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\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
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\KOMAoptions{paper=a4}
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%
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% Local font definitions -- need to come first
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%
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\usepackage[linesnumbered, dotocloa]{algorithm2e}
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\usepackage{libertine}
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%\usepackage[libertine]{newtxmath}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb}
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\usepackage{graphicx}
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\input{gfx/stdPreamble}
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\input{gfx/paperVersion-working}
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\usepackage{makeidx}
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\usepackage{tikz-cd}
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\makeindex
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\author{Stefan Kebekus}
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%
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% TikZ
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%
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\usetikzlibrary{through}
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\usetikzlibrary{quotes,babel,angles}
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\usetikzlibrary{calc} % calculate for relative positioning
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%
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% Extra spacing in list of figures
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%
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\usepackage{tocloft}
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\setlength{\cftfignumwidth}{3em}
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\allowdisplaybreaks[1]
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%
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% Theorems
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%
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\theoremstyle{plain}
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\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
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\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
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\newtheorem{situation}[thm]{Situation}
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\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
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\newtheorem{nlemma}[thm]{Nichtlemma}
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\newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
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\newtheorem{definition}[thm]{Definition}
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\newtheorem{satzdef}[thm]{Satz und Definition}
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\newtheorem{fakt}[thm]{Fakt}
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\newtheorem{faktdef}[thm]{Fakt und Definition}
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\newtheorem{fazit}[thm]{Fazit}
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\newtheorem{proposition}[thm]{Proposition}
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\newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
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\newtheorem{warnung}[thm]{Warnung}
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\theoremstyle{remark}
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\newtheorem{wunsch}[thm]{Wunsch}
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\newtheorem{algorithmus}[thm]{Algorithmus}
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\newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
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\newtheorem{behauptung}[thm]{Behauptung}
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\newtheorem{erkl}[thm]{Erklärung}
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\newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
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\newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
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\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel}
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\newtheorem{frage}[thm]{Frage}
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\newtheorem{erinnerung}[thm]{Erinnerung}
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\newtheorem{eerinnerung}[thm]{Erweiterte Erinnerung}
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\newtheorem{claim-de}[thm]{Vorüberlegung}
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\newtheorem{geheim}[thm]{Geheiminformation}
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%
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% Math operators
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%
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\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
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\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
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\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}
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\DeclareMathOperator{\height}{height}
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\DeclareMathOperator{\ini}{in}
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\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
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\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
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\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV}
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\DeclareMathOperator{\Kons}{Kons}
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\DeclareMathOperator{\mult}{mult}
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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
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\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
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\DeclareMathOperator{\sep}{sep}
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\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
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\DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg}
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\DeclareMathOperator{\Zentralisator}{Zentralisator}
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\newcommand\video[1]{\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix/download?path=\%2FVideos&files=#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
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\title{Kommutative Algebra und Einführung in die Algebraische Geometrie}
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\date{\today}
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\makeatletter
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\hypersetup{
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pdfauthor={Stefan Kebekus},
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pdftitle={\@title},
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pdfstartview={Fit},
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pdfpagelayout={TwoColumnRight},
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pdfpagemode={UseOutlines},
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bookmarks,
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colorlinks,
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linkcolor=linkblue,
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citecolor=linkred,
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urlcolor=linkred}
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\makeatother
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\bigskip
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\bigskip
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\bigskip
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\section*{Vorbemerkung}
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Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
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hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
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geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
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Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
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finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
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Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
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auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
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Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
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Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
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Vorlesung auf unserem
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
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Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
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aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
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Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
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ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
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Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
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\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
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\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir
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korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
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Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
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beigetragen haben.
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Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
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und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir
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fügen gern einen Link in den Text ein!
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\bigskip
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\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
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\subsection*{Literatur}
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Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
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Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
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Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
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Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
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Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von
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weiteren Materialien!
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Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
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verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\begin{itemize}
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\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
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hervorragenden
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\href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
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Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.
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\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
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Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
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Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
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absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
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Youtube-Kanal
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\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
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\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
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\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
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\href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
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heruntergeladen werden kann.
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\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
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kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist
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Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
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sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es
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ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
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\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
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Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
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mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
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das erste Kapitel lohnt sich…
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\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
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Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
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Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden
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Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.
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\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
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ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
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Theorie.
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\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
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Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
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Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
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algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern
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gerechnet!
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\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
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Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
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--- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
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Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
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den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier
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findet sich ALLES, was man jemals braucht.
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\end{itemize}
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\subsection*{Computer-Programme}
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Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
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Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
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ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
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dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
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vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
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sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
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Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
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\subsubsection*{Sage}
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Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
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durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
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herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
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etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
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oder den Service CoCals verwenden.
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\subsubsection*{CoCalc}
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CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
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Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
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kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
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Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
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können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
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Server rechnen.
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\subsubsection*{Macaulay2}
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Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
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\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
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herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
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leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
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\input{01}
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\input{02}
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\part{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
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\input{03}
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\input{04}
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\input{05}
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\input{06}
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\input{07}
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\input{08}
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\part{Singularitäten von Kurven, diskrete Bewertungsringe, Bruchrechnung}
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\input{09}
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\input{10}
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\input{11}
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\part{Dimension}
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\input{12}
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\input{13}
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\part{Der projektive Raum}
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\input{14}
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\input{15}
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\input{16}
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\input{17}
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\input{18}
|
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|
\appendix
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\part{Anhang}
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\listoffigures
|
|
\listoftables
|
|
\listofalgorithms
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\printindex
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\bibstyle{alpha}
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\bibliographystyle{alpha}
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\bibliography{bibliography/general}
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\end{document}
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