From d444c091e94581157f00698b7009da62cae4b3a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 30 Mar 2023 10:13:25 +0200 Subject: [PATCH] Initial checkout --- 01.tex | 94 + 02.tex | 464 + 03.tex | 316 + 04.tex | 285 + 05.tex | 491 + 06.tex | 271 + 07.tex | 440 + 08.tex | 951 ++ 09.tex | 225 + 10.tex | 854 ++ 11.tex | 222 + 12.tex | 404 + 13.tex | 404 + 14.tex | 278 + 15.tex | 254 + 16.tex | 403 + 17.tex | 381 + 18.tex | 51 + KommutativeAlgebra.tex | 321 + bibliography/general.bib | 15744 +++++++++++++++++++++ bibliography/skalpha.bst | 1452 ++ figures/02-clebschCubic.png | Bin 0 -> 42333 bytes figures/02-graph.png | Bin 0 -> 457348 bytes figures/02-kreis.png | Bin 0 -> 171758 bytes figures/09-smooth-and-sing.png | Bin 0 -> 408908 bytes figures/09-tang-cone.png | Bin 0 -> 415930 bytes figures/13-hyperbel.png | Bin 0 -> 520685 bytes figures/14-unsplash.jpg | Bin 0 -> 413567 bytes figures/16-cone.png | Bin 0 -> 446308 bytes figures/17-barthSextic.png | Bin 0 -> 526666 bytes gfx/Strategyforproof.pdf | Bin 0 -> 151135 bytes gfx/construction.eps | 149 + gfx/construction.pdf | Bin 0 -> 2250 bytes gfx/construction.svg | 67 + gfx/danger.eps | 7880 +++++++++++ gfx/danger.svg | 117 + gfx/disaster.eps | 168 + gfx/disaster.pdf | Bin 0 -> 3936 bytes gfx/disaster.svg | 124 + gfx/paperVersion-preprint.tex | 13 + gfx/paperVersion-publication.tex | 18 + gfx/paperVersion-publicationPreview.tex | 14 + gfx/paperVersion-working.tex | 125 + gfx/question.eps | 184 + gfx/question.pdf | Bin 0 -> 7872 bytes gfx/question.svg | 325 + gfx/set-externals.sh | 2 + gfx/setupProject.py | 20 + gfx/stdPreamble.tex | 377 + gfx/svn-propset.sh | 2 + gfx/templates/01.tex | 23 + gfx/templates/example.tex | 51 + gfx/varphi.tex | 1 + gfx/warning.eps | 15780 ++++++++++++++++++++++ gfx/warning.pdf | Bin 0 -> 164548 bytes gfx/warning.svg | 35 + 56 files changed, 49780 insertions(+) create mode 100644 01.tex create mode 100644 02.tex create mode 100644 03.tex create mode 100644 04.tex create mode 100644 05.tex create mode 100644 06.tex create mode 100644 07.tex create mode 100644 08.tex create mode 100644 09.tex create mode 100644 10.tex create mode 100644 11.tex create mode 100644 12.tex create mode 100644 13.tex create mode 100644 14.tex create mode 100644 15.tex create mode 100644 16.tex create mode 100644 17.tex create mode 100644 18.tex create mode 100644 KommutativeAlgebra.tex create mode 100644 bibliography/general.bib create mode 100644 bibliography/skalpha.bst create mode 100644 figures/02-clebschCubic.png create mode 100644 figures/02-graph.png create mode 100644 figures/02-kreis.png create mode 100644 figures/09-smooth-and-sing.png create mode 100644 figures/09-tang-cone.png create mode 100644 figures/13-hyperbel.png create mode 100644 figures/14-unsplash.jpg create mode 100644 figures/16-cone.png create mode 100644 figures/17-barthSextic.png create mode 100644 gfx/Strategyforproof.pdf create mode 100644 gfx/construction.eps create mode 100644 gfx/construction.pdf create mode 100644 gfx/construction.svg create mode 100644 gfx/danger.eps create mode 100644 gfx/danger.svg create mode 100644 gfx/disaster.eps create mode 100644 gfx/disaster.pdf create mode 100644 gfx/disaster.svg create mode 100644 gfx/paperVersion-preprint.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-publication.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-publicationPreview.tex create mode 100644 gfx/paperVersion-working.tex create mode 100644 gfx/question.eps create mode 100644 gfx/question.pdf create mode 100644 gfx/question.svg create mode 100755 gfx/set-externals.sh create mode 100755 gfx/setupProject.py create mode 100644 gfx/stdPreamble.tex create mode 100644 gfx/svn-propset.sh create mode 100644 gfx/templates/01.tex create mode 100644 gfx/templates/example.tex create mode 100644 gfx/varphi.tex create mode 100644 gfx/warning.eps create mode 100644 gfx/warning.pdf create mode 100644 gfx/warning.svg diff --git a/01.tex b/01.tex new file mode 100644 index 0000000..d3f86fc --- /dev/null +++ b/01.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?} +\subversionInfo + +\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir +im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit +Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$. Wir interessierten uns zum +Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe +$\Gal(f)$. In dieser Vorlesung machen wir das direkte Gegenteil: Wir betrachten +wieder einen Körper $k$, aber dieses Mal nehmen wir ganz viele Polynome in ganz +vielen Variablen, $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Wir interessieren uns für die +Lösungsmenge des zugehörigen polynomialen Gleichungssystems +\[ + A := \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0 + \Bigr\}. +\] +Wenn $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ ist, dann induziert die übliche Topologie des +$ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine metrische Topologie auf $A$. Häufig ist $A$ sogar +eine Untermannigfaltigkeit. In diesen Fällen induziert die Euklidische oder +Hermitesche Metrik des $ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine Riemannsche oder Hermitesche +Metrik auf $A$ und es ist sinnvoll, $A$ mit Mittel der Differenzialgeometrie zu +untersuchen. Mathematiker der unterschiedlichen Fachrichtungen werden Sie sich +vielleicht die folgenden Fragen stellen. +\begin{itemize} +\item Zahlentheorie: Enthält die Menge $A$ Punkte mit ganzzahligen oder + rationalen Koordinaten? + +\item Topologie: Kennen wir die + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe}{Fundamentalgruppe} + $π_1(A)$? Verstehen wir die simplizialen + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Homologietheorie}{Homologiegruppen} + $H_i(A, ℤ)$? + +\item Differenzialgeometrie: Können wir etwas über die Krümmung von $A$ sagen? + Wie sieht die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Holonomie}{Holonomie} von + $A$ aus? Ist $A$ + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch + vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus? + +\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die Lösungen + geeigneter + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen} + vielleicht sogar eine Ricci-flache + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}? +\end{itemize} +Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die +geometrischer Anschauung zugänglich sind. Die algebraischen Eigenschaften der +Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte +Rechnungen. Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen, +wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung'' +und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht. + +Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt +es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''. Konsequenz: jedes Objekt der +Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und +umgekehrt. Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der +Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der +Geometrie gehören! Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit +Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten. Stattdessen +verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra +$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln. + +\begin{bemerkung} + Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der + Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der + Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu + werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch + abgeschlossenen Fall interessieren. Der + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche + Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David + Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der + bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet + der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige + Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute + bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und + veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik + und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen + Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, + die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht + gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem + internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine + Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die + mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum. +\end{bemerkung} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: + diff --git a/02.tex b/02.tex new file mode 100644 index 0000000..32d8b3d --- /dev/null +++ b/02.tex @@ -0,0 +1,464 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Algebraische Mengen} + +\section{Beispiele} + +Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen +Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer +spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''. Klingt +besser. + +\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge + $A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische + Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome + $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass + \[ + A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0 + \Bigr\}. + \] + ist. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine + Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort + ``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie + versehen wurden. Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von + ``algebraischen Funktionen'' definiert. +\end{bemerkung} + +\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3} + Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien + $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge + wird oft mit + \[ + V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = + f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\} + \] + bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{bsp}[Der gesamte Raum] + Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge + (nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als + algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und + schreibe $𝔸^m$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Die leere Menge] + Es sei $k$ ein Körper. Die leere Menge ist eine algebraische Menge (nehme für + $f_•$ das Einspolynom). +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Graph einer Funktion] + Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x]$ ein Polynom. Dann ist der Graph + der zugehörenden Abbildung $f : k → k$, + \[ + A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y-f(x) = 0 \Bigr\}, + \] + eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion] + Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. + Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde + Polynome sind. Dann ist der Graph von $f$, + \[ + A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\}, + \] + eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird. +\end{bsp} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/02-graph.png} + + \caption{Graph einer rationalen Funktion} + \label{fig:gerf} +\end{figure} + +\begin{bsp}[Achsenkreuz]\label{bsp:2-1-8} + Es sei $k$ ein Körper. Das Achsenkreuz + \[ + \Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x·y = 0 \Bigr\} + \] + ist eine algebraische Menge. Das Achsenkreuz besteht aus zwei Achsen und das + Polynom $f(x,y) = x·y$ ist reduzibel. Sehen Sie hier einen Zusammenhang? +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Einheitskreis] + Der Einheitskreis in $ℝ²$, + \[ + E := \Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x²+y²-1 = 0 \Bigr\} + \] + ist eine algebraische Menge. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti} + Öffnen Sie die + \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende + Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm + \href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische + Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen + in der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven + täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Kubische Raumkurve] + Die algebraische Menge + \[ + \Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\} + \] + ist eine Kurve in $ℝ³$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Flächen im Raum] + Schauen Sie sich auf + \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche + Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf + Friedrich Alfred Clebsch} (* 19. Januar 1833 in Königsberg; † 7. November + 1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge + zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die + auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist. +\end{bsp} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=5cm]{figures/02-clebschCubic.png} + \[ + S := \bigl\{ (x:y:z) ∈ ℝ³ \::\: (x+y+z+1)³ = x³+y³+z³+1 \bigr\}. + \] + + \caption{Diagonalfläche von Clebsch} + \label{fig:cds} +\end{figure} + +\begin{bsp}[Mehr Flächen im Raum] + Auf der Seite \href{https://imaginary.org}{imaginary.org} finden Sie viel + Material. Besonders schöne algebraische Mengen finden Sie + \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}, + \href{https://imaginary.org/gallery/herwig-hauser-classic}{hier} und + \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier}. Holen Sie sich das + Programm \href{https://imaginary.org/program/surfer}{surfer} und spielen Sie + selbst! +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Eine komische Gleichung für den Punkt] + Die Menge + \[ + \Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \mid x²+y² = 0 \Bigr\} + \] + ist ein Punkt. Das ist komisch. Wir betrachten den zwei-dimensionalen $ℝ²$ + und eine einzige Gleichung. Da erwarten wir doch, dass die Lösungsmenge + ein-dimensional ist, also eine Kurve. Stattdessen bekommen wir einen Punkt! + Beachte: über den komplexen Zahlen wäre und das nicht passiert! +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Mechanik] + Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im + Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1 + befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen Zustände + des Roboters ist dann die algebraische Menge + \[ + \Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}. + \] + Um den Roboter von Stellung $A$ in Stellung $B$ zu bringen, muss die + Steuerungssoftware einen Weg auf dieser Menge finden, der einerseits möglichst + kurz ist, andererseits noch etliche Nebenbedingungen erfüllen muss + (mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei + Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen + Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den + Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''. Sie werden überrascht + sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik + wird. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Design] + Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie + \emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}. Gegeben seien Punkte + $p_0, …, p_n ∈ ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ + zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, + aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man + Abbildungen $ℝ → ℝ²$, + \begin{align*} + B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\ + \intertext{und dann weiter induktiv} + B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t). + \end{align*} + Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung + \[ + B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ². + \] + Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! + Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}. +\end{bsp} + + +\section{Parametrisierungen} + +\sideremark{Vorlesung 2}In der Schule haben Sie die \emph{Gleichung} und +\emph{Parametrisierungen} von Geraden im $ℝ²$ diskutiert, vermutlich bis zum +Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile: +\begin{itemize} +\item Wenn eine Gerade als Gleichung beschrieben ist, kann ich durch direktes + Einsetzen prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt oder nicht. + +\item Die Parametrisierung ist sinnvoll, um die Gerade zu zeichnen. Das gilt + besonders, wenn ich ein Computerprogramm schreiben soll, das die Gerade + zeichnet. +\end{itemize} +Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die +man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren +``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen +Funktionen nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist +daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. + +\begin{defn}[Rationale Parametrisierung] + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine + \emph{rationale Parametrisierung}\index{Parametrisierung} von $A$ ist ein + Tupel von rationalen Funktionen $f_1, …, f_n ∈ k(x_1, …, x_m)$, sodass + Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{il:1.1.16.1} Falls $\vec{x} ∈ k^m$ ein Punkt ist, an dem alle + $f_i$ definiert sind, dann ist + \[ + \bigl(f_1(\vec{x}), …, f_n(\vec{x}) \bigr) ∈ A. + \] + + \item Die Menge $A$ ist die kleinste algebraische Menge, für die + Eigenschaft~\ref{il:1.1.16.1} gilt. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{bsp}[Affiner Raum und leere Menge] + Der affine Raum ist rational parametrisierbar. Die leere Menge ist nicht + rational parametrisierbar. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Graphen] + Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek} + Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch + $α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist + nicht sehr algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, + dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, + dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ -- + Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den + Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt. + Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass + wir durch $t ↦ p_t$ eine Parametrisierung des Kreises durch rationale + Funktionen erhalten, nämlich + \[ + φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr). + \] + Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte + des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale + Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?''). Überlegen Sie sich, dass + $φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool + genau, erinnern Sie sich: ein + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches + Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so + dass $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas + länger. Wikipedia schreibt: + + \begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/02-kreis.png} + + \caption{Rationale Parametrisierung des Kreises} + \label{fig:rpk} + \end{figure} + + + \begin{quote} + Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die + in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.). + Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische + Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 + Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten + ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem + demotischen Papyrus des 3.~Jahrhunderts v.~Chr.\ bekannt […] + \end{quote} + + Beobachten Sie: ein Tripel $(a,b,c)$ ist genau dann pythagoreisch, wenn + $(\frac{a}{c}, \frac{b}{c})$ ein rationaler Punkt des Einheitskreises $E$ ist. + Also haben wir mit der rationalen Parametrisierung des Kreises alle + pythagoreischen Tripel bestimmt. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Elliptische Kurven] + Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine + algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist + gut so. Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der + Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Kubische Raumkurve] + Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche] + Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist + vielleicht nicht sehr offensichtlich. Die Geometrie der 27 Geraden hilft + unheimlich! +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Bézier-Kurven] + Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert. +\end{bsp} + + +\section{Erste Fragen} + +Die Frage nach der Parametrisierbarkeit ist schwer, und schon für sehr einfache +Gleichungen ist die Antwort oft unbekannt. Wir stellen in dieser Vorlesung +zunächst eine viel einfachere Frage: gegeben sei ein Körper $k$ und Polynome +$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$. +\begin{itemize} +\item Ist $V(f_1, …, f_m)$ dann leer oder nicht? + +\item Falls Lösungen existieren: Wie viele gibt es? + +\item Falls nur endlich viele Lösungen existieren: Wie viele gibt es genau? + +\item Bei unendlich vielen: Was ist die Geometrie von $V$? +\end{itemize} +Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu +illustrieren, erinnere ich an den berühmten +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz + von + Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre + de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, + heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein + französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner +Formulierung von +Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John + Wiles} KBE, FRS (* 11. April 1953 in Cambridge) ist ein britischer + Mathematiker. Berühmt wurde er durch seinen Beweis der + Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich + der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde. Wikipedia schreibt: +\begin{quote} + Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische + Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den + Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht. +\end{quote} +Kennen Sie das Buch +\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's + Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei… + +\begin{satz}[Fermat's großer Satz] + Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel + $(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung + $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed +\end{satz} + +\begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen] + Fermat's großer Satz lässt sich auch so ausdrücken: Gegeben sei eine + natürliche Zahl $n > 2$. Dann hat die algebraische Menge + \[ + A := \{ (x,y) ∈ ℚ² \::\: x^n+y^n=1 \} + \] + nur einige triviale Lösungen. Dazu beachte man, dass eine nicht-triviale + ganzzahlige Lösung $(a,b,c)$ der Gleichung $x^n+y^n=z^n$ einen rationalen + Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}) ∈ A$ liefert. Umgekehrt liefert ein + rationaler Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{d}) ∈ A$ eine nicht-triviale, + ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung. +\end{beobachtung} + +Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen +nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der +Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten +Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd + Faltings} (* 28. Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker + und Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für + Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen, + Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis + Joel Mordell} (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in + Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor + allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen + arbeitete.}. + + +\section{Der Hilbertsche Nullstellensatz} + +Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von +algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf +algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet +der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge +$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten +Ideals. + +\begin{erinnerung}[Ideale] + Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und + es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Das von den $f_•$ erzeugten Ideal + ist die Teilmenge + \[ + (f_1, …, f_n) = \bigl\{ a_1·f_1 + ⋯ a_n·f_n \::\: a_1, …, a_n ∈ k[x_1, …, x_m] + \bigr\} ⊆ k[x_1, …, x_m]. + \] + In der Algebraischen Geometrie ist statt $(f_1, …, f_n)$ auch die Notation + $I(f_1, …, f_n)$ üblich. +\end{erinnerung} + +\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2} + Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und + es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls + $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre + nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination + \[ + 1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n + \] + und demnach wäre + $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$, + Widerspruch! +\end{beobachtung} + +Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version'' +des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, +die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet. + +\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome + $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine + Lösung in $k^m$. + + \item\label{il:2-4-3-2} Es ist $1 \notin (f_1, …, f_n)$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung +beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für +gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal +$(f_1, …, f_n)$ liegt. + +\begin{bemerkung} + Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders + formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal + $(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist. +\end{bemerkung} + +\begin{aufgabe} + Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen + Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich + falsch ist. +\end{aufgabe} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/03.tex b/03.tex new file mode 100644 index 0000000..d5fea61 --- /dev/null +++ b/03.tex @@ -0,0 +1,316 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ganze Ringerweiterungen} + +Eigentlich möchte ich jetzt sofort mit dem Beweis des Nullstellensatzes +anfangen. Das geht aber nicht, weil ich erst ein paar langweilige Definitionen +diskutieren muss. Alle Begriffe, die ich in diesem Kapitel einführe, sind +Varianten von Dingen, die sie aus der Algebra-Vorlesung schon kennen (sollten). + + +\section{Ringe} + +In der algebraischen Geometrie interessiert man sich eigentlich nur für +Polynomringe und für daraus konstruierte Ringe, zum Beispiel Quotientenringe. +All diese Ringe sind kommutativ und haben ein neutrales Element der +Multiplikation. + +\begin{notation} + In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit + 1 gemeint. Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme + die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so + nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}. +\end{notation} + + +\section{Elementare Definitionen} + +Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'': +gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir +$z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als +Nullstelle hat. Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und +erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''. + +Das wollen wir auch für Ringe machen. Bei Ringerweiterungen muss man aber +aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den +Leitkoeffizienten teilt; der Leitkoeffizient muss nicht unbedingt eine Einheit +sein. Die folgende Definition fordert daher die Existenz eines normierten +Polynoms. + +\begin{defn}[Ganze Ringerweiterungen] + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. + \begin{enumerate} + \item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element}, + falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die + Gleichung $f(b) = 0$ gilt. + + \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen}, + wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad} + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$ + gegeben. Definiere dann den Unterring + \[ + A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R, + \] + wobei $א$ die Menge aller Unterringe von $B$ ist, die sowohl $A$ als auch $M$ + enthalten. Falls die Menge $M$ endlich ist, also etwa $M = \{b_1, …, b_n\}$, + so schreibt man statt $A[M]$ auch $A[b_1, …, b_n]$. Man spricht von $A[M]$ + als \emph{$A$ adjungiert $M$}.\index{Ringadjunktion} +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein + Ring ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' + zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ + enthält. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, + $M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man + betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus + \[ + φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n). + \] + Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass + $A[M] = \Image φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der + $b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder + \emph{Syzygien}\index{Syzygien}. Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den + \emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Syzygien] + Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine + Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen + ($→$ + \href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001: + A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und + Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}. Vielleicht + kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in + einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in + einer Reihe stehen''. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Syzygien] + Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil + von Ypsilonen. +\end{bemerkung} + +\begin{defn}[Endlich und endlicher Typ] + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. + \begin{itemize} + \item Nenne $B$ \emph{von endlichem Typ über $A$}\index{endlich!Typ}, wenn + eine endliche Teilmenge $\{b_1, …, b_n\} ⊆ B$ existiert, sodass + \[ + B=A[b_1, …, b_n] + \] + ist. Man sagt in diesem Fall auch: $B$ ist eine \emph{endlich erzeugte + $A$-Algebra}\index{endlich!erzeugte Algebra}. + + \item Nenne $B$ \emph{endlich über $A$}\index{endlich!Ringerweiterung}, wenn + eine endliche Teilmenge $\{b_1, …, b_n\} ⊆ B$ existiert, sodass jedes + Element von $B$ als $A$-Linearkombination der $b_•$ geschrieben werden kann, + \[ + B = \left\{ \sum_{i=1}^n a_i b_i \::\: a_1, …, a_n ∈ A \right\}. + \] + Man sagt in diesem Fall auch: $B$ ist ein \emph{endlich erzeugter + $A$-Modul}\index{endlich!erzeugter Modul}. + \end{itemize} +\end{defn} + +Endliche Erweiterungen sind vom endlichen Typ. Das folgende Beispiel zeigt, +dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt. + +\begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich] + Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]$. Dann ist als $A$-Algebra + durch das Element $x$ erzeugt. Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul, + denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber + $\dim_k B = ∞$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ] + Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]/(x³)$. Dann ist $B$ als + $A$-Algebra durch das Element $x$ erzeugt. Weiter ist $B$ als $A$-Modul durch + die Elemente $1$, $x$ und $x²$ erzeugt. +\end{bsp} + + +\section{Charakterisierung von Ganzheit} + +In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von +Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert. Das geht +mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch. + +\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9} + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben. + Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:3-2-9-1} Das Element $b$ ist ganz über $A$. + + \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt. + + \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als + $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass + $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist. + \end{enumerate} +\end{satz} + +Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche + Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel + Cramer} (* 31. Juli 1704 in Genf; † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, + Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare +Algebra'' kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für +Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen. Man prüfe, dass der Beweis +auch für Matrizen über Ringen gilt. + +\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine + $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix + $Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung + \[ + Δ^*·Δ = \det(Δ)· E + \] + gilt, wobei $E$ die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix ist. \qed +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}] + \video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich + $\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich + bitte, diese Panne zu entschuldigen. +\end{proof} + +\sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus +Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der +Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten). + +\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3} + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt + ist, dann ist die Erweiterung sie ganz. +\end{kor} +\begin{proof} + Es sei ein Element $b ∈ B$ gegeben. Wähle $M := B$ und wende die Implikation + \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an. +\end{proof} + +\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4} + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die + ganz über $A$ sind. Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach + Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz. +\end{kor} +\begin{proof} + Jedes der Elemente $b_i$ erfüllt eine Ganzheitsgleichung + \[ + b_i^{d_i} +a_{i,d_i-1}·b_i^{d_i - 1} + ⋯ + a_{i,1}·b + a_{i, 0} = 0 + \] + Aber dann ist $A[b_1, …, b_n]$ als $A$-Modul bereits durch die endliche Menge + \[ + \bigl\{ b_1^{α_1}⋯ b_n^{α_n} \::\: 0 ≤ α_i ≤ d_i \bigr\} + \] + erzeugt. +\end{proof} + +Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra'' +kennen. Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur +knapp wiedergegeben. + +\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5} + Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen. Dann ist auch die + Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz. +\end{kor} +\begin{proof} + Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben. Nach Annahme erfüllt $c$ eine + Ganzheitsgleichung über $B$, + \[ + c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0 + \] + Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$. Also ist + $A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter + $A$-Modul. Wir wählen ein endliches Erzeugendensystem + \[ + א_1 ⊂ A[b_1, …, b_n]. + \] + Weiter ist $c$ ganz über $A[b_1, …, b_n]$. Also ist $A[b_1, …, b_n, c]$ nach + Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter $A[b_1, …, b_n]$-Modul. Wir + wählen ein endliches Erzeugendensystem + \[ + א_2 ⊂ A[b_1, …, b_n, c]. + \] + Dann ist aber + \[ + א_1·א_2 := \{ a_1·a_2 \::\: a_1 ∈ א_1, a_2 ∈ א_2 \} ⊂ A[b_1, …, b_n, c] + \] + ein endliches Erzeugendensystem von $A[b_1, …, b_n, c]$ als $A$-Modul. Nach + Korollar~\ref{kor:3-3-3} bedeutet das: $c$ ist ganz über $A$. +\end{proof} + + +\section{Der ganze Abschluss} + +Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der +Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss +eines Unterringes''. + +\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1} + Es sei $A ⊆ B$. Die Menge + \[ + \overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B + \] + wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} + genannt. Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung + $A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}. +\end{defn} + +\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2} + In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein + Unterring von $B$. +\end{prop} +\begin{proof} + Wir müssen zeigen: gegeben $b_1, b_2 ∈ \overline{A}$, dann sind auch die + Elemente $b_1+b_2$, $b_1-b_2$ und $b_1·b_2$ in $\overline{A}$. All diese + Elemente liegen aber im Unterring $A[b_1,b_2]$ und dieser ist nach + Korollar~\ref{kor:3-3-4} ganz. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein + Unterring von $B$. Also können wir den ganzen Abschluss + $\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten. + Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die + Transitivität der Ganzheit garantiert, dass + $\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: ``Der ganze Abschluss + von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.'' +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Wir erinnern uns: ein Zahlkörper\index{Zahlkörper} ist eine algebraische + Körpererweiterung $K/ℚ$. Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den + \emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines + Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des + Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie + \begin{itemize} + \item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$. + + \item Für $K = ℚ\bigl[\sqrt{5}\bigr]$ ist + \[ + 𝒪_K = ℤ\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right] ⊋ ℤ\Bigl[\sqrt{5}\Bigr]. + \] + Wir beweisen diese Aussage hier nicht, sondern bemerken nur, dass + $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ eine Nullstelle von $x² - x - 1 ∈ ℤ[x]$ ist, und + deshalb ganz über $ℤ$. + + \item Der ganze Abschluss von $ℤ$ in $ℂ$ heißt \emph{Ring der ganzen + algebraischen Zahlen}. + \end{itemize} +\end{bsp} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/04.tex b/04.tex new file mode 100644 index 0000000..2106ac4 --- /dev/null +++ b/04.tex @@ -0,0 +1,285 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Transzendente Körpererweiterungen} + +\section{Algebraische Unabhängigkeit} + +Erinnern Sie sich: es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $b ∈ L$ ein +Element. Dann heißt $b$ transzendent über $K$, wenn der Substitutionsmorphismus +\[ + K[X] \rightarrow L, \quad f(x) ↦ f(b) +\] +injektiv ist. Wenn nicht, dann nenne $b$ algebraisch. Das geht auch mit mehr +als einem Element. + +\begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$. Nenne + die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige + Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der + Substitutionsmorphismus + \[ + K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n) + \] + injektiv ist. Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch! + Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als + \emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente + $b_1,…, b_n$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der + algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen ``die + Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und + richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch + unabhängig''. Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~… +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + In der Literatur nennt man eine (vielleicht unendliche) Familie von Elementen, + $(b_i)_{i ∈ I}$ algebraisch unabhängig, wenn der entsprechende + Substitutionsmorphismus $K[(X_i)_{i ∈ I}] \rightarrow L$ injektiv ist. Ich + habe keine Lust, Polynomringe in unendlich vielen Variablen zu diskutieren und + beschränke mich auf den endlichen Fall. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für + Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in + Integritätsringen verwendet. Das kann man machen. Wir beobachten, dass der + Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist, + wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv + ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Im Allgemeinen ist es sehr schwer, zu entscheiden, ob gegebene Elemente + algebraisch unabhängig sind. So ist zum Beispiel unbekannt, ob $e, π ∈ ℂ$ + algebraisch unabhängig über $ℚ$ sind. +\end{bemerkung} + + +\section{Transzendenzbasen} + +Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit. Und +genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die +maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die +Transzendenzbasis einer Körpererweiterung. + +\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Eine + \emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine + algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion + ist. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit + anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist + algebraisch abhängig über $K$. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Rationale Funktionen] + Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der + rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente + $X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$. +\end{bsp} + +\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4} + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei + $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig + über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$ + über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist. +\end{lem} +\begin{proof} + Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende + Äquivalenzen fest. + \begin{align*} + b \text{ ist algebraisch über } K(M) & \iff ∃ p ∈ K(b_1, …, b_n)[x] : p(b) = 0 \\ + & \iff ∃ \tilde{p} ∈ K[y_1, …, y_n, x] : \tilde{p}(b_1,…,b_n,b) = 0\\ + & \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K. + \end{align*} + Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann + maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch + über $K(M)$ ist. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus Lemma~\ref{lem:4-2-4} + funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$. Aber ich bin zu faul. +\end{bemerkung} + +In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz. Das +geht auch hier. + +\begin{satz}[Basisergänzung] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein + Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$ + ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$ + ergänzen. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa + $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von + Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen + Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können. Die Annahme ``maximal groß'' impliziert, + dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$ + algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus + Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist. +\end{proof} + + +\section{Transzendenzgrad} + +\sideremark{Vorlesung 4}Das Analogon zur Dimension eines Vektorraumes ist der +Transzendenzgrad einer Körpererweiterung. Wir beginnen mit dem +Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall. + +\begin{prop}[Basisaustauschlemma] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine + endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei + $\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$. +\end{prop} +\begin{proof} + \video{4-1} +\end{proof} + +\begin{kor}[Größe von Transzendenzbasen] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ$ eine Transzendenzbasis von + $L$ über $K$. + \begin{itemize} + \item Wenn $Γ$ unendlich viele Elemente hat, dann hat jede andere + Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ebenfalls unendlich viele Elemente. + + \item Wenn $Γ$ endlich ist, dann hat jede andere Transzendenzbasis von $L$ + über $K$ genau so viele Elemente wie $Γ$. \qed + \end{itemize} +\end{kor} + +\begin{defn}[Transzendenzgrad] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann definiere den + \emph{Transzendenzgrad von $L$ über $K$}\index{Transzendenzgrad} als + \[ + \trdeg(L/K) = + \begin{cases} + n &\text{falls $L/K$ eine endlich Transzendenzbasis mit $n$ Elementen besitzt}\\ + ∞ &\text{sonst.} + \end{cases} + \] +\end{defn} + +\begin{bsp}[Algebraische Körpererweiterungen] + Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Es ist $\trdeg(L/K) = 0$ genau dann, + wenn $L/K$ algebraisch ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Rationale Funktionen] + Es sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen] + Es ist $\trdeg(ℂ/ℚ) = ∞$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Algebraische Unabhängigkeit von $e$ und $π$] + Es ist unbekannt, ob die Zahl $\trdeg(ℚ(e,π)/ℚ)$ gleich 1 oder gleich 2 + ist. +\end{bsp} + +Hier ist etwas, das wir mit Körpern, aber nicht mit Vektorräumen machen können: +Ketten bilden. Der Transzendenzgrad ist additiv in Ketten von +Körpererweiterungen. + +\begin{prop}[Transzendenzgrad in Ketten von Körpererweiterungen] + Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist + $\trdeg(M/K) = \trdeg(L/K) + \trdeg(M/L)$. +\end{prop} +\begin{proof} + \video{4-2} +\end{proof} + + +\section{Rein transzendente Erweiterungen} + +In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson +bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''. Das kann man für +transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das folgende +Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt +solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann. + +\begin{itemize} +\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge + $\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist + tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. + +\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad + 1. Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in + $ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$. + Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung + \[ + ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ. + \] + Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern + $ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$ + transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt. + Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch. +\end{itemize} + +\begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung] + Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein + transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über + $K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist. +\end{defn} + +\begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen] + Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis + $B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus + $L ≅ K(x_1, …, x_n)$. Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent + über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3} + Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir + eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von + Körpererweiterungen betrachten, + \[ + L ⊋ K(B) ⊊ K. + \] + Dann ist $K(B)/K$ rein transzendent und $L/K(B)$ ist algebraisch. +\end{bemerkung} + +\begin{warnung} + Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht + kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für + transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung + ``Algebra'' gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der + Wahl der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung + $K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der + Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben. Diese ist eindeutig. +\end{warnung} + +Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung +rein transzendent ist. Der berühmte +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von + Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob + Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München) + war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich +ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen +Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den +Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen. + +\begin{satz}[Satz von Lüroth] + Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen, + \[ + ℂ ⊆ L ⊆ ℂ(X_1,…,X_n). + \] + Falls $\trdeg(L/ℂ) ∈ \{1,2\}$ ist, dann ist $L/ℂ$ rein transzendent. + \qed +\end{satz} +Für $n ≥ 3$ wissen wir praktisch nichts. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/05.tex b/05.tex new file mode 100644 index 0000000..619c04d --- /dev/null +++ b/05.tex @@ -0,0 +1,491 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Nullstellensatz und die Korrespondenzen $V$ und $I$} + +In diesem Kapitel soll der Hilbertsche Nullstellensatz in seiner ``starken'' +Form bewiesen werden; als Konsequenz daraus erhalten wir die ersten +Korrespondenzen zwischen geometrischen Räumen und gewissen algebraischen +Objekten. + + +\section{Die körpertheoretische Version des Nullstellensatzes} + +Wir beginnen mit einer Version des Nullstellensatzes, die scheinbar noch gar +nichts über Geometrie sagt, sondern lediglich ein weiteres Kriterium dafür gibt, +dass gewisse Körpererweiterungen algebraisch sind. Bleiben Sie dabei und legen +Sie nicht auf! Die geometrische Bedeutung des Satzes wird sofort im nächsten +Abschnitten klar werden. + +\begin{satz}[Körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes]\label{satz:kthn} + Es sei $E/K$ eine Körpererweiterung, die als Ringerweiterung von endlichem Typ + ist. Dann ist $E/K$ algebraisch. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{4-3} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die körpertheoretische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes zeigt unter + anderem, dass man $K(X)$ nicht aus $K[X]$ erhalten kann, indem man endlich + viele Elemente per Ringadjunktion zu $K[X]$ hinzufügt – denn sonst wäre $K(X)$ + von endlichem Typ über $K$. +\end{bemerkung} + + +\section{Die schwache Version des Nullstellensatzes} + +\sideremark{Vorlesung 5}Mithilfe des körpertheoretischen Nullstellensatzes +können wir jetzt sofort den schwachen Nullstellensatz beweisen. Später kommt +auch noch ein starker Nullstellensatz. Der folgende Satz unterscheidet sich von +der Vorabversion, die wir auf Seite~\vpageref{satz:shn} formuliert hatten, durch +die Diskussion des algebraischen Abschlusses. + +\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:weak_Nullstelle} + Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ + gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:5-2-1-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine + Lösung in $\overline{k}^m$. + + \item\label{il:5-2-1-2} Es ist $1 \notin (f_1, …, f_n) ⊆ k[x_1, …, x_m]$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{bemerkung} + Bedingung~\ref{il:5-2-1-1} spricht über Lösungen im algebraischen Abschluss. + Im Gegensatz dazu ist in Bedingung~\ref{il:5-2-1-2} mit $(f_1, …, f_n)$ das + Ideal in $k[x_1, …, x_m]$ gemeint, und nicht etwa in das Ideal in + $\overline{k}[x_1, …, x_m]$. Erstaunliche Erkenntnis: Wir können durch + algebraische Überlegungen in $k$ entscheiden, ob es eine Lösung über + $\overline{k}$ gibt. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Für $k = \overline{k} = ℂ$ kann man den Nullstellensatz als eine weitreichende + Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra sehen. Dieser besagt, + dass ein nicht-konstantes Polynom $f ∈ ℂ[x]$ stets eine Nullstelle in $ℂ$ hat. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Wenn man $\overline{k}$ durch $k$ ersetzt, ist der Satz falsch. Ein Beispiel + dafür ist $k = ℝ$ und $f_1 := x² + 1 ∈ ℝ[x]$. Das Polynom $f_1$ ist im Ring + $ℝ[x]$ irreduzibel, sodass es $1 \notin (f_1)$ ist. Dennoch hat das Polynom + in $ℝ$ keine Nullstellen. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Der Nullstellensatz ist der Grund, warum man polynomiale Gleichungssysteme + immer zunächst im Fall algebraisch abgeschlossener Körper studiert: dort ist + diese Situation besonders einfach. +\end{bemerkung} + +\begin{proof}[Beweis, Richtung \ref{il:5-2-1-1}$⇒$\ref{il:5-2-1-2}] + Den Beweis hatten wir eigentlich schon in Bemerkung~\vref{beob:2-4-2} geführt. + Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es eine Lösung + $\vec{x} ∈ \overline{k}^m$ und dass $1 ∈ (f_1, …, f_n)$ sei. Dann gibt es + $a_• ∈ k[x_1, …, x_m]$ und eine Linearkombination + \[ + 1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n. + \] + Demnach müsste im Körper $\overline{k}$ die folgende Gleichung gelten und wir + erhalten einen Widerspruch, + \[ + 1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0. \qedhere + \] +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis, Richtung \ref{il:5-2-1-2}$⇒$\ref{il:5-2-1-1}] + Das ist jetzt die interessante Richtung. Die Annahme~\ref{il:5-2-1-2} zeigt, + dass das Ideal $(f_1, …, f_m)$ nicht der ganze Ring $k[x_1, …, x_n]$ ist. + Deshalb können wir ein maximales Ideal wählen, das zwischen unserem Ideal und + dem gesamten Ring liegt, + \[ + (f_1, …, f_m) ⊆ m ⊊ k[x_1, …, x_n]. + \] + Aus der Vorlesung ``Algebra'' wissen wir, dass der Quotient + $E := k[x_1, …, x_n]/m$ ein Körper ist. Außerdem ist $E$ als $A$-Algebra + durch die Restklassen $[x_1], …, [x_n] ∈ E$ erzeugt. Nach der + körpertheoretischen Version des Hilbertschen Nullstellensatzes, + Satz~\vref{satz:kthn} ist die Körpererweiterung $E/K$ also algebraisch, und es + gibt eine Einbettung + \[ + φ: E ↪ \overline{k}. + \] + Jetzt betrachte den Vektor + \[ + \vec{a} := + \begin{pmatrix} + φ\bigl( [x_1] \bigr) \\ + \vdots \\ + φ\bigl( [x_n] \bigr) + \end{pmatrix} + ∈ \overline{k}^m. + \] + Dann ist tautologischerweise: $f_1(\vec{a}) = ⋯ = f_m(\vec{a}) = 0$, denn es + gilt für jeden Index $k$ die Gleichung + \[ + f_k(\vec{a}) = f_k \Bigl(φ \bigl([x_1]\bigr), …, φ\bigl([x_n]\bigr) \Bigr) = + φ\Bigl(f_k\bigl([x_1], …, [x_n]\bigr)\Bigr) = φ\bigl([f_k]\bigr), + \] + aber es ist ja $[f_k] = 0$ im Quotienten $E := \factor{k[x_1, …, x_m]}{m}$, + denn nach Wahl des maximalen Ideals ist $f_k ∈ (f_1, …, f_m) ⊆ m$. +\end{proof} + +Als erste Konsequenz des schwachen Nullstellensatzes erhalten eine völlig +geometrische Beschreibung der maximalen Ideale eines Polynomrings – falls der +zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist! + +\begin{kor}[Maximale Ideale im Polynomring]\label{cor:5-2-6} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien + $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Es gilt genau dann $V(f_1, …, f_m) ≠ ∅$, wenn $1 \notin (f_1, …, f_m)$ + ist. + + \item Für jedes maximale Ideal $m ⊊ k[x_1, …, x_n]$ gibt es Elemente + $a_1, …, a_n ∈ k$, sodass die folgende Gleichheit gilt, + \[ + m = (x_1-a_1, …, x_n-a_n). + \] + + \item Es gibt eine Bijektion zwischen den maximalen Idealen von + $k[x_1, …, x_n]$ und den Punkten in $k^n$. + \end{enumerate} +\end{kor} +\begin{proof} + \video{5-1} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}[Lösungsmengen von Gleichungssystemen]\label{bem:and} + Weil man polynomiale Gleichungssysteme sowieso immer erst einmal über dem + algebraischen Abschluss eines Körpers zu studiert, verwenden manche Autoren + folgende Konvention, die ein wenig von unserer Notation für algebraische + Mengen, Notation~\vref{not:2-1-3} abweicht. Gegeben ein Körper $k$ mit + algebraischem Abschluss $\overline{K}$ und gegeben Polynome + $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$, dann bezeichnen manche Autoren die Menge der + Lösungen des polynomiale Gleichungssysteme \emph{über dem algebraischem + Abschluss} mit + \[ + X := V(f_1, …, f_n) := \left\{ \vec{a} ∈ \overline{k}^m \::\: f_1(\vec{a}) = + ⋯ = f_n(\vec{a}) = 0 \right\} + \] + und nenne dies die \emph{Verschwindungsmenge von $f_1, …, f_m$} oder die + \emph{Lösungsmenge des Gleichungssystems $f_1(x) = ⋯ = f_m(x) = 0$}. Die + Menge der Lösungen in $k^n$ wird dann mit $X(k) := X ∩ k^n$ bezeichnet und als + \emph{Menge der $k$-rationalen Punkte von $X$}\index{rationale Punkte} + bezeichnet. In diesem Zusammenhang nennt man $k$ auch den + \emph{Koeffizientenkörper}\index{Koeffizientenkörper} oder den + \emph{Definitionskörper}\index{Definitionskörper} von $X$. +\end{bemerkung} + +Ich werde die mögliche Verwirrung bezüglich der verschiedenen Definitionen von +$V(f_1, …, f_n)$ nach Möglichkeit vermeiden, indem ich im Folgenden meist über +algebraisch abgeschlossenen Körpern arbeite. Mit Sprachregelung aus +Bemerkung~\ref{bem:and} lässt sich Fermat's großer Satz sehr elegant wie folgt +formulieren. + +\begin{satz}[Fermat's großer Satz] + Es sei $n ∈ ℕ$ eine ungerade Zahl, $n ≥ 3$. Dann hat die Lösungsmenge $X$ des + Gleichungssystems $x^n+y^n - 1 ∈ ℚ[x,y]$ nur zwei rationale Punkte, also + $\# X(ℚ) = 2$. \qed +\end{satz} + + +\section{Die Verschwindungsmenge eines Ideals} + +Der Hilbertsche Nullstellensatz legt nahe, dass es bei einem algebraischen +Gleichungssystems +\[ + f_1( \vec{x} ) = ⋯ = f_n( \vec{x} ) = 0 +\] +gar nicht so sehr auf die einzelnen Gleichungen ankommt, sondern vielmehr auf +das von den einzelnen Gleichungen erzeugte Ideal, $(f_1, …, f_n)$. + +\begin{defn}[Verschwindungsmenge eines Ideals]\label{def:5-3-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊆ k[x_1, …, x_m]$ ein Ideal. Dann heißt + \[ + V(I) := \left\{ \vec{a} ∈ k^m \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } f ∈ I + \right\} + \] + die \emph{Verschwindungsmenge}\index{Verschwindungsmenge} des Ideals $I$. +\end{defn} + +Die Mengen $V(I)$ sind nicht beliebig. Ich erinnere dazu an den Hilbert'schen +Basissatz: Der Polynomring $k[x_1, …, x_m]$ aus Definition~\ref{def:5-3-1} ist +Noethersch und jedes Ideal ist daher endlich erzeugt. Das bedeutet: gegeben ein +Ideal $I$, dann wir finden eine Menge von endlich vielen Elementen +$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_m]$, sodass $I = (f_1, …, f_m)$ ist. Überlegen Sie +sich jetzt \emph{sofort}, dass dann die Gleichheit +\[ + V(I) = V(f_1, …, f_m) +\] +gilt. Es folgt insbesondere, dass die Menge $V(I)$, die ja a priori erst einmal +als gemeinsame Nullstellenmenge der \emph{unendliche vielen} Gleichungen aus $I$ +definiert wurde, bereits durch \emph{endlich viele} Gleichungen beschrieben +werden kann. Insbesondere $V(I)$ eine algebraische Menge im Sinne von +Definition~\vref{def:2-1-1}. Wir erhalten also eine Abbildung +\[ + V: \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} \rightarrow \left\{ + \: \text{algebraische Mengen in } k^m \: \right\}, \quad I ↦ V(I) +\] +die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten +Eigenschaften der Abbildung $V$ zusammen. + +\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $V$]\label{satz:5-3-2} + Es sei $k$ ein Körper und $R := k[x_1, …, x_n]$. Dann gelten die folgenden + Aussagen. + \begin{enumerate} + \item Es ist $V\bigl( (0) \bigr) = k^n$ und $V\bigl( (1) \bigr) = ∅$. + + \item Gegeben Ideale $I ⊆ J$ in $R$, dann ist $V(I) ⊇ V(J)$. + + \item Gegeben Ideale $I_1$ und $I_2$ in $R$, dann ist + $V(I_1 ∩ I_2) = V(I_1· I_2) = V(I_1) ∪ V(I_2)$. + + \item Gegeben Ideale $(I_λ)_{λ ∈ Λ}$ in $R$, dann ist + \[ + V \Bigl(\sum_{λ ∈ Λ} I_{λ} \Bigr) = \bigcap_{λ ∈ Λ} V(I_{λ}). + \] + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{5-2} +\end{proof} + + +\section{Die Zariski-Topologie} +\label{sec:5-4} + +Satz~\vref{satz:5-3-2} ist leicht zu beweisen, hat aber eine frappante +Konsequenz: die algebraischen Mengen von $k^n$ genügen den Axiomen für +abgeschlossene Mengen eines topologischen Raumes. Egal wie schrecklich der +Körper $k$ ist, erhalten wir also eine Topologie auf $k^m$, deren +abgeschlossenen Menge genau die algebraischen Mengen sind. Diese Topologie wird +Zariski\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Oscar_Zariski}{Oscar + Zariski}, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, + Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein + US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der + algebraischen Geometrie leistete.}-Topologie genannt. + +\begin{defn}[Zariski-Topologie] + Es sei $k$ ein Körper. Die Topologie + \[ + τ := \left\{ M ⊆ k^m \::\: k^m ∖ M \text{ ist algebraisch}\: \right\} ⊂ + \mathcal{P}(k^m) + \] + wird als \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} bezeichnet. Der + topologische Raum $(k^m, τ)$ wird mit dem Symbol $𝔸^m_k$ notiert. Wenn + $X ⊂ k^m$ eine algebraische Teilmenge ist, bezeichnen wir die auf $X$ + induzierte Topologie ebenfalls als Zariski-Topologie. +\end{defn} + +\begin{notation} + Im Fall $k = ℝ$ oder $ℂ$ haben wir also mindestens zwei interessante + Topologien: die klassische Euklidische Topologie, die Sie aus der Vorlesung + ``Analysis'' kennen und die Zariski-Topologie. Um Verwechselungen zu + vermeiden, sprechen wir meist ausführlich von \emph{Zariski-abgeschlossenen} + und \emph{Zariski-offenen} oder \emph{Euklidisch-abgeschlossenen} und + \emph{Euklidisch-offenen} Mengen. +\end{notation} + +\begin{bemerkung}[Interessante Eigenschaften der Zariski-Topologie]\label{bem:5-3-5} + Die Zariski-Topologie hat einige sehr ungewohnte Eigenschaften. + \begin{itemize} + \item Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann liegt jede + nicht-leere Zariski-offene Menge dicht in $𝔸^n_K$. + + \item Es gilt im Allgemeinen nicht, dass je zwei Punkte im $𝔸^n_k$ disjunkte + offene Mengen besitzen. Die Zariski-Topologie ist also nicht Hausdorffsch. + \end{itemize} +\end{bemerkung} + +\begin{aufgabe} + Der einfachste Raum ist vermutlich die affine Gerade $𝔸¹_ℂ$. Überlegen Sie + sich, was die Zariski-abgeschlossenen Mengen von $𝔸¹_ℂ$ sind und stellen Sie + fest, dass beide Punkte aus Bemerkung~\ref{bem:5-3-5} bereits für diesen Raum + zutreffen! +\end{aufgabe} + +\begin{bemerkung}[Zariski-Topologie und Euklidische Topologie] + Im Fall $k = ℂ$ oder $k = ℝ$ sind Zariski-offene Mengen von $ℂ^n$ oder $ℝ^n$ + auch offen bezüglich der Euklidischen Topologie. Das liegt daran, dass + Polynome stetige Funktionen sind. In diesen Fällen sind Zariski-offene Mengen + auch bezüglich der Euklidischen Topologie dicht. +\end{bemerkung} + + +\section{Das Ideal einer Menge} + +Im letzten Abschnitt hatten wir einem Ideal eine algebraische Menge zugeordnet. +Jetzt betrachten wir die andere Richtung und weisen einer Menge ein Ideal zu. + +\begin{defn}[Ideal einer Menge]\label{def:5-4-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊆ 𝔸^m_k$ eine Teilmenge, die nicht + unbedingt algebraisch sein muss. Wir beobachten, dass + \[ + I(A) = \bigl\{ f ∈ k[x_1, …, x_n] \::\: f(\vec{a}) = 0 \text{ für alle } a ∈ + A \bigr\} + \] + ein Ideal im Ring $k[x_1, …, x_n]$ und nennen $I(A)$ das + \emph{Verschwindungsideal der Menge $A$}\index{Verschwindungsideal} oder das + \emph{Ideal der auf $A$ verschwindenden Polynome}\index{Ideal einer Menge}. +\end{defn} + +Definition~\ref{def:5-4-1} liefert uns eine Abbildung +\[ + I: \left\{ \: \text{Mengen in } k^m \: \right\} \rightarrow \left\{ \: + \text{Ideale in } k[x_1, …, x_m] \: \right\} , \quad A ↦ I(A) +\] +die uns noch viel Freude bereiten wird. Der folgende Satz fasst die ersten +Eigenschaften dieser Abbildung zusammen. + +\begin{satz}[Einfache Eigenschaften von $I$]\label{satz:5-4-2} + Es sei $k$ ein Körper und es seien $A, B ⊆ 𝔸^m_k$ zwei Teilmengen. Dann gilt + Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Aus $A ⊆ B$ folgt $I(A) ⊇ I(B)$. + + \item\label{il:5-4-2-2} Es ist $A ⊆ V\bigl(I(A)\bigr)$. Gleichheit gilt genau dann, wenn + $A$ eine algebraische Menge ist. + + \item Es ist $I(A ∪ B) = I(A) ∩ I(B)$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{5-3} +\end{proof} + +\begin{aufgabe} + Überlegen Sie sich, dass man Punkt~\ref{il:5-4-2-2} von Satz~\ref{satz:5-4-2} + auch sehr elegant auf folgende Weise ausdrücken kann: Die Menge + $V\bigl(I(A)\bigr)$ ist der topologische Abschluss von $A$ bezüglich der + Zariski-Topologie. Knapp gesagt: + \[ + V\bigl(I(A)\bigr) = \overline{A}^Z, + \] + wobei $\overline{•}^Z$ für ``topologischer Abschluss in der + Zariski-Topologie'' steht. +\end{aufgabe} + +\section{Der starke Nullstellensatz} + +\sideremark{Vorlesung 6}Gegeben einen Körper $k$ und eine Zahl $n$, dann hatten +wir in den letzten Abschnitten die folgenden Abbildungen definiert, +\begin{align*} + V: \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\}, & I & ↦ V(I) \\ + I: \left\{ \: \text{Mengen in } k^n \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{Ideale in } k[x_1, …, x_m] \: \right\} & A & ↦ I(A), +\end{align*} +die uns beide sehr viel Freude machen. Es schaut ein wenig so aus, als wären +die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen. Das ist aus +mindestens zwei Gründen nicht der Fall. + +\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-1} + Die Bilder der Abbildung $V$ sind algebraische Mengen, während die Abbildung + $I$ beliebige Mengen als Input nimmt. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung}\label{beo:5-6-2} + Die Abbildung $I$ ist nicht injektiv. Nehme zum Beispiel $k = ℂ$ und + betrachte das Ideal $I = (x) ⊊ ℂ[x]$. Dann ist $I² = (x²) ⊊ (x) = I$, aber + $V(I²) = V(I)$ ist jeweils einfach der Nullpunkt in $ℂ$. Beobachten Sie, dass + derselbe Trick mit so ziemlichen jedem Ideal in so ziemlich jedem Polynomring + funktioniert. +\end{beobachtung} + +Das Problem aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} lässt sich leicht beheben, indem man +die Abbildung $I$ einfach auf die algebraischen Mengen einschränkt. Das Problem +aus Beobachtung~\ref{beo:5-6-1} ist interessanter. Ist alle Hoffnung auf +Bijektivität verloren? Wahrscheinlich nicht. Schauen Sie sich die Definition +der Abbildung $I$ noch einmal an und beobachten Sie, dass das Ideal $(x²)$ +niemals Output von $I$ ist! Offenbar liefert die Abbildung $I$ also Output nur +solche Ideal, die ``nicht Potenz eines größeren Ideals'' sind. Die folgende +Definition macht diese Aussage präzise. + +\begin{satzdef} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Dann ist die Menge + \[ + \rad J := \left\{ f ∈ R \::\: ∃ n ∈ ℕ: f^n ∈ J \right\} + \] + wieder ein Ideal in $R$, genannt \emph{Radikalideal von + $J$}\index{Radikalideal}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{6-1} +\end{proof} + +\begin{notation} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Das Radikalideal von $J$ + wird in der Literatur statt mit $\rad J$ oft suggestiv mit $\sqrt{J}$ + bezeichnet. Falls die Gleichheit $J = \rad J$ gilt, so nennt man $J$ ein + \emph{Radikalideal des Ringes $R$}\index{Radikalideal}. +\end{notation} + +\begin{bemerkung} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Ideal. Aus der Definition des + Radikalideals ergibt sich schnell: $\rad \rad J = \rad J$. Mehrfaches + ``Wurzelziehen'' bringt also nichts; das hätten Ihnen ihr Zahnarzt auch sagen + können. Die Idee, Radikale bei der Wurzel zu ziehen, war 1972 Gegenstand des + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Radikalenerlass}{Radikalenerlasses}. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Primideale sind radikal] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊆ R$ ein Primideal. Dann ist $J$ ein + Radikalideal. Falls nämlich $f ∈ R$ ein Element wäre, sodass $f² ∈ J$ ist, + dann gilt nach Definition von ``Primideal'', dass auch $f ∈ J$ sein muss. + Induktiv beweise man nun, dass für jede natürliche Zahl $n$ und jedes Element + $f ∈ R$ aus $f^n ∈ J$ immer sofort $f ∈ J$ folgt. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Maximale Ideale sind radikal] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $J ⊊ R$ ein maximales Primideal. Dann ist $J$ + ein Radikalideal, denn mit $1 \notin J$ folgt auch $1 \notin \rad J$, und wir + haben Inklusionen + \[ + J ⊆ \rad J ⊊ R. + \] + Wegen der Maximalitätsannahme muss die erste Inklusion aber eine Gleichheit + sein. +\end{bsp} + +Erhalten wir jetzt also eine Bijektion, wenn wir zusätzlich noch die Abbildung +$V$ aus Radikalideale einschränken? Falls $k$ algebraisch abgeschlossenen, gibt +der starke Hilbertsche Nullstellensatz eine positive Antwort. + +\begin{satz}[Starker Hilbertscher Nullstellensatz]\label{satz:5-6-8} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei + $J ⊆ k[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist + \[ + I\bigl(V(J) \bigr) = \rad J. + \] + Falls $J$ ein Radikalideal ist, gilt insbesondere die Gleichung + $V\bigl(I(J)\bigr) = J$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{6-2} zeigt den Beweis mithilfe des genialen + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Rabinowitsch_trick}{Tricks von + Rabinowitsch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/George_Rainich}{George + Yuri Rainich} (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; + † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer + Mathematiker und theoretischer Physiker. Er veröffentlichte vor seiner Zeit + in den USA unter dem Namen Rabinowitsch.}. +\end{proof} + +Ich fasse das Ergebnis dieses Kapitels noch einmal zusammen: Angenommen, es sei +$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann +liefern die Abbildungen $V$ und $I$ zueinander inverse Bijektionen zwischen +algebraischen und geometrischen Objekten: +\begin{align*} + V: \left\{ \: \text{Radikalideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\}, & I & ↦ V(I) \\ + I: \left\{ \: \text{algebraische Mengen in } k^n \: \right\} & \rightarrow \left\{ \: \text{Radikalideale in } k[x_1, …, x_n] \: \right\} & A & ↦ I(A). +\end{align*} + +\begin{aufgabe} + Rechnen Sie dies noch einmal im Detail nach! +\end{aufgabe} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/06.tex b/06.tex new file mode 100644 index 0000000..922e50f --- /dev/null +++ b/06.tex @@ -0,0 +1,271 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Irreduzible Mengen und Durchschnitte von Primidealen} + +Für algebraisch abgeschlossene Körper hatten wir im letzten Abschnitt mithilfe +der Abbildungen $V$ und $I$ eine Bijektion +\[ + \lbrace \text{algebraische Mengen} \rbrace \leftrightarrow \lbrace + \text{Radikalideale} \rbrace +\] +konstruiert. Ich hatte schon erwähnt, dass es sich hier um mehr als eine +Bijektion handelt, sondern um eine Äquivalenz von Kategorien. Es gibt also eine +vollständige Entsprechung zwischen den Objekten der geometrisch-anschaulichen +und den Objekten der algebraisch-abstrakten Seite dieser Äquivalenz. Ebenso hat +jeder Satz der kommutativen Algebra eine entsprechende Formulierung als Satz der +Geometrie. Ich möchte in dieser Vorlesung aber nicht die theoretische Seite +dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug umd Zug ein ganz konkretes ``Wörterbuch +Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln. + +\begin{bsp} + Korollar~\ref{cor:5-2-6} liefert den ersten Eintrag. Das Korollar zeigt + nämlich, dass die Punkte des affinen Raumes $𝔸^•_k$ unter den Korrespondenzen + $V$ und $I$ genau den maximalen Idealen des Polynomringes $k[x_1, …, x_•]$ + entsprechen. Wir halten fest: + \[ + \{ \text{Punkte} \} \leftrightarrow \{ \text{maximale Ideale} \} + \] +\end{bsp} + + +\section{Reduzible und irreduzible Mengen} + +Den zweiten Eintrag in unserem Wörterbuch hatte ich in Beispiel~\ref{bsp:2-1-8} +vorbereitet. Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer +``Komponente'' (nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende +Ideal $(x·y) ⊊ k[x,y]$ kein Primideal ist. Das mathematisch korrekte Wort für +``besteht aus mehr als einer Komponente'' heißt ``reduzibel''. + +\begin{defn}[Reduzible und irreduzible Mengen] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl + und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge. Wenn es eine Darstellung + $A = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung: + Eine Teilmenge $B ⊆ A$ heißt ``echt'', wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.} + algebraischen Teilmengen gibt, dann nenne $A$ + \emph{reduzibel}\index{reduzibel}. Ansonsten nenne $A$ + \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ ist reduzibel, weil es die echte Vereinigung der + algebraischen Teilmengen ``$x$-Achse'' und ``$y$-Achse'' ist. +\end{bsp} + +Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff ``reduzibel'' sehr anschaulich +ist. Ich hatte oben schon angedeutet: Die algebraische Entsprechung von +``irreduzibler algebraischer Menge'' ist ``Primideal''. + +\begin{satz}[Irreduzible Mengen und Primideale]\label{satz:6-1-3} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl + und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge. Dann gilt: Die algebraische + Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(X) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein + Primideal ist. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis der Implikation ``irreduzibel $⇒$ Primideal''] + \video{6-3} +\end{proof} +\begin{proof}[Beweis der Implikation ``Primideal $⇒$ irreduzibel''] + \video{6-4}. +\end{proof} + +Satz~\ref{satz:6-1-3} fügt unserem Wörterbuch einen zweiten Eintrag hinzu: +\[ + \{ \text{irreduzible Mengen}\} \leftrightarrow \{\text{Primideale}\}. +\] +Der Satz kann uns auch dabei helfen, die Irreduzibilität einer algebraischen +Menge zu beweisen. + +\begin{bsp}[Die Normalparabel ist irreduzibel] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper; wir betrachten das Polynom + $y-x² ∈ k[x,y]$. Das Ideal $(y-x²)$ ist prim, weil der Quotientenring + $k[X,Y]/(y-x²)$ isomorph zu $k[x]$ ist\footnote{Betrachten Sie die Abbildung + $k[x] → k[x,y] → k[x,y]/(y-x²)$} und deshalb insbesondere nullteilerfrei. + Aus Satz~\ref{satz:6-1-3} folgt dann, dass die Normalparabel + \[ + \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x²=y \bigr\} + \] + eine irreduzible algebraische Menge ist. +\end{bsp} + +\begin{bemerkung} + Bei Mengen, die ich zeichnen oder mir zumindest vorstellen kann, ist die Frage + nach der Irreduzibilität meist sofort ``durch Draufschauen'' zu beantworten. + Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von + hoher Dimension) schaut man dumm. Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker + sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht. +\end{bemerkung} + + +\section{Zerlegung in irreduzible Komponenten} + +Anschaulich ist völlig klar, dass sich jede algebraische Menge auf eindeutige +Weise als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt: Das +Achsenkreuz besteht aus der $x$-Achse und der $y$-Achse. Wir werden dies im +Folgenden kurz beweisen. + + +\subsection{Algebraische Bedeutung der Zerlegung} + +Wenn ich kurz einmal glaube, dass jede algebraische Menge auf eindeutige Weise +als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt, dann muss dem auf +der algebraischen Seite eine Aussage gegenüberstehen, die sagt, dass jedes +Radikalideal eindeutig durch Primideale dargestellt werden kann --wobei wir uns +jetzt erst noch überlegen müssen, was ``darstellen'' in diesem Kontext +eigentlich bedeuten soll. + +\begin{beobachtung}\label{beo:6-2-1} + Gegeben eine algebraische Menge $X$, die ich als Vereinigung von endliche + vielen irreduziblen algebraischen Mengen schreiben kann, $X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_a$. + Wir betrachten das Radikalideal $I := I(X)$ und die Primideale + $I_• := I(X_•)$. Satz~\vref{satz:5-3-2} gibt uns in dieser Situation die + Gleichungen + \begin{equation}\label{eq:6-2-1-1} + V(I) = V( I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a ). + \end{equation} + Ich beobachte, dass der Durchschnitt $I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a$ selbst ein Radikalideal + ist. Das ist cool, denn ich erinnere mich daran, dass die Abbildung + \[ + V : \{ \text{Radikalideale} \} → \{ \text{algebraische Mengen} \} + \] + bijektiv, also insbesondere injektiv ist. Wir erhalten also eine Gleichheit + von Idealen, + \[ + I = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a. + \] +\end{beobachtung} + +Ich fasse den Inhalt von Beobachtung~\ref{beo:6-2-1} noch einmal informell +zusammen: Die geometrische Aussage ``$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen +Mengen geschrieben werden'' ist also gleichbedeutend mit der algebraischen +Aussage ``$I$ ist Durchschnitt von Primidealen''. Die folgende Proposition +formuliert den Sachverhalt noch einmal präzise und fügt unserem Wörterbuch eine +besonders interessante Zeile hinzu. + +\begin{prop}[Algebraische Bedeutung der Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{prop:ziic} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine + Zahl. Dann sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend. + \begin{itemize} + \item Jede algebraische Teilmenge des $𝔸^n_k$ kann auf eindeutige Weise als + echte Vereinigung von irreduziblen algebraischen Mengen geschrieben werden. + + \item Jedes Radikalideal im Ring $k[x_1, …, x_n]$ kann auf eindeutige Weise + als echter Durchschnitt von Primidealen geschrieben werden. \qed + \end{itemize} +\end{prop} + +Wenn Sie sich bei Proposition~\ref{prop:ziic} an die Aussage erinnert fühlen, +dass jede Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben +werden kann, liegen Sie natürlich völlig richtig. + + +\subsection{Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegungen} + +\sideremark{Vorlesung 7}Um den Abschnitt abzuschließen, muss ich noch zeigen, +dass eine Zerlegung tatsächlich existiert. + +\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{satz:6-2-3} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es $X ⊆ 𝔸_k^n$ eine + algebraische Teilmenge. Dann existiert eine Darstellung von $X$ als + Vereinigung von irreduziblen algebraischen Teilmengen, + \[ + X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r + \] + wobei zusätzlich für alle Indizes $i ≠ j$ die Bedingung $X_i ⊄ X_j$ gilt. Die + Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge. +\end{satz} + +\begin{notation}[Irreduzible Komponenten einer algebraischen Menge] + In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} werden die $X_•$ als die + \emph{irreduziblen Komponenten von $X$}\index{irreduzible Komponente einer + algebraischen Menge} bezeichnet. +\end{notation} + +Der Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3} kommt gleich. Zuerst benötige ich noch +einige Vorüberlegungen. + +\begin{lem}[Existenz minimaler Mengen] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl + und es sei + \[ + X ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k) + \] + eine nicht-leere Menge von algebraischen Mengen des $𝔸^n_k$. Dann besitzt $X$ + ein Element, das minimales bezüglich Inklusion minimal ist. +\end{lem} +\begin{proof} + Nach dem \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Lemma von + Zorn}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max + August Zorn} (* 6. Juni 1906 in Krefeld; † 9. März 1993 in Bloomington, + Indiana, USA) war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher + Abstammung.} genügt es zu zeigen, dass jede absteigende Kette + \[ + X_1 ⊇ X_2 ⊇ ⋯ + \] + von algebraischen Mengen stationär wird. Mit anderen Worten: + \[ + ∃ m ∈ ℕ: X_m = X_{m+1} = X_{m+2} = ⋯ + \] + gilt. Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(X_1) ⊆ I(X_2) ⊆ ⋯$. + Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. + Mit anderen Worten: + \[ + ∃ m ∈ ℕ: I(X_m) = I(X_{m+1}) = I(X_{m+2}) = ⋯. + \] + Weil die Abbildungen $I$ und $V$ bijektiv sind, folgt die Behauptung. +\end{proof} + +\begin{lem} + Sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine Darstellung von $X$ als Vereinigung von + endlich vielen irreduziblen algebraischen Mengen. Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein + Primideal. Dann gibt es einen Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist. +\end{lem} +\begin{proof} + Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es für jeden Index $i$ + ein Element $f_i ∈ I(X_i)∖p$ gibt. Dann gilt für das Produkt dieser Elemente + die Inklusion + \[ + f_1 ⋯ f_r ∈ \bigcap_{i = 1}^r I(X_i) = I(X) ⊆ p. + \] + Kurz: das Produkt der Elemente $f_•$ (die alle nicht in $p$ liegen), liegt in + $p$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $p$ ein Primideal ist. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Existenz von Zerlegungen] + \video{7-1} +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Eindeutigkeit von Zerlegungen] + \video{7-2} +\end{proof} + +Wenn Sie sich den Beweis für die Existenz von Zerlegungen anschauen, werden Sie +sehen: der tiefere Grund für die Existenz ist der +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Basissatz}{Hilbertsche + Basissatz}, nach dem der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist. Diese +Interpretation der Noether-Eigenschaft ist vielleicht wieder einen Eintrag in +unser Wörterbuch wert. Tabelle~\ref{tab:6-1} fasst die Ergebnisse dieses +Kapitels zusammen. + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}} + \rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\ + Radikalideale & algebraische Mengen \\ + maximale Ideale & Punkte \\ + Primideale & irreduzible Mengen \\ + Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten \\ + Noether-Eigenschaft des Polynomrings & Existenz von Zerlegungen + \end{tabular} + + \caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des affinen Raums} + \label{tab:6-1} +\end{table} + + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/07.tex b/07.tex new file mode 100644 index 0000000..95a9af1 --- /dev/null +++ b/07.tex @@ -0,0 +1,440 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der affine Koordinatenring} + +\section{Koordinatenringe} +\label{sec:7-1} + +Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen. Vorher möchte +ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen +geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht, +betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender +algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_{ℂ}$. Dann kann man den Restklassenring +$ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren: + +\begin{itemize} +\item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings + $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ})$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen. + +\item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen + komplexwertigen Funktionen. + +\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung + $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) → \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen + \[ + \begin{tikzcd}[column sep=2.2cm] + ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X). + \end{tikzcd} + \] + Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$. +\end{itemize} +Die wesentliche Beobachtung ist, dass die Gleichheit $J = \ker(\varphi)$ gilt. +Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring +\[ + \factor{ℂ[x_1, …, x_n]}{J} ≅ \img φ ⊆ \cC⁰(X) +\] +also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen +Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen +$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinationenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die +folgende Definition. + +\begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1} + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n$ eine Zahl und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine + algebraische Menge. Dann wird der Quotientenring + \[ + \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} + \] + als der \emph{affine Koordinatenring von $X$}\index{affiner Koordinatenring} + bezeichnet. Für diesen Ring ist die Schreibweise $k[X]$ üblich. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Situation wie in Definition~\ref{def:7-0-1}. Beachten Sie, dass der affine + Koordinatenring $k[X]$ in natürlicher Weise die Struktur einer $k$-Algebra + trägt. Das wird noch wichtig werden. +\end{bemerkung} + +Ich frage in diesem kurzen Kapitel nach der geometrischen Bedeutung des affinen +Koordinatenringes. Nach Satz~\vref{satz:6-1-3} können wir jetzt schon sagen, +dass eine algebraische Menge $X$ genau dann irreduzibel ist, wenn der affine +Koordinatenring nullteilerfrei ist. + +\begin{aufgabe} + Betrachten Sie noch einmal das Achsenkreuz, unser zentrales Beispiel für eine + reduzible algebraische Menge. Vollziehen Sie an diesem Beispiel noch einmal + nach, dass der affine Koordinatenring tatsächlich Nullteiler hat und finden + Sie Nullteiler, die in direkter Beziehung zur Zerlegung des Achsenkreuzes + stehen. +\end{aufgabe} + + +\section{Morphismen} + +Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die +man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische +Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal +sagen, was ein ``Morphismus von algebraischen Mengen'' eigentlich sein soll. +Die Sache ist eigentlich sehr einfach. + +\begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen] + Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische + Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf + dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ heißt + \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder + \emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen + Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für + jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung + \[ + f(\vec{x}) = + \begin{pmatrix} + f_1(\vec{x}) \\ + \vdots \\ + f_m(\vec{x}) + \end{pmatrix} + \] + gilt. +\end{defn} + +\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} + Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung + \[ + f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³) + \] + liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge + $V \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:7-1-3} + Die polynomiale Abbildung + \[ + f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³) + \] + liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge + $V \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Die Bildmenge $V \bigl(y²-x³ \bigr)$ heißt + ``Neilsche Parabel''. Zeichnen Sie ein reelles Bild dieser Menge. Finden Sie + heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu einer ganz besonderen Kurve + macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte Originalausgabe des Romans ``Moby + Dick'' und finden Sie die Stelle, an der die Neilsche Parabel eine Rolle + spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine Rolle. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:7-1-4} + Die polynomiale Abbildung + \[ + f : 𝔸²_ℂ → 𝔸³_ℂ, \quad (x,y) ↦ (x², x·y, y²) + \] + liefert einen Morphismus von $𝔸²_ℂ$ in die algebraische Menge + $V \bigl(ac-b² \bigr) ⊆ 𝔸³_ℂ$. Was macht diese Abbildung geometrisch? +\end{bsp} + +\begin{defn}[Isomorphismen] + Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei + algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen + \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen + $f:V → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In + diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$ + \emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-2} ein + Isomorphismus ist. Der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-4} ist nicht + injektiv, also garantiert kein Isomorphismus. +\end{bsp} + +\begin{aufgabe} + Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-3} zwar bijektiv, + aber dennoch kein Isomorphismus ist! Wir lernen, dass bijektive Morphismen + von algebraischen Mengen keine Isomorphismen sein müssen. Das war bei + Vektorraummorphismen noch ganz anders. +\end{aufgabe} + + +\section{Morphismen von Koordinatenringen und von algebraischen Mengen} +\label{sec:7-3} + +Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise +zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest. + +\begin{situation}\label{sit:7-2-1} + Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische + Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf + dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit + $y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann + \[ + k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} % + \quad\text{und}\quad % + k[Y] = \factor{k[y_1, …, y_m]}{I(Y)}. + \] +\end{situation} + + +\subsection{Von Morphismen zwischen Mengen zu Morphismen der Koordinatenringe} +\label{sec:7-2-1} + +In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen +Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome +$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung +\[ + f(\vec{x}) = + \begin{pmatrix} + f_1(\vec{x}) \\ + \vdots \\ + f_m(\vec{x}) + \end{pmatrix} +\] +gilt. Wir definieren damit die folgende ``Rückzugsabbildung'' +\[ + \begin{matrix} + φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ + && g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr). + \end{matrix} +\] +Wir beobachten, dass es sich bei $φ^*$ nicht nur um einen Ringmorphismus, +sondern sogar um einen Morphismus von $k$-Algebren handelt. Die Abbildung $f$ +bildet die Menge $X$ in die Menge $Y$ ab. Wenn ein Polynom $g ∈ k[y_1, …, y_m]$ +auf der Menge $Y$ verschwindet, also $g ∈ I(Y)$, dann verschwindet die Funktion +$φ^*(g) ∈ k[x_1, …, x_n]$ dann logischerweise auf der Menge $X$; es gilt also +$φ^*(g) ∈ I(X)$. Als Konsequenz sehen wir, dass die Abbildung $φ^*$ einen +wohldefinierten $k$-Algebramorphismus zwischen den affinen Koordinatenringen +liefert, den man typischerweise mit +\[ + f^* : K[Y] → K[X] +\] +bezeichnet. + +\begin{aufgabe} + In dieser Konstruktion mussten wir Polynome $f_1, …, f_n$ wählen, die durch + unsere Annahmen nicht eindeutig festgelegt sind. Zeigen Sie an einem + Beispiel, dass die Abbildung $φ^*$ in nicht-trivialer Weise von der Wahl der + $f_•$ abhängt. Beweisen Sie im Gegensatz dazu, dass der $k$-Algebramorphismus + $f^*$ unabhängig von der Wahl der $f_•$ ist. +\end{aufgabe} + + +\subsection{Von Morphismen der Koordinatenringe zu Morphismen zwischen Mengen} +\label{sec:7-2-2} + +In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein $k$-Algebramorphismus $f^* : k[Y] → k[X]$ +der affinen Koordinatenringe gegeben. Für jeden Index $1 ≤ i ≤ m$ wählen wir +dann ein Polynom $f_i ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass die Restklasse $[f_i] ∈ k[X]$ +exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist, +\begin{equation}\label{eq:7-2-2-1} + f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i]. +\end{equation} +Als Nächstes definieren wir eine ``Rückzugsabbildung'', +\[ + \begin{matrix} + φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ + && g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr), + \end{matrix} +\] +die uns bekannt vorkommt. Offenbar gilt für jeden Index $i$ die Gleichheit +$φ^*(y_i) = f_i$, also gilt nach~\eqref{eq:7-2-2-1} die folgende Gleichheit von +Restklassen in $k[X]$, +\[ + \bigl[φ^*(y_i) \bigr] = f^*\bigl([y_i]\bigr), \quad \forall i. +\] +Aus der Linearität folgt dann die allgemeinere Gleichheit von Restklassen in +$k[X]$, +\[ + \bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr), \quad \forall g ∈ k[y_1, …, y_m]. +\] +Insbesondere gilt für alle $g ∈ I(Y)$ die Gleichheit $[g] = 0 ∈ k[Y]$ und +deshalb +\[ + \bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr) = f^*\bigl(0\bigr) = 0 ∈ k[X]. +\] +Wir erkennen also, dass die Abbildung $φ^*$ das Ideal $I(Y)$ auf $I(X)$ +abbildet. Diese Erkenntnis wird nützlich werden, wenn wir die folgende +polynomiale Abbildung betrachten, +\[ + φ : 𝔸^n_k → 𝔸^m_k, \quad \vec{x} ↦ + \begin{pmatrix} + f_1(\vec{x}) \\ + \vdots \\ + f_m(\vec{x}) + \end{pmatrix}. +\] +Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass +$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes +$g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches +$g$ gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$ +\[ + g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}), +\] +wir hatten aber gerade erst gesehen, dass $φ^*(g) ∈ I(X)$ liegt, also auf +$\vec{x}$ verschwindet. + +Zusammenfassung: durch Einschränkung auf $X$ liefert die Abbildung $φ$ einen +Morphismus $f : X → Y$. + + +\subsection{Koordinatenringe und Morphismen} + +Es wird Sie nicht überraschen: Die Konstruktionen aus den +Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers. Ich +lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis +fest. + +\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3} + In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den + Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen + \[ + \bigl\{ \text{ Morphismen } X → Y \bigr\} \leftrightarrow \bigl\{ \text{ + $k$-Algebrahomomorphismen $k[Y] → k[X]$ } \bigr\}. \eqno \qed + \] +\end{satz} + +Inbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen +einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich +diskutiere hier nur das allererste Beispiel. + +\begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4} + In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die + algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei + $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende + Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv. + + \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der + Zariski-Topologie. Mit anderen Worten: jede algebraische Teilmenge + $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, ist gleich $Y$. + \end{enumerate} +\end{prop} +\begin{proof} + Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt + es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ + ist. Dann ist aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge + $\{g=0\} ⊊ Y$ enthalten. + + Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge + $Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, + die auf $Y'$ verschwindet. Dann ist $0 = g◦ f = f^*(g)$, also ist $f^*$ + nicht injektiv. +\end{proof} + +\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5} + In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei + $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung + $f^* : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv. +\end{prop} +\begin{proof} + Hausaufgabe! +\end{proof} + + +\begin{frage} + Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme ``$k$ + algebraisch abgeschlossen'' verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne + diese Annahme richtig? +\end{frage} + +Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und +\ref{sec:7-2-2} sind \emph{funktoriell}\index{Funktorialität}. Damit ist +Folgendes gemeint: wenn eine Kette von Morphismen zwischen algebraischen Mengen +gegeben ist, +\[ + \begin{tikzcd} + X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z, + \end{tikzcd} +\] +dann ist $g^* ◦ f^* = (g◦ f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen +von $k$-Algebren gegeben ist, +\[ + \begin{tikzcd} + k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X], + \end{tikzcd} +\] +mit zugehörenden Abbildungen und $f : X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die +zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen +Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe +$k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt +die algebraische Menge also bis auf Isomorphie fest! + + +\subsection{Reduzierte Ringe} + +Die nächste Frage: wann ist eine $k$-Algebra $R$ der affine Koordinatenring +einer algebraischen Varietät, also von der Form $k[x_1, …, x_n]/I$, wobei $I$ +ein Radikalideal ist? Klar ist, dass die affinen Koordinatenringe folgende +Eigenschaften haben.\CounterStep +\begin{enumerate} +\item Sie sind als $k$-Algebra endlich erzeugt (klar, denn die Polynome + $x_1, …, x_n$ sind Erzeuger). + +\item Wenn $f ≠ 0$, dann ist auch $f^n ≠ 0$ für alle $n ∈ ℕ$ (klar, + denn sonst wäre $I$ kein Radikal). +\end{enumerate} + +\begin{definition}[Nilpotente Elemente] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$ + \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, so + dass $f^n = 0$ ist. +\end{definition} + +\begin{notation}[Reduzierte Ringe] + Es sei $k$ ein Körper. Endlich erzeugte $k$-Algebren ohne nilpotente Elemente + werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne + nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer + Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die + Substitutionsabbildung + \[ + φ : k[x_1, …, x_n] → R, \quad f ↦ f(e_1, …, e_n). + \] + Die Annahme, dass $R$ keine nilpotenten Elemente enthält, stellt sicher, dass + $I := \ker φ$ ein Radikalideal ist. Nach dem Homomorphiesatz ist $R$ isomorph + zu $k[x_1, …, x_n]/I$, und weil $I$ ein Radikalideal ist, ist dies isomorph + zum affinen Koordinatenring von $V(I)$. +\end{beobachtung} + +Zusammenfassung: die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und +\ref{sec:7-2-2} liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen den +Isomorphieklassen von algebraischen Mengen und den Isomorphieklassen von +reduzierten Ringen. + + +\subsubsection{Diskussion} + +In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen ``extrinsischen'' +und ``intrinsischen'' Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel ``Flächen im Raum'' +diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie +die Fläche in den Raum eingebettet ist (``Enthält die Fläche Geraden?''). Im +Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl +einer speziellen Einbettung in den Raum ab (``Was ist die Krümmung? Wie sieht +die Symmetriegruppe aus?''). + +Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung ``Die +Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume +eingebettet''. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das +richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten +beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von +insbesondere von Alexander +Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander + Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in + Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein + deutsch-stämmiger französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen + Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren + maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der + Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische + Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus + seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 + verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in + den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als +eine sehr einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch +sehr viel sagen und es ließen sich +\href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele + Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige +Zeitpunkt dafür … + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/08.tex b/08.tex new file mode 100644 index 0000000..d4ffbff --- /dev/null +++ b/08.tex @@ -0,0 +1,951 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Gröbnerbasen} + +Der Inhalt dieses Kapitels ist auch in vielen anderen Quellen gut erklärt. +Werfen Sie einen Blick in das +\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript + des Mannheimer Kollegen Seiler}, das +\href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript + des Dortmunder Kollegen Plaumann} und schauen Sie sich das Buch +\cite{MR3330490} an, das Sie kostenlos im Universitätsnetz herunterladen können. + + +\section{Liegt mein Element im Ideal?} + +\sideremark{Vorlesung 8}Gegeben einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ und +eine algebraische Menge $V(I) ∈ 𝔸^n_k$, dann ist die einfachste Frage, die ich +stellen kann: ist die Menge $V(I)$ leer? Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz +äquivalent zu der Frage, ob $1 ∈ I$ ist. In diesem Kapitel möchte ich erklären, +wie man diese Frage beantworten kann. Ich beantworte sogar die folgende, etwas +allgemeinere Frage~\ref{frage:8-0-1}. Die folgende Notation wird durchweg +verwendet. + +\begin{situation}\label{sit:8-1-1} + Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ + gegeben. Wir betrachten das Ideal $I := (f_1, …, f_m)$. +\end{situation} + +\begin{frage}[Ideal Membership Problem]\label{frage:8-0-1} + Wie kann ich in Situation~\ref{sit:8-1-1} entscheiden kann, ob ein gegebenes + Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ im Ideal $I$ liegt? Mit anderen Worten: Wie kann + ich entscheiden, ob Polynome $g_1, …, g_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ existieren, sodass + die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:8-0-0-1} + f = \sum_{i=1}^m g_i· f_i + \end{equation} + erfüllt ist? +\end{frage} + +\begin{beobachtung} + Wenn man von vornherein sagen könnte, wie groß der Grad der Polynome $g_i$ + maximal ist, könnte man Gleichung~\eqref{eq:8-0-0-1} als lineares + Gleichungssystem an die Koeffizienten der $g_i$ verstehen und lösen. +\end{beobachtung} + +Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es. Sie wurden meines +Wissens nach zuerst 1926 von Grete +Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete + Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2. März 1901 in + Bremen; † 15. April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, + Physikerin, Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg + und anderen Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor + allem der modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte, +\cite{MR1512302}. Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert, +\cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren. +In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich +gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich +Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab. + +\begin{frage}\label{frage:8-1-3} + In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom + $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ einen ``kanonischen Repräsentanten'' der Restklasse + \[ + [f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I} + \] + finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist? +\end{frage} + +Falls ich Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das Ideal +Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich einfach +die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und +vergleiche diese. Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$, +wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das. + + +\section{Monomiale Ideale} + +Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir +Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von ``monomialen Idealen''. +Was das sein soll, erkläre ich jetzt. + +\begin{definition}[Monome, Terme] + Es sei $k$ ein Körper. Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein + normiertes Polynom in $k[x_1, …, x_n]$, welches nur aus einem Summanden + besteht. Elemente der Menge + \[ + \{ λ·m ∈ k[x_1, …, x_n] \:: λ ∈ k^*, m \text{ ein Monom}\} + \] + nennt man \emph{Terme}\index{Term!im Polynomring}. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Die $0$ ist per Definition kein Monom und kein Term. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp} + Die Polynome $x²$, $y³$ und $x·y²$ sind Monome auf $ℂ[x,y]$. Das Polynom + $14·x²·y$ ist ein Term. Das Polynom $x²-y³$ ist kein Monom und kein Term. + Jedes Polynom kann auf eindeutige Weise als Summe von Termen geschrieben + werden. +\end{bsp} + +\begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise] + Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt + $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll + $A =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich + vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und + $B =(β_1, …, β_m) ∈ ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und + $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$ + + \item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die + Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt. + + \item Es ist $\kgV(x^A,x^B) = x_1^{\max(α_1, β_1)} ⋯ x_n^{\max(α_m, β_m)}$. + + \item Es ist $\ggT(x^A,x^B) = x_1^{\min(α_1,β_1)} ⋯ x_n^{\min(α_m, β_m)}$. + \end{enumerate} +\end{beobachtung} + +\begin{definition}[Monimiales Ideal] + Es sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt + \emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt, + sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt. +\end{definition} + +Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma +die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. + +\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome. Dann gibt es zu + jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass + Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im + Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich. + + \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome + $f_•$ geteilt. + \end{enumerate} +\end{lem} +\begin{proof} + Das ist eine Übungsaufgabe, die sie selbst machen müssen. Rechnen Sie ein + paar Beispiele, um zu sehen, was hier passiert. Lesen Sie erst danach weiter. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + In Aussage~\ref{il:8-1-6-1} von Lemma~\ref{lem:8-1-6} bedeutet, dass es + Polynome $g_i ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass die Gleichung + \[ + h = f - \sum_{i=1}^m g_i·f_i + \] + gilt. Die Polynome $g_i$ sind aber kein bisschen eindeutig, denn selbst für + das Nullpolynom gibt es immer die Darstellungen + \[ + 0 = 0 · f_1 + 0 · f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2. + \] + Überlegen Sie sich, dass die $g_i$ eindeutig festgelegt sind, wenn man + zusätzlich verlangt, dass für jeden Index $j$ kein Term von $g_j·f_j$ ein + Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9} + Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben. Überlegen Sie sich, + dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussage äquivalent + sind. + \begin{enumerate} + \item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$. + + \item Der Term $t$ liegt im (monomialen!) Ideal $(f_1, …, f_m)$. + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Lemma~\ref{lem:8-1-6} zeigt unter anderem, dass die endlich vielen Monome + \[ + \{ x^A \::\: x^A \text{ wird von keinem der $f_•$ geteilt } \} + \] + eine $k$-Vektorraumbasis des Quotientenringes $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ + bilden. +\end{bemerkung} + + +\section{Leitterme und Monomordnungen} + +\subsection{Elimination von Termen} + +Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen +Idealen zu verallgemeinern. Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$ +wählen wir einen Term aus (dieser wird später ``Leitterm'' genannt werden). +Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu +$f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden. Ich werde +dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige +Beispiele diskutieren. + +\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2} + Es sei $k$ ein Körper und es sei + \[ + f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y]. + \] + Ich wähle den Term $x²$ von $f_1$. Rechnen Sie an Beispielen nach, dass ich + dann jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ in der Form $f = g_1·f_1 + h$ schreiben kann, + wobei kein Term des Polynoms $h$ ein Vielfaches von $x²$ ist\footnote{Das + Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der + Algebraiker schreibt + \[ + h = f - g_1·f_1 + \] + und erklärt seiner Familie stolz, er habe ``aus $f$ alle Terme eliminiert, die + Vielfache von $x²$ sind''. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3} + Es sei $k$ ein Körper und es sei + \[ + f_2 = y² + xy=y(y+x) + \] + Ich wähle den Term $y²$ von $f_2$. Jetzt kann ich jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ + in der Form $f = g_2·f_2 + h$ schreiben kann, wobei kein Term des Polynoms $h$ + ein Vielfaches von $y²$ ist. Mit anderen Worten: ich kann aus $f$ alle Terme + eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind. +\end{bsp} + +\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4} + Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der + Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen + gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. + Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form + \[ + f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h + \] + schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme + mit $y²$ enthält? Die Antwort ist ``nein'', denn ansonsten wäre + \[ + \bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)} + \] + ein vierelementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als + $k$-Vektorraum. Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$. Also gibt es eine + Surjektion + \begin{equation}\label{eq:8-2-4-1} + \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)} → \factor{k[x, y]}{(x+y)} ≅ k[x] + \end{equation} + und der letztere Raum ist als $k$-Vektorraum unendlich-dimensional. +\end{beobachtung} + +\begin{frage} + Können Sie die Abbildung~\eqref{eq:8-2-4-1} geometrisch interpretieren? Was + geht hier vor? +\end{frage} + + +\subsection{Monomordnungen} + + +Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme +eliminieren konnte? Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt. Man sollte +die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer +``Monomordnung'' wählen. + +\begin{defn}[Monomordnung] + Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf + $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung ``$≤$'' auf der Menge der Monome, sodass + für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden + Eigenschaften gelten. + \begin{enumerate} + \item Es ist $x^A ≤ x^C·x^A$. + + \item Aus $x^A ≤ x^B$ folgt $x^C·x^A ≤ x^C·x^B$. + \end{enumerate} +\end{defn} + +\begin{erinnerung} + Eine \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnung}{Wohlordnung} auf einer + Menge $M$ ist eine Totalordnung, sodass jede nicht-leere Teilmenge ein + kleinstes Element hat. Insbesondere gibt es keine unendliche streng monoton + fallende Folge von Elementen aus $M$. +\end{erinnerung} + +\begin{erinnerung} + Eine + \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung} + ist eine Relation ``$≤$'' auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv + und total ist. +\end{erinnerung} + +\begin{defn}[Leitterm] + Es sei $k$ ein Körper und es sei eine Monomordnung $≤$ auf dem Polynomring + $k[x_1, …, x_n]$ gewählt. Gegeben $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, dann nenne den Term + mit dem größten Monom den \emph{Leitterm von $f$ bezüglich der Monomordnung + $≤$}\index{Leitterm}. Der Leitterm des Nullpolynoms ist per Definition + gleich $0$. Die Schreibweise $\ini f$ ist üblich, in der Literatur findet + sich auch die Bezeichnung \emph{Initialterm}\index{Initialterm}. +\end{defn} + +\sideremark{Vorlesung 9}Wir werden gleich ganz viele konkrete Beispiele sehen. +Zuerst aber noch einmal zurück zur Bemerkung, dass die Terme in den +Beispielen~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} nicht gemäß einer Monomordnung +gewählt waren. + +\begin{beobachtung} + Es gibt keine Monomordnung auf $k[x,y]$, sodass + \[ + \ini(x² + xy) = x² \quad\text{und}\quad \ini(y² + xy) = y² + \] + ist. Falls es eine solche Ordnung gäbe, dann muss nämlich $y < x$ sein, denn + sonst wäre $xy > x²$ und der Leitterm von $x² + xy$ wäre nicht $x²$. Dann ist + aber $y² < xy$, also ist der Leitterm von $y² + xy$ gleich $xy$ und nicht + gleich $y²$. +\end{beobachtung} + +\begin{bsp}[Lexikografische Ordnung] + Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische + Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt + $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ + existiert, sodass $α_i > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ + die Gleichheit $α_j = β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem + sich die Exponenten $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie + nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome + in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt + sortiert + \[ + x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3. + \] + Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher + statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und + für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen ``Lexika'' + waren die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung] + Bei der \emph{graduiert-lexikografischen + Monomordnung}\index{graduiert.-lexikografische Monomordnung} auf dem + Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt + $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt: + \begin{enumerate} + \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. + \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich + der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$. + \end{enumerate} + Bei der graduiert-lexikografischen Ordnung entscheidet also zuerst der Grad + der Monome, dann die lexikografische Ordnung. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12} + Bei der \emph{graduiert-rückwärtslexikografischen + Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem + Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt + $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der + beiden folgenden Bedingungen gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. + + \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte + nicht-verschwindende Eintrag von + \[ + (α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n + \] + ist negativ. + \end{itemize} + Rechnen Sie nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die + quadratischen Polynome in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die + rückwärtslexikografische Monomordnung wie folgt sortiert + \[ + x²_1 > x_1x_2 > x²_2 > x_1x_3 > x_2x_3 > x²_3. + \] + Der Unterschied zur lexikografischen Ordnung besteht also darin, welches der + Monome $x_2²$ oder $x_1x_3$ bevorzugt wird. Bei den Antipoden gab es früher + graduierte Rückwärtslexika, bei denen die Stichworte auf diese Weise sortiert + waren. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Gewichtsordnung] + Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger + reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$ + unterschiedlichen Primzahlen sind. Bei der + \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring + $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau + dann, wenn + \[ + \sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i + \] + ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit + $\sum w_i α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die + Gleichung $α_i = β_i$ gilt. +\end{bsp} + +\begin{bemerkung} + Weitere Beispiele für coole Monomordnungen gibt es + \href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{im + Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante + Beispiele für Monomordnungen zu überlegen. +\end{bemerkung} + + +\section{Division mit Rest} + +Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen +Idealen verallgemeinern werden. Damit war der folgende Satz gemeint. Im +Unterschied zur klassischen ``Polynomdivision mit Rest'' wird in diesem Satz +gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt! Sie finden einen ähnlichen Beweis +und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem +Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. + +\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$ + gewählt. Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$ + und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass + \begin{equation}\label{eq:8-4-6-1} + f = \sum_{i=1}^m g_i·f_i + h + \end{equation} + ist und sodass folgende Bedingungen erfüllt sind. + \begin{enumerate} + \item\label{il:8-4-6-2} Für jeden Index $i$ mit $g_i·f_i ≠ 0$ gilt die + Ungleichung $\ini f ≥ \ini (g_i·f_i)$. + + \item\label{il:8-4-6-3} Kein Term von $h$ ist Vielfaches von einem der Terme + $\ini f_•$. \qed + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{algorithm}[t] + \KwData{Situation~\ref{sit:8-1-1} und $f ∈ k[x_1, …, x_n]$} + \KwResult{Polynome $g_1, …, g_m$ und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass \eqref{eq:8-4-6-1}--\ref{il:8-4-6-3} gelten} + + \BlankLine + Setze $g_1 := 0$, …, $g_m := 0$\; + Setze $h := 0$\; + Setze $p := f$\; + + \BlankLine + \While{$p ≠ 0$}{ + \BlankLine + Setze $S := \{ j : \ini f_j \mid \ini p \}$\; + \BlankLine + \eIf{$S = ∅$}{ + Setze $h := h + \ini p$ \; + Setze $p := p - \ini p$ \; + }{ + Setze $i := \min S$ \; + Setze $q := (\ini p)/(\ini f_i)$ \; + Setze $g_i := g_i + q$ \; + Setze $p := p - q·f_i$ \; + } + } + + \caption{Schwache Division mit Rest} + \label{alg:8-4-6} + \end{algorithm} + Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in + Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der + Polynome $g_•$ und $h$. \video{9-1} zeigt, dass der Algorithmus terminiert + und das gewünschte Ergebnis liefert. +\end{proof} + + + +\begin{bemerkung} + Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen + eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen ``Starken Divisionssatz'' + mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die + folgende Forderung ersetzt ist. + \begin{enumerate} + \item Für jedes Paar $j < i$ von Indizes gilt: Kein Term von $g_i·\ini f_i$ + ist Vielfaches von $\ini f_j$. + \end{enumerate} + Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen. +\end{bemerkung} + +\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6} + In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element + $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den + Bedingungen \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, + einen \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}. +\end{defn} + +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/ba8562a5ddff2655831b5d3bca006fbb06de626f/Divisionsreste.ipynb?viewer=share}{Hier} +zeige ich Ihnen, wie man Divisionsreste bequem mit dem Programm ``Sage'' am +Computer ausrechnet. + + +\section{Gröbner-Basen} + +\sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den +Divisionssatz überhaupt betrachtet haben. In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen +wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$ +liegt. Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die +Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden --- wenn das funktioniert, +dann brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ +zu vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der +Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein! + +\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2} + Divisionsreste sind nicht eindeutig. Es kommt aber noch schlimmer: Wir + betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$ + und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$. Dann ist + \[ + \ini f_1 = x²_1x_2 \quad\text{und}\quad \ini f_2 = x³_1. + \] + Für $f = x³_1x_2$ erhalten wir die Darstellung + \[ + f = x_1·f_1 + 0·f_2 + x_1x²_2. + \] + Also: das Polynom $f$ liegt in $I$. Der Divisionsrest ist aber nicht Null. +\end{bsp} + +Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief? Der Grund für das Versagen der +Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal +$\bigl( \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende +Definition. + +\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis + oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn + für jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt, + \[ + \ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr). + \] +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Erinnern Sie sich an Bemerkung~\vref{bem:8-2-9}. Genau wie dort kann man + Definition~\ref{def:8-5-3} auch anders formulieren: $f_1, …,f_m$ ist eine + Gröbnerbasis, wenn für jedes Element $f ∈ M$ ein Index $i$ existiert, sodass + $\ini f_i \mid \ini f$ ist. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Die Frage, ob $f_1, …,f_m$ eine Gröbnerbasis ist, hängt massiv von der Wahl + der Monomordnung ab, aber nicht von der Reihenfolge der $f_•$. +\end{bemerkung} + +\begin{beobachtung}[Vektorraumbasis für den Quotienten] + In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1, …,f_m$ eine Gröbnerbasis von $M$. Dann + bildet die folgende Menge von Monomen, + \[ + \left\{ m ∈ F \text{ein Monom} \::\: m \not∈ (\ini f_1, …, \ini f_m) + \right\}, + \] + eine $k$-Vektorraumbasis des Quotienten $F/M$. Mit dieser Beobachtung lässt + sich in der Praxis schnell entscheiden, ob der Quotient $F/M$ endlich- oder + unendlich-dimensional ist. +\end{beobachtung} + +Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno +Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno + Buchberger} (* 22. Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer + Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang +Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang + Gröbner} (2. Februar 1899 in Gossensaß – 20. August 1980) war ein + österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der + kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist + bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche +Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von +Heisuke +Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke + Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9. April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: + Iwakuni), Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und + Träger der Fields-Medaille.} auf. + + +\subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen} + +Das folgende Lemma zeigt, dass Gröbnerbasen unsere Probleme lösen: Haben wir +eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer +einzigen Division beantwortet werden. + +\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben ein + Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$ + gleich $0$. +\end{lem} +\begin{proof} + Es sei $h$ ein Divisionsrest. Per Definition bedeutet das, dass wir eine + Darstellung + \[ + f = \sum g_i·f_i + h + \] + haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten. + Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$. Auf + der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein + Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ + eine Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist. +\end{proof} + +\begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben sei + ein Element $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ und zwei Reste $h_1$, $h_2$ von $f$ bei + Division durch $f_1, …, f_m$. Dann ist $h_1 = h_2$. \qed +\end{kor} + +\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien $f_{1,1}, …, f_{1,m_1}$ und + $f_{2,1}, …, f_{2, m_2}$ zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element + $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige) + Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist + $h_1 = h_2$. +\end{lem} +\begin{proof} + Nach Definition von ``Divisionsrest'' in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die + Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die + \emph{nicht} in + \[ + \bigl( \ini f_{1,1}, …, \ini f_{1,m_1} \bigr) = \bigl( \ini f_{2,1}, …, \ini + f_{2,m_2} \bigr) + \] + enthalten sind. Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in + $M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von ``Gröbnerbasis'' bedeutet das + aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist. Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb + $h_1 = h_2$. +\end{proof} + +Lemma~\ref{lem:8-5-9} zeigt insbesondere, dass Divisionsreste unabhängig von der +Reihenfolge der Elemente in der Gröbnerbasis sind. + + +\subsection{Existenz von Gröbnerbasen} + +Es fragt sich, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist natürlich +``ja'', denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen. +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/51e021b2ea6647e808203996d4a6d70f76d829d1/Gr\%C3\%B6bnerbasen.ipynb?viewer=share}{Hier + zeige ich an einem Beispiel}, wie man das macht. Vielleicht hätten wir aber +auch gern ein theoretisches Argument. + +\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$. +\end{lem} +\begin{proof} + Der Beweis ist relativ einfach. + \begin{itemize} + \item Falls $f_1, …, f_m$ bereits eine Gröbnerbasis ist, sind wir schon + fertig. + + \item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein + Element $f_{m+1} ∈ I$ mit + $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$ + als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn an. + \end{itemize} + Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen + des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$. Weil der Polynomring aber Noethersch ist, + wird diese Folge nach endlich vielen Schritten stationär. Spätestens an + dieser Stelle ist eine Gröbnerbasis erreicht. +\end{proof} + + +\section{Das Buchberger-Kriterium} + +Lemma~\ref{lem:8-5-7} ist theoretisch beruhigend, aber im Moment praktisch +wertlos. Wir können nicht entscheiden, ob eine gegebene Menge von Erzeugern +eine Gröbnerbasis ist. Schlimmer noch: selbst wenn wissen, dass $f_1, …, f_m$ +\emph{keine} Gröbnerbasis ist, dann haben wir in der Praxis immer noch kein +Verfahren, ein neues Element $f_{m+1}$ zu finden. Das Buchberger-Kriterium löst +diese Probleme für uns. Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome +sprechen. + +\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1} + Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben. + Schreibe + \[ + \ini f = c· x^{A_i} \quad \text{und} \quad \ini g = d·x^{A_j} + \] + und definiere das \emph{$S$-Polynom von $f$ und $g$}\index{$S$-Polynom} als + \[ + S(f,g) := \frac{\kgV(x^{A_i}, x^{A_j})}{c·x^{A_i}}·f - \frac{\kgV(x^{A_i}, + x^{A_j})}{d·x^{A_j}}·g + \] +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + Die $S$-Polynome aus Notation~\ref{not:8-6-1} sind so definiert, dass stets + die Ungleichung $\ini S(f,g) < \kgV( \ini f, \ini g)$ gilt. +\end{beobachtung} + +Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. + +\begin{lem}\label{lem:8-6-2} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome + $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass + es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, so dass die Leitterme der + $g_{•}$ alle von der Form + \[ + \ini g_{•} = b_{•}·x^A + \] + sind, mit $b_{•} ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ + gegeben, sodass bezüglich der Monomordnung die Ungleichung + \begin{equation}\label{eq:8-6-2-1} + \ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A + \end{equation} + gilt. Dann ist $\sum_{i=1}^{r} a_{i} g_{i}$ eine Linearkombination der + $S$-Polynome $S(g_1, g_2)$, $S(g_2, g_3)$, …, $S(g_{r-1}, g_r)$. +\end{lem} +\begin{proof} + Damit die Notation nicht zu aufwändig wird betrachten wir die Polynome + \[ + p_i := + \begin{cases} + \frac{1}{b_i}·g_i & \text{falls } 1 ≤ i ≤ r \\ + 0 & \text{sonst.} + \end{cases} + \] + Die Ungleichung~\eqref{eq:8-6-2-1} bedeutet, dass sich die Leitterme der + Polynome $a_i·g_i$ in der Summe $\sum a_i·g_i$ gerade wegheben. Es gilt also + \begin{equation}\label{eq:8-6-2-2} + \sum_{i=1}^r a_{i} b_{i}=0. + \end{equation} + Damit folgt + \begin{align*} + \sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\ + & = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\ + &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}} + \end{align*} + Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade + \[ + S(g_i,g_j) = \frac{\kgV(x^A, x^A)}{b_i·x^A}·g_i - \frac{\kgV(x^A, + x^A)}{b_j·x^A}·g_j = p_i - p_j, + \] + womit Lemma~\ref{lem:8-6-2} bewiesen ist. +\end{proof} + + +\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1} + In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis + von $M$. + + \item\label{il:8-5-8-2} Für alle $f ∈ M$ ist jeder Rest von $f$ bei Division + durch $f_1, …, f_m$ gleich $0$. + + \item\label{il:8-5-8-3} Für jedes Paar $(i,j)$ von Indizes ist $0$ ein Rest + des $S$-Polynoms $S(f_i, f_j)$ bei Division durch $f_1, …, f_m$. + \end{enumerate} +\end{satz} + + + +\begin{proof}[Beweis des Buchberger-Kriteriums] + --- + + \begin{itemize} + \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}'' wurde in + Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen. + + \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}'' ist leicht, + denn es ist $S_{ij} ∈ M$, so dass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als + Linearkombination der $f_•$ gibt. + + \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}'' ist der + wesentliche Punkt des Beweises. Details gibt es im (sehr langen) + \video{10-1}. Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von + \href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript + von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Bei der praktischen Implementierung des Buchberger-Kriteriums gibt es viel + Spielraum für Optimierungen; so es ist meist nicht unbedingt nötig, wirklich + \emph{alle} Elemente $S_{••}$ zu betrachten. +\end{bemerkung} + + +\section{Der Buchberger-Algorithmus} + +Mithilfe des Buchberger-Kriteriums können wir sehr schnell das im +Algorithmus~\vref{alg:buchberger} angegebene Verfahren zur Bestimmung von +Gröbnerbasen formulieren. Wir beweisen, dass der Algorithmus terminiert und das +gewünschte liefert. + +\begin{algorithm}[t] + \SetAlgoLined + \KwData{Situation~\ref{sit:8-1-1}} + \KwResult{Gröbnerbasis $G$ von $I$} + + \BlankLine + Setze $G := (f_1, …, f_m)$ \; + Setze $S := ∅$ \; + + \BlankLine + \Repeat{$S = ∅$}{ + Setze $S := ∅$ \; + \ForEach{$1 ≤ i ≤ a$}{ + \ForEach{$1 ≤ j < i$}{ + Berechne das Polynom $S_{i,j}$ aus dem Buchberger-Kriterium für die Liste $G$\; + Setze $h := $ Rest von $S_{i,j}$ bei Division durch $G$\; + \If{$h ≠ 0$}{ + Setze $S := S ∪ \{ h\}$\; + } + } + } + Setze $G := G ∪ S$\;\label{lin:buchberger-12} + } + + \caption{Buchberger-Algorithmus} + \label{alg:buchberger} +\end{algorithm} + +\begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus] + Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein + Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. + Auf der anderen Seite wissen nach Definition von ``Divisionsrest'', dass der + Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also + \[ + (\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h). + \] + Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von + Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal + $(\ini g \:: g ∈ G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen + der Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich + oft passieren. +\end{proof} + +\begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus] + Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge + $S$ gleich leer ist. Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen + Divisionsrest hat, der gleich 0 ist. Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies + gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbner-Basis ist. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Der Buchberger-Algorithmus kann als weitreichende Verallgemeinerung des + Gauß-Algorithmus verstanden werden. Er ist heute der Kern von fast allen + Algorithmen der Computeralgebra und spielt auch in wirtschaftlichen + bedeutenden Anwendungen wie etwa der Logikverifikation eine wichtige Rolle. + + Trotz der großen praktischen Bedeutung ist die Komplexität des + Buchberger-Algorithmus kaum verstanden. So sieht man in der Praxis sehr + schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der + Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat. Es scheint, dass + die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet. + Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Es gibt meines + Wissens kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, welche Anordnung + und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist. +\end{bemerkung} + + +\subsection{Beispiel} + +Das folgende Beispiel habe ich aus dem +\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript + des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich +nicht verrechnet und ich habe richtig abgeschrieben. Wir starten mit dem Körper +$ℚ$, dem Polynomring $ℚ[x,y]$ und verwenden die graduiert-lexikografische +Monomordnung. Es sei +\[ + f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x. +\] +Wir wollen eine Gröbner-Basis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu +diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an. + +\paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe +\[ + G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2}) +\] +und berechne +\[ + S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x². +\] +Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den +Divisionsrest, +\[ + S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²). +\] +Also ist $S = \{-x²\}$. + + +\paragraph{Zweiter Schleifendurchgang:} schreibe +\[ + G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2}, \underbrace{-x²}_{= g_3}) +\] +und berechne +\[ + \begin{matrix} + S_{1,2} & = & y·g_1 - x·g_2 & = & -x² \\ + S_{1,3} & = & g_1 + x·g_3 & = & -2·xy \\ + S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x. + \end{matrix} +\] +Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die +Divisionsreste, +\[ + \begin{matrix} + S_{1,2} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 1·g_3 &+& 0 \\ + S_{1,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& (-2·xy) \\ + S_{2,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& (-2·y²+x). + \end{matrix} +\] +Also ist $S = \{-2·xy, -2·y²+x\}$. + + +\paragraph{Dritter Schleifendurchgang:} schreibe +\[ + G = (\underbrace{x³ - 2·xy}_{= g_1}, \underbrace{x²y - 2·y² + x}_{= g_2}, \underbrace{-x²}_{= g_3}, \underbrace{-2·xy}_{= g_4}, \underbrace{-2·y²+x}_{= g_5}) +\] +und berechne +\[ + \begin{matrix} + S_{1,2} & = & y·g_1 - x·g_2 & = & -x² \\ + S_{1,3} & = & g_1 + x·g_3 & = & -2·xy \\ + S_{1,4} & = & y·g_1 + \frac{1}{2}x²·g_4 &=& -2·xy²\\ + S_{1,5} & = & y²·g_1 + \frac{1}{2}x³·g_5 &=& -2·xy³ + \frac{1}{2}·x⁴ \\ + S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x \\ + S_{2,4} & = & g_2 + \frac{1}{2}x·g_4 &=& -2·y²+x\\ + S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\ + S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\ + S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\ + S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x² + \end{matrix} +\] +Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die +Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20} +\[ + \begin{matrix} + S_{1,2} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 1·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ + S_{1,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 1·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ + S_{1,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& y·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ + S_{1,5} & = & \frac{1}{2}x·g_1 &+& 1·g_2 &+& 0·g_3 &+& y²·g_4 &+& (-1)·g_5 &+& 0 \\ + S_{2,3} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 1·g_5 &+& 0 \\ + S_{2,4} & = & 0·g_1 &+& 1·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 1·g_5 &+& 0 \\ + S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\ + S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ + S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ + S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 + \end{matrix} +\] +Voilà! Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine +Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$. +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/d179fd0bf0faf1b0c5e1d4cb0d29774d645b2394/Beispielrechnung\%20Buchberger-Algorithmus.ipynb?viewer=share}{Hier + habe ich das Ergebnis noch einmal mit dem Computer überprüft}. + +\begin{bemerkung} + Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer + überlässt. Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht + offensichtlich wird: der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen, + Näherungslösungen funktionieren nicht! Das wird ein riesiges Problem bei + Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner + und Zähler immer größer und komplizierter. Die Zahlen werden in der Praxis + oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht --- und zwar unabhängig + davon, auf welchem Rechner sie arbeiten! Dieses Problem tritt bei Rechnungen + mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf. +\end{bemerkung} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/09.tex b/09.tex new file mode 100644 index 0000000..080ff12 --- /dev/null +++ b/09.tex @@ -0,0 +1,225 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Ebene Kurven und ihre singulären Punkte} +\label{chap:9} + +\sideremark{Vorlesung 11}Nach dem etwas rechenaufwändigen Kapitel über +Gröbnerbasen möchte ich zurück zur Geometrie. Zu den einfachsten Varietäten +gehören die ebene, algebraischen Kurven. Dies sind algebraische Menge im $𝔸²$, +die sich als Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms schreiben lassen. Dieses +Kapitel orientiert sich an dem Lehrbuch \cite{MR1042981}, wo Sie den Stoff +ebenfalls sehr gut erklärt finden. + +\section{Ebene Kurven} + +Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Gegeben ein Polynom +$f ∈ k[x,y] ∖ \{0 \}$ und ein Skalar $λ ∈ k^*$, dann haben $f$ und $λ·f$ +natürlich dieselbe Nullstellenmenge. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, ebene +algebraische Kurven als \emph{Äquivalenzklassen} von Polynomen zu definieren. + +\begin{defn}[Ebene algebraische Kurve]\label{def:eak} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene + algebraische Kurve über $k$}\index{ebene algebraische Kurve} ist eine + Äquivalenzklasse von Polynomen in $k[x,y] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei Polynome $f$ + und $g$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass $f = λ·g$ ist. +\end{defn} + +\begin{notation} + Damit die Notation nicht allzu kompliziert wird, sagen wir häufig etwas + unkorrekt Sätze von der folgenden Art. + \begin{quote} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine + ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$. + \end{quote} + Ich hoffe, Sie kommen damit klar. Wenn nicht --- dumm gelaufen. +\end{notation} + +In der Vorlesung ``Analysis'' haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in +mehreren Veränderlichen ausführlich diskutiert. Gegeben eine Funktion $f(x,y)$ +auf dem $ℝ²$ und einen Punkt $p$ der Nullstellenmenge, so haben sie im Kapitel +``Der Satz über die implizit definierten Funktionen'' gelernt, dass es einen +riesigen Unterschied macht, ob die partiellen Ableitungen +\[ + \frac{∂f}{∂x}(p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f}{∂y}(p) +\] +beide verschwinden oder nicht. Falls eine der partiellen Ableitungen +\emph{nicht} verschwindet, dann ist die Nullstellenmenge zumindest in der Nähe +von $p$ eine Untermannigfaltigkeit und kann lokal durch die $x$- oder $y$-Werte +parametrisiert werden. + +Überlegen Sie sich anhand der Einheitsparabel, dass der Satz über die implizit +definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (… denn +sonst müsste die Wurzelfunktion algebraisch sein). Die Unterscheidung nach +``gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist'' +und ``schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind'' +funktioniert aber ohne weiteres. + +\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine + ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$. Man + nennt $p$ einen \emph{einfachen Punkt}\index{einfacher Punkt} der Kurve $f$, + wenn + \[ + \frac{∂f}{∂x}(p) ≠ 0 \quad\text{oder}\quad \frac{∂f}{∂y}(p) ≠ 0 + \] + gilt. Nicht-einfache Punkte heißen \emph{singulär}\index{singulärer Punkt}. + Im Fall, wo $k = ℂ$ ist, nennt man einfache Punkte auch + \emph{glatt}\index{glatte Punkte}. +\end{defn} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/09-smooth-and-sing.png} + + \caption{Glatte und singuläre Punkte der Neil'schen Parabel $\{ x³-y² \} $} + \label{fig:gsp} +\end{figure} + +\begin{bsp} + In Abbildung~\ref{fig:gsp} sehen Sie einen glatten und den singulären Punkt + der Neil'schen Parabel. +\end{bsp} + +\begin{bemerkung} + Die Ableitungen aus Definition~\ref{defn:ep} sind wie in der Vorlesung + ``Algebra'' die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten + Rechenregeln für das Ableiten von Polynomen definiert sind und nichts mit den + Grenzwerten aus der Analysis zu tun haben. Wir erinnern uns an die + schlaflosen Nächte des letzten Semesters: falls $k$ ein Körper der positiven + Charakteristik $q$ ist, dann ist + \[ + \frac{∂x^q}{∂x} = q·x^{q-1} = 0. + \] +\end{bemerkung} + +\begin{defn}[Tangentialraum einer Kurve an einfachem Punkt] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine + ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher Punkt + der Kurve $f$. Dann bezeichne die Gerade + \[ + V \left( (y-b)·\frac{∂ f}{∂ y}(P) + (x-a)·\frac{∂ f}{∂ x}(P) \right) + \] + als den \emph{affinen Tangentialraum der Kurve $f$ im Punkt $p$}\index{affiner + Tangentialraum}. +\end{defn} + + +\section{Singuläre Punkte} + +Einfache Punkte sind einfach … aber natürlich auch ein wenig langweilig. Die +erste Frage, die man bei nicht-einfachen Punkten stellen kann ist die, ob wir +ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben. Die ``Multiplizität'' +ist der erste Begriff in dieser Richtung. Der Bequemlichkeit halber definieren +wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt. + +\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine + ebene algebraische Kurve. Dann schreibe $f$ als Summe von homogenen + Polynomen, + \[ + f = f_0 + f_1 + f_2 + … + f_n, + \] + wobei die $f_i$ entweder gleich null oder homogen von Grad $i$ sind. Die Zahl + \[ + m := \min \{ i ∈ ℕ \::\: f_i ≠ 0 \} + \] + wird als \emph{Multiplizität der Kurve $f$ im Nullpunkt}\index{Multiplizität + einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet. Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist + üblich. +\end{defn} + +\begin{beobachtung} + In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} gilt Folgendes. + \begin{itemize} + \item $m = 0 \iff \vec{0} \text{ ist kein Punkt der Kurve }$ + \item $m = 1 \iff \vec{0} \text{ ist ein glatter Punkt der Kurve }$ + \item $m ≥ 2 \iff \vec{0} \text{ ist ein singulärer Punkt der Kurve }$ + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8} + In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} sei $m > 0$. Dann nenne die + Kurve $f_m$ den \emph{Tangentialkegel der Kurve $f$ im + Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}. +\end{defn} + +Wie stellen wir uns den Tangentialkegel einer Kurve vor? Das ist gar nicht so +schwer. Das Polynom $f_m$ ist nämlich homogen und deshalb sehr einfach zu +beschreiben: + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/09-tang-cone.png} + + \caption{Tangentialkegel der Knotenkurve $\{ x³ + x² - y² \}$} + \label{fig:tc} +\end{figure} + +\begin{beobachtung}[Beschreibung des Tangentialkegels] + In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei + $(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0 \}$. Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das + Polynom $f_m$, und der Quotient ist wieder homogen. Nach endlich vielen + Divisionen kann ich $f_m$, die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also + auf eindeutige Weise in der Form + \[ + f_m = p_1^{k_1} ⋯ p_l^{k_l} + \] + schreiben, wobei $p_i$ paarweise verschiedene lineare Polynome sind. Der + affine Tangentialkegel ist also die Vereinigung der Geraden $V(p_•)$. +\end{beobachtung} + +\begin{defn}[Vielfachheiten im Tangentialkegel, gewöhnliche Singularitäten] + In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} werden die Zahlen $k_•$ auch + als \emph{Vielfachheit der Geraden $p_•$ im + Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel} + bezeichnet. Falls alle Vielfachheiten gleich 1 sind, so sagt man, dass + $\vec{0}$ ein \emph{gewöhnlicher Punkt der Kurve $f$}\index{gewöhnliche Punkte + einer ebenen algebraischen Kurve} ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Abbildung~\ref{fig:tc} zeigt die Knotenkurve. Der Nullpunkt ist ein + gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel + $x²-y² = (x+y)·(x-y)$. Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher + singulärer Punkt der Neil'sche Parabel aus Abbildung~\ref{fig:gsp}, denn der + affine Tangentialkegel ist gegeben durch die Gleichung $y²$, die eine Gerade + hat also Multiplizität zwei. +\end{bsp} + + +\subsection{Singularitäten, die nicht der Nullpunkt sind} + +Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine +ebene algebraische Kurve und $p = (a,b)$ sei ein Punkt der Kurve, der aber +vielleicht nicht der Nullpunkt ist. Wie definieren wir dann die Multiplizität +der Kurve $f$ im Punkt $p$ und wie definieren wir den Tangentialkegel? Ganz +einfach: wir machen das, was jedes Kind machen würde: wir verschieben die Kurve +$f$ so, dass der Punkt $p$ unter der Verschiebung zum Nullpunkt wird. Die +verschobene Kurve hat die Gleichung +\begin{equation}\label{eq:9-2-6-1} + g(x,y) := f(x-a, y-b). +\end{equation} +Dann definiere die ``Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$'' einfach +als die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja +schon. Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$ +ist. Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im +Nullpunkt ist, dann verschieben wir zurück und definieren +\[ + f_m(x,y) := g_m(x+a, y+b) +\] +als den affinen Tangentialkegel der Kurve $f$ im Punkt $p$. + +\begin{frage} + Habe ich bei den Verschiebungen wirklich die richtigen Vorzeichen gewählt? + Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich ``$x-a$'' stehen und nicht + etwa ``$x+a$''? Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten? +\end{frage} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/10.tex b/10.tex new file mode 100644 index 0000000..2c43b58 --- /dev/null +++ b/10.tex @@ -0,0 +1,854 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Bruchrechnung} +\label{chap:10} + +\section{Worum geht es?} +\label{sec:11} + +Im letzten Kapitel haben wir einige Eigenschaften von Punkten auf ebenen +algebraischen Kurven kennen gelernt. Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein +Punkt der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes Nahe. + +\begin{itemize} +\item Die Eigenschaft des Punktes, glatt oder singulär zu sein, hat vermutlich + nichts mit der Frage zu tun, wie die Kurven (mit ihrem Punkt) in die Ebene + eingebettet ist. Schlau gesprochen: die geometrische Anschauung legt nahe, + dass Glattheit und Singularität von Punkten intrinsische Eigenschaften der + Kurve und ihres Punktes sind. + +\item Anschaulich ist klar, dass ich die Frage nach der Glattheit oder + Singularität eines Punktes beantworten kann, wenn ich lediglich eine kleine + offene Umgebung des Punktes kenne (``mir egal, wie die Kurve in 10km + Entfernung aussieht''). Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind + ``lokale'' Eigenschaften. +\end{itemize} + + +\subsection{Singularität von Punkten als intrinsische Eigenschaft} + +Wir erinnern uns aus Kapitel~\ref{sec:7-3}, dass die intrinsische Geometrie +vollständig durch den affinen Koordinatenring $A = k[x,y]/(f)$ beschrieben wird. +Im Wörterbuch zwischen Algebra und Geometrie gehört zu dem Punkt $p$ der Kurve +ein maximales Ideal $m_p ⊂ A$. Die Eigenschaft, glatt oder singulär zu sein, +sollte also eine Eigenschaft des Ideals $m_p ⊂ A$ sein. + + +\subsection{Singularität von Punkten als lokale Eigenschaft} + +Lokale Eigenschaften haben wir noch nicht diskutiert, das holen wir jetzt nach. +Dazu ist es nützlich, sich an Abschnitt~\ref{sec:7-1} zu erinnern, wo der affine +Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen (``stetige Funktionen, die +durch Polynome repräsentierbar sind'') eingeführt wurde. Wenn nun der affine +Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen'') die gesamte +intrinsische Geometrie festlegt, dann könnte die lokale Geometrie in der Nähe +des Punktes $p$ durch den Ring der algebraischen Funktionen gegeben sein, die +nur in der Nähe von $p$ definiert sind. Die Frage ist, was dies im Kontext der +algebraischen Geometrie genau bedeuten soll. Antwort: algebraische Funktion, +die ``nur in der Nähe von $p$ definiert sind'', sind rationale Funktionen die +bei $p$ keine Polstelle haben. Was ist eine rationale Funktion? Antwort: +rationale Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von +Elementen des affinen Koordinatenringes. Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo +$a$ und $b$ Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$ +am Punkte $p$ keine Nullstelle hat. + + +\section{Multiplikative Systeme} + +Das Ziel dieses Abschnittes ist, in grober Analogie zur Konstruktion des +Quotientenkörpers eine Art Bruchrechnung für den affinen Koordinatenring (und in +Wirklichkeit gleich für alle möglichen Ringe) einzuführen und zu diskutieren. +Während der Quotientenkörper aus Brüchen besteht, wo als Nenner lediglich die +Null verboten ist, müssen wir hier etwas vorsichtiger sein. + +\begin{defn}[Multiplikatives System] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine Teilmenge $S ⊆ R$ heißt + \emph{multiplikatives System}\index{multiplikatives System}, wenn $1 ∈ S$ ist + und wenn $S$ abgeschlossen unter der Multiplikation ist. Mit anderen Worten: + wenn für alle $f$ und $g ∈ S$ die Inklusion $f·g ∈ S$ gilt. +\end{defn} + +\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2} + Es sei $R$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins. Die folgenden Mengen + sind multiplikative Systeme. + \begin{itemize} + \item Die Menge der Einheiten, also $R^*$. + + \item Es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Dann ist $R∖ p$ ein multiplikatives + System. + + \item Es sei $m_p ⊂ R$ ein maximales Ideal. Dann ist $m_p$ ein Primideal und + $R∖ m_p$ ist ein multiplikatives System. + + \item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element. Dann ist die Menge + $\{ 1, f, f², … \}$ ein multiplikatives System. + \end{itemize} +\end{bsp} + + +\section{Lokalisierung von Ringen} + +Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft. In späteren Anwendungen +ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und +$m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann +die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine +Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. +Bei der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also ``rationale +Funktionen'' der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des +multiplikativen Systems $R ∖ m_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt +präzise, was passiert. + +\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Ringen]\label{kons:loc} + \index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins + und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Dann betrachte die folgende + Relation auf $R ⨯ S$, + \begin{equation}\label{eq:10-3-1-1} + (a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad + ∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0 + \end{equation} + Rechnen Sie nach, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt! + Wie üblich bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von $(a, α)$ mit $\frac{a}{α}$. + Der Quotient wird mit $S^{-1}R$ bezeichnet. + + Als nächstes versehen wir $S^{-1}R$ mit der Struktur eines Ringes. Dazu + werden Addition und Multiplikation auf $S^{-1}R$ wie üblich auf + Repräsentantenniveau definiert. Gegeben Brüche $\frac{a}{α}$ und + $\frac{b}{β}$ aus $S^{-1}R$, so definieren wir + \[ + \begin{matrix} + \frac{a}{α} &+& \frac{b}{β} & := & \frac{a β + b α}{α β}\\ + \frac{a}{α} &·& \frac{b}{β} & := & \frac{ab}{α β}. + \end{matrix} + \] + Man rechne nach, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist, dass dies eine + Ringstruktur auf $S^{-1}R$ liefert, sodass die Abbildung + \[ + φ : R → S^{-1}R,\quad a ↦ \frac{a}{1} + \] + ein Ringmorphismus ist. +\end{konstruktion} + +\begin{frage} + Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Relation~\eqref{eq:10-3-1-1} + komplizierter ist als die Relation, die Sie bei der Konstruktion des + Quotientenkörpers kennen gelernt haben, denn dort war + \[ + (a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad + (aβ - b α) = 0. + \] + Es stellt sich (=ich stelle Ihnen) die Frage, warum die zusätzliche + Komplikation mit $∃ s…$ eigentlich notwendig ist. Tipp: Niemand von uns hat + die Absicht, jemals durch null zu dividieren. Aber Ringe können leider auch + Nullteiler enthalten! +\end{frage} + +Genau wie der Quotientenkörper ist die Lokalisierung eines Ringes eindeutig +durch eine universelle Eigenschaft gegeben. Weil wir die universellen +Eigenschaften in der Vorlesung ``Algebra'' zu genüge diskutiert haben, spare ich +mir die Details und den Beweis und gebe die Eigenschaft einfach an. + +\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus + $γ : R → T$ gegeben, so dass $γ(S) ⊂ T^*$ ist. Dann existiert genau ein + Morphismus $ν :S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert, + \[ + \begin{tikzcd} + R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & {S^{-1}R} \ar[d, "ν"] \\ + R \ar[r, "γ"'] & T + \end{tikzcd} + \eqno\qed + \] +\end{prop} + +\begin{bemerkung} + Es ist kein Hexenwerk, die Abbildung $ν$ aus Proposition~\ref{prop:10-3-3} + anzugeben: + \[ + ν \left(\frac{a}{α}\right) = γ(a)· γ(α)^{-1}. + \] +\end{bemerkung} + +\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem + multiplikativen System $S := R ∖ p$. Dann wird die Lokalisierung $S^{-1} R$ + auch häufig mit $R_p$ bezeichnet. +\end{notation} + + +\subsection{Erste Eigenschaften} + +Beobachten Sie: In Konstruktion~\ref{kons:loc} ist $φ(1)$ ein neutrales Element +der Multiplikation im Ring $S^{-1}R$. Also ist $S^{-1}R$ entweder der Nullring +oder ein kommutativer Ring mit 1, nämlich $1_{S^{-1}R} = \frac{1}{1}$. Finden +Sie ein Beispiel, wo $S^{-1}R$ tatsächlich der Nullring ist! Das folgende Lemma +kann helfen. + +\begin{lem} + In Konstruktion~\ref{kons:loc} ist + \[ + \ker(φ) = \{ r ∈ R \::\: ∃ s ∈ S: s· r = 0 \}. + \] +\end{lem} +\begin{proof} + Gegeben ein Element $r ∈ R$, dann sind folgende Aussagen äquivalent: + \[ + r ∈ \ker(φ) \iff \frac{r}{1} = \frac{0}{1} \iff ∃ s ∈ S: s·(r·1-0·1) = 0. + \qedhere + \] +\end{proof} + +\begin{lem} + In Konstruktion~\ref{kons:loc} sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$ + + \item\label{il:10-3-6-2} Es ist $0 ∈ S$. + + \item\label{il:10-3-6-3} Die Menge $S$ enthält nilpotente Elemente. + \end{enumerate} +\end{lem} + +\begin{proof} + --- + + \begin{description} + \item[\ref{il:10-3-6-1} $⇒$ \ref{il:10-3-6-2}] Sei $S^{-1}R = 0$. Dann ist + $\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit + $s · 1 = 0$. Also ist $0 ∈ S$. + + \item[\ref{il:10-3-6-2} $⇒$ \ref{il:10-3-6-3}] Klar, denn 0 ist ein + nilpotentes Element. + + \item[\ref{il:10-3-6-3} $⇒$ \ref{il:10-3-6-1}] Sei $s ∈ S$ ein nilpotentes + Element. Es existiert also eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass $s^n = 0$ ist. Es + folgt: $0 ∈ S$, und je zwei Brüche sind immer äquivalent. Insbesondere ist + \[ + S^{-1}R = \left\{ \frac{0}{1} \right\}. \qedhere + \] + \end{description} +\end{proof} + + +\section{Lokalisierung von Moduln} + +Unser nächstes Ziel ist es, Ideale im Ring $R$ und im lokalisierten Ring +$S^{-1}R$ zu vergleichen. Es lohnt sich aber, gleich ein wenig allgemeiner zu +arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln. +\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Sie erinnern sich doch + daran, was ein Modul ist?} Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein +Vektorraum, aber nicht über einem Körper sondern über einem Ring. Die +Lokalisierung eines Moduls geht genau so wie die Lokalisierung eines Ringes: wir +betrachten Brüche, wo oben Modulelemente stehen und unten Elemente des +multiplikativen Systems. + +\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM} + \index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins + und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul + (zum Beispiel ein Ideal). Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$, + \begin{equation}\label{eq:10-3-1-1M} + (a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad + ∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0 + \end{equation} + Rechnen Sie nach, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt! + Wie üblich bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von $(a, α)$ mit $\frac{a}{α}$. + Der Quotient wird mit $S^{-1}A$ bezeichnet. + + Als nächstes versehen wir $S^{-1}A$ mit der Struktur eines Moduls über dem + Ring $S^{-1}R$. Dazu werden Addition und skalare Multiplikation wie üblich + auf Repräsentantenniveau definiert. Gegeben Brüche $\frac{a}{α}$ und + $\frac{b}{β}$ aus $S^{-1}A$ und $\frac{r}{s}$ aus $S^{-1}R$, so definieren wir + \[ + \begin{matrix} + \frac{a}{α} &+& \frac{b}{β} & := & \frac{a β + b α}{α β}\\ + \frac{r}{s} &·& \frac{b}{β} & := & \frac{r·b}{α β}. + \end{matrix} + \] + Man rechne nach, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist, dass dies eine + Modulstruktur auf $S^{-1}A$ liefert. +\end{konstruktion} + +\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2} + Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potential für Verwirrung. + Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul. Wenn ich jetzt + $S^{-1} R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus + Konstruktion~\ref{kons:loc} oder die Lokalisierung des $R$-Moduls aus + Konstruktion~\ref{kons:locM}? Gute Nachricht: es macht keinen Unterschied. + Rechnen Sie nach, dass die beiden Konstruktion in diesem Fall schlicht + identisch sind. + + Rechnen Sie auch nach, dass zweimal Lokalisieren nichts ändert. Genauer + gesagt, es gibt einen kanonischen Isomorphismus $S^{-1}S^{-1}A ≅ S^{-1}A$. +\end{bemerkung} + +Natürlich ist auch die Lokalisierung von Moduln durch universelle Eigenschaften +bestimmt, aber ich verzichte hier auf eine große Diskussion. Stattdessen möchte +ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen. + +\begin{beobachtung}[Lokalisierung von Moduln ist funktoriell] + \index{Lokalisierung!von Modulmorphismus}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit + Eins und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $α : A → B$ + ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann erhalte ich eine Abbildung zwischen den + lokalisierten Moduln, durch + \[ + S^{-1}α : S^{-1} A → S^{-1} B, \quad \frac{a}{s} ↦ \frac{α(a)}{s}. + \] + Rechnen Sie nach, dass diese ``Definition auf Repräsentantenniveau'' + tatsächlich wohldefiniert ist. Gegeben einen weiteren Modulmorphismus + $β : B → C$, so rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung + \[ + S^{-1}(β◦α) = \left(S^{-1}β\right) ◦ \left(S^{-1} α\right) + \] + gilt. Der Mathematiker fasst die Aussage ``Morphismen von Moduln induzieren + in kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und + Weise, die mit der Komposition verträglich ist'' kurz zusammen und sagt: + ``Lokalisierung ist funktoriell''. +\end{beobachtung} + +\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem + multiplikativen System $S := R ∖ p$. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul. Dann wird + die Lokalisierung $S^{-1} A$ auch häufig mit $A_p$ bezeichnet. Gegeben einen + Morphismus von $R$-Moduln, $α : A → B$, dann wird die Lokalisierung $S^{-1} α$ + auch häufig mit $α_p$ bezeichnet. +\end{notation} + + +\subsection{Exaktheit} + +\subsubsection{Exakte Sequenzen -- Teile und Herrsche} + +In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' haben Sie exakte Sequenzen kennen gelernt, +aber vielleicht nicht gemocht. Jetzt ist es an der Zeit, die exakt Sequenz +lieben zu lernen. Ich wiederhole kurz, worum es geht: Gegeben einen Ring $R$, +dann nenne eine (endliche oder unendliche) Folge von Modulmorphismen +\[ + ⋯ \xrightarrow{α_{n-1}} A_{n-1} \xrightarrow{α_n} A_n \xrightarrow{α_{n+1}} + A_{n+1} \xrightarrow{α_{n+2}} ⋯ +\] +exakt, wenn für jeden Index $i$ die Gleichung $\img α_i = \ker α_{i+1}$ gilt. + +\begin{beobachtung} + Es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann kann man Injektivität + und Surjektivität von $α$ mit Hilfe von exakten Sequenzen ausdrücken. + \begin{itemize} + \item Der Morphismus $α$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker α = \{0\}$ ist. + Dies ist genau dann der Fall, wenn die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$ + exakt ist. Dabei ist der erste Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was + sonst. + + \item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz + $A \xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist. Dabei ist der letzte Pfeil + logischerweise die Nullabbildung, was sonst. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +Wir interessieren uns besonders für \emph{kurze exakte Sequenzen}. Das sind +exakte Sequenzen der folgenden Form, +\begin{equation}\label{eq:kes} + 0 → A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C → 0. +\end{equation} +Dabei ist der erste und der letzte Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was +sonst. + +\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6} + Die Aussage ``Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt'' besagt genau die + folgenden drei Dinge. + \begin{itemize} + \item Der Morphismus $α$ ist injektiv. + + \item Es gilt $\img α = \ker β$. + + \item Der Morphismus $β$ ist surjektiv. + \end{itemize} + Insbesondere gilt in diesem Kontext die folgenden Aussagen. + \begin{itemize} + \item Der Modul $A$ ist isomorph zu $\ker β$. + + \item Der Modul $C$ ist isomorph zu $\coker α$. Wenn ich $A$ mithilfe der + injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse dann ist $C$ also + isomorph zum Quotientenmodul $B/A$. + \end{itemize} +\end{beobachtung} + +Wenn Sie normal sind, haben Sie sich sicher schon länger gefragt, warum ältere +Professoren auf exakte Sequenzen abfahren. Der Grund: viele Moduln sind echt +schwer zu verstehen. Wenn mir das Leben einen Modul $B$ gibt, dann suche ich +eine exakte Sequenz wie in \eqref{eq:kes}, in der Hoffnung, dass die Moduln $A$ +und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind. Das Zerlegt mein +Problem ``verstehe den Modul $B$'' in drei Teilaufgaben. +\begin{itemize} +\item Verstehe den kleineren Modul $A$. + +\item Verstehe den kleineren Modul $C$. + +\item Verstehe, wie sich der Modul $B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ + zusammensetzt. Mit anderen Worten: verstehe die kurze exakte Sequenz + \eqref{eq:kes}. +\end{itemize} + +Finden Sie diese Strategie überzeugend? Vielleicht nicht. Sie haben nämlich +vermutlich noch kein Beispiel gesehen, wo man mit dieser Strategie wirklich +etwas bewiesen hätte. Dafür gibt es einen guten Grund: Sie haben sich bislang +vermutlich weniger für Moduln, sondern meistens nur für Vektorräume +interessiert. Wenn aber \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von +Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage ``Wie setzt sich der Modul +$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant. + +\begin{warnung} + Wenn \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von Moduln ist, dann ist es im + Allgemeinen überhaupt nicht richtig, dass $B$ isomorph zu $A⊕C$ ist. Die + Frage, welche Moduln in der Mitte einer exakten Sequenz der Form + \eqref{eq:kes} stehen können, ist ziemlich interessant. +\end{warnung} + + +\subsubsection{Exaktheit des Lokalisierungsfunktors} + +\sideremark{Vorlesung 12}Ich verspreche Ihnen, dass wir später in dieser +Vorlesung interessante exakte Sequenzen sehen werden. Im Moment geht es aber um +die Lokalisierung von Moduln. Der wesentliche Punkt: Lokalisierung bildet +exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab. Der Mathematiker sagt ``Lokalisierung +ist ein exakter Funktor''. + +\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7} + Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei + \[ + A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C + \] + eine exakte Sequenz von $R$-Moduln. Dann ist auch die Sequenz + \[ + S^{-1}A \xrightarrow{S^{-1}α} S^{-1}B \xrightarrow{S^{-1}β} S^{-1}C + \] + exakt. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{12-1} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge + drei. Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage + ziemlich schnell auch für exakte Sequenzen beliebiger Länge --- unendlich + lange Sequenzen sind ebenfalls erlaubt. +\end{bemerkung} + +\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7} + Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei + $α : A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln. + \begin{itemize} + \item Wenn $α$ injektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ injektiv. + + \item Wenn $α$ surjektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ surjektiv. + \end{itemize} +\end{kor} +\begin{proof} + Nach Beobachtung~\ref{beo:10-4-6} und Satz~\ref{satz:10-4-7} gelten folgende + Äquivalenzen. + \begin{align*} + \text{Die Abbildung $α$ ist injektiv.} & ⇔ \text{Die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$ ist exakt.} \\ + & ⇒ \text{Die Sequenz $S^{-1}0 → S^{-1}A \xrightarrow{S^{-1} α} S^{-1}B$ ist exakt.} \\ + & ⇔ \text{Die Abbildung $S^{-1} α$ ist injektiv.} + \end{align*} + Der Beweis für Surjektivität geht analog. +\end{proof} + +Gegeben einen $R$-Modul $B$ und einen Untermodul $A ⊂ B$, dann erlaubt +Korollar~\ref{kor:10-4-7}, den lokalisierten Modul $S^{-1}A$ als Untermodul von +$S^{-1}B$ aufzufassen. Damit ist das folgende Korollar sinnvoll. + +\begin{kor} + Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei$M$ + ein $R$-Modul mit Untermoduln $N$ und $P ⊂ M$. Dann gilt folgendes. + \begin{enumerate} + \item Es ist $S^{-1}(N+P) = (S^{-1}N) + (S^{-1}P)$. + + \item Es ist $S^{-1}(N ∩ P) = (S^{-1}N) ∩ (S^{-1}P)$. + + \item\label{il:10-4-8-3} Es ist $S^{-1}(M/N) = (S^{-1} M) / (S^{-1} N)$. + \end{enumerate} +\end{kor} +\begin{proof} + Ich bin faul und beweise nur \ref{il:10-4-8-3}. Betrachte dazu die exakte + Sequenz + \[ + 0 → N \xrightarrow{\text{Inklusion}} M + \xrightarrow{\text{Projektion}} M/N → 0. + \] + Dann ist + \[ + \underbrace{S^{-1}0}_{ = 0} → S^{-1}N + \xrightarrow{S^{-1}\text{Inklusion}} S^{-1}M \xrightarrow{S^{-1}\text{Projektion}} + S^{-1}(M/N) → \underbrace{S^{-1}0}_{ = 0} + \] + ebenfalls exakt. Also ist $S^{-1}(M/N)$ nach Beobachtung~\ref{beo:10-4-6} + isomorph zum Quotienten $(S^{-1}M) / (S^{-1}N)$. +\end{proof} + + +\section{Lokale Eigenschaften von Moduln und von Morphismen} + +Gegeben sei ein Ring $R$ und es sei $A$ ein $R$-Modul. Wenn $A$ der Nullmodul +ist, dann ist natürlich auch jede Lokalisierung nach jedem Primideal der +Nullmodul. Interessanterweise gilt auch die Umkehrung. + +\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $M$ ein $R$-Modul. Dann sind die folgenden + Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:10-4-10-1} Es ist $M = 0$. + + \item\label{il:10-4-10-2} Für jedes Primideal $p ⊂ R$ ist $M_p = 0$. + + \item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist + $M_m = 0$. + \end{enumerate} +\end{lem} +\begin{proof} + Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu + zeigen. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$ + ist, dass aber alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind. Wähle dann + ein Element $x ∈ M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge + \[ + \operatorname{Ass}(x) = \{ r ∈ R \::\: r·x = 0 \} ⊂ R. + \] + Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das ``zu $x$ assoziierte Ideal'' + bezeichnet wird. Blutrünstige Kollegen sprechen gern vom + \href{https://www.youtube.com/watch?v=qTUL-mpov78}{Assassinator-Ideal}, weil + $\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$ + ``killen''. Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort + $1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$. Also können wir ein maximales Ideal wählen + $m$, das $\operatorname{Ass}(x)$ enthält, + \[ + \operatorname{Ass}(x) ⊂ m ⊊ R. + \] + Per Annahme ist $M_m = 0$, und also ist + \[ + \frac{0}{1} = \frac{x}{1} ∈ M_m. + \] + Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R ∖ m$ existiert, + sodass $s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist. Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und + also ist $s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von + $s ∈ R ∖ m ⊂ R ∖ \operatorname{Ass}(x)$. +\end{proof} + +In der Fachsprache sagt man, die Eigenschaft eines Moduls, der Nullmodul zu +sein, ist eine lokale Eigenschaft. + +\begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Moduln] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Moduln. Nenne $E$ + eine \emph{lokale Eigenschaft}\index{lokale Eigenschaft!von Moduln}, wenn für + jeden $R$-Modul $M$ die folgenden Aussagen äquivalent sind. + \begin{itemize} + \item Der Modul $M$ hat Eigenschaft $E$. + + \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der Modul $M_p$ hat Eigenschaft + $E$. + \end{itemize} +\end{defn} + +Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen. + +\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von + $R$-Moduln. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:10-5-3-1} Die Abbildung $α$ ist injektiv. + + \item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: die Abbildung + $α_p$ ist injektiv. + + \item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: die + Abbildung $α_m$ ist injektiv. + \end{enumerate} + Analoge Äquivalenzen gelten auch für Surjektivität. +\end{kor} +\begin{proof} + Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3} + $⇒$ \ref{il:10-5-3-1} zu zeigen. Wir nehmen also an, dass für jedes + maximale Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist. + + Als nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln, + \begin{equation}\label{eq:10-5-3-4} + 0 → \ker(α) → A \xrightarrow{α} B. + \end{equation} + Rechnen Sie nach, dass diese Sequenz exakt ist! Ich will zeigen, dass + $\ker(α) = 0$. Nach Lemma~\ref{lem:10-4-10} ist dies gleichbedeutend dazu, + dass für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ die Gleichheit $(\ker(α))_m = 0$ gilt. + Sei also ein maximales Ideal $m ⊂ R$ gegeben! Dann wende die + Lokalisierungskonstruktion auf die Sequenz~\eqref{eq:10-5-3-4} an und erhalte + eine neue Sequenz, + \begin{equation}\label{eq:10-5-3-5} + 0_m → (ker(α))_m → A_m \xrightarrow{α_m} B_m, + \end{equation} + die nach Satz~\ref{satz:10-4-7} ebenfalls exakt ist. Aus der Exaktheit von + \eqref{eq:10-5-3-5} folgt aber, dass $(\ker(α))_m = \ker(α_m)$ ist. Per + Annahme ist $α_m$ aber injektiv und deshalb ist $(\ker(α))_m = 0$. +\end{proof} + +Korollar~\ref{kor:10-5-3} sagt, das Injektivität und Surjektivität lokale +Eigenschaften von $R$-Modulmorphismen sind. + +\begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Modulmorphismen] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Modulmorphismen. + Nenne $E$ eine \emph{lokale Eigenschaft}\index{lokale Eigenschaft!von + Modulmorphismen}, wenn für jeden $R$-Modulmorphismus $α$ die folgenden + Aussagen äquivalent sind. + \begin{itemize} + \item Der $R$-Modulmorphismus $α$ hat Eigenschaft $E$. + + \item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat + Eigenschaft $E$. + \end{itemize} +\end{defn} + + +\section{Ideale} + +Nun möchte ich noch untersuchen, wie die Mengen der Ideale im Ring $R$ und im +lokalisierten Ring $S^{-1}R$ zusammenhängen. Bevor es losgeht, erinnere ich an +zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung. + +\begin{lem}[Urbilder von Idealen] + Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $I ⊂ T$ ein Ideal. Dann ist + die Urbildmenge $γ^{-1}(I)$ ein Ideal in $R$. Falls das Ideal $I$ zusätzlich + prim ist, dann ist auch $γ^{-1}(I)$ ein Primideal. \qed +\end{lem} + +\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2} + Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $J ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist + im Allgemeinen weder die Bildmenge $γ(J)$ noch die Menge + \[ + γ(J)·T := \{ a·b \::\: a ∈ γ(J) \text{ und } b ∈ T \} + \] + ein Ideal in $T$. \qed +\end{nlemma} + +Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar. + +\begin{lem}\label{lem:10-6-3} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von + Ringen'') sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist + \begin{equation}\label{eq:10-6-3-1} + φ(I)·S^{-1}R = \left\{ \frac{a}{b} ∈ S^{-1}R \::\: a ∈ I, b ∈ S + \right\}. + \end{equation} + Insbesondere ist die diesem Fall die Menge $φ(I)·S^{-1}R$ sehr wohl ein Ideal + in $S^{-1}R$. +\end{lem} +\begin{proof} + Die Inklusion ``$⊃$'' ist klar. Um die Inklusion ``$⊂$'' zu zeigen, sei ein + Element + \[ + \frac{α}{β} ∈ φ(I)·S^{-1}R + \] + gegeben. Per Definition von $φ(I)·S^{-1}R$ bedeutet das: es existieren + Elemente $a ∈ I$ und $\frac{r}{s} ∈ S^{-1}R$, sodass die Gleichung + \[ + \frac{α}{β} = \frac{a}{1}·\frac{r}{s} = \frac{a·r}{s} + \] + gilt. Da $I$ ein Ideal ist, ist $a·r ∈ I$ und die Aussage folgt. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potential für Verwirrung, denn + das Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich auch ein $R$-Modul und die rechte Seite von + Gleichung~\eqref{eq:10-6-3-1} erinnert an $S^{-1}I$, die Lokalisierung von $I$ + als $R$-Modul. Das ist natürlich kein Zufall, und ich möchte die Details noch + einmal genau diskutieren. Sei also $ι : I → R$ die Inklusionsabbildung; dies + ist ein Morphismus von $R$-Moduln. Lokalisierung von $R$-Moduln liefert uns + eine neue Abbildung, + \[ + S^{-1}ι : S^{-1}I → S^{-1}R, + \] + die nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} wieder injektiv ist. Erinnern Sie sich + dazu an Bemerkung~\ref{bem:10-4-2}: Es macht keinen Unterschied, ob wir $R$ + als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren. Rechnen Sie als nächstes nach, dass + das Bild der injektiven Abbildung $S^{-1}ι$ genau die Menge $φ(I)·S^{-1}R$ + ist. Die Abbildung $S^{-1}ι$ identifiziert daher die Mengen $S^{-1}I$ und + $φ(I)·S^{-1}R$. +\end{bemerkung} + +\begin{notation} + In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-6-3} werden wir das Ideal + $φ(I)·S^{-1} R ⊂ S^{-1} R$ von nun an häufig mit $S^{-1}I$ notieren. +\end{notation} + +\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von + Ringen'') gilt folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{il:10-6-6-1} Alle Ideale in $S^{-1}R$ sind von der Form $S^{-1}I$ + für ein Ideal $I ⊂ R$. Genauer: für jedes Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ gilt die + Gleichung + \[ + J = S^{-1} φ^{-1}(J). + \] + + \item Für jedes Ideal $I ⊂ R$ ist + \[ + φ^{-1}\left(S^{-1}I\right) = \{ r ∈ R \::\: ∃ s ∈ S : r·s ∈ I \}. + \] + + \item\label{il:10-6-6-3} Ein Ideal $I ⊂ R$ ist genau dann von der Form + $φ^{-1}(J)$, wenn die folgende Gleichheit gilt + \[ + I = \{ r ∈ R \::\: ∃ s∈S: r·s ∈ I \}. + \] + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{12-2} +\end{proof} + +\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von + Ringen'') liefert die Abbildung + \[ + η: \left\{\text{ Ideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{\text{ Ideale in $R$ } + \right\}, \quad J ↦ φ^{-1}(J) + \] + eine Bijektion + \[ + \left\{ \text{ Primideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{ \text{ + Primideale $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ } \right\}. + \] +\end{kor} +\begin{proof} + Zuerst müssen wir zeigen, dass für jedes Primideal $J ⊂ S^{-1}R$ das Urbild + $φ^{-1}(J)$ zu $S$ disjunkt ist. Das geht mit einem Widerspruchsbeweis. + Angenommen, es gäbe ein $s ∈ φ^{-1}(J)∩ S$. Per Definition der Abbildung $φ$ + ist dann $\frac{s}{1} ∈ J$, also $\frac{1}{1} = \frac{s}{1}·\frac{1}{s} ∈ J$ + und es folgt $J = S^{-1}R$ Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$ prim + ist. + + Die Abbildung $η$ ist offensichtlich injektiv. Also ist nur noch zu zeigen, + dass jedes Primideal $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ bereits Urbild eines Primideals + in $J ⊂ S^{-1}R$ ist. Sei also ein solches Ideal $I$ gegeben. Um $J$ zu + finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element + $r ∈ R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$ + logischerweise nicht in $I$. Auf der anderen Seite ist $I$ per Annahme ein + Primideal, so dass $r ∈ I$ sein muss. Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} liefert uns + also ein Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ mit $I = φ^{-1}(J)$. Nach \ref{il:10-6-6-1} + wissen wir sogar ganz genau, was $J$ ist, nämlich $S^{-1}I$. + + Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass das gefundene Ideal $J$ tatsächlich ein + Primideal ist. Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und + $\frac{c}{d} ∈ S^{-1}R$ gegeben, sodass + \[ + \frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} ∈ J = S^{-1}I + \] + ist. Nach Lemma~\ref{lem:10-6-3} bedeutet das: + \[ + ∃ α ∈ I: ∃ β ∈ S: \frac{α}{β} = \frac{ac}{bd}. + \] + Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: es existiert ein Element + $u ∈ S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$. Es folgt also + \[ + ac\underbrace{β u}_{∈ S} = α·bdu ∈ I \text{ da } α ∈ I. + \] + Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$. Also ist + $a ∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder + $\frac{c}{d} ∈ I$. Was zu zeigen war. +\end{proof} + +\begin{kor} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von + Ringen'') sei $R$ Noethersch. Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch. +\end{kor} +\begin{proof} + Es sei $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ eine aufsteigende Kette von Idealen in $S^{-1}R$. + Betrachte die Kette $φ^{-1}(I_1) ⊂ φ^{-1}(I_2) ⊂ ⋯$. Das ist eine + aufsteigende Kette von Idealen in $R$. Weil der Ring $R$ per Annahme + Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit anderen Worten: es existiert + ein Index $n ∈ ℕ$, sodass $φ^{-1}(I_n) = φ^{-1}(I_{n+1}) = ⋯$ ist. Nach + Aussage~\ref{il:10-6-6-1} von Satz~\ref{satz:10-6-6} ist dann aber + \[ + \underbrace{S^{-1} φ^{-1}(I_n)}_{= I_n} = \underbrace{S^{-1} + φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯ + \] + Also wird bereits die aufsteigende Kette $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ stationär. +\end{proof} + +\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9} + In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von + Ringen'') sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein + Primideal $p ⊂ R$. Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal, + nämlich $p·R_p = S^{-1}p$. +\end{kor} +\begin{proof} + Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal, + welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R ∖ S = R ∖ (R ∖ p) = p$ enthalten + ist. Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. + Mit anderen Worten: $m = p · R_p$. +\end{proof} + + +\section{Lokale Ringe} + +Die Lokalisierung eines Ringes ist natürlich eine sehr wichtige Konstruktion. +Sie ist so wichtig, dass die Ringe, die man dabei erhält, einen eigenen Namen +bekommen. + +\begin{defn}[Lokaler Ring, Restklassenkörper] + Ein \emph{lokaler Ring}\index{lokaler Ring} ist ein kommutativer Ring mit + Eins, der genau ein maximales Ideal enthält. Wenn $R$ ein lokaler Ring mit + maximalem Ideal $m$ ist, dann wird der Körper $R/m$ als + \emph{Restklassenkörper}\index{Restklassenkörper} bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Es sei $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal. Wir haben in + Korollar~\ref{kor:10-6-9} gesehen, dass $R_p$ ein lokaler Ring mit maximalen + Ideal $p·R_p$ ist. Rechnen Sie nach, dass der Restklassenkörper $R_p/p·R_p$ + exakt der Quotientenkörper des Integritätsringes $R/p$ ist! +\end{bsp} + +\begin{satz}[Charakterisierung von lokalen Ringen] + Es sei $R$ ein Ring und es sei $m ⊊ R$ ein maximales Ideal. Dann sind die + folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:10-7-2-1} Der Ring $R$ ist ein lokaler Ring. + + \item\label{il:10-7-2-2} Jedes Element aus $R∖m$ ist eine Einheit. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + --- + + \begin{description} + \item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und + $f ∈ R$ sei keine Einheit. Dann ist $(f) ≠ R$. Also ist $(f)$ in einem + (dem einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$. Also ist + $f ∈ m$. + + \item[\ref{il:10-7-2-2} $⇒$ \ref{il:10-7-2-1}] Sei $I ⊊ R$ ein beliebiges + Ideal. Dann gilt für jedes Element $x ∈ I$, dass $x \not ∈ R^*$ (denn sonst + wäre $I = R$). Also ist $I ⊂ m$. Also ist $m$ das einzige maximale Ideal. + \qedhere + \end{description} +\end{proof} + +Wir enden mit dem brühmten ``Lemma von Nakayama''. Dies ist ein Kriterium, mit +dem man später in geometrisch relevanten Situationen zeigen kann, dass ein +gegebener Modul über einem lokalen Ring verschwindet. Über das Lemma von +Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich kurz +fassen denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie. + +\begin{lem}[Lemma von Nakayama] + Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $m$. Weiter sei $M$ ein endlich + erzeugter $R$-Modul. Betrachte die Menge + \[ + m · M = \{ a · b ∈ M \::\: a ∈ m, b ∈ M \}. + \] + Falls $m · M = M$ ist, dann ist $M = 0$. +\end{lem} +\begin{proof} + \video{12-3} +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/11.tex b/11.tex new file mode 100644 index 0000000..8dd51fc --- /dev/null +++ b/11.tex @@ -0,0 +1,222 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Lokale Ringe und Multiplizität von Punkten} + +\sideremark{Vorlesung 13}In diesem Kapitel möchte ich die Geometrie aus +Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von +Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die +folgende Situation. + +\begin{situation}\label{sit:11-1} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine + ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve. +\end{situation} + +\begin{notation} + In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der + Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal + $m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die + Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach + Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen + wir mit $m_p$. +\end{notation} + + +\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität} + +Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe +``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere, +dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann. + +\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3} + In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ ℕ$, sodass für alle + natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt, + \begin{equation}\label{eq:11-0-3-1} + \mult_p(f) = \dim_k \Bigl(\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}\Bigr). + \end{equation} +\end{satz} + +\begin{erkl} + Die rechte Seite der Gleichung~\eqref{eq:11-0-3-1} ist vielleicht + erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt, + beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben, + \[ + m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯ + \] + In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und + $m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$ + natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient + $\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen + und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir + natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante + Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes + Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise + fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf. + Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es + sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren. +\end{erkl} + +\begin{bemerkung} + Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11} + angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine + Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen + Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische + Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum + eingebettet ist! +\end{bemerkung} + +Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma +wird dabei helfen. + +\begin{lem}\label{lem:11-1-4} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein + Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das + maximale Ideal des $0$-Punktes, + \[ + m := (x,y) ⊊ \factor{k[x,y]}{I} =: R. + \] + Dann ist die Lokalisierungsabbildung $φ : R → R_m$ ein Isomorphismus von + $R$-Moduln. +\end{lem} +\begin{proof} + \video{13-1} +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:11-0-3}] + \video{13-2} +\end{proof} + + +\subsection{Glatte Punkte und diskrete Bewertungsringe} + +\begin{satzdef} + Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein + Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal + $m ⊂ R$ ist ein Hauptideal. + + \item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes + $z ∈ R ∖ \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$ + besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ ℕ$ ist. + \end{enumerate} + Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten + Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in + \ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende + Parameter}\index{uniformisierender Parameter}. +\end{satzdef} +\begin{proof} + \video{13-3} +\end{proof} + +Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen +selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht. +Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''. + +\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers] + Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete + Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K∖ \{ 0 \} → ℤ$, dass für alle + $x,y ∈ k ∖ \{ 0 \}$ folgendes gilt. + \begin{itemize} + \item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$. + + \item Es ist $ν(x + y) ≥ \min \bigl\{ ν(x), ν(y) \bigr\}$. + \end{itemize} +\end{defn} + +\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6} + Wir betrachten den Körper $ℂ(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable + und wählen einen Punkt $p ∈ ℂ$. Dann definiere eine diskrete Bewertung des + Körpers $ℂ(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x) ∈ ℂ(x)$, + setze + \[ + ν(q) := + \begin{cases} + n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Nullstelle von Ordnung $n$ hat} \\ + -n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Polstelle von Ordnung $n$ hat} \\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} + \] +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $ℚ$] + Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl + $n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die + $p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der + Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den + Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element + $q = \frac{a}{b} ∈ ℚ$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach, + dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $ℚ$ ist. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8} + Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist, + dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch + \[ + ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) - + (Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}. + \] + Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine + positive Bewertung haben. +\end{bsp} + +\begin{aufgabe} + Wie ändert in Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} die Bewertung, wenn ich einen anderen + uniformisierenden Parameter wähle? +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Erkennen Sie, dass Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} ein Spezialfall von + Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} ist? Welcher Ring übernimmt in + Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} die Rolle von $R$ und welches Element von $R$ ist + für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet. +\end{aufgabe} + +\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10} + In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen + äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring. + + \item Es ist $\mult_p(f) = 1$. Mit anderen Worten: $p$ ist ein einfacher + Punkt der Kurve. +\end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{13-4} +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch + etwas mehr: Sei $ℓ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad + 1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $ℓ$ in $p$ \emph{keine} + Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $ℓ$ im lokalen Ring + $𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter. +\end{bemerkung} + +Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen. + +\begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}} + \rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\ + maximale Ideale im Koordinatenring $k[X]$ & Punkte \\ + maximale Ideale $m ⊊ k[X]$, sodass der lokale Ring $𝒪_p(X)$ ein diskreter Bewertungsring ist & einfache Punkte \\ + Dimension von $m_p^n/m_p^{n+1}$ für großes $n$ & Multiplizität des Punktes $p$ in $X$ + \end{tabular} + + \bigskip + + Es sei $X$ eine ebene, algebraische Kurve und $p$ ein Punkt von $X$. + + \caption{Wörterbuch: einfache und singuläre Punkte von algebraischen Kurven} + \label{tab:11-1} +\end{table} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/12.tex b/12.tex new file mode 100644 index 0000000..6dd7241 --- /dev/null +++ b/12.tex @@ -0,0 +1,404 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Die Sätze von Cohen-Seidenberg} + +\sideremark{Vorlesung 14}Wir teilen vermutlich alle das Gefühl, dass der affine +Raum $𝔸¹$ und dass algebraische Kurven eindimensional seien, dass der Raum +$𝔸²$ zweidimensional und dass $𝔸³$ dreidimensional ist. Sie stimmen mir +vermutlich auch zu, dass die Dimension einer affinen Varietät eine intrinsische +Eigenschaft sein sollte. In diesem Teil der Vorlesung möchte ich die Frage +beantworten, wie man die Dimension einer Varietät jetzt genau definiert. + + +\section{Die Krull-Dimension} + +Ich spanne Sie nicht lange auf die Folter. Die Idee ist die: im Raum $𝔸³$ +finde ich eine Kette von irreduziblen Mengen der folgenden Form, +\[ + \text{Punkt} ⊊ \text{Gerade} ⊊ \text{Ebene} ⊊ 𝔸³. +\] +Diese Kette hat Länge drei\footnote{Länge = Anzahl der Inklusionszeichen}, das +ist unsere Wunschdimension für $𝔸³$. Außerdem kann man (=werden wir) beweisen, +dass diese Kette maximal lang ist. Anschaulich ist wahrscheinlich klar, dass es +keine echte Zwischenvarietät zwischen der Gerade und der Ebene geben kann. In +unserer Korrespondenz zwischen Algebra und Geometrie gehören irreduzible Mengen +zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe. + +\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes] + Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die \emph{Krullsche + Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines + Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang + Krull} (* 26. August 1899 in Baden-Baden; † 12. April 1971 in Bonn) war + ein deutscher Mathematiker. Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra. + Krull studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in + Rostock und Göttingen. Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem + Hochstapler.} von $R$ ist das Maximum aller Längen von Ketten von + Primidealen, + \[ + P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n. + \] +\end{defn} + +\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei + eine Untervarietät. Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes + $k[X]$ wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Die Krullsche Dimension eines Ringes ist unendlich, wenn es eine unendlich + lange Kette von Primidealen gibt oder wenn zu jedem $n ∈ ℕ$ eine endliche + Kette der Länge $≥ n$ existiert. +\end{bemerkung} + +\begin{bsp}[Der Punkt] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring + des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$. Dieser also nur das echte Ideal + $(0)$ und somit die Dimension 0. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring + des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein + Hauptidealring. Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$ + irreduzibel ist. Alle Ketten von Primidealen sind demnach von der Form + \[ + (0) ⊊ (f) ⊊ k[x]. + \] + Also ist $\dim 𝔸¹_k = \dim k[x] = 1$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Die ganzen Zahlen] + Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring. Wie oben ist $\dim ℤ = 1$. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der affine Koordinatenring + des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. Die Kette + \[ + (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊ + (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]. + \] + ist eine Kette von Primidealen, also ist + $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥ n$. +\end{bsp} + +Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig +unbefriedigend. Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das +nicht nicht völlig trivial zu zeigen. Bis wir soweit sind, ist noch etwas +Vorarbeit zu leisten. + + +\section{Going up} + +Die folgenden Sätze werden in Algebra-Büchern und Skripten gern ohne jede +geometrische Anschauung erklärt. Ich selbst kann mir ohne geometrische +Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein +geometrisches Beispiel. + +\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1} + Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve + $C = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist. Natürlich sollte die Dimension der + Knotenkurve gleich eins sein. Um das zu beweisen, möchte ich den affinen + Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als + Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring + $A$ ist der affine Koordinatenring der $x$-Achse, dessen Dimension ich nach + Beispiel~\ref{bsp:12-1-5} ja schon kenne. Die Erweiterung $A ⊂ B$ ist + endlich,\footnote{Ein System von Erzeugern ist zum Beispiel $\{1,y\}$} und + deshalb nach Korollar~\vref{kor:3-3-3} ganz. Wir haben in + Abschnitt~\ref{sec:7-3}, dass zu dem Inklusionsmorphismus $A → B$ von affinen + Koordinatenringen ein Morphismus von Varietäten gehört. In unserem Beispiel + ist dies einfach die orthogonale Projektion von $C$ auf die $x$-Achse, + \[ + π: C → \{x\text{-Achse}\}, \quad (x,y) → x. + \] +\end{bsp} + +In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei +ganzen Ringerweiterungen nicht ändert. + +\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2} + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Dann ist + $\dim A = \dim B$. +\end{satz} + + +Dazu müssen wir ganze Ringerweiterungen +$A ⊂ B$ betrachten und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und +die Primideale in $B$ zueinander verhalten. + +\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale] + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ + Ideale. Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt + über $p$}. +\end{notation} + +Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff +``übereinander liegen'' kommt. + +\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2] + In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit + zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$. Dann ist das Ideal + $p := q ∩ A$ wieder ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$. + Dies ist das maximale Ideal des Punktes $π(v)$. +\end{bsp} + +Der erste Satz von +Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen} + (* 1917; † 14. Februar 1955) war ein US-amerikanischer + Mathematiker. }-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham + Seidenberg} (* 2. Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3. Mai 1988 in Mailand) + war ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung +$A ⊂ B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von +Primidealen $p_{•} ⊂ A$ eine Kette von Primidealen +$q_{•} ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_{•}$ jeweils über den +$p_{•}$ liegen. Der Satz, der als ``Going up'' bekannt ist, impliziert dann +sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen. + + +\subsection{Beweis des Satzes ``Going up''} + +Der Beweis des Satzes ``Going up'' ist nicht kompliziert, aber ein wenig mühsam. +Um den Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ +unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden. + +\begin{satz}\label{satz:12-2-5} + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei + $q$ über $p$ liegt. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische + Einbettung + \[ + \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}. + \] + Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung. + + \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann ist + $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \video{14-1} +\end{proof} + +\begin{notation}[Schlechte Notation] + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein + Primideal und es sei $S := A ∖ p$. In der Literatur wird die + Abbildung $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ + notiert, obwohl $p$ im Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist. +\end{notation} + +\begin{beobachtung} + Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter + seien Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ + liegt. Dann gelten folgende Äquivalenzen. + \begin{align*} + \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\ + & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\ + & ⇔ \text{Das Ideal $p$ ist maximal.} + \end{align*} +\end{beobachtung} + +\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8} + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei + $p ⊂ A$ ein Primideal. Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ + über $A$. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{14-2} +\end{proof} + +\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten] + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei + $p ⊂ A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale + über $p$. Dann ist $q_1 = q_2$. +\end{satz} +\begin{proof} +Betrachte die Lokalisierung $A_p \rightarrow B_p$, dann gilt Folgendes, +\begin{itemize} +\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$, + +\item $q_1·B_p$ ist Primideal in $B_p$, + +\item $q_2·B_p$ ist Primideal in $B_p$, und + +\item $q_1·B_p ⊂ q_2·B_p$ und $(q_1·B_p) ∩ A_p = (q_2·B_p) ∩ A_p = p·A_p$. +\end{itemize} +Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal. Deshalb sind +die Ideale gleich. Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist. +\end{proof} + +\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp} + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien + $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über + $p_1$. Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält. +\end{satz} +\begin{proof} + \video{14-3} +\end{proof} + + +\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen} + +Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes ``Going up'' können wir jetzt +sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter +ganzen Ringerweiterungen beweisen. + +\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:12-2-2}] + \video{14-4} +\end{proof} + +\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein + Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$ + dicht in $Y$ liegt. In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass + die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, + $f^* : k[Y] → k[X]$, dann injektiv ist. Wir können $k[Y]$ also als + Unterring von $k[X]$ auffassen. Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass + diese Ringerweiterung ganz ist? Wir können diese Frage nicht vollständig + beantworten, aber eines ist klar: gegeben ein Punkt $y ∈ Y$, also ein + maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach Satz~\ref{satz:12-2-8} + ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Inbesonders gibt es ein maximales + Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das geometrisch + bedeutet: es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet wird. + Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! +\end{beobachtung} + +\begin{fakt} + Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$, + sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt. Dann gilt: die Abbildung + $f^* : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ + surjektiv ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist. Erinnern Sie + sich, was das Wort ``eigentlich'' in der Topologie bedeutet: Urbilder + kompakter Mengen sind wieder kompakt. +\end{fakt} + + +\section{Going down} + +\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} (``Going +up'') ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig. Das +Zauberwort heißt ``Normalität''. + +\begin{defn}\label{def:12-3-1} + Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$ + ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt. Mit anderen Worten: $A$ + ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt: + \[ + \left\{ \frac{a}{b} ∈ Q(A) \::\: \frac{a}{b} \text{ ist ganz über } A + \right\} = A. + \] +\end{defn} + +\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown} + Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter seien + Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$ + liegt. Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit + $q_1 ∩ A = p_1$. \qed +\end{satz} + +Anwendungen des Satzes ``Going down'' kommen in den Übungen. Obwohl der Beweis +nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz ``Going down'' in dieser Vorlesung +nicht vertiefen und auch nicht beweisen. + + +\subsection{Normale Ringe} + +Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des ``normalen Ringes''. Zum +einen ist der Satz ``Going down'' natürlich nur dann interessant, wenn wir in +relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können. Zum +anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn +ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich +diskutieren kann. + +\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3} + Es sei $A$ ein Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal. + + \item\label{12-3-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ A$ gilt: Der Ring $A_p$ ist + normal. + + \item Für maximalen Ideale $m ⊊ A$ gilt: Der Ring $A_m$ ist normal. + \end{enumerate} +\end{satz} + +Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma. + +\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4} + Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze + Abschluss von $A$ in $B$. Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann + ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$. +\end{lem} +\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:12-3-4}] + Wir wissen aus Satz~\vref{satz:12-2-5}, dass $S^{-1}A ⊂ S^{-1}C$ eine ganze + Ringerweiterung ist. Es bleibt also noch zu zeigen, dass jedes Element in + $S^{-1}B$, welches ganz über $S^{-1}A$ ist, schon in $S^{-1}C$ liegt. + + Sei also ein Element $\frac{b}{s} ∈ S^{-1}B$ gegeben, welches ganz über + $S^{-1}A$ ist. Wir finden also eine Ganzheitsgleichung der Form + \begin{equation}\label{eq:12-3-4-0} + \Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n + + \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ + + \frac{a_0}{s_0} = 0, + \end{equation} + wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind. Setze + $t := s_0 ⋯ s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit + dem Element $s·t ∈ S$ und erhalte + \[ + \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ + + a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0. + \] + Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$. Also ist + $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage + $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈ S^{-1}C$. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}] + In der Situation von Satz~\ref{satz:12-3-3} bezeichne den Quotientenkörper von + $A$ mit $B := Q(A)$. Weiter sei $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$. Wenn + wir die Inklusion mit $ι : A → C$ bezeichnen, dann gilt gemäß + Definition~\ref{def:12-3-1} die folgende Äquivalenz. + \[ + A\text{ ist normal} \iff ι : A → C \text{ ist surjektiv.} + \] + Jetzt sei $p ⊂ A$ ein Primideal. Dann ist $B_p$ der Quotientenkörper von + $A_p$ und nach Lemma~\ref{lem:12-3-4} ist $C_p$ der ganze Abschluss von $A_p$ + in $B_p$. Also gilt ganz analog + \[ + A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.} + \] + Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist, + folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}. Der Beweis + für maximale Ideal folgt natürlich analog. +\end{proof} + +\begin{satz} + Faktorielle Ringe sind normal. +\end{satz} +\begin{proof} + Es sei $A$ ein faktorieller Ring und $x ∈ Q(A)$ sei ganz über A. Wir müssen + zeigen, dass $x ∈ A$ ist. Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine + Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$ + eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind. Per Annahme erfüllt $x$ + eine Ganzheitsgleichung über $A$. Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$ die + Gleichung + \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1} + \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} + + ⋯ + a_0 = 0 + \end{equation} + gilt. Multipliziere \eqref{eq:12-3-5-1} mit $q^n$ und erhalte die folgende + Gleichung von Elementen in $A$, + \[ + p^n + a_{n-1}q·p^{n-1} + ⋯ + a_0·q^n = 0. + \] + Also gilt $q \mid p^n$. Weil $A$ per Annahme ein faktorieller Ring ist, gilt + $q \mid p$ und deshalb ist $q ∈ A^*$, also $x ∈ A$. +\end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/13.tex b/13.tex new file mode 100644 index 0000000..fd36268 --- /dev/null +++ b/13.tex @@ -0,0 +1,404 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Noether-Normalisierung} + +Der Satz über die Noether-Normalisierung präsentiert beliebige Ringe als ganze +Erweiterungen von Polynomringen. Das ermöglicht es unter anderem, die Frage +nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension +eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die +Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch. + +\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. + Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente + $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch + unabhängig über $k$. + + \item\label{il:13-0-1-2} Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. + + \item\label{il:13-0-1-3} Im Ring $k[y_1, …, y_d]$ gilt die folgende Gleichheit + von Idealen, + \[ + I ∩ k[y_1, …, y_d] = (y_{α + 1}, …, y_d). + \] + \end{enumerate} + Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält und wenn + $e_1, …, e_n$ ein endliches Erzeugendensystem von $A$ als $k$-Algebra ist, + dann können die $y_j$ als Linearkombination der $e_1, …, e_n$ gewählt werden. +\end{satz} + +Punkt~\ref{il:13-0-1-1} sagt insbesondere, dass der Ring $k[y_1, …, y_d]$ +isomorph\footnote{Können Sie einen Isomorphismus hinschreiben?} zum Polynomring +in $d$ Variablen ist. Im Kern vergleicht der Satz über die +Noether-Normalisierung den (womöglich sehr komplizierten) Ring $A$ mit dem sehr +viel einfacheren Polynomring. + +\begin{defn}[Noether-Normalisierung einer $k$-Algebra] + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Es + sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Eine + endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von + $A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften + \ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung] funktioniert mit + endlich erzeugten Algebren über Körpern. Die Frage, ob der Satz auch über $ℤ$ + funktioniert, ist Gegenstand von Forschung. +\end{bemerkung} + + +\section{Geometrische Interpretation} +\label{sec:13-1} + +Das Wörterbuch ``Algebra und Geometrie'' erklärt, was der Satz über die +Noether-Normalisierung geometrisch bedeutet. Dazu betrachten wir den Fall, dass +$k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine +Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist. Weiter sei $Z ⊂ X$ +eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$. In dieser Situation liefert +Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ +ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$, gehört also nach +Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen Varietät $Y$. Die +Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach Satz~\vref{satz:7-3-3} +zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten. Die Inklusionsabbildung +ist injektiv, also wissen wir nach Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild +von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist. Der Satz über die +Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert. + +\begin{itemize} +\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist + algebraisch unabhängig. Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum + Polynomring $k[x_1, …, x_d]$. Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen + Raum $𝔸^d_k$. Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen + Unterraumes + \[ + V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k. + \] + +\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung + $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ganz. Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} + gesehen, dass die Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist. Außerdem + wissen wir nach Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- + aber leider kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist. + +\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der + Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist. + Insbesondere ist $π(Z) ⊂ V$. +\end{itemize} + +Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage. + +\begin{itemize} +\item Wenn ein System $e_1, …, e_n$ von Erzeugern des Ringes $A = k[X]$ gegeben + ist, dann ist die Abbildung + \[ + k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n) + \] + surjektiv. Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung + eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als algebraische + Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen. + +\item Die Aussage ``die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$'' beschreibt + $π$ als lineare Projektion. Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine + lineare Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der + Einschränkung $p|_X$ ist. Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein. +\end{itemize} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/13-hyperbel.png} + + \caption{Hyperbel $\{ x·y-1 \} $} + \label{fig:hyp} +\end{figure} + +\begin{bsp} + Wir illustrieren den Satz über die Noether-Normalisierung nach ganz kurz an + einem konkreten Beispiel. Dabei beschränken wir uns auf die + Aussagen~\ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} und ignorieren das Ideal $I$. + Betrachte die in Abbildung~\ref{fig:hyp} dargestellte Hyperbel + \[ + H := \{ (x_1, x_2) ∈ 𝔸²_ℂ \::\: x_1·x_2 = 1\} + \] + und den zugeordneten Koordinatenring + \[ + A := \factor{ℂ[x_1, x_2]}{(x_1·x_2-1)}. + \] + Die Restklassen $e_• := \overline{x_•}$ bilden ein Erzeugendensystem von $A$ + als $k$-Algebra. + \begin{itemize} + \item Zuerst betrachten wir das Element $y_1 := e_1$. Die Inklusionsabbildung + $ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung + \[ + H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1). + \] + Diese Abbildung ist \emph{nicht} surjektiv, denn der Nullpunkt in $𝔸¹_ℂ$ + wird nicht getroffen. Also ist $ℂ[y_1] ⊂ A$ nach + Beobachtung~\ref{beo:12-2-11} keine ganze Ringerweiterung und $\{y_1\}$ ist + keine Noether-Normalisierung von $A$. + + \item Jetzt betrachten wir das Element $y_1 := e_1-e_2$. Die + Inklusionsabbildung $ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung + \[ + H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1-x_2). + \] + Die Ringerweiterung $ℂ[y_1] ⊂ A$ ist ganz, denn die Erzeuger $e_1$ und $e_2$ + erfüllen die Ganzheitsgleichungen + \[ + e²_1-e_1·y_1+1 = 0 \quad\text{und}\quad e²_2-e_2·y_1-1=0. + \] + Also ist $\{y_1\}$ ist eine Noether-Normalisierung von $A$. + \end{itemize} +\end{bsp} + + +\section{Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung} + +\sideremark{Vorlesung 16}Wir beginnen den (langen!) Beweis mit einem +vorbereitenden Lemma. + +\begin{lem} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$. Dann gibt es + ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form + $y_i = x_i - x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden + kann, + \[ + f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …, + y_{n-1}). + \] + Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann + gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form + $y_i = x_i - a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$. +\end{lem} +\begin{proof} + Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen. Die Zusatzaussage ist im + \video{16-2} bewiesen. +\end{proof} + +Um den Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung lesbar zu halten, +beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen. + +\begin{lem} + Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im + Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I = (f)$ ein + Hauptideal ist. +\end{lem} +\begin{proof} + \video{16-3} +\end{proof} + +\begin{lem} + Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im + Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I ⊊ A$ ein + beliebiges Ideal ist. +\end{lem} +\begin{proof} + \video{16-4} +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-1}] + \sideremark{Vorlesung 17}\video{17-1} +\end{proof} + + +\section{Geometrische Konsequenzen} + +Als erste echte Anwendung des Satzes über die +Noether-Normalisierung klären wir die längst überfällige Frage, was die +Dimension des affinen Raums ist. + +\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a} + Es sei $k$ ein Körper. Dann ist + \[ + \dim k[x_1, …, x_n] = n. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + \video{17-2} +\end{proof} + +\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich + erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung + von $A$. Dann ist $\dim A = d$. Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring + ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang = + kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$ + die Länge $d$. +\end{satz} +\begin{proof} + Die Aussage $\dim A = d$ folgt sofort aus den Sätzen~\ref{satz:13-3-1a} und + \ref{satz:12-2-2}. Für den Beweis der zweiten Aussage gibt es das + \video{17-3}. +\end{proof} + +\begin{aufgabe} + Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei + unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: die + verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht + dieselbe Dimension haben. +\end{aufgabe} + +\begin{kor}[Dimension und Transzendenzgrad] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ ein reduzierter + Ring (=endlich erzeugte $k$-Algebra ohne nilpotente Elemente). Dann ist die + Dimension von $A$ genau der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers $Q(A)$ über + $k$, also $\dim A = \trdeg_k Q(A)$. +\end{kor} +\begin{proof} + Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine + Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$. Dann wissen wir nach + Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist. Auf der anderen Seite sind + die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass + $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = d$ ist. Schließlich wissen wir noch, dass die + Körpererweiterung $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich + der Transzendenzgrad nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$. +\end{proof} + +\begin{kor} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei + $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Varietät. Dann existiert eine lineare + Projektion $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ + endlich und surjektiv ist. +\end{kor} +\begin{proof} + Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns + daran erinnern, dass algebraisch abgeschlossene Körper stets unendlich viele + Elemente haben. +\end{proof} + +\begin{kor} + Algebraische Teilmengen des $ℂ^n$ sind genau dann bezüglich der Euklidischen + Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind. +\end{kor} +\begin{proof} + Lineare Projektionen $𝔸^n_{ℂ} → 𝔸^d_{ℂ}$ sind bezüglich der Euklidischen + Topologie stetig. Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der + Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der + Euklidischen Topologie. Der einzige kompakte affine Raum ist aber + $𝔸⁰_{ℂ}$. +\end{proof} + +Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals. Das +ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension. + +\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height} + Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Die + \emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen + von Ketten von Primidealen + \[ + p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_n = p. + \] + In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8} + Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei + $q = (y_α, …, y_d)$. Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller + Längen von Ketten von Primidealen von der folgenden Kette + \[ + (0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p + \] + angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$. +\end{bsp} + +\begin{kor}\label{kor:13-3-9} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein + Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal + $p ⊂ A$ ein Primideal, dann ist + \[ + \dim A = \height(p) + \dim(A/p). + \] +\end{kor} +\begin{proof} + Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} (``Noether-Normalisierung'') auf $p ⊂ A$ an und + erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten. + \begin{itemize} + \item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und + $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere + normal. + \item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz. Also ist nach + Satz~\ref{satz:12-2-2} (``Dimension ist invariant unter ganzen + Ringerweiterungen'') und Satz~\ref{satz:13-3-1a} (``Dimension des affinen + Raumes'') + \[ + \dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d. + \] + \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form + $q = (y_α, …, y_d)$, also ist + \[ + k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α] + \] + und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach + Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$. + \end{itemize} + Zuguterletzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach + Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche + Dimension. Zusammen erhalten wir + \[ + \dim A = d = α + (d - α) = \dim (A/p) + \height p. + \] + Damit ist die Behauptung gezeigt. +\end{proof} + +\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe] + In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form + $A = K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die + Aussage des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff + ``Dimension'' für beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der + Praxis einigermaßen sinnlos. +\end{warnung} + + +\section{Der Hauptidealsatz} + +Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen +Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden +(``Going Up/Down + Noether Normalisierung'') jetzt ohne weiteres möglich. +Dennoch möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier +nur ohne Beweis. + +\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz] + Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein + Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist. Schreibe das Ideal $(f)$ + gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, + $(f) = p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$. Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle + Indizes $i$. \qed +\end{satz} + +Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter +anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom. Dann hat jede +irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$. + + +\section{Schlussbemerkungen} + +Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell +sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring. Wir haben +allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation +eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt. Ich sehe zwei Ansätze. +\begin{itemize} +\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man + Noether-Normalisierungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen. Wie immer sind + die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des + Machbaren. + +\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper + mit unendlich vielen Elementen ist, kann ich mich fragen, welche linearen + Projektionen als Noether-Normalisierung infrage kommen. Wenn ich mir den + Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung sehr genau anschaue, so + erkenne ich, dass die Menge der linearen Projektionen, die \emph{keine} + Noether-Normalisierung liefern, eine algebraische Menge im Raum der Matrizen + ist, also eine Nullmenge. Für die Praxis bedeutet das: Man wähle eine + \emph{zufällige} lineare Projektion aus und rechne damit weiter. Die + Wahrscheinlichkeit, dass ich mit dieser Methode tatsächlich eine + Noether-Normalisierung gewählt habe, ist exakt 100~\%. +\end{itemize} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/14.tex b/14.tex new file mode 100644 index 0000000..21ea893 --- /dev/null +++ b/14.tex @@ -0,0 +1,278 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Schnittzahlen von Kurven} + +\section{Worum geht es} +\label{sec:14-1} + +\sideremark{Vorlesung 18}Der Körper $ℂ$ ist einfacher als der Körper $ℝ$, weil +jedes Polynom $p ∈ ℂ[x]$ genau $d = \deg p$ viele Nullstellen hat, wobei die +Nullstellen natürlich mit der richtigen Multiplizität gezählt werden müssen. +Über dem Körper $ℝ$ wissen wir lediglich, dass ein Polynom $p ∈ ℝ[x]$ höchstens +$d = \deg p$ viele Nullstellen hat; bereits die Diskussion von Polynomen kleinen +Grades führt zu sehr unangenehmen Fallunterscheidungen. + +Der Geometer würden den Sachverhalt vielleicht anders ausdrücken. Gegeben ein +Polynom $p ∈ ℂ[x]$, dann betrachte die folgenden die Kurven im $𝔸²_ℂ$. +\begin{itemize} +\item Der Funktiongraf von $p$, also die Kurve $V\bigl(y-p(x)\bigr)$. Dies ist + eine Kurve von Grad $\deg p$. + +\item Die $x$-Achse, also die Kurve $V(y)$. Dies ist eine Kurve von Grad 1. +\end{itemize} +Der Geometer stellt fest, dass sich diese beiden Kurven in genau $\deg p$ vielen +Punkten schneiden, wobei die Punkte natürlich mit der richtigen Multiplizität +gezählt werden müssen. Man könnte hoffen, dass dies allgemeiner gilt. + +\begin{wunsch} + Gegeben zwei ebene algebraische Kurven $C_1$ und $C_2$ in $𝔸²_ℂ$, gegeben + durch Polynome vom Grad $d_1$ und $d_2$. Dann schneiden sich die Kurven $C_1$ + und $C_2$ in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten, wobei die Schnittpunkte natürlich + mit der richtigen Multiplizität gezählt werden müssen. +\end{wunsch} + +Leider ist das mit dem Wünschen so eine Sache. Wenn man sich viele Beispiele +anschaut, dann stellt man fest: Selbst wenn man alle Punkte mit der richtigen +Multiplizität zählt, schneiden sich Kurven in höchstens $d_1·d_2$ vielen +Punkten. Bereits die Diskussion von Kurven kleinen Grades führt zu sehr +unangenehmen Fallunterscheidungen. Das haben wir eigentlich schon in der Schule +gelernt. + +\begin{quote} + Es seien $ℓ_1$ und $ℓ_2$ zwei unterschiedliche Geraden im $𝔸²_ℂ$. Dann + schneiden sich $ℓ_1$ und $ℓ_2$ stets in genau einem Punkt, es sei denn, $ℓ_1$ + und $ℓ_2$ sind parallel. +\end{quote} + +\begin{aufgabe} + Wann schneiden sich eine Gerade und eine Konik (=Kurve von Grad zwei) in + keinem, einen oder zwei Punkten? +\end{aufgabe} + +Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden +kannte schon mein Physik-Lehrer: ``Zwei parallele Geraden schneiden sich im +unendlichen''. Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum +$𝔸^n_k$ durch ``unendlich ferne Punkte'' zum ``projektiven'' Raum $ℙ^n_k$ zu +ergänzen. Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in +einem Punkt schneiden. Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und +$C_2$ vom Grad $d_1$ und $d_2$ schneiden sich in $ℙ²_k$ stets in $d_1·d_2$ +vielen Punkten, wobei die Schnittpunkte natürlich mit der richtigen +Multiplizität gezählt werden müssen. + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=12cm]{figures/14-unsplash.jpg} + + \caption{Der projektive Raum} + + Foto von + \href{https://unsplash.com/@smileprem?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText}{Premkumar + Masilamani} auf + \href{https://unsplash.com/s/photos/infinity?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText}{Unsplash} + + \label{fig:p1} +\end{figure} + + +\section{Schnittzahlen von ebenen algebraischen Kurven} + +Bevor wir den projektiven Raum tatsächlich konstruieren, muss ich vielleicht +erst einmal klären, was es überhaupt heißen soll ``Schnittpunkte mit der +richtigen Multiplizität zu zählen''. Das erste Zwischenziel ist also, für ebene +algebraische Kurven $F$ und $G$ und Punkte $p ∈ 𝔸²$ zu definieren, was die +``Schnittmultiplizität von $F$ und $G$ im Punkt $p$'' genau sein soll. Dieses +Kapitel ist aus \cite[Sect.~3.3]{MR1042981} abgeschrieben, wo Sie die Sachen +ebenfalls sehr gut erklärt finden. + + +\subsection{Das große Wunschkonzert} + +Weihnachten ist weit weg. Dennoch fasse ich mal alle Punkte zusammen, die eine +sinnvolle Definition von Schnittmultiplizität meiner Meinung nach erfüllen +sollte. + +\begin{erinnerung}[Affine Transformationen]\label{erinn:14-2-1} + Es sei $k$ ein Körper. Eine Abbildung $φ : k^n → k^n$ heißt \emph{affine + Transformation}\index{affine Transformation}, wenn es eine Matrix + $A ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n, k)$ und einen Vektor $b ∈ k^n$ gibt, sodass für + alle $v ∈ k^n$ die Gleichung $φ(v) = A·v + b$ gilt. Wir verwenden den Begriff + ``affine Transformation'' auch dann, wenn wir statt $k^n$ den topologischen + Raum $𝔸^n_k$ betrachten (der als Menge ja genau $k^n$ ist). +\end{erinnerung} + +\begin{wunsch}[Wir erträumen uns eine Schnittzahl]\label{wunsch:sz} + Gegeben sei ein algebraisch abgeschlossenen Körper $k$. Die + Schnittmultiplizität sollte eine idealerweise eine Funktion + \[ + \Int : \{ \text{ebene alg.~Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{ebene alg.~Kurven + in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k → ℕ ∪ \{ ∞ \} + \] + sein, sodass für alle ebenen algebraischen Kurven $F$, $G$ und alle Punkte + $p ∈ 𝔸²$ folgende Eigenschaften gelten. + \begin{enumerate} + \item\label{il:14-2-1-1} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = ∞$, wenn $F$ und + $G$ eine gemeinsame Komponente durch $p$ enthalten. + + \item\label{il:14-2-1-2} Es gilt genau dann $\Int_p(F, G) = 0$, wenn sich die + Kurven $F$ und $G$ bei $p$ gar nicht schneiden. Allgemeiner: die + Schnittzahl $\Int_p(F,G)$ hängt nur von denjenigen Komponenten von $F$ und + $G$ ab, die den Punkt $p$ auch enthalten. + + \item\label{il:14-2-1-3} Schnittzahlen sind invariant unter affinen + Transformationen. Genauer: für jede affine Transformation $T: 𝔸² → 𝔸²$ gilt + die Gleichung + \[ + \Int_p(F, G) = \Int_{T^{-1}(p)}(F◦T, G◦T). + \] + + \item\label{il:14-2-1-4} Schnittzahlen sind invariant unter Vertauschung der + Kurven. Genauer: es ist $\Int_p(F,G) = \Int_p(G,F)$. + + \item\label{il:14-2-1-5} Es gilt stets + $\Int_p(F,G) ≥ \mult_p(F) · \mult_p(G)$, wobei Gleichheit genau dann gilt, + wenn die Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ keine gemeinsamen Tangentialgerade + haben. + + \item\label{il:14-2-1-6} Schnittzahlen sind additiv in Komponenten. Genauer: + falls $F = \prod F_i$ ist, dann ist + \[ + \Int_p(F,G) = \sum_i \Int_p(F_i, G). + \] + + \item\label{il:14-2-1-7} Die Schnittzahl hängt nur von der Klasse von $G$ im + Quotientenring $k[x,y]/(F)$ ab. Genauer: für alle $H ∈ k[x,y]$ ist + \[ + \Int_p(F,G) = \Int_p(F, G + H· F). + \] + \end{enumerate} +\end{wunsch} + +\begin{bemerkung} + Beachten Sie zu \ref{il:14-2-1-3}, dass der Punkt $T^{-1}(p)$ genau dann auf + der Kurve $F◦T$ liegt, wenn $p$ auf der Kurve $T$ liegt, ebenso natürlich für + die Kurve $G$. Oder habe ich mich mit den Vorzeichen geirrt? +\end{bemerkung} + +\begin{aufgabe} + Machen Sie sich klar, was die Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} bedeuten. + Schauen Sie sich einfache Beispiele an, besonders Beispiele, wo + $F(x,y) = y-f(x)$, $G(x,y) = y$, wo $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ und + wo $p = (x_0, 0)$ ist. +\end{aufgabe} + + +\subsection{Träume werden wahr} + +Sie werden es sich schon denken. Es gibt genau eine Definition von +``Schnittzahl'', die alle Bedingungen aus Wunsch~\ref{wunsch:sz} erfüllt. Bevor +ich Eindeutigkeit und Existenz beweise, erinnere erst ich noch an einige +Tatsachen, die wir später benötigen. + +\begin{erinnerung}\label{erin:14-2-5} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein + Ideal, sodass $V(I) = \{ p \}$ ist ein einzelner Punkt ist. Bezeichne das + maximale Ideal des Punktes $p$ mit $m ⊊ k[x,y]$ und betrachte die folgende + kurze exakte Sequenz von $k[x,y]$-Moduln, + \[ + 0 → I → k[x,y] → \underbrace{\factor{k[x,y]}{I}}_{=: R} → 0. + \] + Weil lokalisieren ein exakter Funktor ist, gilt + \[ + R ≅ \factor{𝒪_p(𝔸²_k)}{I·𝒪_p(𝔸²_k)}. + \] + Auf der anderen Seite haben wir in Lemma~\vref{lem:11-1-4} gesehen, dass die + Lokalisierungsabbildung $R → R_m$ in diesem speziellen Fall ein Isomorphismus + ist. Insbesondere ist $R$ selbst bereits ein lokaler Ring. Ich behaupte + noch, dass die Dimension von $R$ als $k$-Vektorraum endlich ist. Das beweise + ich aber nur im Fall, wo $p$ der Nullpunkt ist. Dann ist nämlich + $\sqrt{I} = (x,y)$, und deshalb existiert eine Zahl $n$, sodass $x^n ∈ I$ und + $y^n ∈ I$ sind. Die Monome $\{xⁱ·y^j \::\: 0≤ i,j < n\}$ bilden dann ein + Erzeugendensystem von $R$ als $k$-Vektorraum. +\end{erinnerung} + +\begin{eerinnerung}\label{erin:14-2-6} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein + Ideal, sodass $V(I) = \{ p_1, …, p_n \}$ ist eine endliche Menge von Punkten + ist. Dann ist $R$ isomorph zum kartesischen Produkt von lokalen Ringen, + \[ + R ≅ \left( \factor{𝒪_{p_1}(𝔸²_k)}{I·𝒪_{p_1}(𝔸²_k)} \right) ⨯ ⋯ ⨯ \left( + \factor{𝒪_{p_n}(𝔸²_k)}{I·𝒪_{p_n}(𝔸²_k)} \right), + \] + und $\dim_k R < ∞$. +\end{eerinnerung} + +\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Schnittzahlen]\label{satz:EES} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann gibt es genau eine + Definition von \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen algebraischen + Kurven}, sodass die Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} + gelten. +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit] + \video{18-1} +\end{proof} + +\begin{bemerkung}\label{bem:14-2-8} + Beachten Sie, dass der Eindeutigkeitsbeweis völlig konstruktiv ist und sogar + einen Algorithmus liefert, mit dessen Hilfe man Schnittzahlen konkret + ausrechnen kann, falls eine gültige Definition von Schnittzahlen überhaupt + existiert. Beachten Sie auch, dass wir im Beweis gar nicht alle Eigenschaften + \ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} vollständig verwendet + haben\footnote{Welche Eigenschaften wurden \emph{nicht} verwendet?}. Das + zeigt, dass es in der Liste der Eigenschaften offenbar viel Redundanz gibt, + und dass Schnittzahlen schon durch eine kleinere Liste vollständig beschrieben + wären. +\end{bemerkung} + +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:EES} --- Eindeutigkeit] + Ich beweise die Existenz nicht abstrakt, sondern werde zeigen, dass die + Abbildung + \[ + \begin{matrix} + \Int : & \{ \text{Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ \{ \text{Kurven in } 𝔸²_k \} ⨯ 𝔸²_k & → & ℕ ∪ \{ ∞ \} \\ + & (F, G, p) & ↦ & \dim_k \factor{𝒪_p(𝔸²)}{(F,G)·𝒪_p(𝔸²)} + \end{matrix} + \] + alle gewünschten Eigenschaften hat. Einige dieser Eigenschaften lassen sich + schnell zeigen. + + Zunächst beobachte ich, dass diese Definition nicht direkt von den Kurven $F$ + und $G$ abhängt, sondern lediglich von dem Ideal $(F,G)$. Damit ergeben sich + die Eigenschaften \ref{il:14-2-1-4} und \ref{il:14-2-1-7} direkt. + + Als Nächstes erinnere ich daran, dass affine Transformationen stets + Isomorphismen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind und deshalb auch Isomorphismen + der betreffenden lokalen Ringen liefern. Damit ergibt sich Eigenschaft + \ref{il:14-2-1-3}. + + Es gibt noch einen Punkt, den ich schnell beweisen kann. Wenn nämlich $H$ + eine Kurve ist, die den Punkt $p$ nicht enthält, dann ist das Element $H$ + (genauer: $\frac{H}{1}$) im lokalen Ring $𝒪_p(𝔸²)$ eine Einheit. Daraus + ergeben sich zwei Konsequenzen. + \begin{itemize} + \item Es ist $(F,H)·𝒪_p(𝔸²) = 𝒪_p(𝔸²)$. Also ist $\Int_p(F,H)=0$. + + \item Es ist $(F,G)·𝒪_p(𝔸²) = (F·H,G)·𝒪_p(𝔸²)$. Also sehen wir, dass + die Zahl $\Int_p(F,H)$ tatsächlich nur den denjenigen Komponenten abhängt, + die den Punkt $p$ tatsächlich enthalten. + \end{itemize} + Insgesamt ergibt sich aus diesen beiden Konsequenzen die + Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-2}. + + Die verbleibenden Eigenschaften sind etwas aufwändiger zu zeigen. + \begin{itemize} + \item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-1} wird im \video{18-2} gezeigt. + + \item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-5} wird überhaupt nicht gezeigt. Ich + verweise stattdessen auf das Buch \cite{MR1042981}. Vielleicht machen wir + auch eine ausführliche, angeleitete Übungsaufgabe. + + \item Eigenschaft~\ref{il:14-2-1-6} wird im \video{18-3} gezeigt. \qedhere + \end{itemize} +\end{proof} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/15.tex b/15.tex new file mode 100644 index 0000000..ddabe67 --- /dev/null +++ b/15.tex @@ -0,0 +1,254 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der projektive Raum} + +\section{Definition und Konstruktion} + +\sideremark{Vorlesung 19}Die Definition des projektiven Raums ist eigentlich +schrecklich einfach: Der projektive Raum $ℙ^n$ ist die Menge der +Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$. Um eine Ursprungsgerade anzugeben, genügt es +natürlich einen Punkt im $k^{n+1}$ anzugeben (wobei dies besser nicht der +Nullpunkt sein sollte). Zwei Punkte im $k^{n+1}$ liefern dieselbe +Ursprungsgerade, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden +(wobei der Faktor besser nicht die Zahl 0 sein sollte). + +\begin{defn}[Der projektive Raum]\label{defn:15-1-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Nenne zwei Vektoren + $\vec{x}_1$, $\vec{x}_2 ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\}$ äquivalent, wenn es ein + Skalar $λ ∈ k^*$ gibt, sodass $\vec{x_1} = λ·\vec{x_2}$ ist. Dies ist + offenbar eine Äquivalenzrelation, der Quotient wird als \emph{projektiver + Raum}\index{projektiver Raum} bezeichnet. Die Schreibweise $ℙ^n$ ist + üblich. Die Äquivalenzklasse eines Vektors + \[ + \vec{v} = \begin{pmatrix} + x_1 \\ \vdots \\ x_n + \end{pmatrix} + ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0}\} + \] + wird meist mit $[\vec{v}]$ oder $[x_1 : ⋯ : x_n]$ bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Im projektiven Raum $ℙ²_{ℂ}$ gilt die Gleichung $[1:2:3] = [2:4:6]$. Die + Ausdrücke + \[ + \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1+2·x_2-x_3 = 0 \bigr\}, \quad % + \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1·x_2-x²_3 = 0 \bigr\} + \] + beschreiben eine sinnvoll definierte Teilmenge des $ℙ²_k$. Im Vergleich + dazu ist der Ausdruck + \[ + \bigl\{ [x_1 : x_2 : x_3] ∈ ℙ²_k \::\: x_1 = 1 \bigr\} + \] + völlig unsinnig. +\end{bsp} + + +\subsection{Andere, äquivalente Definitionen} + +Im Vergleich zur äquivalenten Definition ``der projektive Raum ist die Menge der +Ursprungsgeraden im $k^{n+1}$'' ist Definition~\ref{defn:15-1-1} vielleicht +etwas technischer, aber dafür in der Praxis bequemer anzuwenden. Als weitere +(und ebenfalls äquivalente) Definition könnte man die Gruppenwirkung +\[ + k^* ⨯ \left( k^{n+1} ∖ \bigl\{ \vec{0} \bigr\} \right), \quad + \bigl(λ, \vec{v}\bigr) ↦ λ·\vec{v} +\] +betrachten und den projektiven Raum als den Bahnenraum dieser Wirkung +definieren. Im Fall $k = ℝ$ könnte man auch die Einheitssphäre +$S^{n} ⊂ ℝ^{n+1}$ betrachten und sich überlegen, dass jede Ursprungsgerade die +Sphäre in genau zwei Antipodenpunkten schneidet. Der projektive Raum $ℙ^n_ℝ$ +kann also auch als Quotient der Sphäre definiert werden, +\[ + ℙ^n_ℝ = \factor{S^n}{\{± 1\}}, +\] +wobei die Gruppe $\{ ± 1\}$ auf $S^n$ durch Multiplikation wirkt, also jeweils +genau die Antipodenpunkte vertauscht. + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] + Überlegen Sie sich, dass $ℙ¹_ℝ$ topologisch isomorph zum Einheitskreis ist. + Wie stellen sie sich im Vergleich dazu die reelle projektive Ebene + $ℙ²_ℝ = \factor{S²}{\{± 1\}}$ vor? Warum gibt es zwischen diesen beiden + Beispielen so große Unterschiede? Und warum zeige ich Ihnen jetzt + \href{https://opc.mfo.de/detail?photo_id=23998}{dieses Foto von Andreas + Demleitner}? +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] + Der projektive Raum $ℙ¹_ℂ$ ist eine reell-zweidimensionale Mannigfaltigkeit. + Welche? Wie stellen Sie sich diesen Raum vor? Warum ist $ℙ¹_ℂ$ so viel + einfacher als $ℙ²_ℝ$? +\end{aufgabe} + + +\section{Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums} +\label{sec:15-2} + +Im Abschnitt~\ref{sec:14-1} hatte ich erklärt, dass der projektive Raum eine +Vervollständigung des affinen Raums sein sollte. Bislang ist dieser +Zusammenhang aber vielleicht nicht sehr klar. Jetzt muss ich also erklären, +wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die +``unendlich fernen Punkte'' eigentlich sind. + +\begin{bsp}[Der projektive Raum als Vervollständigung des affinen Raums]\label{bsp:pss} + Wir betrachten den Anschauungsraum $ℝ³$. Zeichnen Sie dazu auf ihrer + Tischplatte die $x$- und $y$-Achse ein; die $z$-Achse geht nach oben. Jetzt + betten Sie die Euklidische Ebene $ℝ²$ in den $ℝ³$ ein. Ich mache dies, + indem ich mithilfe der Abbildung + \[ + ι : ℝ² → ℝ³, \quad (x,y) ↦ (x,y,1) + \] + die Euklidische Ebene mit der Menge $\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: z = 1 \}$ + identifiziere. Nehmen Sie als Euklidische Ebene ein sauberes Blatt Papier, + tragen Sie auch dort die $x$- und $y$-Achse ein und halten Sie das Blatt eine + handbreit über den Tisch. Jeder Punkt $(x,y) ∈ ℝ²$ liefert mir jetzt einen + Punkt auf dem Papier, dessen Koordinaten im Anschauungsraum gleich + $ι(x,y) = (x,y,1)$ sind. Die Ursprungsgerade durch diesen Punkt ist die + Gerade $[x:y:1]$. + + Wir erhalten auf diese sehr geometrische Weise eine injektive Abbildung + \[ + φ_2 : ℝ² → ℙ²_ℝ, \quad (x,y) ↦ [x:y:1], + \] + die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_{ℝ}$ aufzufassen. + Die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass + die Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die + Menge + \[ + ℓ := \bigl\{ [x:y:z] ∈ ℙ²_ℝ \::\: z = 0 \bigr\}. + \] + ist. Man nennt $ℓ$ die Menge der ``unendlich fernen Punkte''. Die + Abbildung + \[ + ℙ¹_ℝ → ℙ²_ℝ, \quad [x:y] ↦ [x:y:0] + \] + identifiziert die Menge $ℓ$ mit der projektiven Gerade $ℙ¹_ℝ$. +\end{bsp} + + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] + Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier + (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Gerade + \[ + G := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: a·x+b·y = 0 \bigr\}. + \] + Verfolgen Sie die Gerade ins Unendliche und verfolgen Sie die zugehörenden + Ursprungsgeraden (= Punkte des $ℙ²_ℝ$). Welche Ursprungsgerade (= welcher + Punkt des $ℙ²_ℝ$) ergibt sich als Grenzwert? Zeichnen Sie jetzt eine zu $G$ + parallele Gerade und lösen Sie dieselbe Aufgabe. Erkennen Sie, dass die + ``unendlich fernen'' Punkte etwas mit ``Asymptotenrichtungen'' zu tun haben. +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-3} + Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier + (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normparabel + \[ + P := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: y = x² \bigr\}. + \] + Verfolgen Sie die beiden Äste der Parabel ins Unendliche. Welche + Ursprungsgeraden (= welche Punkte des $ℙ²_ℝ$) ergeben sich als Grenzwert? Wie + wird die Parabel durch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte + kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch? +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!]\label{exe:15-2-4} + Wir bleiben bei Beispiel~\ref{bsp:pss}. Zeichnen Sie auf das Blatt Papier + (das immer noch eine handbreit über der Tischplatte schwebt) die Normhyperbel + \[ + H := \bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x·y = 1 \bigr\}. + \] + Verfolgen Sie die vier Äste der Hyperbel ins Unendliche. Welche + Ursprungsgeraden (= welche Punkte des $ℙ²_ℝ$) ergeben sich als Grenzwert? Wie + wird die Hyperbel durch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte + kompaktifiziert und welcher Raum entsteht dadurch? +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] + In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' hatten Sie den Satz des Appolonius von + Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Apollonios + von Perge} (lateinisch Apollonius Pergaeus; * ca.\ 265 v.\ Chr.\ in Perge; + † ca.\ 190 v.\ Chr.\ in Alexandria) war ein antiker griechischer + Mathematiker, bekannt für sein Buch über Kegelschnitte. In der Astronomie + trug er zur Theorie der Mond- und Planetenbewegung bei, die später Ptolemäus + in sein Lehrbuch übernahm.} kennengelernt, der die Koniken\footnote{Im + Zweidimensionalen gilt: Konik = Kegelschnitt = Lösungsmengen von Gleichung + vom Grad zwei} klassifiziert. Vergleichen Sie Ihre Lösungen der + Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und erkennen Sie, dass der + projektive Raum die Klassifikation offenbar erheblich vereinfacht! +\end{aufgabe} + +\begin{notation}[Standardmengen und unendlich ferne Punkte]\label{not:15-2-6} + Gegeben einen Körper $k$ und Zahlen $i ≤ n$, dann diskutiert man im + Zusammenhang mit projektiven Räumen oft die Mengen + \[ + U_i := \bigl\{ [x_0 : ⋯ : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: x_i ≠ 0 \bigr\}. + \] + Die Abbildungen + \[ + φ_i : 𝔸^n_k → U_i, \quad (x_1, …, x_n) ↦ [x_1, …, x_{i-1}, 1, x_i, …, x_n] + \] + sind bijektiv. Es ist üblich, sich auf die Abbildung $φ_n$ zu konzentrieren + und den affinen Raum $𝔸^n_k$ mithilfe dieser Abbildung als Teilmenge des + $ℙ^n_k$ aufzufassen. Das Komplement + \[ + ℙ^n_k ∖ U_0 = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: x_n ≠ 0 \bigr\} + \] + wird dabei als Menge der \emph{unendlich fernen Punkte}\index{unendlich ferne + Punkte} bezeichnet. Die Abbildung + \[ + ℙ^{n-1}_k → ℙ^n_k, \quad [x_0 : … : x_{n-1}] ↦ [x_0 : … : x_{n-1} : 1] + \] + identifiziert die Menge der unendlich fernen Punkte mit einem projektiven Raum + kleinerer Dimension. + + Die Vereinigung der Mengen $U_i$ ist offenbar der ganze projektive Raum. Man + nennt die $U_i$ daher oft die \emph{Standardüberdeckung des projektiven + Raums}\index{Standardüberdeckung des projektiven Raums}. Die Abbildungen + $φ_i$ werden oft als \emph{Standardkarten des projektiven + Raums}\index{Standardkarten des projektiven Raums} bezeichnet. +\end{notation} + +\begin{bemerkung}[Der projektive Raum als Mannigfaltigkeit] + Es sei $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Wenn Sie Analysis~III, Differenzialgeometrie + oder eine ähnliche Vorlesung gehört haben, dann wissen Sie, dass die + Abbildungen $φ_i$ aus Notation~\ref{not:15-2-6} Karten sind, die die Menge + $ℙ^n_k$ mit der Struktur einer differenzierbaren (bzw.~holomorphen) + Mannigfaltigkeit versehen. +\end{bemerkung} + + +\subsection{Projektivitäten} + +Die Diskussion des affinen Raumes führt früher oder später zur Diskussion des +Symmetriegruppe des affinen Raumes, nämliche der Gruppe der affinen +Transformationen, an die ich in \ref{erinn:14-2-1} ja nocheinmal erinnert hatte. +Das projektive Gegenstück zur affinen Transformation ist die projektive +Transformation, die in der Literatur oft auch als ``projektivität'' bezeichnet wird. + +\begin{defn}[Projektivitäten] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Abbildung + $φ : ℙ^n → ℙ^n$ heißt \emph{projektive Transformation}\index{projektive + Transformation} oder \emph{Projektivität}\index{Projektivität}, wenn es eine + invertierbare Matrix $A ∈ \GL_{n+1}(k)$ gibt, sodass für alle + $\vec v ∈ k^{n+1}$ die Gleichung + \[ + φ\left(\left[\vec v\right]\right) = \left[A·\vec{v}\right] + \] + gilt. +\end{defn} + +Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($→$ Vorlesung +``Elementargeometrie''). Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. +Manche der Projektivitäten werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ +abbilden. Gegeben eine solche Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen +$𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass +die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man auf diese Weise erhält, exakt die +affinen Transformationen der affinen Ebene $𝔸²_k$ sind. In diesem Sinne +verallgemeinern die Projektiven die affinen Transformationen also. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/16.tex b/16.tex new file mode 100644 index 0000000..bf5970f --- /dev/null +++ b/16.tex @@ -0,0 +1,403 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Algebraische Mengen des projektiven Raums} + +Wie bereits für den affinen Raum ausführlich diskutiert, möchten wir auch im +projektiven Raum Nullstellenmengen von Polynomen diskutieren. Das ist natürlich +nicht ohne weiteres möglich, denn wir hatten ja oben schon gesehen, dass ein +Ausdruck der Form +\[ + \bigl\{ [x:y] ∈ ℙ¹_k \::\: x²-y = 0 \bigr\} +\] +gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ℙ¹_k$, aber es ist + $1²-1 = 0$, während $2²-2 ≠ 0$ ist.}. + +\begin{beobachtung} + Es sei $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann gilt für + jeden Vektor $(x_0, …, x_n) ∈ k^n$ und jedes Skalar $λ ∈ k$ die Gleichung + \[ + f(λ·x_0, …, λ·x_n) = λ^d·f(x_0, …, x_n). + \] + Insbesondere gilt: wenn ich Vektoren $\vec{x} = (x_0, …, x_n)$ und + $\vec{y} = (y_0, …, y_n)$ im $k^{n-1}$ habe, sodass + $[x_0 : … : x_n] = [y_0 : … : y_n] ∈ ℙ^n_k$ ist, dann ist $f(\vec{x}) = 0$ + genau dann, wenn $f(\vec{y}) = 0$ ist. Die Menge + \[ + V_{ℙ}(f) = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 0 \bigr\} + \] + ist also wohldefiniert. +\end{beobachtung} + +\begin{warnung} + Selbst wenn $f$ homogen ist, ist ein Ausdruck der Form + \[ + \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: f(x_0, …, x_n) = 1 \bigr\} + \] + im Allgemeinen völlig unsinnig. +\end{warnung} + +Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ +irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der +``Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $ℙ^n_k$'' sprechen. +Falls das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der +Nullstellenmenge sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind +prototypische Beispiele von dem, was wir in Kürze als ``algebraische Teilmengen +des projektiven Raums'' definieren werden. + + + +\section{Algebraische Teilmengen des projektiven Raums} + +Bislang haben wir Nullstellenmengen eines einzelnen homogenen Polynoms +betrachtet. Am Ende des Tages interessieren wir uns natürlich wieder für die +gemeinsame Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen, wobei jedes einzelne +Polynom homogen sein soll. + +\begin{defn}[Algebraische Teilmengen des $ℙ^n_k$]\label{defn:15-4-1} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Teilmenge $A ⊂ ℙ^n_k$ + heißt \emph{algebraisch}\index{algebraische Teilmenge des $ℙ^n_k$}, wenn es + homogene Polynome $f_1, …,f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$ gibt, sodass die folgende + Gleichheit gilt, + \[ + A = \bigl\{ [x_0: … : x_n] ∈ ℙ^n \::\: f_1(x_0, …, x_n) = ⋯ = f_m(x_0, …, + x_n) = 0 \bigr\}. + \] +\end{defn} + +Beachten Sie wie oben, dass die Homogenität der Polynome $f_i$ garantiert, dass +die Menge $A$ wohldefiniert ist. Geometrisch kann ich das so verstehen: Die +Homogenität der Polynome garantiert, dass die Nullstellenmenge +$V(f_1, …, f_m) ⊂ k^{n+1}$ ein Kegel ist. Was war nochmal ein Kegel? + +\begin{defn}[Kegel] + Es sei $k$ ein Körper und es sei $A ⊂ k^{n+1}$ eine Teilmenge. Man nennt $A$ + einen \emph{Kegel}\index{Kegel}, wenn $A$ invariant unter skalarer + Multiplikation ist. Genauer: wenn für jedes Element $λ ∈ k^*$ die Gleichung + $λ·A = A$ gilt, wobei $λ·A := \{ λ·a \::\: a ∈ A \}$ ist. +\end{defn} + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/16-cone.png} + + \caption{Kegel $\{ x²y²-z⁴ \} $} + \label{fig:cone} +\end{figure} + +\begin{bsp}[Gestalt von Kegeln]\label{bsp:15-4-3} + Es sei $k$ ein Körper. Jeder Kegel $A ⊆ k^{n+1}$ ist von einer der folgenden + Formen. + \begin{itemize} + \item Die leere Menge und der Nullpunkt, $∅$ und $\{ \vec{0} \}$. + \item Die Vereinigung von endlich oder unendlich vielen Ursprungsgeraden. + \end{itemize} +\end{bsp} + +Die Ursprungsgeraden aus Beispiel~\ref{bsp:15-4-3} sind natürlich per Definition +exakt die Punkte des projektiven Raumes $ℙ^n_k$. Der Zusammenhang von Kegeln +und Teilmengen des projektiven Raums ist damit klar: Gegeben ein Kegel +$V ⊂ k^{n+1}$, dann erhalte eine Menge +\[ + \mathbb{V} = \bigl\{ [x_0 : … : x_n] ∈ ℙ^n_k \::\: (x_0, …, x_n) ∈ V \bigr\}. +\] +Gegeben eine Menge $\mathbb{V} ⊂ ℙ^n_k$, dann ist die zugehörige Menge +\[ + V = \bigl\{ (x_0, …, x_n) ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \} \::\: [x_0 : … : x_n] ∈ + \mathbb{V} \bigr\} ∪ \{ \vec{0} \} +\] +ein Kegel. + + +\section{Kegel und homogene Ideale} + +\sideremark{Vorlesung 20}Der Kern unseres Wörterbuchs ``Algebra und Geometrie'' +war der Zusammenhang zwischen algebraischen Teilmengen des $𝔸^n_k$ und den +Idealen im Polynomring $k[x_1, …, x_n]$. In völliger Analogie möchte ich jetzt +einen Zusammenhang herstellen zwischen den algebraischen Teilmengen des $ℙ^n_k$ +(= den algebraischen Mengen im $k^{n+1}$, die Kegelgestalt haben) und den +Idealen in $k[x_0, …, x_n]$, die zu diesen Kegeln gehören. Die nächsten beiden +Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt. + +\begin{satzdef}[Homogene Ideale]\label{satz:16-2-1} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein Ideal. Dann sind + folgende Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:15-4-2-1} Das Ideal $I$ ist von homogenen Polynomen erzeugt. + Genauer: es gibt homogene Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass + die Gleichheit $I = (f_1, …, f_m)$ gilt. + + \item\label{il:15-4-2-2} Für alle Polynome $g ∈ I$ gilt Folgendes. Wenn ich + $g$ als Summe von homogenen Polynomen schreibe, $g = g_0 + g_1 + ⋯ + g_d$, + dann liegt jeder Summand $g_i$ selbst im Ideal $I$. + \end{enumerate} + Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt ist, nennt man $I$ ein + \emph{homogenes Ideal}\index{homogenes Ideal}. +\end{satzdef} +\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-1} $⇒$ \ref{il:15-4-2-2}] + Angenommen, es gäbe homogene Erzeuger $f_•$ wie in \ref{il:15-4-2-1}. Weiter + sei $g ∈ I$ irgendein Element. Dann gibt es per Annahme Polynomen + $α_i ∈ k[x_0, …, x_n]$, sodass die Gleichheit + \[ + g = \sum_i α_i·f_i + \] + gilt. Schreibe die $α_i$ als Summe von homogenen Polynomen, + $α_i = \sum_d α_{i,d}$. Wir erhalten die Gleichung + \[ + g = \sum_i \sum_d α_{i,d}·f_i. + \] + Jeder der Summanden ist homogen und liegt in $I$, also liegen alle homogenen + Komponenten von $g$ in $I$. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis \ref{il:15-4-2-2} $⇒$ \ref{il:15-4-2-1}] + Weil der Ring $k[x_0, …, x_n]$ Noethersch ist, finden wir einen endlichen Satz + von Erzeugern $I = (g_1, …, g_m)$. Schreibe jedes der $g_i$ als Summe von + homogenen Polynomen, + \[ + g_i = g_{i,0} + ⋯ + g_{i,d_i}. + \] + Nach Annahme liegen alle Summanden im Ideal, $g_{i,j} ∈ I$, und also ist + $I = (g_{i,j} \mid 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ d_i )$. +\end{proof} + +Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein +Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist +$V(I) = V(f_1, …, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{ℙ}(I) ⊂ ℙ^n_n$. +Die Umkehrung gilt, sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. + +\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei + $I ⊂ k[x_0,…,x_n]$ ein Radikalideal, sodass $V(I)$ ein Kegel ist. Dann ist + das Ideal $I$ homogen. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir werden die Eigenschaft~\ref{il:15-4-2-2} zeigen. Sei also $f ∈ I$ ein + Element und sei $f = \sum f_i$ die Darstellung von $f$ als Summe von homogenen + Polynomen. Wir müssen zeigen, dass alle Summanden $f_•$ wieder in $I$ liegen. + Weil $I$ ein Radikalideal ist, genügt es nach dem starken Hilbertschen + Nullstellensatz, Satz~\vref{satz:5-6-8}, zu zeigen, dass für jeden Punkt + $\vec{x} ∈ V(I)$ und jeden homogenen Summanden $f_•$ die Gleichheit + $f_•(\vec{x}) = 0$ gilt. + + Betrachte dazu die polynomielle Funktion + \[ + g : k → k, \quad λ ↦ f(λ·\vec{x}). + \] + Weil $V(I)$ ein Kegel ist, ist klar, dass die Punkte $λ·\vec{x}$ stets wieder + in $V(I)$ liegen. Die Abbildung $g$ ist also die Nullfunktion. Auf der + anderen Seite ist + \[ + g(λ) = \sum λⁱ·f_i(\vec{x}). + \] + Weil der Körper $k$ per Annahme algebraisch abgeschlossen ist, folgt dann + aber, dass alle Koeffizienten $f_i(\vec{x})$ verschwinden müssen. +\end{proof} + +Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ erhalten wir also zwei +Abbildungen, +\begin{align*} + V_ℙ &: \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \\ + I_ℙ &: \lbrace \text{ Mengen in } ℙ^n_k \rbrace \longrightarrow \lbrace \text{ homogene Ideale in } k[x_0, …, x_n] \rbrace, +\end{align*} +die uns noch viel Freude bereiten werden. Alle Sätze, die wir im Laufe dieser +Vorlesung für algebraische Teilmengen des affinen Raumes bewiesen haben, gelten +\emph{mutatis mutandis} auch für algebraische Teilmengen des projektiven Raumes, +wenn man an der entscheidenden Stelle das Wort ``homogen'' einfügt. Ich nenne +einige solche Sätze ohne Beweis. + +\begin{fakt}[Operationen von homogenen Idealen] + Es sei $k$ ein Körper. Durchschnitte, Produkte, Summen und Radikale von + homogenen Idealen in $k[x_0, …, x_n]$ sind wieder homogene Ideale. \qed +\end{fakt} + +\begin{fakt}[Homogene Primideale] + Es sei $k$ ein Körper. Um zu testen, ob ein homogenes Ideal + $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ prim ist, genügt es die Bedingung $ab ∈ I ⇒ a ∈ I$ oder + $b ∈ I$ für homogene Elemente $a$ und $b$ zu überprüfen. \qed +\end{fakt} + +\begin{fakt}[Homogener Nullstellensatz] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei + $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ ein homogenes Ideal. + \begin{enumerate} + \item Wenn $V_{ℙ}(I) = ∅$ ist, dann ist $\sqrt{I} = (1)$ oder + $\sqrt{I} = (x_0, …, x_n)$. + + \item Wenn $V_{ℙ}(I) ≠ ∅$ ist, dann ist + $\sqrt{I} = I_{ℙ}\bigl(V_{ℙ}(I)\bigr)$. \qed + \end{enumerate} +\end{fakt} + +\begin{notation}[Das irrelevante Ideal] + Im Zusammenhang mit dem homogenen Nullstellensatz nennt man das Ideal + $(x_0, …, x_n) ⊂ k[x_0, …, x_n]$, welches die leere Teilmenge des projektiven + Raumes definiert, auch das \emph{irrelevante Ideal}\index{irrelevante Ideal}. +\end{notation} + +\begin{fakt} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann existierten die in + Tabelle~\ref{tab:15-1} gezeigten Korrespondenzen. \qed + \begin{table} + \centering + + \begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}} + \rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\ + homogene Radikalideale & algebraische Mengen \\ + homogene Primideale & irreduzible Mengen \\ + homogene Radikalideale sind Durchschnitte von homogenen Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten + \end{tabular} + + \caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des projektiven Raums} + \label{tab:15-1} + \end{table} +\end{fakt} + + +\section{Die Zariski-Topologie} + +Im Abschnitt~\vref{sec:5-4} hatten wir die Zariski-Topologie auf dem Raum $k^n$ +eingeführt. Als direkte Konsequenz der oben genannten Fakten funktioniert die +Konstruktion der Topologie auch für den projektiven Raum. + +\begin{faktdef}[Zariski-Topologie] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die algebraischen + Teilmengen des $ℙ^n_k$ erfüllen die Axiome für abgeschlossenen Mengen eines + topologischen Raums. Die so definierte Topologie auf $ℙ^n_k$ wird + \emph{Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} genannt. \qed +\end{faktdef} + +\begin{aufgabe} + Stellen Sie fest, dass die im Abschnitt~\ref{sec:15-2} diskutierten Mengen + $U_i$ aus der Standardüberdeckung des $ℙ^n$ bezüglich der Zariski-Topologie + des $ℙ^n$ offen sind. Durch welche Gleichung ist das Komplement der Menge + $U_i$ gegeben? +\end{aufgabe} + +Sie dürfen an dieser Stelle verwirrt sein. Wenn ich die Standardkarte +\[ + φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k +\] +betrachte, dann sehe ich auf der Standardmenge $U_i$ zwei Topologien, die beide +den Namen ``Zariski-Topologie'' verdienen. +\begin{itemize} +\item Zum einen definiert die Zariski-Topologie des projektiven Raumes $ℙ^n_k$ + auf der offenen Menge $U_i ⊂ ℙ^n_k$ die Teilraumtopologie. + +\item Zum anderen wissen wir, dass die Standardkarte $φ_i$ den Raum $𝔸^n_k$ + bijektiv auf die Menge $U_i$ abbildet. Also definiert die Zariski-Topologie + des affinen Raumes $𝔸^n_k$ mithilfe der Abbildung $φ_i$ ebenfalls eine + Topologie auf $U_i$. +\end{itemize} +Die Frage ist, welcher Unterschied zwischen diesen Konstruktionen besteht. Die +Antwort lautet zum Glück: ``Gar keiner!''. + +\begin{prop}[Vergleich der Zariski-Topologien]\label{prop:16-3-3} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Standardkarte + \[ + φ_i : 𝔸^n_k → U_i ⊂ ℙ^n_k + \] + ist ein Homöomorphismus zwischen dem topologischen Raum $𝔸^n_k$ (versehen mit + der Zariski-Topologie) und dem Raum $U_i$ (versehen mit der Teilraumtopologie, + die von der Zariski-Topologie des $ℙ^n_k$ induziert ist). +\end{prop} + +Der (einfache) Beweis kommt gleich. Zuerst möchte ich die Gelegenheit nutzen, +um vorab noch zwei Konstruktionen einzuführen, die wir später viel benutzen +werden. + +\begin{konstruktion}[Homogenisierung]\label{kons:hom} + Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ irgendein Polynom. + Das Polynom $f$ ist vielleicht überhaupt nicht homogen, aber es kann (wie + jedes Polynom) als Summe von homogenen Polynomen geschrieben werden, + \[ + f(x_0, …, x_{n-1}) = \sum_{i=0}^{\deg f} f_i(x_0, …, x_{n-1}), + \] + wobei $f_i$ homogen vom Grad $i$ ist. Durch Hinzufügen einer weiteren + Variable kann ich jetzt wie folgt ein homogenes Polynom konstruieren, + \[ + f^*(x_0, …, x_n) := \sum_{i=0}^{\deg f} x_n^{(\deg f)-i}·f_i(x_0, …, + x_{n-1}). + \] + Wir erhalten eine Abbildung + \[ + •^* : k[x_0, …, x_{n-1}] → \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n] + \}, + \] + die oft als \emph{Homogenisierung}\index{Homogenisierung} bezeichnet wird. +\end{konstruktion} + +\begin{konstruktion}[Dehomogenisierung]\label{kons:dehom} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei + $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ irgendein homogenes Polynom. Dann kann ich wie folgt ein + Polynom in weniger Variablen konstruieren, + \[ + f_*(x_0, …, x_{n-1}) := f(x_0, …, x_{n-1}, 1). + \] + Wir erhalten eine Abbildung + \[ + •_* : \{ \text{homogene Polynome in } k[x_0, …, x_n] \} → k[x_0, …, + x_{n-1}], + \] + die oft als \emph{Dehomogenisierung}\index{Dehomogenisierung} bezeichnet wird. +\end{konstruktion} + +\begin{aufgabe} + In wieweit sind Homogenisierung und Dehomogenisierung zueinander inverse + Abbildungen? +\end{aufgabe} + +\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:16-3-3}] + Wir führen den Beweis nur im Fall $i = n$. Da wir schon wissen, dass die + Standardkarte $φ_n$ bijektiv ist, genügt es, folgende Aussagen zu zeigen. + \begin{itemize} + \item Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ ℙ^n_k$ + eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von + homogenen Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass + die Urbildmenge $φ_n^{-1}(X)$ exakt die Nullstellenmenge der + dehomogenisierten Polynome $f^*_1, …, f^*_m ∈ k[x_0, …, x_{n-1}]$ ist. + + \item Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ + eine algebraische Menge, gegeben als gemeinsame Nullstellenmenge von + Polynomen $f_1, …, f_m ∈ k[x_0, …, x_{n_1}]$. Betrachte die gemeinsame + Nullstellenmenge $Y ⊂ ℙ^n_k$ der homogenisierten Polynome + $(f_1)_*, …, (f_m)_* ∈ k[x_0, …, x_n]$. Rechnen Sie nach, dass + $φ_n(X) = Y ∩ U_n$ ist. Also ist $φ_n(X)$ bezüglich der Teilraumtopologie + abgeschlossen in $U_n ⊂ ℙ^n_k$. \qedhere + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{bsp}[Koniken, wieder einmal]\label{bsp:konik} + Betrachte die Menge + \[ + X := \bigl\{ [x : y : z] ∈ ℙ²_k \::\: x·y-z² = 0 \bigr\}. + \] + Um einen Eindruck von der Menge $X$ zu bekommen, identifizieren wir die affine + Ebene $𝔸²_k$ wie üblich mit der Menge $U_2$ und betrachte die Schnittmenge von + $X$ mit dieser affinen Ebene, + \[ + φ_2^{-1}(X) = \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x·y-1 = 0 \bigr\}. + \] + Das ist offensichtlich die Normhyperbel. Die Sache macht neugierig, wir haben + ja noch die anderen Standardkarten. Also rechne ich aus: + \[ + φ_1^{-1}(X) = \bigl\{ (x,z) ∈ 𝔸²_k \::\: x·1-z² = 0 \bigr\} + \] + und das ist die Normparabel! Die letzte Kartenabbildung, + \[ + φ_0^{-1}(X) = \bigl\{ (y,z) ∈ 𝔸²_k \::\: 1·y-z² = 0 \bigr\} + \] + liefert ebenfalls die Normparabel. +\end{bsp} + +\begin{aufgabe}[Schärfen Sie Ihre Intuition!] + Vergleichen Sie Beispiel~\ref{bsp:konik} mit ihren Lösungen der + Aufgaben~\ref{exe:15-2-3} und \ref{exe:15-2-4} und machen Sie sich ein Bild. + Was geht hier vor? +\end{aufgabe} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/17.tex b/17.tex new file mode 100644 index 0000000..a561b81 --- /dev/null +++ b/17.tex @@ -0,0 +1,381 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Schnittzahlen von Kurven im $ℙ²$} + +\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich +jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$ +und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven +nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. +Dazu muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau +ist. Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf +Seite~\ref{def:eak} gesehen. + +\begin{defn}[Ebene projektive Kurve]\label{def:epk} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Eine \emph{ebene + projektive Kurve über $k$}\index{ebene projektive Kurve} ist eine + Äquivalenzklasse von homogenen Polynomen in $k[x,y,z] ∖ \{ 0 \}$, wobei zwei + Polynome $F$ und $G$ äquivalent sind, wenn ein $λ ∈ k^*$ existiert, sodass + $F = λ·G$ ist. +\end{defn} + +\begin{bsp} + Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. + Wenn Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie + vielleicht auch die elliptische Kurve $y²z - x³ + 6·xz² - 6·z³$ betrachten. +\end{bsp} + +\begin{bsp}\label{bsp:17-0-3} + Gegeben eine ebene projektive Kurve, repräsentiert durch ein Polynom $F$, und + eine Projektivität $φ$, gegeben durch eine bijektive lineare Abbildung + $A : k^{n+1} → k^{n+1}$. Dann ist $F◦ A$ wieder ein homogenes Polynom + und liefert deshalb wieder eine ebene projektive Kurve. Die Kurve hängt nicht + von der Wahl des Polynom $F$ und der Wahl der Matrix $A$ ab und es gilt + \[ + V_ℙ(F) = φ^{-1}\left( V_ℙ(F◦ A) \right). + \] + Die so erhaltene Kurve wird suggestiv mit $F◦φ$ bezeichnet. +\end{bsp} + +Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von +``Schnittzahl'' einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den +Schnittzahlen unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. +Wenn Sie sich an den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, +dass lokale Ringe eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch +für projektive Kurven einen Begriff von ``lokalen Ring'' einführen. Auf geht's. + + +\section{Rationale Funktionen und lokale Ringe} + +Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem affinen und dem projektiven Raum: +während jedes Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ als Funktion $f: 𝔸^n_k → k$ +aufgefasst werden kann, liefern Polynome $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ praktisch +niemals\footnote{praktisch niemals = niemals, es sei denn, das Polynom $g$ ist + konstant} wohldefinierte Funktionen auf dem $ℙ^n_k$. Dies gilt auch dann, +wenn das Polynom $g$ zufällig homogen sein sollte. Immerhin können wir +rationale Funktionen konstruieren. + +\begin{beobachtung}\label{beob:17-1-1} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $f$ und + $g ∈ k[x_0, …, x_n]$ zwei homogene Polynome vom selben Grad, + $d = \deg f = \deg g$. Falls $\vec{x} ∈ k^{n+1} ∖ \{ \vec{0} \}$ + ein Punkt ist mit $g(\vec{x}) ≠ 0$, dann gilt für jedes Element $λ ∈ k^*$ + die Gleichung + \[ + \frac{f(λ·\vec{x})}{g(λ·\vec{x})} = \frac{λ^d·f(\vec{x})}{λ^d·g(\vec{x})} = + \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}. + \] + Der Quotient $f/g$ liefert also eine Funktion auf $ℙ^n_k$, die zumindest + außerhalb der algebraischen Menge $V_ℙ(g)$ wohldefiniert ist. +\end{beobachtung} + +Die Funktion $f/g$ aus Beobachtung~\ref{beob:17-1-1} könnte auch an einigen +Punkten von $V_ℙ(g)$ sinnvoll definierbar sein, betrachte etwa den Fall +$f = x·y$ und $g = x·z$. Die korrekte Definition von ``rationaler Funktion'' +und ``Definitionsbereich'' ist daher ein wenig aufwändiger als es zunächst +scheint. + +\begin{defn}[Rationale Funktionen auf dem projektiven Raum] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien + $f_1, f_2 ∈ k[x_0, …, x_n]$ und $g_1, g_2 ∈ k[x_0, …, x_n] ∖ \{0\}$ homogene + Polynome mit $\deg f_1 = \deg g_1$ und $\deg f_2 = \deg g_2$. Ich nenne die + Brüche $\frac{f_1}{g_1}$ und $\frac{f_2}{g_2}$ äquivalent, falls für alle + Punkte $p$ der Zariski-offenen Menge $ℙ^n_k ∖ \bigl(V_ℙ(g_1) ∪ V_ℙ(g_2)\bigr)$ + die Gleichheit + \[ + \frac{f_1}{g_1}(p) = \frac{f_2}{g_2}(p) + \] + gilt. Eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$ ist eine Äquivalenzklasse von + Brüchen. +\end{defn} + +\begin{defn}[Definitionsbereich von rationalen Funktionen]\label{def:17-1-3} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $p ∈ ℙ^n_k$ ein + Punkt und es sei $η$ eine rationale Funktion auf dem $ℙ^n_k$. Falls es einen + Vertreter $η = [\frac{f}{g}]$ gibt, sodass $p \not ∈ V_ℙ(g)$ liegt, so sagt + man, die rationale Funktion $η$ ist bei $p$ definiert. Der Menge der + rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, wird mit $𝒪_p(ℙ^n_k)$ + bezeichnet. +\end{defn} + +\begin{bemerkung} + In der Situation aus Definition~\ref{def:17-1-3} sind Summen und Produkte von + rationalen Funktionen, die bei $p$ definiert sind, ebenfalls bei $p$ + definiert. Die Menge $𝒪_p(ℙ^n_k)$ ist daher ein Ring, sogar eine + $k$-Algebra. +\end{bemerkung} + +\begin{konstruktion}[Vergleich von lokalen Ringen]\label{kons:17-1-5} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und es sei + $φ_n : 𝔸^n_k → ℙ^n_k$ die $n$.te Standardkarte. Gegeben sei ein Punkt + $a ∈ 𝔸^n_k$ mit zugehörigem Bildpunkt $p := φ_n(a)$. Rechnen Sie als + Übungsaufgabe in ``Homogenisierung und Dehomogenisierung'' nach, dass die + Abbildungen + \[ + \begin{matrix} + A: 𝒪_p(ℙ^n_k) & → & 𝒪_q(𝔸^n_k), & \quad & \left[ \frac{f}{g} \right] & ↦ & \frac{f_*}{g_*} \\ + B: 𝒪_q(𝔸^n_k) & → & 𝒪_p(ℙ^n_k), & \quad & \frac{f}{g} & ↦ & \frac{x_n^{\deg g^*}·f^*}{x_n^{\deg f^*}·g^*} + \end{matrix} + \] + wohldefinierte, zueinander inverse Morphismen von $k$-Algebren sind. Die + Ringe $𝒪_p(ℙ^n_k)$ und $𝒪_q(𝔸^n_k)$ sind also in natürlicherweise zueinander + isomorphe $k$-Algebren. Insbesondere handelt es sich bei $𝒪_p(ℙ^n_k)$ um + einen lokalen Ring. +\end{konstruktion} + +\begin{bemerkung} + Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} funktioniert natürlich nicht nur für die Karte + $φ_n$, sondern ganz analog für jede der Karten $φ_0, …, φ_n$. +\end{bemerkung} + + +\section{Schnittzahlen von projektiven Kurven} + +Um im Schnittzahlen von ebenen projektiven Kurven zu definieren, verwenden wir +die Formel, die sich beim Beweis von Satz~\ref{satz:EES} ergeben hat. Dazu muss +ich aber erst noch klarstellen, welche Ideale im lokalen Ring ich genau +betrachten möchte. + +\begin{beobachtung}[Ideale im lokalen Ring]\label{beob:17-2-1} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und + $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei + $p=[p_1:p_2:p_3] ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann gibt es mindestens einen Index $i$, so + dass $p_i ≠ 0$ ist. Gegeben einen solchen Index $i$, betrachten wir die + rationalen Funktionen $\frac{F}{x_i^{\deg F}}$ und + $\frac{G}{x_i^{\deg G}} ∈ 𝒪_p(ℙ²)$, sowie das davon erzeugte Ideal + \[ + I_{F,G,p} := \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G}} \right) ⊂ + 𝒪_p(ℙ²). + \] + Wir fragen uns natürlich, inwieweit das Ideal $I_{F,G,p}$ von der Wahl des + Index $i$ abhängt. Die Antwort ist: gar nicht. Ist nämlich $j$ ein weiterer + Index mit $p_j ≠ 0$, dann gilt im lokalen Ring $𝒪_p(ℙ²)$ die Gleichung + \[ + \frac{F}{x_j^{\deg F}} = \frac{F}{x_i^{\deg F}} · + \underbrace{\frac{x_i^{\deg F}}{x_j^{\deg F}}}_{\mathclap{\text{Einheit in + }𝒪_p(ℙ²)}} ∈ 𝒪_p(ℙ²). + \] + Also sind die von diesen Elementen erzeugten Ideale gleich, + \[ + \left( \frac{F}{x_i^{\deg F}}, \frac{G}{x_i^{\deg G }} \right) = \left( + \frac{F}{x_j^{\deg F}}, \frac{G}{x_j^{\deg G}} \right) ⊂ 𝒪_p(ℙ²). + \] +\end{beobachtung} + +Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen. + +\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und + $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. + Dann definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven + Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als + \[ + \Int_p(F, G) := \dim_k \factor{𝒪_p(ℙ²)}{I_{F,G,p}}, + \] + wobei $I_{F,G,p} ⊆ 𝒪_p(ℙ²)$ das in Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} + diskutierte Ideal ist. +\end{defn} + +\begin{beobachtung}[Berechnung von Schnittzahlen]\label{beob:17-2-3} + Konstruktion~\ref{kons:17-1-5} zeigt uns, wie man Schnittzahlen ganz konkret + ausrechnet. Falls in der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} die + dritte Koordinate des Punktes $p$ ungleich Null ist, dann liegt $p$ im Bild + der Standardkarte $φ_3$ und es ist + \[ + \Int_p(F, G) = \Int_{φ^{-1}_n(p)} (F_*, G_*), + \] + wobei auf der rechten Seite der Gleichung die bekannte Schnittzahl von Kurven + im affinen Raum $𝔸²_k$ steht. Falls $=[p_0:p_1:p_2]$ ist, dann hat der Punkt + $φ^{-1}_n(p)$ die Koordinaten + $\left( \frac{p_0}{p_2}, \frac{p_1}{p_2} \right)$ und die Schnittzahl kann + mithilfe des Algorithmus aus Bemerkung~\ref{bem:14-2-8} bestimmt werden. + + Falls nicht die dritte, sondern eine andere Koordinate des Punktes $p$ + ungleich Null ist, dann verfahre man analog, statt mit der Karte $φ_2$ dann + eben mit einer der anderen Karten $φ_0$ oder $φ_1$. +\end{beobachtung} + +Die Schnittzahlen von projektiven Kurven lassen sich natürlich genau wie die +Schnittzahlen von affinen Kurven durch eine Liste von Eigenschaften beschreiben, +die exakt den Eigenschaften~\ref{il:14-2-1-1}--\ref{il:14-2-1-7} entsprechen. +Beobachtung~\ref{beob:17-2-3} stellt den Zusammenhang her. Ich möchte dies +jetzt aber nicht vertiefen und weise nur auf die folgende Eigenschaft hin. Den +(langweiligen) Beweis lasse ich weg. + +\begin{fakt}[Invarianz von Schnittzahlen unter Projektivitäten]\label{fakt:17-2-4} + In der Situation von Definition~\ref{def:schnittzahlp} sei eine Projektivität + $φ$ gegeben. Falls ich mich nicht mit den Vorzeichen geirrt habe, gilt dann + die Gleichung + \[ + \Int_p(F, G) = \Int_{φ^{-1}(p)}(F◦φ, G◦φ), + \] + wobei die Notation $F◦φ$ wie in Beispiel~\ref{bsp:17-0-3} verwendet wird. + \qed +\end{fakt} + + +\section{Der Satz von Bézout} + +\sideremark{Vorlesung 22}Nach allen Vorbereitungen kommen wir jetzt zum +versprochenen Satz von +Bézout\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/\%C3\%89tienne_B\%C3\%A9zout}{Étienne + Bézout} (* 31. März 1730 in Nemours, Département Seine-et-Marne; † 27. + September 1783 in Avon) war ein französischer Mathematiker.} über die +Schnittzahlen von projektiven Kurven. + +\begin{satz}[Satz von Bézout] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und + $G ∈ k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. + Dann gilt die Gleichung + \[ + \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G). + \] +\end{satz} +\begin{proof} + Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen + Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu + vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. + Weil die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die + Schnittmenge von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer + geeigneten Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne + Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass keiner der Schnittpunkte auf + der unendlich fernen Geraden $\{z=0\}$ liegt. Es gelten dann die Gleichungen + \begin{align*} + \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) & = \sum_{a ∈ 𝔸²} \Int_p(F_*, G_*) && \text{Beobachtung~\ref{beob:17-2-3}} \\ + & = \dim_k \factor{k[x,y]}{(F_*, G_*)} && \text{Erw.~Erinnerung~\ref{erin:14-2-6}} + \end{align*} + Um die Zahl der Buchstaben zu reduzieren schreiben wir noch + \begin{align*} + n & := \deg G & m & := \deg G \\ + R & := k[x,y,z] & Γ &:= \factor{k[x,y,z]}{(F, G)} + \end{align*} + und weil $(F, G)$ ein homogenes Ideal ist, können wir für jede Zahl $d$ auch + noch die Mengen $R_d ⊂ R$ und $Γ_d ⊂ Γ$ der homogenen Elemente vom Grad $d$ + betrachten. Das Ziel ist jetzt, für ausreichend große Zahlen $d$ die + folgenden Gleichungen zu beweisen, + \begin{align} + \label{eq:17-3-1-1} \dim_k Γ_* & = \dim_k Γ_d \\ + \label{eq:17-3-1-2} \dim_k Γ_d & = n·m + \end{align} + Zur besseren Lesbarkeit ist der Beweis in drei relativ unabhängige Schritte + aufgeteilt. + + \bigskip\noindent\textbf{Schritt 1} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-2} + für alle $d ≥ n+m$. \video{22-1} + + \bigskip\noindent\textbf{Schritt 2} Multiplikation mit der Variablen $z$ + liefert eine wohldefinierte Abbildung des Quotientenringes, + \[ + α : Γ → Γ, \quad [H] ↦ [z·H]. + \] + Ich zeige im \video{22-2}, dass diese Abbildung injektiv ist. Die + Einschränkung auf homogene Formen vom Grad $d$ liefert dann eine (ebenfalls + injektive) Abbildung $α_d : Γ_d → Γ_{d+1}$. Falls $d ≥ n+m$ ist, dann wissen + wir aber schon aus Schritt 1, dass $Γ_d$ und $Γ_{d+1}$ dieselbe + Vektorraumdimension haben. Also muss die Abbildung $α_d$ für solche $d$ stets + ein Isomorphismus sein! + + \bigskip\noindent\textbf{Schritt 3} Beweis der Gleichung~\eqref{eq:17-3-1-1}. + Sei $d ≥ n+m$. Wähle homogene Polynome $A_1, …, A_ℓ ∈ R_d$, sodass die + Restklassen $[A_•] ∈ Γ_d$ eine Vektorraumbasis von $Γ_d$ bilden. Ich zeige im + \video{22-3}, dass die Restklassen der dehomogenisierten Elemente + $[A_{•,*}] ∈ Γ_*$ ebenfalls eine Vektorraumbasis bilden. +\end{proof} + +\begin{kor}[Projektive Kurven schneiden sich] + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zwei ebene projektive + Kurven im $ℙ²_k$ schneiden sich stets in mindestens einem Punkt. \qed +\end{kor} + +\begin{kor}[Affine Kurven schneiden sich nicht zu sehr]\label{kor:aksnzs} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und + $G ∈ k[x, y]$ zwei ebene, affine Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann + schneiden sich diese Kurven in höchstens $(\deg F)·(\deg G)$ vielen Punkten. + \qed +\end{kor} + +\begin{bemerkung} + Korollar~\ref{kor:aksnzs} kann man auch andersherum lesen: wenn sich zwei + projektive oder affine Kurven in zu vielen Punkten schneiden, so müssen Sie + eine gemeinsame Komponente besitzen. +\end{bemerkung} + +Als letzte, vielleicht etwas überraschende Konsequenz aus dem Satz von Bézout +können wir die Anzahl von singulären Punkten einer ebenen affinen Kurve durch +den Grad der Kurve beschränken. Affine Kurven können also nicht allzu viele +singuläre Punkte haben. + +\begin{kor}[Affine Kurven sind nicht zu singulär]\label{kor:17-3-4} + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und + es sei $F ∈ k[x, y]$ eine irreduzible ebene affine Kurve. Diese Kurve hat + höchstens $(\deg F)·(\deg F -1)$ viele singuläre Punkte. +\end{kor} +\begin{proof} + Wegen der Annahme über die Charakteristik von $k$ verschwinden nicht alle + Ableitungen von $F$; wir nehmen an ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, + dass $G := \frac{∂ F}{∂ x}$ nicht das Nullpolynom ist. Es gilt + $\deg G ≤ \deg F -1$. + + Aus Definition~\vref{defn:ep} (``Glatte und singuläre Punkte'') ist klar, dass + die singulären Punkte von $F$ Schnittpunkte der Kurven $F$ und $G$ sind. Die + Annahme, dass $F$ irreduzibel ist, stellt sicher, dass $F$ und $G$ keine + gemeinsame Komponente haben und die Aussage folgt aus + Korollar~\ref{kor:aksnzs}. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die Abschätzung aus Korollar~\ref{kor:17-3-4} ist abenteuerlich schlecht. Man + kann mit etwas Mühle wesentlich bessere Ergebnisse erzielen. +\end{bemerkung} + + +\begin{figure} + \centering + + \includegraphics[width=10cm]{figures/17-barthSextic.png} + + \[ + 4·((α²·x²-y²)·((α²·y²-z²)·((α²·z²-x²)-1·(1+2α·(x²+y²+z²-1)²)))) = 0, + \] + mit $α = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ + + \caption{Barth-Sextik} + \label{fig:barth} +\end{figure} + + +Die Frage nach einer oberen Anzahl von Singularitäten ist auch für algebraische +Flächen sinnvoll, allerdings sind nur für Flächen von kleinem Grad obere +Abschätzungen bekannt. Ob diese Abschätzungen optimal sind, ist nicht in allen +Fällen klar. Abbildung~\ref{fig:barth} zeigt eine Fläche vom Grad 6 mit 65 +singulären Punkten. Diese Fläche wurde 1996 in der Arbeit \cite{MR1358040} von +Wolf +Barth\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolf_Barth_(Mathematiker)}{Wolf + Paul Barth} (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war + ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie + beschäftigte.} konstruiert, nachdem Mathematiker lange Zeit vermutet hatten, +dass maximal 64 singuläre Punkte möglich seien (es gab sogar einige fehlerhafte, +veröffentlichte Beweise). Kurz nach Barths Konstruktion bewiesen Jaffe und +Ruberman in \cite{MR1486992}, dass die Fläche tatsächlich optimal ist: ``A +sextic cannot have 66 nodes''. + +\begin{bemerkung} + Sehen Sie im Bild, dass die Fläche die Symmetrie des Ikosaeders hat? Das ist + natürlich kein Zufall. +\end{bemerkung} + +\href{https://oliverlabs.net}{Oliver Labs}, der 2005 an der Universität Mainz +zum Thema ``Flächen mit vielen singulären Punkten'' promovierte, hat einen +\href{https://www.oliverlabs.net/data/AlgSurfManySings_German.pdf}{lesenswerten, + reich bebilderten Artikel für ein breites mathematisches Publikum} +geschrieben, den ich Ihnen empfehlen kann. Mit dem Programm +\href{https://imaginary.org/program/surfer}{Surfer} können Sie viele der +``Weltrekordflächen'' aus Labs' Artikel interaktiv in 3D zeichnen, animieren und +mit den Gleichungen spielen. Abbildung~\ref{fig:barth} ist ein Screenshot +dieses Programms. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/18.tex b/18.tex new file mode 100644 index 0000000..a057890 --- /dev/null +++ b/18.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Wie weiter} + +Wir sind mit dieser Vorlesung am Ende, ich hoffe, es hat Ihnen immerhin ein +wenig gefallen. Wenn alles so funktioniert hat, wie ich mir das vorstellte, +haben Sie die \emph{algebraische} Seite der algebraischen Geometrie +kennengelernt. Sie haben an einigen Beispielen gesehen, wie man geometrische +Konzepte (``glatte und singuläre Punkte'', ``Dimension'') in algebraischen +Termen formuliert und mithilfe der Algebra den einen oder anderen geometrisch +relevanten Satz beweist. Das Kapitel über Gröbnerbasen illustriert erste +Zusammenhänge zwischen algebraischer Geometrie und Informatik, die natürlich +\emph{sehr} viel weitreichender sind, als wir hier zeigen +können\footnote{Schauen Sie einmal in den Artikel + ``\href{https://arxiv.org/abs/0801.1177}{New developments in the theory of + Groebner bases and applications to formal verification}'' um eine Idee zu + bekommen, wohin die Reise gehen kann.}. Wenn Sie sich weiterhin für das Thema +interessieren, gibt es im nächsten Semester bei uns ziemlich viele Angebote. +\begin{itemize} +\item Im SS21 bieten Andreas Demleitner und ich eine Vorlesung an, in der es um + die Geometrie von algebraischen Kurven und Flächen geht. Im Wesentlichen geht + es um die Fragen ``Wie viele algebraische Kurven gibt es überhaupt?'', ``Wie + kann ich entscheiden, ob zwei gegebene Kurven isomorph sind'' und ``Ist es + möglich, einen Überblick über die Menge der algebraischen Flächen zu + gewinnen''? Im Gegensatz zu dieser Vorlesung steht eher die Geometrie als die + Algebra im Vordergrund. + +\item Im SS21 bieten Andreas Demleitner und ich ein Seminar über + ``Hodge-Theorie'' + an\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/William_Vallance_Douglas_Hodge}{William + Vallance Douglas Hodge} (* 17.~Juni 1903 in Edinburgh; † 7.~Juli 1975 in + Cambridge) war ein britischer Mathematiker.}. Dies ist eine weitreichende + Theorie, die die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differenzialgeometrie + und algebraischen Topologie mit komplexer und algebraischer Geometrie + verbindet. Es geht also weiterhin um algebraische Varietäten, die Methoden + des Seminars werden aber eher differenzialgeometrisch sein. + +\item Die Diskussion der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis und der + pythagoreischen Tripel hat vielleicht einen allerersten Eindruck vermittelt, + was algebraische Geometrie und Zahlentheorie verbindet. Luca Terenzi und + meine Kollegin Annette Huber-Klawitter werden im SS21 ein Seminar anbieten, + bei dem es um geometrische und zahlentheoretische Aspekte von elliptischen + Kurven geht, die heute in der Verschlüsselungstechnik eine zentrale Rolle + spielen. +\end{itemize} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "21-KA" +%%% End: diff --git a/KommutativeAlgebra.tex b/KommutativeAlgebra.tex new file mode 100644 index 0000000..fe990a0 --- /dev/null +++ b/KommutativeAlgebra.tex @@ -0,0 +1,321 @@ +\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt} +\KOMAoptions{paper=a4} + +% +% Local font definitions -- need to come first +% +\usepackage[linesnumbered, dotocloa]{algorithm2e} +\usepackage{libertine} +%\usepackage[libertine]{newtxmath} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb} +\usepackage{graphicx} +\input{gfx/stdPreamble} +\input{gfx/paperVersion-working} +\usepackage{makeidx} +\usepackage{tikz-cd} +\makeindex + +\author{Stefan Kebekus} + +% +% TikZ +% + +\usetikzlibrary{through} +\usetikzlibrary{quotes,babel,angles} +\usetikzlibrary{calc} % calculate for relative positioning + + +% +% Extra spacing in list of figures +% + +\usepackage{tocloft} +\setlength{\cftfignumwidth}{3em} +\allowdisplaybreaks[1] + +% +% Theorems +% +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe} +\newtheorem{satz}[thm]{Satz} +\newtheorem{situation}[thm]{Situation} +\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma} +\newtheorem{nlemma}[thm]{Nichtlemma} +\newtheorem{kor}[thm]{Korollar} +\newtheorem{definition}[thm]{Definition} +\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition} +\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt} +\newtheorem{faktdef}[thm]{Fakt und Definition} +\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit} +\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition} +\newtheorem{prov}[thm]{Provokation} +\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{wunsch}[thm]{Wunsch} +\newtheorem{algorithmus}[thm]{Algorithmus} +\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung} +\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung} +\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} +\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} +\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel} +\newtheorem{frage}[thm]{Frage} +\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung} +\newtheorem{eerinnerung}[thm]{Erweiterte Erinnerung} +\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung} +\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation} + +% +% Math operators +% +\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} +\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} +\DeclareMathOperator{\GL}{GL} +\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} +\DeclareMathOperator{\height}{height} +\DeclareMathOperator{\ini}{in} +\DeclareMathOperator{\Int}{Int} +\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} +\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV} +\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons} +\DeclareMathOperator{\mult}{mult} +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\DeclareMathOperator{\rad}{rad} +\DeclareMathOperator{\sep}{sep} +\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} +\DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} +\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator} +\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}} + + +\title{Kommutative Algebra und Einführung in die Algebraische Geometrie} +\date{\today} + +\makeatletter +\hypersetup{ + pdfauthor={Stefan Kebekus}, + pdftitle={\@title}, + pdfstartview={Fit}, + pdfpagelayout={TwoColumnRight}, + pdfpagemode={UseOutlines}, + bookmarks, + colorlinks, + linkcolor=linkblue, + citecolor=linkred, + urlcolor=linkred} +\makeatother + + +\begin{document} + +\maketitle + +\tableofcontents + +\bigskip + +\bigskip + +\bigskip + +\section*{Vorbemerkung} + +Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die +Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift +auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt +hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter +geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}. +Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde +finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das +Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei +auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste +Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand. + +Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede +Vorlesung auf unserem +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}. +Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können +aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten. + +Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie +ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen +Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei +\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder +\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir +korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und +Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts +beigetragen haben. + +Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos +und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir +fügen gern einen Link in den Text ein! + +\bigskip + +\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß} + + + +\subsection*{Literatur} + +Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen +Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten +Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche +Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem +Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von +weiteren Materialien! + +Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu +verwenden. Wikipedia ist auch noch da. + +\begin{itemize} +\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von + hervorragenden + \href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur + Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen. + +\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus + Stanford gibt regelmäßig Kurse zu + \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. + Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea: + Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein + absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen + Youtube-Kanal + \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic + Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''. + +\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext + \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf + \href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage} + heruntergeladen werden kann. + +\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur + kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist + Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen + sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls + \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es + ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad. + +\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich + \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz + kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den + Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel + mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein + das erste Kapitel lohnt sich… + +\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls + \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem + Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte + Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden + Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert. + +\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält + ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig + Theorie. + +\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das + Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem + Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den + algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern + gerechnet! + +\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de + Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project} + --- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der + Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in + den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier + findet sich ALLES, was man jemals braucht. +\end{itemize} + + +\subsection*{Computer-Programme} + +Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen. +Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen, +ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben +Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut +dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und +vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen +sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den +Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren. + + +\subsubsection*{Sage} + +Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen +durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm +herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc +etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, +oder den Service CoCals verwenden. + + +\subsubsection*{CoCalc} + +CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine +Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der +kostenlose Dienst manchmal etwas langsam. + +Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem +\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie +können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem +Server rechnen. + + +\subsubsection*{Macaulay2} + +Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist +\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos +herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht +leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen. + + +\input{01} +\input{02} + +\part{Der Hilbertsche Nullstellensatz} + +\input{03} +\input{04} +\input{05} +\input{06} +\input{07} +\input{08} + +\part{Singularitäten von Kurven, diskrete Bewertungsringe, Bruchrechnung} + +\input{09} +\input{10} +\input{11} + +\part{Dimension} + +\input{12} +\input{13} + +\part{Der projektive Raum} + +\input{14} +\input{15} +\input{16} +\input{17} +\input{18} + +\appendix +\part{Anhang} + +\listoffigures +\listoftables +\listofalgorithms + +\printindex + +\bibstyle{alpha} +\bibliographystyle{alpha} +\bibliography{bibliography/general} + + +\end{document} diff --git a/bibliography/general.bib b/bibliography/general.bib new file mode 100644 index 0000000..fd901fa --- /dev/null +++ b/bibliography/general.bib @@ -0,0 +1,15744 @@ +@MISC {285155, + TITLE = {Volume of {$-K_X$} for a weighted projective variety}, + AUTHOR = {Jason Starr}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/285155}{mathoverflow.net/q/285155 (version: 2017-11-03)}}, + year = {2017} +} + +@MISC {363432, + TITLE = {Complex structures on Hermitian symmetric space}, + AUTHOR = {Bryant, Robert}, + HOWPUBLISHED = {MathOverflow}, + NOTE = {\href{https://mathoverflow.net/q/363432}{https://mathoverflow.net/q/363432 (version: 2020-06-18)}}, + year = {2020} +} + +@article{A57, + Author = {A. Andreotti}, + Journal = {Princeton Math. Series}, + Title = {On the complex structure of a class of simply connected manifolds, algebraic geometry and topology}, + Volume = 12, + Year = 1957 +} + +@book{ACGH, + Address = {New York}, + Author = {Arbarello, E. and Cornalba, M. and Griffiths, P. A. and Harris, J.}, + Isbn = {0-387-90997-4}, + Mrclass = {14Hxx (14-02)}, + Mrnumber = {770932 (86h:14019)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {xvi+386}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometry of algebraic curves. {V}ol. {I}}, + Volume = 267, + Year = 1985 +} + +@misc{ACO03, + Author = {Andreatta, Marco and Chierici, Elena and Occhetta, Gianluca}, + Month = {September}, + Note = {Preprint math.AG/0309473}, + Title = {Generalized {M}ukai conjecture for special Fano varieties}, + Year = 2003 +} + +@article{AHR85, + Author = {H. Azad, A. Huckleberry and W. Richthofer}, + Journal = {Journal für die reine und angwandte Mathematik}, + Title = {Homogeneous CR-manifolds}, + Volume = 358, + Year = 1985 +} + +@incollection{AK03, + Author = {Araujo, Carolina and Kollár, János}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001)}, + Address = {Berlin}, + Mrclass = {14H45 (14H10 14J40)}, + Mrnumber = {MR2011743 (2004k:14049)}, + Mrreviewer = {Xian Wu}, + Pages = {13--68}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Rational curves on varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article {AL1, + AUTHOR = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + TITLE = {Smooth quotients of abelian varieties by finite groups}, + JOURNAL = {Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5)}, + FJOURNAL = {Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie V}, + VOLUME = {XXI}, + YEAR = {2020}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {673-694}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2422/2036-2145.201812_008}{DOI:10.2422/2036-2145.201812\_008}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1801.00028}{arXiv:1801.00028}} +} + +@Unpublished{AL2, + author = {Auffarth, Robert and Lucchini Arteche, Giancarlo}, + title = {Smooth quotients of complex tori by finite groups (with an appendix by Stephen Griffeth)}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.05327}{arXiv:1912.05327}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2019}, + OPTannote = {} +} + +@article{ARTIN68, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.47}, + Mrnumber = {MR0232018 (38 \#344)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {277--291}, + Title = {On the Solutions of Analytic Equations}, + Volume = 5, + Year = 1968 +} + +@article{AS95, + Author = {Angehrn, Urban and Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J25 (14C20 32L10)}, + Mrnumber = {MR1358978 (97b:32036)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {291--308}, + Title = {Effective freeness and point separation for adjoint bundles}, + Volume = 122, + Year = 1995 +} + +@article {AW01, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On manifolds whose tangent bundle contains an ample subbundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 146, + YEAR = 2001, + NUMBER = 1, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00005808}{DOI:10.1007/PL00005808}}, + PAGES = {209--217}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14J60 (14M20)}, + MRNUMBER = {1859022 (2002h:14070)}, + MRREVIEWER = {Antonio Lanteri}, + DOI = {10.1007/PL00005808}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00005808}, +} + +@inproceedings{AW95, + Author = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Booktitle = {Algebraic geometry. Proceedings of the Summer Research + Institute, Santa Cruz}, + Editor = {J. Kollár}, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {9--29}, + Title = {A view on contractions of higher dimensional varieties}, + Year = 1995 +} + +@incollection {Abramovich, + AUTHOR = {Abramovich, Dan}, + TITLE = {Birational geometry for number theorists}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Clay Math. Proc.}, + VOLUME = {8}, + PAGES = {335--373}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2009}, + MRCLASS = {14E30 (11G35 14E15)}, + MRNUMBER = {2498065}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, +} + +@article{Akizuki-Nakano54, + Author = {Akizuki, Yasuo and Nakano, Shigeo}, + Fjournal = {Proceedings of the Japan Academy}, + Issn = {0021-4280}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066694 (16,619a)}, + Mrreviewer = {W. V. D. Hodge}, + Pages = {266--272}, + Title = {Note on {K}odaira-{S}pencer's proof of {L}efschetz theorems}, + Volume = 30, + Year = 1954 +} + +@article{Aluffi06, + Author = {Aluffi, Paolo}, + Doi = {10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Fjournal = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + Issn = {1631-073X}, + Journal = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {14C17}, + Mrnumber = {2209219 (2007g:14001)}, + Mrreviewer = {Shoji Yokura}, + Number = 6, + Pages = {405--410}, + Title = {Classes de {C}hern des variétés singulières, revisitées}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002}, + Volume = 342, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2006.01.002} +} + +@article{Andreatta-Ballico-Wisniewski-93, + Author = {M.~Andreatta, E.~Ballico and J.~Wiśniewski}, + Journal = {Math.~Ann.}, + Number = 2, + Pages = {191--198}, + Title = {Two theorems on elementary contractions}, + Volume = 297, + Year = 1993 +} + +@article{Arakelov71, + Author = {Arakelov, Sergei J.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14H10 (14G05 14H25)}, + Mrnumber = {MR0321933 (48 \#298)}, + Mrreviewer = {J. W. S. Cassels}, + Pages = {1269--1293}, + Title = {Families of algebraic curves with fixed degeneracies}, + Volume = 35, + Year = 1971 +} + +@article{ArapuraKAN, + Author = {Arapura, Donu}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.2307/2046027}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J20 (14D05 32J25 55P62)}, + Mrnumber = {915712 (92k:32050)}, + Mrreviewer = {Takeo Ohsawa}, + Number = 1, + Pages = {43--48}, + Title = {Vanishing theorems for {$V$}-manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2046027}, + Volume = 102, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2046027} +} + +@incollection{Araujo05, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Araujo, Carolina}, + Booktitle = {snowbird lectures in algebraic geometry}, + Mrclass = {14M20 (14D05)}, + Mrnumber = {MR2182887}, + Pages = {1--16}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 388, + Year = 2005 +} + +@article{Araujo10, + Author = {Araujo, Carolina}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-008-0457-8}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E30 (14C20)}, + Mrnumber = {2564937 (2010k:14018)}, + Mrreviewer = {Carlos Galindo}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}{DOI:10.1007/s00209-008-0457-8}}, + Number = 1, + Pages = {179--193}, + Title = {The cone of pseudo-effective divisors of log varieties after {B}atyrev}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8}, + Volume = 264, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-008-0457-8} +} + +@book{Arnold78, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Mathematical Methods of Classical Mechanics}, + Volume = 60, + Year = 1984 +} + +@article{Artin62, + Author = {Artin, Michael}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {MR0146182 (26 \#3704)}, + Mrreviewer = {M. Rosenlicht}, + Pages = {485--496}, + Title = {Some numerical criteria for contractability of curves on + algebraic surfaces}, + Volume = 84, + Year = 1962 +} + +@article{ArtinApprox, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0268188 (42 \#3087)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02684596}{DOI:10.1007/BF02684596}}, + Number = 36, + Pages = {23--58}, + Title = {Algebraic approximation of structures over complete local rings}, + Year = 1969 +} + +@article{ArtinII, + Author = {Artin, M.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {0260747 (41 \#5370)}, + Mrreviewer = {H. Kurke}, + Pages = {88--135}, + Title = {Algebraization of formal moduli. {II}. {E}xistence of + modifications}, + Volume = 91, + Year = 1970 +} + +@article{Arz98, + Author = {I. V. Arzhantsev}, + Journal = {Izwestiya RAN}, + Number = 4, + Pages = {685--698}, + Title = {{On $SL_2$-actions of complexity one}}, + Volume = 61, + Year = 1998 +} + +@article {Ati57, + AUTHOR = {Atiyah, Michael F.}, + TITLE = {Complex analytic connections in fibre bundles}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {181--207}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {86359}, +MRREVIEWER = {F. Hirzebruch}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1992969}{DOI:10.2307/1992969}}, + DOI = {10.2307/1992969}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1992969}, +} + +@book{B91, + Author = {Armand Borel}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Linear Algebraic Groups}, + Volume = 126, + Year = 1991 +} + +@incollection{BBD, + Address = {Paris}, + Author = {Be{\u\i}linson, Alexander and Bernstein, Joseph and Deligne, + Pierre}, + Booktitle = {Analysis and topology on singular spaces, {I} ({L}uminy, 1981)}, + Note = {Available online at \url{https://publications.ias.edu/deligne/paper/396}}, + Mrclass = {32C38}, + Mrnumber = {751966 (86g:32015)}, + Mrreviewer = {Zoghman Mebkhout}, + Pages = {5--171}, + Publisher = {Soc. Math. France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Faisceaux pervers}, + Volume = 100, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{BBI00, + Author = {L.~Badescu, M.C.~Beltrametti and P.~Ionescu}, + Booktitle = {Complex Analysis and Algebraic Geometry}, + Editor = {T.~Peternell and F.O.~Schreyer}, + Pages = {1--27}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Almost-lines and quasi-lines on projective manifolds}, + Year = 2000 +} + +@article {BC17, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Cadorel, Benoît}, + TITLE = {Hyperbolicity of varieties supporting a variation of {H}odge structure}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}{DOI:10.1093/imrn/rny054}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1707.01327}{arXiv:1707.01327}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1601--1609}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32G20 (14D07)}, + MRNUMBER = {4089428}, + DOI = {10.1093/imrn/rny054}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rny054}, +} + +@article{BCDD03, + Author = {Bonavero, Laurent and Casagrande, Cinzia and Debarre, Olivier + and Druel, Stéphane}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {601--626}, + Title = {Sur une conjecture de Mukai}, + Volume = 78, + Year = 2003 +} + +@incollection{BCEKPRSW02, + Address = {Berlin}, + Author = {Bauer, Thomas and Campana, Frédéric and Eckl, Thomas and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Rams, Sławomir and Szemberg, Tomasz and Wotzlaw, Lorenz}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Mrclass = {14E05 (14J60)}, + Mrnumber = {2003h:14023}, + Mrreviewer = {Huy Tài Hà}, + Pages = {27--36}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A reduction map for nef line bundles}, + Year = 2002 +} + +@article{BCHM10, + Author = {Birkar, Caucher and Cascini, Paolo and Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Pages = {405-468}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00649-3}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00649-3}}, + Title = {Existence of minimal models for varieties of log general type}, + Volume = 23, + Year = 2010 +} + +@article{BDPP, + Author = {Boucksom, Sébastien and Demailly, Jean-Pierre and Păun, Mihai and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0405285}{arXiv:math/0405285}}, + Number = 2, + Pages = {201--248}, + Title = {The pseudo-effective cone of a compact {K}ähler manifold and varieties of negative {K}odaira dimension}, + Volume = 22, + Year = 2013 +} + +@book {BEG, + TITLE = {An introduction to the {K}ähler-{R}icci flow}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 2086, + EDITOR = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent}, + PUBLISHER = {Springer}, + YEAR = 2013, + PAGES = {viii+333}, + ISBN = {978-3-319-00818-9; 978-3-319-00819-6}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}{DOI:10.1007/978-3-319-00819-6}.}, + MRCLASS = {53-06 (14J45 32-06 32Q15 32Q20 35K55 53C44 53C55)}, + MRNUMBER = 3202578, + DOI = {10.1007/978-3-319-00819-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-00819-6}, +} + +@misc{BH09, + Author = {Bonavero, Laurent and Höring, Andreas}, + Month = {July}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0907.4848}{arXiv:0907.4848}}, + Title = {Algebraic foliations defined by quasi-lines}, + Year = 2009 +} + +@inbook{BK82, + Author = {G. Barthel and L. Kaup}, + Chapter = {in Topologie des surfaces complexes compactes singulières}, + Number = 80, + Pages = {61-297}, + Publisher = {Les Presses de l'université de Montréal}, + Series = {Semin. Math. Super.}, + Title = {Sur la Topologie des Surfaces complexes compactes}, + Year = 1982 +} + +@Unpublished{BL18, + author = {Bakker, Benjamin and Lehn, Christian}, + title = {The global moduli theory of symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.09748}{arXiv:1812.09748}}, + month = {December}, + year = 2018 +} + +@Unpublished{BLZ, + Author = {Blanc, Jérémy and Lamy, Stéphane and Zimmermann, Susanna}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.04145}{arXiv:1901.04145}}, + Title = {Quotients of higher dimensional Cremona groups}, + Year = {2019} + } + +@article{BM, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} + +@InBook{BM16, + author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + editor = {Cascini, Paolo and McKernan, James and Pereira, Jorge Vitório}, + title = {Foliation Theory in Algebraic Geometry}, + chapter = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + publisher = {Springer}, + year = 2016, + series = {Simons Symposia}, + pages = {21--51}, + note = {ISBN 978-3-319-24460-0. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0\_2}}, + isbn = {978-3-319-24460-0}, + doi = {10.1007/978-3-319-24460-0_2}, + url = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0_2} +} + +@article {BM96, + AUTHOR = {Bierstone, Edward and Milman, Pierre D.}, + TITLE = {Canonical desingularization in characteristic zero by blowing + up the maximum strata of a local invariant}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 128, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050141}{DOI:10.1007/s002220050141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {207--302}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14E15 (32S45)}, + MRNUMBER = 1440306, + MRREVIEWER = {Joseph Lipman}, + DOI = {10.1007/s002220050141}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050141}, +} + +@misc{BMcQ01, + Author = {Bogomolov, Fedor A. and McQuillan, Michael L.}, + Month = {February}, + Note = {IHES Preprint}, + Title = {Rational Curves on Foliated Varieties}, + Year = 2001 +} + +@article{BN67, + Author = {Borel, Armand and Narasimhan, Raghavan}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.20}, + Mrnumber = {35 \#414}, + Mrreviewer = {W. Stoll}, + Pages = {247--255}, + Title = {Uniqueness conditions for certain holomorphic mappings}, + Volume = 2, + Year = 1967 +} + +@article{BPW, + author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai and Wang, Xu}, + title = {Algebraic fiber spaces and curvature of higher direct images}, + journal= {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu}, + publisher= {Cambridge University Press}, + year= {2020}, + pages= {1–56}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1017/S147474802000050X}{DOI:10.1017/S147474802000050X}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.02279}{arxiv.org/abs/1704.02279}}, + DOI = {10.1017/S147474802000050X} +} + +@book {BS76, + AUTHOR = {Bănică, Constantin and Stănăşilă, Octavian}, + TITLE = {Algebraic methods in the global theory of complex spaces}, + NOTE = {Translated from the Romanian}, + PUBLISHER = {Editura Academiei, Bucharest; John Wiley \& Sons, London-New York-Sydney}, + YEAR = 1976, + PAGES = 296, + MRCLASS = {32-02 (32C35 32D15)}, + MRNUMBER = 0463470, + MRREVIEWER = {J. S. Joel}, +} + +@book {BS95, + AUTHOR = {Beltrametti, Mauro C. and Sommese, Andrew J.}, + TITLE = {The adjunction theory of complex projective varieties}, + SERIES = {De Gruyter Expositions in Mathematics}, + VOLUME = 16, + PUBLISHER = {Walter de Gruyter \& Co., Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xxii+398}, + ISBN = {3-11-014355-0}, + MRCLASS = {14C20 (14-02 14E35 14N05)}, + MRNUMBER = 1318687, + MRREVIEWER = {Jarosł A. Wiśewski}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110871746}{DOI:10.1515/9783110871746}}, + DOI = {10.1515/9783110871746}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9783110871746}, +} + +@article {BT, + AUTHOR = {Bedford, Eric and Taylor, B. Alan}, + TITLE = {A new capacity for plurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 149, + YEAR = 1982, + NUMBER = {1-2}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392348}{DOI:10.1007/BF02392348}}, + PAGES = {1--40}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F05 (31C10 32C30)}, + MRNUMBER = {674165 (84d:32024)}, + MRREVIEWER = {Guy Laville}, + DOI = {10.1007/BF02392348}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392348}, +} + +@article{Bad82, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {155--171}, + Title = {{On Ample Divisors}}, + Volume = 86, + Year = 1982 +} + +@inproceedings{Bad84, + Author = {L. B{\v a}descu}, + Booktitle = {Algebraic Geometry Bucharest 1982}, + Editor = {L. B{\v a}descu and D. Popescu}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{Hyperplane Sections and Deformations}}, + Volume = 1056, + Year = 1984 +} + +@article{BalajiKollar08, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167326}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14J60 (32L05)}, + Mrnumber = {2426347 (2010c:14044)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}{DOI:10.2977/prims/1210167326}.}, + Number = 2, + Pages = {183--211}, + Title = {Holonomy groups of stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167326} +} + +@phdthesis{Barkowski08, + Author = {Barkowski, Sammy}, + School = {Universität zu Köln}, + Title = {The cone of moving curves on algebraic varieties}, + Year = 2008 +} + +@misc{Barkowski09, + Author = {Barkowski, Sammy}, + Month = {February}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0902.0206}{arXiv:0902.0206}. To appear in Manuscr. Math.}, + Title = {The Cone of Moving Curves of a Smooth Fano three- or fourfold}, + Year = 2009 +} + +@PhdThesis{BarrientosPhD, + author = {Barrientos, Ivan}, + title = {Wild ramification of schemes via curves, the rank 1 case (with applications to higher class field theory)}, + school = {Universiät Regensburg}, + year = {2014}, + OPTkey = {}, + OPTtype = {}, + OPTaddress = {}, + OPTmonth = {}, + note = {\href{https://nbn-resolving.org/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}{urn:nbn:de:bvb:355-epub-307397}. Available on the internet at \url{https://epub.uni-regensburg.de/30739}}, + OPTannote = {} +} + +@inproceedings{Batyrev92, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Batyrev, Victor V.}, + Booktitle = {Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 3 + (Novosibirsk, 1989)}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {94f:14035}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Pages = {337--352}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {The cone of effective divisors of threefolds}, + Volume = 131, + Year = 1992 +} + +@unpublished{Baum, + Author = {Juliane Baum}, + Note = {Staatsexamensarbeit, Universität zu Köln. Available on the internet at \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kebekus/teaching/thesis-de.html}.}, + Title = {Aufblasungen und {D}esingularisierungen}, + Year = 2007 +} + +@incollection {Bea82, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Some remarks on {K}ähler manifolds with {$c_{1}=0$}}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = 39, + PAGES = {1--26}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + YEAR = 1983, + MRCLASS = {32J25 (14J40 53C55)}, + MRNUMBER = 728605, + MRREVIEWER = {Yukihiko Namikawa}, +} + +@article{Bea83, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32J25 (14J15 32C10 32G13 53C55)}, + Mrnumber = {730926 (86c:32030)}, + Mrreviewer = {N. J. Hitchin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214438181}{DOI:10.4310/jdg/1214438181}}, + Number = 4, + Pages = {755--782 (1984)}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes dont la première classe de {C}hern est nulle}, + Volume = 18, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214438181} +} + +@incollection{Bea95, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93)}, + Mrclass = {14D20 (14C20 81T40)}, + Mrnumber = {97h:14015}, + Mrreviewer = {Nyshadham Raghavendra}, + Pages = {17--33}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems}, + Volume = 28, + Year = 1995 +} + +@article{Bea98, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14J45 (14L30 32J18 53C15)}, + Mrnumber = {99e:14046}, + Mrreviewer = {Dmitri I. Panyushev}, + Number = 4, + Pages = {566--583}, + Title = {Fano contact manifolds and nilpotent orbits}, + Volume = 73, + Year = 1998 +} + +@article{Beauville01, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Fjournal = {International Mathematics Research Notices}, + Issn = {1073-7928}, + Journal = {Internat. Math. Res. Notices}, + Mrclass = {14J70}, + Mrnumber = {2002b:14053}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {53--58}, + Title = {Endomorphisms of hypersurfaces and other manifolds}, + Volume = 1, + Year = 2001 +} + +@article {Beauville11, + AUTHOR = {Beauville, Arnaud}, + TITLE = {Antisymplectic involutions of holomorphic symplectic + manifolds}, + JOURNAL = {J. Topol.}, + FJOURNAL = {Journal of Topology}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2011, + NUMBER = 2, + PAGES = {300--304}, + ISSN = {1753-8416}, + MRCLASS = {53C26 (14J50 32J27 57R20)}, + MRNUMBER = 2805992, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + DOI = {10.1112/jtopol/jtr002}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr002}, +} + +@incollection{Beauville80, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet + 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979}, + Mrclass = {14J25 (14N10)}, + Mrnumber = {82k:14037}, + Mrreviewer = {Ragni Piene}, + Pages = {207--215}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Sur le nombre maximum de points doubles d'une surface dans + {${\bf P}\sp{3}$} {$(\mu (5)=31)$}}, + Year = 1980 +} + +@misc{Beauville99, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Note = {preprint math.AG/9902110}, + Title = {Riemanian holonomy and Algebraic Geometry}, + Year = 1999 +} + +@article{Bedulev-Viehweg00, + Author = {Bedulev, Egor and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {MR1738062 (2001f:14065)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 3, + Pages = {603--615}, + Title = {On the {S}hafarevich conjecture for surfaces of general type + over function fields}, + Volume = 139, + Year = 2000 +} + +@article{Berger55, + Author = {M.~Berger}, + Journal = {Bull.~Soc.~Math.~France}, + Pages = {279--330}, + Title = {Sur les groupes d'holonomie homog�e des vari�� � connexion + affine et des vari�� riemanniennes}, + Volume = 83, + Year = 1955 +} + +@article {Berrick, + AUTHOR = {Berrick, A. Jon}, + TITLE = {Groups with no nontrivial linear representations}, + JOURNAL = {Bull. Austral. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Bulletin of the Australian Mathematical Society}, + VOLUME = 50, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}{DOI:10.1017/S0004972700009503}. Correction in \href{https://doi.org/10.1017/S0004972700014787}{52 (1995) 345-346}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {1--11}, + ISSN = {0004-9727}, + MRCLASS = {20F99}, + MRNUMBER = 1285653, + DOI = {10.1017/S0004972700009503}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0004972700009503}, +} + +@Book{BeutelpacherLA, + author = {Beutelspacher, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen.}, + publisher = {Springer Spektrum, Wiesbaden}, + year = {2014}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-658-02413-0}{DOI:10.1007/978-3-658-02413-0}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@Unpublished{Bir16a, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Anti-pluricanonical systems on {F}ano varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.05765}{arXiv:1603.05765}}, + month = {January}, + year = 2016 +} + +@Unpublished{Bir16b, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Singularities of linear systems and boundedness of {F}ano + varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1609.05543}{arXiv:1609.05543}}, + month = {September}, + year = 2016 +} +@Unpublished{Bir18, + author = {Birkar, Caucher}, + title = {Birational geometry of algebraic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1801.00013}{arXiv:1801.00013}. To appear as an ICM report}, + month = {Januay}, + year = 2018 +} +@article{Bla56, + Author = {A. Blanchard}, + Journal = {Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.}, + Pages = {157--202}, + Title = {Sur les variétés analytiques complexes}, + Volume = 73, + Year = 1956 +} + +@article{Bo47, + Author = {S. Bochner and D. Montgomery}, + Journal = {Ann. Math.}, + Title = {Groups on analytic manifolds}, + Volume = 48, + Year = 1947 +} +@book{Bo72, + Address = {Paris}, + Author = {N. Bourbaki}, + Publisher = {Herman}, + Title = {Groupes et algèbres de Lie}, + Year = 1972 +} +@article{Bog79, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Journal = {Math. USSR Izv.}, + Pages = {499-555}, + Title = {Holomorphic tensors and vector bundles on projective + varieties}, + Volume = 13, + Year = 1979 +} + +@article{Bogomolov74, + Author = {Bogomolov, Fedor A.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {32J25 (32G13)}, + Mrnumber = {0338459 (49 \#3223)}, + Mrreviewer = {R. O. Wells, Jr.}, + Pages = {11--21}, + Title = {Kähler manifolds with trivial canonical class}, + Volume = 38, + Year = 1974 +} + +@book{Bois95, + Address = {Paris}, + Author = {Jules Bois}, + Publisher = {Chailley}, + Title = {Le satanisme et la magie}, + Year = 1895 +} + +@unpublished{BoissiereNieperSarti, + Author = {Boissiere, Samuel and Nieper-Wisskirchen, Marc and Sarti, + Alessandra}, + Month = {November}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1001.4728}{arXiv:1001.4728}.}, + Title = {Higher dimensional {E}nriques varieties and automorphisms of + generalized {K}ummer varieties}, + Year = 2010 +} + +@article{Bost01, + Author = {Bost, Jean-Benoît}, + Fjournal = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études + Scientifiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Mrclass = {14G40 (11G35 37F75)}, + Mrnumber = {MR1863738 (2002h:14037)}, + Mrreviewer = {Carlo Gasbarri}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-001-8191-3}{DOI:10.1007/s10240-001-8191-3}}, + Volume = 93, + Pages = {161--221}, + Title = {Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields}, + Year = 2001 +} + +@phdthesis{Boucksom02, + Author = {Boucksom, Sebastien}, + School = {Grenoble}, + Title = {Cônes positifs des variétés complexes compactes}, + Year = 2002 +} + +@article{Boucksom04, + Author = {Boucksom, Sébastien}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32J18 (32C30)}, + Mrnumber = {2050205 (2005i:32018)}, + Mrreviewer = {Adam Gregory Harris}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}{DOI:10.1016/j.ansens.2003.04.002}}, + Number = 1, + Pages = {45--76}, + Title = {Divisorial {Z}ariski decompositions on compact complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002}, + Volume = 37, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2003.04.002} +} + +@book{Br72, + Author = {G. Bredon}, + Publisher = {Academic Press}, + Title = {Introduction to Compact Transformation Groups}, + Year = 1972 +} + +@book{Bredon97, + Address = {New York}, + Author = {Bredon, Glen E.}, + Isbn = {0-387-97926-3}, + Mrclass = {55-01 (54-01 57-01)}, + Mrnumber = {MR1700700 (2000b:55001)}, + Note = {Corrected third printing of the 1993 original}, + Pages = {xiv+557}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Topology and geometry}, + Volume = 139, + Year = 1997 +} + +@book{BrieII, + Author = {E. Brieskorn}, + Publisher = {Vieweg}, + Title = {Lineare Algebra and Analytische Geometrie II}, + Year = 1985 +} + +@article{Brieskorn68, + Author = {Brieskorn, Egbert}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14.18}, + Mrnumber = {MR0222084 (36 \#5136)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {336--358}, + Title = {Rationale {S}ingularitäten komplexer {F}lächen}, + Volume = 4, + Year = {1967/1968} +} + +@book{CAS, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Doi = {10.1007/978-3-642-69582-7}, + Isbn = {3-540-13178-7}, + Mrclass = {32-02 (32Bxx 32C30)}, + Mrnumber = {755331 (86a:32001)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + Pages = {xviii+249}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Coherent analytic sheaves}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}{DOI:10.1007/978-3-642-69582-7}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7}, + Volume = 265, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7} +} + +@article{CC02, + Author = {Chiantini, Luca and Ciliberto, Ciro}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14N05 (14J10 14N15)}, + Mrnumber = {2003b:14063}, + Mrreviewer = {Fyodor L. Zak}, + Number = 1, + Pages = {151--178 (electronic)}, + Title = {Weakly defective varieties}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + + +@article{CDP, + Author = {F. Campana and J.-P. Demailly and T. Peternell}, + Journal = {Compos. Math.}, + Pages = {77--91}, + Title = {The Algebraic Dimension of Compact Complex Threefolds with vanishing second Betti Number}, + Volume = 112, + Year = 1998 +} + +@article {CDR20, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Darondeau, Lionel and Rousseau, Erwan}, + TITLE = {Orbifold hyperbolicity}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {156}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}{DOI:10.1112/s0010437x20007265}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1803.10716}{arXiv:1803.10716}}, + NUMBER = {8}, + PAGES = {1664--1698}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {Prelim}, + MRNUMBER = {4163858}, + DOI = {10.1112/s0010437x20007265}, + URL = {https://doi.org/10.1112/s0010437x20007265}, +} + +@article {CH75, + AUTHOR = {Chen, Bang-Yen and Ogiue, Koichi}, + TITLE = {Some characterizations of complex space forms in terms of {C}hern classes}, + JOURNAL = {Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)}, + FJOURNAL = {The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series}, + VOLUME = {26}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {104}, + PAGES = {459--464}, + ISSN = {0033-5606}, + MRCLASS = {53C55 (32C10)}, + MRNUMBER = {405303}, +MRREVIEWER = {S. Ramanan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}{DOI:10.1093/qmath/26.1.459}}, + DOI = {10.1093/qmath/26.1.459}, + URL = {https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.459}, +} + +@book{CK99, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Katz, Sheldon}, + Isbn = {0-8218-1059-6}, + Mrclass = {14J32 (14-02 14M25 14N10 14N35 32G81 32J81 32Q25)}, + Mrnumber = {MR1677117 (2000d:14048)}, + Mrreviewer = {Andreas Gathmann}, + Pages = {xxii+469}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Mirror symmetry and algebraic geometry}, + Volume = 68, + Year = 1999 +} + +@article{CKM88, + Author = {Clemens, Herbert and Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14J30 (32J99)}, + Mrnumber = {MR1004926 (90j:14046)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Number = 166, + Pages = {144 pp. (1989)}, + Title = {Higher-dimensional complex geometry}, + Year = 1988 +} + +@article {CKP12, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Koziarz, Vincent and Păun, Mihai}, + TITLE = {Numerical character of the effectivity of adjoint line bundles}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {62}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {107--119}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2986267}, +MRREVIEWER = {James McKernan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2701}{DOI:10.5802/aif.2701}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1004.0584}{arXiv:1004.0584}}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2012__62_1_107_0}, +} + +@InCollection{CKT21, + author = {Claudon, Benoît and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Generic positivity and applications to hyperbolicity of moduli spaces}, + booktitle = {Hyperbolicity Properties of Algebraic Varieties}, + OPTcrossref = {}, + OPTkey = {}, + publisher = {Société Mathématique de France}, + year = {2021}, + OPTeditor = {}, + volume = {56}, + OPTnumber = {}, + series = {Panoramas \& Synthèses}, + OPTtype = {}, + OPTchapter = {}, + pages = {169--208}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTaddress = {}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1610.09832}{arXiv:1610.09832}}, + OPTannote = {} +} + +@article{CL12, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Doi = {10.1215/00127094-1723755}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Number = 12, + Pages = {2415--2467 (electronic)}, + Title = {New outlook on the Minimal Model Program I.}, + Volume = 161, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-1723755} +} + +@inproceedings{CL12b, + Author = {Cascini, Paolo and Lazić, Vladimir}, + Booktitle = {Contributions to Algebraic Geometry, IMPANGA Lecture Notes}, + Editor = {Pragacz, Piotr}, + Note = {ISBN: 978-3-03719-114-9}, + Pages = {169--188}, + Publisher = {EMS Publishing House}, + Series = {EMS Series of Congress Reports}, + Title = {The Minimal Model Program revisited}, + Year = 2012 +} + +@book{CLN85, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Camacho, César and Lins Neto, Alcides}, + Isbn = {0-8176-3139-9}, + Mrclass = {57R30 (58F18)}, + Mrnumber = {824240 (87a:57029)}, + Note = {Translated from the Portuguese by Sue E. Goodman}, + Pages = {vi+205}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Title = {Geometric theory of foliations}, + Year = 1985 +} + +@incollection{CMSB02, + Address = {Tokyo}, + Author = {Cho, Koji and Miyaoka, Yoichi and Shepherd-Barron, Nicholas I.}, + Booktitle = {Higher dimensional birational geometry (Kyoto, 1997)}, + Mrclass = {14M20 (14E05)}, + Mrnumber = {1 929 792}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {1--88}, + Publisher = {Math. Soc. Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Characterizations of projective space and applications to complex symplectic manifolds}, + Volume = 35, + Year = 2002 +} + +@book {CMSP, + AUTHOR = {Carlson, James and Müller-Stach, Stefan and Peters, Chris}, + TITLE = {Period mappings and period domains}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 85, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2003, + PAGES = {xvi+430}, + ISBN = {0-521-81466-9}, + MRCLASS = {32G20 (14C30)}, + MRNUMBER = {2012297 (2005a:32014)}, + MRREVIEWER = {Gregory J. Pearlstein}, +} + +@misc{COP09, + Author = {Catanese, Fabrizio and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + Note = {misc preprint}, + Title = {On volume preserving complex structures on real tori}, + Year = 2009 +} + +@article{CP11, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14J40 (32Q26, 32J27, 14E30)}, + Number = 1, + Pages = {41--74}, + Title = {Geometric stability of the cotangent bundle and the universal + cover of a projective manifold}, + Volume = 139, + Year = 2011 +} + +@article {CP14, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Positivity properties of the bundle of logarithmic tensors on compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {152}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {11}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}{DOI:10.1112/S0010437X16007442}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1407.3431}{arXiv:1407.3431}.}, + PAGES = {2350--2370}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q05 (32Q10 32Q15 32Q20 32U05 32U15)}, + MRNUMBER = {3577897}, +MRREVIEWER = {Cezar Joi\c{t}a}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007442}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007442}, +} + +@article {CP15, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Orbifold generic semi-positivity: an application to families of canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 65, + YEAR = 2015, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2945}{DOI:10.5802/aif.2945}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.3169}{arXiv:1303.3169}}, + PAGES = {835--861}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14E30 (14C20 32J25)}, + MRNUMBER = 3449168, + MRREVIEWER = {Artie Prendergast-Smith}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2015__65_2_835_0}, +} + +@article{CP91, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E20)}, + Mrnumber = {91m:14061}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {169--187}, + Title = {Projective manifolds whose tangent bundles are numerically effective}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{CP93, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J35 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {94e:14052}, + Mrreviewer = {Michal Szurek}, + Number = {3-4}, + Pages = {225--238}, + Title = {{$4$}-folds with numerically effective tangent bundles and second {B}etti numbers greater than one}, + Volume = 79, + Year = 1993 +} + +@article{CP94, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {14J45 (32J17 32L25)}, + Mrnumber = {MR1312685 (96b:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {173--201}, + Title = {Rigidity theorems for primitive {F}ano {$3$}-folds}, + Volume = 2, + Year = 1994 +} + +@article{CP98, + Author = {Campana, Frédéric and Peternell, Thomas}, + Coden = {MSMHB2}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14J60 (14J30 14M20)}, + Mrnumber = {MR1642626 (99g:14051)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Number = 1, + Pages = {59--74}, + Title = {Rational curves and ampleness properties of the tangent bundle + of algebraic varieties}, + Volume = 97, + Year = 1998 +} + +@misc{CPP01, + Author = {F.~Campana and T.~Peternell and A.~Pukhlikov}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/0110017}, + Title = {Generalized Tsen theorem and rationally connected Fano fibrations}, + Year = 2001 +} + +@article{CS95, + Author = {Cho, Koji and Sato, Ei-ichi}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J60 (14J45)}, + Mrnumber = {MR1317270 (96g:14033)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {Smooth projective varieties with the ample vector bundle + {$\bigwedge\sp 2T\sb X$} in any characteristic}, + Volume = 35, + Year = 1995 +} + +@incollection{CTCetraro, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis}, + TITLE = {Variétés presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs dégénérescences}, + BOOKTITLE = {Arithmetic geometry}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}{DOI:10.1007/978-3-642-15945-9$\_$1}}, + VOLUME = {2009}, + PAGES = {1--44}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {11G25 (11G35 14G05)}, + MRNUMBER = {2757627}, +MRREVIEWER = {Nguy\cftil{e}n Quôc Tháng}, + DOI = {10.1007/978-3-642-15945-9_1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-15945-9_1}, +} + +@article {CTPS, + AUTHOR = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Pál, Ambrus and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Pathologies of the {B}rauer-{M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}{DOI:10.1007/s00209-015-1565-x}}, + VOLUME = {282}, + YEAR = {2016}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {799--817}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14G05 14G25)}, + MRNUMBER = {3473644}, +MRREVIEWER = {Jörg Jahnel}, + DOI = {10.1007/s00209-015-1565-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-015-1565-x}, +} + +@Unpublished{CTSko, + author = {Colliot-Thélène, Jean-Louis and Skorobogatov, Alexei N.}, + title = {The {B}rauer--{G}rothendieck group}, + note = {Book draft. Available on the internet at \href{https://wwwf.imperial.ac.uk/~anskor/brauer.pdf}{\sf https://wwwf.imperial.ac.uk/$\sim$anskor/brauer.pdf}}, + month = {January}, + year = 2021, +} + +@misc{CW03, + Author = {Solá Conde, Luis Edoardo and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Month = {April}, + Note = {Preprint}, + Title = {On manifolds whose tangent bundle is big and 1-ample}, + Year = 2003 +} + +@article{Ca95, + Author = {Campana, Frédéric}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J15)}, + Mrnumber = {1325789 (96f:32054)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 3, + Pages = {487--502}, + Title = {Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@unpublished{CaLa, + Author = {Cascini, Paolo and {La Nave}, Gabriele}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0603064v1}{arXiv:0603064}.}, + Title = {{Kähler-Ricci Flow and the Minimal Model Program for Projective Varieties}}, + Year = 2006 +} + +@article{Cam04, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14E05 (14D06 14J40 32Q57 35Q15)}, + Mrnumber = {MR2097416 (2006c:14013)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Number = 3, + Pages = {499--630}, + Title = {Orbifolds, special varieties and classification theory}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2027}{DOI:10.5802/aif.2027}}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article {Cam05, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Fibres multiples sur les surfaces: aspects geométriques, + hyperboliques et arithmétiques}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 117, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}{DOI:10.1007/s00229-005-0570-5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0410469}{arXiv:0410469}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {429--461}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14D06 (14J40)}, + MRNUMBER = 2163487, + MRREVIEWER = {Lucia Caporaso}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-005-0570-5}, +} + +@article{Cam94, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {32J27 (14E20 32E05)}, + Mrnumber = {MR1273904 (95f:32036)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {255--284}, + Title = {Remarques sur le revêtement universel des variétés + kählériennes compactes}, + Volume = 122, + Year = 1994 +} + +@book{CamachoSad, + Author = {Camacho, César and Sad, Paulo}, + Isbn = {85-244-0029-3}, + Mrclass = {58F14 (32C40 32L99 34A20 34C05 58F18 58F21)}, + Mrnumber = {MR953780 (90a:58126)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {iv+132}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {16$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [16th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Title = {Pontos singulares de equa\c c\~oes diferenciais anal{\'\i}ticas}, + Year = 1987 +} + +@article{Campana91, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {32L25 (32J20 53C25)}, + Mrnumber = {1094468 (92g:32059)}, + Mrreviewer = {S. M. Salamon}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1214446329}{DOI:10.4310/jdg/1214446329}}, + Number = 2, + Pages = {541--549}, + Title = {On twistor spaces of the class {$\scr C$}}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329}, + Volume = 33, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214446329} +} + +@article{Campana92, + Author = {Campana, Frédéric}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1191735 (93k:14050)}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 5, + Pages = {539--545}, + Title = {Connexité rationnelle des variétés de {F}ano}, + Volume = 25, + Year = 1992 +} + +@article{CampanaFlennerContactSings, + Author = {Campana, Frédéric and Flenner, Hubert}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/s002290200285}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {32S35 (14B05)}, + Mrnumber = {1923538 (2003k:32041)}, + Mrreviewer = {Jan Stevens}, + Number = 4, + Pages = {529--541}, + Title = {Contact singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002290200285}, + Volume = 108, + Year = 2002, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002290200285} +} + +@article{Can01, + Author = {Cantat, Serge}, + Coden = {ACMAA8}, + Fjournal = {Acta Mathematica}, + Issn = {0001-5962}, + Journal = {Acta Math.}, + Mrclass = {32H50 (32C30 32Q15 37A35 37F10)}, + Mrnumber = {MR1864630 (2003h:32026)}, + Mrreviewer = {Eric Bedford}, + Number = 1, + Pages = {1--57}, + Title = {Dynamique des automorphismes des surfaces {$K3$}}, + Volume = 187, + Year = 2001 +} + +@Book{Cardano45, + author = {Cardano, Gerolamo}, + ALTeditor = {}, + title = {Artis magnæ, sive de regulis algebraicis}, + OPTpublisher = {Andreæ Osiandro}, + year = {1545}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Availiable on the internet at \url{https://archive.org/details/hieronymicardan00card/mode/2up}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Carlson85, + Author = {Carlson, James A.}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (14C30 32C45)}, + Mrnumber = {MR808740 (87i:14008)}, + Mrreviewer = {Sheldon H. Katz}, + Number = 2, + Pages = {595--612}, + Title = {Polyhedral resolutions of algebraic varieties}, + Volume = 292, + Year = 1985 +} + +@article{Catanese91, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01245076}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32J27 (14J15 32G13 32J25)}, + Mrnumber = {1098610 (92f:32049)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Note = {Appendix by Arnaud Beauville}, + Number = 2, + Pages = {263--289}, + Title = {Moduli and classification of irregular {K}ähler manifolds (and + algebraic varieties) with {A}lbanese general type fibrations.}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01245076}, + Volume = 104, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01245076} +} + +@Unpublished{Chen18, + author = {Chen, Weichung}, + title = {Boundedness of varieties of Fano type with alpha-invariants and volumes bounded below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.04019}{arXiv:1810.04019}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {Cor88, + AUTHOR = {Corlette, Kevin}, + TITLE = {Flat {$G$}-bundles with canonical metrics}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1988, + NOTE = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}{euclid.jdg/1214442469}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {361--382}, + ISSN = {0022-040X}, + CODEN = {JDGEAS}, + MRCLASS = {58E20 (32L99 53C10)}, + MRNUMBER = 965220, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442469}, +} + +@book{CoxLittleSchenck, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Cox, David A. and Little, John B. and Schenck, Henry K.}, + Isbn = {978-0-8218-4819-7}, + Mrclass = {14M25}, + Mrnumber = 2810322, + Pages = {xxiv+841}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Toric varieties}, + Volume = 124, + Year = 2011 +} + +@Unpublished{DG17, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri}, + title = {A decomposition theorem for smoothable varieties with trivial canonical class}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01800}{arXiv:1704.01800}}, + month = {April}, + year = 2017 +} + +@Unpublished{DGP20, + author = {Druel, Stéphane and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + title = {A decomposition theorem for $\mathbb{Q}$-{F}ano {K}ähler-{E}instein varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/2008.05352}{arXiv:2008.05352}}, + OPTkey = {}, + month = {August}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + + +@article{DHP08, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Hwang, Jun-Muk and Peternell, + Thomas}, + Doi = {10.1007/s12220-008-9017-z}, + Fjournal = {Journal of Geometric Analysis}, + Issn = {1050-6926}, + Journal = {J. Geom. Anal.}, + Mrclass = {32Q57 (14K99 32L05 32Q15)}, + Mrnumber = {MR2393263 (2009b:32039)}, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 2, + Pages = {324--340}, + Title = {Compact manifolds covered by a torus}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z}, + Volume = 18, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s12220-008-9017-z} +} + +@article{DL99, + Author = {Denef, Jan and Loeser, Fran{\c{c}}ois}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14A20 (14D10 14G99)}, + Mrnumber = {MR1664700 (99k:14002)}, + Mrreviewer = {José Ignacio Burgos Gil}, + Number = 1, + Pages = {201--232}, + Title = {Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic + integration}, + Volume = 135, + Year = 1999 +} + +@article{DPS01, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, + Michael}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32J27 (32Q15 32Q57)}, + Mrnumber = {2003a:32032}, + Mrreviewer = {Christophe Mourougane}, + Number = 6, + Pages = {689--741}, + Title = {Pseudo-effective line bundles on compact {K}ähler manifolds}, + Volume = 12, + Year = 2001 +} + +@article{DPS94, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {32J27 (14J45 32L07)}, + Mrnumber = {MR1257325 (95f:32037)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 2, + Pages = {295--345}, + Title = {Compact complex manifolds with numerically effective tangent bundles}, + Volume = 3, + Year = 1994, + Note = {Available from the author's web site \href{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/dps1.pdf}{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\sim$demailly/manuscripts/dps1.pdf}} +} + + +@article{DPS96, + Author = {Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas and Schneider, Michael}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32J27 (53C55)}, + Mrnumber = {MR1389367 (97d:32039)}, + Mrreviewer = {Thierry Bouche}, + Number = 2, + Pages = {217--224}, + Title = {Compact {K}ähler manifolds with {H}ermitian semipositive + anticanonical bundle}, + Volume = 101, + Year = 1996 +} + +@article {DS, + AUTHOR = {Donaldson, Simon and Sun, Song}, + TITLE = {{G}romov-{H}ausdorff limits of {K}ähler manifolds and algebraic geometry}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 213, + YEAR = 2014, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}{DOI:10.1007/s11511-014-0116-3}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1206.2609}{arXiv:1206.2609}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {63--106}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {53C55 (32Q20 53C23)}, + MRNUMBER = 3261011, + MRREVIEWER = {Valentino Tosatti}, + DOI = {10.1007/s11511-014-0116-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11511-014-0116-3}, +} + +@article{DW82, + Author = {Dedekind, R. and Weber, H.}, + Journal = {Crelle J. Reine Angew. Math}, + Pages = {181-290}, + Title = {Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen}, + Volume = 92, + Year = 1882 +} + +@PhdThesis{Daniel15, + author = {Jeremy Daniel}, + title = {Variations de structures de Hodge lacées et fibrés harmoniques}, + school = {Université Paris VII and Université Pierre et Marie Curie}, + year = 2015 +} + +@article{Danilov78, + Author = {Danilov, V. I.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe + Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk}, + Issn = {0042-1316}, + Journal = {Uspekhi Mat. Nauk}, + Mrclass = {14A20 (14L30)}, + Mrnumber = {495499 (80g:14001)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Note = {English translation: Russian Math. Surveys 33 (1978), no. 2, + 97--154}, + Number = {2(200)}, + Pages = {85--134, 247}, + Title = {The geometry of toric varieties}, + Volume = 33, + Year = 1978 +} + +@incollection{Danilov91, + Address = {Berlin}, + Author = {Danilov, V. I.}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {IL}, 1989)}, + Doi = {10.1007/BFb0086261}, + Mrclass = {14M25 (14F25 14F40)}, + Mrnumber = {1181204 (93i:14050)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {26--38}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {de {R}ham complex on toroidal variety}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261}, + Volume = 1479, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0086261} +} + +@article{Darboux78, + Ages = {60--96; 123--144; 151--200}, + Author = {Darboux, Gaston}, + Journal = {Bulletin Sciences Mathématiques 2ème série}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles algébriques du + premier ordre et du premier degré (Mélanges)}, + Volume = 2, + Year = 1878 +} + +@book {Debarre01, + AUTHOR = {Debarre, Olivier}, + TITLE = {Higher-dimensional algebraic geometry}, + SERIES = {Universitext}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xiv+233}, + ISBN = {0-387-95227-6}, + MRCLASS = {14-02 (14E30 14Jxx)}, + MRNUMBER = {1841091 (2002g:14001)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-5406-3}}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-5406-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5406-3}, +} + +@book{Deligne70, + Address = {Berlin}, + Author = {Deligne, Pierre}, + Mrclass = {14D05 (14C30)}, + Mrnumber = {54 \#5232}, + Mrreviewer = {Helmut Hamm}, + Note = {Lecture Notes in Mathematics, + Vol. 163. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0061194}{DOI:10.1007/BFb0061194}}, + Pages = {iii+133}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Équations différentielles à points singuliers réguliers}, + Year = 1970 +} + +@article{DeligneHodgeII, + Author = {Deligne, Pierre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C30 (14F15)}, + Mrnumber = {0498551 (58 \#16653a)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 40, + Pages = {5--57}, + Title = {Théorie de {H}odge. {II}}, + Year = 1971 +} + +@incollection{Dem02, + Address = {Berlin}, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Booktitle = {Complex geometry ({G}öttingen, 2000)}, + Mrclass = {32Q15 (32J27)}, + Mrnumber = {1922099 (2003f:32029)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_6}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0$\_$6}}, + Pages = {93--98}, + Publisher = {Springer}, + Title = {On the {F}robenius integrability of certain holomorphic {$p$}-forms}, + Year = 2002 +} + +@Article{Dem85, + AUTHOR = "Jean-Pierre Demailly", + TITLE = "Mesures de {M}onge-{A}mpère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines", + JOURNAL = "Mém. Soc. Math. France (N.S.)", + FJOURNAL = "Mémoires de la Société Mathématique de France. Nouvelle Série", + VOLUME = 19, + YEAR = 1985, + PAGES = 124, + ISSN = "0037-9484", + MRCLASS = "32H35 (32C10 32F05)", + MRNUMBER = "813252 (87g:32030)", + MRREVIEWER = "G. M. Khenkin" +} + +@article {DemPal, + AUTHOR = {Demailly, Jean-Pierre and Pali, Nefton}, + TITLE = {Degenerate complex {M}onge-{A}mpère equations over compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 21, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {357--405}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32Q20 (32J27 32W20)}, + MRNUMBER = 2647006, + MRREVIEWER = {V. Oproiu}, + DOI = {10.1142/S0129167X10006070}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X10006070}, +} + +@misc{DemaillyBook, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {September}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@misc{DemaillyBook2012, + Author = {Demailly, Jean-Pierre}, + Month = {June}, + Note = {OpenContent Book, freely available from the author's web site, + \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}.}, + Title = {Complex {A}nalytic and {D}ifferential {G}eometry}, + Url = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} +} + +@Unpublished{Deng, + Author = {Deng, Ya}, + Title = {Kobayashi hyperbolicity of moduli spaces of minimal projective manifolds of general type (with the appendix by {D}an {A}bramovich)}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1806.01666}{arXiv:1806.01666}}, + Year = 2018 + } + +@phdthesis{Deroin03, + Author = {Deroin, B.}, + School = {ENS Lyon}, + Title = {Laminations par variétés complexes}, + Year = 2003 +} + +@incollection{DethloffGrauert, + Author = {Dethloff, Gerd and Grauert, Hans}, + Booktitle = {Several {C}omplex {V}ariables {VII}}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_5}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_5}}, + Mrclass = {32C15 (32C20)}, + Mrnumber = 1326621, + Pages = {183--220}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Seminormal complex spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@incollection {Dol82, + AUTHOR = {Dolgachev, Igor}, + TITLE = {Weighted projective varieties}, + BOOKTITLE = {Group actions and vector fields ({V}ancouver, {B}.{C}., 1981)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {956}, + PAGES = {34--71}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1982}, + MRCLASS = {14L32 (14A05 14B05)}, + MRNUMBER = {704986}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0101508}{DOI:10.1007/BFb0101508}}, + DOI = {10.1007/BFb0101508}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0101508}, +} + +@article{Donaldson85, + Author = {Donaldson, Simon K.}, + Coden = {PLMTAL}, + Doi = {10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {58E15 (14F99 53C05 57R99)}, + Mrnumber = {765366 (86h:58038)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}{DOI:10.1112/plms/s3-50.1.1}}, + Number = 1, + Pages = {1--26}, + Title = {Anti self-dual {Y}ang-{M}ills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1}, + Volume = 50, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-50.1.1} +} + +@article {Dru16, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {A decomposition theorem for singular spaces with trivial canonical class of dimension at most five}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 211, + YEAR = 2018, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-017-0748-y}{DOI:10.1007/s00222-017-0748-y}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1606.09006}{arXiv:1606.09006}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {245--296}, + ISSN = {0020-9910}, +} + +@article{Dru98, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math.}, + Number = 4, + Pages = {365--368}, + Title = {Structures de contact sur les variétes algébriques de + dimension 5}, + Volume = 327, + Year = 1998 +} + +@article{Dru99, + Author = {S.~Druel}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {429--435}, + Title = {{Structures de contact sur les variétés toriques}}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@article{Druel13a, + Author = {Druel, Stéphane}, + Journal = {Bull. London Math. Soc.}, + Number = 4, + Pages = {827--835}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for log canonical spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1112/blms/bdu040}{DOI:10.1112/blms/bdu040}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.5910}{arXiv:1301.5910}}, + Volume = 46, + Year = 2014 +} + +@article{DuBois81, + Author = {Philippe {D}u~Bois}, + Coden = {BSMFAA}, + Fjournal = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + Issn = {0037-9484}, + Journal = {Bull. Soc. Math. France}, + Mrclass = {14C30}, + Mrnumber = {613848 (82j:14006)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 1, + Pages = {41--81}, + Title = {Complexe de de {R}ham f{i}ltré d'une variété singulière}, + Volume = 109, + Year = 1981 +} + +@book{Duke, + Address = {Durham, NC}, + Coden = {DUMJAO}, + Issn = {0012-7094}, + Mrclass = {00B30}, + Mrnumber = {MR1381964}, + Note = {Duke Math. J. {\bf 81} (1995), no. 1}, + Pages = {i--vi and 1--250}, + Publisher = {Duke University Press}, + Title = {A celebration of {J}ohn {F}. {N}ash, {J}r}, + Year = 1996 +} + +@Book{Dur25, + author = {Dürer, Albrecht}, + ALTeditor = {}, + title = {Vnderweysung der messung / mit dem zirckel vnd richt scheyt / in {L}inien ebnen vnnd gantzen corporen / durch {A}lbrecht {D}uerer zuosamen getzogen / vnd zuo nutz allen kunstlieb habenden mit zuo gehoerigen figuren}, + publisher = {Hieronymum Formschneider}, + year = {1525}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {Nürnberg}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Available online at \href{http://digital.slub-dresden.de/id27778509X}{Sächsische Landesbibliothek — Staats- und Universitätsbibliothek Dresden}}, + OPTannote = {} +} + +@misc{Duv06, + Author = {Duval, Julien}, + Month = {May}, + Note = {talk at {D}iederichs conference}, + Title = {On {B}rody's lemma}, + Year = 2006 +} + +@misc{E02, + Author = {Eckl, Thomas}, + Note = {Preprint math.AG/0202279. To appear in J. Alg. Geom.}, + Title = {Tsuji's Numerical Trivial Fibrations}, + Year = 2002 +} + +@misc{E03b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {March}, + Note = {Preprint math.AG/0307023}, + Title = {A weak {K}awamata-{V}iehweg Vanishing Theorem}, + Year = 2003 +} + +@book{E95, + Address = {New York}, + Author = {Eisenbud, David}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Isbn = {0-387-94268-8; 0-387-94269-6}, + Mrclass = {13-01 (14A05)}, + Mrnumber = {1322960 (97a:13001)}, + Mrreviewer = {Matthew Miller}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{DOI:10.1007/978-1-4612-5350-1}}, + Pages = {xvi+785}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Commutative algebra with a view toward algebraic geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}, + Volume = 150, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1} +} + +@article{EGA1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1960__4__5_0}{numdam.PMIHES-1960-4-5-0}}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217083 (36 \#177a)}, + Number = 4, + Pages = 228, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {I}. {L}e langage des + schémas}, + Year = 1960 +} + +@book{EGA1-Reedition, + Address = {Berlin-Heidelberg-New York}, + Author = {Dieudonné, Jean A. and Grothendieck, Alexandre}, + Pages = {xx+466}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 166}, + Title = {Éléments de {G}éométrie {A}lgébrique. {I}.}, + Year = 1971 +} + +@article{EGA2, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0217084 (36 \#177b)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1961__8_}{numdam.PMIHES_1961__8_}}, + Number = 8, + Pages = 222, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {II}. Étude globale + élémentaire de quelques classes de morphismes}, + Year = 1961 +} + +@article{EGA3-1, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0163910 (29 \#1209)}, + Number = 11, + Pages = 167, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {III}. Étude cohomologique + des faisceaux cohérents. {I}}, + Year = 1961 +} + +@article {EGA4-2, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. {II}}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques}, + NUMBER = {24}, + NOTE = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}{numdam.PMIHES-1965-24-231-0}}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {231}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.00}, + MRNUMBER = {0199181}, +MRREVIEWER = {H. Hironaka}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__231_0}, +} + +@article{EGA4-3, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {MR0217086 (36 \#178)}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__28__5_0}{numdam.PMIHES-1966-28-5-0}}, + Number = 28, + Pages = 255, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {III}}, + Year = 1966 +} + +@article{EGA4-4, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0238860 (39 \#220)}, + Mrreviewer = {J. P. Murre}, + Note = {Revised in collaboration with Jean + Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1967__32__5_0}{numdam.PMIHES-1967-32-5-0}}, + Number = 32, + Pages = 361, + Title = {Éléments de géométrie algébrique. {IV}. Étude locale des + schémas et des morphismes de schémas {IV}}, + Year = 1967 +} + +@inproceedings{ES86, + Author = {J. Erdman-Snow}, + Booktitle = {Journées Complexes Nancy}, + Number = 10, + Series = {Revue de l'Institut Elie Cartan}, + Title = {On the Classification of Solv-Manifolds in Dimension 2 and 3}, + Year = 1986 +} + +@article{EV90, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14H10 (11G35 14F10 14J25)}, + Mrnumber = {MR1078858 (91m:14038)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Note = {Algebraic geometry (Berlin, 1988)}, + Number = {1-2}, + Pages = {69--85}, + Title = {Effective bounds for semipositive sheaves and for the height + of points on curves over complex function fields}, + Volume = 76, + Year = 1990 +} + +@book {EV92, + AUTHOR = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Lectures on vanishing theorems}, + SERIES = {DMV Seminar}, + VOLUME = 20, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = 1992, + PAGES = {vi+164}, + ISBN = {3-7643-2822-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}{DOI:10.1007/978-3-0348-8600-0}}, + MRCLASS = {14F17 (14F40 32L10 32L20)}, + MRNUMBER = 1193913, + MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-8600-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8600-0}, +} + +@article{Eck04b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32J25 (32C30)}, + Mrnumber = {MR2111016 (2006d:32027)}, + Mrreviewer = {Gordon Heier}, + Number = 4, + Pages = {887--938}, + Title = {Numerically trivial foliations}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@misc{Eck05b, + Author = {Eckl, Thomas}, + Month = {August}, + Note = {preprint math.AG/0508561}, + Title = {Seshadri constants via lelong numbers}, + Year = 2005 +} + +@article{Eckl08, + Author = {Eckl, Thomas}, + Doi = {10.1002/mana.200510664}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {32J25 (14C20)}, + Mrnumber = {2427164 (2009g:32036)}, + Mrreviewer = {Julius Ross}, + Number = 8, + Pages = {1119--1128}, + Title = {Lower bounds for {S}eshadri constants}, + Url = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664}, + Volume = 281, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/mana.200510664} +} + +@phdthesis{El01, + Author = {Elsner, Detlev}, + School = {Universität Bayreuth}, + Title = {Projektive Strukturen auf Fano 3-Faltigkeiten mit $b_2=b_3=2$}, + Year = 2001 +} + +@article{Elkik78, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B07}, + Mrnumber = {501926 (80c:14004)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Number = 2, + Pages = {139--147}, + Title = {Singularités rationnelles et déformations}, + Volume = 47, + Year = 1978 +} + +@article{Elkik81, + Author = {Elkik, Renée}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14J30)}, + Mrnumber = {621766 (83a:14003)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Number = 1, + Pages = {1--6}, + Title = {Rationalité des singularités canoniques}, + Volume = 64, + Year = 1981 +} + +@book{Encyclopaedia-GeometryI, + Editor = {R.V.~Gamkrelidze}, + Number = 28, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Geometry I: basic ideas and concepts of differential geometry}, + Year = 1991 +} + +@incollection{Eno87, + Address = {Berlin}, + Author = {Enoki, Ichiro}, + Booktitle = {Geometry and analysis on manifolds ({K}atata/{K}yoto, 1987)}, + Doi = {10.1007/BFb0083051}, + Mrclass = {32L10 (32J25 32L15)}, + Mrnumber = {961477 (90a:32039)}, + Mrreviewer = {Daniel Barlet}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0083051}{DOI:10.1007/BFb0083051}}, + Pages = {118--126}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Stability and negativity for tangent sheaves of minimal + {K}ähler spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051}, + Volume = 1339, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BFb0083051} +} + +@article{ExtApplications, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1515/crelle-2012-0097}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = 3281652, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}{DOI:10.1515/crelle-2012-0097}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1202.3243}{arXiv:1202.3243}.}, + Pages = {57--89}, + Title = {Reflexive differential forms on singular spaces. {G}eometry + and cohomology}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097}, + Volume = 697, + Year = 2014, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2012-0097} +} + +@article{F00, + Author = {Farkas, Gavril}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H10 (14D20 14H51)}, + Mrnumber = {MR1785575 (2001f:14048)}, + Mrreviewer = {Montserrat Teixidor i Bigas}, + Number = 1, + Pages = {43--65}, + Title = {The geometry of the moduli space of curves of genus 23}, + Volume = 318, + Year = 2000 +} + +@article{FF79, + Author = {G. Fischer and O. Forster}, + Journal = {J. reine angew. Mathematik}, + Pages = {88--93}, + Title = {{Ein Endlichkeitssatz für Hyperflächen auf kompakten komplexen + Räumen}}, + Volume = 306, + Year = 1979 +} + +@article{FG69, + Author = {Frisch, Jacques and Guenot, Jacques}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0252683 (40 \#5901)}, + Mrreviewer = {Y.-T. Siu}, + Pages = {321--343}, + Title = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + Volume = 7, + Year = 1969 +} + +@book{FGA, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14.00}, + Mrnumber = {MR0146040 (26 \#3566)}, + Mrreviewer = {E. L. Griffin, Jr.}, + Pages = {ii+205}, + Publisher = {Secrétariat mathématique}, + Title = {Fondements de la géométrie algébrique. [{E}xtraits du + {S}éminaire {B}ourbaki, 1957--1962.]}, + Year = 1962 +} + +@book{FGIKN, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fantechi, Barbara and Göttsche, Lothar and Illusie, Luc and + Kleiman, Steven L. and Nitsure, Nitin and Vistoli, Angelo}, + Isbn = {0-8218-3541-6}, + Mrclass = {14-06 (14A15 14D15 14F20)}, + Mrnumber = {MR2222646 (2007f:14001)}, + Mrreviewer = {Liam O'Carroll}, + Note = {Grothendieck's FGA explained}, + Pages = {x+339}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Mathematical Surveys and Monographs}, + Title = {Fundamental algebraic geometry}, + Volume = 123, + Year = 2005 +} + +@Unpublished{FL18, + author = {Floris, Enrica and Lazić, Vladimir}, + title = {On the B-Semiampleness Conjecture}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1808.00717}{arXiv:1808.00717}}, + month = {August}, + year = 2018 +} + +@incollection{FL81, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William and Lazarsfeld, Robert}, + Booktitle = {Algebraic geometry ({C}hicago, {I}ll., 1980)}, + Mrclass = {14-02 (14C99 14E25)}, + Mrnumber = {644817 (83i:14002)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0090889}{DOI:10.1007/BFb0090889}}, + Pages = {26--92}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Connectivity and its applications in algebraic geometry}, + Volume = 862, + Year = 1981 +} + +@article{FMP03, + Author = {Farkas, Gavril and Mustaţă, Mircea and Popa, Mihnea}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14H10 (13D02 14H60)}, + Mrnumber = {MR2013926 (2005b:14051)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = 4, + Pages = {553--581}, + Title = {Divisors on {${\mathcal M}\sb {g,g+1}$} and the minimal + resolution conjecture for points on canonical curves}, + Volume = 36, + Year = 2003 +} + +@article{FP05, + Author = {Farkas, Gavril and Popa, Mihnea}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14H10 (14J28)}, + Mrnumber = {MR2123229}, + Number = 2, + Pages = {241--267}, + Title = {Effective divisors on {$\overline{\mathcal M}\sb g$}, curves + on {$K3$} surfaces, and the slope conjecture}, + Volume = 14, + Year = 2005 +} + +@misc{FP09, + Author = {Frantzen, Kristina and Peternell, Thomas}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.4483}{arXiv:0910.4483}}, + Title = {On the {B}imeromorphic {G}eometry of {C}ompact {C}omplex + {C}ontact {T}hreefolds}, + Year = 2009 +} + +@article{FS01, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Fjournal = {Publicacions Matemàtiques}, + Issn = {0214-1493}, + Journal = {Publ. Mat.}, + Mrclass = {32H50 (32E40 32W05 37Fxx)}, + Mrnumber = {MR1876919 (2002k:32030)}, + Mrreviewer = {Marco Abate}, + Number = 2, + Pages = {529--547}, + Title = {Some open problems in higher dimensional complex analysis and + complex dynamics}, + Volume = 45, + Year = 2001 +} + +@incollection{FS98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Forn{\ae}ss, John Erik and Sibony, Nessim}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {32H50 (37F35 37F50)}, + Mrnumber = {MR1810536 (2001k:32034)}, + Mrreviewer = {Serge Cantat}, + Pages = {47--85}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of {${\bf P}\sp 2$} (examples)}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Fahlaoui89, + Author = {Fahlaoui, Rachid}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01457509}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J26 (14F05 32J15 53C55)}, + Mrnumber = {MR973810 (89k:14063)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Number = 1, + Pages = {171--176}, + Title = {Stabilité du fibré tangent des surfaces de del {P}ezzo}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01457509}, + Volume = 283, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01457509} +} + +@article{Faltings83, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388432}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {718935 (85g:11026a)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 3, + Pages = {349--366}, + Title = {Endlichkeitssätze für abelsche {V}arietäten über {Z}ahlkörpern}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388432}, + Volume = 73, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388432} +} + +@article{Faltings84, + Author = {Faltings, G.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {11D41 (11G30 14G25)}, + Mrnumber = {MR732554 (85g:11026b)}, + Mrreviewer = {James Milne}, + Number = 2, + Pages = 381, + Title = {Erratum: ``{F}initeness theorems for abelian varieties over number fields''}, + Volume = 75, + Year = 1984 +} + +@article{Ferr70, + Author = {Ferrari, Aldo}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.50 (53.00)}, + Mrnumber = {0274810 (43 \#570)}, + Mrreviewer = {M. Herrera}, + Pages = {65--77}, + Title = {Cohomology and holomorphic differential forms on complex analytic spaces}, + Volume = 24, + Year = 1970 +} + +@book{Fi76, + Address = {Berlin}, + Author = {Fischer, Gerd}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {0430286 (55 \#3291)}, + Mrreviewer = {Andrew Markoe}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0080338}{DOI:10.1007/BFb0080338}}, + Pages = {vii+201}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 538}, + Title = {Complex analytic geometry}, + Year = 1976 +} + +@article {Fle81, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Divisorenklassengruppen quasihomogener {S}ingularit\"{a}ten}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {328}, + YEAR = {1981}, + PAGES = {128--160}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {13F15 (13G05 14B05 14C99)}, + MRNUMBER = {636200}, +MRREVIEWER = {Gerd Faltings}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}{DOI:10.1515/crll.1981.328.128}}, + DOI = {10.1515/crll.1981.328.128}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1981.328.128}, +} + +@book{Flenner-OCarrol-Vogel, + Address = {Berlin}, + Author = {Flenner, Hubert and O'Carroll, Liam and Vogel, Wolfgang}, + Isbn = {3-540-66319-3}, + Mrclass = {14C17 (13H15 14-02)}, + Mrnumber = {2001b:14010}, + Mrreviewer = {Lê Tuân Hoa}, + Pages = {vi+307}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Joins and intersections}, + Year = 1999 +} + +@article{Flenner84, + Author = {Flenner, Hubert}, + Coden = {COMHAX}, + Fjournal = {Commentarii Mathematici Helvetici}, + Issn = {0010-2571}, + Journal = {Comment. Math. Helv.}, + Mrclass = {14F05 (32C35)}, + Mrnumber = {780080 (86m:14014)}, + Mrreviewer = {H. Lange}, + Number = 4, + Pages = {635--650}, + Title = {Restrictions of semistable bundles on projective varieties}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02566370}{DOI:10.1007/BF02566370}}, + Volume = 59, + Year = 1984 +} + +@article{Flenner88, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Extendability of differential forms on nonisolated singularities}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 94, + YEAR = 1988, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01394328}{DOI:10.1007/BF01394328}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {317--326}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14B05 (14B15 14C30 32B30 32J25)}, + MRNUMBER = 958835, + MRREVIEWER = {Ulrich Karras}, + DOI = {10.1007/BF01394328}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394328}, +} + +@book{Fogarty, + Author = {Fogarty, John}, + Mrclass = {14.50}, + Mrnumber = {MR0240104 (39 \#1458)}, + Mrreviewer = {M. J. Greenberg}, + Pages = {xvi+216}, + Publisher = {W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam}, + Title = {Invariant theory}, + Year = 1969 +} + +@article{Fr97, + Author = {Freitag, Paul}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s002080050109}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {MR1474189 (98k:14056)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 2, + Pages = {179--198}, + Title = {Rigidity properties of imprimitive {F}ano {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s002080050109}, + Volume = 309, + Year = 1997, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s002080050109} +} + +@incollection{FriedModularTowers, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Fried, Michael D.}, + Booktitle = {Recent developments in the inverse {G}alois problem + ({S}eattle, {WA}, 1993)}, + Doi = {10.1090/conm/186/02179}, + Mrclass = {11F32 (11G18 11R58 20E18)}, + Mrnumber = {1352270 (97a:11070)}, + Mrreviewer = {Yasutaka Ihara}, + Pages = {111--171}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Introduction to modular towers: generalizing dihedral group--modular curve connections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179}, + Volume = 186, + Year = 1995, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/186/02179} +} + +@article{Fuj13, + Author = {Fujino, Osamu}, + Doi = {10.3792/pjaa.89.92}, + Fjournal = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + Issn = {0386-2194}, + Journal = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 3127923, + Mrreviewer = {Jungkai Alfred Chen}, + Number = 8, + Note = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}{DOI:10.3792/pjaa.89.92}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0911.2851}{arXiv:0911.2851}}, + Pages = {92--95}, + Title = {On maximal {A}lbanese dimensional varieties}, + Url = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92}, + Volume = 89, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.3792/pjaa.89.92} +} + +@incollection {Fujino14, + AUTHOR = {Fujino, Osamu}, + TITLE = {Notes on the weak positivity theorems}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and automorphism groups}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {75}, + PAGES = {73--118}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = {2017}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1406.1834v4}{arXiv:1406.1834v4}}, + MRCLASS = {14C20 (14D07 32S35)}, + MRNUMBER = {3793363}, +MRREVIEWER = {Halszka Tutaj-Gasi\'{n}ska}, +} + +@Unpublished{Fujino15, + author = {Fujino, Osamu}, + title = {On quasi-Albanese maps}, + note = {Unpublished preprint. Available from the author's home page at \url{http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~fujino/papersandpreprints.html}}, + OPTkey = {}, + month = {January}, + year = {2015}, + OPTannote = {} +} + +@article{Fujita89, + Author = {T.~Fujita}, + Journal = {Nagoya Math.~J.}, + Pages = {105--123}, + Title = {Remarks on quasi-polarized varieties}, + Volume = 115, + Year = 1989 +} + +@book{Ful93, + Author = {W. Fulton}, + Number = 131, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Introduction to Toric Varieties}, + Year = 1993 +} + +@book{Fulton98, + Address = {Berlin}, + Author = {Fulton, William}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-62046-X; 0-387-98549-2}, + Mrclass = {14C17 (14-02)}, + Mrnumber = {1644323 (99d:14003)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1700-8}{DOI:10.1007/978-1-4612-1700-8}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Intersection {T}heory}, + Volume = 2, + Year = 1998 +} + +@article{GAGA, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {0082175 (18,511a)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {1--42}, + Title = {Géométrie algébrique et géométrie analytique}, + Volume = 6, + Year = {1955--1956} +} + +@book{GH, + Address = {New York}, + Author = {Griffiths, Phillip and Harris, Joseph}, + Isbn = {0-471-05059-8}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1288523 (95d:14001)}, + Note = {Reprint of the 1978 original}, + Pages = {xiv+813}, + Publisher = {John Wiley \& Sons Inc.}, + Series = {Wiley Classics Library}, + Title = {Principles of algebraic geometry}, + Year = 1994 +} + +@article {GHS03, + AUTHOR = {Graber, Tom and Harris, Joe and Starr, Jason}, + TITLE = {Families of rationally connected varieties}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {16}, + YEAR = {2003}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}{DOI:10.1090/S0894-0347-02-00402-2}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {57--67}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {14M20 (14D05 14D22)}, + MRNUMBER = {1937199}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00402-2}, +} + +@article{GKK08, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Journal = {Compositio~Math.}, + Month = {January}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X09004321}{DOI:10.1112/S0010437X09004321}. A slightly extended version is available as \href{http://arxiv.org/abs/0808.3647}{arXiv:0808.3647}}, + Pages = {193--219}, + Title = {Extension theorems for differential forms, and {B}ogomolov-{S}ommese vanishing on log canonical varieties}, + Volume = 146, + Year = 2010 +} + +@article{GKKP11, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J. and Peternell, Thomas}, + Journal = {Inst. {H}autes {É}tudes Sci.~{P}ubl.~{M}ath.}, + Month = {November}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-011-0036-0}{DOI:10.1007/s10240-011-0036-0}. An extended version with additional graphics is available as \href{http://arxiv.org/abs/1003.2913}{arXiv:1003.2913}}, + Number = 1, + Pages = {87--169}, + Title = {Differential forms on log canonical spaces}, + Volume = 114, + Year = 2011 +} + +@article {GKP13, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Étale fundamental groups of {K}awamata log terminal spaces, flat sheaves, and quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 165, + YEAR = 2016, + NUMBER = 10, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}{DOI:10.1215/00127094-3450859}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {1965--2004}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + MRNUMBER = 3522654, + DOI = {10.1215/00127094-3450859}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-3450859}, +} + +@Article{GKP15, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Movable curves and semistable sheaves}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2016, + VOLUME = 2016, + NUMBER = 2, + PAGES = {536--570}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}{DOI:10.1093/imrn/rnv126}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1408.4308}{arXiv:1408.4308}}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv126}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv126}, +} + +@incollection{GKP16, + Address = {Tokyo}, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Booktitle = {Minimal Models and Extremal Rays, Kyoto, 2011}, + Pages = {67--113}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Singular spaces with trivial canonical class}, + Volume = 70, + Year = 2016, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1110.5250}{arXiv:1110.5250}} +} + +@article{GKP22, + Author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/785}{DOI:10.1090/jag/785}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2006.08769}{arXiv:2006.08769}}, + Title = {Projective flatness over klt spaces and uniformisation of varieties with nef anti-canonical divisor}, + month = {March}, + Year = 2022, + Volume = 31, + Pages = {467--496} +} + +@Article{GKPT17, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + title = {Nonabelian {H}odge theory for klt spaces and descent theorems for vector bundles}, + journal = {Compos. Math.}, + year = {2019}, + volume = {155}, + number = {2}, + pages = {289--323}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007923}{DOI:10.1112/S0010437X18007923}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1711.08159}{arXiv:1711.08159}}, +} + +@article {GKPT19, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {Harmonic metrics on {H}iggs sheaves and uniformization of varieties of general type}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {378}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}{DOI:10.1007/s00208-019-01906-4}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.01266}{arXiv:1804.01266}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {1061--1094}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14E20 (14E30 32Q30 53C07)}, + MRNUMBER = {4163522}, + DOI = {10.1007/s00208-019-01906-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-019-01906-4}, +} + +@article {GKPT19b, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Taji, Behrouz}, + TITLE = {The {M}iyaoka-{Y}au inequality and uniformisation of canonical models}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2414}{DOI:10.24033/asens.2414}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.08822}{arXiv:1511.08822}}, + VOLUME = {52}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1487--1535}, + ISSN = {0012-9593}, + DOI = {10.24033/asens.2414}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2414}, +} + +@InProceedings{GKT16, + author = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Taji, Behrouz}, + title = {Uniformisation of higher-dimensional varieties}, + booktitle = {Algebraic Geometry: Salt Lake City 2015}, + year = 2018, + editor = {de Fernex, Tommaso and Hassett, Brendan and Mustaţă, Mircea + and Olsson, Martin and Popa, Mihnea and Thomas, Richard}, + volume = 1, + number = 97, + series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + pages = {277--308}, + organization = {American Mathematical Society}, + publisher = {American Mathematical Society}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1608.06644}{arXiv:1608.06644}} +} + +@book{GNPP88, + Address = {Berlin}, + Author = {Guillén, F. and Navarro{\ }Aznar, V. and Pascual{\ }Gainza, + P. and Puerta, F.}, + Isbn = {3-540-50023-5}, + Mrclass = {14F20 (14F40 32G20 32L20)}, + Mrnumber = {MR972983 (90a:14024)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pf{i}ster}, + Note = {Papers from the Seminar on Hodge-Deligne Theory held in Barcelona, 1982}, + Pages = {xii+192}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {Hyperrésolutions cubiques et descente cohomologique}, + Volume = 1335, + Year = 1988 +} + +@article {GR70, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Riemenschneider, Oswald}, + TITLE = {Verschwindungssätze für analytische {K}ohomologiegruppen auf komplexen {R}äumen}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 11, + YEAR = 1970, + PAGES = {263--292}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01403182}{DOI:10.1007/BF01403182}.}, + MRCLASS = {32C35 (32L10)}, + MRNUMBER = 0302938, + MRREVIEWER = {H. B. Laufer}, + DOI = {10.1007/BF01403182}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01403182}, +} + +@book{GR71, + Address = {Berlin}, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Mrclass = {32B05 (13H05 13H10 13J05 13J15 32-02 32A05)}, + Mrnumber = {MR0316742 (47 \#5290)}, + Mrreviewer = {K. Wolffhardt}, + Note = {Unter Mitarbeit von O.~Riemenschneider, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 176}, + Pages = {ix+240}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Analytische {S}tellenalgebren}, + Year = 1971 +} + +@unpublished{GRT, + Author = {Daniel Greb and Julius Ross and Matei Toma}, + Month = {September}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1409.7564}{arXiv:1409.7564}}, + Title = {Variation of {G}ieseker {M}oduli {S}paces via {Q}uiver {GIT}, + {I}}, + Year = 2014 +} + +@Article{GT13, + author = {Greb, Daniel and Toma, Matei}, + title = {Compact moduli spaces for slope-semistable sheaves}, + journal = {Algebr. Geom.}, + year = 2017, + volume = 4, + number = 1, + pages = {40--78}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2017-003}{DOI:10.14231/AG-2017-003}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1303.2480}{arXiv:1303.2480}}, + doi = {10.14231/AG-2017-003}, +} + +@Unpublished{GT16, + author = {Guenancia, Henri and Taji, Behrouz}, + title = {Orbifold stability and {M}iyaoka-{Y}au inequality for minimal pairs}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1611.05981}{arXiv:1611.05981}}, + month = {November}, + year = 2016 +} + +@article {GZ07, + AUTHOR = {Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {The weighted {M}onge-{A}mpère energy of quasiplurisubharmonic functions}, + JOURNAL = {J. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Journal of Functional Analysis}, + VOLUME = 250, + YEAR = 2007, + NUMBER = 2, + PAGES = {442--482}, + ISSN = {0022-1236}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 32U05)}, + MRNUMBER = 2352488, + MRREVIEWER = {Norman Levenberg}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}{DOI:10.1016/j.jfa.2007.04.018}.}, + DOI = {10.1016/j.jfa.2007.04.018}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.04.018}, +} + +@article{GZ94, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {MR1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi\sb 1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Gabber93, + AUTHOR = {Gabber, Ofer}, + TITLE = {An injectivity property for étale cohomology}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1993__86_1_1_0}{numdam.CM-1993-86-1-1-0}}, + VOLUME = {86}, + YEAR = {1993}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {1--14}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14F20}, + MRNUMBER = {1214652}, +MRREVIEWER = {R. T. Hoobler}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__86_1_1_0}, +} + +@article{Geiges03, + Author = {Geiges, Hansjörg}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {57R17 (53C99 53D99 57R42)}, + Mrnumber = {MR1982875 (2004e:57031)}, + Mrreviewer = {John B. Etnyre}, + Number = 779, + Pages = {viii+58}, + Title = {{$h$}-principles and flexibility in geometry}, + Volume = 164, + Year = 2003 +} + +@article {Ghys00, + AUTHOR = {Ghys, Étienne}, + TITLE = {À propos d'un théorème de {J}.-{P}. {J}ouanolou concernant les + feuilles fermées des feuilletages holomorphes}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2)}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02904228}{DOI:10.1007/BF02904228}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {175--180}, + ISSN = {0009-725X}, + MRCLASS = {32S65 (37F75)}, + MRNUMBER = 1753461, + MRREVIEWER = {M. G. Soares}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02904228}, +} + +@article{GiesekerVectorBundlesModuli, + Author = {Gieseker, D.}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971157}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20)}, + Mrnumber = {MR466475 (81h:14014)}, + Number = 1, + Pages = {45--60}, + Title = {On the moduli of vector bundles on an algebraic surface}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971157}, + Volume = 106, + Year = 1977, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971157} +} + +@book{Godement73, + Address = {Paris}, + Author = {Godement, Roger}, + Mrclass = {55BXX (18GXX)}, + Mrnumber = {MR0345092 (49 \#9831)}, + Note = {Troisième édition revue et corrigée, Publications de + l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg, + XIII, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252}, + Pages = {viii+283}, + Publisher = {Hermann}, + Title = {Topologie algébrique et théorie des faisceaux}, + Year = 1973 +} + +@book{GoreskyMacPherson, + Address = {Berlin}, + Author = {Goresky, Mark and MacPherson, Robert D.}, + Isbn = {3-540-17300-5}, + Mrclass = {57R70 (14F45 32C10 32C42 57N80 58A35 58C27)}, + Mrnumber = {932724 (90d:57039)}, + Mrreviewer = {K. Lamotke}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7}{DOI:10.1007/978-3-642-71714-7}}, + Pages = {xiv+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Stratified {M}orse theory}, + Volume = 14, + Year = 1988 +} + +@InCollection{GrCa60, + author = {Grothendieck, Alexandre}, + title = {Techniques de construction en géométrie analytique. {V}. {F}ibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux}, + booktitle = {Séminaire Henri Cartan}, + publisher = {Secrétariat mathématique}, + year = {1960--1961}, + volume = 13, + number = 1, + chapter = {Exp.\ n° 12}, + pages = {1--15}, + address = {Paris}, + Note = {Revised in collaboration with Jean Dieudonné. \href{http://www.numdam.org/item/SHC_1960-1961__13_1_A8_0}{numdam.SHC-1960-1961-13-1-A8-0}}, +} + +@article{Gra13, + Author = {Graf, Patrick}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {1435-5345}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + volume = 702, + year = 2015, + pages = {109--142}, + Title = {{B}ogomolov--{S}ommese vanishing on log canonical pairs}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + note = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}{DOI:10.1515/crelle-2013-0031}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1210.0421}{arXiv:1210.0421}}, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0031}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Grauert62, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.60 (32.22)}, + Mrnumber = {MR0137127 (25 \#583)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {331--368}, + Title = {{Ü}ber {M}odifikationen und exzeptionelle analytische {M}engen}, + Volume = 146, + Year = 1962 +} + +@article{Grauert72, + Author = {Grauert, Hans}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {MR0293127 (45 \#2206)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {171--198}, + Title = {{Ü}ber die {D}eformation isolierter {S}ingularitäten analytischer {M}engen}, + Volume = 15, + Year = 1972 +} + +@article{Gri68, + Author = {Griffiths, Phillip A.}, + Fjournal = {The American Journal of Mathematics}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrnumber = {0233825 (38 #2146)}, + Mrreviewer = {A. H. Wallace}, + Note = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477}{euclid.bams/1183531477}}, + Pages = {805--865}, + Title = {Periods of integrals on algebraic manifolds. {II}. Local study of the period mapping}, + Volume = 90, + Year = 1968 +} + +@proceedings {Gri84, + TITLE = {Topics in transcendental algebraic geometry}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 106, + BOOKTITLE = {Proceedings of a seminar held at the {I}nstitute for {A}dvanced {S}tudy, {P}rinceton, {N}.{J}., during the academic year 1981/1982}, + EDITOR = {Griffiths, Phillip}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1984, + PAGES = {viii+316}, + ISBN = {0-691-08335-5; 0-691-08339-8}, + MRCLASS = {14C30 (14-02 14D05 32J25)}, + MRNUMBER = {756842 (86b:14004)}, + MRREVIEWER = {David Ortland}, +} + +@incollection{Gro5658, + Address = {Paris}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Booktitle = {Classification des groupes de Lie algébriques}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1956-1958__1__A5_0}{numdam.SCC_1956-1958__1__A5_0}}, + Number = 1, + Series = {Séminaire Claude Chevalley}, + Title = {Compléments de géométrie algébrique. {E}spaces de + transformations (Exposé No.~5.)}, + Year = {1956--58} +} + +@book{Gromov86, + Address = {Berlin}, + Author = {Gromov, Mikhael}, + Isbn = {3-540-12177-3}, + Mrclass = {58G99 (35A99 35B99 53C42 58-02)}, + Mrnumber = {MR864505 (90a:58201)}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Pages = {x+363}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Partial differential relations}, + Volume = 9, + Year = 1986 +} + +@Article{Guenancia, + author = {Guenancia, Henri}, + title = {Semistability of the tangent sheaf of singular varieties}, + journal = {Algebraic Geometry}, + year = 2016, + volume = 3, + number = 5, + pages = {508--542}, + month = {November}, + note = {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2016-024}{DOI:10.14231/AG-2016-024}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1502.03711}{arXiv:1502.03711}} +} + +@book{GunningRossi, + Address = {Englewood Cliffs, N.J.}, + Author = {Gunning, Robert C. and Rossi, Hugo}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {MR0180696 (31 \#4927)}, + Mrreviewer = {R. P. Gilbert}, + Pages = {xiv+317}, + Publisher = {Prentice-Hall Inc.}, + Title = {Analytic functions of several complex variables}, + Year = 1965 +} + +@book {HBPV, + AUTHOR = {Barth, Wolf P. and Hulek, Klaus and Peters, Chris A. M. and Van de Ven, Antonius}, + TITLE = {Compact complex surfaces}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = {4}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {3-540-00832-2}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}{DOI:10.1007/978-3-642-57739-0}}, + MRCLASS = {14Jxx (14-02 32-02 32J15 57R57)}, + MRNUMBER = {2030225}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/978-3-642-57739-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0}, +} + +@article{HK05, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14Hxx (14J45)}, + Mrnumber = {MR2155089}, + Pages = {173--194}, + Title = {Geometry of chains of minimal rational curves}, + Volume = 584, + Year = 2005 +} + +@book{HK10, + Annote = {ISBN 978-3-0346-0289-1}, + Author = {Hacon, Christopher D. and Kovács, Sándor J.}, + Month = {May}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Oberwolfach Seminars}, + Title = {Classification of Higher Dimensional Algebraic Varieties}, + Volume = 41, + Year = 2010 +} + +@article{HKP00, + Author = {A.T.~Huckleberry and S.~Kebekus and T.~Peternell}, + Journal = {Duke Mathematical Journal}, + Number = 1, + Pages = {101-124}, + Title = {Group Actions on $S^6$ and complex structures on $P_3(C)$}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{HKP06, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E05 (14J50 32H02)}, + Mrnumber = {2219848 (2007c:14008)}, + Mrreviewer = {Gianluca Occhetta}, + Number = 3, + Pages = {551--561}, + Title = {Holomorphic maps onto varieties of non-negative {K}odaira + dimension}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X}, + Volume = 15, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-05-00411-X} +} + +@article{HM01, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {JMPAAM}, + Fjournal = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série}, + Issn = {0021-7824}, + Journal = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + Mrclass = {32Q15 (14J45 32J27)}, + Mrnumber = {MR1842290 (2002j:32023)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 6, + Pages = {563--575}, + Title = {Cartan-{F}ubini type extension of holomorphic maps for {F}ano + manifolds of {P}icard number 1}, + Volume = 80, + Year = 2001 +} + +@article{HM03, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1993759 (2005f:14086)}, + Number = 4, + Pages = {627--651}, + Title = {Finite morphisms onto {F}ano manifolds of {P}icard number 1 + which have rational curves with trivial normal bundles}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{HM04, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14J99 (14E05 14J45 14M17)}, + Mrnumber = 2128297, + Number = 1, + Pages = {51--63}, + Title = {Birationality of the tangent map for minimal rational curves}, + Volume = 8, + Year = 2004 +} + +@article{HM98, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32J27 32M15)}, + Mrnumber = {1608587 (99b:32027)}, + Mrreviewer = {Kimio Miyajima}, + Number = 2, + Pages = {393--418}, + Title = {Rigidity of irreducible {H}ermitian symmetric spaces of the + compact type under {K}ähler deformation}, + Volume = 131, + Year = 1998 +} + +@article{HM99, + Author = {Hwang, Jun-Muk and Mok, Ngaiming}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E99 (14D15 14J45 14M17)}, + Mrnumber = {1681093 (2000j:14026)}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 1, + Pages = {209--231}, + Title = {Holomorphic maps from rational homogeneous spaces of {P}icard + number {$1$} onto projective manifolds}, + Volume = 136, + Year = 1999 +} + +@article{HMcK06, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E05 (14J40)}, + Mrnumber = {2242631 (2007e:14022)}, + Mrreviewer = {Meng Chen}, + Number = 1, + Pages = {1--25}, + Title = {Boundedness of pluricanonical maps of varieties of general type}, + Volume = 166, + Year = 2006 +} + +@article{HMcK07, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J45)}, + Mrnumber = {2309156 (2008f:14030)}, + Mrreviewer = {Mihnea Popa}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-07-13813-4}{DOI:10.1215/S0012-7094-07-13813-4}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/math/0504330}{arXiv:math/0504330}}, + Number = 1, + Pages = {119--136}, + Title = {On {S}hokurov's rational connectedness conjecture}, + Volume = 138, + Year = 2007 +} + +@incollection{HMcK07b, + Address = {Oxford}, + Author = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + Booktitle = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Doi = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = 2359343, + Pages = {76--110}, + Publisher = {Oxford Univ. Press}, + Series = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + Title = {Extension theorems and the existence of flips}, + Url = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005}, + Volume = 35, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0005} +} + +@incollection{HO81, + Author = {A. Huckleberry and E. Oeljeklaus}, + Booktitle = {Manifolds and Liegroups}, + Editor = {J. Hano et al.}, + Pages = {159--181}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Title = {Homogeneous Spaces from a Complex Analytic Viewpoint}, + Volume = 14, + Year = 1981 +} + +@article {HS, + AUTHOR = {Harpaz, Yonatan and Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Singular curves and the étale {B}rauer-{M}anin obstruction for surfaces}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatrième Série}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.2226}{DOI:10.24033/asens.2226}}, + VOLUME = {47}, + YEAR = {2014}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {765--778}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G25 (11G35 14F22)}, + MRNUMBER = {3250063}, +MRREVIEWER = {Yongqi Liang}, + DOI = {10.24033/asens.2226}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.2226}, +} + +@book{HTT, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Hotta, Ryoshi and Takeuchi, Kiyoshi and Tanisaki, Toshiyuki}, + Doi = {10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Isbn = {978-0-8176-4363-8}, + Mrclass = {32C38 (14F05 14F10 17B10)}, + Mrnumber = {2357361 (2008k:32022)}, + Mrreviewer = {Corrado Marastoni}, + Note = {Translated from the 1995 Japanese edition by Takeuchi. \href{https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}{DOI:10.1007/978-0-8176-4523-6}}, + Pages = {xii+407}, + Publisher = {Birkhäuser Boston Inc.}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {{$D$}-modules, perverse sheaves, and representation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6}, + Volume = 236, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4523-6} +} + +@article{HW00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {1733732 (2000j:14051)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@incollection{HW01, + Address = {River Edge, NJ}, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {Algebraic geometry in East Asia (Kyoto, 2001)}, + Mrclass = {14H60 (14D20)}, + Mrnumber = {2030452 (2005a:14042)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Pages = {155--164}, + Publisher = {World Sci. Publishing}, + Title = {Hecke curves on the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Year = 2002 +} + +@article{Ha66, + Author = {R. Hartshorne}, + Journal = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + Pages = {63--94}, + Title = {Ample Vector Bundles}, + Volume = 29, + Year = 1966 +} + +@article{Ha68, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55}, + Mrnumber = {0232780 (38 \#1103)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {403--450}, + Title = {Cohomological dimension of algebraic varieties}, + Volume = 88, + Year = 1968 +} + +@book{Ha77, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Isbn = {0-387-90244-9}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {0463157 (57 \#3116)}, + Mrreviewer = {Robert Speiser}, + Note = {Graduate Texts in Mathematics, No. 52. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{DOI:10.1007/978-1-4757-3849-0}}, + Pages = {xvi+496}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Algebraic geometry}, + Year = 1977 +} + +@incollection{Hamm85, + Address = {Warsaw}, + Author = {Hamm, Helmut A.}, + Booktitle = {Singularities ({W}arsaw, 1985)}, + Mrclass = {32S60 (14F32 14F35 32C15 57R70)}, + Mrnumber = {1101841 (92b:32044)}, + Mrreviewer = {Yih-Nan David Gau}, + Pages = {223--237}, + Publisher = {PWN}, + Series = {Banach Center Publ.}, + Title = {Morse theory on singular spaces and {L}efschetz theorems}, + Volume = 20, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura87, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14E05 (14E30)}, + Mrnumber = {88h:14018}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 1, + Pages = {123--142}, + Title = {On the birational automorphism groups of algebraic varieties}, + Volume = 63, + Year = 1987 +} + +@article{Hanamura88, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14L15 (14E05 14L30)}, + Mrnumber = {89f:14051}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {383--403}, + Title = {Structure of birational automorphism + groups. {I}. {N}onuniruled varieties}, + Volume = 93, + Year = 1988 +} + +@article{Hanamura90, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E07 (14J10 14J40 14L15)}, + Mrnumber = {92i:14011}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {124--136}, + Title = {The birational automorphism groups and the {A}lbanese maps of + varieties with {K}odaira dimension zero}, + Volume = 411, + Year = 1990 +} + +@article{Hanamura91, + Author = {Hanamura, Masaki}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E07 (14D20 14L27)}, + Mrnumber = {92h:14010}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {551--573}, + Title = {Relative birational automorphisms of algebraic fiber spaces}, + Volume = 62, + Year = 1991 +} + +@book{Harris95, + Address = {New York}, + Author = {Harris, Joe}, + Isbn = {0-387-97716-3}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {97e:14001}, + Note = {A first course, Corrected reprint of the 1992 original. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-2189-8}}, + Pages = {xx+328}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 133, + Year = 1995 +} + +@book{Hartshorne1967, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.55 (18.00)}, + Mrnumber = {0224620 (37 \#219)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Pages = {vi+106}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall}, + Title = {Local cohomology}, + Volume = 1961, + Year = 1967 +} + +@book{Hartshorne1970, + Address = {Berlin}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Mrclass = {14.05}, + Mrnumber = {0282977 (44 \#211)}, + Mrreviewer = {M. Miyanishi}, + Pages = {xiv+256}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Notes written in collaboration with C. Musili. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 156}, + Title = {Ample subvarieties of algebraic varieties}, + Year = 1970 +} + +@article{Hartshorne71, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Fjournal = {Nagoya Mathematical Journal}, + Issn = {0027-7630}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0292847 (45 \#1929)}, + Mrreviewer = {T. Oda}, + Pages = {73--89}, + Title = {Ample vector bundles on curves}, + Volume = 43, + Year = 1971 +} + +@misc{Has99, + Author = {B. Hassett}, + Note = {Preprint}, + Title = {Stable limits of log surfaces and Cohen-Macaulay singularities}, + Year = 1999 +} + +@article{Hassett-Kovacs04, + Author = {Hassett, Brendan and Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22}, + Mrnumber = {2047697 (2005b:14028)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Number = 2, + Pages = {233--247}, + Title = {Reflexive pull-backs and base extension}, + Volume = 13, + Year = 2004 +} + +@book{Hatcher, + Address = {Cambridge}, + Author = {Hatcher, Allen}, + Isbn = {0-521-79160-X; 0-521-79540-0}, + Mrclass = {55-01 (55-00)}, + Mrnumber = {1867354 (2002k:55001)}, + Mrreviewer = {Donald W. Kahn}, + Note = {{A}vailable from the author's home page at \url{http://www.math.cornell.edu/~hatcher}.}, + Pages = {xii+544}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 2002 +} + +@article{HauserMueller, + Author = {Hauser, H. and Müller, G.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32S30 (32S05)}, + Mrnumber = {1036334 (91m:32035)}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/AIF_1989__39_4_831_0}{numdam.AIF_1989__39_4_831_0}}, + Number = 4, + Pages = {831--844}, + Title = {The trivial locus of an analytic map germ}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0}, + Volume = 39, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1989__39_4_831_0} +} + +@article{Hei91, + Author = {P. Heinzner}, + Journal = {Math. Ann.}, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on Stein spaces}, + Volume = 289, + Year = 1991 +} + +@article{HeinznerGIT, + Author = {Heinzner, Peter}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446594}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32M05 (32E10 32M10)}, + Mrnumber = {1103041 (92j:32116)}, + Mrreviewer = {B. Gilligan}, + Number = 4, + Pages = {631--662}, + Title = {Geometric invariant theory on {S}tein spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446594}, + Volume = 289, + Year = 1991, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446594} +} + +@article{Helmke97, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C20}, + Mrnumber = {1455517 (99e:14003)}, + Number = 2, + Pages = {201--216}, + Title = {On {F}ujita's conjecture}, + Volume = 88, + Year = 1997 +} + +@article{Helmke99, + Author = {Helmke, Stefan}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {1686947 (2000f:14008)}, + Mrreviewer = {Sandra Di Rocco}, + Number = 4, + Pages = {635--652}, + Title = {On global generation of adjoint linear systems}, + Volume = 313, + Year = 1999 +} + +@inproceedings{Hir62, + Author = {H. Hironaka}, + Booktitle = {Proc. Int. Cong. Math.}, + Pages = {507--521}, + Title = {On resolution of singularities (characteristic zero)}, + Year = 1962 +} + +@article{Hit87, + Author = {Hitchin, Nigel. J}, + Fjournal = {Proc. London Math. Soc}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Proc. LMS.}, + Mrnumber = {0887284 (89a:32021)}, + Mrreviewer = {Mitsuhiro Itoh}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/plms/s3-55.1.59}{DOI:10.1112/plms/s3-55.1.59}}, + Number = 1, + Pages = {59--126}, + Title = {The self-duality equations on a {R}iemann surface}, + Volume = 55, + Year = 1987 +} + +@article{Hoe07, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-006-0072-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32J27 (32Q30)}, + Mrnumber = {2299565 (2008f:32024)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}{DOI:10.1007/s00209-006-0072-5}}, + Number = 3, + Pages = {465--479}, + Title = {Uniruled varieties with split tangent bundle}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5}, + Volume = 256, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-006-0072-5} +} + +@article{Hofer98, + Author = {H.~Hofer}, + Journal = {Doc.~Math., J.~DMV}, + Pages = {255-280}, + Title = {Dynamics, topology and holomorphic curves}, + Volume = {Extra Vol.~ICM Berlin 1998, vol.~1}, + Year = 1998 +} + +@article{Holmann, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {57.00}, + Mrnumber = {0120665 (22 \#11414)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + Pages = {407--440}, + Title = {Quotienten komplexer {R}äume}, + Volume = 142, + Year = {1960/1961} +} + +@article{Hon00, + Author = {J.~Hong}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Month = {December}, + Number = 9, + Pages = {1203--1230}, + Title = {Fano Manifolds with geometric structures modelled after + homogeneous contact Manifolds}, + Volume = 11, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{Hu18, + author = {Hu, Fei}, + title = {Jordan property for algebraic groups and automorphism groups of projective varieties in arbitrary characteristic}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1804.10946}{arXiv:1804.10946}. To appear in Indiana Univ. Math. J.}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article{Hu86, + Author = {A. Huckleberry}, + Journal = {Expo. Math.}, + Title = {The classification of homogeneous surfaces}, + Volume = 4, + Year = 1986 +} + +@article{HuKeel, + Author = {Hu, Yi and Keel, Sean}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {14L24 (14E30)}, + Mrnumber = {1786494 (2001i:14059)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Dedicated to William Fulton on the occasion of his 60th + birthday}, + Pages = {331--348}, + Title = {Mori dream spaces and {GIT}}, + Volume = 48, + Year = 2000 +} + + +@incollection{Huc90, + Author = {A. Huckleberry}, + Booktitle = {Several complex variables VI. Complex manifolds}, + Editor = {Barth and Narasimhan and Gamkrelidze}, + Number = 69, + Pages = {143--196}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Encycl. Math. Sci.}, + Title = {Actions of groups of holomorphic transformations}, + Year = 1990 +} + +@article{Hurwitz93, + Author = {Hurwitz, Adolf}, + Doi = {10.1007/BF01443420}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Journal = {Math. Ann.}, + Month = {403-442}, + Number = 3, + Title = {{U}eber algebraische {G}ebilde mit eindeutigen {T}ransformationen in sich}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01443420}, + Volume = 41, + Year = 1893, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01443420} +} + +@book{Huy05, + Address = {Berlin}, + Author = {Huybrechts, Daniel}, + Isbn = {3-540-21290-6}, + Mrclass = {32Qxx (14-01 32-01 32G05 32J25 53C55 53C56)}, + Mrnumber = {2093043 (2005h:32052)}, + Mrreviewer = {Richard P. Thomas}, + Pages = {xii+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Complex geometry}, + Year = 2005, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/b137952}{DOI:10.1007/b137952}.}, +} + +@article{HuybrechtsNieper2011, + Author = {Huybrechts, Daniel and Nieper-Wisskirchen, Marc}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-009-0655-z}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {32Qxx (53Cxx)}, + Mrnumber = 2776067, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}{DOI:10.1007/s00209-009-0655-z}}, + Number = {3-4}, + Pages = {939--963}, + Title = {Remarks on derived equivalences of {R}icci-flat manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z}, + Volume = 267, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-009-0655-z} +} + + +@incollection{Hwa00, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1 919 462}, + Note = {Available on the ICTP web site at {\tt + http://www.ictp.trieste.it/$\sim$pub\_off/services}}, + Pages = {335--393}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Geometry of minimal rational curves on {F}ano manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + +@article{Hwa00b, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14H60 (14J45)}, + Mrnumber = {2000j:14051}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Number = 1, + Pages = {179--187}, + Title = {Tangent vectors to {H}ecke curves on the moduli space of rank + 2 bundles over an algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 2000 +} + +@misc{Hwa03, + Author = {Jun-Muk Hwang}, + Note = {Misc preprint}, + Title = {Rigidity of surjective holomorphic maps to {C}alabi-{Y}au + manifolds}, + Year = 2003 +} + +@article{Hwa95, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 120, + Pages = {317--338}, + Title = {Nondeformability of the complex hyperquadric}, + Volume = 2, + Year = 95 +} + +@article{Hwa96, + Author = {J.-M. Hwang}, + Journal = {Math. Z.}, + Number = 221, + Title = {Characterization of the complex projective space by + holomorphic vector fields}, + Volume = 3, + Year = 1996 +} + +@article{Hwa97, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G07 (32G05)}, + Mrnumber = {1450754 (98h:32031)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Pages = {153--163}, + Title = {Rigidity of homogeneous contact manifolds under {F}ano + deformation}, + Volume = 486, + Year = 1997 +} + +@article{Hwa98, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L30)}, + Mrnumber = {99i:14045}, + Mrreviewer = {Bernd Kreussler}, + Number = 4, + Pages = {599--606}, + Title = {Stability of tangent bundles of low-dimensional {F}ano manifolds with {P}icard number {$1$}}, + Volume = 312, + Year = 1998 +} + +@inproceedings{Hwang-Mok00, + Author = {J.-M.~Hwang and N.~Mok}, + Booktitle = {Several complex variables}, + Editor = {M.~Schneider and Y.-T.~Siu}, + Number = 37, + Pages = {351--389}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {MSRI Publications}, + Title = {Varieties of minimal rational tangents on uniruled manifolds}, + Year = 2000 +} + +@book{Iitaka82, + Address = {New York}, + Author = {Iitaka, Shigeru}, + Isbn = {0-387-90546-4}, + Mrclass = {14-01 (14-02 14E05)}, + Mrnumber = {637060 (84j:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {An introduction to birational geometry of algebraic varieties, + North-Holland Mathematical Library, 24}, + Pages = {x+357}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Algebraic geometry}, + Volume = 76, + Year = 1982 +} + +@incollection{IshiiIsolatedGorensteinSingularities, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Ishii, Shihoko}, + Booktitle = {Complex analytic singularities}, + Mrclass = {32B30 (14E15 32C45)}, + Mrnumber = {894292 (89d:32016)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Pages = {165--198}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Isolated {$Q$}-{G}orenstein singularities of dimension three}, + Volume = 8, + Year = 1987 +} + +@article {JR07, + AUTHOR = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + TITLE = {Fano threefolds with sections in {$\Omega^1_V(1)$}}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = {280}, + YEAR = {2007}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {127--139}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14J45 (14J30)}, + MRNUMBER = {2290387}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/mana.200410469}{DOI:10.1002/mana.200410469}}, + DOI = {10.1002/mana.200410469}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.200410469}, +} + +@article{JZ97, + Author = {Jost, Jürgen and Zuo, Kang}, + Journal = {Journal of Differential Geometry}, + Pages = {469--503}, + Title = {Harmonic maps of infinite energy and rigidity results for representations of fundamental groups of quasiprojective varieties}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214460547}{euclid.jdg/1214460547}}, + Volume = 47, + Year = 1997 +} + +@book{Jac62, + Author = {N. Jacobson}, + Publisher = {Interscience Publishers}, + Title = {Lie Algebras}, + Year = 1962 +} + +@misc{JamesPrivateCommunication, + Author = {James McKernan}, + Month = {May}, + Title = {Private communication}, + Year = 2013 +} + +@Unpublished{Jiang17, + author = {Jiang, Chen}, + title = {Boundedness of $\mathbb Q$-Fano varieties with degrees and alpha-invariants bounded from below}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.02740}{arXiv:1705.02740}}, + OPTkey = {}, + month = {May}, + year = {2017}, + OPTannote = {} +} + +@mastersthesis{Joerder10, + Author = {Jörder, Clemens}, + Note = {URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-78978. Available on the internet + at + \href{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7897}}, + School = {University of Freiburg}, + Title = {Deformation of morphisms}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2010 +} + +@article{Jordan1877, + Author = {Jordan, Camille}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Note = {Available at + \url{http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0084}.}, + Pages = {89--216}, + Title = {Mémoire sur les équations différentielles linéaires à + intégrale algèbriques}, + Volume = 84, + Year = 1877 +} + +@article {Jouanolou, + AUTHOR = {Jouanolou, Jean-Pierre}, + TITLE = {Hypersurfaces solutions d'une équation de {P}faff analytique}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 232, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351428}{DOI:10.1007/BF01351428}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {239--245}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 0481129, + MRREVIEWER = {H. Cartan}, + DOI = {10.1007/BF01351428}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351428}, +} + +@article{K66, + Author = {Kleiman, Steven L.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.55 (14.10)}, + Mrnumber = {0206009 (34 \#5834)}, + Mrreviewer = {J. W. Gray}, + Pages = {293--344}, + Title = {Toward a numerical theory of ampleness}, + Volume = 84, + Year = 1966 +} + +@book{K85, + Author = {H. Kraft}, + Edition = {2., durchges. Aufl.}, + Publisher = {Vieweg}, + Series = {Aspekte der Mathematik}, + Title = {Geometrische Methoden in der Invariantentheorie}, + Volume = {D1}, + Year = 1985 +} + +@book {K96, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Rational curves on algebraic varieties}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 32, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1996, + PAGES = {viii+320}, + ISBN = {3-540-60168-6}, + MRCLASS = {14-02 (14C05 14E05 14F17 14J45)}, + MRNUMBER = 1440180, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}{DOI:10.1007/978-3-662-03276-3}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-03276-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03276-3}, +} + +@article{K98a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Doc. Math. J. DMV}, + Note = {Available on the internet at {\tt + http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta}}, + Pages = {15--26}, + Title = {Simple Models of Quasihomogeneous Projective 3-folds}, + Volume = 3, + Year = 1998 +} + +@article{KK04, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14H10 (14H45 14J45)}, + Mrnumber = {2069121 (2005d:14039)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 1, + Pages = {53--79}, + Title = {Are rational curves determined by tangent vectors?}, + Volume = 54, + Year = 2004 +} + +@article{KK08, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = 2393082, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0128-8}{DOI:10.1007/s00222-008-0128-8}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 3, + Pages = {657--682}, + Title = {Families of canonically polarized varieties over surfaces}, + Volume = 172, + Year = 2008 +} + +@article{KK08b, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {ADMTA4}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E30)}, + Mrnumber = {2414316 (2009d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.01.005}{DOI:10.1016/j.aim.2008.01.005}}, + Number = 3, + Pages = {649--652}, + Title = {Families of varieties of general type over compact bases}, + Volume = 218, + Year = 2008 +} + +@article{KK10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2010-049}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D22)}, + Mrnumber = {2730371 (2011i:14060)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}{DOI:10.1215/00127094-2010-049}, + Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0707.2054}{arXiv:0707.2054}}, + Number = 1, + Pages = {1--33}, + Title = {The structure of surfaces and threefolds mapping to the moduli + stack of canonically polarized varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049}, + Volume = 155, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2010-049} +} + +@article{KKL10, + Author = {Kebekus, Stefan and Kousidis, Stavor and Lohmann, Daniel}, + Journal = {L'Enseignement Mathématique (2)}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0905.2749}{arXiv:0905.2749}}, + Number = {3--4}, + Pages = {287--313}, + Title = {Deformations along subsheaves}, + Volume = 56, + Year = 2010 +} + +@book {KM98, + AUTHOR = {Kollár, János and Mori, Shigefumi}, + TITLE = {Birational geometry of algebraic varieties}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 134, + NOTE = {With the collaboration of C.\ H.\ Clemens and A.\ Corti, + Translated from the 1998 Japanese + original. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}{DOI:10.1017/CBO9780511662560}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 1998, + PAGES = {viii+254}, + ISBN = {0-521-63277-3}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1658959 (2000b:14018)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662560}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662560}, +} + +@incollection{KMM87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kawamata, Yujiro and Matsuda, Katsumi and Matsuki, Kenji}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14J40)}, + Mrnumber = {946243 (89e:14015)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Note = {\href{https://doi.org/doi:10.2969/aspm/01010283}{DOI:doi:10.2969/aspm/01010283}}, + Pages = {283--360}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Introduction to the minimal model problem}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{KMM92, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {1189503 (94g:14021)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}{euclid.jdg/1214453188}.}, + Pages = {765--779}, + Title = {Rational connectedness and boundedness of {F}ano manifolds}, + Volume = 36, + Year = 1992, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214453188}, +} + +@article{KMM92b, + Author = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1158625 (93i:14014)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 3, + Pages = {429--448}, + Title = {Rationally connected varieties}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@article{KMcK, + Author = {{\hbox{K}}eel, Seán and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {MAMCAU}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J26 (14B10 14E20 14E30)}, + Mrnumber = {99m:14068}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 669, + Pages = {viii+153}, + Title = {Rational curves on quasi-projective surfaces}, + Volume = 140, + Year = 1999 +} + +@article {KO73, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Ochiai, Takushiro}, + TITLE = {Characterizations of complex projective spaces and hyperquadrics}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {31--47}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {32C10}, + MRNUMBER = {316745}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}{DOI:10.1215/kjm/1250523432}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523432}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523432}, +} + +@article{KP08, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {14D15 (14M22)}, + Mrnumber = {2453561 (2010c:14006)}, + Mrreviewer = {Miguel González}, + Number = 3, + Pages = {365--389}, + Title = {A refinement of {S}tein factorization and deformations of + surjective morphisms}, + Volume = 12, + Year = 2008 +} + +@Unpublished{KP14, + author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + title = {Aspects of the geometry of varieties with canonical singularities. }, + note = {To appear in: Simons Symposia: Foliation Theory in Algebraic Geometry, Editors: Paolo Cascini, James McKernan and Jorge Vitório Pereira. Springer, New York, 2016. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-24460-0}{DOI:10.1007/978-3-319-24460-0}. Available from \url{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/publications/14-simons.pdf}.}, + year = 2014 +} + +@article {KPS22, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan and Pereira, Jorge V. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Failure of the {B}rauer--{M}anin principle for a simply connected fourfold over a global function field, via orbifold {M}ordell}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 171, + YEAR = 2022, + NUMBER = 17, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}{DOI:10.1215/00127094-2022-0045}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1307.5718}{arXiv:1307.5718}}, + PAGES = {3515--3591}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14J17 (14B05 14B25 14E30)}, + DOI = {10.1215/00127094-2022-0045}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0045}, +} + +@article{KPSW00, + Author = {Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J. and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14J40 (14E30 14J45 32J18 32Q57)}, + Mrnumber = {2002a:14047}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 1, + Pages = {1--15}, + Title = {Projective contact manifolds}, + Volume = 142, + Year = 2000 +} + +@incollection{KS06, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan and {Solá Conde}, Luis}, + Booktitle = {Global aspects of complex geometry}, + Mrclass = {14Jxx (14Hxx)}, + Mrnumber = 2264116, + Pages = {359--416}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Existence of rational curves on algebraic varieties, minimal + rational tangents, and applications}, + Year = 2006 +} + +@Article{KS18, + author = {Kebekus, Stefan and Schnell, Christian}, + title = {Extending holomorphic forms from the regular locus of a complex space to a resolution of singularities}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + year = {2021}, + OPTkey = {}, + volume = {34}, + number = {2}, + pages = {315-–368}, + month = {April}, + note = {\href{https://doi.org/10.1090/jams/962}{DOI:10.1090/jams/962}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1811.03644}{arXiv:1811.03644}}, + OPTannote = {} +} + +@book{KS72, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Kumpera, Antonio and Spencer, Donald}, + Mrclass = {58H05}, + Mrnumber = {52 \#1805}, + Mrreviewer = {H. Goldschmidt}, + Note = {Annals of Mathematics Studies, No. 73}, + Pages = {xv+293}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lie equations. {V}ol. {I}: {G}eneral theory}, + Year = 1972 +} + +@article{KSS10, + Author = {Kovács, Sándor J. and Schwede, Karl and Smith, Karen E.}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14Exx}, + Mrnumber = 2646306, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}{DOI:10.1016/j.aim.2010.01.020}}, + Number = 4, + Pages = {1618--1640}, + Title = {The canonical sheaf of {D}u {B}ois singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020}, + Volume = 224, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.020} +} + +@article{KST07, + Author = {Kebekus, Stefan and Luis {Solá Conde} and Matei Toma}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Number = 1, + Pages = {65--81}, + Title = {Rationally connected foliations after {Bogomolov} and {McQuillan}}, + Volume = 16, + Year = 2007 +} + +@article{KSW81, + Author = {Kalka, Morris and Shiffman, Bernard and Wong, Bun}, + Fjournal = {The Michigan Mathematical Journal}, + Issn = {0026-2285}, + Journal = {Michigan Math. J.}, + Mrclass = {32H99 (32F10)}, + Mrnumber = {83j:32029}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 3, + Pages = {289--295}, + Title = {Finiteness and rigidity theorems for holomorphic mappings}, + Volume = 28, + Year = 1981 +} + +@article{KW88, + Author = {E. Kunz and R. Waldi}, + Journal = {Journ. reine und angew. Math.}, + Pages = {106--115}, + Title = {{Der Führer einer Gorensteinvarietät}}, + Volume = 388, + Year = 1988 +} + +@article{Kachi-Sato99, + Author = {Y. Kachi and E. Sato}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Number = 2, + Pages = {350-390}, + Title = {Polarized varieties whose points are joined by rational curves of small degrees}, + Volume = 43, + Year = 1999 +} + +@Article{Kanemitsu20, + author = {Kanemitsu, Akihiro}, + title = {}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + year = {2020}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTpages = {}, + OPTmonth = {}, + note = {Ahead of print. \href{https://doi.org/10.1515/crelle-2020-0043}{DOI:10.1515/crelle-2020-0043}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1912.12617}{arXiv:1912.12617}}, + OPTannote = {} +} + +@article{Karras86, + Author = {Karras, Ulrich}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C37 (32B30 32C36)}, + Mrnumber = {859337 (87k:32017)}, + Mrreviewer = {Alicia Dickenstein}, + Number = 4, + Pages = {673--682}, + Title = {Local cohomology along exceptional sets}, + Volume = 275, + Year = 1986 +} + +@article{Kaup65, + Author = {Kaup, Wilhelm}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.32 (22.40)}, + Mrnumber = {0181761 (31 \#5988)}, + Mrreviewer = {Deane Montgomery}, + Pages = {72--92}, + Title = {Infinitesimale {T}ransformationsgruppen komplexer {R}äume}, + Volume = 160, + Year = 1965 +} + +@book{KaupKaup, + Address = {Berlin}, + Author = {Kaup, Ludger and Kaup, Burchard}, + Isbn = {3-11-004150-2}, + Mrclass = {32-01}, + Mrnumber = {716497 (85k:32001)}, + Mrreviewer = {R. Michael Range}, + Note = {An introduction to the fundamental theory, With the assistance + of Gottfried Barthel, Translated from the German by Michael + Bridgland}, + Pages = {xv+349}, + Publisher = {Walter de Gruyter \& Co.}, + Series = {de Gruyter Studies in Mathematics}, + Title = {Holomorphic functions of several variables}, + Volume = 3, + Year = 1983 +} + +@article{Kaw82, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Math. Annalen}, + Pages = {43--46}, + Title = {{A Generalization of Kodaira-Ramanujam's Vanishing Theorem}}, + Volume = 261, + Year = 1982 +} + +@article{Kaw92, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF02100604}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E35)}, + Mrnumber = {1161091 (93f:14012)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {229--246}, + Title = {Abundance theorem for minimal threefolds}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02100604}{DOI:10.1007/BF02100604}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02100604}, + Volume = 108, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02100604} +} + +@article {Kawa80, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On {B}loch's conjecture}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {57}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389820}{DOI:10.1007/BF01389820}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {97--100}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32H99}, + MRNUMBER = {564186}, +MRREVIEWER = {Toshiyuki Maebashi}, + DOI = {10.1007/BF01389820}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01389820}, +} + +@article{Kawa88, + Author = {Y. Kawamata}, + Journal = {Ann.~ of Math. (2)}, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degeneration of surfaces}, + Volume = 127, + Year = 1988 +} + +@article{Kawamata08, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1210167332}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Mrclass = {14E30 (14E05)}, + Mrnumber = {2426353 (2009d:14011)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}{DOI:10.2977/prims/1210167332}}, + Number = 2, + Pages = {419--423}, + Title = {Flops connect minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332}, + Volume = 44, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1210167332} +} + +@article{Kawamata85, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/crll.1985.363.1}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J10 14J15)}, + Mrnumber = {814013 (87a:14013)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}{DOI:10.1515/crll.1985.363.1}}, + Pages = {1--46}, + Title = {Minimal models and the {K}odaira dimension of algebraic fiber + spaces}, + Url = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1}, + Volume = 363, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/crll.1985.363.1} +} + +@article{Kawamata88, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971417}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E35 14J10 14J30)}, + Mrnumber = {924674 (89d:14023)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 1, + Pages = {93--163}, + Title = {Crepant blowing-up of {$3$}-dimensional canonical + singularities and its application to degenerations of + surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971417}, + Volume = 127, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971417} +} + +@article{Kawamata99, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B07 (14F17)}, + Mrnumber = {99g:14003}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 1, + Pages = {85--92}, + Title = {Deformations of canonical singularities}, + Volume = 12, + Year = 1999 +} + +@misc{Keb04, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Note = {Partially based on notes of Ravi Vakil. In preparation.}, + Title = {Jets in Algebraic Geometry}, + Year = 2004 +} + +@incollection{Keb13a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Handbook of Moduli, in honour of David Mumford, Vol. II}, + Editor = {Farkas, Gavril and Morrison, Ian}, + Month = {March}, + Note = {ISBN 9781571462589. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.4239}{arXiv:1107.4239}.}, + Pages = {71--114}, + Publisher = {International Press}, + Series = {Advanced Lectures in Mathematics}, + Title = {Differential forms on singular spaces, the minimal model + program, and hyperbolicity of moduli stacks}, + Volume = 25, + Year = 2013 +} + +@article{Kebekus00a, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {149--176}, + Title = {Relatively Minimal Quasihomogeneous Projective 3-Folds}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus00b, + Author = {S. Kebekus}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Month = {March}, + Pages = {129--147}, + Title = {On the Classification of 3-dimensional $SL_2(\mathbb + C)$-varieties}, + Volume = 157, + Year = 2000 +} + +@inproceedings{Kebekus00c, + Address = {Saitama University, Urawa}, + Author = {S.~Kebekus}, + Booktitle = {Proceedings of the Saitama Mini-Conference for Algebraic + Geometry}, + Editor = {F.~Sakai}, + Title = {Bounds for Families of Singular Rational Curves}, + Year = 2000 +} + +@article{Kebekus01, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C15 14E30 14J60 32J18)}, + Mrnumber = {2002h:14069}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Pages = {167--177}, + Title = {Lines on contact manifolds}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@article{Kebekus02a, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E30 (14H10 14J99)}, + Mrnumber = {2003e:14011}, + Mrreviewer = {Yasuyuki Kachi}, + Number = 2, + Pages = {245--256}, + Title = {Families of singular rational curves}, + Volume = 11, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus02b, + Address = {Berlin}, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_10}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_10}}, + Mrclass = {14M20 (14J45)}, + Mrnumber = {2003j:14065}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Pages = {147--155}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Characterizing the projective space after {C}ho, {M}iyaoka and + {S}hepherd-{B}arron}, + Year = 2002 +} + +@article{Kebekus02c, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Mathematische Nachrichten}, + Issn = {0025-584X}, + Journal = {Math. Nachr.}, + Mrclass = {14D06 (14D20)}, + Mrnumber = {1916853 (2003f:14009)}, + Mrreviewer = {Miguel A. Barja}, + Pages = {119--131}, + Title = {Projective bundles of singular plane cubics}, + Volume = 242, + Year = 2002 +} + +@incollection{Kebekus04, + Author = {Stefan Kebekus}, + Booktitle = {Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen + Seminars 2003/2004}, + Editor = {Y. Tschinkel}, + Pages = {157--166}, + Publisher = {Universitätsverlag der Georg-August-Universität Göttingen}, + Title = {Holomorphe {A}bbildungen auf {M}annigfaltigkeiten mit + nicht-negativer {K}odaira-{D}imension}, + Year = 2004 +} + +@article{Kebekus05, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compos. Math.}, + Mrclass = {14J45 (14C05 53D10)}, + Mrnumber = {2099777 (2005i:14052)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 1, + Pages = {227--252}, + Title = {Lines on complex contact manifolds. {II}}, + Volume = 141, + Year = 2005 +} + +@incollection {Kebekus20, + AUTHOR = {Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Boundedness results for singular {F}ano varieties and applications to {C}remona groups (following {B}irkar and {P}rokhorov-{S}hramov)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2018/2019}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {422}, + YEAR = {2020}, + PAGES = {Exp. No. 1157, 253--290 (2020)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/ast.1129}{DOI:10.24033/ast.1129}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1812.04506}{arXiv:1812.04506}}, +} + +@article{Knighten, + Author = {Knighten, Carol M.}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F10}, + Mrnumber = {0323788 (48 \#2144)}, + Mrreviewer = {J. J. Etayo}, + Pages = {65--89}, + Title = {Differentials on quotients of algebraic varieties}, + Volume = 177, + Year = 1973 +} + +@incollection{Ko91, + Address = {Bethlehem, PA}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry ({C}ambridge, {MA}, 1990)}, + Mrclass = {14J10 (14E30 14J40)}, + Mrnumber = {1144527 (93b:14059)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Pages = {113--199}, + Publisher = {Lehigh Univ.}, + Title = {Flips, flops, minimal models, etc}, + Year = 1991 +} + +@article{KoMo92, + Author = {J. Kollár and S. Mori}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Title = {Classification of three-dimensional flips}, + Volume = 5, + Year = 1992 +} + +@book{Kob87, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Isbn = {0-691-08467-X}, + Mrclass = {53C55 (32-02 32L05 32L10 32L20)}, + Mrnumber = {909698 (89e:53100)}, + Mrreviewer = {Daniel M. Burns, Jr.}, + Note = {Kanô Memorial Lectures, 5}, + Pages = {xii+305}, + Publisher = {Iwanami Shoten and Princeton University Press}, + Series = {Publications of the Mathematical Society of Japan}, + Title = {Differential geometry of complex vector bundles}, + Volume = 15, + Year = 1987 +} + +@book{KobayashiGrundlehren, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Doi = {10.1007/978-3-662-03582-5}, + Isbn = {3-540-63534-3}, + Mrclass = {32H20 (32H15 32H25 32H30)}, + Mrnumber = {1635983 (99m:32026)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}{DOI:10.1007/978-3-662-03582-5}}, + Pages = {xiv+471}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Hyperbolic {C}omplex {S}paces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5}, + Volume = 318, + Year = 1998, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-03582-5} +} + +@article{Kod66, + Author = {K. Kodaira}, + Journal = {Amer. Journ. Math.}, + Number = 88, + Pages = {694--699}, + Title = {On the Structure of Compact Analytic Surfaces III}, + Year = 1966 +} + +@book{Kodaira86, + Address = {New York}, + Author = {Kodaira, Kunihiko}, + Isbn = {0-387-96188-7}, + Mrclass = {32G05 (32-02)}, + Mrnumber = {815922 (87d:32040)}, + Mrreviewer = {James A. Carlson}, + Note = {Translated from the Japanese by Kazuo Akao, With an appendix + by Daisuke Fujiwara}, + Pages = {x+465}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Complex manifolds and deformation of complex structures}, + Volume = 283, + Year = 1986 +} + +@unpublished{Kol11, + Author = {Kollár, János}, + Month = {July}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1107.2864}{arXiv:1107.2864}}, + Title = {New examples of terminal and log canonical singularities}, + Year = 2011 +} + +@unpublished{Kol12, + Author = {Kollár, János}, + Month = {June}, + Title = {Deformations of elliptic {C}alabi--{Y}au manifolds}, + Year = 2012 +} + +@article{Kol86, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/1971351}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J10 (14F10 14J30 14J40)}, + Mrnumber = {825838 (87c:14038)}, + Mrreviewer = {Takao Fujita}, + Number = 1, + Pages = {11--42}, + Title = {Higher direct images of dualizing sheaves. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1971351}, + Volume = 123, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1971351} +} + +@article{Kol91, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {ASENAH}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {14J30 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1100994 (92f:14034)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Number = 3, + Pages = {339--361}, + Title = {Extremal rays on smooth threefolds}, + Volume = 24, + Year = 1991 +} + +@book{Kollar07, + Address = {Princeton, NJ}, + Author = {Kollár, János}, + Isbn = {978-0-691-12923-5; 0-691-12923-1}, + Mrclass = {14E15}, + Mrnumber = 2289519, + Pages = {vi+208}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Annals of Mathematics Studies}, + Title = {Lectures on resolution of singularities}, + Volume = 166, + Year = 2007 +} + +@incollection{Kollar87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14J10 (14C30 14D20)}, + Mrnumber = {946244 (89i:14029)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {361--398}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Subadditivity of the {K}odaira dimension: f{i}bers of general + type}, + Volume = 10, + Year = 1987 +} + +@article{Kollar90, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14H10 14J10)}, + Mrnumber = {1064874 (92e:14008)}, + Mrreviewer = {Autorreferat}, + Number = 1, + Pages = {235--268}, + Title = {Projectivity of complete moduli}, + Volume = 32, + Year = 1990 +} + +@article{Kollar93, + Author = {Kollár, János}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01244307}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E20 (14E30 14J10)}, + Mrnumber = {1223229 (94m:14018)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01244307}{DOI:10.1007/BF01244307}}, + Number = 1, + Pages = {177--215}, + Title = {Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01244307}, + Volume = 113, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01244307} +} + +@misc{KollarGroupsActingOnSchemes, + Author = {Kollár, J.}, + Note = {Undated, unfinished manuscript. Available on the author's website at \href{http://www.math.princeton.edu/~kollar/}{www.math.princeton.edu/$\sim$kollar}}, + Title = {Algebraic groups acting on schemes} +} + +@incollection{KollarSingsOfPairs, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kollár, János}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}anta {C}ruz 1995}, + Mrclass = {14E30 (14E15 32S40)}, + Mrnumber = {1492525 (99m:14033)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Pages = {221--287}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Singularities of pairs}, + Volume = 62, + Year = 1997 +} + +@misc{Kovacs-Schwede09, + Author = {Sándor J Kovács and Karl Schwede}, + Mrnumber = {\href{http://arxiv.org/abs/0909.0993v1}{arXiv:0909.0993v1}}, + Note = {preprint}, + Title = {Hodge theory meets the minimal model program: a survey of log canonical and {{D}u~{B}ois} singularities}, + Year = 2009 +} + +@article{Kovacs00a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D22 (14J10)}, + Mrnumber = {1713524 (2000i:14017)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 1, + Pages = {165--174}, + Title = {Algebraic hyperbolicity of f{i}ne moduli spaces}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14B05 (14E15 14E30)}, + Mrnumber = {1749436 (2002b:14005)}, + Mrreviewer = {Tohsuke Urabe}, + Number = 2, + Pages = {187--191}, + Title = {A characterization of rational singularities}, + Volume = 102, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs00c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05)}, + Mrnumber = {1761628 (2001m:14028)}, + Mrreviewer = {Gerhard Pfister}, + Number = 3, + Pages = {297--304}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois + singularities. {II}. {K}odaira vanishing and small + deformations}, + Volume = 121, + Year = 2000 +} + +@article{Kovacs02, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14J10)}, + Mrnumber = {2003a:14025}, + Mrreviewer = {Scott R. Nollet}, + Number = 3, + Pages = {291--317}, + Title = {Logarithmic vanishing theorems and {A}rakelov-{P}arshin boundedness for singular varieties}, + Volume = 131, + Year = 2002 +} + +@article{Kovacs03a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {PAMYAR}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J10 (14F17)}, + Mrnumber = {1990623 (2004f:14047)}, + Mrreviewer = {Hiroyuki Terakawa}, + Number = 11, + Pages = {3353--3364 (electronic)}, + Title = {Vanishing theorems, boundedness and hyperbolicity over + higher-dimensional bases}, + Volume = 131, + Year = 2003 +} + +@article{Kovacs03b, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J10 (14D20)}, + Mrnumber = {2007392 (2004h:14038)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Special issue in honor of Steven L. Kleiman}, + Number = 8, + Pages = {3983--3991}, + Title = {Viehweg's conjecture for families over {$\Bbb P\sp n$}}, + Volume = 31, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs03c, + Address = {Berlin}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, + 2001)}, + Mrclass = {14J10 (14H10)}, + Mrnumber = {2011746 (2004j:14041)}, + Mrreviewer = {Valmecir A. Bayer}, + Pages = {133--167}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Bolyai Soc. Math. Stud.}, + Title = {Families of varieties of general type: the {S}hafarevich + conjecture and related problems}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@incollection{Kovacs06a, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Proceedings of the AMS Summer Research Institute held at the + University of Washington, Seattle, WA, July 25--August 12, + 2005}, + Mrclass = {14-06}, + Note = {to appear}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Subvarieties of moduli stacks of canonically polarized + varieties}, + Year = 2006 +} + +@article{Kovacs96, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs96e, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J15)}, + Mrnumber = {1374712 (97c:14035)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Note = {Erratum: {J}.\ {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 6} (1997), no.\ 2, + 391}, + Number = 2, + Pages = {369--385}, + Title = {Smooth families over rational and elliptic curves}, + Volume = 5, + Year = 1996 +} + +@article{Kovacs97a, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J29)}, + Mrnumber = {1454264 (98h:14038)}, + Mrreviewer = {Caryn Werner}, + Pages = {171--177}, + Title = {On the minimal number of singular f{i}bres in a family of + surfaces of general type}, + Volume = 487, + Year = 1997 +} + +@incollection{Kovacs97b, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Birational algebraic geometry (Baltimore, MD, 1996)}, + Mrclass = {14F40 (14D07 14F05)}, + Mrnumber = {1462927 (98f:14014)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {89--100}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Relative de {R}ham complex for non-smooth morphisms}, + Volume = 207, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs97c, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14D99)}, + Mrnumber = {1464907 (98h:14039)}, + Mrreviewer = {Yoshiaki Fukuma}, + Number = 2, + Pages = {347--359}, + Title = {Families over a base with a birationally nef tangent bundle}, + Volume = 308, + Year = 1997 +} + +@article{Kovacs99, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Coden = {CMPMAF}, + Doi = {10.1023/A:1001120909269}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14F17 (14B05 14C30)}, + Mrnumber = {1713307 (2001g:14022)}, + Mrreviewer = {Alessio Corti}, + Number = 2, + Pages = {123--133}, + Title = {Rational, log canonical, {D}u {B}ois singularities: on the + conjectures of {K}ollár and {S}teenbrink}, + Url = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269}, + Volume = 118, + Year = 1999, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1023/A:1001120909269} +} + +@book{Kr84, + Address = {Braunschweig}, + Author = {Kraft, Hanspeter}, + Isbn = {3-528-08525-8}, + Mrclass = {14D25 (14L30)}, + Mrnumber = {768181 (86j:14006)}, + Mrreviewer = {J. C. Fogarty}, + Pages = {x+308}, + Publisher = {Friedr. Vieweg \& Sohn}, + Series = {Aspects of Mathematics, D1}, + Title = {Geometrische {M}ethoden in der {I}nvariantentheorie}, + Year = 1984 +} + +@article{Kras75, + Author = {V.A. Krasnov}, + Journal = {Math. Notes}, + Note = {translation from Mat. Zametki, 17, 119-122 (1975). [ISSN + 0001-4346]}, + Pages = {69--71}, + Title = {Compact complex manifolds without meromorphic functions}, + Volume = 17, + Year = 1975 +} + +@incollection{L00, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Booktitle = {School on Algebraic Geometry (Trieste, 1999)}, + Mrclass = {14H10 (14C17 14H15 14H81)}, + Mrnumber = {1795865 (2001k:14053)}, + Mrreviewer = {Marco Boggi}, + Pages = {267--291}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {A minicourse on moduli of curves}, + Volume = 1, + Year = 2000 +} + +@article{L02, + Author = {Looijenga, Eduard}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14D10 (11S40 14A20 14G99)}, + Mrnumber = {1886763 (2003k:14010)}, + Mrreviewer = {Dan Abramovich}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol.\ 1999/2000}, + Number = 276, + Pages = {267--297}, + Title = {Motivic measures}, + Year = 2002 +} + +@article{LBS94, + Author = {LeBrun, Claude and Salomon, Simon}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 1, + Pages = {109-132}, + Title = {Strong rigidity of positive quaternion-Kaler manifolds}, + Volume = 118, + Year = 1994 +} + +@misc{LR96, + Author = {N. Lauritzen and A. Rao}, + Note = {LANL-Preprint math.AG/9604012}, + Title = {Elementary counterexamples to Kodaira vanishing in prime characteristic} +} + +@article {LT18, + AUTHOR = {Lu, Steven and Taji, Behrouz}, + TITLE = {A characterization of finite quotients of abelian varieties}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}{DOI:10.1093/imrn/rnw251}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1410.0063}{arXiv:1410.0063}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {292--319}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14K20 (14B05 14F05 14J17)}, + MRNUMBER = {3801432}, +MRREVIEWER = {Fumio Hazama}, + DOI = {10.1093/imrn/rnw251}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnw251}, +} + +@article{LV, + Author = {D. Luna and T. Vust}, + Journal = {Comment Math. Helv.}, + Pages = {186--245}, + Title = {Plongements d'espaces {homogènes}}, + Volume = 58, + Year = 1983 +} + +@Unpublished{LWY20, + author = {Liu, Jie and Ou, Wenhao and Yang, Xiaokui}, + title = {Projective manifolds whose tangent bundle contains a strictly nef subsheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.08507}{arXiv:2004.08507}}, + OPTkey = {}, + month = {April}, + year = {2020}, + OPTannote = {} +} + +@article{Lai11, + Author = {Lai, Ching-Jui}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-010-0574-7}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2805635 (2012e:14032)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = 3, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}{DOI:10.1007/s00208-010-0574-7}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0912.3012}{arXiv:0912.3012}}, + Pages = {533--547}, + Title = {Varieties fibered by good minimal models}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7}, + Volume = 350, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-010-0574-7} +} + +@book{Lang95, + Address = {New York}, + Author = {Lang, Serge}, + Edition = {Third}, + Isbn = {0-387-94338-2}, + Mrclass = {53-01 (58-01)}, + Mrnumber = {1335233 (96d:53001)}, + Mrreviewer = {Sorin Dragomir}, + Pages = {xiv+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential and {R}iemannian manifolds}, + Volume = 160, + Year = 1995 +} + +@article{Langer04a, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = {2051393 (2005c:14021)}, + Mrreviewer = {Vikram B. Mehta}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2004.159.251}{DOI:10.4007/annals.2004.159.251}}, + Number = 1, + Pages = {251--276}, + Title = {Semistable sheaves in positive characteristic}, + Volume = 159, + Year = 2004 +} + +@article{Langer04b, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60)}, + Mrnumber = 2144978, + Number = 3, + Pages = {1211--1213}, + Title = {Addendum to: ``{S}emistable sheaves in positive + characteristic'' [{A}nn. of {M}ath. (2) {\bf 159} (2004), + no. 1, 251--276; MR 2051393]}, + Volume = 160, + Year = 2004 +} + +@article{Langer2003, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@article{Laufer73, + Author = {Laufer, Henry B.}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32C40}, + Mrnumber = {0333238 (48 \#11563)}, + Mrreviewer = {J. Stutz}, + Pages = {131--164}, + Title = {Taut two-dimensional singularities}, + Volume = 205, + Year = 1973 +} + +@book {Laz04-I, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {I}. Classical setting: line + bundles and linear series}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.}, + VOLUME = 48, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+387}, + ISBN = {3-540-22533-1}, + MRCLASS = {14-02 (14C20)}, + MRNUMBER = 2095471, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@book {Laz04-II, + AUTHOR = {Lazarsfeld, Robert}, + TITLE = {Positivity in algebraic geometry. {II}}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + VOLUME = 49, + NOTE = {Positivity for vector bundles, and multiplier + ideals. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}{DOI:10.1007/978-3-642-18808-4}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xviii+385}, + ISBN = {3-540-22534-X}, + MRCLASS = {14-02 (14C20 14F05 14F17)}, + MRNUMBER = 2095472, + MRREVIEWER = {Mihnea Popa}, + DOI = {10.1007/978-3-642-18808-4}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-18808-4}, +} + +@article{Laz80, + Author = {Lazarsfeld, Robert}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14E22 (14F25)}, + Mrnumber = {578722 (81g:14007)}, + Mrreviewer = {Norman Goldstein}, + Number = 2, + Pages = {153--162}, + Title = {A {B}arth-type theorem for branched coverings of projective + space}, + Volume = 249, + Year = 1980 +} + +@incollection{Laz84, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {{Complete Intersections}}, + Editor = {S. Greco and R. Strano}, + Pages = {29--61}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {{Some applications to the theory of positive vector bundles, + Proceedings Acireale}}, + Volume = 1092, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Laz93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {R. Lazarsfeld}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry. Lectures of a summer program}, + Editor = {J. Kollar}, + Number = 3, + Organization = {American Mathematical Society}, + Pages = {163--219}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {{Lectures on linear series. With the assistance of Guillermo + Fernandez del Busto.}}, + Year = 1997 +} + +@article{Leb95, + Author = {LeBrun, Claude}, + Journal = {Int. Journ. of Maths.}, + Number = 3, + Pages = {419--437}, + Title = {Fano Manifolds, Contact Structures and Quaternionic Geometry}, + Volume = 6, + Year = 1995 +} + +@inproceedings{Leb97, + Address = {Santa Cruz}, + Author = {LeBrun, Claude}, + Booktitle = {Algebraic Geometry}, + Editor = {J.~Kollár et al}, + Pages = {361--385}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics}, + Title = {Twistors for tourists: A pocket guide for algebraic geometers}, + Volume = {62(2)}, + Year = 1995 +} + +@book{Lesc, + Address = {Boston}, + Author = {F. Lescure}, + Publisher = {Gaulthier-Villars}, + Series = {Bulletin del la societe mathematique de france}, + Title = {Compactifications Équivariantes par des Courbes}, + Volume = 26, + Year = 1987 +} + +@incollection{Lib78, + Author = {David Lieberman}, + Booktitle = {Fonctions de Plusieurs Variables Complexes III}, + Editor = {Francois Norguet}, + Number = 670, + Pages = {140--186}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Note in Mathematics}, + Title = {Compactness of the {C}how scheme: Applications to + Automorphisms and Deformations of Kähler Manifolds}, + Year = 1978 +} + +@article{LiedtkeFundamentalGroups, + Author = {Liedtke, Christian}, + Coden = {TAMTAM}, + Doi = {10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E20 (14J29)}, + Mrnumber = {2574891 (2011e:14029)}, + Number = 4, + Pages = {2167--2188}, + Title = {Fundamental groups of {G}alois closures of generic + projections}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1}, + Volume = 362, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04941-1} +} + +@mastersthesis{Lohmann08, + Author = {Lohmann, Daniel}, + Note = {URN: urn:nbn:de:hbz:38-27137, URL: + \href{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}{http://kups.ub.uni-koeln.de/volltexte/2009/2713}}, + School = {University of Cologne}, + Title = {Deformationen entlang integrabler {U}ntergarben des + {T}angentialbündels}, + Type = {Diploma thesis}, + Year = 2008 +} + +@article{Lojasiewicz64, + Author = {Lojasiewicz, S.}, + Journal = {Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)}, + Mrclass = {32.25}, + Mrnumber = {0173265 (30 \#3478)}, + Mrreviewer = {S. S. Cairns}, + Pages = {449--474}, + Title = {Triangulation of semi-analytic sets}, + Volume = 18, + Year = 1964 +} + +@misc{Lu02, + Author = {Lu, Steven S.Y.}, + Month = {November}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0211029v3}{arXiv:0211029v3}}, + Title = {A refined {K}odaira dimension and its canonical fibration}, + Year = 2002 +} + +@article{Luetkebohmert, + Author = {Lütkebohmert, W.}, + Coden = {MSMHB2}, + Doi = {10.1007/BF03026540}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {14A15 (14N05)}, + Mrnumber = {1226600 (94h:14004)}, + Number = 1, + Pages = {95--111}, + Title = {On compactification of schemes}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF03026540}, + Volume = 80, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF03026540} +} + +@article{M01, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14B05 (14M10 17B99)}, + Mrnumber = {1856396 (2002f:14005)}, + Mrreviewer = {Eugenii Shustin}, + Note = {With an appendix by David Eisenbud and Edward Frenkel}, + Number = 3, + Pages = {397--424}, + Title = {Jet schemes of locally complete intersection canonical + singularities}, + Volume = 145, + Year = 2001 +} + +@article{M02, + Author = {Mustaţă, Mircea}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14B05 (14B10 14E30)}, + Mrnumber = {1896234 (2003b:14005)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {599--615 (electronic)}, + Title = {Singularities of pairs via jet schemes}, + Volume = 15, + Year = 2002 +} + +@article{M03, + Author = {Ein, Lawrence and Mustaţă, Mircea and Yasuda, Takehiko}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14E05 14E15 14N30)}, + Mrnumber = {2000468 (2004f:14028)}, + Mrreviewer = {Shihoko Ishii}, + Number = 3, + Pages = {519--535}, + Title = {Jet schemes, log discrepancies and inversion of adjunction}, + Volume = 153, + Year = 2003 +} + +@book{M86, + Author = {H. Matsumura}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Title = {Commutative ring theory}, + Year = 1986 +} + +@phdthesis{MJ87, + Annote = {Kebekus: This paper contains a combinatiorial classification + of the (equivariant) compactifications of $SL_2/\Gamma$, where + $\Gamma$ is a discrete subgroup. It is said to be similar to + the combinatorics of torus embeddings --just more + complicated. I never read it.}, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Note = {Thèse No. 2259}, + School = {Université de Genève}, + Title = {Normal Embeddings of $SL_2/\Gamma$}, + Year = 1987 +} + +@article{MJ90, + Author = {L. Moser-Jauslin}, + Journal = {J. Algebra}, + Number = 132, + Pages = {384-405}, + Title = {{Smooth Embeddings of $SL(2)$ and $PGL(2)$}}, + Volume = 2, + Year = 1990 +} + +@article{MM86, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J40}, + Mrnumber = {847952 (87k:14046)}, + Mrreviewer = {C. A. M. Peters}, + Number = 1, + Pages = {65--69}, + Title = {A numerical criterion for uniruledness}, + Volume = 124, + Year = 1986 +} + +@article{MN63, + Author = {Y. Morimoto and T. Nagano}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Pages = {289--300}, + Title = {On pseudo-conformal tZisformation of hypersurfaces}, + Volume = 15, + Year = 1963 +} + +@book{MP97, + Address = {Basel}, + Author = {Miyaoka, Yoichi and Peternell, Thomas}, + Isbn = {3-7643-5490-9}, + Mrclass = {14-02 (14Hxx 14Jxx)}, + Mrnumber = {1468476 (98g:14001)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {vi+217}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag}, + Series = {DMV Seminar}, + Title = {Geometry of higher-dimensional algebraic varieties}, + Volume = 26, + Year = 1997 +} + +@article{MR0033093, + Author = {Chow, Wei-Liang}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0033093 (11,389f)}, + Mrreviewer = {H. Cartan}, + Pages = {893--914}, + Title = {On compact complex analytic varieties}, + Volume = 71, + Year = 1949 +} + +@book{MR0039258, + Address = {Princeton, N. J.}, + Author = {Steenrod, Norman}, + Mrclass = {56.0X}, + Mrnumber = {0039258 (12,522b)}, + Mrreviewer = {S. Chern}, + Pages = {viii+224}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series, vol. 14}, + Title = {The {T}opology of {F}ibre {B}undles}, + Year = 1951 +} + +@article {MR0057539, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Eckmann, Beno}, + TITLE = {A class of compact, complex manifolds which are not algebraic}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 58, + YEAR = 1953, + PAGES = {494--500}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {56.0X}, + MRNUMBER = 0057539, + MRREVIEWER = {S. Chern}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1969750}{DOI:10.2307/1969750}}, +} + +@article{MR0063120, + Author = {Kodaira, K.}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0063120 (16,74b)}, + Mrreviewer = {P. Dolbeault}, + Pages = {865--868}, + Title = {On cohomology groups of compact analytic varieties with + coefficients in some analytic faisceaux}, + Volume = 39, + Year = 1953 +} + +@article{MR0066010, + Author = {Cartan, Henri and Serre, Jean-Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris}, + Mrclass = {53.0X}, + Mrnumber = {0066010 (16,517e)}, + Mrreviewer = {P. E. Conner}, + Pages = {128--130}, + Title = {Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques + compactes}, + Volume = 237, + Year = 1953 +} + +@article {MR0068872, + AUTHOR = {Baily, Walter L.}, + TITLE = {On the quotient of an analytic manifold by a group of analytic + homeomorphisms}, + JOURNAL = {Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + VOLUME = 40, + YEAR = 1954, + PAGES = {804--808}, + ISSN = {0027-8424}, + MRCLASS = {14.0X}, + MRNUMBER = {0068872 (16,953a)}, + MRREVIEWER = {P. Dolbeault}, +} + +@article{MR0068874, + Author = {Serre, Jean-Pierre}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0068874 (16,953c)}, + Mrreviewer = {C. Chevalley}, + Pages = {197--278}, + Title = {Faisceaux algébriques cohérents}, + Volume = 61, + Year = 1955 +} + +@article{MR0083045, + Author = {Stein, Karl}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {30.0X}, + Mrnumber = {0083045 (18,649c)}, + Mrreviewer = {H. Behnke}, + Pages = {63--93}, + Title = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}äume}, + Volume = 132, + Year = 1956 +} + +@incollection{MR0084174, + Author = {Cartan, Henri}, + Title = {Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes}, + Booktitle = {Algebraic geometry and topology}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0084174 (18,823b)}, + Mrreviewer = {W. L. Baily}, + Note = {A symposium in honor of S. Lefschetz, \href{https://doi.org/10.1515/9781400879915-007}{DOI:10.1515/9781400879915-007},}, + Pages = {90--102}, + Publisher = {Princeton University Press, Princeton, N. J.}, + Year = {1957} +} + +@article{MR0095846, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {14.00 (13.00)}, + Mrnumber = {0095846 (20 \#2344)}, + Mrreviewer = {P. Abellanas}, + Pages = {791--796}, + Title = {On the purity of the branch locus of algebraic functions}, + Volume = 44, + Year = 1958 +} + +@article{MR0099450, + Author = {Cartan, Henri}, + Fjournal = {Journal d'Analyse Mathématique}, + Issn = {0021-7670}, + Journal = {J. Analyse Math.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0099450 (20 \#5889)}, + Mrreviewer = {M. J. O. Strutt}, + Pages = {169--175}, + Title = {Fonctions automorphes et séries de {P}oincaré}, + Volume = 6, + Year = 1958 +} + +@article {MR0102537, + AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre}, + TITLE = {Sur quelques points d'algèbre homologique}, + JOURNAL = {Tôhoku Math. J. (2)}, + FJOURNAL = {The Tohoku Mathematical Journal. Second Series}, + VOLUME = 9, + YEAR = 1957, + PAGES = {119--221}, + ISSN = {0040-8735}, + MRCLASS = {18.00}, + MRNUMBER = 0102537, +MRREVIEWER = {D. Buchsbaum}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}{DOI:10.2748/tmj/1178244839}}, + DOI = {10.2748/tmj/1178244839}, + URL = {https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839}, +} + +@article{MR0103285, + Author = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.00}, + Mrnumber = {0103285 (21 \#2063)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {245--318}, + Title = {Komplexe {R}äume}, + Volume = 136, + Year = 1958 +} + +@article{MR0106930, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {16.00 (14.00)}, + Mrnumber = {0106930 (21 \#5660)}, + Mrreviewer = {M. Auslander}, + Pages = {328--333}, + Title = {On the purity of branch loci in regular local rings}, + Volume = 3, + Year = 1959 +} + +@article {MR0111058, + AUTHOR = {Calabi, Eugenio and Vesentini, Edoardo}, + TITLE = {On compact, locally symmetric {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 71, + YEAR = 1960, + PAGES = {472--507}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {57.00}, + MRNUMBER = 0111058, + MRREVIEWER = {L. Auslander}, +} + +@article{MR0148941, + Author = {Scheja, Günter}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.27}, + Mrnumber = {0148941 (26 \#6437)}, + Mrreviewer = {P. Lelong}, + Pages = {345--360}, + Title = {Riemannsche {H}ebbarkeitssätze für {C}ohomologieklassen}, + Volume = 144, + Year = 1961 +} + +@article{MR0150789, + Author = {Holmann, Harald}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32.47 (22.70)}, + Mrnumber = {0150789 (27 \#776)}, + Mrreviewer = {S. Hitotumatu}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01470762}{DOI:10.1007/BF01470762}}, + Pages = {327--360}, + Title = {Komplexe {R}äume mit komplexen {T}ransformationsgruppen}, + Volume = 150, + Year = 1963 +} + +@article{MR0153682, + Author = {Mumford, David}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.55)}, + Mrnumber = {0153682 (27 \#3643)}, + Mrreviewer = {T. Matsusaka}, + Number = 9, + Pages = {5--22}, + Title = {The topology of normal singularities of an algebraic surface + and a criterion for simplicity}, + Year = 1961 +} + +@article {MR0154929, + AUTHOR = {Solomon, Louis}, + TITLE = {Invariants of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + VOLUME = 22, + YEAR = 1963, + PAGES = {57--64}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {20.75 (14.08)}, + MRNUMBER = {0154929 (27 \#4872)}, + MRREVIEWER = {R. Steinberg}, +} + +@article {MR0157971, + AUTHOR = {Manin, Juri I.}, + TITLE = {Rational points on algebraic curves over function fields}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 27, + YEAR = 1963, + PAGES = {1395--1440}, + ISSN = {0373-2436}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1142/9789812830517_0002}{DOI:10.1142/9789812830517\_0002}}, + MRCLASS = {14.40 (10.10)}, + MRNUMBER = 0157971, + MRREVIEWER = {S. Lang}, +} + +@article {MR0158415, + AUTHOR = {Vinberg, Ernest B. and Gindikin, Simon G. and + Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Classification and canonical realization of complex + homogeneous bounded domains}, + JOURNAL = {Trudy Moskov. Mat. Ob\v s\v c.}, + FJOURNAL = {Trudy Moskovskogo Matemati\v ceskogo Ob\v s\v cestva}, + VOLUME = 12, + YEAR = 1963, + PAGES = {359--388}, + ISSN = {0134-8663}, + MRCLASS = {22.70 (32.32)}, + MRNUMBER = 0158415, + MRREVIEWER = {A. Korányi}, +} + +@article{MR0186672, + Author = {Lipman, Joseph}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.52}, + Mrnumber = {0186672 (32 \#4130)}, + Mrreviewer = {M. Nagata}, + Pages = {874--898}, + Title = {Free derivation modules on algebraic varieties}, + Volume = 87, + Year = 1965 +} + +@article{MR0190143, + Author = {{\v{S}}afarevi{\v{c}}, I. R. and Averbuh, B. G. and + Va{\u\i}nberg, Ju. R. and {\v{Z}}i{\v{z}}{\v{c}}enko, + A. B. and Manin, Ju. I. and Mo{\u\i}{\v{s}}ezon, B. G. and + Tjurina, G. N. and Tjurin, A. N.}, + Fjournal = {Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni + V. A. Steklova}, + Issn = {0371-9685}, + Journal = {Trudy Mat. Inst. Steklov.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0190143 (32 \#7557)}, + Mrreviewer = {E. C. Dade}, + Pages = {1--215}, + Title = {Algebraic surfaces}, + Volume = 75, + Year = 1965 +} + +@article{MR0199191, + Author = {Artin, Michael}, + Fjournal = {American Journal of Mathematics}, + Issn = {0002-9327}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.18 (14.20)}, + Mrnumber = {0199191 (33 \#7340)}, + Mrreviewer = {P. Du Val}, + Pages = {129--136}, + Title = {On isolated rational singularities of surfaces}, + Volume = 88, + Year = 1966 +} + +@book{MR0202713, + Author = {Hirzebruch, Friedrich}, + Mrclass = {14.00 (32.00)}, + Mrnumber = {0202713 (34 \#2573)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {x+232}, + Publisher = {Springer-Verlag New York, Inc., New York}, + Series = {Third enlarged edition. New appendix and translation from the + second German edition by R. L. E. Schwarzenberger, with an + additional section by A. Borel. Die Grundlehren der + Mathematischen Wissenschaften, Band 131}, + Title = {Topological methods in algebraic geometry}, + Year = 1966 +} + +@article {MR0204430, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Compléments à un article de {H}ans {G}rauert sur la conjecture + de {M}ordell}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}{numdam.PMIHES-1966-29-55-0}}, + NUMBER = 29, + YEAR = 1966, + PAGES = {55--62}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.49 (14.40)}, + MRNUMBER = 0204430, + MRREVIEWER = {J. V. Armitage}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__55_0}, +} + +@article{MR0210944, + Author = {Prill, David}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32.65 (10.23)}, + Mrnumber = {0210944 (35 \#1829)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {375--386}, + Title = {Local classification of quotients of complex manifolds by + discontinuous groups}, + Volume = 34, + Year = 1967 +} + +@article {MR0212214, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Prolongement de faisceaux analytiques cohérents}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 16, + YEAR = 1966, + NUMBER = {fasc. 1}, + PAGES = {363--374}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32.50 (32.27)}, + MRNUMBER = 0212214, + MRREVIEWER = {B. Shiffman}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=AIF_1966__16_1_363_0}, +} + +@article {MR0222087, + AUTHOR = {Grauert, Hans}, + TITLE = {Mordells {V}ermutung über rationale {P}unkte auf algebraischen + {K}urven und {F}unktionenkörper}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NOTE = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}{numdam.PMIHES-1965-25-131-0}}, + NUMBER = 25, + YEAR = 1965, + PAGES = {131--149}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222087, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0}, +} + +@book {MR0222088, + AUTHOR = {Samuel, Pierre}, + TITLE = {Lectures on old and new results on algebraic curves}, + SERIES = {Notes by S. Anantharaman. Tata Institute of Fundamental + Research Lectures on Mathematics, No. 36}, + PUBLISHER = {Tata Institute of Fundamental Research, Bombay}, + NOTE = {Available on the internet at + \href{http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/index.html}{www.math.tifr.res.in/$\sim$publ/ln/index.html}}, + YEAR = 1966, + PAGES = {ii+127+iii}, + MRCLASS = {14.40 (10.00)}, + MRNUMBER = 0222088, + MRREVIEWER = {M. Miwa}, +} + +@article {MR0223368, + AUTHOR = {Shimura, Goro}, + TITLE = {Algebraic varieties without deformation and the {C}how + variety}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 20, + YEAR = 1968, + PAGES = {336--341}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14.20}, + MRNUMBER = 0223368, + MRREVIEWER = {S. Lubkin}, +} + +@book{MR0242802, + Author = {Atiyah, Michael F. and Macdonald, Ian G.}, + Mrclass = {13.00}, + Mrnumber = {0242802 (39 \#4129)}, + Mrreviewer = {J. A. Johnson}, + Pages = {ix+128}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don + Mills, Ont.}, + Title = {Introduction to commutative algebra}, + Year = 1969 +} + +@article{MR0245837, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0245837 (39 \#7143)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {108--143}, + Title = {Extending coherent analytic sheaves}, + Volume = 90, + Year = 1969 +} + +@book {MR0252690, + AUTHOR = {Piatetski-Shapiro, Ilya I.}, + TITLE = {Automorphic functions and the geometry of classical domains}, + SERIES = {Translated from the Russian. Mathematics and Its Applications, + Vol. 8 }, + PUBLISHER = {Gordon and Breach Science Publishers, New York-London-Paris}, + YEAR = 1969, + PAGES = {viii+264}, + MRCLASS = {32.65}, + MRNUMBER = 0252690, +} + +@article{MR0257070, + Author = {Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13.95 (32.00)}, + Mrnumber = {0257070 (41 \#1724)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {93--104}, + Title = {{ü}ber die {D}ivisorenklassengruppen normaler + komplexanalytischer {A}lgebren}, + Volume = 183, + Year = 1969 +} + +@book {MR0260758, + AUTHOR = {Raynaud, Michel}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les schémas en groupes et les espaces homogènes}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 119}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1970}, + PAGES = {ii+218}, + MRCLASS = {14.55}, + MRNUMBER = {0260758}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0059504}{DOI:10.1007/BFb0059504}}, +MRREVIEWER = {D. Gieseker}, +} + +@incollection {MR0261635, + AUTHOR = {Baum, Paul F. and Bott, Raoul}, + TITLE = {On the zeros of meromorphic vector-fields}, + BOOKTITLE = {Essays on {T}opology and {R}elated {T}opics ({M}émoires dédiés à {G}eorges de {R}ham)}, + PAGES = {29--47}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + YEAR = {1970}, + MRCLASS = {57.60 (32.00)}, + MRNUMBER = {0261635}, +MRREVIEWER = {H. Suzuki}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-49197-9_4}{DOI:10.1007/978-3-642-49197-9\_4}}, +} + +@article{MR0262386, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Fjournal = {Manuscripta Mathematica}, + Issn = {0025-2611}, + Journal = {Manuscripta Math.}, + Mrclass = {20.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0262386 (41 \#6994)}, + Mrreviewer = {F. Oort}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01719593}{DOI:10.1007/BF01719593}}, + Pages = {375--396}, + Title = {Représentations linéaires et compactification profinie des + groupes discrets}, + Volume = 2, + Year = 1970 +} + +@book{MR0278248, + Address = {Berlin}, + Author = {Lascoux, Alain and Berger, Marcel}, + Mrclass = {53.80 (14.00)}, + Mrnumber = {0278248 (43 \#3979)}, + Mrreviewer = {T. Ochiai}, + Pages = {vii+83}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 154}, + Title = {Variétés {K}ähleriennes compactes}, + Year = 1970 +} + +@article {MR0279338, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel}, + TITLE = {Complexe dualisant et théorèmes de dualité en géométrie + analytique complexe}, + JOURNAL = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + FJOURNAL = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + NUMBER = 38, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}{numdam.PMIHES-1970-38-77-0}}, + YEAR = 1970, + PAGES = {77--91}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {32.50}, + MRNUMBER = 0279338, + MRREVIEWER = {Y.-T. Siu}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__77_0}, +} + +@book{MR0287033, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong and Trautmann, Günther}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0287033 (44 \#4240)}, + Mrreviewer = {W. Thimm}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0060577}{DOI:10.1007/BFb0060577}}, + Pages = {v+172}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 172}, + Title = {Gap-sheaves and extension of coherent analytic subsheaves}, + Year = 1971 +} + +@article{MR0306172, + Author = {Scheja, Günter and Storch, Uwe}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {13B10}, + Mrnumber = {0306172 (46 \#5299)}, + Mrreviewer = {Joseph Lipman}, + Pages = {137--170}, + Title = {Differentielle {E}igenschaften der {L}okalisierungen + analytischer {A}lgebren}, + Volume = 197, + Year = 1972 +} + +@article {MR0308439, + AUTHOR = {Ramis, Jean-Pierre and Ruget, Gabriel and Verdier, Jean-Louis}, + TITLE = {Dualité relative en géométrie analytique complexe}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 13, + YEAR = 1971, + PAGES = {261--283}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32C35 (14B10)}, + MRNUMBER = 0308439, + MRREVIEWER = {W. Thimm}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01406078}{DOI:10.1007/BF01406078}}, + DOI = {10.1007/BF01406078}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01406078}, +} + +@article{MR0322209, + Author = {Horikawa, Eiji}, + Journal = {J. Math. Soc. Japan}, + Mrclass = {32G99 (32C10 32H99)}, + Mrnumber = {0322209 (48 \#571)}, + Mrreviewer = {H. Kerner}, + Pages = {372--396}, + Title = {On deformations of holomorphic maps. {I}}, + Volume = 25, + Year = 1973 +} + +@book{MR0335656, + Address = {New York}, + Author = {Wehrfritz, Bertram A. F.}, + Mrclass = {20HXX}, + Mrnumber = {0335656 (49 \#436)}, + Mrreviewer = {I. Stewart}, + Note = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 76. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-87081-1}{DOI:10.1007/978-3-642-87081-1}}, + Pages = {xiv+229}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Infinite linear groups. {A}n account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices}, + Year = 1973 +} + +@article {MR0337963, + AUTHOR = {Sumihiro, Hideyasu}, + TITLE = {Equivariant completion}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = 14, + YEAR = 1974, + PAGES = {1--28}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14E25 (20G99)}, + MRNUMBER = 0337963, + MRREVIEWER = {V. L. Popov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}{DOI:10.1215/kjm/1250523277}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523277}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523277}, +} + +@article{MR0344519, + Author = {Schlessinger, Michael}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32C40 (14B10)}, + Mrnumber = {0344519 (49 \#9258)}, + Mrreviewer = {Bernard Teissier}, + Note = {Complex analysis, 1972 (Proc. Conf., Rice Univ., Houston, + Tex., 1972), Vol. I: Geometry of singularities}, + Number = 1, + Pages = {147--162}, + Title = {On rigid singularities}, + Volume = 59, + Year = 1973 +} + +@book {MR0354798, + AUTHOR = {MacLane, Saunders}, + TITLE = {Categories for the working mathematician}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, Vol.~5. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4721-8}{DOI:10.1007/978-1-4757-4721-8}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = {1971}, + PAGES = {ix+262}, + MRCLASS = {18-02}, + MRNUMBER = {0354798}, +MRREVIEWER = {H.-B. Brinkmann}, +} + +@article{MR0360585, + Author = {Hochster, Melvin}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14E15 (13F99 14M10)}, + Mrnumber = {0360585 (50 \#13033)}, + Mrreviewer = {Tadayuki Matsuoka}, + Pages = {261--262}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for homogeneous complete + intersections}, + Volume = 49, + Year = 1975 +} + +@article {MR0360616, + AUTHOR = {Kleiman, Steven L.}, + TITLE = {The transversality of a general translate}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 28, + YEAR = 1974, + PAGES = {287--297}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14M15 (14N10)}, + MRNUMBER = 0360616, + MRREVIEWER = {Joel Roberts}, + NOTE = + {\href{http://http://www.numdam.org/item?id=CM_1974__28_3_287_0}{numdam.CM-1974-28-3-287-0}}, +} + +@article {MR0370665, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {On the maximally overdetermined system of linear differential + equations. {I}}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + VOLUME = 10, + YEAR = {1974/75}, + PAGES = {563--579}, + ISSN = {0034-5318}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}{DOI:10.2977/prims/1195192011}}, + MRCLASS = {58G15 (32C35 35N05)}, + MRNUMBER = 0370665, + MRREVIEWER = {P. Schapira}, + DOI = {10.2977/prims/1195192011}, + URL = {https://doi.org/10.2977/prims/1195192011}, +} + +@article{MR0376678, + Author = {{D}u~{B}ois, Philippe and Jarraud, Pierre}, + Journal = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {0376678 (51 \#12853)}, + Mrreviewer = {J. S. Joel}, + Pages = {745--747}, + Title = {Une propriété de commutation au changement de base des images + directes supérieures du faisceau structural}, + Volume = 279, + Year = 1974 +} + +@book {MR0385004, + AUTHOR = {Mostow, G. D.}, + TITLE = {Strong rigidity of locally symmetric spaces}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies, No. 78}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = {1973}, + PAGES = {v+195}, + MRCLASS = {22E40 (53C35)}, + MRNUMBER = {0385004}, +MRREVIEWER = {M. S. Raghunathan}, +} + +@book {MR0396773, + AUTHOR = {Humphreys, James E.}, + TITLE = {Linear algebraic groups}, + NOTE = {Graduate Texts in Mathematics, No. 21. \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9443-3}{DOI:10.1007/978-1-4684-9443-3}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Heidelberg}, + YEAR = {1975}, + PAGES = {xiv+247}, + MRCLASS = {20GXX (14LXX)}, + MRNUMBER = {0396773}, +MRREVIEWER = {T. Ono}, +} + +@article {MR0397729, + AUTHOR = {Deligne, Pierre and Sullivan, Dennis}, + TITLE = {Fibrés vectoriels complexes à groupe structural discret}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B}, + VOLUME = 281, + YEAR = 1975, + NUMBER = 24, + PAGES = {Ai, A1081--A1083}, + MRCLASS = {55F10 (32L05)}, + MRNUMBER = 0397729, + MRREVIEWER = {P. E. Newstead}, +} + +@article{MR0404257, + Author = {Fulton, William}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14C15)}, + Mrnumber = {0404257 (53 \#8060)}, + Mrreviewer = {J.-P. Jouanolou}, + Number = 45, + Pages = {147--167}, + Title = {Rational equivalence on singular varieties}, + Year = 1975 +} + +@book{MR0447557, + Address = {Berlin}, + Author = {Forster, Otto}, + Mrclass = {30A46 (32-01)}, + Mrnumber = {0447557 (56 \#5867)}, + Mrreviewer = {H. H. Martens}, + Note = {Heidelberger Taschenbücher, Band 184}, + Pages = {x+223}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Riemannsche {F}lächen}, + Year = 1977 +} + +@article{MR0451180, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Fjournal = {Proceedings of the National Academy of Sciences of the United + States of America}, + Issn = {0027-8424}, + Journal = {Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, + Mrclass = {53C55 (14M20 32C10)}, + Mrnumber = {0451180 (56 \#9467)}, + Mrreviewer = {Bang-yen Chen}, + Number = 5, + Pages = {1798--1799}, + Title = {Calabi's conjecture and some new results in algebraic + geometry}, + Volume = 74, + Year = 1977 +} + +@article {MR0460317, + AUTHOR = {Flenner, Hubert}, + TITLE = {Die {S}ätze von {B}ertini für lokale {R}inge}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01351596}{DOI:10.1007/BF01351596}}, + VOLUME = {229}, + YEAR = {1977}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {97--111}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {13H99 (14B10)}, + MRNUMBER = {0460317}, +MRREVIEWER = {J. A. Morrow}, + DOI = {10.1007/BF01351596}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01351596}, +} + +@article {MR0491722, + AUTHOR = {Lipman, Joseph}, + TITLE = {Desingularization of two-dimensional schemes}, + JOURNAL = {Ann. Math. (2)}, + VOLUME = 107, + YEAR = 1978, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1971141}{DOI:10.2307/1971141}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {151--207}, + MRCLASS = {14J10}, + MRNUMBER = {0491722 (58 \#10924)}, + MRREVIEWER = {A. H. Wallace}, +} + +@article{MR0499299, + Author = {Hironaka, Heisuke}, + Fjournal = {Acta Mathematica Vietnamica}, + Issn = {0251-4184}, + Journal = {Acta Math. Vietnam.}, + Mrclass = {32C45}, + Mrnumber = {0499299 (58 \#17198)}, + Mrreviewer = {Tomas Sanchez Giralda}, + Number = 2, + Pages = {103--168}, + Title = {Bimeromorphic smoothing of a complex-analytic space}, + Volume = 2, + Year = 1977 +} + +@article{MR0799669, + Author = {Kobayashi, Ryoichi}, + Date-Added = {2015-06-19 15:12:21 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:15:09 +0000}, + Journal = {Math. Ann.}, + Number = 3, + Pages = {385--398}, + Title = {Einstein-{K}ähler {V}-metrics on open {S}atake {V}-surfaces + with isolated quotient singularities}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01455566}{DOI:10.1007/BF01455566}}, + Volume = 272, + Year = 1985 +} + +@article{MR0833802, + Author = {Cheng, Shiu-Yuen and Yau, Shing-Tung}, + Date-Added = {2015-06-19 12:18:15 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 14:36:56 +0000}, + Journal = {Complex differential geometry and nonlinear differential + equations (Brunswick, Maine, 1984), Contemp. Math., + Amer. Math. 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Ann.}, + Number = 1, + Pages = {123-133}, + Title = {Existence and degeneration of Kähler-Einstein metrics on + minimal algebraic varieties of general type}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01449219}{DOI:10.1007/BF01449219}}, + Volume = 281, + Year = 1988 +} + +@article{MR0976585, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Date-Added = {2015-06-11 19:06:19 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:08:01 +0000}, + Journal = {Topology}, + Number = 4, + Pages = {429-442}, + Title = {Stability of tangent bundles of minimal algebraic varieties.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/0040-9383(88)90022-5}{DOI:10.1016/0040-9383(88)90022-5}}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@book {MR1002324, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Lectures on the {M}ordell-{W}eil theorem}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E15}, + NOTE = {Translated from the French and edited by Martin Brown from + notes by Michel + Waldschmidt. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}{DOI:10.1007/978-3-663-14060-3}}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = 1989, + PAGES = {x+218}, + ISBN = {3-528-08968-7}, + MRCLASS = {11G10 (11D41 11G30 14Gxx)}, + MRNUMBER = 1002324, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-663-14060-3}, +} + +@article {MR1030189, + AUTHOR = {Kobayashi, Ryoichi and Nakamura, Shu and Sakai, Fumio}, + TITLE = {A numerical characterization of ball quotients for normal + surfaces with branch loci}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = 65, + YEAR = 1989, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}{euclid.pja/1195512773}.}, + NUMBER = 7, + PAGES = {238--241}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {32C10 (32J99 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1030189, + MRREVIEWER = {Alan Michael Nadel}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195512773}, +} + +@article {MR1040197, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Harmonic bundles on noncompact curves}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 3, + YEAR = 1990, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1990935}{DOI:10.2307/1990935}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {713--770}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {58E20 (14C30 14H60 32G20)}, + MRNUMBER = 1040197, + MRREVIEWER = {N. J. Hitchin}, + DOI = {10.2307/1990935}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990935}, +} + +@book{MR1042981, + Address = {Redwood City, CA}, + Author = {Fulton, William}, + Isbn = {0-201-51010-3}, + Mrclass = {14Hxx (14-01)}, + Mrnumber = {1042981 (90k:14023)}, + Note = {An introduction to algebraic geometry, Notes written with the + collaboration of Richard Weiss, Reprint of 1969 + original. Freely available from the author's web site at + \url{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton}.}, + Pages = {xxii+226}, + Publisher = {Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program}, + Series = {Advanced Book Classics}, + Title = {Algebraic curves}, + Year = 1989 +} + +@incollection {MR1044586, + AUTHOR = {Knop, Friedrich and Kraft, Hanspeter and Vust, Thierry}, + TITLE = {The {P}icard group of a {$G$}-variety}, + BOOKTITLE = {Algebraische {T}ransformationsgruppen und + {I}nvariantentheorie}, + SERIES = {DMV Sem.}, + VOLUME = 13, + PAGES = {77--87}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = 1989, + MRCLASS = {14C22 (14D25 14L30)}, + MRNUMBER = 1044586, +} + +@book {MR1059457, + AUTHOR = {Gunning, Robert C.}, + TITLE = {Introduction to holomorphic functions of several variables. + {V}ol. {III}. Homological theory}, + SERIES = {The Wadsworth \& Brooks/Cole Mathematics Series}, + PUBLISHER = {Wadsworth \& Brooks/Cole Advanced Books \& Software, Monterey, + CA}, + YEAR = 1990, + PAGES = {xx+194}, + ISBN = {0-534-13310-X}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1059457, + MRREVIEWER = {Eric Bedford}, +} + +@article {MR1096125, + AUTHOR = {Vojta, Paul}, + TITLE = {On algebraic points on curves}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1991, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1991__78_1_29_0}{numdam.CM-1991-78-1-29-0}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {29--36}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {11G30 (14H05)}, + MRNUMBER = 1096125, + MRREVIEWER = {I. V. Dolgachev}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1991__78_1_29_0}, +} + +@article {MR1096426, + AUTHOR = {Coleman, Robert F.}, + TITLE = {Manin's proof of the {M}ordell conjecture over function + fields}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1990}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {393--427}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {11G30}, + MRNUMBER = {1096426}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-57915}{DOI:10.5169/seals-57915}} +} + +@article {MR1106753, + AUTHOR = {Voloch, José F.}, + TITLE = {On the conjectures of {M}ordell and {L}ang in positive + characteristics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 104, + YEAR = 1991, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01245094}{DOI:10.1007/BF01245094}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--646}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {11G30 (14H25)}, + MRNUMBER = 1106753, + MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01245094}, +} + +@article {MR1109353, + AUTHOR = {Faltings, Gerd}, + TITLE = {Diophantine approximation on abelian varieties}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {133}, + YEAR = {1991}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {549--576}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {11G10 (11J99)}, + MRNUMBER = {1109353}, +MRREVIEWER = {Joseph H. Silverman}, + DOI = {10.2307/2944319}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2944319}, +} + +@article {MR1144433, + AUTHOR = {Schneider, Michael}, + TITLE = {Symmetric differential forms as embedding obstructions and + vanishing theorems}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {175--181}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14F17}, + MRNUMBER = {1144433}, +MRREVIEWER = {Mei Chu Chang}, +} + +@article{MR1144434, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1144434 (93e:14016)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 2, + Pages = {183--190}, + Title = {Unobstructed deformations. {A} remark on a paper of + {Z}. {R}an: ``{D}eformations of manifolds with torsion or + negative canonical bundle'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ {\bf 1} + (1992), no.\ 2, 279--291; {MR}1144440 (93e:14015)]}, + Volume = 1, + Year = 1992 +} + +@incollection {MR1145250, + AUTHOR = {Enoki, Ichiro}, + TITLE = {Compact {R}icci-flat {K}ähler manifolds}, + BOOKTITLE = {Kähler metric and moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 18, + PAGES = {229--256}, + PUBLISHER = {Academic Press, Boston, MA}, + YEAR = 1990, + MRCLASS = {53C25 (32J27 32L07 53C55)}, + MRNUMBER = 1145250, + MRREVIEWER = {Yang Lian Pan}, +} + +@article{MR1145268, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Date-Added = {2015-06-19 14:43:30 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-20 11:59:48 +0000}, + Journal = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Pages = {417--433}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = {18-I}, + Year = 1990 +} + +@book {MR1153249, + AUTHOR = {Fulton, William and Harris, Joe}, + TITLE = {Representation theory. A first course}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 129, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1991, + PAGES = {xvi+551}, + ISBN = {0-387-97527-6; 0-387-97495-4}, + MRCLASS = {20G05 (17B10 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 1153249, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}{DOI:10.1007/978-1-4612-0979-9}.}, + DOI = {10.1007/978-1-4612-0979-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0979-9}, +} + +@article{MR1157844, + Author = {Le Potier, Joseph}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14C30 (14D07 14D20 32J25 53C07)}, + Mrnumber = {1157844 (93e:14012)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Note = {Séminaire Bourbaki, Vol. 1990/91}, + Number = {201-203}, + Pages = {Exp.\ No.\ 737, 221--268 (1992)}, + Title = {Fibrés de {H}iggs et systèmes locaux}, + Year = 1991 +} + +@inproceedings {MR1159261, + AUTHOR = {Simpson, Carlos T.}, + TITLE = {Nonabelian {H}odge theory}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of + {M}athematicians, {V}ol.\ {I}, {II} ({K}yoto, 1990)}, + PAGES = {747--756}, + PUBLISHER = {Math. Soc. Japan, Tokyo}, + YEAR = 1991, + MRCLASS = {14C30 (14J60 22E40 32J27 58D27)}, + MRNUMBER = {1159261 (93c:14010)}, + MRREVIEWER = {Richard M. Hain}, +} + +@book {MR1162108, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {Classification theories of polarized varieties}, + SERIES = {London Mathematical Society Lecture Note Series}, + VOLUME = {155}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1990}, + PAGES = {xiv+205}, + ISBN = {0-521-39202-0}, + MRCLASS = {14C20 (14J40 14J60)}, + MRNUMBER = {1162108}, +MRREVIEWER = {Elvira Laura Livorni}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}{DOI:10.1017/CBO9780511662638}}, + DOI = {10.1017/CBO9780511662638}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662638}, +} + +@article {MR1163733, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {On stability of the tangent bundles of {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = {3}, + YEAR = {1992}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}{DOI:10.1142/S0129167X92000175}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {401--413}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {32L07 (14J45 53C25)}, + MRNUMBER = {1163733}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1142/S0129167X92000175}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X92000175}, +} + +@article {MR1165352, + AUTHOR = {Semmes, Stephen}, + TITLE = {Complex {M}onge-{A}mpère and symplectic manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {114}, + YEAR = {1992}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {495--550}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32F07 (35J60 58F05)}, + MRNUMBER = {1165352}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/2374768}{DOI:10.2307/2374768}}, + DOI = {10.2307/2374768}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2374768}, +} + +@article {MR1166957, + AUTHOR = {Borisov, Alexander A. and Borisov, Lev A.}, + TITLE = {Singular toric {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{i} Sbornik}, + VOLUME = 183, + YEAR = 1992, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}{DOI:10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {134--141}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14M25)}, + MRNUMBER = 1166957, + MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + DOI = {10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM1993v075n01ABEH003385}, +} + +@book{MR1177168, + Author = {Katok, Svetlana}, + Isbn = {0-226-42582-7; 0-226-42583-5}, + Mrclass = {20H10 (30F35)}, + Mrnumber = {1177168 (93d:20088)}, + Mrreviewer = {I. Kra}, + Pages = {x+175}, + Publisher = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + Series = {Chicago Lectures in Mathematics}, + Title = {Fuchsian groups}, + Year = 1992 +} + +@article{MR1179076, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Mrclass = {32G13 (14D07 53C07 58D27 58E15)}, + Mrnumber = {1179076 (94d:32027)}, + Mrreviewer = {William Goldman}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02699491}{DOI:10.1007/BF02699491}, + \href{http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}{numdam.PMIHES-1992-75-5-0}}, + Pages = {5--95}, + Title = {Higgs bundles and local systems}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0}, + Volume = 75, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0} +} + +@book{MR1194180, + Address = {New York}, + Author = {Dimca, Alexandru}, + Doi = {10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Isbn = {0-387-97709-0}, + Mrclass = {32Sxx (14J70 32S25 32S50 57M25 57R45 58C27)}, + Mrnumber = {1194180 (94b:32058)}, + Mrreviewer = {Aleksandr G. Aleksandrov}, + Pages = {xvi+263}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Singularities and topology of hypersurfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2}, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2} +} + +@article{MR1240585, + Author = {García-Prada, Oscar}, + Coden = {CMPHAY}, + Fjournal = {Communications in Mathematical Physics}, + Issn = {0010-3616}, + Journal = {Comm. Math. Phys.}, + Mrclass = {53C07 (32L07 58E15)}, + Mrnumber = {1240585 (95d:53024)}, + Mrreviewer = {Steven B. Bradlow}, + Number = 3, + Pages = {527--546}, + Title = {Invariant connections and vortices}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}{euclid.cmp/1104253716}}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716}, + Volume = 156, + Year = 1993, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716} +} + +@article {MR1253623, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {A note on nonvanishing and applications}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 72, + YEAR = 1993, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}{DOI:10.1215/S0012-7094-93-07228-6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/alg-geom/9302001}{arXiv:alg-geom/9302001}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {739--755}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14C20 (14D99)}, + MRNUMBER = {1253623 (95c:14007)}, + MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-93-07228-6}, +} + +@inproceedings {MR1291023, + AUTHOR = {Hartshorne, Robin}, + TITLE = {Generalized divisors on {G}orenstein schemes}, + BOOKTITLE = {Proceedings of {C}onference on {A}lgebraic {G}eometry and {R}ing {T}heory in honor of {M}ichael {A}rtin, {P}art {III} ({A}ntwerp, 1992)}, + JOURNAL = {$K$-Theory}, + FJOURNAL = {$K$-Theory. An Interdisciplinary Journal for the Development, Application, and Influence of $K$-Theory in the Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {1994}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF00960866}{DOI:10.1007/BF00960866}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {287--339}, + ISSN = {0920-3036}, + MRCLASS = {14C20 (14A15 14M06)}, + MRNUMBER = {1291023}, +MRREVIEWER = {G. Horrocks}, + DOI = {10.1007/BF00960866}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF00960866}, +} + +@article {MR1295591, + AUTHOR = {Gray, Jeremy}, + TITLE = {On the history of the {R}iemann mapping theorem}, + JOURNAL = {Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl.}, + FJOURNAL = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. + Supplemento}, + NUMBER = 34, + YEAR = 1994, + PAGES = {47--94}, + MRCLASS = {30C35 (01A55)}, + MRNUMBER = 1295591, + MRREVIEWER = {D. H. Hamilton}, +} + +@article{MR1298542, + Author = {Gurjar, Rajendra V. and Zhang, De-Qi}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14F35 (14E15 14J17)}, + Mrnumber = {1298542 (95m:14015)}, + Mrreviewer = {F. E. A. Johnson}, + Number = 1, + Pages = {137--180}, + Title = {{$\pi_1$} of smooth points of a log del {P}ezzo surface is + finite. {I}}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {MR1298994, + AUTHOR = {Alexeev, Valery}, + TITLE = {Boundedness and {$K^2$} for log surfaces}, + JOURNAL = {Internat. J. Math.}, + FJOURNAL = {International Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 1994, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}{DOI:10.1142/S0129167X94000395}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {779--810}, + ISSN = {0129-167X}, + MRCLASS = {14J10 (14J25)}, + MRNUMBER = 1298994, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1142/S0129167X94000395}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0129167X94000395}, +} + +@book{MR1304906, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David and Fogarty, John and Kirwan, Frances}, + Doi = {10.1007/978-3-642-57916-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {3-540-56963-4}, + Mrclass = {14D25 (58E05 58F05)}, + Mrnumber = {1304906 (95m:14012)}, + Mrreviewer = {Yi Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}{DOI:10.1007/978-3-642-57916-5}}, + Pages = {xiv+292}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results + in Mathematics and Related Areas (2)]}, + Title = {Geometric invariant theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5}, + Volume = 34, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-57916-5} +} + +@article{MR1307297, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__79__47_0}{numdam.PMIHES_1994__79__47_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14D25 14F05)}, + Mrnumber = {1307297 (96e:14012)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {47--129}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {I}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0}, + Volume = 79, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__79__47_0} +} + +@article{MR1320603, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Coden = {PMIHA6}, + Fjournal = {Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications + Mathématiques}, + Issn = {0073-8301}, + Journal = {Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.}, + Note = + {\href{http://www.numdam.org/item/PMIHES_1994__80__5_0}{numdam.PMIHES_1994__80__5_0}}, + Mrclass = {14D20 (14D22 14F05 14F10)}, + Mrnumber = {1320603 (96e:14013)}, + Mrreviewer = {Nitin Nitsure}, + Pages = {5--79 (1995)}, + Title = {Moduli of representations of the fundamental group of a smooth + projective variety. {II}}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0}, + Volume = 80, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1994__80__5_0} +} + +@book {MR1324108, + AUTHOR = {Narasimhan, Raghavan}, + TITLE = {Several complex variables}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + NOTE = {Reprint of the 1971 original}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+174}, + ISBN = {0-226-56817-2}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = 1324108, +} + +@incollection {MR1326618, + AUTHOR = {Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Local theory of complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {7--96}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C15 (32B05 32C20)}, + MRNUMBER = {1326618}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_2}} +} + +@incollection {MR1326619, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Differential calculus, holomorphic maps and linear structures on complex spaces}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {74}, + PAGES = {97--144}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1994}, + MRCLASS = {32C35 (32C37 32L05)}, + MRNUMBER = {1326619}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8\_3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_3}, +} + +@incollection {MR1326624, + AUTHOR = {Peternell, Thomas}, + TITLE = {Modifications}, + BOOKTITLE = {Several complex variables, {VII}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = 74, + PAGES = {285--317}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1994, + MRCLASS = {32S45 (32J20)}, + MRNUMBER = 1326624, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}{DOI:10.1007/978-3-662-09873-8\_8}}, + DOI = {10.1007/978-3-662-09873-8_8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_8}, +} + +@incollection{MR1326625, + Address = {Berlin}, + Author = {Campana, F. and Peternell, Th.}, + Booktitle = {Several complex variables, {VII}}, + Mrclass = {32G10 (32F10)}, + Mrnumber = 1326625, + Pages = {319--349}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Cycle spaces}, + Volume = 74, + Year = 1994 +} + +@book {MR1328834, + AUTHOR = {Shafarevich, Igor R.}, + TITLE = {Basic algebraic geometry. 2}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {Schemes and complex manifolds, Translated from the 1988 Russian edition by Miles Reid. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-57956-1}{DOI:10.1007/978-3-642-57956-1}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1994, + PAGES = {xiv+269}, + ISBN = {3-540-57554-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = 1328834, +} + +@book {MR1334091, + AUTHOR = {Akhiezer, Dmitri N.}, + TITLE = {Lie group actions in complex analysis}, + SERIES = {Aspects of Mathematics, E27}, + PUBLISHER = {Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig}, + YEAR = {1995}, + PAGES = {viii+201}, + ISBN = {3-528-06420-X}, + MRCLASS = {32M05 (22-02 22E10 32M10)}, + MRNUMBER = {1334091}, +MRREVIEWER = {B. Gilligan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}{DOI:10.1007/978-3-322-80267-5}}, + DOI = {10.1007/978-3-322-80267-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-322-80267-5}, +} + +@book {MR1335917, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich}, + TITLE = {Topological methods in algebraic geometry}, + SERIES = {Classics in Mathematics}, + NOTE = {Translated from the German and Appendix One by R. L. E. + Schwarzenberger, With a preface to the third English edition + by the author and Schwarzenberger, Appendix Two by A. Borel, + Reprint of the 1978 edition}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1995, + PAGES = {xii+234}, + ISBN = {3-540-58663-6}, + MRCLASS = {57-02 (01A75 14-02)}, + MRNUMBER = 1335917, +} + +@article {MR1340353, + AUTHOR = {Andreatta, Marco}, + TITLE = {Some remarks on the study of good contractions}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 87, + YEAR = 1995, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02570480}{DOI:10.1007/BF02570480}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {359--367}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {1340353 (96i:14017)}, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/BF02570480}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02570480}, +} + +@book {MR1341589, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Shafarevich maps and automorphic forms}, + SERIES = {M. B. Porter Lectures}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = 1995, + PAGES = {x+201}, + ISBN = {0-691-04381-7}, + MRCLASS = {14E20 (14J10 14J15 32J18 32N10)}, + MRNUMBER = {1341589 (96i:14016)}, + MRREVIEWER = {Kang Zuo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400864195}{DOI:10.1515/9781400864195}}, + DOI = {10.1515/9781400864195}, + URL = {https://doi.org/10.1515/9781400864195}, +} + +@article {MR1358040, + AUTHOR = {Barth, Wolf}, + TITLE = {Two projective surfaces with many nodes, admitting the symmetries of the icosahedron}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {5}, + YEAR = {1996}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {173--186}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14J25 14N05)}, + MRNUMBER = {1358040}, +MRREVIEWER = {Luciana Picco Botta}, +} + +@article {MR1384908, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Kodaira dimension and {C}hern hyperbolicity of the {S}hafarevich maps for representations of {$\pi_1$} of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {472}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {139--156}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32J27 (14D07 32J25 58E20)}, + MRNUMBER = {1384908}, +MRREVIEWER = {Kimio Miyajima}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}{DOI:10.1515/crll.1996.472.139}}, + DOI = {10.1515/crll.1996.472.139}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1996.472.139}, +} + +@book {MR1393940, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {I}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1963 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xii+329}, + ISBN = {0-471-15733-3}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393940, +} + +@book {MR1393941, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi}, + TITLE = {Foundations of differential geometry. {V}ol. {II}}, + SERIES = {Wiley Classics Library}, + NOTE = {Reprint of the 1969 original}, + PUBLISHER = {John Wiley \& Sons, Inc., New York}, + YEAR = 1996, + PAGES = {xvi+468}, + ISBN = {0-471-15732-5}, + MRCLASS = {53-01}, + MRNUMBER = 1393941, +} + +@book{MR1406314, + Address = {Cambridge}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Doi = {10.1017/CBO9780511623936}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-521-49510-5; 0-521-49842-2}, + Mrclass = {14Jxx (14-02)}, + Mrnumber = {1406314 (97e:14045)}, + Note = {Translated from the 1978 French original by R. Barlow, with assistance from N. I. Shepherd-Barron and M. Reid}, + Pages = {x+132}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {London Mathematical Society Student Texts}, + Title = {Complex algebraic surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936}, + Volume = 34, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511623936} +} + +@article {MR1420223, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {{$3$}-fold log models}, + NOTE = {Algebraic geometry, 4. \href{https://doi.org/10.1007/BF02362335}{DOI:10.1007/BF02362335}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences}, + VOLUME = 81, + YEAR = 1996, + NUMBER = 3, + PAGES = {2667--2699}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14E15 14E35)}, + MRNUMBER = 1420223, + MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + DOI = {10.1007/BF02362335}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02362335}, +} + +@article {MR1421952, + AUTHOR = {Esnault, Hélène}, + TITLE = {Recent developments on characteristic classes of flat bundles + on complex algebraic manifolds}, + JOURNAL = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + FJOURNAL = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + VOLUME = 98, + YEAR = 1996, + NUMBER = 4, + PAGES = {182--191}, + ISSN = {0012-0456}, + CODEN = {JDMVA7}, + MRCLASS = {14C25 (14F40 32J25 57R20)}, + MRNUMBER = 1421952, + MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, +} + +@article {MR1422313, + AUTHOR = {Biquard, Olivier}, + TITLE = {Fibrés de {H}iggs et connexions intégrables: le cas logarithmique (diviseur lisse)}, + JOURNAL = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série}, + VOLUME = 30, + YEAR = 1997, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}{DOI:10.1016/S0012-9593(97)89915-6}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {41--96}, + ISSN = {0012-9593}, + CODEN = {ASENAH}, + MRCLASS = {32L07 (14J60)}, + MRNUMBER = 1422313, + MRREVIEWER = {Nitin Nitsure}, + DOI = {10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, + URL = {https://doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89915-6}, +} + +@article {MR1436743, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Geometric height inequalities and the {K}odaira-{S}pencer map}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 105, + YEAR = 1997, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}{DOI:A:1017995416618}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--54}, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = {1436743 (98j:14029)}, + MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1023/A:1017995416618}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1017995416618}, +} + +@book {MR1441541, + AUTHOR = {Eberlein, Patrick B.}, + TITLE = {Geometry of nonpositively curved manifolds}, + SERIES = {Chicago Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {University of Chicago Press, Chicago, IL}, + YEAR = {1996}, + PAGES = {vii+449}, + ISBN = {0-226-18197-9; 0-226-18198-7}, + MRCLASS = {53-02 (53C20 53C21 53C35)}, + MRNUMBER = {1441541}, +MRREVIEWER = {Mar\'{\i}a J. Druetta}, +} + +@incollection{MR1442522, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Complex algebraic geometry ({P}ark {C}ity, {UT}, 1993)}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {1442522 (98d:14049)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {3--159}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {IAS/Park City Math. Ser.}, + Title = {Chapters on algebraic surfaces}, + Volume = 3, + Year = 1997 +} + +@article {MR1451789, + AUTHOR = {Brion, Michel}, + TITLE = {Differential forms on quotients by reductive group actions}, + JOURNAL = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 126, + YEAR = 1998, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}{DOI:10.1090/S0002-9939-98-04320-2}}, + NUMBER = 9, + PAGES = {2535--2539}, + ISSN = {0002-9939}, + CODEN = {PAMYAR}, + MRCLASS = {14L30 (16S32)}, + MRNUMBER = {1451789 (98k:14067)}, + MRREVIEWER = {Vladimir L. Popov}, + DOI = {10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04320-2}, +} + +@incollection {MR1463187, + AUTHOR = {Peternell, Th. and Wilson, P. M. H.}, + TITLE = {Threefolds with extremal {C}hern classes}, + BOOKTITLE = {Higher-dimensional complex varieties ({T}rento, 1994)}, + PAGES = {357--378}, + PUBLISHER = {de Gruyter, Berlin}, + YEAR = {1996}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {1463187}, +MRREVIEWER = {Ulf Persson}, +} + +@incollection{MR1463962, + Author = {Bando, Shigetoshi and Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {Geometry and analysis on complex manifolds}, + Mrclass = {32L07 (53C07)}, + Mrnumber = {1463962 (98e:32053)}, + Mrreviewer = {Daniel Huybrechts}, + Pages = {39--50}, + Publisher = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + Title = {Stable sheaves and {E}instein-{H}ermitian metrics}, + Year = 1994 +} + +@article {MR1486992, + AUTHOR = {Jaffe, David B. and Ruberman, Daniel}, + TITLE = {A sextic surface cannot have {$66$} nodes}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {151--168}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J17 (14N10 94B05)}, + MRNUMBER = {1486992}, +MRREVIEWER = {Susan J. Colley}, +} + +@article{MR1487238, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D15 (14J40 32G05 32J18)}, + Mrnumber = {1487238 (98k:14009)}, + Mrreviewer = {Bruce Hunt}, + Number = 4, + Pages = {803--804}, + Title = {Erratum on: ``{U}nobstructed deformations. {A} remark on a + paper of {Z}. {R}an: `{D}eformations of manifolds with torsion + or negative canonical bundle'\,'' [{J}. {A}lgebraic {G}eom.\ + {\bf 1} (1992), no.\ 2, 183--190; {MR}1144434 (93e:14016)]}, + Volume = 6, + Year = 1997 +} + +@article {MR1489117, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Smoothing {F}ano {$3$}-folds}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {6}, + YEAR = {1997}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {307--324}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14B07 14B12 14D15)}, + MRNUMBER = {1489117}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article {MR1510165, + AUTHOR = {Lindemann, Ferdinand}, + TITLE = {Ueber die {Z}ahl $\pi$}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {20}, + YEAR = {1882}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {213--225}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01446522}{DOI:10.1007/BF01446522}}, + MRNUMBER = {1510165}, + DOI = {10.1007/BF01446522}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01446522}, +} + +@article {MR1512302, + AUTHOR = {Hermann, Grete}, + TITLE = {Die {F}rage der endlich vielen {S}chritte in der {T}heorie der {P}olynomideale}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {95}, + YEAR = {1926}, + NUMBER = {1}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01206635}{DOI:10.1007/BF01206635}}, + PAGES = {736--788}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1512302}, + DOI = {10.1007/BF01206635}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01206635}, +} + +@article {MR1581526, + AUTHOR = {Witt, Ernst}, + TITLE = {Zyklische {K}örper und {A}lgebren der {C}harakteristik {$p$} + vom {G}rad {$p^n$}. {S}truktur diskret bewerteter perfekter + {K}örper mit vollkommenem {R}estklassenkörper der + {C}harakteristik {$p$}}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = {176}, + YEAR = {1937}, + PAGES = {126--140}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {DML}, + MRNUMBER = {1581526}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}{DOI:10.1515/crll.1937.176.126}}, + DOI = {10.1515/crll.1937.176.126}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.126}, +} + +@incollection {MR1603624, + AUTHOR = {Tian, Gang}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on algebraic manifolds}, + BOOKTITLE = {Transcendental methods in algebraic geometry ({C}etraro, + 1994)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = 1646, + PAGES = {143--185}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = 1996, + MRCLASS = {32L07 (53C25 53C55)}, + MRNUMBER = 1603624, + MRREVIEWER = {Thalia D. Jeffres}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0094304}{DOI:10.1007/BFb0094304}.}, + DOI = {10.1007/BFb0094304}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0094304}, +} + +@article {MR1618325, + AUTHOR = {Ko{\l}odziej, Sławomir}, + TITLE = {The complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 180, + YEAR = 1998, + NUMBER = 1, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392879}{DOI:10.1007/BF02392879}}, + PAGES = {69--117}, + ISSN = {0001-5962}, + CODEN = {ACMAA8}, + MRCLASS = {32F07 (32C17 35J60)}, + MRNUMBER = 1618325, + MRREVIEWER = {M. Klimek}, + DOI = {10.1007/BF02392879}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392879}, +} + +@article {MR1646046, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Subadjunction of log canonical divisors. {II}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {120}, + YEAR = {1998}, + NOTE = {URL \url{http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E30 (14J10)}, + MRNUMBER = {1646046}, +MRREVIEWER = {Alessio Corti}, + URL = {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kawamata.pdf}, +} + +@incollection {MR1668579, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A. and Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {Fano varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {V}}, + SERIES = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + VOLUME = {47}, + PAGES = {1--247}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1999}, + MRCLASS = {14J45 (14E07 14F22 14K30)}, + MRNUMBER = {1668579}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, +} + +@article {MR1691481, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Projective algebraic varieties whose universal covering spaces are biholomorphic to {${\bf C}^n$}}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 51, + YEAR = 1999, + NUMBER = 3, + PAGES = {643--654}, + ISSN = {0025-5645}, + CODEN = {NISUBC}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 14J10)}, + MRNUMBER = 1691481, + MRREVIEWER = {Azniv Kasparian}, + DOI = {10.2969/jmsj/05130643}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/05130643}, +} + +@incollection {MR1715587, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + NOTE = {Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics (Japanese) (Kyoto, 1998), available on the internet at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1078.html}}, + JOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + FJOURNAL = {S\={u}rikaisekikenky\={u}sho K\B{o}ky\={u}roku}, + NUMBER = {1078}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {167--173}, + MRCLASS = {14J60 (14C20)}, + MRNUMBER = {1715587}, +MRREVIEWER = {Atsushi Noma}, +} + +@book {MR1738433, + AUTHOR = {Zuo, Kang}, + TITLE = {Representations of fundamental groups of algebraic varieties}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {1708}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {1999}, + PAGES = {viii+135}, + ISBN = {3-540-66312-6}, + MRCLASS = {14F35 (14E20 32J27 58E20)}, + MRNUMBER = {1738433}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0092569}{DOI:10.1007/BFb0092569}}, + DOI = {10.1007/BFb0092569}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0092569}, +} + +@book {MR1747010, + AUTHOR = {Morosawa, Shunsuke and Nishimura, Yasuichiro and Taniguchi, + Masahiko and Ueda, Tetsuo}, + TITLE = {Holomorphic dynamics}, + SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 66, + NOTE = {Translated from the 1995 Japanese original and revised by the + authors}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+338}, + ISBN = {0-521-66258-3}, + MRCLASS = {37Fxx (30D05 32H50 32U35)}, + MRNUMBER = 1747010, + MRREVIEWER = {Estela A. Gavosto}, +} + +@incollection{MR1756407, + Author = {Vinberg, Ernest B. and Gorbatsevich, Vladimir V. and + Shvartsman, Ossip V.}, + Booktitle = {Lie groups and {L}ie algebras, {II}}, + Mrclass = {22E40}, + Mrnumber = 1756407, + Pages = {1--123, 217--223}, + Publisher = {Springer, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Discrete subgroups of {L}ie groups}, + Volume = 21, + Year = 2000 +} + +@article {MR1757883, + AUTHOR = {Kim, Minhyong}, + TITLE = {Erratum for: ``{G}eometric height inequalities and the + {K}odaira-{S}pencer map'' [{C}ompositio {M}ath. {\bf 105} + (1997), no. 1, 43--54; {MR}1436743 (98j:14029)]}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 121, + YEAR = 2000, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}{DOI:A:1001882724260}}, + NUMBER = 2, + PAGES = 219, + ISSN = {0010-437X}, + CODEN = {CMPMAF}, + MRCLASS = {14G25 (14D10 14H25)}, + MRNUMBER = 1757883, + DOI = {10.1023/A:1001882724260}, + URL = {https://doi.org/10.1023/A:1001882724260}, +} + +@article {MR1758581, + AUTHOR = {Druel, Stéphane}, + TITLE = {Variétés algébriques dont le fibré tangent est totalement décomposé}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {522}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {161--171}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14J40}, + MRNUMBER = {1758581}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}{DOI:10.1515/crll.2000.036}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/9901138}{arXiv:math/9901138}}, + DOI = {10.1515/crll.2000.036}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.2000.036}, +} + +@incollection{MR1760872, + Address = {Berlin}, + Author = {Beauville, Arnaud}, + Booktitle = {Complex analysis and algebraic geometry}, + Mrclass = {32J27 (32J15 32J18 32Q20)}, + Mrnumber = {1760872 (2001f:32030)}, + Mrreviewer = {Matthew B. Stenzel}, + Pages = {61--70}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {Complex manifolds with split tangent bundle}, + Year = 2000, + Note = {\href{https://doi.org/10.1515/9783110806090}{DOI:10.1515/9783110806090}. \href{https://arxiv.org/abs/math/9809033}{arXiv:math/9809033}} +} + +@book {MR1761696, + AUTHOR = {Lemmermeyer, Franz}, + TITLE = {Reciprocity laws}, + SERIES = {Springer Monographs in Mathematics}, + NOTE = {From Euler to Eisenstein. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12893-0}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = {2000}, + PAGES = {xx+487}, + ISBN = {3-540-66957-4}, + MRCLASS = {11A15 (11L05 11R04 11R18)}, + MRNUMBER = {1761696}, +MRREVIEWER = {Charles Helou}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12893-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0}, +} + +@article {MR1771144, + AUTHOR = {Kollár, János and Miyaoka, Yoichi and Mori, Shigefumi and Takagi, Hiromichi}, + TITLE = {Boundedness of canonical {$\bold Q$}-{F}ano 3-folds}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {76}, + YEAR = {2000}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pja/1148393517}{euclid.pja/1148393517}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {73--77}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14J45 (14E30)}, + MRNUMBER = {1771144}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1148393517}, +} + +@book {MR1777835, + AUTHOR = {Zheng, Fangyang}, + TITLE = {Complex differential geometry}, + SERIES = {AMS/IP Studies in Advanced Mathematics}, + VOLUME = 18, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI; International + Press, Boston, MA}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+264}, + ISBN = {0-8218-2163-6}, + MRCLASS = {32Qxx (32-02 32J25 53C55 53C56)}, + MRNUMBER = 1777835, + MRREVIEWER = {Peng Lu}, +} + +@book{MR1787650, + Author = {Tian, Gang}, + Doi = {10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Isbn = {3-7643-6194-8}, + Mrclass = {32Q20 (53C25 58E11)}, + Mrnumber = {1787650 (2001j:32024)}, + Mrreviewer = {Azniv Kasparian}, + Note = {Notes taken by Meike Akveld}, + Pages = {vi+101}, + Publisher = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + Series = {Lectures in Mathematics ETH Zürich}, + Title = {Canonical metrics in {K}ähler geometry}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4}, + Year = 2000, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8389-4} +} + +@book {MR1787733, + AUTHOR = {Joyce, Dominic D.}, + TITLE = {Compact manifolds with special holonomy}, + SERIES = {Oxford Mathematical Monographs}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2000, + PAGES = {xii+436}, + ISBN = {0-19-850601-5}, + MRCLASS = {53C29 (14J32 53-01 53-02 53C26 58J60 81T30)}, + MRNUMBER = 1787733, + MRREVIEWER = {Andrew Swann}, +} + +@article {MR1794169, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Complements on surfaces}, + NOTE = {Algebraic geometry, 10. \href{https://doi.org/10.1007/BF02984106}{DOI:10.1007/BF02984106}}, + JOURNAL = {J. Math. Sci. (New York)}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematical Sciences (New York)}, + VOLUME = {102}, + YEAR = {2000}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {3876--3932}, + ISSN = {1072-3374}, + MRCLASS = {14E30 (14J26 14J30)}, + MRNUMBER = {1794169}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + DOI = {10.1007/BF02984106}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02984106}, +} + +@article {MR1815399, + AUTHOR = {Kim, Minhyong and Thakur, Dinesh S. and Voloch, José F.}, + TITLE = {Diophantine approximation and deformation}, + JOURNAL = {Bull. Soc. Math. France}, + FJOURNAL = {Bulletin de la Société Mathématique de France}, + VOLUME = 128, + YEAR = 2000, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/bsmf.2383}{DOI:10.24033/bsmf.2383}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {585--598}, + ISSN = {0037-9484}, + MRCLASS = {11J61 (11G50 11J68 14D10)}, + MRNUMBER = 1815399, + MRREVIEWER = {Alain Lasjaunias}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2000__128_4_585_0}, +} + +@article {MR1819886, + AUTHOR = {Namikawa, Yoshinori}, + TITLE = {Deformation theory of singular symplectic {$n$}-folds}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 319, + YEAR = 2001, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/PL00004451}{DOI:10.1007/PL00004451}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {597--623}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32G05 (14J32 32J18)}, + MRNUMBER = 1819886, + MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1007/PL00004451}, + URL = {https://doi.org/10.1007/PL00004451}, +} + +@book {MR1834454, + AUTHOR = {Helgason, Sigurdur}, + TITLE = {Differential geometry, {L}ie groups, and symmetric spaces}, + SERIES = {Graduate Studies in Mathematics}, + VOLUME = 34, + NOTE = {Corrected reprint of the 1978 + original. \href{https://doi.org/10.1090/gsm/034}{DOI:10.1090/gsm/034}}, + PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI}, + YEAR = 2001, + PAGES = {xxvi+641}, + ISBN = {0-8218-2848-7}, + MRCLASS = {53C35 (22E10 22E46 22E60)}, + MRNUMBER = {1834454 (2002b:53081)}, + DOI = {10.1090/gsm/034}, + URL = {https://doi.org/10.1090/gsm/034}, +} + +@article{MR1853454, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {JLMSAK}, + Fjournal = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + Issn = {0024-6107}, + Journal = {J. London Math. Soc. (2)}, + Mrclass = {14C17 (14C20 14J17)}, + Mrnumber = {1853454 (2002i:14009)}, + Mrreviewer = {Eriko Hironaka}, + Number = 2, + Pages = {327--343}, + Title = {The {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality for log canonical + surfaces}, + Volume = 64, + Year = 2001 +} + +@article {MR1868164, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Sakurai, Jun}, + TITLE = {Calabi-{Y}au threefolds of quotient type}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 5, + YEAR = 2001, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}{DOI:10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {43--77}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14J32 (14J30 32Q25)}, + MRNUMBER = 1868164, + MRREVIEWER = {Bal\~A!`zs Szendr\AA ‘i}, + DOI = {10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2001.v5.n1.a5}, +} + +@article {MR187244, + AUTHOR = {Armstrong, Mark A.}, + TITLE = {On the fundamental group of an orbit space}, + JOURNAL = {Proc. Cambridge Philos. Soc.}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Cambridge Philosophical Society}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {639--646}, + ISSN = {0008-1981}, + MRCLASS = {55.40}, + MRNUMBER = {187244}, +MRREVIEWER = {R. F. Williams}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}{DOI:10.1017/s0305004100038974}}, + DOI = {10.1017/s0305004100038974}, + URL = {https://doi.org/10.1017/s0305004100038974}, +} + +@book {MR1878556, + AUTHOR = {Lang, Serge}, + TITLE = {Algebra}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = {211}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}{DOI:10.1007/978-1-4613-0041-0}}, + EDITION = {third}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = {2002}, + PAGES = {xvi+914}, + ISBN = {0-387-95385-X}, + MRCLASS = {00A05 (15-02)}, + MRNUMBER = {1878556}, + DOI = {10.1007/978-1-4613-0041-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}, +} + +@article {MR1892905, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {The first fundamental theorem on complements: from global to + local}, + JOURNAL = {Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Rossi\u{\i}skaya Akademiya Nauk. Izvestiya. Seriya + Matematicheskaya}, + VOLUME = {65}, + YEAR = {2001}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {99--128}, + ISSN = {1607-0046}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}{DOI:10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}}, + MRCLASS = {14E30 (14J40)}, + MRNUMBER = {1892905}, +MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, + URL = {https://doi.org/10.1070/IM2001v065n06ABEH000366}, +} + +@book {MR1917232, + AUTHOR = {Liu, Qing}, + TITLE = {Algebraic geometry and arithmetic curves}, + SERIES = {Oxford Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 6, + NOTE = {Translated from the French by Reinie Erné, Oxford Science + Publications}, + PUBLISHER = {Oxford University Press, Oxford}, + YEAR = 2002, + PAGES = {xvi+576}, + ISBN = {0-19-850284-2}, + MRCLASS = {14-01 (11G30 14A05 14A15 14Gxx 14Hxx)}, + MRNUMBER = 1917232, + MRREVIEWER = {C\'\i cero Carvalho}, +} + +@incollection {MR1945361, + AUTHOR = {Catanese, Fabrizio}, + TITLE = {Deformation types of real and complex manifolds}, + BOOKTITLE = {Contemporary trends in algebraic geometry and algebraic topology ({T}ianjin, 2000)}, + SERIES = {Nankai Tracts Math.}, + VOLUME = {5}, + PAGES = {195--238}, + PUBLISHER = {World Sci. Publ., River Edge, NJ}, + YEAR = {2002}, + MRCLASS = {32G05 (14P05)}, + MRNUMBER = {1945361}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}{DOI:10.1142/9789812777416\_0009}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0111245}{arXiv:math/0111245}}, + DOI = {10.1142/9789812777416_0009}, + URL = {https://doi.org/10.1142/9789812777416_0009}, +} + +@incollection{MR1954067, + Address = {Berlin}, + Author = {Langer, Adrian}, + Booktitle = {Algebraic geometry}, + Mrclass = {14J60 (14C20)}, + Mrnumber = {1954067 (2004b:14077)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Pages = {237--256}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {A note on {B}ogomolov's instability and {H}iggs sheaves}, + Year = 2002 +} + +@inproceedings {MR1957061, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Update on 3-folds}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians, {V}ol. {II} ({B}eijing, 2002)}, + PAGES = {513--524}, + PUBLISHER = {Higher Ed. Press, Beijing}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {14J30 (14E30 14J32)}, + MRNUMBER = 1957061, + MRREVIEWER = {A. S. Tikhomirov}, +} + +@article {MR1959581, + AUTHOR = {Donaldson, Simon K.}, + TITLE = {Holomorphic discs and the complex {M}onge-{A}mpère equation}, + JOURNAL = {J. Symplectic Geom.}, + FJOURNAL = {The Journal of Symplectic Geometry}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2002}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {171--196}, + ISSN = {1527-5256}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15 58J32)}, + MRNUMBER = {1959581}, +MRREVIEWER = {David F. Mart\'{\i}nez-Torres}, + NOTE = {\href{https://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}{euclid.jsg/1092316649}.}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jsg/1092316649}, +} + +@article {MR1969009, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Erratum: ``{C}lassification of {F}ano 3-folds with {$B_2\geq 2$}'' [{M}anuscripta {M}ath. {\bf 36} (1981/82), no. 2, 147--162; {MR}0641971 (83f:14032)]}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 110, + YEAR = 2003, + NUMBER = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}{DOI:10.1007/s00229-002-0336-2}}, + PAGES = 407, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J45 (14E30 14J30)}, + MRNUMBER = 1969009, + DOI = {10.1007/s00229-002-0336-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-002-0336-2}, +} + +@article{MR1971155, + Author = {Langer, Adrian}, + Coden = {PLMTAL}, + Fjournal = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + Issn = {0024-6115}, + Journal = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + Mrclass = {14J17 (14C20 14J29 14J60)}, + Mrnumber = {1971155 (2004c:14069)}, + Mrreviewer = {Gábor Megyesi}, + Number = 2, + Pages = {358--396}, + Title = {Logarithmic orbifold {E}uler numbers of surfaces with applications}, + Volume = 86, + Year = 2003 +} + +@incollection {MR1978714, + AUTHOR = {Arapura, Donu}, + TITLE = {Higgs bundles, integrability, and holomorphic forms}, + BOOKTITLE = {Motives, polylogarithms and {H}odge theory, {P}art {II} + ({I}rvine, {CA}, 1998)}, + SERIES = {Int. Press Lect. Ser.}, + VOLUME = 3, + PAGES = {605--624}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2002, + MRCLASS = {32G13 (14D20 14F35 32J27)}, + MRNUMBER = 1978714, + MRREVIEWER = {Indranil Biswas}, +} + +@article {MR1993750, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Prelimiting flips}, + JOURNAL = {Tr. Mat. Inst. Steklova}, + FJOURNAL = {Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova. + Rossi\u{i}skaya Akademiya Nauk}, + VOLUME = 240, + YEAR = 2003, + NUMBER = {Biratsion. Geom. Line\u{i}n. Sist. Konechno Porozhdennye + Algebry}, + PAGES = {82--219}, + ISSN = {0371-9685}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = 1993750, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, +} + +@article {MR2036231, + AUTHOR = {Chen, Jungkai A. and Hacon, Christopher D.}, + TITLE = {On the irregularity of the image of the {I}itaka fibration}, + JOURNAL = {Comm. Algebra}, + FJOURNAL = {Communications in Algebra}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {2004}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {203--215}, + ISSN = {0092-7872}, + MRCLASS = {14C20 (14D06)}, + MRNUMBER = {2036231}, +MRREVIEWER = {Miguel A. Barja}, + DOI = {10.1081/AGB-120027861}, + URL = {https://doi.org/10.1081/AGB-120027861}, +} + +@article {MR2041755, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Algebro-geometric version of {N}evanlinna's lemma on logarithmic derivative and applications}, + JOURNAL = {Nagoya Math. J.}, + FJOURNAL = {Nagoya Mathematical Journal}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}{DOI:10.1017/S0027763000008710}}, + VOLUME = {173}, + YEAR = {2004}, + PAGES = {23--63}, + ISSN = {0027-7630}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {2041755}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1017/S0027763000008710}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0027763000008710}, +} + +@article{MR2057020, + Author = {Keel, Sean and Matsuki, Kenji and {\hbox{Mc}}Kernan, James}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14E30 (14J30 14J35)}, + Mrnumber = {2057020 (2005a:14018)}, + Number = 3, + Pages = {625--630}, + Title = {Corrections to: ``{L}og abundance theorem for threefolds'' + [{D}uke {M}ath. {J}. {\bf 75} (1994), no. 1, 99--119; + MR1284817]}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12236-5}{DOI:10.1215/S0012-7094-04-12236-5}}, + Volume = 122, + Year = 2004 +} + +@book {MR2062813, + AUTHOR = {Bump, Daniel}, + TITLE = {Lie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 225, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 2004, + PAGES = {xii+451}, + ISBN = {0-387-21154-3}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}{DOI:10.1007/978-1-4757-4094-3}.}, + MRCLASS = {22-01 (22C05 22E15 22E46)}, + MRNUMBER = 2062813, + MRREVIEWER = {Karl-Hermann Neeb}, + DOI = {10.1007/978-1-4757-4094-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4094-3}, +} + +@article {MR2096455, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {The second main theorem for small functions and related problems}, + JOURNAL = {Acta Math.}, + FJOURNAL = {Acta Mathematica}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2004, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02392741}{DOI:10.1007/BF02392741}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {225--294}, + ISSN = {0001-5962}, + MRCLASS = {30D35 (14G05 14G25)}, + MRNUMBER = 2096455, + MRREVIEWER = {D. Drasin}, + DOI = {10.1007/BF02392741}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02392741}, +} + +@article {MR210944, + AUTHOR = {Prill, David}, + TITLE = {Local classification of quotients of complex manifolds by discontinuous groups}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {34}, + YEAR = {1967}, + PAGES = {375--386}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32.65 (10.23)}, + MRNUMBER = {210944}, +MRREVIEWER = {E. Brieskorn}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077377006}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-67-03441-2}{DOI:10.1215/S0012-7094-67-03441-2}}, +} + +@article {MR2124169, + AUTHOR = {Kashiwara, Masaki}, + TITLE = {{$t$}-structures on the derived categories of holonomic {$\scr + D$}-modules and coherent {$\scr O$}-modules}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 4, + YEAR = 2004, + NOTE = {Available at + \url{https://www.ams.org/distribution/mmj/vol4-4-2004/cont4-4-2004.html}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {847--868, 981}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {32C38 (18E30)}, + MRNUMBER = 2124169, + MRREVIEWER = {Luisa Fiorot}, +} + +@article {MR2134273, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {The moduli {$b$}-divisor of an lc-trivial fibration}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {141}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}{DOI:10.1112/S0010437X04001071}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0308143}{arXiv:math/0308143}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {385--403}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2134273}, +MRREVIEWER = {Mark Gross}, + DOI = {10.1112/S0010437X04001071}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X04001071}, +} + +@article {MR2141325, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G.}, + TITLE = {The degree of {F}ano threefolds with canonical {G}orenstein singularities}, + JOURNAL = {Mat. Sb.}, + FJOURNAL = {Matematicheski\u{\i} Sbornik}, + VOLUME = {196}, + YEAR = {2005}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}{DOI:10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {81--122}, + ISSN = {0368-8666}, + MRCLASS = {14J45 (14E15)}, + MRNUMBER = {2141325}, +MRREVIEWER = {Jaros\l aw A. Wi\'{s}niewski}, + DOI = {10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, + URL = {https://doi.org/10.1070/SM2005v196n01ABEH000873}, +} + +@article {MR2153078, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Shokurov's boundary property}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {67}, + YEAR = {2004}, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1102536201}{euclid.jdg/1102536201}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {229--255}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {14J10 (14E05 14N30)}, + MRNUMBER = {2153078}, +MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1102536201}, +} + +@book {MR2194466, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings}, + EDITION = {Second}, + NOTE = {An introduction}, + PUBLISHER = {World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ}, + YEAR = 2005, + PAGES = {xii+148}, + ISBN = {981-256-496-9}, + MRCLASS = {32F45 (32H02 32H04 32Q45)}, + MRNUMBER = 2194466, + MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + DOI = {10.1142/5936}, + URL = {https://doi.org/10.1142/5936}, +} + +@article {MR2196000, + AUTHOR = {Flenner, Hubert and Zaidenberg, Mikhail}, + TITLE = {Locally nilpotent derivations on affine surfaces with a {$\Bbb C^*$}-action}, + JOURNAL = {Osaka J. Math.}, + FJOURNAL = {Osaka Journal of Mathematics}, + VOLUME = 42, + YEAR = 2005, + NOTE = {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}{euclid.ojm/1153494558}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {931--974}, + ISSN = {0030-6126}, + MRCLASS = {14R20 (14R05)}, + MRNUMBER = 2196000, + MRREVIEWER = {Adrien Dubouloz}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494558}, +} + +@incollection{MR2210794, + Author = {Drézet, Jean-Marc}, + Booktitle = {Algebraic group actions and quotients}, + Mrclass = {14L30 (14L24)}, + Mrnumber = {2210794 (2006k:14082)}, + Mrreviewer = {Lucy Moser-Jauslin}, + Pages = {39--89}, + Publisher = {Hindawi Publ. Corp., Cairo}, + Title = {Luna's slice theorem and applications}, + Year = 2004 +} + +@article {MR2221132, + AUTHOR = {Kaledin, Dmitry and Lehn, Manfred and Sorger, Christoph}, + TITLE = {Singular symplectic moduli spaces}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 164, + YEAR = 2006, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}{DOI:10.1007/s00222-005-0484-6}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {591--614}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14D20 (14J28 14J60)}, + MRNUMBER = 2221132, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.1007/s00222-005-0484-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-005-0484-6}, +} + +@article{MR2229475, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.1142/S0129167X0600362X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J40)}, + Mrnumber = {2229475 (2007b:14034)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 5, + Pages = {619--631}, + Title = {Kodaira dimension of subvarieties. {II}}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X}, + Volume = 17, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0600362X} +} + +@article {MR2231055, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Hernández Ruipérez, Daniel}, + TITLE = {Semistability vs.\ nefness for ({H}iggs) vector bundles}, + JOURNAL = {Differential Geom. Appl.}, + FJOURNAL = {Differential Geometry and its Applications}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2006, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}{DOI:10.1016/j.difgeo.2005.12.007}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {403--416}, + ISSN = {0926-2245}, + CODEN = {DGAPEO}, + MRCLASS = {14H60 (14J60)}, + MRNUMBER = 2231055, + MRREVIEWER = {Adrian Langer}, + DOI = {10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2005.12.007}, +} + +@article{MR2239523, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Coden = {TPLGAF}, + Doi = {10.1016/j.top.2006.06.006}, + Fjournal = {Topology. An International Journal of Mathematics}, + Issn = {0040-9383}, + Journal = {Topology}, + Mrclass = {14J29 (14J27)}, + Mrnumber = {2239523 (2008b:14065)}, + Number = 5, + Pages = {919--927}, + Title = {A fake projective plane with an order 7 automorphism}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}{DOI:10.1016/j.top.2006.06.006}}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006}, + Volume = 45, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.top.2006.06.006} +} + +@book {MR2243012, + AUTHOR = {Ballmann, Werner}, + TITLE = {Lectures on {K}ähler manifolds}, + SERIES = {ESI Lectures in Mathematics and Physics}, + PUBLISHER = {European Mathematical Society (EMS), Zürich}, + YEAR = 2006, + PAGES = {x+172}, + ISBN = {978-3-03719-025-8; 3-03719-025-6}, + MRCLASS = {32Q15 (53C55)}, + MRNUMBER = {2243012 (2007e:32026)}, + MRREVIEWER = {Joel Fine}, + DOI = {10.4171/025}, + URL = {https://doi.org/10.4171/025}, +} + +@book{MR2247485, + Address = {Berlin}, + Author = {Jost, Jürgen}, + Doi = {10.1007/978-3-540-33067-7}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-3-540-33065-3; 3-540-33065-8}, + Mrclass = {32G15 (58E20)}, + Mrnumber = {2247485 (2007b:32024)}, + Note = {An introduction to contemporary mathematics}, + Pages = {xviii+277}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Compact {R}iemann surfaces}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7}, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-33067-7} +} + +@article {MR2281877, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {I}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + NUMBER = 869, + PAGES = {xii+324}, + ISSN = {0065-9266}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2281877, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0869}{DOI:10.1090/memo/0869}}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0869}, +} + +@article {MR2283665, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an + application to pure twistor {$D$}-modules. {II}}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 185, + YEAR = 2007, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/memo/0870}{DOI:10.1090/memo/0870}}, + NUMBER = 870, + PAGES = {xii+565}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {32S40 (14C30 53C07 53C43)}, + MRNUMBER = 2283665, + MRREVIEWER = {Carlos T. Simpson}, + DOI = {10.1090/memo/0870}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0870}, +} + +@book{MR2290112, + Address = {Berlin}, + Author = {Greuel, G.-M. and Lossen, C. and Shustin, E.}, + Isbn = {978-3-540-28380-5; 3-540-28380-3}, + Mrclass = {32Sxx (14B05)}, + Mrnumber = {2290112 (2008b:32013)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xii+471}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Springer Monographs in Mathematics}, + Title = {Introduction to singularities and deformations}, + Year = 2007 +} + +@article {MR2310103, + AUTHOR = {Mochizuki, Takuro}, + TITLE = {Kobayashi-{H}itchin correspondence for tame harmonic bundles + and an application}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 309, + YEAR = 2006, + PAGES = {viii+117}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-226-6}, + MRCLASS = {32Q20 (14D07 14J60 32G20 53C07)}, + MRNUMBER = 2310103, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, +} + +@article{MR2332355, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {ASENAH}, + Doi = {10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Fjournal = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + Issn = {0012-9593}, + Journal = {Ann. Sci. École Norm. Sup. (4)}, + Mrclass = {32G99 (14D15 32J27)}, + Mrnumber = {2332355 (2008m:32028)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {179--189}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto the blow-up of the + projective plane}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001}, + Volume = 40, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.ansens.2006.12.001} +} + +@article{MR2336831, + Author = {Hwang, Jun-Muk}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14J45 (32H02)}, + Mrnumber = {2336831 (2008g:14064)}, + Mrreviewer = {Andreas Höring}, + Number = 3, + Pages = {815--823}, + Title = {Deformation of holomorphic maps onto {F}ano manifolds of + second and fourth {B}etti numbers 1}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0}, + Volume = 57, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_815_0} +} + +@article {MR2343296, + AUTHOR = {Bradlow, Steven B. and García-Prada, Oscar and Gothen, + Peter B.}, + TITLE = {What is{$\dots$} a {H}iggs bundle?}, + JOURNAL = {Notices Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Notices of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 54, + YEAR = 2007, + NUMBER = 8, + PAGES = {980--981}, + ISSN = {0002-9920}, + MRCLASS = {53C07 (14D21)}, + MRNUMBER = {2343296 (2008e:53035)}, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, +} + +@article{MR2344354, + Author = {Catanese, Fabrizio}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {14E99 (32G05 32J15)}, + Mrnumber = {2344354 (2008k:14038)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Note = {With an appendix by Sönke + Rollenske. \href{http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}{euclid.jdg/1185550815}}, + Number = 1, + Pages = {43--75}, + Title = {Q.{E}.{D}. for algebraic varieties}, + Url = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815}, + Volume = 77, + Year = 2007, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1185550815} +} + +@book{MR2352762, + Address = {Oxford}, + Author = {{Corti et al.}, Alessio}, + Isbn = {978-0-19-857061-5}, + Mrclass = {14E30 (14-06)}, + Mrnumber = {2352762 (2008j:14031)}, + Mrreviewer = {Michael A. van Opstall}, + Pages = {x+189}, + Publisher = {Oxford University Press}, + Series = {Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications}, + Title = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + Volume = 35, + Year = 2007 +} + +@incollection {MR2359346, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Kodaira's canonical bundle formula and adjunction}, + BOOKTITLE = {Flips for 3-folds and 4-folds}, + SERIES = {Oxford Lecture Ser. Math. Appl.}, + VOLUME = {35}, + PAGES = {134--162}, + PUBLISHER = {Oxford Univ. Press, Oxford}, + YEAR = {2007}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}{DOI:10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}}, + MRCLASS = {14E30 (14N30)}, + MRNUMBER = {2359346}, + DOI = {10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, + URL = {https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008}, +} + +@book{MR2359489, + Author = {Wells, Jr., Raymond O.}, + Doi = {10.1007/978-0-387-73892-5}, + Edition = {Third}, + Isbn = {978-0-387-73891-8}, + Mrclass = {32-01 (58-01)}, + Mrnumber = {2359489 (2008g:32001)}, + Note = {With a new appendix by Oscar Garcia-Prada}, + Pages = {xiv+299}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Differential analysis on complex manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5}, + Volume = 65, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-73892-5} +} + +@article {MR2364074, + AUTHOR = {Bruzzo, Ugo and Gra{\~n}a Otero, Beatriz}, + TITLE = {Metrics on semistable and numerically effective {H}iggs + bundles}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 612, + YEAR = 2007, + PAGES = {59--79}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {32L05 (32Q20)}, + MRNUMBER = 2364074, + MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2007.084}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.084}, +} + +@article {MR2369185, + AUTHOR = {Biswas, Indranil and Gómez, Tomás L.}, + TITLE = {Connections and {H}iggs fields on a principal bundle}, + JOURNAL = {Ann. Global Anal. Geom.}, + FJOURNAL = {Annals of Global Analysis and Geometry}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}{DOI:10.1007/s10455-007-9072-x}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {19--46}, + ISSN = {0232-704X}, + MRCLASS = {32L05 (14L10 53C07)}, + MRNUMBER = {2369185}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + DOI = {10.1007/s10455-007-9072-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10455-007-9072-x}, +} + +@article {MR2372739, + AUTHOR = {Wittenberg, Olivier}, + TITLE = {On {A}lbanese torsors and the elementary obstruction}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {340}, + YEAR = {2008}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}{DOI:10.1007/s00208-007-0170-7}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/math/0611284}{arXiv:math/0611284}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {805--838}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14C25 (14K05)}, + MRNUMBER = {2372739}, +MRREVIEWER = {Francisco J. Plaza Mart\'{\i}n}, + DOI = {10.1007/s00208-007-0170-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0170-7}, +} + +@book {MR2377148, + AUTHOR = {Bryant, John and Sangwin, Chris}, + TITLE = {How round is your circle? Where engineering and mathematics meet.}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/9781400837953.303}{DOI:10.1515/9781400837953.303}}, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, NJ}, + YEAR = {2008}, + PAGES = {xxii+306}, + ISBN = {978-0-691-13118-4}, + MRCLASS = {00A06 (00A05 51M15 51M99 70-01 70Bxx)}, + MRNUMBER = {2377148}, +MRREVIEWER = {Andrew Edward Whelan}, +} + +@article{MR2383493, + Author = {Abe, Takuro and Yoshinaga, Masahiko}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14F05 (14J60)}, + Mrnumber = {2383493 (2009f:14029)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Number = 6, + Pages = {1887--1891}, + Title = {Splitting criterion for reflexive sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2}, + Volume = 136, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09367-2} +} + +@article{MR2399162, + Author = {Rollenske, Sönke}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-007-0206-z}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C56 (55T99 58A14)}, + Mrnumber = {2399162 (2009c:53099)}, + Mrreviewer = {Sergio Console}, + Number = 3, + Pages = {623--628}, + Title = {The {F}rölicher spectral sequence can be arbitrarily non-degenerate}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z}, + Volume = 341, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-007-0206-z} +} + +@article{MR2400877, + Author = {Kollár, János}, + Fjournal = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + Issn = {1558-8599}, + Journal = {Pure Appl. Math. Q.}, + Mrclass = {14J80 (14J17 57N13)}, + Mrnumber = {2400877 (2009b:14086)}, + Mrreviewer = {Arnaud Beauville}, + Number = {2, part 1}, + Pages = {203--236}, + Title = {Is there a topological {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality?}, + Volume = 4, + Year = 2008 +} + +@article{MR2429621, + Author = {Aprodu, Marian and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-007-0282-5}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14E20 (14J45)}, + Mrnumber = {2429621 (2009m:14017)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {431--449}, + Title = {Galois coverings and endomorphisms of projective varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5}, + Volume = 260, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-007-0282-5} +} + +@article {MR2439607, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {Cohomological characterizations of projective spaces and + hyperquadrics}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 174, + YEAR = 2008, + NUMBER = 2, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}{DOI:10.1007/s00222-008-0130-1}}, + PAGES = {233--253}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {14E30 (14F10 14M20)}, + MRNUMBER = 2439607, + MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-008-0130-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-008-0130-1}, +} + +@article{MR2443971, + Author = {Keum, Jong-Hae}, + Doi = {10.2140/gt.2008.12.2497}, + Fjournal = {Geometry \& Topology}, + Issn = {1465-3060}, + Journal = {Geom. Topol.}, + Mrclass = {14J29 (14E15)}, + Mrnumber = {2443971 (2009g:14042)}, + Mrreviewer = {Marco Andreatta}, + Number = 4, + Pages = {2497--2515}, + Title = {Quotients of fake projective planes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}{DOI: + 10.2140/gt.2008.12.2497}}, + Url = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497}, + Volume = 12, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2497} +} + +@article {MR2448282, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Towards the second main theorem on complements}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}{DOI:10.1090/S1056-3911-08-00498-0}}, + PAGES = {151--199}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14C20 (14J45)}, + MRNUMBER = 2448282, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S1056-3911-08-00498-0}, +} + +@article{MR2449950, + Author = {Berndtsson, Bo and Păun, Mihai}, + Coden = {DUMJAO}, + Doi = {10.1215/00127094-2008-054}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {32L15 (14J40)}, + Mrnumber = {2449950 (2009k:32020)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = 2, + Pages = {341--378}, + Title = {Bergman kernels and the pseudoeffectivity of relative + canonical bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}{DOI: + 10.1215/00127094-2008-054}}, + Url = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054}, + Volume = 145, + Year = 2008, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1215/00127094-2008-054} +} + +@incollection{MR2483953, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Kovács, Sándor J.}, + Booktitle = {Algebraic geometry---{S}eattle 2005. {P}art 2}, + Mrclass = {14J10 (14-02 14D20 14E30)}, + Mrnumber = {2483953 (2009m:14051)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Pages = {711--743}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to moduli of higher dimensional + varieties}, + Volume = 80, + Year = 2009 +} + +@article{MR2497488, + Author = {Zhang, Yuguang}, + Coden = {PAMYAR}, + Doi = {10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32Q20 (32L05 53C25 53C44)}, + Mrnumber = {2497488 (2010b:32036)}, + Mrreviewer = {Julien Keller}, + Number = 8, + Pages = {2749--2754}, + Title = {Miyaoka-{Y}au inequality for minimal projective manifolds of + general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}{DOI: + 10.1090/S0002-9939-09-09838-4}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4}, + Volume = 137, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09838-4} +} + +@inproceedings{MR2500573, + Author = {Włodarczyk, Jarosław}, + Booktitle = {Proceedings of {G}ökova {G}eometry-{T}opology {C}onference + 2008}, + Mrclass = {32S45 (32C25)}, + Mrnumber = {2500573 (2011e:32039)}, + Pages = {31--63}, + Publisher = {Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova}, + Title = {Resolution of singularities of analytic spaces}, + Year = 2009 +} + +@article {MR2505296, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + TITLE = {Singular {K}ähler-{E}instein metrics}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {607--639}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {32Q20 (31C10 32J27 32Q25 32W20)}, + MRNUMBER = {2505296 (2010k:32031)}, + MRREVIEWER = {Zhou Zhang}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00629-8}}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00629-8}, +} + +@book{MR2514037, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {978-81-85931-86-9; 81-85931-86-0}, + Mrclass = {14Kxx}, + Mrnumber = {2514037 (2010e:14040)}, + Note = {With appendices by C. P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected + reprint of the second (1974) edition}, + Pages = {xii+263}, + Publisher = {Published for the Tata Institute of Fundamental Research, + Bombay}, + Series = {Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics}, + Title = {Abelian varieties}, + Volume = 5, + Year = 2008 +} + +@book {MR2522486, + AUTHOR = {Goodman, Roe and Wallach, Nolan R.}, + TITLE = {Symmetry, representations, and invariants}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 255, + PUBLISHER = {Springer, Dordrecht}, + YEAR = 2009, + PAGES = {xx+716}, + ISBN = {978-0-387-79851-6}, + MRCLASS = {20G05 (14L35 17B10 20C30 20G20 22E46)}, + MRNUMBER = 2522486, + MRREVIEWER = {Vladimir V. Shchigolev}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}{DOI:10.1007/978-0-387-79852-3}.}, + DOI = {10.1007/978-0-387-79852-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-0-387-79852-3}, +} + +@article {MR2538503, + AUTHOR = {Tosatti, Valentino}, + TITLE = {Limits of {C}alabi-{Y}au metrics when the {K}ähler class + degenerates}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 4, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/165}{DOI:b10.4171/JEMS/165}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0710.4579}{arXiv:0710.4579}}, + PAGES = {755--776}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {32Q25 (32Q20 32W20)}, + MRNUMBER = {2538503 (2010j:32039)}, + MRREVIEWER = {Julien Keller}, + DOI = {10.4171/JEMS/165}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/165}, +} + +@book {MR2542964, + AUTHOR = {Lehrer, Gustav I. and Taylor, Donald E.}, + TITLE = {Unitary reflection groups}, + SERIES = {Australian Mathematical Society Lecture Series}, + VOLUME = {20}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {viii+294}, + ISBN = {978-0-521-74989-3}, + MRCLASS = {20F55}, + MRNUMBER = {2542964}, +MRREVIEWER = {O. V. Shvartsman}, +} + +@article {MR2545454, + AUTHOR = {Biswas, Indranil}, + TITLE = {Semistability and restrictions of tangent bundle to curves}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + VOLUME = {142}, + YEAR = {2009}, + PAGES = {37--46}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14F05 (32L10)}, + MRNUMBER = {2545454}, +MRREVIEWER = {Graeme Wilkin}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}{DOI:10.1007/s10711-009-9356-3}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0901.4161}{arXiv:0901.4161}}, + DOI = {10.1007/s10711-009-9356-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-009-9356-3}, +} + +@article {MR2567402, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {A {M}inkowski-style bound for the orders of the finite + subgroups of the {C}remona group of rank 2 over an arbitrary + field}, + JOURNAL = {Mosc. Math. J.}, + FJOURNAL = {Moscow Mathematical Journal}, + VOLUME = 9, + YEAR = 2009, + NUMBER = 1, + PAGES = {193--208, back matter}, + ISSN = {1609-3321}, + MRCLASS = {14E07 (14J26)}, + MRNUMBER = 2567402, + MRREVIEWER = {Alberto Calabri}, +} + +@book{MR2583634, + Address = {New York}, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Isbn = {978-1-4419-1595-5}, + Mrclass = {14D15 (13D10 14B07 14B12)}, + Mrnumber = {2583634 (2011c:14023)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Pages = {viii+234}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Deformation theory}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2}, + Volume = 257, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-1596-2} +} + +@article {MR2586735, + AUTHOR = {Cartwright, Donald I. and Steger, Tim}, + TITLE = {Enumeration of the 50 fake projective planes}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 348, + YEAR = 2010, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}{DOI:10.1016/j.crma.2009.11.016}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {11--13}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {20G20 (14J99)}, + MRNUMBER = 2586735, + DOI = {10.1016/j.crma.2009.11.016}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.11.016}, +} + +@article{MR2587100, + Author = {Nakayama, Noboru and Zhang, De-Qi}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-009-0420-y}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J10 (14H20 32H50)}, + Mrnumber = {2587100 (2011c:14103)}, + Mrreviewer = {Karl Schwede}, + Number = 4, + Pages = {991--1018}, + Title = {Polarized endomorphisms of complex normal varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y}, + Volume = 346, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-009-0420-y} +} + +@article{MR2587409, + Author = {Birkar, Caucher}, + Doi = {10.2140/ant.2009.3.951}, + Fjournal = {Algebra \& Number Theory}, + Issn = {1937-0652}, + Journal = {Algebra Number Theory}, + Mrclass = {14E30}, + Mrnumber = {2587409 (2011b:14034)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Number = 8, + Pages = {951--958}, + Title = {Log minimal models according to {S}hokurov}, + Url = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951}, + Volume = 3, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2140/ant.2009.3.951} +} + +@article {MR2592955, + AUTHOR = {Greb, Daniel}, + TITLE = {Projectivity of analytic {H}ilbert and {K}ähler quotients}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2010, + NUMBER = 6, + PAGES = {3243--3271}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {14L30 (14L24 32M05 53D20)}, + MRNUMBER = 2592955, + MRREVIEWER = {Dmitry A. Timash{\"e}v}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05000-2}, +} + +@article {MR2605324, + AUTHOR = {Gasbarri, Carlo}, + TITLE = {The strong {$abc$} conjecture over function fields (after {M}c{Q}uillan and {Y}amanoi)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0811.3153}{arXiv:0811.3153}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 326, + YEAR = 2009, + PAGES = {Exp. No. 989, viii, 219--256 (2010)}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-285629-269-3}, + MRCLASS = {11D75 (11-02 11J97)}, + MRNUMBER = 2605324, + MRREVIEWER = {Robert Juricevic}, +} + +@article{MR2629988, + Author = {Kollár, János and Kovács, Sándor J.}, + Doi = {10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J17 (14B07 14E30)}, + Mrnumber = {2629988 (2011m:14061)}, + Mrreviewer = {Ali Sinan Sertöz}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}{DOI:10.1090/S0894-0347-10-00663-6}}, + Number = 3, + Pages = {791--813}, + Title = {Log canonical singularities are {D}u {B}ois}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6}, + Volume = 23, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00663-6} +} + +@article {MR2629989, + AUTHOR = {Kleiner, Bruce}, + TITLE = {A new proof of {G}romov's theorem on groups of polynomial + growth}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2010, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}{DOI:10.1090/S0894-0347-09-00658-4}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {815--829}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {20F65 (20F67 20F69)}, + MRNUMBER = 2629989, + MRREVIEWER = {Fran{\c{c}}ois Dahmani}, + DOI = {10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00658-4}, +} + +@article {MR2648675, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Le groupe de {C}remona et ses sous-groupes finis}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997--1011}, + JOURNAL = {Astéisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {332}, + YEAR = {2010}, + PAGES = {Exp. No. 1000, vii, 75--100}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-291-4}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = {2648675}, +} + +@book{MR2665168, + Address = {Cambridge}, + Author = {Huybrechts, Daniel and Lehn, Manfred}, + Doi = {10.1017/CBO9780511711985}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-0-521-13420-0}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {2665168 (2011e:14017)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}{DOI:10.1017/CBO9780511711985}}, + Pages = {xviii+325}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Mathematical Library}, + Title = {The geometry of moduli spaces of sheaves}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985}, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511711985} +} + +@article {MR2667786, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {On fundamental groups of algebraic varieties and value distribution theory}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2532}{DOI:10.5802/aif.2532}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {551--563}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {32H30 (14F35)}, + MRNUMBER = {2667786}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_2_551_0}, +} + +@article{MR2674856, + Author = {Höring, Andreas}, + Coden = {ENMAAR}, + Doi = {10.4171/LEM/56-1-4}, + Fjournal = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + Issn = {0013-8584}, + Journal = {Enseign. Math. (2)}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {2674856 (2011g:14022)}, + Mrreviewer = {James McKernan}, + Number = {1-2}, + Pages = {87--142}, + Title = {Positivity of direct image sheaves---a geometric point of + view}, + Url = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4}, + Volume = 56, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/LEM/56-1-4} +} + +@book {MR2675155, + AUTHOR = {Görtz, Ulrich and Wedhorn, Torsten}, + TITLE = {Algebraic geometry {I}, Schemes, With Examples and Exercises}, + SERIES = {Advanced Lectures in Mathematics}, + PUBLISHER = {Vieweg + Teubner, Wiesbaden}, + YEAR = 2010, + PAGES = {viii+615}, + ISBN = {978-3-8348-0676-5}, + MRCLASS = {14-01}, + MRNUMBER = {2675155 (2011f:14001)}, + MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}{DOI:10.1007/978-3-8348-9722-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-8348-9722-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9722-0}, +} + +@article {MR2739808, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Non-algebraic hyperkähler manifolds}, + JOURNAL = {J. Differential Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Differential Geometry}, + VOLUME = {85}, + YEAR = {2010}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/jdg/1292940689}{DOI:10.4310/jdg/1292940689}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0804.1682}{arXiv:0804.1682}}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {397--424}, + ISSN = {0022-040X}, + MRCLASS = {53C26 (14D06 32J27 32Q15)}, + MRNUMBER = {2739808}, +MRREVIEWER = {Justin Sawon}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1292940689}, +} + +@article{MR2746347, + Author = {Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed}, + Date-Added = {2015-06-19 15:15:17 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-19 15:17:58 +0000}, + Journal = {Acta Math.}, + Number = 2, + Pages = {199--262}, + Title = {Monge-Ampère equations in big cohomology classes}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11511-010-0054-7}{DOI:10.1007/s11511-010-0054-7}}, + Volume = 205, + Year = 2010 +} + +@book{MR2766102, + Author = {Lee, John M.}, + Doi = {10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-1-4419-7939-1}, + Mrclass = {57-01 (54-01 55-01)}, + Mrnumber = {2766102 (2011i:57001)}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}{DOI:10.1007/978-1-4419-7940-7}}, + Pages = {xviii+433}, + Publisher = {Springer, New York}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Introduction to topological manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7}, + Volume = 202, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7940-7} +} + +@article{MR2773396, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14J60 (14D20)}, + Mrnumber = {2773396 (2012b:14085)}, + Mrreviewer = {Zhenbo Qin}, + Number = 2, + Pages = {178--186}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}{DOI: + 10.1016/j.bulsci.2010.10.001}}, + Title = {Bogomolov restriction theorem for {H}iggs bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.10.001} +} + +@incollection {MR2779470, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Special orbifolds and birational classification: a survey}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic varieties}, + SERIES = {EMS Ser. Congr. Rep.}, + PAGES = {123--170}, + PUBLISHER = {Eur. Math. Soc., Zürich}, + YEAR = {2011}, + MRCLASS = {14E05 (14-02 14E30)}, + MRNUMBER = {2779470}, +MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/007-1/6}{DOI:10.4171/007-1/6}. Preprint \href{https://arXiv.org/abs/1001.3763v1}{arXiv:1001.3763v1}}, + DOI = {10.4171/007-1/6}, + URL = {https://doi.org/10.4171/007-1/6}, +} + +@article {MR2784026, + AUTHOR = {Choi, Sung Rak and Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Geography of log models: theory and applications}, + JOURNAL = {Cent. Eur. J. Math.}, + FJOURNAL = {Central European Journal of Mathematics}, + VOLUME = {9}, + YEAR = {2011}, + NUMBER = {3}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}{DOI:10.2478/s11533-011-0013-3}}, + PAGES = {489--534}, + ISSN = {1895-1074}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {2784026}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazi\'{c}}, + DOI = {10.2478/s11533-011-0013-3}, + URL = {https://doi.org/10.2478/s11533-011-0013-3}, +} + +@article{MR2793040, + Author = {Biswas, Indranil and Dey, Arijit}, + Coden = {BSMQA9}, + Doi = {10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Fjournal = {Bulletin des Sciences Mathématiques}, + Issn = {0007-4497}, + Journal = {Bull. Sci. Math.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14J60 14L15)}, + Mrnumber = {2793040 (2012h:14035)}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}{DOI:10.1016/j.bulsci.2010.04.003}}, + Mrreviewer = {Johan A. Martens}, + Number = 3, + Pages = {251--261}, + Title = {Restriction theorems for {H}iggs principal bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003}, + Volume = 135, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2010.04.003} +} + +@article{MR2796069, + Author = {Källström, Rolf}, + Coden = {JALGA4}, + Doi = {10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {14A10 (14F05 14M10)}, + Mrnumber = {2796069 (2012d:14001)}, + Mrreviewer = {Ana Rita Martins}, + Pages = {169--180}, + Title = {The {Z}ariski-{L}ipman conjecture for complete intersections}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003}, + Volume = 337, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.05.003} +} + +@inproceedings {MR2827803, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James}, + TITLE = {Boundedness results in birational geometry}, + BOOKTITLE = {Proceedings of the {I}nternational {C}ongress of {M}athematicians. {V}olume {II}}, + PAGES = {427--449}, + PUBLISHER = {Hindustan Book Agency, New Delhi}, + YEAR = {2010}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = {2827803}, +MRREVIEWER = {Vladimir Lazić}, +} + +@article {MR2831280, + AUTHOR = {Campana, Frédéric}, + TITLE = {Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + VOLUME = 10, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}{DOI:10.1017/S1474748010000101}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/0705.0737v5}{arXiv:0705.0737v5}.}, + NUMBER = 4, + PAGES = {809--934}, + ISSN = {1474-7480}, + MRCLASS = {32J27 (11G05 32J25 32Q45)}, + MRNUMBER = 2831280, + DOI = {10.1017/S1474748010000101}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S1474748010000101}, +} + +@article {MR2838215, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Simultaneous normalization and algebra husks}, + JOURNAL = {Asian J. Math.}, + FJOURNAL = {Asian Journal of Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2011, + NUMBER = 3, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}{DOI:10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0910.1076}{arXiv:0910.1076}.}, + PAGES = {437--449}, + ISSN = {1093-6106}, + MRCLASS = {14B25 (14D06 14D15 14D22)}, + MRNUMBER = 2838215, + MRREVIEWER = {Liam O'Carroll}, + DOI = {10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, + URL = {https://doi.org/10.4310/AJM.2011.v15.n3.a6}, +} + +@article{MR2860268, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/s00209-010-0758-6}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14D06 14D20)}, + Mrnumber = {2860268 (2012k:14046)}, + Mrreviewer = {Daniel Greb}, + Number = {3-4}, + Pages = {847--878}, + Title = {Families over special base manifolds and a conjecture of + {C}ampana}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6}{DOI:10.1007/s00209-010-0758-6}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0905.1746}{arXiv:0905.1746}}, + Volume = 269, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00209-010-0758-6} +} + +@article{MR2871152, + Author = {Patakfalvi, Zsolt}, + Coden = {ADMTA4}, + Doi = {10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14E05)}, + Mrnumber = {2871152 (2012m:14072)}, + Mrreviewer = {Atsushi Moriwaki}, + Number = 3, + Pages = {1640--1642}, + Title = {Viehweg's hyperbolicity conjecture is true over compact bases}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013}, + Volume = 229, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.013} +} + +@article{MR2881306, + Author = {Peternell, Thomas}, + Doi = {10.4171/JEMS/312}, + Fjournal = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Issn = {1435-9855}, + Journal = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + Mrclass = {14J10 (14C20 14E30 14J60)}, + Mrnumber = 2881306, + Mrreviewer = {Maria Chiara Brambilla}, + Number = 2, + Pages = {571--603}, + Title = {Varieties with generically nef tangent bundles}, + Url = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312}, + Volume = 14, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.4171/JEMS/312} +} + +@book {MR2883440, + AUTHOR = {Nicolaescu, Liviu}, + TITLE = {An invitation to {M}orse theory}, + SERIES = {Universitext}, + EDITION = {Second}, + PUBLISHER = {Springer, New York}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}{DOI:10.1007/978-1-4614-1105-5}}, + YEAR = {2011}, + PAGES = {xvi+353}, + ISBN = {978-1-4614-1104-8}, + MRCLASS = {58E05 (37D15 37J15 57R45 57R70 58K05)}, + MRNUMBER = {2883440}, + DOI = {10.1007/978-1-4614-1105-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5}, +} + +@incollection{MR2894633, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Balaji, V. and Kollár, János}, + Booktitle = {Compact moduli spaces and vector bundles}, + Doi = {10.1090/conm/564/11154}, + Mrclass = {14J60 (14C05 14F05 32L05 32Q26)}, + Mrnumber = 2894633, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Pages = {177--184}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Restrictions of stable bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}{DOI:10.1090/conm/564/11154}}, + Url = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154}, + Volume = 564, + Year = 2012, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/conm/564/11154} +} + +@article {MR2912485, + AUTHOR = {Yu, JianMing and Jiang, GuangFeng}, + TITLE = {Reducibility of finite reflection groups}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = {55}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {947--948}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {20F55 (52C35)}, + MRNUMBER = {2912485}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}{DOI:10.1007/s11425-011-4341-3}}, + DOI = {10.1007/s11425-011-4341-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-011-4341-3}, +} + +@article {MR2915479, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Rollenske, Sönke}, + TITLE = {Torsion and cotorsion in the sheaf of {K}ähler differentials on some mild singularities}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 18, + YEAR = 2011, + NUMBER = 6, + PAGES = {1259--1269}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14F10 (13N05 14B05)}, + MRNUMBER = 2915479, + MRREVIEWER = {Wenliang Zhang}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}{DOI:10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1012.5940}{arXiv:1012.5940}}, + DOI = {10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n6.a14}, +} + +@article {MR2918165, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Voisin, Claire}, + TITLE = {Anticanonical divisors and curve classes on {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}{DOI:10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}.}, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1371--1393}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14J45 (14C30 14D07 14J17)}, + MRNUMBER = 2918165, + MRREVIEWER = {Carlo Giovanni Madonna}, + DOI = {10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a13}, +} + +@article {MR2918179, + AUTHOR = {Simpson, Carlos}, + TITLE = {Local systems on proper algebraic {$V$}-manifolds}, + JOURNAL = {Pure Appl. Math. Q.}, + FJOURNAL = {Pure and Applied Mathematics Quarterly}, + VOLUME = 7, + YEAR = 2011, + NUMBER = {4, Special Issue: In memory of Eckart Viehweg}, + PAGES = {1675--1759}, + ISSN = {1558-8599}, + MRCLASS = {14D23 (14A20 14C30 32C18)}, + MRNUMBER = 2918179, + MRREVIEWER = {Jack Hall}, + URL = {https://doi.org/10.4310/PAMQ.2011.v7.n4.a27}, +} + +@incollection{MR2931877, + Address = {Cambridge}, + Author = {Totaro, Burt}, + Booktitle = {Current developments in algebraic geometry}, + Mrclass = {14Jxx (30F35 30F45)}, + Mrnumber = 2931877, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1008.3825}{arXiv:1008.3825}}, + Pages = {405--426}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {Math. Sci. Res. Inst. Publ.}, + Title = {Algebraic surfaces and hyperbolic geometry}, + Volume = 59, + Year = 2012 +} + +@article {MR2944479, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On canonical bundle formulas and subadjunctions}, + JOURNAL = {Michigan Math. J.}, + FJOURNAL = {Michigan Mathematical Journal}, + VOLUME = {61}, + YEAR = {2012}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {255--264}, + ISSN = {0026-2285}, + MRCLASS = {14C20 (14B05)}, + MRNUMBER = {2944479}, +MRREVIEWER = {Cícero Carvalho}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}{DOI:10.1307/mmj/1339011526}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1009.3996}{arXiv:1009.3996}}, + DOI = {10.1307/mmj/1339011526}, + URL = {https://doi.org/10.1307/mmj/1339011526}, +} + +@article{MR2976311, + Author = {Jabbusch, Kelly and Kebekus, Stefan}, + Coden = {AIFUA7}, + Doi = {10.5802/aif.2673}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14D22 (14D07)}, + Mrnumber = 2976311, + Number = 6, + Pages = {2277--2290 (2012)}, + Title = {Positive sheaves of differentials coming from coarse moduli + spaces}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.5802/aif.2673}{DOI:10.5802/aif.2673}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/0904.2445}{arXiv:0904.2445}.}, + Url = {https://doi.org/10.5802/aif.2673}, + Volume = 61, + Year = 2011, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.5802/aif.2673} +} + +@article {MR3010808, + AUTHOR = {Odaka, Yuji}, + TITLE = {The {GIT} stability of polarized varieties via discrepancy}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {177}, + YEAR = {2013}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {645--661}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14C20 (14J17 14L24 32Q26)}, + MRNUMBER = {3010808}, +MRREVIEWER = {Daniel Greb}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.2.6}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/0807.1716}{arXiv:0807.1716}}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.2.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.2.6}, +} + +@article {MR3030002, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Novelli, Carla}, + TITLE = {Mori contractions of maximal length}, + JOURNAL = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Publications of the Research Institute for Mathematical + Sciences}, + VOLUME = 49, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}{DOI:10.4171/PRIMS/103}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1201.4009}{arXiv:1201.4009}.}, + NUMBER = 1, + PAGES = {215--228}, + ISSN = {0034-5318}, + MRCLASS = {14E30 (14D06 14J45)}, + MRNUMBER = 3030002, + MRREVIEWER = {Zhi Jiang}, + DOI = {10.4171/PRIMS/103}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PRIMS/103}, +} + +@article{MR3030068, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Doi = {10.1142/S0129167X12501224}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {32Q26 (14E20 14E30 32J27 32L10)}, + Mrnumber = 3030068, + Mrreviewer = {G. K. Sankaran}, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}{DOI:10.1142/S0129167X12501224}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1106.1300}{arXiv:1106.1300}.}, + Pages = {1250122, 15}, + Title = {Semistability of restricted tangent bundles and a question of {I}. {B}iswas}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224}, + Volume = 24, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X12501224} +} + +@article {MR3033631, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On {F}ano foliations}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {238}, + YEAR = {2013}, + PAGES = {70--118}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}{DOI:10.1016/j.aim.2013.02.003}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1112.4512}{arXiv:1112.4512}}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {37F25 (14M22)}, + MRNUMBER = {3033631}, + DOI = {10.1016/j.aim.2013.02.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.003}, +} + +@article {MR3034294, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {On the birational automorphisms of varieties of general type}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 177, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}{DOI:10.4007/annals.2013.177.3.6}}, + NUMBER = 3, + PAGES = {1077--1111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3034294, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + DOI = {10.4007/annals.2013.177.3.6}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2013.177.3.6}, +} + +@article {MR3044124, + AUTHOR = {Klingler, Bruno}, + TITLE = {Symmetric differentials, {K}ähler groups and ball quotients}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 192, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}{DOI:10.1007/s00222-012-0411-6}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {257--286}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {22E10 (22E45 32M05 32P05 32Q55)}, + MRNUMBER = 3044124, + MRREVIEWER = {Takashi Umeno}, + DOI = {10.1007/s00222-012-0411-6}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-012-0411-6}, +} + +@book {MR3057950, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Singularities of the minimal model program}, + SERIES = {Cambridge Tracts in Mathematics}, + VOLUME = 200, + NOTE = {With a collaboration of Sándor + Kovács. \href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}{DOI:10.1017/CBO9781139547895}}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = 2013, + PAGES = {x+370}, + ISBN = {978-1-107-03534-8}, + MRCLASS = {14E30 (14B05)}, + MRNUMBER = 3057950, + MRREVIEWER = {Tommaso De Fernex}, + DOI = {10.1017/CBO9781139547895}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139547895}, +} + +@article {MR3077660, + AUTHOR = {Lohmann, Daniel}, + TITLE = {Families of canonically polarized manifolds over log {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {2013}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}{DOI:10.1112/S0010437X1200053X}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1019--1040}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (14E30)}, + MRNUMBER = {3077660}, +MRREVIEWER = {Atsushi Moriwaki}, + DOI = {10.1112/S0010437X1200053X}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X1200053X}, +} + +@article{MR3084424, + Author = {Kebekus, Stefan}, + Doi = {10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Fjournal = {Advances in Mathematics}, + Issn = {0001-8708}, + Journal = {Adv. Math.}, + Mrclass = {14J17 (14B05 14F10)}, + Mrnumber = 3084424, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}{DOI:10.1016/j.aim.2013.06.013}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.3255}{arXiv:1210.3255}.}, + Pages = {78--112}, + Title = {Pull-back morphisms for reflexive differential forms}, + Url = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013}, + Volume = 245, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.013} +} + +@article {MR3087348, + AUTHOR = {Sabbah, Claude}, + TITLE = {Théorie de {H}odge et correspondance de {H}itchin-{K}obayashi + sauvages (d'après {T}. {M}ochizuki)}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2011/2012. Exposés 1043--1058}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 352, + YEAR = 2013, + PAGES = {Exp. No. 1050, viii, 205--241}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-371-3}, + MRCLASS = {14C30 (14J60 32C38 53C07)}, + MRNUMBER = 3087348, + MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3088903, + AUTHOR = {Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Lectures on the {S}hafarevich conjecture on uniformization}, + BOOKTITLE = {Complex manifolds, foliations and uniformization}, + SERIES = {Panor. Synthèses}, + VOLUME = {34/35}, + PAGES = {101--148}, + PUBLISHER = {Soc. Math. France, Paris}, + YEAR = 2011, + MRCLASS = {32J25 (14F35 32E05 32Q30)}, + MRNUMBER = 3088903, + MRREVIEWER = {André Oliveira}, +} + +@article {MR3095099, + AUTHOR = {McQuillan, Michael}, + TITLE = {Dérivation relative}, + JOURNAL = {C. R. Math. Acad. Sci. Paris}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris}, + VOLUME = 351, + YEAR = 2013, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}{DOI:10.1016/j.crma.2013.05.003}}, + NUMBER = {13-14}, + PAGES = {523--526}, + ISSN = {1631-073X}, + MRCLASS = {14G40 (32P05 32U40)}, + MRNUMBER = 3095099, + DOI = {10.1016/j.crma.2013.05.003}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.crma.2013.05.003}, +} + +@article {MR3127814, + AUTHOR = {Brunebarbe, Yohan and Klingler, Bruno and Totaro, Burt}, + TITLE = {Symmetric differentials and the fundamental group}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 162, + YEAR = 2013, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}{DOI:10.1215/00127094-2381442}.}, + NUMBER = 14, + PAGES = {2797--2813}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {14F35 (14D07 14F10)}, + MRNUMBER = 3127814, + MRREVIEWER = {Alex Degtyarev}, + DOI = {10.1215/00127094-2381442}, + URL = {https://doi.org/10.1215/00127094-2381442}, +} + +@article {MR3134683, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Guenancia, Henri and Păun, Mihai}, + TITLE = {Metrics with cone singularities along normal crossing divisors + and holomorphic tensor fields}, + JOURNAL = {Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième + Série}, + VOLUME = 46, + YEAR = 2013, + NUMBER = 6, + PAGES = {879--916}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {32Q25 (14E05 53C55)}, + MRNUMBER = 3134683, + MRREVIEWER = {Hans-Joachim Hein}, +} + +@book {MR3156076, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro and Winkelmann, Jörg}, + TITLE = {Nevanlinna theory in several complex variables and {D}iophantine approximation}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {350}, + PUBLISHER = {Springer, Tokyo}, + YEAR = {2014}, + PAGES = {xiv+416}, + ISBN = {978-4-431-54570-5; 978-4-431-54571-2}, + MRCLASS = {32-02 (11J25 11J97 32H30 32Q45)}, + MRNUMBER = {3156076}, +MRREVIEWER = {William A. Cherry}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}{DOI:10.1007/978-4-431-54571-2}}, + DOI = {10.1007/978-4-431-54571-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-4-431-54571-2}, +} + +@article{MR3170714, + Author = {Nemirovski, Stefan}, + Doi = {10.1080/17476933.2011.592579}, + Fjournal = {Complex Variables and Elliptic Equations. An International + Journal}, + Issn = {1747-6933}, + Journal = {Complex Var. Elliptic Equ.}, + Mrclass = {32E40 (32C55 32M05)}, + Mrnumber = 3170714, + Mrreviewer = {Viorel Vâjâitu}, + Number = 11, + Pages = {1517--1525}, + Title = {Levi problem and semistable quotients}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}{DOI:10.1080/17476933.2011.592579}}, + Url = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579}, + Volume = 58, + Year = 2013, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1080/17476933.2011.592579} +} + +@article {MR3224718, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {A{CC} for log canonical thresholds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 180, + YEAR = 2014, + NUMBER = 2, + PAGES = {523--571}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14E05 (14C20 14E30)}, + MRNUMBER = 3224718, + MRREVIEWER = {Alexandr V. Pukhlikov}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}{DOI:10.4007/annals.2014.180.2.3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1208.4150}{arXiv:1208.4150}}, + DOI = {10.4007/annals.2014.180.2.3}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2014.180.2.3}, +} + +@incollection {MR3229352, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties}, + BOOKTITLE = {Automorphisms in birational and affine geometry}, + SERIES = {Springer Proc. Math. Stat.}, + VOLUME = {79}, + PAGES = {185--213}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2014}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}{DOI:10.1007/978-3-319-05681-4$\_$11}}, + MRCLASS = {14E07 (14J50 20E07)}, + MRNUMBER = {3229352}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1007/978-3-319-05681-4_11}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-05681-4_11}, +} + +@article {MR3247804, + AUTHOR = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + TITLE = {An optimal extension theorem for 1-forms and the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Doc. Math.}, + FJOURNAL = {Documenta Mathematica}, + VOLUME = 19, + YEAR = 2014, + PAGES = {815--830}, + ISSN = {1431-0635}, + MRCLASS = {14B05 (32S05)}, + MRNUMBER = 3247804, + MRREVIEWER = {Carles Bivià-Ausina}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1301.7315}{arXiv:1301.7315}}, +} + +@article {MR3272910, + AUTHOR = {Huber, Annette and Jörder, Clemens}, + TITLE = {Differential forms in the h-topology}, + JOURNAL = {Algebr. Geom.}, + FJOURNAL = {Algebraic Geometry}, + VOLUME = 1, + YEAR = 2014, + NUMBER = 4, + PAGES = {449--478}, + ISSN = {2214-2584}, + MRCLASS = {14F10 (14F05 14F40 14J17)}, + MRNUMBER = 3272910, + MRREVIEWER = {Patrick Graf}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}{DOI:10.14231/AG-2014-020}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1305.7361}{arXiv:1305.7361}.}, + DOI = {10.14231/AG-2014-020}, + URL = {https://doi.org/10.14231/AG-2014-020}, +} + +@article {MR3273645, + AUTHOR = {Araujo, Carolina and Druel, Stéphane}, + TITLE = {On codimension 1 del {P}ezzo foliations on varieties with mild + singularities}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 360, + YEAR = 2014, + NUMBER = {3-4}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}{DOI:10.1007/s00208-014-1053-3}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1210.4013}{arXiv:1210.4013}}, + PAGES = {769--798}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14J45 (14C20 14E05 32S65)}, + MRNUMBER = 3273645, + MRREVIEWER = {Angel Granja}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1053-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1053-3}, +} + +@article {MR3278896, + AUTHOR = {Jörder, Clemens}, + TITLE = {A weak version of the {L}ipman-{Z}ariski conjecture}, + JOURNAL = {Math. Z.}, + FJOURNAL = {Mathematische Zeitschrift}, + VOLUME = 278, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}{DOI:10.1007/s00209-014-1337-z}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1311.5141}{arXiv:1311.5141}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {893--899}, + ISSN = {0025-5874}, + MRCLASS = {32C15 (14F10 32C20 32S05)}, + MRNUMBER = 3278896, + MRREVIEWER = {Christian Lehn}, + DOI = {10.1007/s00209-014-1337-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00209-014-1337-z}, +} + +@article {MR3283927, + AUTHOR = {Berman, Robert J. and Guenancia, Henri}, + TITLE = {Kähler-{E}instein metrics on stable varieties and log canonical pairs}, + JOURNAL = {Geom. Funct. Anal.}, + FJOURNAL = {Geometric and Functional Analysis}, + VOLUME = 24, + YEAR = 2014, + NUMBER = 6, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}{DOI:10.1007/s00039-014-0301-8}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1304.2087}{arXiv:1304.2087}}, + PAGES = {1683--1730}, + ISSN = {1016-443X}, + MRCLASS = {53C25 (14C20 32Q20 53C55)}, + MRNUMBER = 3283927, +MRREVIEWER = {V. V. Chueshev}, + DOI = {10.1007/s00039-014-0301-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00039-014-0301-8}, +} + +@article {MR3286535, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Chen, Jungkai Alfred}, + TITLE = {Varieties fibred over abelian varieties with fibres of log general type}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {270}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {206--222}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14E30 (11J95)}, + MRNUMBER = {3286535}, +MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}{DOI:10.1016/j.aim.2014.10.023}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1311.7396}{arXiv:1311.7396}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2014.10.023}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.023}, +} + +@article {MR3292293, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for groups of birational selfmaps}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 150, + YEAR = 2014, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}{DOI:10.1112/S0010437X14007581}. Preprint + \href{https://arxiv.org/abs/1307.1784}{arXiv:math/1307.1784}}, + NUMBER = 12, + PAGES = {2054--2072}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3292293, + MRREVIEWER = {Anne-Sophie Kaloghiros}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007581}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007581}, +} + +@book {MR3307241, + AUTHOR = {Barlet, Daniel and Magnússon, Jón}, + TITLE = {Cycles analytiques complexes. {I}. {T}héorèmes de préparation + des cycles}, + SERIES = {Cours Spécialisés [Specialized Courses]}, + VOLUME = 22, + PUBLISHER = {Société Mathématique de France, Paris}, + YEAR = 2014, + PAGES = 525, + ISBN = {978-2-85629-792-6}, + MRCLASS = {32-02 (32C15 32C18 32C25 32C30)}, + MRNUMBER = 3307241, + MRREVIEWER = {Chia-Chi Tung}, +} + +@article{MR3314517, + Author = {Langer, Adrian}, + Doi = {10.1007/s00222-014-0534-z}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14G17 (14F05 14J60)}, + Mrnumber = 3314517, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}{DOI:10.1007/s00222-014-0534-z}}, + Number = 3, + Pages = {889--920}, + Title = {Bogomolov's inequality for {H}iggs sheaves in positive + characteristic}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z}, + Volume = 199, + Year = 2015, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00222-014-0534-z} +} + +@article {MR3314830, + AUTHOR = {Campana, Fréderic and Claudon, Benoît and Eyssidieux, Philippe}, + TITLE = {Représentations linéaires des groupes kählériens: factorisations et conjecture de {S}hafarevich linéaire}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = 151, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}{DOI:10.1112/S0010437X14007751}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.5016}{arXiv:1302.5016}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {351--376}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {32Q15 (14D07 14E20 14F35 32Q30)}, + MRNUMBER = 3314830, +MRREVIEWER = {André Oliveira}, + DOI = {10.1112/S0010437X14007751}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X14007751}, +} + +@article {MR3319924, + AUTHOR = {Matsushita, Daisuke}, + TITLE = {On base manifolds of {L}agrangian fibrations}, + JOURNAL = {Sci. China Math.}, + FJOURNAL = {Science China. Mathematics}, + VOLUME = 58, + YEAR = 2015, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}{DOI:10.1007/s11425-014-4927-7}.}, + NUMBER = 3, + PAGES = {531--542}, + ISSN = {1674-7283}, + MRCLASS = {14D06 (14E30)}, + MRNUMBER = 3319924, + MRREVIEWER = {Alan Matthew Thompson}, + DOI = {10.1007/s11425-014-4927-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s11425-014-4927-7}, +} + +@book {MR3328860, + AUTHOR = {Brunella, Marco}, + TITLE = {Birational geometry of foliations}, + SERIES = {IMPA Monographs}, + VOLUME = 1, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = 2015, + PAGES = {xiv+130}, + ISBN = {978-3-319-14309-5; 978-3-319-14310-1}, + MRCLASS = {14E05 (32C35 32J25 32S65 37F75)}, + MRNUMBER = 3328860, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}{DOI:10.1007/978-3-319-14310-1}.}, + DOI = {10.1007/978-3-319-14310-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-14310-1}, +} + +@article {MR3329677, + AUTHOR = {Fujino, Osamu and Gongyo, Yoshinori}, + TITLE = {On the moduli b-divisors of lc-trivial fibrations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = 64, + YEAR = 2014, + NOTE = {URL \url{http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {1721--1735}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14J10 (14E30 14N30)}, + MRNUMBER = 3329677, +MRREVIEWER = {Enrica Floris}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2014__64_4_1721_0}, +} + +@book {MR3330490, + AUTHOR = {Cox, David A. and Little, John and O'Shea, Donal}, + TITLE = {Ideals, varieties, and algorithms}, + SERIES = {Undergraduate Texts in Mathematics}, + EDITION = {Fourth}, + NOTE = {An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{DOI:10.1007/978-3-319-16721-3}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + PAGES = {xvi+646}, + ISBN = {978-3-319-16720-6; 978-3-319-16721-3}, + MRCLASS = {13P10 (13-01 14-01 14Qxx 68W30)}, + MRNUMBER = {3330490}, + DOI = {10.1007/978-3-319-16721-3}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}, +} + +@incollection {MR3331401, + AUTHOR = {Yamanoi, Katsutoshi}, + TITLE = {Kobayashi hyperbolicity and higher-dimensional {N}evanlinna theory}, + BOOKTITLE = {Geometry and analysis on manifolds}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {308}, + PAGES = {209--273}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2015}, + MRCLASS = {32Q45 (32H30)}, + MRNUMBER = {3331401}, +MRREVIEWER = {Pei-Chu Hu}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}{DOI:10.1007/978-3-319-11523-8\_9}}, + DOI = {10.1007/978-3-319-11523-8_9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-11523-8_9}, +} + +@article {MR3343876, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {The generalized {L}ipman-{Z}ariski problem}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 362, + YEAR = 2015, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}{DOI:10.1007/s00208-014-1112-9}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.1244}{arXiv:1405.1244}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {241--264}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {14B05 (14F10 32S05 32S25)}, + MRNUMBER = 3343876, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1007/s00208-014-1112-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00208-014-1112-9}, +} + +@incollection {MR3380453, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Deformations of elliptic {C}alabi-{Y}au manifolds}, + BOOKTITLE = {Recent advances in algebraic geometry}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781107416000.015}{DOI:10.1017/CBO9781107416000.015}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1206.5721}{arXiv:1206.5721}}, + SERIES = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + VOLUME = 417, + PAGES = {254--290}, + PUBLISHER = {Cambridge Univ. Press, Cambridge}, + YEAR = 2015, + MRCLASS = {14J32}, + MRNUMBER = 3380453, +} + +@article {MR3483470, + AUTHOR = {Prokhorov, Yuri G. and Shramov, Constantin}, + TITLE = {Jordan property for {C}remona groups}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 138, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}{DOI:10.1353/ajm.2016.0017}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1211.3563}{arXiv:math/1211.3563}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@article {MR3502099, + AUTHOR = {Birkar, Caucher and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Effectivity of {I}itaka fibrations and pluricanonical systems of polarized pairs}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + VOLUME = 123, + YEAR = 2016, + PAGES = {283--331}, + ISSN = {0073-8301}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}{DOI:10.1007/s10240-016-0080-x}}, + MRCLASS = {14E05 (14E30)}, + MRNUMBER = 3502099, + MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1007/s10240-016-0080-x}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-016-0080-x}, +} + +@article {MR3507257, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of log {C}alabi-{Y}au pairs of {F}ano type}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2015, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}{DOI:10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1699--1716}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14E05}, + MRNUMBER = 3507257, + MRREVIEWER = {Lei Zhang}, + DOI = {10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2015.v22.n6.a8}, +} + +@article {MR3520712, + AUTHOR = {Graf, Patrick}, + TITLE = {A {M}ehta-{R}amanathan theorem for linear systems with + basepoints}, + JOURNAL = {Math. Nachr.}, + FJOURNAL = {Mathematische Nachrichten}, + VOLUME = 289, + YEAR = 2016, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1002/mana.201500180}{DOI:10.1002/mana.201500180}. Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1501.04210}{arXiv:1501.04210}}, + NUMBER = 10, + PAGES = {1208--1218}, + ISSN = {0025-584X}, + MRCLASS = {14C20 (14H60 14J60)}, + MRNUMBER = 3520712, + DOI = {10.1002/mana.201500180}, + URL = {https://doi.org/10.1002/mana.201500180}, +} + +@article {MR3556423, + AUTHOR = {Ambro, Florin}, + TITLE = {Variation of log canonical thresholds in linear systems}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not. IMRN}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices. IMRN}, + YEAR = {2016}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}{DOI:10.1093/imrn/rnv284}}, + NUMBER = {14}, + PAGES = {4418--4448}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {14E30 (14J45 14M25)}, + MRNUMBER = {3556423}, +MRREVIEWER = {Alex Massarenti}, + DOI = {10.1093/imrn/rnv284}, + URL = {https://doi.org/10.1093/imrn/rnv284}, +} + +@article {MR3580792, + AUTHOR = {Huber, Annette}, + TITLE = {Differential forms in algebraic geometry---a new perspective in the singular case}, + JOURNAL = {Port. Math.}, + FJOURNAL = {Portugaliae Mathematica. A Journal of the Portuguese + Mathematical Society}, + VOLUME = 73, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4171/PM/1990}{DOI:10.4171/PM/1990}}, + NUMBER = 4, + PAGES = {337--367}, + ISSN = {0032-5155}, + MRCLASS = {14F10 (14F20 14J17 58A10)}, + MRNUMBER = 3580792, + DOI = {10.4171/PM/1990}, + URL = {https://doi.org/10.4171/PM/1990}, +} + +@article {MR3604863, + AUTHOR = {Tian, Zhiyu and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Finiteness of fundamental groups}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}{DOI:10.1112/S0010437X16007867}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1508.04536}{arXiv:1508.04536}.}, + VOLUME = {153}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {257--273}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14B05 (14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {3604863}, +MRREVIEWER = {Ilya Karzhemanov}, + DOI = {10.1112/S0010437X16007867}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X16007867}, +} + +@incollection {MR3666021, + AUTHOR = {Claudon, Benoît}, + TITLE = {Positivité du cotangent logarithmique et conjecture de {S}hafarevich-{V}iehweg}, + NOTE = {Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016. Exposés 1104--1119. Available on the internet at \href{https://smf.emath.fr/publications/expose-1105-positivite-du-cotangent-logarithmique-et-conjecture-de-shafarevich-viehweg}{this url}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1603.09568}{arXiv:1603.09568}}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = {390}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Exp. No. 1105, 27--63}, + ISSN = {0303-1179}, + ISBN = {978-2-85629-855-8}, + MRCLASS = {14D22 (32J25 32S65)}, + MRNUMBER = {3666021}, +MRREVIEWER = {Ahmed Lesfari}, +} + +@incollection {MR3675465, + AUTHOR = {Wentworth, Richard A.}, + TITLE = {Higgs bundles and local systems on {R}iemann surfaces}, + BOOKTITLE = {Geometry and quantization of moduli spaces}, + SERIES = {Adv. Courses Math. CRM Barcelona}, + PAGES = {165--219}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = 2016, + MRCLASS = {14H60 (32L10)}, + MRNUMBER = 3675465, +} + +@article {MR3715691, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Examples of {K}-unstable {F}ano manifolds with the {P}icard number 1}, + JOURNAL = {Proc. Edinb. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Series II}, + VOLUME = {60}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {881--891}, + ISSN = {0013-0915}, + MRCLASS = {14J45 (14L24)}, + MRNUMBER = {3715691}, +MRREVIEWER = {Jesus Martinez-Garcia}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}{DOI:10.1017/S0013091516000432}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.04290}{arXiv:1508.04290}}, + DOI = {10.1017/S0013091516000432}, + URL = {https://doi.org/10.1017/S0013091516000432}, +} + +@article {MR3731324, + AUTHOR = {Li, Chi}, + TITLE = {Yau-{T}ian-{D}onaldson correspondence for {K}-semistable {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {733}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {55--85}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {32Q25 (53C55)}, + MRNUMBER = {3731324}, +MRREVIEWER = {Ruadha\'{\i} Dervan}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}{DOI:10.1515/crelle-2014-0156}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1302.6681}{arXiv:math/1302.6681}}, + DOI = {10.1515/crelle-2014-0156}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0156}, +} + +@article {MR3782691, + AUTHOR = {Favale, Filippo F.}, + TITLE = {Calabi-{Y}au quotients with terminal singularities}, + JOURNAL = {Boll. Unione Mat. Ital.}, + FJOURNAL = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana}, + VOLUME = {11}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}{DOI:10.1007/s40574-017-0128-y}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1306.3555}{arXiv:1306.3555}.}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {55--67}, + ISSN = {1972-6724}, + MRCLASS = {14J32 (14J17 14J50)}, + MRNUMBER = {3782691}, +MRREVIEWER = {Nam-Hoon Lee}, + DOI = {10.1007/s40574-017-0128-y}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s40574-017-0128-y}, +} + +@article {MR3783213, + AUTHOR = {Fujita, Kento}, + TITLE = {Optimal bounds for the volumes of {K}ähler-{E}instein {F}ano manifolds}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = {140}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}{DOI:10.1353/ajm.2018.0009}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {391--414}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {32Q25 (14J45 53C25 53C55)}, + MRNUMBER = {3783213}, +MRREVIEWER = {Cristiano Spotti}, + DOI = {10.1353/ajm.2018.0009}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0009}, +} + +@article {MR3797604, + AUTHOR = {Liu, Yuchen}, + TITLE = {The volume of singular {K}ähler-{E}instein {F}ano varieties}, + JOURNAL = {Compos. Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {154}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}{DOI:10.1112/S0010437X18007042}}, + NUMBER = {6}, + PAGES = {1131--1158}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J45 (14B05 14L24 32Q15)}, + MRNUMBER = {3797604}, +MRREVIEWER = {Giulio Codogni}, + DOI = {10.1112/S0010437X18007042}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0010437X18007042}, +} + +@incollection {MR3821147, + AUTHOR = {Cantat, Serge}, + TITLE = {The {C}remona group}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {101--142}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E07 (20E32 32M05 37F99)}, + MRNUMBER = {3821147}, +} + +@incollection {MR3821154, + AUTHOR = {Hacon, Christopher D. and McKernan, James and Xu, Chenyang}, + TITLE = {Boundedness of varieties of log general type}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {309--348}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14E30}, + MRNUMBER = {3821154}, +} + +@incollection {MR3821162, + AUTHOR = {Popa, Mihnea}, + TITLE = {Positivity for {H}odge modules and geometric applications}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry: {S}alt {L}ake {C}ity 2015}, + SERIES = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + VOLUME = {97}, + PAGES = {555--584}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2018}, + MRCLASS = {14F10 (14C30 14F17 14F18 32S35)}, + MRNUMBER = {3821162}, +MRREVIEWER = {Alberto Casta\~{n}o Dom\'{\i}nguez}, + NOTE = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1605.08093}{arXiv:1605.08093}}, +} + +@article {MR3830471, + AUTHOR = {Popov, Vladimir L.}, + TITLE = {The {J}ordan property for {L}ie groups and automorphism groups of complex spaces}, + JOURNAL = {Math. Notes}, + FJOURNAL = {Mathematical Notes}, + VOLUME = {103}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}{DOI:10.1134/S0001434618050139}}, + NUMBER = {5-6}, + PAGES = {811--819}, + ISSN = {0001-4346}, + MRCLASS = {20G15}, + MRNUMBER = {3830471}, + DOI = {10.1134/S0001434618050139}, + URL = {https://doi.org/10.1134/S0001434618050139}, +} + +@article {MR3845765, + AUTHOR = {Sieder, Philip}, + TITLE = {Varieties with ample tangent sheaves}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = {157}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {257--261}, + ISSN = {0025-2611}, + MRCLASS = {14M20 (14E05 14E08)}, + MRNUMBER = {3845765}, +MRREVIEWER = {Tatiana M. Bandman}, + DOI = {10.1007/s00229-017-0979-7}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00229-017-0979-7}, +} + +@book {MR3887555, + AUTHOR = {Bosch, Siegfried}, + TITLE = {Algebra---from the viewpoint of {G}alois theory}, + SERIES = {Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]}, + EDITION = {German}, + PUBLISHER = {Birkhäuser/Springer, Cham}, + YEAR = {2018}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}{DOI:10.1007/978-3-319-95177-5}}, + PAGES = {viii+367}, + ISBN = {978-3-319-95176-8; 978-3-319-95177-5}, + MRCLASS = {12-01 (12Fxx 13-01 16-01 20-01)}, + MRNUMBER = {3887555}, + DOI = {10.1007/978-3-319-95177-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-95177-5}, +} + +@article {MR3899534, + AUTHOR = {Barlet, Daniel}, + TITLE = {The sheaf $α^•_X$}, + JOURNAL = {J. Singul.}, + FJOURNAL = {Journal of Singularities}, + VOLUME = {18}, + YEAR = {2018}, + PAGES = {50--83}, + MRCLASS = {32C35}, + MRNUMBER = {3899534}, +MRREVIEWER = {Andrea D'Agnolo}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5427/jsing.2018.18e}{DOI:10.5427/jsing.2018.18e}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1707.07962}{arXiv:1707.07962}} +} + +@article {MR3902334, + AUTHOR = {Langer, Adrian}, + TITLE = {Birational geometry of compactifications of {D}rinfeld half-spaces over a finite field}, + JOURNAL = {Adv. Math.}, + FJOURNAL = {Advances in Mathematics}, + VOLUME = {345}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {861--908}, + ISSN = {0001-8708}, + MRCLASS = {14G15 (14E05 14J26)}, + MRNUMBER = {3902334}, +MRREVIEWER = {Christian Liedtke}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}{DOI:10.1016/j.aim.2019.01.031}}, + DOI = {10.1016/j.aim.2019.01.031}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.031}, +} + +@article {MR393054, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi}, + TITLE = {On a generalization of complete intersections}, + JOURNAL = {J. Math. Kyoto Univ.}, + FJOURNAL = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + VOLUME = {15}, + YEAR = {1975}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {619--646}, + ISSN = {0023-608X}, + MRCLASS = {14M10}, + MRNUMBER = {393054}, +MRREVIEWER = {Manfred Herrmann}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}{DOI:10.1215/kjm/1250523007}}, + DOI = {10.1215/kjm/1250523007}, + URL = {https://doi.org/10.1215/kjm/1250523007}, +} + +@article {MR3949026, + AUTHOR = {Campana, Frédéric and Păun, Mihai}, + TITLE = {Foliations with positive slopes and birational stability of orbifold cotangent bundles}, + JOURNAL = {Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci.}, + FJOURNAL = {Publications Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}{DOI:10.1007/s10240-019-00105-w}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1508.02456}{arXiv:1508.02456}.}, + VOLUME = {129}, + YEAR = {2019}, + PAGES = {1--49}, + ISSN = {0073-8301}, + MRCLASS = {14E30 (32S65)}, + MRNUMBER = {3949026}, + DOI = {10.1007/s10240-019-00105-w}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10240-019-00105-w}, +} + +@article {MR3953506, + AUTHOR = {Höring, Andreas and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Algebraic integrability of foliations with numerically trivial + canonical bundle}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {216}, + YEAR = {2019}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}{DOI:10.1007/s00222-018-00853-2}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1710.06183}{arXiv:1710.06183}.}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {395--419}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14J32 (14E30 37F75)}, + MRNUMBER = {3953506}, + DOI = {10.1007/s00222-018-00853-2}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-018-00853-2}, +} + +@article {MR3959097, + AUTHOR = {Kollár, János and Laza, Radu and Saccà, Giulia and Voisin, Claire}, + TITLE = {Remarks on degenerations of hyper-{K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {7}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3228}{DOI:10.5802/aif.3228}}, + PAGES = {2837--2882}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D05 (14C34 14E30)}, + MRNUMBER = {3959097}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2837_0}, +} + +@article {MR3959100, + AUTHOR = {Amerik, Ekaterina and Campana, Frédéric}, + TITLE = {Specialness and isotriviality for regular algebraic foliations}, + JOURNAL = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + FJOURNAL = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + VOLUME = {68}, + YEAR = {2018}, + Note = {\href{https://doi.org/10.5802/aif.3231}{DOI:10.5802/aif.3231}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1709.07420}{arXiv:1709.07420}}, + NUMBER = {7}, + PAGES = {2923--2950}, + ISSN = {0373-0956}, + MRCLASS = {14D06 (14C05 14E22 14E30 14J32)}, + MRNUMBER = {3959100}, + URL = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2018__68_7_2923_0}, +} + +@article {MR3988092, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Guenancia, Henri and Kebekus, Stefan}, + TITLE = {Klt varieties with trivial canonical class: holonomy, differential forms, and fundamental groups}, + JOURNAL = {Geom. Topol.}, + FJOURNAL = {Geometry \& Topology}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}{DOI:10.2140/gt.2019.23.2051}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1704.01408}{arXiv:1704.01408}}, + PAGES = {2051--2124}, + ISSN = {1465-3060}, + MRCLASS = {14E30 (14J32 32J27)}, + MRNUMBER = {3988092}, + DOI = {10.2140/gt.2019.23.2051}, + URL = {https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.2051}, +} + +@incollection {MR3996488, + AUTHOR = {Li, Chi and Tian, Gang}, + TITLE = {Orbifold regularity of weak {K}ähler-{E}instein metrics}, + BOOKTITLE = {Advances in complex geometry}, + SERIES = {Contemp. Math.}, + VOLUME = {735}, + PAGES = {169--178}, + PUBLISHER = {Amer. Math. Soc., Providence, RI}, + YEAR = {2019}, + MRCLASS = {53C55 (14E15 32W20 53C25)}, + MRNUMBER = {3996488}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}{DOI:10.1090/conm/735/14825}}, + DOI = {10.1090/conm/735/14825}, + URL = {https://doi.org/10.1090/conm/735/14825}, +} + +@article {MR4093975, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Wong, Michael Lennox}, + TITLE = {Canonical complex extensions of {K}\"{a}hler manifolds}, + JOURNAL = {J. Lond. Math. Soc. (2)}, + FJOURNAL = {Journal of the London Mathematical Society. Second Series}, + VOLUME = {101}, + YEAR = {2020}, + note = {\href{https://doi.org/10.1112/jlms.12287}{DOI: 10.1112/jlms.12287}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/}{arXiv:1807.01223}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {786--827}, + ISSN = {0024-6107}, + MRCLASS = {32Q15 (32E10 32J27 32M10 32Q10 32V40 53C55)}, + MRNUMBER = {4093975}, +MRREVIEWER = {Shan Tai Chan}, + DOI = {10.1112/jlms.12287}, + URL = {https://doi.org/10.1112/jlms.12287}, +} + +@article {MR4157111, + AUTHOR = {Loughran, Daniel and Skorobogatov, Alexei N. and Smeets, Arne}, + TITLE = {Pseudo-split fibers and arithmetic surjectivity}, + JOURNAL = {Ann. Sci. éc. Norm. Supér. (4)}, + FJOURNAL = {Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure. Quatri\`eme Série}, + VOLUME = {53}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.24033/asens.243}{DOI:10.24033/asens.243}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1705.10740}{arXiv:1705.10740}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {1037--1070}, + ISSN = {0012-9593}, + MRCLASS = {14G05 (11G35)}, + MRNUMBER = {4157111}, + DOI = {10.24033/asens.243}, + URL = {https://doi.org/10.24033/asens.243}, +} + +@book {MR4167468, + AUTHOR = {Cossart, Vincent and Jannsen, Uwe and Saito, Shuji}, + TITLE = {Desingularization: invariants and strategy---application to + dimension 2}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = {2270}, + NOTE = {With contributions by Bernd Schober. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}{DOI:10.1007/978-3-030-52640-5}}, + PUBLISHER = {Springer, Cham}, + YEAR = {[2020] \copyright 2020}, + PAGES = {viii+256}, + ISBN = {978-3-030-52640-5; 978-3-030-52639-9}, + MRCLASS = {14E15 (14-02)}, + MRNUMBER = {4167468}, + DOI = {10.1007/978-3-030-52640-5}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-030-52640-5}, +} + +@article {MR4216591, + AUTHOR = {Gvirtz, Damián}, + TITLE = {Arithmetic surjectivity for zero-cycles}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2020}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}{DOI:10.4310/MRL.2020.v27.n5.a5}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1901.07117}{arXiv:1901.07117}}, + NUMBER = {5}, + PAGES = {1367--1392}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C25 (14A21 14G05)}, + MRNUMBER = {4216591}, +} + +@article {MR4263792, + AUTHOR = {Greb, Daniel and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas}, + TITLE = {Projectively flat klt varieties}, + JOURNAL = {J. \'{E}c. polytech. Math.}, + FJOURNAL = {Journal de l'\'{E}cole polytechnique. Math\'{e}matiques}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + PAGES = {1005--1036}, + ISSN = {2429-7100}, + MRCLASS = {14E30 (14E20 32Q26 32Q30 53B10)}, + MRNUMBER = {4263792}, + note = {\href{https://doi.org/10.5802/jep.164}{DOI:10.5802/jep.164}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2010.06878}{arXiv:2010.06878}}, + DOI = {10.5802/jep.164}, + URL = {https://doi.org/10.5802/jep.164}, +} + +@article {MR429884, + AUTHOR = {Iitaka, Shigeru}, + TITLE = {Logarithmic forms of algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.}, + FJOURNAL = {Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics}, + VOLUME = {23}, + YEAR = {1976}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {525--544}, + ISSN = {0040-8980}, + MRCLASS = {14C30 (14E05 32J25)}, + MRNUMBER = {429884}, +MRREVIEWER = {Miles Reid}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.15083/00039725}{DOI:10.15083/00039725}} +} + +@article {MR4307210, + AUTHOR = {Xu, Chenyang}, + TITLE = {K-stability of {F}ano varieties: an algebro-geometric approach}, + JOURNAL = {EMS Surv. Math. Sci.}, + FJOURNAL = {EMS Surveys in Mathematical Sciences}, + VOLUME = {8}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.4171/emss/51}{DOI:10.4171/emss/51}. Preprint \href{https://arxiv.org/pdf/2011.10477.pdf}{arXiv:2011.10477}}, + NUMBER = {1-2}, + PAGES = {265--354}, + ISSN = {2308-2151}, + MRCLASS = {14D20 (14E30 14J10 14J45)}, + MRNUMBER = {4307210}, + DOI = {10.4171/emss/51}, + URL = {https://doi.org/10.4171/emss/51}, +} + +@article {MR4337973, + AUTHOR = {Braun, Lukas}, + TITLE = {The local fundamental group of a {K}awamata log terminal singularity is finite}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {226}, + YEAR = {2021}, + note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}{DOI:10.1007/s00222-021-01062-0}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2004.00522}{arXiv:2004.00522}.}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {845--896}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F35 (14B05 14J45 32S50)}, + MRNUMBER = {4337973}, + DOI = {10.1007/s00222-021-01062-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-021-01062-0}, +} + +@article {MR463151, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {I}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 41, + YEAR = 1977, + NUMBER = 3, + PAGES = {516--562, 717}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 463151, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article{MR480350, + Author = {Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMAT}, + Doi = {10.1002/cpa.3160310304}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 35J60)}, + Mrnumber = {480350 (81d:53045)}, + Mrreviewer = {Robert E. Greene}, + Number = 3, + Pages = {339--411}, + Title = {On the {R}icci curvature of a compact {K}ähler manifold and the complex {M}onge-{A}mpère equation. {I}}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}{DOI:10.1002/cpa.3160310304}.}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304}, + Volume = 31, + Year = 1978, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304} +} + +@article {MR503430, + AUTHOR = {Iskovskih, Vasily A.}, + TITLE = {Fano threefolds. {II}}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 42, + YEAR = 1978, + NUMBER = 3, + PAGES = {506--549}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J10 (14J30 14M20 14N05)}, + MRNUMBER = 503430, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, +} + +@article {MR527834, + AUTHOR = {Mumford, David}, + TITLE = {An algebraic surface with {$K$}\ ample, {$(K^{2})=9$}, {$p_{g}=q=0$}}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 101, + YEAR = 1979, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/2373947}{DOI:10.2307/2373947}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {233--244}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J25}, + MRNUMBER = 527834, + MRREVIEWER = {Miles Reid}, + DOI = {10.2307/2373947}, + URL = {https://doi.org/10.2307/2373947}, +} + +@article {MR534602, + AUTHOR = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + TITLE = {Smoothness of a general anticanonical divisor on a {F}ano + variety}, + JOURNAL = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + FJOURNAL = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + VOLUME = 43, + YEAR = 1979, + NUMBER = 2, + PAGES = {430--441}, + ISSN = {0373-2436}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = 534602, + MRREVIEWER = {Werner Kleinert}, +} + +@article {MR554521, + AUTHOR = {Fujita, Takao}, + TITLE = {On the hyperplane section principle of {L}efschetz}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {32}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {153--169}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {14D20 (32J25)}, + MRNUMBER = {554521}, +MRREVIEWER = {Andrew J. Sommese}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}{DOI:10.2969/jmsj/03210153}}, + DOI = {10.2969/jmsj/03210153}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03210153}, +} + +@article {MR562866, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {On the cohomology of {${\bf Q}$}-divisors}, + JOURNAL = {Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.}, + FJOURNAL = {Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences}, + VOLUME = {56}, + YEAR = {1980}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.3792/pjaa.56.34}{DOI:10.3792/pjaa.56.34}}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {34--35}, + ISSN = {0386-2194}, + MRCLASS = {14C20}, + MRNUMBER = {562866}, +MRREVIEWER = {M. Kh. Gizatullin}, + URL = {http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195517033}, +} + +@article {MR567422, + AUTHOR = {Kobayashi, Shoshichi}, + TITLE = {The first {C}hern class and holomorphic symmetric tensor + fields}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = 32, + YEAR = 1980, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}{DOI:10.2969/jmsj/03220325}.}, + NUMBER = 2, + PAGES = {325--329}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {53C55 (32L20)}, + MRNUMBER = 567422, + MRREVIEWER = {A. L. Vitter, III}, + DOI = {10.2969/jmsj/03220325}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03220325}, +} + + +@article {MR577360, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Compact {K}ähler manifolds of positive bisectional curvature}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 59, + YEAR = 1980, + NUMBER = 2, + PAGES = {189--204}, + ISSN = {0020-9910}, + CODEN = {INVMBH}, + MRCLASS = {58E20 (53C55)}, + MRNUMBER = 577360, + MRREVIEWER = {John C. Wood}, + DOI = {10.1007/BF01390043}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390043}, +} + +@book {MR580152, + AUTHOR = {Grauert, Hans and Remmert, Reinhold}, + TITLE = {Theory of {S}tein spaces}, + SERIES = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + VOLUME = {236}, + NOTE = {Translated from the German by Alan Huckleberry. \href{https://10.1007/978-1-4757-4357-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-4357-9}}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = {1979}, + PAGES = {xxi+249}, + ISBN = {3-540-90388-7}, + MRCLASS = {32-01}, + MRNUMBER = {580152}, +} + +@article{MR582515, + Author = {Greuel, Gert-Martin}, + Coden = {MAANA3}, + Doi = {10.1007/BF01364456}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32B30 (14B07)}, + Mrnumber = {582515 (82e:32009)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Number = 2, + Pages = {157--173}, + Title = {Dualität in der lokalen {K}ohomologie isolierter + {S}ingularitäten}, + Url = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Volume = 250, + Year = 1980, + Bdsk-Url-1 = + {https://doi.org.offcampus.lib.washington.edu/10.1007/BF01364456}, + Bdsk-Url-2 = {https://doi.org/10.1007/BF01364456} +} + + +@article {MR584075, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = {112}, + YEAR = {1980}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {73--111}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53C55 (32H99 58E20)}, + MRNUMBER = {584075}, +MRREVIEWER = {M. Kalka}, + DOI = {10.2307/1971321}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1971321}, +} + +@article{MR597077, + Author = {Hartshorne, Robin}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05 (14D22)}, + Mrnumber = {597077 (82b:14011)}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 2, + Pages = {121--176}, + Title = {Stable reflexive sheaves}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01467074}{DOI:10.1007/BF01467074}}, + Volume = 254, + Year = 1980 +} + +@article {MR622451, + AUTHOR = {Kawamata, Yujiro}, + TITLE = {Characterization of abelian varieties}, + JOURNAL = {Compositio Math.}, + FJOURNAL = {Compositio Mathematica}, + VOLUME = {43}, + YEAR = {1981}, + NUMBER = {2}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}{numdam.CM-1981-43-2-253-0}}, + PAGES = {253--276}, + ISSN = {0010-437X}, + MRCLASS = {14J10 (32J15)}, + MRNUMBER = {622451}, +MRREVIEWER = {Daniel Comenetz}, + URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_2_253_0}, +} + +@article{MR635391, + Author = {Kobayashi, Shoshichi}, + Coden = {JDMVA7}, + Fjournal = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung}, + Issn = {0012-0456}, + Journal = {Jahresber. Deutsch. Math.-Verein.}, + Mrclass = {32C10 (53C55)}, + Mrnumber = {635391 (82m:32008)}, + Mrreviewer = {Marcus Wright}, + Number = 4, + Pages = {147--158}, + Title = {Recent results in complex differential geometry}, + Volume = 83, + Year = 1981 +} + +@article {MR641815, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart}, + TITLE = {Die {A}dditivität der {K}odaira {D}imension für projektive {F}aserräume über {V}arietäten des allgemeinen {T}yps}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's Journal]}, + VOLUME = {330}, + YEAR = {1982}, + PAGES = {132--142}, + ISSN = {0075-4102}, + MRCLASS = {14D05 (14F05 14J10)}, + MRNUMBER = {641815}, +MRREVIEWER = {Takao Fujita}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}{DOI:10.1515/crll.1982.330.132}}, + DOI = {10.1515/crll.1982.330.132}, + URL = {https://doi.org/10.1515/crll.1982.330.132}, +} + +@article {MR641971, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {Classification of {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + JOURNAL = {Manuscripta Math.}, + FJOURNAL = {Manuscripta Mathematica}, + VOLUME = 36, + YEAR = {1981/82}, + NUMBER = 2, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01170131}{DOI:10.1007/BF01170131}}, + PAGES = {147--162}, + ISSN = {0025-2611}, + CODEN = {MSMHB2}, + MRCLASS = {14J30 (14J10)}, + MRNUMBER = 641971, + MRREVIEWER = {Mary Schaps}, + DOI = {10.1007/BF01170131}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01170131}, +} + +@article {MR670921, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Faisceaux amples sur les espaces analytiques}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 274, + YEAR = 1982, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1999498}{DOI:10.2307/1999498}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {89--100}, + ISSN = {0002-9947}, + MRCLASS = {32L10 (32C35 32J20)}, + MRNUMBER = 670921, + MRREVIEWER = {M. Schneider}, + DOI = {10.2307/1999498}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1999498}, +} + +@book {MR673560, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Tomassini, Giuseppe}, + TITLE = {Modifications analytiques}, + SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, + VOLUME = 943, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York}, + YEAR = 1982, + PAGES = {iv+120}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0095882}{DOI:10.1007/BFb0095882}}, + ISBN = {3-540-11570-6}, + MRCLASS = {32C45 (14E15)}, + MRNUMBER = {673560 (84g:32022)}, + MRREVIEWER = {H. Kerner}, +} + +@book {MR676809, + AUTHOR = {Friedlander, Eric M.}, + TITLE = {Étale homotopy of simplicial schemes}, + SERIES = {Annals of Mathematics Studies}, + VOLUME = 104, + PUBLISHER = {Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of + Tokyo Press, Tokyo}, + YEAR = 1982, + PAGES = {vii+190}, + ISBN = {0-691-08288-X; 0-691-08317-7}, + MRCLASS = {55P99 (14F35 55-02)}, + MRNUMBER = 676809, + MRREVIEWER = {V. P. Snaith}, +} + +@article{MR707162, + Author = {Friedman, Robert}, + Coden = {ANMAAH}, + Doi = {10.2307/2006955}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32G11 (14D20 14J28 32G13)}, + Mrnumber = {707162 (85g:32029)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {75--114}, + Title = {Global smoothings of varieties with normal crossings}, + Url = {https://doi.org/10.2307/2006955}, + Volume = 118, + Year = 1983, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/2006955} +} + +@incollection {MR715648, + AUTHOR = {Mori, Shigefumi and Mukai, Shigeru}, + TITLE = {On {F}ano {$3$}-folds with {$B_{2}\geq 2$}}, + BOOKTITLE = {Algebraic varieties and analytic varieties ({T}okyo, 1981)}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = {1}, + PAGES = {101--129}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {14J30}, + MRNUMBER = {715648}, +MRREVIEWER = {I. Dolgachev}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}{DOI:10.2969/aspm/00110101}}, + DOI = {10.2969/aspm/00110101}, + URL = {https://doi.org/10.2969/aspm/00110101}, +} + +@incollection{MR717614, + Author = {Mumford, David}, + Booktitle = {Arithmetic and geometry, {V}ol. {II}}, + Mrclass = {14H10 (14C15)}, + Mrnumber = {717614 (85j:14046)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-9286-7_12}{DOI: + 10.1007/987-1-4757-9286-7\-12}}, + Pages = {271--328}, + Publisher = {Birkhäuser Boston, Boston, MA}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves}, + Volume = 36, + Year = 1983 +} + +@article {MR723219, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 74, + YEAR = 1983, + NUMBER = 2, + PAGES = {293--303}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {32J25 (14J15)}, + MRNUMBER = 723219, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1007/BF01394318}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01394318}, +} + +@incollection {MR728609, + AUTHOR = {Fujiki, Akira}, + TITLE = {On primitively symplectic compact {K}\"{a}hler {$V$}-manifolds of + dimension four}, + BOOKTITLE = {Classification of algebraic and analytic manifolds ({K}atata, + 1982)}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {39}, + PAGES = {71--250}, + PUBLISHER = {Birkh\"{a}user Boston, Boston, MA}, + YEAR = {1983}, + MRCLASS = {32G05 (32J99)}, + MRNUMBER = {728609}, +MRREVIEWER = {Daniel Barlet}, +} + +@article {MR765916, + AUTHOR = {Andreatta, Marco and Silva, Alessandro}, + TITLE = {On weakly rational singularities in complex analytic geometry}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = 136, + YEAR = 1984, + PAGES = {65--76}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32C40 (14B05 32B30)}, + MRNUMBER = 765916, + MRREVIEWER = {Bernd Herzog}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773377}{DOI:10.1007/BF01773377}.}, + DOI = {10.1007/BF01773377}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773377}, +} + +@inproceedings{MR772058, + Author = {Gillet, Henri}, + Booktitle = {Proceedings of the {L}uminy conference on algebraic + {$K$}-theory ({L}uminy, 1983)}, + Coden = {JPAAA2}, + Doi = {10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {14C35 (14C17 18F25 19E20)}, + Mrnumber = {772058 (86b:14006)}, + Mrreviewer = {Daniel R. Grayson}, + Number = {2-3}, + Pages = {193--240}, + Title = {Intersection theory on algebraic stacks and {$Q$}-varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7}, + Volume = 34, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/0022-4049(84)90036-7} +} + +@article {MR780664, + AUTHOR = {Noguchi, Junjiro}, + TITLE = {On the value distribution of meromorphic mappings of covering spaces over {${\bf C}^m$} into algebraic varieties}, + JOURNAL = {J. Math. Soc. Japan}, + FJOURNAL = {Journal of the Mathematical Society of Japan}, + VOLUME = {37}, + YEAR = {1985}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}{DOI:10.2969/jmsj/03720295}}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {295--313}, + ISSN = {0025-5645}, + MRCLASS = {32H30}, + MRNUMBER = {780664}, +MRREVIEWER = {Alexander A. Pankov}, + DOI = {10.2969/jmsj/03720295}, + URL = {https://doi.org/10.2969/jmsj/03720295}, +} + +@book {MR781344, + AUTHOR = {Bröcker, Theodor and tom Dieck, Tammo}, + TITLE = {Representations of compact {L}ie groups}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + VOLUME = 98, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York}, + YEAR = 1985, + PAGES = {x+313}, + ISBN = {0-387-13678-9}, + MRCLASS = {22E45 (57-01)}, + MRNUMBER = 781344, + MRREVIEWER = {R. Schultz}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}{DOI:10.1007/978-3-662-12918-0}.}, + DOI = {10.1007/978-3-662-12918-0}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12918-0}, +} + +@article{MR782236, + Author = {Kawamata, Yujiro}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01388524}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14C20 (14J10)}, + Mrnumber = {782236 (87h:14005)}, + Mrreviewer = {Rick Miranda}, + Number = 3, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01388524}{DOI:10.1007/BF01388524}}, + Pages = {567--588}, + Title = {Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01388524}, + Volume = 79, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01388524} +} + +@book{MR782881, + Address = {Nancy}, + Author = {Huckleberry, Alan and Oeljeklaus, Eberhard}, + Isbn = {2-903594-07-4}, + Mrclass = {32M10}, + Mrnumber = {782881 (86g:32050)}, + Mrreviewer = {D. N. Akhiezer}, + Pages = {iv+178+xiv}, + Publisher = {Université de Nancy Institut Élie Cartan}, + Series = {Institut Élie Cartan}, + Title = {Classification theorems for almost homogeneous spaces}, + Volume = 9, + Year = 1984 +} + +@article {MR791292, + AUTHOR = {Levine, Marc}, + TITLE = {Pluri-canonical divisors on {K}ähler manifolds. {II}}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 52, + YEAR = 1985, + NUMBER = 1, + PAGES = {61--65}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32J25}, + MRNUMBER = 791292, + MRREVIEWER = {D. Lieberman}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-85-05205-6}, +} + +@article{MR818915, + Author = {Lubotzky, Alexander and Magid, Andy R.}, + Coden = {MAMCAU}, + Doi = {10.1090/memo/0336}, + Fjournal = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + Issn = {0065-9266}, + Journal = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {20C15 (14D20)}, + Mrnumber = {818915 (87c:20021)}, + Mrreviewer = {Avner Ash}, + Number = 336, + Pages = {xi+117}, + Title = {Varieties of representations of finitely generated groups}, + Url = {https://doi.org/10.1090/memo/0336}, + Volume = 58, + Year = 1985, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/memo/0336} +} + +@article{MR82, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {MAANA3}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {83f:14013}, + Mrreviewer = {Klaus Hulek}, + Number = 3, + Pages = {213--224}, + Title = {Semistable sheaves on projective varieties and their + restriction to curves}, + Volume = 258, + Year = {1981/82} +} + +@incollection {MR825744, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo and Silva, Alessandro}, + TITLE = {Numerically effective bundles on {M}oi\v{s}ezon and strongly pseudoconvex manifolds}, + BOOKTITLE = {Seminar on deformations (\Lódź/{W}arsaw, 1982/84)}, + SERIES = {Lecture Notes in Math.}, + VOLUME = {1165}, + PAGES = {1--13}, + PUBLISHER = {Springer, Berlin}, + YEAR = {1985}, + MRCLASS = {32L20}, + MRNUMBER = {825744}, +MRREVIEWER = {Thomas Peternell}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BFb0076142}{DOI:10.1007/BFb0076142}}, + DOI = {10.1007/BFb0076142}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BFb0076142}, +} + +@article {MR83045, + AUTHOR = {Stein, Karl}, + TITLE = {Analytische {Z}erlegungen komplexer {R}\"{a}ume}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {132}, + YEAR = {1956}, + PAGES = {63--93}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {30.0X}, + MRNUMBER = {83045}, +MRREVIEWER = {Heinrich Behnke}, + DOI = {10.1007/BF01343331}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01343331}, +} + +@article{MR84, + Author = {Mehta, Vikram B. and Ramanathan, Annamalai}, + Coden = {INVMBH}, + Doi = {10.1007/BF01389140}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {14F05}, + Mrnumber = {751136 (85m:14026)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 1, + Pages = {163--172}, + Title = {Restriction of stable sheaves and representations of the + fundamental group}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389140}{DOI: + 10.1007/BF01389140}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01389140}, + Volume = 77, + Year = 1984, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01389140} +} + +@article{MR853449, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L20 (14F40)}, + Mrnumber = {853449 (87j:32088)}, + Mrreviewer = {Siegmund Kosarew}, + Number = 1, + Pages = {161--194}, + Title = {Logarithmic de {R}ham complexes and vanishing theorems}, + Volume = 86, + Year = 1986 +} + +@book {MR867684, + AUTHOR = {Besse, Arthur L.}, + TITLE = {Einstein manifolds}, + SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + VOLUME = 10, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, + YEAR = 1987, + PAGES = {xii+510}, + ISBN = {3-540-15279-2}, + MRCLASS = {53C25 (53-02 53C21 53C30 53C55 58D17 58E11)}, + MRNUMBER = {867684 (88f:53087)}, + MRREVIEWER = {S. M. Salamon}, + DOI = {10.1007/978-3-540-74311-8}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-74311-8}{DOI:10.1007/978-3-540-74311-8}} +} + +@article {MR888704, + AUTHOR = {Seitz, Gary M.}, + TITLE = {The maximal subgroups of classical algebraic groups}, + JOURNAL = {Mem. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Memoirs of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 67, + YEAR = 1987, + NUMBER = 365, + PAGES = {iv+286}, + ISSN = {0065-9266}, + CODEN = {MAMCAU}, + MRCLASS = {20G15 (20E28 20G05)}, + MRNUMBER = 888704, + MRREVIEWER = {James E. Humphreys}, + DOI = {10.1090/memo/0365}, + URL = {https://doi.org/10.1090/memo/0365}, +} + +@book {MR921027, + AUTHOR = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + TITLE = {Geometrische {M}ethoden in der {T}heorie der gewöhnlichen {D}ifferentialgleichungen}, + NOTE = {Translated from the Russian by Ernst Günter Giessmann, Bernd Graw and Horst Theel. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}{DOI:10.1007/978-3-0348-7125-9}}, + PUBLISHER = {Birkhäuser Verlag, Basel}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {320}, + ISBN = {3-7643-1879-1}, + MRCLASS = {58Fxx (34-02 34Cxx)}, + MRNUMBER = {921027}, + DOI = {10.1007/978-3-0348-7125-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7125-9}, +} + +@article {MR92195, + AUTHOR = {Hirzebruch, Friedrich and Kodaira, Kunihiko}, + TITLE = {On the complex projective spaces}, + JOURNAL = {J. Math. Pures Appl. (9)}, + FJOURNAL = {Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvi\`eme Série}, + VOLUME = {36}, + YEAR = {1957}, + PAGES = {201--216}, + ISSN = {0021-7824}, + MRCLASS = {53.3X}, + MRNUMBER = {92195}, +MRREVIEWER = {E. Vesentini}, +} + +@article {MR925989, + AUTHOR = {Alperin, Roger C.}, + TITLE = {An elementary account of {S}elberg's lemma}, + JOURNAL = {Enseign. Math. (2)}, + FJOURNAL = {L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série}, + VOLUME = {33}, + YEAR = {1987}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.5169/seals-87896}{DOI:10.5169/seals-87896}}, + NUMBER = {3-4}, + PAGES = {269--273}, + ISSN = {0013-8584}, + MRCLASS = {20H20}, + MRNUMBER = {925989}, +MRREVIEWER = {A. E. Zalesski\u{\i}}, +} + +@article {MR932782, + AUTHOR = {Ancona, Vincenzo}, + TITLE = {Vanishing and nonvanishing theorems for numerically effective line bundles on complex spaces}, + JOURNAL = {Ann. Mat. Pura Appl. (4)}, + FJOURNAL = {Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta}, + VOLUME = {149}, + YEAR = {1987}, + PAGES = {153--164}, + ISSN = {0003-4622}, + MRCLASS = {32L20 (14E30 14J10)}, + MRNUMBER = {932782}, +MRREVIEWER = {Yujiro Kawamata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF01773931}{DOI:10.1007/BF01773931}}, + DOI = {10.1007/BF01773931}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01773931}, +} + +@book{MR941969, + Address = {Stuttgart}, + Author = {Stöcker, Ralph and Zieschang, Heiner}, + Isbn = {3-519-02226-5}, + Mrclass = {55-01}, + Mrnumber = {941969 (89e:55001)}, + Mrreviewer = {Hans-Werner Henn}, + Note = {Eine Einführung. [An introduction]}, + Pages = {x+414}, + Publisher = {B. G. Teubner}, + Series = {Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]}, + Title = {Algebraische {T}opologie}, + Year = 1988 +} + +@article {MR944576, + AUTHOR = {Kollár, János}, + TITLE = {Sharp effective {N}ullstellensatz}, + JOURNAL = {J. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Journal of the American Mathematical Society}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {1988}, + NUMBER = {4}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2307/1990996}{DOI:10.2307/1990996}}, + PAGES = {963--975}, + ISSN = {0894-0347}, + MRCLASS = {12E99 (11C08 11J99 13B25)}, + MRNUMBER = {944576}, +MRREVIEWER = {D. W. Masser}, + DOI = {10.2307/1990996}, + URL = {https://doi.org/10.2307/1990996}, +} + +@article{MR944577, + Author = {Simpson, Carlos T.}, + Doi = {10.2307/1990994}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C25 53C55)}, + Mrnumber = {944577 (90e:58026)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}{DOI:10.1090/S0894-0347-1988-0944577-9}}, + Number = 4, + Pages = {867--918}, + Title = {Constructing variations of {H}odge structure using {Y}ang-{M}ills theory and applications to uniformization}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990994}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990994} +} + +@incollection{MR946238, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Fujita, Takao}, + Booktitle = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + Mrclass = {14C20 (14J40)}, + Mrnumber = {946238 (89d:14006)}, + Mrreviewer = {Antonio Lanteri}, + Pages = {167--178}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On polarized manifolds whose adjoint bundles are not semipositive}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010167}{DOI:10.2969/aspm/01010167}} +} + +@incollection {MR946250, + AUTHOR = {Nakayama, Noboru}, + TITLE = {The lower semicontinuity of the plurigenera of complex varieties}, + BOOKTITLE = {Algebraic geometry, {S}endai, 1985}, + SERIES = {Adv. Stud. Pure Math.}, + VOLUME = 10, + PAGES = {551--590}, + PUBLISHER = {North-Holland, Amsterdam}, + YEAR = 1987, + MRCLASS = {14J15 (14E30 32J15)}, + MRNUMBER = {946250 (89h:14028)}, + MRREVIEWER = {David R. Morrison}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010551}{DOI:10.2969/aspm/01010551}}, +} + +@book{MR947141, + Address = {New York}, + Author = {Arnol$'$d, Vladimir I.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-96649-8}, + Mrclass = {58Fxx (34Cxx 70H05 70K30 70K99)}, + Mrnumber = {947141 (89h:58049)}, + Note = {Translated from the Russian by Joseph Szücs [J{{\'o}}zsef M. Sz{\H{u}}cs]}, + Pages = {xiv+351}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations}, + Volume = 250, + Year = 1988 +} + +@article {MR973802, + AUTHOR = {Varouchas, Jean}, + TITLE = {Kähler spaces and proper open morphisms}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = 283, + YEAR = 1989, + NUMBER = 1, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01457500}{DOI:10.1007/BF01457500}}, + PAGES = {13--52}, + ISSN = {0025-5831}, + CODEN = {MAANA}, + MRCLASS = {32C15 (32F05 32G10 32H35)}, + MRNUMBER = 973802, + MRREVIEWER = {Siegmund Kosarew}, + DOI = {10.1007/BF01457500}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01457500}, +} + +@book {MR982494, + AUTHOR = {Reid, Miles}, + TITLE = {Undergraduate algebraic geometry}, + SERIES = {London Mathematical Society Student Texts}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}{DOI:10.1017/CBO9781139163699}}, + VOLUME = {12}, + PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, + YEAR = {1988}, + PAGES = {viii+129}, + ISBN = {0-521-35559-1; 0-521-35662-8}, + MRCLASS = {14-01 (00A05)}, + MRNUMBER = {982494}, +MRREVIEWER = {Marko Roczen}, + DOI = {10.1017/CBO9781139163699}, + URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139163699}, +} + +@inproceedings{MU83, + Author = {S. Mukai and H. Umemura}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Proc. Jap.-Fr. Conf., Tokyo and Kyoto + 1982}, + Editor = {M. Raynaud and T. Shioda}, + Pages = {490-518}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lect. Notes Math}, + Title = {{Minimal Rational Threefolds}}, + Volume = 1016, + Year = 1983 +} + +@article {MZ18, + AUTHOR = {Meng, Sheng and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {Jordan property for non-linear algebraic groups and projective varieties}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 140, + YEAR = 2018, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2018.0026}{DOI:10.1353/ajm.2018.0026}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1507.02230}{arXiv:math/1507.02230}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {403--418}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14E07}, + MRNUMBER = 3483470, + MRREVIEWER = {Zinovy Reichstein}, + DOI = {10.1353/ajm.2016.0017}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2016.0017}, +} + +@book{Ma91, + Author = {W.S. Massey}, + Publisher = {Springer}, + Title = {A Basic Course in Algebraic Topology}, + Year = 1991 +} + +@article{MacPherson74, + Author = {MacPherson, Robert D.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {32C10 (14F25 57D20)}, + Mrnumber = {0361141 (50 \#13587)}, + Mrreviewer = {Iosif N. Iomdin}, + Pages = {423--432}, + Title = {Chern classes for singular algebraic varieties}, + Volume = 100, + Year = 1974 +} + +@inproceedings{Maru73, + Address = {Tokyo}, + Annote = {Kebekus: Der Autor beweist, das elementare Transformationen + von Vektorbuendeln existieren, und sich aus dem triv. Buendel + durch element. Trafo. eine offene Menge des Hilbert-Schemas + gewinnen laesst. In spaeteren Papers wird die Konstruktion auf + kohaer. Garben verallgemeinert.}, + Author = {M. Maruyama}, + Booktitle = {Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, in + honor of Y. Akizuki}, + Pages = {95--146}, + Publisher = {Kinokuniya}, + Title = {On a family of algebraic vector bundles}, + Year = 1973 +} + +@article{Maschke, + Author = {{{Mas}}chke, Heinrich}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01476165}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Longyear = 18, + Mrclass = {Contributed Item}, + Mrnumber = 1511061, + Number = {2-3}, + Pages = {363--368}, + Title = {Beweis des {S}atzes, dass diejenigen endlichen linearen + {S}ubstitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends + verschwindende {C}oefficienten auftreten, intransitiv sind}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01476165}, + Volume = 52, + Year = 1899, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01476165} +} + +@article{Mat-Mum64, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.20 (14.10)}, + Mrnumber = {30 \#2005}, + Mrreviewer = {R. C. Hartshorne}, + Note = {Correction: {\it Amer.\ J.\ Math.\/}, 91:851, 1969}, + Pages = {668--684}, + Title = {Two fundamental theorems on deformations of polarized + varieties}, + Volume = 86, + Year = 1964 +} + +@article{Mat-Mum64corr, + Author = {Matsusaka, T. and Mumford, D.}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.51}, + Mrnumber = {40 \#1398}, + Pages = 851, + Title = {Correction to: ``{T}wo fundamental theorems on deformations of + polarized varieties''}, + Volume = 91, + Year = 1969 +} + +@book{Mat89, + Author = {H.~Matsumura}, + Number = 8, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge studies in advanced mathematics}, + Title = {Commutitative ring theory}, + Year = 1989 +} + +@book{Matsuki02, + Address = {New York}, + Author = {Matsuki, Kenji}, + Isbn = {0-387-98465-8}, + Mrclass = {14E30 (14-02 14E05 14J17 14J30)}, + Mrnumber = {2002m:14011}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Pages = {xxiv+478}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Universitext}, + Title = {Introduction to the {M}ori program}, + Year = 2002 +} + +@book{McDS95, + Address = {New York}, + Author = {McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar}, + Isbn = {0-19-851177-9}, + Mrclass = {58F05 (53C15 57R57 58E05)}, + Mrnumber = {1373431 (97b:58062)}, + Mrreviewer = {Hansjörg Geiges}, + Note = {Oxford Science Publications}, + Pages = {viii+425}, + Publisher = {The Clarendon Press Oxford University Press}, + Series = {Oxford Mathematical Monographs}, + Title = {Introduction to symplectic topology}, + Year = 1995 +} + +@book{McL75, + Address = {Berlin}, + Author = {Mac Lane, Saunders}, + Isbn = {3-540-58662-8}, + Mrclass = {18-02 (18Axx 18Cxx 18Gxx)}, + Mrnumber = {1344215 (96d:18001)}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-62029-4}{DOI:10.1007/978-3-642-62029-4}. Reprint of the 1975 edition}, + Pages = {x+422}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Classics in Mathematics}, + Title = {Homology}, + Year = 1995 +} + +@article {Meg97, + AUTHOR = {Megyesi, Gabor}, + TITLE = {Generalisation of the {B}ogomolov-{M}iyaoka-{Y}au inequality + to singular surfaces}, + JOURNAL = {Proc. London Math. Soc. (3)}, + FJOURNAL = {Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series}, + VOLUME = 78, + YEAR = 1999, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}{DOI:10.1112/S0024611599001719}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {241--282}, + ISSN = {0024-6115}, + MRCLASS = {14J17 (14C17 14J60)}, + MRNUMBER = 1665244, + MRREVIEWER = {Gerhard Pfister}, + DOI = {10.1112/S0024611599001719}, + URL = {https://doi.org/10.1112/S0024611599001719}, +} + +@article{Migliorini95, + Author = {Migliorini, Luca}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J29 (14J10)}, + Mrnumber = {1311355 (95m:14023)}, + Mrreviewer = {Xiao Tao Sun}, + Number = 2, + Pages = {353--361}, + Title = {A smooth family of minimal surfaces of general type over a curve of genus at most one is trivial}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@book{Milne80, + Address = {Princeton, N.J.}, + Author = {Milne, James S.}, + Isbn = {0-691-08238-3}, + Mrclass = {14-02 (14F20 18F99)}, + Mrnumber = {559531 (81j:14002)}, + Mrreviewer = {G. Horrocks}, + Pages = {xiii+323}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Series = {Princeton Mathematical Series}, + Title = {{É}tale cohomology}, + Volume = 33, + Year = 1980 +} + +@article{Miy77, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Date-Added = {2015-06-11 19:29:12 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 19:30:16 +0000}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {225-237}, + Title = {On the Chern numbers of surfaces of general type}, + Volume = 42, + Year = 1977 +} + +@incollection{Miy85, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E05 (14D99 14F10 14J40)}, + Mrnumber = {927960 (89e:14011)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Pages = {245--268}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Deformations of a morphism along a foliation and applications}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@misc{Miy92, + Author = {Y.~Miyaoka}, + Note = {misc}, + Title = {Lecture at the university of Utah}, + Year = 1992 +} + +@incollection{Miyanishi-Tsunoda82, + Address = {Boston, MA}, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Booktitle = {Classification of algebraic and analytic manifolds (Katata, + 1982)}, + Mrclass = {14J10}, + Mrnumber = {728617 (86c:14030)}, + Mrreviewer = {Daniel Comenetz}, + Pages = {499--544}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {The structure of open algebraic surfaces. {II}}, + Volume = 39, + Year = 1983 +} + +@article{Miyanishi-Tsunoda84, + Author = {Miyanishi, Masayoshi and Tsunoda, Shuichiro}, + Coden = {JJMAAK}, + Fjournal = {Japanese Journal of Mathematics. New Series}, + Issn = {0289-2316}, + Journal = {Japan. J. Math. (N.S.)}, + Mrclass = {14J10 (14J25)}, + Mrnumber = {884420 (88b:14029)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {195--242}, + Title = {Noncomplete algebraic surfaces with logarithmic {K}odaira + dimension {$-\infty$} and with nonconnected boundaries at + infinity}, + Volume = 10, + Year = 1984 +} + +@inproceedings{Miyanishi82, + Address = {Amsterdam, New York, Oxford}, + Author = {M. Miyanishi}, + Booktitle = {Advanced Studies in Pure Mathematics 1}, + Editor = {S. Iitaka}, + Publisher = {North-Holland publishing company}, + Title = {Algebraic Methods in the Theory of Algebraic Threefolds}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Miyaoka87, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Miyaoka, Yoichi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Sendai, 1985}, + Mrclass = {14E30 (14F05 14J40)}, + Mrnumber = {89k:14022}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Pages = {449--476}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {The {C}hern classes and {K}odaira dimension of a minimal variety}, + Volume = 10, + Year = 1987, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/aspm/01010449}{DOI:10.2969/aspm/01010449}}, +} + +@article{Mo1, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. Math. Soc.}, + Pages = {31--51}, + Title = {Some new decomposition theorems for semi-simple groups}, + Volume = 14, + Year = 1955 +} + +@article{Mo2, + Author = {G. Mostow}, + Journal = {Am. J. Math.}, + Pages = {247--278}, + Title = {On covariant fiberings of Klein spaces}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article{MoSu78, + Author = {Mori, Shigefumi and Sumihiro, Hideyasu}, + Coden = {JMKYAZ}, + Fjournal = {Journal of Mathematics of Kyoto University}, + Issn = {0023-608X}, + Journal = {J. Math. Kyoto Univ.}, + Mrclass = {14J30 (14F10 14J40)}, + Mrnumber = {509496 (80j:14033)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Number = 3, + Pages = {523--533}, + Title = {On {H}artshorne's conjecture}, + Volume = 18, + Year = 1978 +} + +@article{Mok02, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32J27 (14J60 53C07)}, + Mrnumber = {2003i:32036}, + Mrreviewer = {I-Hsun Tsai}, + Number = 7, + Pages = {2639--2658 (electronic)}, + Title = {On {F}ano manifolds with nef tangent bundles admitting + 1-dimensional varieties of minimal rational tangents}, + Volume = 354, + Year = 2002 +} + +@article{Mok88, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Coden = {JDGEAS}, + Fjournal = {Journal of Differential Geometry}, + Issn = {0022-040X}, + Journal = {J. Differential Geom.}, + Mrclass = {53C55 (32C10 53C35 58G11)}, + Mrnumber = {89d:53115}, + Mrreviewer = {Hung-Hsi Wu}, + Number = 2, + Pages = {179--214}, + Title = {The uniformization theorem for compact {K}ähler manifolds of + nonnegative holomorphic bisectional curvature}, + Volume = 27, + Year = 1988 +} + +@incollection{Mok94, + Address = {Berlin}, + Author = {Mok, Ngaiming}, + Booktitle = {Geometry from the {P}acific {R}im ({S}ingapore, 1994)}, + Mrclass = {32J27 (32C17)}, + Mrnumber = {1468254 (99a:32038)}, + Mrreviewer = {Philippe P. Eyssidieux}, + Pages = {261--284}, + Publisher = {de Gruyter}, + Title = {The generalized theorem of {C}astelnuovo-de {F}ranchis for + unitary representations}, + Year = 1997 +} + +@Book{Moon07, + author = {Moon, Francis C. }, + ALTeditor = {}, + title = {The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux -- Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century}, + publisher = {Springer Netherlands}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + volume = {2}, + OPTnumber = {}, + series = {History of Mechanism and Machine Science}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4020-5599-7}{DOI:10.1007/978-1-4020-5599-7}}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{Mordell, + Author = {Mordell, Louis J.}, + Journal = {Proc Cam. Phil. Soc.}, + Pages = {179--192}, + Title = {On the rational solutions of the indeterminate equations of + the third and fourth degrees}, + Volume = 21, + Year = 1922 +} + +@article{Mori79, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14E05 (14M20)}, + Mrnumber = {81j:14010}, + Mrreviewer = {Luciana Picco Botta}, + Number = 3, + Pages = {593--606}, + Title = {Projective manifolds with ample tangent bundles}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2307/1971241}{DOI:10.2307/1971241}}, + Volume = 110, + Year = 1979 +} + +@article{Mori82, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Coden = {ANMAAH}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {84e:14032}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Number = 1, + Pages = {133--176}, + Title = {Threefolds whose canonical bundles are not numerically + effective}, + Volume = 116, + Year = 1982 +} + +@article{Mori85, + Author = {S. Mori}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Pages = {43--66}, + Title = {{On 3-Dimensional Terminal Singularities}}, + Volume = 98, + Year = 1985 +} + +@incollection{Mori87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14J10 (14E05 14E30 14J40 14M20)}, + Mrnumber = {927961 (89a:14040)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {269--331}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Classif{i}\-cation of higher-dimensional varieties}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Mori88, + Author = {Mori, Shigefumi}, + Doi = {10.2307/1990969}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J30 (14E35)}, + Mrnumber = {924704 (89a:14048)}, + Mrreviewer = {David R. Morrison}, + Number = 1, + Pages = {117--253}, + Title = {Flip theorem and the existence of minimal models for + {$3$}-folds}, + Url = {https://doi.org/10.2307/1990969}, + Volume = 1, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2307/1990969} +} + +@book{Mum66, + Author = {D. Mumford}, + Publisher = {Princeton University Press}, + Title = {Lectures on curves on an algebraic surface}, + Year = 1966 +} + +@article {Mustata+Olano+Popa:LocalVanishing, + AUTHOR = {Mustaţă, Mircea and Olano, Sebastián and Popa, Mihnea}, + TITLE = {Local vanishing and {H}odge filtration for rational singularities}, + JOURNAL = {J. Inst. Math. Jussieu}, + FJOURNAL = {Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu}, + NOTE = {Published online. \href{https://doi.org/10.1017/S1474748018000208}{DOI:S1474748018000208}. Preprint \href{httpss://arxiv.org/abs/1703.06704}{arXiv:1703.06704}.}, + Year = 2018 +} + +@article{NR75, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Journal = {Ann. Math. (2)}, + Mrclass = {14D20 (14F05)}, + Mrnumber = {0384797 (52 \#5669)}, + Mrreviewer = {Henry C. Pinkham}, + Pages = {391--417}, + Title = {Deformations of the moduli space of vector bundles over an + algebraic curve}, + Volume = 101, + Year = 1975 +} + +@incollection{NR78, + Address = {Berlin}, + Author = {Narasimhan, Mudumbai S. and Ramanan, S.}, + Booktitle = {C. P. Ramanujam---a tribute}, + Mrclass = {14D22 (10D99 14F05)}, + Mrnumber = {541029 (81b:14003)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Pages = {291--345}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math.}, + Title = {Geometry of {H}ecke cycles. {I}}, + Volume = 8, + Year = 1978 +} + +@book{NSW08, + Address = {Berlin}, + Author = {Neukirch, Jürgen and Schmidt, Alexander and Wingberg, Kay}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-540-37888-4}, + Mrclass = {11R34 (11-02 11G45 11R23 11S20 11S25 11S31 12G05)}, + Mrnumber = {2392026 (2008m:11223)}, + Pages = {xvi+825}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental + Principles of Mathematical Sciences]}, + Title = {Cohomology of number fields}, + Volume = 323, + Year = 2008 +} + +@article{Nadel91, + Author = {Nadel, Alan M.}, + Fjournal = {Journal of the American Mathematical Society}, + Issn = {0894-0347}, + Journal = {J. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14J45}, + Mrnumber = {93g:14048}, + Mrreviewer = {Harry D'Souza}, + Number = 4, + Pages = {681--692}, + Title = {The boundedness of degree of {F}ano varieties with {P}icard + number one}, + Volume = 4, + Year = 1991 +} + +@article{Nagata70, + Author = {Nagata, Masayoshi}, + Journal = {Nagoya Math. J.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0258829 (41 \#3475)}, + Mrreviewer = {M. F. Atiyah}, + Pages = {191--196}, + Title = {On self-intersection number of a section on a ruled surface}, + Volume = 37, + Year = 1970 +} + +@book{Nakayama04, + Address = {Tokyo}, + Author = {Nakayama, Noboru}, + Isbn = {4-931469-31-0}, + Mrclass = {14C20 (14E15 14E30 14J10)}, + Mrnumber = {2104208 (2005h:14015)}, + Mrreviewer = {Tommaso De Fernex}, + Pages = {xiv+277}, + Publisher = {Mathematical Society of Japan}, + Series = {MSJ Memoirs}, + Title = {Zariski-decomposition and abundance}, + Volume = 14, + Year = 2004, + Note = {\href{https://doi.org/10.2969/msjmemoirs/014010000}{DOI:10.2969/msjmemoirs/014010000}}, +} + +@Unpublished{NakayamaNormalizedPreprint, + author = {Nakayama, Noboru}, + title = {Normalized tautological divisors of semi-stable vector bundles}, + note = {RIMS preprint 1214, available at \url{http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/preprint/preprint_y1998.html}}, + year ={1998} +} + +@article{Namikawa01, + Author = {Namikawa, Yoshinori}, + Coden = {JRMAA8}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {32G05 (32G20 32J18 32S20)}, + Mrnumber = {1863856 (2002i:32011)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {123--147}, + Title = {Extension of 2-forms and symplectic varieties}, + Volume = 539, + Year = 2001 +} + +@Unpublished{NamikawaTerminalCodimensionSymplectic, + author = {Namikawa, Yoshinori}, + title = {A note on symplectic singularities}, + note = {preprint, arXiv:math/0101028}, + year = 2001, +} + +@article{Neumann09, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Fjournal = {Documenta Mathematica}, + Issn = {1431-0635}, + Journal = {Doc. Math.}, + Mrclass = {14M22 (14J26)}, + Mrnumber = {2520915 (2011a:14103)}, + Mrreviewer = {Francesco Russo}, + Pages = {157--165}, + Title = {Rationally connected foliations on surfaces}, + Volume = 14, + Year = 2009 +} + +@phdthesis{NeumannThesis, + Author = {Neumann, Sebastian}, + Month = {March}, + Note = {\url{http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7287}, urn:nbn:de:bsz:25-opus-72876}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {A decomposition of the Moving cone of a projective manifold according to the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundle}, + Year = 2010 +} + +@article{Nor78, + Author = {Y. Noramitsu}, + Journal = {Proc. Japan Acad.}, + Pages = {107--108}, + Title = {Kodaira vanishing theorem an Chern classes for $\partial$-manifolds}, + Volume = {54A}, + Year = 1978 +} + +@article {Nov65, + AUTHOR = {Novikov, Sergeĭ P.}, + TITLE = {Topological invariance of rational classes of {P}ontrjagin}, + JOURNAL = {Dokl. Akad. Nauk SSSR}, + FJOURNAL = {Doklady Akademii Nauk SSSR}, + VOLUME = {163}, + YEAR = {1965}, + PAGES = {298--300}, + ISSN = {0002-3264}, + MRCLASS = {57.32}, + MRNUMBER = {0193644}, +MRREVIEWER = {B. L. Reinhart}, + NOTE = {Available on the internet at \url{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=31327}} +} + +@Unpublished{Nun22, + author = {Núñez, Pedro}, + title = {Adapted differentials as a qfh-sheaf}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/2210.07968}{arXiv:2210.07968}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2022}, + OPTannote = {} +} + + +@book{OSS, + Address = {Mass.}, + Author = {Okonek, Christian and Schneider, Michael and Spindler, Heinz}, + Isbn = {3-7643-3000-7}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14F05 32G13 81C30)}, + Mrnumber = {561910 (81b:14001)}, + Mrreviewer = {Werner Kleinert}, + Pages = {vii+389}, + Publisher = {Birkhäuser Boston}, + Series = {Progress in Mathematics}, + Title = {Vector bundles on complex projective spaces}, + Volume = 3, + Year = 1980 +} + +@article{ObusPries, + AUTHOR = {Obus, Andrew and Pries, Rachel}, + TITLE = {Wild tame-by-cyclic extensions}, + JOURNAL = {J. Pure Appl. Algebra}, + FJOURNAL = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}{DOI:10.1016/j.jpaa.2009.06.017}}, + VOLUME = 214, + YEAR = 2010, + NUMBER = 5, + PAGES = {565--573}, + ISSN = {0022-4049}, + MRCLASS = {12F10 (11S15 11S20 14H30)}, + MRNUMBER = 2577662, + MRREVIEWER = {K. Kiyek}, + DOI = {10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, + URL = {https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.017}, +} + +@article{Oguiso-Viehweg01, + Author = {Oguiso, Keiji and Viehweg, Eckart}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J10 (14J27)}, + Mrnumber = {1832333 (2002d:14054)}, + Mrreviewer = {Yoshio Fujimoto}, + Number = 3, + Pages = {569--598}, + Title = {On the isotriviality of families of elliptic surfaces}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@article {Oguiso-Zhang, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Zhang, De-Qi}, + TITLE = {On the most algebraic {$K3$} surfaces and the most extremal log {E}nriques surfaces}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + VOLUME = 118, + YEAR = 1996, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.1996.0052}{DOI:10.1353/ajm.1996.0052}.}, + NUMBER = 6, + PAGES = {1277--1297}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14J17 (14J28)}, + MRNUMBER = 1420924, + MRREVIEWER = {Shigeyuki Kondo}, + URL = + {http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v118/118.6oguiso.pdf}, +} + +@article {OguisoSchroeer, + AUTHOR = {Oguiso, Keiji and Schröer, Stefan}, + TITLE = {Enriques manifolds}, + JOURNAL = {J. Reine Angew. Math.}, + FJOURNAL = {Journal f\"ur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle's + Journal]}, + VOLUME = 661, + YEAR = 2011, + PAGES = {215--235}, + ISSN = {0075-4102}, + CODEN = {JRMAA8}, + MRCLASS = {53C26 (32Q25)}, + MRNUMBER = 2863907, + MRREVIEWER = {Kieran G. O'Grady}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}{DOI:10.1515/CRELLE.2011.077}.}, + DOI = {10.1515/CRELLE.2011.077}, + URL = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.077}, +} + +@article{P01, + Author = {Popa, Mihnea}, + Coden = {DUMJAO}, + Fjournal = {Duke Mathematical Journal}, + Issn = {0012-7094}, + Journal = {Duke Math. J.}, + Mrclass = {14C05 (14D20 14H60)}, + Mrnumber = {1828298 (2002d:14007)}, + Mrreviewer = {Jean-Marc Drezet}, + Number = 3, + Pages = {469--495}, + Title = {Dimension estimates for {H}ilbert schemes and effective base + point freeness on moduli spaces of vector bundles on curves}, + Volume = 107, + Year = 2001 +} + +@article{P1, + Author = {Pereira, Jorge Vit{ó}rio}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Universit{é} de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {32M25 (34M45 37F75)}, + Mrnumber = {1860669 (2003e:32041)}, + Mrreviewer = {Frank Loray}, + Number = 5, + Pages = {1385--1405}, + Title = {Vector fields, invariant varieties and linear systems}, + Volume = 51, + Year = 2001 +} + +@article{P3, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {JPAAA2}, + Fjournal = {Journal of Pure and Applied Algebra}, + Issn = {0022-4049}, + Journal = {J. Pure Appl. Algebra}, + Mrclass = {13N15}, + Mrnumber = {1904485 (2003f:13028)}, + Mrreviewer = {R. V. Gurjar}, + Number = {2-3}, + Pages = {295--301}, + Title = {Invariant hypersurfaces for positive characteristic vector + fields}, + Volume = 171, + Year = 2002 +} + +@article{P4, + Author = {Pereira, J. V.}, + Fjournal = {Qualitative Theory of Dynamical Systems}, + Issn = {1575-5460}, + Journal = {Qual. Theory Dyn. Syst.}, + Mrclass = {32S65 (32Q15 37F75)}, + Mrnumber = {1913291 (2003e:32055)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {381--384}, + Title = {Global stability for holomorphic foliations on {K}ähler + manifolds}, + Volume = 2, + Year = 2001 +} + +@book{P5, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Isbn = {85-244-0208-3}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {2029287 (2005b:32065)}, + Mrreviewer = {Nuria Corral}, + Note = {24$\sp {\rm o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [24th Brazilian Mathematics Colloquium]}, + Pages = {ii+82}, + Publisher = {Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro}, + Series = {Publica\c c\~oes Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]}, + Title = {Integrabilidade de folhea\c c\~oes holomorfas}, + Year = 2003 +} + +@article{P6, + Author = {Pereira, Jorge Vitório and Sánchez, Percy Fernández}, + Fjournal = {Communications in Analysis and Geometry}, + Issn = {1019-8385}, + Journal = {Comm. Anal. Geom.}, + Mrclass = {32S65 (37F75 57R30)}, + Mrnumber = {1957664 (2003m:32031)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Number = 5, + Pages = {1115--1123}, + Title = {Transformation groups of holomorphic foliations}, + Volume = 10, + Year = 2002 +} + +@misc{P7, + Author = {Coutinho, S.C and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {On the density of algebraic foliations without algebraic invariant sets} +} + +@misc{P8, + Author = {Mendes, L.G and Pereira, Jorge Vitório}, + Note = {www.preprint.impa.br}, + Title = {Hilbert Modular foliations on the projective plane} +} + +@article{PR04, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/s00208-004-0406-8}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J30 (14E30)}, + Mrnumber = {2127983 (2005m:14068)}, + Mrreviewer = {Carlo Giovanni Madonna}, + Number = 3, + Pages = {379--400}, + Title = {Threefolds with holomorphic normal projective connections}, + Url = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8}, + Volume = 329, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/s00208-004-0406-8} +} + +@article{PR05, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Int. J. Math.}, + Number = 6, + Pages = {595--607}, + Title = {Projective Threefolds with holomorphic conformal structure}, + Volume = 16, + Year = 2005 +} + +@misc{PR09, + Author = {Jahnke, Priska and Radloff, Ivo}, + Note = {preprint + \href{http://arxiv.org/abs/0903.4571}{arXiv:0903.4571}}, + Title = {Holomorphic normal projective connections on projective + manifolds}, + Year = 2009 +} + +@Unpublished{PS, + author = {Păun, Mihai and Sibony, Nessim}, + title = {Value {D}istribution {T}heory for {P}arabolic {R}iemann {S}urfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/arXiv:1403.6596}{arXiv:1403.6596}}, + OPTkey = {}, + month = {March}, + year = {2014}, + OPTannote = {} +} + +@article{PS00, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Coden = {COALDM}, + Fjournal = {Communications in Algebra}, + Issn = {0092-7872}, + Journal = {Comm. Algebra}, + Mrclass = {14J60}, + Mrnumber = {2001k:14079}, + Mrreviewer = {Xiao Jiang Tan}, + Note = {With an appendix by Robert Lazarsfeld, Special issue in honor of Robin Hartshorne}, + Number = 12, + Pages = {5573--5599}, + Title = {Ample vector bundles and branched coverings}, + Volume = 28, + Year = 2000 +} + +@misc{PS03, + Author = {Peternell, Thomas and Sommese, Andrew J.}, + Note = {Preprint, to appear in volume of the Fano conference, Torino + 2002}, + Title = {Ample Vector Bundles and Branched Coverings, {II}}, + Year = 2003 +} + +@article {PS15, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Schnell, Christian}, + TITLE = {Viehweg's hyperbolicity conjecture for families with maximal variation}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = {208}, + YEAR = {2017}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {677--713}, + ISSN = {0020-9910}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}{DOI:10.1007/s00222-016-0698-9}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1511.00294}{arXiv:1511.00294}}, + MRCLASS = {14D06 (14D07 14E30 14F10)}, + MRNUMBER = {3648973}, +MRREVIEWER = {Andreas Höring}, + DOI = {10.1007/s00222-016-0698-9}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s00222-016-0698-9}, +} + +@article{PS91, + Author = {T. Peternell and M. Schneider}, + Journal = {Proc. Symp. Pure Math.}, + Pages = {455--466}, + Title = {Compactifications of $\mathbb{C}^n$: A Survey}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{PS98, + Author = {Peternell, Thomas and Serrano, Fernando}, + Coden = {COLMBA}, + Fjournal = {Universitat de Barcelona. Collectanea Mathematica}, + Issn = {0010-0757}, + Journal = {Collect. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J30)}, + Mrnumber = {1677100 (2000b:14020)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Note = {Dedicated to the memory of Fernando Serrano}, + Number = {2-3}, + Pages = {465--517}, + Title = {Threefolds with nef anticanonical bundles}, + Volume = 49, + Year = 1998 +} + + + +@article {PT14, + AUTHOR = {Păun, Mihai and Takayama, Shigeharu}, + TITLE = {Positivity of twisted relative pluricanonical bundles and their direct images}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {27}, + YEAR = {2018}, + NUMBER = {2}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/jag/702}{DOI:10.1090/jag/702}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.5504}{arXiv:1409.5504}}, + PAGES = {211--272}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {32L05 (32A25)}, + MRNUMBER = {3764276}, + DOI = {10.1090/jag/702}, + URL = {https://doi.org/10.1090/jag/702}, +} + +@article {PTW18, + AUTHOR = {Popa, Mihnea and Taji, Behrouz and Wu, Lei}, + TITLE = {Brody hyperbolicity of base spaces of certain families of varieties}, + JOURNAL = {Algebra Number Theory}, + FJOURNAL = {Algebra \& Number Theory}, + VOLUME = {13}, + YEAR = {2019}, + NUMBER = {9}, + PAGES = {2205--2242}, + ISSN = {1937-0652}, + MRCLASS = {14D07 (14D23 14E30 14J10 14J15 14J29)}, + MRNUMBER = {4039502}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}{DOI:10.2140/ant.2019.13.2205}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1801.05898}{arXiv:1801.05898}}, + DOI = {10.2140/ant.2019.13.2205}, + URL = {https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2205}, +} + +@article {PW93, + AUTHOR = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + TITLE = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b_2=1$}}, + JOURNAL = {J. Algebraic Geom.}, + FJOURNAL = {Journal of Algebraic Geometry}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {363--384}, + ISSN = {1056-3911}, + MRCLASS = {14J45 (14F17 14J60)}, + MRNUMBER = {1311356}, +MRREVIEWER = {Yuri G. Prokhorov}, +} + +@article{PW95, + Author = {Peternell, Thomas and Wiśniewski, Jarosław A.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F17 14J60)}, + Mrnumber = {1311356 (96a:14048)}, + Mrreviewer = {Yuri G. Prokhorov}, + Number = 2, + Pages = {363--384}, + Title = {On stability of tangent bundles of {F}ano manifolds with {$b\sb 2=1$}}, + Volume = 4, + Year = 1995 +} + +@article{Parshin68, + Author = {Parshin, Aleksey N.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14.20}, + Mrnumber = {0257086 (41 \#1740)}, + Mrreviewer = {J.-E. Bertin}, + Pages = {1191--1219}, + Title = {Algebraic curves over function fields. {I}}, + Volume = 32, + Year = 1968 +} + +@Article{Paun, + author = "Păun, Mihai", + title = {{Regularity properties of the degenerate Monge-Ampère + equations on compact Kähler manifolds.}}, + journal = "Chin. Ann. Math., Ser. B", + year = 2008, + volume = 29, + number = 6, + pages = "623--630" +} + +@incollection{Pe01, + Address = {Basel}, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {European {C}ongress of {M}athematics, {V}ol. {I} ({B}arcelona, + 2000)}, + Mrclass = {14E30 (32J18)}, + Mrnumber = {1905339 (2003g:14022)}, + Mrreviewer = {Tomasz Szemberg}, + Pages = {509--518}, + Publisher = {Birkhäuser}, + Series = {Progr. Math.}, + Title = {Contact structures, rational curves and {M}ori theory}, + Volume = 201, + Year = 2001 +} + +@article{Pe94, + Author = {Peternell, Thomas}, + Coden = {MAZEAX}, + Doi = {10.1007/BF02571950}, + Fjournal = {Mathematische Zeitschrift}, + Issn = {0025-5874}, + Journal = {Math. Z.}, + Mrclass = {14J10 (14J32 14J40 32J27)}, + Mrnumber = {1306667 (96f:14041)}, + Mrreviewer = {Dimitrios I. Dais}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02571950}{DOI:10.1007/BF02571950}}, + Number = 3, + Pages = {377--405}, + Title = {Minimal varieties with trivial canonical classes. {I}}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF02571950}, + Volume = 217, + Year = 1994, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF02571950} +} + +@Unpublished{PeregoRapagnetta, + author = {Arvid Perego and Antonio Rapagnetta}, + title = {The moduli spaces of sheaves on {K3} surfaces are irreducible symplectic varieties}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1802.01182}{arXiv:1802.01182}.}, + OPTkey = {}, + month = {February}, + year = {2018}, + OPTannote = {}, + OPTurl = {}, + OPTurldate = {}, + OPTlastchecked = {}, + OPTdoi = {}, + OPTisbn = {}, + OPTissn = {}, + OPTlocalfile = {}, + OPTabstract = {}, + OPTkeywords = {}, +} + +@article{Pereira02a, + Author = {Pereira, Jorge Vitório}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {32S65 (37F75)}, + Mrnumber = {1913040 (2003e:32056)}, + Mrreviewer = {M. G. Soares}, + Number = 2, + Pages = {217--226}, + Title = {On the {P}oincar{é} problem for foliations of general type}, + Volume = 323, + Year = 2002 +} + +@incollection{PeternellTangentBundleSurvey, + Author = {Peternell, Thomas}, + Booktitle = {School on {V}anishing {T}heorems and {E}ffective {R}esults in {A}lgebraic {G}eometry ({T}rieste, 2000)}, + Mrclass = {14J60 (14F05 14J45)}, + Mrnumber = {1919461 (2003f:14048)}, + Mrreviewer = {Usha N. Bhosle}, + Pages = {285--334}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Subsheaves in the tangent bundle: integrability, stability and positivity}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + + + + + +@book{PetersSteenbrinkBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Peters, Chris A. M. and Steenbrink, Joseph H. M.}, + Isbn = {978-3-540-77015-2}, + Mrclass = {14C30 (14D07 32G20 32J25 32S35)}, + Mrnumber = 2393625, + Mrreviewer = {Matt Kerr}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-77017-6}{DOI:10.1007/978-3-540-77017-6}}, + Pages = {xiv+470}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]}, + Title = {Mixed {H}odge structures}, + Volume = 52, + Year = 2008 +} + + + + + +@article{Poincare91, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {161--191}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré I}, + Volume = 5, + Year = 1891 +} + +@article{Poincare97, + Author = {Poincaré, Henri}, + Journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo}, + Pages = {193--239}, + Title = {Sur l'integration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré II}, + Volume = 11, + Year = 1897 +} + +@article{Poonen, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Existence of rational points on smooth projective varieties}, + JOURNAL = {J. Eur. Math. Soc. (JEMS)}, + FJOURNAL = {Journal of the European Mathematical Society (JEMS)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4171/JEMS/159}{DOI:10.4171/JEMS/159}}, + VOLUME = 11, + YEAR = 2009, + NUMBER = 3, + PAGES = {529--543}, + ISSN = {1435-9855}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 11U05)}, + MRNUMBER = 2505440, + MRREVIEWER = {Timothy D. Browning}, + DOI = {10.4171/JEMS/159}, + URL = {https://doi.org/10.4171/JEMS/159}, +} + +@article {Poonen0, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Insufficiency of the {B}rauer-{M}anin obstruction applied to étale covers}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}{DOI:10.4007/annals.2010.171.2157}}, + VOLUME = {171}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {2157--2169}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {14G25 (14F22)}, + MRNUMBER = {2680407}, +MRREVIEWER = {Marco A. Garuti}, + DOI = {10.4007/annals.2010.171.2157}, + URL = {https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.2157}, +} + +@article {Poonen3, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {Multivariable polynomial injections on rational numbers}, + JOURNAL = {Acta Arith.}, + FJOURNAL = {Acta Arithmetica}, + Note = {\href{https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}{DOI:10.4064/aa145-2-2}}, + VOLUME = {145}, + YEAR = {2010}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {123--127}, + ISSN = {0065-1036}, + MRCLASS = {11C08 (11G30 11G35)}, + MRNUMBER = {2733078}, +MRREVIEWER = {Matilde N. Lal\'{i}n}, + DOI = {10.4064/aa145-2-2}, + URL = {https://doi.org/10.4064/aa145-2-2}, +} + +@incollection {Poonenbis, + AUTHOR = {Poonen, Bjorn}, + TITLE = {The {H}asse principle for complete intersections in projective + space}, + BOOKTITLE = {Rational points on algebraic varieties}, + SERIES = {Progr. Math.}, + VOLUME = {199}, + PAGES = {307--311}, + PUBLISHER = {Birkhäuser, Basel}, + YEAR = {2001}, + MRCLASS = {14G25 (11G35)}, + MRNUMBER = {1875178}, +MRREVIEWER = {Antoine Ducros}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8368-9_11}{DOI:10.1007/978-3-0348-8368-9$\_$11}}, +} + +@Unpublished{Popov18, + author = {Popov, Vladimir L.}, + title = {Three plots about the Cremona groups}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1810.00824}{arXiv:1810.00824}}, + OPTkey = {}, + month = {October}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@incollection{PopovVinberg, + Address = {Berlin}, + Author = {Popov, Vladimir and Vinberg, Ernest B.}, + Booktitle = {Algebraic {G}eometry IV}, + Pages = {123--284}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Encyclopaedia of Mathematical Sciences}, + Title = {Invariant {T}heory}, + Volume = 55, + Year = 1994 +} + +@article{Pot69, + Author = {J. Potters}, + Journal = {Invent. Math. 8}, + Title = {On almost homogeneous compact complex surfaces}, + Year = 1969 +} + +@article{RAN92MR1487238MR1487238MR1487238, + Author = {Ran, Ziv}, + Coden = {BAMOAD}, + Doi = {10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Fjournal = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series}, + Issn = {0273-0979}, + Journal = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {32G05 (14D15 32G13)}, + Mrnumber = {1102754 (92h:32035)}, + Mrreviewer = {Claire Voisin}, + Number = 1, + Pages = {113--117}, + Title = {Lifting of cohomology and unobstructedness of certain + holomorphic maps}, + Url = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6}, + Volume = 26, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00244-6} +} + +@book{RB10, + Address = {Berlin}, + Author = {Ribes, Luis and Zalesskii, Pavel}, + Doi = {10.1007/978-3-642-01642-4}, + Edition = {Second}, + Isbn = {978-3-642-01641-7}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}{DOI:10.1007/978-3-642-01642-4}}, + Mrclass = {20E18}, + Mrnumber = {2599132 (2011a:20058)}, + Pages = {xvi+464}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A + Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in + Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern + Surveys in Mathematics]}, + Title = {Profinite groups}, + Url = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4}, + Volume = 40, + Year = 2010, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4} +} + +@Article{ RZ, + title = "Continuity of extremal transitions and flops for + {C}alabi-{Y}au manifolds", + author = "Xiaochun Rong and Yuguang Zhang", + journal = "J. Differential Geom.", + pages = "233--269", + volume = 89, + number = 2, + year = 2011, + issn = "0022-040X", + note = "Appendix B by Mark + Gross. \href{http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411}{euclid.jdg/1324477411}.", + url = "http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1324477411", + CODEN = "JDGEAS", + FJOURNAL = "Journal of Differential Geometry", + MRCLASS = "32Q25 (14J32 53C23)", + MRNUMBER = 2863918, + MRREVIEWER = "Michele Rossi" +} + +@article {RZ2, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun and Zhang, Yuguang}, + TITLE = {Degenerations of {R}icci-flat {C}alabi-{Y}au manifolds}, + JOURNAL = {Commun. Contemp. Math.}, + FJOURNAL = {Communications in Contemporary Mathematics}, + VOLUME = 15, + YEAR = 2013, + NUMBER = 4, + PAGES = {1250057, 8}, + ISSN = {0219-1997}, + MRCLASS = {32Q25 (53C23)}, + MRNUMBER = 3073445, + DOI = {10.1142/S0219199712500575}, + URL = {https://doi.org/10.1142/S0219199712500575}, +} + +@article{Ramanujam72, + Author = {Ramanujam, C. P.}, + Journal = {J. Indian Math. Soc. (N.S.)}, + Mrclass = {14F05 (32J25)}, + Mrnumber = {0330164 (48 \#8502)}, + Mrreviewer = {E. Brieskorn}, + Pages = {41--51}, + Title = {Remarks on the {K}odaira vanishing theorem}, + Volume = 36, + Year = 1972 +} + +@book{RedBook, + Address = {Berlin}, + Author = {Mumford, David}, + Isbn = {3-540-50497-4}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {971985 (89k:14001)}, + Mrreviewer = {Peter Nielsen}, + Pages = {vi+309}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The {R}ed {B}ook of {V}arieties and {S}chemes}, + Volume = 1358, + Year = 1988 +} + +@inproceedings{Reid78, + Address = {Tokyo}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Proceedings of the {I}nternational {S}ymposium on {A}lgebraic + {G}eometry ({K}yoto {U}niv., {K}yoto, 1977)}, + Mrclass = {14F05 (32J15)}, + Mrnumber = {578877 (82b:14014)}, + Mrreviewer = {Ulf Persson}, + Pages = {623--642}, + Publisher = {Kinokuniya Book Store}, + Title = {Bogomolov's theorem {$c_{1}^{2}łeq 4c_{2}$}}, + Year = 1978 +} + +@incollection{Reid79, + Address = {Alphen aan den Rijn}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Journées de {G}éometrie {A}lgébrique d'{A}ngers, {J}uillet + 1979/{A}lgebraic {G}eometry, {A}ngers, 1979}, + Mrclass = {14J30 (14B07 14J17)}, + Mrnumber = {605348 (82i:14025)}, + Mrreviewer = {Jayant M. Shah}, + Pages = {273--310}, + Publisher = {Sijthoff \& Noordhoff}, + Title = {Canonical {$3$}-folds}, + Year = 1980 +} + +@inproceedings{Reid83, + Author = {M. Reid}, + Booktitle = {Advanced studies in pure math.}, + Editor = {S. Iitaka and H. Morikawa}, + Pages = {131--180}, + Publisher = {Kinokuniya and North Holland}, + Title = {Minimal models of canonical 3-folds}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@unpublished{Reid83a, + Author = {Reid, Miles}, + Note = {Preprint, University of Warwick. Available from the author's home page at \url{http://www.maths.warwick.ac.uk/~miles/3folds/Ka.pdf}}, + Title = {Projective morphisms according to {K}awamata}, + Year = 1983 +} + +@incollection{Reid87, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Reid, Miles}, + Booktitle = {Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985)}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E05 14J10)}, + Mrnumber = {927963 (89b:14016)}, + Mrreviewer = {Eckart Viehweg}, + Pages = {345--414}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Young person's guide to canonical singularities}, + Volume = 46, + Year = 1987 +} + +@article{Reid94, + Author = {M. Reid}, + Journal = {LANL-Preprint math.AG/9404002}, + Note = {Available on the world wide web at {\tt + http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9404002}}, + Title = {Nonnormal del Pezzo surfaces}, + Year = 1994 +} + +@incollection {Rong, + AUTHOR = {Rong, Xiaochun}, + TITLE = {Convergence and collapsing theorems in {R}iemannian geometry}, + BOOKTITLE = {Handbook of geometric analysis, {N}o. 2}, + SERIES = {Adv. Lect. Math. (ALM)}, + VOLUME = 13, + PAGES = {193--299}, + PUBLISHER = {Int. Press, Somerville, MA}, + YEAR = 2010, + MRCLASS = {53C23 (53C20 53C21)}, + MRNUMBER = 2743443, + MRREVIEWER = {Yu Ding}, +} + +@article{Ros56, + Author = {Rosenlicht, Maxwell}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {53.3X}, + Mrnumber = {18,514a}, + Mrreviewer = {E. R. Kolchin}, + Pages = {401--443}, + Title = {Some basic theorems on algebraic groups}, + Volume = 78, + Year = 1956 +} + +@article{Rossi68, + Author = {Rossi, Hugo}, + Fjournal = {Rice University Studies}, + Issn = {0035-4996}, + Journal = {Rice Univ. Studies}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0244517 (39 \#5831)}, + Mrreviewer = {H. Hironaka}, + Number = 4, + Note = {Available on the internet at \url{https://scholarship.rice.edu/handle/1911/62964}}, + Pages = {63--73}, + Title = {Picard variety of an isolated singular point}, + Volume = 54, + Year = 1968 +} + +@Book{Russo05, + author = {Russo, Lucio}, + ALTeditor = {}, + title = {Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens}, + publisher = {Springer, Berlin, Heidelberg}, + year = {2005}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/3-540-27707-2}{DOI:10.1007/3-540-27707-2}}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + OPTnote = {}, + OPTannote = {} +} + +@article{SBW94, + Author = {Shepherd-Barron, Nicholas I. and Wilson, Pelham M.H.}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J30}, + Mrnumber = {1257323 (95h:14033)}, + Mrreviewer = {A. S. Tikhomirov}, + Number = 2, + Pages = {265--281}, + Title = {Singular threefolds with numerically trivial first and second + {C}hern classes}, + Volume = 3, + Year = 1994 +} + +@article{SCC_1958-1959__4__A10_0, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Morphismes universels et variété d'{A}lbanese}, + JOURNAL = {Séminaire Claude Chevalley}, + PUBLISHER = {Secrétariat mathématique}, + NOTE = {\href{http://www.numdam.org/item/SCC_1958-1959__4__A10_0}{numdam.SCC-1958-1959-4-A10-0}}, + VOLUME = {4}, + YEAR = {1958-1959} +} + +@article{SCT09, + Author = {Solá Conde, Luis E. and Toma, Matei}, + Coden = {AIFUA7}, + Fjournal = {Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier}, + Issn = {0373-0956}, + Journal = {Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, + Mrclass = {14M22 (14H10)}, + Mrnumber = {2640923 (2011c:14139)}, + Mrreviewer = {Takuzo Okada}, + Number = 6, + Pages = {2359--2369}, + Title = {Maximal rationally connected fibrations and movable curves}, + Url = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0}, + Volume = 59, + Year = 2009, + Bdsk-Url-1 = {http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2009__59_6_2359_0} +} + +@book{SGA1, + Address = {Berlin}, + Author = {Grothendieck, Alexandre}, + Mrclass = {14-06 (14E20)}, + Mrnumber = {0354651 (50 \#7129)}, + Note = {Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960--1961, + Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de + Michèle Raynaud, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. + \href{https://doi.org/10.1007/BFb0058656}{DOI:10.1007/BFb0058656}, + Also available as + \href{http://arxiv.org/abs/math/0206203}{arXiv:math/0206203}}, + Pages = {xxii+447}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)}, + Year = 1971 +} + +@book{SGA2, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Grothendieck, Alexander}, + Mrclass = {14B15 (14C20 14F20)}, + Mrnumber = {0476737 (57 \#16294)}, + Note = {Augmenté d'un exposé par Michèle Raynaud, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, 1962, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol. 2. Also available as \href{http://arxiv.org/abs/math/0511279}{arXiv:math/0511279}.}, + Pages = {vii+287}, + Publisher = {North-Holland Publishing Co.}, + Title = {Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de {L}efschetz locaux et globaux (SGA 2)}, + Year = 1968 +} + +@article {SS85, + AUTHOR = {van Straten, Duko and Steenbrink, Joseph}, + TITLE = {Extendability of holomorphic differential forms near isolated hypersurface singularities}, + JOURNAL = {Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg}, + FJOURNAL = {Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg}, + VOLUME = 55, + YEAR = 1985, + PAGES = {97--110}, + ISSN = {0025-5858}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/BF02941491}{DOI:10.1007/BF02941491}}, + MRCLASS = {32B30 (32C30 32C40)}, + MRNUMBER = 831521, + MRREVIEWER = {M. Sebastiani}, + DOI = {10.1007/BF02941491}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF02941491}, +} + +@misc{SSY, + Author = {Spotti, Cristiano and Sun, Song and Yao, Chengjian}, + Title = {{Existence and deformations of Kähler–Einstein metrics on smoothable $\mathbb Q$-Fano varieties}}, + Note = {preprint \href{http://arxiv.org/abs/1411.1725}{arXiv:1411.1725} To appear in Duke Math. J.}, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{SV18, + author = {Shramov, Constantin and Vologodsky, Vadim}, + title = {Automorphisms of pointless surfaces}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1807.06477}{arXiv:1807.06477}}, + OPTkey = {}, + month = {July}, + year = {2018}, + OPTannote = {} +} + +@article {SW, + AUTHOR = {Sarnak, Peter and Wang, Lan}, + TITLE = {Some hypersurfaces in {${\bf P}^4$} and the {H}asse-principle}, + JOURNAL = {C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.}, + FJOURNAL = {Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. + Mathématique}, + VOLUME = {321}, + YEAR = {1995}, + NUMBER = {3}, + PAGES = {319--322}, + ISSN = {0764-4442}, + MRCLASS = {14G05 (11G35 14G20)}, + MRNUMBER = {1346134}, +MRREVIEWER = {Junjiro Noguchi}, +} + +@book {SY, + AUTHOR = {Schoen, Richard M. and Yau, Shing-Tung}, + TITLE = {Lectures on differential geometry}, + SERIES = {Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and + Topology, I}, + PUBLISHER = {International Press, Cambridge, MA}, + YEAR = 1994, + PAGES = {v+235}, + ISBN = {1-57146-012-8}, + MRCLASS = {53-01 (53-02 53C21 58G30)}, + MRNUMBER = {1333601 (97d:53001)}, + MRREVIEWER = {Man Chun Leung}, +} + +@article{Saito:HodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195173930}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}{DOI:10.2977/prims/1195173930}}, + Mrclass = {32C35 (14C30 32C38 32C42 32G99)}, + Mrnumber = {1000123 (90k:32038)}, + Mrreviewer = {J. H. M. Steenbrink}, + Number = 6, + Pages = {849--995 (1989)}, + Title = {Modules de {H}odge polarisables}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930}, + Volume = 24, + Year = 1988, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195173930} +} + +@article{Saito:Introduction, + Author = {Saito, Morihiko}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {32S35 (14C05 14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1042805 (91j:32041)}, + Note = {Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987)}, + Number = {179-180}, + Pages = {145--162}, + Title = {Introduction to mixed {H}odge modules}, + Year = 1989 +} + +@incollection{Saito:Kollar, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Several complex variables and complex geometry, {P}art 2 ({S}anta {C}ruz, {CA}, 1989)}, + Mrclass = {14D07 (14C30 14F17 32L20)}, + Mrnumber = {1128566 (92i:14007)}, + Mrreviewer = {Hélène Esnault}, + Pages = {509--517}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {On {K}ollár's conjecture}, + Volume = 52, + Year = 1991 +} + +@article{Saito:MixedHodgeModules, + Author = {Saito, Morihiko}, + Coden = {KRMPBV}, + Doi = {10.2977/prims/1195171082}, + Fjournal = {Kyoto University. Research Institute for Mathematical + Sciences. Publications}, + Issn = {0034-5318}, + Journal = {Publ. Res. Inst. Math. Sci.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}{DOI:10.2977/prims/1195171082}}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32J25)}, + Mrnumber = {1047415 (91m:14014)}, + Mrreviewer = {Min Ho Lee}, + Number = 2, + Pages = {221--333}, + Title = {Mixed {H}odge modules}, + Url = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082}, + Volume = 26, + Year = 1990, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.2977/prims/1195171082} +} + +@incollection{Saito:Theory, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Saito, Morihiko}, + Booktitle = {Selected papers on number theory, algebraic geometry, and differential geometry}, + Mrclass = {14D07 (14C30 32C38 32S35)}, + Mrnumber = 1308540, + Pages = {47--61}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2}, + Title = {On the theory of mixed {H}odge modules}, + Volume = 160, + Year = 1994, + Note = {\href{https://doi.org/10.1090/trans2/160/04}{DOI:10.1090/trans2/160/04}} +} + +@article{Salamon82, + Author = {S.~Salamon}, + Journal = {Invent.~Math.}, + Pages = {143--171}, + Title = {Quaternionic Kähler Manifolds}, + Volume = 67, + Year = 1982 +} + +@article{Sar81, + Author = {V. Sarkisov}, + Journal = {Math. USSR Izvestija}, + Title = {Birational Automorphisms of Conic Bundles}, + Volume = 17, + Year = 1981 +} + +@article {Sch17, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On a theorem of {C}ampana and {P}ăun}, + JOURNAL = {Épijournal Geom. Algébrique}, + FJOURNAL = {Épijournal de Géométrie Algébrique. EPIGA}, + Note = {Available online at \url{https://epiga.episciences.org/3871}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1704.03034}{arXiv:1704.03034}}, + VOLUME = {1}, + YEAR = {2017}, + PAGES = {Art. 8, 9}, + ISSN = {2491-6765}, + MRCLASS = {14C20 (14F10)}, + MRNUMBER = {3743111}, +MRREVIEWER = {Hao Sun}, +} + +@Unpublished{Schnell14a, + author = {Schnell, Christian}, + title = {An overview of {M}orihiko {S}aito's theory of mixed {H}odge modules}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1405.3096}{arXiv:1405.3096}}, + month = {May}, + year = 2014 +} + +@Unpublished{Schwald16, + author = {Schwald, Martin}, + title = {Low degree {H}odge theory for klt varieties}, + note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1612.01919}{arXiv:1612.01919}}, + OPTkey = {}, + month = {December}, + year = {2016}, + OPTannote = {} +} + +@book{SecondAsterisque, + Address = {Paris}, + Author = {Kollár, János}, + Issn = {0303-1179}, + Mrclass = {14E30 (14E35 14M10)}, + Mrnumber = {1225842 (94f:14013)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Note = {Papers from the Second Summer Seminar on Algebraic Geometry held at the University of Utah, Salt Lake City, Utah, August 1991, Astérisque No. 211 (1992)}, + Pages = {1--258}, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Title = {Flips and abundance for algebraic threefolds}, + Year = 1992 +} + +@article{Seidenberg50, + Author = {Seidenberg, Abraham}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0037548 (12,279a)}, + Mrreviewer = {P. Samuel}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}{DOI:10.1090/S0002-9947-1950-0037548-0}}, + Pages = {357--386}, + Title = {The hyperplane sections of normal varieties}, + Volume = 69, + Year = 1950 +} + +@book{SerreLocalFields, + AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre}, + TITLE = {Local fields}, + SERIES = {Graduate Texts in Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5673-9}{DOI:10.1007/978-1-4757-5673-9}}, + VOLUME = 67, + NOTE = {Translated from the French by Marvin Jay Greenberg}, + PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York-Berlin}, + YEAR = 1979, + PAGES = {viii+241}, + ISBN = {0-387-90424-7}, + MRCLASS = {12Bxx}, + MRNUMBER = 554237, +} + +@book{Seshadri82, + Address = {Paris}, + Author = {Seshadri, C. S.}, + Mrclass = {14F05 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {699278 (85b:14023)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + Note = {Notes written by J.-M. Drezet from a course at the École + Normale Supérieure, June 1980}, + Pages = 209, + Publisher = {Société Mathématique de France}, + Series = {Astérisque}, + Title = {Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques}, + Volume = 96, + Year = 1982 +} + +@article{Sh86, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Fjournal = {Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya}, + Issn = {0373-2436}, + Journal = {Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, + Mrclass = {14E30 (14C20 14C40)}, + Mrnumber = {794958 (87j:14016)}, + Mrreviewer = {I. Dolgachev}, + Number = 3, + Pages = {635--651}, + Title = {A nonvanishing theorem}, + Volume = 49, + Year = 1985 +} + +@incollection{Shaf63, + Address = {Djursholm}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Booktitle = {Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962)}, + Mrclass = {10.65 (12.50)}, + Mrnumber = {0202709 (34 \#2569)}, + Mrreviewer = {P. Roquette}, + Note = {English translation: Amer.\ Math.\ Soc.\ Transl.\ (2) {\bf 31} + (1963), 25--39}, + Pages = {163--176}, + Publisher = {Inst. Mittag-Leffler}, + Title = {Algebraic number fields}, + Year = 1963 +} + +@book{Shaf94, + Address = {Berlin}, + Author = {Shafarevich, Igor R.}, + Edition = {Second}, + Isbn = {3-540-54812-2}, + Mrclass = {14-01}, + Mrnumber = {1328833 (95m:14001)}, + Note = {Varieties in projective space, Translated from the 1988 + Russian edition and with notes by Miles Reid}, + Pages = {xx+303}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Title = {Basic algebraic geometry. 1}, + Year = 1994 +} + +@article{Shimura55, + Author = {Shimura, Goro}, + Journal = {Amer. J. Math.}, + Mrclass = {14.0X}, + Mrnumber = {0066687 (16,616d)}, + Pages = {134--176}, + Title = {Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete + valuation of the basic field}, + Volume = 77, + Year = 1955 +} + +@article {Simons, + AUTHOR = {Simons, James}, + TITLE = {On the transitivity of holonomy systems}, + JOURNAL = {Ann. of Math. (2)}, + FJOURNAL = {Annals of Mathematics. Second Series}, + VOLUME = 76, + YEAR = 1962, + PAGES = {213--234}, + ISSN = {0003-486X}, + MRCLASS = {53.50 (53.72)}, + MRNUMBER = 0148010, + MRREVIEWER = {H. Ozeki}, +} + +@incollection{Siu04, + Address = {Berlin}, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Booktitle = {The legacy of Niels Henrik Abel}, + Mrclass = {32Q45 (14J29 14K05 32H30)}, + Mrnumber = {2077584 (2005h:32061)}, + Mrreviewer = {William A. Cherry}, + Pages = {543--566}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Hyperbolicity in complex geometry}, + Year = 2004 +} + +@misc{Siu06, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Month = {October}, + Note = {preprint math.AG/0610740}, + Title = {A General Non-Vanishing Theorem and an Analytic Proof of the + Finite Generation of the Canonical Ring}, + Year = 2006 +} + +@article{Siu68, + Author = {Siu, Yum-tong}, + Fjournal = {Proceedings of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9939}, + Journal = {Proc. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {32.50}, + Mrnumber = {0232966 (38 \#1289)}, + Mrreviewer = {G. Trautmann}, + Pages = {1262--1263}, + Title = {Extension of coherent analytic subsheaves}, + Volume = 19, + Year = 1968 +} + +@article{Siu75, + ISSN = {0003486X}, + URL = {http://www.jstor.org/stable/1971038}, + author = {Yum-Tong Siu}, + journal = {Annals of Mathematics}, + number = 3, + pages = {421-462}, + publisher = {Annals of Mathematics}, + title = {{Extension of Meromorphic Maps Into Kähler Manifolds}}, + volume = 102, + year = 1975 +} + +@article {Siu81, + AUTHOR = {Siu, Yum-Tong}, + TITLE = {Strong rigidity of compact quotients of exceptional bounded symmetric domains}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = {48}, + YEAR = {1981}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}{DOI:10.1215/S0012-7094-81-04847-X}}, + NUMBER = {4}, + PAGES = {857--871}, + ISSN = {0012-7094}, + MRCLASS = {32M15 (53C55 58E20)}, + MRNUMBER = {782581}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-81-04847-X}, +} + +@article{Siu89, + Author = {Y.-T. Siu}, + Journal = {J. reine angw. Math.}, + Note = {Errata 431 (1992)}, + Pages = {208--219}, + Title = {Nondeformability of the complex projective space}, + Volume = 399, + Year = 1989 +} + +@article{Siu98, + Author = {Siu, Yum-Tong}, + Coden = {INVMBH}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32L10 (32G13 32J18)}, + Mrnumber = {1660941 (99i:32035)}, + Mrreviewer = {János Kollár}, + Number = 3, + Pages = {661--673}, + Title = {Invariance of plurigenera}, + Volume = 134, + Year = 1998 +} + +@article {Skorobogatov, + AUTHOR = {Skorobogatov, Alexei N.}, + TITLE = {Beyond the {M}anin obstruction}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s002220050291}{DOI:10.1007/s002220050291}}, + VOLUME = {135}, + YEAR = {1999}, + NUMBER = {2}, + PAGES = {399--424}, + ISSN = {0020-9910}, + MRCLASS = {14F22 (11G35 14F42 14G25)}, + MRNUMBER = {1666779}, +MRREVIEWER = {Tamás Szamuely}, + DOI = {10.1007/s002220050291}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s002220050291}, +} + +@article{Smeets, + AUTHOR = {Smeets, Arne}, + TITLE = {Insufficiency of the étale {B}rauer-{M}anin obstruction: towards a simply connected example}, + JOURNAL = {Amer. J. Math.}, + FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}{DOI:10.1353/ajm.2017.0010}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1409.6706}{arXiv:1409.6706}}, + VOLUME = 139, + YEAR = 2017, + NUMBER = 2, + PAGES = {417--431}, + ISSN = {0002-9327}, + MRCLASS = {14F22 (11G35)}, + MRNUMBER = 3636635, + MRREVIEWER = {Giancarlo Lucchini Arteche}, + DOI = {10.1353/ajm.2017.0010}, + URL = {https://doi.org/10.1353/ajm.2017.0010}, +} + +@article {Snow86, + AUTHOR = {Snow, Dennis M.}, + TITLE = {Cohomology of twisted holomorphic forms on {G}rassmann + manifolds and quadric hypersurfaces}, + JOURNAL = {Math. Ann.}, + FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, + VOLUME = {276}, + YEAR = {1986}, + NUMBER = {1}, + PAGES = {159--176}, + ISSN = {0025-5831}, + MRCLASS = {32L10 (14M15 22E46 32F10)}, + MRNUMBER = {863714}, +MRREVIEWER = {Floyd L. Williams}, + DOI = {10.1007/BF01450932}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01450932}, +} + + +@article{So75, + Author = {Sommese, Andrew John}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {53C15 (32L05 32C10)}, + Mrnumber = {0425827 (54 \#13778)}, + Mrreviewer = {S. Ramanan}, + Pages = {191--214}, + Title = {Quaternionic manifolds}, + Volume = 212, + Year = {1974/75} +} + + +@Book{Sobel, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Bloomsbury USA}, + year = {2007}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + OPTaddress = {}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN-10: 0007790163, ISBN-13: 978-0007790166}, + OPTannote = {} +} + +@Book{SobelIll, + author = {Sobel, Dava}, + ALTeditor = {}, + title = {The illustrated Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the Greatest Scientific Problem of His Time}, + publisher = {Walker}, + year = {1998}, + OPTkey = {}, + OPTvolume = {}, + OPTnumber = {}, + OPTseries = {}, + address = {New York}, + OPTedition = {}, + OPTmonth = {}, + note = {ISBN: 0-8027-1344-0}, + OPTannote = {} +} + +@article {Sormani, + AUTHOR = {Sormani, Christina and Wei, Guofang}, + TITLE = {Hausdorff convergence and universal covers}, + JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, + VOLUME = 353, + YEAR = 2001, + NUMBER = 9, + PAGES = {3585--3602 (electronic)}, + ISSN = {0002-9947}, + CODEN = {TAMTAM}, + MRCLASS = {53C23 (53C20)}, + MRNUMBER = 1837249, + MRREVIEWER = {Wilderich Tuschmann}, + DOI = {10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, + URL = {https://doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02802-1}, +} + +@book{Spanier66, + Address = {New York}, + Author = {Spanier, Edwin H.}, + Mrclass = {55.00}, + Mrnumber = {0210112 (35 \#1007)}, + Mrreviewer = {S.-T. Hu}, + Pages = {xiv+528}, + Publisher = {McGraw-Hill Book Co.}, + Title = {Algebraic topology}, + Year = 1966 +} + +@book{Spivak79, + Author = {M.~Spivak}, + Edition = {2nd}, + Publisher = {Publish or Perish, Inc.}, + Title = {A comprehensive introduction to differential geometry}, + Year = 1979 +} + +@article{St96, + Author = {Steffens, A.}, + Coden = {MAANA}, + Doi = {10.1007/BF01446311}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14J45 (14J60 32L07)}, + Mrnumber = {1380447 (97c:14040)}, + Mrreviewer = {Lin Weng}, + Number = 4, + Pages = {635--643}, + Title = {On the stability of the tangent bundle of {F}ano manifolds}, + Url = {https://doi.org/10.1007/BF01446311}, + Volume = 304, + Year = 1996, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1007/BF01446311} +} + +@article{Steenbrink85, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Fjournal = {Astérisque}, + Issn = {0303-1179}, + Journal = {Astérisque}, + Mrclass = {14F10 (14F40 32L20)}, + Mrnumber = {804061 (87j:14026)}, + Mrreviewer = {Fabio Bardelli}, + Note = {Differential systems and singularities (Luminy, 1983)}, + Number = 130, + Pages = {330--341}, + Title = {Vanishing theorems on singular spaces}, + Year = 1985 +} + +@incollection{SteenbrinkMixedHodgeStructuresSingularities, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Steenbrink, Joseph H.M.}, + Booktitle = {Singularities, {P}art 2 ({A}rcata, {C}alif., 1981)}, + Mrclass = {32G11 (14B05 14B07 14C30 14D05)}, + Mrnumber = {713277 (85d:32044)}, + Mrreviewer = {Jerome William Hoffman}, + Pages = {513--536}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Proc. Sympos. Pure Math.}, + Title = {Mixed {H}odge structures associated with isolated + singularities}, + Volume = 40, + Year = 1983 +} + +@article {Stoppino, + AUTHOR = {Stoppino, Lidia}, + TITLE = {Fibrations of {C}ampana general type on surfaces}, + JOURNAL = {Geom. Dedicata}, + FJOURNAL = {Geometriae Dedicata}, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}{DOI:10.1007/s10711-011-9578-z}}, + VOLUME = 155, + YEAR = 2011, + PAGES = {69--80}, + ISSN = {0046-5755}, + MRCLASS = {14D06 (14J29)}, + MRNUMBER = 2863894, + MRREVIEWER = {Paul A. Hacking}, + DOI = {10.1007/s10711-011-9578-z}, + URL = {https://doi.org/10.1007/s10711-011-9578-z}, +} + +@incollection{Su90a, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Recent topics in differential and analytic geometry}, + Mrclass = {32L07 (14J40 32C17 53C25)}, + Mrnumber = {1145268 (93b:32047)}, + Mrreviewer = {Robert J. Fisher, Jr.}, + Pages = {417--433}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Einstein-{K}ähler metrics on minimal varieties of general type + and an inequality between {C}hern numbers}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@incollection{Su90b, + Author = {Sugiyama, Kenichi}, + Booktitle = {Kähler metric and moduli spaces}, + Mrclass = {32L07 (14F05 53C25)}, + Mrnumber = {1145247 (93f:32031)}, + Mrreviewer = {Yoichi Miyaoka}, + Pages = {85--103}, + Publisher = {Academic Press, Boston, MA}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {On tangent sheaves of minimal varieties}, + Volume = 18, + Year = 1990 +} + +@article{Sun05, + Author = {Sun, Xiaotao}, + Coden = {MAANA}, + Fjournal = {Mathematische Annalen}, + Issn = {0025-5831}, + Journal = {Math. Ann.}, + Mrclass = {14H60}, + Mrnumber = 2148802, + Number = 4, + Pages = {925--937}, + Title = {Minimal rational curves on moduli spaces of stable bundles}, + Volume = 331, + Year = 2005 +} + +@article{Szabo95, + Author = {Szabó, Endre}, + Fjournal = {The University of Tokyo. Journal of Mathematical Sciences}, + Issn = {1340-5705}, + Journal = {J. Math. Sci. Univ. Tokyo}, + Mrclass = {14E15 (14E30)}, + Mrnumber = {1322695 (96f:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Number = 3, + Pages = {631--639}, + Title = {Divisorial log terminal singularities}, + Volume = 1, + Year = 1994 +} + +@article {Szpiro81, + AUTHOR = {Szpiro, Lucien}, + TITLE = {Propriétés numériques du faisceau dualisant relatif}, + NOTE = {Seminar on Pencils of Curves of Genus at Least Two}, + JOURNAL = {Astérisque}, + FJOURNAL = {Astérisque}, + NUMBER = 86, + YEAR = 1981, + PAGES = {44--78}, + ISSN = {0303-1179}, + MRCLASS = {14G40 (11G05 11G30)}, + MRNUMBER = 3618571, +} + +@article{TY15, + Author = {To, Wing-Keung and Yeung, Sai-Kee}, + Date-Modified = {2017-10-12 14:04:39 +0000}, + Journal = {Ann. Math.}, + Note = {\href{http://annals.math.princeton.edu/2015/181-2/p03}{DOI:10.4007/annals.2015.181.2.3}}, + Number = 2, + Pages = {547--586}, + Title = {Finsler metrics and {K}obayashi hyperbolicity of the moduli spaces of canonically polarized manifolds}, + Volume = 181, + Year = 2015} + +@Unpublished{Taj18, + Author = {Taji, Behrouz}, + Note = {Preprint \href{https://arxiv.org/abs/1809.05616}{arXiv:1809.05616}}, + Title = {Remarks on the {K}odaira dimension of base spaces of families of manifolds}, + Year = {2018} + } + +@article{Taji16, + Author = {Taji,Behrouz}, + Title = {The isotriviality of smooth families of canonically polarized + manifolds over a special quasi-projective base}, + FJournal = {Compositio Mathematica}, + Journal = {Compositio. Math.}, + Volume = 152, + Issue = 07, + Month = 7, + Year = 2016, + Issn = {1570-5846}, + Pages = {1421--1434}, + doi = {10.1112/S0010437X1600734X}, + Note = {\href{http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}{DOI:10.1112/S0010437X1600734X}}, + URL = {http://journals.cambridge.org/article_S0010437X1600734X}, +} + +@article{Takayama03, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Coden = {TAMTAM}, + Fjournal = {Transactions of the American Mathematical Society}, + Issn = {0002-9947}, + Journal = {Trans. Amer. Math. Soc.}, + Mrclass = {14D06 (14C20 14E05)}, + Mrnumber = {2003f:14011}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Number = 1, + Pages = {37--47 (electronic)}, + Title = {Iitaka's fibrations via multiplier ideals}, + Volume = 355, + Year = 2003 +} + +@article{Takayama2003, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Doi = {10.1142/S0129167X0300196X}, + Fjournal = {International Journal of Mathematics}, + Issn = {0129-167X}, + Journal = {Internat. J. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14B05 14E20 32J25)}, + Mrnumber = {2013147 (2004m:14023)}, + Mrreviewer = {Massimiliano Mella}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}{DOI:10.1142/S0129167X0300196X}}, + Number = 8, + Pages = {825--836}, + Title = {Local simple connectedness of resolutions of log-terminal singularities}, + Url = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X}, + Volume = 14, + Year = 2003, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1142/S0129167X0300196X} +} + +@article{TakayamaSimpleConnectedness, + Author = {Takayama, Shigeharu}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14J45 (14F45 32Q55)}, + Mrnumber = {1735807 (2001d:14042)}, + Mrreviewer = {Jarosław A. Wiśniewski}, + Number = 2, + Pages = {403--407}, + Title = {Simple connectedness of weak {F}ano varieties}, + Volume = 9, + Year = 2000 +} + +@book{Taylor, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Taylor, Joseph L.}, + Isbn = {0-8218-3178-X}, + Mrclass = {32-01 (14-01 20-01 22-01)}, + Mrnumber = {1900941 (2004b:32001)}, + Mrreviewer = {Vasile Brînz{ă}nescu}, + Pages = {xvi+507}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Graduate Studies in Mathematics}, + Title = {Several complex variables with connections to algebraic + geometry and {L}ie groups}, + Volume = 46, + Year = 2002 +} + +@incollection{Teissier, + Author = {Teissier, Bernard}, + Booktitle = {Real and complex singularities ({P}roc. {N}inth {N}ordic + {S}ummer {S}chool/{NAVF} {S}ympos. {M}ath., {O}slo, 1976)}, + Mrclass = {14B05}, + Mrnumber = {0568901 (58 \#27964)}, + Mrreviewer = {Jonathan M. Wahl}, + Pages = {565--678}, + Publisher = {Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn}, + Title = {The hunting of invariants in the geometry of discriminants}, + Year = 1977 +} + +@article{Tian-Zhang, + Author = {Tian, Gang and Zhang, Zhou}, + Date-Added = {2015-06-11 18:38:59 +0000}, + Date-Modified ={2015-06-11 18:42:14 +0000}, + Journal = {Chinese Ann. Math. Ser. B}, + Volume = 27, + Number = 2, + Pages = {179-192}, + Title = {On the {K}ähler-{R}icci flow on projective manifolds of general type}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/s11401-005-0533-x}{DOI:10.1007/s11401-005-0533-x}}, + Year = 2006 +} + +@article{Tits72, + Author = {Tits, J.}, + Fjournal = {Journal of Algebra}, + Issn = {0021-8693}, + Journal = {J. Algebra}, + Mrclass = {20.75}, + Mrnumber = {0286898 (44 \#4105)}, + Mrreviewer = {B. A. F. Wehrfritz}, + Pages = {250--270}, + Title = {Free subgroups in linear groups}, + Volume = 20, + Year = 1972 +} + +@misc{Tsu00, + Author = {Tsuji, Hajime}, + Note = {Preprint}, + Title = {Numerically trivial fibrations}, + Year = 2000 +} + +@book{Ueno75, + Address = {Berlin}, + Author = {Ueno, Kenji}, + Mrclass = {14D20 (32J25)}, + Mrnumber = {0506253 (58 \#22062)}, + Mrreviewer = {D. Lieberman}, + Note = {Notes written in collaboration with P.\ Cherenack. \href{https://doi.org/10.1007/BFb0070574}{DOI:10.1007/BFb0070574}}, + Pages = {xix+278}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 439}, + Title = {Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces}, + Year = 1975 +} + +@article{UhlenbeckYau86, + Author = {Uhlenbeck, Karen and Yau, Shing-Tung}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160390714}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58G05 (32L15 53C05 58E15)}, + Mrnumber = {861491 (88i:58154)}, + Mrreviewer = {Daniel S. Freed}, + Note = {Frontiers of the mathematical sciences: 1985 (New York, 1985) \href{https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}{DOI:10.1002/cpa.3160390714}}, + Number = {S, suppl.}, + Pages = {S257--S293}, + Title = {On the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714}, + Volume = 39, + Year = 1986, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160390714} +} + +@article{UhlenbeckYau89, + Author = {Uhlenbeck, K. and Yau, S.-T.}, + Coden = {CPAMA}, + Doi = {10.1002/cpa.3160420505}, + Fjournal = {Communications on Pure and Applied Mathematics}, + Issn = {0010-3640}, + Journal = {Comm. Pure Appl. Math.}, + Mrclass = {58E15 (32L15 53C05 58G05)}, + Mrnumber = {997570 (90i:58029)}, + Number = 5, + Pages = {703--707}, + Title = {A note on our previous paper: ``{O}n the existence of {H}ermitian-{Y}ang-{M}ills connections in stable vector bundles'' [{C}omm.\ {P}ure {A}ppl.\ {M}ath.\ {\bf 39} (1986), + {S}257--{S}293; {MR}0861491 (88i:58154)]}, + Url = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505}, + Volume = 42, + Year = 1989, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1002/cpa.3160420505} +} + +@incollection{VZ02, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Complex geometry (Göttingen, 2000)}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-56202-0_16}{DOI:10.1007/978-3-642-56202-0\_16}. Preprint \href{https://arxiv.org/abs/math/0103122}{arXiv:math/0103122}}, + Mrclass = {14D06 (14E30)}, + Mrnumber = {1922109 (2003h:14019)}, + Mrreviewer = {Mark Gross}, + Pages = {279--328}, + Publisher = {Springer}, + Title = {Base spaces of non-isotrivial families of smooth minimal + models}, + Year = 2002 +} + +@article {VZ03, + AUTHOR = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + TITLE = {On the {B}rody hyperbolicity of moduli spaces for canonically polarized manifolds}, + JOURNAL = {Duke Math. J.}, + FJOURNAL = {Duke Mathematical Journal}, + VOLUME = 118, + YEAR = 2003, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}{DOI:10.1215/S0012-7094-03-11815-3}}, + NUMBER = 1, + PAGES = {103--150}, + ISSN = {0012-7094}, + CODEN = {DUMJAO}, + MRCLASS = {14J15 (14J10 32G05 32Q45)}, + MRNUMBER = 1978884, + MRREVIEWER = {Sándor J. Kovács}, + DOI = {10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, + URL = {https://doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11815-3}, +} + +@article{Verdier76, + Author = {Verdier, Jean-Louis}, + Fjournal = {Inventiones Mathematicae}, + Issn = {0020-9910}, + Journal = {Invent. Math.}, + Mrclass = {32C40 (32B20)}, + Mrnumber = {0481096 (58 \#1242)}, + Mrreviewer = {Andre Galligo}, + Pages = {295--312}, + Title = {Stratifications de {W}hitney et théorème de {B}ertini-{S}ard}, + Volume = 36, + Year = 1976 +} + +@article{Vie-Zuo01, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14D06 (14J10)}, + Mrnumber = {1838979 (2002g:14012)}, + Mrreviewer = {Sándor J Kovács}, + Number = 4, + Pages = {781--799}, + Title = {On the isotriviality of families of projective manifolds over curves}, + Volume = 10, + Year = 2001 +} + +@incollection{Vie-Zuo03b, + Author = {Viehweg, Eckart and Zuo, Kang}, + Booktitle = {Surveys in differential geometry, Vol.\ VIII (Boston, MA, 2002)}, + Mrclass = {14E30 (14D20)}, + Mrnumber = 2039995, + Pages = {337--356}, + Publisher = {Int. Press, Somerville, MA}, + Series = {Surv. Differ. Geom., VIII}, + Title = {Discreteness of minimal models of {K}odaira dimension zero and subvarieties of moduli stacks}, + Year = 2003 +} + +@incollection{Viehweg01, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)}, + Mrclass = {14H10 (14J10)}, + Mrnumber = {1919460 (2003f:14024)}, + Mrreviewer = {Arvid Siqveland}, + Note = {Available on the \href{http://www.ictp.trieste.it/~pub_off/services}{ICTP web site}}, + Pages = {249--284}, + Publisher = {Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste}, + Series = {ICTP Lect. Notes}, + Title = {Positivity of direct image sheaves and applications to families of higher dimensional manifolds}, + Volume = 6, + Year = 2001 +} + +@unpublished{Viehweg06, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Month = {May}, + Note = {\href{http://arxiv.org/abs/math/0605093}{arXiv:math/0605093}. To appear in Annals of Maths.}, + Title = {Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds}, + Year = 2006 +} + +@incollection{Viehweg83, + Address = {Amsterdam}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981)}, + Mrclass = {14J10 (14D20 14F05)}, + Mrnumber = {715656 (85b:14041)}, + Mrreviewer = {Yujiro Kawamata}, + Pages = {329--353}, + Publisher = {North-Holland}, + Series = {Adv. Stud. Pure Math.}, + Title = {Weak positivity and the additivity of the {K}odaira dimension + for certain fibre spaces}, + Volume = 1, + Year = 1983 +} + +@book{Viehweg95, + Address = {Berlin}, + Author = {Viehweg, Eckart}, + Isbn = {3-540-59255-5}, + Mrclass = {14-02 (14D20 14D22)}, + Mrnumber = {1368632 (97j:14001)}, + Mrreviewer = {P. E. Newstead}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-79745-3}{DOI:10.1007/978-3-642-79745-3}}, + Pages = {viii+320}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results + in Mathematics and Related Areas (3)]}, + Title = {Quasi-projective moduli for polarized manifolds}, + Volume = 30, + Year = 1995 +} + +@article{Viray, + AUTHOR = {Viray, Bianca}, + TITLE = {A family of varieties with exactly one pointless rational fiber}, + JOURNAL = {J. Théor. Nombres Bordeaux}, + FJOURNAL = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux}, + NOTE = {Available on the internet at \href{http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0}{jtnb.cedram.org/item?id=JTNB$\_$2010$\_\_$22$\_$3$\_$741$\_$0}}, + VOLUME = 22, + YEAR = 2010, + NUMBER = 3, + PAGES = {741--745}, + ISSN = {1246-7405}, + MRCLASS = {14G25 (14G05)}, + MRNUMBER = 2769342, + URL = {http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2010__22_3_741_0} +} + +@book{Voisin-Hodge1, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Edition = {English}, + Isbn = {978-0-521-71801-1}, + Mrclass = {32J25 (14C30 14D07 32G20)}, + Mrnumber = {2451566 (2009j:32014)}, + Pages = {x+322}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {Hodge theory and complex algebraic geometry. {I}}, + Volume = 76, + Year = 2007 +} + +@article{Wah83, + Author = {Jonathan Wahl}, + Journal = {Invent. Math.}, + Number = 4, + Pages = {315--322}, + Title = {{A cohomological characterization of $\mathbb P_n$}}, + Note = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01389326}{DOI:10.1007/BF01389326}}, + Volume = 72, + Year = 1983 +} + +@article{Wahl85, + Author = {Wahl, Jonathan M.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {32B30 (14B07 14J17 32G11)}, + Mrnumber = {799816 (87e:32013)}, + Mrreviewer = {Ulrich Karras}, + Number = 3, + Pages = {269--288}, + Title = {A characterization of quasihomogeneous {G}orenstein surface + singularities}, + Volume = 55, + Year = 1985 +} + +@book{Warner83, + Address = {New York}, + Author = {Warner, Frank W.}, + Isbn = {0-387-90894-3}, + Mrclass = {58-01 (22-01 53-01 57R99)}, + Mrnumber = {722297 (84k:58001)}, + Note = {Corrected reprint of the 1971 edition}, + Pages = {ix+272}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {Foundations of differentiable manifolds and {L}ie groups}, + Volume = 94, + Year = 1983 +} + +@book{Weibel94, + Address = {Cambridge}, + Author = {Weibel, Charles A.}, + Isbn = {0-521-43500-5; 0-521-55987-1}, + Mrclass = {18-01 (16-01 17-01 20-01 55Uxx)}, + Mrnumber = {1269324 (95f:18001)}, + Mrreviewer = {Kenneth A. Brown}, + Pages = {xiv+450}, + Publisher = {Cambridge University Press}, + Series = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics}, + Title = {An introduction to homological algebra}, + Volume = 38, + Year = 1994 +} + +@article{Wie03, + Author = {Wierzba, Jan}, + Fjournal = {Journal of Algebraic Geometry}, + Issn = {1056-3911}, + Journal = {J. Algebraic Geom.}, + Mrclass = {14E15 (14B05 32J18)}, + Mrnumber = {1966025 (2003m:14023)}, + Mrreviewer = {Baohua Fu}, + Number = 3, + Pages = {507--534}, + Title = {Contractions of symplectic varieties}, + Volume = 12, + Year = 2003 +} + +@article{Wil81, + Author = {Wilson, P. M. H.}, + Coden = {CMPMAF}, + Fjournal = {Compositio Mathematica}, + Issn = {0010-437X}, + Journal = {Compositio Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J30)}, + Mrnumber = {632435 (83g:14014)}, + Mrreviewer = {Knud L{\o}nsted}, + Note = {\href{http://www.numdam.org/item/CM_1981__43_3_365_0}{numdam.CM_1981__43_3_365_0}}, + Number = 3, + Pages = {365--385}, + Title = {On the canonical ring of algebraic varieties}, + Url = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0}, + Volume = 43, + Year = 1981, + Bdsk-Url-1 = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1981__43_3_365_0} +} + +@article{Wilson77, + Annote = {Kebekus: Wilson compares the normalisation of a variety with + what you obtain by blowing-up the conductor ideal and gives + conditions on when both are the same. Nice to read, gives a + good example}, + Author = {P.M.H. Wilson}, + Journal = {Math. Proc. Camb. Phil. Soc.}, + Pages = {445--450}, + Title = {On blowing up conductor ideals}, + Volume = 83, + Year = 1978 +} + +@book{Winkelmann, + Author = {J. Winkelmann}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {The Classification of Three-dimensional Homogeneous Complex Manifolds}, + Volume = 1602, + Year = 1995 +} + +@article{Wolf65, + Author = {J.A.~Wolf}, + Journal = {J.~Math.~Mech.}, + Pages = {1033--1047}, + Title = {Complex homogeneous contact structures and quaternionic symmetric spaces}, + Volume = 14, + Year = 1965 +} + +@article{Xu12, + Author = {Xu, Chenyang}, + Journal = {Compositio Math.}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1112/S0010437X13007562}{DOI:10.1112/S0010437X13007562}. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.5564}{arXiv:1210.5564}}, + Number = 3, + Pages = {409--414}, + Title = {Finiteness of algebraic fundamental groups}, + Volume = 150, + Year = 2014 +} + +@Unpublished{YXu18, + author = {Xu, Yanning}, + title = {Summary on {P}roof of {BAB}}, + note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1804.07681}{arXiv:1804.07681}}, + month = {April}, + year = 2018 +} + +@article{Ye94, + Author = {Y.-G. Ye}, + Journal = {Invent. Math.}, + Pages = {311--314}, + Title = {A note on complex projective threefolds admitting holomorphic contact structures}, + Volume = 115, + Year = 1994 +} + +@incollection{ZY89, + Author = {Za{\u\i}denberg, Mikhail G. and Lin, Vladimir Y.}, + Booktitle = {Several complex variables. {III}}, + Mrclass = {32-06 (32Axx)}, + Mrnumber = {995071 (89m:32002)}, + Pages = {112--172}, + Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, + Series = {Encyclopaedia Math. Sci.}, + Title = {Finiteness theorems for holomorphic mappings}, + ISBN = {3-540-17005-7}, + Volume = 9, + Year = 1989, + Note = {Translated from the Russian by J. Peetre. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1}{DOI:10.1007/978-3-642-61308-1}}, + DOI = {10.1007/978-3-642-61308-1}, + URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-61308-1} +} + +@book{Zak93, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zak, Fyodor L.}, + Isbn = {0-8218-4585-3}, + Mrclass = {14M07 (14L30 14M17 14N05)}, + Mrnumber = {94i:14053}, + Mrreviewer = {Andrew J. Sommese}, + Note = {Translated from the Russian manuscript by the author}, + Pages = {viii+164}, + Publisher = {American Mathematical Society}, + Series = {Translations of Mathematical Monographs}, + Title = {Tangents and secants of algebraic varieties}, + Volume = 127, + Year = 1993 +} + +@incollection{Zak98, + Address = {Providence, RI}, + Author = {Zakeri, Saeed}, + Booktitle = {Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology + (Stony Brook, NY, 1998)}, + Mrclass = {37F75 (32S65 34M45)}, + Mrnumber = {1810540 (2001m:37094)}, + Mrreviewer = {Pedro Fortuny Ayuso}, + Pages = {179--233}, + Publisher = {Amer. Math. Soc.}, + Series = {Contemp. Math.}, + Title = {Dynamics of singular holomorphic foliations on the complex + projective plane}, + Volume = 269, + Year = 2001 +} + +@article{Zar62, + Author = {Zariski, Oscar}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Issn = {0003-486X}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Mrclass = {14.20 (14.15)}, + Mrnumber = {0141668 (25 \#5065)}, + Mrreviewer = {Y. Nakai}, + Pages = {560--615}, + Title = {The theorem of {R}iemann-{R}och for high multiples of an + effective divisor on an algebraic surface}, + Volume = 76, + Year = 1962 +} + +@article{Zh06, + Author = {Zhang, Qi}, + Coden = {JRMAA8}, + Doi = {10.1515/CRELLE.2006.006}, + Fjournal = {Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}, + Issn = {0075-4102}, + Journal = {J. Reine Angew. Math.}, + Mrclass = {14E30 (14J45)}, + Mrnumber = {2208131 (2006m:14021)}, + Mrreviewer = {Stefan Kebekus}, + Pages = {131--142}, + Title = {Rational connectedness of log {${\bf Q}$}-{F}ano varieties}, + Url = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006}, + Volume = 590, + Year = 2006, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1515/CRELLE.2006.006} +} + +@article {Zhang06, + AUTHOR = {Zhang, Zhou}, + TITLE = {On degenerate {M}onge-{A}mpère equations over closed {K}ähler + manifolds}, + JOURNAL = {Int. Math. Res. Not.}, + FJOURNAL = {International Mathematics Research Notices}, + YEAR = 2006, + PAGES = {1--18}, + ISSN = {1073-7928}, + MRCLASS = {32W20 (32Q15)}, + MRNUMBER = {2233716 (2007b:32058)}, + MRREVIEWER = {S{\l}awomir Ko{\l}odziej}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}{DOI:10.1155/IMRN/2006/63640}}, + DOI = {10.1155/IMRN/2006/63640}, + URL = {https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/63640}, +} + +@article{Zhang88, + Author = {Zhang, De-Qi}, + Coden = {OJMAA7}, + Fjournal = {Osaka Journal of Mathematics}, + Issn = {0030-6126}, + Journal = {Osaka J. Math.}, + Mrclass = {14J10 (14J17 14J25)}, + Mrnumber = {957874 (89k:14059)}, + Mrreviewer = {L. B{ă}descu}, + Number = 2, + Pages = {461--497}, + Title = {Logarithmic del {P}ezzo surfaces of rank one with contractible boundaries}, + Volume = 25, + Year = 1988 +} + +@article{Zuo00, + Author = {Zuo, Kang}, + Fjournal = {The Asian Journal of Mathematics}, + Issn = {1093-6106}, + Journal = {Asian J. Math.}, + Mrclass = {32G20 (14D07 32J25)}, + Mrnumber = {1803724 (2002a:32011)}, + Mrreviewer = {Jan Nagel}, + Note = {Kodaira's issue}, + Number = 1, + Pages = {279--301}, + Title = {On the negativity of kernels of {K}odaira-{S}pencer maps on {H}odge bundles and applications}, + Volume = 4, + Year = 2000 +} + +@unpublished{arXiv:1210.2092, + Author = {Campana, Frédéric and Demailly, Jean-Pierre and Peternell, Thomas}, + Month = {October}, + Note = {To appear in the proceedings of the conference 'Recent Advances in Algebraic Geometry', in honour of Robert Lazarsfeld 60th birthday. Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1210.2092}{arXiv:1210.2092}.}, + Title = {Rationally connected manifolds and semipositivity of the {R}icci curvature}, + Year = 2012 +} + +@unpublished{arXiv:1301.0915, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1301.0915}{arXiv:1301.0915}}, + Title = {Singular rationally connected surfaces with non-zero pluri-forms}, + Year = 2013 +} + +@unpublished{arXiv:1401.2014, + Author = {Ou, Wenhao}, + Month = {January}, + Note = {Preprint \href{http://arxiv.org/abs/1401.2014}{arXiv:1401.2014}}, + Title = {Singular rationally connected threefolds with non-zero pluri-forms}, + Year = 2014 +} + +@unpublished{arXiv:1401.4976, + Author = {Graf, Patrick and Kovács, Sándor J.}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.4976}{arXiv:1401.4976}}, + Title = {Potentially {D}u {B}ois spaces}, + Year = 2014 +} + +@phdthesis{arXiv:1401.7495, + Author = {Jörder, Clemens}, + Month = {January}, + Note = {Preprint + \href{http://arxiv.org/abs/1401.7495}{arXiv:1401.7495}}, + School = {Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}, + Title = {On the {P}oincaré {L}emma for reflexive differential forms}, + Year = 2014 +} + +@article{cerveaux-lins_neto-annals, + Author = {Cerveau, D. and Lins Neto, A.}, + Fjournal = {Annals of Mathematics. Second Series}, + Journal = {Ann. of Math. (2)}, + Number = 3, + Pages = {577--612}, + Title = {Irreducible components of the space of holomorphic foliations + of degree two in {$\bold C{\rm P}(n)$}, {$n\geq 3$}}, + Volume = 143, + Year = 1996 +} + +@article{deJongStarr, + Author = {de Jong, A. J. and Starr, Jason}, + Coden = {IJMTAW}, + Fjournal = {Illinois Journal of Mathematics}, + Issn = {0019-2082}, + Journal = {Illinois J. Math.}, + Mrclass = {14C05 (14E08)}, + Mrnumber = {2085418 (2006e:14007)}, + Mrreviewer = {A. Prabhakar Rao}, + Note = + {\href{http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1258138390}{euclid.ijm/1258138390}}, + Number = 2, + Pages = {415--450}, + Title = {Cubic fourfolds and spaces of rational curves}, + Url = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390}, + Volume = 48, + Year = 2004, + Bdsk-Url-1 = {http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.ijm/1258138390} +} + +@article{deRham52, + Author = {G.~de~Rham}, + Journal = {Comment.~Math.~Helv.}, + Pages = {328--344}, + Title = {Sur la réductibilité d'un espace de Riemann}, + Volume = 26, + Year = 1952 +} + +@article{griffiths-abel, + AUTHOR = {Griffiths, Phillip A.}, + TITLE = {Variations on a theorem of {A}bel}, + JOURNAL = {Invent. Math.}, + FJOURNAL = {Inventiones Mathematicae}, + VOLUME = 35, + YEAR = 1976, + PAGES = {321--390}, + ISSN = {0020-9910}, + NOTE = + {\href{https://doi.org/10.1007/BF01390145}{DOI:10.1007/BF01390145}}, + MRCLASS = {14C25 (32J25 14C30)}, + MRNUMBER = 0435074, + MRREVIEWER = {C. A. M. Peters}, + DOI = {10.1007/BF01390145}, + URL = {https://doi.org/10.1007/BF01390145}, +} + +@book{jouanolou_LNM, + Address = {Berlin}, + Author = {Jouanolou, J. P.}, + Pages = {v+255}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Mathematics}, + Title = {{É}quations de {P}faff algébriques}, + Volume = 708, + Year = 1979 +} + + +@incollection{revI, + Address = {Berlin}, + Author = {Esnault, Hélène and Viehweg, Eckart}, + Booktitle = {Algebraic threefolds ({V}arenna, 1981)}, + Mrclass = {14E20 (14F10 14H20 14H30)}, + Mrnumber = {672621 (84m:14015)}, + Mrreviewer = {Anatoly Libgober}, + Pages = {241--250}, + Publisher = {Springer}, + Series = {Lecture Notes in Math.}, + Title = {Revêtements cycliques}, + Volume = 947, + Year = 1982 +} + +@article {saito-vanishing, + AUTHOR = {Schnell, Christian}, + TITLE = {On {S}aito's vanishing theorem}, + JOURNAL = {Math. Res. Lett.}, + FJOURNAL = {Mathematical Research Letters}, + VOLUME = 23, + YEAR = 2016, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}{DOI:10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}}, + NUMBER = 2, + PAGES = {499--527}, + ISSN = {1073-2780}, + MRCLASS = {14C30 (32L20 32S35)}, + MRNUMBER = 3512896, + MRREVIEWER = {Tsz On Mario Chan}, + DOI = {10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, + URL = {https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n2.a10}, +} + +@misc{stacks-project, + shorthand = {Stacks}, + author = {The {Stacks Project Authors}}, + title = {Stacks Project}, + howpublished = {Available on the internet at \href{https://stacks.math.columbia.edu}{stacks.math.columbia.edu}}, + year = 2021, +} + +@incollection{voisin-lagrangian, + Address = {Cambridge}, + Author = {Voisin, Claire}, + Booktitle = {Complex projective geometry ({T}rieste, 1989/{B}ergen, 1989)}, + Doi = {10.1017/CBO9780511662652.022}, + Mrclass = {32G10 (32G13 32J27 58F05)}, + Mrnumber = {1201391 (94b:32029)}, + Mrreviewer = {Olivier Debarre}, + Pages = {294--303}, + Publisher = {Cambridge Univ. Press}, + Series = {London Math. Soc. Lecture Note Ser.}, + Title = {Sur la stabilité des sous-variétés lagrangiennes des variétés + symplectiques holomorphes}, + Url = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022}, + Volume = 179, + Year = 1992, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1017/CBO9780511662652.022} +} + +@book{yellowMonster, + Address = {New York}, + Author = {Hilton, Peter J. and Stammbach, Urs}, + Edition = {Second}, + Isbn = {0-387-94823-6}, + Mrclass = {18-02 (17B56 18Gxx 20J05)}, + Mrnumber = {1438546 (97k:18001)}, + Pages = {xii+364}, + Publisher = {Springer-Verlag}, + Series = {Graduate Texts in Mathematics}, + Title = {A course in homological algebra}, + Volume = 4, + Year = 1997 +} + +@Article{zbMATH00146455, + Author = {Shokurov, Vyacheslav V.}, + Title = {{3-fold log flips. Appendix by Yujiro Kawamata: The minimal + discrepancy coefficients of terminal singularities in + dimension three.}}, + FJournal = {{Russian Academy of Sciences. Izvestiya. Mathematics}}, + Journal = {{Russ. Acad. Sci., Izv., Math.}}, + ISSN = {1064-5632}, + Volume = 40, + Number = 1, + NOTE = {\href{https://doi.org/10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}{DOI:10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}}, + Pages = {95--202}, + Year = 1992, + Publisher = {Turpion, London}, + Language = {English}, + DOI = {10.1070/IM1993v040n01ABEH001862}, + MSC2010 = {14J30 14E05 14E30}, + Zbl = {0785.14023} +} + +@Book{zbMATH06333926, + Author = {Aigner, Martin and Ziegler, Günter M.}, + Title = {Das BUCH der Beweise}, + Edition = {4th revised and expanded ed.}, + ISBN = {978-3-662-44456-6/hbk; 978-3-662-44457-3/ebook}, + Pages = {viii + 344}, + Year = {2015}, + Publisher = {Heidelberg: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + Note = {Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{DOI:10.1007/978-3-662-57767-7}} +} + +@Book{zbMATH07238313, + Author = {Siegfried {Bosch}}, + Title = {{Algebra}}, + Edition = {9th revised edition}, + ISBN = {978-3-662-61648-2/pbk; 978-3-662-61649-9/ebook}, + Note = {\href{https://doi.org/10.1007/978-3-540-92812-6}{DOI:10.1007/978-3-540-92812-6}}, + Pages = {x + 491}, + Year = {2020}, + Publisher = {Berlin: Springer Spektrum}, + Language = {German}, + MSC2010 = {12-01 12Exx 12Fxx 20-01}, + Zbl = {1440.12001} +} + diff --git a/bibliography/skalpha.bst b/bibliography/skalpha.bst new file mode 100644 index 0000000..d23e09d --- /dev/null +++ b/bibliography/skalpha.bst @@ -0,0 +1,1452 @@ +%%% ==================================================================== +%%% @BibTeX-style-file{ +%%% filename = "amsalpha.bst", +%%% version = "2.0", +%%% date = "2000/03/27", +%%% time = "13:49:36 EST", +%%% checksum = "00166 1404 4124 29978", +%%% author = "American Mathematical Society", +%%% address = "American Mathematical Society, +%%% Technical Support, +%%% Electronic Products and Services, +%%% P. O. Box 6248, +%%% Providence, RI 02940, +%%% USA", +%%% telephone = "401-455-4080 or (in the USA and Canada) +%%% 800-321-4AMS (321-4267)", +%%% FAX = "401-331-3842", +%%% email = "tech-support@ams.org (Internet)", +%%% copyright = "Copyright 1995 American Mathematical Society, +%%% all rights reserved. Copying of this file is +%%% authorized only if either: +%%% (1) you make absolutely no changes to your copy, +%%% including name; OR +%%% (2) if you do make changes, you first rename it +%%% to some other name.", +%%% codetable = "ISO/ASCII", +%%% keywords = "bibtex, bibliography, amslatex, ams-latex", +%%% supported = "yes", +%%% abstract = "BibTeX bibliography style `amsalpha' for BibTeX +%%% versions 0.99a or later and LaTeX version 2e. +%%% Produces alphabetic-label bibliography items in +%%% a form typical for American Mathematical Society +%%% publications.", +%%% docstring = "The checksum field above contains a CRC-16 +%%% checksum as the first value, followed by the +%%% equivalent of the standard UNIX wc (word +%%% count) utility output of lines, words, and +%%% characters. This is produced by Robert +%%% Solovay's checksum utility.", +%%% } +%%% ==================================================================== + +% See the file btxbst.doc for extra documentation other than +% what is included here. And see btxhak.tex for a description +% of the BibTeX language and how to use it. + +% This defines the types of fields that can occur in a database entry +% for this particular bibliography style. Except for `language', +% this is the standard list from alpha.bst. + +%% Types of entries currently allowed in a BibTeX file: +%% +%% ARTICLE -- An article from a journal or magazine. +%% +%% BOOK -- A book with an explicit publisher. +%% +%% BOOKLET -- A work that is printed and bound, +%% but without a named publisher or sponsoring institution. +%% +%% CONFERENCE -- The same as INPROCEEDINGS, +%% included for Scribe compatibility. +%% +%% INBOOK -- A part of a book, +%% which may be a chapter (or section or whatever) and/or a range of pages. +%% +%% INCOLLECTION -- A part of a book having its own title. +%% +%% INPROCEEDINGS -- An article in a conference proceedings. +%% +%% MANUAL -- Technical documentation. +%% +%% MASTERSTHESIS -- A Master's thesis. +%% +%% MISC -- Use this type when nothing else fits. +%% +%% PHDTHESIS -- A PhD thesis. +%% +%% PROCEEDINGS -- The proceedings of a conference. +%% +%% TECHREPORT -- A report published by a school or other institution, +%% usually numbered within a series. +%% +%% UNPUBLISHED -- A document having an author and title, but not formally +%% published. + +ENTRY + { address + author + booktitle + chapter + edition + editor + eprint + howpublished + institution + journal + key + citekey + language + month + mrnumber + note + number + organization + pages + publisher + school + series + title + type + volume + year + longyear + } + {} + { label extra.label sort.label bysame } + +% Removed after.sentence, after.block---not needed. + +INTEGERS { output.state before.all mid.sentence } + +FUNCTION {init.state.consts} +{ #0 'before.all := + #1 'mid.sentence := +} + +% Scratch variables: + +STRINGS { s t } + +% Utility functions + +FUNCTION {shows} +{ duplicate$ ":::: `" swap$ * "'" * top$ +} + +FUNCTION {showstack} +{"STACK=====================================================================" +top$ +stack$ +"ENDSTACK==================================================================" +top$ +} + +FUNCTION {not} +{ { #0 } + { #1 } + if$ +} + +FUNCTION {and} +{ 'skip$ + { pop$ #0 } + if$ +} + +FUNCTION {or} +{ { pop$ #1 } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {field.or.null} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {emphasize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "\emph{" swap$ * "}" * } + if$ +} + +FUNCTION {scize} +{ duplicate$ empty$ + { pop$ "" } + { "{\sc " swap$ * "}" * } + if$ +} + +% n.dashify is used to make sure page ranges get the TeX code +% (two hyphens) for en-dashes. + +FUNCTION {n.dashify} +{ 't := + "" + { t empty$ not } + { t #1 #1 substring$ "-" = + { t #1 #2 substring$ "--" = not + { "--" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + { { t #1 #1 substring$ "-" = } + { "-" * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + while$ + } + if$ + } + { t #1 #1 substring$ * + t #2 global.max$ substring$ 't := + } + if$ + } + while$ +} + +% tie.or.space.connect connects two items with a ~ if the +% second item is less than 3 letters long, otherwise it just puts an +% ordinary space. + +FUNCTION {tie.or.space.connect} +{ duplicate$ text.length$ #3 < + { "~" } + { " " } + if$ + swap$ * * +} + +FUNCTION {add.space.if.necessary} +{ duplicate$ "" = + 'skip$ + { " " * } + if$ +} + +% either.or.check gives a warning if two mutually exclusive fields +% were used in the database. + +FUNCTION {either.or.check} +{ empty$ + 'pop$ + { "can't use both " swap$ * " fields in " * cite$ * warning$ } + if$ +} + +% output.nonnull is called by output. + +FUNCTION {output.nonnull} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ", " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +FUNCTION {output.nonnull.c} +% remove the top item from the stack because it's in the way. +{ 's := + output.state mid.sentence = +% If we're in mid-sentence, add a comma to the new top item and write it + { ": " * write$ } +% Otherwise, if we're at the beginning of a bibitem, + { output.state before.all = +% just write out the top item from the stack; + 'write$ +% and the last alternative is that we're at the end of the current +% bibitem, so we add a period to the top stack item and write it out. + { add.period$ " " * write$ } + if$ + mid.sentence 'output.state := + } + if$ +% Put the top item back on the stack that we removed earlier. + s +} + +% Output checks to see if the stack top is empty; if not, it +% calls output.nonnull to write it out. + +FUNCTION {output} +{ duplicate$ empty$ + 'pop$ + 'output.nonnull + if$ +} + +% Standard warning message for a missing or empty field. For the user +% we call any such field `missing' without respect to the distinction +% made by BibTeX between missing and empty. + +FUNCTION {missing.warning} +{ "missing " swap$ * " in " * cite$ * warning$ } + +% Output.check is like output except that it gives a warning on-screen +% if the given field in the database entry is empty. t is the field +% name. + +FUNCTION {output.check} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull + if$ +} + +FUNCTION {output.c} +{ 't := + duplicate$ empty$ + { pop$ t missing.warning } + 'output.nonnull.c + if$ +} + +FUNCTION {output.bibitem} +{ newline$ + "\bibitem[" write$ + label write$ + "]{" write$ + cite$ write$ + "}" write$ + newline$ +% This empty string is the first thing that will be written +% the next time write$ is called. Done this way because each +% item is saved on the stack until we find out what punctuation +% should be added after it. Therefore we need an empty first item. + "" + before.all 'output.state := +} + +FUNCTION {output.nonempty.mrnumber} +{ duplicate$ missing$ + { pop$ "" } + 'skip$ + if$ + duplicate$ empty$ + 'pop$ + { " {\sf\scriptsize " swap$ * "}" * write$ } + if$ +} + +FUNCTION {fin.entry} +{ add.period$ + write$ + mrnumber output.nonempty.mrnumber + newline$ +} + +% Removed new.block, new.block.checka, new.block.checkb, new.sentence, +% new.sentence.checka, and new.sentence.checkb functions here, since they +% don't seem to be needed in the AMS style. Also moved some real +% basic functions like `and' and 'or' earlier in the file. + +INTEGERS { nameptr namesleft numnames } + +% The extra section to write out a language field was added +% for AMSPLAIN.BST. Not present in plain.bst. + +FUNCTION {format.language} +{ language empty$ + { "" } + { " (" language * ")" * } + if$ +} + +% This version of format.names puts names in the format +% +% First von Last, Jr. +% +% (i.e., first name first, no abbreviating to initials). + +FUNCTION {format.names} +{ 's := + #1 'nameptr := + s num.names$ 'numnames := + numnames 'namesleft := + { namesleft #0 > } + { s nameptr "{f.~}{vv~}{ll}{, jj}" format.name$ 't := + nameptr #1 > + { namesleft #1 > + { ", " * t * } + { numnames #2 > + { "," * } + 'skip$ + if$ + t "others" = + { " et~al." * } + { " and " * t * } + if$ + } + if$ + } + 't + if$ + nameptr #1 + 'nameptr := + namesleft #1 - 'namesleft := + } + while$ +} + + +FUNCTION {format.authors} +{ author empty$ + { "" } + { author format.names scize } + if$ +} + +FUNCTION {format.authors.bysame} +{ author empty$ + { "" } + { bysame "\bysame" = + { bysame } + { author format.names "a" change.case$ scize } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names "a" change.case$ scize + editor num.names$ #1 > + { " (eds.)" * } + { " (ed.)" * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.nonauthor.editors} +{ editor empty$ + { "" } + { editor format.names + editor num.names$ #1 > + { ", eds." * } + { ", ed." * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.title} +{ title empty$ + { "" } + { title "t" change.case$ emphasize } + if$ +} + +FUNCTION {format.journal.vol.year} +{ journal empty$ + { "" "journal name" missing.warning } + { journal + volume empty$ + 'skip$ + { " \textbf{" * volume * "}" * } + if$ + year empty$ + { "year" missing.warning } + { " (" * year * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +% For formatting the issue number for a journal article. + +FUNCTION {format.number} +{ number empty$ + { "" } + { "no.~" number * } + if$ +} + +% For formatting miscellaneous dates + +FUNCTION {format.date} +{ year empty$ + { month empty$ + { "" } + { "there's a month but no year in " cite$ * warning$ + month + } + if$ + } + { month empty$ + 'year + { month " " * year * } + if$ + } + if$ +} + +%% The volume, series and number information is sort of tricky. +%% This code handles it as follows: +%% If the series is present, and the volume, but not the number, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, vol. 000" +%% If the series is present, and the number, but not the volume, +%% then we do "\emph{Book title}, Series Name, no. 000" +%% If the series is present, and both number and volume, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX, Series Name, no. 000" +%% Finally, if the series is absent, +%% then we do "\emph{Book title}, vol. XX" +%% or "\emph{Book title}, no. 000" +%% and if both volume and number are present, give a warning message. + +FUNCTION {format.bookvolume.series.number} +{ volume empty$ + { "" % Push the empty string as a placeholder in case everything else + % is empty too. + series empty$ + 'skip$ + { pop$ series } % if series is not empty put in stack + if$ + number empty$ + 'skip$ + { duplicate$ empty$ % if no preceding material, + 'skip$ % do nothing, otherwise + { ", " * } % add a comma and space to separate. + if$ + "no." number tie.or.space.connect * % add the number information + } + if$ + } +%% If the volume is NOT EMPTY: + { "vol." volume tie.or.space.connect % vol. XX + number empty$ + { series empty$ + 'skip$ + { series ", " * swap$ *} % Series Name, vol. XX + if$ + } + { series empty$ + { "can't use both volume and number if series info is missing" + warning$ + "in BibTeX entry type `" type$ * "'" * top$ + } + { ", " * series * ", no." * number tie.or.space.connect } + if$ + } + if$ + } + if$ + +} % end of format.bookvolume.series.number + +%% format.inproc.title.where.editors is used by inproceedings entry types + +%% No case changing or emphasizing for the title. We want initial +%% caps, roman. +%% We add parentheses around the address (place where conference +%% was held). +%% Likewise we add parentheses around the editors' names. + +FUNCTION {format.inproc.title.address.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { booktitle + address empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * address * ")" * } + if$ + editor empty$ + 'skip$ + { add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * } + if$ + } + if$ +} + +%% format.incoll.title.editors is similar to format.inproc... but +%% omits the address. For collections that are not proceedings volumes. + +FUNCTION {format.incoll.title.editors} +{ booktitle empty$ + { "" } + { editor empty$ + { booktitle } + { booktitle + add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * + } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.edition} +{ edition empty$ + { "" } + { output.state mid.sentence = + { edition "l" change.case$ " ed." * } + { edition "t" change.case$ " ed." * } + if$ + } + if$ +} + +INTEGERS { multiresult } + +FUNCTION {multi.page.check} +{ 't := + #0 'multiresult := + { multiresult not + t empty$ not + and + } + { t #1 #1 substring$ + duplicate$ "-" = + swap$ duplicate$ "," = + swap$ "+" = + or or + { #1 'multiresult := } + { t #2 global.max$ substring$ 't := } + if$ + } + while$ + multiresult +} + +FUNCTION {format.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages n.dashify } + if$ +} + +FUNCTION {format.book.pages} +{ pages empty$ + { "" } + { pages multi.page.check + { "pp.~" pages n.dashify * } + { "p.~" pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.chapter.pages} +{ chapter empty$ + 'format.book.pages + { type empty$ + { "ch.~" } + { type "l" change.case$ " " * } + if$ + chapter * + pages empty$ + 'skip$ + { ", " * format.book.pages * } + if$ + } + if$ +} + +FUNCTION {empty.misc.check} +{ author empty$ title empty$ howpublished empty$ + month empty$ year empty$ note empty$ + and and and and and + key empty$ not and + { "all relevant fields are empty in " cite$ * warning$ } + 'skip$ + if$ +} + +FUNCTION {format.thesis.type} +{ type empty$ + 'skip$ + { pop$ + type "t" change.case$ + } + if$ +} + +FUNCTION {format.tr.number} +{ type empty$ + { "Tech. Report" } + 'type + if$ + number empty$ + { "t" change.case$ } + { number tie.or.space.connect } + if$ +} + +% The format.crossref functions haven't been paid much attention +% at the present time (June 1990) and could probably use some +% work. 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