haben sich bislang
|
||||
vermutlich weniger für Moduln, sondern meistens nur für Vektorräume
|
||||
interessiert. Wenn aber \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von
|
||||
Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage ``Wie setzt sich der Modul
|
||||
$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant.
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
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||||
Wenn \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von Moduln ist, dann ist es im
|
||||
Allgemeinen überhaupt nicht richtig, dass $B$ isomorph zu $A⊕C$ ist. Die
|
||||
Frage, welche Moduln in der Mitte einer exakten Sequenz der Form
|
||||
\eqref{eq:kes} stehen können, ist ziemlich interessant.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{Exaktheit des Lokalisierungsfunktors}
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||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 12}Ich verspreche Ihnen, dass wir später in dieser
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||||
Vorlesung interessante exakte Sequenzen sehen werden. Im Moment geht es aber um
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||||
die Lokalisierung von Moduln. Der wesentliche Punkt: Lokalisierung bildet
|
||||
exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab. Der Mathematiker sagt ``Lokalisierung
|
||||
ist ein exakter Funktor''.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
|
||||
\[
|
||||
A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C
|
||||
\]
|
||||
eine exakte Sequenz von $R$-Moduln. Dann ist auch die Sequenz
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}A \xrightarrow{S^{-1}α} S^{-1}B \xrightarrow{S^{-1}β} S^{-1}C
|
||||
\]
|
||||
exakt.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{12-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge
|
||||
drei. Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage
|
||||
ziemlich schnell auch für exakte Sequenzen beliebiger Länge --- unendlich
|
||||
lange Sequenzen sind ebenfalls erlaubt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
|
||||
$α : A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wenn $α$ injektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ injektiv.
|
||||
|
||||
\item Wenn $α$ surjektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ surjektiv.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach Beobachtung~\ref{beo:10-4-6} und Satz~\ref{satz:10-4-7} gelten folgende
|
||||
Äquivalenzen.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Die Abbildung $α$ ist injektiv.} & ⇔ \text{Die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$ ist exakt.} \\
|
||||
& ⇒ \text{Die Sequenz $S^{-1}0 → S^{-1}A \xrightarrow{S^{-1} α} S^{-1}B$ ist exakt.} \\
|
||||
& ⇔ \text{Die Abbildung $S^{-1} α$ ist injektiv.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Der Beweis für Surjektivität geht analog.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Gegeben einen $R$-Modul $B$ und einen Untermodul $A ⊂ B$, dann erlaubt
|
||||
Korollar~\ref{kor:10-4-7}, den lokalisierten Modul $S^{-1}A$ als Untermodul von
|
||||
$S^{-1}B$ aufzufassen. Damit ist das folgende Korollar sinnvoll.
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei$M$
|
||||
ein $R$-Modul mit Untermoduln $N$ und $P ⊂ M$. Dann gilt folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es ist $S^{-1}(N+P) = (S^{-1}N) + (S^{-1}P)$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $S^{-1}(N ∩ P) = (S^{-1}N) ∩ (S^{-1}P)$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-4-8-3} Es ist $S^{-1}(M/N) = (S^{-1} M) / (S^{-1} N)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Ich bin faul und beweise nur \ref{il:10-4-8-3}. Betrachte dazu die exakte
|
||||
Sequenz
|
||||
\[
|
||||
0 → N \xrightarrow{\text{Inklusion}} M
|
||||
\xrightarrow{\text{Projektion}} M/N → 0.
|
||||
\]
|
||||
Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{S^{-1}0}_{ = 0} → S^{-1}N
|
||||
\xrightarrow{S^{-1}\text{Inklusion}} S^{-1}M \xrightarrow{S^{-1}\text{Projektion}}
|
||||
S^{-1}(M/N) → \underbrace{S^{-1}0}_{ = 0}
|
||||
\]
|
||||
ebenfalls exakt. Also ist $S^{-1}(M/N)$ nach Beobachtung~\ref{beo:10-4-6}
|
||||
isomorph zum Quotienten $(S^{-1}M) / (S^{-1}N)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Lokale Eigenschaften von Moduln und von Morphismen}
|
||||
|
||||
Gegeben sei ein Ring $R$ und es sei $A$ ein $R$-Modul. Wenn $A$ der Nullmodul
|
||||
ist, dann ist natürlich auch jede Lokalisierung nach jedem Primideal der
|
||||
Nullmodul. Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $M$ ein $R$-Modul. Dann sind die folgenden
|
||||
Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:10-4-10-1} Es ist $M = 0$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-4-10-2} Für jedes Primideal $p ⊂ R$ ist $M_p = 0$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist
|
||||
$M_m = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu
|
||||
zeigen. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$
|
||||
ist, dass aber alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind. Wähle dann
|
||||
ein Element $x ∈ M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Ass}(x) = \{ r ∈ R \::\: r·x = 0 \} ⊂ R.
|
||||
\]
|
||||
Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das ``zu $x$ assoziierte Ideal''
|
||||
bezeichnet wird. Blutrünstige Kollegen sprechen gern vom
|
||||
\href{https://www.youtube.com/watch?v=qTUL-mpov78}{Assassinator-Ideal}, weil
|
||||
$\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$
|
||||
``killen''. Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort
|
||||
$1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$. Also können wir ein maximales Ideal wählen
|
||||
$m$, das $\operatorname{Ass}(x)$ enthält,
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Ass}(x) ⊂ m ⊊ R.
|
||||
\]
|
||||
Per Annahme ist $M_m = 0$, und also ist
|
||||
\[
|
||||
\frac{0}{1} = \frac{x}{1} ∈ M_m.
|
||||
\]
|
||||
Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R ∖ m$ existiert,
|
||||
sodass $s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist. Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und
|
||||
also ist $s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von
|
||||
$s ∈ R ∖ m ⊂ R ∖ \operatorname{Ass}(x)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
In der Fachsprache sagt man, die Eigenschaft eines Moduls, der Nullmodul zu
|
||||
sein, ist eine lokale Eigenschaft.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Moduln]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Moduln. Nenne $E$
|
||||
eine \emph{lokale Eigenschaft}\index{lokale Eigenschaft!von Moduln}, wenn für
|
||||
jeden $R$-Modul $M$ die folgenden Aussagen äquivalent sind.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Modul $M$ hat Eigenschaft $E$.
|
||||
|
||||
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der Modul $M_p$ hat Eigenschaft
|
||||
$E$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen.
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von
|
||||
$R$-Moduln. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:10-5-3-1} Die Abbildung $α$ ist injektiv.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: die Abbildung
|
||||
$α_p$ ist injektiv.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: die
|
||||
Abbildung $α_m$ ist injektiv.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Analoge Äquivalenzen gelten auch für Surjektivität.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3}
|
||||
$⇒$ \ref{il:10-5-3-1} zu zeigen. Wir nehmen also an, dass für jedes
|
||||
maximale Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist.
|
||||
|
||||
Als nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:10-5-3-4}
|
||||
0 → \ker(α) → A \xrightarrow{α} B.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Rechnen Sie nach, dass diese Sequenz exakt ist! Ich will zeigen, dass
|
||||
$\ker(α) = 0$. Nach Lemma~\ref{lem:10-4-10} ist dies gleichbedeutend dazu,
|
||||
dass für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ die Gleichheit $(\ker(α))_m = 0$ gilt.
|
||||
Sei also ein maximales Ideal $m ⊂ R$ gegeben! Dann wende die
|
||||
Lokalisierungskonstruktion auf die Sequenz~\eqref{eq:10-5-3-4} an und erhalte
|
||||
eine neue Sequenz,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:10-5-3-5}
|
||||
0_m → (ker(α))_m → A_m \xrightarrow{α_m} B_m,
|
||||
\end{equation}
|
||||
die nach Satz~\ref{satz:10-4-7} ebenfalls exakt ist. Aus der Exaktheit von
|
||||
\eqref{eq:10-5-3-5} folgt aber, dass $(\ker(α))_m = \ker(α_m)$ ist. Per
|
||||
Annahme ist $α_m$ aber injektiv und deshalb ist $(\ker(α))_m = 0$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Korollar~\ref{kor:10-5-3} sagt, das Injektivität und Surjektivität lokale
|
||||
Eigenschaften von $R$-Modulmorphismen sind.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Modulmorphismen]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Modulmorphismen.
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||||
Nenne $E$ eine \emph{lokale Eigenschaft}\index{lokale Eigenschaft!von
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||||
Modulmorphismen}, wenn für jeden $R$-Modulmorphismus $α$ die folgenden
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||||
Aussagen äquivalent sind.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Der $R$-Modulmorphismus $α$ hat Eigenschaft $E$.
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||||
|
||||
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat
|
||||
Eigenschaft $E$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{defn}
|
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\section{Ideale}
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Nun möchte ich noch untersuchen, wie die Mengen der Ideale im Ring $R$ und im
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lokalisierten Ring $S^{-1}R$ zusammenhängen. Bevor es losgeht, erinnere ich an
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||||
zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung.
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\begin{lem}[Urbilder von Idealen]
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||||
Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $I ⊂ T$ ein Ideal. Dann ist
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die Urbildmenge $γ^{-1}(I)$ ein Ideal in $R$. Falls das Ideal $I$ zusätzlich
|
||||
prim ist, dann ist auch $γ^{-1}(I)$ ein Primideal. \qed
|
||||
\end{lem}
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||||
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||||
\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2}
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||||
Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $J ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist
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||||
im Allgemeinen weder die Bildmenge $γ(J)$ noch die Menge
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\[
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||||
γ(J)·T := \{ a·b \::\: a ∈ γ(J) \text{ und } b ∈ T \}
|
||||
\]
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||||
ein Ideal in $T$. \qed
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||||
\end{nlemma}
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||||
Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
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\begin{lem}\label{lem:10-6-3}
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||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
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Ringen'') sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist
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||||
\begin{equation}\label{eq:10-6-3-1}
|
||||
φ(I)·S^{-1}R = \left\{ \frac{a}{b} ∈ S^{-1}R \::\: a ∈ I, b ∈ S
|
||||
\right\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Insbesondere ist die diesem Fall die Menge $φ(I)·S^{-1}R$ sehr wohl ein Ideal
|
||||
in $S^{-1}R$.
|
||||
\end{lem}
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||||
\begin{proof}
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||||
Die Inklusion ``$⊃$'' ist klar. Um die Inklusion ``$⊂$'' zu zeigen, sei ein
|
||||
Element
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\[
|
||||
\frac{α}{β} ∈ φ(I)·S^{-1}R
|
||||
\]
|
||||
gegeben. Per Definition von $φ(I)·S^{-1}R$ bedeutet das: es existieren
|
||||
Elemente $a ∈ I$ und $\frac{r}{s} ∈ S^{-1}R$, sodass die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
\frac{α}{β} = \frac{a}{1}·\frac{r}{s} = \frac{a·r}{s}
|
||||
\]
|
||||
gilt. Da $I$ ein Ideal ist, ist $a·r ∈ I$ und die Aussage folgt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potential für Verwirrung, denn
|
||||
das Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich auch ein $R$-Modul und die rechte Seite von
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:10-6-3-1} erinnert an $S^{-1}I$, die Lokalisierung von $I$
|
||||
als $R$-Modul. Das ist natürlich kein Zufall, und ich möchte die Details noch
|
||||
einmal genau diskutieren. Sei also $ι : I → R$ die Inklusionsabbildung; dies
|
||||
ist ein Morphismus von $R$-Moduln. Lokalisierung von $R$-Moduln liefert uns
|
||||
eine neue Abbildung,
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}ι : S^{-1}I → S^{-1}R,
|
||||
\]
|
||||
die nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} wieder injektiv ist. Erinnern Sie sich
|
||||
dazu an Bemerkung~\ref{bem:10-4-2}: Es macht keinen Unterschied, ob wir $R$
|
||||
als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren. Rechnen Sie als nächstes nach, dass
|
||||
das Bild der injektiven Abbildung $S^{-1}ι$ genau die Menge $φ(I)·S^{-1}R$
|
||||
ist. Die Abbildung $S^{-1}ι$ identifiziert daher die Mengen $S^{-1}I$ und
|
||||
$φ(I)·S^{-1}R$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-6-3} werden wir das Ideal
|
||||
$φ(I)·S^{-1} R ⊂ S^{-1} R$ von nun an häufig mit $S^{-1}I$ notieren.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6}
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||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
|
||||
Ringen'') gilt folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:10-6-6-1} Alle Ideale in $S^{-1}R$ sind von der Form $S^{-1}I$
|
||||
für ein Ideal $I ⊂ R$. Genauer: für jedes Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ gilt die
|
||||
Gleichung
|
||||
\[
|
||||
J = S^{-1} φ^{-1}(J).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Für jedes Ideal $I ⊂ R$ ist
|
||||
\[
|
||||
φ^{-1}\left(S^{-1}I\right) = \{ r ∈ R \::\: ∃ s ∈ S : r·s ∈ I \}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-6-6-3} Ein Ideal $I ⊂ R$ ist genau dann von der Form
|
||||
$φ^{-1}(J)$, wenn die folgende Gleichheit gilt
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||||
\[
|
||||
I = \{ r ∈ R \::\: ∃ s∈S: r·s ∈ I \}.
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{12-2}
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8}
|
||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
|
||||
Ringen'') liefert die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
η: \left\{\text{ Ideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{\text{ Ideale in $R$ }
|
||||
\right\}, \quad J ↦ φ^{-1}(J)
|
||||
\]
|
||||
eine Bijektion
|
||||
\[
|
||||
\left\{ \text{ Primideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{ \text{
|
||||
Primideale $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ } \right\}.
|
||||
\]
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zuerst müssen wir zeigen, dass für jedes Primideal $J ⊂ S^{-1}R$ das Urbild
|
||||
$φ^{-1}(J)$ zu $S$ disjunkt ist. Das geht mit einem Widerspruchsbeweis.
|
||||
Angenommen, es gäbe ein $s ∈ φ^{-1}(J)∩ S$. Per Definition der Abbildung $φ$
|
||||
ist dann $\frac{s}{1} ∈ J$, also $\frac{1}{1} = \frac{s}{1}·\frac{1}{s} ∈ J$
|
||||
und es folgt $J = S^{-1}R$ Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$ prim
|
||||
ist.
|
||||
|
||||
Die Abbildung $η$ ist offensichtlich injektiv. Also ist nur noch zu zeigen,
|
||||
dass jedes Primideal $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ bereits Urbild eines Primideals
|
||||
in $J ⊂ S^{-1}R$ ist. Sei also ein solches Ideal $I$ gegeben. Um $J$ zu
|
||||
finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element
|
||||
$r ∈ R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$
|
||||
logischerweise nicht in $I$. Auf der anderen Seite ist $I$ per Annahme ein
|
||||
Primideal, so dass $r ∈ I$ sein muss. Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} liefert uns
|
||||
also ein Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ mit $I = φ^{-1}(J)$. Nach \ref{il:10-6-6-1}
|
||||
wissen wir sogar ganz genau, was $J$ ist, nämlich $S^{-1}I$.
|
||||
|
||||
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass das gefundene Ideal $J$ tatsächlich ein
|
||||
Primideal ist. Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und
|
||||
$\frac{c}{d} ∈ S^{-1}R$ gegeben, sodass
|
||||
\[
|
||||
\frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} ∈ J = S^{-1}I
|
||||
\]
|
||||
ist. Nach Lemma~\ref{lem:10-6-3} bedeutet das:
|
||||
\[
|
||||
∃ α ∈ I: ∃ β ∈ S: \frac{α}{β} = \frac{ac}{bd}.
|
||||
\]
|
||||
Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: es existiert ein Element
|
||||
$u ∈ S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$. Es folgt also
|
||||
\[
|
||||
ac\underbrace{β u}_{∈ S} = α·bdu ∈ I \text{ da } α ∈ I.
|
||||
\]
|
||||
Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$. Also ist
|
||||
$a ∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder
|
||||
$\frac{c}{d} ∈ I$. Was zu zeigen war.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
|
||||
Ringen'') sei $R$ Noethersch. Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es sei $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ eine aufsteigende Kette von Idealen in $S^{-1}R$.
|
||||
Betrachte die Kette $φ^{-1}(I_1) ⊂ φ^{-1}(I_2) ⊂ ⋯$. Das ist eine
|
||||
aufsteigende Kette von Idealen in $R$. Weil der Ring $R$ per Annahme
|
||||
Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit anderen Worten: es existiert
|
||||
ein Index $n ∈ ℕ$, sodass $φ^{-1}(I_n) = φ^{-1}(I_{n+1}) = ⋯$ ist. Nach
|
||||
Aussage~\ref{il:10-6-6-1} von Satz~\ref{satz:10-6-6} ist dann aber
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{S^{-1} φ^{-1}(I_n)}_{= I_n} = \underbrace{S^{-1}
|
||||
φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯
|
||||
\]
|
||||
Also wird bereits die aufsteigende Kette $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ stationär.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9}
|
||||
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
|
||||
Ringen'') sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein
|
||||
Primideal $p ⊂ R$. Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal,
|
||||
nämlich $p·R_p = S^{-1}p$.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal,
|
||||
welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R ∖ S = R ∖ (R ∖ p) = p$ enthalten
|
||||
ist. Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$.
|
||||
Mit anderen Worten: $m = p · R_p$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Lokale Ringe}
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||||
|
||||
Die Lokalisierung eines Ringes ist natürlich eine sehr wichtige Konstruktion.
|
||||
Sie ist so wichtig, dass die Ringe, die man dabei erhält, einen eigenen Namen
|
||||
bekommen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Lokaler Ring, Restklassenkörper]
|
||||
Ein \emph{lokaler Ring}\index{lokaler Ring} ist ein kommutativer Ring mit
|
||||
Eins, der genau ein maximales Ideal enthält. Wenn $R$ ein lokaler Ring mit
|
||||
maximalem Ideal $m$ ist, dann wird der Körper $R/m$ als
|
||||
\emph{Restklassenkörper}\index{Restklassenkörper} bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal. Wir haben in
|
||||
Korollar~\ref{kor:10-6-9} gesehen, dass $R_p$ ein lokaler Ring mit maximalen
|
||||
Ideal $p·R_p$ ist. Rechnen Sie nach, dass der Restklassenkörper $R_p/p·R_p$
|
||||
exakt der Quotientenkörper des Integritätsringes $R/p$ ist!
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Charakterisierung von lokalen Ringen]
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $m ⊊ R$ ein maximales Ideal. Dann sind die
|
||||
folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:10-7-2-1} Der Ring $R$ ist ein lokaler Ring.
|
||||
|
||||
\item\label{il:10-7-2-2} Jedes Element aus $R∖m$ ist eine Einheit.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
---
|
||||
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und
|
||||
$f ∈ R$ sei keine Einheit. Dann ist $(f) ≠ R$. Also ist $(f)$ in einem
|
||||
(dem einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$. Also ist
|
||||
$f ∈ m$.
|
||||
|
||||
\item[\ref{il:10-7-2-2} $⇒$ \ref{il:10-7-2-1}] Sei $I ⊊ R$ ein beliebiges
|
||||
Ideal. Dann gilt für jedes Element $x ∈ I$, dass $x \not ∈ R^*$ (denn sonst
|
||||
wäre $I = R$). Also ist $I ⊂ m$. Also ist $m$ das einzige maximale Ideal.
|
||||
\qedhere
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir enden mit dem brühmten ``Lemma von Nakayama''. Dies ist ein Kriterium, mit
|
||||
dem man später in geometrisch relevanten Situationen zeigen kann, dass ein
|
||||
gegebener Modul über einem lokalen Ring verschwindet. Über das Lemma von
|
||||
Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich kurz
|
||||
fassen denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie.
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Lemma von Nakayama]
|
||||
Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $m$. Weiter sei $M$ ein endlich
|
||||
erzeugter $R$-Modul. Betrachte die Menge
|
||||
\[
|
||||
m · M = \{ a · b ∈ M \::\: a ∈ m, b ∈ M \}.
|
||||
\]
|
||||
Falls $m · M = M$ ist, dann ist $M = 0$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{12-3}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,222 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Lokale Ringe und Multiplizität von Punkten}
|
||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 13}In diesem Kapitel möchte ich die Geometrie aus
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||||
Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
|
||||
Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
|
||||
folgende Situation.
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||||
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||||
\begin{situation}\label{sit:11-1}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
|
||||
ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
|
||||
Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal
|
||||
$m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die
|
||||
Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen
|
||||
wir mit $m_p$.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
|
||||
|
||||
Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
|
||||
``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
|
||||
dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}
|
||||
In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle
|
||||
natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
|
||||
\mult_p(f) = \dim_k \Bigl(\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}\Bigr).
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{erkl}
|
||||
Die rechte Seite der Gleichung~\eqref{eq:11-0-3-1} ist vielleicht
|
||||
erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
|
||||
beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
|
||||
\[
|
||||
m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯
|
||||
\]
|
||||
In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und
|
||||
$m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$
|
||||
natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient
|
||||
$\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen
|
||||
und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir
|
||||
natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante
|
||||
Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes
|
||||
Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise
|
||||
fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.
|
||||
Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es
|
||||
sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
|
||||
\end{erkl}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
|
||||
angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine
|
||||
Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen
|
||||
Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
|
||||
Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
|
||||
eingebettet ist!
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
|
||||
wird dabei helfen.
|
||||
|
||||
\begin{lem}\label{lem:11-1-4}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
|
||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
|
||||
maximale Ideal des $0$-Punktes,
|
||||
\[
|
||||
m := (x,y) ⊊ \factor{k[x,y]}{I} =: R.
|
||||
\]
|
||||
Dann ist die Lokalisierungsabbildung $φ : R → R_m$ ein Isomorphismus von
|
||||
$R$-Moduln.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{13-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:11-0-3}]
|
||||
\video{13-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Glatte Punkte und diskrete Bewertungsringe}
|
||||
|
||||
\begin{satzdef}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
|
||||
Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal
|
||||
$m ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
|
||||
|
||||
\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes
|
||||
$z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$
|
||||
besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
|
||||
Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
|
||||
\ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende
|
||||
Parameter}\index{uniformisierender Parameter}.
|
||||
\end{satzdef}
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\begin{proof}
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\video{13-3}
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||||
\end{proof}
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||||
Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen
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selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht.
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||||
Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
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\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
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||||
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
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||||
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle
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||||
$x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt.
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\begin{itemize}
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||||
\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $ν(x + y) ≥ \min \bigl\{ ν(x), ν(y) \bigr\}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}
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||||
Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
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||||
und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
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||||
Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$,
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setze
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\[
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ν(q) :=
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||||
\begin{cases}
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||||
n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Nullstelle von Ordnung $n$ hat} \\
|
||||
-n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Polstelle von Ordnung $n$ hat} \\
|
||||
0 & \text{sonst}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$]
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||||
Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
|
||||
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die
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||||
$p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der
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||||
Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den
|
||||
Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element
|
||||
$q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach,
|
||||
dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}
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||||
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
|
||||
dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
|
||||
\[
|
||||
ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) -
|
||||
(Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}.
|
||||
\]
|
||||
Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine
|
||||
positive Bewertung haben.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Wie ändert in Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} die Bewertung, wenn ich einen anderen
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||||
uniformisierenden Parameter wähle?
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||||
\end{aufgabe}
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||||
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||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Erkennen Sie, dass Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} ein Spezialfall von
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||||
Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} ist? Welcher Ring übernimmt in
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||||
Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} die Rolle von $R$ und welches Element von $R$ ist
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||||
für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
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\end{aufgabe}
|
||||
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||||
\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}
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In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
|
||||
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||||
\item Es ist $\mult_p(f) = 1$. Mit anderen Worten: $p$ ist ein einfacher
|
||||
Punkt der Kurve.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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\video{13-4}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
|
||||
etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad
|
||||
1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine}
|
||||
Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring
|
||||
$𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.
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\begin{table}
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\centering
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\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
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||||
\rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
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||||
maximale Ideale im Koordinatenring $k[X]$ & Punkte \\
|
||||
maximale Ideale $m ⊊ k[X]$, sodass der lokale Ring $𝒪_p(X)$ ein diskreter Bewertungsring ist & einfache Punkte \\
|
||||
Dimension von $m_p^n/m_p^{n+1}$ für großes $n$ & Multiplizität des Punktes $p$ in $X$
|
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\end{tabular}
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\bigskip
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||||
Es sei $X$ eine ebene, algebraische Kurve und $p$ ein Punkt von $X$.
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||||
\caption{Wörterbuch: einfache und singuläre Punkte von algebraischen Kurven}
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\label{tab:11-1}
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\end{table}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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|
@ -0,0 +1,404 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Die Sätze von Cohen-Seidenberg}
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\sideremark{Vorlesung 14}Wir teilen vermutlich alle das Gefühl, dass der affine
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Raum $𝔸¹$ und dass algebraische Kurven eindimensional seien, dass der Raum
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||||
$𝔸²$ zweidimensional und dass $𝔸³$ dreidimensional ist. Sie stimmen mir
|
||||
vermutlich auch zu, dass die Dimension einer affinen Varietät eine intrinsische
|
||||
Eigenschaft sein sollte. In diesem Teil der Vorlesung möchte ich die Frage
|
||||
beantworten, wie man die Dimension einer Varietät jetzt genau definiert.
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\section{Die Krull-Dimension}
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||||
Ich spanne Sie nicht lange auf die Folter. Die Idee ist die: im Raum $𝔸³$
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||||
finde ich eine Kette von irreduziblen Mengen der folgenden Form,
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||||
\[
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||||
\text{Punkt} ⊊ \text{Gerade} ⊊ \text{Ebene} ⊊ 𝔸³.
|
||||
\]
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||||
Diese Kette hat Länge drei\footnote{Länge = Anzahl der Inklusionszeichen}, das
|
||||
ist unsere Wunschdimension für $𝔸³$. Außerdem kann man (=werden wir) beweisen,
|
||||
dass diese Kette maximal lang ist. Anschaulich ist wahrscheinlich klar, dass es
|
||||
keine echte Zwischenvarietät zwischen der Gerade und der Ebene geben kann. In
|
||||
unserer Korrespondenz zwischen Algebra und Geometrie gehören irreduzible Mengen
|
||||
zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
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||||
\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche
|
||||
Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
|
||||
Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
|
||||
Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war
|
||||
ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.
|
||||
Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in
|
||||
Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem
|
||||
Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von
|
||||
Primidealen,
|
||||
\[
|
||||
P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
|
||||
\]
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei
|
||||
eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes
|
||||
$k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Krullsche Dimension eines Ringes ist unendlich, wenn es eine unendlich
|
||||
lange Kette von Primidealen gibt oder wenn zu jedem $n ∈ ℕ$ eine endliche
|
||||
Kette der Länge $≥ n$ existiert.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Der Punkt]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||
des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal
|
||||
$(0)$ und somit die Dimension 0.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||
des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
|
||||
Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
|
||||
irreduzibel ist. Alle Ketten von Primidealen sind demnach von der Form
|
||||
\[
|
||||
(0) ⊊ (f) ⊊ k[x].
|
||||
\]
|
||||
Also ist $\dim 𝔸¹_k = \dim k[x] = 1$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die ganzen Zahlen]
|
||||
Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring
|
||||
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette
|
||||
\[
|
||||
(0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
|
||||
(x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n].
|
||||
\]
|
||||
ist eine Kette von Primidealen, also ist
|
||||
$\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
|
||||
unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
|
||||
nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas
|
||||
Vorarbeit zu leisten.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Going up}
|
||||
|
||||
Die folgenden Sätze werden in Algebra-Büchern und Skripten gern ohne jede
|
||||
geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische
|
||||
Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
|
||||
geometrisches Beispiel.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}
|
||||
Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve
|
||||
$C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der
|
||||
Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
|
||||
Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
|
||||
Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
|
||||
$A$ ist der affine Koordinatenring der $x$-Achse, dessen Dimension ich nach
|
||||
Beispiel~\ref{bsp:12-1-5} ja schon kenne. Die Erweiterung $A ⊂ B$ ist
|
||||
endlich,\footnote{Ein System von Erzeugern ist zum Beispiel $\{1,y\}$} und
|
||||
deshalb nach Korollar~\vref{kor:3-3-3} ganz. Wir haben in
|
||||
Abschnitt~\ref{sec:7-3}, dass zu dem Inklusionsmorphismus $A → B$ von affinen
|
||||
Koordinatenringen ein Morphismus von Varietäten gehört. In unserem Beispiel
|
||||
ist dies einfach die orthogonale Projektion von $C$ auf die $x$-Achse,
|
||||
\[
|
||||
π: C → \{x\text{-Achse}\}, \quad (x,y) → x.
|
||||
\]
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
|
||||
ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist
|
||||
$\dim A = \dim B$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen
|
||||
$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und
|
||||
die Primideale in $B$ zueinander verhalten.
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
|
||||
Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt
|
||||
über $p$}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
|
||||
``übereinander liegen'' kommt.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
|
||||
In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
|
||||
zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal
|
||||
$p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.
|
||||
Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Der erste Satz von
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||||
Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
|
||||
(* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer
|
||||
Mathematiker. }-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
|
||||
Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand)
|
||||
war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung
|
||||
$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von
|
||||
Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen
|
||||
$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den
|
||||
$p_{•}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann
|
||||
sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''}
|
||||
|
||||
Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam.
|
||||
Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ
|
||||
unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
|
||||
|
||||
\begin{satz}\label{satz:12-2-5}
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei
|
||||
$q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische
|
||||
Einbettung
|
||||
\[
|
||||
\factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
|
||||
\]
|
||||
Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
|
||||
|
||||
\item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist
|
||||
$S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{14-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Schlechte Notation]
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein
|
||||
Primideal und es sei $S := A ∖ p$. In der Literatur wird die
|
||||
Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$
|
||||
notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter
|
||||
seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$
|
||||
liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
|
||||
& ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
|
||||
& ⇔ \text{Das Ideal $p$ ist maximal.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
|
||||
$p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$
|
||||
über $A$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{14-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei
|
||||
$p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale
|
||||
über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes,
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
|
||||
|
||||
\item $q_1·B_p$ ist Primideal in $B_p$,
|
||||
|
||||
\item $q_2·B_p$ ist Primideal in $B_p$, und
|
||||
|
||||
\item $q_1·B_p ⊂ q_2·B_p$ und $(q_1·B_p) ∩ A_p = (q_2·B_p) ∩ A_p = p·A_p$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb sind
|
||||
die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}
|
||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
|
||||
$p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
|
||||
$p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{14-3}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
|
||||
|
||||
Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt
|
||||
sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
|
||||
ganzen Ringerweiterungen beweisen.
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:12-2-2}]
|
||||
\video{14-4}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
|
||||
Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
|
||||
dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
|
||||
die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen,
|
||||
$f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als
|
||||
Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass
|
||||
diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig
|
||||
beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein
|
||||
maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8}
|
||||
ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales
|
||||
Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch
|
||||
bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird.
|
||||
Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
|
||||
\end{beobachtung}
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||||
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||||
\begin{fakt}
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Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
|
||||
sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung
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||||
$f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$
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||||
surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie
|
||||
sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder
|
||||
kompakter Mengen sind wieder kompakt.
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\end{fakt}
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\section{Going down}
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\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going
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up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das
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Zauberwort heißt ``Normalität''.
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\begin{defn}\label{def:12-3-1}
|
||||
Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
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ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$
|
||||
ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
|
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\[
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||||
\left\{ \frac{a}{b} ∈ Q(A) \::\: \frac{a}{b} \text{ ist ganz über } A
|
||||
\right\} = A.
|
||||
\]
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}
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||||
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien
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||||
Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
|
||||
liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
|
||||
$q_1 ∩ A = p_1$. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis
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||||
nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung
|
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nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
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\subsection{Normale Ringe}
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Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum
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einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in
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||||
relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum
|
||||
anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
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||||
ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
|
||||
diskutieren kann.
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||||
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\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}
|
||||
Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
|
||||
|
||||
\item\label{12-3-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ A$ gilt: Der Ring $A_p$ ist
|
||||
normal.
|
||||
|
||||
\item Für maximalen Ideale $m ⊊ A$ gilt: Der Ring $A_m$ ist normal.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
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||||
|
||||
\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}
|
||||
Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
|
||||
Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
|
||||
ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:12-3-4}]
|
||||
Wir wissen aus Satz~\vref{satz:12-2-5}, dass $S^{-1}A ⊂ S^{-1}C$ eine ganze
|
||||
Ringerweiterung ist. Es bleibt also noch zu zeigen, dass jedes Element in
|
||||
$S^{-1}B$, welches ganz über $S^{-1}A$ ist, schon in $S^{-1}C$ liegt.
|
||||
|
||||
Sei also ein Element $\frac{b}{s} ∈ S^{-1}B$ gegeben, welches ganz über
|
||||
$S^{-1}A$ ist. Wir finden also eine Ganzheitsgleichung der Form
|
||||
\begin{equation}\label{eq:12-3-4-0}
|
||||
\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n +
|
||||
\frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
||||
\frac{a_0}{s_0} = 0,
|
||||
\end{equation}
|
||||
wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze
|
||||
$t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit
|
||||
dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte
|
||||
\[
|
||||
\Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
|
||||
a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
|
||||
\]
|
||||
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist
|
||||
$b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage
|
||||
$\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:12-3-3} bezeichne den Quotientenkörper von
|
||||
$A$ mit $B := Q(A)$. Weiter sei $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$. Wenn
|
||||
wir die Inklusion mit $ι : A → C$ bezeichnen, dann gilt gemäß
|
||||
Definition~\ref{def:12-3-1} die folgende Äquivalenz.
|
||||
\[
|
||||
A\text{ ist normal} \iff ι : A → C \text{ ist surjektiv.}
|
||||
\]
|
||||
Jetzt sei $p ⊂ A$ ein Primideal. Dann ist $B_p$ der Quotientenkörper von
|
||||
$A_p$ und nach Lemma~\ref{lem:12-3-4} ist $C_p$ der ganze Abschluss von $A_p$
|
||||
in $B_p$. Also gilt ganz analog
|
||||
\[
|
||||
A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
|
||||
\]
|
||||
Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
|
||||
folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis
|
||||
für maximale Ideal folgt natürlich analog.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
Faktorielle Ringe sind normal.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es sei $A$ ein faktorieller Ring und $x ∈ Q(A)$ sei ganz über A. Wir müssen
|
||||
zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
|
||||
Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
|
||||
eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$
|
||||
eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die
|
||||
Gleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
|
||||
\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
|
||||
⋯ + a_0 = 0
|
||||
\end{equation}
|
||||
gilt. Multipliziere \eqref{eq:12-3-5-1} mit $q^n$ und erhalte die folgende
|
||||
Gleichung von Elementen in $A$,
|
||||
\[
|
||||
p^n + a_{n-1}q·p^{n-1} + ⋯ + a_0·q^n = 0.
|
||||
\]
|
||||
Also gilt $q \mid p^n$. Weil $A$ per Annahme ein faktorieller Ring ist, gilt
|
||||
$q \mid p$ und deshalb ist $q ∈ A^*$, also $x ∈ A$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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||||
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@ -0,0 +1,404 @@
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% spell checker language
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||||
\selectlanguage{german}
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||||
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||||
\chapter{Noether-Normalisierung}
|
||||
|
||||
Der Satz über die Noether-Normalisierung präsentiert beliebige Ringe als ganze
|
||||
Erweiterungen von Polynomringen. Das ermöglicht es unter anderem, die Frage
|
||||
nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
|
||||
eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
|
||||
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
|
||||
Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente
|
||||
$y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
|
||||
unabhängig über $k$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:13-0-1-2} Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz.
|
||||
|
||||
\item\label{il:13-0-1-3} Im Ring $k[y_1, …, y_d]$ gilt die folgende Gleichheit
|
||||
von Idealen,
|
||||
\[
|
||||
I ∩ k[y_1, …, y_d] = (y_{α + 1}, …, y_d).
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält und wenn
|
||||
$e_1, …, e_n$ ein endliches Erzeugendensystem von $A$ als $k$-Algebra ist,
|
||||
dann können die $y_j$ als Linearkombination der $e_1, …, e_n$ gewählt werden.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Punkt~\ref{il:13-0-1-1} sagt insbesondere, dass der Ring $k[y_1, …, y_d]$
|
||||
isomorph\footnote{Können Sie einen Isomorphismus hinschreiben?} zum Polynomring
|
||||
in $d$ Variablen ist. Im Kern vergleicht der Satz über die
|
||||
Noether-Normalisierung den (womöglich sehr komplizierten) Ring $A$ mit dem sehr
|
||||
viel einfacheren Polynomring.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Noether-Normalisierung einer $k$-Algebra]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es
|
||||
sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Eine
|
||||
endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von
|
||||
$A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften
|
||||
\ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung] funktioniert mit
|
||||
endlich erzeugten Algebren über Körpern. Die Frage, ob der Satz auch über $ℤ$
|
||||
funktioniert, ist Gegenstand von Forschung.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Geometrische Interpretation}
|
||||
\label{sec:13-1}
|
||||
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||||
Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die
|
||||
Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass
|
||||
$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
|
||||
Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$
|
||||
eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert
|
||||
Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
|
||||
ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$, gehört also nach
|
||||
Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen Varietät $Y$. Die
|
||||
Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach Satz~\vref{satz:7-3-3}
|
||||
zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten. Die Inklusionsabbildung
|
||||
ist injektiv, also wissen wir nach Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild
|
||||
von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die
|
||||
Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist
|
||||
algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
|
||||
Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
|
||||
Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
|
||||
Unterraumes
|
||||
\[
|
||||
V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung
|
||||
$k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11}
|
||||
gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem
|
||||
wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist ---
|
||||
aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.
|
||||
|
||||
\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
|
||||
Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
|
||||
Insbesondere ist $π(Z) ⊂ V$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wenn ein System $e_1, …, e_n$ von Erzeugern des Ringes $A = k[X]$ gegeben
|
||||
ist, dann ist die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
|
||||
\]
|
||||
surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
|
||||
eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische
|
||||
Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
|
||||
|
||||
\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt
|
||||
$π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine
|
||||
lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der
|
||||
Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/13-hyperbel.png}
|
||||
|
||||
\caption{Hyperbel $\{ x·y-1 \} $}
|
||||
\label{fig:hyp}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Wir illustrieren den Satz über die Noether-Normalisierung nach ganz kurz an
|
||||
einem konkreten Beispiel. Dabei beschränken wir uns auf die
|
||||
Aussagen~\ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} und ignorieren das Ideal $I$.
|
||||
Betrachte die in Abbildung~\ref{fig:hyp} dargestellte Hyperbel
|
||||
\[
|
||||
H := \{ (x_1, x_2) ∈ 𝔸²_ℂ \::\: x_1·x_2 = 1\}
|
||||
\]
|
||||
und den zugeordneten Koordinatenring
|
||||
\[
|
||||
A := \factor{ℂ[x_1, x_2]}{(x_1·x_2-1)}.
|
||||
\]
|
||||
Die Restklassen $e_• := \overline{x_•}$ bilden ein Erzeugendensystem von $A$
|
||||
als $k$-Algebra.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Zuerst betrachten wir das Element $y_1 := e_1$. Die Inklusionsabbildung
|
||||
$ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung
|
||||
\[
|
||||
H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1).
|
||||
\]
|
||||
Diese Abbildung ist \emph{nicht} surjektiv, denn der Nullpunkt in $𝔸¹_ℂ$
|
||||
wird nicht getroffen. Also ist $ℂ[y_1] ⊂ A$ nach
|
||||
Beobachtung~\ref{beo:12-2-11} keine ganze Ringerweiterung und $\{y_1\}$ ist
|
||||
keine Noether-Normalisierung von $A$.
|
||||
|
||||
\item Jetzt betrachten wir das Element $y_1 := e_1-e_2$. Die
|
||||
Inklusionsabbildung $ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung
|
||||
\[
|
||||
H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1-x_2).
|
||||
\]
|
||||
Die Ringerweiterung $ℂ[y_1] ⊂ A$ ist ganz, denn die Erzeuger $e_1$ und $e_2$
|
||||
erfüllen die Ganzheitsgleichungen
|
||||
\[
|
||||
e²_1-e_1·y_1+1 = 0 \quad\text{und}\quad e²_2-e_2·y_1-1=0.
|
||||
\]
|
||||
Also ist $\{y_1\}$ ist eine Noether-Normalisierung von $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 16}Wir beginnen den (langen!) Beweis mit einem
|
||||
vorbereitenden Lemma.
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es
|
||||
ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form
|
||||
$y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden
|
||||
kann,
|
||||
\[
|
||||
f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
|
||||
y_{n-1}).
|
||||
\]
|
||||
Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
|
||||
gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form
|
||||
$y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im
|
||||
\video{16-2} bewiesen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Um den Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung lesbar zu halten,
|
||||
beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im
|
||||
Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I = (f)$ ein
|
||||
Hauptideal ist.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{16-3}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im
|
||||
Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I ⊊ A$ ein
|
||||
beliebiges Ideal ist.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{16-4}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-1}]
|
||||
\sideremark{Vorlesung 17}\video{17-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Geometrische Konsequenzen}
|
||||
|
||||
Als erste echte Anwendung des Satzes über die
|
||||
Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die
|
||||
Dimension des affinen Raums ist.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\dim k[x_1, …, x_n] = n.
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{17-2}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
|
||||
erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
|
||||
von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
|
||||
ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang =
|
||||
kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$
|
||||
die Länge $d$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Aussage $\dim A = d$ folgt sofort aus den Sätzen~\ref{satz:13-3-1a} und
|
||||
\ref{satz:12-2-2}. Für den Beweis der zweiten Aussage gibt es das
|
||||
\video{17-3}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
|
||||
unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: die
|
||||
verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
|
||||
dieselbe Dimension haben.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Dimension und Transzendenzgrad]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ ein reduzierter
|
||||
Ring (=endlich erzeugte $k$-Algebra ohne nilpotente Elemente). Dann ist die
|
||||
Dimension von $A$ genau der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers $Q(A)$ über
|
||||
$k$, also $\dim A = \trdeg_k Q(A)$.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
|
||||
Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach
|
||||
Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind
|
||||
die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass
|
||||
$\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die
|
||||
Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich
|
||||
der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
||||
$X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare
|
||||
Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$
|
||||
endlich und surjektiv ist.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
|
||||
daran erinnern, dass algebraisch abgeschlossene Körper stets unendlich viele
|
||||
Elemente haben.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
Algebraische Teilmengen des $ℂ^n$ sind genau dann bezüglich der Euklidischen
|
||||
Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen
|
||||
Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
|
||||
Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
|
||||
Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber
|
||||
$𝔸⁰_{ℂ}$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das
|
||||
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die
|
||||
\emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
|
||||
von Ketten von Primidealen
|
||||
\[
|
||||
p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_n = p.
|
||||
\]
|
||||
In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei
|
||||
$q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller
|
||||
Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette
|
||||
\[
|
||||
(0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
|
||||
\]
|
||||
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
|
||||
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal
|
||||
$p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist
|
||||
\[
|
||||
\dim A = \height(p) + \dim(A/p).
|
||||
\]
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und
|
||||
erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
|
||||
$k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
|
||||
normal.
|
||||
\item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach
|
||||
Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen
|
||||
Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen
|
||||
Raumes'')
|
||||
\[
|
||||
\dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
|
||||
\]
|
||||
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
|
||||
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist
|
||||
\[
|
||||
k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α]
|
||||
\]
|
||||
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach
|
||||
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
|
||||
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
|
||||
Dimension. Zusammen erhalten wir
|
||||
\[
|
||||
\dim A = d = α + (d - α) = \dim (A/p) + \height p.
|
||||
\]
|
||||
Damit ist die Behauptung gezeigt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
|
||||
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form
|
||||
$A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die
|
||||
Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff
|
||||
``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der
|
||||
Praxis einigermaßen sinnlos.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der Hauptidealsatz}
|
||||
|
||||
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
|
||||
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
|
||||
(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich.
|
||||
Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier
|
||||
nur ohne Beweis.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
|
||||
Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
|
||||
Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$
|
||||
gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen,
|
||||
$(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle
|
||||
Indizes $i$. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
|
||||
anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom. Dann hat jede
|
||||
irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Schlussbemerkungen}
|
||||
|
||||
Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
|
||||
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben
|
||||
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
|
||||
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
|
||||
Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind
|
||||
die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
|
||||
Machbaren.
|
||||
|
||||
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper
|
||||
mit unendlich vielen Elementen ist, kann ich mich fragen, welche linearen
|
||||
Projektionen als Noether-Normalisierung infrage kommen. Wenn ich mir den
|
||||
Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung sehr genau anschaue, so
|
||||
erkenne ich, dass die Menge der linearen Projektionen, die \emph{keine}
|
||||
Noether-Normalisierung liefern, eine algebraische Menge im Raum der Matrizen
|
||||
ist, also eine Nullmenge. Für die Praxis bedeutet das: Man wähle eine
|
||||
\emph{zufällige} lineare Projektion aus und rechne damit weiter. Die
|
||||
Wahrscheinlichkeit, dass ich mit dieser Methode tatsächlich eine
|
||||
Noether-Normalisierung gewählt habe, ist exakt 100~\%.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,278 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Schnittzahlen von Kurven}
|
||||
|
||||
\section{Worum geht es}
|
||||
\label{sec:14-1}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 18}Der Körper $ℂ$ ist einfacher als der Körper $ℝ$, weil
|
||||
jedes Polynom $p ∈ ℂ[x]$ genau $d = \deg p$ viele Nullstellen hat, wobei die
|
||||
Nullstellen natürlich mit der richtigen Multiplizität gezählt werden müssen.
|
||||
Über dem Körper $ℝ$ wissen wir lediglich, dass ein Polynom $p ∈ ℝ[x]$ höchstens
|
||||
$d = \deg p$ viele Nullstellen hat; bereits die Diskussion von Polynomen kleinen
|
||||
Grades führt zu sehr unangenehmen Fallunterscheidungen.
|
||||
|
||||
Der Geometer würden den Sachverhalt vielleicht anders ausdrücken. Gegeben ein
|
||||
Polynom $p ∈ ℂ[x]$, dann betrachte die folgenden die Kurven im $𝔸²_ℂ$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Funktiongraf von $p$, also die Kurve $V\bigl(y-p(x)\bigr)$. Dies ist
|
||||
eine Kurve von Grad $\deg p$.
|
||||
|
||||
\item Die $x$-Achse, also die Kurve $V(y)$. Dies ist eine Kurve von Grad 1.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Der Geometer stellt fest, dass sich diese beiden Kurven in genau $\deg p$ vielen
|
||||
Punkten schneiden, wobei die Punkte natürlich mit der richtigen Multiplizität
|
||||
gezählt werden müssen. Man könnte hoffen, dass dies allgemeiner gilt.
|
||||
|
||||
\begin{wunsch}
|
||||
Gegeben zwei ebene algebraische Kurven $C_1$ und $C_2$ in $𝔸²_ℂ$, gegeben
|
||||
durch Polynome vom Grad $d_1$ und $d_2$. Dann schneiden sich die Kurven $C_1$
|
||||
und $C_2$ in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten, wobei die Schnittpunkte natürlich
|
||||
mit der richtigen Multiplizität gezählt werden müssen.
|
||||
\end{wunsch}
|
||||
|
||||
Leider ist das mit dem Wünschen so eine Sache. Wenn man sich viele Beispiele
|
||||
anschaut, dann stellt man fest: Selbst wenn man alle Punkte mit der richtigen
|
||||
Multiplizität zählt, schneiden sich Kurven in höchstens $d_1·d_2$ vielen
|
||||
Punkten. Bereits die Diskussion von Kurven kleinen Grades führt zu sehr
|
||||
unangenehmen Fallunterscheidungen. Das haben wir eigentlich schon in der Schule
|
||||
gelernt.
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Es seien $ℓ_1$ und $ℓ_2$ zwei unterschiedliche Geraden im $𝔸²_ℂ$. Dann
|
||||
schneiden sich $ℓ_1$ und $ℓ_2$ stets in genau einem Punkt, es sei denn, $ℓ_1$
|
||||
und $ℓ_2$ sind parallel.
|
||||
\end{quote}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Wann schneiden sich eine Gerade und eine Konik (=Kurve von Grad zwei) in
|
||||
keinem, einen oder zwei Punkten?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
|
||||
kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im
|
||||
unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
|
||||
$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu
|
||||
ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
|
||||
einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und
|
||||
$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$
|
||||
vielen Punkten, wobei die Schnittpunkte natürlich mit der richtigen
|
||||
Multiplizität gezählt werden müssen.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=12cm]{figures/14-unsplash.jpg}
|
||||
|
||||
\caption{Der projektive Raum}
|
||||
|
||||
Foto von
|
||||
\href{https://unsplash.com/@smileprem?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText}{Premkumar
|
||||
Masilamani} auf
|
||||
\href{https://unsplash.com/s/photos/infinity?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText}{Unsplash}
|
||||
|
||||
\label{fig:p1}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven}
|
||||
|
||||
Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht
|
||||
erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der
|
||||
richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene
|
||||
algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die
|
||||
``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses
|
||||
Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen
|
||||
ebenfalls sehr gut erklärt finden.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Das große Wunschkonzert}
|
||||
|
||||
Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine
|
||||
sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen
|
||||
sollte.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine
|
||||
Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix
|
||||
$A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für
|
||||
alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff
|
||||
``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen
|
||||
Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist).
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz}
|
||||
Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die
|
||||
Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion
|
||||
\[
|
||||
\Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven
|
||||
in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \}
|
||||
\]
|
||||
sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte
|
||||
$p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und
|
||||
$G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten.
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-2} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = 0$, wenn sich die
|
||||
Kurven $F$ und $G$ bei $p$ gar nicht schneiden. Allgemeiner: die
|
||||
Schnittzahl $\Int_p(F,G)$ hängt nur von denjenigen Komponenten von $F$ und
|
||||
$G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten.
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen
|
||||
Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt
|
||||
die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der
|
||||
Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets
|
||||
$\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt,
|
||||
wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade
|
||||
haben.
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer:
|
||||
falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F,G) = \sum_i \Int_p(F_i, G).
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item\label{il:14-2-1-7} Die Schnittzahl hängt nur von der Klasse von $G$ im
|
||||
Quotientenring $k[x,y]/(F)$ ab. Genauer: für alle $H ∈ k[x,y]$ ist
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F,G) = \Int_p(F, G + H· F).
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{wunsch}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Beachten Sie zu \ref{il:14-2-1-3}, dass der Punkt $T^{-1}(p)$ genau dann auf
|
||||
der Kurve $F◦T$ liegt, wenn $p$ auf der Kurve $T$ liegt, ebenso natürlich für
|
||||
die Kurve $G$. Oder habe ich mich mit den Vorzeichen geirrt?
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten.
|
||||
Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo
|
||||
$F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und
|
||||
wo $p = (x_0, 0)$ ist.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Träume werden wahr}
|
||||
|
||||
Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von
|
||||
``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor
|
||||
ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige
|
||||
Tatsachen, die wir später benötigen.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
|
||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das
|
||||
maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende
|
||||
kurze exakte Sequenz von $k[x,y]$-Moduln,
|
||||
\[
|
||||
0 → I → k[x,y] → \underbrace{\factor{k[x,y]}{I}}_{=: R} → 0.
|
||||
\]
|
||||
Weil lokalisieren ein exakter Funktor ist, gilt
|
||||
\[
|
||||
R ≅ \factor{𝒪_p(𝔸²_k)}{I·𝒪_p(𝔸²_k)}.
|
||||
\]
|
||||
Auf der anderen Seite haben wir in Lemma~\vref{lem:11-1-4} gesehen, dass die
|
||||
Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus
|
||||
ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte
|
||||
noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise
|
||||
ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich
|
||||
$\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und
|
||||
$y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein
|
||||
Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
|
||||
Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten
|
||||
ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen,
|
||||
\[
|
||||
R ≅ \left( \factor{𝒪_{p_1}(𝔸²_k)}{I·𝒪_{p_1}(𝔸²_k)} \right) ⨯ ⋯ ⨯ \left(
|
||||
\factor{𝒪_{p_n}(𝔸²_k)}{I·𝒪_{p_n}(𝔸²_k)} \right),
|
||||
\]
|
||||
und $\dim_k R < ∞$.
|
||||
\end{eerinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine
|
||||
Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen
|
||||
Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7}
|
||||
gelten.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
|
||||
\video{18-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8}
|
||||
Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar
|
||||
einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret
|
||||
ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt
|
||||
existiert. Beachten Sie auch, dass wir im Beweis gar nicht alle Eigenschaften
|
||||
\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} vollständig verwendet
|
||||
haben\footnote{Welche Eigenschaften wurden \emph{nicht} verwendet?}. Das
|
||||
zeigt, dass es in der Liste der Eigenschaften offenbar viel Redundanz gibt,
|
||||
und dass Schnittzahlen schon durch eine kleinere Liste vollständig beschrieben
|
||||
wären.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit]
|
||||
Ich beweise die Existenz nicht abstrakt, sondern werde zeigen, dass die
|
||||
Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\Int : & \{ \text{Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k & → & ℕ ∪ \{ ∞ \} \\
|
||||
& (F, G, p) & ↦ & \dim_k \factor{𝒪_p(𝔸²)}{(F,G)·𝒪_p(𝔸²)}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
alle gewünschten Eigenschaften hat. Einige dieser Eigenschaften lassen sich
|
||||
schnell zeigen.
|
||||
|
||||
Zunächst beobachte ich, dass diese Definition nicht direkt von den Kurven $F$
|
||||
und $G$ abhängt, sondern lediglich von dem Ideal $(F,G)$. Damit ergeben sich
|
||||
die Eigenschaften \ref{il:14-2-1-4} und \ref{il:14-2-1-7} direkt.
|
||||
|
||||
Als Nächstes erinnere ich daran, dass affine Transformationen stets
|
||||
Isomorphismen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind und deshalb auch Isomorphismen
|
||||
der betreffenden lokalen Ringen liefern. Damit ergibt sich Eigenschaft
|
||||
\ref{il:14-2-1-3}.
|
||||
|
||||
Es gibt noch einen Punkt, den ich schnell beweisen kann. Wenn nämlich $H$
|
||||
eine Kurve ist, die den Punkt $p$ nicht enthält, dann ist das Element $H$
|
||||
(genauer: $\frac{H}{1}$) im lokalen Ring $𝒪_p(𝔸²)$ eine Einheit. Daraus
|
||||
ergeben sich zwei Konsequenzen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass
|
||||
die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt,
|
||||
die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die
|
||||
Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}.
|
||||
|
||||
Die verbleibenden Eigenschaften sind etwas aufwändiger zu zeigen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-1} wird im \video{18-2} gezeigt.
|
||||
|
||||
\item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-5} wird überhaupt nicht gezeigt. Ich
|
||||
verweise stattdessen auf das Buch \cite{MR1042981}. Vielleicht machen wir
|
||||
auch eine ausführliche, angeleitete Übungsaufgabe.
|
||||
|
||||
\item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-6} wird im \video{18-3} gezeigt. \qedhere
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,254 @@
|
|||
% spell checker language
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||||
\selectlanguage{german}
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||||
\chapter{Der projektive Raum}
|
||||
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||||
\section{Definition und Konstruktion}
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||||
\sideremark{Vorlesung 19}Die Definition des projektiven Raums ist eigentlich
|
||||
schrecklich einfach: Der projektive Raum $ℙ^n$ ist die Menge der
|
||||
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$. Um eine Ursprungsgerade anzugeben, genügt es
|
||||
natürlich einen Punkt im $k^{n+1}$ anzugeben (wobei dies besser nicht der
|
||||
Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe
|
||||
Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden
|
||||
(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte).
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren
|
||||
$\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein
|
||||
Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist
|
||||
offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver
|
||||
Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist
|
||||
üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors
|
||||
\[
|
||||
\vec{v} = \begin{pmatrix}
|
||||
x_1 \\ \vdots \\ x_n
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}
|
||||
\]
|
||||
wird meist mit $[\vec{v}]$ oder $[x_1 : ⋯ : x_n]$ bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Im projektiven Raum $ℙ²_{ℂ}$ gilt die Gleichung $[1:2:3] = [2:4:6]$. Die
|
||||
Ausdrücke
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad %
|
||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich
|
||||
dazu ist der Ausdruck
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
völlig unsinnig.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Andere, äquivalente Definitionen}
|
||||
|
||||
Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der
|
||||
Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht
|
||||
etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere
|
||||
(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung
|
||||
\[
|
||||
k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad
|
||||
\bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v}
|
||||
\]
|
||||
betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung
|
||||
definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre
|
||||
$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die
|
||||
Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$
|
||||
kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden,
|
||||
\[
|
||||
ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}},
|
||||
\]
|
||||
wobei die Gruppe $\{ ± 1\}$ auf $S^n$ durch Multiplikation wirkt, also jeweils
|
||||
genau die Antipodenpunkte vertauscht.
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||
Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist.
|
||||
Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene
|
||||
$ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden
|
||||
Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt
|
||||
\href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas
|
||||
Demleitner}?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||
Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit.
|
||||
Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel
|
||||
einfacher als $ℙ²_ℝ$?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums}
|
||||
\label{sec:15-2}
|
||||
|
||||
Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine
|
||||
Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser
|
||||
Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären,
|
||||
wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
|
||||
``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss}
|
||||
Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer
|
||||
Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt
|
||||
betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies,
|
||||
indem ich mithilfe der Abbildung
|
||||
\[
|
||||
ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1)
|
||||
\]
|
||||
die Euklidische Ebene mit der Menge $\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: z = 1 \}$
|
||||
identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier,
|
||||
tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine
|
||||
handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen
|
||||
Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich
|
||||
$ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die
|
||||
Gerade $[x:y:1]$.
|
||||
|
||||
Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung
|
||||
\[
|
||||
φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
|
||||
\]
|
||||
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen.
|
||||
Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass
|
||||
die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die
|
||||
Menge
|
||||
\[
|
||||
ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die
|
||||
Abbildung
|
||||
\[
|
||||
ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0]
|
||||
\]
|
||||
identifiziert die Menge $ℓ$ mit der projektiven Gerade $ℙ¹_ℝ$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
||||
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Gerade
|
||||
\[
|
||||
G := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: a·x+b·y = 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Verfolgen Sie die Gerade ins Unendliche und verfolgen Sie die zugehörenden
|
||||
Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher
|
||||
Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$
|
||||
parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die
|
||||
``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3}
|
||||
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
||||
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel
|
||||
\[
|
||||
P := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: y = x² \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Verfolgen Sie die beiden Äste der Parabel ins Unendliche. Welche
|
||||
Ursprungsgeraden (= welche Punkte des $ℙ²_ℝ$) ergeben sich als Grenzwert? Wie
|
||||
wird die Parabel durch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte
|
||||
kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4}
|
||||
Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier
|
||||
(das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel
|
||||
\[
|
||||
H := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x·y = 1 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Verfolgen Sie die vier Äste der Hyperbel ins Unendliche. Welche
|
||||
Ursprungsgeraden (= welche Punkte des $ℙ²_ℝ$) ergeben sich als Grenzwert? Wie
|
||||
wird die Hyperbel durch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte
|
||||
kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||
In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von
|
||||
Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios
|
||||
von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge;
|
||||
† ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer
|
||||
Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie
|
||||
trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus
|
||||
in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im
|
||||
Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung
|
||||
vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der
|
||||
Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der
|
||||
projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht!
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6}
|
||||
Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im
|
||||
Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen
|
||||
\[
|
||||
U_i := \bigl\{ [x_0 : ⋯ : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: x_i ≠ 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Die Abbildungen
|
||||
\[
|
||||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i, \quad (x_1, …, x_n) ↦ [x_1, …, x_{i-1}, 1, x_i, …, x_n]
|
||||
\]
|
||||
sind bijektiv. Es ist üblich, sich auf die Abbildung $φ_n$ zu konzentrieren
|
||||
und den affinen Raum $𝔸^n_k$ mithilfe dieser Abbildung als Teilmenge des
|
||||
$ℙ^n_k$ aufzufassen. Das Komplement
|
||||
\[
|
||||
ℙ^n_k ∖ U_0 = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: x_n ≠ 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
wird dabei als Menge der \emph{unendlich fernen Punkte}\index{unendlich ferne
|
||||
Punkte} bezeichnet. Die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
ℙ^{n-1}_k → ℙ^n_k, \quad [x_0 : … : x_{n-1}] ↦ [x_0 : … : x_{n-1} : 1]
|
||||
\]
|
||||
identifiziert die Menge der unendlich fernen Punkte mit einem projektiven Raum
|
||||
kleinerer Dimension.
|
||||
|
||||
Die Vereinigung der Mengen $U_i$ ist offenbar der ganze projektive Raum. Man
|
||||
nennt die $U_i$ daher oft die \emph{Standardüberdeckung des projektiven
|
||||
Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen
|
||||
$φ_i$ werden oft als \emph{Standardkarten des projektiven
|
||||
Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Der projektive Raum als Mannigfaltigkeit]
|
||||
Es sei $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Wenn Sie Analysis~III, Differenzialgeometrie
|
||||
oder eine ähnliche Vorlesung gehört haben, dann wissen Sie, dass die
|
||||
Abbildungen $φ_i$ aus Notation~\ref{not:15-2-6} Karten sind, die die Menge
|
||||
$ℙ^n_k$ mit der Struktur einer differenzierbaren (bzw.~holomorphen)
|
||||
Mannigfaltigkeit versehen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Projektivitäten}
|
||||
|
||||
Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des
|
||||
Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen
|
||||
Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja nocheinmal erinnert hatte.
|
||||
Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive
|
||||
Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Projektivitäten]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung
|
||||
$φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive
|
||||
Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine
|
||||
invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle
|
||||
$\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right]
|
||||
\]
|
||||
gilt.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung
|
||||
``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung.
|
||||
Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$
|
||||
abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen
|
||||
$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass
|
||||
die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die
|
||||
affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne
|
||||
verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also.
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,403 @@
|
|||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Algebraische Mengen des projektiven Raums}
|
||||
|
||||
Wie bereits für den affinen Raum ausführlich diskutiert, möchten wir auch im
|
||||
projektiven Raum Nullstellenmengen von Polynomen diskutieren. Das ist natürlich
|
||||
nicht ohne weiteres möglich, denn wir hatten ja oben schon gesehen, dass ein
|
||||
Ausdruck der Form
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist
|
||||
$1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für
|
||||
jeden Vektor $(x_0, …, x_n) ∈ k^n$ und jedes Skalar $λ ∈ k$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n).
|
||||
\]
|
||||
Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und
|
||||
$\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass
|
||||
$[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$
|
||||
genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge
|
||||
\[
|
||||
V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
ist also wohldefiniert.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Selbst wenn $f$ homogen ist, ist ein Ausdruck der Form
|
||||
\[
|
||||
\bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 1 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
im Allgemeinen völlig unsinnig.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
|
||||
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
|
||||
``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen.
|
||||
Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der
|
||||
Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind
|
||||
prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen
|
||||
des projektiven Raums'' definieren werden.
|
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||||
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\section{Algebraische Teilmengen des projektiven Raums}
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Bislang haben wir Nullstellenmengen eines einzelnen homogenen Polynoms
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||||
betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die
|
||||
gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne
|
||||
Polynom homogen sein soll.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$
|
||||
heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es
|
||||
homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende
|
||||
Gleichheit gilt,
|
||||
\[
|
||||
A = \bigl\{ [x_0: … : x_n] ∈ ℙ^n \::\: f_1(x_0, …, x_n) = ⋯ = f_m(x_0, …,
|
||||
x_n) = 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass
|
||||
die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die
|
||||
Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge
|
||||
$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel?
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Kegel]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$
|
||||
einen \emph{Kegel}\index{Kegel}, wenn $A$ invariant unter skalarer
|
||||
Multiplikation ist. Genauer: wenn für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung
|
||||
$λ·A = A$ gilt, wobei $λ·A := \{ λ·a \::\: a ∈ A \}$ ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/16-cone.png}
|
||||
|
||||
\caption{Kegel $\{ x²y²-z⁴ \} $}
|
||||
\label{fig:cone}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden
|
||||
Formen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$.
|
||||
\item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition
|
||||
exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln
|
||||
und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel
|
||||
$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge
|
||||
\[
|
||||
\mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Gegeben eine Menge $\mathbb{V} ⊂ ℙ^n_k$, dann ist die zugehörige Menge
|
||||
\[
|
||||
V = \bigl\{ (x_0, …, x_n) ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \} \::\: [x_0 : … : x_n] ∈
|
||||
\mathbb{V} \bigr\} ∪ \{ \vec{0} \}
|
||||
\]
|
||||
ein Kegel.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Kegel und homogene Ideale}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie''
|
||||
war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den
|
||||
Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt
|
||||
einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$
|
||||
(= den algebraischen Mengen im $k^{n+1}$, die Kegelgestalt haben) und den
|
||||
Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden
|
||||
Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
|
||||
|
||||
\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind
|
||||
folgende Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:15-4-2-1} Das Ideal $I$ ist von homogenen Polynomen erzeugt.
|
||||
Genauer: es gibt homogene Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass
|
||||
die Gleichheit $I = (f_1, …, f_m)$ gilt.
|
||||
|
||||
\item\label{il:15-4-2-2} Für alle Polynome $g ∈ I$ gilt Folgendes. Wenn ich
|
||||
$g$ als Summe von homogenen Polynomen schreibe, $g = g_0 + g_1 + ⋯ + g_d$,
|
||||
dann liegt jeder Summand $g_i$ selbst im Ideal $I$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt ist, nennt man $I$ ein
|
||||
\emph{homogenes Ideal}\index{homogenes Ideal}.
|
||||
\end{satzdef}
|
||||
\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}]
|
||||
Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter
|
||||
sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen
|
||||
$α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit
|
||||
\[
|
||||
g = \sum_i α_i·f_i
|
||||
\]
|
||||
gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen,
|
||||
$α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i.
|
||||
\]
|
||||
Jeder der Summanden ist homogen und liegt in $I$, also liegen alle homogenen
|
||||
Komponenten von $g$ in $I$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-2} $⇒$ \ref{il:15-4-2-1}]
|
||||
Weil der Ring $k[x_0, …, x_n]$ Noethersch ist, finden wir einen endlichen Satz
|
||||
von Erzeugern $I = (g_1, …, g_m)$. Schreibe jedes der $g_i$ als Summe von
|
||||
homogenen Polynomen,
|
||||
\[
|
||||
g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}.
|
||||
\]
|
||||
Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist
|
||||
$I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
|
||||
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist
|
||||
$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$.
|
||||
Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
||||
$I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist
|
||||
das Ideal $I$ homogen.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein
|
||||
Element und sei $f = \sum f_i$ die Darstellung von $f$ als Summe von homogenen
|
||||
Polynomen. Wir müssen zeigen, dass alle Summanden $f_•$ wieder in $I$ liegen.
|
||||
Weil $I$ ein Radikalideal ist, genügt es nach dem starken Hilbertschen
|
||||
Nullstellensatz, Satz~\vref{satz:5-6-8}, zu zeigen, dass für jeden Punkt
|
||||
$\vec{x} ∈ V(I)$ und jeden homogenen Summanden $f_•$ die Gleichheit
|
||||
$f_•(\vec{x}) = 0$ gilt.
|
||||
|
||||
Betrachte dazu die polynomielle Funktion
|
||||
\[
|
||||
g : k → k, \quad λ ↦ f(λ·\vec{x}).
|
||||
\]
|
||||
Weil $V(I)$ ein Kegel ist, ist klar, dass die Punkte $λ·\vec{x}$ stets wieder
|
||||
in $V(I)$ liegen. Die Abbildung $g$ ist also die Nullfunktion. Auf der
|
||||
anderen Seite ist
|
||||
\[
|
||||
g(λ) = \sum λⁱ·f_i(\vec{x}).
|
||||
\]
|
||||
Weil der Körper $k$ per Annahme algebraisch abgeschlossen ist, folgt dann
|
||||
aber, dass alle Koeffizienten $f_i(\vec{x})$ verschwinden müssen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ erhalten wir also zwei
|
||||
Abbildungen,
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V_ℙ &: \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \\
|
||||
I_ℙ &: \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace,
|
||||
\end{align*}
|
||||
die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser
|
||||
Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten
|
||||
\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes,
|
||||
wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne
|
||||
einige solche Sätze ohne Beweis.
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Durchschnitte, Produkte, Summen und Radikale von
|
||||
homogenen Idealen in $k[x_0, …, x_n]$ sind wieder homogene Ideale. \qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Homogene Primideale]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal
|
||||
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder
|
||||
$b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
||||
$I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder
|
||||
$\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$.
|
||||
|
||||
\item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist
|
||||
$\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Das irrelevante Ideal]
|
||||
Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal
|
||||
$(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven
|
||||
Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{fakt}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann existierten die in
|
||||
Tabelle~\ref{tab:15-1} gezeigten Korrespondenzen. \qed
|
||||
\begin{table}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
|
||||
\rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
|
||||
homogene Radikalideale & algebraische Mengen \\
|
||||
homogene Primideale & irreduzible Mengen \\
|
||||
homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums}
|
||||
\label{tab:15-1}
|
||||
\end{table}
|
||||
\end{fakt}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Die Zariski-Topologie}
|
||||
|
||||
Im Abschnitt~\vref{sec:5-4} hatten wir die Zariski-Topologie auf dem Raum $k^n$
|
||||
eingeführt. Als direkte Konsequenz der oben genannten Fakten funktioniert die
|
||||
Konstruktion der Topologie auch für den projektiven Raum.
|
||||
|
||||
\begin{faktdef}[Zariski-Topologie]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die algebraischen
|
||||
Teilmengen des $ℙ^n_k$ erfüllen die Axiome für abgeschlossenen Mengen eines
|
||||
topologischen Raums. Die so definierte Topologie auf $ℙ^n_k$ wird
|
||||
\emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} genannt. \qed
|
||||
\end{faktdef}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Stellen Sie fest, dass die im Abschnitt~\ref{sec:15-2} diskutierten Mengen
|
||||
$U_i$ aus der Standardüberdeckung des $ℙ^n$ bezüglich der Zariski-Topologie
|
||||
des $ℙ^n$ offen sind. Durch welche Gleichung ist das Komplement der Menge
|
||||
$U_i$ gegeben?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte
|
||||
\[
|
||||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
|
||||
\]
|
||||
betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide
|
||||
den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$
|
||||
auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie.
|
||||
|
||||
\item Zum anderen wissen wir, dass die Standardkarte $φ_i$ den Raum $𝔸^n_k$
|
||||
bijektiv auf die Menge $U_i$ abbildet. Also definiert die Zariski-Topologie
|
||||
des affinen Raumes $𝔸^n_k$ mithilfe der Abbildung $φ_i$ ebenfalls eine
|
||||
Topologie auf $U_i$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die
|
||||
Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''.
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte
|
||||
\[
|
||||
φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k
|
||||
\]
|
||||
ist ein Homöomorphismus zwischen dem topologischen Raum $𝔸^n_k$ (versehen mit
|
||||
der Zariski-Topologie) und dem Raum $U_i$ (versehen mit der Teilraumtopologie,
|
||||
die von der Zariski-Topologie des $ℙ^n_k$ induziert ist).
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen,
|
||||
um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen
|
||||
werden.
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom.
|
||||
Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie
|
||||
jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden,
|
||||
\[
|
||||
f(x_0, …, x_{n-1}) = \sum_{i=0}^{\deg f} f_i(x_0, …, x_{n-1}),
|
||||
\]
|
||||
wobei $f_i$ homogen vom Grad $i$ ist. Durch Hinzufügen einer weiteren
|
||||
Variable kann ich jetzt wie folgt ein homogenes Polynom konstruieren,
|
||||
\[
|
||||
f^*(x_0, …, x_n) := \sum_{i=0}^{\deg f} x_n^{(\deg f)-i}·f_i(x_0, …,
|
||||
x_{n-1}).
|
||||
\]
|
||||
Wir erhalten eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
•^* : k[x_0, …, x_{n-1}] → \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n]
|
||||
\},
|
||||
\]
|
||||
die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird.
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei
|
||||
$f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein
|
||||
Polynom in weniger Variablen konstruieren,
|
||||
\[
|
||||
f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1).
|
||||
\]
|
||||
Wir erhalten eine Abbildung
|
||||
\[
|
||||
•_* : \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n] \} → k[x_0, …,
|
||||
x_{n-1}],
|
||||
\]
|
||||
die oft als \emph{Dehomogenisierung}\index{Dehomogenisierung} bezeichnet wird.
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
In wieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse
|
||||
Abbildungen?
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:16-3-3}]
|
||||
Wir führen den Beweis nur im Fall $i = n$. Da wir schon wissen, dass die
|
||||
Standardkarte $φ_n$ bijektiv ist, genügt es, folgende Aussagen zu zeigen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ ℙ^n_k$
|
||||
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
||||
homogenen Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass
|
||||
die Urbildmenge $φ_n^{-1}(X)$ exakt die Nullstellenmenge der
|
||||
dehomogenisierten Polynome $f^*_1, …, f^*_m ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ ist.
|
||||
|
||||
\item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$
|
||||
eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von
|
||||
Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame
|
||||
Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome
|
||||
$(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass
|
||||
$φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie
|
||||
abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$. \qedhere
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik}
|
||||
Betrachte die Menge
|
||||
\[
|
||||
X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine
|
||||
Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von
|
||||
$X$ mit dieser affinen Ebene,
|
||||
\[
|
||||
φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
Das ist offensichtlich die Normhyperbel. Die Sache macht neugierig, wir haben
|
||||
ja noch die anderen Standardkarten. Also rechne ich aus:
|
||||
\[
|
||||
φ_1^{-1}(X) = \bigl\{ (x,z) ∈ 𝔸²_k \::\: x·1-z² = 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
und das ist die Normparabel! Die letzte Kartenabbildung,
|
||||
\[
|
||||
φ_0^{-1}(X) = \bigl\{ (y,z) ∈ 𝔸²_k \::\: 1·y-z² = 0 \bigr\}
|
||||
\]
|
||||
liefert ebenfalls die Normparabel.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]
|
||||
Vergleichen Sie Beispiel~\ref{bsp:konik} mit ihren Lösungen der
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Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und machen Sie sich ein Bild.
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Was geht hier vor?
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\end{aufgabe}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,381 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Schnittzahlen von Kurven im $ℙ²$}
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\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
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jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
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und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
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nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben.
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Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau
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ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
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Seite~\ref{def:eak} gesehen.
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\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk}
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene
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projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine
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Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei
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Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass
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$F = λ·G$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven.
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Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie
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vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3}
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Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und
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eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung
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$A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom
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und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht
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von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt
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\[
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V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right).
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\]
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Die so erhaltene Kurve wird suggestiv mit $F◦φ$ bezeichnet.
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\end{bsp}
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Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
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``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den
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Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben.
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Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie,
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dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch
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für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's.
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\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe}
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Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum:
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während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$
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aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch
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niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist
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konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann,
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wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir
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rationale Funktionen konstruieren.
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\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1}
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und
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$g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad,
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$d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$
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ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$
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die Gleichung
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\[
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\frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} =
|
||||
\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}.
|
||||
\]
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||||
Der Quotient $f/g$ liefert also eine Funktion auf $ℙ^n_k$, die zumindest
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||||
außerhalb der algebraischen Menge $V_ℙ(g)$ wohldefiniert ist.
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\end{beobachtung}
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||||
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||||
Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen
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Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall
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||||
$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion''
|
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und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst
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scheint.
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\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum]
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien
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||||
$f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene
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||||
Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die
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Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle
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Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$
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||||
die Gleichheit
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||||
\[
|
||||
\frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p)
|
||||
\]
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||||
gilt. Eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$ ist eine Äquivalenzklasse von
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Brüchen.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3}
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||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein
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Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen
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||||
Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt
|
||||
man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der
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||||
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$
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||||
bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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||||
In der Situation aus Definition~\ref{def:17-1-3} sind Summen und Produkte von
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||||
rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, ebenfalls bei $p$
|
||||
definiert. Die Menge $𝒪_p(ℙ^n_k)$ ist daher ein Ring, sogar eine
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||||
$k$-Algebra.
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\end{bemerkung}
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\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5}
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||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei
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$φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt
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||||
$a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als
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Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die
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||||
Abbildungen
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\[
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\begin{matrix}
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||||
A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\
|
||||
B: 𝒪_q(𝔸^n_k) & → & 𝒪_p(ℙ^n_k), & \quad & \frac{f}{g} & ↦ & \frac{x_n^{\deg g^*}·f^*}{x_n^{\deg f^*}·g^*}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
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||||
wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die
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||||
Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander
|
||||
isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um
|
||||
einen lokalen Ring.
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||||
\end{konstruktion}
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||||
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\begin{bemerkung}
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||||
Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} funktioniert natürlich nicht nur für die Karte
|
||||
$φ_n$, sondern ganz analog für jede der Karten $φ_0, …, φ_n$.
|
||||
\end{bemerkung}
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\section{Schnittzahlen von projektiven Kurven}
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Um im Schnittzahlen von ebenen projektiven Kurven zu definieren, verwenden wir
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die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss
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||||
ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau
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betrachten möchte.
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\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1}
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||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
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||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei
|
||||
$p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so
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||||
dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die
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||||
rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und
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||||
$\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal
|
||||
\[
|
||||
I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂
|
||||
𝒪_p(ℙ²).
|
||||
\]
|
||||
Wir fragen uns natürlich, inwieweit das Ideal $I_{F,G,p}$ von der Wahl des
|
||||
Index $i$ abhängt. Die Antwort ist: gar nicht. Ist nämlich $j$ ein weiterer
|
||||
Index mit $p_j ≠ 0$, dann gilt im lokalen Ring $𝒪_p(ℙ²)$ die Gleichung
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\[
|
||||
\frac{F}{x_j^{\deg F}} = \frac{F}{x_i^{\deg F}} ·
|
||||
\underbrace{\frac{x_i^{\deg F}}{x_j^{\deg F}}}_{\mathclap{\text{Einheit in
|
||||
}𝒪_p(ℙ²)}} ∈ 𝒪_p(ℙ²).
|
||||
\]
|
||||
Also sind die von diesen Elementen erzeugten Ideale gleich,
|
||||
\[
|
||||
\left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G }} \right) = \left(
|
||||
\frac{F}{x_j^{\deg F}}, \frac{G}{x_j^{\deg G}} \right) ⊂ 𝒪_p(ℙ²).
|
||||
\]
|
||||
\end{beobachtung}
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||||
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||||
Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen.
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\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}
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||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
|
||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt.
|
||||
Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
|
||||
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}},
|
||||
\]
|
||||
wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1}
|
||||
diskutierte Ideal ist.
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||||
\end{defn}
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||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3}
|
||||
Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret
|
||||
ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die
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||||
dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild
|
||||
der Standardkarte $φ_3$ und es ist
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F, G) = \Int_{φ^{-1}_n(p)} (F_*, G_*),
|
||||
\]
|
||||
wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven
|
||||
im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt
|
||||
$φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten
|
||||
$\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann
|
||||
mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden.
|
||||
|
||||
Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$
|
||||
ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann
|
||||
eben mit einer der anderen Karten $φ_0$ oder $φ_1$.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
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||||
Die Schnittzahlen von projektiven Kurven lassen sich natürlich genau wie die
|
||||
Schnittzahlen von affinen Kurven durch eine Liste von Eigenschaften beschreiben,
|
||||
die exakt den Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} entsprechen.
|
||||
Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies
|
||||
jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den
|
||||
(langweiligen) Beweis lasse ich weg.
|
||||
|
||||
\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4}
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität
|
||||
$φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann
|
||||
die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
\Int_p(F, G) = \Int_{φ^{-1}(p)}(F◦φ, G◦φ),
|
||||
\]
|
||||
wobei die Notation $F◦φ$ wie in Beispiel~\ref{bsp:17-0-3} verwendet wird.
|
||||
\qed
|
||||
\end{fakt}
|
||||
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||||
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||||
\section{Der Satz von Bézout}
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\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum
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versprochenen Satz von
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Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne
|
||||
Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27.
|
||||
September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die
|
||||
Schnittzahlen von projektiven Kurven.
|
||||
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||||
\begin{satz}[Satz von Bézout]
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||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
|
||||
$G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente.
|
||||
Dann gilt die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
|
||||
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
|
||||
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$.
|
||||
Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die
|
||||
Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer
|
||||
geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne
|
||||
Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf
|
||||
der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen
|
||||
\begin{align*}
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||||
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\
|
||||
& = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch
|
||||
\begin{align*}
|
||||
n & := \deg G & m & := \deg G \\
|
||||
R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
und weil $(F, G)$ ein homogenes Ideal ist, können wir für jede Zahl $d$ auch
|
||||
noch die Mengen $R_d ⊂ R$ und $Γ_d ⊂ Γ$ der homogenen Elemente vom Grad $d$
|
||||
betrachten. Das Ziel ist jetzt, für ausreichend große Zahlen $d$ die
|
||||
folgenden Gleichungen zu beweisen,
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\
|
||||
\label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m
|
||||
\end{align}
|
||||
Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte
|
||||
aufgeteilt.
|
||||
|
||||
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 1} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-2}
|
||||
für alle $d ≥ n+m$. \video{22-1}
|
||||
|
||||
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 2} Multiplikation mit der Variablen $z$
|
||||
liefert eine wohldefinierte Abbildung des Quotientenringes,
|
||||
\[
|
||||
α : Γ → Γ, \quad [H] ↦ [z·H].
|
||||
\]
|
||||
Ich zeige im \video{22-2}, dass diese Abbildung injektiv ist. Die
|
||||
Einschränkung auf homogene Formen vom Grad $d$ liefert dann eine (ebenfalls
|
||||
injektive) Abbildung $α_d : Γ_d → Γ_{d+1}$. Falls $d ≥ n+m$ ist, dann wissen
|
||||
wir aber schon aus Schritt 1, dass $Γ_d$ und $Γ_{d+1}$ dieselbe
|
||||
Vektorraumdimension haben. Also muss die Abbildung $α_d$ für solche $d$ stets
|
||||
ein Isomorphismus sein!
|
||||
|
||||
\bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}.
|
||||
Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die
|
||||
Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im
|
||||
\video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente
|
||||
$[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich]
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zwei ebene projektive
|
||||
Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und
|
||||
$G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann
|
||||
schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten.
|
||||
\qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Korollar~\ref{kor:aksnzs} kann man auch andersherum lesen: wenn sich zwei
|
||||
projektive oder affine Kurven in zu vielen Punkten schneiden, so müssen Sie
|
||||
eine gemeinsame Komponente besitzen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Als letzte, vielleicht etwas überraschende Konsequenz aus dem Satz von Bézout
|
||||
können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch
|
||||
den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele
|
||||
singuläre Punkte haben.
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und
|
||||
es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat
|
||||
höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte.
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle
|
||||
Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,
|
||||
dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt
|
||||
$\deg G ≤ \deg F -1$.
|
||||
|
||||
Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass
|
||||
die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die
|
||||
Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine
|
||||
gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus
|
||||
Korollar~\ref{kor:aksnzs}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Abschätzung aus Korollar~\ref{kor:17-3-4} ist abenteuerlich schlecht. Man
|
||||
kann mit etwas Mühle wesentlich bessere Ergebnisse erzielen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{figures/17-barthSextic.png}
|
||||
|
||||
\[
|
||||
4·((α²·x²-y²)·((α²·y²-z²)·((α²·z²-x²)-1·(1+2α·(x²+y²+z²-1)²)))) = 0,
|
||||
\]
|
||||
mit $α = \frac{1+\sqrt 5}{2}$
|
||||
|
||||
\caption{Barth-Sextik}
|
||||
\label{fig:barth}
|
||||
\end{figure}
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||||
Die Frage nach einer oberen Anzahl von Singularitäten ist auch für algebraische
|
||||
Flächen sinnvoll, allerdings sind nur für Flächen von kleinem Grad obere
|
||||
Abschätzungen bekannt. Ob diese Abschätzungen optimal sind, ist nicht in allen
|
||||
Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65
|
||||
singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von
|
||||
Wolf
|
||||
Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf
|
||||
Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war
|
||||
ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie
|
||||
beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten,
|
||||
dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte,
|
||||
veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und
|
||||
Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A
|
||||
sextic cannot have 66 nodes''.
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist
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||||
natürlich kein Zufall.
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\end{bemerkung}
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\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz
|
||||
zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen
|
||||
\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten,
|
||||
reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum}
|
||||
geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm
|
||||
\href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der
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||||
``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und
|
||||
mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot
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||||
dieses Programms.
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||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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||||
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|
@ -0,0 +1,51 @@
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|||
% spell checker language
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||||
\selectlanguage{german}
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||||
\chapter{Wie weiter}
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||||
Wir sind mit dieser Vorlesung am Ende, ich hoffe, es hat Ihnen immerhin ein
|
||||
wenig gefallen. Wenn alles so funktioniert hat, wie ich mir das vorstellte,
|
||||
haben Sie die \emph{algebraische} Seite der algebraischen Geometrie
|
||||
kennengelernt. Sie haben an einigen Beispielen gesehen, wie man geometrische
|
||||
Konzepte (``glatte und singuläre Punkte'', ``Dimension'') in algebraischen
|
||||
Termen formuliert und mithilfe der Algebra den einen oder anderen geometrisch
|
||||
relevanten Satz beweist. Das Kapitel über Gröbnerbasen illustriert erste
|
||||
Zusammenhänge zwischen algebraischer Geometrie und Informatik, die natürlich
|
||||
\emph{sehr} viel weitreichender sind, als wir hier zeigen
|
||||
können\footnote{Schauen Sie einmal in den Artikel
|
||||
``\href{https://arxiv.org/abs/0801.1177}{New developments in the theory of
|
||||
Groebner bases and applications to formal verification}'' um eine Idee zu
|
||||
bekommen, wohin die Reise gehen kann.}. Wenn Sie sich weiterhin für das Thema
|
||||
interessieren, gibt es im nächsten Semester bei uns ziemlich viele Angebote.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Im SS21 bieten Andreas Demleitner und ich eine Vorlesung an, in der es um
|
||||
die Geometrie von algebraischen Kurven und Flächen geht. Im Wesentlichen geht
|
||||
es um die Fragen ``Wie viele algebraische Kurven gibt es überhaupt?'', ``Wie
|
||||
kann ich entscheiden, ob zwei gegebene Kurven isomorph sind'' und ``Ist es
|
||||
möglich, einen Überblick über die Menge der algebraischen Flächen zu
|
||||
gewinnen''? Im Gegensatz zu dieser Vorlesung steht eher die Geometrie als die
|
||||
Algebra im Vordergrund.
|
||||
|
||||
\item Im SS21 bieten Andreas Demleitner und ich ein Seminar über
|
||||
``Hodge-Theorie''
|
||||
an\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/William_Vallance_Douglas_Hodge}{William
|
||||
Vallance Douglas Hodge} (* 17.~Juni 1903 in Edinburgh; † 7.~Juli 1975 in
|
||||
Cambridge) war ein britischer Mathematiker.}. Dies ist eine weitreichende
|
||||
Theorie, die die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differenzialgeometrie
|
||||
und algebraischen Topologie mit komplexer und algebraischer Geometrie
|
||||
verbindet. Es geht also weiterhin um algebraische Varietäten, die Methoden
|
||||
des Seminars werden aber eher differenzialgeometrisch sein.
|
||||
|
||||
\item Die Diskussion der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis und der
|
||||
pythagoreischen Tripel hat vielleicht einen allerersten Eindruck vermittelt,
|
||||
was algebraische Geometrie und Zahlentheorie verbindet. Luca Terenzi und
|
||||
meine Kollegin Annette Huber-Klawitter werden im SS21 ein Seminar anbieten,
|
||||
bei dem es um geometrische und zahlentheoretische Aspekte von elliptischen
|
||||
Kurven geht, die heute in der Verschlüsselungstechnik eine zentrale Rolle
|
||||
spielen.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,321 @@
|
|||
\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
|
||||
\KOMAoptions{paper=a4}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Local font definitions -- need to come first
|
||||
%
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||||
\usepackage[linesnumbered, dotocloa]{algorithm2e}
|
||||
\usepackage{libertine}
|
||||
%\usepackage[libertine]{newtxmath}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\input{gfx/stdPreamble}
|
||||
\input{gfx/paperVersion-working}
|
||||
\usepackage{makeidx}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\makeindex
|
||||
|
||||
\author{Stefan Kebekus}
|
||||
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%
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||||
% TikZ
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%
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||||
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||||
\usetikzlibrary{through}
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\usetikzlibrary{quotes,babel,angles}
|
||||
\usetikzlibrary{calc} % calculate for relative positioning
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||||
|
||||
%
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||||
% Extra spacing in list of figures
|
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%
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||||
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||||
\usepackage{tocloft}
|
||||
\setlength{\cftfignumwidth}{3em}
|
||||
\allowdisplaybreaks[1]
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Theorems
|
||||
%
|
||||
\theoremstyle{plain}
|
||||
\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
|
||||
\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
|
||||
\newtheorem{situation}[thm]{Situation}
|
||||
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
|
||||
\newtheorem{nlemma}[thm]{Nichtlemma}
|
||||
\newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
|
||||
\newtheorem{definition}[thm]{Definition}
|
||||
\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition}
|
||||
\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt}
|
||||
\newtheorem{faktdef}[thm]{Fakt und Definition}
|
||||
\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit}
|
||||
\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition}
|
||||
\newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
|
||||
\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung}
|
||||
\theoremstyle{remark}
|
||||
\newtheorem{wunsch}[thm]{Wunsch}
|
||||
\newtheorem{algorithmus}[thm]{Algorithmus}
|
||||
\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
|
||||
\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung}
|
||||
\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung}
|
||||
\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
|
||||
\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
|
||||
\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel}
|
||||
\newtheorem{frage}[thm]{Frage}
|
||||
\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung}
|
||||
\newtheorem{eerinnerung}[thm]{Erweiterte Erinnerung}
|
||||
\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung}
|
||||
\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Math operators
|
||||
%
|
||||
\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
|
||||
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}
|
||||
\DeclareMathOperator{\height}{height}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ini}{in}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
|
||||
\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons}
|
||||
\DeclareMathOperator{\mult}{mult}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sep}{sep}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
|
||||
\DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator}
|
||||
\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
|
||||
|
||||
|
||||
\title{Kommutative Algebra und Einführung in die Algebraische Geometrie}
|
||||
\date{\today}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\hypersetup{
|
||||
pdfauthor={Stefan Kebekus},
|
||||
pdftitle={\@title},
|
||||
pdfstartview={Fit},
|
||||
pdfpagelayout={TwoColumnRight},
|
||||
pdfpagemode={UseOutlines},
|
||||
bookmarks,
|
||||
colorlinks,
|
||||
linkcolor=linkblue,
|
||||
citecolor=linkred,
|
||||
urlcolor=linkred}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
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||||
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||||
\tableofcontents
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\bigskip
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\bigskip
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\bigskip
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||||
\section*{Vorbemerkung}
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||||
Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
|
||||
Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
|
||||
auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
|
||||
hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
|
||||
geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
|
||||
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
|
||||
Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
|
||||
finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
|
||||
Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
|
||||
auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
|
||||
Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
|
||||
|
||||
Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
|
||||
Vorlesung auf unserem
|
||||
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
|
||||
Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
|
||||
aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
|
||||
|
||||
Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
|
||||
ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
|
||||
Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
|
||||
\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
|
||||
\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir
|
||||
korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
|
||||
Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
|
||||
beigetragen haben.
|
||||
|
||||
Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
|
||||
und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir
|
||||
fügen gern einen Link in den Text ein!
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Literatur}
|
||||
|
||||
Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
|
||||
Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
|
||||
Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
|
||||
Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
|
||||
Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von
|
||||
weiteren Materialien!
|
||||
|
||||
Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
|
||||
verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
|
||||
hervorragenden
|
||||
\href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
|
||||
Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.
|
||||
|
||||
\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
|
||||
Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
|
||||
\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
|
||||
Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
|
||||
Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
|
||||
absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
|
||||
Youtube-Kanal
|
||||
\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
|
||||
Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
|
||||
|
||||
\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
|
||||
\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
|
||||
\href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
|
||||
heruntergeladen werden kann.
|
||||
|
||||
\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
|
||||
kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist
|
||||
Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
|
||||
sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls
|
||||
\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es
|
||||
ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
|
||||
|
||||
\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
|
||||
\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
|
||||
kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
|
||||
Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
|
||||
mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
|
||||
das erste Kapitel lohnt sich…
|
||||
|
||||
\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
|
||||
\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
|
||||
Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
|
||||
Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden
|
||||
Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.
|
||||
|
||||
\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
|
||||
ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
|
||||
Theorie.
|
||||
|
||||
\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
|
||||
Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
|
||||
Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
|
||||
algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern
|
||||
gerechnet!
|
||||
|
||||
\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
|
||||
Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
|
||||
--- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
|
||||
Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
|
||||
den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier
|
||||
findet sich ALLES, was man jemals braucht.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Computer-Programme}
|
||||
|
||||
Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
|
||||
Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
|
||||
ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
|
||||
Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
|
||||
dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
|
||||
vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
|
||||
sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
|
||||
Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
|
||||
|
||||
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||||
\subsubsection*{Sage}
|
||||
|
||||
Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
|
||||
durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
|
||||
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
|
||||
etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
|
||||
oder den Service CoCals verwenden.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection*{CoCalc}
|
||||
|
||||
CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
|
||||
Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
|
||||
kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
|
||||
|
||||
Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
|
||||
können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
|
||||
Server rechnen.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Macaulay2}
|
||||
|
||||
Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
|
||||
\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
|
||||
herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
|
||||
leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
|
||||
|
||||
|
||||
\input{01}
|
||||
\input{02}
|
||||
|
||||
\part{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
|
||||
|
||||
\input{03}
|
||||
\input{04}
|
||||
\input{05}
|
||||
\input{06}
|
||||
\input{07}
|
||||
\input{08}
|
||||
|
||||
\part{Singularitäten von Kurven, diskrete Bewertungsringe, Bruchrechnung}
|
||||
|
||||
\input{09}
|
||||
\input{10}
|
||||
\input{11}
|
||||
|
||||
\part{Dimension}
|
||||
|
||||
\input{12}
|
||||
\input{13}
|
||||
|
||||
\part{Der projektive Raum}
|
||||
|
||||
\input{14}
|
||||
\input{15}
|
||||
\input{16}
|
||||
\input{17}
|
||||
\input{18}
|
||||
|
||||
\appendix
|
||||
\part{Anhang}
|
||||
|
||||
\listoffigures
|
||||
\listoftables
|
||||
\listofalgorithms
|
||||
|
||||
\printindex
|
||||
|
||||
\bibstyle{alpha}
|
||||
\bibliographystyle{alpha}
|
||||
\bibliography{bibliography/general}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 41 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 447 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 168 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 399 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 406 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 508 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 404 KiB |
Binary file not shown.
|
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Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 514 KiB |
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,149 @@
|
|||
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
|
||||
%%Creator: cairo 1.8.10 (http://cairographics.org)
|
||||
%%CreationDate: Fri Dec 17 11:10:16 2010
|
||||
%%Pages: 1
|
||||
%%BoundingBox: 0 0 598 526
|
||||
%%DocumentData: Clean7Bit
|
||||
%%LanguageLevel: 2
|
||||
%%EndComments
|
||||
%%BeginProlog
|
||||
/cairo_eps_state save def
|
||||
/dict_count countdictstack def
|
||||
/op_count count 1 sub def
|
||||
userdict begin
|
||||
/q { gsave } bind def
|
||||
/Q { grestore } bind def
|
||||
/cm { 6 array astore concat } bind def
|
||||
/w { setlinewidth } bind def
|
||||
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|
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/j { setlinejoin } bind def
|
||||
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|
||||
/d { setdash } bind def
|
||||
/m { moveto } bind def
|
||||
/l { lineto } bind def
|
||||
/c { curveto } bind def
|
||||
/h { closepath } bind def
|
||||
/re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto
|
||||
0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def
|
||||
/S { stroke } bind def
|
||||
/f { fill } bind def
|
||||
/f* { eofill } bind def
|
||||
/B { fill stroke } bind def
|
||||
/B* { eofill stroke } bind def
|
||||
/n { newpath } bind def
|
||||
/W { clip } bind def
|
||||
/W* { eoclip } bind def
|
||||
/BT { } bind def
|
||||
/ET { } bind def
|
||||
/pdfmark where { pop globaldict /?pdfmark /exec load put }
|
||||
{ globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark
|
||||
/cleartomark load def end } ifelse
|
||||
/BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def
|
||||
/EMC { mark /EMC pdfmark } bind def
|
||||
/cairo_store_point { /cairo_point_y exch def /cairo_point_x exch def } def
|
||||
/Tj { show currentpoint cairo_store_point } bind def
|
||||
/TJ {
|
||||
{
|
||||
dup
|
||||
type /stringtype eq
|
||||
{ show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse
|
||||
} forall
|
||||
currentpoint cairo_store_point
|
||||
} bind def
|
||||
/cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore
|
||||
cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def
|
||||
/Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where
|
||||
{ pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Td { matrix translate cairo_font_matrix matrix concatmatrix dup
|
||||
/cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point
|
||||
/cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def
|
||||
cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/g { setgray } bind def
|
||||
/rg { setrgbcolor } bind def
|
||||
/d1 { setcachedevice } bind def
|
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%%EndProlog
|
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%%Page: 1 1
|
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%%BeginPageSetup
|
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%%PageBoundingBox: 0 0 598 526
|
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%%EndPageSetup
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q
|
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1 g
|
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|
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0 g
|
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0.8 w
|
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0 J
|
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0 j
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[] 0.0 d
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12.145 26.285 12.469 c h
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182.84 106.79 c h
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h
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1 j
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Q
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/d { setdash } bind def
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/m { moveto } bind def
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/l { lineto } bind def
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/c { curveto } bind def
|
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/h { closepath } bind def
|
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/re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto
|
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0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def
|
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/S { stroke } bind def
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|
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/f* { eofill } bind def
|
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/n { newpath } bind def
|
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/W { clip } bind def
|
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/W* { eoclip } bind def
|
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/BT { } bind def
|
||||
/ET { } bind def
|
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/pdfmark where { pop globaldict /?pdfmark /exec load put }
|
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{ globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark
|
||||
/cleartomark load def end } ifelse
|
||||
/BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def
|
||||
/EMC { mark /EMC pdfmark } bind def
|
||||
/cairo_store_point { /cairo_point_y exch def /cairo_point_x exch def } def
|
||||
/Tj { show currentpoint cairo_store_point } bind def
|
||||
/TJ {
|
||||
{
|
||||
dup
|
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type /stringtype eq
|
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{ show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse
|
||||
} forall
|
||||
currentpoint cairo_store_point
|
||||
} bind def
|
||||
/cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore
|
||||
cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def
|
||||
/Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where
|
||||
{ pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Td { matrix translate cairo_font_matrix matrix concatmatrix dup
|
||||
/cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point
|
||||
/cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def
|
||||
cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
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/g { setgray } bind def
|
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/rg { setrgbcolor } bind def
|
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/d1 { setcachedevice } bind def
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%%EndProlog
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q 0 -1 433 384 rectclip q
|
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Q q
|
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0 382.081 432.77 -382.082 re W n
|
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q
|
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0 382.081 433 -383 re W n
|
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[ 1 0 0 1 -0.000000000000000433 -0.919189 ] concat
|
||||
q
|
||||
1 g
|
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98.395 22.645 m 19.328 22.645 l 215.699 366.02 l 412.176 22.645 l 98.395
|
||||
22.645 l f*
|
||||
Q
|
||||
Q
|
||||
q
|
||||
0 382.081 433 -383 re W n
|
||||
[ 1 0 0 1 -0.000000000000000433 -0.919189 ] concat
|
||||
q
|
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0.858824 0 0 rg
|
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404.199 0.918 m 414.375 1.051 423.844 6.504 428.922 15.348 c 434.02 24.223
|
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434.02 35.125 428.922 43.996 c 241.082 368.73 l 235.945 377.551 226.52
|
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383 216.305 383 c 206.09 383 196.648 377.551 191.539 368.73 c 3.91 43.996
|
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l -1.305 35.125 -1.305 24.223 3.91 15.348 c 9.004 6.5 18.473 1.051 28.66
|
||||
1.051 c 404.199 0.918 l 45.262 39.258 m 387.438 39.258 l 216.41 335.344
|
||||
l h
|
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f*
|
||||
Q
|
||||
Q
|
||||
1 g
|
||||
260.914 138.405 m 255.727 135.956 252.324 132.753 246.258 131.94 c 238.434
|
||||
130.882 230.285 138.37 227.297 143.577 c 221.793 153.151 232.133 153.714
|
||||
239.363 157.366 c 245.207 160.323 255.363 156.081 260.914 154.784 c 260.766
|
||||
149.475 261.855 143.604 260.914 138.405 c h
|
||||
f
|
||||
0 g
|
||||
231.172 57.37 m 222.711 53.753 217.293 49.542 207.035 53.917 c 200.984
|
||||
56.503 192.719 61.132 187.203 65.991 c 184.824 68.085 179.41 74.182 179.02
|
||||
76.768 c 178.715 78.753 179.867 79.19 180.309 81.077 c 181.871 87.698 178.75
|
||||
94.839 178.156 102.194 c 179.02 102.194 l 187.199 100.319 182.77 85.835
|
||||
188.066 81.077 c 189.965 83.139 187.621 84.389 188.066 87.971 c 189.641
|
||||
88.104 190.871 87.905 191.949 87.542 c 192.594 85.026 190.375 79.647 193.672
|
||||
79.78 c 195.965 79.792 194.504 83.546 195.398 84.956 c 196.41 85.093 197.012
|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
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79.78 c 232.281 80.253 231.969 83.444 235.055 83.233 c 236.031 80.885 235.898
|
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|
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|
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|
||||
f
|
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1 g
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f
|
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0 g
|
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|
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d="m 306.159,322.905 c -4.516,-5.236 -9.779,-14.246 -15.085,-20.473 -0.543,0 -1.079,0 -1.615,0 -4.357,10.178 -11.38,14.432 -11.855,28.555 2.536,1.416 5.01,2.894 8.618,3.237 5.588,-1.059 1.671,-11.628 7.003,-12.935 1.045,6.323 2.818,11.91 10.776,11.313 1.89,-2.061 2.385,-5.518 2.158,-9.697 z m 20.473,-8.082 c 7.58,-1.017 11.834,-5.023 18.321,-8.082 1.176,-6.501 -0.186,-13.841 0,-20.473 -6.94,-1.621 -19.634,-6.927 -26.939,-3.229 -9.037,4.563 -21.964,5.271 -15.085,17.235 3.738,6.509 13.924,15.87 23.703,14.549 z m -44.183,51.729 c -3.36,-0.31 -3.684,2.412 -6.46,2.694 -6.962,-0.612 -2.096,-10.501 -4.852,-14.549 -1.257,3.023 -0.859,7.704 -4.309,9.696 -4.137,0.941 -6.501,-2.24 -7.545,-5.924 -1.175,-1.711 -2.495,2.763 -4.309,0.536 -2.055,-5.229 -1.079,-9.669 -3.773,-12.934 -2.144,-2.598 -7.374,-5.58 -11.855,-5.388 -2.144,0.096 -4.536,2.79 -7.003,2.693 -3.574,-0.13 -5.986,-4.027 -8.082,-5.388 -1.1,-11.539 2.57,-16.515 -1.079,-25.86 -7.525,-19.284 -18.432,-30.252 -16.7,-58.188 0.791,-12.783 10.659,-36.561 19.937,-42.024 1.512,-0.894 19.222,-21.016 65.734,-21.016 47.639,0 64.414,30.328 67.885,36.1 6.055,10.062 8.584,17.545 9.697,32.864 0.412,5.656 1.306,12.467 0.543,18.857 -1.918,16.068 -16.164,25.105 -13.47,45.262 0.433,3.258 2.309,4.722 2.15,8.618 -0.186,4.714 -3.292,9.312 -5.388,10.775 -6.15,4.316 -18.466,0.269 -24.782,4.316 -2.384,1.519 -2.515,4.467 -4.852,7.003 -8.055,1.395 -10.089,5.519 -10.232,14.549 -4.439,0.976 -4.522,-5.01 -8.082,-6.467 -4.722,0.474 -1.719,6.315 -2.694,9.696 -2.378,0.138 -4.172,0.859 -7.01,0.536 -0.722,-1.43 -0.172,-4.137 -1.615,-4.845 -3.319,-0.447 -2.171,3.573 -3.772,4.845 -6.378,0.415 -5.683,-3.612 -8.082,-6.457 z m -19.057,-83.513 c -7.305,-3.697 -19.999,1.608 -26.939,3.229 0.186,6.632 -1.175,13.972 0,20.473 6.487,3.059 10.741,7.065 18.322,8.082 9.779,1.32 19.964,-8.04 23.703,-14.549 6.878,-11.964 -6.049,-12.671 -15.086,-17.235 z"
|
||||
id="path24"
|
||||
style="fill:#000000;stroke:none"
|
||||
inkscape:connector-curvature="0" />
|
||||
<path
|
||||
d="m 236.453,286.269 c 6.941,-1.621 19.634,-6.927 26.939,-3.229 9.037,4.563 21.964,5.271 15.085,17.235 -3.739,6.509 -13.923,15.869 -23.703,14.549 -7.581,-1.017 -11.834,-5.023 -18.322,-8.082 -1.175,-6.502 0.186,-13.842 0.001,-20.473 z"
|
||||
id="path26"
|
||||
style="fill:#ffffff;stroke:none"
|
||||
inkscape:connector-curvature="0" />
|
||||
</g>
|
||||
<g
|
||||
id="g28"
|
||||
style="stroke:none">
|
||||
</g>
|
||||
</g>
|
||||
</svg>
|
||||
|
After Width: | Height: | Size: 7.1 KiB |
|
|
@ -0,0 +1,13 @@
|
|||
%
|
||||
% Macros to produce different text for different versions of the paper.
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\Preprint}[1]{#1}
|
||||
\newcommand{\Publication}[1]{}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% No subversion info and no approval boxes anymore
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\subversionInfo}{}
|
||||
\newcommand{\svnid}[1]{}
|
||||
\newcommand{\approvals}[2][Approval]{}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,18 @@
|
|||
%
|
||||
% Macros to produce different text for different versions of the paper.
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\Preprint}[1]{}
|
||||
\newcommand{\Publication}[1]{#1}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% No subversion info and no approval boxes anymore
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\subversionInfo}{}
|
||||
\newcommand{\svnid}[1]{}
|
||||
\newcommand{\approvals}[2][Approval]{}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Define a dummy command for low-level TeX programming
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\isPublication}{}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,14 @@
|
|||
%
|
||||
% Dummy macros for the publicationPreview. Macros that are no longer allowed in
|
||||
% a publication are temporarily set to empty.
|
||||
%
|
||||
\newcommand\sideremark[1]{}
|
||||
\newcommand\questionSign[1]{}
|
||||
\newcommand\disaster[1]{}
|
||||
\newcommand\watchOut[1]{}
|
||||
\newcommand\constructionWarning[1]{}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Go on with regular publication macros
|
||||
%
|
||||
\input{gfx/paperVersion-publication}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,125 @@
|
|||
%
|
||||
% DEBUGGING MACROS
|
||||
%
|
||||
|
||||
% Subversion support
|
||||
\usepackage{svn-multi}
|
||||
|
||||
% sideremark
|
||||
\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
|
||||
% questionSign
|
||||
\newcommand\questionSign[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/question}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
|
||||
% disaster
|
||||
\newcommand\disaster[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/disaster}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
|
||||
% watchOut
|
||||
\newcommand\watchOut[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/warning}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
|
||||
% construction
|
||||
\newcommand\constructionWarning[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\protect{\includegraphics[width=1cm]{gfx/construction}}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
|
||||
% approval
|
||||
\definecolor{approvalBlue}{rgb}{0.95,0.95,1.0}
|
||||
\newcommand{\approvals}[2][Approval]{%
|
||||
\marginpar{\tiny \sf
|
||||
\colorbox{approvalBlue}{\begin{tabular}{ll}
|
||||
\multicolumn{2}{l}{\vphantom{\large S}#1}\\
|
||||
#2
|
||||
\end{tabular}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
% todo
|
||||
\newcommand\todo[1]{{\sf \color{red}#1}}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Macros to produce different text for different versions of the paper.
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\sf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
|
||||
\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\sf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Subversion Support
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\subversionInfo}{%
|
||||
\marginpar{\scriptsize \sf
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
\rowcolor{gray} \multicolumn{2}{l}{\color{white}\bf \vphantom{\large S}Chapter Info}\\
|
||||
\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Rev.: & \# \svnfilerev\\
|
||||
\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Date: & \svnfileday.\svnfilemonth.\svnfileyear\\
|
||||
\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Time: & \svnfilehour:\svnfileminute\\
|
||||
\rowcolor{lightgray} By: & \svnfileauthor
|
||||
\end{tabular}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,184 @@
|
|||
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
|
||||
%%Creator: cairo 1.12.2 (http://cairographics.org)
|
||||
%%CreationDate: Thu Mar 14 14:43:13 2013
|
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%%Pages: 1
|
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%%DocumentData: Clean7Bit
|
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%%LanguageLevel: 3
|
||||
%%BoundingBox: 0 -1 34 35
|
||||
%%EndComments
|
||||
%%BeginProlog
|
||||
save
|
||||
50 dict begin
|
||||
/q { gsave } bind def
|
||||
/Q { grestore } bind def
|
||||
/cm { 6 array astore concat } bind def
|
||||
/w { setlinewidth } bind def
|
||||
/J { setlinecap } bind def
|
||||
/j { setlinejoin } bind def
|
||||
/M { setmiterlimit } bind def
|
||||
/d { setdash } bind def
|
||||
/m { moveto } bind def
|
||||
/l { lineto } bind def
|
||||
/c { curveto } bind def
|
||||
/h { closepath } bind def
|
||||
/re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto
|
||||
0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def
|
||||
/S { stroke } bind def
|
||||
/f { fill } bind def
|
||||
/f* { eofill } bind def
|
||||
/n { newpath } bind def
|
||||
/W { clip } bind def
|
||||
/W* { eoclip } bind def
|
||||
/BT { } bind def
|
||||
/ET { } bind def
|
||||
/pdfmark where { pop globaldict /?pdfmark /exec load put }
|
||||
{ globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark
|
||||
/cleartomark load def end } ifelse
|
||||
/BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def
|
||||
/EMC { mark /EMC pdfmark } bind def
|
||||
/cairo_store_point { /cairo_point_y exch def /cairo_point_x exch def } def
|
||||
/Tj { show currentpoint cairo_store_point } bind def
|
||||
/TJ {
|
||||
{
|
||||
dup
|
||||
type /stringtype eq
|
||||
{ show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse
|
||||
} forall
|
||||
currentpoint cairo_store_point
|
||||
} bind def
|
||||
/cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore
|
||||
cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def
|
||||
/Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where
|
||||
{ pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Td { matrix translate cairo_font_matrix matrix concatmatrix dup
|
||||
/cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point
|
||||
/cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def
|
||||
cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def
|
||||
/g { setgray } bind def
|
||||
/rg { setrgbcolor } bind def
|
||||
/d1 { setcachedevice } bind def
|
||||
%%EndProlog
|
||||
%%Page: 1 1
|
||||
%%BeginPageSetup
|
||||
%%PageBoundingBox: 0 -1 34 35
|
||||
%%EndPageSetup
|
||||
q 0 -1 34 36 rectclip q
|
||||
q
|
||||
0 34.456 34 -35 re W n
|
||||
% Fallback Image: x=0 y=0 w=34 h=35 res=300ppi size=62196
|
||||
[ 0.24 0 0 0.24 0 -0.584407 ] concat
|
||||
/DeviceRGB setcolorspace
|
||||
8 dict dup begin
|
||||
/ImageType 1 def
|
||||
/Width 142 def
|
||||
/Height 146 def
|
||||
/Interpolate false def
|
||||
/BitsPerComponent 8 def
|
||||
/Decode [ 0 1 0 1 0 1 ] def
|
||||
/DataSource currentfile /ASCII85Decode filter /FlateDecode filter def
|
||||
/Interpolate false def
|
||||
/ImageMatrix [ 1 0 0 -1 0 146 ] def
|
||||
end
|
||||
image
|
||||
Gb"0Wq0*M(fa%"rW_!km("1P%p89fCS$YcDUa0RH!]9:9:ReYC1aE2Xd"DC2nHKgD0\Bc;Q?
|
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|
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|
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|
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|
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79<rcGd0#)Y^Wi%5D_g0,+2oUZEt-WZe]Du'$m?fCW#kYR[/I^>JFcB0.&laW?`6/I@1AB@
|
||||
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|
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|
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5m#Qs$\46K.!kG[O_1-;'4/DZ_=6A0p2(9j2#/<O$fDU#k-mFPnC-)u&t;Au:N[R6r"?`WY
|
||||
e@bk=r=F)^@*$SpXMYc[3Vk'*n>$Z"Q@9NFafp,a,/kkejLbqH3>PK\/[4-O+@O7C5h%4"f
|
||||
;#b2rSbf*5g0nq8X/*!rS,K@--'Cip&<TG\G6qWWSg1>T0PM,n<%/r#[*iT']?f-0g6d'd;
|
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HUmB`_$50,""a:m5i]!]i4^KO*.@o=.;>n=)#gQ=,9DBQ2[Ikf+/4mDAs!W4!rcN6lMcU+a
|
||||
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|
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GSM'59_OjMZ"hck;RDiK@6;6YpXY<S?<9KXKPPLZ1KV\<`+JVi'*M3"?lWNjRuReDMD(Uf5
|
||||
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|
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/+_=d$EHE>/@Cl?%s6VnPs88bBmI8=3OnsfNAEs>BVk`EJ_op(MjYZfZ;]RRLg!"Y`QJt5F
|
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KTgYPL"aEn3,&VB3/Id!286roQGM]TPdkO1;uB;ejp.JbrZE'iX?D'>3XM0hL7LXZJGpAj9
|
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!miF!@htAr?2M#[0;=W58`lIu$W?kcLa%TspS11_*Q&9Q:n<S.kRq4\h+s\$5N!9?mAX,)p
|
||||
P[44S"^iPiBCp1Ufb8t"ZL&TuO%W>&=:I6^Yc<r5jp;hX#-"RA[6qH/WBe-ZeqYRjfLG()1
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@BVoiY!m\+RA(+(DbDN_?::6mWfHDGuKPl=sHEogXCX\m*#tDY/=Re)a'-_16:/VGEXmA2\
|
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fp-uXB03)6U:j]iJi`AEg`lcaIZ`ek)C!TXj^c9,6Gk_s$-.pk.K0lUX)jM)pY]SJWAb9Y%
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style="font-size:22.4070015px;font-style:normal;font-weight:bold;fill:#ffffff;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:1px;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;font-family:Bitstream Vera Sans" />
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|
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|
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<path
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|
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|
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style="opacity:0.46982757;fill:url(#linearGradient6707);fill-opacity:1;stroke:#280b0b;stroke-width:0.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1"
|
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|
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transform="translate(-105.15625,12)" />
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<path
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style="fill:url(#linearGradient6716);fill-opacity:1;stroke:#a40000;stroke-width:0.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1"
|
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d="M -128.78125,2.5 C -128.495,2.500429 -128.22506,2.569588 -127.96875,2.6875 C -128.22353,2.57166 -128.495,2.500429 -128.78125,2.5 z M -155.46875,14.5 C -156.20251,14.496319 -156.87043,14.897931 -157.21875,15.53125 L -157.25,15.59375 L -162.3125,27.46875 C -162.37838,27.639248 -162.42044,27.818014 -162.4375,28 L -164.25,42.25 C -164.32515,42.817543 -164.15824,43.381653 -163.78125,43.8125 C -163.40426,44.243347 -162.85375,44.499143 -162.28125,44.5 L -140.71875,44.5 C -139.91424,44.504036 -139.18653,44.023007 -138.875,43.28125 L -128.71875,19.53125 L -133.875,31.53125 C -133.80912,31.360752 -133.76706,31.181986 -133.75,31 L -131.96875,16.75 C -131.8936,16.182457 -132.06051,15.618347 -132.4375,15.1875 C -132.81449,14.756653 -133.365,14.500857 -133.9375,14.5 L -155.46875,14.5 z "
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id="path6709" />
|
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<path
|
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style="fill:#3465a4;fill-opacity:1;stroke:#204a87;stroke-width:0.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1"
|
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d="M -90.3125,2.5 C -91.11701,2.495964 -91.84472,2.976993 -92.15625,3.71875 L -97.25,15.59375 C -96.91175,14.925428 -96.2258,14.496202 -95.46875,14.5 L -73.9375,14.5 C -73.365,14.500857 -72.81449,14.756653 -72.4375,15.1875 C -72.06051,15.618347 -71.8936,16.182457 -71.96875,16.75 L -73.75,31 C -73.76706,31.181986 -73.80912,31.360752 -73.875,31.53125 L -68.71875,19.53125 C -68.65287,19.360752 -68.61081,19.181986 -68.59375,19 L -66.8125,4.75 C -66.73735,4.182457 -66.90426,3.618347 -67.28125,3.1875 C -67.65824,2.756653 -68.20875,2.500857 -68.78125,2.5 L -90.3125,2.5 z "
|
||||
id="path6702"
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<path
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sodipodi:type="inkscape:offset"
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inkscape:original="M -40.3125 2.5 C -41.117011 2.495964 -41.844721 2.9769928 -42.15625 3.71875 L -52.3125 27.46875 C -52.37838 27.639248 -52.420442 27.818014 -52.4375 28 L -54.25 42.25 C -54.325145 42.817543 -54.158241 43.381653 -53.78125 43.8125 C -53.404261 44.243347 -52.853745 44.499143 -52.28125 44.5 L -30.71875 44.5 C -29.914239 44.504036 -29.186529 44.023007 -28.875 43.28125 L -18.71875 19.53125 C -18.65287 19.360752 -18.610808 19.181986 -18.59375 19 L -16.8125 4.75 C -16.737355 4.1824575 -16.904259 3.6183469 -17.28125 3.1875 C -17.658241 2.7566532 -18.208755 2.5008574 -18.78125 2.5 L -40.3125 2.5 z "
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style="fill:#fce94f;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:0.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1"
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id="path6748"
|
||||
d="M -40.3125,2.96875 C -40.928752,2.9656584 -41.48012,3.3380673 -41.71875,3.90625 L -51.875,27.65625 C -51.925353,27.786565 -51.955712,27.892152 -51.96875,28.03125 C -51.968403,28.041664 -51.968403,28.052086 -51.96875,28.0625 L -53.78125,42.3125 C -53.839235,42.750439 -53.726117,43.170152 -53.4375,43.5 C -53.148886,43.829846 -52.714567,44.030601 -52.28125,44.03125 L -30.71875,44.03125 C -30.102498,44.034342 -29.55113,43.661933 -29.3125,43.09375 L -19.15625,19.34375 C -19.105897,19.213435 -19.075538,19.107848 -19.0625,18.96875 C -19.062847,18.958336 -19.062847,18.947914 -19.0625,18.9375 L -17.28125,4.6875 C -17.223265,4.2495612 -17.336383,3.8298475 -17.625,3.5 C -17.913617,3.1701526 -18.347932,2.969399 -18.78125,2.96875 L -40.3125,2.96875 z "
|
||||
transform="translate(-150,-90)" />
|
||||
<path
|
||||
sodipodi:type="inkscape:offset"
|
||||
inkscape:radius="1.5"
|
||||
inkscape:original="M 13.03125 2 L 5.78125 18.96875 L 4.5 29 L 19.65625 29 L 26.875 12.0625 L 28.15625 2 L 13.03125 2 z "
|
||||
style="fill:url(#linearGradient6999);fill-opacity:1;stroke:#a40000;stroke-width:0.99999982;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1;display:inline"
|
||||
id="path6892"
|
||||
d="M 12.875,0.5 C 12.334549,0.55892959 11.868276,0.9056458 11.65625,1.40625 L 4.40625,18.375 C 4.3455131,18.503798 4.3034241,18.640587 4.28125,18.78125 L 3,28.8125 C 2.9459675,29.241658 3.0798058,29.673252 3.3671735,29.99654 C 3.6545411,30.319829 4.0674674,30.503345 4.5,30.5 L 19.65625,30.5 C 20.254243,30.49897 20.794509,30.142886 21.03125,29.59375 L 28.25,12.65625 C 28.310737,12.527452 28.352826,12.390663 28.375,12.25 L 29.65625,2.1875 C 29.710282,1.7583425 29.576444,1.3267483 29.289077,1.0034597 C 29.001709,0.68017114 28.588783,0.49665518 28.15625,0.5 L 13.03125,0.5 C 12.979202,0.49728576 12.927048,0.49728576 12.875,0.5 L 12.875,0.5 z "
|
||||
transform="translate(-210,0)" />
|
||||
<path
|
||||
style="fill:url(#linearGradient7001);fill-opacity:1;stroke:#a40000;stroke-width:0.99999982;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1;display:inline"
|
||||
d="M -270.96875,9.5 C -271.5092,9.55893 -271.97547,9.905646 -272.1875,10.40625 L -275.59375,18.375 C -275.65449,18.503798 -275.69658,18.640587 -275.71875,18.78125 L -277,28.8125 C -277.05403,29.241658 -276.91237,29.676711 -276.625,30 C -276.33763,30.323289 -275.93253,30.503345 -275.5,30.5 L -260.34375,30.5 C -259.74576,30.49897 -259.20549,30.142886 -258.96875,29.59375 L -255.59375,21.65625 C -255.53301,21.527452 -255.49092,21.390663 -255.46875,21.25 L -254.1875,11.1875 C -254.13347,10.758342 -254.27513,10.323289 -254.5625,10 C -254.84987,9.676711 -255.25497,9.496655 -255.6875,9.5 L -270.8125,9.5 C -270.86455,9.497286 -270.9167,9.497286 -270.96875,9.5 z "
|
||||
id="path6905" />
|
||||
<path
|
||||
style="fill:#3465a4;fill-opacity:1;stroke:#204a87;stroke-width:0.99999982;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dashoffset:0.7;stroke-opacity:1;display:inline"
|
||||
d="M -267.125,0.5 C -267.66545,0.55893 -268.13172,0.905646 -268.34375,1.40625 L -272.1875,10.40625 C -271.97547,9.905646 -271.5092,9.55893 -270.96875,9.5 C -270.9167,9.497286 -270.86455,9.497286 -270.8125,9.5 L -255.6875,9.5 C -255.25497,9.496655 -254.84987,9.676711 -254.5625,10 C -254.27513,10.323289 -254.13347,10.758342 -254.1875,11.1875 L -255.46875,21.25 C -255.49092,21.390663 -255.53301,21.527452 -255.59375,21.65625 L -251.75,12.65625 C -251.68926,12.527452 -251.64717,12.390663 -251.625,12.25 L -250.34375,2.1875 C -250.28972,1.758342 -250.43138,1.323289 -250.71875,1 C -251.00612,0.676711 -251.41122,0.496655 -251.84375,0.5 L -266.96875,0.5 C -267.0208,0.497286 -267.07295,0.497286 -267.125,0.5 z "
|
||||
id="path6900" />
|
||||
</g>
|
||||
</svg>
|
||||
|
After Width: | Height: | Size: 20 KiB |
|
|
@ -0,0 +1,2 @@
|
|||
STR=$'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography'
|
||||
svn propset svn:externals "$STR" .
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,20 @@
|
|||
#!/usr/bin/python3
|
||||
import os
|
||||
import subprocess
|
||||
|
||||
projectName = os.getcwd().split("/")[-1]
|
||||
|
||||
print("Working on project "+projectName)
|
||||
|
||||
print("Setup directory structure")
|
||||
subprocess.call("svn rm branches tags trunk", shell=True)
|
||||
subprocess.call("svn propset svn:externals 'gfx svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/gfx\nbibliography svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/bibliography' .", shell=True)
|
||||
subprocess.call("svn up", shell=True)
|
||||
|
||||
print("Setup templates")
|
||||
subprocess.call("cp gfx/templates/*.tex .", shell=True)
|
||||
subprocess.call("mv example.tex "+projectName+".tex", shell=True)
|
||||
subprocess.call("sed 's/example/"+projectName+"/g' <01.tex >01new.tex", shell=True)
|
||||
subprocess.call("mv 01new.tex 01.tex", shell=True)
|
||||
subprocess.call("svn add *.tex", shell=True)
|
||||
subprocess.call("bash gfx/svn-propset.sh", shell=True)
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,377 @@
|
|||
%
|
||||
% PACKAGES
|
||||
%
|
||||
|
||||
% Standard Packages
|
||||
\usepackage{babel}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{newunicodechar}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{varioref}
|
||||
\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy}
|
||||
|
||||
% Graphics Packages
|
||||
\usepackage{colortbl}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
|
||||
% Font packages
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% GENERAL TYPESETTING
|
||||
%
|
||||
|
||||
% Colours for hyperlinks
|
||||
\definecolor{linkred}{rgb}{0.7,0.2,0.2}
|
||||
\definecolor{linkblue}{rgb}{0,0.2,0.6}
|
||||
|
||||
% Limit table of contents to section titles
|
||||
\setcounter{tocdepth}{1}
|
||||
|
||||
% Numbering of figures (see below for numbering of equations)
|
||||
\numberwithin{figure}{section}
|
||||
|
||||
% Add an uparrow to the bibliography entries, just before the back-list of references
|
||||
\usepackage[hyperpageref]{backref}
|
||||
\renewcommand{\backref}[1]{$\uparrow$~#1}
|
||||
|
||||
% Numbering of parts in roman numbers
|
||||
\renewcommand\thepart{\rm \Roman{part}}
|
||||
|
||||
% Sloppy formatting -- often looks better
|
||||
\sloppy
|
||||
|
||||
% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in
|
||||
% the original amsart style is too much for my taste.
|
||||
\setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
|
||||
\setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
|
||||
\setenumerate[1]{labelindent=0cm, leftmargin=*, widest=iiii}
|
||||
|
||||
%
|
||||
% Input characters
|
||||
%
|
||||
|
||||
\newunicodechar{א}{\ensuremath{\aleph}}
|
||||
\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
|
||||
\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}}
|
||||
\newunicodechar{χ}{\ensuremath{\chi}}
|
||||
\newunicodechar{δ}{\ensuremath{\delta}}
|
||||
\newunicodechar{ε}{\ensuremath{\varepsilon}}
|
||||
\newunicodechar{Δ}{\ensuremath{\Delta}}
|
||||
\newunicodechar{η}{\ensuremath{\eta}}
|
||||
\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}}
|
||||
\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}}
|
||||
\newunicodechar{ι}{\ensuremath{\iota}}
|
||||
\newunicodechar{κ}{\ensuremath{\kappa}}
|
||||
\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}}
|
||||
\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\Lambda}}
|
||||
\newunicodechar{ν}{\ensuremath{\nu}}
|
||||
\newunicodechar{μ}{\ensuremath{\mu}}
|
||||
\newunicodechar{ω}{\ensuremath{\omega}}
|
||||
\newunicodechar{Ω}{\ensuremath{\Omega}}
|
||||
\newunicodechar{π}{\ensuremath{\pi}}
|
||||
\newunicodechar{Π}{\ensuremath{\Pi}}
|
||||
\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\phi}}
|
||||
\newunicodechar{Φ}{\ensuremath{\Phi}}
|
||||
\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}}
|
||||
\newunicodechar{Ψ}{\ensuremath{\Psi}}
|
||||
\newunicodechar{ρ}{\ensuremath{\rho}}
|
||||
\newunicodechar{σ}{\ensuremath{\sigma}}
|
||||
\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\Sigma}}
|
||||
\newunicodechar{τ}{\ensuremath{\tau}}
|
||||
\newunicodechar{θ}{\ensuremath{\theta}}
|
||||
\newunicodechar{Θ}{\ensuremath{\Theta}}
|
||||
\newunicodechar{ξ}{\ensuremath{\xi}}
|
||||
\newunicodechar{Ξ}{\ensuremath{\Xi}}
|
||||
\newunicodechar{ζ}{\ensuremath{\zeta}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}}
|
||||
\newunicodechar{ï}{\"{\i}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{𝔸}{\ensuremath{\bA}}
|
||||
\newunicodechar{𝔹}{\ensuremath{\bB}}
|
||||
\newunicodechar{ℂ}{\ensuremath{\bC}}
|
||||
\newunicodechar{𝔻}{\ensuremath{\bD}}
|
||||
\newunicodechar{𝔼}{\ensuremath{\bE}}
|
||||
\newunicodechar{𝔽}{\ensuremath{\bF}}
|
||||
\newunicodechar{𝔾}{\ensuremath{\bG}}
|
||||
\newunicodechar{ℕ}{\ensuremath{\bN}}
|
||||
\newunicodechar{ℙ}{\ensuremath{\bP}}
|
||||
\newunicodechar{ℚ}{\ensuremath{\bQ}}
|
||||
\newunicodechar{ℝ}{\ensuremath{\bR}}
|
||||
\newunicodechar{𝕏}{\ensuremath{\bX}}
|
||||
\newunicodechar{ℤ}{\ensuremath{\bZ}}
|
||||
\newunicodechar{𝒜}{\ensuremath{\sA}}
|
||||
\newunicodechar{ℬ}{\ensuremath{\sB}}
|
||||
\newunicodechar{𝒞}{\ensuremath{\sC}}
|
||||
\newunicodechar{𝒟}{\ensuremath{\sD}}
|
||||
\newunicodechar{ℰ}{\ensuremath{\sE}}
|
||||
\newunicodechar{ℱ}{\ensuremath{\sF}}
|
||||
\newunicodechar{𝒢}{\ensuremath{\sG}}
|
||||
\newunicodechar{ℋ}{\ensuremath{\sH}}
|
||||
\newunicodechar{𝒥}{\ensuremath{\sJ}}
|
||||
\newunicodechar{ℒ}{\ensuremath{\sL}}
|
||||
\newunicodechar{ℳ}{\ensuremath{\sM}}
|
||||
\newunicodechar{𝒪}{\ensuremath{\sO}}
|
||||
\newunicodechar{𝒬}{\ensuremath{\sQ}}
|
||||
\newunicodechar{𝒮}{\ensuremath{\sS}}
|
||||
\newunicodechar{𝒯}{\ensuremath{\sT}}
|
||||
\newunicodechar{𝒲}{\ensuremath{\sW}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{∂}{\ensuremath{\partial}}
|
||||
\newunicodechar{∇}{\ensuremath{\nabla}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{↺}{\ensuremath{\circlearrowleft}}
|
||||
\newunicodechar{∞}{\ensuremath{\infty}}
|
||||
\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{\oplus}}
|
||||
\newunicodechar{⊗}{\ensuremath{\otimes}}
|
||||
\newunicodechar{•}{\ensuremath{\bullet}}
|
||||
\newunicodechar{Λ}{\ensuremath{\wedge}}
|
||||
\newunicodechar{↪}{\ensuremath{\into}}
|
||||
\newunicodechar{→}{\ensuremath{\to}}
|
||||
\newunicodechar{↦}{\ensuremath{\mapsto}}
|
||||
\newunicodechar{⨯}{\ensuremath{\times}}
|
||||
\newunicodechar{∪}{\ensuremath{\cup}}
|
||||
\newunicodechar{∩}{\ensuremath{\cap}}
|
||||
\newunicodechar{⊋}{\ensuremath{\supsetneq}}
|
||||
\newunicodechar{⊇}{\ensuremath{\supseteq}}
|
||||
\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{\supset}}
|
||||
\newunicodechar{⊊}{\ensuremath{\subsetneq}}
|
||||
\newunicodechar{⊆}{\ensuremath{\subseteq}}
|
||||
\newunicodechar{⊂}{\ensuremath{\subset}}
|
||||
\newunicodechar{⊄}{\ensuremath{\not \subset}}
|
||||
\newunicodechar{≥}{\ensuremath{\geq}}
|
||||
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
|
||||
\newunicodechar{≫}{\ensuremath{\gg}}
|
||||
\newunicodechar{≪}{\ensuremath{\ll}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{≤}{\ensuremath{\leq}}
|
||||
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
|
||||
\newunicodechar{∉}{\ensuremath{\not \in}}
|
||||
\newunicodechar{∖}{\ensuremath{\setminus}}
|
||||
\newunicodechar{◦}{\ensuremath{\circ}}
|
||||
\newunicodechar{°}{\ensuremath{^\circ}}
|
||||
\newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi}
|
||||
\newunicodechar{·}{\ensuremath{\cdot}}
|
||||
\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{\cdots}}
|
||||
\newunicodechar{∅}{\ensuremath{\emptyset}}
|
||||
\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{\Rightarrow}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{⁰}{\ensuremath{^0}}
|
||||
\newunicodechar{¹}{\ensuremath{^1}}
|
||||
\newunicodechar{²}{\ensuremath{^2}}
|
||||
\newunicodechar{³}{\ensuremath{^3}}
|
||||
\newunicodechar{⁴}{\ensuremath{^4}}
|
||||
\newunicodechar{⁵}{\ensuremath{^5}}
|
||||
\newunicodechar{⁶}{\ensuremath{^6}}
|
||||
\newunicodechar{⁷}{\ensuremath{^7}}
|
||||
\newunicodechar{⁸}{\ensuremath{^8}}
|
||||
\newunicodechar{⁹}{\ensuremath{^9}}
|
||||
\newunicodechar{ⁱ}{\ensuremath{^i}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{⌈}{\ensuremath{\lceil}}
|
||||
\newunicodechar{⌉}{\ensuremath{\rceil}}
|
||||
\newunicodechar{⌊}{\ensuremath{\lfloor}}
|
||||
\newunicodechar{⌋}{\ensuremath{\rfloor}}
|
||||
|
||||
\newunicodechar{≅}{\ensuremath{\cong}}
|
||||
\newunicodechar{⇔}{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
|
||||
\newunicodechar{∃}{\ensuremath{\exists}}
|
||||
\newunicodechar{±}{\ensuremath{\pm}}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% FONT DEFINTIONS
|
||||
%
|
||||
|
||||
% Script Font used for sheaves
|
||||
\DeclareFontFamily{OMS}{rsfs}{\skewchar\font'60}
|
||||
\DeclareFontShape{OMS}{rsfs}{m}{n}{<-5>rsfs5 <5-7>rsfs7 <7->rsfs10 }{}
|
||||
\DeclareSymbolFont{rsfs}{OMS}{rsfs}{m}{n}
|
||||
\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
|
||||
\DeclareSymbolFontAlphabet{\scr}{rsfs}
|
||||
|
||||
% Code from mathabx.sty and mathabx.dcl, define macro \wcheck
|
||||
\DeclareFontFamily{U}{mathx}{\hyphenchar\font45}
|
||||
\DeclareFontShape{U}{mathx}{m}{n}{
|
||||
<5> <6> <7> <8> <9> <10>
|
||||
<10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88>
|
||||
mathx10
|
||||
}{}
|
||||
\DeclareSymbolFont{mathx}{U}{mathx}{m}{n}
|
||||
\DeclareFontSubstitution{U}{mathx}{m}{n}
|
||||
\DeclareMathAccent{\wcheck}{0}{mathx}{"71}
|
||||
|
||||
|
||||
%
|
||||
% MATHEMATICS DEFINITIONS
|
||||
%
|
||||
|
||||
% Operators
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||||
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
|
||||
\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
|
||||
\DeclareMathOperator{\const}{const}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Image}{Image}
|
||||
\DeclareMathOperator{\img}{img}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ramification}{Ramification}
|
||||
\DeclareMathOperator{\red}{red}
|
||||
\DeclareMathOperator{\reg}{reg}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sat}{sat}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sEnd}{\sE\negthinspace \mathit{nd}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
|
||||
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
|
||||
\DeclareMathOperator{\tor}{tor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
|
||||
|
||||
% Sheaves
|
||||
\newcommand{\sA}{\scr{A}}
|
||||
\newcommand{\sB}{\scr{B}}
|
||||
\newcommand{\sC}{\scr{C}}
|
||||
\newcommand{\sD}{\scr{D}}
|
||||
\newcommand{\sE}{\scr{E}}
|
||||
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% C-infty sheaves
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% Blackboard Bold Symbols
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% Sans serif symbols
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\newcommand{\aF}{{\sf F}}
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% Theorem type environments
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\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
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\newtheorem{aassumption}[thm]{Additional Assumption}
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\newtheorem{conjecture}[thm]{Conjecture}
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\newtheorem{defn}[thm]{Definition}
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\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
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\newtheorem{lemNot}[thm]{Lemma and Notation}
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\newtheorem{problem}[thm]{Problem}
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\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
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\newtheorem{setup}[thm]{Setup}
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\newtheorem{subthm}[thm]{Sub-Theorem}
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\newtheorem{summary}[thm]{Summary}
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\theoremstyle{remark}
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\newtheorem{assumption}[thm]{Assumption}
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\newtheorem{asswlog}[thm]{Assumption w.l.o.g.}
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\newtheorem{claim}[thm]{Claim}
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\newtheorem{c-n-d}[thm]{Claim and Definition}
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\newtheorem{consequence}[thm]{Consequence}
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\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
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\newtheorem{computation}[thm]{Computation}
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\newtheorem{example}[thm]{Example}
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\newtheorem{explanation}[thm]{Explanation}
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\newtheorem{notation}[thm]{Notation}
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\newtheorem{obs}[thm]{Observation}
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\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
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\newtheorem{question}[thm]{Question}
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\newtheorem*{rem-nonumber}{Remark}
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\newtheorem{setting}[thm]{Setting}
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\newtheorem{warning}[thm]{Warning}
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% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
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\numberwithin{equation}{thm}
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||||
% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
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% numbered in the same way as equations are.
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\setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}}
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% Shorthand notations
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\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow}
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\newcommand{\wtilde}{\widetilde}
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\newcommand{\what}{\widehat}
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%
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% HYPENTATION
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%
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\hyphenation{com-po-nents}
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\hyphenation{pos-i-tive}
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\hyphenation{Theo-rem}
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\hyphenation{Vojta}
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%
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% SPECIALIZED MACROS
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%
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% CounterStep - increases equation counter
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\newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}}
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% factor - quotient groups
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\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}
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@ -0,0 +1,2 @@
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#!/bin/bash
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svn propset svn:keywords "Id" *.tex
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@ -0,0 +1,23 @@
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%
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% Do not edit the following line. The text is automatically updated by
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% subversion.
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%
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\svnid{$Id: 01-intro.tex 64 2013-12-04 07:33:02Z kebekus $}
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\section{Example section}
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\subversionInfo
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Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor
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incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis
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nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo
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consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum
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dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint occaecat cupidatat non proident,
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sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. \cite{Grauert62}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "example"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper, british]{amsart}
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\input{gfx/paperVersion-working}
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\author{Stefan Kebekus}
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\address{Stefan Kebekus, Mathematisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, Eckerstraße 1, 79104 Freiburg im Breisgau, Germany and University of Strasbourg Institute for Advanced Study (USIAS), Strasbourg, France}
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\email{\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}}
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||||
\urladdr{\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus}}
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||||
\thanks{Stefan Kebekus was supported in part by the DFG-Forschergruppe 790
|
||||
``Classification of Algebraic Surfaces and Compact Complex Manifolds''. He
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||||
gratefully acknowledges the support through a joint fellowship of the Freiburg
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Institute of Advanced Studies (FRIAS) and the University of Strasbourg
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Institute for Advanced Study (USIAS).}
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\keywords{Example Keywords}
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\subjclass[2010]{Example Class}
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\title{Example Paper}
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\date{\today}
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\makeatletter
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\hypersetup{
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bookmarks,
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colorlinks}
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\makeatother
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\input{01}
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\bibstyle{alpha}
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\end{document}
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\renewcommand{\phi}{\varphi}
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File diff suppressed because it is too large
Load Diff
Binary file not shown.
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