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@@ -87,3 +87,5 @@ Aveyron
 Midi-Pyrénées
 Borel
 Beschränktheitssatz
+Surjektivität
+Integralformeldarstellung

07-nullstelle.tex

@@ -228,7 +228,7 @@ $ℂ$.
   Biholomorphie zwischen $ℂ$ und $Δ$ gibt.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Kreisscheibe]
+\begin{bsp}[Automorphismen der Kreisscheibe]\label{ex:7-3-4}%
   Es sei $Δ$ wieder die offene Einheitskreisscheibe.
   \begin{itemize}
   \item Einige Automorphismen von $Δ$ sehe ich direkt, zum Beispiel Drehungen

12-residuum.tex

@@ -261,7 +261,7 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
 \sideremark{Vorlesung 17}
 
 \begin{definition}[Residuum einer Funktion mit isolierten Singularitäten]\label{def:12-3-1}%
-  Es sei $U \subset \bC$ offen, es sei $p \in U$ und es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ \{p\})$.
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $p ∈ U$ und es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ \{p\})$.
   Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in der Laurententwicklung von $f$ bei $p$
   wird \emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt.  Die Bezeichnung
   $\Res_p(f)$ ist üblich.

15-RiemannMapping.tex

@@ -5,16 +5,16 @@
 
 \begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
   \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
-  einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
+  einfach zusammenhängend.  Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
 \end{satz}
 
 \begin{bem}
-  Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu
+  Die Annahme $U ⊊ ℂ$ ist wichtig, denn $U = ℂ$ ist nicht biholomorph zu
   $B_1(0)$.
 \end{bem}
 
 
-\section{Der Satz von Montel}
+\section{Vorbereitung: Der Satz von Montel}
 
 Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
 gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen.  In der Literatur findet man statt
@@ -150,4 +150,200 @@ Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
   Damit ist der Satz bewiesen.
 \end{proof}
 
+
+\section{Vorüberlegung: Injektivität von Grenzfunktionen}
+
+\begin{satz}[Injektivität von Grenzfunktionen]\label{satz:15-0-5}%
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ ein Gebiet und es sei $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine Folge von Funktionen,
+  die auf $U$ lokal gleichmäßig gegen $f ∈ 𝒪(U)$ konvergieren.  Wenn alle $f_n$
+  injektiv sind, dann ist $f$ entweder konstant oder selbst injektiv.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an: $f$ ist nicht injektiv und
+  auch nicht konstant.  Also gibt es zwei Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ mit $z_1 \ne
+  z_2$ und $f(z_1) = f(z_2)$.  Zur Vereinfachung der Notation können wir ohne
+  Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $f(z_1) = 0$ ist.  Jetzt wähle
+  $ε > 0$ so, dass folgendes gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Funktion $f$ hat in $\overline{B_ε(z_1)}$ nur eine Nullstelle,
+      nämlich $z_1$.  --- Dies ist durch eine geeignete Wahl von $ε$ aufgrund
+      der Isoliertheit der Nullstellen möglich.
+
+    \item Keine der Funktionen $f_n$ hat auf $∂ B_ε(z_1)$ eine Nullstelle.  ---
+      Dies ist für fast alle $n$ aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz auf $∂
+      B_ε(z_1)$ möglich.
+  \end{enumerate}
+  Wir wissen
+  \begin{multline*}
+    \qquad\qquad \# \text{Nullstellen von } f \text{ in } B_ε(z_1) \\
+    \begin{aligned}
+      & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}} \\
+      & = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f_n'(z)}{f_n(z)}\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
+      & = \lim_{n → ∞} \# \text{Nullstellen von } f_n \text{ in } B_ε(z_1) && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}.}
+    \end{aligned}
+  \end{multline*}
+  Da die Anzahl der Nullstellen von $f$ in $B_ε(z_1)$ gleich $1$ ist, folgt,
+  dass auch die Anzahl der Nullstellen von $f_n$ in $B_ε(z_1)$ für fast alle $n$
+  gleich $1$ ist.
+
+  Dasselbe kann mit der Nullstelle bei $z_2$ machen.  Also müssen auch $f_n$ für
+  ausreichend großes $n$ mindestens zwei Nullstellen haben.  Dies ist ein
+  Widerspruch zur Annahme, dass alle $f_n$ injektiv sind.
+\end{proof}
+
+
+\section{Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes}
+
+Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-5-1} in drei leichten Schritten.
+
+
+\subsection{Schritt 1}
+
+Wir wollen zuerst eine irgendeine injektive Abbildung von $U$ in die
+Kreisscheibe $B_1(0)$ finden.  Über Surjektivität machen wir uns jetzt noch
+keine Gedanken.  Folgende Vorüberlegungen sind wichtig.
+\begin{itemize}
+  \item Weil $U ⊊ ℂ$ ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
+    annehmen, dass der Nullpunkt nicht in $U$ liegt, also $U ⊂ ℂ^*$.
+
+  \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, existiert eine Logarithmusfunktion
+    $\log: U → ℂ$, also eine holomorphe Abbildung sodass für jedes $z ∈ U$ die
+    Gleichung $\exp(\log(z)) = z$ gilt.
+\end{itemize}
+
+\begin{beobachtung}[Injektivität von $\log$]\label{beo:15-3-1}%
+  Die Logarithmusfunktion $\log$ ist injektiv!
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[Variante von \ref{beo:15-3-1}]\label{beo:15-3-2}%
+  Wenn $z ∈ \operatorname{Im}(\log)$ ist, dann ist $z + 2π i \notin
+  \operatorname{Im}(\log)$.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[Anwendung von \ref{beo:15-3-2}]
+  Wir wissen nach Satz~\ref{satz:gebietstreue} („Satz von der Gebietstreue“),
+  dass die Abbildung $\log$ offen ist.  Die Bildmenge $\operatorname{Im}(\log)$
+  enthält also eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ \operatorname{Im}(\log)$.  Dann ist
+  die Kreisscheibe $B_r(p + 2π i)$ disjunkt zu $\operatorname{Im}(\log)$!
+\end{beobachtung}
+
+Insgesamt erhalten wir also: die Abbildung
+\[
+  \log - (p+2π i) : U → ℂ, \quad z ↦ \log(z) - (p+2π i)
+\]
+ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $> r$.  Anders herum: die
+Abbildung
+\[
+  f: U → ℂ, \quad z ↦ \frac{r}{\log(z) - (p+2π i)}
+\]
+ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $< 1$.  Wir haben also eine
+injektive Abbildung $f: U → B_1(0)$ gefunden!
+
+
+\subsection{Schritt 2}
+
+Nach Schritt 1 können wir annehmen, dass $0 ∈ U ⊂ B_1(0)$ ist und den $0$-Punkt
+enthält, und aufgrund der Offenheit für hinreichend kleines $ε$ auch eine
+$ε$-Umgebung,
+\[
+  0 ∈ B_ε(0) ⊆ U ⊆ B_1(0).
+\]
+Wir betrachten injektive holomorphe Abbildungen $f: U → B_1(0)$.  Folgendes ist
+klar.
+\begin{itemize}
+  \item Es gibt mindestens eine solche Abbildung, nämlich $\operatorname{Id}$.
+
+  \item Wenn $f$ eine solche Abbildung ist, dann ist $f$ betragsmäßig nach oben
+    durch $1$ beschränkt.  Insbesondere gilt:
+    \[
+      f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(0)} \frac{f(z)}{z²}\,dz
+    \]
+    ist betragsmäßig nach oben durch $ε^{-1}$ beschränkt.
+\end{itemize}
+
+\begin{konsequenz}
+  Die Menge
+  \[
+    \left\{ |f'(0)| \::\: f: U → B_1(0) \text{ holomorph und injektiv mit } f(0) = 0 \right\}
+  \]
+  hat ein Supremum, $S \ge 1$.
+\end{konsequenz}
+
+Wähle eine Folge $f_n ∈ 𝒪(U)$ von injektiven Abbildungen $U → B_1(0)$ mit
+$f_n(0) = 0$, sodass $f_n'(0)$ gegen $S$ konvergiert.  Nach
+Satz~\ref{satz:15-0-4} („Satz von Montel“) können wir die Funktionenfolge sogar
+so wählen, dass die Folge $f_n$ auf $U$ lokal gleichmäßig konvergiert.  Sei $f:
+U → ℂ$ die Grenzfunktion.  Folgendes lässt sich sofort sagen:
+\begin{itemize}
+  \item Wegen kompakter Konvergenz ist die Grenzfunktion holomorph.
+
+  \item Wegen lokal gleichmäßiger Konvergenz und der Integralformeldarstellung
+    der Ableitung ist $f'(0) = \lim f_n'(0)$, hat also Betrag $S \ge 1$.  Also
+    ist $f$ sicher nicht konstant.
+
+  \item Für jeden Punkt $p ∈ U$ gilt die Ungleichung $|f(p)| = \lim |f_n(p)| \le
+    1$.  Also ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ \overline{B_1(0)}$.  Weil die
+    Abbildung $f$ aber offen\footnote{Alternativ: Weil das Maximumsprinzip gilt}
+    ist, ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ B_1(0)$.
+
+  \item Nach Satz~\ref{satz:15-0-5} („Injektivität von Grenzfunktionen“) ist $f$
+    wieder injektiv.
+\end{itemize}
+
+
+\subsection*{Schritt 3}
+
+Wir haben jetzt $U ⊂ B_1(0)$, $0 ∈ U$ und eine holomorphe Abbildung $f: U →
+B_1(0)$ sodass $f(0) = 0$ ist, $f$ injektiv und $|f'(0)|$ betragsmäßig maximal.
+Jetzt ist noch zu zeigen, dass $f$ surjektiv ist.
+
+Wir argumentieren wieder mit Widerspruch und nehmen an, dass $f$ nicht surjektiv
+ist.  Mit anderen Worten: wir nehmen an, dass es einen Punkt $p ∈ B_1(0) ∖ f(U)$
+gibt.  Um einen Widerspruch zu erhalten, werden wir nun ein $g ∈ 𝒪(U)$
+konstruieren mit $\operatorname{Im}(g) ⊂ B_1(0)$, $g$ injektiv, $g(0) = 0$ und
+$|g'(0)|$ betragsmäßig echt größer als $|f'(0)|$.  Das geht so:
+\begin{itemize}
+  \item Nach Beispiel~\ref{ex:7-3-4} („Automorphismen der Kreisscheibe“) gibt es
+    einen Automorphismus $h_1 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$, welcher die Punkte
+    $p$ und $0$ vertauscht.  Die Abbildung $h_1 ◦ f ∈ 𝒪(U)$ ist also injektiv,
+    aber $0$ liegt nicht im Bild.
+
+  \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Wurzel von $h_1 ◦ f$.
+    Genauer: es gibt eine holomorphe Abbildung $w: U → B_1(0)$, sodass für jedes
+    $z ∈ U$ die Gleichung
+    \[
+      (w(z))² = h_1(f(z))
+    \]
+    gilt.  Schreibe
+    \[
+      q ◦ w = h_1 ◦ f,
+    \]
+    wobei $q$ die Quadratabbildung ist,
+    \[
+      q: B_1(0) → B_1(0), \quad z ↦ z².
+    \]
+
+  \item Die Abbildung $w$ ist injektiv, weil $h_1◦f$ injektiv ist.  Der
+    Nullpunkt wird aber vielleicht nicht auf den Nullpunkt abgebildet.  Kein
+    Problem!  Wähle einen Automorphismus $h_2 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$,
+    welcher $0$ und $w(0)$ vertauscht.  Setze $g := h_2 ◦ w$.  Dann ist $w: U →
+    B_1(0)$ holomorph, injektiv, bildet $0$ auf $0$ ab und erfüllt
+    \[
+      \begin{matrix}
+        & q ◦ w & = & h_1 ◦ f \\
+        ⇔ & q ◦ h^{-1}_2 ◦ g & = & h_1 ◦ f \\
+        ⇔ & \underbrace{(h^{-1}_1 ◦ q ◦ h^{-1}_2)}_{=: \varphi} ◦ g & = & f.
+      \end{matrix}
+    \]
+\end{itemize}
+Die Abbildung $\varphi$ ist eine holomorphe Abbildung von $B_1(0)$ nach
+$B_1(0)$.  Es ist
+\[
+  \varphi(0) = \varphi(g(0)) = f(0) = 0
+\]
+und $\varphi$ ist definitiv keine Drehung!  Die Abbildung $\varphi$ ist nämlich
+kein bisschen injektiv!  Nach Lemma~\ref{lem:7-2-1} („Lemma von Schwarz“) gilt
+also: $|\varphi'(0)| < 1$.  Mit anderen Worten: es ist $|g'(0)| > |f'(0)|$.
+Damit ist Satz~\ref{satz:14-5-1} bewiesen.  \qed
+
 % !TEX root = Funktionentheorie