diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 6fd85b9..2a742a8 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -89,3 +89,6 @@ Borel Beschränktheitssatz Surjektivität Integralformeldarstellung +prim +Lejeune +Primteiler-Zerlegung diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 50c42b3..e45b847 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -45,3 +45,5 @@ {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qvon \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qkonvergiert bei allen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q!\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QGilt also vielleicht eine Gleichung der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Antwort ist vermutlich nein, denn wir wissen aus Erfahrung, dass Primzahlen immer seltener werden, je größer die Zahlen werden.\\E$"} +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdie Folge aller Primzahlen, nach Größe sortiert.\\E$"} diff --git a/13-applResiduum.tex b/13-applResiduum.tex index b34a378..3f579da 100644 --- a/13-applResiduum.tex +++ b/13-applResiduum.tex @@ -208,7 +208,7 @@ Satz von Weierstraß bewiesen. \qed \subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen} Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich -skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. +skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. \begin{beobachtung} Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt. @@ -244,17 +244,17 @@ skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz \[ - \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z). + \int_{γ_r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z). \] Auf der anderen Seite ist \[ - \int_{\gamma_r} f(z) \, dz = \int_{-r}^r f(x) dx + \int_{\text{oberer Halbkreis}} f(z) \, dz. + \int_{γ_r} f(z) \, dz = \int_{-r}^r f(x) dx + \int_{\text{oberer Halbkreis}} f(z) \, dz. \] Jetzt rechne man nach, dass die Bedingung $\deg b \ge \deg a + 2$ impliziert, - dass es eine Konstante $\operatorname{const}^+ ∈ ℝ⁺$ gibt, sodass für alle + dass es eine Konstante $\operatorname{const}⁺ ∈ ℝ⁺$ gibt, sodass für alle hinreichend großen $r$ gilt: \[ - \max_{|z| = r} |f(z)| ≤ \operatorname{const}^+·{r^{-2}}. + \max_{|z| = r} |f(z)| ≤ \operatorname{const}⁺·{r^{-2}}. \] Das bedeutet, dass das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ gegen null geht. Insgesamt ergibt sich also die folgende Formel. diff --git a/16-Zahlentheorie.tex b/16-Zahlentheorie.tex new file mode 100644 index 0000000..b67b13e --- /dev/null +++ b/16-Zahlentheorie.tex @@ -0,0 +1,261 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Anwendungen in der Zahlentheorie} + +\section{Der Primzahlsatz} + +Wir fragen naiv: Wie viele Primzahlen gibt es? Die Antwort ist bekannt: Es gibt +unendlich viele Primzahlen. Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende. + +\begin{frage} + Gegeben $x ∈ ℝ$, betrachte die Funktion + \[ + π : ℝ → ℕ, \quad x ↦ \# \text{ Primzahlen } \le x. + \] + Wie entwickelt sich die Funktion $π$ asymptotisch? +\end{frage} + +\begin{rem} + Man könnte präziser Fragen: Wächst die Zahl der Primzahlen bis $x$ vielleicht + asymptotisch linear? Gilt also vielleicht eine Gleichung der Form + \[ + \frac{π(x)}{x} \underset{x → ∞}{\sim} \operatorname{const}? + \] + Die Antwort ist vermutlich \emph{nein}, denn wir wissen aus Erfahrung, dass + Primzahlen immer seltener werden, je größer die Zahlen werden. Aber wie + genau? +\end{rem} + +\begin{satz}[Primzahlsatz] + Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$. +\end{satz} + +\begin{rem}[Interpretation des Primzahlsatzes] + Sei $x$ sehr groß. Dann ist $π(x)$ ungefähr gleich $\frac{x}{\log(x)}$. + Gegeben eine Zufallszahl $\le x$, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese + Zufallszahl prim ist, in etwa $\frac{1}{\log(x)}$. +\end{rem} + +\begin{bemerkung} + Die Konvergenz $\frac{π(x) · \log(x)}{x} → 1$ ist unglaublich langsam. +\end{bemerkung} + + +\subsection{Die Riemann'sche $ζ$-Funktion} + +Der Hauptakteur in diesem Kapitel ist die Riemannsche $ζ$-Funktion. + +\begin{defn}[Riemannsche $ζ$-Funktion] + Es sei $U$ die offene Menge + \[ + U := \{ z ∈ ℂ \::\: \mathfrak{Re}(z) > 1 \}. + \] + Die \emph{Riemannsche $ζ$-Funktion}\index{Riemannsche $ζ$-Funktion} ist die + Grenzfunktion der folgenden Reihe (deren Konvergenz wir später noch zeigen + werden) + \begin{equation}\label{eq:16-zeta-def} + ζ: U → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^z}. + \end{equation} +\end{defn} + +\begin{rem} + --- + \begin{enumerate} + \item Die Funktionenfolge \eqref{eq:16-zeta-def} ist \emph{keine} + Potenzreihe. Die Zahl $z$ steht im Exponenten! + + \item Die Zahl $k^z$ ist definiert als $k^z = \exp(z · \log k)$. Dabei ist + $\log k$ der gew\"ohnliche Logarithmus der positiven reellen Zahl $k$. + + \item Funktionenfolgen dieser Form heißen + \emph{Dirichlet-Reihen}\index{Dirichlet-Reihe}\footnote{Johann Peter + Gustav Lejeune Dirichlet (* 13.~Februar 1805 in Düren; † 5.~Mai 1859 in + Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.}. + + \item Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir: für alle $z ∈ U$ konvergiert + die Reihe absolut. Besser: gegeben $α ∈ ℝ^{> 1}$, dann konvergiert die + Reihe auf der Menge + \[ + U_α = \{ z ∈ ℝ \::\: \mathfrak{Re}(z) \ge α \} + \] + sogar gleichmäßig. Also konvergiert die Reihe auf $U$ lokal gleichmäßig + und die Grenzfunktion $ζ$ ist holomorph. + + \item Wir erinnern uns: die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{k}$ konvergiert + nicht! + \end{enumerate} +\end{rem} + +An dieser Stelle werden Sie sich vermutlich fragen, was die Riemann'sche +$ζ$-Funktion mit unserer Frage nach der Verteilung von Primzahlen zu tun hat. +Hier eine erste Antwort. + +\begin{satz}[Riemann'sche $ζ$-Funktion und Primzahlen]\label{beh:16-euler-prod}% + Bezeichne mit $p_1, p_2, …$ die Folge aller Primzahlen, nach Größe sortiert. + Dann gilt für jedes $z ∈ U$ die folgende Gleichung: + \begin{equation}\label{eq:16-euler-prod} + ζ(z) = \lim_{n → ∞} \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_i^z} \right)^{-1} + \end{equation} + konvergiert gegen $ζ(z)$. Zusätzlich gilt: die Funktionenfolge auf der + rechten Seite von \eqref{eq:16-euler-prod} konvergiert auf $U$ lokal + gleichmäßig. Die Konvergenz und Grenzfunktion ist unabhängig von der + Reihenfolge. Genauer gesagt: Ist $σ: ℕ → ℕ$ bijektiv, dann konvergiert auch + die Funktionenfolge + \[ + \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_{σ(i)}^z} \right) + \] + lokal gleichmäßig gegen $ζ$. +\end{satz} + +\begin{rem}[Eulersche Produktdarstellung] + Gleichung \eqref{eq:16-euler-prod} wird auch \emph{Eulersche + Produktdarstellung}\index{Eulersche Produktdarstellung}\index{Leonhard Euler + (* 15.~April 1707 in Basel; † 18.~September 1783 in Sankt Petersburg) war ein + Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.} + der Riemann'schen $ζ$-Funktion genannt. +\end{rem} + +Bevor wir überhaupt an einen Beweis des Satzes~\ref{beh:16-euler-prod} denken, +stellen sich sofort einige Fragen. +\begin{enumerate} + \item\label{il:16-1-9-1} Wieso konvergiert \eqref{eq:16-euler-prod} überhaupt? + Und wieso dann auch noch unabhängig von Reihenfolge und lokal gleichmäßig? + + \item\label{il:16-1-9-2} Wenn wir die Konvergenz irgendwie beweisen können, wo + ist dann eigentlich der Zusammenhang zur $ζ$-Funktion? +\end{enumerate} + + +\subsection{Konvergenz von Produkten von Funktionen} + +Der folgende Satz beantwortet die erste Frage~\ref{il:16-1-9-1}. + +\begin{satz}\label{satz:16-prod-fn}% + Es sei $X$ eine Menge und es sei $f_n: X → ℂ$ eine Folge von Funktionen, + sodass die folgende Folge + \[ + \sum_{i=1}^{n} | f_i - 1 | + \] + gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion konvergiert. Dann konvergiert + auch die Funktionenfolge + \begin{equation}\label{eq:16-prod-fn} + \prod_{i=1}^{n} f_i + \end{equation} + gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion $f$. Zusätzlich gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Für jedes $x ∈ X$ folgt aus $f(x) = 0$, dass ein Index $i$ existiert + mit $f_i(x) = 0$. + + \item Die Produkte \eqref{eq:16-prod-fn} konvergieren unabhängig von + Reihenfolge. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:16-prod-fn}] + Ich möchte $\sum \log f_n$ betrachten. Dazu sei $S ⊂ ℂ$ die geschlitzte + Ebene. Dort existiert $\log$ als holomorphe Funktion. + + Gegeben $x ∈ X$, dann konvergiert die Folge $\sum |f_n(x) - 1|$ per Annahme. + Also konvergiert $f_n(x)$ gegen $1$. Also liegt für alle ausreichend großen + $n ∈ ℕ$ die Zahl $f_n(x)$ in $S$. Es gilt aber noch mehr, denn die Reihe + $\sum | f_n - 1 |$ konvergiert per Annahme sogar gleichmäßig. Damit gilt: + \[ + ∃ N ∈ ℕ: \forall n > N: \forall x ∈ X: f_n(x) ∈ S. + \] + Damit ist zumindest der Ausdruck $\sum_{n > N} \log f_n$ sinnvoll. Fragt sich + aber, ob der Ausdruck konvergiert. + + Elementare Analysis zeigt aber: Für $z$ nahe an $1$ ist + \[ + | \log z | < \operatorname{const} · | z - 1 |. + \] + Ganz präzise: + \[ + ∃ \operatorname{const} ∈ ℝ⁺ : ∃ δ < 1 : \forall z ∈ B_{δ}(1) : + | \log z | < \operatorname{const} · | z - 1 |. + \] + Zusammenfassung: Weil $\sum | f_n - 1 |$ gleichmäßig gegen eine beschränkte + Grenzfunktion konvergiert, konvergiert $\sum_{n > N} \log f_n$ gleichmäßig + gegen eine betragsmäßig beschränkte Grenzfunktion $L$. + + Wir wissen auch: $\exp$ ist auf jedem Kompaktum gleichmäßig stetig, also + insbesondere auf der Umgebung der $1$, in der alle Bilder von $f_n$, $n > N$ + liegen. Als Konsequenz sehen wir, dass + \[ + \prod_{n > N} f_n = \exp \sum_{n > N} \log f_n + \] + gleichmäßig gegen $\exp L$ konvergiert. Insbesondere konvergiert + \begin{equation}\label{eq:16-prod-fn-2} + \prod_{n ∈ ℕ} f_n + \quad\text{gegen}\quad + \left( \prod_{n=1}^{N} f_n \right) · \exp L. + \end{equation} + Die Annahme, dass $\sum |f_n - 1|$ gleichmäßig gegen eine \emph{beschränkte} + Funktion konvergiert, stellt sicher, dass alle $f_n$ sind beschränkt sind, und + ebenso $\prod_{n=1}^{N} f_n$. Daher ist die Konvergenz von + \eqref{eq:16-prod-fn-2} gleichmäßig. Für die Beweise Zusatzbehauptungen bin + ich zu faul. +\end{proof} + +\begin{beobachtung}[Anwendung von Satz~\ref{satz:16-prod-fn} auf die Eulersche Produktdarstellung] + Wir betrachten die Funktionen + \[ + f_n: U → ℂ, \quad z ↦ 1 - \frac{1}{p_n^z}. + \] + Dann ist $|f_n - 1| = \frac{1}{p_n^z}$ und die Reihe + \[ + \sum |f_n - 1| = \sum \left| \frac{1}{p_n^z} \right| + \] + konvergiert lokal gleichmäßig. Also konvergiert die Funktionenfolge + \[ + \prod \left( 1 - \frac{1}{p_n^z} \right) + \] + nach Satz~\ref{satz:16-prod-fn} lokal gleichmäßig und unabhängig von der + Reihenfolge. Die Inversen-Abbildung + \[ + ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1} + \] + ist aber lokal gleichmäßig stetig. Also konvergiert + \[ + \prod \left( 1 - \frac{1}{p_n^z} \right)^{-1} + \] + lokal gleichmäßig und unabhängig von der Reihenfolge. +\end{beobachtung} + + +\subsection{Zusammenhang zur $ζ$-Funktion} + +Der folgende Satz beantwortet die zweite Frage~\ref{il:16-1-9-2}: Woher kommt +die Verbindung zur $ζ$-Funktion? Ich präsentiere die Antwort in einer Reihe von +Beobachtungen. + +\begin{beobachtung} + Es sei $z ∈ U$ gegeben und es sei $p$ eine Primzahl. Dann ist + \[ + \frac{1}{1 - \frac{1}{p^z}} = 1 + \frac{1}{p^z} + \frac{1}{(p^z)²} + \frac{1}{(p^z)³} + ⋯ + \] +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Es sei $z ∈ U$ gegeben und es seien $p, q$ zwei Primzahlen. Dann ist + \[ + \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^z}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{q^z}} \right) + = \sum_{a,b ∈ ℕ} \frac{1}{(p^a · q^b)^z}. + \] + Ich stelle fest: Die Menge $\{ p^a · q^b \::\: a,b ∈ ℕ\}$ ist genau die Menge + der Zahlen, deren Primteiler-Zerlegung nur $p$ und $q$ enthält. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung} + Es sei $z ∈ U$ gegeben und es seien $p_1, …, p_n$ die ersten $n$ Primzahlen. + Dann ist + \[ + \prod_{i=1}^{n} \left( 1 - \frac{1}{p_i^z} \right)^{-1} + = \sum_{k ∈ \mathcal{Z}_n} \frac{1}{k^z} + \] + wobei $\mathcal{Z}_n$ die Zahlen sind, in deren Primteiler-Zerlegung nur $p_1, + …, p_n$ vorkommen. Elementare Analysis zeigt jetzt aber: die rechte Seite + konvergiert gegen $ζ(z)$. +\end{beobachtung} + +% !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index d554107..b0853f0 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -169,6 +169,7 @@ Link in den Text ein. \input{14-harmonic} \input{15-RiemannMapping} +\input{16-Zahlentheorie} \addchap{Lizenz}