Vorlesung 3
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@@ -285,7 +285,7 @@ der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
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Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
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zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
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\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
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\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]\label{satz:2-3-5}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind
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die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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@@ -309,121 +309,144 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
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\end{proof}
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\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
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\section{Fingerübungen beim Ableiten}
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\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
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Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
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\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt
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sei $f ∈ 𝒪(U)$.
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Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.
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Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
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\begin{align}
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(f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
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&= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
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&= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
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&= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
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&= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix}
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\end{align}
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mittels von komplexen Zahlen.
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\begin{kons}
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Real-komplexe Kettenregel
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\end{kons}
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\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
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\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
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\begin{itemize}
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\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
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\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
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\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
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\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen}
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\begin{itemize}
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\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
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mit $\exp' = \exp$.
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Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
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\begin{itemize}
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\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
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$\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
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\end{itemize}
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\subsection{Kettenregel}
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\begin{prop}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
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sodass die folgenden Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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\item $f$ ist injektiv.
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\item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
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\end{enumerate}
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Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
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holomorph.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
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$f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
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mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
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Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
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differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
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$\gamma$ in Komponenten,
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\[
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= \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
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γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
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\]
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wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
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Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix
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\[
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J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
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\]
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eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
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aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
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$γ'(t)$.
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\end{notation}
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Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
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Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
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\begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
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differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
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\[
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(f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
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Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
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mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht. Nach der Kettenregel für
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differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
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\[
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(f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
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= \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
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\]
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Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
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Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
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die Cauchy-Riemann Gleichungen.
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\end{proof}
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\subsection{Konkrete Beispiele}
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Ansonsten gelten die üblichen Regeln für Verknüpfungen von differenzierbaren
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Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
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\begin{enumerate}
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\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
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$f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
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$z ↦ z²$
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Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
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$\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
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\begin{prop}[Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen]
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---
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\begin{enumerate}
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\item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
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differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
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Summen-, Produkt- und Kettenregel.
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\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
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Erinnerung:
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\item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
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differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Nachrechnen!
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\end{proof}
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\begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
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Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
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\item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
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\end{enumerate}
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Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
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wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
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Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
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ist. Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
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f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
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Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
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Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\[
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\log z = \log|z| + i · \arg(z)
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\]
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... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
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$\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
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$⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
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$⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
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$⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
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\end{enumerate}
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J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
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\]
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Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
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ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
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nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
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\end{proof}
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\section{Erste Beispiele von holomorphen Funktionen}
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Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
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\begin{itemize}
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\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
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\item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
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holomorph.
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\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
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$\exp' = \exp$.
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\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
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es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
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\end{itemize}
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\subsection{Wurzelfunktionen}
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Es sei
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\begin{align*}
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\bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die ``obere Halbebene''} \\
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S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die ``geschlitzte Ebene''.}
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\end{align*}
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\index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
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\[
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s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
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\]
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bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
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Wurzelfunktion
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\[
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\sqrt{\bullet} : S \to \bH
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\]
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||||
mit Ableitung
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\[
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\sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
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\]
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\begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
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Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-1-23}?
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\end{frage}
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\subsection{Logarithmus}
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Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
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\[
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\log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
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\]
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holomorph mit Ableitung
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\[
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\log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
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\]
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\begin{frage}[Logarithmus ?!]
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Ist das nicht ein Widerspruch zu Lemma~\vref{lem:1-2-15}?
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\end{frage}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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Reference in New Issue
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