Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -89,3 +89,6 @@ Borel
 Beschränktheitssatz
 Surjektivität
 Integralformeldarstellung
+prim
+Lejeune
+Primteiler-Zerlegung

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -45,3 +45,5 @@
 {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qvon \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qkonvergiert bei allen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q!\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QGilt also vielleicht eine Gleichung der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Antwort ist vermutlich nein, denn wir wissen aus Erfahrung, dass Primzahlen immer seltener werden, je größer die Zahlen werden.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdie Folge aller Primzahlen, nach Größe sortiert.\\E$"}

13-applResiduum.tex

@@ -208,7 +208,7 @@ Satz von Weierstraß bewiesen.  \qed
 \subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
 
 Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale.  Ich
-skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.  
+skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.
 
 \begin{beobachtung}
   Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
@@ -244,17 +244,17 @@ skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.
   Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
   Residuensatz
   \[
-    \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z).
+    \int_{γ_r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z).
   \]
   Auf der anderen Seite ist
   \[
-    \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = \int_{-r}^r f(x) dx + \int_{\text{oberer Halbkreis}} f(z) \, dz.
+    \int_{γ_r} f(z) \, dz = \int_{-r}^r f(x) dx + \int_{\text{oberer Halbkreis}} f(z) \, dz.
   \]
   Jetzt rechne man nach, dass die Bedingung $\deg b \ge \deg a + 2$ impliziert,
-  dass es eine Konstante $\operatorname{const}^+ ∈ ℝ⁺$ gibt, sodass für alle
+  dass es eine Konstante $\operatorname{const}⁺ ∈ ℝ⁺$ gibt, sodass für alle
   hinreichend großen $r$ gilt:
   \[
-    \max_{|z| = r} |f(z)| ≤ \operatorname{const}^+·{r^{-2}}.
+    \max_{|z| = r} |f(z)| ≤ \operatorname{const}⁺·{r^{-2}}.
   \]
   Das bedeutet, dass das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ gegen
   null geht.  Insgesamt ergibt sich also die folgende Formel.

16-Zahlentheorie.tex

@@ -0,0 +1,261 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Anwendungen in der Zahlentheorie}
+
+\section{Der Primzahlsatz}
+
+Wir fragen naiv: Wie viele Primzahlen gibt es?  Die Antwort ist bekannt: Es gibt
+unendlich viele Primzahlen.  Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende.
+
+\begin{frage}
+  Gegeben $x ∈ ℝ$, betrachte die Funktion
+  \[
+    π : ℝ → ℕ, \quad x ↦ \# \text{ Primzahlen } \le x.
+  \]
+  Wie entwickelt sich die Funktion $π$ asymptotisch?
+\end{frage}
+
+\begin{rem}
+  Man könnte präziser Fragen: Wächst die Zahl der Primzahlen bis $x$ vielleicht
+  asymptotisch linear?  Gilt also vielleicht eine Gleichung der Form
+  \[
+    \frac{π(x)}{x} \underset{x → ∞}{\sim} \operatorname{const}?
+  \]
+  Die Antwort ist vermutlich \emph{nein}, denn wir wissen aus Erfahrung, dass
+  Primzahlen immer seltener werden, je größer die Zahlen werden.  Aber wie
+  genau?
+\end{rem}
+
+\begin{satz}[Primzahlsatz]
+  Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$.
+\end{satz}
+
+\begin{rem}[Interpretation des Primzahlsatzes]
+  Sei $x$ sehr groß.  Dann ist $π(x)$ ungefähr gleich $\frac{x}{\log(x)}$.
+  Gegeben eine Zufallszahl $\le x$, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese
+  Zufallszahl prim ist, in etwa $\frac{1}{\log(x)}$.
+\end{rem}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Konvergenz $\frac{π(x) · \log(x)}{x} → 1$ ist unglaublich langsam.
+\end{bemerkung}
+
+
+\subsection{Die Riemann'sche $ζ$-Funktion}
+
+Der Hauptakteur in diesem Kapitel ist die Riemannsche $ζ$-Funktion.
+
+\begin{defn}[Riemannsche $ζ$-Funktion]
+  Es sei $U$ die offene Menge
+  \[
+    U := \{ z ∈ ℂ \::\: \mathfrak{Re}(z) > 1 \}.
+  \]
+  Die \emph{Riemannsche $ζ$-Funktion}\index{Riemannsche $ζ$-Funktion} ist die
+  Grenzfunktion der folgenden Reihe (deren Konvergenz wir später noch zeigen
+  werden)
+  \begin{equation}\label{eq:16-zeta-def}
+    ζ: U → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^z}.
+  \end{equation}
+\end{defn}
+
+\begin{rem}
+  ---
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Funktionenfolge \eqref{eq:16-zeta-def} ist \emph{keine}
+      Potenzreihe.  Die Zahl $z$ steht im Exponenten!
+
+    \item Die Zahl $k^z$ ist definiert als $k^z = \exp(z · \log k)$.  Dabei ist
+      $\log k$ der gew\"ohnliche Logarithmus der positiven reellen Zahl $k$.
+
+    \item Funktionenfolgen dieser Form heißen
+      \emph{Dirichlet-Reihen}\index{Dirichlet-Reihe}\footnote{Johann Peter
+      Gustav Lejeune Dirichlet (* 13.~Februar 1805 in Düren; † 5.~Mai 1859 in
+      Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.}.
+
+    \item Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir: für alle $z ∈ U$ konvergiert
+      die Reihe absolut.  Besser: gegeben $α ∈ ℝ^{> 1}$, dann konvergiert die
+      Reihe auf der Menge
+      \[
+        U_α = \{ z ∈ ℝ \::\: \mathfrak{Re}(z) \ge α \}
+      \]
+      sogar gleichmäßig.  Also konvergiert die Reihe auf $U$ lokal gleichmäßig
+      und die Grenzfunktion $ζ$ ist holomorph.
+    
+    \item Wir erinnern uns: die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{k}$ konvergiert
+      nicht!
+  \end{enumerate}
+\end{rem}
+
+An dieser Stelle werden Sie sich vermutlich fragen, was die Riemann'sche
+$ζ$-Funktion mit unserer Frage nach der Verteilung von Primzahlen zu tun hat.
+Hier eine erste Antwort.
+
+\begin{satz}[Riemann'sche $ζ$-Funktion und Primzahlen]\label{beh:16-euler-prod}%
+  Bezeichne mit $p_1, p_2, …$ die Folge aller Primzahlen, nach Größe sortiert.
+  Dann gilt für jedes $z ∈ U$ die folgende Gleichung:
+  \begin{equation}\label{eq:16-euler-prod}
+    ζ(z) = \lim_{n → ∞} \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_i^z} \right)^{-1}
+  \end{equation}
+  konvergiert gegen $ζ(z)$.  Zusätzlich gilt: die Funktionenfolge auf der
+  rechten Seite von \eqref{eq:16-euler-prod} konvergiert auf $U$ lokal
+  gleichmäßig.  Die Konvergenz und Grenzfunktion ist unabhängig von der
+  Reihenfolge.  Genauer gesagt: Ist $σ: ℕ → ℕ$ bijektiv, dann konvergiert auch
+  die Funktionenfolge
+  \[
+    \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_{σ(i)}^z} \right)
+  \]
+  lokal gleichmäßig gegen $ζ$.
+\end{satz}
+
+\begin{rem}[Eulersche Produktdarstellung]
+  Gleichung \eqref{eq:16-euler-prod} wird auch \emph{Eulersche
+  Produktdarstellung}\index{Eulersche Produktdarstellung}\index{Leonhard Euler
+  (* 15.~April 1707 in Basel; † 18.~September 1783 in Sankt Petersburg) war ein
+  Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
+  der Riemann'schen $ζ$-Funktion genannt.
+\end{rem}
+
+Bevor wir überhaupt an einen Beweis des Satzes~\ref{beh:16-euler-prod} denken,
+stellen sich sofort einige Fragen.
+\begin{enumerate}
+  \item\label{il:16-1-9-1} Wieso konvergiert \eqref{eq:16-euler-prod} überhaupt?
+    Und wieso dann auch noch unabhängig von Reihenfolge und lokal gleichmäßig?
+
+  \item\label{il:16-1-9-2} Wenn wir die Konvergenz irgendwie beweisen können, wo
+    ist dann eigentlich der Zusammenhang zur $ζ$-Funktion?
+\end{enumerate}
+
+
+\subsection{Konvergenz von Produkten von Funktionen}
+
+Der folgende Satz beantwortet die erste Frage~\ref{il:16-1-9-1}.
+
+\begin{satz}\label{satz:16-prod-fn}%
+  Es sei $X$ eine Menge und es sei $f_n: X → ℂ$ eine Folge von Funktionen,
+  sodass die folgende Folge
+  \[
+    \sum_{i=1}^{n} | f_i - 1 |
+  \]
+  gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion konvergiert.  Dann konvergiert
+  auch die Funktionenfolge
+  \begin{equation}\label{eq:16-prod-fn}
+    \prod_{i=1}^{n} f_i
+  \end{equation}
+  gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion $f$.  Zusätzlich gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item Für jedes $x ∈ X$ folgt aus $f(x) = 0$, dass ein Index $i$ existiert
+      mit $f_i(x) = 0$.
+  
+    \item Die Produkte \eqref{eq:16-prod-fn} konvergieren unabhängig von
+      Reihenfolge.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:16-prod-fn}]
+  Ich möchte $\sum \log f_n$ betrachten.  Dazu sei $S ⊂ ℂ$ die geschlitzte
+  Ebene.  Dort existiert $\log$ als holomorphe Funktion.
+
+  Gegeben $x ∈ X$, dann konvergiert die Folge $\sum |f_n(x) - 1|$ per Annahme.
+  Also konvergiert $f_n(x)$ gegen $1$.  Also liegt für alle ausreichend großen
+  $n ∈ ℕ$ die Zahl $f_n(x)$ in $S$.  Es gilt aber noch mehr, denn die Reihe
+  $\sum | f_n - 1 |$ konvergiert per Annahme sogar gleichmäßig.  Damit gilt:
+  \[
+    ∃ N ∈ ℕ: \forall n > N: \forall x ∈ X: f_n(x) ∈ S.
+  \]
+  Damit ist zumindest der Ausdruck $\sum_{n > N} \log f_n$ sinnvoll.  Fragt sich
+  aber, ob der Ausdruck konvergiert.
+
+  Elementare Analysis zeigt aber: Für $z$ nahe an $1$ ist
+  \[
+    | \log z | < \operatorname{const} · | z - 1 |.
+  \]
+  Ganz präzise:
+  \[
+    ∃ \operatorname{const} ∈ ℝ⁺ : ∃ δ < 1 : \forall z ∈ B_{δ}(1) :
+    | \log z | < \operatorname{const} · | z - 1 |.
+  \]
+  Zusammenfassung: Weil $\sum | f_n - 1 |$ gleichmäßig gegen eine beschränkte
+  Grenzfunktion konvergiert, konvergiert $\sum_{n > N} \log f_n$ gleichmäßig
+  gegen eine betragsmäßig beschränkte Grenzfunktion $L$.
+
+  Wir wissen auch: $\exp$ ist auf jedem Kompaktum gleichmäßig stetig, also
+  insbesondere auf der Umgebung der $1$, in der alle Bilder von $f_n$, $n > N$
+  liegen.  Als Konsequenz sehen wir, dass
+  \[
+    \prod_{n > N} f_n = \exp \sum_{n > N} \log f_n
+  \]
+  gleichmäßig gegen $\exp L$ konvergiert.  Insbesondere konvergiert
+  \begin{equation}\label{eq:16-prod-fn-2}
+    \prod_{n ∈ ℕ} f_n
+    \quad\text{gegen}\quad
+    \left( \prod_{n=1}^{N} f_n \right) · \exp L.
+  \end{equation}
+  Die Annahme, dass $\sum |f_n - 1|$ gleichmäßig gegen eine \emph{beschränkte}
+  Funktion konvergiert, stellt sicher, dass alle $f_n$ sind beschränkt sind, und
+  ebenso $\prod_{n=1}^{N} f_n$.  Daher ist die Konvergenz von
+  \eqref{eq:16-prod-fn-2} gleichmäßig.  Für die Beweise Zusatzbehauptungen bin
+  ich zu faul.
+\end{proof}
+
+\begin{beobachtung}[Anwendung von Satz~\ref{satz:16-prod-fn} auf die Eulersche Produktdarstellung]
+  Wir betrachten die Funktionen
+  \[
+    f_n: U → ℂ, \quad z ↦ 1 - \frac{1}{p_n^z}.
+  \]
+  Dann ist $|f_n - 1| = \frac{1}{p_n^z}$ und die Reihe
+  \[
+    \sum |f_n - 1| = \sum \left| \frac{1}{p_n^z} \right|
+  \]
+  konvergiert lokal gleichmäßig.  Also konvergiert die Funktionenfolge
+  \[
+    \prod \left( 1 - \frac{1}{p_n^z} \right)
+  \]
+  nach Satz~\ref{satz:16-prod-fn} lokal gleichmäßig und unabhängig von der
+  Reihenfolge.  Die Inversen-Abbildung
+  \[
+    ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}
+  \]
+  ist aber lokal gleichmäßig stetig.  Also konvergiert
+  \[
+    \prod \left( 1 - \frac{1}{p_n^z} \right)^{-1}
+  \]
+  lokal gleichmäßig und unabhängig von der Reihenfolge.
+\end{beobachtung}
+
+
+\subsection{Zusammenhang zur $ζ$-Funktion}
+
+Der folgende Satz beantwortet die zweite Frage~\ref{il:16-1-9-2}: Woher kommt
+die Verbindung zur $ζ$-Funktion?  Ich präsentiere die Antwort in einer Reihe von
+Beobachtungen.
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $z ∈ U$ gegeben und es sei $p$ eine Primzahl.  Dann ist
+  \[
+    \frac{1}{1 - \frac{1}{p^z}} = 1 + \frac{1}{p^z} + \frac{1}{(p^z)²} + \frac{1}{(p^z)³} + ⋯
+  \]
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $z ∈ U$ gegeben und es seien $p, q$ zwei Primzahlen.  Dann ist
+  \[
+    \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^z}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{q^z}} \right)
+    = \sum_{a,b ∈ ℕ} \frac{1}{(p^a · q^b)^z}.
+  \]
+  Ich stelle fest: Die Menge $\{ p^a · q^b \::\: a,b ∈ ℕ\}$ ist genau die Menge
+  der Zahlen, deren Primteiler-Zerlegung nur $p$ und $q$ enthält.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es sei $z ∈ U$ gegeben und es seien $p_1, …, p_n$ die ersten $n$ Primzahlen.
+  Dann ist
+  \[
+    \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_i^z} \right)^{-1}
+    = \sum_{k ∈ \mathcal{Z}_n} \frac{1}{k^z}
+  \]
+  wobei $\mathcal{Z}_n$ die Zahlen sind, in deren Primteiler-Zerlegung nur $p_1,
+  …, p_n$ vorkommen.  Elementare Analysis zeigt jetzt aber: die rechte Seite
+  konvergiert gegen $ζ(z)$.
+\end{beobachtung}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -169,6 +169,7 @@ Link in den Text ein.
 
 \input{14-harmonic}
 \input{15-RiemannMapping}
+\input{16-Zahlentheorie}
 
 \addchap{Lizenz}