Vorlesung 3

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Stefan Kebekus
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@@ -285,7 +285,7 @@ der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5}
Sei $U ⊂ $ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → $ eine Funktion. Dann sind
die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@@ -309,121 +309,144 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
\end{proof}
\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
\section{Fingerübungen beim Ableiten}
\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
Seien $V ⊂ $ und $U ⊂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
\end{pmatrix} ∈ ℝ² = $, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt
sei $f ∈ 𝒪(U)$.
Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → $.
Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
\begin{align}
(f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
&= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
&= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
&= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
&= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix}
\end{align}
mittels von komplexen Zahlen.
\begin{kons}
Real-komplexe Kettenregel
\end{kons}
\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
\begin{itemize}
\item Alle Polynome sind holomorph: $[z]𝒪()$
\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $(z)𝒪(
\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
\end{itemize}
\paragraph{Direktes Nachrechnen}
\begin{itemize}
\item $\exp: ^{}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
mit $\exp' = \exp$.
Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
\end{itemize}
\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
\begin{itemize}
\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
$\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸)𝒪()$.
\end{itemize}
\subsection{Kettenregel}
\begin{prop}
Sei $U ⊂ $ offen und sei $f: U → $ holomorph,
sodass die folgenden Bedingungen gelten:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist injektiv.
\item $\forall p ∈ U: f'(p)0$.
\end{enumerate}
Dann ist $V := f(U)$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
holomorph.
\end{prop}
\begin{proof}
Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
$f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
Seien $V ⊂ $ und $U ⊂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
$\gamma$ in Komponenten,
\[
= \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
\]
wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix
\[
J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
\]
eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = $
aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
$γ'(t)$.
\end{notation}
Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → $.
\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
Seien $V ⊂ $ und $U ⊂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
\[
(f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für
differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
\[
(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
= \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
\]
Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $0$.
Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
die Cauchy-Riemann Gleichungen.
\end{proof}
\subsection{Konkrete Beispiele}
Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren
Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
\begin{enumerate}
\item[A)] $U = \{z ∈ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
$f: U → \{z ∈ \mid \text{Im}(z)0 \text{ oder } \text{Re}(z)0\}$
$z ↦ z²$
Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
$\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen]
---
\begin{enumerate}
\item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
Summen-, Produkt- und Kettenregel.
\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
Erinnerung:
\item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Nachrechnen!
\end{proof}
\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
Es sei $U ⊂ $ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
Bedingungen gelten:
\begin{enumerate}
\item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
\item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p)0$.
\end{enumerate}
Dann ist die Bildmenge $V := f(U)$ offen und die Umkehrabbildung ist
wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
\[
\log z = \log|z| + i · \arg(z)
\]
... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
$\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
$\forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
$\forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
$\forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
\end{enumerate}
J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
\]
Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
\end{proof}
\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen}
Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
\begin{itemize}
\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $[z]𝒪()$.
\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
holomorph.
\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
$\exp' = \exp$.
\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
\end{itemize}
\subsection{Wurzelfunktionen}
Es sei
\begin{align*}
\bH & := \{z ∈ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
S & := \{z ∈ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
\end{align*}
\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
\[
s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
\]
bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
Wurzelfunktion
\[
\sqrt{\bullet} : S \to \bH
\]
mit Ableitung
\[
\sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
\]
\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}?
\end{frage}
\subsection{Logarithmus}
Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
\[
\log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
\]
holomorph mit Ableitung
\[
\log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
\]
\begin{frage}[Logarithmus ?!]
Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
\end{frage}
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