Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -59,3 +59,6 @@ Laurentreihen
 Laurentreihenentwicklung
 Alphonse
 funktionentheoretischen
+Summendarstellung
+Mittag-Leffler
+Djursholm

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -31,3 +31,7 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWege im Kreisring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Als erstes werde ich kann den Funktionswert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Integral über den Weg \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ausdrücken.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWege im Kreisring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Als Erstes werde ich kann den Funktionswert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Integral über den Weg \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ausdrücken.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist genau dann eine wesentliche Singularität von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAnwendung der Goldenen Regeln\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QDie Aussage folgt dann aus Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Integralsatz von Cauchy”), \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie zweite Gleichheit gilt nach der Goldenen Regel 1, weil \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in derselben Zusammenhangskomponente von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDamit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.\\E$"}

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -171,7 +171,8 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}[Integration von $z^n$ über den Rand des Einheitskreises]\label{bsp:3-2-2}%
-  Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter betrachten wir den Weg
+  Es sei $U = ℂ^*$, es sei $n ∈ ℤ$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter
+  betrachten wir den Weg
   \[
     γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
   \]

06-potenz.tex

@@ -82,7 +82,7 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
 \section{Potenzreihen liefern holomorphe Funktionen}
 
-\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
+\begin{proposition}[Lokal gleichmäßig konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
   Funktionen, $f_i ∈ 𝒪(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
   konvergiert.  Dann gilt:

09-singularities.tex

@@ -2,9 +2,9 @@
 \selectlanguage{german}
 
 \chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}
+\label{sec:9}%
 
 \section{Isolierte Singularitäten}
-\label{sec:9-1}%
 
 Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
 ∈ U$ ein Punkt.  Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$.  Was kann ich
@@ -57,6 +57,9 @@ Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, s
   \end{enumerate}
 \end{definition}
 
+
+\section{Hebbare Singularitäten}
+
 \begin{satz}[Hebbarkeitsatz von Riemann]\label{satz:9-1-hebbarkeit}%
   \index{Hebbarkeitsatz von Riemann}In der Situation von
   Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$.  Falls die Funktion $|f|$ in der Nähe
@@ -91,13 +94,13 @@ Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, s
   $ℝ²$ überhaupt nicht differenzierbar.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{frage}
-  Was kann ich über Beiträge von Funktionen mit Polstelle sagen?
-\end{frage}
 
-Als Antwort eine Beispielrechnung.
+\section{Polstellen}
 
-\begin{rem}[Beispielrechnung zu Funktionen mit Polstellen]
+Was kann ich über Beiträge von Funktionen mit Polstelle sagen?  Als Antwort eine
+Beispielrechnung.
+
+\begin{rem}[Beispielrechnung zu Funktionen mit Polstellen]\label{bsp:9-3-1}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$ eine Polstelle der
   Ordnung $n > 0$ hat.  Also gibt es eine Zahl $ε > 0$ und eine holomorphe
   Funktion $g ∈ 𝒪(B_ε(ρ))$, sodass folgendes gilt.
@@ -128,9 +131,14 @@ Pol, dann gilt für jedes $M ∈ ℝ⁺$ und alle ausreichend kleinen $ε > 0$.
 
   \item Für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$ ist $|f(z)| > M$.
 \end{enumerate}
-Die Funktionswerte von $f$ explodieren also betragsmäßig, wenn ich mich dem
+
-Punkt $ρ$ annähere.  Auf jeden Fall sind die Funktionswerte von $0$ weg
+
-beschränkt.  \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}
+\section{Wesentliche Singularitäten}
+
+Beispielrechnung~\ref{bsp:9-3-1} zeigt, dass die Funktionswerte von $f$
+betragsmäßig explodieren, wenn ich mich einer Polstelle annähere.  Auf jeden
+Fall sind die Funktionswerte in der Nähe der Polstelle von $0$ weg beschränkt.
+\textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}
 
 \begin{satz}[Satz von Casorati\footnote{Felice Casorati (* 17.~Dezember 1835 in
   Pavia; † 11.~September 1890 in Casteggio) war ein italienischer
@@ -174,327 +182,4 @@ beschränkt.  \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}
   deshalb keine wesentlichen Singularitäten hat.
 \end{proof}
 
-
-\section{Entwicklung in Laurentreihen}
-\sideremark{Vorlesung 13}
-
-In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf
-Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen.  Wir wollen jetzt einen
-ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen.  Dazu
-verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung.
-
-\begin{bemerkung}[Erinnerung]
-  Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$.
-  Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈
-  B_{ρ}(0)$
-  \[
-    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
-  \]
-  Schreibe
-  \[
-    \frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ,
-  \]
-  und setze dies in das Integral ein.  Vertausche Integral und Summe und erhalte
-  eine Potenzreihendarstellung von $f$.
-\end{bemerkung}
-
-So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen,
-die bei $0$ eine Singularität haben.  Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf
-Kreisringen.
-
-\begin{notation}[Kreisring]
-  Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$.  Dann sei
-  \[
-    K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \}
-  \]
-  der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$.
-\end{notation}
-
-\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}%
-  Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem
-  Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
-\end{situation}
-
-\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]\label{kons:9-2-4}%
-  In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
-  Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
-  \[
-    r < a < |w| < A < R.
-  \]
-  und betrachte den in Abbildung~\ref{fig:9-2-1} gezeigten Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$.
-  \begin{figure}
-    \begin{center}
-      \includegraphics[width=10cm]{09-annulus.png}
-    \end{center}
-
-    \caption{Wege im Kreisring $K_{r,R}(0)$}
-    \label{fig:9-2-1}
-  \end{figure}
-  Als Erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
-  $γ$ ausdrücken.  Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
-  Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt.  Dann gilt nach
-  der Cauchy Integralformel die Gleichung
-  \[
-    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz.
-  \]
-  Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist.
-  Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter
-  freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich,
-  \begin{align*}
-    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
-    & = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
-    & = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right].
-  \end{align*}
-  Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an.
-  \begin{itemize}
-    \item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist
-    \[
-      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
-    \]
-    und deshalb
-    \[
-      \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
-      = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ.
-    \]
-
-    \item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist
-    \[
-      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ
-    \]
-    und deshalb
-    \[
-      \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}.
-    \]
-  \end{itemize}
-  Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und
-  $A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig.
-  Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen
-  $(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung
-  gilt,
-  \[
-    f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}.
-  \]
-  Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt
-  \[
-    f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ.
-  \]
-  Die Konstruktion endet hier.
-\end{konstruktion}
-
-Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
-schrecklich wichtig.  Sie wird als
-\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli
-1813 in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
-bezeichnet.
-
-\begin{definition}[Laurentreihen]\label{def:9-2-5}%
-  Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
-  Ausdruck der Form
-  \[
-    \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
-  \]
-  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Konvergenz von Laurentreihen]
-  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5} und eine
-  natürliche Zahl $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
-  \[
-    \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
-  \]
-  als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der
-  Laurentreihe.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen
-  $g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$
-  konvergiert.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$
-  lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig
-  konvergiert.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Haupt- und Nebenteil von Laurentreihen]
-  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5}, so nennt man die
-  Teilreihen
-  \[
-    \sum_{i=1}^{∞} c_i (z - p)^{-i}
-    \quad\text{und}\quad
-    \sum_{i=0}^{∞} c_i (z - p)ⁱ
-  \]
-  den \emph{Hauptteil}\index{Hauptteil einer Laurentreihe} und den
-  \emph{Nebenteil}\index{Nebenteil einer Laurentreihe} der Laurentreihe.
-\end{definition}
-
-Konstruktion~\ref{kons:9-2-4} arbeitet mit Kreisringen um den Nullpunkt.  Wie
-immer gelten dieselben Aussagen für Kreisringe mit beliebigem Mittelpunkt.  Am
-Ende des Tages haben wir Folgendes bewiesen.
-
-\begin{satz}[Laurentreihenentwicklung]\label{satz:9-2-8}%
-  Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$
-  gegeben.  Weiter sei $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ eine auf dem Kreisring
-  $K_{r,R}(p)$ holomorphe Funktion.  Dann existiert eine auf ganz $K_{r,R}(p)$
-  lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe deren Grenzfunktion mit $f$
-  übereinstimmt.  Zusätzlich gilt: Haupt- und Nebenteil Laurentreihe konvergieren
-  auf $K_{r,R}(p)$ ebenfalls jeweils lokal gleichmäßig.  \qed
-\end{satz}
-
-\begin{kor}[Eindeutigkeit der Laurentreihenentwicklung]
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:9-2-8} ist die Darstellung von $f$ als
-  Laurentreihe eindeutig.
-\end{kor}
-\begin{proof}
-  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} gibt es eine Laurentreihe
-  \[
-    f(z) = \sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
-  \]
-  die auf $K_{r,R}(ρ)$ lokal gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.  Wir wollen
-  zeigen, dass die Koeffizienten $c_i$ eindeutig bestimmt sind.  Sei dazu eine
-  Zahl $n ∈ ℤ$ gegeben.  Wir wollen $c_n$ bestimmen.  Dazu wähle eine Zahl $r <
-  a < R$ und betrachte die folgenden Integrale,
-  \begin{multline*}
-    \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^n \, dz \\
-    \begin{aligned}
-       & = \int_{∂ B_a(ρ)} \left(\lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i (z - ρ)ⁱ \right) (z - ρ)^n \, dz && \text{Laurentreihe von } f \\
-      & = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k \int_{∂ B_a(ρ)} c_i (z - ρ)^{i+n} \, dz && \text{lokal gleichmäßige Konvergenz} \\
-      & = 2π i · c_{-1-n} && \text{Beispiel~\vref{bsp:3-2-2}.}
-    \end{aligned}
-  \end{multline*}
-  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe durch eine Formel gegeben, in der
-  nur die Funktion $f$ vorkommt.  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe
-  eindeutig bestimmt.
-\end{proof}
-
-Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:9-1} drei Typen von isolierten Singularitäten
-definiert.  Mithilfe der Laurentreihenentwicklung können wir diese Typen jetzt
-charakterisieren.
-
-\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]\label{beo:9-2-10}%
-  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
-  Singularitäten auf $U$.  Es sei $T ⊂ U$ die Menge der Singularitäten und sei
-  $ρ ∈ T$ sei eine der isolierte Singularitäten.  Um das Verhalten von $f$ bei
-  $ρ$ zu verstehen, entwickle $f$ bei $ρ$ in eine Laurentreihe.  Genauer: wähle
-  eine Zahl $ε > 0$, sodass $ρ$ die einzige Singularität von $f$ in der
-  Kreisscheibe $B_{ε}(ρ)$ ist, also
-  \[
-    B_{ε}(p) ∩ T = \{ρ\}.
-  \]
-  Betrachte dann den Kreisring
-  \[
-    K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: \frac{ε}{2} < |z - ρ| < ε \}.
-  \]
-  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} („Laurentreihenentwicklung“) gibt es eine auf
-  $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe $\sum c_i
-  (z - p)ⁱ$, deren Grenzfunktion auf $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ mit $f$
-  übereinstimmt.  Dann gilt Folgendes.
-  \begin{enumerate}
-    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine hebbare Singularität von $f$, wenn
-      der Hauptteil gleich null ist.
-    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine Polstelle von $f$, wenn der
-      Hauptteil nur endlich viele Summanden hat.
-    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine wesentliche Singularität von $f$,
-      wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.
-  \end{enumerate}
-\end{beobachtung}
-
-
-\section{Automorphismen der komplexen Ebene}
-
-Ähnlich wie im Abschnitt~\ref{sec:7-3} möchte ich die Stärke der
-funktionentheoretischen Methoden demonstrieren, indem ich die Automorphismen der
-komplexen Ebene bestimme.
-
-\begin{frage}
-  Was sind die biholomorphen Selbstabbildungen $ℂ → ℂ$?
-\end{frage}
-
-Einige Beispiele und Nicht-Beispiele sind und bereits bekannt.
-
-\begin{bsp}[Affin-lineare Abbildungen]
-  Für alle $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$ ist die Abbildung
-  \[
-    f : ℂ → ℂ, \quad z ↦ az + b
-  \]
-  biholomorph.
-\end{bsp}
-
-\begin{beobachtung}[Komposition mit Translationen]\label{beob:9-3-3}%
-  Gegeben irgendeine biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$, so ist die Abbildung
-  \[
-    f - f(0) : ℂ → ℂ
-  \]
-  ebenfalls biholomorph und bildet die Null auf null ab.
-\end{beobachtung}
-
-\begin{bsp}[Polynome höheren Grades]
-  Polynome vom Grad $≥ 2$ sind ganz bestimmt keine Automorphismen, denn jedes
-  Polynom $f ∈ ℂ[z]$ zerfällt in Linearfaktoren
-  \[
-    f(z) = λ (z - a_1)(z - a_2) ⋯ (z - a_n).
-  \]
-  \begin{itemize}
-    \item Wenn zwei der $a_•$ gleich sind, dann hat $f$ eine mehrfache
-      Nullstelle.  Die Ableitung $f'$ verschwindet dort.  Aber biholomorphe
-      Abbildungen haben nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit nirgends
-      eine verschwindende Ableitung.
-
-    \item Wenn alle $a_•$ verschieden sind, dann hat $f$ mindestens zwei
-      verschiedene Nullstellen.  Also ist $f$ nicht injektiv.
-  \end{itemize}
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden]\label{bsp:9-3-5}%
-  Ich behaupte, dass Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden ebenfalls
-  \emph{keine} Automorphismen der komplexen Ebene sind.  Dazu führe ich einen
-  Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gäbe einen Automorphismus $f : ℂ → ℂ$ der
-  durch eine Potenzreihe
-  \[
-    f(z) = \sum a_i zⁱ
-  \]
-  mit unendlich vielen Summanden gegeben ist.  Nach Beobachtung~\ref{beob:9-3-3}
-  können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $a_0 = 0$ ist, also $f(0) = 0$.
-  Insbesondere bildet $f$ die Menge $ℂ^*$ biholomorph auf sich selbst ab.
-
-  Aber: die Menge $ℂ^*$ hat einen interessanten Automorphismus, nämlich
-  \[
-    j : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}.
-  \]
-  Die Abbildung $f ◦ j : ℂ^* → ℂ^*$ ist dann auch holomorph und bijektiv, und
-  kann als holomorphe Funktion mit Pol bei $0$ aufgefasst werden. Die
-  Laurentreihe von $f ◦ j$ ergibt sich sehr einfach aus der Laurentreihe von
-  $f$,
-  \[
-    f ◦ j = \sum a_i z^{-i}.
-  \]
-  Ich stelle fest: Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele
-  Summanden.  Wie ist in Beobachtung~\ref{beo:9-2-10} gesehen haben, bedeutet
-  das Folgendes: wenn ich $f ◦ j$ als Funktion mit isolierter Singularität
-  auffasse, dann hat $f ◦ j$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität.
-
-  Ich behaupte, dass $f ◦ j$ dann aber nicht bijektiv sein kann.  Betrachte dazu
-  die Kreisscheibe $B_{1/2}(1) ⊂ ℂ^*$.  Wir wissen, dass die Bildmenge $(f ◦ j)
-  \left(B_{1/2}(0)\right)$ eine offene Teilmenge von $ℂ^*$ ist.
-  
-  Es gilt aber auch noch Satz~\ref{satz:9-1-casorati-weierstrass}
-  („Casorati-Weierstraß“).  Demnach ist die Bildmenge
-  \[
-    (f ◦ j) \left(B_{1/2}(0) ∖ \{0\}\right) ⊆ ℂ
-  \]
-  dicht, schneidet also $(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0)\right)$ in mindestens einem
-  Punkt.  Dieser Punkt hat demnach zwei Urbilder, nämlich eines in $B_{1/2}(1)$
-  und eines $B_{1/2}(0) ∖ \{0\}$.  Also ist $f ◦ j$ tatsächlich nicht injektiv!
-\end{bsp}
-
-\begin{bemerkung}
-  Die Argumentation aus Beispiel~\ref{bsp:9-3-5} zeigt in Wirklichkeit, dass
-  holomorphe Funktionen mit essenziellen Singularitäten niemals injektiv sind.
-\end{bemerkung}
-
-In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
-
-\begin{satz}[Automorphismen der komplexen Ebene]\label{satz:9-3-6}%
-  Jede biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$ ist von der Form
-  \[
-    f(z) = az + b
-  \]
-  für gewisse $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$.  \qed
-\end{satz}
-
-
 % !TEX root = Funktionentheorie

10-laurent.tex

@@ -0,0 +1,255 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Entwicklung in Laurentreihen}
+\sideremark{Vorlesung 13}
+
+\section{Holomorphe Funktionen auf Kreisringen}
+
+In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf
+Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen.  Wir wollen jetzt einen
+ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen.  Dazu
+verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung.
+
+\begin{bemerkung}[Erinnerung]
+  Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$.
+  Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈
+  B_{ρ}(0)$
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
+  \]
+  Schreibe
+  \[
+    \frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ,
+  \]
+  und setze dies in das Integral ein.  Vertausche Integral und Summe und erhalte
+  eine Potenzreihendarstellung von $f$.
+\end{bemerkung}
+
+So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen,
+die bei $0$ eine Singularität haben.  Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf
+Kreisringen.
+
+\begin{notation}[Kreisring]
+  Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$.  Dann sei
+  \[
+    K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \}
+  \]
+  der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$.
+\end{notation}
+
+\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}%
+  Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem
+  Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
+\end{situation}
+
+\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]\label{kons:9-2-4}%
+  In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
+  Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
+  \[
+    r < a < |w| < A < R.
+  \]
+  und betrachte den in Abbildung~\ref{fig:9-2-1} gezeigten Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$.
+  \begin{figure}
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=10cm]{10-annulus.png}
+    \end{center}
+
+    \caption{Wege im Kreisring $K_{r,R}(0)$}
+    \label{fig:9-2-1}
+  \end{figure}
+  Als Erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
+  $γ$ ausdrücken.  Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
+  Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt.  Dann gilt nach
+  der Cauchy Integralformel die Gleichung
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz.
+  \]
+  Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist.
+  Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter
+  freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich,
+  \begin{align*}
+    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
+    & = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right].
+  \end{align*}
+  Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an.
+  \begin{itemize}
+    \item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist
+    \[
+      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
+    \]
+    und deshalb
+    \[
+      \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
+      = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ.
+    \]
+
+    \item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist
+    \[
+      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ
+    \]
+    und deshalb
+    \[
+      \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}.
+    \]
+  \end{itemize}
+  Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und
+  $A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig.
+  Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen
+  $(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung
+  gilt,
+  \[
+    f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}.
+  \]
+  Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt
+  \[
+    f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ.
+  \]
+  Die Konstruktion endet hier.
+\end{konstruktion}
+
+
+\section{Laurentreihen}
+
+Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
+schrecklich wichtig.  Sie wird als
+\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli
+1813 in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
+bezeichnet.
+
+\begin{definition}[Laurentreihen]\label{def:9-2-5}%
+  Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
+  Ausdruck der Form
+  \[
+    \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
+  \]
+  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Konvergenz von Laurentreihen]
+  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5} und eine
+  natürliche Zahl $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
+  \[
+    \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
+  \]
+  als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der
+  Laurentreihe.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen
+  $g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$
+  konvergiert.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$
+  lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig
+  konvergiert.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Haupt- und Nebenteil von Laurentreihen]
+  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5}, so nennt man die
+  Teilreihen
+  \[
+    \sum_{i=1}^{∞} c_i (z - p)^{-i}
+    \quad\text{und}\quad
+    \sum_{i=0}^{∞} c_i (z - p)ⁱ
+  \]
+  den \emph{Hauptteil}\index{Hauptteil einer Laurentreihe} und den
+  \emph{Nebenteil}\index{Nebenteil einer Laurentreihe} der Laurentreihe.
+\end{definition}
+
+Konstruktion~\ref{kons:9-2-4} arbeitet mit Kreisringen um den Nullpunkt.  Wie
+immer gelten dieselben Aussagen für Kreisringe mit beliebigem Mittelpunkt.  Am
+Ende des Tages haben wir Folgendes bewiesen.
+
+\begin{satz}[Laurentreihenentwicklung]\label{satz:9-2-8}%
+  Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben.
+  Weiter sei $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ eine auf dem Kreisring $K_{r,R}(p)$ holomorphe
+  Funktion.  Dann existiert eine auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig
+  konvergierende Laurentreihe, deren Grenzfunktion mit $f$ übereinstimmt.
+  Zusätzlich gilt: Haupt- und Nebenteil der Laurentreihe konvergieren auf
+  $K_{r,R}(p)$ ebenfalls jeweils lokal gleichmäßig.  \qed
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}[Laurentreihenentwicklung]\label{bsp:9-2-10}%
+  Betrachte die Funktion
+  \[
+    f : ℂ ∖ \{2\} → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{z - 2}.
+  \]
+  Das Ziel ist, die Laurentreihenentwicklung von $f$ auf verschiedenen
+  Kreisringen zu bestimmen.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{il:10-2-6-1} Auf dem Kreisring $K_{0,1}(0)$ gilt für jedes $z$ die
+    Gleichung
+    \[
+      f(z) = -\frac{1}{2} · \frac{1}{1-\frac{z}{2}}
+      = \sum_{k=0}^∞ -\frac{1}{2} \left(\frac{z}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^∞ -\frac{1}{2^{k+1}} z^k.
+    \]
+    Die Summendarstellung $\frac{1}{1-\frac{z}{2}}$ gilt wie angegeben, weil
+    $|z|<2$, also $|\frac{z}{2}|<1$ ist.
+    
+  \item Auf dem Kreisring $K_{1, 2}(0)$ gilt für jedes $z$ dieselbe Darstellung
+    wie in \ref{il:10-2-6-1}, weil immer noch $|z|<2$ ist.
+    
+  \item Auf dem Kreisring $K_{2,∞}(0)$ können wir die Reihe aus
+    \ref{il:10-2-6-1} definitiv \emph{nicht} nehmen.  Es gilt aber für jedes $z$
+    die Gleichung $|z|>2$ und deshalb $|\frac{2}{z}|<1$.
+    Also ist
+    \[
+      f(z) = \frac{1}{z-2} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1-\frac{2}{z}} = \frac{1}{z} · \sum_{k=0}^∞ \left(\frac{2}{z}\right)^k = \sum_{k=-∞}⁰ \frac{1}{2^k} z^{k-1}.
+    \]
+  \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{kor}[Eindeutigkeit der Laurentreihenentwicklung]\label{kor:10-2-5}%
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:9-2-8} ist die Darstellung von $f$ als
+  Laurentreihe eindeutig.  Genauer: wenn
+  \[
+    \sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
+  \]
+  eine auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe ist,
+  deren Grenzfunktion mit $f$ übereinstimmt, dann für jede reelle Zahl $a$ mit
+  $r < a < R$ und jede ganze Zahl $n ∈ ℤ$ die Formel
+  \[
+    c_n = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz.
+  \]
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Seien Zahlen $a$ und $m$ gegeben.  Betrachte die folgenden Integrale,
+  \begin{multline*}
+    \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz \\
+    \begin{aligned}
+      & = \int_{∂ B_a(ρ)} \left(\lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i (z - ρ)ⁱ \right) (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz && \text{Laurentreihe von } f \\
+      & = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k \int_{∂ B_a(ρ)} c_i (z - ρ)^{i-(n+1)} \, dz && \text{lokal gleichmäßige Konvergenz} \\
+      & = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i·\int_{∂ B_a(ρ)} (z - ρ)^{i-(n+1)} \, dz \\
+      & = 2π i · c_n && \text{Beispiel~\vref{bsp:3-2-2}.}
+    \end{aligned}
+  \end{multline*}
+  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe durch eine Formel gegeben, in der
+  nur die Funktion $f$ vorkommt.  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe
+  eindeutig bestimmt.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Laurentreihenentwicklung und lokal gleichmäßige Konvergenz]\label{kor:10-2-7}%
+  Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben.
+  Weiter seien $f$ und $(f_n)_{n ∈ ℕ} ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ auf dem Kreisring $K_{r,R}(p)$ holomorphe
+  Funktionen, gegeben durch auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig
+  konvergierende Laurentreihen
+  \[
+    f(x) = \sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
+    \quad\text{und}\quad
+    f_n(x) = \sum_{i ∈ ℤ} c_{n,i} (z - ρ)ⁱ.
+  \]
+  Falls die $f_n$ auf $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig gegen $f$ konvergieren,
+  dann ist für jeden Index $i$
+  \[
+    c_i = \lim_{n → ∞} c_{n,i}.
+  \]
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Seien ein Index $i$.  Wähle eine reelle Zahlen $r < a < R$ und schreibe
+  \begin{align*}
+    c_i & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} \lim_{n → ∞} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Annahme} \\
+    & = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{lokal glm.~Konvergenz} \\
+    & = \lim_{n → ∞} c_{n,i}.  && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}}
+  \end{align*}
+  Damit folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

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+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Anwendungen der Laurentreihenentwicklung}
+
+\section{Charakterisierung von Singularitäten}
+
+Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:9} drei Typen von isolierten Singularitäten
+definiert.  Mithilfe der Laurentreihenentwicklung können wir diese Typen jetzt
+charakterisieren.
+
+\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]\label{beo:9-2-10}%
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
+  Singularitäten auf $U$.  Es sei $T ⊂ U$ die Menge der Singularitäten und sei
+  $ρ ∈ T$ sei eine der isolierte Singularitäten.  Um das Verhalten von $f$ bei
+  $ρ$ zu verstehen, entwickle $f$ bei $ρ$ in eine Laurentreihe.  Genauer: wähle
+  eine Zahl $ε > 0$, sodass $ρ$ die einzige Singularität von $f$ in der
+  Kreisscheibe $B_{ε}(ρ)$ ist, also
+  \[
+    B_{ε}(p) ∩ T = \{ρ\}.
+  \]
+  Betrachte dann den Kreisring
+  \[
+    K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: \frac{ε}{2} < |z - ρ| < ε \}.
+  \]
+  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} („Laurentreihenentwicklung“) gibt es eine auf
+  $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe $\sum c_i
+  (z - p)ⁱ$, deren Grenzfunktion auf $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ mit $f$
+  übereinstimmt.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine hebbare Singularität von $f$, wenn
+      der Hauptteil gleich null ist.
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine Polstelle von $f$, wenn der
+      Hauptteil nur endlich viele Summanden hat.
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine wesentliche Singularität von $f$,
+      wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.
+  \end{enumerate}
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}[Funktion mit wesentlicher Singularität]\label{bsp:9-2-11}%
+  Die Funktion
+  \[
+    f : ℂ ∖ \{0\} → ℂ, \quad z ↦ \exp\left(\frac{1}{z}\right)
+  \]
+  ist durch die Laurentreihe
+  \[
+    f(z) = \sum_{k=-∞}⁰ \frac{1}{|k|!} z^k
+  \]
+  gegeben und hat deshalb in $0$ eine wesentliche Singularität.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Automorphismen der komplexen Ebene}
+
+Ähnlich wie im Abschnitt~\ref{sec:7-3} möchte ich die Stärke der
+funktionentheoretischen Methoden demonstrieren, indem ich die Automorphismen der
+komplexen Ebene bestimme.
+
+\begin{frage}
+  Was sind die biholomorphen Selbstabbildungen $ℂ → ℂ$?
+\end{frage}
+
+Einige Beispiele und Nicht-Beispiele sind und bereits bekannt.
+
+\begin{bsp}[Affin-lineare Abbildungen]
+  Für alle $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$ ist die Abbildung
+  \[
+    f : ℂ → ℂ, \quad z ↦ az + b
+  \]
+  biholomorph.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}[Komposition mit Translationen]\label{beob:9-3-3}%
+  Gegeben irgendeine biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$, so ist die Abbildung
+  \[
+    f - f(0) : ℂ → ℂ
+  \]
+  ebenfalls biholomorph und bildet die Null auf null ab.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}[Polynome höheren Grades]
+  Polynome vom Grad $≥ 2$ sind ganz bestimmt keine Automorphismen, denn jedes
+  Polynom $f ∈ ℂ[z]$ zerfällt in Linearfaktoren
+  \[
+    f(z) = λ (z - a_1)(z - a_2) ⋯ (z - a_n).
+  \]
+  \begin{itemize}
+    \item Wenn zwei der $a_•$ gleich sind, dann hat $f$ eine mehrfache
+      Nullstelle.  Die Ableitung $f'$ verschwindet dort.  Aber biholomorphe
+      Abbildungen haben nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit nirgends
+      eine verschwindende Ableitung.
+
+    \item Wenn alle $a_•$ verschieden sind, dann hat $f$ mindestens zwei
+      verschiedene Nullstellen.  Also ist $f$ nicht injektiv.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden]\label{bsp:9-3-5}%
+  Ich behaupte, dass Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden ebenfalls
+  \emph{keine} Automorphismen der komplexen Ebene sind.  Dazu führe ich einen
+  Widerspruchsbeweis.  Angenommen, es gäbe einen Automorphismus $f : ℂ → ℂ$ der
+  durch eine Potenzreihe
+  \[
+    f(z) = \sum a_i zⁱ
+  \]
+  mit unendlich vielen Summanden gegeben ist.  Nach Beobachtung~\ref{beob:9-3-3}
+  können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $a_0 = 0$ ist, also $f(0) = 0$.
+  Insbesondere bildet $f$ die Menge $ℂ^*$ biholomorph auf sich selbst ab.
+
+  Aber: die Menge $ℂ^*$ hat einen interessanten Automorphismus, nämlich
+  \[
+    j : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}.
+  \]
+  Die Abbildung $f ◦ j : ℂ^* → ℂ^*$ ist dann auch holomorph und bijektiv, und
+  kann als holomorphe Funktion mit Pol bei $0$ aufgefasst werden.  Die
+  Laurentreihe von $f ◦ j$ ergibt sich sehr einfach aus der Laurentreihe von
+  $f$,
+  \[
+    f ◦ j = \sum a_i z^{-i}.
+  \]
+  Ich stelle fest: Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele
+  Summanden.  Wie ist in Beobachtung~\ref{beo:9-2-10} gesehen haben, bedeutet
+  das Folgendes: wenn ich $f ◦ j$ als Funktion mit isolierter Singularität
+  auffasse, dann hat $f ◦ j$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität.
+
+  Ich behaupte, dass $f ◦ j$ dann aber nicht bijektiv sein kann.  Betrachte dazu
+  die Kreisscheibe $B_{1/2}(1) ⊂ ℂ^*$.  Wir wissen, dass die Bildmenge $(f ◦ j)
+  \left(B_{1/2}(0)\right)$ eine offene Teilmenge von $ℂ^*$ ist.
+  
+  Es gilt aber auch noch Satz~\ref{satz:9-1-casorati-weierstrass}
+  („Casorati-Weierstraß“).  Demnach ist die Bildmenge
+  \[
+    (f ◦ j) \left(B_{1/2}(0) ∖ \{0\}\right) ⊆ ℂ
+  \]
+  dicht, schneidet also $(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0)\right)$ in mindestens einem
+  Punkt.  Dieser Punkt hat demnach zwei Urbilder, nämlich eines in $B_{1/2}(1)$
+  und eines $B_{1/2}(0) ∖ \{0\}$.  Also ist $f ◦ j$ tatsächlich nicht injektiv!
+\end{bsp}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Argumentation aus Beispiel~\ref{bsp:9-3-5} zeigt in Wirklichkeit, dass
+  holomorphe Funktionen mit essenziellen Singularitäten niemals injektiv sind.
+\end{bemerkung}
+
+In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
+
+\begin{satz}[Automorphismen der komplexen Ebene]\label{satz:9-3-6}%
+  Jede biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$ ist von der Form
+  \[
+    f(z) = az + b
+  \]
+  für gewisse $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$.  \qed
+\end{satz}
+
+
+\section{Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten}
+\sideremark{Vorlesung 14}
+
+\begin{frage}[Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten, vereinfachte Fragestellung]\label{fr:11-3-1}%
+  Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge.  Gibt es eine Funktion
+  $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass $f$ in jedem Punkt von $P$ einen Pol oder eine
+  wesentliche Singularität hat?
+\end{frage}
+
+\begin{bemerkung}[Naiver Ansatz]
+  Wenn die Menge $P$ aus Frage~\ref{fr:11-3-1} endlich ist, ist das alles kein
+  Hexenwerk.  Wir können zum Beispiel die Funktion
+  \[
+    f(z) = \sum_{p ∈ P} \frac{1}{z-p} \quad \text{oder} \quad f(z) = \sum_{p ∈ P} \exp\left(\frac{1}{z-p}\right) \quad \text{oder} \quad \dots
+  \]
+  nehmen.  Aber was, wenn die Menge $P$ unendlich ist?  Kann man dann unendliche
+  Summen nehmen?  Wie garantieren wir deren Konvergenz?
+\end{bemerkung}
+
+Der folgende Satz beantwortet Frage~\ref{fr:11-3-1} vollständig.  Der Satz
+erlaubt sogar, die Hauptteile der $f$ für jeden Punkt $p ∈ P$ einen vorzugeben.
+
+\begin{satz}[Mittag-Leffler\footnote{Magnus Gösta Mittag-Leffler, genannt Gösta,
+  (* 16.~März 1846 in Stockholm; † 7.~Juli 1927 in Djursholm[1]) war ein
+  schwedischer Mathematiker, der sich vor allem mit Analysis
+  beschäftigte.}]\label{satz:mittag-leffler}%
+  \index{Satz von Mittag-Leffler}Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene, diskrete
+  Teilmenge.  Für jedes $p ∈ P$ sei eine Laurentreihe $f_p$ mit
+  Entwicklungspunkt $p$ gegeben, die auf $K_{0,∞}(p) = ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.
+  Dann gibt es eine Funktion $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass für jeden Punkt $p ∈ P$
+  gilt: Die Laurententwicklung von $f$ am Punkt $p$ hat denselben Hauptteil wie
+  die Laurentreihe $f_p$.
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+  Satz~\ref{satz:mittag-leffler} ist nicht optimal.  Es gibt allgemeinere
+  Versionen, bei denen zum Beispiel statt $ℂ$ nur durch eine offene Menge $U ⊆
+  ℂ$ betrachtet wird.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{proof}
+  Falls die Menge $P$ endlich ist, so können wir einfach $f(z) = \sum_{p ∈ P}
+  f_p(z)$ nehmen.  Im Folgenden nehmen wir also ohne Beschränkung der
+  Allgemeinheit an, dass die Menge $P$ unendlich ist.  Der Einfachheit halber
+  nehmen wir zusätzlich noch an, dass die Menge $P$ den Nullpunkt nicht enthält.
+  Um die Notation zu vereinfachen, schreiben wir für jeden Punkt $p ∈ P$ die
+  $h_p$ für den Hauptteil der Laurentreihe $f_p$.  Dies ist eine Laurentreihe
+  mit trivialem Nebenteil, die auf ganz $ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.
+
+
+  \paragraph*{Schritt 1}
+
+  Um das Problem von Mittag-Leffler auf den endlichen Fall zurückzuführen,
+  beachte, dass für jede kompakte Menge $K ⊂ ℂ$ nur endlich viele $p ∈ P$ in $K$
+  liegen.  Dies gilt, weil die Menge $P$ diskret ist.  Wir nutzen dies, und
+  zerlegen die Menge $P$ in Teilmengen der Form wie folgt.
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=8cm]{10-mittagLeffler.png}
+  \end{center}
+  Gegeben eine natürliche Zahl $n ∈ ℕ$, dann ist die Summe der Hauptteile,
+  \[
+    S_n := \sum_{n ≤ |p| < n+1} h_p,
+  \]
+  eine endliche Summe von Laurentreihen\footnote{Wobei $h_p$ jeweils auf ganz $ℂ
+  ∖ \{p\}$ konvergiert} und deshalb selbst eine Laurentreihe die auf ganz
+  \[
+    ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}
+  \]
+  konvergiert.  Wir erhalten also eine Funktion, die wir (nicht ganz korrekt)
+  wieder mit $S_n$ bezeichnen,
+  \[
+    S_n : \underbrace{ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}}_{\text{enthält die gesamte offene Kreisscheibe }B_n(0)} → ℂ.
+  \]
+  
+  
+  \paragraph*{Schritt 2}
+
+  Beachte, dass die Funktion $S_n$ auf der Kreisscheibe $B_n(0)$ holomorph ist,
+  weil dort keine der Singularitäten liegen.  Wir können die Funktion $S_n$
+  deshalb am Nullpunkt in eine Potenzreihe entwickeln, deren Konvergenzradius
+  mindestens $n$ ist.  Aufgrund der lokal gleichmäßigen Konvergenz dieser
+  Potenzreihe wird die Folge der Partialsummen auf der kompakten Kreisscheibe
+  $\overline{B_{n-1}(0)}$ gleichmäßig gegen $S_n$ konvergieren.  Wir finden also
+  für jedes $n ≥ 1$ ein Polynom $Q_n$, sodass
+  \begin{equation}\label{eq:11-3-4-1}%
+    \forall z ∈ B_{n-1}(0) : |S_n(z) - Q_n(z)| ≤ 2^{-n}
+  \end{equation}
+  gilt.
+  
+  
+  \paragraph*{Schritt 3}
+  
+  Definiere jetzt die Funktionenfolge
+  \[
+    f_m : ℂ ∖ P → ℂ, \quad z ↦ \sum_{n=1}^m (S_n(z) - Q_n(z)).
+  \]
+  Damit gilt schon einmal Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:11-3-4-1} Für jedes $m$ ist die Funktion $f_m$ auf $ℂ ∖ P$
+      holomorph, weil sie als endliche Summe von holomorphen Funktionen
+      dargestellt ist.
+
+    \item\label{il:11-3-4-2} Für jeden Punkt $p ∈ P$ und jedes $m > |p|$ hat die
+      Funktion $f_m$ bei $p$ denselben Hauptteil wie die Laurentreihe $f_p$,
+      weil die Polynome $Q_n$ nichts an den Hauptteilen in $p ∈ P$ ändern.
+  \end{enumerate}
+  Falls wir zeigen können, dass die Funktionenfolge $f_m$ auf $ℂ ∖ P$ lokal
+  gleichmäßig gegen eine Funktion $f$ konvergiert, sind wir fertig.  Der Grund
+  ist der Folgende.
+  \begin{enumerate}
+    \item Als Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergierenden Folge
+      holomorpher Funktionen ist $f$ nach
+      Proposition~\vref{prop:potenzreihe-holomorph} wieder holomorph.
+
+    \item Nach \ref{il:11-3-4-2} und Korollar~\ref{kor:10-2-7} hat die
+      Laurentreihe von $f$ bei jedem Punkt $p ∈ P$ hat denselben Hauptteil wie
+      die Laurentreihe $f_p$.
+  \end{enumerate}
+
+
+  \paragraph*{Schritt 4}
+  
+  Um die lokal gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, sei ein Punkt $z_0 ∈ ℂ ∖ P$
+  gegeben.  Wir müssen eine Umgebung dieses Punktes finden, auf der die Folge
+  $f_m$ gleichmäßig konvergiert.  Wähle dazu eine Zahl $n ∈ ℕ$ mit $n > |z_0|$
+  und betrachte die Umgebung $B_n(z_0) ∖ P$.  Für jedes $z ∈ B_n(z_0) ∖ P$ gilt
+  dann:
+  \begin{align*}
+    |f(z) - f_m(z)| &= \left| \sum_{n=m+1}^∞ (S_n(z) - Q_n(z)) \right| \\
+    & ≤ \sum_{n=m+1}^∞ |S_n(z) - Q_n(z)| && \text{Dreiecks-Ungleichung} \\
+    & ≤ \sum_{n=m+1}^∞ 2^{-n} && \text{\eqref{eq:11-3-4-1}} \\
+    & = 2 - \frac{1-(\frac{1}{2})^{m+1}}{1-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{m+1}.
+  \end{align*}
+  Damit ist die gleichmäßige Konvergenz von $f_m$ auf $B_n(z_0) ∖ P$ gezeigt.
+\end{proof}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

12-residuum.tex

@@ -0,0 +1,159 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der Residuensatz}
+
+In diesem Abschnitt sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $P ⊂ U$ endlich, und es $f ∈ 𝒪(U
+∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten bei $P$.  Gegeben
+einen geschlossenen Weg $γ: [a,b] → U ∖ P$, der in $U$ zusammenziehbar ist, dann
+fragen wir nach Möglichkeiten, das Integral
+\[
+  \int_{γ} f(z) \, dz
+\]
+einfach zu berechnen.  Einige Fälle kennen wir schon.
+
+\begin{bemerkung}[Integralsatz von Cauchy]
+  Falls $P = ∅$ die leere Menge ist, also $f ∈ 𝒪(U)$, dann sagt
+  Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“), dass das gesuchte
+  Integral verschwindet,
+  \[
+    \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
+  \]
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Umlaufsinn ist wichtig]\label{bem:12-0-2}%
+  Wenn $\overline{γ}$ derselbe Weg wie $γ$ ist, aber entgegengesetzter Richtung
+  läuft, dann gilt
+  \[
+    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = -\int_{γ} f(z) \, dz.
+  \]
+  Also muss es eine Rolle spielen, wie $γ$ durchlaufen wird.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}[Spezielle Koeffizienten der Laurent-Entwicklung]
+  Es sei $U = ℂ$ $P = \{rho\}$ sei ein einziger Punkt.  Schreibe $f$ als
+  Laurentreihe,
+  \[
+    f(z) = \sum_{k=-∞}^∞ c_k (z-p)^k.
+  \]
+  Dann gilt nach Korollar~\ref{kor:10-2-5} für jede reelle Zahl $r ∈ ℝ⁺$ die
+  Gleichung
+  \[
+    \frac{1}{2π i} \int_{\mathcal{B}_R(p)} f(z) \, dz = c_{-1}.
+  \]
+  Der Koeffizient $c_{-1}$ der Laurententwicklung scheint also eine besondere
+  Rolle zu spielen.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Die Umlaufzahl}
+
+Der Begriff „Umlaufzahl“ präzisiert die in \ref{bem:12-0-2} gemachte
+Beobachtung.
+
+\begin{satz}[Umlaufzahl]\label{satz:12-2-1}%
+  Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein geschlossener Weg.  Dann gibt es
+  genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
+  \[
+    [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ p + \exp(2π int)
+  \]
+  ist, nämlich
+  \[
+    n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z-p} \, dz.
+  \]
+\end{satz}
+
+Wir beweisen Satz~\ref{satz:12-2-1} später.  Zunächst definieren wir die
+Umlaufzahl und diskutieren den Inhalt des Satzes geometrisch.
+
+\begin{definition}[Umlaufzahl]\label{def:12-2-2}%
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:12-2-1} heißt $n$ die
+  \emph{Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl} oder
+  \emph{Windungszahl}\index{Windungszahl} des Weges $γ$ um und Punkt $p$. Die
+  Schreibweise $\Um(γ, p)$ ist üblich.
+\end{definition}
+
+\subsection{Anschauliche Bedeutung der Umlaufzahl}
+
+Anschaulich gesprochen: Die Umlaufzahl zählt, wie oft $γ$ den Punkt $p$ entgegen
+dem Uhrzeigersinn umläuft (Umrundungen im Uhrzeigersinn werden mit $-1$
+gezählt).  Mit den folgenden goldenen Regeln kann man die Umlaufzahl praktisch
+ermitteln, wenn man den Weg $γ$ zeichnerisch gegeben hat und wenn der Weg $γ$
+einfach durchlaufen wird.  Dabei bedeutet „einfach durchlaufen“, dass es eine
+endliche Menge $Z ⊂ [0,1]$ gibt, sodass $γ|_{[0,1] ∖ Z}$ injektiv ist.
+
+\begin{description}
+  \item[Goldene Regel 1] Die Umlaufzahl $\Um(γ, p)$ hängt nur von der
+    Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖ \Bild(γ)$ ab, in der sich der Punkt $p$
+    befindet.
+
+  \item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $\bC
+    ∖ \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.
+
+  \item[Goldene Regel 3] Die Windungszahl in benachbarten
+  Zusammenhangskomponenten unterscheidet sich um $± 1$, wobei die größere Zahl
+  in Fahrtrichtung links liegt.
+\end{description}
+
+Abbildung~\ref{fig:12-1-1} zeigt, was dabei herauskommt.  Wir beweisen die
+goldenen Regeln nicht wirklich vollständig, sondern geben nur gute Gründe für
+deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=4cm]{12-res1.png}
+  \end{center}
+
+  \caption{Anwendung der Goldenen Regeln}
+  \label{fig:12-1-1}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 1]
+  Der Satz über parameterabhängige Integral zeigt, dass die Funktion
+  \[
+    \Um(γ, ·): ℂ ∖ \Bild(γ) → ℤ
+  \]
+  stetig ist.  Die Aussage folgt, weil die Bildmenge $ℤ$ diskret ist.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 2]
+  In der Topologie zeigt man: Der Weg $γ$ ist in $ℂ ∖ \{p\}$ zusammenziehbar,
+  falls $p$ in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $γ$ liegt.  Die
+  Aussage folgt dann aus Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“),
+  \[
+    \int_γ \frac{1}{z-p} \, dz = \Um(γ, p) = 0.
+  \]
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 3]
+  Seien $p_1, p_2 ∈ ℂ ∖ \Bild(γ)$ in benachbarten Zusammenhangskomponenten.  Das
+  sieht dann etwa so aus:
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=14cm]{12-res2.png}
+  \end{center}
+  Wir ändern den Weg $γ$ wie eingezeichnet ab und vergleichen die Umlaufzahlen
+  der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_{ε}$.  Es ist
+  \[
+    \Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2).
+  \]
+  Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil der Weg $γ$ in $ℂ ∖ \{p_1\}$
+  homotop zu $\widetilde{γ}_{ε}$ ist.  Die zweite Gleichheit gilt nach der
+  Goldenen Regel 1, weil $p_1$ und $p_2$ in derselben Zusammenhangskomponente
+  von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_{ε})$ ist.  Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
+  p_2)$ hängt natürlich nicht von der Größe $ε$ ab.  Wenn man $ε$ gegen null
+  gehen lässt, erhält man folgendes Bild:
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=6cm]{12-res3.png}
+  \end{center}
+  Dann ist
+  \begin{align*}
+    \Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2) \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{\widetilde{γ}} \frac{1}{z-p_2} \, dz \\
+    & = \frac{1}{2π i} \left( \int_{γ} \frac{1}{z-p_2} \, dz + \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz \right) \\
+    & = \Um(γ, p_2) + \frac{1}{2π i} · \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz
+    \intertext{und für $r$ ausreichend klein ist nach der Cauchy-Integralformel}
+    \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz & = \int_{B_r(p_2)} \frac{1}{z-p_2} \, dz = ± 2π i.
+  \end{align*}
+  Damit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.
+\end{proof}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -32,12 +32,15 @@
 
 \DeclareMathOperator{\ad}{ad}
 \DeclareMathOperator{\Bij}{Bij}
+\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
 \DeclareMathOperator{\End}{End}
 \DeclareMathOperator{\Hau}{Hau}
 \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
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+\DeclareMathOperator{\Res}{Res}
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
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+\DeclareMathOperator{\Um}{Um}
 
 \newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
 
@@ -151,6 +154,9 @@ Link in den Text ein.
 \part{Singularitäten}
 
 \input{09-singularities}
+\input{10-laurent}
+\input{11-applications}
+\input{12-residuum}
 
 \addchap{Lizenz}