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\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}

\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
  \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
  einfach zusammenhängend.  Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
\end{satz}

\begin{bem}
  Die Annahme $U ⊊ ℂ$ ist wichtig, denn $U = ℂ$ ist nicht biholomorph zu
  $B_1(0)$.
\end{bem}


\section{Vorbereitung: Der Satz von Montel}

Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen.  In der Literatur findet man statt
„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
beschränkt“.

\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
  beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
  ∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
  $|f_n(p)| < R$ gilt.  Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
  beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
  Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
  gleichmäßig beschränkt ist.
\end{defn}

\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
    1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
    Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
  Folge von holomorphen Funktionen.  Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
  gleichmäßig konvergiert.
\end{satz}

\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
    1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher
    Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
    Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
    Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
    Mathematiker und Politiker.}]%
  Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen.  Dann gibt es eine
  konvergente Teilfolge.  Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
  wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
  f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
\end{erinnerung}

\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
  Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.  Insbesondere
  gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
  \begin{itemize}
    \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
      konvergiert.

    \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
      $p_1$ und $p_2$ konvergiert.

    \item …
  \end{itemize}
  Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
  allen $p_k$!
\end{vorueberlegung}

\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
  Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
  Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
  Ableitungen die Gleichung
  \[
    f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
  \]
  Beachte:
  \begin{itemize}
    \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.

    \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
      betragsmäßig beschränkt.
  \end{itemize}
  Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt.  Genauer: es
  existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
  B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n'(w)| < M
  \]
  gilt.
\end{vorueberlegung}

Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.

\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
  $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben.  Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
  jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
  \]
  gilt.  \qed
\end{konsequenz}

\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
  Zahl $ε > 0$ gegeben.  Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
  sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
  $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
  \]
  gilt.  \qed
\end{konsequenz}

\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
  Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
  durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
  annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
  sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.

  Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
  konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
  Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_m(p)| < ε
  \]
  gilt.  Seien also $K$ und $ε$ gegeben.

  Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
  Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
  Überdeckung von $U$.  Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
  Kreisscheiben die Menge $K$.  Nach Umnummerierung seien dies
  \[
    B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
  \]
  Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
  Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
  \]
  gilt.  Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
  sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
  \begin{align*}
    |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
    & ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
    & ≤ ε.
  \end{align*}
  Damit ist der Satz bewiesen.
\end{proof}


\section{Vorüberlegung: Injektivität von Grenzfunktionen}

\begin{satz}[Injektivität von Grenzfunktionen]\label{satz:15-0-5}%
  Es sei $U ⊆ ℂ$ ein Gebiet und es sei $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine Folge von Funktionen,
  die auf $U$ lokal gleichmäßig gegen $f ∈ 𝒪(U)$ konvergieren.  Wenn alle $f_n$
  injektiv sind, dann ist $f$ entweder konstant oder selbst injektiv.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an: $f$ ist nicht injektiv und
  auch nicht konstant.  Also gibt es zwei Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ mit $z_1 \ne
  z_2$ und $f(z_1) = f(z_2)$.  Zur Vereinfachung der Notation können wir ohne
  Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $f(z_1) = 0$ ist.  Jetzt wähle
  $ε > 0$ so, dass folgendes gilt:
  \begin{enumerate}
    \item Die Funktion $f$ hat in $\overline{B_ε(z_1)}$ nur eine Nullstelle,
      nämlich $z_1$.  --- Dies ist durch eine geeignete Wahl von $ε$ aufgrund
      der Isoliertheit der Nullstellen möglich.

    \item Keine der Funktionen $f_n$ hat auf $∂ B_ε(z_1)$ eine Nullstelle.  ---
      Dies ist für fast alle $n$ aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz auf $∂
      B_ε(z_1)$ möglich.
  \end{enumerate}
  Wir wissen
  \begin{multline*}
    \qquad\qquad \# \text{Nullstellen von } f \text{ in } B_ε(z_1) \\
    \begin{aligned}
      & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}} \\
      & = \lim_{n → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(z_1)} \frac{f_n'(z)}{f_n(z)}\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
      & = \lim_{n → ∞} \# \text{Nullstellen von } f_n \text{ in } B_ε(z_1) && \text{Satz~\ref{satz:12-5-1}.}
    \end{aligned}
  \end{multline*}
  Da die Anzahl der Nullstellen von $f$ in $B_ε(z_1)$ gleich $1$ ist, folgt,
  dass auch die Anzahl der Nullstellen von $f_n$ in $B_ε(z_1)$ für fast alle $n$
  gleich $1$ ist.

  Dasselbe kann mit der Nullstelle bei $z_2$ machen.  Also müssen auch $f_n$ für
  ausreichend großes $n$ mindestens zwei Nullstellen haben.  Dies ist ein
  Widerspruch zur Annahme, dass alle $f_n$ injektiv sind.
\end{proof}


\section{Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes}

Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-5-1} in drei leichten Schritten.


\subsection{Schritt 1}

Wir wollen zuerst eine irgendeine injektive Abbildung von $U$ in die
Kreisscheibe $B_1(0)$ finden.  Über Surjektivität machen wir uns jetzt noch
keine Gedanken.  Folgende Vorüberlegungen sind wichtig.
\begin{itemize}
  \item Weil $U ⊊ ℂ$ ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
    annehmen, dass der Nullpunkt nicht in $U$ liegt, also $U ⊂ ℂ^*$.

  \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, existiert eine Logarithmusfunktion
    $\log: U → ℂ$, also eine holomorphe Abbildung sodass für jedes $z ∈ U$ die
    Gleichung $\exp(\log(z)) = z$ gilt.
\end{itemize}

\begin{beobachtung}[Injektivität von $\log$]\label{beo:15-3-1}%
  Die Logarithmusfunktion $\log$ ist injektiv!
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Variante von \ref{beo:15-3-1}]\label{beo:15-3-2}%
  Wenn $z ∈ \operatorname{Im}(\log)$ ist, dann ist $z + 2π i \notin
  \operatorname{Im}(\log)$.
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Anwendung von \ref{beo:15-3-2}]
  Wir wissen nach Satz~\ref{satz:gebietstreue} („Satz von der Gebietstreue“),
  dass die Abbildung $\log$ offen ist.  Die Bildmenge $\operatorname{Im}(\log)$
  enthält also eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ \operatorname{Im}(\log)$.  Dann ist
  die Kreisscheibe $B_r(p + 2π i)$ disjunkt zu $\operatorname{Im}(\log)$!
\end{beobachtung}

Insgesamt erhalten wir also: die Abbildung
\[
  \log - (p+2π i) : U → ℂ, \quad z ↦ \log(z) - (p+2π i)
\]
ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $> r$.  Anders herum: die
Abbildung
\[
  f: U → ℂ, \quad z ↦ \frac{r}{\log(z) - (p+2π i)}
\]
ist injektiv und alle Bildpunkte haben Betrag $< 1$.  Wir haben also eine
injektive Abbildung $f: U → B_1(0)$ gefunden!


\subsection{Schritt 2}

Nach Schritt 1 können wir annehmen, dass $0 ∈ U ⊂ B_1(0)$ ist und den $0$-Punkt
enthält, und aufgrund der Offenheit für hinreichend kleines $ε$ auch eine
$ε$-Umgebung,
\[
  0 ∈ B_ε(0) ⊆ U ⊆ B_1(0).
\]
Wir betrachten injektive holomorphe Abbildungen $f: U → B_1(0)$.  Folgendes ist
klar.
\begin{itemize}
  \item Es gibt mindestens eine solche Abbildung, nämlich $\operatorname{Id}$.

  \item Wenn $f$ eine solche Abbildung ist, dann ist $f$ betragsmäßig nach oben
    durch $1$ beschränkt.  Insbesondere gilt:
    \[
      f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(0)} \frac{f(z)}{z²}\,dz
    \]
    ist betragsmäßig nach oben durch $ε^{-1}$ beschränkt.
\end{itemize}

\begin{konsequenz}
  Die Menge
  \[
    \left\{ |f'(0)| \::\: f: U → B_1(0) \text{ holomorph und injektiv mit } f(0) = 0 \right\}
  \]
  hat ein Supremum, $S \ge 1$.
\end{konsequenz}

Wähle eine Folge $f_n ∈ 𝒪(U)$ von injektiven Abbildungen $U → B_1(0)$ mit
$f_n(0) = 0$, sodass $f_n'(0)$ gegen $S$ konvergiert.  Nach
Satz~\ref{satz:15-0-4} („Satz von Montel“) können wir die Funktionenfolge sogar
so wählen, dass die Folge $f_n$ auf $U$ lokal gleichmäßig konvergiert.  Sei $f:
U → ℂ$ die Grenzfunktion.  Folgendes lässt sich sofort sagen:
\begin{itemize}
  \item Wegen kompakter Konvergenz ist die Grenzfunktion holomorph.

  \item Wegen lokal gleichmäßiger Konvergenz und der Integralformeldarstellung
    der Ableitung ist $f'(0) = \lim f_n'(0)$, hat also Betrag $S \ge 1$.  Also
    ist $f$ sicher nicht konstant.

  \item Für jeden Punkt $p ∈ U$ gilt die Ungleichung $|f(p)| = \lim |f_n(p)| \le
    1$.  Also ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ \overline{B_1(0)}$.  Weil die
    Abbildung $f$ aber offen\footnote{Alternativ: Weil das Maximumsprinzip gilt}
    ist, ist $\operatorname{Im}(f) ⊂ B_1(0)$.

  \item Nach Satz~\ref{satz:15-0-5} („Injektivität von Grenzfunktionen“) ist $f$
    wieder injektiv.
\end{itemize}


\subsection*{Schritt 3}

Wir haben jetzt $U ⊂ B_1(0)$, $0 ∈ U$ und eine holomorphe Abbildung $f: U →
B_1(0)$ sodass $f(0) = 0$ ist, $f$ injektiv und $|f'(0)|$ betragsmäßig maximal.
Jetzt ist noch zu zeigen, dass $f$ surjektiv ist.

Wir argumentieren wieder mit Widerspruch und nehmen an, dass $f$ nicht surjektiv
ist.  Mit anderen Worten: wir nehmen an, dass es einen Punkt $p ∈ B_1(0) ∖ f(U)$
gibt.  Um einen Widerspruch zu erhalten, werden wir nun ein $g ∈ 𝒪(U)$
konstruieren mit $\operatorname{Im}(g) ⊂ B_1(0)$, $g$ injektiv, $g(0) = 0$ und
$|g'(0)|$ betragsmäßig echt größer als $|f'(0)|$.  Das geht so:
\begin{itemize}
  \item Nach Beispiel~\ref{ex:7-3-4} („Automorphismen der Kreisscheibe“) gibt es
    einen Automorphismus $h_1 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$, welcher die Punkte
    $p$ und $0$ vertauscht.  Die Abbildung $h_1 ◦ f ∈ 𝒪(U)$ ist also injektiv,
    aber $0$ liegt nicht im Bild.

  \item Weil $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Wurzel von $h_1 ◦ f$.
    Genauer: es gibt eine holomorphe Abbildung $w: U → B_1(0)$, sodass für jedes
    $z ∈ U$ die Gleichung
    \[
      (w(z))² = h_1(f(z))
    \]
    gilt.  Schreibe
    \[
      q ◦ w = h_1 ◦ f,
    \]
    wobei $q$ die Quadratabbildung ist,
    \[
      q: B_1(0) → B_1(0), \quad z ↦ z².
    \]

  \item Die Abbildung $w$ ist injektiv, weil $h_1◦f$ injektiv ist.  Der
    Nullpunkt wird aber vielleicht nicht auf den Nullpunkt abgebildet.  Kein
    Problem!  Wähle einen Automorphismus $h_2 ∈ \operatorname{Aut}(B_1(0))$,
    welcher $0$ und $w(0)$ vertauscht.  Setze $g := h_2 ◦ w$.  Dann ist $w: U →
    B_1(0)$ holomorph, injektiv, bildet $0$ auf $0$ ab und erfüllt
    \[
      \begin{matrix}
        & q ◦ w & = & h_1 ◦ f \\
        ⇔ & q ◦ h^{-1}_2 ◦ g & = & h_1 ◦ f \\
        ⇔ & \underbrace{(h^{-1}_1 ◦ q ◦ h^{-1}_2)}_{=: \varphi} ◦ g & = & f.
      \end{matrix}
    \]
\end{itemize}
Die Abbildung $\varphi$ ist eine holomorphe Abbildung von $B_1(0)$ nach
$B_1(0)$.  Es ist
\[
  \varphi(0) = \varphi(g(0)) = f(0) = 0
\]
und $\varphi$ ist definitiv keine Drehung!  Die Abbildung $\varphi$ ist nämlich
kein bisschen injektiv!  Nach Lemma~\ref{lem:7-2-1} („Lemma von Schwarz“) gilt
also: $|\varphi'(0)| < 1$.  Mit anderen Worten: es ist $|g'(0)| > |f'(0)|$.
Damit ist Satz~\ref{satz:14-5-1} bewiesen.  \qed

% !TEX root = Funktionentheorie
