Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -46,3 +46,5 @@ Maximumsprinzip
 Giacinto
 Morera
 Novara
+Amandus
+Biholomorphie

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -21,3 +21,5 @@
 {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir haben in Beispiel bsp:3-2-2 aber bereits ausgerechnet, was das Wegintegral ist: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_RULE","sentence":"^\\QUm die Existenz einer Stammfunktion zu beweisen, genügt es nach Satz satz:3-3-9 zu zeigen, dass die Wegintegrale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Weges abhängen.\\E$"}
 {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QUm die Existenz einer Stammfunktion zu beweisen, genügt es nach Satz satz:3-3-9 zu zeigen, dass die Wegintegrale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Weges abhängen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, da \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist wieder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

05-cauchy.tex

@@ -3,8 +3,6 @@
 
 \chapter{Cauchy's Integralformel}
 
-\sideremark{Vorlesung 8}
-
 
 \section{Integralformel}
 
@@ -145,7 +143,8 @@ Wir betrachten einige unmittelbare Konsequenzen der Integralformel von Cauchy.
   Wir erhalten einen Widerspruch.
 \end{proof}
 
-Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
+\sideremark{Vorlesung 8}Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr
+arbeiten.
 
 \begin{satz}[Starkes Maximumprinzip]\label{satz:5-2-3}%
   \index{Maximumprinzip!starkes}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ und es
@@ -262,7 +261,9 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
   Induktiv erhalten wir so die Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}%
+\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in
+    Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer
+    Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}%
   \index{Satz von Liouville}Sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine auf ganz $ℂ$ holomorphe
   Funktion.  Falls $|f|$ beschränkt ist, dann ist $f$ konstant.
 \end{kor}

06-potenz.tex

@@ -75,7 +75,7 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
   \index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch
   schon.  Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit
   $|z| < 1$.  Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht.  Also ist der
-  Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
+  Konvergenzradius $= 1$.  Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
   jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen
   $\frac{1}{1-z}$.
 \end{bsp}

07-nullstelle.tex

@@ -78,6 +78,21 @@ Dabei gilt Folgendes:
 In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
 abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
 
+\begin{notation}[Nullestellenordnung]
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ O(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben.  Schreibe $f$ in
+  der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
+  \[
+    f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ.
+  \]
+  Die Zahl
+  \[
+    \min \{ i ∈ ℕ \mid a_i ≠ 0 \}
+  \]
+  heißt \emph{Nullstellenordnung}\index{Nullestellenordnung} von $f$ bei $ρ$.
+  Falls die Potenzreihe konstant $0$ ist, so hat $f$ bei $ρ$ unendliche
+  Nullstellenordnung.
+\end{notation}
+
 
 \section{Identitätssatz und Maximumsprinzip}
 
@@ -112,7 +127,7 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
   für reelle Zahlen mit der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
 \end{bsp}
 
-\begin{kor}[Maximumsprinzip]
+\begin{kor}[Maximumsprinzip]\label{kor:7-2-4}%
   In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend.  Falls $|f|$ ein Maximum
   hat, dann ist $f$ konstant.
 \end{kor}
@@ -123,4 +138,128 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
   Korollar~\ref{kor:7-2-2}, ist $f$ dann aber auf ganz $U$ konstant.
 \end{proof}
 
+
+\section*{Beispielanwendung: Selbstabbildungen der Kreisscheibe}
+\sideremark{Vorlesung: 11}
+
+Im Folgenden bezeichnen wir mit $Δ := B_1(0)$ die offene Einheitskreisscheibe in
+$ℂ$.
+
+\begin{lemma}[Lemma von Schwarz\footnote{Karl Hermann Amandus Schwarz (*
+    25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; † 30.~November 1921 in
+    Berlin) war ein deutscher Mathematiker.}]\label{lem:7-2-1}%
+  \index{Lemma vom Schwarz}Es sei $f: Δ → Δ$ holomorph und $f(0) = 0$.  Dann gilt
+  Folgendes:
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:7-2-1-1} Für jede Zahl $z ∈ Δ$ ist $|f(z)| ≤ |z|$.
+
+    \item\label{il:7-2-1-2} Wenn eine Zahl $z ∈ Δ ∖ \{0\}$ existiert mit $|z| =
+      |f(z)|$, dann ist $f$ eine Drehung, also die Multiplikation mit einer
+      komplexen Zahl der Form $\exp(iα)$, für $α ∈ ℝ$.
+
+    \item\label{il:7-2-1-3} Es ist $|f'(0)| ≤ 1$.
+  
+    \item\label{il:7-2-1-4} Wenn $|f'(0)| = 1$ ist, dann ist $f$ eine Drehung.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar.  Also nehmen wir im Folgenden an,
+  dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist.  Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine
+  isolierte Nullstelle.  Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir
+  halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$.
+      Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈
+      Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$.  Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein
+      $ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für
+      jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt:
+      \[
+        1 > |f(z)| = |z|·|g(z)| > \frac{1}{1+ε}·|g(z)|, \quad\text{also } |g(z)| < 1 + ε.
+      \]
+      Es folgt: Die Funktion $|g|$ nimmt nur auf abgeschlossenen Kreisscheibe
+      $\overline{B_{1/(1+\epsilon)}}(0)$ Werte vom Betrag $> 1 + ε$ an.  Dort
+      nimmt $|g|$ dann aber sogar ein Maximum an, also muss $|g|$ nach
+      Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) bereits konstant sein,
+      Widerspruch.
+
+    \item\label{il:7-2-1-6} Falls es ein $z_m ∈ Δ$ mit $|g(z_m)| = 1$ gibt, dann
+      muss dies nach \ref{il:7-2-1-5} ein Maximum sein.  Nach
+      Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) ist $g$ dann konstant mit
+      Betrag $1$.
+  \end{enumerate}
+  Nun können wir die Behauptungen des Lemmas beweisen.
+  \begin{itemize}
+    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-1} folgt direkt aus
+      \ref{il:7-2-1-5}, da $|f(z)| = |z|·|g(z)| ≤ |z|$ gilt.
+
+    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-2} folgt aus \ref{il:7-2-1-6}.
+
+    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-3} folgt aus \ref{il:7-2-1-5}, da $|f'(0)| =
+      |g(0)| ≤ 1$ gilt.
+
+    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-4} ist wieder \ref{il:7-2-1-6}.  \qedhere
+  \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{rem}[Warum interessiert mich das?]
+  Gegeben eine offene Menge $U$, dann bilden die holomorphen Selbstabbildungen
+  $U → U$ eine Gruppe: Die Identität ist das neutrale Element,
+  hintereinander-Ausführung ist die Gruppenverknüpfung und die Umkehrabbildung
+  ist das Inverse.  Um die holomorphe Geometrie von $U$ zu verstehen,
+  interessiere ich mich für diese Gruppe, die man auch mit $\Aut_𝒪(U)$
+  bezeichnet.
+\end{rem}
+
+\begin{notation}[Automorphismen]
+  Es seien $U, V ⊂ ℂ$ offen, Mengen.  Eine holomorphe Abbildung $φ: U → V$ heißt
+  \emph{biholomorph}\index{biholomorph}, wenn $φ$ bijektiv ist und die
+  Umkehrabbildung auch wieder holomorph ist.  Für eine offene Menge $U ⊂ ℂ$
+  bezeichne
+  \[
+    \Aut_{𝒪}(U) := \{ φ: U → U \mid φ \text{ biholomorph} \}
+  \]
+  die Gruppe der \emph{holomorphen Automorphismen}\index{Automorphismus} von
+  $U$.
+\end{notation}
+
+\begin{bsp}[$ℂ$ und $Δ$ sind nicht biholomorph]
+  Korollar~\ref{kor:4-4-3} („Satz von Liouville“) zeigt, dass es keine
+  Biholomorphie zwischen $ℂ$ und $Δ$ gibt.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Kreisscheibe]
+  Es sei $Δ$ wieder die offene Einheitskreisscheibe.
+  \begin{itemize}
+  \item Einige Automorphismen von $Δ$ sehe ich direkt, zum Beispiel Drehungen
+    (=Multiplikation mit komplexen Zahlen der Form $\exp(iα)$, wobei $α ∈ [0,
+    2π)$ reell ist).
+
+  \item Andere Automorphismen sieht man nicht sofort: für jedes $α ∈ Δ$ ist
+    \[
+      g_α: Δ → Δ, \quad z ↦ \frac{α - z}{1 - \bar{α}z}
+    \]
+    ein Automorphismus von $Δ$ mit folgenden Eigenschaften:
+    \begin{itemize}
+      \item Es ist $g_α(0) = α$ und $g_α(α) = 0$.
+      \item Es ist $g_α ◦ g_α = \text{Id}$.
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe mit Fixpunkt 0]
+  Wenn $g : Δ → Δ$ ein Automorphismus mit $g(0) = 0$ ist, dann ist $g$ eine
+  Drehung.  Dies folgt direkt aus dem Lemma von Schwarz, Lemma~\ref{lem:7-2-1},
+  da $|g'(0)| = |(g^{-1})'(0)|^{-1}$ ist.  Also gilt $|g'(0)| ≥ 1$ oder
+  $|(g^{-1})'(0)| ≥ 1$.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe]
+  Gegeben irgendein Automorphismus $φ: Δ → Δ$, dann setze $α := φ(0)$ und
+  betrachte $Ψ := g_α ◦ φ$.  Dies ist ein Automorphismus, der $0$ auf $0$
+  abbildet.  Das ist dann eine Drehung.
+\end{beobachtung}
+
+Insgesamt sehen wir: jeder Automorphismus von $Δ$ ist die Komposition einer
+Drehung und eines Automorphismus der Form $g_α$.  Kommt Ihnen das bekannt vor?
+
 % !TEX root = Funktionentheorie

08-lokaleStruktur.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
+
+Ich beginne mit einer Erinnerung.
+
+\begin{lem}
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
+  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
+  sodass Folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+  \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
+  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
+    Umkehrfunktion ist holomorph.
+  \end{enumerate}
+\end{lem}
+\begin{proof}
+  Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft  komplex
+  differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
+  wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
+  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
+  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
+  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist  die
+  Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
+\end{proof}
+
+Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus
+$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert.
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -145,6 +145,7 @@ Link in den Text ein.
 \input{05-cauchy}
 \input{06-potenz}
 \input{07-nullstelle}
+\input{08-lokaleStruktur}
 
 \addchap{Lizenz}