diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 1d9aee1..0083c71 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -53,3 +53,5 @@ Ostenfelde Casorati Casteggio Hebbarkeitsatz +Laurentreihe +.te diff --git a/06-potenz.tex b/06-potenz.tex index f534d32..a5fb2aa 100644 --- a/06-potenz.tex +++ b/06-potenz.tex @@ -2,6 +2,7 @@ \selectlanguage{german} \chapter{Potenzreihenentwicklung} +\label{chap:6} In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für reelle Funktionen. Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit diff --git a/09-singularities.tex b/09-singularities.tex index d94de90..2bda6e4 100644 --- a/09-singularities.tex +++ b/09-singularities.tex @@ -173,4 +173,204 @@ beschränkt. \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!} deshalb keine wesentlichen Singularitäten hat. \end{proof} + +\section{Entwicklung in Laurentreihen} +\sideremark{Vorlesung 13} + +In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf +Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen. Wir wollen jetzt einen +ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen. Dazu +verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung. + +\begin{bemerkung}[Erinnerung] + Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$. + Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈ + B_{ρ}(0)$ + \[ + f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz. + \] + Schreibe + \[ + \frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ, + \] + und setze dies in das Integral ein. Vertausche Integral und Summe und erhalte + eine Potenzreihendarstellung von $f$. +\end{bemerkung} + +So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen, +die bei $0$ eine Singularität haben. Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf +Kreisringen. + +\begin{notation}[Kreisring] + Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$. Dann sei + \[ + K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \} + \] + der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$. +\end{notation} + +\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}% + Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem + Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$. +\end{situation} + +\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring] + In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben. + Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit + \[ + r < a < |w| < A < R. + \] + und betrachte den folgenden Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$: + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=2] + +% Radii +\def\r{0.6} +\def\a{1.0} +\def\R{1.8} + +% Outer and inner circles of the annulus +\draw[thick] (0,0) circle (\R); +\draw[thick] (0,0) circle (\a); + +% Coordinate axes (optional, remove if not needed) +\draw[->] (-2,0)--(2,0); +\draw[->] (0,-2)--(0,2); + +% Labels for radii on x-axis +\draw (\a,0) node[below] {$a$}; +\draw (\R,0) node[below] {$R$}; + +% Point w +\coordinate (w) at (0.65,0.55); +\fill (w) circle (0.03) node[above right] {$w$}; + +% small epsilon circle around w +\draw[dashed] (w) circle (0.25) node[right] {$B_\varepsilon(w)$}; + +% Path γ (stylized as a wiggly circle between a and R) +\begin{scope} + \draw[thick,->,domain=0:360,smooth,variable=\t] + plot ({1.45*cos(\t) +0.12*cos(5*\t)}, + {1.45*sin(\t) +0.12*sin(5*\t)}); +\end{scope} + +% Label γ +\node at (1.2,-0.2) {$\gamma$}; + +\end{tikzpicture} + + \begin{tikzpicture}[scale=1.2] + % Koordinatenachsen + \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0); + \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5); + + % Äußerer Kreis (Radius A) + \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (0:45:1.8); + \draw[thick] (1.8,0) arc (0:360:1.8); + \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (360:315:1.8); + \draw[thick, ->] (-1.8,0) arc (180:225:1.8); + \draw[thick, ->] (0,-1.8) arc (270:315:1.8); + + % Innerer Kreis (Radius a) + \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (0:45:1.0); + \draw[thick] (1.0,0) arc (0:360:1.0); + \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (360:315:1.0); + \draw[thick, <-] (-1.0,0) arc (180:225:1.0); + \draw[thick, <-] (0,-1.0) arc (270:315:1.0); + + % Kleiner Kreis um w (mit gestrichelter Linie) + \draw[dashed] (0.5,0.8) circle (0.3); + \draw[thick, ->] (0.5,0.8) + (135:0.3) arc (135:225:0.3); + + % Verbindungslinien (gestrichelt) + \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (1.0,0); + \draw[dashed] (0.5,1.1) -- (0,1.8); + + % Beschriftungen + \node at (2.0,0) [below right] {$R$}; + \node at (1.1,0) [below right] {$a$}; + \node at (1.8,0) [below left] {$A$}; + \node at (0.5,0.8) [above right] {$\gamma$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{center} + \textit{[Hier würde Ihre Skizze mit den Kreisen und Wegen eingefügt.]} + \end{center} + Als erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg + $γ$ ausdrücken. Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene + Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt. Dann gilt nach + der Cauchy Integralformel die Gleichung + \[ + f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz. + \] + Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist. + Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter + freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich, + \begin{align*} + f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\ + & = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\ + & = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right]. + \end{align*} + Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an. + \begin{itemize} + \item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist + \[ + \frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ + \] + und deshalb + \[ + \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz + = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ. + \] + + \item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist + \[ + \frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ + \] + und deshalb + \[ + \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}. + \] + \end{itemize} + Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und + $A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig. + Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen + $(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung + gilt, + \[ + f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}. + \] + Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt + \[ + f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ. + \] + Die Konstruktion endet hier. +\end{konstruktion} + +Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich +schrecklich wichtig. Sie wird als +\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli 1813 +in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.} +bezeichnet. + +\begin{definition}[Laurentreihen] + Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein + Ausdruck der Form + \[ + \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ. + \] + Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen. Gegeben eine natürliche Zahl + $n$, so bezeichnet man den Ausdruck + \[ + \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ + \] + als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der + Laurentreihe. Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen + $g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$ + konvergiert. Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$ + lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig + konvergiert. +\end{definition} + % !TEX root = Funktionentheorie