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@@ -53,3 +53,5 @@ Ostenfelde
 Casorati
 Casteggio
 Hebbarkeitsatz
+Laurentreihe
+.te

06-potenz.tex

@@ -2,6 +2,7 @@
 \selectlanguage{german}
 
 \chapter{Potenzreihenentwicklung}
+\label{chap:6}
 
 In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
 reelle Funktionen.  Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit

09-singularities.tex

@@ -173,4 +173,204 @@ beschränkt.  \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}
   deshalb keine wesentlichen Singularitäten hat.
 \end{proof}
 
+
+\section{Entwicklung in Laurentreihen}
+\sideremark{Vorlesung 13}
+
+In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf
+Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen.  Wir wollen jetzt einen
+ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen.  Dazu
+verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung.
+
+\begin{bemerkung}[Erinnerung]
+  Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$.
+  Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈
+  B_{ρ}(0)$
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
+  \]
+  Schreibe
+  \[
+    \frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ,
+  \]
+  und setze dies in das Integral ein.  Vertausche Integral und Summe und erhalte
+  eine Potenzreihendarstellung von $f$.
+\end{bemerkung}
+
+So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen,
+die bei $0$ eine Singularität haben.  Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf
+Kreisringen.
+
+\begin{notation}[Kreisring]
+  Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$.  Dann sei
+  \[
+    K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \}
+  \]
+  der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$.
+\end{notation}
+
+\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}%
+  Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem
+  Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
+\end{situation}
+
+\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]
+  In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
+  Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
+  \[
+    r < a < |w| < A < R.
+  \]
+  und betrachte den folgenden Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$:
+  \begin{center}
+    \begin{tikzpicture}[scale=2]
+
+% Radii
+\def\r{0.6}
+\def\a{1.0}
+\def\R{1.8}
+
+% Outer and inner circles of the annulus
+\draw[thick] (0,0) circle (\R);
+\draw[thick] (0,0) circle (\a);
+
+% Coordinate axes (optional, remove if not needed)
+\draw[->] (-2,0)--(2,0);
+\draw[->] (0,-2)--(0,2);
+
+% Labels for radii on x-axis
+\draw (\a,0) node[below] {$a$};
+\draw (\R,0) node[below] {$R$};
+
+% Point w
+\coordinate (w) at (0.65,0.55);
+\fill (w) circle (0.03) node[above right] {$w$};
+
+% small epsilon circle around w
+\draw[dashed] (w) circle (0.25) node[right] {$B_\varepsilon(w)$};
+
+% Path γ (stylized as a wiggly circle between a and R)
+\begin{scope}
+  \draw[thick,->,domain=0:360,smooth,variable=\t]
+    plot ({1.45*cos(\t) +0.12*cos(5*\t)},
+          {1.45*sin(\t) +0.12*sin(5*\t)});
+\end{scope}
+
+% Label γ
+\node at (1.2,-0.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+    \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
+      % Koordinatenachsen
+      \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
+      \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5);
+      
+      % Äußerer Kreis (Radius A)
+      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (0:45:1.8);
+      \draw[thick] (1.8,0) arc (0:360:1.8);
+      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (360:315:1.8);
+      \draw[thick, ->] (-1.8,0) arc (180:225:1.8);
+      \draw[thick, ->] (0,-1.8) arc (270:315:1.8);
+      
+      % Innerer Kreis (Radius a)
+      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (0:45:1.0);
+      \draw[thick] (1.0,0) arc (0:360:1.0);
+      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (360:315:1.0);
+      \draw[thick, <-] (-1.0,0) arc (180:225:1.0);
+      \draw[thick, <-] (0,-1.0) arc (270:315:1.0);
+      
+      % Kleiner Kreis um w (mit gestrichelter Linie)
+      \draw[dashed] (0.5,0.8) circle (0.3);
+      \draw[thick, ->] (0.5,0.8) + (135:0.3) arc (135:225:0.3);
+      
+      % Verbindungslinien (gestrichelt)
+      \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (1.0,0);
+      \draw[dashed] (0.5,1.1) -- (0,1.8);
+      
+      % Beschriftungen
+      \node at (2.0,0) [below right] {$R$};
+      \node at (1.1,0) [below right] {$a$};
+      \node at (1.8,0) [below left] {$A$};
+      \node at (0.5,0.8) [above right] {$\gamma$};
+    \end{tikzpicture}
+  \end{center}
+  \begin{center}
+    \textit{[Hier würde Ihre Skizze mit den Kreisen und Wegen eingefügt.]}
+  \end{center}
+  Als erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
+  $γ$ ausdrücken.  Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
+  Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt.  Dann gilt nach
+  der Cauchy Integralformel die Gleichung
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz.
+  \]
+  Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist.
+  Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter
+  freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich,
+  \begin{align*}
+    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
+    & = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right].
+  \end{align*}
+  Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an.
+  \begin{itemize}
+    \item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist
+    \[
+      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
+    \]
+    und deshalb
+    \[
+      \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
+      = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ.
+    \]
+
+    \item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist
+    \[
+      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ
+    \]
+    und deshalb
+    \[
+      \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}.
+    \]
+  \end{itemize}
+  Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und
+  $A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig.
+  Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen
+  $(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung
+  gilt,
+  \[
+    f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}.
+  \]
+  Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt
+  \[
+    f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ.
+  \]
+  Die Konstruktion endet hier.
+\end{konstruktion}
+
+Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
+schrecklich wichtig.  Sie wird als
+\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli 1813
+in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
+bezeichnet.
+
+\begin{definition}[Laurentreihen]
+  Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
+  Ausdruck der Form
+  \[
+    \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
+  \]
+  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.  Gegeben eine natürliche Zahl
+  $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
+  \[
+    \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
+  \]
+  als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der
+  Laurentreihe.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen
+  $g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$
+  konvergiert.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$
+  lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig
+  konvergiert.
+\end{definition}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie