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13-applResiduum.tex

@@ -55,6 +55,8 @@
   Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
 \end{proof}
 
+\sideremark{Vorlesung 18}
+
 \begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
     Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
     französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
@@ -139,10 +141,10 @@ sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
 
 \subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
 
-Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden.  Sei also
-$g ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p ∈ P$ exakt
-gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der Funktion $g$ die
-gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
+Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz~\ref{satz:mittag-leffler} von
+Mittag–Leffler zu verwenden.  Sei also $g ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$ eine Funktion, deren
+Hauptteil an jeder Stelle $p ∈ P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel
+ist jetzt, aus der Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
 
 \begin{erinnerung}
   Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $γ$ in $ℂ ∖ P$ gilt:
@@ -206,34 +208,61 @@ Satz von Weierstraß bewiesen.  \qed
 \subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
 
 Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale.  Ich
-skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.  Sei $f(z) =
-\frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
-\begin{enumerate}
-  \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
+skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.  
 
-  \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
-    b \ge \deg a + 2$.
-\end{enumerate}
-und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
-anwenden, um das uneigentliche Integral
-\[
-  \int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx
-\]
-zu berechnen.  Beachte dazu folgendes: Wenn $r ∈ ℝ⁺$ hinreichend groß ist, dann
-liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei $γ_r$
-der folgende geschlossene Weg:
-\begin{itemize}
-  \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
+\begin{beobachtung}
+  Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
+
+    \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung
+      $\deg b \ge \deg a + 2$.
+  \end{enumerate}
+  und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
+  anwenden, um das uneigentliche Integral
+  \[
+    \int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx
+  \]
+  zu berechnen.  Beachte dazu folgendes: Wenn $r ∈ ℝ⁺$ hinreichend groß ist,
+  dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei
+  $γ_r$ der in Abbildung~\ref{fig:13-1-1} skizzierte geschlossene Weg:
+  \begin{itemize}
+    \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
+
+    \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 ≤ t ≤ π\}$ von $r$
+      nach $-r$ zurück.
+  \end{itemize}
+  \begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=8cm]{13-integration.png}
+  \end{center}
+
+  \caption{Integrationsweg}
+  \label{fig:13-1-1}
+\end{figure}
+
+  Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
+  Residuensatz
+  \[
+    \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z).
+  \]
+  Auf der anderen Seite ist
+  \[
+    \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = \int_{-r}^r f(x) dx + \int_{\text{oberer Halbkreis}} f(z) \, dz.
+  \]
+  Jetzt rechne man nach, dass die Bedingung $\deg b \ge \deg a + 2$ impliziert,
+  dass es eine Konstante $\operatorname{const}^+ ∈ ℝ⁺$ gibt, sodass für alle
+  hinreichend großen $r$ gilt:
+  \[
+    \max_{|z| = r} |f(z)| ≤ \operatorname{const}^+·{r^{-2}}.
+  \]
+  Das bedeutet, dass das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ gegen
+  null geht.  Insgesamt ergibt sich also die folgende Formel.
+  \[
+    \int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z).
+  \]
+\end{beobachtung}
 
-  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 ≤ t ≤ π\}$ von $r$
-    nach $-r$ zurück.
-\end{itemize}
-Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
-Residuensatz
-\[
-  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
-\]
-da das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ verschwindet.
 
 \begin{rem}[Variante]
   Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und