% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz} \begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}% \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$. \end{satz} \begin{bem} Die Annahme $U ⊊ ℂ$ ist wichtig, denn $U = ℂ$ ist nicht biholomorph zu $B_1(0)$. \end{bem} \section{Vorbereitung: Der Satz von Montel} Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt „gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan beschränkt“. \begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}% Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R ∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$ gleichmäßig beschränkt ist. \end{defn} \begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April 1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}% Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal gleichmäßig konvergiert. \end{satz} \begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März 1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer Mathematiker und Politiker.}]% Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das: wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1}, f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert. \end{erinnerung} \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}% Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$. \begin{itemize} \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$ konvergiert. \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert. \item … \end{itemize} Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei allen $p_k$! \end{vorueberlegung} \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}% Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für Ableitungen die Gleichung \[ f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz. \] Beachte: \begin{itemize} \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt. \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls betragsmäßig beschränkt. \end{itemize} Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n'(w)| < M \] gilt. \end{vorueberlegung} Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}. \begin{konsequenz}[Mittelwertsatz] In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w| \] gilt. \qed \end{konsequenz} \begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}% In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine Zahl $ε > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_n(w)| < ε/3 \] gilt. \qed \end{konsequenz} \begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel] Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig) durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert. Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_m(p)| < ε \] gilt. Seien also $K$ und $ε$ gegeben. Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies \[ B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}). \] Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung \[ |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3 \] gilt. Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$, sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt: \begin{align*} |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\ & ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\ & ≤ ε. \end{align*} Damit ist der Satz bewiesen. \end{proof} \section{Vorüberlegung: Injektivität von Grenzfunktionen} \begin{satz}[Injektivität von Grenzfunktionen]\label{satz:15-0-5}% Es sei $U ⊆ ℂ$ ein Gebiet und es sei $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine Folge von Funktionen, die auf $U$ lokal gleichmäßig gegen $f ∈ 𝒪(U)$ konvergieren. Wenn alle $f_n$ injektiv sind, dann ist $f$ entweder konstant oder selbst injektiv. \end{satz} \begin{proof} Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an: $f$ ist nicht injektiv und auch nicht konstant. Also gibt es zwei Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ mit $z_1 \ne z_2$ und $f(z_1) = f(z_2)$. Zur Vereinfachung der Notation können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $f(z_1) = 0$ ist. Jetzt wähle $ε > 0$ so, dass folgendes gilt: \begin{enumerate} \item Die Funktion $f$ hat in $\overline{B_ε(z_1)}$ nur eine Nullstelle, nämlich $z_1$. --- Dies ist durch eine geeignete Wahl von $ε$ aufgrund der Isoliertheit der Nullstellen möglich. \item Keine der Funktionen $f_n$ hat auf $∂ B_ε(z_1)$ eine Nullstelle. --- Dies ist für fast alle $n$ aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz auf $∂ B_ε(z_1)$ möglich. \end{enumerate} Wir wissen \begin{multline*} \qquad\qquad \# \text{Nullstellen von } f \text{ in } B_ε(z_1) \\ \begin{aligned} & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}} \\ & = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f_n'(z)}{f_n(z)}\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\ & = \lim_{n → ∞} \# \text{Nullstellen von } f_n \text{ in } B_ε(z_1) && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}.} \end{aligned} \end{multline*} Da die Anzahl der Nullstellen von $f$ in $B_ε(z_1)$ gleich $1$ ist, folgt, dass auch die Anzahl der Nullstellen von $f_n$ in $B_ε(z_1)$ für fast alle $n$ gleich $1$ ist. Dasselbe kann mit der Nullstelle bei $z_2$ machen. Also müssen auch $f_n$ für ausreichend großes $n$ mindestens zwei Nullstellen haben. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass alle $f_n$ injektiv sind. \end{proof} \section{Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes} Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-5-1} in drei leichten Schritten. \subsection{Schritt 1} Wir wollen zuerst eine irgendeine injektive Abbildung von $U$ in die Kreisscheibe $B_1(0)$ finden. Über Surjektivität machen wir uns jetzt noch keine Gedanken. Folgende Vorüberlegungen sind wichtig. \begin{itemize} \item Weil $U ⊊ ℂ$ ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass der Nullpunkt nicht in $U$ liegt, also $U ⊂ ℂ^*$. \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, existiert eine Logarithmusfunktion $\log: U → ℂ$, also eine holomorphe Abbildung sodass für jedes $z ∈ U$ die Gleichung $\exp(\log(z)) = z$ gilt. \end{itemize} \begin{beobachtung}[Injektivität von $\log$]\label{beo:15-3-1}% Die Logarithmusfunktion $\log$ ist injektiv! \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Variante von \ref{beo:15-3-1}]\label{beo:15-3-2}% Wenn $z ∈ \operatorname{Im}(\log)$ ist, dann ist $z + 2π i \notin \operatorname{Im}(\log)$. \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Anwendung von \ref{beo:15-3-2}] Wir wissen nach Satz~\ref{satz:gebietstreue} („Satz von der Gebietstreue“), dass die Abbildung $\log$ offen ist. Die Bildmenge $\operatorname{Im}(\log)$ enthält also eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ \operatorname{Im}(\log)$. Dann ist die Kreisscheibe $B_r(p + 2π i)$ disjunkt zu $\operatorname{Im}(\log)$! \end{beobachtung} Insgesamt erhalten wir also: die Abbildung \[ \log - (p+2π i) : U → ℂ, \quad z ↦ \log(z) - (p+2π i) \] ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $> r$. Anders herum: die Abbildung \[ f: U → ℂ, \quad z ↦ \frac{r}{\log(z) - (p+2π i)} \] ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $< 1$. Wir haben also eine injektive Abbildung $f: U → B_1(0)$ gefunden! \subsection{Schritt 2} Nach Schritt 1 können wir annehmen, dass $0 ∈ U ⊂ B_1(0)$ ist und den $0$-Punkt enthält, und aufgrund der Offenheit für hinreichend kleines $ε$ auch eine $ε$-Umgebung, \[ 0 ∈ B_ε(0) ⊆ U ⊆ B_1(0). \] Wir betrachten injektive holomorphe Abbildungen $f: U → B_1(0)$. Folgendes ist klar. \begin{itemize} \item Es gibt mindestens eine solche Abbildung, nämlich $\operatorname{Id}$. \item Wenn $f$ eine solche Abbildung ist, dann ist $f$ betragsmäßig nach oben durch $1$ beschränkt. Insbesondere gilt: \[ f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(0)} \frac{f(z)}{z²}\,dz \] ist betragsmäßig nach oben durch $ε^{-1}$ beschränkt. \end{itemize} \begin{konsequenz} Die Menge \[ \left\{ |f'(0)| \::\: f: U → B_1(0) \text{ holomorph und injektiv mit } f(0) = 0 \right\} \] hat ein Supremum, $S \ge 1$. \end{konsequenz} Wähle eine Folge $f_n ∈ 𝒪(U)$ von injektiven Abbildungen $U → B_1(0)$ mit $f_n(0) = 0$, sodass $f_n'(0)$ gegen $S$ konvergiert. Nach Satz~\ref{satz:15-0-4} („Satz von Montel“) können wir die Funktionenfolge sogar so wählen, dass die Folge $f_n$ auf $U$ lokal gleichmäßig konvergiert. Sei $f: U → ℂ$ die Grenzfunktion. Folgendes lässt sich sofort sagen: \begin{itemize} \item Wegen kompakter Konvergenz ist die Grenzfunktion holomorph. \item Wegen lokal gleichmäßiger Konvergenz und der Integralformeldarstellung der Ableitung ist $f'(0) = \lim f_n'(0)$, hat also Betrag $S \ge 1$. Also ist $f$ sicher nicht konstant. \item Für jeden Punkt $p ∈ U$ gilt die Ungleichung $|f(p)| = \lim |f_n(p)| \le 1$. Also ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ \overline{B_1(0)}$. Weil die Abbildung $f$ aber offen\footnote{Alternativ: Weil das Maximumsprinzip gilt} ist, ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ B_1(0)$. \item Nach Satz~\ref{satz:15-0-5} („Injektivität von Grenzfunktionen“) ist $f$ wieder injektiv. \end{itemize} \subsection*{Schritt 3} Wir haben jetzt $U ⊂ B_1(0)$, $0 ∈ U$ und eine holomorphe Abbildung $f: U → B_1(0)$ sodass $f(0) = 0$ ist, $f$ injektiv und $|f'(0)|$ betragsmäßig maximal. Jetzt ist noch zu zeigen, dass $f$ surjektiv ist. Wir argumentieren wieder mit Widerspruch und nehmen an, dass $f$ nicht surjektiv ist. Mit anderen Worten: wir nehmen an, dass es einen Punkt $p ∈ B_1(0) ∖ f(U)$ gibt. Um einen Widerspruch zu erhalten, werden wir nun ein $g ∈ 𝒪(U)$ konstruieren mit $\operatorname{Im}(g) ⊂ B_1(0)$, $g$ injektiv, $g(0) = 0$ und $|g'(0)|$ betragsmäßig echt größer als $|f'(0)|$. Das geht so: \begin{itemize} \item Nach Beispiel~\ref{ex:7-3-4} („Automorphismen der Kreisscheibe“) gibt es einen Automorphismus $h_1 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$, welcher die Punkte $p$ und $0$ vertauscht. Die Abbildung $h_1 ◦ f ∈ 𝒪(U)$ ist also injektiv, aber $0$ liegt nicht im Bild. \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Wurzel von $h_1 ◦ f$. Genauer: es gibt eine holomorphe Abbildung $w: U → B_1(0)$, sodass für jedes $z ∈ U$ die Gleichung \[ (w(z))² = h_1(f(z)) \] gilt. Schreibe \[ q ◦ w = h_1 ◦ f, \] wobei $q$ die Quadratabbildung ist, \[ q: B_1(0) → B_1(0), \quad z ↦ z². \] \item Die Abbildung $w$ ist injektiv, weil $h_1◦f$ injektiv ist. Der Nullpunkt wird aber vielleicht nicht auf den Nullpunkt abgebildet. Kein Problem! Wähle einen Automorphismus $h_2 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$, welcher $0$ und $w(0)$ vertauscht. Setze $g := h_2 ◦ w$. Dann ist $w: U → B_1(0)$ holomorph, injektiv, bildet $0$ auf $0$ ab und erfüllt \[ \begin{matrix} & q ◦ w & = & h_1 ◦ f \\ ⇔ & q ◦ h^{-1}_2 ◦ g & = & h_1 ◦ f \\ ⇔ & \underbrace{(h^{-1}_1 ◦ q ◦ h^{-1}_2)}_{=: \varphi} ◦ g & = & f. \end{matrix} \] \end{itemize} Die Abbildung $\varphi$ ist eine holomorphe Abbildung von $B_1(0)$ nach $B_1(0)$. Es ist \[ \varphi(0) = \varphi(g(0)) = f(0) = 0 \] und $\varphi$ ist definitiv keine Drehung! Die Abbildung $\varphi$ ist nämlich kein bisschen injektiv! Nach Lemma~\ref{lem:7-2-1} („Lemma von Schwarz“) gilt also: $|\varphi'(0)| < 1$. Mit anderen Worten: es ist $|g'(0)| > |f'(0)|$. Damit ist Satz~\ref{satz:14-5-1} bewiesen. \qed % !TEX root = Funktionentheorie