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\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
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\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
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\index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
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einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
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\end{satz}
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\begin{bem}
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Die Annahme $U ⊊ ℂ$ ist wichtig, denn $U = ℂ$ ist nicht biholomorph zu
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$B_1(0)$.
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\end{bem}
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\section{Vorbereitung: Der Satz von Montel}
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Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
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gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
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„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
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beschränkt“.
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\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
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beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
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∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
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$|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
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beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
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Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
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gleichmäßig beschränkt ist.
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\end{defn}
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\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
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1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
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Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
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Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
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gleichmäßig konvergiert.
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\end{satz}
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\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
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1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher
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Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
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Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
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Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
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Mathematiker und Politiker.}]%
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Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine
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konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
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wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
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f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
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\end{erinnerung}
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\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
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Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere
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gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
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\begin{itemize}
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\item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
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konvergiert.
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\item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
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$p_1$ und $p_2$ konvergiert.
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\item …
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\end{itemize}
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Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
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allen $p_k$!
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\end{vorueberlegung}
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\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
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Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
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Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
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Ableitungen die Gleichung
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\[
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f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
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\]
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Beachte:
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\begin{itemize}
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\item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.
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\item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
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betragsmäßig beschränkt.
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\end{itemize}
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Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es
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existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
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B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n'(w)| < M
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\]
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gilt.
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\end{vorueberlegung}
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Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
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Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
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\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
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$\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
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jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
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\]
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gilt. \qed
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\end{konsequenz}
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\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
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Zahl $ε > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
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sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
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$n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
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\]
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gilt. \qed
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\end{konsequenz}
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\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
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Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
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durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
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sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
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Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
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konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
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Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_m(p)| < ε
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\]
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gilt. Seien also $K$ und $ε$ gegeben.
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Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
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Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
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Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
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Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies
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\[
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B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
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\]
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Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
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Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
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\]
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gilt. Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
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sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
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\begin{align*}
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|f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
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& ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
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& ≤ ε.
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\end{align*}
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Damit ist der Satz bewiesen.
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\end{proof}
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\section{Vorüberlegung: Injektivität von Grenzfunktionen}
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\begin{satz}[Injektivität von Grenzfunktionen]\label{satz:15-0-5}%
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Es sei $U ⊆ ℂ$ ein Gebiet und es sei $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine Folge von Funktionen,
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die auf $U$ lokal gleichmäßig gegen $f ∈ 𝒪(U)$ konvergieren. Wenn alle $f_n$
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injektiv sind, dann ist $f$ entweder konstant oder selbst injektiv.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an: $f$ ist nicht injektiv und
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auch nicht konstant. Also gibt es zwei Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ mit $z_1 \ne
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z_2$ und $f(z_1) = f(z_2)$. Zur Vereinfachung der Notation können wir ohne
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Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $f(z_1) = 0$ ist. Jetzt wähle
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$ε > 0$ so, dass folgendes gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ hat in $\overline{B_ε(z_1)}$ nur eine Nullstelle,
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nämlich $z_1$. --- Dies ist durch eine geeignete Wahl von $ε$ aufgrund
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der Isoliertheit der Nullstellen möglich.
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\item Keine der Funktionen $f_n$ hat auf $∂ B_ε(z_1)$ eine Nullstelle. ---
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Dies ist für fast alle $n$ aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz auf $∂
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B_ε(z_1)$ möglich.
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\end{enumerate}
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Wir wissen
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\begin{multline*}
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\qquad\qquad \# \text{Nullstellen von } f \text{ in } B_ε(z_1) \\
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\begin{aligned}
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& = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}} \\
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& = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f_n'(z)}{f_n(z)}\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
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||
& = \lim_{n → ∞} \# \text{Nullstellen von } f_n \text{ in } B_ε(z_1) && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}.}
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\end{aligned}
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\end{multline*}
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Da die Anzahl der Nullstellen von $f$ in $B_ε(z_1)$ gleich $1$ ist, folgt,
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dass auch die Anzahl der Nullstellen von $f_n$ in $B_ε(z_1)$ für fast alle $n$
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gleich $1$ ist.
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Dasselbe kann mit der Nullstelle bei $z_2$ machen. Also müssen auch $f_n$ für
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ausreichend großes $n$ mindestens zwei Nullstellen haben. Dies ist ein
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Widerspruch zur Annahme, dass alle $f_n$ injektiv sind.
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\end{proof}
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\section{Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes}
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-5-1} in drei leichten Schritten.
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\subsection{Schritt 1}
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Wir wollen zuerst eine irgendeine injektive Abbildung von $U$ in die
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Kreisscheibe $B_1(0)$ finden. Über Surjektivität machen wir uns jetzt noch
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keine Gedanken. Folgende Vorüberlegungen sind wichtig.
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\begin{itemize}
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\item Weil $U ⊊ ℂ$ ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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annehmen, dass der Nullpunkt nicht in $U$ liegt, also $U ⊂ ℂ^*$.
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\item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, existiert eine Logarithmusfunktion
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$\log: U → ℂ$, also eine holomorphe Abbildung sodass für jedes $z ∈ U$ die
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Gleichung $\exp(\log(z)) = z$ gilt.
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\end{itemize}
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\begin{beobachtung}[Injektivität von $\log$]\label{beo:15-3-1}%
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Die Logarithmusfunktion $\log$ ist injektiv!
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Variante von \ref{beo:15-3-1}]\label{beo:15-3-2}%
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Wenn $z ∈ \operatorname{Im}(\log)$ ist, dann ist $z + 2π i \notin
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\operatorname{Im}(\log)$.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Anwendung von \ref{beo:15-3-2}]
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Wir wissen nach Satz~\ref{satz:gebietstreue} („Satz von der Gebietstreue“),
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dass die Abbildung $\log$ offen ist. Die Bildmenge $\operatorname{Im}(\log)$
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enthält also eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ \operatorname{Im}(\log)$. Dann ist
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die Kreisscheibe $B_r(p + 2π i)$ disjunkt zu $\operatorname{Im}(\log)$!
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\end{beobachtung}
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Insgesamt erhalten wir also: die Abbildung
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\[
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\log - (p+2π i) : U → ℂ, \quad z ↦ \log(z) - (p+2π i)
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\]
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ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $> r$. Anders herum: die
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Abbildung
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\[
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f: U → ℂ, \quad z ↦ \frac{r}{\log(z) - (p+2π i)}
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\]
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ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $< 1$. Wir haben also eine
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injektive Abbildung $f: U → B_1(0)$ gefunden!
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\subsection{Schritt 2}
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Nach Schritt 1 können wir annehmen, dass $0 ∈ U ⊂ B_1(0)$ ist und den $0$-Punkt
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enthält, und aufgrund der Offenheit für hinreichend kleines $ε$ auch eine
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$ε$-Umgebung,
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\[
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0 ∈ B_ε(0) ⊆ U ⊆ B_1(0).
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\]
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Wir betrachten injektive holomorphe Abbildungen $f: U → B_1(0)$. Folgendes ist
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klar.
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\begin{itemize}
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\item Es gibt mindestens eine solche Abbildung, nämlich $\operatorname{Id}$.
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\item Wenn $f$ eine solche Abbildung ist, dann ist $f$ betragsmäßig nach oben
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durch $1$ beschränkt. Insbesondere gilt:
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\[
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f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(0)} \frac{f(z)}{z²}\,dz
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\]
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ist betragsmäßig nach oben durch $ε^{-1}$ beschränkt.
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\end{itemize}
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\begin{konsequenz}
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Die Menge
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\[
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\left\{ |f'(0)| \::\: f: U → B_1(0) \text{ holomorph und injektiv mit } f(0) = 0 \right\}
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\]
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hat ein Supremum, $S \ge 1$.
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\end{konsequenz}
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Wähle eine Folge $f_n ∈ 𝒪(U)$ von injektiven Abbildungen $U → B_1(0)$ mit
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$f_n(0) = 0$, sodass $f_n'(0)$ gegen $S$ konvergiert. Nach
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Satz~\ref{satz:15-0-4} („Satz von Montel“) können wir die Funktionenfolge sogar
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so wählen, dass die Folge $f_n$ auf $U$ lokal gleichmäßig konvergiert. Sei $f:
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U → ℂ$ die Grenzfunktion. Folgendes lässt sich sofort sagen:
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\begin{itemize}
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\item Wegen kompakter Konvergenz ist die Grenzfunktion holomorph.
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\item Wegen lokal gleichmäßiger Konvergenz und der Integralformeldarstellung
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der Ableitung ist $f'(0) = \lim f_n'(0)$, hat also Betrag $S \ge 1$. Also
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ist $f$ sicher nicht konstant.
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\item Für jeden Punkt $p ∈ U$ gilt die Ungleichung $|f(p)| = \lim |f_n(p)| \le
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1$. Also ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ \overline{B_1(0)}$. Weil die
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Abbildung $f$ aber offen\footnote{Alternativ: Weil das Maximumsprinzip gilt}
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ist, ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ B_1(0)$.
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\item Nach Satz~\ref{satz:15-0-5} („Injektivität von Grenzfunktionen“) ist $f$
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wieder injektiv.
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\end{itemize}
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\subsection*{Schritt 3}
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Wir haben jetzt $U ⊂ B_1(0)$, $0 ∈ U$ und eine holomorphe Abbildung $f: U →
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B_1(0)$ sodass $f(0) = 0$ ist, $f$ injektiv und $|f'(0)|$ betragsmäßig maximal.
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Jetzt ist noch zu zeigen, dass $f$ surjektiv ist.
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Wir argumentieren wieder mit Widerspruch und nehmen an, dass $f$ nicht surjektiv
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ist. Mit anderen Worten: wir nehmen an, dass es einen Punkt $p ∈ B_1(0) ∖ f(U)$
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gibt. Um einen Widerspruch zu erhalten, werden wir nun ein $g ∈ 𝒪(U)$
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konstruieren mit $\operatorname{Im}(g) ⊂ B_1(0)$, $g$ injektiv, $g(0) = 0$ und
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$|g'(0)|$ betragsmäßig echt größer als $|f'(0)|$. Das geht so:
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\begin{itemize}
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\item Nach Beispiel~\ref{ex:7-3-4} („Automorphismen der Kreisscheibe“) gibt es
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einen Automorphismus $h_1 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$, welcher die Punkte
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$p$ und $0$ vertauscht. Die Abbildung $h_1 ◦ f ∈ 𝒪(U)$ ist also injektiv,
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aber $0$ liegt nicht im Bild.
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\item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Wurzel von $h_1 ◦ f$.
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Genauer: es gibt eine holomorphe Abbildung $w: U → B_1(0)$, sodass für jedes
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$z ∈ U$ die Gleichung
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\[
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(w(z))² = h_1(f(z))
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||
\]
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||
gilt. Schreibe
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||
\[
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||
q ◦ w = h_1 ◦ f,
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||
\]
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||
wobei $q$ die Quadratabbildung ist,
|
||
\[
|
||
q: B_1(0) → B_1(0), \quad z ↦ z².
|
||
\]
|
||
|
||
\item Die Abbildung $w$ ist injektiv, weil $h_1◦f$ injektiv ist. Der
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Nullpunkt wird aber vielleicht nicht auf den Nullpunkt abgebildet. Kein
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Problem! Wähle einen Automorphismus $h_2 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$,
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welcher $0$ und $w(0)$ vertauscht. Setze $g := h_2 ◦ w$. Dann ist $w: U →
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||
B_1(0)$ holomorph, injektiv, bildet $0$ auf $0$ ab und erfüllt
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||
\[
|
||
\begin{matrix}
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||
& q ◦ w & = & h_1 ◦ f \\
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||
⇔ & q ◦ h^{-1}_2 ◦ g & = & h_1 ◦ f \\
|
||
⇔ & \underbrace{(h^{-1}_1 ◦ q ◦ h^{-1}_2)}_{=: \varphi} ◦ g & = & f.
|
||
\end{matrix}
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
Die Abbildung $\varphi$ ist eine holomorphe Abbildung von $B_1(0)$ nach
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$B_1(0)$. Es ist
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||
\[
|
||
\varphi(0) = \varphi(g(0)) = f(0) = 0
|
||
\]
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und $\varphi$ ist definitiv keine Drehung! Die Abbildung $\varphi$ ist nämlich
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kein bisschen injektiv! Nach Lemma~\ref{lem:7-2-1} („Lemma von Schwarz“) gilt
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also: $|\varphi'(0)| < 1$. Mit anderen Worten: es ist $|g'(0)| > |f'(0)|$.
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Damit ist Satz~\ref{satz:14-5-1} bewiesen. \qed
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% !TEX root = Funktionentheorie
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