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\selectlanguage{german}
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\chapter{Entwicklung in Laurentreihen}
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\sideremark{Vorlesung 13}
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\section{Holomorphe Funktionen auf Kreisringen}
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In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf
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Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen. Wir wollen jetzt einen
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ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen. Dazu
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verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung.
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\begin{bemerkung}[Erinnerung]
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Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$.
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Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈
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B_{ρ}(0)$
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\[
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f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
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\]
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Schreibe
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\[
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\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ,
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\]
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und setze dies in das Integral ein. Vertausche Integral und Summe und erhalte
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eine Potenzreihendarstellung von $f$.
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\end{bemerkung}
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So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen,
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die bei $0$ eine Singularität haben. Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf
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Kreisringen.
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\begin{notation}[Kreisring]
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Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$. Dann sei
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\[
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K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \}
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\]
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der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$.
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\end{notation}
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\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}%
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Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem
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Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
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\end{situation}
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\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]\label{kons:9-2-4}%
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In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
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Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
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\[
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r < a < |w| < A < R.
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\]
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und betrachte den in Abbildung~\ref{fig:9-2-1} gezeigten Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$.
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\begin{figure}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=10cm]{10-annulus.png}
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\end{center}
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\caption{Wege im Kreisring $K_{r,R}(0)$}
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\label{fig:9-2-1}
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\end{figure}
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Als Erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
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$γ$ ausdrücken. Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
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Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt. Dann gilt nach
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der Cauchy Integralformel die Gleichung
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\[
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f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz.
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\]
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Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist.
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Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter
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freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich,
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\begin{align*}
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f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
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& = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
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& = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right].
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\end{align*}
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Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an.
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\begin{itemize}
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\item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist
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\[
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\frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
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\]
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und deshalb
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\[
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\int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
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= \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ.
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\]
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\item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist
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\[
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\frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ
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\]
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und deshalb
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\[
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\int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}.
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\]
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\end{itemize}
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Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und
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$A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig.
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Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen
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$(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung
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gilt,
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\[
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f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}.
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\]
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Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt
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\[
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f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ.
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\]
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Die Konstruktion endet hier.
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\end{konstruktion}
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\section{Laurentreihen}
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Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
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schrecklich wichtig. Sie wird als
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\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli
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1813 in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
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bezeichnet.
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\begin{definition}[Laurentreihen]\label{def:9-2-5}%
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Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
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Ausdruck der Form
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\[
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\sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
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\]
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Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Konvergenz von Laurentreihen]
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Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5} und eine
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natürliche Zahl $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
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\[
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\sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
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\]
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als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der
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Laurentreihe. Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen
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$g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$
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konvergiert. Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$
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lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig
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konvergiert.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Haupt- und Nebenteil von Laurentreihen]
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Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5}, so nennt man die
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Teilreihen
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\[
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\sum_{i=1}^{∞} c_i (z - p)^{-i}
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\quad\text{und}\quad
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\sum_{i=0}^{∞} c_i (z - p)ⁱ
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\]
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den \emph{Hauptteil}\index{Hauptteil einer Laurentreihe} und den
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\emph{Nebenteil}\index{Nebenteil einer Laurentreihe} der Laurentreihe.
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\end{definition}
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Konstruktion~\ref{kons:9-2-4} arbeitet mit Kreisringen um den Nullpunkt. Wie
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immer gelten dieselben Aussagen für Kreisringe mit beliebigem Mittelpunkt. Am
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Ende des Tages haben wir Folgendes bewiesen.
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\begin{satz}[Laurentreihenentwicklung]\label{satz:9-2-8}%
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Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben.
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Weiter sei $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ eine auf dem Kreisring $K_{r,R}(p)$ holomorphe
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Funktion. Dann existiert eine auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig
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konvergierende Laurentreihe, deren Grenzfunktion mit $f$ übereinstimmt.
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Zusätzlich gilt: Haupt- und Nebenteil der Laurentreihe konvergieren auf
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$K_{r,R}(p)$ ebenfalls jeweils lokal gleichmäßig. \qed
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\end{satz}
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\begin{bsp}[Laurentreihenentwicklung]\label{bsp:9-2-10}%
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Betrachte die Funktion
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\[
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f : ℂ ∖ \{2\} → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{z - 2}.
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\]
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Das Ziel ist, die Laurentreihenentwicklung von $f$ auf verschiedenen
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Kreisringen zu bestimmen.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:10-2-6-1} Auf dem Kreisring $K_{0,1}(0)$ gilt für jedes $z$ die
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Gleichung
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\[
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f(z) = -\frac{1}{2} · \frac{1}{1-\frac{z}{2}}
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= \sum_{k=0}^∞ -\frac{1}{2} \left(\frac{z}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^∞ -\frac{1}{2^{k+1}} z^k.
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\]
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Die Summendarstellung $\frac{1}{1-\frac{z}{2}}$ gilt wie angegeben, weil
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$|z|<2$, also $|\frac{z}{2}|<1$ ist.
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\item Auf dem Kreisring $K_{1, 2}(0)$ gilt für jedes $z$ dieselbe Darstellung
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wie in \ref{il:10-2-6-1}, weil immer noch $|z|<2$ ist.
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\item Auf dem Kreisring $K_{2,∞}(0)$ können wir die Reihe aus
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\ref{il:10-2-6-1} definitiv \emph{nicht} nehmen. Es gilt aber für jedes $z$
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die Gleichung $|z|>2$ und deshalb $|\frac{2}{z}|<1$.
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Also ist
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\[
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f(z) = \frac{1}{z-2} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1-\frac{2}{z}} = \frac{1}{z} · \sum_{k=0}^∞ \left(\frac{2}{z}\right)^k = \sum_{k=-∞}⁰ \frac{1}{2^k} z^{k-1}.
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\]
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{kor}[Eindeutigkeit der Laurentreihenentwicklung]\label{kor:10-2-5}%
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In der Situation von Satz~\ref{satz:9-2-8} ist die Darstellung von $f$ als
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Laurentreihe eindeutig. Genauer: wenn
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\[
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\sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
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\]
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eine auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe ist,
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deren Grenzfunktion mit $f$ übereinstimmt, dann für jede reelle Zahl $a$ mit
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$r < a < R$ und jede ganze Zahl $n ∈ ℤ$ die Formel
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\[
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c_n = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz.
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\]
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Seien Zahlen $a$ und $m$ gegeben. Betrachte die folgenden Integrale,
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\begin{multline*}
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\int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz \\
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\begin{aligned}
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& = \int_{∂ B_a(ρ)} \left(\lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i (z - ρ)ⁱ \right) (z - ρ)^{-(n+1)} \, dz && \text{Laurentreihe von } f \\
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& = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k \int_{∂ B_a(ρ)} c_i (z - ρ)^{i-(n+1)} \, dz && \text{lokal gleichmäßige Konvergenz} \\
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& = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i·\int_{∂ B_a(ρ)} (z - ρ)^{i-(n+1)} \, dz \\
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& = 2π i · c_n && \text{Beispiel~\vref{bsp:3-2-2}.}
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\end{aligned}
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\end{multline*}
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Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe durch eine Formel gegeben, in der
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nur die Funktion $f$ vorkommt. Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe
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eindeutig bestimmt.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Laurentreihenentwicklung und lokal gleichmäßige Konvergenz]\label{kor:10-2-7}%
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Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben.
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Weiter seien $f$ und $(f_n)_{n ∈ ℕ} ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ auf dem Kreisring $K_{r,R}(p)$ holomorphe
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Funktionen, gegeben durch auf ganz $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig
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konvergierende Laurentreihen
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\[
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f(x) = \sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
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\quad\text{und}\quad
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f_n(x) = \sum_{i ∈ ℤ} c_{n,i} (z - ρ)ⁱ.
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\]
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Falls die $f_n$ auf $K_{r,R}(p)$ lokal gleichmäßig gegen $f$ konvergieren,
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dann ist für jeden Index $i$
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\[
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c_i = \lim_{n → ∞} c_{n,i}.
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\]
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Seien ein Index $i$. Wähle eine reelle Zahlen $r < a < R$ und schreibe
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\begin{align*}
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c_i & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}} \\
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& = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} \lim_{n → ∞} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{Annahme} \\
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& = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_a(ρ)} f_n(z) · (z - ρ)^{-(i+1)} \, dz && \text{lokal glm.~Konvergenz} \\
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& = \lim_{n → ∞} c_{n,i}. && \text{Korollar~\ref{kor:10-2-5}}
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\end{align*}
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Damit folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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