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02-diffbarkeit.tex

@@ -212,7 +212,7 @@ eigene Notation entwickelt hat.
 
 \begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
-  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
+  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Dann
   sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
@@ -312,39 +312,39 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
 \section{Fingerübungen beim Ableiten}
 
 \begin{notation}[Ableitungen von Wegen in der komplexen Ebene]
-  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
-  differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“). Wir schreiben
-  $\gamma$ in Komponenten, 
+  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen.  Weiter sei $γ: V → U$ eine
+  differenzierbare Abbildung (=ein „Weg in der komplexen Ebene“).  Wir schreiben
+  $γ$ in Komponenten,
   \[
     γ = \begin{pmatrix} γ_1 \\ γ_2\end{pmatrix},
   \]
-  wobei $\gamma_1$ und $\gamma_2 : V \to \bR$ reellwertige Abbildungen sind.
-  Gegeben ein Element $t \in V$, dann ist die Ableitungsmatrix 
+  wobei $γ_1$ und $γ_2 : V → ℝ$ reellwertige Abbildungen sind.
+  Gegeben ein Element $t ∈ V$, dann ist die Ableitungsmatrix
   \[
-    J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix} 
+    J_γ(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) \end{pmatrix}
   \]
-  eine Matrix vom Format $2 \times 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
-  aufgefasst werden. Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit   
-  $γ'(t)$.  
+  eine Matrix vom Format $2 ⨯ 1$, kann also als Element von $ℝ² = ℂ$
+  aufgefasst werden.  Wir bezeichnen diese komplexe Zahl mit
+  $γ'(t)$.
 \end{notation}
 
 Gegeben eine komplex differenzierbare Funktion, interessiere ich mich für die
 Ableitung des Weges $f ◦ γ: V → ℂ$.
 
 \begin{prop}[Reell-komplexe Kettenregel]
-  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen. Weiter sei $γ: V → U$ eine
-  differenzierbare Abbildung und $f \in \sO(U)$. Dann ist
+  Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen.  Weiter sei $γ: V → U$ eine
+  differenzierbare Abbildung und $f ∈ 𝒪(U)$.  Dann ist
   \[
-    (f ◦ γ)' = (f' \circ γ) · γ'.
+    (f ◦ γ)' = (f' ◦ γ) · γ'.
   \]
 \end{prop}
 \begin{proof}
-  Gegeben ein $z \in U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
+  Gegeben ein $z ∈ U$, so haben wir uns schon überlegt, dass die
   Ableitungsmatrix $J_f(z)$ exakt die Drehstreckung ist, die der Multiplikation
   mit der komplexen Zahl $f'(z)$ entspricht.  Nach der Kettenregel für
-  differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t \in V$ also die Gleichung
+  differenzierbare Funktionen gilt für jedes $t ∈ V$ also die Gleichung
   \[
-    (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2\times 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
+    (f ◦ γ)'(t) = \underbrace{J_f(γ(t))}_{2⨯ 2\text{-Matrix}} · \underbrace{J_γ(t)}_{\text{Vektor}}
     = \underbrace{f'(γ(t))}_{\text{kompl.~Zahl}} · \underbrace{γ'(t)}_{\text{kompl.~Zahl}}.
   \]
 \end{proof}
@@ -356,11 +356,11 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
   ---
   \begin{enumerate}
     \item Summen, Differenzen, Produkte und Kompositionen von komplex
-    differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar. Es gilt die
+    differenzierbaren Funktionen sind komplex differenzierbar.  Es gilt die
     Summen-, Produkt- und Kettenregel.
 
     \item Quotienten von komplex differenzierbaren Funktionen sind komplex
-    differenzierbar wo sie definiert sind. Es gilt die Quotientenregel.
+    differenzierbar wo sie definiert sind.  Es gilt die Quotientenregel.
   \end{enumerate}
 \end{prop}
 \begin{proof}
@@ -368,27 +368,27 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
 \end{proof}
 
 \begin{prop}[Umkehrabbildungen]\label{prop:2-4-4}
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f \in \sO(U)$ holomorph, sodass die folgenden
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph, sodass die folgenden
   Bedingungen gelten:
   \begin{enumerate}
     \item\label{il:2-4-4-1} Die Abbildung $f$ ist injektiv.
     \item\label{il:2-4-4-2} Für alle $p ∈ U$ gilt: $f'(p) ≠ 0$.
   \end{enumerate}
   Dann ist die Bildmenge $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und die Umkehrabbildung ist
-  wieder holomorph, $f^{-1} \in \sO(V)$.
+  wieder holomorph, $f^{-1} ∈ 𝒪(V)$.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-  Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p \in U$ die
-  Ableitungsmatrix $J_f(p) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \bR)$ invertierbar
+  Annahme \ref{il:2-4-4-1} stellt sicher, dass für alle $p ∈ U$ die
+  Ableitungsmatrix $J_f(p) ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ invertierbar
   ist.  Damit wissen wir aus der Vorlesung „Analysis II“: Die Bildmenge $V :=
   f(U)$ ist offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V → U$ ist differenzierbar.
   Genauer: wenn $q ∈ V$ ist mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist die
   Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
   \[
     J_{f^{-1}}(q) = \left(J_f (p)\right)^{-1}.
-  \]  
+  \]
   Per Annahme ist $J_f (p)$ eine Drehstreckung, mit einem Streckungsfaktor
-  ungleich $0$. Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
+  ungleich $0$.  Also ist auch $\left(J_f (p)\right)^{-1}$ eine Drehstreckung und
   nach Satz~\ref{satz:2-3-5} ist $f^{-1}$ bei $q$ komplex differenzierbar.
 \end{proof}
 
@@ -397,12 +397,12 @@ Funktionen auch für komplex differenzierbare Funktionen.
 
 Folgendes können wir jetzt schon sagen oder durch direktes Nachrechnen beweisen.
 \begin{itemize}
-\item Alle Polynome sind holomorph. In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
+\item Alle Polynome sind holomorph.  In Formeln: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$.
 \item Alle rationalen Funktionen sind außerhalb der Nullstellenmenge des Nenners
 holomorph.
-\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und es gilt
+\item Die komplexe Exponentialfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und es gilt
 $\exp' = \exp$.
-\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $\bC$ holomorph und
+\item Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion ist auf ganz $ℂ$ holomorph und
 es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
 \end{itemize}
 
@@ -412,20 +412,20 @@ es gelten die üblichen Formeln für die Ableitung.
 Es sei
 \begin{align*}
   \bH & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} && \text{die „obere Halbebene“} \\
-  S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\}  && \text{die „geschlitzte Ebene“.}
+  S & := \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} && \text{die „geschlitzte Ebene“.}
 \end{align*}
 \index{obere Halbebene}\index{geschlitzte Ebene}Dann ist die Abbildung
 \[
-  s : \bH \to S, \quad z \mapsto z^2
+  s : \bH → S, \quad z ↦ z²
 \]
 bijektiv und deshalb existiert nach Proposition~\ref{prop:2-4-4} eine holomorphe
 Wurzelfunktion
 \[
-  \sqrt{\bullet} : S \to \bH
+  \sqrt{•} : S → \bH
 \]
 mit Ableitung
 \[
-  \sqrt{\bullet}' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{2·\sqrt{z}}
+  \sqrt{•}' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{2·\sqrt{z}}
 \]
 
 \begin{frage}[Wurzelfunktion ?!]
@@ -437,11 +437,11 @@ mit Ableitung
 
 Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
 \[
-  \log : S \to \bC, \quad z \mapsto \log|z| + i · \arg(z),
+  \log : S → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z),
 \]
 holomorph mit Ableitung
 \[
-  \log' : S \to \bC, \quad z \mapsto \frac{1}{z}.
+  \log' : S → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{z}.
 \]
 
 \begin{frage}[Logarithmus ?!]