diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 3f748c8..3c1796b 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -46,3 +46,5 @@ Maximumsprinzip Giacinto Morera Novara +Amandus +Biholomorphie diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index f165e32..eba962e 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -21,3 +21,5 @@ {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir haben in Beispiel bsp:3-2-2 aber bereits ausgerechnet, was das Wegintegral ist: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_RULE","sentence":"^\\QUm die Existenz einer Stammfunktion zu beweisen, genügt es nach Satz satz:3-3-9 zu zeigen, dass die Wegintegrale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Weges abhängen.\\E$"} {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QUm die Existenz einer Stammfunktion zu beweisen, genügt es nach Satz satz:3-3-9 zu zeigen, dass die Wegintegrale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen Weges abhängen.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, da \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist wieder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/05-cauchy.tex b/05-cauchy.tex index c953d4a..3d9f9af 100644 --- a/05-cauchy.tex +++ b/05-cauchy.tex @@ -3,8 +3,6 @@ \chapter{Cauchy's Integralformel} -\sideremark{Vorlesung 8} - \section{Integralformel} @@ -145,7 +143,8 @@ Wir betrachten einige unmittelbare Konsequenzen der Integralformel von Cauchy. Wir erhalten einen Widerspruch. \end{proof} -Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten. +\sideremark{Vorlesung 8}Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr +arbeiten. \begin{satz}[Starkes Maximumprinzip]\label{satz:5-2-3}% \index{Maximumprinzip!starkes}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ und es @@ -262,7 +261,9 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten. Induktiv erhalten wir so die Behauptung. \end{proof} -\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}% +\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in + Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer + Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}% \index{Satz von Liouville}Sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine auf ganz $ℂ$ holomorphe Funktion. Falls $|f|$ beschränkt ist, dann ist $f$ konstant. \end{kor} diff --git a/06-potenz.tex b/06-potenz.tex index 2802a71..1366142 100644 --- a/06-potenz.tex +++ b/06-potenz.tex @@ -75,7 +75,7 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen. \index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch schon. Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit $|z| < 1$. Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der - Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für + Konvergenzradius $= 1$. Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-z}$. \end{bsp} diff --git a/07-nullstelle.tex b/07-nullstelle.tex index b73a195..cc039e1 100644 --- a/07-nullstelle.tex +++ b/07-nullstelle.tex @@ -78,6 +78,21 @@ Dabei gilt Folgendes: In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und} abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$! +\begin{notation}[Nullestellenordnung] + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ O(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben. Schreibe $f$ in + der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe + \[ + f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ. + \] + Die Zahl + \[ + \min \{ i ∈ ℕ \mid a_i ≠ 0 \} + \] + heißt \emph{Nullstellenordnung}\index{Nullestellenordnung} von $f$ bei $ρ$. + Falls die Potenzreihe konstant $0$ ist, so hat $f$ bei $ρ$ unendliche + Nullstellenordnung. +\end{notation} + \section{Identitätssatz und Maximumsprinzip} @@ -112,7 +127,7 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$! für reelle Zahlen mit der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt. \end{bsp} -\begin{kor}[Maximumsprinzip] +\begin{kor}[Maximumsprinzip]\label{kor:7-2-4}% In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend. Falls $|f|$ ein Maximum hat, dann ist $f$ konstant. \end{kor} @@ -123,4 +138,128 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$! Korollar~\ref{kor:7-2-2}, ist $f$ dann aber auf ganz $U$ konstant. \end{proof} + +\section*{Beispielanwendung: Selbstabbildungen der Kreisscheibe} +\sideremark{Vorlesung: 11} + +Im Folgenden bezeichnen wir mit $Δ := B_1(0)$ die offene Einheitskreisscheibe in +$ℂ$. + +\begin{lemma}[Lemma von Schwarz\footnote{Karl Hermann Amandus Schwarz (* + 25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; † 30.~November 1921 in + Berlin) war ein deutscher Mathematiker.}]\label{lem:7-2-1}% + \index{Lemma vom Schwarz}Es sei $f: Δ → Δ$ holomorph und $f(0) = 0$. Dann gilt + Folgendes: + \begin{enumerate} + \item\label{il:7-2-1-1} Für jede Zahl $z ∈ Δ$ ist $|f(z)| ≤ |z|$. + + \item\label{il:7-2-1-2} Wenn eine Zahl $z ∈ Δ ∖ \{0\}$ existiert mit $|z| = + |f(z)|$, dann ist $f$ eine Drehung, also die Multiplikation mit einer + komplexen Zahl der Form $\exp(iα)$, für $α ∈ ℝ$. + + \item\label{il:7-2-1-3} Es ist $|f'(0)| ≤ 1$. + + \item\label{il:7-2-1-4} Wenn $|f'(0)| = 1$ ist, dann ist $f$ eine Drehung. + \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{proof} + Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar. Also nehmen wir im Folgenden an, + dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist. Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine + isolierte Nullstelle. Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir + halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest. + \begin{enumerate} + \item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$. + Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈ + Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$. Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein + $ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für + jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt: + \[ + 1 > |f(z)| = |z|·|g(z)| > \frac{1}{1+ε}·|g(z)|, \quad\text{also } |g(z)| < 1 + ε. + \] + Es folgt: Die Funktion $|g|$ nimmt nur auf abgeschlossenen Kreisscheibe + $\overline{B_{1/(1+\epsilon)}}(0)$ Werte vom Betrag $> 1 + ε$ an. Dort + nimmt $|g|$ dann aber sogar ein Maximum an, also muss $|g|$ nach + Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) bereits konstant sein, + Widerspruch. + + \item\label{il:7-2-1-6} Falls es ein $z_m ∈ Δ$ mit $|g(z_m)| = 1$ gibt, dann + muss dies nach \ref{il:7-2-1-5} ein Maximum sein. Nach + Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) ist $g$ dann konstant mit + Betrag $1$. + \end{enumerate} + Nun können wir die Behauptungen des Lemmas beweisen. + \begin{itemize} + \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-1} folgt direkt aus + \ref{il:7-2-1-5}, da $|f(z)| = |z|·|g(z)| ≤ |z|$ gilt. + + \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-2} folgt aus \ref{il:7-2-1-6}. + + \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-3} folgt aus \ref{il:7-2-1-5}, da $|f'(0)| = + |g(0)| ≤ 1$ gilt. + + \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-4} ist wieder \ref{il:7-2-1-6}. \qedhere + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{rem}[Warum interessiert mich das?] + Gegeben eine offene Menge $U$, dann bilden die holomorphen Selbstabbildungen + $U → U$ eine Gruppe: Die Identität ist das neutrale Element, + hintereinander-Ausführung ist die Gruppenverknüpfung und die Umkehrabbildung + ist das Inverse. Um die holomorphe Geometrie von $U$ zu verstehen, + interessiere ich mich für diese Gruppe, die man auch mit $\Aut_𝒪(U)$ + bezeichnet. +\end{rem} + +\begin{notation}[Automorphismen] + Es seien $U, V ⊂ ℂ$ offen, Mengen. Eine holomorphe Abbildung $φ: U → V$ heißt + \emph{biholomorph}\index{biholomorph}, wenn $φ$ bijektiv ist und die + Umkehrabbildung auch wieder holomorph ist. Für eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ + bezeichne + \[ + \Aut_{𝒪}(U) := \{ φ: U → U \mid φ \text{ biholomorph} \} + \] + die Gruppe der \emph{holomorphen Automorphismen}\index{Automorphismus} von + $U$. +\end{notation} + +\begin{bsp}[$ℂ$ und $Δ$ sind nicht biholomorph] + Korollar~\ref{kor:4-4-3} („Satz von Liouville“) zeigt, dass es keine + Biholomorphie zwischen $ℂ$ und $Δ$ gibt. +\end{bsp} + +\begin{bsp}[Kreisscheibe] + Es sei $Δ$ wieder die offene Einheitskreisscheibe. + \begin{itemize} + \item Einige Automorphismen von $Δ$ sehe ich direkt, zum Beispiel Drehungen + (=Multiplikation mit komplexen Zahlen der Form $\exp(iα)$, wobei $α ∈ [0, + 2π)$ reell ist). + + \item Andere Automorphismen sieht man nicht sofort: für jedes $α ∈ Δ$ ist + \[ + g_α: Δ → Δ, \quad z ↦ \frac{α - z}{1 - \bar{α}z} + \] + ein Automorphismus von $Δ$ mit folgenden Eigenschaften: + \begin{itemize} + \item Es ist $g_α(0) = α$ und $g_α(α) = 0$. + \item Es ist $g_α ◦ g_α = \text{Id}$. + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{bsp} + +\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe mit Fixpunkt 0] + Wenn $g : Δ → Δ$ ein Automorphismus mit $g(0) = 0$ ist, dann ist $g$ eine + Drehung. Dies folgt direkt aus dem Lemma von Schwarz, Lemma~\ref{lem:7-2-1}, + da $|g'(0)| = |(g^{-1})'(0)|^{-1}$ ist. Also gilt $|g'(0)| ≥ 1$ oder + $|(g^{-1})'(0)| ≥ 1$. +\end{beobachtung} + +\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe] + Gegeben irgendein Automorphismus $φ: Δ → Δ$, dann setze $α := φ(0)$ und + betrachte $Ψ := g_α ◦ φ$. Dies ist ein Automorphismus, der $0$ auf $0$ + abbildet. Das ist dann eine Drehung. +\end{beobachtung} + +Insgesamt sehen wir: jeder Automorphismus von $Δ$ ist die Komposition einer +Drehung und eines Automorphismus der Form $g_α$. Kommt Ihnen das bekannt vor? + % !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/08-lokaleStruktur.tex b/08-lokaleStruktur.tex new file mode 100644 index 0000000..574cc31 --- /dev/null +++ b/08-lokaleStruktur.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen} + +Ich beginne mit einer Erinnerung. + +\begin{lem} + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben, + sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$, + sodass Folgendes gilt. + \begin{enumerate} + \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen. + \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die + Umkehrfunktion ist holomorph. + \end{enumerate} +\end{lem} +\begin{proof} + Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex + differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$ + wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die + lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$, + sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für + jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die + Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph. +\end{proof} + +Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus +$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert. + +% !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index 154610b..38509d2 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -145,6 +145,7 @@ Link in den Text ein. \input{05-cauchy} \input{06-potenz} \input{07-nullstelle} +\input{08-lokaleStruktur} \addchap{Lizenz}