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Stefan Kebekus 2023-06-27 14:37:04 +02:00
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@ -205,7 +205,7 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
\video{14-2} \video{14-2}
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten] \begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]\label{satz:12-2-9}
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂ Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter sei $p ⊂
A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1 A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$. Dann ist $q_1
= q_2$. = q_2$.
@ -257,7 +257,7 @@ ganzen Ringerweiterungen beweisen.
Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Insbesondere gibt
es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$. Überlegen Sie sich, was das
geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein! wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{fakt} \begin{fakt}

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@ -10,7 +10,7 @@ eines Polynomrings zurückzuführen. Die Formulierung des Satzes über die
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch. Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}% \begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d sei $I ⊂ A$ ein Ideal. Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
∈ A$, sodass Folgendes gilt. ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -235,7 +235,7 @@ die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
\begin{aufgabe} \begin{aufgabe}
Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: die unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt! Tipp: Die
verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
dieselbe Dimension haben. dieselbe Dimension haben.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
@ -301,10 +301,29 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$. angenommen wird. Also ist $\height p = d-α$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{kor}\label{kor:13-3-9}% \begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}%
Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Weiter
seien $p ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
\begin{itemize}
\item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯
⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und
erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$
von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$.
\item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯
⊊ p_m = p$ von Primidealen in $A$. Wenn $A$ normal ist, dann gibt
es nach Satz~\ref{satz:goingDown} (``Going Down'') eine strikte Kette $q_0
⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$,
wobei die $q_{}$ über den $p_{}$ liegen. Insbesondere ist
$\height q ≥ \height p$.
\end{itemize}
\end{bsp}
\begin{kor}\label{kor:13-3-10}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂ Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$. Gegeben ein Primideal $p ⊂
A$ ein Primideal, dann ist A$, dann ist
\[ \[
\dim A = \height(p) + \dim(A/p). \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
\] \]
@ -328,10 +347,12 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
$q = (y_α, …, y_d)$, also ist $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
\[ \[
k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α] k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[\overline{y_1}, …, \overline{y_α}]
\] \]
und dieser Ring hat die Dimension $α$. Zusätzlich gilt nach und dieser Ring hat die Dimension $α$.
Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
\item Nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} ist $\height q = d-α$. Nach
Beispiel~\ref{bsp:13-3-9} ist $\height p = \height q$.
\end{itemize} \end{itemize}
Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
@ -343,7 +364,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
\end{proof} \end{proof}
\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe] \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A = In Korollar~\ref{kor:13-3-10} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig. Für beliebige Ringe ist die Aussage
des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für des Korollars falsch! Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
@ -355,7 +376,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden Hauptidealsatz. Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch („Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
Beweis. Beweis.
@ -367,7 +388,7 @@ Beweis.
$i$. \qed $i$. \qed
\end{satz} \end{satz}
Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-10} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] \{ 0\}$ ein Polynom. Dann hat jede anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] \{ 0\}$ ein Polynom. Dann hat jede
irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$. irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.

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@ -111,7 +111,7 @@ wieso der affine Raum eine Teilmenge des projektiven Raumes ist und wo die
\[ \[
φ_2 : ℝ² → ℙ²_, \quad (x,y) ↦ [x:y:1], φ_2 : ℝ² → ℙ²_, \quad (x,y) ↦ [x:y:1],
\] \]
die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_$ aufzufassen. Die die es uns erlaubt, die Ebene $ℝ²$ als Teilmenge des $ℙ³_$ aufzufassen. Die
Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die Abbildung $φ_2$ ist natürlich nicht surjektiv. Überlegen Sie sich, dass die
Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge Menge der Punkte, die \emph{nicht} im Bild von $φ_2$ liegen, exakt die Menge
\[ \[
@ -238,7 +238,7 @@ wird.
\end{defn} \end{defn}
Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($$ Vorlesung „Elementargeometrie“). Über Projektivitäten lässt sich viel sagen ($$ Vorlesung „Elementargeometrie“).
Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten Ich beschränke mich hier nur auf folgende Bemerkung. Manche der Projektivitäten
werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche werden die Menge $U_2$ wieder auf die Menge $U_2$ abbilden. Gegeben eine solche
Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ} Projektivität $φ$, so erhält man also Abbildungen $𝔸²_k ≅ U_2 \xrightarrow{φ}
U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man U_2 ≅ 𝔸²_k$. Überlegen Sie sich, dass die Abbildungen $𝔸²_k → 𝔸²_k$, die man

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@ -39,7 +39,7 @@ gar nicht sinnvoll ist\footnote{Es ist $[1:1] = [2:2] ∈ ¹_k$, aber es ist
Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$ Zusammenfassend können wir also folgendes sagen: falls $f ∈ k[x_0, …, x_n]$
irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der irgendein Polynom ist, so kann man im Allgemeinen nicht sinnvoll von der
„Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $^n_k$“ sprechen. Falls „Nullstellenmenge des Polynoms $f$ im projektiven Raum $^n_k$“ sprechen. Falls
das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge das Polynom $f$ hingegen homogen ist, dann wird der Begriff der Nullstellenmenge
sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische sinnvoll. Nullstellenmengen von homogenen Polynomen sind prototypische
Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven Beispiele von dem, was wir in Kürze als „algebraische Teilmengen des projektiven
@ -165,7 +165,7 @@ Sätze stellen klar, um welche Ideale es sich dabei handelt.
Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein Wir erkennen: gegeben ein homogenes Ideal $I ⊂ k[x_0, …, x_n]$ und gegeben ein
Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …, Satz von homogenen Erzeugern, $I = (f_1, …, f_m)$, dann ist $V(I) = V(f_1, …,
f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{}(I) ⊂ ^n_n$. Die Umkehrung gilt, f_m)$ ein Kegel und definiert eine Menge $V_{}(I) ⊂ ^n_n$. Die Umkehrung gilt,
sofern man sich auf Radikalideale beschränkt. sofern man sich auf Radikalideale beschränkt.
\begin{satz}[Kegel und homogene Ideale] \begin{satz}[Kegel und homogene Ideale]

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@ -6,7 +6,7 @@
\sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich \sideremark{Vorlesung 21}Wie im Abschnitt~\ref{sec:14-1} angekündigt, möchte ich
jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$ jetzt zeigen, dass sich in der projektiven Ebene $ℙ²$ zwei Kurven vom Grad $d_1$
und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven und $d_2$ immer in genau $d_1·d_2$ vielen Punkten schneiden, wenn die Kurven
nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu nicht zufällig gleich sind oder zumindest eine gemeinsame Komponente haben. Dazu
muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist. muss ich aber vielleicht erst noch sagen, was eine projektive Kurve genau ist.
Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf Die folgende Definition haben Sie ganz analog schon einmal auf
Seite~\ref{def:eak} gesehen. Seite~\ref{def:eak} gesehen.
@ -20,7 +20,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn Die Konik aus Beispiel~\vref{bsp:konik} ist eine ebene projektive Kurven. Wenn
Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht Ihnen Beispiel~\vref{bsp:ellipti} gefallen hat, dann möchten Sie vielleicht
auch die elliptische Kurve $y²z -+ 6·xz² - 6·z³$ betrachten. auch die elliptische Kurve $y²z -+ 6·xz² - 6·z³$ betrachten.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -39,7 +39,7 @@ Seite~\ref{def:eak} gesehen.
Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von Der nächste Schritt ist nun, für projektive Kurven einen sinnvollen Begriff von
„Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen „Schnittzahl“ einzuführen, der sich am besten nicht völlig von den Schnittzahlen
unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an unterscheidet, die wir für affine Kurven schon definiert haben. Wenn Sie sich an
den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe den Beweis von Satz~\ref{satz:EES} erinnern, dann wissen Sie, dass lokale Ringe
eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive eine zentrale Rolle spielen. Also müssen wir zunächst auch für projektive
Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's. Kurven einen Begriff von „lokalen Ring“ einführen. Auf geht's.
@ -163,7 +163,7 @@ Beobachtung~\ref{beob:17-2-1} ermöglicht jetzt die Definition von Schnittzahlen
\begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}% \begin{defn}[Schnittzahl von ebenen projektiven Kurven]\label{def:schnittzahlp}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven. Weiter sei $p ∈ ℙ²$ ein Punkt. Dann
definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven definiere die \emph{Schnittzahl}\index{Schnittzahl!von ebenen projektiven
Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als Kurven} der Kurven $F$ und $G$ im Punkt $p$ als
\[ \[
@ -222,7 +222,7 @@ projektiven Kurven.
\begin{satz}[Satz von Bézout] \begin{satz}[Satz von Bézout]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈ Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien $F$ und $G ∈
k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt k[x, y, z]$ zwei ebene projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente. Dann gilt
die Gleichung die Gleichung
\[ \[
\sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G). \sum_{p ∈ ℙ²} \Int_p(F,G) = (\deg F)·(\deg G).
@ -231,7 +231,7 @@ projektiven Kurven.
\begin{proof} \begin{proof}
Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen Der Beweis ist aus \cite[Sect.~5.3]{MR1042981} abgekupfert, vielleicht wollen
Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu Sie auch einmal direkt in diese Quelle schauen. Um allzu viele Indizes zu
vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil vermeiden, bezeichnen wir die Koordinaten projektive Ebene mit $[x:y:z]$. Weil
die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge die Kurven $F$ und $G$ keine gemeinsame Komponente haben, ist die Schnittmenge
von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten von $F$ und $G$ ist endlich. Nach Komposition mit einer geeigneten
Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der Projektivität erlaubt Fakt~\ref{fakt:17-2-4} deshalb, ohne Beschränkung der